# VII РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ
Задачите и решенијата се скенирани од книгата
Регионални натпревари по математика 83-95
Подготвена од Боривое Миладиновиќ
## V одделение
1. Место буква стави цифра - иста буква значи иста цифра. $\overline{\text { labcde }} \cdot 3=\overline{\operatorname{abcdel}}$.
2. Плоштината на еден двор, што има форма на правоаголник е 10 ари. Должината на едната страна е $25 \mathrm{~m}$. Да се огради дворот потребно е на секои 5 метри да се постави по еден столб. Колку столбови се потребни за оградување на дворот?
3. За $2 \mathrm{~kg}$ сливи и $3 \mathrm{~kg}$ јаболка платено е 6900 денари, а за $4 \mathrm{~kg}$ сливи и $7 \mathrm{~kg}$ јаболка 4200 денари. Колку чини еден килограм сливи, а колку еден килограм јаболка?
4. На правата р на цртежот определи точка М така што растојанието $\overline{\mathrm{AM}}+\overline{\mathrm{MB}}$ да биде најмало.
## $\mathbf{V}$ ourenemes
1. Azo секоја размाчна бухве е некоја цмфре тогаш:
| labcode $\cdot 3=\overline{\text { abcodel }}$
labbcd7$\cdot 3=3=$ abcd 71 | $\in=7,6=д е ј k и 3.7=21$,
$d=5$, баддекки $3.5=15$ n |
| :---: | :---: |
| labces7 $\cdot 3=a$ | ejk: $3 \cdot 5=15$ и $5+2$ |
|  | бмдејkn 3-4=12 |
2. Плошттната на правоаголникот е: $\mathrm{P}=\mathrm{a} . \mathrm{b}$ т.c. 1000 - 25 . След\#\# $д-40 \mathrm{~m}$. Переместарот на правоатолнпкот e: $\mathrm{L}=2(\mathrm{a}+\mathrm{b})=130 \mathrm{~m}$. Потребннот број на столбопп е $130: \mathrm{s}=26$.
$3.2 \mathrm{~kg}$ слнве в $3 \mathrm{~kg}$ јаболка чинат 6900 денари.
$4 \mathrm{~kg}$ сливи п $6 \mathrm{~kg}$ јабалка чпнат $6900 \cdot 2=13800$ денари.
$4 \mathrm{~kg}$ слнве и $7 \mathrm{~kg}$ јаболха чднат 15300 денару.
Од вторшот п третпот заклучок се добива дека еден хилограм јаболка чвнит 15300-13800=1500 денарн. Еден килограм слиаи чинни ( $6900-3 \cdot 1500$ ):2=1200 денари.
4. Ja наołaue точката $A_{1}$ спметрична на А во однос на правата р. Оттука следува дека $\overline{A M}=\overline{A_{1} \mathrm{M}}$. Точката M е бараната точка, бидејки $\overline{A_{1} B}$ в е најмалото растојание од $\mathrm{A}_{1}$ до B. Бидејки $\overline{\mathrm{AM}}=\overline{\mathrm{A}_{1} \mathrm{M}}$, следува дека $\overline{\mathrm{AM}}+\overline{\mathrm{MB}}=\overline{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}}$ е најмалото растојанне.
## VI одделепие
1. Одреди ги $x \in Z$ и $y \in Z$ ако $e|x| \cdot|y|=12$.
2. На цртежот дадено е $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}$ и $\overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{AD}}$. Докажи дека $\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{CE}}$.
3. На состанок на пионерскиот совет на едно училиште биле присутни 12 членови. Отсутни биле $\frac{1}{7}$ од вкупниот број. Колу членови броел пионерскиот совет?
4. Во рамнокракиот триаголник $\mathrm{ABC}(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BC}})$, со периметар $22 \mathrm{~cm}$, повлечена е медијана $\mathrm{AA}_{1}$. Периметрите на триаголниците $\mathrm{ABA}_{1}$ и $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{C}$ соодветно се $17 \mathrm{~cm}$ и $19 \mathrm{~cm}$. Да се определат должините на страните на триаголникот ABC.
## VI одлелепмее
1. Корнстиме дека $|x| \cdot|y|=\{x \cdot y \mid=12$. Решенисто र̆e бпде сатге можнн парови ( $x, y$ ) чшj провзвод е 12 нли -12 т.е. $((x, y) \mid x \cdot y=12$ клा $x \cdot y=12$ п $x, y \in Z\}$.
2. Tр аагалвицвте ABD в ACE се сестадни (впды цртех), бидејки $\overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{AD}}, \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}$ и $\angle \mathrm{BAC}$ км е заедничкм.
Од складноста на трнаголнндрте следува деха $\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{CE}}$.
3. Ако бнле отсутни $\frac{1}{7}$, тогаш присутни 6 иле $\frac{6}{7}$ од вкупниот број. Нека $x$ е бројот на сите членови, тогаш
$$
\frac{6}{7} x=12 \text {, r.e. } x=\frac{12 \cdot 7}{6}=14
$$
4. Види: VIII р.н. VII/2.
## VII одделение
1. За која вредност на $x$ изразот $(3 x-4) \cdot(7 x+8)-1,5 x(24 x+4)-5(1-2 x)$ е негативен ?
2. Еден работник ја исполнува нормата за 6 часа, друг за 5 часа, а трет за 4,5 часа. Работејќи заедно тие изработиле за еден час вкупно 795 предмети. По колку предмети изработил секој од нив ?
3. Во кружница $k$ повлечен е радиус OP и тетива $\mathrm{AB}$ која е симетрала на дадениот радиус. Докажи дека АВ е страна на рамнострани триаголник впишан во кружницата.
4. Во рамнокракиот трапез $\mathrm{ABCD}(\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{BC}}=6 \mathrm{~cm}$ ), а дијагоналата ја дели средната линија на делови од $2 \mathrm{~cm}$ и $5 \mathrm{~cm}$. Одреди:
a) периметар на трапезот?
б) аглите на трапезот?
## VII одделение
1. Види: III р.н. VII/2.
2. За I час првнот исполнува $\frac{1}{6}$, вториот $\frac{1}{5}$, а третиот $\frac{1}{4,5}=\frac{2}{9}$ од нормата. Нека $x$ се вкупно предмети што тие треба да ги изработат. За еден час тие ќе изработат: $\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{2}{9}\right) \cdot x=795 ; x=795 \cdot \frac{90}{30}=1350$.
Првиот изработнл: $1350: 6=225$, вторнот: $1350: 5=270$, " третиот: $1350: 4,5=300$.
3. Од $\overline{\mathrm{OB}}=\mathrm{r}, \overline{\mathrm{OD}}=\frac{\mathrm{r}}{2}$ (во правоаголниот трнаголннк катетата наспроти аголот од $30^{\circ}$ е еднаква на половина од хипотенузата) следува дека $\angle \mathrm{DBO}=30^{\circ}$, а $\angle \mathrm{BOD}=60^{\circ}$. Од истн причинн н $\angle \mathrm{DAO}=30^{\circ}$, а $\angle A O D=60^{\circ}$, т.е. $\angle A O B=1200$. Централниот агол $B O C=1200$, како надворешен агол на триаголникот BOD. Од истн прнчнии н аголот $\mathrm{AOC}=120^{\circ}$. Aко централните агли се еднакви, тогаш се еднакви и нивните соодветни периферни агли, т.е.
$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=60^{\circ}, \triangle \mathrm{ABC}$ е рамностраи.
4. Бидејки MN е средна линнја на трапезот, тогаш MP е средна линија на триаголникот $\mathrm{ADC}$, т.e. $\mathrm{b}=\overline{\mathrm{DC}}=2 \overline{\mathrm{MP}}=4 \mathrm{~cm}$. $\mathrm{PN}$ е средна линија на трнаголникот $\mathrm{ABC}$, т.е. $\mathrm{a}=\overline{\mathrm{AB}}=2 \overline{\mathrm{PN}}=10 \mathrm{~cm}$.
a) Периметарот на трапезот $\mathrm{L}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+2 \mathrm{c}=10+4+2 \cdot 6=26 \mathrm{~cm}$.
6) Ако повлечеме $\mathrm{CC}_{1} \| \mathrm{AD}$, тогаш трнаголннкот $\mathrm{C}_{1} \mathrm{BC}$ е рамностран, бидејки $\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{C}_{1} \mathrm{C}}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{a} \overline{\mathrm{C}_{1} \mathrm{~B}}=\mathrm{a}-\mathrm{b}=6 \mathrm{~cm}$. Тогаш острите аглн на тралезот се $60^{\circ}$, а тапите 1200 .
## VIII одделение
1. Докажи дека ако природниот број $n$ не е делив со 5 , тогаш $n^{2}+1$ или $n^{2}-1$ e делив со 5 .
2. Возот влегол во тунел за 15 секунди. До излегувањето од тунелот на последниот вагон од возот, поминале уште 30 секунди. Колку е долг возот и со каква брзина се движел ако тунелот бил долг 300 метри ?
3. Во триаголник $\mathrm{ABC}$ бисектриса на аголот $\mathrm{A}$ ја сече страната $\mathrm{BC}$ во точката D. Низ D е повлечена права паралелна со $A C$, којашто AB ја сече во точката E. Низ точката E е повлечена права паралелна со $\mathrm{BC}$, којашто $\mathrm{AC}$ ја сече во точката F. Докажи дека $\overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{CF}}$.
4. Пресметај ја плоштината на делтоид со страни 16 и $20 \mathrm{~cm}$, а дијагоналата што не е негова оска на симетрија е $20 \mathrm{~cm}$.
## VIII одделение
1. Ако природниот број не е делив со 5 , тогаш остатоците при тоа делење се $1,2,3$ и 4. Во тој случај бројот: $n=5 k+1, n=5 k+2, n=5 k+3$ н $n=5 k+4 ; k \in N$. Со замена за секое п во дадените изразн нмаме:
I0 $3 \mathrm{a} \mathbf{n}=5 \mathbf{k}+1$ :
$$
\begin{aligned}
& n^{2}+1=(5 k+1)^{2}+1=25 k^{2}+10 k+2 \text { не е делнв со } 5 . \\
& n^{2}-1=(5 k+1)^{2}-1=25 k^{2}+10 k=5 k(5 k+2) \text { е делив cos }
\end{aligned}
$$
За останатите случаи се нспитува на ист начин.
2. Бидејќи возот влегол во тунелот за 15 секунди. а до нзлегувањето помннале уште 30 секунди, тогаш должината на возот с два пати помала од должината на тунелот, т.е. $150 \mathrm{~m}$. Брзината на возот е: $\mathrm{v}=\frac{150 \mathrm{~m}}{15 \mathrm{~s}}=10 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\frac{10}{1000}=36 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.
3. Бидејќи $A D$ е снметрала на аголот Bo темето А. следува дека $\angle 1=\angle 2$. Аголот $\angle 1=\angle 3$, како наизменични агли на трансверзала. Оттука следува дека $\angle 2=\angle 3$. т.е. триаголникот AED e рамнокрак и $\overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{DE}}$. Четириаголникот FCDE е паралелограм по конструкција. т.е. $\overline{\mathrm{DE}}=\overline{\mathrm{CF}}$.
4. Страните на делтоидот се $\overline{\mathrm{AB}}=20 . \overline{\mathrm{AD}}=16$ и $\overline{\mathrm{AC}}=20 \mathrm{~cm}$. Триаголникот $\mathrm{ABC}$ е рамностран и неговата плоштина е: $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{a}^{2} \sqrt{3}}{4}=\frac{20^{2} \sqrt{3}}{4}=100 \sqrt{3}$.
Плошгтината на $\triangle \mathrm{ADC}$ е: $\mathrm{P}_{2}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}} \cdot \overline{\mathrm{DO}}$;
$\overline{\mathrm{DO}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AD}}^{2}-\left(\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}\right)^{2}}=\sqrt{16^{2}-10^{2}} ; \overline{\mathrm{DO}}=2 \sqrt{39}$.
$P_{2}=\frac{1}{2} 20 \cdot 2 \sqrt{39} ; P_{2}=20 \sqrt{39}$. Плоштината на дел-
тоидот $\mathrm{e}: \mathrm{P}=(100 \sqrt{3}+20 \sqrt{39}) \mathrm{cm}^{2}$.
B