# Društvo matematikov, fizikov 

in astronomov Slovenije

Jadranska ulica 19

1000 Ljubljana

## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.

## Naloge za 1. letnik

Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-02.jpg?height=166&width=802&top_left_y=556&top_left_x=641)

A1. V tovarni so posodobili opremo in produktivnost je zrasla za $25 \%$. Ko so odpustili nekaj delavcev, se je produktivnost zmanjšala za $20 \%$. Za koliko $\%$ se je po obeh spremembah spremenila produktivnost $\mathrm{v}$ tej tovarni?
(A) Zmanjšala za $5 \%$
(B) Zmanjšala za 2,5\%
(C) Zmanjšala za 2 \%
(D) Se ni spremenila
(E) Povečala za $5 \%$

A2. Kolikšna je vrednost zmnožka $x \cdot y$, če je $3^{x}=a$ in $a^{y}=81$ ?
(A) 4
(B) 3
(C) 12
(D) 0
(E) 1

A3. Na sliki je narisano, kako je tekel zajec, ko ga je v megli lovil volk. Najprej je tekel proti vzhodu, potem se je obrnil desno, čez nekaj časa je zavil levo in kmalu še enkrat levo. Po zadnjem zavoju je zajec zopet tekel proti vzhodu. Koliko je velik kot pri drugem zavoju?
(A) $98^{\circ}$
(B) $96^{\circ}$
(C) $88^{\circ}$
(D) $90^{\circ}$
(E) $92^{\circ}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-02.jpg?height=317&width=400&top_left_y=1338&top_left_x=1505)

B1. Naj bosta $a$ in $b$ pozitivni realni števili, katerih zmnožek je 1, vsota njunih kvadratov pa je 4. Izračunaj vrednost izraza $a^{-3}+b^{-3}$. Rezultat naj bo natančen.

B2. Pravokotnik smo s tremi daljicami razdelili na štiri dele, tako kot je prikazano na sliki. Nato smo nastale štiri like na novo zložili v kvadrat. Koliko je obseg nastalega kvadrata? (6 točk)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-04.jpg?height=223&width=385&top_left_y=191&top_left_x=1521)

B3. Ko je tretješolec Benjamin računal vsoto $1+2+3+\ldots+2012$, je izpustil nekaj členov in dobil napačno vsoto, ki je bila deljiva z 2011. Anika je pri računanju vsote $A=1+2+3+\ldots+2013$ izpustila povsem enake člene kot Benjamin in dobila napačno vsoto $N$, ki je bila deljiva z 2014. Kolikšno je razmerje vsot $\frac{N}{A}$ ?

## Naloge za 2. letnik

Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-06.jpg?height=164&width=802&top_left_y=547&top_left_x=640)

A1. Če so na blagajni kina odprte tri blagajne, morajo obiskovalci za nakup vstopnic čakati 15 min. Za koliko minut se skrajša čakalni čas, če odprejo še dve blagajni?
(A) 3
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 10

A2. Naj bo $x=2^{2013}$. Koliko je vrednost izraza

$$
x-\sqrt{x^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} ?
$$

enaka
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) $2^{2013}$
(E) 2

A3. V trikotniku $A B C$ se simetrali kota $\Varangle B A C$ in kota $\Varangle C B A$ sekata v točki $T$. Označimo z $\gamma$ velikost kota $\Varangle A C B$. Koliko je velik kot $\Varangle A T B$ ?
(A) $2 \gamma$
(B) $180^{\circ}-\gamma$
(C) $360^{\circ}-4 \gamma$
(D) $60^{\circ}+\gamma$
(E) $90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-06.jpg?height=211&width=437&top_left_y=1431&top_left_x=1466)

B1. Poišči vsa naravna števila $n$ oblike $n=\overline{23 a b 16 c}$, ki imajo same različne števke in so deljiva z 9 in 11. Tu so $a, b$ in $c$ števke.

B2. Naj bo $O$ izhodišče koordinatnega sistema. Točko $A\left(\frac{5}{2},-\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)$ zavrtimo okoli $O$ za $2013 \pi \mathrm{v}$ točko $B$. Točko $B$ prezrcalimo čez simetralo lihih kvadrantov v točko $C$. Izračunaj velikost kota $\Varangle A O C$.

B3. Dokaži, da za poljubni realni števili $a$ in $b$ velja neenakost

$$
\left(a+a b-b^{2}\right)^{2}+a b^{2}(a+2) \geq 0
$$

Kdaj velja enakost?

## Naloge za 3. letnik

Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-10.jpg?height=160&width=802&top_left_y=551&top_left_x=640)

A1. Za funkcijo $f$ je $3 f(x)+f(-x)=4 \sin x \cos x$ za vsako realno število $x$. Poišči pravilni zapis funkcije $f$.
(A) $\sin x$
(B) $\cos x$
(C) $\cos x \sin x$
(D) $\sin 2 x$
(E) $\cos 2 x$

A2. V kvadrat s stranico 2 narišemo dva polkroga, katerih premera sta stranici kvadrata, kot kaže slika. Kolikšna je ploščina neosenčenega dela kvadrata?
(A) $\frac{\pi}{2}$
(B) 2
(C) $\frac{3}{2}+\frac{\pi}{4}$
(D) $\frac{3 \pi}{4}-\frac{1}{2}$
(E) $\frac{3 \pi}{4}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-10.jpg?height=226&width=217&top_left_y=1018&top_left_x=1685)

A3. V čredi so jeleni in košute. Košute predstavljajo $55 \%$ črede, njihova masa pa predstavlja $45 \%$ mase celotne črede. Kolikšno je razmerje med povprečno maso jelena in povprečno maso košute?
(A) $\frac{81}{40}$
(B) $\frac{3}{2}$
(C) $\frac{121}{81}$
(D) $\frac{11}{9}$
(E) $\frac{6}{5}$

B1. Poišči vse celoštevilske rešitve enačbe $m^{4}+2 n^{2}=9 m n$.

B2. Poišči vsa realna števila $x$, ki zadoščajo enačbi

$$
\log _{\sin x}\left(\frac{1}{2} \sin 2 x\right)=2
$$

B3. Naj bo $A B C D E F$ pravilni šestkotnik, $P$ razpolovišče stranice $A B$ in $R$ razpolovišče stranice $E F$, kot je prikazano na sliki. Kolikšno je razmerje med ploščino štirikotnika $A P R F$ in ploščino štirikotnika $B C D P$ ? (6 točk)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-13.jpg?height=334&width=377&top_left_y=181&top_left_x=1542)

## Naloge za 4. letnik

Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-14.jpg?height=166&width=802&top_left_y=534&top_left_x=640)

A1. V posodi imamo 10 kroglic, treh različnih barv: modre, rumene in zelene. V vrsto jih lahko postavimo na 360 različnih načinov. Največ koliko modrih kroglic je lahko v posodi?
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8

A2. Za funkcijo $f$ vemo, da je $f(x)=x^{2}+1$. Koliko je $\frac{f(f(x)+x)}{f(x)}$ ?
(A) $x^{2}+x+1$
(B) $x^{2}+2 x+2$
(C) $x^{2}+1$
(D) $x^{2}+2 x+1$
(E) $x^{2}+x$

A3. Poltraka iz oglišča $A$ enotskega kvadrata $A B C D$ razdelita pravi kot na tri enako velike kote. Eden izmed poltrakov seka stranico $B C$ v točki $T$. Koliko je dolga daljica $B T$ ?
(A) $\frac{1}{2}$
(B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
(C) $\frac{1}{3}$
(D) $\frac{\sqrt{3}}{3}$
(E) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B1. Poišči vse četverice neničelnih števk $a, b$, $c$ in $d$, za katere velja $\overline{a b 20}-\overline{13 c d}=\overline{c d a b}$.

B2. Dokaži, da je vsak tangenten štirikotnik, katerega diagonali se sekata pod pravim kotom, deltoid.

B3. Žan je zapisal zaporedje štirih pozitivnih realnih števil. Prvi člen zaporedja je bilo število 3, zadnji člen pa število 9. Prvi trije členi so oblikovali geometrijsko zaporedje, zadni trije členi pa aritmetično zaporedje. Določi vse štiri člene Žanovega zaporedja.

## 57. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije

## Regijsko tekmovanje, 4. april 2013

## Rešitve za 1. letnik

V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končnemu dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetne 3 točke.

| 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- |
| $\mathrm{D}$ | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{E}$ |

Utemeljitve:

A1. Če so na začetku v tovarni izdelali $x$ izdelkov, potem so po posodobitvi opreme izdelali $\frac{125}{100} \cdot x$ izdelkov, po odpuščanju pa $\frac{80}{100} \cdot \frac{125}{100} \cdot x=x$ izdelkov. Število končnih izdelkov se torej ni spremenilo. Pravilen odgovor je $D$.

A2. Ker je $81=a^{y}=\left(3^{x}\right)^{y}=3^{x y}$, je $x y=4$. Pravilen odgovor je torej $A$.

A3. Prvi in zadnji del poti zajca sta si vzporedni. Če dorišemo vzporednico še skozi drugi zavoj, je zaradi vzporednosti $\alpha=44^{\circ}$ in $\beta=180^{\circ}-132^{\circ}=48^{\circ}$. Kot pri drugem zavoju je torej enak $\alpha+\beta=92^{\circ}$. Pravilen odgovor je $E$.

B1. Ker je $a^{2}+b^{2}=4$ in $a b=1$, je $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b=4+2=6$ oziroma $a+b=\sqrt{6}$, saj sta $a$ in $b$ pozitivni števili. Sledi

$$
\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}=\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3} b^{3}}=\frac{(a+b)^{3}-3 a b(a+b)}{a^{3} b^{3}}=\frac{6 \sqrt{6}-3 \cdot 1 \cdot \sqrt{6}}{1}=3 \sqrt{6}
$$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-18.jpg?height=57&width=1576&top_left_y=1713&top_left_x=274)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-18.jpg?height=60&width=1573&top_left_y=1763&top_left_x=276)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-18.jpg?height=57&width=1576&top_left_y=1816&top_left_x=274)

Vstavljeni podatki in izračunan končni rezultat . .................................................

B2. Privzemimo oznake s skice. Po Pitagorovem izreku je $y=$ $\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{144}=12$. Iz podobnosti obeh levih pravokotnih trikotnikov sledi $\frac{x}{5}=\frac{y}{15}$ oziroma $x=\frac{y}{3}=4$. Pravokotnik ima torej stranici dolgi 9 in 16 , torej je njegova ploščina 144. Torej bo tudi ploščina kvadrata enaka 144. Zato bo stranica kvadrata

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-18.jpg?height=251&width=380&top_left_y=2005&top_left_x=1472)
dolga 12, obseg kvadrata pa bo 48 .

Izračunan $y=12$ 1 točka

Izračunan $x=4$ 2 točki

Ugotovitev, da sta stranici pravokotnika dolgi 9 in 16 1 točka Izračunana ploščina kvadrata 1 točka Izračunan obseg kvadrata 1 točka

B3. Označimo vsoto členov, ki jih Benjamin izpustil z $x$. Ker je $1+2+3+\ldots+2012=$ $\frac{2012 \cdot 2013}{2}=1006 \cdot 2013$, je Benjamin za rezultat dobil $1006 \cdot 2013-x$. Torej obstaja nenegativno celo število $m$, da je $1006 \cdot 2013-x=2011 m$. Ker je $A=1+2+3+\ldots+$ $2013=\frac{2013 \cdot 2014}{2}=2013 \cdot 1007$, je Anika za rezultat dobila $N=2013 \cdot 1007-x$. Torej obstaja nenegativno celo število $n$, da je $2013 \cdot 1007-x=2014 n$. Če iz obeh enakosti izrazimo $x$ in rezultata izenačimo, dobimo $1006 \cdot 2013-2011 m=2013 \cdot 1007-2014 n$ oziroma $2014 n-2011 m-2013=0$. Slednjo enakost lahko preuredimo v $2011(n-m)=$ $2013-3 n$. Ker je $2014 n=2013 \cdot 1007-x \leq 2013 \cdot 1007$, je $n \leq \frac{2013 \cdot 1007}{2014}<1007$. Torej je $-1008<2013-3 n \leq 2013$. Hkrati je $2013-3 n$ deljivo s 3 in iz enakosti sledi, da je deljivo tudi z 2011. Edina možnost je torej $2013-3 n=0$ oziroma $n=671$. Od tod izračunamo $\frac{N}{A}=\frac{2014 n}{2013 \cdot 1007}=\frac{2014 \cdot 671}{2013 \cdot 1007}=\frac{2}{3}$.

Zapis Benjaminovega rezultata kot večkratnika števila 2011 2 točki

Zapis Anikinega rezultata kot večkratnika števila 2014 1 točka

Zapis enačbe $2014 n-2011 m-2013=0$ 1 točka Ugotovitev, da je $n=671$ 1 točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-19.jpg?height=59&width=1576&top_left_y=1047&top_left_x=277)
(Če tekmovalec razmerje le zapiše, se mu priznata 2 točki.)

## Rešitve za 2. letnik

V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končnemu dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetne 3 točke.

| 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- |
| C | B | E |

Utemeljitve:

A1. Če so odprte 3 blagajne je čakalni čas 15 min. Če je odprta 1 blagajna je čakalni čas 3 -krat daljši, torej 45 min. Če je odprtih 5 blagajn, je čakalni čas $\frac{45}{5}=9$ min. Če odprejo še dve blagajni se torej čakalni čas skrajša za $15-9=6$ min. Pravilen odgovor je $C$.

A2. Ko izraz damo na skupni imenovalec in preuredimo, dobimo

$$
\frac{\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)+1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\frac{\left(x^{2}-\left(x^{2}+1\right)\right)+1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=0 .
$$

Pravilen odgovor je $B$.

A3. Velja $\Varangle A T B=180^{\circ}-\Varangle B A T-\Varangle T B A=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\alpha+\beta)$. Ker je $\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$, je $\alpha+\beta=180^{\circ}-\gamma$. Torej je $\Varangle A T B=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\gamma\right)=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}$. Pravilen odgovor je $E$.

B1. Število $n$ je deljivo z 99. Zapišemo lahko

$$
\begin{aligned}
n & =\overline{23 a b 1} \cdot 100+60+c=\overline{23 a b 1} \cdot 99+\overline{23 a b 1}+60+c= \\
& =\overline{23 a b 1} \cdot 99+\overline{23 a} \cdot 100+10 b+1+60+c= \\
& =(\overline{23 a b 1} \cdot 99+\overline{23 a}) \cdot 99+\overline{23 a}+10 b+c+61= \\
& =(\overline{23 a b 1} \cdot 99+\overline{23 a}) \cdot 99+230+a+10 b+c+61= \\
& =(\overline{23 a b 1} \cdot 99+\overline{23 a}+2) \cdot 99+a+10 b+c+93
\end{aligned}
$$

torej 99 deli $a+10 b+c+93$. Ker so $a, b$ in $c$ različne števke, ki niso enake $1,2,3$ ali 6 , je $a+10 b+c \geq 4+0+5=9$ in $a+10 b+c \leq 7+90+8=105$, torejje $102 \leq a+10 b+c+93 \leq 198$. Ker pa je $a+10 b+c+93$ deljivo z 99, mora biti $a+10 b+c+93=198$, od koder sledi $b=9$ in $\{a, c\}=\{7,8\}$. Imamo torej dve rešitvi, $n=2379168$ in $n=2389167$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-20.jpg?height=68&width=1585&top_left_y=2139&top_left_x=270)

Zapis števila $n$ kot $k \cdot 99+a+10 b+c+93$................................ 2 točki Ocena $102 \leq a+10 b+c+93 \leq 198$ ali uporaba ocene pri zapisu rešitev .. 2 točki Zapis obeh rešitev . .................................................................................. (Če tekmovalec le zapiše obe rešitvi, dobi 1 točko.)

2. način. $\mathrm{Z}$ uporabo kriterija za deljivost $\mathrm{z} 9$ in 11, dobimo, da mora biti $2+3+a+b+$ $1+6+c=a+b+c+12$ deljivo z 9 in $2-3+a-b+1-6+c=a-b+c-6$ deljivo z 11 . Ker so $a, b$ in $c$ različne števke, ki niso enake $1,2,3$ ali 6 , je $a+b+c+12 \leq 9+8+7+12=36$ in
$a+b+c+12 \geq 0+4+5+12=21$, torej je $a+b+c+12$ lahko enako le 27 ali 36. Podobno je $a-b+c-6 \leq 9-0+8-6=11$ in $a-b+c-6 \geq 0-9+4-6=-11$, torej je $a-b+c-6$ lahko enako le $-11,0$ ali 11. Od tod sledi, da je $(a+b+c+12)-(a-b+c-6)=2 b+18$ lahko enako le $16,25,27,36,38,47$. Ker pa je $2 b+18$ sodo število med 18 in 36 , mora biti enako 36 , hkrati pa od tod sledi $a+b+c+12=36$ in $a-b+c-6=0$. Torej je $b=9$ in $a+c=15$. Ker sta $a$ in $c$ različni od $b$, mora biti $\{a, c\}=\{7,8\}$. Imamo torej dve rešitvi, $n=2379168$ in $n=2389167$.

Up. kriterija za deljivost $\mathbf{z} \mathbf{9}$ in ugotovitev, da je $a+b+c+12$ deljivo $\mathbf{z} \mathbf{9}$. $\mathbf{1}$ točka Up. kriterija za deljivost $\mathbf{z} 11$ in ugotovitev, da je $a-b+c-6$ je deljivo z $11 \ldots 1$ točka

Ugotovitev, da je $a+b+c+12$ lahko le 27 ali $36 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-21.jpg?height=48&width=1579&top_left_y=844&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-21.jpg?height=51&width=1579&top_left_y=891&top_left_x=273)

Zapis obeh rešitev ............................................................................................

(Če tekmovalec le zapiše obe rešitvi, dobi 1 točko.)

B2. Koordinati točke $B$ sta $\left(-\frac{5}{2}, \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)$, koordinati točke $C$ pa $\left(\frac{5 \sqrt{3}}{2},-\frac{5}{2}\right)$. Vse tri točke ležijo na krožnici s središčem v $O$ in polmerom 5 . Iz vrednosti kotnih funkcij $\sin \left(-30^{\circ}\right)=-\frac{1}{2}$ in $\cos \left(-30^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ razberemo, da $O C$ oklepa s pozitivnim poltrakom abscisne osi kot $30^{\circ}$. Podobno iz $\sin \left(-60^{\circ}\right)=-\frac{1}{2}$ in $\cos \left(-60^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ sledi, da $O A$ oklepa s pozitivnim poltrakom abscisne osi kot $60^{\circ}$. Od tod izračunamo $\Varangle A O C=30^{\circ}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-21.jpg?height=557&width=557&top_left_y=1132&top_left_x=1298)

Zapis koordinat točke $B$

1 točka

Zapis koordinat točke $C$

1 točka

Ugotovitev, da ležijo točke $A, B$ in $C$ na krožnici s središčem $O$ in polmerom 5 1 točka

Utemeljena ugotovitev, da oklepa poltrak $O C$ s pozitivnim poltrakom abscisne osi kot $30^{\circ}$ 1 točka Utemeljena ugotovitev, da oklepa poltrak $O A$ s pozitivnim poltrakom abscisne osi kot $60^{\circ}$

2. način. Po formuli za razdaljo med dvema točkama izračunamo $|O A|=5,|O C|=5$ in $|A C|=\sqrt{25(2-\sqrt{3})}$. Od tod po kosinusnem izreku sledi

$$
\cos (\Varangle A O C)=\frac{|O A|^{2}+|O C|^{2}-|A C|^{2}}{2|O A||O C|}=\frac{25+25-25(2-\sqrt{3})}{100}=\frac{\sqrt{3}}{2},
$$

torej je $\Varangle A O C=30^{\circ}$.
Izračunani razdalji $|O A|$ in $|O C|$ ..... 1 točka
Izračunana razdalja $|A C|$ ..... 1 točka
Zapisan kosinusni izrek ..... 1 točka
Izračunan $\cos (\Varangle A O C)$ ..... 2 točki
Izračunan kot $\Varangle A O C$ ..... 1 točka

B3. Levo stran neenakosti zmnožimo, da dobimo $a^{2}+a^{2} b^{2}+b^{4}+2 a^{2} b-2 a b^{3}+a^{2} b^{2}$. Ta izraz lahko preoblikujemo $\mathrm{v} a^{2}(1+b)^{2}+b^{2}(b-a)^{2}$, od koder željena neenakost očitno sledi. Hkrati vidimo, da enakost velja natanko tedaj, ko je $a=b=0$ ali $a=b=-1$.

Zmnožena leva stran neenakosti 1 točka

Zapis leve strani neenakosti $\mathbf{v} a^{2}(1+b)^{2}+b^{2}(b-a)^{2}$ 2 točki

Sklep, da neenakost velja 1 točka

Sklep, da enakost velja natanko tedaj, ko je $a=b=0$ ali $a=b=-1$ 2 točki (Če tekmovalec le zapiše obe možnosti veljavne enakosti, dobi 1 točko.)

## Rešitve za 3. letnik

V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končnemu dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetne 3 točke.

| 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- |
| $\mathrm{D}$ | $\mathrm{B}$ | $\mathrm{C}$ |

Utemeljitve:

A1. Iz enakosti izrazimo $f(x)=\frac{4}{3} \sin x \cos x-\frac{1}{3} f(-x)$. Če v enakost vstavimo $-x$ namesto $x$ in upoštevamo, da je sinus liha funkcija, cosinus pa soda funkcija, dobimo $f(-x)=$ $\frac{4}{3} \sin (-x) \cos (-x)-\frac{1}{3} f(x)=-\frac{4}{3} \sin x \cos x-\frac{1}{3} f(x)$. Ko slednje vstavimo v prvo enakost, dobimo $f(x)=\frac{4}{3} \sin x \cos x-\frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3} \sin x \cos x-\frac{1}{3} f(x)\right)=\left(\frac{4}{3}+\frac{4}{9}\right) \sin x \cos x+\frac{1}{9} f(x)$. Enakost preuredimo $\mathrm{v} \frac{8}{9} f(x)=\frac{16}{9} \sin x \cos x$. Od tod sledi $f(x)=2 \sin x \cos x=\sin 2 x$. Pravilen odgovor je $D$.

A2. Če na skici dorišemo obe diagonali, opazimo, da imajo kosi $A, B, C$ in $D$ enake ploščine. Ploščina neosenčenega dela kvadrata je zato enaka polovici ploščine kvadrata, to je $\frac{4}{2}=2$. Pravilen odgovor je $B$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-23.jpg?height=217&width=214&top_left_y=1151&top_left_x=1635)

A3. Denimo, da je v čredi skupaj $x$ živali s skupno težo $y$. Potem je v čredi $\frac{55}{100} x$ košut $\mathrm{s}$ skupno težo $\frac{45}{100} y$ in $\frac{45}{100} x$ jelenov s skupno težo $\frac{55}{100} y$. Povprečna teža košute je torej $\frac{45}{100} y: \frac{55}{100} x=\frac{9 y}{11 x}$, povprečna teža jelena pa $\frac{55}{100} y: \frac{45}{100} x=\frac{11 y}{9 x}$. Povpreča teža jelena je torej $\frac{11 y}{9 x}: \frac{9 y}{11 x}=\frac{121}{81}$-krat večja od povprečne teže košute. Pravilen odgovor je $C$.

B1. Če je par $(m, n)$ rešitev enačbe, potem je rešitev enačbe tudi par $(-m,-n)$, zato lahko predpostavimo, da je $m$ nenegtiven. Enačbo preoblikujemo v $2 n^{2}-9 m n+m^{4}=0$ in jo pogledamo kot kvadratno enačbo v $n$. Njena diskriminanta je $81 m^{2}-8 m^{4}$. Če naj ima kvadratna enačba celoštevilsko rešitev, mora biti njena diskriminanta popoln kvadrat. Torej je $81-8 m^{2}$ popoln kvadrat. V posebnem mora biti $81-8 m^{2} \geq 0$, torej je $m \leq 3$. Preverimo lahko, da je $81-8 m^{2}$ popoln kvadrat za $m=0, m=2$ in $m=3$. Pri $m=0$ je rešitev kvadratne enačbe $n=0$, pri $m=2$ sta rešitvi $n=1$ in $n=8$, pri $m=3$ pa je edina celoštevilska rešitev $n=9$. Vse celoštevilske rešitve enačbe so torej pari $(-3,-9),(-2,-8),(-2,-1),(0,0),(2,1),(2,8)$ in $(3,9)$.[^0]

B2. Ker mora biti osnova logaritma pozitivna in različna od 1 , je $\sin x>0$ in $\sin x \neq 1$. Poleg tega mora biti $\frac{1}{2} \sin 2 x>0$, saj je logaritem definiran le za pozitivna števila. Če to velja, lahko z upoštevanjem definicije logaritma enačbo preoblikujemo v ekvivalentno enačbo $\sin ^{2} x=\frac{1}{2} \sin 2 x=\sin x \cos x$ oziroma $\sin x(\sin x-\cos x)=0$. Ker mora biti $\sin x>0$, sledi $\sin x-\cos x=0$. Če bi bil $\cos x=0$, bi moral biti tudi $\sin x=0$, kar pa ni mogoče. Torej lahko delimo $\mathrm{s} \cos x$, da dobimo $\tan x=1$. Od tod dobimo rešitve $x=\frac{\pi}{4}+2 k \pi$ in $x=\frac{5 \pi}{4}+2 k \pi$, kjer je $k$ celo število. Toda $\sin \left(\frac{5 \pi}{4}+2 k \pi\right)=\sin \frac{5 \pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}<0$, torej so rešitve enačbe le $x=\frac{\pi}{4}+2 k \pi$, kjer je $k$ celo število.
Ugotovitvi $\sin x>0$ in $\sin x \neq 1$ ..... 1 točka
Ugotovitev, da mora biti $\frac{1}{2} \sin 2 x>0$ ..... 1 točka
Preoblikovanje enačbe $\mathbf{v} \sin ^{2} x=\sin x \cos x$ ..... 1 točka
Sklep, da je $\sin x-\cos x=0$ oz. $\tan x=1$ ..... 1 točka
Zapis samo pravilne rešitve enačbe ..... 2 točki
(Če tekmovalec nepravilne rešitve ne izključi, mu pri zapisu rešitev priznamo le
1 točko.)

B3. Označimo dolžino stranice pravilnega šestkotnika z $a$. Štirikotnik $A P R F$ je trapez $\mathrm{z}$ višino $\frac{1}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}=\frac{a \sqrt{3}}{4}$, torej je njegova ploščina enaka $P_{A P R F}=\frac{a \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{|P R|+|A F|}{2}=$ $\frac{a \sqrt{3}\left(\frac{3}{2} a+a\right)}{8}=\frac{5 \sqrt{3} a^{2}}{16}$. Trikotnik $P B D$ ima stranico dolgo $|B D|=2 \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} a$ in višino $|P B|=\frac{a}{2}$, torej je njegova ploščina enaka $P_{P B D}=\frac{\frac{a}{2} \cdot \sqrt{3} a}{2}=\frac{\sqrt{3} a^{2}}{4}$. Trikotnik $B C D$ ima stranico dolgo $|B D|=\sqrt{3} a$ in višino $\frac{a}{2}$, torej je njegova ploščina spet enaka $P_{B C D}=$ $\frac{\sqrt{3} a^{2}}{4}$. Ploščina štirikotnika $B C D P$ je torej $P_{B C D P}=P_{P B D}+P_{B C D}=2 \cdot \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4}=\frac{\sqrt{3} a^{2}}{2}$. Razmerje med ploščinama je enako $\frac{P_{A P R F}}{P_{B C D P}}=\frac{5}{8}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-24.jpg?height=69&width=1579&top_left_y=1553&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-24.jpg?height=60&width=1576&top_left_y=1606&top_left_x=274)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-24.jpg?height=60&width=1579&top_left_y=1655&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-24.jpg?height=58&width=1579&top_left_y=1710&top_left_x=273)

Izračunano razmerje ploščin .......................................................................

## Rešitve za 4 . letnik

V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končnemu dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetne 3 točke.

| 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- |
| $\mathrm{D}$ | $\mathrm{B}$ | $\mathrm{D}$ |

Utemeljitve:

A1. Označimo število modrih, rumenih in zelenih kroglic po vrsti z $m, r$ in $z$, kjer je $m+$ $r+z=10$. Te kroglice lahko v vrsto postavimo na $\frac{10!}{m!r \geq z!}$ različnih načinov. Torej je $\frac{10!}{m!r \mid z!}=360$. Slednjo enakost lahko preuredimo v $10 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot(m+1)=360 \cdot r!\cdot z!$. Od tod sledi $10 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot(m+1) \geq 360=10 \cdot 9 \cdot 4$, torej mora biti $m+1 \leq 8$ oziroma $m \leq 7$. Če imamo na primer $m=7, r=2$ in $z=1$, potem je $\frac{10!}{m!r!z!}=\frac{10!}{7!2!1!}=\frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{2}=360 . \mathrm{V}$ posodi je lahko največ 7 modrih kroglic. Pravilen odgovor je $D$.

A2. Če upoštevamo predpis funkcije $f$, dobimo $\frac{f(f(x)+x)}{f(x)}=\frac{\left(x^{2}+1+x\right)^{2}+1}{x^{2}+1}=\frac{x^{4}+2 x^{3}+3 x^{2}+2 x+2}{x^{2}+1}$. Ko polinoma zdelimo, dobimo rezultat $x^{2}+2 x+2$. Pravilen odgovor je torej $B$.

A3. Iz podatkov naloge izračunamo $\Varangle B A T=30^{\circ}$. Ker je $\tan (\Varangle B A T)=\frac{|T B|}{|A B|}$, sledi $|T B|=|A B| \tan 30^{\circ}=1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Pravilen odgovor je $D$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-25.jpg?height=305&width=323&top_left_y=1298&top_left_x=1529)

B1. Enačbo prepišemo $\mathrm{v} \overline{c d a b}+\overline{13 c d}=\overline{a b 20}$. Ker sta $b$ in $d$ neničelni števki, iz enačbe za enice dobimo $b+d=10$. Slednje odštejemo na obeh straneh enačbe, da dobimo $\overline{c d a 0}+\overline{13 c 0}=\overline{a b 10}$, in nato enačbo delimo z 10, da dobimo $\overline{c d a}+\overline{13 c}=\overline{a b 1}$. Ker sta $a$ in $c$ neničelni števki, njuna vsota ne more biti enaka 1 , zato iz enačbe za enice sledi $a+c=11$. Slednje spet odštejemo na obeh straneh enačbe in enačbo delimo z 10, da dobimo $\overline{c d}+\overline{13}=\overline{a(b-1)}$, saj je $b-1 \geq 0$. Obravnavamo dve možnosti. Če je $d \leq 6$, potem mora biti $d+3=b-1$ in $c+1=a$. Iz vseh dobljenih enačb poračunamo, da je $a=6, b=7, c=5$ in $d=3$. Če pa je $d \geq 7$, potem mora biti $d+3=10+(b-1)$ in $c+1=a-1$. Toda $\mathrm{v}$ tem primeru iz enačb poračunamo $c=\frac{9}{2}$, kar pa je protislovje. Edina rešitev enačbe je torej $(a, b, c, d)=(6,7,5,3)$.

Ugotovitev, da je $b+d=10$

1 točka

Ugotovitev, da je $a+c=11$ 1 točka

Zapis enačbe $\overline{c d}+\overline{13}=\overline{a(b-1)}$ 1 točka

Obravnava možnosti $d \leq 6$ in zapis zvez med števkami ...................... 1 točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-25.jpg?height=51&width=1576&top_left_y=2373&top_left_x=274)
Obravnava možnosti $d \geq 7$ in ugotovitev, da rešitev ni ..................... 1 točka (Če tekmovalec rešitev samo zapiše, dobi 1 točko.)

B2. Privzemimo oznake s skice. Po Pitagorovem izreku velja $a^{2}=x^{2}+y^{2}, b^{2}=y^{2}+z^{2}, c^{2}=z^{2}+w^{2}$ in $d^{2}=w^{2}+x^{2}$. Od tod sledi $a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$. Ker pa je štirikotnik tangenten, velja $a+c=b+d$. Če to enakost kvadriramo in upoštevamo enakost s kvadrati, dobimo $2 a c=2 b d$ oziroma $a c=b d$. Ko $\mathrm{v}$ to enakost vstavimo $a=b+d-c$, dobimo $c^{2}-(b+d) c+b d=0$, kar lahko razstavimo kot

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-26.jpg?height=408&width=605&top_left_y=230&top_left_x=1248)
$(c-b)(c-d)=0$. Torej je $c=b$ in zato $a=d$ ali pa $c=d$ in zato $a=b$. $\mathrm{V}$ obeh primerih je štirikotnik deltoid.
Pregledno narisana in označena skica ..... 1 točka
Zapisan Pitagorov izrek za stranice $a, b, c$ in $d$ ..... 1 točka
Ugotovitev, da je $a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$ ..... 1 točka
Sklep, da je $a+c=b+d$, ker je štirikotnik tangenten ..... 1 točka
Ugotovitev, da je $a c=b d$ ..... 1 točka
Utemeljen sklep, da je štirikotnik deltoid ..... 1 točka

B3. Označimo drugi in tretji člen Žanovega zaporedja z $x$ in $y$. Potem je $3, x, y$ geometrijsko zaporedje, zato velja $x^{2}=3 y$. Hkrati je $x, y, 9$ aritmetično zaporedje, zato je $2 y=x+9$. Iz druge enačbe izrazimo $y=\frac{x+9}{2}$. Ko slednje vstavimo $\mathrm{v}$ prvo enačbo in enačbo preuredimo, dobimo $2 x^{2}-3 x-27=0$ oziroma $(2 x-9)(x+3)=0$. Ker je $x$ pozitiven, je $x=\frac{9}{2}$. Od tod izračunamo še $y=\frac{27}{4}$. Žanovo zaporedje je torej $3, \frac{9}{2}, \frac{27}{4}, 9$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-26.jpg?height=63&width=1579&top_left_y=1479&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-26.jpg?height=54&width=1579&top_left_y=1532&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-26.jpg?height=59&width=1579&top_left_y=1581&top_left_x=273)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-26.jpg?height=48&width=1573&top_left_y=1632&top_left_x=276)

Zapisano zaporedje ................................................................ 1 točka

(Če tekmovalec ni izključil rešitve $x=-3$, se mu 1 točka odšteje.)


[^0]:    Ugotovitev, da zraven para $(m, n)$ enačbo reši tudi par $(-m,-n)$.......... 1 točka

    ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-23.jpg?height=49&width=1576&top_left_y=2214&top_left_x=274)

    Reševanje kvadratne enačbe glede na spremenljivko $n$ in izračun diskriminante 1 točka Ugotovitev, da mora biti diskriminanta nenegativna in popoln kvadrat .. 1 točka

    ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6340f9febbabfa1859cdg-23.jpg?height=51&width=1576&top_left_y=2413&top_left_x=274)

    Zapisanih vseh 7 parov rešitev ............................................................................ (Če tekmovalec samo zapiše vsaj 3 pare rešitev (in ne vseh rešitev), dobi 1 točko. Če tekmovalec samo zapiše vseh 7 parov rešitev, dobi 2 točki.)