# III РЕПУБЛИЧКИ НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ 

## Задачите и решенијата се скенирани од книгата

Десет години републички натпревари по математика 1976-1985 подготвена од Илија Јанев и Коста Мишовски

## VII ОДДЕЛЕНИЕ

1. Со кој најмал природен број треба да се помножи бројот 2520 за да се добие точен квадрат?
2. Дадено е множеството

$$
A=\left\{x \left\lvert\, x=\frac{60+n}{n}\right., n \in N\right\}
$$

a) Формирај подмножество $B$ од множеството $A$, елементите на кое да бидат сите можни природни броеви;

б) Формирај подмножество С од множеството B, елементите на кое да бидат сите можни прости броеви.

3. Колку литри дестилирана вода треба да се помеша со 4 литри $5 \%$-тен раствор на оцетна киселина за да се добие $1 \%$-тен раствор на оцетна киселина.
4. Две кружници со еднакви радиуси се сечат во точките $\mathrm{A}$ и В. Низ точката $A$ е повлечена правата а, која дадените кружници ги сече во точките P и S. Докажи дека $\triangle$ PBS е рамнокрак, независно од положбата на правата а.
5. Во конвексен четириаголник $A B C D$, должината на едната дијагонала е $1 \mathrm{~cm}$, а на другата $2 \mathrm{~cm}$. Должините на отсечките што ги сврзуваат средините на спротивните страни се мегісебно еднакви.

a) Докажи дека дијагоналите на четириаголникот $\mathrm{ABCD}$ се заемно нормални;

б) Пресметај ја плоштината на четириаголникот $\mathrm{ABCD}$.

## 10. (1978.VII.1)

1. Ќе го разложиме бројот 2520 на прости множители:

$$
2520=2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7
$$

За еден број да биде точен квадрат треба неговите прости множители да бидат на парни степени.

Значи, бројот 2520 треба да се помножи со $2 \cdot 5 \cdot 7=70$ (тоа е најмалиот природен број) и ќе се добие:

$2520 \cdot 70=2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}=\left(2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\right)^{2}$

$$
=420^{2}=176400
$$

Одговор: со 70.

## 11. (1978.VII.2)

на бројот 60, т.е.

I. Изразот $\frac{60+n}{n}=\frac{n}{n}+\frac{60}{n}=1+\frac{60}{n}$ е природен број, ако $n$ е делител

$n \in\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$. Tогаш

$\frac{60}{n} \in\{60,30,20,15,12,10,6,5,4,3,2,1\} a$

$\frac{n+60}{n} \in\{61,31,21,16,13,11,7,6,5,4,3,2\}$

Значи: $\quad B=\{2,3,4,5,6,7,11,13,16,21,31,61\}$

и $C=\{2,3,5,7,11,13,31,61\}$

Одговор: $B=\{2,3,4,5,6,7,11,13,16,21,31,61\}$

$C=\{2,3,5,7,11,13,31,61\}$

12. (1978.VII.3)

I. При решавањето на оваа задача може и вака да се резонира (размислува): наместо 4 литра од 5\%-тен раствор да земеме 1 литар од 5\%-тен раствор и во него да додадеме 4 литри дестилирана вода, па тогаш ќе добиеме 5 литри со $1 \%$-тен раствор оцетна киселина. За 4 литри тогаш ќе требаат $4 \cdot 4=16$ литри дестилирана вода, па ќе се добие $1 \%$-тен раствор оцетна киселина.

II. (со равенка) Ваквите задачи, со раствори, можат многу лесно (велиме "шаблонски") да се решат со помош на равенка.

$$
4 \frac{5}{100}=(x+4) \cdot \frac{1}{100}
$$

од каде што е

$$
\begin{aligned}
& 20=x+4 \\
& x=16
\end{aligned}
$$

III. Оваа задача може да се реши и со помош на пропорции:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_62548bdbeda98b818dafg-03.jpg?height=149&width=327&top_left_y=1043&top_left_x=538)

$$
\begin{aligned}
& x+4=20 \\
& x=16
\end{aligned}
$$

Одговор; 16 литри.

13. (1978.VII.4)
14. Нека се дадени кружниците $\mathrm{k}_{1}$ и $\mathrm{k}_{2}$, коишто се сечат во точките $A$ и $B$, и правата а што минува низ точката $A$, нека ги сече кружниците во точките P и S. (црт. 8).

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_62548bdbeda98b818dafg-03.jpg?height=320&width=577&top_left_y=1561&top_left_x=884)

Црт. 8

Тетивата $A B$ е заедничка тетива за овие две складни кружници, затоа $\Varangle \mathrm{APB}=\chi_{\mathrm{A}} \mathrm{ASB}$, како перифериски агли над иста тетива. Од тоа следува дека $\triangle \mathrm{PBS}$ е рамнокрак, со основа $\mathrm{PS}$ и со краци $\overline{\mathrm{BP}}=\overline{\mathrm{BS}}$.

14. (1978.VII.5) |D

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_62548bdbeda98b818dafg-04.jpg?height=218&width=1201&top_left_y=278&top_left_x=279)

За триаголникот $A B C$ отсечката MN е средна линија, затоа е:

$$
\overline{M N}=\frac{1}{2} \overline{A C} n M N \| A C
$$

За триаголникот $A C D$, отсечката $Q P$ е средна линија, затоа е:

$$
\overline{O P}=\frac{1}{2} \overline{A C} \text { и } Q P \| A C
$$

Од (1) $и(2) \Rightarrow \overline{\mathrm{MN}}=\overline{\mathrm{QP}}$ и MN \| QP

Црт. 9

Аналогно се покажува дека е:

$$
\overline{\mathrm{MQ}}=\overline{\mathrm{NP}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{BD}} n \mathrm{MQ} \| \mathrm{NP}
$$

Од (3) и (4) следува дека четириаголникот MNPO е паралелограм чиишто страни се паралелни и еднакви на половина од дијагоналите на четириаголникот $\mathrm{ABCD}$.

a) Бидејќи според условот на задачата е:

$$
\overline{M P}=\overline{N Q},
$$

следува дека паралелограмот MNPQ е правоаголник. Бидејќи страните на овој правоаголник се паралелни со дијагоналите $\mathrm{AC}$ и $\mathrm{BD}$ на четириаголникот $A B C D$, следува дека дијагоналите се нормални меі́у себе, т.е.

## $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$.

б) Бидејќи четириаголникот ABCD има нормални дијагонали, тогаш неговата плоштина е:

$$
P=\frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}=\frac{1 \cdot 2}{2}=1
$$

Одговор: $P=1 \mathrm{~cm}^{2}$.

## VIII ОДДЕЛЕНИЕ

1. Докажи дека разликата од квадратите на два сукцесивни непарни броја е делива со 8.
2. Еден резервоар може да прими $9117 \mathrm{~m}^{3}$ вода и може да се полни низ три цевки. Низ првата цевка за 4 часа протекуваат $231 \mathrm{~m}^{3}$ вода; низ втората за 3 часа $143 \mathrm{~m}^{3}$, а низ третата за 5 часа исто толку колку што протекуваат низ првата за 4 часа. За колку време ќе се наполни резервоарот, ако истовремено се полни со трите цевки?
3. Триаголникот $\mathrm{ABC}$ е формиран од апцисната оска и од правите на кои равенките им се: $3 x-4 y=-24$ и $2 x-1,5 y=-9$. Пресметај ја плоштината на телото што се добива кога триаголникот $\mathrm{ABC}$ ротира околу апцисната оска.
4. Две точки А и В œе гледаат под агол од $30^{\circ}$ и од точката $C$, и од точката $D$, а мегі нив растојанието е $300 \mathrm{~m}$. Правите $A C$ и BD се нормални меңу себе. Пресметај го растојанието $\mathrm{AB}$.
5. Основните рабови на права тристрана призма се: $a=9 \mathrm{~cm}, \mathrm{~b}=$ $10 \mathrm{~cm} \mathrm{и} \mathrm{c}=17 \mathrm{~cm}$, а нејзината висина в $\mathrm{H}=3 \cdot \mathrm{h}_{\mathrm{a}}$ : каде што $\mathrm{h}_{\mathrm{a}}$ е висина на страната а во $\triangle A B C$.

Пресметај ги плоштината и волуменот на призмата.

## 15. (1978.VIII.1)

I. Ако $k \in N$, тогаш $2 k-1$ е непарен број, неговиот следбеник $2 k$ e парен, а $2 k+1$ е непарен. Значи $2 k-1$ и $2 k+1$, се два сукцесивни непарни броја. Разликата на нивниие квадрати е: $(2 k+1)^{2}-(2 k-1)^{2}=\left(4 k^{2}+4 k+1\right)$ $-\left(4 k^{2}-4 k+1\right)=8 к$, од каде што е јасно дека е делива со 8 .

## 16. (1978.VIII .2)

I. Од првата цевка за 4 часа истекуваат $231 \mathrm{~m}^{3}$ вода, а за 1 час ќе истечат четирипати помалку, т.е. $\frac{231}{4} \mathrm{~m}^{3}$ вода.

Од втората цевка за 1 час истекуваат $\frac{144}{3} \mathrm{~m}^{3}$ вода, а од третата $\frac{231}{5} \mathrm{~m}^{3}$ вода.

За 1 час, од трите цевки ќе истечат:

$$
\begin{aligned}
\frac{231}{4}+\frac{144}{3}+\frac{231}{5} & =\frac{15 \cdot 231+20 \cdot 144+12 \cdot 231}{60}= \\
& =\frac{3465+2880+2772}{60}=\frac{9117}{60}
\end{aligned}
$$

За $x$ часа од трите цевки ќе истечат $\frac{9117}{60} \times \mathrm{m}^{3}$ вода.

Од равенството $\frac{9117}{60} \mathrm{x}=9117$

добиваме $x=60$, т.е. трите цевки заедно би го наполниле резервоарот за 60 часа.

Одговор: 60 часа.

## 17. (1978.VIII.3)

I. Нулите на функциите

т.е. нивните пресеци со $x$-оската се:

$\left\{\begin{array}{l}3 x-4 y=-24 \\ y=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-8 \\ y=0\end{array} \Rightarrow A(-8,0)\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2 x-1,5 y=-9 \\ y=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{9}{2} \\ y=0\end{array} \Rightarrow B\left(-\frac{9}{2}, 0\right)\right.\right.$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_62548bdbeda98b818dafg-07.jpg?height=504&width=507&top_left_y=255&top_left_x=972)

Црт. 10

Со тоа ги добиваме двете темиња $\mathrm{A}$ и $\mathrm{B}$ на триаголникот. Третото теме $\mathrm{C}$ ќе го најдеме во пресекот на двете прави. За таа цел ќе го решиме системот:

$$
\left\{\begin{array}{l}
3 x-4 y=-24 \\
2 x-1,5 y=-9
\end{array}\right.
$$

Ако првата равенка ја помножиме со 3 , а втората со -8 , ќе добиеме:

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array} { r } 
{ 9 x - 1 2 y = - 7 2 } \\
{ - 1 6 x + 1 2 y = 7 2 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { c } 
{ 9 x - 1 2 y = - 7 2 } \\
{ - 7 x = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}
9 x-12 y=-72 \\
x=0
\end{array} \Leftrightarrow\right.\right.\right. \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=0 \\
y=6
\end{array} \Rightarrow C(0,6)\right.
\end{aligned}
$$

(види црт. 10.)

При ротација на $\triangle \mathrm{ABC}$ околу х-оската се добива конус, од кој е "изваден" друг конус, со заеднички радиус и со помала висина. Плоштината на телото се состои од двете обвивки на тие конуси. Да ги пресметаме изводниците $\mathrm{AC}$ и $\mathrm{BC}$ и радиусот $\mathrm{r}$. Ḱе имаме:

$$
\begin{aligned}
& s_{1}=\overline{A C}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}=10 \\
& s_{2}=\overline{B C}=\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^{2}+6^{2}}=\sqrt{4,5^{2}+36}=\sqrt{20,25+36}=\sqrt{56,26}=7,5 \\
& r=\overline{O C}=6
\end{aligned}
$$

Тогаш плоштината на ротационото тело е:

$$
\begin{aligned}
\mathrm{P} & =\pi r s_{1}+\pi r s_{2}=\pi r \quad\left(s_{1}+s_{2}\right)=\pi \cdot 6(10+7,5)= \\
& =17,5 \cdot 6 \cdot \pi=105 \pi
\end{aligned}
$$

Одговор: $P=105 \pi$ квадратни единици.

18. (1978.VIII.4)

I. Нека се дадени точките

$\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ и $\mathrm{D}$, но така што да е: $\Varangle \mathrm{ACB}=\Varangle \mathrm{ADB}=30^{\circ} ; \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$ и $\overline{C D}=300$ (види цртеж 11.).

Нека ставиме:

$\overline{\mathrm{MA}}=\mathrm{a} ; \overline{\mathrm{MB}}=\mathrm{b} ; \overline{\mathrm{AB}}=\mathrm{x}$.

Од правоаголниот $\triangle$ MAC имаме $\widehat{\mathrm{AC}}=2 \mathrm{a} ; \overline{\mathrm{MC}}=\sqrt{(2 \mathrm{a})^{2}-\mathrm{a}^{2}}=$

$=\sqrt{3 a^{2}}=a \sqrt{3}$. Аналогно, од правоаголниот $\triangle M B D$ имаме $\overline{\mathrm{BD}}=2 \mathrm{~b}$, $\overline{\mathrm{MD}}=\mathrm{b} \sqrt{3}$. Од правоаголниот $\triangle \mathrm{MCD}$ имаме:

$$
\begin{aligned}
& \overline{\mathrm{CD}}^{2}=\overline{\mathrm{CM}}^{2}+\overline{\mathrm{DM}}^{2} \\
& 90000=3\left(a^{2}+b^{2}\right) \\
& 30000=a^{2}+b^{2}
\end{aligned}
$$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_62548bdbeda98b818dafg-08.jpg?height=627&width=601&top_left_y=254&top_left_x=860)

Црт. 11

Најпосле од правоаголниот $\triangle \mathrm{MAB}$ го добиваме бараното растојание $\overline{\mathrm{AB}}$.

или

$$
\begin{aligned}
& \overline{\mathrm{AB}}^{2}=\overline{\mathrm{MA}}^{2}+\overline{\mathrm{MB}}^{2} \\
& \overline{\mathrm{AB}}^{2}=a^{2}+b^{2}=30000
\end{aligned}
$$

$$
\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{3 \cdot 10000}=100 \sqrt{3}
$$

Одговор: $\overrightarrow{A B}=100 \sqrt{3} \mathrm{~m}$.

## 19. (1978.VIII.5)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_62548bdbeda98b818dafg-08.jpg?height=425&width=584&top_left_y=1633&top_left_x=246)

Црт. 12
I. Ḱe ја пресметаме првин плоштината на основата на призмата, т.е. на $\triangle A B C$.

Бидејќи $17^{2}>9^{2}+10^{2}$, т.е. $c^{2}>a^{2}+b^{2}$, следува дека $\triangle A B C$ е тапоаголен, со тап агол кај темето $\mathrm{C}$. Тогаш подножјето на висината ha, точката $D$, е надвор од $\triangle A B C$. (види црт. 12.)

Од правоаголните триаголници $\mathrm{ABD}$ и $\mathrm{ACD}$ имаме

$$
\begin{aligned}
& h_{a}^{2}=17^{2}-(9+x)^{2} \\
& h_{a}^{2}=10^{2}-x^{2}
\end{aligned}
$$

од каде што е

$$
\begin{aligned}
& 17^{2}-(9+x)^{2}=10^{2}-x^{2} \\
& 289-\left(81+18 x+x^{2}\right)=100-x^{2} \\
& 108=18 x \\
& x=6
\end{aligned}
$$

Во било која и да е од равенките, ако замениме за $x=6$, ќе до-

биеме:

$$
\begin{aligned}
& h_{a}^{2}=10^{2}-6^{2}=100-36=64 \\
& h_{a}=8 \Rightarrow H=3 \cdot h_{a}=24
\end{aligned}
$$

Плоштината на основата (базисот) е

$$
B=\frac{1}{2} 9 \cdot 8=36
$$

а плоштината на обвивките е

$$
\begin{aligned}
M & =L \cdot H=(a+b+c) \cdot 24= \\
& =(9+10+17) \cdot 24=864
\end{aligned}
$$

Плоштината на целата призма е

$$
P=2 \cdot B+M=2 \cdot 36+864=936
$$

Волуменот на призмата е

$$
V=B \cdot H=36 \cdot 24=864
$$

Одговор: $P=936 \mathrm{~cm}^{2}$

$$
V=864 \mathrm{~cm}^{3}
$$

II. Плоштината на $\triangle \mathrm{ABC}$ со страни $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ и с се пресметува по т.н. ХЕРОНОВА ФОРМУЛА (Херон) која гласи:

$$
P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \text {, каде што } s=\frac{a+b+c}{2}
$$

Со примена на оваа формула можеме лесно да ја пресметаме плоштината на основата, т.е. на $\triangle \mathrm{ABC}$.

Прво го наогаме $\mathrm{s}$, полупериметарот.

$$
s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{9+10+17}{2}=\frac{36}{2}=18
$$

Тогаш плоштината на базисот е

$$
\begin{aligned}
B & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{18 \cdot(18-9)(18-10)(18-17)}= \\
& =\sqrt{18 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1}=\sqrt{2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 8}= \\
& =\sqrt{9^{2} \cdot 4^{2}}=9 \cdot 4=36
\end{aligned}
$$

Значи, за основата добиваме $B=36$. Од друга страна е $B=\frac{a \cdot h_{a}}{2}$; т.е. $36=\frac{9 \cdot h_{a}}{2}$, од каде што добиваме $h_{a}=8$. Понатаму, задачата ја решаваш како погоре...