# Сојузен натпревар 1974 ## Седмо одделение 1. Со делење на некој број со бројот 72 се добива количник $n$ и остаток 68. Опредли ги количникот и остатокот ако истиот тој број се подели co 24 . Решение. Дадениот број може да се запише во видот $72 n+68$. Оттука $(72 n+68): 24$ дава количник $3 n+2$ и остаток 20 . 2. Даден е трицифрен број. Со разместување на неговите цифри добиени се сите броеви запишани со тие цифри. Збирот на сите овие броеви е 1998. Со кои цифри е запишан дадениот трицифрен број? Определи ги сите решенија. Решение. Дадениот број може да има две еднакви цифри и третата да е различна или сите три негови цифри да се различни (сите се различни од нула). a) Ако сите цифри се различни, да кажеме: $a, b, c$, тогаш го добиваме дека збирот на броевите $$ \begin{aligned} & 100 a+10 b+c, 100 c+10 a+b, 100 b+10 c+a \\ & 100 a+10 c+b, 100 b+10 a+c, 100 c+10 b+a \end{aligned} $$ е еднаков на 1998, т.е. го добиваме равенството $$ 222 a+222 b+222 c=1998 $$ од каде $$ a+b+c=9 $$ Според тоа, дадениот број може да биде запишан со цифрит 1, 2, 6 или $1,3,5$ или $2,3,4$. б) Ако дадениот број има само две различни цифри, да кажеме $x$ и $y$, тогаш збирот на броевите $$ 100 x+10 x+y, 100 x+10 y+x, 100 y+10 x+x $$ е еднаков на 1998, односно $$ 222 x+111 y=1998 $$ од каде $$ 2 x+y=18 $$ Според тоа, дадениот број може да биде запишан со цифрите 5, 5, 6 или $7,7,4$ или $8,8,2$. 3. Збирот на два броја е 135 , а $35 \%$ од едниот број се еднакви на $28 \%$ на другиот број. Определи ги овие броеви. Решение. Нека едниот број е $a$. Тогаш другиот е 135-a. Според условот $\frac{35 a}{100}=\frac{28(135-a)}{100}$. Оттука добиваме $a=60$, па другиот број е 75 . 4. Даден е паралелограм $A B C D$. Точката $M$ е средина на страната $A B$, а точката $N$ е средина на страната $C D$. Докажи дека правите $D M$ и $B N$ ја делат дијагоналата $A C$ на три еднакви дела. Решение. Нека $E, O$ и $F$ се соодветно пресечните точки на отсечките $D M, B D$ и $B N$ со дијагоналата $A C$. Бидејќи $A B C D$ е паралелограм, точката $O$ е средина на дијагоналите $A C$ и $B D$. Бидејќи $M$ е средина на отсечката $A B$, ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_e2b4ba6b48251e03981fg-2.jpg?height=305&width=464&top_left_y=703&top_left_x=1018) следува дека $E$ е тежиште на триаголникот $A B D$. Аналогно $F$ е тежиште на триаголникот $B C D$. Од својствата на тежиптето следува $A E=\frac{2}{3} A O$ и $C F=\frac{2}{3} C O$, па затоа $A F=F C$. Бидејќи $O E=\frac{1}{3} A O$ и $F O=\frac{1}{3} C O$, добиваме $E F=E O+O F=\frac{1}{3} A O+\frac{1}{3} C O=\frac{2}{3} A O=A E=F C$, што и требаше да се докаже. 5. Определи ја плоштината на осенчениот дел на квадратот прикажан на цртежот десно. Центрите на кружниците се точките $A$ и $B$. Решение. Половината од осенчената фигура ќе ја добиеме ако од четвртина од површината на кругот со радиус $a$ ги одземеме иечокот $A B M$ (со агол од $60^{\circ}$ ) и отсечокот ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_e2b4ba6b48251e03981fg-2.jpg?height=390&width=378&top_left_y=1343&top_left_x=1087) над тетивата $B M$ од истиот круг (повторно со агол $60^{\circ}$ ), цртеж лево. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_e2b4ba6b48251e03981fg-2.jpg?height=396&width=403&top_left_y=1811&top_left_x=308) Според тоа плоштината на осенчената фигура е еднаква на $$ \begin{aligned} P & =2\left(\frac{\pi a^{2}}{2}-\frac{\pi a^{2}}{6}-\left(\frac{\pi a^{2}}{6}-\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}\right)\right. \\ & =\frac{a^{2}(3 \sqrt{3}-\pi)}{6} \end{aligned} $$ ## Осмо одделение 1. Основата на права четиристрана призма е ромб со плоштина $\frac{2}{3} k^{2}$. Помалиот дијагонален пресек на призмата е квадрат со плоштина $k^{2}$. a) Пресметај ја плоштината и волуменот на призмата изразени со помош на $k$. б) Определи го $k$ ако мерните броеви на плоштината и волуменот на призмата се еднакви. Решение. Од плоштината на малиот дијагонален пресек заклучуваме дека помалата дијагонала на ромбот и висината имаат должина $k$ (цртеж десно). Од плоштината на ромбот ја добиваме непознатата дијагонала: $$ \frac{d k}{2}=\frac{2}{3} k^{2}, \text { т.e. } d=\frac{4}{3} k $$ Страната на ромбот ја пресметуваме од осен- ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_e2b4ba6b48251e03981fg-3.jpg?height=346&width=310&top_left_y=726&top_left_x=1152) чениот правоаголен триаголник на цртежот лево. Имаме ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_e2b4ba6b48251e03981fg-3.jpg?height=209&width=332&top_left_y=1150&top_left_x=324) $a$ $$ a^{2}=\left(\frac{k}{2}\right)^{2}+\left(\frac{2 k}{3}\right)^{2}, \text { т.е. } a=\frac{5}{6} k $$ a) За волуменот и плоштината на призмата имаме: $$ V=\frac{2}{3} k^{2} k=\frac{2}{3} k^{3} \text { и } P=2 \cdot \frac{2}{3} k^{2}+4 \cdot \frac{5}{6} k^{2}=\frac{14}{3} k^{2} . $$ б) Имаме $V=P$, односно $\frac{2}{3} k^{3}=\frac{14}{3} k^{2}$, од каде добиваме $k=7$. 2. Во кружница е впишан рамностран триаголник $A B C$. Произволна точка $M$ припаќа на лакот $B C$ кој не ја содржи точката $A$. Докажи дека $B M+C M=A M$. Решение. Нека $N$ е точка од отсечката $A M$ таква што $M N=C M$. Имаме $\measuredangle A M C=\measuredangle A B C$, како агли над иста тетива во кружница, па затоа триаголникот $C M N$ е рамностран, односно $C N=C M$. За триаголниците $A C N$ и $B C M$ имаме: $C N=C M, A C=B C$ и $\measuredangle C A N=\measuredangle C B M$, како агли над истат тетива $C M$, па затоа ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_e2b4ba6b48251e03981fg-3.jpg?height=428&width=447&top_left_y=1711&top_left_x=1036) тие се складни. Од складноста на овие триаголници следува $A N=B M$. Конечно, $$ A M=A N+N M=B M+C M $$ што и требаше да се докаже. 3. На кружна патека долга $1650 \mathrm{~m}$ со константни брзини се движат два моторциклисти. Ако моторциклистите се движат во спротивни насоки се среќаваат секоја минута, а ако се движат во иста насока моторциклистот кој има поголема брзина го стигнува другиот моторциклист секои единаесет минути. Определи ги брзините на моторциклистите. Решение. Нека побрзиот мотоциклист минува $x$ метри во минута, а поспориот минува $y$ метри во минута. Од првиот услов имаме $x+y=1650$, а од вториот $x-y=\frac{1650}{11}=150$. Решението на добиениот систем равенки е $x=900 \mathrm{~m} / \mathrm{min}$ и $y=700 \mathrm{~m} / \mathrm{min}$. Значи, првиот мотоциклист се движел со брзина $54 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, а вториот со брзина $45 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. 4. Во правоаголен координатен систем се дадени прави $p_{1}$ и $p_{2}$ чии равенки се: $$ p^{\prime}: \quad y=x-4 \quad \text { и } \quad p_{2}: y-2 x+2=0 \text {. } $$ a) Пресметај ја плоштината на фигурата определена со правите $p_{1}$ и $p^{\prime}$ и координатните оски. б) Пресметај го волуменот на ротационото тело кое настанува кога триаголникот ограничен со правите $p_{1}$ и $p^{\prime}$ и ординатната оска ротира околу ординатната оска. Решение. а) Имаме $$ \begin{aligned} P_{A B C D} & =P_{O A B}-P_{O C D} \\ & =7 \mathrm{~cm}^{2} . \end{aligned} $$ Деталите ги оставаме на читателот за вежба. б) Бараниот волумен е еднаков на разликата на волумените на двата конуси со теми- ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_e2b4ba6b48251e03981fg-4.jpg?height=492&width=754&top_left_y=1614&top_left_x=726) ња $D$ и $B$ (види цртеж десно). Според тоа: $$ V=V_{1}-V_{2}=\frac{2^{2} \pi \cdot 4}{3}-\frac{2^{2} \pi \cdot 2}{3}=\frac{8 \pi}{3} $$ Деталите ги оставаме на читателот за вежба. 5. Реши ја равенката: $$ (0,8 x-0,5)^{2}+(0,6 x-1,3)^{2}=4(0,5 x-0,7)(0,5 x+0,7)-6(0,15 x+0,08) $$ Решение. Со квадрирање се добива линеарна равенка чие решение е $x=3$. Деталите ги оставаме на читателот за вежба.