# VI РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ 

Задачите и решенијата се скенирани од книгата

Регионални натпревари по математика 83-95

Подготвена од Боривое Миладиновиќ

## V одделение

1. Дадени се множествата: $\mathrm{A}=\{x \mid x \in N$ и $\mathrm{x} \leq 10\}, \mathrm{B}=\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x} \in \mathrm{N}$ и $5 \leq \mathrm{x}<15\}$ и $C=\{x \mid x \in N$ и х е парен број и $x \leq 12\}$.

Формирај ги, запиши ги на табеларен начин и покажи дека за нив важи равенството:

$$
\mathrm{A} \backslash(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})=(\mathrm{A} \backslash \mathrm{B}) \cap(\mathrm{A} \backslash \mathrm{C}) \text {. }
$$

2. Четворица велосипедисти се движат по кружна патека со различни брзини: првиот ја обиколува за 10 , вториот за 12 , третиот за 15 и четвртиот за 16 минути. Ако сите тргнат од иста почетна точка, после колку време ќе бидат сите на почетната точка? По колку пати во меѓувреме секој од нив ја поминал патеката?
3. Колку петцифрени броеви има на кои збирот на цифрите им е 3?
4. Една нива во форма на правоаголник на која должината е два пати поголема од ширината е заградена со три реда жици, за што биле употребени 720 метри жица. Нивата е посеана со пченица. Колку килограми пченица се добиени од нивата ако од еден ар се добиени $50 \mathrm{~kg}$ пченица?

## $\mathbf{V}$ одделение

1. Множествата претставени на табеларен начин:

$$
A=\{1,2,3, \ldots, 10\} ; B=\{5,6,7, \ldots, 14\} ; C=\{2,4,6, \ldots, 12\}
$$

Проверка ка равенствата:

$$
A Y B \cup C)=(1,2,3, \ldots, 10\} \backslash(2,4,5,6, \ldots, 12,13,14\}=(1,3\}
$$

$$
(A \mid B) \cap(A \mid C)=\{1,2,3,4\} \cap\{1,3\}=\{1,3\}
$$

## т.е. важи даленото равенство

2. Времето во кое ќe се најдат снте велоснпедисти повторно во почетната точка ќе претставува $\mathrm{H} З С(10,12,15,16)=240$ минути. Првиот велосипедист патеката ќe ја помине $240: 10=24$ пати, вториот 20 . третиот 16 и четвртнот 15 пати.
3. Ако збирот на цифрите на петцифрениот број е 3, тоа значи дека бројот може да е составен од:

- три единици и две нули.
- една двојка. една единица и три нули,
- една троіка и четири нули.

Ако бројиг е составен од три едници и две кули, тогаш можат да се залишат шест петцрнфрени 6роја: $11100,11010,11001,10101,10011,10110$.

Ако бројот е составен од една двојка, една единица и три нули. тогаш можат да се запишат осум петцифрени броја: 21000, 20100, 20010, 20001, 12000, 10200, 10020, 10002.

Ако бројот е составен од една тројка и четири нули. тогаш 30000 с единствениот петцифрен број со тие цифри. Според тоа има: $6+8+1=15$ такви петцифрени броеви.

4. За оградување на нивата со еден ред употребени се 720:3=240 метри жица. Според тоа периметарот на нината е 240 метри, т.е.

$$
2(a+b)=240
$$

$$
a+b=120 \mathrm{~m} . \quad
$$

Бидејќи $\mathrm{a}=2 \mathrm{~b}$ имаме: $2 \mathrm{~b}+\mathrm{b}=120$, т.е. $\mathrm{b}=40 \mathrm{~m}$, a $\mathrm{a}=80 \mathrm{~m}$. Плоштнната на нивата е: $\mathrm{P}=80 \cdot 40-3200 \mathrm{~m}^{2}=32$ ари. Од еден ар се добива $50 \mathrm{~kg}$; следува дека вкупно е добиено $32.50=1600 \mathrm{~kg}$ пченица.

## VI одделение

1. Најди дропка еднаква на $\frac{5}{7}$ на која збирот од броителот и именителот ќе биде 60 .
2. Квадратна нива со плоштина $6162,25 \mathrm{~m}^{2}$ треба да се загради со три реда жица. Колку жица е потребно за заградување на нивата?
3. Колку страни има многуаголник ако бројот на страните му е два пати поголем од бројот на дијагоналите повлечени од едно теме ?
4. Во рамнокрак триаголник $\mathrm{ABC}(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BC}})$, со периметар $22 \mathrm{~cm}$, повлечена е медијана $\mathrm{AA}_{1}$. Периметрите на триаголниците $\mathrm{ABA}_{1}$ и $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{C}$ соодветно се $17 \mathrm{~cm}$ и $19 \mathrm{~cm}$. Да се определат должините на страните на $\triangle \mathrm{ABC}$.

## VI одделение

1. За да ја добиеме бараната дропка, треба дропката $\frac{5}{7}$ да ја проширнме со некој број $k(k \neq 0)$ т.е. $\frac{5}{7}=\frac{5 k}{7 k}$. Од $5 k+7 k=60$, следи $k=5$. Оттука следува дека бараната дропха е $\frac{25}{35}$.
2. Од тоа ито плоштината на квадратот $e$ a $\mathrm{a}^{2}$ имаме: $\mathrm{a}^{2}=6162.25$. т.е. $\mathrm{a}=\sqrt{6162,25}=78,5$. Обиколката на нивата e: $L=4.78 .5=314 \mathrm{~m}$, а за заградување на нивата e употребено $314.3=942 \mathrm{~m}$ жица.
3. Ако со п го означиме бројот на страните на многуаголникот, тогаш од едно теме можат да се повлечат п-3 дијагонали.

$\mathrm{n}=2(\mathrm{n}-3)$, т.e. $\mathrm{n}=6$.

4. Види: VIII р.н. VI/4.

## VII одделение

1. Запиши ја во форма на полином во нормален вид формулата за пресмеот дел од цртежот. тување на плоштината на шрафирани-

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_cc5aa174d41ea259b239g-4.jpg?height=245&width=558&top_left_y=308&top_left_x=882)

2. Во равенката $(k+2) x-k y=(k-1) y+x-15$ одреди го параметарот $k$ така што таа да биде задоволена за $x=2$ и $\mathrm{y}=3$.
3. Конструирај рамнокрак трапез ако е дадена поголемата основа а, кракот с и дијагоналата R.
4. Дијаметарот $\mathrm{AB}$ на кружницата $\mathrm{k}$ е продолжен до произволна точка $\mathrm{C}$, а низ С е повлечена секантата $\mathrm{CDE}$ на кружницата $\mathrm{k}$, така што $\overline{\mathrm{CD}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}}$.

Докажи дека: $\angle \mathrm{AOE}=3 \cdot \angle \mathrm{OCD}$.

VII одделенне

1. Плоштината на шрафираниот дел на фигурата од цртежот е:

$$
\begin{aligned}
& P=(5 a+3) \cdot(3 a-1)-\frac{1}{2}(5 a+3) \cdot \frac{1}{3}(3 a-1)=(5 a+3) \cdot(3 a-1)- \\
& -\frac{1}{6}(5 a+3) \cdot(3 a-1)=\frac{5}{6}(5 a+3)(3 a-1)=\frac{5}{6}\left(15 a^{2}+4 a-3\right)= \\
& =\frac{25}{2} a 2+\frac{10}{3} a-\frac{5}{2}
\end{aligned}
$$

2. Ако во дадената равенка ги замениме $x$ и у со дадените вредности ќе добиеме: $(k+2) \cdot 2-k \cdot 3=(k-1) \cdot 3+2-15 ; \quad 2 k+4-3 k=3 k-3-13 ; \quad-4 k=12 ; \quad k=3$
3. Ааллиза: Нека задачата е решена. Триаголникот $\mathrm{ABC}$ може да се конструира со дадените страни а, с и f. Темето D од трапезот ќe го одредиме со конструкција на $\triangle \mathrm{ABD}$ со страни а, с иf

Конструкивја: Ги конструираме триаголницнте $\mathrm{ABC}$ и ABD со дадените странн a, с и f.

Доказ: Доказот е очигледен од самата конструкција, бидејки трапезот гн содржи дадените елементи . Дискусшја: Задачата има единствено решение, ако страните a, с и f то задоволуваат условот: Која и да било страна на триаголникот е помала од збирот на другите две. а поголема од нивната разлика, т.е. $|c-f|<a<c+f$.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_cc5aa174d41ea259b239g-5.jpg?height=528&width=396&top_left_y=826&top_left_x=1015)

4. Од $\overline{\mathrm{CD}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}}$, следува дека $\triangle O C D$ е рамнокрак и $\angle \mathrm{OCD}=\angle \mathrm{COD}$

$\triangle \mathrm{ODE}$ е рамнохрак $(\overline{\mathrm{OD}}=\overline{\mathrm{OE}})$ и $\angle \mathrm{ODE}=\angle \mathrm{OED}$ $\angle O D E$ е надворешен агол на $\triangle O C D$ и тој е еднаков на збирот од двата внатрешвн несоседни агли, т.е. $\angle O D E=\angle C O D+\angle O C D$...(3)

Од (1) следува $\angle \mathrm{ODE}=2 \angle \mathrm{OCD}$ и $\angle \mathrm{OED}=2 \angle \mathrm{OCD}$.

$\angle A O E$ е надворешен агол на $\triangle O C E$.

$\angle A O E=\angle O C D+\angle O E D$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_cc5aa174d41ea259b239g-5.jpg?height=248&width=409&top_left_y=1544&top_left_x=1055)

Од (2) и (3) следува:

$\angle A O E=\angle O C D+2 \angle O C D=3 \angle O C D$.

## VIII одделение

1. Докажи дека бројот хуху е делив со 101 .
2. Страните a, b, c на $\triangle A B C$ се однесуваат како 4:6:7. Триаголник $A_{1} B_{1} C_{1}$ сличен на дадениот има периметар $L_{1}=102 \mathrm{~cm}$. Најди ги страните на $\Delta A_{1} B_{1} C_{1}$.
3. Еден индиски махараџа на своите 6 синови им оставил дијаманти со еднаква вредност и наредил да ги поделат така што најстариот син да добие $\frac{1}{7}$ од дијаманти'е и уште 1 , вториот $\frac{1}{7}$ од останатите и уште 2 , третиот $\frac{1}{7}$ од останатите и уште 3 итн. и најмалиот $\frac{1}{7}$ од останатите и уште 6 дијаманти. На крајот сите синови добиле по ист број дијаманти. Колку вкупно дијаманти оставил махараџата и по колку добил секој од синовите?
4. На страната $\mathrm{AC}$ од $\triangle \mathrm{ABC}$ е нанесена отсечката $\overline{\mathrm{AM}}=\overline{\mathrm{AB}}$, а на продолжението на страната СA, преку $\mathrm{A}$, почнувајќи од $\mathrm{A}$, отсечката $\overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{AB}}$. Докажи дека :

a) BM и BP се нормални на симетралите на аглите CAB, односно BAP;

б) $\triangle$ PBM е правоаголен и да се пресмета него́виот периметар ако $\overline{\mathrm{AB}}=3 \mathrm{~cm}$ и $\angle \mathrm{MPB}=30^{\circ}$.

## VIII одתелепве

1. Ако даденнот број го запишеме во полиномна форма нмаме:

$$
\overline{x y x y}=10^{3} x=10^{2} y+10 x+y=1010 x+101 y=101(10 x+y)
$$

Оттука следува дека $101 \mid \overline{x y x y}$.

2. Нека a, b и с се страни на $\triangle A B C$, a $a_{1}, b_{1}$ п c cтрани на $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$.

Од a:b:c=4:6:7 в a:b:c=a $a_{1}: b_{1}: c_{1}$ следувa:

$$
\begin{gathered}
a_{1}: b_{1}: c_{1}=4: 6: 7, \text { r.e. } a_{1}=4 k, b_{1}=6 k, c_{1}=7 k, a \\
L_{1}=a_{1}+b_{1}+c_{1}=17 \mathrm{k} .102=17 \mathrm{k} ; \quad k=6, a \quad a_{1}=4.6=24 \mathrm{~cm}, b_{1}=6 \cdot 6=36 \mathrm{~cm}, c_{1}=7.6=42 \mathrm{~cm} .
\end{gathered}
$$

3. Со решавањето на задачата ке почнеме од бројот на днјамантите на најмалиот (шестиот) син. Нека х е бројот на дијамантите што останале од петтиот син.

$$
\text { Шестиот син добмл } \frac{1}{7} \text { од x и уште } 6 \text { днјаманти, }
$$

итто значм дека $7 \mid x$, т.е. $x=7 k$ и $x-k=6$.

Од дадените равенства се добива $k=1 \mathrm{k} x=7$, т.е. секој од снновнте добил по 7 , а махараџата оставил вкупно 6.7=42 дијаманти.

4. а) Од условот $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AM}}$ (види цртеж) следува дека $\triangle A B M$ е рамнокрак со основа BM, а AN e висината повлечена кон основата, т.e. BM $\perp \mathrm{AN}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_cc5aa174d41ea259b239g-7.jpg?height=394&width=351&top_left_y=812&top_left_x=1055)

Висината повлечена кон основата и снметралата на аголот при врвот на рамнокракиот триаголннк се совпағаят, што значн дска ВМ е нормала на симетралата на аголот САВ. Триаголникот РАВ е рамнокрак со основа РB. Од нсти причини и PB е нормална на симетралата на аголот PAB, т.е. AQ $\perp \mathrm{PB}$.

6) Отсечките $A Q$ и AN се симетрали на два напоредни аглн, што значи дека тие се метусебе нормални, т.е. $A Q \perp A N$.

Бидејкии $A Q \perp P B, A N \perp B M$ и $A Q \perp A N$ следува дека $P B \perp M B$, т.е. $\triangle P B M$ е правоаголен со прав атол во темето B.

Катетата $\overline{\mathrm{BM}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{PM}}=\frac{1}{2} \cdot 6=3 \mathrm{~cm}, 6$ бдејќи ВМ е катета на правоаголен триаголник спроти агол од 300 .

$$
\begin{aligned}
\overline{\mathrm{BP}} & =\sqrt{\overline{\mathrm{PM}}^{2}-\overline{\mathrm{BM}}^{2}} ; \\
\overline{\mathrm{BP}} & =\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{27}=3 \sqrt{3} \mathrm{~cm} . \\
\mathrm{L} & =\overline{\mathrm{BP}}+\overline{\mathrm{BM}}+\overline{\mathrm{PM}} ; \\
\mathrm{L} & =3 \sqrt{3}+6+9=3(\sqrt{3}+3) \mathrm{cm} .
\end{aligned}
$$