# PRÉPARATION OLYMPIQUE FRANÇAISE DE MATHÉMATIQUES 

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TEST DU 28 MARS 2018
DURÉE : 4 HEURES (14H-18H)

## Instructions

$\triangleright$ Rédigez les différents problèmes sur des copies distinctes. Sur chaque copie, écrivez en lettres capitales vos nom et prénom en haut à gauche ainsi que votre classe, et le numéro du problème en haut à droite.
$\triangleright$ On demande des solutions complètement rédigées, où toute affirmation est soigneusement justifiée. La notation tiendra compte de la clarté et de la précision de la copie. Travaillez d'abord au brouillon, et rédigez ensuite au propre votre solution, ou une tentative, rédigée, de solution contenant des résultats significatifs pour le probléme. Ne rendez pas vos brouillons : ils ne seraient pas pris en compte.
$\triangleright$ Une solution complète rapportera plus de points que plusieurs tentatives inachevées. Il vaut mieux terminer un petit nombre de problèmes que de tous les aborder.
$\triangleright$ Régles, équerres et compas sont autorisés. Les rapporteurs sont interdits. Les calculatrices sont interdites, ainsi que tous les instruments électroniques.
$\triangleright$ Le groupe B est constitué des élèves nés le 21 décembre 2002 au plus tôt. Le groupe $A$ est constitué des autres élèves.
$\triangleright$ Les exercices 1 à 4 ne sont à chercher que par les élèves du groupe B.
$\triangleright$ Les exercices 5 à 7 ne sont à chercher que par les élèves du groupe $A$.

Préparation Olympique Française de Mathématiques
Animath
Institut Henri Poincaré
11-13 rue Pierre et Marie Curie
75231 Paris Cedex 05

## Exercices du groupe B - Énoncés et solutions

Exercice 1. Les entiers $1,2, \ldots, 2018$ sont écrits au tableau. On effectue alors 2017 opérations comme suit : choisir deux nombres $a$ et $b$, les effacer, et écrire $a+b+2 a b$ à la place. À la fin, il ne reste qu'un seul entier sur le tableau.
Quelles sont les valeurs que son chiffre des unités peut prendre?
Solution de l'exercice 1 Puisqu'il y a 1009 nombres impairs entre 1 et 2018, on sait que la somme des entiers initialement inscrits au tableau est impaire. En outre, l'un de ces entiers est congru à $2(\bmod 5)$. Une récurrence immédiate permet alors de montrer que, après chaque opération, la somme des entiers écrits sur le tableau reste impaire, et l'un de ces entiers est congru à 2 $(\bmod 5)$. Par conséquent, le dernier entier écrit sur le tableau est congru à $1(\bmod 2)$ et à 2 $(\bmod 5)$, c'est-à-dire à $7(\bmod 10)$.
Exercice 2. Soit $A B C$ un triangle isocèle en $A$, tel que $\widehat{B A C}=100^{\circ}$. Soit $D$ le point d'intersection de (AC) et de la bissectrice de $\widehat{A B C}$.
Montrer que BC $=A D+B D$.
Solution de l'exercice 2 D'après la loi des sinus, notons que $\mathrm{BD} \leqslant \mathrm{BC}$ si et seulement $\operatorname{si} \sin (\widehat{\mathrm{BCD}}) \leqslant$ $\sin (\widehat{\mathrm{BDC}})$. Puisque $\widehat{\mathrm{BDC}}=130^{\circ}$ et $\widehat{\mathrm{BCD}}=40^{\circ}$, on a bien $\mathrm{BD} \geqslant \mathrm{BC}$. Soit E le point de $[\mathrm{BC}]$ tel que $B D=B E$, et soit $A^{\prime}$ le symétrique de $A$ par rapport à ( $A D$ ).
La loi des sinus indique alors que

$$
\mathrm{CE}=\frac{\sin (\widehat{\mathrm{CDE}})}{\sin (\widehat{\mathrm{ECD}})} \mathrm{DE}=\frac{\sin (\widehat{\mathrm{CDE}})}{\sin (\widehat{\mathrm{ECD}})} \times \frac{\sin (\widehat{\mathrm{EA}} \widehat{\mathrm{D}})}{\sin \left(\widehat{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{ED}}\right)} A^{\prime} \mathrm{D}=\frac{\sin \left(40^{\circ}\right) \sin \left(80^{\circ}\right)}{\sin \left(40^{\circ}\right) \sin \left(80^{\circ}\right)} A D=A D .
$$

On en déduit que $B C=C E+B E=A D+B D$.
Exercice 3. Trouver tous les entiers naturels non nuls $k, \ell$ tels que $2^{k}+3^{\ell}$ soit un carré parfait. 
Solution de l'exercice 3 Une première idée est de consiérer l'équation de l'énoncé modulo $n$, où n est un nombre pas trop grand tel que $\mathbb{Z} / \mathrm{n} \mathbb{Z}$ ne contienne pas trop de résidus quadratiques. Dans ces conditions, $n=3$ et $n=8$ semblent de bons candidats, car les carrés modulo 3 sont 0 et 1 , alors que les carrés modulo 8 sont 0,1 et 4 .
Puisque $k \geqslant 1$ et $\ell \geqslant 1$, on a donc $2^{k} \equiv 1(\bmod 3)$ et $3^{\ell} \equiv 1(\bmod 8)$, ce qui signifie que $k$ et $\ell$ sont pairs. En posant $\mathrm{a}=\mathrm{k} / 2, \mathrm{~b}=\ell / 2$ et $\mathrm{c}=\sqrt{2^{k}+3^{\ell}}$, on remarque alors que $\left(\mathrm{c}-2^{\mathrm{a}}\right)\left(\mathrm{c}+2^{\mathrm{a}}\right)=$ $c^{2}-2^{k}=3^{\ell}$ est une puissance de 3 .
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_06_4f8dc80581b21309a1d2g-2.jpg?height=55&width=1741&top_left_y=1927&top_left_x=189) vaut nécessairement $3^{\ell}$, tandis que l'autre vaut 1 . Le facteur $c+2^{a}$ est le plus grand des deux, ce qui montre que $c-2^{a}=1$ et $\mathrm{c}+2^{a}=3^{\ell}$, donc que $2^{a+1}=3^{\ell}-1=9^{b}-1=\left(3^{b}-1\right)\left(3^{b}+1\right)$. De même, puisque $3^{\mathrm{b}}-1$ et $3^{\mathrm{b}}+1$ sont pairs et que $\operatorname{PGCD}\left(2,3^{\mathrm{b}}-1,3^{\mathrm{b}}+1\right)$ divise 2 , l'un des facteurs $3^{b}-1$ et $3^{b}+1$ vaut nécessairement $2^{a}$, tandis que l'autre vaut 2 . Par conséquent, $3^{\mathrm{b}}-1=2$ et $3^{\mathrm{b}}+1=2^{\mathrm{a}}$, ce qui montre que $\mathrm{a}=2$ et $\mathrm{b}=1$, ou encore $\mathrm{k}=4$ et $\ell=2$.
Réciproquement, si $(k, \ell)=(4,2)$, on a bien $2^{k}+3^{\ell}=2^{4}+3^{2}=16+9=25=5^{2}$. Ceci montre que la paire $(k, \ell)=(4,2)$ est la seule solution du problème.

Exercice 4. Soit $a, b, c, d$ des réels tels que $0 \leqslant a \leqslant b \leqslant c \leqslant d$. Montrer que

$$
a b^{3}+b c^{3}+c d^{3}+d a^{3} \geqslant a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} d^{2}+d^{2} a^{2}
$$

Solution de l'exercice 4 Une première idée est de considérer les sommes «symétriques $\gg$ l'une de l'autre $S_{1}=a b^{3}+b^{3}+c d^{3}+d a^{3}$ et $S_{2}=a^{3} b+b^{3} c+c^{3} d+d^{3} a$. On constate alors que
$S_{1}-S_{2}=\left(d^{3}-b^{3}\right)(c-a)+\left(c^{3}-a^{3}\right)(b-d)=(d-b)(c-a)\left(d^{2}+b d+d^{2}-c^{2}-a c-a^{2}\right) \geqslant 0$.
L'inégalité de Cauchy-Schwarz indique alors que $S_{1}^{2} \geqslant S_{1} S_{2} \geqslant\left(a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} d^{2}+d^{2} a^{2}\right)^{2}$, ce qui conclut.

## Exercices du groupe A - Énoncés et solutions

Exercice 5. Soit $n$ un entier naturel impair, et soit $a_{1}, \ldots, a_{n}$ des entiers naturels non nuls. On note $A$ le produit des entiers $a_{i}$, et $d$ leur plus grand diviseur commun.
Montrer que

$$
\operatorname{PGCD}\left(a_{1}^{n}+A, a_{2}^{n}+A, \ldots, a_{n}^{n}+A\right) \leqslant 2 d^{n}
$$

Solution de l'exercice 5 Pour tout $i$, on pose $b_{i}=a_{i} / d$, de sorte que $\operatorname{PGCD}\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right)=1$, et on pose également $B=b_{1} \times \ldots \times b_{n}$ et $\Delta=\operatorname{PGCD}\left(b_{1}^{n}+B, b_{2}^{n}+B, \ldots, b_{n}^{n}+B\right)$. Alors $\operatorname{PGCD}\left(a_{1}^{n}+A, a_{2}^{n}+A, \ldots, a_{n}^{n}+A\right)=d^{n} \times \Delta$, et il reste à démontrer que $\Delta \leqslant 2$.
On considère alors un éventuel facteur premier $p$ de $\Delta$. Si $p$ divise un des entiers $b_{i}$, alors il divise $B$ également, donc il divise chaque entier $b_{j}$, ce qui est absurde. Par conséquent, $p$ ne divise aucun des entiers $b_{i}$, et ne divise pas $B$ non plus. Cela montre que $\Delta$ est premier avec $B$. Or, puisque $b_{1}^{n} \equiv b_{2}^{n} \equiv \ldots \equiv b_{n}^{n}=-B(\bmod \Delta)$, alors $B^{n} \equiv b_{1}^{n} \times \ldots \times b_{n}^{n} \equiv(-1)^{n} B^{n} \equiv-B^{n}$ $(\bmod \Delta)$. Par conséquent, $\Delta$ divise $2 \mathrm{~B}^{n}$. On en déduit que $\Delta$ divise 2 , ce qui conclut.

Exercice 6. Soit q un nombre réel. Margaret a écrit 10 nombres réels, deux à deux distincts, sur une ligne. Puis elle ajoute trois lignes comme suit :
$\triangleright$ sur la $2^{\text {nde }}$ ligne, elle écrit tous les nombres de la forme $a-b$, où $a$ et $b$ sont deux réels (non nécessairement distincts) de la $1{ }^{\text {ère }}$ ligne;
$\triangleright$ sur la $3^{\text {ème }}$ ligne, elle écrit tous les nombres de la forme $q a b$, où $a$ et $b$ sont deux réels (non nécessairement distincts) de la $2^{\text {nde }}$ ligne;
$\triangleright$ sur la $4^{\text {ème }}$ ligne, elle écrit tous les nombres de la forme $a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}$, où $a, b, c$ et $d$ sont des réels (non nécessairement distincts) de la $2^{\text {nde }}$ ligne.
Trouver tous les réels q tels que, quels que soient les 10 nombres écrits sur la $1{ }^{\text {ère }}$ ligne, chaque nombre de la $3^{\text {ème }}$ ligne soit également sur la $4^{\text {ème }}$ ligne.
Solution de l'exercice 6 On va dire qu'un réel q est bon s'il a la propriété demandée dans l'énoncé. Tout d'abord, il est clair que, si q est bon, alors - q l'est aussi, et réciproquement. D'autre part, $q=0$ est manifestement bon. On cherche donc les bons réels $q>0$, s'il y en a.
Soit $\lambda$ un grand nombre réel et soit $\varepsilon=1 / \lambda$. On suppose que Margaret a écrit dix nombres $x_{1}, \ldots, x_{10}$ tels que $0 \leqslant x_{1}<\ldots<x_{8} \leqslant \varepsilon, x_{9}=1$ et $x_{10}=\lambda$. Alors la $2^{\text {nde }}$ ligne contient les nombres $\pm \lambda, \pm(\lambda-1)$ et $\pm 1$, ainsi que des éléments de l'ensemble $\Omega_{2}=[0,1] \cup[\lambda-\varepsilon, \lambda]$ et leurs opposés. En particulier, Margaret écrit donc les réels $q \lambda^{2}$ et $q \lambda$ sur la $3^{\text {ème }}$ ligne.

On considère alors un nombre de la $4^{\text {ème }}$ ligne, de la forme $z=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}$, et tel que $z \geqslant 0$. Chacun des réels $\mathrm{a}^{2}, \mathrm{~b}^{2}, \mathrm{c}^{2}, \mathrm{~d}^{2}$ appartient à l'ensemble $\left\{0, \lambda^{2}\right\}+\{-2 \lambda, 0\}+[0,2]$, donc $z$ appartient à l'ensemble $\Omega_{4}=\left\{0, \lambda^{2}, 2 \lambda^{2}\right\}+\{-4 \lambda,-2 \lambda, 0,2 \lambda, 4 \lambda\}+[-4,4]$.
Si q est bon, alors $q \lambda^{2}$ et $\mathrm{q} \lambda$ appartiennent à $\Omega_{4}$, donc en faisant tendre $\lambda$ vers $+\infty$ on en déduit respectivement que $q \in\{1,2\}$ et que $q \in\{2,4\}$. Cela montre que seul $q=2$ est susceptible d'être bon.
Réciproquement, si $q=2$, tout nombre de la $3^{\text {ème }}$ est de la forme $2(a-b)(c-d)$ avec $a, b, c, d$ des réels de la $1^{\text {ère }}$ ligne. Puisque $2(a-b)(c-d)=(a-d)^{2}+(b-c)^{2}-(a-c)^{2}-(b-d)^{2}$, ce nombre est figure également sur la $4^{\text {ème }}$ ligne. Par conséquent, les bons réels sont $-2,0$ et 2 .
Exercice 7. Soit $A B C$ un triangle acutangle non isocèle. Soit O le centre du cercle circonscrit à $A B C$ et $H$ l'orthocentre de $A B C$. Soit $P$ et $Q$ les points d'intersection respectifs de ( $A O)$ avec (BH) et (CH).
Montrer que le centre du cercle circonscrit à $P Q H$ se situe sur une médiane du triangle $A B C$.
Solution de l'exercice 7 Soit $\Omega$ le cercle circonscrit à $A B C, \omega$ le cercle circonscrit à PQH , et $X$ le centre de $\omega$. Puisque $B$ et $C$ jouent des rôles symétriques, on va montrer que $X$ se trouve sur la médiane issue de $A$. Soit alors $M$ le point d'intersection des droites $(A X)$ et (BC) : montrons que $M$ est le milieu de $[B C]$, c'est-à-dire que $\widehat{C M O}=90^{\circ}$.
Tout d'abord, une simple chasse aux angles montre que $\widehat{\mathrm{QHP}}=\widehat{\mathrm{CAB}}, \widehat{\mathrm{HPQ}}=\widehat{\mathrm{ABC}}$ et $\widehat{\mathrm{PQH}}=$ $\widehat{P H A}=\widehat{B C A}$. Les triangles $A B C$ et $H P Q$ sont donc semblables, et il existe une similitude $s$ telle que $s(A)=H, s(B)=P, s(C)=Q$ et $s(O)=X$.
$D^{\prime}$ autre part, puisque $\widehat{P Q H}=\widehat{P H A}$ on sait que $(A H)$ est tangente à $\omega$ en $H$. Par conséquent, si on pose $S=s^{-1}(\mathcal{A})$, alors on sait que $S$ est le point d'intersection de (BC) et de la tangente à $\Omega$ en $A$. Puisque s envoie $B S O$ sur $P A X$, on en déduit que $\widehat{M S O}=\widehat{B S O}=\widehat{\mathrm{XAP}}=\widehat{\mathrm{MAO}}$, donc que les points $M, S, O$ et $A$ sont cocycliques. Or, $\widehat{S A O}=90^{\circ}$. Il s'ensuit que $\widehat{S M O}=90^{\circ}$ également, ce qui conclut.