# Сојузен натпревар 1975 

## Седмо одделение

1. Збирот на шест последователни природни броја, од кои ниту еден не е делив со 7, е делив со 21 , но не е делив со 42. Докажи!

Определи шест такви броеви, така што нивниот збир е четирицифрен број и е квадрат на некој природен број.

Решение. Броевите се $7 n+1,7 n+2,7 n+3,7 n+4,7 n+5,7 n+6$ и нивниот збир е $S=42 n+21=21(2 n+1)$. Јасно, $21 \mid S$ и при делење на $S$ со 42 се добива остаток 21 , т.е. $S$ не е делив со 42 .

За да овој збир биде квадрат на природен број треба $2 n+1=21 k^{2}$, каде $k$ е непарен природен број. За да овој збир биде четирицифрен број, мора $2<k^{2}<23$. Последното е можно само за $k^{2}=9$. Сега добиваме $2 n+1=21 k^{2}=189$, односно $n=94$. Бараните броеви се: $659,660,661,662,663$ и 664.

2. Определи го оној двоцифрен број кој е еднаков на збирот на кубот на вредноста на цифрата на десетките и квадратот на вредноста на цифрата на единиците на тој двоцифрен број.

Решение. Нека бараниот број е $\overline{a b}(a \neq 0)$. Тогаш $10 a+b=a^{3}+b^{2}$, па затоа $10 a-a^{3}=b^{2}-b$, т.е. $a\left(10-a^{2}\right)=b(b-1)$. Очигледно $a \in\{1,2,3\}$. За $a=1$ добиваме $9=b(b-1)$ и за $a=3$ добиваме $3=b(b-1)$, што не е можно (Зошто?). За $a=2$ добиваме $12=b(b-1)$, од каде наоѓаме $b=4$. Конечно, бараниот број е 24 .

3. Пет отсечки се конструирани од заедничка точка $A$. Потоа од некои од слободните крајни точки на овие отсечки (не од точката $A$ ) се конструирани пет нови отсечки и постапката е повторена неколку пати. На крајот Петар ги избројал слободните краеви и констатирал дека има вкупно 700 слободни краеви. Дали Петар добро ги пребројал слободните краеви?

Решение. Нека од било кој слободен крај се конструирани 5 нови отсечки. Тогаш наместо еден слободен крај добиваме5 нови слободни краеви, што значи дека бројот на слободните краеви се

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_e0d95f5510204c7c0f0fg-1.jpg?height=253&width=298&top_left_y=1950&top_left_x=1170)
зголемил за 4. Со секоја нова конструкција на отсечки од неколку слободни краеви, бројот на слободните креви ќе се зголеми за $4 k$, $k \in \mathbb{N}$. Според тоа, вкупниот број слободни краеви ќе биде $4 n+5$, па како $700=4 \cdot 175$, заклучуваме дека во броењето е направена грешка.

4. Даден е ромб $A B C D$ со $\measuredangle B A D=60^{\circ}$. Симетралите на аглите меѓу дијагоналите ги сечат страните на ромбот во точките $M, N, P$ и $Q$.

a) На кој вид четириаголници припаѓа четириаголникот $M N P Q$ ?

б) Ако точката $M$ припаѓа на страната $A B$, пресметај го односот $A M: M B$.

в) Определи го односот на оние отсечоци на големата и малата дијагонала на ромбот кои лежат надвор од четириаголникот MNPQ.

Решение. а) Од складноста на триаголниците $O B M$ и $O B N$ следова дека $O M=O N$, а од складноста на триаголниците $O A M$ и $O A Q$ следува дека $O M=O Q$ ((цртеж десно). На ист начи е и $O Q=O P$. Од тука заклучуваме дека $M P=N Q$ и како $\measuredangle M O N$ е прав

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_e0d95f5510204c7c0f0fg-2.jpg?height=363&width=471&top_left_y=914&top_left_x=990)
агол, следува дека четириаголникот $M N P Q$ е квадрат.

б) Триаголникот $A M Q$ е рамностран. Страната на овој триаголник да ја означиме со $x$. Тогаш триаголникот BRM кој е половина од рамностран триаголник има висина $M R=\frac{x}{2}$. Оттука $M R=M B \frac{\sqrt{3}}{2}$, па ако ставиме $M B=y$, добиваме $\frac{x}{2}=y \frac{\sqrt{3}}{2}$, т.е. $x=y \sqrt{3}$. Според тоа, $A M: M B=x: y=y \sqrt{3}: y=\sqrt{3}: 1$.

в) Од триаголникот $A M Q$ следува $A S=\frac{x \sqrt{3}}{2}=y \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 y}{2}$, а од триаголникот $B R M$ следува $B R=\frac{y}{2}$. Според тоа, $A S: B R=\frac{3 y}{2}: \frac{y}{2}=3: 1$.

5. Отсечката $A C=a$ со нејзината внатрешна точка $B$ е поделена во однос $3: 2$. Над отсечките $A B$ и $B C$, од различни страни во однос на отсечката $A C$, се конструирани квадрати $A B D E$ и $C B F G$. Нека $O$ и O' се пресеците на дијагоналите на овие квадрати. Определи го одно-
сот на плоштината на четириаголникот $O O^{\prime} C D$ и плоштината на квадратот со должина на страна $A C$.

Решение. Четириаголникот $O O^{\prime} C D$ е составен од три правоаголни триаголници, од кои $O B D$ и $O^{\prime} B C$ се четвртини од соодветни квадрати (цртеж десно). Бараната плоштина е

$$
\begin{aligned}
P & =\frac{1}{4}\left(\frac{3}{5} a\right)^{2}+\frac{1}{4}\left(\frac{2}{5} a\right)^{2}+\frac{1}{2} \frac{3 a}{5} \cdot \frac{2 a}{5} \\
& =\frac{9 a^{2}}{100}+\frac{4 a^{2}}{100}+\frac{6 a^{2}}{50}=\frac{a^{2}}{4}
\end{aligned}
$$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_e0d95f5510204c7c0f0fg-3.jpg?height=397&width=428&top_left_y=354&top_left_x=1036)

а тоа е четвртина од плоштината на квадрат со должина на страна $a$. Значи бараниот однос е $1: 4$.

## Осмо одделение

1. Елементите на множеството $A=\{a, b, c\}$ се било кои степени на произволни прости двоцифрени броеви помали од 20. Докажи дека меѓу елементите на множеството $A$ постојат два броја такви што збирот или разликата на тие два броја е делива со 5.

Решение. Елементите на множеството $A$ се некои степени на простите броеви $11,13,17$ и 19. Сите степени на овие броеви завршуваат на една од цифрите $1,3,7$ или 9. Но, множеството $A$ има три елементи, па затоа меѓу овие броеви или има два броја со иста цифра на единиците, или сите три броја имаат различни цифри на единиците.

Во првиот случај разликата, а во вториот случај збирот на два соодветни броја (3+7 или $1+9$ ) завршуваат на нула, а тоа е деливо со 5 .

2. Определи ги броевите $x, y$ и $z$ за кои

$$
4 x^{2}+9 y^{2}+16 z^{2}-4 x-6 y-8 z+3=0
$$

Решение. Дадената равенка е еквивалентна на равенката

$$
(2 x-1)^{2}+(3 y-1)^{2}+(4 z-1)^{2}=0
$$

Бидејќи квадрат на реален број е поголем или еднаков на нула, а збир на ненегативни броеви е еднаков на нула само ако тие се енакви на нула, добиваме $2 x-1=3 y-1=4 z-1=0$, од каде наоѓаме $x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{3}$ и $Z=\frac{1}{4}$.

3. При изработка на еден метален клин отпадоците се $12,5 \%$ од употребениот материјал. На тој начин, од едно парче метал се направени точно 100000 такви клинови. Сите добиени отпадоци се повторно стопени во едно парче метал и од него на истиот начин се направени исти такви клинови. Оваа постапка се повторува се додека е можно од отпадоците да се направи барем еден таков клин.

Определи го вкупниот број клинови кои се добиени, сметајќи ги и првите 100000 клинови.

Решение. Отпадоците изнесуваат $\frac{12,5}{100}=\frac{1}{8}$ од употребениот материја.

Според тоа, од отпадоците добиени со изработка на првите 100000 клинови може да се направат $100000: 8=12500$ клинови со $\frac{1}{8}$ отпадоци. Од новите отпадови добиваме $12500: 8=1562$ клинови, со отпадок кој изнесува $\frac{4}{8}$ од еден клин. Сега имаме $\frac{1562+4}{8}=\frac{1566}{8}$ остатоци, па од нив може да се направат 195 клонови со остаток $\frac{6}{8}$. Понатаму, имаме 201:8-25 (остаток е 1); 26:8=3 (остаток е 2). Конечно, немаме доволно материјал за да се продолжи производството. Значи, изработени се вкупно $100000+12500+1562+195+25+3=114285$ клинови со остаток од $\frac{5}{8}$ материјал за изработка на нов клин.

4. Набљудувач гледа отсечка $A B$ од две точки $C$ и $D$ кои се на растојание $300 \mathrm{~m}$, под агли $30^{\circ}$. Правите $A D$ и $B C$ се заемно нормални. Определи ја должината на отсечката $A B$.

Решение. Нека $O$ е пресечната точка на правите $A D$ и $B C$ (види цртеж). Правоаголните триаголници $A C O$ и $B O D$ се половинки од рамнострани триаголници (имаат внатрешни агли од $30,60^{\circ}$ и $90^{\circ}$ ). Ако воведеме ознаки $O A=x$ и $O B=y$ добиваме $O C=x \sqrt{3}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_e0d95f5510204c7c0f0fg-4.jpg?height=418&width=488&top_left_y=1543&top_left_x=996)
и $O D=y \sqrt{3}$. Сега, од правоаголниот триаголник $C D O$ имаме

$$
(x \sqrt{3})^{2}+(y \sqrt{3})^{2}=300
$$

од каде добиваме

$$
x^{2}+y^{2}=30000
$$

Конечно, од правоаголниот триаголник $A O B$ добиваме

$$
A B=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{30000}=100 \sqrt{3}
$$

5. Рабовите на основа на квадар се однесуваат како $4: 3$, дијагоналите на бочните sидови се однесуваат како $\sqrt{20}: \sqrt{13}$, а плоштината на дијагоналниот пресек се однесува спрема волуменот на квадарот како 2:1. Определи ги плоштината и волуменот на овој квадар.

Решение. Нека $a$ и $b$ се основните рабови, $d^{\prime}$ и $d^{\prime \prime}$ соодветните дијагонали на бочните sидови, $d$ дијагоналата на основата и $h$ висината на квадарот (цртеж десно). Од дадените размери ги добиваме пропорциите $a: b=4: 3, d^{\prime}: d^{\prime \prime}=\sqrt{20}: \sqrt{13}, d h: a b h=2: 1$ Од овде $d^{\prime 2}: d^{22}=20: 13$, односно

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_e0d95f5510204c7c0f0fg-5.jpg?height=363&width=407&top_left_y=761&top_left_x=1075)

$$
\left(a^{2}+h^{2}\right):\left(b^{2}+h^{2}\right)=20: 13 \text { и } d: a b=2: 1
$$

Од $d: a b=2: 1$ следува $\sqrt{a^{2}+b^{2}}: a b=2: 1$, т.е. $\left(a^{2}+b^{2}\right): a^{2} b^{2}=4: 1$ Сега, од

$$
a: b=4: 3 \text { и }\left(a^{2}+b^{2}\right): a^{2} b^{2}=4: 1
$$

имаме $4 b=3 a$ и $a^{2}+b^{2}=4 a^{2} b^{2}$, па со замена за $b=\frac{3}{4} a$, по средувањето добиваме $a^{2}=\frac{25}{36}$, т.е. $a=\frac{5}{6}$. Понатаму, $b=\frac{3}{4} a=\frac{5}{8}$. Сега, со замена во $\left(a^{2}+h^{2}\right):\left(b^{2}+h^{2}\right)=20: 13$ добиваме

$$
\left(\frac{25}{36}+h^{2}\right):\left(\frac{25}{64}+h^{2}\right)=20: 13
$$

од каде $h^{2}=\frac{25}{144}$, односно $h=\frac{5}{12}$.

Конечно, $V=a b h=\frac{125}{576}$.