# Сојузен натпревар 1979 

## Седмо одделение

1. Стрелец гаѓа во мета и за секој погодок добива 5 поени, а за секое промашување му се одземаат 3 поени. Стрелецот имал лош ден и по серија стрелања, кои биле повеќе од 10 , а помалку од 20 , освоил точно нула бодови. Колку пати стрелал стрелецот и колку пати ја погодил метата?

Решение. Ако стрелецот имал $m$ погодоци и $n$ промашувања, тогаш $5 m-3 n=0$ и $10<m+n<20$. Единствен пар природни броеви кој ги задоволува двата услови е $m=6, n=10$. Значи, стрелоцот стрелал 16 пати и 6 пати ја погодил метата.

2. Природниот број $a$ не е делив ос 5. Определи го остатокот кој се добива при делење на бројот $a^{4}$ со бројот 5.

Решение. Број а кој не е делив со 5 може да се запише во облик $5 k \pm 1$ или $5 k \pm 2$. Имаме

$$
\begin{aligned}
& a^{2}=(5 k \pm 1)^{2}=25 k^{2} \pm 10 k+1=5\left(5 k^{2} \pm 2 k\right)+1=5 m+1 \text { или } \\
& a^{2}=(5 k \pm 2)^{2}=25 k^{2} \pm 20 k+4=5\left(5 k^{2} \pm 4 k\right)+1=5 n+4
\end{aligned}
$$

Ако квадрираме уште еднаш добиваме

$$
\begin{aligned}
& a^{4}=(5 m+1)^{2}=5\left(5 m^{2}+2 m\right)+1=5 M+1 \text { или } \\
& a^{4}=(5 n+4)^{2}=5\left(5 n^{2}+8 n+3\right)+1=5 N+1
\end{aligned}
$$

па бараниот остаток е 1 .

3. Пресметај ја вредноста на изразот:

$$
A=\frac{1 \cdot 2 \cdot 4+2 \cdot 4 \cdot 8+3 \cdot 6 \cdot 12+\ldots+100 \cdot 200 \cdot 400}{1 \cdot 3 \cdot 9+2 \cdot 6 \cdot 18+3 \cdot 9 \cdot 27+\ldots+100 \cdot 300 \cdot 900}
$$

Решение. Имаме

$$
A=\frac{1 \cdot 2 \cdot 4\left(1+2^{3}+3^{3}+\ldots+100^{3}\right)}{1 \cdot 3 \cdot 9\left(1+2^{3}+3^{3}+\ldots+100^{3}\right)}=\frac{1 \cdot 2 \cdot 4}{1 \cdot 3 \cdot 9}=\frac{8}{27}
$$

4. Во четириаголник $A B C D$ кај кој страните не се еднакви дијагоналите $A C$ и $B D$ се сечат во точката $O$. Ако плоштините на триаголниците $A D O$ и $B C O$ се еднакви, докажи дека четириаголникот $A B C D$ е трапез.

Решение. Ако плоштините на триаголниците $A D O$ и $B C O$ се еднакви, тогаш со додавање на триаголникот $A B O$ добиваме дека и плоштините на триаголниците $A B D$ и $A B C$ се еднакви. Значи, $\frac{A B \cdot h^{\prime}}{2}=\frac{A B \cdot h^{\prime \prime}}{2}$, па затоа $h^{\prime}=h^{\prime \prime}$, т.е.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_66f786bcf1c2286e0245g-2.jpg?height=330&width=563&top_left_y=258&top_left_x=920)

$D E=C F$. Според тоа, четириаголникот $C D E F$ е правоаголник, па затоа $D C \| A B$. Но страните $A B$ и $C D$ не се еднакви, што значи дека четириаголникот $A B C D$ е трапез.

5. Над хипотенузата на правоаголен триаголник е конструиран квадрат кој не го содржи темето на правиот агол на дадениот триаголник. Докажи дека симетралата на правиот агол на дадениот триаголник минува низ центарот на квадратот.

Решение. Нека $A$ е темето на правиот агол, $B C M N$ е квадрат и $D$ е центарот на квадратот (цртеж десно). Бидејќи аголот $B D C$ е прав, добиваме дека кружницата $k$ опишана околу триаголникот $A B C$ ја coдржи точката $D$. Тетивите $C D$ и $B D$ се еднакви меѓу себе, како половини од дијагоналите на квадратот. Затоа перифериските агли $B A D$ и $C A D$ над овие тетиви

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_66f786bcf1c2286e0245g-2.jpg?height=433&width=413&top_left_y=1057&top_left_x=1067)
се еднакви, што значи дека $A D$ е симетрала на правиот агол на дадениот триаголник, што и требаше да се докаже.

## Осмо одделение

1. На некоја свечена вечера шефот на салата добил задача околу една тркалезна маса да распореди четири мажи и определен број жени, и тоа така што ниту една жена да не седи до друга жена, а наспроти (дијаметрално) секое лице да седи лице од спротивниот пол. Дали шефот на салата успеал да направи таков распоред?

Решение. За да наспроти секој од четирите ма-

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_66f786bcf1c2286e0245g-2.jpg?height=346&width=322&top_left_y=1848&top_left_x=1163)
жи седи жена, на масата мора да се распоредат точно четири жени и тоа така што меѓу секои две жени има по еден маж. Нека $A B$ е еден дијаметар на тркалезната маса (види цртеж). Ако $A$ е маж, тогаш $B$ е жена. Но, лево и десно од дијаметарот $A B$ мора да седат по три лица. Сега двете лица до $B$ мора да се мажи, па останува три жени да распоредиме на преостанатите четири места, што значи дека две жени ќе мора да седат една до друга, што е противречност. Значи, шефот на салата не успеал да го направи бараниот распоред.

2. На чело на колоната на велосипедска трка се наоѓаат велосипедистите Ацо и Боро, возејќи еден покрај друг. Тие толку им побегнале на другите велосипедисти така што до целта никој не може да ги стигне. На $20 \mathrm{~km}$ пред целта на Ацо му пукнала гума. Боро продолжил да вози до целта со просечна брзина од $40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Ацо за поправка на гумата изгубил 3 минути, а потоа продолжил да вози со просечна брзина од $45 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Кој победил во трката и со колкаво растојание предност?

Решение. Боро возел до целта $\frac{20}{40}=0,5 h$, односно $30 \mathrm{~min}$. На Ацо му биле потребни $\frac{20}{45} h+3 \min =\frac{89}{3} \min$. Бидејќи $\frac{89}{3}<30$, заклучуваме дека победник е Ацо. Ацо пред Боро стигнал за $30-\frac{89}{3}=\frac{1}{3} \mathrm{~min}=20 \mathrm{~s}$. За тие 20 секунди на Боро му преостанало да помине $\frac{20}{3600} \cdot 40=\frac{2}{9} \mathrm{~km}$.

3. Даден е изразот $\sqrt{x^{2}+y^{2}-z^{2}-2 x y}$. Ако $x=361979$ и $z=561990$, определи ги сите вредности на $у$ за кои дадениот израз прима најмала можна вредност.

Решение. Најмалата вредност на дадениот корен може да е 0 . Значи, мора да биде

$$
x^{2}+y^{2}-z^{2}-2 x y=0, \text { т.e. }(x+y-z)(x+y+z)=0
$$

Оттука добиваме $x+y-z=0$ или $x+y+z=0$, што значи $y=z-x$ или $y=-z-x$. Бараните врености за $y$ се 200011 или -923969 .

4. Правите $x-y=-1, x+y=8$ и $x-2 y=2$ и двете координатни оски формираат петаголник. Определи го волуменот на ротационото тело кое се добива со ротација на овој петаголник околу апсцисната оска. Решение. Добиениот петаголник е осенчен на цртежот десно.

Координатите на темињата се добиваат во пресеците на соодветните прави и тие се $(0,1),(0,0),(2,0),(6,2),\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)$.

Бараниот волумен ќе го добиеме ако од збирот на волумените на конусите добиени со ротација на триаголниците $A E F$ и IEF ги одземеме волумените на комусите добие-

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_66f786bcf1c2286e0245g-4.jpg?height=534&width=617&top_left_y=264&top_left_x=862)
ни со ротација на триаголниците $A B C, G H D$ и $G H I$. Лесно се добива дека бараниот волумен е $V=\frac{629}{12} \pi$. Деталите ги оставаме на читателот за вежба.

5. Трапез има плоштина $80 \mathrm{~cm}^{2}$ и должина на висината $8 \mathrm{~cm}$. Средината на средната линија на трапезот од едниот крак е оддалечена Зcm , а од другиот крак е оддалечена $4 \mathrm{~cm}$. Определи ги должините на основите на овој трапез.

Решение. Нека $S P=3 \mathrm{~cm}$ и $S Q=4 \mathrm{~cm}$ (види цртеж). Од плоштината на трапезот добиваме $P=m h$, односно $80=8 m$, од каде за средната линија на трапезот добиваме $m=10 \mathrm{~cm}$. Значи, $a+b=20 \mathrm{~cm}$, а правоаголните триаголници $S M P$ и $S M Q$ имаат хипотенузи $5 \mathrm{~cm}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_66f786bcf1c2286e0245g-4.jpg?height=435&width=771&top_left_y=1484&top_left_x=518)

Од Питагоровата теорема следува $M P=4 \mathrm{~cm}$ и $N Q=3 \mathrm{~cm}$. Правоаголните триаголници SMP и BCF се слични, бидејќи имаат еднакви агли во темињата $B$ и $M$, па затоа $S P: M P=C F: B F$, односно $3: 4=8: x$, па затоа $x=\frac{32}{3}$. На ист начин од сличноста на триагол-
ниците следува $S Q: Q N=D E: A E$, т.е. $4: 3=8: y$, па затоа $y=6$. Четириаголникот $C D E F$ е правоаголник, па затоа $E F=C D=b$. Според тоа, $20=a+b=x+b+y+b=2 b+6+\frac{32}{3}$, од каде добиваме $b=\frac{5}{3} \mathrm{~cm}$ и $a=\frac{55}{3} \mathrm{~cm}$.