ЗАДАЧА 1. Неха $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{1 v 4}$ се дени броеви такви што $$ a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{1994}=1994^{1994} $$ Да се определи остатокот при делење на $a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+\ldots+a_{199}^{3}$ со 6 . PEILIHVIE. Бидејки $a^{3}-a=(a-1) a(a+1)$, јасно е дека за секој цел број $a$ вахх: $a^{3}=a($ мод 6). Знача : $$ a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+\ldots+a_{1994}^{3}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{199}=1994^{1994}(\text { мод } 6) $$ Бидејки 1994 = 2(мод 6), доволно е да се определи остатокот при делење на $2^{\text {vom }}$ co 6. Но, $2^{2 k+1}=2($ мод 6$)$ и $2^{2 k}$ = $4($ мод 6$)$, па бараниот остаток е 4 . ЗАДАЧА 2. Неха $A B C$ е тркагоднвв чии темиња имаат целобројни хоординати и во чија внатрешшвост пөстоп точно една точка $O$ со целобројни координати. Неха точката $D$ е пресекот на правите $B C$ и $A O$. Да се определи најгодемата можна вредноог на $\frac{\overline{A O}}{\overline{\partial D}}$. PEHEHYE. Hexa $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ ce среддни на $B C, A C$ и $A B$, соодветно. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_2e03111b5c52879044ccg-1.jpg?height=319&width=567&top_left_y=1345&top_left_x=260) Внатрешната точка $O$ со целобројни коорданати не може да се наоѓа во внатрешноста на триаполниците I,II или III. Неха, на пример, точката $O$ се наоѓа во триаголнихот I. При хомотетија со центар во $A$ и коефициент 2, триаголникот I се прествкува во $A B C$, а точката $O$ во точха $O^{\prime}$ с делобројна воордината. Според тоа, $A B C$ содрхи две точки со делобројпи координати, противречност. Внатрешната точка $O$ со делобројни координати не може да се наоѓа ниту во внатрещноста на триаголнидте IV,V или VI. Нека, на пример, точхата $O$ се наоға во трдаголнихот IV. Нри хомотетија со центар во $A^{\prime}$ и коефицдент 3 , тркаголникот IV œ пресликува во $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, а точката $O$ во точка $O^{\prime}$ со делобројна координата. Но, тоа значи деха $A B C$ содржи две точки со пелобројни коорданати што по претпоставка не е точно. Од сето досега, јасно е деха бараниот однос е најмногу 5 (висините на триаголницате IV, V и VI се $1 / 6$ од висднвте на $A B C$ ), и тој сооднос се достігнува на пример за триаголнив: $A(0,0), B(6,2) ; C(6,3)$. ЗАДАЧА 3.а) Неха $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}(n>2)$ се пенегатввні реалви броеві н $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=m$. Да œе определи махсвмалната вредност на сумата $$ S=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+\ldots+x_{1} x_{n}+x_{2} x_{3}+x_{2} x_{4}+\ldots+x_{2} x_{n}+\ldots .+x_{n-1} x_{n} $$ б) Неха $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}(n>2)$ се венегативнд прғоддід броевн и $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=m$. Да се ошредели матсималвата вредност на сумата $$ S=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+\ldots+x_{1} x_{n}+x_{2} x_{3}+x_{2} x_{4}+\ldots+x_{2} x_{n}+\ldots+x_{n-1} x_{n} $$ PEIIIEHUE. a) Означуваме $K=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}$. Имаме : $$ m^{2}=\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)^{2}=K+2 S $$ Согласно врскаха мену геометрисва, арщметичка и хвадратна средива, за $i=1,2, \ldots, n, j=1,2, . ., n, i \neq j$, добнваме : $$ x_{i} x_{j} \leq\left(\frac{x_{i}+x_{j}}{2}\right)^{2} \leq \frac{x_{i}^{2}+x_{j}^{2}}{2} $$ од каде што по сумирање ва сите вахви неравенства добиваме $S \leq \frac{n-1}{2} K$. Со замената $K=m^{2}-2 S$, од последното добвваме $S S \frac{(n-1)^{2} m}{2 n}$, при што равенство се достига за $x_{1}=x_{2}=\ldots .=x_{n}=\frac{m}{n}$. б) Воведуваме ознаха $$ S\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+\ldots+x_{1} x_{n}+x_{2} x_{3}+x_{2} x_{4}+\ldots+x_{2} x_{n}+\ldots+x_{n-1} x_{n} $$ Нека максвмалната вредвост на $S$ се достита за $x_{1}=a_{1}, x_{2}=a_{2}, \ldots, x_{n}=a_{n}$. Да петіоставиме дека постојат два броја $a$, . $a$, ( $i2$. Toram : $$ S\left(a_{1}, a_{2}, . ., a_{1}+1, . ., a_{1},-1, . ., a_{n}\right)-S\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{1}, . ., a_{1}, . ., a_{n}\right)=a_{1}-a_{1}-1>2-1=1 $$ штто не е можно бидејки максвмалната вредност за $S$ се добвна за $x_{1}=a_{1}$, $x_{2}=a_{2}, \ldots, x_{n}=a_{n}$. Ист заклучок с изведува и аво $i>j$. Значе, био код два ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_2e03111b5c52879044ccg-2.jpg?height=55&width=1228&top_left_y=1597&top_left_x=251) $n-r$ се едваквв на $k$, при што $01)$ e ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_2e03111b5c52879044ccg-3.jpg?height=48&width=651&top_left_y=1961&top_left_x=251) a) Догаху деха ceroja дефества тава $\infty$ двменкпја $3^{n} \times 3^{n}$ може да c пoxpse co фarypir oд облат $\square$ (ro mapexysaмe oбляz 1) в $\square \square \square$ (ro нарехуваме облвв 2). Фдтуріте штто ја похргваaт таблата не смеат да - се цеериваат меfусебно и ве смеат да го мануваат работ ва таблата. Исто така отстранетнот хвадрат од таблата не сreе да் бдде похрнен. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_2e03111b5c52879044ccg-4.jpg?height=51&width=1108&top_left_y=383&top_left_x=374) вање на таблата? ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_2e03111b5c52879044ccg-4.jpg?height=50&width=1105&top_left_y=470&top_left_x=375) ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_2e03111b5c52879044ccg-4.jpg?height=51&width=1233&top_left_y=513&top_left_x=249) со трн. Но, бројот на квадратя на дефектва табла цпто треба да се похрвјат е $3^{n} \cdot 3^{n}-1$, па, значв, само со фптурі од обліх 1 не е мохно похрввање. Ḱe дозаземе деза едва фнуура од обліт 2 е доволна. Отстранетвот хвадрат го ояначуваме со $P$. Прво, te догахеме деза постов квадрат $S$ со дрмензщја $3 \times 3$ кој то содрхв $P$ таха щтто над и под тој ввадрат ниа по парен број редвци, а, всто тава, дево н десво од тој квадрат вма по парен број на колонд. Да го разгледаме квадратот $C$ со двензцја $3 \times 3$ во чвј цевтар се наода $P$ (ваквпӧт квадрат мохе да преоға преху рабовмте на дефектната табла ахо отстранетнот квадрат е блису до работ). Бидејки 3.3 -3 е парен број, јаспо е дека над н под ввадратот С вма вхушво парен број на редвдв. Arо од двете странв вма по ветарен број на реддщи со поместуваве на С за еден ред погоре выи пододу (порадв мохната блевнна ва работ, понекогаm само едва од овие две насохя е мохва) добвваме свадрат сoj ro содрве $P$ таха mто над и под тој квадрат нка по парен број ва реддщд. Авалогва днсдусвја може да се спроведе и за колоните, на значт од свадаттот $C$ со најмвогу едво поместување во правец торе-долу и едно поместување во правед лево-деспо го добнваме бараниот квадрат $S$. Јаспо, со две фитурв од облвв 1 мохе да се похрве дел од та6лата од ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_2e03111b5c52879044ccg-4.jpg?height=169&width=1236&top_left_y=1403&top_left_x=247) отстраветиот хвадат мохат да се похрщjат со деловн од облих - . На вахов начвн гн похрвваме слте редицв вад в под хвадратот S. Hі остапуваат трп редвид во ков се содрзв $S$ така щто лево и десно од $S$ вма по парен број вев холони. Коловнте лево н десво од $S$ ти похриваме со деловн од обуіх 1 . Досега се всхордстені само фитурн од обліт 1 , а за похр-вање оставува само хвадратот S. Постојат 9 мохвости за отстранетвот хвадрат од $C$, но само следвіте три се битно различні: ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_2e03111b5c52879044ccg-4.jpg?height=170&width=510&top_left_y=1845&top_left_x=748) Во сезој од трвте случад е очваглддво деха похриваве на $S$ мохе да се извртвя со едва фигура од облаг 1 и едва фпура од облах 2. Значд, мохво е похрвваве на таблата со корпстење на само една фвгура од облех 2 .