# Сојузен натпревар 1973 ## Седмо одделение 1. Определи го најмалиот природен број со кој треба да се помножи бројот 8316 за да се добие број кој е точен квадрат на природен број. На кој број? Решение. Бидејќи $8316=2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 7 \cdot 11$ најмалиот природен број со кој треба да се помножи за да се добие квадрат на природен број е производот $3 \cdot 7 \cdot 11$. Тогаш $$ 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 8316=2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 7^{2} \cdot 11^{2}=\left(2 \cdot 3^{2} \cdot 7 \cdot 11\right)^{2}=1386^{2} $$ 2. По намалувањето на цената за $20 \%$, за 240 денари може да се купи 1 метар платно повеќе отколку што пред намалувањето можело да се купи за 270 денари. Определи ја цената на платното пред намалувањето. Решение. Нека $x$ е бројот на метрите кои биле купени по цена од $y$ денари по метар за 270 денари. Тогаш од условот на задачата следува $x y=270,(x+1) \frac{80 y}{100}=240$, од каде добиваме $x=9$ и $y=30$. 3. Од градовите $A$ и $B$, кои се оддалечени $250 \mathrm{~km}$, истовремено во пресрет еден кон друг тргнале два моторцикли. Брзината на едниот од нив е за $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ поголема од брзината на другиот. По два часа патување до средбата им преостанале уште $30 \mathrm{~km}$. Определи ја брзината на секој моторциклист. Решение. Нека брзината на првиот мотоциклист $v \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Тогаш вториот се движи со брзина $(v-10) \mathrm{km} / \mathrm{h}$. Сега имаме $$ 2 v+2(v-10)=220, \text {,.e. } v=60 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $$ 4. Во рамнокрак трапез средната линија е $s$, а дијагоналата е двапати подолга од средната линија. Определи ја плоштината на овој трапез. Решение. Нека $A B C D$ е дадениот трапез и нека $M N$ е неговата средна линија (види цртеж). Имаме $M N=s$ и $A C=2 s$. Сега, бидејќи $A C^{\prime}=a-\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}=M N=s$, добиваме $$ \begin{aligned} C C^{\prime} & =\sqrt{A C^{2}-A C^{2}} \\ & =\sqrt{4 s^{2}-s^{2}}=s \sqrt{3} \end{aligned} $$ Конечно, $$ \begin{aligned} P & =\frac{A B+C D}{2} \cdot C C^{\prime}=M N \cdot C C^{\prime} \\ & =s^{2} \sqrt{3} \end{aligned} $$ ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_a1c1f3ce109b848d48a0g-2.jpg?height=346&width=641&top_left_y=255&top_left_x=838) 5. Дадена екружница $s$ со центар $O$ и дијаметар $A B=4 \mathrm{~cm}$. a) Конструирај три тангенти на оваа кружница, од кои две се во точките $A$ и $B$, а третата таква што отсечокот $C D$ меѓу првите две тангенти е со должина $5 \mathrm{~cm}$. б) Определи го $\Varangle C O D$. в) Определи ја плоштината на ликот ограничен со конструираните тангенти и дадената кружница. Решение. а) Нека $t_{1}$ и $t_{2}$ се тангентите на дадената кружница конструирани во точките $A$ и $B$ (цртеж десно). Околу произволна точка $P$ на тангентата $t_{1}$ опишуваме кружница со радиус $r=5 \mathrm{~cm}$ и во пресек со $t_{2}$ ја наоѓаме точката $Q$. Од точката $O$ повлекуваме нормала $O R$ на правата $P Q$ и во пресекот на оваа нормала со дадената кружница ја наоѓаме точката $S$. Во точката $S$ повлекуваме права паралелна со права та $P Q$ и тоа е бараната трета тангента на кружницата. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_a1c1f3ce109b848d48a0g-2.jpg?height=692&width=502&top_left_y=1050&top_left_x=994) б) Имаме: $$ \measuredangle C O D=\measuredangle C O S+\measuredangle S O D=\frac{1}{2}(\measuredangle A O S+\measuredangle S O B)=90^{\circ} $$ в) Бараната плоштина се добива кога од плоштината на трапезот $A B D C$ се одземе плоштината на половина круг со радиус $r=2 \mathrm{~cm}$. Имаме $$ P_{1}=\frac{A C+B D}{2} \cdot A B=\frac{C S+D S}{2} \cdot A B=\frac{C D}{2} \cdot A B=10 \mathrm{~cm}^{2} \text { и } P_{2}=\frac{4 \pi}{2}=2 \pi \mathrm{cm} $$ па е $P=P_{1}-P_{2}=(10-2 \pi) \mathrm{cm}^{2}$. ## Осмо одделение 1. Нека $a$ и $b$ се произволни природни броеви. Докажи дека барем еден од броевите $a+b, a-b$ и $a b$ е делив со 3 . Решение. Секој природен број може да се запише во еден од облиците $3 k, 3 k+1,3 k+2, k \in \mathbb{N}$. Можни се следниве слуичаи: - Ако барем еден од броевите $a$ и $b$ е од облик $3 k$, тогаш нивниот производ е делив со 3 . - Ако двата броја $a$ и $b$ се од облик $3 k+1$ или $3 k+2$, тогаш нивнта разлика е делива со 3. - Ако едниод од броевите $a$ и $b$ е од облик $3 k+1$, а другиот е од облик $3 k+2$, тогаш нивниот збир е делив со 3 . 2. По намалувањето на цената за $20 \%$, за 240 денари може да се купи 1 метар платно повеќе отколку што пред намалувањето можело да се купи за 270 денари. Определи ја цената на платното пред намалувањето. Решение. Види го решението на задачата 2 од седмо одделение. 3. Во рамнината на правоаголен координатен систем $X O Y$ коструирај правоаголник $A B C D$, ако се познати координатите на три негови темиња: $A(-3,-1), B(5,-1), C(5,3)$. Определи ги: a) координатите на четвртото теме, б) координатите на пресекот на правите $A C$ и $B D$. в) равенките на правите на кои припаѓаат страните и дијагоналите на овој правоаголник. Решение. а) Координатите на четвртото теме $D$ се $(-3,4)$. б) Координатите на пресечната точка $S$ на отсечките $A C$ и $B D$ се $x_{S}=\frac{-3+5}{2}=1, y_{S}=\frac{-1+3}{2}=1$. в) Равенките на правите на кои лежат страните на правоаголникот се ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_a1c1f3ce109b848d48a0g-3.jpg?height=589&width=716&top_left_y=1604&top_left_x=786) $x=-3, x=5, y=-1, y=3$. Равенките на правите на кои лежат дијагоналите на правоаголникот ce: $y+1=\frac{3+1}{5+3}(x+3), y+1=\frac{3+1}{-3-5}(x-5)$, т.е. $x-2 y+1=0, x+2 y-3=0$. 4. Основите $A B$ и $C D$ на трапезот $A B C D$ се продолжени на двете страни. Симетралите на надворешните агли на трапезот во темињата $A$ и $D$ се сечат во точката $M$, а симетралите на надворешните агли во темињата $B$ и $C$ се сечат во точката $N$. Определи го периметарот на трапезот $A B C D$ ако $M N=2 k$. Решение. Бидејќи точката $M$ лежи на симетралите на аглите во темињата $B$ и $C$, таа е еднакво оддалечена од правата $A B$ и од правата $C D$, што значи дека припаѓа на средната линија на ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_a1c1f3ce109b848d48a0g-4.jpg?height=259&width=548&top_left_y=810&top_left_x=916) трапезот $A B C D$. Аналогно, точката $N$ припаѓа на средната линија на трапезот $A B C D$. Понатаму, триаголниците $N A P$ и $N D P$ се рамнокраки (Зошто?), па затоа $N P=A P=P D$. Слично, $M Q=B Q=C Q$. Конечно, за периметарот на трапезот добиваме: $$ \begin{aligned} A B+C D+A D+B C & =2 \cdot\left(\frac{A B}{2}+\frac{C D}{2}+A P+B Q\right) \\ & =2 \cdot\left(\frac{A B+C D}{2}+N P+Q M\right) \\ & =2(P Q+N P+Q M) \\ & =2 M N=4 k \end{aligned} $$ 5. Врвот на прав конус е во центарот на едната основа на цилиндар. Другата основа на цилиндарот и основата на конусот лежат во иста рамнина и имаат заеднички центар. Волумените на конусот и цилиндарот се еднакви. Радиусот на основата на цилиндарот е $r$, а висината на цилиндарот е $h$. a) Определи го радиусот на основата на конусот (изразен преку $r$ ). б) Колкав е волуменот на делот од цилиндарот кој е во конусот (изразен со помош на $r$ и $h$ ). Решение. Нека радиусот на основата на конусот е $R$. Од $V_{k}=V_{c}$ следува $$ \frac{R^{2} h}{3}=r^{2} h, \text { т.e. } R=r \sqrt{3} $$ Сега, од сличноста на триагониците $B Q N$ и $O Q S$ добиваме $$ \frac{B N}{O S}=\frac{R-r}{R} $$ па затоа $$ \begin{aligned} & B N=O S \frac{r \sqrt{3}-r}{r \sqrt{3}} \\ & h_{1}=h \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}=h \frac{3-\sqrt{3}}{3} \end{aligned} $$ ЗАтоа волуменот на делот од цилиндарот кој се наоѓа во конусот е: $$ V=\pi r^{2} h \frac{3-\sqrt{3}}{3} $$ ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_a1c1f3ce109b848d48a0g-5.jpg?height=731&width=697&top_left_y=300&top_left_x=803)