# 49. ročník matematické olympiády 

## Úlohy II. kola kategorie B

1. Zjistěte všechna reálná čísla $c$, pro která má rovnice

$$
\left(c^{2}+c-8\right)(x+2)-8|x-c+2|=c|x+c+14|
$$

nekonečně mnoho řešení v oboru celých čísel.

2. Devítistěn vznikl slepením krychle a pravidelného čtyřbokého jehlanu. Na každé stěně tohoto devítistěnu je napsáno jedno číslo. Jejich součet je 3003 . Pro každou stěnu $S$ uvažovaného devítistěnu sečtěme čísla na všech stěnách, s nimiž má $S$ společnou právě jednu hranu. Dostaneme tak devět stejných součtů. Určete všechna čísla napsaná na stěnách devítistěnu.
3. Je dán lichoběžník $A B C D$, v němž $|A B|=8 \mathrm{~cm}$ a $|\Varangle A B C|=90^{\circ}$. Jeho obvod je $28 \mathrm{~cm}$. Polokružnice $k$ s průměrem $A B$ se dotýká strany $C D$. Vypočtěte délky zbývajících stran daného lichoběžníku, je-li strana $A B$ jeho

a) základnou,

b) ramenem.

4. Je dán obdélník $K L M N,|K N|>|K L|$. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník $A B C$ se základnou $A B$ délky $|K L|$ tak, aby jeho výška $v_{a}$ obsahovala body $K, N$, výška $v_{b}$ bod $L$ a výška $v_{c}$ bod $M$. (Výškami zde rozumíme přímky.)

II. kolo kategorie B se koná

## v úterý 28. března 2000

tak, aby začalo dopoledne a aby soutěžící měli na řešení úloh 4 hodiny čistého času. Za každou úlohu může soutěžící získat 6 bodů, úspěšným řešitelem je ten žák, který získá 10 bodů nebo více. Tyto údaje se žákům sdělí před zahájením soutěže.

1. Označíme-li pro dané reálné $c$

$$
f_{c}(x)=c|x+c+14|+8|x-c+2|-\left(c^{2}+c-8\right)(x+2)
$$

odpovídající po částech lineární funkci, je zřejmé, že rovnice $f_{c}(x)=0$ bude mít nekonečně mnoho celočíselných řešení, právě když bude funkce $f_{c}$ identicky rovna nule na některém $\mathrm{z}$ nekonečných intervalů $(-\infty, \min (c-2,-c-14)\rangle$ nebo $\langle\max (c-2,-c-14), \infty)$. Vyšetříme postupně obě možnosti.

a) Necht $x \leqq \min (c-2,-c-14)$, pro taková $x$ platí

$$
\begin{aligned}
f_{c}(x) & =-c(x+c+14)-8(x-c+2)-\left(c^{2}+c-8\right)(x+2)= \\
& =-c(2+c) x-3 c^{2}-8 c=-c(x(c+2)+3 c+8) .
\end{aligned}
$$

$\mathrm{Na}$ tomto intervalu bude funkce $f_{c}$ identicky rovna nule, právě když $c=0$ (soustava $c+2=0,3 c+8=0$ nemá žádné řešení).

b) Necht $x \geqq \max (c-2,-c-14)$, pro taková $x$ platí

$$
\begin{aligned}
f_{c}(x) & =c(x+c+14)+8(x-c+2)-\left(c^{2}+c-8\right)(x+2)= \\
& =\left(16-c^{2}\right) x-c^{2}+4 c+32 .
\end{aligned}
$$

$\mathrm{Na}$ tomto intervalu bude funkce $f_{c}$ identicky rovna nule, právě když bude současně platit $c^{2}=16$ a $c^{2}-4 c-32=0$. Dosazením $c^{2}=16$ do druhé rovnice vychází $c=-4$, což je zřejmě jediné řešení obou rovnic.

Závěr. Daná rovnice má v oboru celých čísel nekonečně mnoho řešení, právě když $c=0$ nebo $c=-4$ (v prvním případě rovnici vyhovují všechna celá čísla $x \leqq-14$, v druhém pak všechna celá čísla $x \geqq-6$ ).

Za úplné řešení je 6 bodů, dva body za myšlenku, že uvedená funkce musí být nulová na neomezeném intervalu, po dvou bodech za každou z obou možností.

2. Označme $A, B, C, D, E, F, G, H$ vrcholy zmíněné krychle a $V$ vrchol přilepeného jehlanu (obr. 1). Čísla napsaná na bočních stěnách $A B F E, B C G F, C D H G, D A E H$ označme postupně $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ a $a_{4}$, čísla na bočních stěnách $E F V, F G V, G H V$ a $H E V$ přilepeného jehlanu označme po řadě $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ a $b_{4}$, číslo na podstavě $A B C D$ označme $c$. Dále označme $s$ uvedený společný součet.

Porovnáním součtů př́slušných stěnám $E F V$ a $G H V$ dostaneme rovnost $a_{1}=a_{3}$, analogicky pro další dvojici stěn vyjde $a_{2}=a_{4}$. Porovnáním součtư příslušných stěnám $A B F E$ a $C D H G$ vyjde $b_{1}=b_{3}$ a analogicky pro další takovou dvojici stěn $b_{2}=b_{4}$. Porovnáním součtů příslušných stěnám $C D H G$ a $H E V$ dostaneme rovnost $b_{1}=c+a_{2}$ a analogicky pro dvojici stěn $D A H E$ a $G H V$ rovnost $b_{2}=c+a_{1}$. Porovnáním součtů dvou sousedních stěn krychle

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_fa4e6f4674eb91bf6d8dg-2.jpg?height=488&width=412&top_left_y=1618&top_left_x=1450)

Obr. 1 vychází $a_{2}+a_{4}+b_{1}=a_{1}+a_{3}+b_{2}$, neboli $2 a_{2}+b_{1}=2 a_{1}+b_{2}$, což dosazením z posledních dvou získaných rovností dává rovnost $a_{2}=a_{1}$, a tedy také $b_{2}=b_{1}=c+a_{1}$. Můžeme proto psát $a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a, b_{1}=b_{2}=b_{3}=b_{4}=b=a+c$ a $\mathrm{z}$ rovnosti součtů příslušných podstavě a jedné z bočních stěn krychle vychází $4 a=2 a+b+c=3 a+2 c$, takže $a=2 c$, $b=3 c$ a celkový součet všech č́́sel je $c+4 a+4 b=21 c$. Z rovnice $21 c=3003$ plyne $c=143$. Na stěnách devítistěnu jsou napsána čísla 143, 286 (čtyřikrát) a 429 (čtyřikrát).

Poznámka. Úlohu je možno řešit i vypsáním a následným řešením soustavy deseti lineárních rovnic pro devět neznámých čísel zapsaných na stěnách tělesa a desátou neznámou rovnou jednotnému součtu.

Za úplné řešení je 6 bodů, z toho 1 bod za rovnosti $a_{3}=a_{1}, a_{4}=a_{2}$ a 1 bod za rovnosti $b_{3}=b_{1}, b_{4}=b_{2}$. Pokud jsou tyto symetrie pouze intuitivně uhodnuty, strhněte 2 body.

3. Označme $S$ střed strany $A B$ a $T$ bod dotyku polokružnice $k$ se stranou $C D$. Jestliže je $A B$ základnou daného lichoběžníku, je $C D \| A B$ a $|A B|+|B C|+|C T|=2|A B|=16 \mathrm{~cm}$ (obr.2). Označme $A_{1}$ kolmý průmět vrcholu $A$ na přímku $C D$. Protože $|T D|+|D A|=$ $=28 \mathrm{~cm}-16 \mathrm{~cm}=12 \mathrm{~cm}>\left|A A_{1}\right|+\left|A_{1} T\right|=8 \mathrm{~cm}$, leží vrchol $D$ na polopřímce $T A_{1}$ za bodem $A_{1}$. Označme velikost $\left|A_{1} D\right|=x \mathrm{~cm},|D A|=d \mathrm{~cm}$. Pro čísla $x, d$ dostáváme soustavu rovnic $d+x=8, d^{2}=x^{2}+4^{2}$ (Pythagorova věta pro trojúhelník $A A_{1} D$ ), kterou snadno upravíme na tvar $d+x=8,(d-x)(d+x)=16$, tj. $d+x=8, d-x=2$. Soustava má jediné řešení $d=5, x=3$. Zbývající strany daného lichoběžníku mají tedy velikosti $4 \mathrm{~cm}, 11 \mathrm{~cm}$ a $5 \mathrm{~cm}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_fa4e6f4674eb91bf6d8dg-3.jpg?height=303&width=596&top_left_y=1087&top_left_x=426)

Obr. 2

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_fa4e6f4674eb91bf6d8dg-3.jpg?height=507&width=591&top_left_y=896&top_left_x=1168)

Obr. 3

Je-li $A B$ ramenem daného lichoběžníku $A B C D$, je $A B \perp B C \| A D$ (obr. 3), takže obě základny $B C$ a $A D$ se dotýkají polokružnice $k$ v odpovídajících vrcholech $B$ a $A$. Označme $b$ shodné úseky tečen z vrcholu $C$ a $d$ shodné úseky tečen z vrcholu $D$ k polokružnici $k$. Ze znalosti obvodu tak dostáváme (v centimetrech) rovnost $28=8+2 b+2 d$, neboli $b+d=10$. Z rovnoběžnosti $B C \| A D$ plyne $|b-d|=\sqrt{(b+d)^{2}-8^{2}}=6$. Vzhledem $\mathrm{k}$ souměrnosti podle osy dané polokružnice $k$ stačí uvažovat jen jednu z možností, napřr. $b>d$. Soustava $b+d=10, b-d=6$ má jediné řešení $b=8, d=2$, takže zbývající strany daného lichoběžníku mají v tomto případě velikosti $8 \mathrm{~cm}, 10 \mathrm{~cm}$ a $2 \mathrm{~cm}$, což platí i v případě $b<d$.

Za úplné řešení je 6 bodů, za každé správné řešení 3 body.

4. Podle zadání známe přímku $K N$, na níž leží výška $v_{a}$. Protože výška $v_{b}$ je souměrně sdružená $\mathrm{s} v_{a}$ podle osy základny $A B$ hledaného rovnoramenného trojúhelníku $A B C$, na níž zároveň leží jeho třetí výška $v_{c}$, pokusíme se najít průsečík $V$ těchto výšek. Ten má tu vlastnost, že bod $L$ leží na přímce souměrně sdružené s $v_{a}=K N$ podle $V M=v_{c}$ (obr. 4). Jakmile bod $V$ najdeme, budeme zároveň znát polohu všech tří výšek trojúhelníku $A B C$, takže až na podobnost můžeme sestrojit i hledaný trojúhelník $A B C$.

Předpokládejme, že bod $V$ na př́mce $K N$ má požadovanou vlastnost (obr.5). Ze souměrnosti přímek $V L$ a $V N$ podle $V M$ plyne rovnost vyznačených úhlů s vrcholem $V$. Z rovnobě̌̌nosti př́imek $K N$ a $L M$ dostáváme, že stejnou velikost má i úhel $L M V$, takže

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_fa4e6f4674eb91bf6d8dg-4.jpg?height=521&width=528&top_left_y=89&top_left_x=365)

Obr. 4

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_fa4e6f4674eb91bf6d8dg-4.jpg?height=366&width=637&top_left_y=240&top_left_x=1010)

Obr. 5

trojúhelník $M V L$ je rovnoramenný se základnou $M V$. Je tudíž $|L V|=|L M|$ a bod $V$ najdeme jako průsečík přímky $K N$ s kružnicí $k=(L,|L M|)$. Protože dle předpokladu je $|K L|<|K N|=|L M|$, existují takové průsečíky dva.

Nyní dokončíme konstrukci trojúhelníku $A B C$. Nejprve sestrojíme pomocný trojúhelník $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, který bude stejnolehlý s hledaným trojúhelníkem $A B C$, a to tak, že na přímce $K N$ libovolně zvolíme bod $A^{\prime} \neq V$ (na obr. 6 je jako bod $A^{\prime}$ zvolen daný vrchol $K$ ), sestrojíme bod $B^{\prime}$ souměrně sdružený s bodem $A^{\prime}$ podle $V M$ a vrchol $C^{\prime}$, v němž kolmice na $B^{\prime} V$ vedená bodem $A^{\prime}$ protne přímku $V M$. Protože má platit $|A B|=|K L|$, trojúhelník $A B C$ sestrojíme užitím té stejnolehlosti se středem $V$, která známou úsečku $A^{\prime} B^{\prime}$ převede na hledanou úsečku $A B$ dané délky $|K L|$ (takové stejnolehlosti jsou dvě). Pro každý z možných bodů $V$ tak bude mít úloha dvě řešení (na obr. 6 trojúhelníky $A_{1} B_{1} C_{1}$ a $A_{2} B_{2} C_{2}$, na obr. 7 trojúhelníky $A_{3} B_{3} C_{3}$ a $A_{4} B_{4} C_{4}$ ) středově souměrná podle příslušného průsečíku výšek.

Za úplné řešení je 6 bodů. Má-li řešitel z každé dvojice stejnolehlých řešení vždy jen jedno, strhněte dva body.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_fa4e6f4674eb91bf6d8dg-4.jpg?height=550&width=824&top_left_y=1579&top_left_x=369)

Obr. 6

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_fa4e6f4674eb91bf6d8dg-4.jpg?height=479&width=531&top_left_y=1647&top_left_x=1206)

Obr. 7