# Úlohy školní - klauzurní části I. kola kategorie C 

1. Najděte nejmenší přirozené číslo $k$, pro které platí: Vybereme-li libovolných $k$ různých čísel z množiny $\{1,4,7,10,13, \ldots, 1999\}$, pak mezi vybranými existují dvě různá čísla, jejichž součet se rovná 2000 .
2. Čtverec $A B C D$ a obdélník $A E F D$ mají takovou vzájemnou polohu, že bod $B$ leží na kružnici vepsané trojúhelníku $A E F$. Vypočtěte poměr délky a šiřrky obdélníku $A E F D$.
3. Jestliže celé kladné číslo $N$ vydělíme číslem 19 a získaný neúplný podíl dále vydělíme číslem 99, vyjde nám při druhém dělení stejný neúplný podíl a stejný zbytek, jako když původní číslo $N$ vydělíme číslem 1999. Určete jak nejmenší, tak největší takové číslo $N$.

Školní - klauzurní část I. kola kategorie C se koná

v úterý 25. ledna 2000

tak, aby začala dopoledne a aby soutěžící měli na řešení úloh 4 hodiny čistého času. Za každou úlohu může soutěžící získat 6 bodư, úspěšným řešitelem je ten žák, který získá 10 bodů nebo více. Tyto údaje se žákưm sdělí před zahájením soutěže.

1. Označme $\mathrm{M}=\{1,4,7,10,13, \ldots, 1999\}$ a vypišme všechny součty dvou rưzných (nebudeme dále zdůrazňovat) čísel z M, které se rovnají číslu 2000 :

$$
2000=1+1999=4+1996=7+1993=\ldots=997+1003 \text {. }
$$

S výjimkou jediného čísla 1000 vystupuje každé číslo z M v právě jednom součtu (součet $1000+1000$ se dle zadání neuvažuje). Protože $997=1+3 \cdot 332$, je vypsáno právě 333 součtů. Lze tedy vybrat 334 čísel z M (po jednom z každého vypsaného součtu spolu s číslem 1000 , tedy například čísla $1,4,7, \ldots, 997,1000)$ tak, že součet žádných dvou vybraných čísel není 2000 . Vybereme-li však libovolných 335 čísel z M, pak některá dvě vybraná čísla jsou sčítanci jednoho z vypsaných součtů (zopakujme: vypsaných součtů je 333 a chybí v nich jediné číslo z $\mathrm{M}$ ). Proto je $k=335$ hledaná hodnota.

Za úplné řešení je 6 bodů: 3 body za vysvětlení, že číslo $k=334$ nevyhovuje, 3 body za zdůvodnění, že č́slo $k=335$ vyhovuje.

2. Protože oba pravoúhelníky musí ležet ve stejné polorovině s hraniční přímkou $A D$, leží bod $B$ na polopřímce $A E$. Proto se zmíněná kružnice dotýká strany $A E$ trojúhelníku $A E F$ právě v bodě $B$. Body, v nichž se kružnice dotýká stran $E F$ a $F A$, označme po řadě $G$ a $H$ (obr. 1). Označme ještě $a=|A B|=|E F|$ a necht $|A E|=k a, k>1$. Ze souměrností

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_16f0ef74e97adeb4d116g-2.jpg?height=397&width=483&top_left_y=1338&top_left_x=798)

Obr. 1

dvojic tečen ke kružnici plynou rovnosti $|A H|=|A B|=a,|E G|=|E B|=|A E|-|A B|=$ $=(k-1) a,|F H|=|F G|=|E F|-|E G|=(2-k) a$, tudíž $|A F|=|A H|+|F H|=(3-k) a$. Pythagorova věta pro trojúhelník $A E F$ tak dává rovnici $(3-k)^{2}=k^{2}+1$, jež je po úpravě lineární a má (jediný) kořen $k=\frac{4}{3}$.

Odpověd': Hledaný poměr je $4: 3$.

Za úplné řešení udělte 6 bodů, z toho 2 body za správný náčrtek nebo popis vzájemné polohy obou pravoúhelníků.

3. Zmíněná tři dělení zapíšeme rovnostmi $N=19 a+b, a=99 c+d$ a $N=1999 c+d$. Odtud vyplývá, že $19(99 c+d)+b=1999 c+d$, neboli $18 d+b=118 c$. Nejmenší a největší vyhovující $N$ najdeme podle nejmenšího a největšího možného neúplného podílu $c$ (při dělení čísla $N$ číslem 1999). Z rovnosti $18 d+b=118 c$ plyne především, že $c>0$ (kdyby bylo $c=0$, bylo by $b=d=0$, tedy i $N=0$, ale $N$ je kladné); pro $c=1$ z rovnosti
$18 d+b=118$ usoudíme, že $d=6$ a $b=10$ (nebot pro zbytek $b$ při dělení $N: 19$ platí $0 \leqq b \leqq 18$ ). Proto je nejmenší $N$ rovno číslu $1999 \cdot 1+6=2005$. Abychom zjistili největší $N$, poznamenejme nejdříve, že pro zbytky $d$ a $b$ při děleních $a: 99$ a $N: 19$ platí nerovnosti $d \leqq 98$ a $b \leqq 18$, z nichž plyne odhad $118 c \leqq 18 \cdot 98+18$, odkud $c \leqq 15$. Pro $c=15$ ovšem z rovnosti $18 d+b=118 \cdot 15$ vyplývá, že $d=98$ a $b=6$, nebot̀ $0 \leqq b \leqq 18$ a $118 \cdot 15=1770=18 \cdot 98+6$. Největší $N$ je tudíž rovno $1999 \cdot 15+98=30083$.

Odpověd': Nejmenší vyhovující $N$ je 2005, největší takové $N$ je 30083 .

Za úplné řešení udělte 6 bodů, z toho za nalezení jednoho z obou čísel 2 body, k tomu další 1 bod za zdůvodnění, proč jde skutečně o extremální hodnotu.