problem: Pour tout entier naturel $n$, on note $S(n)$ la somme des chiffres de l'écriture décimale de $n$. On dit qu'un entier naturel $n$ est joli si $S(n)=S\left(n^{2}\right)$. Déterminer toutes les valeurs possibles de $S(n)$ pour les entiers jolis $n$.

solution:
Modulo 9, $S(n)$ vérifie l'équation $x^{2}=x$. On vérifie en testant $x=$ $0,1, \ldots, 8$ que les seules solutions (modulo 9) sont 0 et 1 , donc $S(n)$ est nécessairement congru à 0 ou 1 modulo 9 . Réciproquement, on vérifie que si $n=10^{k}-1=99 \cdots 9$ ( $k$ fois) alors $n^{2}=99 \cdots 9800 \cdots 01$ (avec $k-1$ chiffres 9 et $k-1$ chiffres 0 ), donc $S(n)=S\left(n^{2}\right)=9 k$. De même, si $n=2 \times 10^{k}-1=199 \cdots 9$ alors $n^{2}=399 \cdots 9600 \cdots 01$ donc $S(n)=S\left(n^{2}\right)=9 k+1$.
On en conclut que les valeurs possibles de $S(n)$ sont les entiers naturels congrus à 0 ou à 1 modulo 9.

problem_match: Exercice 1.

solution_match: Solution de l'exercice 1


problem:
On fixe un entier naturel $n \geqslant 2$. Déterminer tous les nombres réels $x \geqslant-1$ tels que pour tous nombres réels $a_{1}, \ldots, a_{n} \geqslant 1$ on ait

$$
\frac{a_{1}+x}{2} \times \cdots \times \frac{a_{n}+x}{2} \leqslant \frac{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}+x}{2} .
$$

solution:
En prenant $a_{i}=1$ pour tout $i$, on obtient la condition $\left(\frac{1+x}{2}\right)^{n} \leqslant \frac{1+x}{2}$. Notons $y=\frac{1+x}{2}$. Par hypothèse, $y \geqslant 0$. Comme $y^{n} \leqslant y$, on a $y^{n-1} \leqslant 1$ donc $y \leqslant 1$, ce qui implique $x \leqslant 1$.
Réciproquement, montrons que tout $x \in[-1,1]$ convient. On raisonne par récurrence sur $n$. Pour $n=1$ l'inégalité est évidente. Supposons qu'elle soit vraie au rang $n-1$. Le membre de gauche de l'inégalité est alors inférieur ou égal à $\frac{a+x}{2} \times \frac{b+x}{2}$, où $a=a_{1} a_{2} \cdots a_{n-1}$ et $b=a_{n}$. Il suffit alors de montrer que $\left(\frac{a+x}{2}\right)\left(\frac{b+x}{2}\right) \leqslant\left(\frac{a b+x}{2}\right)$. En développant, l'inégalité devient $(a+b-2) x+x^{2} \leqslant a b$. Comme $a+b-2 \geqslant 0$, et comme $x \leqslant 1$ et $x^{2} \leqslant 1$, le membre de gauche de l'inégalité est majoré par $(a+b-2)+1$, donc suffit de montrer que $(a+b-2)+1 \leqslant a b$, ou encore que $0 \leqslant a b-a-b+1$. Or, on a $a b-a-b+1=(a-1)(b-1)$. Comme $a \geqslant 1$ et $b \geqslant 1$, l'inégalité $(a-1)(b-1) \geqslant 0$ est bien vérifiée.

problem_match: Exercice 2.

solution_match: Solution de l'exercice 2


problem:
Soit $n \geqslant 2$ un entier naturel. On se donne $2 n$ boules. Sur chacune de ces boules est écrit un nombre. On suppose que, à chaque fois que l'on regroupe les boules en $n$ paires, deux de ces paires ont la même somme.
(a) Montrer que quatre de ces boules comportent le même nombre.
(b) Montrer que le nombre de valeurs distinctes inscrites sur les boules est $\leqslant n-1$.

solution:
(a) On note $a_{1} \geqslant a_{2} \geqslant \cdots \geqslant a_{2 n}$ les valeurs prises par les $2 n$ boules dans l'ordre décroissant. On les apparie ainsi : $\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(a_{3}, a_{4}\right), \ldots$ Comme il existe $i<j$ impairs tels que $a_{i}+a_{i+1}=a_{j}+a_{j+1}$, et comme $a_{i} \geqslant a_{i+1} \geqslant a_{j} \geqslant a_{j+1}$, on a $a_{i}=a_{i+1}=a_{j}=a_{j+1}$.
(b) Supposons qu'il y ait au moins $n$ valeurs distinctes, que l'on ordonne par ordre décroissant $b_{1}>b_{2}>\cdots>b_{n}$. On ordonne les autres boules dans l'ordre décroissant $c_{1} \geqslant \cdots \geqslant c_{n}$. On forme les $n$ paires $\left(b_{i}, c_{i}\right)$, et on constate que si $i<j$ alors $b_{i}+c_{i}>b_{j}+c_{j}$, ce qui contredit le fait que deux de ces sommes doivent être égales.

problem_match: Exercice 3.

solution_match: Solution de l'exercice 3


problem:
Soit $A B C D$ un quadrilatère convexe d'aire $S$. On note $a=A B, b=B C, c=C D$ et $d=D A$. Pour toute permutation $x, y, z, t$ de $a, b, c, d$, montrer que

$$
S \leqslant \frac{1}{2}(x y+z t)
$$

solution: Si $x$ et $y$ sont adjacents, sans perte de généralité on se ramène à montrer que $S \leqslant \frac{1}{2}(a b+c d)$. Cela découle de $S_{A B C}=\frac{1}{2} A B \cdot B C \cdot \sin \widehat{A B C} \leqslant \frac{1}{2} a b$, et de même $S_{C D A} \leqslant \frac{1}{2} c d$. Si $x$ et $y$ sont des côtés opposés, on doit montrer que $S \leqslant \frac{1}{2}(a c+b d)$. Soit $A^{\prime}$ le symétrique de $A$ par rapport à la médiatrice de $[B D]$. Alors $B A^{\prime} D$ est isométrique à $D A B$. On applique ce qui précède à $A^{\prime} B C D$, ce qui donne $S=S_{B A D}+S_{B C D}=S_{B A^{\prime} D}+S_{B C D}=S_{A^{\prime} B C D} \leqslant \frac{1}{2}\left(A^{\prime} B \cdot B C+\right.$ $\left.C D \cdot D A^{\prime}\right)=\frac{1}{2}(a c+b d)$.

problem_match: Exercice 4.

solution_match: Solution de l'exercice 4


problem:
Déterminer tous les nombres réels $a$ tels qu'il existe une suite infinie de nombres réels strictement positifs $x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots$ vérifiant pour tout $n$ l'égalité

$$
x_{n+2}=\sqrt{a x_{n+1}-x_{n}} .
$$

solution:
Si $a>1$, on peut prendre la suite constante égale à $a-1$. Supposons $a \leqslant 1$. Comme la racine carré est bien définie, on a nécessairement $a x_{n+1}-x_{n}>0$, donc déjà $a \geqslant 0$, et de plus $x_{n+1} \geqslant a x_{n+1}>x_{n}$. Par conséquent, la suite est strictement croissante.
Comme $x_{n+1} \leqslant x_{n+2} \leqslant \sqrt{x_{n+1}-x_{n}}<\sqrt{x_{n+1}}$, on en déduit que $x_{n}<1$ pour tout $n$. De plus, $x_{n+1}^{2} \leqslant x_{n+1}-x_{n}$ donc $x_{n+1} \geqslant x_{n+1}^{2}+x_{n} \geqslant x_{n} x_{0}+x_{n}=\left(1+x_{0}\right) x_{n}$, ce qui montre que $x_{n} \geqslant$ $\left(1+x_{0}\right)^{n} x_{0}$ pour tout $n$. Ceci contredit que $x_{n} \leqslant 1$.

problem_match: Exercice 5.

solution_match: Solution de l'exercice 5


problem: Dans un pays se trouvent 64 villes. Il existe des routes qui relient certaines paires de villes, mais Bob ne sait pas lesquelles (les routes ne se croisent pas mais peuvent éventuellement passer les unes au-dessus des autres ; de plus, les routes peuvent être parcourues dans les deux sens). Alice, elle, connaît parfaitement le réseau. Bob peut choisir n'importe quelle paire de villes et demander à Alice si elles sont reliées directement par une route. Le but de Bob est de déterminer s'il est possible de voyager de n'importe quelle ville à n'importe quelle autre (en empruntant éventuellement plusieurs routes successives). Montrer qu'il n'existe aucun algorithme (c'est-à-dire aucune stratégie en fonction des réponses successives d'Alice) lui permettant de le savoir à coup sûr en moins de 2016 questions.

solution:
On remarque que $2016=64 \times 63 / 2=\binom{64}{2}$, donc il y a exactement 2016 paires de villes. Le réseau routier est un graphe non orienté ayant 64 sommets. Chaque paire de villes correspond à une
question, et on veut savoir si en moins de 2016 questions Bob peut déterminer si le graphe est connexe. Supposons par l'absurde que Bob possède un algorithme en moins de 2016 questions : par conséquent, pour tout graphe ayant 64 sommets, si Bob suit son algorithme en posant une suite de questions $Q_{1}, Q_{2}, \ldots$ et s'arrête à une question $Q_{n}$ dès qu'il peut conclure à coup sûr si le graphe est connexe ou non, alors $n \leqslant 2015$ (l'entier $n$ dépend du graphe). Remarquons que la réponse à $Q_{n}$ est nécessairement "oui" si le graphe est connexe et "non" si le graphe est non connexe, sinon Bob aurait déjà pu conclure à la question $Q_{n-1}$.
On part du graphe $G_{0}$ ne possédant aucune arête. Bob, en utilisant son algorithme, pose une suite de questions $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n_{0}}$ à Alice.
La question $Q_{n_{0}}$ correspond à une paire de villes. Soit $G_{1}$ le graphe consistant à rajouter une arête entre ces deux villes. En suivant son algorithme, Bob pose à nouveau les questions $Q_{1}, \ldots, Q_{n_{0}}$, et d'autres questions $Q_{n_{0}+1}, \ldots, Q_{n_{1}}$. On a bien $n_{1}>n_{0}$ car, pour le graphe $G_{1}$, la réponse à $Q_{n_{0}}$ est "oui", et la réponse à $Q_{n_{1}}$ est "non" puisque le graphe $G_{1}$ n'est pas connexe.
On continue la procédure, et on construit ainsi une suite de graphes $G_{0}, G_{1}, G_{2}, \ldots$, chaque graphe étant construit à partir du précédent en rajoutant une arête, jusqu'à obtenir un graphe connexe $G_{k}$. Comme $n_{k-1}>n_{k-1}>\cdots>n_{0} \geqslant 1$, on a $n_{k-1} \geqslant k$ donc $k \leqslant 2015$.
Or, $G_{k}$ possède $k$ arêtes, donc il existe une paire de villes $X$ et $Y$ qui ne sont pas reliées directement. En revanche, comme $G_{k}$ est connexe on peut aller de $X$ vers $Y$ en suivant un chemin consistant en des arêtes de $G_{k}$. Soit $j$ le plus grand indice tel que l'une des arêtes $A$ de ce chemin appartient à $G_{j}$ mais pas à $G_{j-1}$. Soit $G^{\prime}$ le graphe obtenu en enlevant l'arête $A$ au graphe $G_{k}$ et en ajoutant l'arête $X Y$, alors la réponse aux questions $Q_{1}, \ldots, Q_{n_{j-1}}$ est la même pour $G^{\prime}$ que pour $G_{j-1}$. Or, Bob a pu conclure à coup sûr que $G_{j-1}{\text { n'est pas connexe, donc } G^{\prime}}^{\prime}$ ne l'est pas non plus.
Mais ceci est contradictoire car, $G_{k}$ étant connexe, $G^{\prime}$ l'est aussi.

problem_match: Exercice 6.

solution_match: ## Solution de l'exercice 6