# Сојузен натпревар 1966 

## III година

1. Определи четирицифрен број кој е квадрат на природен број и кај кој првите две цифри и последните две цифри се еднакви.

Решение. Од условот на задачата следува

$$
\overline{a a b b}=1100 a+11 b=11(100 a+b)=k^{2}, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

што значи дека $100 a+b=11 l^{2}, l \in \mathbb{Z}$, каде $a, b \in\{1,2, \ldots, 9\}$. Со непосредна поверка се добива дека единствена можност е $l=8, a=7, b=4$.

Навистина $88^{2}=7744$.

2. Докажи дека волумените на тетраедрите кои имаат еден заеднички триедар се однесуваат како производите на нивните рабови кои минуваат низ темето на заедничкиот триедар.

Решение. Нека се $S A B C$ и $S A_{1} B_{1} C_{1}$ тетраедрите за кои се исполнети условите на задачата и нека $\gamma=\measuredangle B S C=\measuredangle B_{1} S C_{1}$, а $\varphi$ е аголот меѓу правата $S A$ и рамнината $B S C$ (цртеж десно). Висините на тетраедрите $S A B C$ и $S A_{1} B_{1} C_{1}$ од темињаsа $A$ и $A_{1}$ соодветно се еднакви на $S A \sin \varphi$ и $S A_{1} \sin \varphi$. Волумените на овие тетра-

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_3b509bf6fb5b53c1771bg-1.jpg?height=351&width=469&top_left_y=1029&top_left_x=991)
едри се

$$
\begin{aligned}
& V_{S A B C}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} S B \cdot S C \sin \gamma S A \sin \varphi \\
& V_{S A_{1} B_{1} C_{1}}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} S B_{1} \cdot S C_{1} \sin \gamma S A_{1} \sin \varphi
\end{aligned}
$$

па оттука следува

$$
\frac{V_{S A B C}}{V_{S A_{1} B_{1} C_{1}}}=\frac{S B \cdot S C \cdot S A}{S B_{1} \cdot S C_{1} \cdot S A_{1}}
$$

3. Определи ги сите вредности $x$ кои припаѓаат на интервалот $[0,2 \pi]$ за кои е точно неравенството

$$
2\left(\cos ^{2} x-\sqrt{3} \sin ^{2} x\right)>(\sqrt{3}-1) \sin ^{2} 2 x
$$

Решение. Дадената неравенка е еквивалентна на неравенката

$$
2(\sqrt{3}-1) \sin ^{4} x+(1-3 \sqrt{3}) \sin ^{2} x+1>0
$$

Со $y_{1}, y_{2}\left(y_{1}<y_{2}\right)$ да ги означиме решенијата на квадратната равенка

$$
2(\sqrt{3}-1) y^{2}+(1-3 \sqrt{3}) y+1=0
$$

Лесно се проверува дека за нив важи $0<y_{1}<1<y_{2}$. Ако се земе предвид дека $0 \leq \sin ^{2} x \leq 1$, добиваме дека дадената неравенка е задоволена за $0 \leq \sin ^{2} x<y_{1}$, односно за $|\sin x|<\sqrt{y_{1}}$. Според тоа, вредностите $x \in[0,2 \pi]$ кои ја задоволуваат неравенката се:

$$
0 \leq x<\arcsin \sqrt{y_{1}}, \pi-\arcsin \sqrt{y_{1}}<x<\pi+\arcsin \sqrt{y_{1}}, 2 \pi-\arcsin \sqrt{y_{1}}<x \leq 2 \pi
$$

## 4. Реши го системот равенки

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y+z=1 \\
a x+b y+c z=d \\
a^{2} x+b^{2} y+c^{2} z=d^{2}
\end{array}\right.
$$

каде $a, b, c$ се реални параметри такви што $a \neq b \neq c \neq a$.

Решение. При дадените услови системот има единствено решение

$$
x=\frac{(d-b)(d-c)}{(a-b)(a-c)}, \quad y=\frac{(d-a)(d-c)}{(b-a)(b-c)}, \quad z=\frac{(d-a)(d-b)}{(c-a)(c-b)}
$$

5. Кружниците K' и K" надворешно се допираат, а нивната надворешна заедничка тангента ги допира во точките $A_{1}$ и $A_{2}$. Нека $C_{1}$ и $C_{2}$ се соодветно центрите на $K^{\prime}$ и $K^{\prime \prime}$ и нека $E$ е пресек на заедничката надворешна и заедничката внатрешна тангента на овие кружници.

a) Докажи дека триаголникот $C_{1} E C_{2}$ е правоаголен.

б) Ако кружниците $K^{\prime}$ и $K^{\prime \prime}$ и отсечката $A_{1} A_{2}$ ротираат околу правата $C_{1} C_{2}$, тогаш отсечката $A_{1} A_{2}$ опишува омотач на потсечен конус, а кружниците $K^{\prime}$ и K" опишуваат сфери. Определи ја плоштината $M$ на потсечениот конус.

в) Ако радиусите $r_{1}$ и $r_{2}$ на добиените сфери се променливи, а нивниот збир $r_{1}+r_{2}=a$ е константен,определи ја максималната можна вредност на плоштината $M$.

Решение. а) Со $B$ да ја означиме допирната точка на двете кружници и со $D$ средината на отсечката $C_{1} C_{2}$ (види цртеж). Отсечките $E A_{1}, E B, E A_{2}$ се еднакви меѓу себе и нивната должина да ја означиме со $x$. Отсечката $E D$ е средна отсечка на трапезот $A_{1} C_{1} C_{2} A_{2}$, па затоа е еднаква на полузбирот на основите

$$
E D=\frac{r_{1}+r_{2}}{2}=C_{1} D=D C_{2}
$$

Затоа точката $E$ припаѓа на кружницата над дијаметар $C_{1} C_{2}$, па $\measuredangle C_{1} E C_{2}$ е прав.

б) Со $F_{1}$ и $F_{2}$ да ги означиме центрите на основите на добиениот потсечен конус, а со $R_{1}$ и $R_{2}$ нивните радиуси. Во трапезот $F_{1} F_{2} A_{2} A_{1}$ отсечката $E B$ е средна линија, па затоа $R_{1}+R_{2}=2 x$. Плоштината на омотачот на конусот е

$$
M=2 x \pi\left(R_{1}+R_{2}\right)=4 \pi x^{2}
$$

Од сличноста на триаголниците $E B C_{1}$ и $C_{2} B E$ следува $r_{1} r_{2}=x^{2}$, па затоа $M=4 \pi r_{1} r_{2}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_3b509bf6fb5b53c1771bg-3.jpg?height=593&width=852&top_left_y=434&top_left_x=437)

в) Бидејќи

$$
M=4 \pi r_{1} r_{2} \leq 4 \pi\left(\frac{r_{1}+r_{2}}{2}\right)^{2}=\pi a^{2}
$$

и равенство важи ако и само ако $r_{1}=r_{2}$, па бараната максимална вредност е $\pi a^{2}$ и се добива кога потсечениот конус преминува во цилиндар.

## IV година

1. Ако $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ се решенија на равенката $x^{3}-1=0$, докажи дека за секој природен број $n$ е исполнето равенството

$$
x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+x_{3}^{n}=x_{1}^{n} x_{2}^{n}+x_{2}^{n} x_{3}^{n}+x_{3}^{n} x_{1}^{n}
$$

Решение. Имаме

$$
\begin{aligned}
& x_{1}=1, \quad x_{2}=\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3} \\
& x_{3}=\cos \frac{4 \pi}{3}+i \sin \frac{4 \pi}{3} \\
& x_{1} x_{2}=x_{2}, \quad x_{1} x_{3}=x_{3}, \quad x_{2} x_{3}=x_{1}
\end{aligned}
$$

Оттука директно следува бараното равенство.

2. Дадени се по три црни топчиња нумерирани со броевите 1 и 2 и по 6 бели топчиња нумерирани со броевите 1,2 и 3. На колку начини може да наредат во низа девет топчиња, така што меѓу нив има 3 црни и 6 бели топчиња?

Решение. Бараниот број е еднаков на $\binom{9}{3} 2^{3} 3^{6}=489888$, бидејќи еместа на кои ќе се наоѓаат црните топчиња мпоже да се изберат на $\binom{9}{3}$ начини, потоа на секое
од тие три места можеме црното топче да го ставиме на два начини, а на секое од преостанатите 6 места бело топше можеме да ставиме на 3 начини.

3. Докажи дека дропката $\frac{3 n+1}{2 n^{2}+n}$, каде $n$ е природен број, не може да се скрати.

Решение. Трена да докажеме дека броевите $n$ и $3 n+1$ се заемно прости, а исто така и броевите $2 n+1$ и $3 n+1$. Имаме

$$
\begin{aligned}
& (n, 3 n+1)=(n, 3 n+1-3 n)=(n, 1)=1 \\
& (2 n+1,3 n+1)=(2 n+1,3 n+1-2 n-1)=(2 n+1, n)=(2 n+1-2 n, n)=(1, n)=1
\end{aligned}
$$

4. Нека $x_{1}$ е произволен реален број, а $x$ е таков реален број за кој важи $\left|x-x_{1}\right| \leq \frac{1}{100}$.

a) Докажи дека разликата на вредностите на функцијата $\sin x$ во точките $x$ и $x_{1}$ не е поголема од $\frac{1}{100}$.

б) Дали за функцијата $\sin x^{2}$ може да се определи интервал $\Delta=\left(x_{1}-\delta, x_{1}+\delta\right)$ така што

$$
\left|\sin x^{2}-\sin x_{1}^{2}\right| \leq \frac{1}{100}, \text { за секој } x \in \Delta
$$

каде $\delta$ е конечен позитивен број кој не зависи од $x_{1}$ ?

Решение. а) Користејќи го познатото неравенство $|\sin t| \leq|t|, t \in \mathbb{R}$, добиваме

$$
\left|\sin x-\sin x_{1}\right|=2\left|\sin \frac{x-x_{1}}{2} \cos \frac{x+x_{1}}{2}\right| \leq 2\left|\frac{x-x_{1}}{2}\right|=\left|x-x_{1}\right| \leq \frac{1}{100}
$$

б) Одговорот е негативен. Имено, да земеме $x_{1}=\sqrt{n \pi}, n \in \mathbb{N}$. Бидејќи

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}+n \pi}-\sqrt{n \pi}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{\frac{\pi}{2}+n \pi}+\sqrt{n \pi}}=0
$$

за доволно големо $n$ ќе важи $\sqrt{\frac{\pi}{2}+n \pi}-\sqrt{n \pi}<\delta$, за било кој однапред зададен $\delta>0$. Значи, ако избереме $x=\sqrt{\frac{\pi}{2}+n \pi}$, ќе важи $x \in \Delta$ и

$$
\left|\sin x^{2}-\sin x_{1}^{2}\right|=\left|\sin \left(\frac{\pi}{2}+n \pi\right)-\sin n \pi\right|=1>\frac{1}{100}
$$