# XXIII РЕПУБЛИЧКИ НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ 

VII-1. Второто издание на некоја книга се продава по цена која е $120 \%$ од цената на првото издание. Цената на третото издание е помала за $20 \%$ од цената на второто издание.

Одреди кое издание е поевтино, првото или третото, и за колку проценти.

Решение: Нека цената на првото издание е $\mathrm{x}$ денари, тогаш на второто издание е $x+\frac{20 x}{100}=x+0,2 x=1,2 x$, а на третото издание е $1,2 x+\frac{20 \cdot 1,2 x}{100}=$ $=1,2 x-0,24 x=0,96 x$. Значи третото издание е поевтино за $4 \%$.

VII-2. Даден е трапез ABCD (ABIICD) и права р што е паралелна со неговите основи. Правата $\mathrm{p}$ ја сече дијагоналата $\mathrm{AC}$ во точката М и кракот $\mathrm{BC}$ во точките $\mathrm{N}$.

Докажи дека триаголниците AMD и BND имаат еднакви плоштини.

Решение: Триаголниците $A C D$ и $B C D$ имаат иста основа $C D$ и еднакви висини (висината на трапезот), па според тоа имаме

$$
P_{\triangle A C D}=P_{\triangle B C D}
$$

Триаголниците DMC и DNC имаат иста ос-

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_1379c02bbfc7f81dde1cg-1.jpg?height=327&width=430&top_left_y=1077&top_left_x=1035)
нова $C D$ и иста висина (растојанието мету р и основата $C D$ ). Значи $P_{\triangle 0 M C}=$ $P_{\triangle \text { ONC. }}$ Според тоа:

$$
P_{\triangle A M D}=P_{\triangle A C D}-P_{\triangle D M C}=P_{\triangle B C D}-P_{\triangle O N C}=P_{\triangle B N D}
$$

VII-3. Даден е паралелограм ABCD. Дијагоналата AC го дели $\angle B A D$ на два дела што се разликуваат за $20^{\circ}$. Висината на паралелограмот повлечена од темето $D$ кон страната $B C$ ја сече дијагоналата $A C$ во точка $H$ и притоа $\angle A H D=50^{\circ}$.

Одреди ги аглите на паралелограмот.

Решение: Спротивните агли во паралелограмот се еднакви, па и деловите на кои ги дели дијагоналата се еднакви.Ако $\varphi$ е бараниот агол, тогаш $\alpha=\varphi+\varphi+20^{\circ}=2 \varphi+20^{\circ}$.

Ќе разгледаме три случаи:
a) $\alpha<90^{\circ}$, а $D_{1}$ е подножна точка на висината, тогаш $\triangle H D_{1} C$ е правоаголен, па $\varphi+20^{\circ}=40^{\circ}$. Значи аглите на паралелограмот се $60^{\circ}$ и $120^{\circ}$ (црт. 1).
a) $\alpha<90^{\circ}$, а $D_{1}$ е подножна точка на висината, тогаш $\triangle H D_{1} C$ e правоаголен, па $\varphi+20^{\circ}=40^{\circ}$. Значи аглите на D $\quad$ ч+20 $0^{\circ}$ с $\mathrm{C}$ паралелограмот се $60^{\circ}$ и $120^{\circ}$ (црт.

50 6) Ако $\alpha=90^{\circ}$, тогаш $D D_{1}$ се $\mathrm{H}_{0}$ совпаға со DC, па аглите се по $90^{\circ}$.

A Lpr. 1

продолжението на $\angle \mathrm{D}, \mathrm{CH}=\varphi=40^{\circ}$, т.е. аглите на паралелограмот се $100^{\circ}$ и $80^{\circ}$ (црт. 2).

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_1379c02bbfc7f81dde1cg-2.jpg?height=422&width=222&top_left_y=313&top_left_x=1206)

Црт. 2

VII-4. Разликата на некој двоцифрен природен број и бројот запишан со исти цифри, но во обратен ред е квадрат на природен -број или нула. Одреди ги сите двоцифрени природни броеви што го имаат ова својство.

Решение: Според условот на задачата имаме:

$$
\overline{a b}-\overline{b a}=k^{2}, \text { т.e. } 10 a+b-(10 b-a)=k^{2}, a, b \in\{1,2, \ldots, 9\} .9(a-b)=k^{2}
$$

Бидејќи $9=3^{2}$, следува $a$ - $b$ е точен квадрат на некој број.

Значи, $a-b=0, a-b=1, a-b=4$ или $a-b=9$.

$1^{\circ}$ Ако $a-b=0$, т.е. $a=b$, броевите се: $11,22,33,44,55,66,77,88,99$.

$2^{\circ}$ Ако $a-b=1$, т.е. $a=b+1$. броевите се: $10,21,32,43,54,65,76,87,98$.

$3^{\circ}$ Ако $a-b=4$, т.е. $a=b+4$, броевите се: $40,51,62,73,84,95$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_1379c02bbfc7f81dde1cg-2.jpg?height=62&width=1197&top_left_y=1370&top_left_x=250)
броја.

VII-5. Една рамна површина е во форма на квадрат со плоштина $1 \mathrm{~km}^{2}$. На таа површина има 4500 елки. Сите елки се со иста дебелина и имаат дијаметар во подножјето $50 \mathrm{~cm}$.

Докажи дека во квадратот постои барем една правоаголна површина со должина $20 \mathrm{~m}$ и ширина 10 $\mathrm{m}$ во која нема ниту една елка.

Решение: Ако дадената површина $\cdot$ја поделиме на правоаголници со димензии 10 $\mathrm{m} \times 20 \mathrm{~m}$ и притоа меғу нив да оставиме лента широка $0.5 \mathrm{~m}$. тогаш имаме 1000:10,5=95,2 и 1000:20,5=48,7.

Значи имаме вкупно $95 \times 48=4560$ такви правоаголни површини.

Како и да се распоредени елките, според
принципот на Дирихле постои барем една правоаголна површина во која нема ниту една елка.

VIII-1. Климе стрелал во мета и за секој погодок добивал 5 поени, а за секое промашување губел 3 поени. Тој ден Климе немал многу среќа, па по испукување на повеќе од 10 , а помалку од 20 куршуми тој има 0 поени. Колку куршуми испукал Климе и со колку од нив ја погодил метата?

Решение: Ако Климе ја погодил метата со $\mathrm{m}$ куршуми, а ја промашил со $n$, тогаш $5 m-3 n=0$ и $10<m+n<20$. Решението на равенката е $m=6$ и $\mathrm{n}=10$. Значи Климе испукал 16 куршуми, а метата ја погодил со 6 куршуми.

VIII-2. Даден е правоаголен триаголник $\mathrm{ABC}\left(\angle \mathrm{C}=90^{\circ}\right)$ и кружница со дијаметар BC. Кружницата ја сече хипотенузата $A B$ во точка $E$. Во таа точка повлечена е тангента на кружницата која страната AC ја сече во точката D. Докажи дека триаголникот AED e рамнокрак.

Решение: Триаголникот ОEB е рамнокрак $\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{OE}}=\mathrm{r}$, па $\angle \mathrm{OEB}=\beta$. $\angle \mathrm{AED}=180^{\circ} \cdot\left(90^{\circ}+\beta\right)=90^{\circ}-\beta=\alpha$, следува дека триаголникот AED е рамнокрак.

VIII-3. Даден е правоаголен триаголник $\mathrm{ABC}\left(\angle \mathrm{C}=90^{\circ}\right)$, чија тежишна линија кон хипотенузата е еднаква на $20 \mathrm{~cm}$. Од средишната точка $D$ на хипотенузата повлечена е нормала на хипотенузата што ја сече едната катета во точката $E$ и притоа $\overline{D E}=15 \mathrm{~cm}$. Пресметај ги катетите на триаголникот.

Решение: Ако $\overline{C D}=20 \mathrm{~cm}$, тогаш $\overline{A B}=40 \mathrm{~cm}$.

Од $\triangle \mathrm{ADE}: \overline{\mathrm{AE}}^{2}=\overline{\mathrm{DE}}^{2}+\overline{\mathrm{AD}}^{2}$,

$\overline{A E}=\sqrt{15^{2}+20^{2}}=25 \mathrm{~cm} . \triangle A B C \sim \triangle A D E, \alpha$ е заеднички агол, па $\overline{\mathrm{AB}}: \overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{AC}}: \overline{\mathrm{AD}} ; 40: 25=\overline{\mathrm{AC}}: 20$;

$\overline{\mathrm{AC}}=32 \mathrm{~cm}$, a $\overline{\mathrm{BC}}=24 \mathrm{~cm}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_1379c02bbfc7f81dde1cg-3.jpg?height=283&width=334&top_left_y=1678&top_left_x=1109)

VIII-4. Околу $\triangle \mathrm{ABC}$ опишана е кружница. Во точката А повлечена е тангента на кружницата. Низ темето $B$ повлечена е права $r$ која e паралелна со тангентата. Правата $r$ ја сече страната AC во точката D.

Докажи дека страната $A B$ е геометриска средина на отсечките $A C$ и $A D$.

Решение: $\angle A B D=\angle B A M$-како наизменични агли; $\angle A C B=\angle B A M$ - како периферен агол и агол мету тантента и тетива, па: $\angle A B D=\angle A C B$ и $\angle A D B=\angle A B C$. Оттука следува дека $\triangle A B D \sim \triangle A B C$ па $\overline{A D}: \overline{A B}=\overline{A B}: \overline{A C}$, т.е. $\overline{A B}^{2}=\overline{A D} \cdot \overline{A C}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_1379c02bbfc7f81dde1cg-4.jpg?height=409&width=353&top_left_y=250&top_left_x=1126)

VIII-5. Одреди ги сите трицифрени природни броеви што се деливи истовремено со 9 и со 5 и разликата од цифрата на десетките и цифрата на стотките е еднаква на разликата од цифрата на единиците и цифрата на десетките.

- Решение: Нека бараниот број е $\overline{\mathrm{xyz}}$. Бидјјки бројот е делив со 5 , следува $z=0$ или $z=5$ и $x+y+z=9 k, k \in N$. Од условот $y-x=z-y$ имаме $y=\frac{x+z}{2}$. a) Ако $z=0$, тогаш $y=\frac{x}{2}$, па $x+\frac{x}{2}=9 k, x=6 k$. 3a $k=0, x=6$, $y=3$,

па бројот е 630.

6) Ако $z=5$, тогаш $y=\frac{x+5}{2}$, па $x+\frac{x+5}{2}+5=9 k, x=6 k-5$.

За $k=1, x=1, y=3$, па бројот e 135 .

Зa $k=2, x=7, y=6$, па бројоте 765 .

Според тоа бараните броеви се 135,630 и 765.