# VI РЕПУБЛИЧКИ НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ 

## Задачите и решенијата се скенирани од книгата

Десет години републички натпревари по математика 1976-1985 подготвена од Илија Јанев и Коста Мишовски

## VII ОДДЕЛЕНИЕ

1. Ако четвртината од некој број се намали за 2 се добива осмина од тој број.

а) Кој е тој број;

б) Пресметај ја бројната вредност на изразот

$$
\frac{x^{3}-36 x}{x^{2}-9 x-90}
$$

ако х е бројот добиен под а).

2. Некој двоцифрен број е делив со 3. Ако напишеме меѓу цифрите на тој број нула и на така добиениот трицифрен број му ја додадеме двократната вредност на цифрата на стотките, ќe се добие број деветпати поголем од двоцифрениот број. Кој е тој број?
3. Од точката $M$ што ја дели страната $A B$ на рамностраниот триаголник $\mathrm{ABC}$ на делови од $6 \mathrm{~cm}$ и од $2 \mathrm{~cm}$, повлечени се нормали на другите две страни на триаголникот. Колку е оддалечено темето $\mathrm{C}$ до секоја од овие нормали?
4. Дадена е кружницата $k(O, r)$ со два заемно нормални пречника $A B$ и $C D$. Во точката B е повлечена тангентата $t$ на кружницата. Нека $M$ е произволна точка од радиусот ОС. Полуправата АМ ја сече кружницата к во точката $H$. Тангентата, повлечена во точката Н $^{2}$ сече правата $t$ во точката $P$. Докажи дека:

a) Четириаголниког OPHM е трапез;

б) Четириаголникот AOPM е паралелограм.

45. (1982.VII.1)
I.

a) Нека х бараниот број. Тогаш од условот на задачата e:

$$
\frac{x}{4}-2=\frac{x}{8}
$$

од каде што добиваме: $\mathrm{x}=16$.

б) Бројната вредност на изразот можеме да ја пресметаме:

1) Со директна замена на $\mathrm{x}$ со 16 ,
2) Со упростување на дропката, а дури потоа со замена на х со 16.

На првиот начин задачата се решава "без идеја", но затоа имаме поголеми пресметувања.

Вториот начин содржи една "мала идеја". Тој е "поелегантен" од првиот начин. Затоа ќe го покажеме него.

Првин ќe ги разложиме на множители и броителот и именителот на дропката:

$$
\therefore x^{3}-36 x=x\left(x^{2}-36\right)=x(x+6)(x-6)
$$

$\therefore x^{2}-9 x-90=$ ? Овој квадратен трином ќе го разложиме на множителите вака: Најпрвин ќe го разложиме на множители слободниот член, бројот 90 , па ќе имаме:

$$
90=1 \cdot 90=2 \cdot 45=3 \cdot 30=5 \cdot 16=6 \cdot 15=9 \cdot 10
$$

Од сите разлагања, само броевите 6 и 15 се разликуваат за -9, па ќе имаме:

$$
\begin{aligned}
x^{2}-9 x-90 & =x^{2}+6 x-15 x-90 \\
& =x(x+6)-15(x+6) \\
& =(x+6)(x-15)
\end{aligned}
$$

Сега ќe ја скратиме дропката:

$$
\frac{x^{3}-36 x}{x^{2}-9 x-90}=\frac{x(x+6)(x-6)}{(x+6)(x-15)}=\frac{x(x-6)}{x-15}
$$

На крајот ќе замениме за $x=16$ :

$$
\frac{16(16-6)}{16-15}=16 \cdot 10=160
$$

првиот.

Од ова сигурно ја согледа „универзалноста" на овој начин, над

Одговор: а) 16; б) 160 .

## 46. (1982.VII.2)

I. Нека е $\overline{x y}$ бараниот двоцифрен број, r.e. $\overline{x y}=10 x+y$, при кое е $x+y=3 k$, т.е. збирот на цифрите се дели со 3 .

Од үсловот на задачата е:

$$
\begin{aligned}
& \overline{x 0 y}+2 x=9 \overline{x y} \text { или } \\
& 100 x+y+2 x=9(10 x+y) \\
& 102 x+y=90 x+9 y \\
& 12 x=8 y \\
& 3 x=2 y \\
& x: y=2: 3 \text { или } \\
& (x+y): y=(2+3): 3 \\
& 3 k: y=5: 3 \\
& 9 k=5 y
\end{aligned}
$$

Одовде $:: x: y=2: 3$ или

Последното равенство е можно (бидејќи у е цифра од 0 до 9, а $\mathrm{k} \in \mathrm{N}$ ) само ако е $\mathrm{y}=9, \mathrm{k}=5$. Во тој случај е $\mathrm{x}=6$, па бараниот број е 69 .

Одговор: 69.

II. Забелешка: Од $x: y=2: 3$ следува дека е $5 \mid(x+y)$, но поради тоа што е $3 /(x+y) \Rightarrow 15 /(x+y)$, а тоа е можно само ако е $x+y=15$. Поради тоа што е $3 x=2 y \Rightarrow x=6, y=9 \ldots$

III. Од $3 x=2 y \Rightarrow$

$10 x=2, y=3 \Rightarrow 23$ не е делив со 3

$2^{0} x=4, y=6 \Rightarrow 46$ не е делив со 3

$3^{0} x=6, y=9 \Rightarrow 69$ е делив со 3 .

## Одговор: 69.

## 47. (1982.VII.3)

I. Триаголникот $\mathrm{ABC}$ нека е рамностран со страна $\overline{A B}=8 \mathrm{~cm}$ и точката М нека лежи на основата $A B$, при кое е $\overline{\mathrm{AM}}=6 \mathrm{~cm}$ и $\overline{\mathrm{MB}}=2 \mathrm{~cm}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_a58afd8643a111786358g-4.jpg?height=397&width=387&top_left_y=287&top_left_x=1071)

Црт. 34

Нека е $M P \perp \mathrm{AC}$ и MO $\perp \mathrm{BC}$. ОД $\triangle \mathrm{AMP}$ имаме $\overline{\mathrm{AP}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AM}}=3 \mathrm{~cm}$ (како катета наспроти агол од $30^{\circ}$ ), па следува дека е $\overline{\mathrm{CP}}=\overline{\mathrm{CA}}-\overline{\mathrm{AD}}=8-3=5 \mathrm{~cm}$. Аналогно, нао́аме дека $\overline{\mathrm{BQ}}=1 \mathrm{~cm}$, па е $\overline{\mathrm{CQ}}=7 \mathrm{~cm}$.

Одговор: $5 \mathrm{~cm} \mathrm{n} 7 \mathrm{~cm}$.

48. (1982.VII.4)
I.

a) Да ги користиме ознаките на цртежот. Триаголникот АНО е рамнокрак, па е: $\chi \mathrm{A}=\not \mathrm{H}=\alpha$ (види црт. 35). Аголот $\mathrm{BOH}$ е надворешен за $\triangle \mathrm{AHO}$, па е:

$$
\beta=2 \alpha \ldots
$$

Но четириаголникот OBPH е делтоид (бидејќи е $\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{OH}}=r$ и $\overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{PH}}$ како тангентни отсечки), па следува дека е

$\chi B O P=\chi P O H=\frac{\beta}{2} \ldots$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_a58afd8643a111786358g-5.jpg?height=596&width=548&top_left_y=245&top_left_x=918)

Црт. 35

Од (1) и (2) следува $\alpha=\frac{\beta}{2}=\chi \mathrm{POH}$, т.е. АН $\|$ ОР, од каде што следува дека четириаголникот OPHM е трапез.

б) Бидејќи е $\Varangle O A M=\not B O P, \overline{A O}=\overline{O B}=r и \not A O M=\not \triangle O B P=$ $=90^{\circ}$, следүва дека е $\triangle A O M \cong \triangle О В-$ од каде што следүва: $\overline{\mathrm{AM}}=\overline{\mathrm{OP}}$. Но уште е AM \| OP, па следува дека четириаголникот AOPM е паралелограм.
II. Очигледно, ОВРН е делтоид, па е
$\mathrm{OP} \perp \mathrm{BH}$.

Од друга страна е $X A H B=90^{\circ}$ (Талесова теорема, агол впишан во полукружница). т.е.

## $\mathrm{AH} \perp \mathrm{BH}$

(4)

Од (3) и (4) следүва дека AH \|I OP, т.е. четириаголникот ОPHM е трапез. (исто и четириаголникот ОРHA е трапез).

## VIII ОДДЕЛЕНИЕ

1. Во правоаголен координатен систем, графиците на функциите $y=k x+1$ и $y=a x+6$ се сечат во точката C $(3,4)$ и со $x$-оската образуваат триаголник. Преометај го периметарот на триаголникот.
2. Пресметај ја вредноста на изразот

$$
\frac{\sin 2 \varphi}{\sin \varphi}+\frac{\cos \varphi}{\cos 2 \varphi}
$$

ако $3 \operatorname{cotg} 2 \varphi=\sqrt{3}$.

3. Определи ја должината на дијагоналата $A C$ на трапезот $A B C D$ со основи $A B$ и $C D$ и $\Varangle A D C=\not A C B$, ако средната линија изнесува $13 \mathrm{~cm}$, а основите се во размер $9: 4$.
4. Јован, Петре и Миле решавале задачи. Ако Јован реши 5 задачи повеќе отколку што решил, тогаш ќe имап решено толку задачи колку што решиле Петре и Миле заедно. Ако Петре реши 9 задачи повеќе отколку што решил, тогаш ќe имал решено толку задачи, колку што решиле Јован и Миле зәедно.

Нивните презимиња се Ристов, Илиевски и ґ́оргов. Колку задачи решил секој од нив и кое им е презимето, ако бројот на задачите што ти решил Ристов е делив со 3 , а fоргов решил 11 задачи.

## 49. (1982.VIII.1)

1. Бидејки точката $С$ лежи на обете прави, тоа значи дека нејзините координати ќe ги задоволуваат равенките на обете прави.

$$
\begin{array}{ll}
y=a x+6 & y=k x+1 \\
4=a \cdot 3+6 & 4=k \cdot 3+1 \\
4-6=3 a & 4-1=3 k \\
a=-\frac{2}{3} & k=1
\end{array}
$$

Другите две темиња на триаголникот се наогаaт на $x$-оската, т.е. $y=0$

$$
\begin{array}{ll}
y=-\frac{2}{3} x+6 & y=x+1 \\
0=-\frac{2}{3} x+6 & 0=x+1 \\
x=9 & x=-1 \\
B(9,0) & A(-1,0)
\end{array}
$$

Значи, триаголникот има темиња $\mathrm{A}(-1,0), \mathrm{B}(9,0)$ и $\mathrm{C}(3,4)$, а подножната точка на висината од темето $C$ е точката: $D(3,0)$.

## Имаме:

$\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AO}}+\overline{\mathrm{OB}}=1+9=10$

$\overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AD}}^{2}+\overline{\mathrm{DC}}^{2}}=\sqrt{16+16}=$

$=4 \sqrt{2}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_a58afd8643a111786358g-7.jpg?height=385&width=656&top_left_y=1271&top_left_x=823)

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\sqrt{\overline{\mathrm{BD}}^{2}+\overline{\mathrm{CD}}^{2}}=\sqrt{6^{2}+4^{2}}=$

$=2 \sqrt{13}$.

Црт. 36

Тогаш периметарот на триаголни-

кот е

$$
L=10+4 \sqrt{2}+2 \sqrt{13} \text { единици. }
$$

Одговор: $L=10+4 \sqrt{2}+2 \sqrt{13}$ единици.

50 (1982.VIII.2)

$$
\begin{aligned}
& \text { 1. Од } 3 \operatorname{ctg} 2 \varphi=\sqrt{3} \text { добиваме: } \\
& \operatorname{ctg} 2 \varphi=\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow 2 \varphi=60^{\circ} \Leftrightarrow \varphi=30^{\circ}
\end{aligned}
$$

Тогаш за изразот ќе имаме

$$
\frac{\sin 2 \varphi}{\sin \varphi}+\frac{\cos \varphi}{\cos 2 \varphi}=\frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}+\frac{\cos 30^{\circ}}{\cos 60^{\circ}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}+\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2 \sqrt{3}
$$

## 51. (1982.VIII.3)

1. Нека е $\mathrm{ABCD}$ трапез кој ги задоволува условите на задачата, т.е. $\overline{\mathrm{AB}}: \overline{\mathrm{CD}}=9: 4$, $\triangle A D C=\not A C B$ и $\overline{M N}=13 \mathrm{~cm}$. Нека е Р пресечна точка на дијагоналата $\mathrm{AC}$ и средната линија $\mathrm{MN}$.
Отсечката MP е средна линија во $\triangle \mathrm{ACD}$, па е $\overline{\mathrm{MP}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{CD}}$. Аналогно е $\overline{\mathrm{PN}}=$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_a58afd8643a111786358g-8.jpg?height=261&width=584&top_left_y=951&top_left_x=878)

Црт. 37 $=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}} \cdot$ Имаме:

$$
\begin{aligned}
& \overline{\mathrm{AB}}: \overline{\mathrm{CD}}=9: 4 \\
& \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{2}: \frac{\overline{\mathrm{CD}}}{2}=9: 4
\end{aligned}
$$

$\overline{\mathrm{PN}}: \overline{\mathrm{MP}}=9: 4$.

Од друга страна е:

$$
\begin{aligned}
& \overline{\mathrm{MP}}+\overline{\mathrm{PN}}=13 \\
& (\overline{\mathrm{PN}}+\overline{\mathrm{MP}}): \overline{\mathrm{MP}}=13: 4 \\
& 13: \overline{\mathrm{MP}}=13: 4 \\
& \overline{\mathrm{MP}}=4
\end{aligned}
$$

$$
\text { Следува } \overline{P N}=9 .
$$

Лесно щ добива $\overline{\mathrm{MP}}=4$ а $\overline{\mathrm{PN}}=9$ од каде што е $\overline{\mathrm{AB}}=18$ и $\overline{\mathrm{CD}}=8$. Од сличноста на триаголниците $A D C$ и ВCA следува: $\overline{\mathrm{DC}}: \overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{AC}}: \overline{\mathrm{AB}}$ или $8: \overline{\mathrm{AC}}=$ $=\overline{\mathrm{AC}}: 18$

$$
\begin{aligned}
& \overline{\mathrm{AC}}^{2}=8 \cdot 18=144 \\
& \overline{\mathrm{AC}}=12
\end{aligned}
$$

Одговор: $\overline{\mathrm{AC}}=12 \mathrm{~cm}$.

## 52. (1982.VIII.4)

I. Јован нека решил $x$ задачи, Петре нека решил у задачи а Миле нека решил $z$ задачи. Тогаш од условот на задачата следува дека е:

$$
\left\{\begin{array}{r}
x+5=y+z \\
y+9=x+z
\end{array}\right.
$$

Од првата и втората равенка ја изразуваме променливата z

$$
\left\{\begin{array}{l}
z=x+5-y \\
z=y+9-x
\end{array}\right.
$$

Ги сравнуваме десните страни:

$$
\begin{aligned}
& x+5-y=y+9-x \\
& 2 x=2 y+4 \\
& x=y+2
\end{aligned}
$$

Оваа вредност за $\mathbf{x}$ ја заменуваме во првата равенка:

$$
\begin{aligned}
& y+2+5=y+z \\
& z=7
\end{aligned}
$$

Значи, Миле решил 7 задачи, а неговото презиме не е ґ́оргов, а не е ни Ристов, останува да важи: Миле Илиевски.

За броевите $x$ и у знаеме дека еден од нив е делив со 3 , еден е еднаков на 11 , а важи и равенката $\mathrm{x}=\mathrm{y}+2$.

Можноста $y=11, x=13$ отпа́а, па мора да важи $x=11$, а $=9$.

Значи, Јован решил 11 задачи; па неговото презиме е ґ́оргов, а Петре решил 9 задачи, а неговото презиме е Ристов.

Одговор: Јован Ѓоргов решил 11 задачи;

Петре Ристов решил 9 задачи;

Миле Илиевски решил 7 задачи.