# MМO 1997 

1. Определи го најмалиот природен број $n$ за кој збирот на цифрите на бројот $n$ е делив со 1997 и збирот на цифрите на бројот $n+1$ е делив со 1997.
2. Нека $M$ е точка во внатрешноста на триаголникот $A N C$ и нека $P, Q$ и $R$ се пресечните точки на $A M$ и $B C, B M$ и $A C, C M$ и $A B$. Докажи го неравенството

$$
\frac{\overline{A M}}{\overline{M P}}+\frac{\overline{B M}}{\overline{M Q}}+\frac{\overline{C M}}{\overline{M R}} \geq 8
$$

3. Определи го бројот на сите триаголници чии должини на страни се помали или еднакви на $2 n, n \in \mathbb{N}$.
4. Докажи дека од било кои $n$ реални броеви може да се изберат неколку (може да биде и еден) така што за збирот $S$ на избраните броеви постои цел број $P$ таков шт

$$
(n+1) \cdot|S-P| \leq 1
$$

5. Дадена е квадратна мрежа $1997 \cdot 1997$, од која е отстрането централното $1 \times 1$ квадратче и фигури $\Gamma_{i}, i=2,3, \ldots, 1997$ од видот како на цртежот десно. Нека $a$ е бројот на начините на кои дадената фигура може да се покрие со фигурите $\Gamma_{i}, i=2,3, \ldots, 1997$. Определи го најголемиот прост број $p$ таков

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_9a667b0a848cea7830f6g-1.jpg?height=363&width=414&top_left_y=1323&top_left_x=1069)
што $p^{3} \mid a$. (Покривањата се без преклопувања.)