# Društvo matematikov, fizikov 

in astronomov Slovenije

Jadranska ulica 19

1000 Ljubljana

## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.

## 61. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije

Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017

## Naloge za 1. letnik

Čas reševanja: 45 minut.

B1. Dano je število $n=100 \ldots 001$, zapisano z 2017 ničlami in 2 enkama.

(a) Ali je število $n$ deljivo z 11 ?

(b) Ali je število $n$ deljivo s 101?

(c) Ali je število $n$ deljivo $\mathrm{1001}$ ?

B2. Poišči vse pare realnih števil $x$ in $y$, ki rešijo sistem enačb

$$
\begin{aligned}
\frac{3}{x-4 y}+\frac{2}{x+y-5} & =0 \\
\frac{2}{x^{2}-4 y^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}-5} & =0
\end{aligned}
$$

## 61. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije

Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017

## Naloge za 2. letnik

## Čas reševanja: 45 minut.

B1. Naj bo $A B C$ tak ostrokotni trikotnik, da oglišči $A$ in $B$ ter središči trikotniku očrtane in včrtane krožnice ležijo na isti krožnici. Dokaži, da na tej krožnici leži tudi višinska točka trikotnika $A B C$.

(20 točk)

B2. Poišči vse realne rešitve enačbe

$$
\sqrt{x+4}+\sqrt{2 x+1}+\sqrt{4 x+2}=\sqrt{3-x}
$$

## 61. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije

Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017

## Naloge za 3. letnik

## Čas reševanja: 45 minut.

B1. Dani sta točki $A$ in $B$ ter krožnica $\mathcal{K}$ s premerom $A B$. Na daljici $A B$ izberemo točko $T$ različno od $A$ in $B$. Pravokotnica na daljico $A B$ skozi točko $T$ naj seka krožnico $\mathcal{K} \mathrm{v}$ točkah $M$ in $N$. Označimo $|A T|=x,|T B|=y$ in $|T N|=z$. Izračunaj vrednost izraza

$$
\frac{\log _{y} z+\log _{x} z}{\log _{x} z \log _{y} z}
$$

B2. Naj bo $\sin \alpha+\sin \beta=1$ in $\cos \alpha+\cos \beta=-\sqrt{3}$.

(a) Izračunaj vrednost izraza $\cos (\alpha-\beta)$.

(b) Poišči vse pare realnih števil $\alpha$ in $\beta$, ki ustrezajo danima enačbama.

## 61. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije

Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017

## Naloge za 4. letnik

## Čas reševanja: 45 minut.

B1. Najmanj kolikokrat moramo hkrati vreči dve pošteni igralni kocki, da bo verjetnost, da bomo vsaj enkrat na obeh kockah hkrati vrgli enako število pik, večja od $\frac{1}{2}$ ?

(20 točk)

B2. Dano je zaporedje $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ z začetnima členoma $a_{1}=4$ in $a_{2}=16$, za katerega je $\log _{2}\left(\log _{2} a_{1}\right), \log _{2}\left(\log _{2} a_{2}\right), \log _{2}\left(\log _{2} a_{3}\right), \ldots$ aritmetično zaporedje. Dokaži, da je

$$
\log _{2}\left(\log _{2}\left(4 a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)\right)=n+1
$$

za vsa naravna števila $n$.

(20 točk)

## 61. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije

Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017

Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna $\mathbf{2 0}$ točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $v$ uradni rešitvi.

## Rešitve za 1. letnik

B1. (a) Uporabimo pravilo za deljivost z 11. Naravno število $\overline{a_{k} \ldots a_{3} a_{2} a_{1}}$, kjer so $a_{i}$ števke, je deljivo z 11 natanko tedaj, ko je število $a_{1}-a_{2}+a_{3}-\ldots+(-1)^{k+1} a_{k}$ deljivo z 11. Ker

$$
1-\underbrace{0+0-0+\ldots+0-0}_{2017 \text { ničel }}+1=2
$$

ni deljivo z 11, tudi število $n$ ni deljivo z 11 .

## Zapisano ali uporabljeno pravilo za deljivost z 11 .2 točki

 Izračun $a_{1}-a_{2}+a_{3}-\ldots+(-1)^{2019+1} a_{2019}=2$ 3 točke Odgovor 1 točka(b) Uporabimo obrazec $x^{m}+y^{m}=(x+y)\left(x^{m-1}-x^{m-2} y+\ldots-x y^{m-2}+y^{m-1}\right)$, kjer je $m$ liho število, da zapišemo

$$
\begin{aligned}
n & =10^{2018}+1=\left(10^{2}\right)^{1009}+1=\left(10^{2}+1\right)\left(\left(10^{2}\right)^{1008}-\left(10^{2}\right)^{1007}+\ldots-10^{2}+1\right)= \\
& =101 \cdot\left(\left(10^{2}\right)^{1008}-\left(10^{2}\right)^{1007}+\ldots-10^{2}+1\right)
\end{aligned}
$$

Sledi, da je število $n$ deljivo s 101 .

Zapisan ali uporabljen obrazec za razcep vsote $x^{m}+y^{m} \ldots \ldots \ldots . .3$ točke

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-10.jpg?height=57&width=1488&top_left_y=1662&top_left_x=364)

Razcep števila $n \mathbf{V}\left(10^{2}+1\right)\left(\left(10^{2}\right)^{1008}-\left(10^{2}\right)^{1007}+\ldots-10^{2}+1\right) \ldots \ldots .3$ točke

Zapis produkta $101 \cdot\left(\left(10^{2}\right)^{1008}-\left(10^{2}\right)^{1007}+\ldots-10^{2}+1\right) \ldots \ldots \ldots . . . .1$ točka

Odgovor . ..............................................................................................

(c) Število $n$ ni deljivo s 1001, saj je $1001=7 \cdot 11 \cdot 13$ in po točki (a) število $n$ ni deljivo z 11 .

$$
\begin{aligned}
& \text { Razcep } 1001 \text { na prafaktorje } \\
& 2 \text { točki } \\
& \text { Utemeljen odgovor } \\
& 2 \text { točki }
\end{aligned}
$$

2. način.

(a) Število $n$ pisno delimo z 11.

```
10000000 \ldots.01: 11 = 90909
    100
    100
1...
```

Opazimo, da se v vsaki naslednji vrstici vodilna števka 1 premakne za 2 mesti v desno. Ker ima število $n$ liho mnogo ničel, dobimo na zadnjem koraku račun

$$
\begin{gathered}
101: 11=9, \\
2 \text { ost. }
\end{gathered}
$$

kar pomeni, da število $n$ ni deljivo z 11 .

## Pravilen zapis pisnega deljenja s količnikom 3 točke

Zapisan zadnji korak deljenja (101:11) 2 točki

Odgovor 1 točka

(b) Število $n$ pisno delimo s 101.

```
100000000 \ldots.01:101=990099
    910
        1000
            910
1.,
```

Opazimo, da se v lihih vrsticah vodilna števka 1 vsakič premakne za 4 mesta v desno. Ker ima število $n$ natanko $2017=504 \cdot 4+1$ ničel, dobimo na zadnjem koraku račun $101: 101=1$. Ostanek je 0 , torej je število $n$ deljivo s 101 .

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-11.jpg?height=57&width=1484&top_left_y=1379&top_left_x=366)
Utemeljen in zapisan zadnji korak deljenja ............................... 4 točke $\qquad$
(c) Število $n$ pisno delimo s 1001.

```
1000000000000 \ldots.01:1001=999000999
    9910
        9010
            10000
                9910
                    9010
                            1...
```

Opazimo, da se v vsaki tretji vrstici vodilna števka 1 vsakič premakne za 6 mest v desno. Ker ima število $n$ natanko $2017=336 \cdot 6+1$ ničel, dobimo na zadnjem koraku 101, kar je ostanek deljenja. Število $n$ torej ni deljivo s 1001.
Pravilen zapis pisnega deljenja s količnikom ..... 1 točka
Utemeljen in zapisan zadnji korak deljenja ..... 2 točki
Odgovor ..... 1 točka

B2. Odpravimo ulomke, da dobimo

$$
\begin{aligned}
3(x+y-5)+2(x-4 y) & =0 \\
2\left(x^{2}+y^{2}-5\right)+\left(x^{2}-4 y^{2}\right) & =0
\end{aligned}
$$

in obe enačbi poenostavimo do

$$
\begin{array}{r}
5 x-5 y-15=0 \\
3 x^{2}-2 y^{2}-10=0
\end{array}
$$

Iz prve enačbe izrazimo $x=y+3$. Ko slednje vstavimo v drugo enačbo, dobimo $y^{2}+18 y+17=0$. Levo stran enačbe razstavimo, da dobimo $(y+1)(y+17)=0$. Rešitvi sta $y=-1$ in $y=-17$. V prvem primeru iz zveze $x=y+3$ dobimo $x=2$, $\mathbf{v}$ drugem pa $x=-14$. Z obema rešitvama naredimo preizkus in ugotovimo, da v primeru $x=2$, $y=-1$ ulomka $\frac{2}{x^{2}-4 y^{2}}$ in $\frac{1}{x^{2}+y^{2}-5}$ nista definirana. Edina rešitev sistema je torej par $x=-14, y=-17$.

Zapis sistema enačb brez ulomkov .....................................................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-12.jpg?height=55&width=1573&top_left_y=1126&top_left_x=276)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-12.jpg?height=60&width=1579&top_left_y=1169&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-12.jpg?height=55&width=1579&top_left_y=1229&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-12.jpg?height=66&width=1579&top_left_y=1275&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-12.jpg?height=63&width=1579&top_left_y=1325&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-12.jpg?height=60&width=1579&top_left_y=1375&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-12.jpg?height=60&width=1579&top_left_y=1421&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-12.jpg?height=54&width=1579&top_left_y=1481&top_left_x=273)

## 61. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije

Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017

Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna 20 točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $v$ uradni rešitvi.

Rešitve za 2. letnik

B1.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-13.jpg?height=565&width=625&top_left_y=660&top_left_x=316)

Označimo z $O, I$ in $H$ zaporedoma središče očrtane krožnice, središče včrtane krožnice in višinsko točko trikotnika $A B C$. Kote trikotnika označimo kot običajno z $\alpha, \beta$ in $\gamma$. Ker je $\Varangle B A I=\frac{\alpha}{2}$ in $\Varangle I B A=\frac{\beta}{2}$, je $\Varangle A I B=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}$. Po izreku o središčnem in obodnem kotu za očrtano krožnico velja $\Varangle A O B=2 \gamma$. Trikotnik $A B C$ je ostrokoten, zato točki $O$ in $I$ ležita znotraj trikotnika $A B C$. Iz koncikličnosti točk $A, B, O$ in $I$ zato sledi $\Varangle A O B=\Varangle A I B$ oziroma $2 \gamma=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}$. Od tod izračunamo $\gamma=60^{\circ}$.

Ker je trikotnik $A B C$ ostrokoten, tudi točka $H$ leži znotraj trikotnika. Iz definicije višinske točke sledi $\Varangle B A H=90^{\circ}-\beta$ in $\Varangle H B A=90^{\circ}-\alpha$, torej je $\Varangle A H B=180^{\circ}-$ $\left(90^{\circ}-\beta\right)-\left(90^{\circ}-\alpha\right)=\alpha+\beta=180^{\circ}-\gamma$. Ker je $\gamma=60^{\circ}$, sledi $\Varangle A H B=120^{\circ}=$ $\Varangle A I B=\Varangle A O B$. Točke $A, H, I, O$ in $B$ torej res vse ležijo na isti krožnici.
Pregledno narisana in označena skica ..... 4 točke
Ugotovitev, da je $\Varangle B A I=\frac{\alpha}{2}$ in $\Varangle I B A=\frac{\beta}{2}$ ..... 1 točka
Izračun $\Varangle A I B=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}$ 1 točka
Uporaba zveze med središčnim in obodnim kotom nad istim lokom
$(\Varangle A O B=2 \gamma$ ). ..... 1 točka
Utemeljena ugotovitev, da vse tri točke ležijo v notranjosti trikotnika. ..... 3 točke
Utemeljena ugotovitev, da je $\Varangle A I B=\Varangle A O B$ ..... 2 točki
Izračun $\gamma=60^{\circ}$. ..... 1 točka
Ugotovitev, da je $\Varangle B A H=90^{\circ}-\beta$ in $\Varangle H B A=90^{\circ}-\alpha$ ..... 1 točka
Izračun $\Varangle A H B=180^{\circ}-\gamma$ ..... 2 točki
Izračun $\Varangle A H B=120^{\circ}=\Varangle A I B=\Varangle A O B$ ..... 2 točki
Utemeljen sklep, da točke $A, H, I, O$ in $B$ ležijo na isti krožnici. ..... 2 točki

B2. Enačbo preoblikuejmo v

$$
\sqrt{2 x+1}+\sqrt{x+4}=\sqrt{3-x}-\sqrt{4 x+2}
$$

jo kvadriramo

$$
(2 x+1)+2 \sqrt{2 x+1} \sqrt{x+4}+(x+4)=(3-x)-2 \sqrt{3-x} \sqrt{4 x+2}+(4 x+2)
$$

in poenostavimo, da dobimo

$$
\sqrt{2 x+1} \sqrt{x+4}=-\sqrt{3-x} \sqrt{4 x+2}
$$

Ko enačbo še enkrat kvadriramo in poenostavimo, dobimo kvadratno enačbo

$$
6 x^{2}-x-2=0
$$

Po formuli za kvadratno enačbo dobimo rešitvi $x_{1}=-\frac{1}{2}$ in $x_{2}=\frac{2}{3}$. Za obe rešitvi naredimo preizkus. Prva rešitev res ustreza enačbi, druga pa ne, saj dobimo $2 \sqrt{\frac{14}{3}}+$ $\sqrt{\frac{7}{3}}=\sqrt{\frac{7}{3}}$. Edina rešitev enačbe je torej $x=-\frac{1}{2}$.

Zapis enačbe $\sqrt{2 x+1}+\sqrt{x+4}=\sqrt{3-x}-\sqrt{4 x+2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .1$ točka

Pravilno kvadriranje enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 točke

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-14.jpg?height=60&width=1579&top_left_y=1329&top_left_x=273)

Kvadriranje in preureditev enačbe $\mathbf{v} 6 x^{2}-x-2=0$. ..................... 2 točki

Razcep kvadratne enačbe. ...........................................................................................................

Zapis obeh rešitev $x_{1}=-\frac{1}{2}$ in $x_{2}=\frac{2}{3}$. .................................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-14.jpg?height=60&width=1579&top_left_y=1535&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-14.jpg?height=66&width=1579&top_left_y=1583&top_left_x=273)

2. način. Na enak način kot v prvi rešitvi dobimo

$$
\sqrt{2 x+1} \sqrt{x+4}=-\sqrt{3-x} \sqrt{4 x+2}
$$

Vidimo, da je leva stran enačbe večja ali enaka 0 , desna pa manjša ali enaka 0 . Torej morata biti obe strani enaki 0 , kar je možno le pri $x=-\frac{1}{2}$.
Zapis enačbe $\sqrt{2 x+1}+\sqrt{x+4}=\sqrt{3-x}-\sqrt{4 x+2}$ ..... 1 točka
Pravilno kvadriranje enačbe ..... 4 točke
Zapis enačbe $\sqrt{2 x+1} \sqrt{x+4}=-\sqrt{3-x} \sqrt{4 x+2}$. ..... 5 točk
Ugotovitev, da je leva stran enačbe večja ali enaka 0 ,
desna pa manjša ali enaka 0 . ..... 2 točki
Sklep: $(2 x+1)(x+4)=0$ in $(3-x)(4 x+2)=0$ ..... 2 točki
Zapis rešitev $x_{1}=-\frac{1}{2}$ in $x_{2}=-4$. ..... 1 točka
Zapis rešitev $x_{3}=-\frac{1}{2}$ in $x_{4}=3$. ..... 1 točka
Izključitev rešitev $x=-4$ in $x=3$ ..... 2 točki
Zapis rešitve $x=-\frac{1}{2}$ ..... 2 točki

3. način. Opazimo, da je $4 x+2=2(2 x+1)$, zato lahko enačbo preoblikujemo $\mathrm{v}$

$$
(1+\sqrt{2}) \sqrt{2 x+1}=\sqrt{3-x}-\sqrt{x+4}
$$

Enačbo kvadriramo in preoblikujemo, da dobimo

$$
(3+2 \sqrt{2}) x+\sqrt{2}-2=-\sqrt{3-x} \sqrt{x+4}
$$

Še enkrat kvadriramo in preuredimo do

$$
(18+12 \sqrt{2}) x^{2}+(-3-2 \sqrt{2}) x-6-4 \sqrt{2}=0
$$

Opazimo, da enačbo lahko krajšamo s $3+2 \sqrt{2}$, da dobimo

$$
6 x^{2}-x-2=0
$$

Kot v prvi rešitvi ugotovimo, da ima ta enačba rešitvi $-\frac{1}{2}$ in $\frac{2}{3}$, od katerih pa le prva reši začetno enačbo.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-15.jpg?height=62&width=1582&top_left_y=1134&top_left_x=271)

Zapis enačbe $(1+\sqrt{2}) \sqrt{2 x+1}=\sqrt{3-x}-\sqrt{x+4} . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$.

Pravilno kvadriranje enačbe. ...........................................................................

Zapis enačbe $(3+2 \sqrt{2}) x+\sqrt{2}-2=-\sqrt{3-x} \sqrt{x+4} . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . .4$ točke

Preureditev enačbe $\mathbf{v}(18+12 \sqrt{2}) x^{2}+(-3-2 \sqrt{2}) x-6-4 \sqrt{2}=0$. . . . . . 1 točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-15.jpg?height=60&width=1579&top_left_y=1386&top_left_x=273)

Razcep kvadratne enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 točki

Zapis rešitev $x_{1}=-\frac{1}{2}$ in $x_{2}=\frac{2}{3}$. ........................................... 2 točki

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-15.jpg?height=69&width=1579&top_left_y=1533&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-15.jpg?height=77&width=1579&top_left_y=1578&top_left_x=273)

4. način. Enačbo preoblikeujemo v

$$
\sqrt{2 x+1}+\sqrt{4 x+2}=\sqrt{3-x}-\sqrt{x+4}
$$

Po kvadriranju dobimo

$$
6 x+3+2 \sqrt{2 x+1} \sqrt{4 x+2}=7-2 \sqrt{3-x} \sqrt{x+4}
$$

kar spet nekoliko preoblikujemo v

$$
\sqrt{2 x+1} \sqrt{4 x+2}+\sqrt{3-x} \sqrt{x+4}=2-3 x
$$

Enačbo zopet kvadriramo in po preoblikovanju dobimo

$$
2 \sqrt{2 x+1} \sqrt{4 x+2} \sqrt{3-x} \sqrt{x+4}=2 x^{2}-19 x-10
$$

Še zadnjič kvadriramo in preoblikujemo do

$$
36 x^{4}-12 x^{3}-23 x^{2}+4 x+4=0
$$

Levo stran lahko razstavimo kot $(2 x+1)^{2}(3 x-2)^{2}$, torej ima ta enačba rešitvi $x=-\frac{1}{2}$ in $x=\frac{2}{3}$. Kot v prvi rešitvi preverimo, da le prva od teh dveh vrednosti reši začetno enačbo.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-16.jpg?height=69&width=1579&top_left_y=431&top_left_x=273)

Pravilno kvadriranje enačbe. .............................................................................................

Zapis enačbe $\sqrt{2 x+1} \sqrt{4 x+2}+\sqrt{3-x} \sqrt{x+4}=2-3 x$. .................... 5 točk

Preureditev enačbe $\mathbf{v} 2 \sqrt{2 x+1} \sqrt{4 x+2} \sqrt{3-x} \sqrt{x+4}=2 x^{2}-19 x-10$. . . $\mathbf{1}$ točka

Zapis enačbe $36 x^{4}-12 x^{3}-23 x^{2}+4 x+4=0$. .....................................................

Razcep enačbe. ..........................................................................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-16.jpg?height=63&width=1579&top_left_y=737&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-16.jpg?height=60&width=1576&top_left_y=787&top_left_x=274)

Zapis rešitve $x=-\frac{1}{2}$....................................................... 2 točki

5. način. Enačbo preoblikujemo v

$$
\sqrt{x+4}+\sqrt{4 x+2}=\sqrt{3-x}-\sqrt{2 x+1}
$$

ter jo nato kvadriramo. Dobimo

$$
5 x+6+2 \sqrt{x+4} \sqrt{4 x+2}=x+4-2 \sqrt{3-x} \sqrt{2 x+1}
$$

kar preoblikujemo v

$$
\sqrt{x+4} \sqrt{4 x+2}+\sqrt{3-x} \sqrt{2 x+1}=-1-2 x
$$

Enačbo še enkrat kvadriramo in po preoblikovanju dobimo

$$
2 \sqrt{x+4} \sqrt{4 x+2} \sqrt{3-x} \sqrt{2 x+1}=2 x^{2}-19 x-10
$$

Od tu dalje postopamo kot v četrti rešitvi, da dobimo pridemo do edine rešitve enačbe, ki je $x=-\frac{1}{2}$.

Zapis enačbe $\sqrt{x+4}+\sqrt{4 x+2}=\sqrt{3-x}-\sqrt{2 x+1} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka

Pravilno kvadriranje enačbe. .....................................................................................

Zapis enačbe $\sqrt{x+4} \sqrt{4 x+2}+\sqrt{3-x} \sqrt{2 x+1}=-1-2 x$. ................. 5 točk

Preureditev enačbe $\mathbf{v} 2 \sqrt{x+4} \sqrt{4 x+2} \sqrt{3-x} \sqrt{2 x+1}=2 x^{2}-19 x-10$. . . 1 točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-16.jpg?height=60&width=1579&top_left_y=2077&top_left_x=273)

Razcep enačbe. ............................................................................................

Zapis rešitev $x_{1}=-\frac{1}{2}$ in $x_{2}=\frac{2}{3}$. ..........................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-16.jpg?height=60&width=1579&top_left_y=2226&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-16.jpg?height=62&width=1573&top_left_y=2279&top_left_x=276)

## 61. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije

Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017

Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna 20 točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $v$ uradni rešitvi.

## Rešitve za 3. letnik

B1.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-17.jpg?height=574&width=606&top_left_y=621&top_left_x=271)

Po Talesovem izreku o kotu v polkrogu je trikotnik $A B N$ pravokoten s pravim kotom pri $N$. Po višinskem izreku v pravokotnem trikotniku zato velja $z^{2}=x y$. Dan izraz zapišemo kot vsoto dveh ulomkov

$$
\frac{\log _{y} z+\log _{x} z}{\log _{x} z \log _{y} z}=\frac{1}{\log _{x} z}+\frac{1}{\log _{y} z}
$$

in nato uporabimo formulo za zamenjavo osnove logaritma $\log _{a} b=\frac{\log b}{\log a}$, da dobimo

$$
\frac{1}{\log _{x} z}+\frac{1}{\log _{y} z}=\frac{1}{\frac{\log z}{\log x}}+\frac{1}{\frac{\log z}{\log y}}=\frac{\log x}{\log z}+\frac{\log y}{\log z}=\log _{z} x+\log _{z} y
$$

Upoštevamo formulo za vsoto logaritmov in zvezo $z^{2}=x y$, da dobimo

$$
\log _{z} x+\log _{z} y=\log _{z}(x \cdot y)=\log _{z} z^{2}=2
$$

Torej je

$$
\frac{\log _{y} z+\log _{x} z}{\log _{x} z \log _{y} z}=2
$$

Ugotovitev, da je trikotnik $A B N$ pravokoten s pravim kotom pri $N$ ..... 2 točki
Zapis ali uporaba zveze $z^{2}=x y$. ..... 4 točke
Zapis izraza $\frac{\log _{y} z+\log _{x} z}{\log _{x} z \log _{y} z}$ kot $\frac{1}{\log _{x} z}+\frac{1}{\log _{y} z}$ ..... 3 točke
Izračun $\frac{1}{\log _{x} z}+\frac{1}{\log _{y} z}=\log _{z} x+\log _{z} y$ ..... 5 točk
Zapis ali uporaba zveze $\log _{z} x+\log _{z} y=\log _{z}(x \cdot y)$ ..... 3 točke
Izračun $\log _{z}(x \cdot y)=\log _{z} z^{2}$ ..... 2 točki
Izračun $\log _{z} z^{2}=2$ ..... 1 točka

B2. (a) Adicijski izrek za kosinus nam da $\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta$. Dani enačbi kvadriramo, da dobimo

$$
\begin{array}{r}
\sin ^{2} \alpha+2 \sin \alpha \sin \beta+\sin ^{2} \beta=1 \\
\cos ^{2} \alpha+2 \cos \alpha \cos \beta+\cos ^{2} \beta=3
\end{array}
$$

Dobljeni enačbi sedaj seštejemo in upoštevamo zvezo $\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$, da dobimo

$$
1+2(\sin \alpha \sin \beta+\cos \alpha \cos \beta)+1=4
$$

od tod sledi $\sin \alpha \sin \beta+\cos \alpha \cos \beta=1$ oziroma $\cos (\alpha-\beta)=1$.

(b) Ker je $\cos (\alpha-\beta)=1$, sledi $\alpha-\beta=2 k \pi$ oziroma $\alpha=\beta+2 k \pi, k \in \mathbb{Z}$. Torej je $\cos \alpha=\cos (\beta+2 k \pi)=\cos \beta$ in podobno $\sin \alpha=\sin \beta$. Ko to upotevamo $\mathrm{v}$ obeh danih enačbah, iz njiju izrazimo $\sin \beta=\frac{1}{2}$ in $\cos \beta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Od tod sklepamo, da je $\beta=\frac{5 \pi}{6}+2 n \pi, n \in \mathbb{Z}$. Torej je $\alpha=\frac{5 \pi}{6}+2 n \pi+2 k \pi=\frac{5 \pi}{6}+2(n+k) \pi$. Če označimo $k+n=m$, lahko zapišemo $\alpha=\frac{5 \pi}{6}+2 m \pi, m \in \mathbb{Z}$. Danima enačbama torej ustrezajo vsi pari $\alpha=\frac{5 \pi}{6}+2 m \pi, \beta=\frac{5 \pi}{6}+2 n \pi$, kjer sta $m$ in $n$ poljubni celi števili.

(a) Zapis ali uporaba adicijskega izreka. 3 točke Kvadriranje enačb. 2 točki
Zapis ali uporaba zveze $\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$ ..... 1 točka
Zapis enačbe $1+2(\sin \alpha \sin \beta+\cos \alpha \cos \beta)+1=4$ ..... 2 točki
Preoblikovanje enačbe $\mathbf{v} \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=1$ ..... 2 točki
(b) Zapis rešitve $\alpha-\beta=2 k \pi$. ..... 1 točka
Ugotovitev, da je $\cos \alpha=\cos \beta$ in $\sin \alpha=\sin \beta$. ..... 2 točki
Ugotovitev, da je $\sin \beta=\frac{1}{2}$ in $\cos \beta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.... ..... 2 točki
Izračun $\beta=\frac{5 \pi}{6}+2 n \pi, n \in \mathbb{Z}$ ..... 1 točka
Izračun $\alpha=\frac{5 \pi}{6}+2 n \pi+2 k \pi=\frac{5 \pi}{6}+2(n+k) \pi$... ..... 2 točki
Zapis rešitev $\alpha=\frac{5 \pi}{6}+2 m \pi, \beta=\frac{5 \pi}{6}+2 n \pi$, kjer $m, n \in \mathbb{Z}$ ..... 2 točki
(Če tekmovalec izpusti $m, n \in \mathbb{Z}$ se mu 1 točka odšteje)

## 61. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije

Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017

Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna $\mathbf{2 0}$ točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $v$ uradni rešitvi.

## Rešitve za 4. letnik

B1. Moč algebre dogodkov pri metu dveh kock je $6 \cdot 6=36$. Hkrati lahko na obeh kockah pade isto število pik na 6 načinov. Verjetnost, da na obeh kockah pade isto število pik, če kocki vržemo enkrat, je torej enaka $p=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

Denimo, da kocki vržemo $n$-krat. Naj bo $A$ dogodek, da vsaj enkrat na obeh kockah pade enako število pik. Verjetnost nasprotnega dogodka $\bar{A}$, da nikoli ne pade enako število pik, je enaka $P(\bar{A})=(1-p)^{n}=\left(\frac{5}{6}\right)^{n}$. Verjetnost dogodka $A$ je zato enaka $P(A)=1-P(\bar{A})=1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}$. Želimo, da je ta verjetnost večja od $\frac{1}{2}$, zato mora veljati

$$
1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}>\frac{1}{2}
$$

Vrednost izraza $1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}$ je pri $n=1,2,3,4, \ldots$ zaoredoma enaka $\frac{1}{6}, \frac{11}{36}, \frac{91}{216}, \frac{671}{1296}, \ldots$ Prvič je vrednost večja od $\frac{1}{2}$ pri $n=4$, zato moramo kocki vreči vsaj 4 -krat.

Ugotovitev, da je moč algebre dogodkov 36 ...................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-19.jpg?height=66&width=1579&top_left_y=1395&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-19.jpg?height=65&width=1579&top_left_y=1458&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-19.jpg?height=63&width=1579&top_left_y=1508&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-19.jpg?height=57&width=1579&top_left_y=1559&top_left_x=273)

Izračunana vrednost izraza $1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}$ za $n=1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots . .$.

Izračunana vrednost izraza $1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}$ za $n=2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-19.jpg?height=63&width=1579&top_left_y=1716&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-19.jpg?height=63&width=1576&top_left_y=1773&top_left_x=274)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-19.jpg?height=62&width=1576&top_left_y=1825&top_left_x=277)

B2. Zaporedje $\log _{2}\left(\log _{2}\left(a_{n}\right)\right)$ je aritmetično z začetnima členoma $\log _{2}\left(\log _{2} 4\right)=\log _{2} 2=1$ in $\log _{2}\left(\log _{2} 16\right)=\log _{2} 4=2$, torej je $\log _{2}\left(\log _{2} a_{n}\right)=n$. Od tod sledi $\log _{2} a_{n}=2^{n}$ in zato $a_{n}=2^{2^{n}}$. S pomočjo formule za vsoto geometrijskega zaporedja izračunamo

$$
4 a_{1} a_{2} \ldots a_{n}=2^{2} 2^{2^{1}} 2^{2^{2}} 2^{2^{3}} \ldots 2^{2^{n}}=2^{1+1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{n}}=2^{1+\left(2^{n+1}-1\right)}=2^{2^{n+1}}
$$

od koder sledi $\log _{2}\left(\log _{2}\left(4 a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)\right)=\log _{2}\left(\log _{2}\left(2^{2^{n+1}}\right)\right)=\log _{2}\left(2^{n+1}\right)=n+1$.

Izračun $\log _{2}\left(\log _{2} 4\right)=\log _{2} 2=1$ in $\log _{2}\left(\log _{2} 16\right)=\log _{2} 4=2 \ldots \ldots \ldots$. . . . . 2 točki

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-20.jpg?height=57&width=1579&top_left_y=677&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-20.jpg?height=57&width=1579&top_left_y=728&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-20.jpg?height=57&width=1579&top_left_y=777&top_left_x=273)

Preoblikovanje produkta $4 a_{1} a_{2} \ldots a_{n} \mathbf{V} 2^{1+1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{n}} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .4$ točke

Zapis ali uporaba formule za vsoto $n$ členov geometrijskega zaporedja . 1 točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-20.jpg?height=60&width=1579&top_left_y=924&top_left_x=273)

Zapisana ali uporabljena zveza $\log _{2}\left(2^{2^{n+1}}\right)=2^{n+1} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots$ točki

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-20.jpg?height=63&width=1579&top_left_y=1028&top_left_x=273)

2. način. Kot v prvi rešitvi izpeljemo $\log _{2}\left(\log _{2} a_{n}\right)=n$ oziroma $\log _{2} a_{n}=2^{n}$. Po formuli za logaritem produkta je

$$
\begin{gathered}
\log _{2}\left(\log _{2}\left(4 a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)\right)=\log _{2}\left(\log _{2} 4+\log _{2} a_{1}+\log _{2} a_{2}+\ldots+\log _{2} a_{n}\right)= \\
=\log _{2}\left(2+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{n}\right)
\end{gathered}
$$

Ker je vsota geometrijskega zaporedja $1+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{n}$ enaka $2^{n+1}-1$, sledi $\log _{2}\left(\log _{2}\left(4 a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)\right)=\log _{2}\left(2^{n+1}\right)=n+1$.

Izračun $\log _{2}\left(\log _{2} 4\right)=\log _{2} 2=1$ in $\log _{2}\left(\log _{2} 16\right)=\log _{2} 4=2 \ldots \ldots$. . . . . . . 2 točki

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-20.jpg?height=57&width=1579&top_left_y=1713&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-20.jpg?height=57&width=1579&top_left_y=1762&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-20.jpg?height=60&width=1579&top_left_y=1809&top_left_x=273)

Zapis $\log _{2}\left(\log _{2}\left(4 a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)\right)=\log _{2}\left(\log _{2} 4+\log _{2} a_{1}+\log _{2} a_{2}+\ldots+\log _{2} a_{n}\right) \ldots 3$ točke Zapis $\log _{2}\left(\log _{2} 4+\log _{2} a_{1}+\ldots+\log _{2} a_{n}\right)=\log _{2}\left(2+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{n}\right) \ldots \ldots .2$ točki

Zapis ali uporaba formule za vsoto $n$ členov geometrijskega zaporedja . 1 točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-20.jpg?height=57&width=1579&top_left_y=2010&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b375d7a0e2f6834f525g-20.jpg?height=63&width=1579&top_left_y=2059&top_left_x=273)

Izračun $\log _{2}\left(2^{n+1}\right)=n+1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$