# MМO 1998 

1. Нека $A B C D E$ е конвексен петаголник таков што $\overline{A B}=\overline{B C}=\overline{A C}$ и $\overline{C D}=\overline{D E}=\overline{E C}$. Нека $T$ е тежиштето на триаголникот $A B C$, а $N$ е средина на страната $A E$. Определи го $\measuredangle N T D$.
2. Докажи дека броевите 1, 2, 3, ..., 1997, 1998 не може да се разбијат на три групи така што збирот на броевите во првата група е делив со 2000, збирот на броевите во втората група е делив со 3999 и збирот на броевите во третата група е делив со 5998.
3. Даден е триаголник $A B C$. Нека $p, q, r$ се произволни позитивни реални броеви. Ја применуваме следва постапка: страната $A B$ ја продолжуваме преку $B$ до точка $A^{\prime}$ така што $\overline{B A^{\prime}}=p \overline{A B}$, страната $B C$ ја продолжуваме преку $C$ до точка $B^{\prime}$ така што $\overline{C B^{\prime}}=q \overline{B C}$, страната $C A$ ја продолжуваме преку $A$ до точка $C^{\prime}$ така што $\overline{A C^{\prime}}=r \overline{C A}$.

Дефинираме функција $f$ со $f(p, q, r)=\frac{P_{A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}}{P_{A B C}}$, каде со $P_{X Y Z}$ е означена плоштината на триаголникот $X Y Z$.

Докажи дека за сите позитивни реални броеви $x, y, z$ и за произволен природен број $n$ важи равенството

$$
f(x, y, z)+f(x+1, y+1, z+1)+\ldots+f(x+n-1, y+n-1, z+n-1)=n^{3} f\left(\frac{x}{n}, \frac{y}{n}, \frac{z}{n}\right)
$$

4. Докажи дека за секој триаголник $A B C$ важи неравенството

$$
\frac{a b+b c+c a}{4 P} \geq \sqrt{3}
$$

каде што $a, b, c$ се страните на триаголникот, а $P$ е неговата плоштина.

5. Нека $\left\{a_{n}\right\}$ е низата зададена со $a_{1}=\sqrt{2}, a_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-a_{n}^{2}}}, n \geq 1$ и нека $\left\{b_{n}\right\}$ е низата зададена со $b_{n}=2^{n+1} a_{n}$. Докажи дека за секој природен број $n$ важи $b_{n}<7$ и $b_{n}<b_{n+1}$.