# II РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ
Задачите и решенијата се скенирани од книгата
Регионални натпревари по математика 83-95
Подготвена од Боривое Миладиновиќ
## V одделение
1. Дадена е кружница $\mathrm{k}(0 ; 24 \mathrm{~mm}$ ). Точката $\mathrm{M}$ е оддалечена од центарот $\mathrm{O}$ за $40 \mathrm{~mm}$. Определи го најголемото и најмалото растојание од точката $\mathrm{M}$ до кружницата. Направи цртеж.
2. Дадени се множествата $\mathrm{E}=\{1,2,3\}, \mathrm{F}=\{4,5,6\}$ и $\mathrm{G}=\{7,8\}$. Утврди дали се вистинити следниве искази:
a) $G x(E \cap F)=(G x E) \cap(G x F)$;
б) $G x(E \backslash F)=(G x E) \backslash(G x F)$. 8. Збирот на шест последователни природни броеви е 1287. Кои се тие бро-
еви?
3. Колку ламарина е потребно да се направи олук во форма на квадар чии димензии се $12 \mathrm{~cm}, 2 \mathrm{dm}$ и $3 \mathrm{dm}$ ?
$V$ oдreлемие
1. Најблиската и најодалечената точка на кружницата од точката $М$ се точките $\mathrm{A}$ и $\mathrm{B}$, во кон правата МО ја сече хружницата. $\overline{\text { MA }}=\overline{\text { MO}}-\overline{A O} ; \overline{\text { MA }}=40-24=16 \mathrm{~mm}$ $\overline{\mathrm{MB}}=\overline{\mathrm{MO}}+\overline{\mathrm{OB}}=40+24=64 \mathrm{~mm}$.
2. Дадени се множествата: $E=\{1,2,3\}, F=\{4,5,6\}$ и $\mathrm{G}=\{7,8\}$.
a) $E \cap F=\varnothing ; G \times(E \cap F)=\{7,8\} \times \varnothing=\varnothing$;
$\operatorname{GxE}=\{7,8\} \times\{1,2,3\}=\{(7,1) ;(7,2) ;(7,3) ;(8,1) ;(8,2) ;(8,3)\}$
$\mathrm{GxF}=\{7,8\} \times\{4,5,6\}=\{(7,4) ;(7,5) ;(7,6) ;(8,4) ;(8,5) ;(8,6)\}$
(GXE)n(GxF) $\varnothing$.
б) $\mathrm{EFF}=\{1,2,3\} \backslash 4,5,6\}=\{1,2,3\}$
$\operatorname{Gx}(\mathrm{EY})=\{7,8\} \times\{1,2,3\}=\{(7,1) ;(7,2) ;(7,3) ;(8,1) ;(8,2) ;(8,3)\}$
$(\operatorname{GxE})(\mathrm{GPF})=\{(7,1),(7,2),(7,3),(8,1),(8,2),(8,3)\}$.
Според тоа двете равенства се точни.
3. $x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)=1287$;
$6 x+15=1287$;
$6 \mathrm{x}=1287-15=1272$
$\mathrm{x}=1272: 6=212$.
Тие броевн се: $212,213,214,215,216,217$.
4. Бараната ламарина претставува обвнвката на олук во форма на квадар. Плоштината $M=2(a c+b c)$. Бидејќи $\mathrm{a}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{~b}=20 \mathrm{~cm}, \mathrm{c}=300 \mathrm{~cm}$, имаме:
$M=2(12 \cdot 300+20 \cdot 300)=19200 \mathrm{~cm}^{2}=192 \mathrm{dm}^{2}$.
## VI одделение
1. Еден автомобил за 3 часа поминал $320 \mathrm{~km}$. Првиот час поминал 0,325 од овој пат, а вториот час 0,75 од преостанатиот дел од патот. Колкав пат поминал автомобилот третиот час ?
2. Две отсечки со заедничка внатрешна точка се поделени така што поголемиот дел на првата отсечка два пати е поголем од поголемиот дел на втората отсечка, а помалиот дел на другата отсечка три пати е поголем од помалиот дел на првата отсечка. Првата отсечка е за $3 \mathrm{~cm}$ подолга од втората. Колку се долги тие две отсечки ако помалиот дел од првата отсечка за $2 \mathrm{~cm}$ е покус од помалиот дел на втората отсечка?
3. Сашко, Јован и Биљана заработиле заедно 4000 денари. Заработувачките на Сашко и Јован се однесуваат како $7 \frac{1}{2}: 1 \frac{3}{4}$. Биљана заработила $\frac{13}{30}$ од Сашковата заработувачка. Колку заработил секој од нив ?
4. Над кракот на рамнокрак триаголник конструиран е рамностран триаголник. Периметарот на така добиената фигура е $26 \mathrm{~cm}$. Одреди ги страните на тие триаголници, ако кракот на рамнокракиот триаголник е за $2 \mathrm{~cm}$ подолг од неговата основа.
## VI одделенне
1. Првиот час автомобилот помннал $320 \cdot 0,325=104 \mathrm{~km}$, вториот ( $320-320-0,325) \cdot 0,75=$ $=162 \mathrm{~km}$, а третиот час $320-(104+162)=54 \mathrm{~km}$.
2. Од условот на задачата имаме: $\overline{\mathrm{AM}}=2 \overline{\mathrm{CM}}$; $\overline{\mathrm{DM}}-\overline{\mathrm{BM}}=2 \mathrm{~cm}$;
$\overline{\mathrm{DM}}=3 \overline{\mathrm{BM}}, \overline{\mathrm{AB}}-\overline{\mathrm{CD}}=3 \mathrm{~cm} ., \mathrm{OA} \overline{\mathrm{DM}}=3 \overline{\mathrm{BM}}$ и
$\overline{\mathrm{DM}}-\overline{\mathrm{BM}}=2$ cregh $了 \overline{\mathrm{BM}}-\overline{\mathrm{BM}}=2 ; 2 \overline{\mathrm{BM}}=2$; $\widehat{B M}=1 \mathrm{~cm} A \overline{D M}=3 \mathrm{~cm}$.
$\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AM}}+\overline{\mathrm{MB}}=\overline{\mathrm{AM}}+1=2 \overline{\mathrm{CM}}+1$
$\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{CM}}+\overline{\mathrm{MD}}=\overline{\mathrm{CM}}+3.0 \mathrm{~A} \overline{\mathrm{AB}}-\overline{\mathrm{CD}}=3$ имаме
$2 \overline{\mathrm{CM}}+1-(\overline{\mathrm{CM}}+3)=3 \Rightarrow \overline{\mathrm{CM}}=3+3-1=5 \mathrm{~cm}$.
$\overline{\mathrm{AB}}=2 \cdot 5+1=11 \mathrm{~cm} . \overline{\mathrm{CD}}=5+3=8 \mathrm{~cm}$.
3. Ако С, Ј и 6 се првите букви на нмината на Сашка, Јован и Биљана, тогаші иквните заработувачки се: $\mathrm{C}: \mathrm{J}=7 \frac{1}{2}=1 \frac{3}{4}$. Со користене вs својствата пна пропорипја, истата ја заменуваме co:C: $7 \frac{1}{2}=\mathrm{J}: 1 \frac{3}{4}=\mathrm{k} ; \mathrm{C}: 7 \frac{1}{2}=\mathrm{k}$ т.e. $\mathrm{C}=\frac{15}{2} \mathrm{k} ; \mathrm{J}: 1 \frac{3}{4}=\mathrm{k}$ т.e. $\mathrm{J}=\frac{7}{4} \mathrm{k}$. Биљана ќе заработи $\frac{13}{30}$ од заработувачката на Сашко т.е. $\mathrm{B}=\frac{13}{30} \cdot \frac{15}{2} \mathrm{k}=\frac{13}{4} \mathrm{k}$.
Бидејки тие вхупно заработкле 4000 денари, тогапи $\frac{15}{2} k+\frac{7}{4} k+\frac{13}{4} k=4000$, од каде добиваме $\frac{50}{4} \mathrm{k}=4000 ; \mathrm{k}=320$. Сашко заработнл $\frac{15}{2} \cdot 320=2400$ денярн.
Іован заработил $\frac{7}{4} \cdot 320=560$ денари.
Биљавка зарайотита $\frac{13}{4} \cdot 320=1040$ денари.
4. Бараната фигура е четирнвголникот ABMC чни первметар е: $\mathrm{L}=\mathrm{a}+3 \mathrm{~b}=26$. Бидејки b=a+2, тогаш: $a+3(a+2)=26$;
$a+3 a+6=26$; $4 a=20$;
$\mathrm{a}=5 \mathrm{~cm}$ и $\mathrm{b}=7 \mathrm{~cm}$.
## VII одделенне
1. Една пумпа за вода дава $72 \mathrm{~m}^{3}$ вода за 4 часа и 12 минути. За колку време ќе даде $2140 \mathrm{~m}^{3}$ вода?
2. Дадени се полиномите: $A=2 x^{2}-3 x+4 ; B=x^{2}-2 x-3 ; c=3 x^{2}-8 x+5$. Одреди ја вредноста на $\mathrm{x}$ ако $2 \mathrm{~A}-\mathrm{B}-\mathrm{C}=0$.
3. Да се конструира трапез ако збирот од основите $\mathrm{a}+\mathrm{b}=12$, висината $\mathrm{h}=5 \mathrm{~cm}$ и аглите на поголемата основа се $\alpha=75^{\circ}$ и $\beta=45^{\circ}$.
4. Во рамнокрак триаголник основата е $\frac{4}{7}$ од кракот. Ако секоја од страните на триаголникот се зголеми за $\frac{1}{7}$ од кракот, периметарот на новодобиениот триаголник ќе биде $42 \mathrm{~cm}$. Одреди ги страните на тој триаголник.
## VII oдлеление
1. I начин: Ако за $4 \frac{1}{5}$ часа пумпата да木а $72 \mathrm{~m}^{3}$ вода. тогаш за 1 час ке даде $72: 4 \frac{1}{5}=17 \frac{1}{7} \mathrm{~m}^{3}$, а $2140 \mathrm{~m}^{3}$ вода кее даде за $2140: 17 \frac{1}{7}=124 \frac{5}{6}$ часа. т.е. за 124 часа и 50 мйнути.
II начни: Задачата може да се реши и со тримена на пропорција.
$$
\uparrow \begin{array}{r}
72 \mathrm{~m}^{3} \\
2140 \mathrm{~m}^{3}
\end{array} \uparrow \begin{aligned}
& 4 \text { чaca } 12 \mathrm{mrH} . \\
& \times \text { чaca }
\end{aligned}
$$
$$
x: 4 \frac{1}{5}=2140: 72: \quad x=\frac{2140 \cdot 4 \frac{1}{5}}{72}=124 \text { часа и } 50 \text { мнн. }
$$
2. Ако да่демите полиноми ти замениме шо условот. ќ́ добиеме:
$2\left(2 x^{2}-3 x+4\right)-\left(x^{2}-2 x-3\right)-\left(3 x^{2}-8 x+5\right)=0 \Leftrightarrow 4 x^{2}-6 x+8-x^{2}+2 x+3-3 x^{2}+8 x-5=0 \Leftrightarrow 4 x-6=0 \Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$.
## 3. 1 - pemenue:
Amยлиза: Да претпоставиме дека задачата е решена т.е. дека трапезот ABCD е конструиран. На правяте AB и DC ти определуваме точкнте $\mathrm{M}$ и N. така што $\overline{\mathrm{BM}}=\overline{\mathrm{CN}}=$ b. На тој начин е добнен трапезот ABCD. за кој е познато : $\overline{A M}=a+b . \angle D A B=750 . \angle \mathrm{NMB}=450$ и $\overline{\mathrm{DD}_{1}}=\mathrm{h}$. т.е. трапезот може да се конструира. Темето С
е на средина на страната DN, a темето B кее то добиеме како пресек на правата AM и правата повлечена низ темето С паралелиа со правата MN .
## Koneтpycunga :
Во точките А в М на отсечката $\overline{\mathrm{AM}}=\mathrm{a}+\mathrm{b}$ ги конструвраме аглите $\alpha$ и $\beta$, а од пронзволна точка $D_{1}$ на АМ повлекуваме нормала на која ја нанесуваме висината $h$. Од крајната точка на висината помлекуваме права паралелна $\infty$ АМ која ги сече краците на аглите $\alpha$ и $\beta$ во точките D и N. На средината на DN е точката C, низ која повлекуваме права паралелиа со кракот MN, што ја сече правата AM во-точката B.
Доназ: Елементите на трапезот одговараат на конетрукцијата.
## II - pemenne:
Апмлма: Да претпоставиме дека задачата е решена, т.е. дека трапезот ABCD е конструиран.
Средната линија на трапезот $\overline{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}$. Ннз средните точки М и N на краците на трапезот, конструирани се аглите $\alpha$ и $\beta$. Краците на аглите гн сечат паралелните прави р и q. коп се на
растојание на дадената висниа. Пресечните точхи се темиња на трапезот.
Конструкцијата извршн ја сам.
## 4. Нека а е основата, a b кракот на триаголникот.
кои го задоволуваат условот $\mathrm{a}=\frac{4}{7}$. Ако $\mathrm{al}_{\text {в }}$ b। се страните на новнот трнаголник, шгто се зголеми за $\frac{1}{7}$ од кракот $b$, тогат $a_{1}=a+\frac{1}{7} b=\frac{4}{7} b+\frac{1}{7} b=\frac{5}{7} b$. $b_{1}=b+\frac{1}{7} b=\frac{8}{7}$. Периметарот на щовиот траголних e: $\mathrm{L}=\mathrm{a}_{1}+2 \mathrm{~b}_{1}=42 \mathrm{~cm}$;$\frac{5}{7} b+2 \cdot \frac{8}{7} b=42$, од каде добнваме дека:
$3 b=42 ; b=14 \mathrm{~cm} \quad \mathrm{a}=\frac{4}{7} \cdot 14=8 \mathrm{~cm}$.
## VIII одделение
1. Дадена е функцијата $y=(k-2) \cdot x+2 \cdot x-5$. Опредеди го параметарот $k$ така што:
a) графикот на функцијата да поминува низ точката $M(3,4)$;
б) за најдената вредност на $k$ одреди ја плоштината на триаголникот што го образуваат графикот на функцијата и координатните оски.
2. Бројот 1440 реаздели го на три дела така што тие се однесуваат како 2:3:4.
3. Конструирај кзадрат што е еквивалентен на делтоид, чии дијагонали се долги $\mathrm{d}_{1}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{~d}_{2}=7 \mathrm{~cm}$.
4. Во правоаголен триаголник $\mathrm{ABC}(\mathrm{AC} \perp \mathrm{BC}$ ) со должина на страните $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ и с е впишана кружница со радиус $r$. Докажи дека $r=\frac{a+b-c}{2}$.
## VIII oдтелепве
1. а) Ако ти заменнме координатуте на точката $x=3$ и $y=4$ во дадената функщва, тorau $4=(k-2) \cdot 3+2 \cdot 3-5 \Leftrightarrow 3 k=9 \Leftrightarrow k=3$.
6) За $k=3$ фуикцрјата е $y=3 x-5$, чиј график e претставен на цртежот. Бараннот трнаголннк е правоаголен со катети $b=5$ и а за која $3 a-5=0$, T.e. $a=\frac{5}{3} \cdot p=\frac{1}{2} a \cdot b=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{5}{3}=\frac{25}{6}$
2. Нека деловите a, b и с се со з6ир 1440, a a:b:c=2:3:4. Од дадената пропорцвја имаме $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{k}{4} a=2 k ; b=3 k ; c=4 k .2 k+3 k+4 k=1440 \Leftrightarrow 9 k=1440 \Leftrightarrow k=160$. 234 Деловнте се: $a=320, b=480$ п $c=640$.
3. Aвапмва: Бндејки квадратот е екркватентен со делтондот, тоа значи дека неговата плоштяна е:
$\mathrm{P}=\frac{\mathrm{d}_{1} \mathrm{~d}_{2}}{2}=\frac{6 \cdot 7}{2}=21 \mathrm{~cm}^{2}$. Страната а на квадраратот е катета на правоаголниот трнаголник со хипотенуза $5 \mathrm{~cm}$ в катета $2 \mathrm{~cm}$.
Кошструкцада Конструвраме правоаголен трнаголник $\mathrm{ABC}$ оо катета $\overline{\mathrm{AC}}=2 \mathrm{~cm}$ и хнпотенуза $\overline{\mathrm{AB}}=5$ $\mathrm{cm}$. Катетата a $=\overline{\mathrm{BC}}$ е страна на бараниот квадрат BCMN .
Доказ: Квадратот BCMN е бараннот, бидејки ието вата плошттна е: $\mathrm{P}^{-2}{ }^{2}=5^{2}-2^{2}=21 \mathrm{~cm}^{2}$.
Дескусмја: Задачата вма едннствено решение, бидејки со хипотенузата с и катетата b ( $>$ b) трнаголникот $\mathrm{ABC}$ е еднозначно определен.
4. Нека а и b се катети, а с хипотенузата на правоаголниот трнаголннк. Бидејки радиусот на кружницата е нормален на страната во допщрната точка, следува четирнаголникот $\mathrm{CB}_{1} \mathrm{OA}_{1}$ е квадрат со страна r. $\overline{\mathrm{AB}_{1}}=\mathrm{b}-\mathrm{r}$ и $\overline{\mathrm{BA}_{1}}=\mathrm{a}-\mathrm{r}$. Страните на триаголннкот се тангенти на кружницата . Според тoa: $\overrightarrow{\mathrm{AC}_{1}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}_{1}}=b-r$; $\overline{\mathrm{BC}_{1}}=\overline{\mathrm{BA}_{1}}=\mathrm{a}-\mathrm{r} ; \mathrm{c}=\overline{\mathrm{AC}_{1}}+\overline{\mathrm{BC}_{1}}=b-r+a-r$;
$c=b+a-2 r$ т.e. $r=\frac{a+b-c}{2}$.