# Úlohy domácího kola kategorie C 

1. Je dáno čtyřmistné čislo (v desitkové soustavě). Změnou pořadí jeho črslic lze sestavit právě osm dalšich čtyřmistných čisel. Součet nejmenšich tři ze všech těchto devíti čisel je 12528 . Určete čislice daného čisla.

ŘEŠENí. Nejprve zjistíme, kolik čtyřciferných čísel je možné sestavit z pevně zvolené čtveřice číslic. $\mathrm{V}$ dalších úvahách budeme nenulové cifry značit malými písmeny. Různá písmena nikdy neoznačují tutéž číslici, symbol 0 značí nulu.

Čtveřice číslic $a, a, a, a$ a $a, 0,0,0$ určují každá jen jedno čtyřciferné číslo, cifry $a, a, a, 0$ tři: $a a a 0, a a 0 a, a 0 a a$. Z číslic $a, a, a, b(a \neq b)$ je možné sestavit pouze čtyři čtyřciferná čísla: $a a a b, a a b a, a b a a, b a a a$.

$\mathrm{Z}$ cifer $a, a, 0,0$ sestavíme jen tři čísla $a a 00, a 0 a 0, a 00 a$. Pro cifry $a, a$, $b, b(a \neq b)$ máme celkem šest možností: $a a b b, a b a b, a b b a, b a a b, b a b a, b b a a$. To je pořád málo.

Císlice $a, a, b, 0$ určují právě devět čísel: $a a b 0, a a 0 b, a b a 0, a b 0 a, a 0 a b$, $a 0 b a, b a a 0, b a 0 a, b 0 a a$. Analogickým postupem zjistíme, že vyšetřování dalších možností již k počtu 9 nevede. Přehled všech možných výsledkư je uveden v následující tabulce.

| Typ | $a 000$ | $a a a a$ | $a a a 0$ | $a a a b$ | $a a 00$ | $a a b b$ | $a a b 0$ | $a b 00$ | $a a b c$ | $a b c 0$ | $a b c d$ |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| Počet | 1 | 1 | 3 | 4 | 3 | 6 | 9 | 6 | 12 | 18 | 24 |

Dané číslo má tedy cifry $a, a, b, 0$, kde $a, b$ jsou různé nenulové číslice.

Rozlišme dvě situace a zapišme $\mathrm{v}$ každé $\mathrm{z}$ nich písemné sčítání tří nejmenších čísel:

$$
\begin{array}{rr}
\text { I. } a<b & \text { II. } \quad a>b \\
a 0 a b & b 0 a a \\
a 0 b a & b a 0 a \\
a a 0 b & \quad b a a 0 \\
\hline 12528 & 12528
\end{array}
$$

V případě I je z levých dvou sloupců zřejmé, že $a=4$, a z pravého sloupce obdržíme $2 b+4=8$ nebo $2 b+4=18$. Podmínce $a<b$ vyhovuje jen $b=7$. Snadno se přesvědčíme, že cifry $a=4$ a $b=7$ jsou řešením úlohy.

Ve II. případě je z pravých dvou sloupců vidět, že číslo $2 a$ má poslední číslici 8 a zároveň 2 nebo 1 . To však není možné.

Jiná možnost vyřešení situace I: Naznačený součet můžeme přepsat ve tvaru $3000 a+100 a+10(a+b)+a+2 b=12528$. Úpravou snadno zjistíme, že $a=4+\frac{28-4 b}{1037}$. Z podmínky, že poslední zlomek je celé číslo $k$, vyjde $b=7-\frac{1037 k}{4}, a=4+k$. Je zřejmé, že $a, b$ budou číslice jen pro $k=0$.

Analogicky lze postupovat i v případě II.

Závěr: Č́slice hledaného čísla jsou $4,4,7$ a 0.

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Určete počet všech čtyřmístných čísel, jejichž zápisy obsahují

a) dvě dvojky a dvě pětky,

b) jednu nulu, jednu trojku a dvě dvojky,

c) jednu pětku, jednu sedmičku a dvě dvojky,

d) právě po jedné $z$ číslic $0,2,3,4$.

2. Čtyřmístné číslo $A B C D$ je druhou mocninou jiného přirozeného čísla. Známe jen jeho třetí číslici $C=0$. Dále o něm víme, že $A=B+D$. Které je to číslo? [9801, viz Novoveský, Križalkovič, Lečko: Zábavná matematika, úl. 5.17.]
3. Nahradte písmena č́slicemi: $R E+M I=F A, D O+S I=M I, L A+S I=$ $=$ SOL. [DO REM IF A SOL $=40275683$ 109, L.P. Močalov: Hlavolamy, úl. 1.36.]
4. Určete číslice $a, b$ tak, aby číslo, jež je v desítkové soustavě zapsáno ve tvaru $a 0 b 5$, bylo druhou mocninou přirozeného čísla. [39. roč. MO, $\mathrm{C}-\mathrm{S}-2$.]
5. $V$ obdélníku $A B C D$ platí $|A B|>|B C|$. Oblouk $A C$ kružnice, jejiž střed leži na straně $A B$, protíná stranu $C D$ v bodě $M$. Dokažte, že přimky $A M$ a $B D$ jsou navzájem kolmé.

ŘEŠENí. Označme $S$ střed dané kružnice a $\alpha$ velikost úhlu $C A B, \alpha<45^{\circ}$ (obr. 1). Pak také $|\Varangle S A C|=|\Varangle S C A|=\alpha$, nebot trojúhelník $A S C$ je rovnoramenný. Jeho vnější úhel $B S C$ má tedy velikost $2 \alpha$. Trojúhelník $M S C$ je rovněž rovnoramenný, a proto souměrný podle osy základny $M C$. Obrazem úhlu $B S C$ v této souměrnosti je úhel $A S M$, jehož velikost je tudíž také $2 \alpha$. Z rovnoramenného trojúhelníku $A S M$ pak máme $|\Varangle B A M|=|\Varangle S A M|=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\right.$ $-2 \alpha)=90^{\circ}-\alpha$ a odtud je již kolmost přímek $A M$ a $B D$ zřejmá, nebot' $|\Varangle A B D|=|\Varangle C A B|=\alpha$.

JINÉ ŘEŠENí. Ve shodě $\mathrm{s}$ obr. 2. označme $A E$ průměr dané kružnice a $N$ patu kolmice z bodu $M$ na přímku $A B$. Z vlastností obdélníku $A N M D$ a ze symetrie vzhledem k ose strany $A E$ plyne $|D M|=|A N|=|B E|$ a navíc jsou úsečky $D M$ a $B E$ rovnoběžné. Proto je $B E M D$ rovnoběžník. Přímka $B D$ je tedy rovnoběžná $\mathrm{s}$ přímkou $M E$, která je kolmá na přímku $A M$ podle Thaletovy věty.

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Vypočítejte velikosti všech úhlů, které svírají přímky určené dvojicemi vrcholů pravidelného pětiúhelníku.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_e5b0e42720f28a498cb1g-3.jpg?height=277&width=461&top_left_y=43&top_left_x=233)

Obr. 1

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_e5b0e42720f28a498cb1g-3.jpg?height=274&width=526&top_left_y=47&top_left_x=775)

Obr. 2

2. Sestrojte trojúhelník $A B C$, je-li dáno
a) $\alpha, \beta, m=b-a>0$,
b) $v_{a}, \beta, m=b-a>0$.

[Návod: a) Načrtněte trojúhelník a na úsečce $A C$ zvolte bod $D$ tak, aby $|C D|=a$. Pak vypočítejte velikosti úhlů $A C B, B D C, B D A$ a sestrojte nejprve trojúhelník $A B D$. Úlohu lze řešit také využitím podobnosti. b) $\mathrm{Na}$ polopřímce $C B$ zvolte bod $D$ tak, aby $|C D|=b$, sestrojte nejprve trojúhelník $A B D$.)

3. Sestrojte lichoběžník $A B C D$, jsou-li dány délky jeho základen $A B, C D$ a úhlopříček $A C, B D$. [Využijte trojúhelník s délkami stran $|A B|+|C D|,|A C|$, $|B D|$.
4. $A B H K, B C G H$ a $C E F G$ jsou shodné čtverce, z nichž žádné dva se nepřekrývají. Dokažte, že platí $|\Varangle A B K|+|\Varangle A C K|+|\Varangle A E K|=90^{\circ}$. [F. Kuřina: Umění vidět v matematice, příklad 60.]
5. Zjistěte, zda je čislo $19^{1998}+98^{1999}$ dělitelné devíti.

ŘEŠENí. Položme $x=a+b$, kde $a=19^{1998}$ a $b=98^{1999}$. Zřejmě platí

$$
a=19^{1998}=(18+1)^{1998}=(18+1)(18+1) \ldots(18+1) .
$$

Kdybychom nyní všechny závorky posledního výrazu bez dalších úprav roznásobili, byly by všechny členy součtu dělitelné osmnácti až na člen, který je roven součinu všech jedniček. Proto je $a=18 m+1$, kde $m \in \mathbb{N}$. Analogicky zjistíme, že

$$
b=98^{1999}=(99-1)^{1999}=(99-1)(99-1) \ldots(99-1)
$$

a odtud $b=99 n-1$ pro vhodné $n \in \mathbb{N}$, nebot celkový počet uzávorkovaných činitelů na pravé straně je lichý.

Ćislo $x=18 m+1+99 n-1=9(2 m+11 n)$ je dělitelné devíti.

NÁVODNÁ ÚLOHA:

Necht $m, n$ jsou libovolná přirozená čísla. Dokažte, že následující čísla jsou dělitelná sedmi:
a) $1998^{2}-1991^{2}$, b) $(7 m+1)^{2}+(7 n-1)^{3}$, c) $8^{m}+13^{2 n+1}$, d) $8^{m}-13^{2 n}$ e) $50^{m}-176^{n}$.

4. Adam a Bohouš se zúčastnili turnaje hraného systémem každý s každým jednou, v němž každý hráč měl odehrát denně právě jeden zápas. Adam a Bohouš však onemocněli a jako jediní nedokončili turnaj. Bohouš odstoupil o pět dní dříve než Adam. Celkem se odehrálo 350 zápasĩ. Kolik zápasů odehrál Adam? Hrál s Bohoušem?

ŘEŠENí. Každý den byli hráči rozděleni do dvojic, v nichž měli sehrát svůj zápas. Počet všech hráčů byl tedy sudý, označme jej $2 n$. Denně se mělo odehrát $n$ zápasů, turnaj byl naplánován na $2 n-1$ dní. Předpokládejme, že Adam odstoupil $d$ dní před koncem turnaje a Bohouš $d+5$ dní před koncem.

Pokud se Adam s Bohoušem spolu utkali, odpadlo kvůli jejich nemoci z původně plánovaných $n(2 n-1)$ utkání tolik zápasů, kolik jich oba neodehráli, tj. celkem $2 d+5$. Pokud spolu nehráli, odpadlo jen $2 d+4$ zápasů. Podle toho platí bud'

$$
n(2 n-1)=355+2 d, \quad \text { nebo } \quad n(2 n-1)=354+2 d \text {. }
$$

Z rovnic plyne jednak odhad $2 n^{2}>354$, ale také $n(2 n-5)<344$, nebot podle významu čísla $d$ platí $d+5 \leqq 2 n-1$. Z první nerovnosti tak vyjde $n>13$, ze druhé $n<15$ (pro $n \geqq 15$ je $n(2 n-5) \geqq 375)$. Proto nutně $n=14$. Zároveň vidíme, že levá strana každé z obou předchozích rovnic je pro $n=14$ sudá, takže může platit jen druhá $\mathrm{z}$ nich. Z ní vypočteme $d=12$. Turnaj tedy trval $2 n-1=27$ dní a Adam odstoupil 12 dní před koncem turnaje, odehrál 15 zápasů a s Bohoušem nehrál.

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Určete počet všech úhlopříček konvexního $n$-úhelníku.
2. Letecká společnost zajištuje lety mezi každými dvěma $z$ několika velkých měst. (Lety z $\mathrm{A}$ do $\mathrm{B}$ a $\mathrm{B} \mathrm{B}$ do $\mathrm{A}$ považujeme za různé.) Přiští rok chce přibrat ještě několik měst, a tak zvýšit počet letů o 76 . Pro kolik měst zajištuje lety a o kolik měst se má tento počet přiští rok zvýšit? [Letos $n$ měst, přibude $k$ měst, pak $n(n-1)+76=(n+k)(n+k-1)$. Odtud $k(k+2 n-1)=76$, $k=4$ a $n=8$ nebo $k=1$ a $n=38$.
3. Jarda napsal na tabuli čtyři přirozená čísla. Součet prvních dvou byl 707 , součet druhého a třetího byl 700 , třetího a čtvrtého 689 . Určete

a) součet prvního a čtvrtého čísla,

b) nejmenší možnou hodnotu prvního čísla. [37. roč. MO, C-II-1]

4. Ve volejbalovém turnaji se utkalo $n \geqq 3$ družstev. Dokažte, že existuje takové družstvo $A$, že ke každému jinému družstvu $B$ najdeme třetí družstvo $C$ tak, že ve vzájemných zápasech družstev $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ vyhrálo $\mathrm{A}$ aspoň jednou a družstvo B nejvýše jednou. [37. roč. MO, C-I-5]
5. Je dán trojúhelník $A B C$, v němž $|\Varangle B A C|=150^{\circ},|A B|=4 \mathrm{~cm} a|A C|=$ $=6 \mathrm{~cm}$. Sestrojte trojúhelník dvojnásobného obsahu, jehož dvě strany jsou shodné s některými dvěma stranami trojúhelníku $A B C$. Najděte všechna rešení.

ŘEŠENí. Trojúhelník $A B C$ snadno sestrojíme a tím konstrukčně určíme jeho výšky i délky všech stran. Hledaný trojúhelník označme $L M N$. Při shodných základnách obou trojúhelníků jsou výšky příslušné těmto základnám v poměru jejich obsahů, tj. 2:1. Trojúhelník $L M N$ je určen délkami $m, n$ stran $L N, L M$, které jsou shodné s některými dvěma stranami daného trojúhelníku, a výškou $v_{m}$. Přehled všech možností udává následující tabulka (je třeba si uvědomit, že každá $\mathrm{z}$ ostatních situací vede na trojúhelník shodný $\mathrm{s}$ některým predchozím):

|  | I | II | III |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $m$ | $a$ | $b$ | $c$ |
| $v_{m}$ | $2 v_{a}$ | $2 v_{b}$ | $2 v_{c}$ |
| $n$ | $b$ | $c$ | $a$ |

Konstrukci trojúhelníku $L M N$ naznačuje obr. 3. Nejprve sestrojíme úsečku $N L$ délky $m$. Zbývající vrchol $M$ je bodem průniku kružnice $k(L, n)$ a přímky $p$ rovnoběžné s přímkou $N L$ ve vzdálenosti $v_{m}$. Přitom stačí uvažovat řešení jen v jedné polorovině určené přímkou $N L$. Podle počtu bodů tohoto průniku může mít každá ze situací I až III obecně 2,1 nebo žádné (uvažujeme jen neshodná) řešení. To představuje až 6 neshodných trojúhelníkư $K L M$. Ve skutečnosti je jich pro dané číselné zadání jen pět. Platí totiž $2 v_{b}=2 b \sin 150^{\circ}=c$, a proto se $\mathrm{v}$ případě II kružnice $k$ přímky $p$ jen dotkne.

Všechna řešení jsou přehledně sestrojena na obr. 4.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_e5b0e42720f28a498cb1g-5.jpg?height=363&width=374&top_left_y=648&top_left_x=1038)

Obr. 3 Jsou to trojúhelníky $C B D, C B E, A C F, B A G$ a $B A H$.

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Je dán rovnostranný trojúhelník $A B C$ se stranou délky $a$. Sestrojte trojúhelník polovičního obsahu, jehož dvě strany mají délku $a$.
2. $\mathrm{K}$ danému pravoúhlému trojúhelníku o odvěsnách délek $a, b$ sestrojte rovnostranný trojúhelník téhož obsahu. [J. Polák: Přehled středoškolské matematiky, úloha 28.9.]
3. Pro libovolnou dvojici reálných čisel $a, b$ splňující vztah $a+b=1$ platí

$$
\sqrt{a^{2}+a+1}+\sqrt{b^{2}+b+1}>2 .
$$

Jsou-li navíc čísla a, b nezáporná, platí také

$$
\sqrt{a^{2}+a+1}+\sqrt{b^{2}+b+1}<3 .
$$

Obě tvrzení dokažte.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_e5b0e42720f28a498cb1g-6.jpg?height=705&width=1082&top_left_y=51&top_left_x=283)

Obr. 4

Nejprve je nutné ověřit, zda jsou dané výrazy definovány pro všechna reálná čísla $a, b$. Stačí dokázat, že pro každé reálné $u$ je výraz $U=u^{2}+u+1$ nezáporný.

1. zpiosob:

$$
U=u^{2}+2 \cdot \frac{1}{2} u+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+1=\left(u+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4} .
$$

Odtud vidíme, že je dokonce

$$
U=u^{2}+u+1 \geqq \frac{3}{4}
$$

protože druhá mocnina reálného výrazu je vždy nezáporná.

2. zpiosob: Pro $u \geqq 0$ je zřejmě výraz $U$ kladný. Je-li $u<0$, je

$$
U>u^{2}+u+1+u=(u+1)^{2} \geqq 0 .
$$

3. zpuisob: Představme si rovnost $U=u^{2}+u+1$ jako kvadratickou rovnici $u^{2}+u+(1-U)=0 \mathrm{~s}$ parametrem $U$. Tento vztah je splněn pro nějaké reálné $u$, jen když je příslušný diskriminant nezáporný, tj. $1-4(1-U) \geqq 0$, a odtud $U \geqq \frac{3}{4}$.
4. zpuisob: Úpravou na tvar $U=u(u+1)+1$ a substitucí $u=s-\frac{1}{2}$ (viz též první pomocnou úlohu) máme $U=\left(s-\frac{1}{2}\right)\left(s+\frac{1}{2}\right)+1=s^{2}+\frac{3}{4}$, což vede na odhad (3).

Dále asi řešitelé budou zkoušet výraz

$$
V=\sqrt{a^{2}+a+1}+\sqrt{b^{2}+b+1}
$$

upravovat, aby jej mohli odhadnout. Jak asi budou postupovat? Uvedeme některé možnosti:

I. Dosazením $b=1-a$ do (3) dostaneme

$$
V=\sqrt{a^{2}+a+1}+\sqrt{a^{2}-3 a+3} .
$$

Tím jsme se ovšem k cíli moc nepřiblížili. Zkusme ještě obě strany rovnosti (5) umocnit:

$$
\begin{aligned}
V^{2} & =a^{2}+a^{2}-2 a+1+3+2 \sqrt{a^{2}+a+1} \sqrt{a^{2}-3 a+3}= \\
& =a^{2}+(a-1)^{2}+3+2 \sqrt{a^{4}-2 a^{3}+a^{2}+3} .
\end{aligned}
$$

Výraz pod odmocninou se dá ještě po vytknutí $a$ z prvních tří členů upravit, takže dostaneme

$$
V^{2}=3+a^{2}+(a-1)^{2}+2 \sqrt{3+a^{2}(a-1)^{2}}
$$

II. Rovnost (4) umocníme přímo a při dalších úpravách opakovaně nahrazujeme součty $a+b$ jedničkami:

$$
\begin{aligned}
V^{2} & =a^{2}+b^{2}+3+2 \sqrt{a^{2} b^{2}+a b(a+b+1)+a^{2}+b^{2}+a+b+1}= \\
& =3+a^{2}+2 \sqrt{3+a^{2} b^{2}}+b^{2} .
\end{aligned}
$$

Důkaz nerovnosti (1).

1. ŘEŠENí (bez umocňování výrazu $V$ ): Jsou-li $a, b$ nezáporná, je $V>\sqrt{1}+$ $+\sqrt{1}=2$. Jestliže je $b<0$, pak musí být $a>1$. Položme tedy na pravé straně vztahu (4) $a=1$ a druhou odmocninu odhadněme pomocí (3). Dostaneme tak silnější odhad, než se požaduje: $V>\sqrt{3}+\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{3}{2} \sqrt{3}>\frac{5}{2}$.
2. ŘEŠENí. Když uvážíme, že druhá mocnina každého reálného čísla je nezáporná, odhadneme z (6), že $V^{2} \geqq 3+2 \sqrt{3}>4$, a po odmocnění vyjde, že $V>2$.
3. ŘEŠENí. Ze vztahu (7) vidíme, že

$$
\begin{aligned}
V^{2} & >3+\left(a^{2}+2 \sqrt{a^{2}} \sqrt{b^{2}}+b^{2}\right)= \\
& =3+\left(\sqrt{a^{2}}+\sqrt{b^{2}}\right)^{2}=3+(|a|+|b|)^{2} \geqq 4
\end{aligned}
$$

a tedy $V>2$.

Důkaz nerovnosti (2).

1. ŘEŠENí. Protože $a, b$ jsou nezáporná a nemůže být $a=b=0$, platí

$$
V<\sqrt{a^{2}+2 a+1}+\sqrt{b^{2}+2 b+1}=(a+1)+(b+1)=3 .
$$

2. ŘEŠENí. Z podmínky $a+b=1$ pro nezáporná čísla $a, b$ máme $0 \leqq a \leqq 1$, $0 \leqq b \leqq 1$ a hodnotu výrazu $V$ můžeme odhadnout dosazením $a=b=1$ do (7):

$V^{2}<3+1+2 \sqrt{4}+1=9$, takže $V<3$.

3. ŘEŠENí. Při odhadu můžeme různým způsobem uplatnit užitečné nerovnosti ze čtvrté pomocné úlohy. Zvolíme-li například $m=a^{2}+a+1$ a $n=b^{2}+b+1$, dostáváme

$$
m+n=\left(a^{2}+b^{2}\right)+(a+b)+2=1-2 a b+3=4-2 a b \leqq 4,
$$

kde vztah

$$
a^{2}+b^{2}=1-2 a b
$$

použitý při úpravě jsme získali umocněním podmínky $a+b=1$. Podle nerovnosti b) ze 4. pomocné úlohy pak je

$$
V=\sqrt{m}+\sqrt{n} \leqq \sqrt{2(m+n)} \leqq \sqrt{8}<3 .
$$

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Dokažte, že ze všech pravoúhelníků s obvodem $40 \mathrm{~cm}$ má největší obsah čtverec. [Je-li délka jedné strany pravoúhelníku $a=10+x$, pak délka druhé je $b=10-x$ a obsah $S=100-x^{2}$ je největší pro $x=0$. Jinak: $\mathrm{Z}$ obr. 5 přímo vidíme, že při přechodu od čtverce $A B C D \mathrm{k}$ obdélníku $A K L M$ ubereme větší plochu, než přidáme. Můžeme přidat úkol: Pro kterou hodnotu $x$ je přidaná plocha $x(10-x)$ největší?]
2. Určete největší nebo nejmenší hodnoty výrazu $y(x)$ a příslušné hodnoty $x$ : a) $y=$ $=4-x^{2}$, b) $y=3+(x+2)^{2}$, c) $y=x^{2}-2 x+7$, d) $y=x^{2}+x+1$, e) $y=10+3 x-x^{2}$.
3. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla $m, n$ platí

$$
\sqrt{m^{2}}+\sqrt{n^{2}}=|m|+|n| \geqq m+n .
$$

4. Dokažte, že pro libovolná nezáporná čísla $m, n$ platí
a) $\sqrt{m n} \leqq \frac{1}{2}(m+n) \leqq \sqrt{\frac{1}{2}\left(m^{2}+n^{2}\right)}$,
b) $\sqrt{m}+\sqrt{n} \leqq \sqrt{2(m+n)}$.

Kdy nastává rovnost?