# IV РЕПУБЛИЧКИ НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ 

## Задачите и решенијата се скенирани од книгата

Десет години републички натпревари по математика 1976-1985 подготвена од Илија Јанев и Коста Мишовски

## VII ОДДЕЛЕНИЕ

1. Цифрата со најголема месна вредност кај петцифрениот број е 7. Ако таа цифра се изостави преостанатиот број е 17 пати помал од дадениот број. Кој е тој број?
2. Велосипедист којшто вози со брзина од $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ планира да оди во соседно место и таму да пристигне во 12 часот. Меѓутоа, откако изминал половина од патот, велосипедот му се расипал. Другиот дел од патот го минал одејки пеш со брзина од $5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ и пристигнал на определеното место во $14 \mathrm{~h}$. Определи колку километри изминал и во колку часот тргнал?
3. Даден е паралелограмот $A B C D$. Симетралите на неговите внатрешни агли се сечат во точките $P, Q, R, S$.

a) Докажи дека четириаголникот PORS е правоаголник;

б) Докажи дека дијагоналата на тој правоаголник е еднаква со разликата од соседните страни на паралелограмот.

4. Да се конструира правоаголен триаголник ако се дадени: висината на хипотенузата и бисектрисата на правиот агол. (Анализа, конструкција, доказ и дискусија).
5. Дадено е множеството $A=\{x \mid x \in N \quad$ и $1 \leqslant x \leqslant 30$. Определи го множеството $R=\{(a, b) \mid a \in A n b \in A\}$, така што изразот $\left(\frac{3}{5} a-b\right)^{2}+1$ да има најмала вредност.
6. (1979.VII.1)

i. Од условот на задачата е

$$
\begin{aligned}
& 7 \overline{a b c d}=17 \overline{a b c d} \\
& 70000+\overline{a b c d}=17 \overline{a b c d} \\
& 70000=16 \overline{a b c d} \\
& \overline{a b c d}=4375
\end{aligned}
$$

значи, бараниот број $\mathrm{x}=74375$.

Одговор: 74375.

## 21. (1979.VII.2)

1. Велосипедистот оди пеш само половина од патот и доцни 2 часа; но кога би го минал целиот пат пеш, тој би каснел 4 часа.

Значи, ако го минал патот за $x$ часа со велосипед, тогаш за ( $x+4)$ часа ќе го мине патот пеш.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_5c489eda298b61e0556bg-02.jpg?height=222&width=407&top_left_y=1428&top_left_x=431)

Значи, велосипедистот би возел 4 часа, а пеш би одел 8 часа, и притоа, во обата случаја би изминал пат UД $40 \mathrm{~km}$.

Одговор: 40 km, 8 часот.

## 22. (1979.VII.3)

I. Нека е даден паралелограмот $A B C D$ и нека симетралите на неговите внатрешни агли се. сечат во точките P, Q, R и $S$ (цртеж 13).

a) Очигледно е дека симетралите на аглите кај темињата $\mathrm{A}$ и $\mathrm{C}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_5c489eda298b61e0556bg-03.jpg?height=216&width=555&top_left_y=332&top_left_x=905)

Црт. 13 се меі́усебно паралелни (зашто?), а исто така и симетралите кај темињата B и D. Значи, четириаголникот PQRS е паралелограм.

Од триаголникот APD е:

$$
\begin{aligned}
& \frac{\alpha}{2}+\not P+\frac{\delta}{2}=180^{\circ} \\
& \frac{\alpha+\delta}{2}+\not P=180^{\circ} \\
& 90^{\circ}+\not P=180^{\circ} \\
& \not P=90^{\circ} .
\end{aligned}
$$

Покажавме дека $\Varangle \mathrm{QPS}=90^{\circ}$, од што ќе следува дека паралелограмот PQRS е правоаголник.

б) Триаголниците APL и APD се складни (види цртеж 13), бидејќи имаат заедничка страна AP и по два агли еднакви, т.е. $\Varangle \mathrm{APL}=\measuredangle \mathrm{APD}=90^{\circ}$ и $Х \mathrm{PAL}=Х \mathrm{PAD}=\frac{\alpha}{2} \cdot$ Следува $\overline{\mathrm{AL}}=\overline{\mathrm{AD}}$ и $\overline{\mathrm{PL}}=\overline{\mathrm{PD}}$.

Аналогно се покажува дека е $\overline{\mathrm{RB}}=\overline{\mathrm{RK}}$ и $\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{KC}}$. Тогаш, отсечката $\overline{\mathrm{PR}} \mathrm{e}$ средна линија за паралелограмот $L B K D$, од каде што следува $\overline{P R}=\overline{L B}=\overline{A B}-$ $\overline{\mathrm{AL}}=\overline{\mathrm{AB}}-\overline{\mathrm{AD}}$.

Покажавме дека отсечката PR е еднаква на разликата од двете соседни страни на паралелограмот $A B C D$. Да забележиме и тоа дека оваа отсечка е паралелна со поголемата страна на паралелограмот.

## 23. (1979.VII.4)

1. Анализа: Да претпоставиме дека задачата е решена. Нека се $\overline{\mathrm{CH}}=\mathrm{h}$ и $\overline{\mathrm{CL}}=l$ висината и бисектрисата од темето на правиот агол. Триаголникот CHL можеме да го конструираме, бидејќи е правоаголен и за него се познати хипотенузата $l$ и една катета $h$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_5c489eda298b61e0556bg-04.jpg?height=302&width=524&top_left_y=308&top_left_x=937)

Црт. 14

Темето В лесно се нао́́a, во пресекот на правата $H L$ и правата $\mathrm{CB}$, која со $\mathrm{CL}$ зафаќа агол од $45^{\circ}$. На крајот лесно се наоі́а и темето $\mathrm{A}$, во пресекот на правата HL (на другата страна) и правата CA, која со CL зафаќа агол од $45^{\circ}$.

Конструкција: На една права а од произволно избрана точка $H$ издигаме нормална отсечка $\overline{\mathrm{HC}}=\mathrm{h}$.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_5c489eda298b61e0556bg-04.jpg?height=354&width=1220&top_left_y=1140&top_left_x=244)

Црт. 15

Потоа, од точката $\mathrm{C}$, с отвор на шестарот еднаков на $l$ ја определув аме точката $L$ на правата а, на една страна од точката $H$. Сега конструираме два агли од $45^{\circ}$ со теме во $\mathrm{C}$ и еден крак $\mathrm{CL}$. Другите краци на овие агли ја свчат правата а во точките А и B.

Доказ: Триаголникот $\mathrm{ABC}$ е правоаголен со прав агол кај темето С и со висина и бисектриса на правиот агол, соодветно $\overline{\mathrm{CH}}=\mathrm{h}$ и $\overline{\mathrm{CL}}=l$.

Дискуемја: Задачата има секогаш едно решение ако $h<\ln X \mathrm{HCL}$ $=\varphi<45^{\circ}$, т.е. $l<\mathrm{h} \sqrt{2}$, т.е. ако в исполнет үсловот.

$h<l<h \sqrt{2}$.

Забелешка. Со пресекот на $\mathrm{k}(\mathrm{C}, \overline{\mathrm{CL}}$ ) и $\mathrm{AB}$ се добиваат е точк. $L$ и $L_{1}$. Во обата случаја триаголниците што се добие авт се складни. ачи решението е еднозначно.

## 24. (1979.VII.5)

1. Имаме $A=\{1,2,3,4,5,6,7, \ldots, 28,29,30\}$

Изразот ( $\left.\frac{3}{5} a-b\right)^{2}+1$ ќе има најмала вредност, ако е

$\frac{3}{5} a-b=0$, r.e. $b=\frac{3}{5} a$.

Очигледно, за да биде b елемент на множеството $A$, т.е. природен број помал или еднаков на 30, треба а да се дели со 5.

Значи: $a \in\{5,10,15,20,25,30\}$,

$$
b \in\{3,6,9,12,15,18\}
$$

Torаш e: $\mathrm{R}=\{(5,3),(10,6),(15,9),(20,12),(25,15),(30,18)\}$.

Одговор:

$R=\{(5,3),(10,6),(15,9),(20,12),(25,15)\{30,18)\}$.

## VIII ОДДЕЛЕНИЕ

1. Цифрата со најголема месна вредност кај петцифрениот број е 7. Ако таа цифра се изостави преостанатиот број е 17 пати помал од дадениот број. Кој е тој број?
2. Од $40 \%$-тен и $65 \%$-тен раствор на оцетна киселина, треба да се приготви 7,5 литри $55 \%$-тен раствор. По колку литри треба да се земе од екој раствор?
3. Правата $у=\frac{3}{4} x+n$, која минува низ точката $M(-3,6)$, со правата $y=\frac{3}{4} x+\frac{9}{4}$ и $x$-оската го образува триаголникот АВС. Определи ги периметарот и плоштината на триаголникот $\mathrm{ABC}$.
4. Правоаголен лист хартија со димензии $16 \mathrm{~cm}$ и $12 \mathrm{~cm}$ е превиткан така, што две спротивни темиња се совпағаат. Определи ја должината на отсечката по која листот е превиткан.
5. Во конус е впишана топка со радиус. $r$, а висината на конусот е четирипати поголема од радиүсот на топката.

Определи го:

a) Односот на нивните плоштини;

б) Односот на нивните волумени.

## 24. (1979.VIII.1)

I. Иста со задачата: (1979.VII.1).

## 25. (1979.VIII.2)

I. Ќе земеме х литри од првиот и у литри од вториот раствор, при кое $x+y=7,5$. Другата равенка е:

$$
\frac{40}{100} x+\frac{65}{100} y=7,5 \cdot \frac{55}{100}
$$

или по средувањето имаме:

$$
8 x+13 y=82,5
$$

Сега треба само да го решиме системот равенки

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=7,5 \\
8 x+13 y=82,5
\end{array}\right.
$$

Тој е еквивалентен со системите:

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array} { r } 
{ - 8 x - 8 y = - 6 0 } \\
{ 8 x + 1 3 y = 8 2 , 5 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{r}
8 x+8 y=60 \\
5 y=22,5
\end{array}\right.\right. \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { r } 
{ x + y = 7 , 5 } \\
{ y = 4 , 5 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { r } 
{ x + 4 , 5 = 7 , 5 } \\
{ y = 7 , 5 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x=3 \\
y=4,5
\end{array}\right.\right.\right.
\end{aligned}
$$

Одговор: 3 литра и 4,5 литра.

## 26. (1979.VIII.3)

I. Прво ќе го определиме параметарот $\mathrm{n}$ од првата права, од услов таа да минува низ точката $\mathrm{M}(-3,6)$.

$$
6=-\frac{3}{4} \cdot(-3)+n \Leftrightarrow n=\frac{15}{4}
$$

Тогаш равенката на правата $\mathbf{e}$

$$
y=-\frac{3}{4} x+\frac{15}{4}
$$

Сега ќе ги најдеме нулите на функциите:

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array} { l } 
{ y = - \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 1 5 } { 4 } } \\
{ y = 0 }
\end{array} \quad \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x=5 \\
y=0
\end{array} \Rightarrow A(5,0)\right.\right. \\
& \left\{\begin{array} { l } 
{ y = \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 9 } { 4 } } \\
{ y = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x=-3 \\
y=0
\end{array} \Rightarrow B(-3,0)\right.\right.
\end{aligned}
$$

Третото теме $\mathrm{C}$ го наоғаме кога ќе го решиме системот

$$
\left\{\begin{array}{l}
y=-\frac{3}{4} x+\frac{15}{4} \\
y=\frac{3}{4} x+\frac{9}{4}
\end{array}\right.
$$

Овој систем најлесно се решава со методот на споредүвање. Бидејќи левите страни се еднакви, ќе следува дека се еднакви и десните страни, т.е.

$$
-\frac{3}{4} x+\frac{15}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{9}{4}
$$

Од каде што $6 x=6$ или $x=1$.

Toraw e

$y_{(1)}=\frac{3}{4} \cdot 1+\frac{9}{4}=\frac{12}{4}=3$.

## Значи C (1, 3) (цртеж 16)

За периметарот на $\triangle \mathrm{ABC}$ ќе имаме:

## $\overline{\mathrm{AB}}=8$

$\overline{B C}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$

$\overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$

$L=8+5+5=18$.

Плоштината на триаголникот е

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_5c489eda298b61e0556bg-08.jpg?height=387&width=565&top_left_y=1611&top_left_x=895)

Црт. 16

$$
P=\frac{1}{2} \overline{A B} \cdot \overline{C D}=\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3=12
$$

## Одговор: $L=18$ единици и

$P=12$ квадратни единици.

## 27. (1979.VIII.4)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_5c489eda298b61e0556bg-09.jpg?height=373&width=425&top_left_y=746&top_left_x=249)

Црт. 17
I. Да то претставиме правоаголниот лист хартија со правоаголникот $A B C D$ при што $\overline{A B}=16 \mathrm{~cm}, \widehat{A D}=12 \mathrm{~cm}$. Tемето $A$ ќе се преслика во темето $C$ со осна симетрија, каде што оската на симетрија ќе биде отсечката KL која е.нор-

мална на $\mathrm{AC}$ и минува низ средината $\mathrm{O}$ на $\mathrm{AC}$. Всушност, се бара должината на отсечката KL.

Имаме:

$\overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AB}}^{2}+{\overline{\mathrm{BC}^{2}}}^{2}}=\sqrt{256+144}=20$

$\overline{\mathrm{AO}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}=10$.

$\triangle \mathrm{AKO} \sim \triangle \mathrm{ACB}$, како триаголници со еднакви соодветни агли.

Toraw e:

$\overrightarrow{\mathrm{AO}}: \overline{\mathrm{OK}}=\overline{\mathrm{AB}}: \overline{\mathrm{BC}}$

$10: \overrightarrow{\mathrm{OK}}=16: 12$

$\overline{\mathrm{OK}}=\frac{12 \cdot 10}{16}=7,5$

$\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\overline{\mathrm{OL}}$, бидејки $\mathrm{O}$ е центар на правоаголникот.

Toraw e:

$$
\overline{\mathrm{KL}}=2 \cdot \overline{\mathrm{OK}}=2 \cdot 7,5=15
$$

Одговор: $\overline{\mathrm{KL}}=15 \mathrm{~cm}$.

## 28. (1979.VIII.5)

I. Топката е наполно определена со својот радиус $r$, затоа ќе треба да се определат само уште радиусот и изводницата на конусот. Ќe имаме (цртеж 18)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_5c489eda298b61e0556bg-10.jpg?height=471&width=310&top_left_y=250&top_left_x=994)

Црт. 18

$\overrightarrow{C T}=\sqrt{\mathrm{CO}^{2}-\mathrm{OT}^{2}}=\sqrt{9 \mathrm{r}^{2}-\mathrm{r}^{2}}=\sqrt{8 \mathrm{r}^{2}}=2 \mathrm{r} \sqrt{2}$.

$\triangle \mathrm{CTO} \sim \triangle \mathrm{CBA} \Rightarrow \overline{\mathrm{CT}}: \overline{\mathrm{TO}}=\overline{\mathrm{CB}}: \overline{\mathrm{AB}} \Rightarrow 2 \mathrm{r} \sqrt{2}: \mathrm{r}=4 \mathrm{r}: \mathrm{R} \Rightarrow$

$\Rightarrow R=\frac{4 r}{2 \sqrt{2}}=r \sqrt{2}$

$\overline{\mathrm{CA}}=\overline{\mathrm{CT}}+\overrightarrow{\mathrm{TA}}=\overline{\mathrm{CT}}+\mathrm{R}=2 \mathrm{r} \sqrt{2}+\mathrm{r} \sqrt{2}=3 \mathrm{r} \sqrt{2}$.

Плоштината на конусот е:

$P_{K}=B+M=R^{2} \pi+R \pi s=R \pi(R+s)=r \sqrt{2} \pi(r \sqrt{2}+3 r \sqrt{2})=8 r^{2} \pi$.

Плоштината на топката e:

$P_{T}=4 r^{2} \pi$.

Односот на плоштините е

$\frac{P_{K}}{P_{\mathrm{T}}}=\frac{8 \mathrm{r}^{2} \pi}{4 \mathrm{r}^{2} \pi}=2: 1$

Волуменот на конусот е

$V_{K}=\frac{1}{3} B \cdot H=\frac{1}{3} \cdot R^{2} \pi \cdot H=\frac{\pi}{3}(r \sqrt{2})^{2} \cdot 4, r$

$V_{k}=\frac{8 \pi}{3} r^{3}$.

Волуменот на топката е

$V_{T}=\frac{4}{3} r^{3} \pi$.

Односот на волумените е

$\frac{V_{k}}{V_{T}}=\frac{\frac{8 \pi}{3} r^{3}}{\frac{4}{3} \pi r^{3}}=2: 1$.

Одговор: а) $2: 1 ;$ б) $2: 1$.