# Úlohy školní - klauzurní části I. kola kategorie B 

1. Pro která reálná čísla $a, b$ je funkce

$$
f(x)=a|x-1|+b(x-3)+|x-b|+x-1
$$

omezená?

2. Je dána úsečka $X Z$ délky $7 \mathrm{~cm}$ a její body $S, Y$ tak, že $|X S|=2 \mathrm{~cm},|Y Z|=1 \mathrm{~cm}$. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník $A B C$ s přeponou $A B$ tak, aby bod $S$ byl střed kružnice vepsané trojúhelníku $A B C$ a body $X, Y, Z$ ležely po řadě na přímkách $A C, A B, B C$.
3. Do výrazu

$$
1-2+3-4+5-6+\ldots+99-100
$$

jsme vepsali několik závorek tak, že nakonec jsou v každé dvojici odpovídajících si závorek právě tři čísla a výraz neobsahuje žádný součin. Kolik různých výsledků lze takto dostat?

Školní - klauzurní část I. kola kategorie B se koná

## v úterý 25. ledna 2000

tak, aby začala dopoledne a aby soutěžící měli na řešení úloh 4 hodiny čistého času. Za každou úlohu může soutěžící získat 6 bodů, úspěšným řešitelem je ten žák, který získá 10 bodů nebo více. Tyto údaje se žákům sdělí před zahájením soutěže.

1. Uvažovaná funkce $f$ je po částech lineární, proto je omezená na každém omezeném intervalu. Stačí tedy funkci $f$ vyšetřit zvlášt pro $x \leqq \min (1, b)$ a zvlášt pro $x \geqq \max (1, b)$, kdy mají oba výrazy v absolutních hodnotách stejné znaménko.

a) Je-li $x \leqq \min (1, b)$, je

$$
f(x)=a(1-x)+b(x-3)+b-x+x-1=(b-a) x-2 b+a-1 .
$$

Funkce $f$ bude na tomto intervalu omezená, právě když tu bude konstantní, tj. právě když $a=b$.

a) Je-li $x \geqq \max (1, b)$, je

$$
f(x)=a(x-1)+b(x-3)+x-b+x-1=(a+b+2) x-a+4 b-1 .
$$

Funkce $f$ bude na tomto intervalu omezená, právě když tu bude konstantní, tj. právě když $a+b=-2$.

Spojením obou podmínek dostáváme, že funkce $f$ bude omezená, právě když bude omezená na obou uvedených neomezených intervalech, tj. právě když $a=b=-1$. Pro funkci $f$ pak dostaneme vyjádření

$$
f(x)=|x+1|-|x-1|+2 \text {. }
$$

Její graf vidíme na obr. 1.

Za úplné řešení je 6 bodů. Za zjištění, že stačí funkci $f$ vyšetřovat jen na dvou neomezených intervalech, dejte 2 body a po 2 bodech za zdůvodnění jednotlivých podmínek $a=b, a+b=-2$. V př́ípadě diskuse případů $b \geqq 1$ a $b \leqq 1$ hodnotte každý z nich třemi body.

Obr. 1

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_ad9ee1b3492fe6b381d3g-2.jpg?height=325&width=425&top_left_y=1668&top_left_x=356)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_ad9ee1b3492fe6b381d3g-2.jpg?height=517&width=759&top_left_y=1483&top_left_x=1094)

2. Předpokládejme, že trojúhelník $A B C$ je řešením úlohy. $\mathrm{Z}$ daného pořadí bodů $X$, $S, Y, Z$ na jedné přímce a z toho, že bod $S$ je vnitřním bodem trojúhelníku $A B C$, vyplývá, že body $X$ a $Y$ jsou vnitřními body příslušných stran $A C$ a $A B$, zatímco bod $Z$ musí ležet na polopřímce opačné k polopřímce $B C$. Vrchol $C$ neznámého trojúhelníku $A B C$ budeme hledat jen $\mathrm{v}$ jedné $\mathrm{z}$ polorovin určených přímkou $X Z$, protože ke každému řešení existuje řešení souměrně sdružené podle osy $X Z$.

Vrchol $C$ trojúhelníku $A B C$ je vrcholem pravého úhlu $X C Z$ (obr.2), leží tedy na Thaletově kružnici $k$ nad průměrem $X Z$. Protože bod $S$ je středem kružnice vepsané trojúhelníku $A B C$, leží na ose pravého úhlu, takže $|\nless S C X|=45^{\circ}$ a vrchol $C$ leží zároveň na oblouku kružnice $l$ určené tětivou $S X$ a obvodovým úhlem $45^{\circ}$. (Vzhledem k uvedené souměrnosti stačí uvažovat jen ten ze dvou souměrných oblouků, který leží ve zvolené polorovině.) Odtud už plyne konstrukce trojúhelníku $A B C$ :

1. sestrojíme kružnici $k$ nad průměrem $X Z$;
2. v jedné z polorovin určených přímkou $X Z$ sestrojíme vrchol $O$ rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku $X S O,|\nless S O X|=90^{\circ}$, a v téže polorovině narýsujeme oblouk $S X$ kružnice $l(O,|O S|)$;
3. vrchol $C=k \cap \overparen{S X}, C \neq X$;
4. sestrojíme kružnici $\varkappa(S, \varrho)$, kde $\varrho$ je vzdálenost bodu $S$ od přímky $C X$ (poloměr kružnice vepsané trojúhelníku $A B C$ );
5. bodem $Y$ vedeme tečnu $t$ ke kružnici $\varkappa$ tak, aby její bod dotyku ležel v polorovině opačné k polorovině $X Z C$;
6. vrcholy $A, B$ dostaneme jako průsečíky přímky $t \mathrm{~s}$ přímkami $X C$, resp. $Z C$.

Z popsané konstrukce je zřejmé, že pro bod $S$ ležící mezi body $X$ a $Z$ mají kružnice $k$ a $l$ právě jeden průsečík různý od bodu $X$. Abychom mohli sestrojit tečnu $t$, musí bod $Y$ ležet vně kruhu omezeného kružnicí $\varkappa$, musí tedy být $|S Y| \geqq \varrho$. Aby existoval průsečík tečny $t$ s přímkou $X C$ uvnitř úhlu $X C Z$, musí být dokonce $|Y S|>|X S|>\varrho$. V našem případě je to splněno a úloha má dvě shodná řešení souměrně sdružená podle osy $X Z$.

Úlohu bychom řešili stejně, i kdyby dané body $X, S, Y, Z$ neležely na jedné přímce.

Poznámka. Bod $C$ můžeme sestrojit i jiným postupem. Protože body $X$ a $Z$ leží po řadě na polopřímkách $C A$ a $C B$, je pravý úhel $X C Z$ totožný s pravým úhlem $A C B$. Osa tohoto úhlu prochází středem $S$ kružnice vepsané trojúhelníku $A B C$; zároveň tato osa protne kružnici $k$ opsanou trojúhelníku $X C Z$ v takovém bodě $U \neq C$, že tětivy $X U$ a $U Z$ jsou shodné (tyto tětivy jsou totiž z bodu $C$ vidět pod týmž úhlem (45 stupňů), obr. 2). Proto (aniž známe bod $C$ ) můžeme bod $U$ sestrojit jako střed oblouku $X Z$ kružnice $k$ (oblouky $X U$ a $U Z$ jsou tedy čtvrtkružnice). Bod $C$ pak určíme jako průsečík kružnice $k$ s polopřímkou $U S$.

Za úplné řešení je 6 bodů. Plný počet bodů dejte i v případě, že soutěžící zapomene uvést souměrně sdružené řešení.

3. V daném výrazu se pravidelně střídají plusy a minusy, přičemž lichá čísla mají znaménko plus a sudá minus. Zřejmě musí každá dvojice odpovídajících si závorek obsahovat právě tři po sobě jdoucí čísla. Umístíme-li levou závorku mezi plus a příslušné liché číslo, nemají závorky na hodnotu výrazu žádný vliv. Zajímavý je tedy jen případ, kdy levou závorku dáme mezi minus a následující sudé číslo, což změní výsledné znaménko druhého a třetího čísla v závorkách. Je-li zmíněné sudé číslo $2 k(1 \leqq k \leqq 49)$, dostaneme místo původního součtu $-2 k+(2 k+1)-(2 k+2)=-2 k-1$ součet $-(2 k+(2 k+1)-(2 k+2))=$ $=-2 k-(2 k+1)+(2 k+2)=-2 k+1$. Vidíme tedy, že přidáním jednoho páru závorek popsaným způsobem zvětšíme celkovou hodnotu výrazu o 2 bez ohledu na to, kterou trojici po sobě jdoucích čísel začínající sudým číslem zvolíme. Zároveň je jasné, že takto umístěný pár závorek obsahuje další sudé číslo (kromě čísla $2 k$ ještě $2 k+2$ ), které už nebudeme moci pro umístění závorky využít. (Nebudeme tedy zbytečně rozmistoovat závorky před lichá čísla, protože bychom se zbavili dalšího sudého čísla, před které lze umístit levou z dvojice závorek, jež by měly vliv na hodnotu daného výrazu.)

Daný výraz obsahuje celkem 50 sudých čísel. Můžeme tedy vybrat nejvýše 25 dvojic po sobě jdoucích sudých čísel, jež obklopíme závorkami. Tomu odpovídá 26 různých hodnot daného výrazu s $k$ dvojicemi závorek, kde $0 \leqq k \leqq 25$. Příslušné hodnoty jsou $-50,-48$, $-46, \ldots, 4,2,0$ (nejmenší hodnota je $1-2+3-4+5-6+\ldots+99-100=-50$, největší $1-(2+3-4)+5-(6+7-8)+\ldots-(98+99-100)=0)$.

Za úplné řešení je 6 bodů.