{"year": "2018", "tier": "T1", "problem_label": "1", "problem_type": null, "exam": "French_tests", "problem": "Soit $x$ et $y$ deux entiers tels que $5 x+6 y$ et $6 x+5 y$ soient des carrés parfaits. Montrer que $x$ et $y$ sont tous deux divisibles par 11.\nNote : on dit qu'un entier $n$ est un carré parfait si c'est le carré d'un entier.", "solution": "Soit $a$ et $b$ deux entiers tels que $5 x+6 y=a^{2}$ et $6 x+5 y=b^{2}$. On note que $a^{2}+b^{2}=11(x+y)$ est divisible par 11 . Or, modulo 11 , les carrés sont $0,1,3,4,5$ et 9 : ainsi, la somme de deux carrés est nulle (mod. 11) si et seulement si les deux carrés en question sont nuls (mod. 11) eux aussi.\nDans notre cas, cela signifie que $a$ et $b$ sont divisibles par 11. Il existe donc des entiers $A$ et $B$ tels que $a=11 A$ et $b=11 \\mathrm{~B}$. Mais alors\n\n$$\n11 x=(6 \\times 6-5 \\times 5) x=6\\left(b^{2}-5 y^{2}\\right)-5\\left(a^{2}-6 y\\right)=6 b^{2}-5 a^{2}=11^{2}\\left(6 B^{2}-5 A^{2}\\right)\n$$\n\nde sorte que $x=11\\left(6 B^{2}-5 A^{2}\\right)$ est bien divisible par 11. De même, on montre que $y=$ $11\\left(6 A^{2}-5 B^{2}\\right)$ est lui aussi divisible par 11.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-09-01-Corrigé.jsonl", "problem_match": "\nExercice 1.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"}}
{"year": "2018", "tier": "T1", "problem_label": "2", "problem_type": null, "exam": "French_tests", "problem": "Soit $\\Gamma$ un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ et $\\ell$ une droite qui ne coupe pas $\\Gamma$. On note $E$ le point d'intersection entre $\\ell$ et la droite perpendiculaire à $\\ell$ passant par $O$.\nSoit $M$ un point de $\\ell$ différent de $E$. Les tangentes au cercle $\\Gamma$ et passant par $M$ touchent $\\Gamma$ en $A$ et $B$. Enfin, soit $H$ le point d'intersection des droites ( $A B$ ) et ( $O E$ ).\nMontrer que $\\mathrm{OH}=\\mathrm{r}^{2} / \\mathrm{OE}$.", "solution": "Tout d'abord, les triangles OAM, OBM et OEM sont respectivement rectangles en $A, B$ et $E$, de sorte que les points $A, O, B, E, M$ appartiennent tous à un même cercle de diamètre [OM].\nOr, d'après la loi des sinus dans les triangles OBH et OEA, on sait que\n\n$$\n\\frac{\\mathrm{OH} \\times \\mathrm{OE}}{\\mathrm{r}^{2}}=\\frac{\\mathrm{OH}}{\\mathrm{OB}} \\times \\frac{\\mathrm{OE}}{\\mathrm{OA}}=\\frac{\\sin (\\widehat{\\mathrm{OBA}})}{\\sin (\\widehat{\\mathrm{OHB}})} \\times \\frac{\\sin (\\widehat{\\mathrm{OAE}})}{\\sin (\\widehat{\\mathrm{OEA}})}\n$$\n\nLes points $O, B, E$ et $A$ étant cocycliques, on sait que $\\widehat{O B A}=\\widehat{O E A}$. D'autre part, puisque les droites $(\\mathrm{AH})$ et $(\\mathrm{HO})$ sont respectivement perpendiculaires à $(\\mathrm{OM})$ et $(\\mathrm{ME})$, on sait également que\n\n$$\n\\widehat{\\mathrm{OHB}}=180^{\\circ}-\\widehat{\\mathrm{AHO}}=180^{\\circ}-\\widehat{\\mathrm{OME}}=180^{\\circ}-\\widehat{\\mathrm{OAE}}\n$$\n\nCela montre que $\\sin (\\widehat{O B A})=\\sin (\\widehat{O E A})$ et que $\\sin (\\widehat{O H B})=\\sin (\\widehat{O A E})$, ce qui conclut.\n![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_06_bd1cd6af13c4dc860b8eg-2.jpg?height=646&width=652&top_left_y=2044&top_left_x=705)", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-09-01-Corrigé.jsonl", "problem_match": "\nExercice 2.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"}}
{"year": "2018", "tier": "T1", "problem_label": "3", "problem_type": null, "exam": "French_tests", "problem": "Soit $n$ un entier naturel. Un escalier de taille $n$ est constitué de petits carrés $1 \\times 1$, avec 1 carré pour la première marche, 2 carrés pour la deuxième marche, et ainsi de suite, jusqu'à $n$ carrés pour la $n^{\\text {ème }}$ marche.\nOn dispose de pierres carrées (de coté entier) de toutes les tailles pour construire cet escalier et on note $f(n)$ le nombre minimum de pierres que l'on doit utiliser pour un escalier de taille $n$. Par exemple, $f(2)=3$ et $f(4)=7$, comme illustré ci-dessous.\n![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_06_bd1cd6af13c4dc860b8eg-3.jpg?height=220&width=815&top_left_y=484&top_left_x=623)\n\n1. Trouver tous les entiers $n \\geqslant 0$ tels que $f(n)=n$.\n2. Trouver tous les entiers $n \\geqslant 0$ tels que $f(n)=n+1$", "solution": "Commençons par quelques définitions et observations générales. Dans la suite, on note $(i, j)$ le petit carré $1 \\times 1$ situé au jème étage de la $i^{\\text {ème }}$ marche. On appellera carré supérieur chaque petit carré ( $k, k$ ), c'est-à-dire chaque carré situé tout en haut d'une marche.\nOn considère une construction de l'escalier de taille $n$ à partir de $f(n)$ pierres carrées. Deux carrés supérieurs distincts ne peuvent appartenir à la même pierre. Puisqu'il y a exactement $n$ carrés supérieurs dans un escalier de taille $n$, on en déduit que $f(n) \\geqslant n$ pour tout $n \\geqslant 0$. On traite maintenant les questions 1 et 2.\n\n1. Tout d'abord, il est clair que $f(0)=0$. Soit maintenant $n \\geqslant 1$ un entier tel que $f(n)=n$.\n\nAu vu de l'observation ci-dessus, chaque pierre contient un unique carré supérieur. C'est en particulier le cas de la pierre contenant le carré ( $n, 1$ ). Mais alors cette pierre sépare l'escalier en 2 parties symétriques. Ainsi, chaque partie forme un escalier de taille $(n-1) / 2$, tel que $f((n-1) / 2)=(n-1) / 2$. Par conséquent, une récurrence immédiate montre qu'il existe un entier $k \\geqslant 0$ tel que $n=2^{k}-1$.\nRéciproquement, et en suivant cette construction dans l'autre sens, une récurrence immédiate montre que $f\\left(2^{k}-1\\right)=2^{k}-1$ pour tout entier $k \\geqslant 0$.\nLes entiers $n$ recherchés sont donc bien les entiers de la forme $n=2^{k}-1$ avec $k \\geqslant 0$.\n2. Cette fois-ci, on sait que $n \\geqslant 2$. D'autre part, la pierre contenant le carré ( $n, 1$ ) ne saurait contenir de carré supérieur; en effet, si c'était le cas, elle couperait l'escalier en 2 parties symétriques, formant chacune un escalier de taille ( $n-1$ )/2, de sorte que $f(n)-n$ devrait être pair.\nIl s'agit donc de la seule la seule pierre qui ne contient pas de carré supérieur. Soit $\\ell \\times \\ell$ les dimensions de cette pierre. Une fois $\\ell$ et $n$ fixés, chaque autre pierre doit contenir un carré supérieur, et les dimensions des pierres sont donc prescrites. En particulier, une récurrence immédiate sur $n+i-j$ montre que les pierres contenant les carrés ( $i, j$ ) et $(\\mathfrak{n}+1-\\mathfrak{j}, \\mathfrak{n}+1-\\mathfrak{i})$ occupent en fait des positions symétriques.\nAfin de se ramener à ne traiter que des escaliers où chaque pierre contient un carré supérieur, on s'intéresse donc spécifiquement aux pierres contenant les carrés ( $\\mathrm{n}, 1$ ), $(n-\\ell, 1),(n, \\ell+1)$ et $(n-\\ell, \\ell+1)$; cette dernière pierre n'existe que si $n \\neq 2 \\ell$.\nOn suppose tout d'abord que $n \\neq 2 \\ell$. Dans ce cas, nos quatre pierres sont deux à deux disjointes, de tailles respectives $\\ell \\times \\ell,(n+1-\\ell) / 2,(n+1-\\ell) / 2$ et $(n+1-2 \\ell) / 2$, et elles coupent l'escalier en quatre petits escaliers : deux escaliers de taille ( $n-1-\\ell$ ) /2 et deux escaliers de taille $(n-1-2 \\ell) / 2$. Au vu des résultats de la première question, il existe donc deux entiers naturels non nuls $k$ et $k^{\\prime}$ tels que $n=2^{\\mathrm{k}}+\\ell-1=2^{\\mathrm{k}^{\\prime}}+2 \\ell-1$.\n\nCela signifie que $\\ell=2^{k}-2^{k^{\\prime}}$, donc que $k \\geqslant k^{\\prime}$ et que $n=2^{k+1}-2^{k^{\\prime}}-1$. Réciproquement, s'il existe des entiers $k \\geqslant k^{\\prime} \\geqslant 1$ tels que $n=2^{k+1}-2^{k^{\\prime}}-1$, il suffit en effet de choisir $\\ell=2^{k}-2^{k^{\\prime}}$ pour que notre construction fonctionne.\nDe même, si $n=2 \\ell$, on a en fait trois pierres, qui coupent l'escalier en quatre petits escaliers de taille $(n-1-\\ell) / 2=(\\ell-1) / 2$, donc il existe un entier naturel non nul $k$ tel que $\\ell=2^{k}-1$ et $n=2^{k+1}-2$. Réciproquement, s'il existe un entier $k \\geqslant 1$ tel que $\\mathrm{n}=2^{\\mathrm{k}+1}-2$, il suffit en effet de choisir $\\ell=\\mathrm{n} / 2$ pour que notre construction fonctionne. Les entiers $n$ recherchés sont donc bien les entiers de la forme $n=2^{k+1}-2^{k^{\\prime}}-1$ avec $k \\geqslant k^{\\prime} \\geqslant 0$.\n\n## Exercice commun aux groupes Junior et Senior", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-09-01-Corrigé.jsonl", "problem_match": "\nExercice 3.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"}}
{"year": "2018", "tier": "T1", "problem_label": "4", "problem_type": null, "exam": "French_tests", "problem": "Trouver toutes les fonctions $\\mathrm{f}: \\mathbb{N} \\rightarrow \\mathbb{N}$ telles que\n\n$$\nx f(y)+y f(x)=(x+y) f\\left(x^{2}+y^{2}\\right)\n$$\n\npour tous les entiers naturels $x$ et $y$.\nNote : on rappelle que $\\mathbb{N}$ désigne l'ensemble des entiers naturels, c'est-à-dire $\\mathbb{N}=\\{0,1,2, \\ldots\\}$.", "solution": "Dans la suite, on notera $\\mathbf{E}_{x, y}$ l'équation de l'énoncé.\nTout d'abord, l'équation $E_{x, 0}$ indique que $x f(0)=x f\\left(x^{2}\\right)$, ce qui montre que $f\\left(x^{2}\\right)=f(0)$ pour tout entier $x \\geqslant 1$. Par conséquent, pour tout entier $y \\geqslant 1$, l'équation $\\mathbf{E}_{x, y^{2}}$ indique que $x+y^{2}$ divise $x(f(0)-f(x))$. Cette relation de divisibilité étant valide même quand $y$ est arbitrairement grand, on en déduit que $f(x)=f(0)$ quel que soit $x$.\nRéciproquement, on vérifie aisément que les fonctions constantes sont bien des solutions de l'équation.\n\n## Exercices du groupe Senior", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-09-01-Corrigé.jsonl", "problem_match": "\nExercice 4.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"}}
{"year": "2018", "tier": "T1", "problem_label": "5", "problem_type": null, "exam": "French_tests", "problem": "Soit $n$ un entier impair, et soit $S$ un ensemble de $n$ points du plan à coordonnées entières. On considère une permutation $\\mathrm{f}: \\mathrm{S} \\rightarrow \\mathrm{S}$ qui satisfait la propriété suivante :\nPour toute paire de points $A$ et $B$ appartenant à $S$, la distance entre $f(A)$ et $f(B)$ est supérieure ou égale à la distance entre $A$ et $B$.\nMontrer qu'il existe un point $X$, appartenant à $S$, tel que $f(X)=X$.", "solution": "Puisque $S$ est de cardinal impair, f admet une orbite de cardinal impair. Sans perte de généralité, on peut donc supposer que $S$ est égal à cette orbite, et même que $S=\\left\\{P_{1}, \\ldots, P_{n}\\right\\}$ avec $f\\left(P_{i}\\right)=P_{i+1}$ pour tout $i \\leqslant n$, en posant $P_{1}=n+1$.\nSi f n'a aucun point fixe, $\\mathrm{c}^{\\prime}$ est donc que $n \\geqslant 3$. Montrons que ce cas est en fait impossible.\nEn effet, dans ces conditions, l'énoncé montre que $P_{1} P_{2} \\leqslant P_{2} P_{3} \\leqslant \\ldots \\leqslant P_{n} P_{1}$, de sorte que toutes ces inégalités sont en fait des égalités. En outre, toujours sans perte de généralité, quitte à considérer un point $P_{i}$ plutôt que $P_{1}$ et quitte à effectuer des translations à coordonnées entières et à diviser toutes nos coordonnées par 2, on peut supposer que les coordonnées du vecteur $\\overrightarrow{\\mathrm{P}_{1} \\mathrm{P}_{2}}$ ne sont pas toutes les deux paires. Maintenant, on va noter $x_{i}$ et $y_{i}$ les coordonnées du point $P_{i}$.\n\nPuisque les carrés modulo 4 sont 0 et 1 , on en déduit que $P_{i} P_{i+1}^{2}=P_{1} P_{2}^{2}=\\left(x_{i}-x_{i+1}\\right)^{2}+$ $\\left(y_{i}-y_{i+1}\\right)^{2}$ est congru à 1 ou 2 modulo 4 .\nDans le premier cas, $c^{\\prime}$ est donc que la somme $\\Delta_{i}=x_{i}+y_{i}+x_{i+1}+y_{i+1} \\equiv 1(\\bmod 2)$. On en déduit que\n\n$$\nn \\equiv \\sum_{i=1}^{n} \\Delta_{i} \\equiv 2 \\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}+y_{i}\\right) \\equiv 0 \\quad(\\bmod 2)\n$$\n\nDans le deuxième cas, on a directement $\\Delta_{i}^{x}=x_{i}+x_{i+1} \\equiv 1(\\bmod 2)$ et $\\Delta_{i}^{y}=y_{i}+y_{i+1} \\equiv 1$ $(\\bmod 2)$, de sorte que\n\n$$\nn \\equiv \\sum_{i=1}^{n} \\Delta_{i}^{x} \\equiv 2 \\sum_{i=1}^{n} x_{i} \\equiv 0 \\quad(\\bmod 2)\n$$\n\nPuisque n est impair, aucun de ces deux cas n'est possible, ce qui conclut.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-09-01-Corrigé.jsonl", "problem_match": "\nExercice 5.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"}}
{"year": "2018", "tier": "T1", "problem_label": "6", "problem_type": null, "exam": "French_tests", "problem": "Soit $A B C$ un triangle, et soit $E$ et $F$ deux points appartenant respectivement aux droites $(A B)$ et $(A C)$, distincts de $A, B$ et $C$. Soit également $\\Omega$ le cercle circoncscrit à $A B C$, soit $O$ le centre de $\\Omega$, et soit $\\Gamma$ le cercle circonscrit à $A E F$. Enfin, soit $P$ le point d'intersection $\\operatorname{de} \\Gamma$ et $\\Omega$ autre que $A$, et soit $Q$ le symétrique de $P$ par rapport à la droite (EF).\nMontrer que Q appartient à la droite ( BC ) si et seulement si O appartient au cercle $\\Gamma$.", "solution": "Puisque (BC) et (EF) sont deux droites d'intérêt notoire, on note 7 leur point d'intersection, éventuellement rejeté à l'infini. Alors Q appartient à la droite ( BC ) si et seulement si, en angles de droites, on a (BT, ET) $=(\\mathrm{ET}, \\mathrm{PT})$.\nOr, toujours en angles de droites, on sait déjà que\n\n$$\n\\begin{aligned}\n(\\mathrm{PB}, \\mathrm{PE}) & =(\\mathrm{PB}, \\mathrm{PA})+(\\mathrm{PA}, \\mathrm{PE})=(\\mathrm{CB}, \\mathrm{CA})+(\\mathrm{FA}, \\mathrm{FE}) \\\\\n& =(\\mathrm{CT}, \\mathrm{CF})+(\\mathrm{CF}, \\mathrm{FT})=(\\mathrm{CT}, \\mathrm{FT})=(\\mathrm{TB}, \\mathrm{TE}),\n\\end{aligned}\n$$\n\nce qui signifie que les points $\\mathrm{P}, \\mathrm{E}, \\mathrm{B}$ et T sont cocycliques. Par conséquent, on sait que $(B T, E T)=(B P, E P)$ et $(E T, P T)=(E B, P B)=(A B, P B)$.\nOn sait aussi que $2(B A, B P)=(O A, O P)$ et que $(E A, E P)=(B A, B P)+(B P, E P)$. Ainsi,\n\n$$\n\\begin{aligned}\n\\text { Q appartient à la droite }(\\mathrm{BC}) & \\Leftrightarrow(\\mathrm{BP}, \\mathrm{EP})=(\\mathrm{AB}, \\mathrm{~PB}) \\\\\n& \\Leftrightarrow(\\mathrm{EA}, \\mathrm{EP})=2(\\mathrm{BA}, \\mathrm{BP})=(\\mathrm{OA}, \\mathrm{OP}) \\\\\n& \\Leftrightarrow \\mathrm{O} \\text { appartient au cercle } \\Gamma .\n\\end{aligned}\n$$\n\n![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_06_bd1cd6af13c4dc860b8eg-5.jpg?height=817&width=577&top_left_y=1873&top_left_x=748)", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-09-01-Corrigé.jsonl", "problem_match": "\nExercice 6.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"}}