# Сојузен натпревар 1962 

## III година

1. Дадена е функцијата $f(x)=a x^{2}+b x+c, a>0$. Докажи дека за секои $x_{1}$ и $x_{2}$ важи

$$
f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) \leq \frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}
$$

Решение. Бидејќи $a>0$, за секои $x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}$ важи

$$
\begin{aligned}
f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) & =a\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)^{2}+b \frac{x_{1}+x_{2}}{2}+c \\
& =a \frac{x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}}{4}+b \frac{x_{1}+x_{2}}{2}+c \\
& =a \frac{2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2 x_{1} x_{2}\right)}{4}+b \frac{x_{1}+x_{2}}{2}+c \\
& \leq a \frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}+b \frac{x_{1}+x_{2}}{2}+c \\
& =\frac{a x_{1}^{2}+b x_{1}+c+a x_{2}^{2}++b x_{2}+c}{2} \\
& =\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2} .
\end{aligned}
$$

Знак за равенство важи ако и само ако $x_{1}=x_{2}$.

2. Дадени се топки со радиуси $R$ и $r$ ( $R<r$ ). Растојанието меѓу центрите на овие топки е $c$, при што $R-r<c<R+r$. Изрази го волуменот на конусот кој е опишан околу овие топки како функција од $R, d=R-r+c$. Докажи дека односот на волуменот на овој конус и поголемата топка е поголем или еднаков на 2. Определи ја плоштината на оној конус за кој тој однос е еднаков на 2.

Решение. Нека $A B C$ е фиксиран оскин пресек на дадениот конус ( $A$ е врв на конусот). Со $O$ и $O_{1}$ да ги означиме центрите на дадените топки, со $D$ и $D_{1}$ се нивните допирни точки кои припаѓаат на разгледуваниот пресек со конусот, со $E$ средината на основата на пресекот и со $\alpha$ аголот меѓу изводницата и висината на конусот (цртеж десно). Од правоаголниот $\triangle A O D$ добиваме $\frac{r}{A O}=\sin \alpha$, а од правоаголниот

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_375a647c88a2b0592badg-1.jpg?height=370&width=281&top_left_y=1538&top_left_x=1203)
трапез $O_{1} D_{1} D O$ дека $\frac{d}{c}=\sin \alpha$. Оттука следува $\frac{r}{A O}=\frac{d}{c}$, т.е. $A O=\frac{c r}{d}$. Затоа висината на конусот е

$$
h=A O+O O_{1}+O_{1} E=\frac{c r}{d}+c+R=\frac{c(r+d)+R d}{d}=R \frac{c+d}{d}
$$

Ако со $\rho$ да го означиме радиусот на основата на конусот, од триаголникот $A E C$ добиваме

$$
\rho=\operatorname{tg} \alpha=R \frac{c+d}{d} \frac{\frac{d}{c}}{\sqrt{1-\frac{d^{2}}{c^{2}}}}=R \frac{c+d}{\sqrt{c^{2}-d^{2}}}
$$

Затоа волуменот на конусот е

$$
V=\frac{1}{3} \pi \rho^{2} h=\frac{\pi R^{3}}{3} \frac{(c+d)^{2}}{d(c-d)}
$$

а неговиот однос спрема волуменот на поголемата топка е

$$
V: \frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{(c+d)^{2}}{4 d(c-d)}
$$

За да овој однос биде поголем или еднаков на 2 , потребно и доволно е да важи $(c+d)^{2} \geq 8 d(c-d)$, односно $(c-3 d)^{2} \geq 0$. Знак за равенство важи ако и само ако $c=3 d$. Тогаш $\rho=R \sqrt{2}, h=4 R$, па изводницата на таков конус е еднаква на $\sqrt{h^{2}+\rho^{2}}=3 R \sqrt{2}$, а плоштината е

$$
P=\pi R \sqrt{2}(R \sqrt{2}+3 R \sqrt{2})=8 \pi R^{2}
$$

3. Квадрат $A B C D$ со страна а е заротиран за $45^{\circ}$ околу темето $A$, така што темето $B_{1}$ на добиениот квадрат $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ се наоѓа во внатрешноста на дадениот квадрат. Нека $M$ е пресекот на правите $C_{1} D_{1}$ и $B C$. Определи ја плоштината на квадратот со страна $A M$.

Решение. Триаголникот $M B C_{1}$ е рамнокрак правоаголен (цртеж десно), па затоа

$$
M B=B C_{1}=A C_{1}-A B=a(\sqrt{2}-1)
$$

Од правоаголниот триаголник $A B M$ добиваме

$$
\begin{aligned}
A M^{2} & =A B^{2}+M B^{2} \\
& =a^{2}+a^{2}(\sqrt{2}-1)^{2} \\
& =2 a^{2}(2-\sqrt{2})
\end{aligned}
$$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_375a647c88a2b0592badg-2.jpg?height=382&width=353&top_left_y=1270&top_left_x=1112)

4. Дадена е функцијата $f(x)=A \cos x+B \sin x$ ( $A$ и $B$ се константи). Ако постојат реални броеви $x_{1}$ и $x_{2}$ такви што разликата $x_{1}-x_{2}$ не е цел број пати $\pi$ и $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=0$, докажи дека за секој реален број $x$ важи $f(x)=0$.

Решение. Ако равенството $f\left(x_{1}\right)=0$ го помножиме со $\sin x_{2}$, а равенството $f\left(x_{2}\right)=0$ го помножиме со $\sin x_{1}$ и така добиените равенства ги одземеме добиваме, $A \sin \left(x_{2}-x_{1}\right)=0$. Сега, бидејќи $x_{2}-x_{1} \neq k \pi, k \in \mathbb{Z}$, добиваме дека $A=0$. Слично се докажува дека $B=0$, па затоа $f(x)=0$.

## IV година

1. Дадена е низата $\log \sqrt{x}, \log \sqrt[4]{x}, \log \sqrt[8]{x}, \ldots$. Определи го збирот $S(x)$ на оваа низа и нацртај го графикот на функцијата $S(x), x>0$.

Решение. Општиот член на низата е

$$
a_{n}(x)=\log \left(x^{\frac{1}{2^{n}}}\right)=\frac{1}{2^{n}} \log x
$$

па затоа

$$
\frac{a_{n}(x)}{a_{n-1}(x)}=\frac{\frac{1}{2^{n}} \log x}{\frac{1}{2^{n-1}} \log x}=\frac{1}{2}
$$

што значи дека дадената низа е геометриска. Ако $\log x=0$, тогаш $a_{n}(x)=0$. Збирот на соодветниот ред е

$$
S(x)=\frac{a_{0}(x)}{1-\frac{1}{2}}=2 \log x
$$

На читателот му препуштаме да го скицира графикот на оваа функција.

2. Дадена се функциите $y_{1}=\sin ^{4} x+\cos ^{4} x$ и $y_{2}=\sin ^{6} x+\cos ^{6} x$. Докажи дека овие функции имаат основен период $\frac{\pi}{2}$ и дека $3 y_{1}-2 y_{2}=1$. За кои вредности на $x$ првата функција има за $\frac{1}{16}$ поголема вредност од другата?

Решение. Со едноставни тригонометриски трансформации се добива

$$
\begin{aligned}
& y_{1}=\sin ^{4} x+\cos ^{4} x=\frac{3+\cos 4 x}{4} \\
& y_{2}=\sin ^{6} x+\cos ^{6} x=\frac{5+3 \cos 4 x}{8}
\end{aligned}
$$

Затоа овие функции имаат основна периода еднаква на $\frac{2 \pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ и важи

$$
3 y_{1}-2 y_{2}=1
$$

Равенката $y_{1}=y_{2}+\frac{1}{16}$ е еквивалентна на равенката $\cos 4 x=\frac{1}{2}$, чии решенија се $x= \pm \frac{\pi}{12}+k \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3. Дадени се страните $a=B C$ и $b=C A$ на триаголникот $A B C$. Определи ја должината на третата страна, ако таа е еднаква на должината на сооодветната висина. За кои вредности на $a$ и $b$ задачата има решение?

Решение. Нека с е должината на непознатата страна и $s=\frac{a+b+c}{2}$. Од условот на задачата и Хероновата формула следува

$$
\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\frac{c^{2}}{2}
$$

од што по квадрирањето и средувањето по непозната с добиваме:

$$
5 c^{4}-2\left(a^{2}+b^{2}\right) c^{2}+\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}=0
$$

Дискриминантата на оваа равенка е

$$
D=-4\left(a^{4}-3 a^{2} b^{2}+b^{4}\right)=-4\left(a^{2}-\frac{3+\sqrt{5}}{2} b^{2}\right)\left(a^{2}-\frac{3-\sqrt{5}}{2} b^{2}\right)
$$

и е ненегативна само ако

$$
\frac{\sqrt{5}-1}{2} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{\sqrt{5}+1}{2}
$$

Тогаш (1) има решенија $c^{2}=\frac{1}{5}\left(a^{2}+b^{2} \pm \sqrt{D}\right)$. Во случајот кога $a=b$, едното од решенијата е еднакво на нула, па отпаѓа. Во случајот кога $D=0$, решенијата се поклопуваат.

4. Во рамнината $\alpha$ се дадени права $p$ и точка $P$, која не припаѓа на правата p. Определи го геометриското место на точки $M$ во рамнината $\alpha$, за кои важи $\frac{M P}{M N}=c$, ако $N$ е подножјето на нормалата од точката $P$ на правата $p$, а $c$ е даден позитивен број.

Решение. Бараното геометриско место е еден од конусните пресеци: елипса ако $c<1$, парабола ако $c=1$ и хипербола ако $c>1$. Доказот на ова тврдење може да се најде во секој учебник по аналитичка геометрија, а негде наведениот услов се зема во дефиницијата на поимот конусен пресек.