ЗАДАЧА 1. Неха $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{194}$ се дели броеви такви што $$ a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{1994}=1994^{1994} $$ Да се определи остатокот при делење на $a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+\ldots+a_{199}^{3}$ со 6. PЕПІЕНиЕ. Бидејки $a^{3}-a=(a-1) a(a+1)$, јасно е дека за секој цел број $a$ вахк: $a^{3}$ a(мод 6). Значи : $$ a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+\ldots+a_{1994}^{3}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{1994}=1994^{1904}(\text { мод } 6) $$ Бидејки 1994 玉 2(мод 6), доволно е да се определи остатокот при делење на $2^{\text {vest }}$ со 6. Но, $2^{2 k+1} \equiv 2\left(\right.$ мод 6) и $2^{2 k}$ \#(мод 6), па бараниот остаток е 4 . ЗАДАчА 2. Нека $A B C$ е триаголнвх чии темиња имаат целобројни хоординати и во чија внатрешшвот постои точно една точка $O$ со целобројни координати. Нега точқата $D$ е пресехот на правите $B C$ и $A O$. Да се определи најголемата можна вредност на $\frac{\overline{A O}}{\overline{D D}}$. PEIIILUE. Hexa $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ ce средини на $B C, A C$ и $A B$, соодветно. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_6789bc9e7d88ba088361g-1.jpg?height=318&width=577&top_left_y=1348&top_left_x=250) Внатрешната точка $O$ со целобројни координати не може да се наоѓa во внатрешноста на триаполниците I,II или III. Неха, на пример, точката $O$ се наоѓа во трнаголнихот I. При хомотетија со дентар во $A$ и коефициент 2 , триаголникот I се престикува во $A B C$, а точката $O$ во точта $O^{\prime}$ с делобројна координата. Според тоа, $A B C$ содрхи две точки со делобројни координати, противречност. Внатрешитата точка $O$ со пелобројни координати не може да се наоѓа ниту во внатрешноста ва триаголндірте IV,V или VI. Нека, на пример, точхата $O$ се наоға во трнаголникот IV. Нри хомотетија со центар во $A^{\prime}$ и коефицрент 3 , триаголникот IV œ пресликува во $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, а точката $O$ во точка $O^{\prime}$ со делобројна координата. Но, тоа значи деха $A B C$ содржи две точки со делобројни координати што по претпоставка не е точно. Од сето досега јасно е деха бараниот однос е најмногу 5 (висините на триаголниците IV,V и VI се $1 / 6$ од висините на $A B C$ ), и тој сооднос се достигнува на пример за триаголних: $A(0,0), B(6,2) ; C(6,3)$. ЗАДАЧА 3.а) Неха $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}(n>2)$ се ненегативни реалви броені и $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=m$. Да œ определи масстмалната вредност на сумата $$ S=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+\ldots+x_{1} x_{n}+x_{2} x_{3}+x_{2} x_{4}+\ldots+x_{2} x_{n}+\ldots+x_{n-1} x_{n} $$ б) Нека $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}(n>2)$ се ненегативна пртродна броеви и $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=m$. Да се определи магсималната вредност на сумата $$ S=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+\ldots+x_{1} x_{n}+x_{2} x_{3}+x_{2} x_{4}+\ldots+x_{2} x_{n}+\ldots+x_{n-1} x_{n} $$ PEIIЕНИЕ. \&) Означуваме $K=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}$. Имаме : $$ m^{2}=\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)^{2}=K+2 S $$ Согласно врската меғу геометриска, ариметичка и хвадратна средива, за $i=1,2, \ldots, n, j=1,2, \ldots, n, i \neq j$, добнваме : $$ x_{i} x_{j} \leq\left(\frac{x_{i}+x_{j}}{2}\right)^{2} \leq \frac{x_{i}^{2}+x_{j}^{2}}{2} $$ од каде што по сумирање ва сите вакви неравенства добиваме $S \leq \frac{n-1}{2} K$. Со замената $K=m^{2}-2 S$, од последното добвваме $S S \frac{(n-1)^{2} m}{2 n}$, при пто “ равенство се достита за $x_{1}=x_{2}=\ldots=\dot{x}_{n}=\frac{m}{n}$. 6) Воведуваме ознаха $$ S\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+\ldots+x_{1} x_{n}+x_{2} x_{3}+x_{2} x_{4}+\ldots+x_{2} x_{n}+\ldots+x_{n-1} x_{n} $$ Нека максималната вредност на $S$ се достита за $x_{1}=a_{1}, x_{2}=a_{2}, \ldots, x_{n} \approx a_{n}$. Да претюоставиме дека постојат два броја $a_{i}$, $a$, (i2$. Toram : $$ S\left(a_{1}, a_{2}, . ., a_{1}+1, \ldots, a_{1}-1, . ., a_{n}\right)-S\left(a_{1}, a_{2}, . ., a_{1}, . ., a_{1}, . ., a_{n}\right)=a_{1}-a_{1}-1>2-1=1 $$ што не е можно бидејки максвмалната вредност за $S$ се добива за $x_{1}=a_{1}$, $x_{2}=a_{2}, \ldots, x_{n}=a_{n}$. Ист заклучох се изведуна и аво $i>j$. Значв, био код два броја $a_{i}$ се разливуваат најмногу за 1 . Неха $r$ од броевите с едвагви на $k+1$, а $n-r$ се еднакви на $k$, пи што $01)$ е отстранет еден иваррат со дтоензана $1 \times 1$. a) Догахи дека секоја дефекти таба $о$ двмензија $3^{n} \times 3^{n}$ може да[^0] $\square$ (ro rapexysave облих $^{\square}$ ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_6789bc9e7d88ba088361g-3.jpg?height=151&width=216&top_left_y=2049&top_left_x=1262) нарехуване облия 2). Фигурите тто ја потрваат таблата не смеат да - се црецрвваят мегусебно и не смеат да го минуваат работ на таблата. Исто така отстранетиот хванрат од таблата не сиее ді бвде покрнен. б) Колху вајмалху фвтури од облва 2 мора да се вскористат за позрн ваве ва таблата? ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_6789bc9e7d88ba088361g-4.jpg?height=51&width=1103&top_left_y=465&top_left_x=376) ако се гористат само такви фвгурд, тогаш се погрива број ва кванрати денив Ф три. Но, бројот ва гвадрати на дефегтна табла пто треба да се похрдјат е $3^{*} \cdot 3^{n}-1$, па, значц, само со фігури од облпа 1 ве е мохно погрввање. Ḱe догатеме дета едва фигура од облиг 2 е доволна. Отстранетнот вваррат по означуваме с $P$. Прво, хе догахеме дега постои квадрат $S$ со дмменвіја $3 \times 3$ гој го одрхи $P$ тақа што нам и под тој ваярат вма по парен број редици, а, исто така, лево в десво од тој вваратат вма по парев број ва голонд. Да го разгледаме ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_6789bc9e7d88ba088361g-4.jpg?height=52&width=1230&top_left_y=868&top_left_x=250) да преота прегу рабовяте на дефектната табла ахо отстранетнот квадрат е блисху до работ). Бидејін 3.3 -3 е тарен број, јасно е дека наң и под вварратот С вма вгупво парен број ва редвии. Аго од двете страни нма по ветарен број на редции со поместуваве на $C$ за еден ред погоре иии подолу (поради мохната близина ва работ, повекогашт само една од овие дре насоки е чохква) добиваме свадрат гој го содрхи $P$ таха што над и под тој вваррат, пма по пареп број ва редищи. Аналогна дистусқа мохе да се сцроведе и за голоните, та зватв од ввадратот $C$ со најмногу едно поместување во правец горе-долу' в едно поместување во правед лево-десво го добиваме бараниот квадрат $S$. Јасво, $\infty$ две фигури од облив 1 мохе да се погрне дел од таблата од облик $\square$ (дел од облик - ), а нсто така, н дел од таблата од облик ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_6789bc9e7d88ba088361g-4.jpg?height=173&width=116&top_left_y=1360&top_left_x=1365) ( дел од облик |). Значқ бвло кон две редеии ва таблата во кои ве се содрхх отстраветиот хванрат мохат да се похрщат со делови од облих - . На ваков начин ги похриваме сите редици вад и под хвадратот $S$. Нв остануваат три редиии во кон се содрхи $S$ така што лево и десно од $S$ виа по тарен број ви колони. Коловнте лево в десно од $S$ ги повриваме со деловн од обли |. Досега се нсхористени само фитури од облих 1 , а за порив-вање останува само хварратот $S$. Постојат 9 мохвости за отстранетвот хваярат од $C$, но само следните три се битно различни: ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_6789bc9e7d88ba088361g-4.jpg?height=168&width=505&top_left_y=1846&top_left_x=750) Во сегој од трите случав е очвгледно дека поқривање ва $S$ моте да се пзврта со едва фитура од облаг 1 и една фвира од облих 2. Звачи, мохио е похриаве на таблата со кормстеве на само една фв тура од облах 2. [^0]: се потрме со фитури од обліт 1)