{"year": "2014", "tier": "T2", "problem_label": "1", "problem_type": null, "exam": "French_envois", "problem": "Soit $A B C D$ un carré de côté 1. À l'intérieur du carré, on trace les arcs de cercles de centres $A, B, C, D$ et de rayon 1 . Déterminer l'aire de chaque portion délimitée à l'intérieur du carré.", "solution": "Considérons les aires $a, b, c$ des portions indiquées sur la figure.\n![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_24_f0f76d91180c37423f27g-02.jpg?height=484&width=1064&top_left_y=574&top_left_x=517)\n\nComme l'aire du carré est égale à 1 , on a\n\n$$\na+4 b+4 c=1 .\n$$\n\nComme l'aire du quart de cercle $A B C$ est égale à $\\pi / 4$, on a\n\n$$\na+3 b+2 c=\\pi / 4 \\text {. }\n$$\n\nConsidérons maintenant le secteur angulaire $O M N$ de rayon 1 et d'angle $\\pi / 3$. Il a pour aire $\\pi / 6$. D'autre part, le triangle $O M N$ a pour aire $\\frac{\\sqrt{3}}{4}$, donc l'aire de la \"lune\" est égale à $\\frac{\\pi}{6}-\\frac{\\sqrt{3}}{4}$. On en déduit que\n\n$$\na+2 b+c=2\\left(\\frac{\\pi}{6}-\\frac{\\sqrt{3}}{4}\\right)+\\frac{\\sqrt{3}}{4}=\\frac{\\pi}{3}-\\frac{\\sqrt{3}}{4} .\n$$\n\nEn soustrayant les équations (1) et (2) et les équations (1) et (3), on en déduit\n\n$$\n\\begin{aligned}\nb+2 c & =1-\\frac{\\pi}{4} \\\\\n2 b+3 c & =1+\\frac{\\sqrt{3}}{4}-\\frac{\\pi}{3}\n\\end{aligned}\n$$\n\nce qui donne facilement\n\n$$\n\\begin{aligned}\nb & =-1+\\frac{\\sqrt{3}}{2}+\\frac{\\pi}{12} \\\\\nc & =1-\\frac{\\sqrt{3}}{4}-\\frac{\\pi}{6} \\\\\na & =1-\\sqrt{3}+\\frac{\\pi}{3}\n\\end{aligned}\n$$", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-5-solutions.jsonl", "problem_match": "\nExercice 1.", "solution_match": "## Solution de l'exercice 1"}}
{"year": "2014", "tier": "T2", "problem_label": "2", "problem_type": null, "exam": "French_envois", "problem": "Dans un cercle $\\mathcal{C}$ de centre $O$, on trace une corde $[C D]$. Soit $\\Gamma$ le cercle de diamètre $[C D]$ et $O^{\\prime}$ son centre. La médiatrice de $[C D]$ coupe le cercle $\\mathcal{C}$ en deux points $A$ et $B$ tels que $A$ est extérieur à $\\Gamma$. Notons $T$ et $T^{\\prime}$ les points de contact des tangentes à $\\Gamma$ passant par $A$. Soit $F$ le milieu de $\\left[T T^{\\prime}\\right]$. Montrer que $O^{\\prime}$ est le milieu de $[B F]$.", "solution": "![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_24_f0f76d91180c37423f27g-03.jpg?height=576&width=567&top_left_y=449&top_left_x=779)\n\nComme les triangles $A F T$ et $A T O^{\\prime}$ sont semblables, on a $\\frac{A F}{A T}=\\frac{A T}{A O^{\\prime}}$. Or, $A T^{2}=A O^{\\prime 2}-O^{\\prime} T^{2}=$ $A O^{\\prime 2}-O^{\\prime} C^{2}$ donc $A F=\\frac{A O^{\\prime 2}-O^{\\prime} C^{2}}{A O^{\\prime}}$.\nComme les triangles $A C B$ et $A O^{\\prime} C$ sont semblables, on a $\\frac{A B}{A C}=\\frac{A C}{A O^{\\prime}}$. Or, $A C^{2}=A O^{\\prime 2}+O^{\\prime} C^{2}$ donc $A B=\\frac{A O^{\\prime 2}+O^{\\prime} C^{2}}{A O^{\\prime}}$.\nEn additionnant les égalités précédemment trouvées, on obtient $\\frac{A F+A B}{2}=A O^{\\prime}$.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-5-solutions.jsonl", "problem_match": "\nExercice 2.", "solution_match": "## Solution de l'exercice 2"}}
{"year": "2014", "tier": "T2", "problem_label": "3", "problem_type": null, "exam": "French_envois", "problem": "Soit $A B C$ un triangle isocèle en $A$. Soient $M$ et $N$ deux points de $[B C]$. Les droites $[A M]$ et $[A N]$ recoupent le cercle circonscrit à $A B C$ en $P$ et $Q$.\n\n1) Montrer que $M, N, P, Q$ sont cocycliques.\n2) Soient $R_{1}$ et $R_{2}$ les rayons des cercles circonscrits à $B M P$ et $C M P$. Calculer $R_{1}+R_{2}$ en fonction des longueurs $A B$ et $B C$.", "solution": "![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_24_f0f76d91180c37423f27g-04.jpg?height=903&width=630&top_left_y=508&top_left_x=720)\n\n1) $\\widehat{P M N}=\\widehat{P M C}=\\pi-\\widehat{M C P}-\\widehat{C P M}=\\pi-\\widehat{B C P}-\\widehat{C P A}=\\pi-\\widehat{B C P}-\\widehat{C B A}$, et $\\widehat{N Q P}=\\widehat{A Q P}=\\widehat{A C P}=\\widehat{A C B}+\\widehat{B C P}=\\widehat{C B A}+\\widehat{B C P}$,\ndonc $\\widehat{P M N}=\\pi-\\widehat{N Q P}$, ce qui prouve la cocyclicité de $M, N, P, Q$.\n2) D'après la loi des sinus, on a\n\n$$\n2\\left(R_{1}+R_{2}\\right)=\\frac{B M}{\\sin \\widehat{M P B}}+\\frac{C M}{\\sin \\widehat{C P M}}\n$$\n\nOr, $\\widehat{M P B}=\\widehat{A P B}=\\widehat{A C B}$ et de même $\\widehat{C P M}=\\widehat{A C B}$, donc\n\n$$\n2\\left(R_{1}+R_{2}\\right)=\\frac{B M+C M}{\\sin \\widehat{A C B}}=\\frac{B C}{\\sin \\widehat{A C B}} .\n$$\n\nD'autre part, soit $H$ le projeté orthogonal de $A \\operatorname{sur}(B C)$. On a $\\sin \\widehat{A C B}=\\frac{A H}{A B}=\\frac{\\sqrt{A B^{2}-(B C / 2)^{2}}}{A B}$, donc\n\n$$\nR_{1}+R_{2}=\\frac{A B \\times B C}{2 \\sqrt{A B^{2}-(B C / 2)^{2}}}\n$$\n\n## Exercices communs", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-5-solutions.jsonl", "problem_match": "\nExercice 3.", "solution_match": "## Solution de l'exercice 3"}}
{"year": "2014", "tier": "T2", "problem_label": "4", "problem_type": null, "exam": "French_envois", "problem": "Soit $A B C$ un triangle. Les bissectrices de $\\widehat{A}, \\widehat{B}$ et $\\widehat{C}$ recoupent le cercle circonscrit en $A^{\\prime}, B^{\\prime}$ et $C^{\\prime}$ respectivement. Soit $I$ le centre du cercle inscrit à $A B C$. Les cercles de diamètres $\\left[I A^{\\prime}\\right],\\left[I B^{\\prime}\\right]$ et $\\left[I C^{\\prime}\\right]$ coupent respectivement les droites $(B C),(C A)$ et $(A B)$ en $A_{1}$ et $A_{2}, B_{2}$ et $B_{2}$, $C_{1}$ et $C_{2}$. Montrer que $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}, C_{1}, C_{2}$ sont cocycliques.", "solution": "![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_24_f0f76d91180c37423f27g-05.jpg?height=730&width=868&top_left_y=540&top_left_x=623)\n\nNotons $\\Gamma_{A}, \\Gamma_{B}$ et $\\Gamma_{C}$ les cercles de diamètres respectifs $\\left[I A^{\\prime}\\right],\\left[I B^{\\prime}\\right]$ et $\\left[I C^{\\prime}\\right]$.\nRemarquons d'abord que $I$ est l'orthocentre de $A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime}$. Pour le voir, montrons par exemple que $\\left(A^{\\prime} C^{\\prime}\\right) \\perp\\left(B^{\\prime} I\\right)$ :\n\n$$\n\\begin{aligned}\n\\left(B^{\\prime} I, A^{\\prime} C^{\\prime}\\right) & =\\left(B B^{\\prime}, A^{\\prime} C^{\\prime}\\right)=\\left(B B^{\\prime}, B A\\right)+\\left(A B, A A^{\\prime}\\right)+\\left(A^{\\prime} A, A^{\\prime} C^{\\prime}\\right) \\\\\n& =\\left(B B^{\\prime}, B A\\right)+\\left(A B, A A^{\\prime}\\right)+\\left(C A, C C^{\\prime}\\right) \\\\\n& =\\frac{\\widehat{B}+\\widehat{A}+\\widehat{C}}{2}=\\frac{\\pi}{2} \\quad(\\bmod \\pi)\n\\end{aligned}\n$$\n\nSoit $B^{\\prime \\prime}$ le pied de la hauteur de $A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime}$ issue de $B^{\\prime}$. Alors $B, B^{\\prime \\prime}$ et $I$ sont alignés d'après ce qui précède.\nD'autre part, comme $\\left(I B^{\\prime \\prime}\\right) \\perp\\left(B^{\\prime \\prime} A^{\\prime}\\right), B^{\\prime \\prime}$ appartient à $\\Gamma_{A}$. De même, il appartient à $\\Gamma_{C}$, donc l'axe radical de ces deux cercles est $\\left(I B^{\\prime \\prime}\\right)$. On en déduit que $B$ appartient également à cet axe radical, ce qui entraîne que $B A_{1} \\cdot B A_{2}=B C_{1} \\cdot B C_{2}$ et donc $A_{1}, A_{2}, C_{1}, C_{2}$ sont cocycliques. Soit $\\Gamma_{C A}$ le cercle passant par ces points.\nOn définit de même $\\Gamma_{A B}$ et $\\Gamma_{B C}$. Si ces trois cercles étaient deux à deux distincts, alors leurs axes radicaux pris deux à deux seraient $(A B),(B C)$ et $(C A)$ et ne seraient ni concourants ni parallèles, ce qui est impossible.\nDonc deux de ces cercles sont confondus, et par conséquent $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}, C_{1}, C_{2}$ sont cocycliques.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-5-solutions.jsonl", "problem_match": "\nExercice 4.", "solution_match": "## Solution de l'exercice 4"}}
{"year": "2014", "tier": "T2", "problem_label": "5", "problem_type": null, "exam": "French_envois", "problem": "Soit $A B C D$ un quadrilatère cyclique. Un cercle passant par $A$ et $B$ coupe $[A C]$ et $[B D]$ en $E$ et $F$. Les droites $(A F)$ et $(B E)$ coupent $[B C]$ et $[A D]$ en $P$ et $Q$ respectivement. Montrer que $(P Q)$ est parallèle à $(C D)$.", "solution": "![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_24_f0f76d91180c37423f27g-06.jpg?height=714&width=928&top_left_y=432&top_left_x=585)\n$\\widehat{A Q B}=\\widehat{A Q E}=\\pi-\\widehat{Q E A}-\\widehat{E A Q}=\\widehat{A E B}-\\widehat{C A D}$ et de même, $\\widehat{A P B}=\\widehat{A F B}-\\widehat{C B D}$. Or, $\\widehat{A E B}=\\widehat{A F B}$ et $\\widehat{C A D}=\\widehat{C B D}$, donc $\\widehat{A Q B}=\\widehat{A P B}$. On en déduit que $A, B, P, Q$ sont cocycliques. Il vient: $(A D, P Q)=(Q A, Q P)=(B A, B P)=(B A, B C)=(D A, D C)$, donc $(P Q)$ et $(D C)$ sont parallèles.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-5-solutions.jsonl", "problem_match": "\nExercice 5.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"}}
{"year": "2014", "tier": "T2", "problem_label": "6", "problem_type": null, "exam": "French_envois", "problem": "Soit $A$ un point extérieur à un cercle $\\Gamma$. On mène deux tangentes $[A T]$ et $\\left[A T^{\\prime}\\right]$ issues de $A$. Soient $M$ et $M^{\\prime}$ les milieux de $[A T]$ et $\\left[A T^{\\prime}\\right]$. Soit $P$ un point de $\\left(M M^{\\prime}\\right)$. Notons $[U V]$ la corde de $\\Gamma$ telle que $(P U)$ et $(P V)$ soient tangentes à $\\Gamma$. La droite $(U V)$ coupe $\\left(M M^{\\prime}\\right)$ en $Q$. Montrer que le triangle $P A Q$ est rectangle.", "solution": "![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_24_f0f76d91180c37423f27g-07.jpg?height=681&width=873&top_left_y=451&top_left_x=626)\n\nComme $M A=M T, M$ appartient à l'axe radical de $A$ et $\\Gamma$ ( $A$ étant considéré comme un cercle de rayon nul). De même, $M^{\\prime}$ appartient à cet axe radical, donc $P$ et $Q$ également. On en déduit que $P A=P U=P V$ et que $Q A^{2}=Q U \\cdot Q V$.\nNotons $H$ le projeté orthogonal de $P$ sur ( $U V$ ). On a\n\n$$\n\\begin{aligned}\nP A^{2}+Q A^{2} & =P U^{2}+Q U \\cdot Q V=P H^{2}+H U^{2}+(Q H-H U)(Q H+H U) \\\\\n& =P H^{2}+H U^{2}+Q H^{2}-H U^{2}=P H^{2}+Q H^{2}=P Q^{2}\n\\end{aligned}\n$$\n\ndonc $P A Q$ est rectangle en $A$.\n\n## Exercices du groupe A", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-5-solutions.jsonl", "problem_match": "\nExercice 6.", "solution_match": "## \nSolution de l'exercice 6"}}
{"year": "2014", "tier": "T2", "problem_label": "7", "problem_type": null, "exam": "French_envois", "problem": "Soit $A B C$ un triangle et $\\omega$ son cercle inscrit. On note $P, Q, R$ les points de contact de $\\omega$ avec $(B C),(C A)$ et $(A B)$. Un cercle passant par $B$ et $C$ est tangent en $X$ à $\\omega$, un cercle passant par $C$ et $A$ est tangent en $Y$ à $\\omega$ et un cercle passant par $A$ et $B$ est tangent en $Z$ à $\\omega$. Montrer que les droites $(P X),(Q Y)$ et $(R Z)$ sont concourantes.", "solution": "Rappelons d'abord quelques résultats sur la polarité que nous allons utiliser. Soit $\\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $R$. Si $P$ est un point distinct de $O$, la polaire de $P$ par rapport à $\\mathcal{C}$ est la droite formée des points $M$ tels que $\\overrightarrow{O P} \\cdot \\overrightarrow{O M}=R^{2}$. Le pôle par rapport à $\\mathcal{C}$ d'une droite $\\mathcal{D}$ ne passant pas par $O$ est l'unique point $P$ tel que pour tout $M$ appartenant à $\\mathcal{D}$ on a $\\overrightarrow{O P} \\cdot \\overrightarrow{O M}=R^{2}$. À partir de cette définition, il est facile de montrer les propriétés suivantes:\n(i) si $P$ est un point extérieur à $\\mathcal{C}$ et $(P T),\\left(P T^{\\prime}\\right)$ sont les deux tangentes à $\\mathcal{C}$, alors la polaire de $P$ est la droite ( $T T^{\\prime}$ );\n(ii) trois points donnés sont alignés si et seulement si leurs polaires sont concourantes.\n(Remarque : pour la propriété (ii), la droite sur laquelle se trouvent les trois points est la polaire du point de rencontre des trois droites.)\n![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_24_f0f76d91180c37423f27g-08.jpg?height=795&width=971&top_left_y=1093&top_left_x=580)\n\nRevenons à l'exercice. Notons $\\Gamma_{A}$ le cercle passant par $B, C$ et $X$. On définit de même les cercles $\\Gamma_{B}$ et $\\Gamma_{C}$. Soit $A^{\\prime}$ le point de rencontre entre la tangente commune à $\\omega$ et $\\Gamma_{X}$, et la droite $(B C)$. On définit de même les points $B^{\\prime}$ et $C^{\\prime}$.\nD'après la propriété (ii), la polaire de $A^{\\prime}$ par rapport à $\\omega$ est la droite $(P X)$. Il suffit donc d'après la propriété (i) de montrer que $A^{\\prime}, B^{\\prime}$ et $C^{\\prime}$ sont alignés.\nSoit $\\Gamma$ le cercle circonscrit à $A B C$. Comme $A^{\\prime}$ appartient à l'axe radical $(B C)$ de $\\Gamma$ et $\\Gamma_{A}$, on a $\\mathcal{P}_{\\Gamma}\\left(A^{\\prime}\\right)=\\mathcal{P}_{\\Gamma_{A}}\\left(A^{\\prime}\\right)=A^{\\prime} X^{2}=\\mathcal{P}_{\\omega}\\left(A^{\\prime}\\right)$. On en déduit que $A^{\\prime}$ appartient à l'axe radical de $\\Gamma$ et $\\omega$. Il en va de même pour $B^{\\prime}$ et $C^{\\prime}$, ce qui prouve que $A^{\\prime}, B^{\\prime}$ et $C^{\\prime}$ sont alignés.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-5-solutions.jsonl", "problem_match": "\nExercice 7.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"}}
{"year": "2014", "tier": "T2", "problem_label": "8", "problem_type": null, "exam": "French_envois", "problem": "Soit $A B C$ un triangle. On note $P$ le milieu de l'arc du cercle circonscrit à $A B C$ contenant $A$. On suppose que la bissectrice de l'angle $\\widehat{B A C}$ coupe le cercle de diamètre $[P C]$ en deux points $D$ et $E$. Soit $F$ le symétrique de $E$ par rapport à $(B C)$ et $I$ le milieu de $[B C]$. Montrer que $B, D, F, I$ sont cocycliques.", "solution": "![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_24_f0f76d91180c37423f27g-09.jpg?height=701&width=717&top_left_y=460&top_left_x=715)\n\nOn applique l'inversion $i$ de pôle $I$ et de puissance $-I B \\cdot I C$. Soit $Q$ le point diamétralement opposé à $P$. Alors $i$ échange $P$ et $Q$ d'une part, et $B$ et $C$ d'autre part. Comme le cercle de diamètre $[P C]$ passe par $I$, son image par $i$ est une droite. Or, $i(P)=Q$ et $i(C)=B$, donc $i$ transforme le cercle de diamètre $[P C]$ en la droite $(B Q)$.\nLa bissectrice de $\\widehat{A}$ est transformée en un cercle passant par $I$ et par $P$.\nNotons $K=i(D), L=i(E)$ et $M=i(F)$. D'après ce qui précède, les points $K$ et $L$ appartiennent à $(B Q)$, et $P, I, K, L$ sont cocycliques. De plus, $L$ et $M$ sont symétriques par rapport à $(B C)$.\n![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_24_f0f76d91180c37423f27g-09.jpg?height=553&width=614&top_left_y=1591&top_left_x=753)\n\nEnfin, remarquons que $Q I \\cdot Q P=Q B^{2}$ car $Q B I$ et $Q P B$ sont semblables. En utilisant la puissance par rapport au cercle $P I K L$, on obtient que $Q K \\cdot Q L=Q B^{2}$, donc $K$ et $L$ sont inverses par rapport au cercle de centre $Q$ et de rayon $Q B$. On est ainsi ramenés à démontrer le lemme suivant :\nLemme: Soit $\\mathcal{C}$ un cercle de centre $Q$. Soit $[B C]$ une corde de $\\mathcal{C}$ et $L$ un point de $(Q B)$. Alors $C$, l'inverse de $L$ par rapport à $\\mathcal{C}$ et le symétrique de $L$ par rapport à $(B C)$ sont alignés.\n![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_24_f0f76d91180c37423f27g-10.jpg?height=798&width=1055&top_left_y=132&top_left_x=535)", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-5-solutions.jsonl", "problem_match": "\nExercice 8.", "solution_match": "## Solution de l'exercice 8"}}
{"year": "2014", "tier": "T2", "problem_label": "8", "problem_type": null, "exam": "French_envois", "problem": "Soit $A B C$ un triangle. On note $P$ le milieu de l'arc du cercle circonscrit à $A B C$ contenant $A$. On suppose que la bissectrice de l'angle $\\widehat{B A C}$ coupe le cercle de diamètre $[P C]$ en deux points $D$ et $E$. Soit $F$ le symétrique de $E$ par rapport à $(B C)$ et $I$ le milieu de $[B C]$. Montrer que $B, D, F, I$ sont cocycliques.", "solution": "du lemme: on note toujours $I$ le milieu de $[B C]$. Soit $\\Delta$ la médiatrice de $[B C]$ et $L^{\\prime}$ le symétrique de $L$ par rapport à $\\Delta$. On a\n\n$$\n\\left[B L^{\\prime}\\right]=\\operatorname{sym}_{\\Delta}([C L])=\\operatorname{sym}_{\\Delta} \\operatorname{sym}_{(B C)}([C M])=\\operatorname{sym}_{I}([C M]),\n$$\n\ndonc $(C M)$ et $\\left(L^{\\prime} B\\right)$ sont parallèles.\nD'autre part, $\\frac{Q B}{Q K}=\\frac{Q L}{Q B}=\\frac{Q L^{\\prime}}{Q C}$ donc $\\left(L^{\\prime} B\\right)$ et $(C K)$ sont parallèles. Finalement, $(C M)$ et $(C K)$ sont parallèles, donc $C, K, M$ sont alignés.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-5-solutions.jsonl", "problem_match": "\nExercice 8.", "solution_match": "\nPremière démonstration"}}
{"year": "2014", "tier": "T2", "problem_label": "8", "problem_type": null, "exam": "French_envois", "problem": "Soit $A B C$ un triangle. On note $P$ le milieu de l'arc du cercle circonscrit à $A B C$ contenant $A$. On suppose que la bissectrice de l'angle $\\widehat{B A C}$ coupe le cercle de diamètre $[P C]$ en deux points $D$ et $E$. Soit $F$ le symétrique de $E$ par rapport à $(B C)$ et $I$ le milieu de $[B C]$. Montrer que $B, D, F, I$ sont cocycliques.", "solution": "du lemme : on conserve les notations du paragraphe précédent. On note $b, c, k, \\ell, \\ell^{\\prime}, m$ les affixes de $B, C, K, L, L^{\\prime}, M$, et on peut supposer que $Q$ est l'origine, que $|b|=1$ et que $c=\\bar{b}$.\nComme $L$ appartient à $(Q B)$, il existe $t \\in \\mathbb{R}$ tel que $\\ell=t b$.\nComme $K$ et $L$ sont inverses par rapport au cercle, on a $k=\\frac{1}{t} b$.\nOn a $\\ell^{\\prime}=\\bar{\\ell}$. Le fait que $L^{\\prime}$ est le symétrique $M$ par rapport à $I$ se traduit par $\\ell^{\\prime}+m=b+c$. Il vient $m=b+c-\\bar{\\ell}=b+c-t c$.\nOn en déduit que $\\overrightarrow{C M}=m-c=b-t c=t k-t c=t \\overrightarrow{C K}$, par conséquent $C, K, M$ sont alignés.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-5-solutions.jsonl", "problem_match": "\nExercice 8.", "solution_match": "\nDeuxième démonstration"}}
{"year": "2014", "tier": "T2", "problem_label": "9", "problem_type": null, "exam": "French_envois", "problem": "Soit $A B C$ un triangle isocèle en $A, D$ le pied de la hauteur issue de $A$ et $M$ un point intérieur à $A D C$ tel que $\\widehat{A M B}$ est obtus et $\\widehat{D B M}+\\widehat{D A M}=\\widehat{M C B}$. Les droites $(C M)$ et $(A D)$ se coupent en $P$, et les droites $(B M)$ et $(A D)$ se coupent en $Q$. Soit $S$ un point de $[A B]$ et $R$ un point de $[A M)$ qui n'est pas sur $[A M]$ tel que $\\widehat{S Q B}=\\widehat{D P C}$ et $\\widehat{M R Q}=2 \\widehat{Q A M}$. Montrer que $Q R S$ est isocèle.", "solution": "![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_24_f0f76d91180c37423f27g-11.jpg?height=825&width=762&top_left_y=498&top_left_x=676)\n\nNotons $\\alpha=\\widehat{B A D}, \\beta=\\widehat{C B M}, \\gamma=\\widehat{M C B}$ et $\\theta=\\widehat{D A M}$. Par hypothèse, on a $\\beta+\\theta=\\gamma$, $\\widehat{S Q B}=\\widehat{D P C}=\\frac{\\pi}{2}-\\gamma$ et $\\widehat{M R Q}=2 \\theta$.\nOn a $\\widehat{Q S A}=\\pi-\\widehat{B S Q}=\\widehat{Q B S}+\\widehat{S Q B}=\\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha-\\beta\\right)+\\left(\\frac{\\pi}{2}-\\gamma\\right)=\\pi-(\\alpha+\\beta+\\gamma)$.\nD'après la loi des sinus pour les triangles $Q A S$ et $Q A R$, on a\n\n$$\n\\frac{Q S}{Q R}=\\frac{Q S}{Q A} \\times \\frac{Q A}{Q R}=\\frac{\\sin \\alpha}{\\sin (\\alpha+\\beta+\\gamma)} \\frac{\\sin 2 \\theta}{\\sin \\theta}=\\frac{2 \\sin \\alpha \\cos \\theta}{\\sin (\\alpha+\\beta+\\gamma)}\n$$\n\nOn doit montrer que ce rapport est égal à 1.\nD'après le théorème de Ceva trigonométrique appliqué au point $M$ dans le triangle $A B C$, on a\n\n$$\n\\frac{\\sin (\\alpha+\\theta)}{\\sin (\\alpha-\\theta)} \\times \\frac{\\sin \\beta}{\\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha-\\beta\\right)} \\times \\frac{\\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha-\\gamma\\right)}{\\sin \\gamma}=1\n$$\n\ndonc $\\sin (\\alpha+\\theta) \\sin \\beta \\cos (\\alpha+\\gamma)=\\sin (\\alpha-\\theta) \\cos (\\alpha+\\beta) \\sin \\gamma$.\nEn utilisant l'identité $2 \\sin x \\cos y=\\sin (x+y)+\\sin (x-y)$, on en déduit\n\n$$\n\\sin (\\alpha+\\theta)[\\sin (\\alpha+\\beta+\\gamma)-\\sin (\\alpha+\\gamma-\\beta)]=\\sin (\\alpha-\\theta)[\\sin (\\alpha+\\beta+\\gamma)-\\sin (\\alpha+\\beta-\\gamma)]\n$$\n\nCompte tenu de $\\gamma-\\beta=\\theta$,\n\n$$\n\\sin (\\alpha+\\theta)[\\sin (\\alpha+\\beta+\\gamma)-\\sin (\\alpha+\\theta)]=\\sin (\\alpha-\\theta)[\\sin (\\alpha+\\beta+\\gamma)-\\sin (\\alpha-\\theta)]\n$$\n\nou encore $(\\sin (\\alpha+\\theta)-\\sin (\\alpha-\\theta))[\\sin (\\alpha+\\beta+\\gamma)-(\\sin (\\alpha+\\theta)+\\sin (\\alpha-\\theta))]$.\nIl vient $\\sin (\\alpha+\\beta+\\gamma)=\\sin (\\alpha+\\theta)+\\sin (\\alpha-\\theta))=2 \\sin \\alpha \\cos \\theta$.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-5-solutions.jsonl", "problem_match": "\nExercice 9.", "solution_match": "## Solution de l'exercice 9"}}