# 47. ročník matematické olympiády 

## Úlohy II. kola kategorie B

1. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic

$$
\begin{aligned}
& x y=a x+a y, \\
& x z=2 x+2 z, \\
& y z=3 y+3 z,
\end{aligned}
$$

kde $a$ je reálný parametr. Proved'te diskusi o počtu řešení vzhledem k parametru $a$.

2. Popište konstrukci trojúhelníku $A B C$, v němž při obvyklém označení platí $t_{a}=9 \mathrm{~cm}$, $t_{b}=12 \mathrm{~cm}$ a $3 c=2 t_{c}$.
3. Je dána čtvercová tabulka $3 \times 3$ přirozených čísel, v níž je součin všech čísel v každém řádku, v každém sloupci i na obou úhlopřičkách roven číslu $s$.

a) Dokažte, že číslo $s$ je třetí mocninou přirozeného čísla.

b) Pokud je jedno z rohových čísel tabulky rovno 1, je součet všech čtyř rohových čísel druhou mocninou přirozeného čísla. Dokažte.

4. V daném ostroúhlém trojúhelníku $A B C$ označme $A_{1}, B_{1}$ paty výšek z vrcholio $A, B$. Určete velikosti jeho vnitřních úhlů při vrcholech $B$ a $C$, je-li velikost úhlu $B A C$ rovna $40^{\circ}$ a jsou-li poloměry kružnic vepsaných trojúhelníkům $A_{1} B_{1} C$ a $A B C$ v poměru $1: 2$.

II. kolo kategorie B se koná

## v úterý 31. března 1998

tak, aby začalo dopoledne a aby soutěžící měli na řešení úloh 4 hodiny čistého času. Za každou úlohu může soutěžící získat 6 bodů, úspěšným řešitelem je ten žák, který získá 10 bodů nebo více. Tyto údaje se žákům sdělí před zahájením soutěže.

1. Z druhé a třetí rovnice, které upravíme do tvaru

$$
x(z-2)=2 z, \quad y(z-3)=3 z
$$

plyne podmínka $z \notin\{2,3\}$ a vyjádření

$$
x=\frac{2 z}{z-2}, \quad y=\frac{3 z}{z-3}
$$

Jejich dosazením do první rovnice soustavy dostaneme

$$
\frac{6 z^{2}}{(z-2)(z-3)}=\frac{2 a z}{z-2}+\frac{3 a z}{z-3}
$$

a po úpravě

$$
z((6-5 a) z+12 a)=0
$$

Odtud plyne, že je bud' $z=0$ (pak $x=y=0$ ), nebo (za předpokladu $a \neq \frac{6}{5}$ )

$$
z=\frac{12 a}{5 a-6}
$$

odkud podle (1) dostáváme řešení

$$
x=\frac{12 a}{a+6}, \quad y=\frac{12 a}{6-a}, \quad z=\frac{12 a}{5 a-6} .
$$

Přitom podmínka $z \notin\{2,3\}$ je ekvivalentní podmínce $a \notin\{-6,6\}$. Navíc si všimněme, že pro $a=0$ dává (2) řešení $x=y=z=0$. Toto řešení zřejmě soustavě vyhovuje při libovolném reálném $a$.

Závěr. Pro $a \in\left\{-6,0, \frac{6}{5}, 6\right\}$ má soustava jediné řešení $x=y=z=0$, pro zbývající reálná $a$ má soustava navíc i nenulové řešení (2).

Jiné řešení. Trojice $x=y=z=0$ je řešením dané soustavy. Z druhé a třetí rovnice plyne, že pokud je jedno z čísel $x, y, z$ rovno nule, jsou nulová i zbývající dvě. Proto dále předpokládejme, že $x y z \neq 0$. Pak nutně i $a \neq 0$. Soustavu přepíšeme do tvaru

$$
\frac{1}{a}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}, \quad \frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{z}, \quad \frac{1}{3}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}
$$

To je soustava lineární vzhledem k neznámým $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$. Snadno najdeme její (jediné) řešení

$$
\frac{1}{x}=\frac{1}{12}+\frac{1}{2 a}, \quad \frac{1}{y}=-\frac{1}{12}+\frac{1}{2 a}, \quad \frac{1}{z}=\frac{5}{12}-\frac{1}{2 a} .
$$

Odtud určíme trojici

$$
x=\frac{12 a}{a+6}, \quad y=\frac{12 a}{6-a}, \quad z=\frac{12 a}{5 a-6}
$$

která je řešením, pokud $a \notin\left\{-6,6, \frac{6}{5}\right\}$.

Závěr. Pro $a \in\left\{-6,0, \frac{6}{5}, 6\right\}$ má soustava jediné řešení $x=y=z=0$; pro ostatní hodnoty a má soustava i druhé řešení (3).

Za úplné řešení úlohy udělte 6 bodů.

2. Označme $T$ tě̌̌iště uvažovaného trojúhelníku $A B C, S$ střed jeho strany $A B$. Z podmínky $3 c=2 t_{c}$ plyne $\frac{1}{3} t_{c}=\frac{1}{2} c$. Platí tedy $|S A|=|S B|=|S T|=\frac{1}{2} c$. To znamená, že bod $S$ je středem kružnice opsané trojúhelníku $A B T$, která je Thaletovou kružnicí sestrojenou nad průměrem $A B$. Platí proto $|\Varangle A T B|=90^{\circ}$. Odtud již bezprostředně plyne konstrukce:

Nejprve podle věty sus sestrojíme trojúhelník $A B T$, v němž platí

$$
|A T|=\frac{2}{3} t_{a}=6 \mathrm{~cm}, \quad|B T|=\frac{2}{3} t_{b}=8 \mathrm{~cm} \quad \text { a } \quad|\Varangle A T B|=90^{\circ},
$$

a dále už snadno sestrojíme trojúhelník $A B C$.

Úloha má právě jedno řešení.

Za úplné řešení a sestrojení trojúhelníku $A B C$ udělte 6 bodů.

3. Uvažujme čtvercovou tabulku $3 \times 3$ (obr.1) splňující podmínky úlohy.

| $a$ | $b$ | $c$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $d$ | $e$ | $f$ |
| $g$ | $h$ | $i$ |

Obr. 1

a) Z tabulky je patrné, že pro uvažovaný součin $s$ platí

$$
s=\frac{(a e i)(d e f)(g e c)}{(a d g)(c f i)}=e^{3} .
$$

Číslo $s$ je tedy třetí mocninou přirozeného čísla $e$, které je umístěno uprostřed tabulky.

b) Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že $a=1$ (otočením tabulky o $90^{\circ}$ nebo o $180^{\circ}$ se uvažované vlastnosti tabulky nezmění). Vzhledem k výsledku části a) ze součinu čísel na obou úhlopřričkách zjistíme, že musí být $i=e^{2}$ a $c=\frac{e^{2}}{g}$. Ze součinu čísel v třetím řádku pak dostaneme, že $h=\frac{e}{g}$, a ze součinu čísel v třetím sloupci $f=\frac{g}{e}$. Protože $h$ i $f$ jsou přirozená čísla, musí být $e=g$, a proto také $h=f=1$. Uvažovaná čtvercová tabulka je tedy typově shodná s tabulkou na obr. 2. Odtud plyne, že součet všech čtyř čísel v jejích rohových polích je

$$
a+c+g+i=1+e+e+e^{2}=(1+e)^{2}
$$

což je druhá mocnina přirozeného čísla. Tím je důkaz hotov.

| 1 | $e^{2}$ | $e$ |
| :---: | :---: | :---: |
| $e^{2}$ | $e$ | 1 |
| $e$ | 1 | $e^{2}$ |

Obr. 2 Za úplné řešení udělte 6 bodů, přitom za důkaz části a) maximálně 2 body.

4. Označme $\alpha, \beta, \gamma$ velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku $A B C$. Paty výšek $A_{1}$ a $B_{1}$ (obr.3) leží na Thaletově kružnici s průměrem $A B$, čtyřúhelník $A B A_{1} B_{1}$ je tedy tětivový a pro jeho protější úhly platí $|\Varangle C A B|+\left|\Varangle B A_{1} B_{1}\right|=180^{\circ}$. Je tudíž $\left|\Varangle B_{1} A_{1} C\right|=\alpha$, takže trojúhelníky $A B C$ a $A_{1} B_{1} C$ jsou podobné podle věty uu.

Označíme-li $\varrho$ a $\varrho_{1}$ poloměry kružnic vepsaných po řadě trojúhelníkům $A B C$ a $A_{1} B_{1} C$, plyne ze zmíněné podobnosti

$$
\cos \gamma=\frac{\left|B_{1} C\right|}{|B C|}=\frac{\left|A_{1} C\right|}{|A C|}=\frac{\varrho_{1}}{\varrho}=\frac{1}{2},
$$

takže $\gamma=60^{\circ}$. Vzhledem k tomu, že $\alpha=40^{\circ}$, dostáváme konečně $\beta=80^{\circ}$.

Tím je úloha vyřešena.

Za úplné vyřešení úlohy udělte 6 bodů, přitom za důkaz podobnosti podobnosti trojúhelníků $A B C$ a $A_{1} B_{1} C$ dejte 3 body.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_95cd66dd41f619cc2db4g-4.jpg?height=363&width=442&top_left_y=496&top_left_x=1427)

Obr. 3