# Сојузен натпревар 1965 

## III година

1. Реши ја равенката

$$
x^{3}-\left(m^{2}+3\right) x^{2}+\left(m^{2}+3\right) x+m^{4}-1=0
$$

по непозната $x$ раставувајќи го на множители полиномот $P(m)$ на левата страна на оваа равенка.

## Решение. Имаме

$$
P(m)=m^{4}-\left(x^{2}-x\right) m^{2}+(x-1)^{2}=\left(m^{2}-x+1\right)\left(m^{2}-(x-1)^{2}\right)
$$

Решенијата на дадената равенка се:

$$
x_{1}=m^{2}+1, \quad x_{2}=m+1, \quad x_{3}=-m+1
$$

2. Определи ги рабовите на квадарот, ако е познат нивниот збир $s$ и неговата дијагонала $d$, а едниот раб е геометриска средина на другите два раба.

Решение. Нека $a, b, c$ се рабовите на квадарот и нека $c=\sqrt{a b}$. Според условот на задачата

$$
a+b+\sqrt{a b}=s, a^{2}+b^{2}+a b=d^{2}
$$

од каде добиваме

$$
(s-\sqrt{a b})^{2}=d^{2}+a b \text { и } \sqrt{a b}=\frac{s^{2}-d^{2}}{2 s},
$$

при што мора да важи $s>d$. Понатаму, лесно се добива

$$
a b=\left(\frac{s^{2}-d^{2}}{2 s}\right)^{2}, \quad a+b=\frac{s^{2}+d^{2}}{2 s}
$$

Значи, $a$ и $b$ се решенија на квадратната равенка

$$
t^{2}-\frac{s^{2}+d^{2}}{2 s} t+\left(\frac{s^{2}-d^{2}}{2 s}\right)^{2}=0
$$

по непозната $t$. Оваа равенка има решенија ако и само ако

$$
\left(\frac{s^{2}+d^{2}}{2 s}\right)^{2}-4\left(\frac{s^{2}-d^{2}}{2 s}\right)^{2} \geq 0
$$

т.е. ако и само ако $3 d^{2} \geq s^{2}$. Конечно, при условот $d<s \leq d \sqrt{3}$ ги добиваме бараните броеви

$$
\frac{s^{2}+d^{2}+\sqrt{\left(3 d^{2}-s^{2}\right)\left(3 s^{2}-d^{2}\right)}}{4 s}, \frac{s^{2}+d^{2}-\sqrt{\left(3 d^{2}-s^{2}\right)\left(3 s^{2}-d^{2}\right)}}{4 s}, \frac{s^{2}-d^{2}}{2 s}
$$

3. Определи ги сите реални решенија $x(0<x<2 \pi)$ на неравенката

$$
\frac{\sin x+\sin 3 x+\sin 5 x}{\cos x+\cos 3 x+\cos 5 x}>1
$$

Решение. Имаме:

$$
\frac{\sin x+\sin 3 x+\sin 5 x}{\cos x+\cos 3 x+\cos 5 x}=\frac{\sin 3 x(1+2 \cos x)}{\cos 3 x(1+2 \cos x)}
$$

Според тоа, треба да ги определиме сите реални броеви $x$ за кои важи

$$
\operatorname{tg} 3 x>1, \cos x \neq \frac{1}{2}, 0<x<2 \pi
$$

Множеството од сите такви броеви е еднакво на

$$
\bigcup_{k=0}^{5}\left(\frac{(4 k+1) \pi}{12}, \frac{(4 k+2) \pi}{12}\right)
$$

4. Во паралелопипед чии sидови се складни ромбови со агол од $60^{\circ}$ дадена е најголемата дијагонала $d$. Определи ги дијагоналите на ова тело.

Решение. Нека $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ е дадениот паралелопипед и нека

$$
\measuredangle B A D=\measuredangle D A A_{1}=\measuredangle A_{1} A B=60^{\circ}
$$

Воведуваме правоаголен координатен систем таков што важи:

1) координатниот почеток $O$ се соваѓа со точката $A$,
2) точката B припаѓа на позитивниот дел на $x$ - оската,

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_a3fa2c1df73614920048g-2.jpg?height=295&width=442&top_left_y=780&top_left_x=1038)

3) точката $D$ припаѓа на $x O y$ рамнината и има позитивна $y$ - координата,
4) точката $A_{1}$ има позитивна $z$ - координата (цртеж десно).

Нека $a=A B$. Тогаш $A B D$ е рамностран триаголник со висина $\frac{a \sqrt{3}}{2}$, а $A B D A_{1}$ е правилен тетраедар со висина $\frac{a \sqrt{6}}{3}$. Сега лесно се добива дека координатите на сите темиња на паралелопипедот се:

$$
\begin{aligned}
& A(0,0,0), \quad B(a, 0,0), C\left(\frac{3 a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0\right), \quad D\left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0\right) \\
& A_{1}\left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{6}, \frac{a \sqrt{6}}{3}\right), \quad B_{1}\left(\frac{3 a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{6}, \frac{a \sqrt{6}}{3}\right), \\
& C_{1}\left(2 a, \frac{2 a \sqrt{3}}{3}, \frac{a \sqrt{6}}{3}\right), \quad D_{1}\left(a, \frac{2 a \sqrt{3}}{3}, \frac{a \sqrt{6}}{3}\right) .
\end{aligned}
$$

Понтаму,

$$
d^{2}=A C_{1}^{2}=(2 a)^{2}+\left(\frac{2 a \sqrt{3}}{3}\right)^{2}+\left(\frac{a \sqrt{6}}{3}\right)^{2}=6 a^{2}
$$

од каде добиваме $a=\frac{d}{\sqrt{6}}$. Понатаму, лесно се добива дека должините на дијагоналите на паралелопипедот се

$$
B D_{1}=D B_{1}=C A_{1}=\frac{d}{\sqrt{6}}
$$

## IV година

1. Определи го збирот на сите броеви во табелата

$$
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & \ldots & k \\
2 & 3 & 4 & \ldots & k+1 \\
3 & 4 & 5 & \ldots & k+2 \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
k & k+1 & k+2 & \ldots & 2 k-1
\end{array}
$$

Решение. Бараниот збир е еднаков на:

$$
\sum_{j=1}^{k} \sum_{i=j}^{j+k-1} i=\sum_{j=1}^{k} \frac{k}{2}(2 j+k-1)=\frac{k^{2}(k-1)}{2}+k \sum_{j=1}^{k} j=\frac{k^{2}(k-1)}{2}+k \frac{k(k+1)}{2}=k^{3}
$$

2. Дадена е функцијата $y=x^{3}+p x+q$.

a) Ако $M$ е локален максимум, а $m$ е локален минимум на дадената функција, докажи дека

$$
M m=q^{2}+\frac{4}{27} p^{3}
$$

б) Определи ги $p$ и $q$, така што $M-m=4$ и -2 е нула на функцијата. Испитај го текот на добиената функција.

Решение. а) Бидејќи $y^{\prime}=3 x^{2}+p$, лесно се добива дека дадената функција има локални екстреми во точките $x_{1}=-\sqrt{-\frac{p}{3}}, x_{2}=\sqrt{-\frac{p}{3}}$, ако $p<0$. Затоа

$$
\begin{aligned}
M m & =y\left(x_{1}\right) y\left(x_{2}\right)=\left(\frac{p}{3} \sqrt{-\frac{p}{3}}-p \sqrt{-\frac{p}{3}}+q\right)\left(-\frac{p}{3} \sqrt{-\frac{p}{3}}+p \sqrt{-\frac{p}{3}}+q\right) \\
& =\left(q-\frac{2 p}{3} \sqrt{-\frac{p}{3}}\right)\left(q+\frac{2 p}{3} \sqrt{-\frac{p}{3}}\right)=q^{2}+\frac{4}{27} p^{3} .
\end{aligned}
$$

б) Системот равенки

$$
\begin{aligned}
& M-m=-\frac{4 p}{3} \sqrt{-\frac{p}{3}}=4 \\
& (-2)^{3}-2 p+q=0
\end{aligned}
$$

има точно едно решение: $p=-, q=2$.

Графикот на функцијата $y=x^{3}-3 x+2$ е прикажан

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_a3fa2c1df73614920048g-3.jpg?height=295&width=317&top_left_y=1429&top_left_x=1127)
на цртежот десно.

3. Даден е конвексен петаголник $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}$ и точки $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}$, такви што секоја страна на петаголникот содржи точно една од овие точки. Конструирани се сите прави определени со темињата на петаголниот и точките $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$, $B_{5}$. Ако се знае дека (не сметајќи ги точките $A_{i}$ и $B_{j}$ ) никои три од овие прави не се сечат во една точка и никои две не се паралелни, определи го бројот на сите точки во кои се сечат по две од овие прави.

Решение. Конструирани се вкупно 35 прави (10 определени со точките $A_{i}$, десет определени со точките $B_{i}$ и уште 15 прави кои ги поврзуваат точките $B_{i}$ со темињата на петаголникот). Секоја од точките $A_{i}$ содржи точно 7 од овие прави, а секоја од точките $B_{i}$ содржи точно 8 од овие прави. Бројот на точките во кои се сечат точно две од конструираните прави е еднаков на

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_a3fa2c1df73614920048g-4.jpg?height=65&width=481&top_left_y=530&top_left_x=625)

4. На рабовите на триедарот со врв $S$, кај кој сите агли меѓу рабовите се еднакви, дадени се отсечки $S A=S B=S C=l$. Определи го аголот меѓу рабовите така што волуменот на тераедарот $S A B C$ ќе биде најголем.

Решение. Нека сите агли на дадениот триедар се еднакви на $\varphi$ (при што $0<\varphi<\frac{2 \pi}{3}$ ) и нека $a=A B$ и $h$ се соодветно основниот раб и висината повлечена од темето $S$ на тетраедарот SABC (цртеж десно). Тогаш

$$
\begin{aligned}
& a^{2}=l^{2}+l^{2}-2 l^{2} \cos \varphi=4 l^{2} \sin ^{2} \frac{\varphi}{2} \\
& a=2 l \sin \frac{\varphi}{2} \\
& H^{2}=l^{2}-\left(\frac{2}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} 2 l \sin \frac{\varphi}{2}\right)^{2} \\
& H=l \sqrt{1-\frac{4}{3} \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}}
\end{aligned}
$$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_a3fa2c1df73614920048g-4.jpg?height=428&width=488&top_left_y=827&top_left_x=972)

Волуменот на тетраедарот е

$$
V(\varphi)=\frac{H}{3} \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}=\frac{1}{3} l^{3} \sin ^{2} \frac{\varphi}{2} \sqrt{3-4 \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}}
$$

Изводот на функцијата $f(t)=t \sqrt{3-4 t}, 0<t<\frac{3}{4}\left(=\sin ^{2} \frac{\pi}{3}\right)$ е

$$
f^{\prime}(t)=\frac{3-6 t}{\sqrt{3-4 t}}\left\{\begin{array}{l}
>0, \text { ако е } 0<t<\frac{1}{2} \\
=0, \text { ако е } t=\frac{1}{2} \\
<0, \text { ако е } \frac{1}{2}<t<\frac{3}{4}
\end{array}\right.
$$

Според тоа, функцијата $f$ го достигнува максимумот за $t=\frac{1}{2}$, па функцијата $V(\varphi), 0<\varphi<\frac{2 \pi}{3}$, достигнува максимум за $\sin ^{2} \frac{\varphi}{2}=\frac{1}{2}$, т.е. за $\varphi=\frac{\pi}{4}$.