{"year": "2015", "tier": "T1", "problem_label": "1", "problem_type": null, "exam": "French_tests", "problem": "Soit $a_{1}, a_{2}, \\ldots, a_{2 n}$ des réels tels que $a_{1}+a_{2}+\\cdots+a_{2 n}=0$.\nProuver qu'il existe au moins $2 n-1$ couples $\\left(a_{i}, a_{j}\\right)$ avec $i<j$ tels que $a_{i}+a_{j} \\geqslant 0$.", "solution": "Sans perte de généralité, on peut supposer que $a_{1} \\leq a_{2} \\leq \\cdots \\leq a_{2 n}$. On distingue deux cas :\n\n- Si $a_{n}+a_{2 n-1} \\geq 0$ alors on a $a_{i}+a_{2 n-1} \\geq 0$ pour $i=n, \\cdots, 2 n-2$, et $a_{i}+a_{2 n} \\geq 0$ pour $i=n \\cdots, 2 n-1$. Cela fournit bien $2 n-1$ sommes positives ou nulles.\n- Si $a_{n}+a_{2 n-1}<0$ alors\n\n$$\na_{1}+\\cdots+a_{n-1}+a_{n+1}+\\cdots a_{2 n-2}+a_{2 n}>0\n$$\n\nD'autre part, on a $0>a_{n}+a_{2 n-1} \\geq a_{n-1}+a_{2 n-2} \\geq \\cdots \\geq a_{2}+a_{n+1}$, donc\n\n$$\na_{2}+a_{3}+\\cdots+a_{n-1}+a_{n+1}+\\cdots+a_{2 n-2}<0\n$$\n\nDe (1) et (2), on déduit que $a_{1}+a_{2 n} \\geq 0$, ce qui assure que $a_{i}+a_{2 n} \\geq 0$ pour $i=1, \\cdots 2 n-1$.\nAutre solution. Notons $b_{1} \\leqslant b_{2} \\leqslant \\cdots \\leqslant b_{\\ell}$ les entiers positifs ou nuls parmi $a_{1}, \\ldots, a_{2 n}$. Premier cas: $\\ell>n$. Alors il y a au moins $\\frac{\\ell(\\ell-1)}{2} \\geq \\frac{n(n+1)}{2}$ couples $\\left(a_{i}, a_{j}\\right)$ avec $i<j, a_{i} \\geqslant 0$ et $a_{j} \\geqslant 0$. Or, $\\frac{n(n+1)}{2}-(2 n-1)=\\frac{n^{2}-3 n+2}{2}=\\frac{(n-1)(n-2)}{2} \\geqslant 0$, donc il y a au moins $2 n-1$ couples $\\left(a_{i}, a_{j}\\right)$ avec $i<j$ tels que $a_{i}+a_{j} \\geqslant 0$.\nDeuxième cas : $\\ell \\leqslant n$. Notons $c_{1} \\leqslant \\cdots \\leqslant c_{\\ell}$ les plus petits entiers parmi $a_{1}, \\ldots, a_{2 n}$. Comme $\\ell \\leqslant n$, on a $c_{\\ell}<0$. De plus, $\\sum_{i=1}^{2 n} a_{i}$ est égal à la somme de $\\sum_{i=1}^{\\ell}\\left(b_{i}+c_{i}\\right)$ et de termes négatifs, donc $\\sum_{i=1}^{\\ell}\\left(b_{i}+c_{i}\\right) \\geqslant 0$. Or, $b_{\\ell}+c_{\\ell} \\geqslant b_{i}+c_{i}$ pour tout $i$, donc $b_{\\ell}+c_{\\ell} \\geqslant 0$.\nOn forme ainsi déjà $2 n-\\ell$ couples $\\left(a_{i}, a_{j}\\right)$ en prenant $a_{j}=b_{\\ell}$ et $a_{i}$ autre que $c_{1}, \\ldots, c_{\\ell-1}, b_{\\ell}$.\nDe plus, pour tout $k=1, \\ldots, \\ell-1$, on a $\\sum_{i=1}^{\\ell}\\left(b_{i}+c_{i+k}\\right) \\geqslant 0$ (où par convention $c_{\\ell+1}=c_{1}$, $c_{\\ell+2}=c_{2}$, etc.), donc pour tout $k$ il existe $i$ tel que $b_{i}+c_{i+k} \\geqslant 0$. Ceci fournit encore $\\ell-1$ couples supplémentaires.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2015-2016-ofm-2015-2016-test-decembre-corrige.jsonl", "problem_match": "\nExercice 1.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"}}
{"year": "2015", "tier": "T1", "problem_label": "2", "problem_type": null, "exam": "French_tests", "problem": "Soit $A B C$ un triangle dont tous les angles sont aigus, et $H$ son orthocentre. Les bissectrices de $\\widehat{A B H}$ et $\\widehat{A C H}$ se coupent en un point $I$. Montrer que $I$ est aligné avec les milieux de $[B C]$ et de $[A H]$.", "solution": "![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_06_bef5fb0578c5beb524cag-2.jpg?height=914&width=1153&top_left_y=126&top_left_x=508)\n\nNotons $D, E, F$ les pieds des hauteurs, $O$ le centre du cercle circonscrit, $M$ le milieu de $[B C]$ et $N$ le milieu de $[A H]$. On a $2 \\overrightarrow{M N}=2 \\overrightarrow{O N}-2 \\overrightarrow{O M}=\\overrightarrow{O A}+\\overrightarrow{O H}-\\overrightarrow{O B}-\\overrightarrow{O C}$.\nOr, $\\overrightarrow{O H}=\\overrightarrow{O A}+\\overrightarrow{O B}+\\overrightarrow{O C}$ donc $\\overrightarrow{M N}=\\overrightarrow{O A}$. Par conséquent, il suffit de montrer que ( $M I$ ) est parallèle à $(O A)$.\nComme $B C F$ est un triangle rectangle en $F$, le point $F$ est situé sur le cercle de centre $M$ passant par $B$ et $C$. Il en va de même pour le point $E$. La bissectrice de $\\widehat{A B H}$ passe par le milieu de l'arc $E F$, et de même pour la bissectrice de $\\widehat{A C H}$, donc $I$ est le milieu de l'arc $E F$. En notant $C^{\\prime}$ le milieu de $[A B]$, on en déduit les égalités d'angles de droites $(M I, M B)=2(C I, C B)=$ $(C E, C B)+(C F, C B)=(C A, C B)+(C F, A B)+(A B, C B)$.\nD'autre part, $(O A, M B)=\\left(O A, O C^{\\prime}\\right)+\\left(O C^{\\prime}, A B\\right)+(A B, M B)=(C A, C B)+(C F, A B)+$ $(A B, C B)$ car $\\left(O C^{\\prime}\\right)$ et $(C F)$ sont parallèles.\nPar conséquent, $(O A, M B)=(M I, M B)$, ce qui prouve que $(O A)$ et $(M I)$ sont parallèles.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2015-2016-ofm-2015-2016-test-decembre-corrige.jsonl", "problem_match": "\nExercice 2.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"}}
{"year": "2015", "tier": "T1", "problem_label": "3", "problem_type": null, "exam": "French_tests", "problem": "Pour tout entier $n \\in \\mathbb{N}^{*}$, on note $v_{3}(n)$ la valuation 3 -adique de $n$, c'est-à-dire le plus grand entier $k$ tel que $n$ est divisible par $3^{k}$. On pose $u_{1}=2$ et $u_{n}=4 v_{3}(n)+2-\\frac{2}{u_{n-1}}$ pour tout $n \\geqslant 2$ (si tant est que $u_{n-1}$ soit défini et non nul).\nMontrer que, pour tout nombre rationnel strictement positif $q$, il existe un et un seul entier $n \\geqslant 1$ tel que $u_{n}=q$.", "solution": "Tout d'abord, notons que $u_{1}=2, u_{2}=1, u_{3}=3, u_{4}=\\frac{3}{2}, u_{5}=\\frac{2}{3}$ et $u_{6}=3$. On prouve par récurrence que, pour tout entier $n \\geq 2$, on a $0<u_{n}$ et\n\n$$\n0<u_{3 n-1}<1<u_{3 n-2}<2<u_{3 n}=2+u_{n}:\n$$\n\nc'est déjà vrai pour $n=2$.\nPuisque $u_{3 n}=u_{n}+2$, on montre successivement que $u_{3 n+1}, u_{3 n+2}$ et $u_{3 n+3}$ sont bien définis, avec\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& u_{3 n+1}=2-\\frac{2}{u_{3 n}}=1+\\frac{u_{n}}{2+u_{n}}, \\text { donc } 1<u_{3 n+1}<2 ; \\\\\n& u_{3 n+2}=2-\\frac{2}{u_{3 n+1}}=1+\\frac{u_{n}}{1+u_{n}}, \\text { donc } 0<u_{3 n+2}<1 ; \\\\\n& u_{3 n+3}=4 v_{3}(3(n+1))+2-\\frac{2}{u_{3 n+2}}=4 v_{3}(n)+4-\\frac{2}{u_{n}}=2+u_{n+1} .\n\\end{aligned}\n$$\n\nCeci conclut la récurrence.\nMaintenant, considérons la fonction $\\varphi:\\{x \\in \\mathbb{Q}: 0<x$ et $x \\notin\\{1,2\\}\\} \\mapsto\\{x \\in \\mathbb{Q}: 0<x\\}$ telle que\n\n$$\n\\begin{aligned}\n\\varphi: & x \\mapsto \\frac{x}{1-x} \\text { si } 0<x<1 ; \\\\\n& x \\mapsto 2 \\frac{x-1}{2-x} \\text { si } 1<x<2 ; \\\\\n& x \\mapsto x-2 \\text { si } 2<x\n\\end{aligned}\n$$\n\nEn outre, pour toute fraction irréductible $\\frac{p}{q}$, avec $p \\geq 0$ et $q>0$, on pose $\\left\\|\\frac{p}{q}\\right\\|=p+q$. Alors :\n\n- $\\left\\|\\varphi\\left(\\frac{p}{q}\\right)\\right\\|=\\left\\|\\frac{p}{q-p}\\right\\|=p<p+q=\\left\\|\\frac{p}{q}\\right\\|$ si $0<p<q$ ；\n- $\\left\\|\\varphi\\left(1+\\frac{p}{q}\\right)\\right\\|=\\left\\|2 \\frac{p}{q-p}\\right\\| \\leq 2 q<(p+q)+q=\\left\\|1+\\frac{p}{q}\\right\\|$ si $0<p<q$ ；\n- $\\left\\|\\varphi\\left(2+\\frac{p}{q}\\right)\\right\\|=\\left\\|\\frac{p}{q}\\right\\|=p+q<(p+2 q)+q=\\left\\|2+\\frac{p}{q}\\right\\|$ si $0<p$ et $0<q$.\n\nDans tous les cas, si $x$ est un rationnel strictement positif tel que $x \\notin\\{1,2\\}$, on a $\\|\\varphi(x)\\|<\\|x\\|$. Or, pour tout rationnel strictement positif $x$ et pour tout entier $n \\geq 1$ :\n\n- si $0<x<1$, alors $u_{n}=\\varphi(x) \\Leftrightarrow u_{3 n+2}=x ;$\n- si $1<x<2$, alors $u_{n}=\\varphi(x) \\Leftrightarrow u_{3 n+1}=x$;\n- si $2<x$, alors $u_{n}=\\varphi(x) \\Leftrightarrow u_{3 n}=x$.\n\nUne récurrence sur $\\|x\\|$ montre donc immédiatement que, pour tout rationnel strictement positif $x$, il existe un entier unique entier $n \\geq 1$ tel que $u_{n}=x$, ce qui conclut l'exercice.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2015-2016-ofm-2015-2016-test-decembre-corrige.jsonl", "problem_match": "\nExercice 3.", "solution_match": "## Solution de l'exercice 3"}}