# Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
2. matematično tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih šol
Celje, 20. april 2002
## NALOGE ZA 1. LETNIK
1. Oče želi razdeliti trem sinovom 14560 SIT tako, da vsak naslednji sin dobi $20 \%$ večji znesek kot njegov mlajši brat. Koliko dobi vsak sin? Zapiši odgovor.
2. Zapiši pogoje, ki enolično določajo množico točk na sliki.
3. Pri deljenju števila $a$ s 7 dobimo ostanek 3 , pri deljenju števila $b$ s 7 pa ostanek 4. Kolikšen je ostanek pri deljenju kvadrata vsote števil $a$ in $b$ s 7? Odgovor utemelji.
4. Premer prednjega kolesa je $1,1 \mathrm{~m}$, zadnjega pa $0,8 \mathrm{~m}$. Kolikšno razdaljo smo prevozili, če je prvo kolo naredilo 69 obratov manj kot zadnje? Rezultat zaokroži na centimeter natančno. Za $\pi$ uporabi približek $\frac{22}{7}$. Zapiši odgovor.
5. Nariši graf funkcije s predpisom $f(x)=-\sqrt{x^{2}-6 x+9}$ in izračunaj ploščino lika, ki ga oklepa graf dane funkcije s koordinatnima osema.[^0]
6. matematično tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih šol
Celje, 20. april 2002
## NALOGE ZA 2. LETNIK
1. Poenostavi
$$
\left[\frac{3 b^{-3}}{2 a(x-y)^{-1}}\right]^{-3}:\left[\frac{\left(2 a^{-1} b^{3}\right)^{2}}{(x-y)^{4}}: \frac{9 a^{-5} b^{-3}}{(x+y)^{-1}}\right]
$$
2. Skupina geometrov želi določiti višino hriba. Iz kraja $A$ v ravnini vznožja vidijo vrh hriba pod kotom $\alpha=19^{\circ} 40^{\prime}$, ko pa se po ravnem približajo hribu za $250 \mathrm{~m}$, vidijo vrh pod kotom $\beta=24^{\circ}$. Kako visok je hrib? Vmesne rezultate zaokroži na štiri decimalke, rezultat pa na celo število. Zapiši odgovor.
3. Kvadratna funkcija $f(x)$ doseže minimalno vrednost -2 za $x=1$. Določi $f(x)$ tako, da bo veljalo $f(-3)+4 f(0)=0$. Izračunaj $f(1+\sqrt{5})$.
4. Kateta $a$ in hipotenuza pravokotnega trikotnika sta v razmerju $12: 13$. Če skrajšamo hipotenuzo za $23 \mathrm{~cm}$ in kateto a za $27 \mathrm{~cm}$, dobimo nov pravokotni trikotnik, ki se mu dolžina druge katete ni spremenila. Izračunaj stranice prvotnega trikotnika.
5. Izdelati moramo 1320 parov smuči. Pri izdelavi s strojem $A$ bi porabili 2 uri manj kot pri uporabi stroja $B$. Stroj $B$ naredi 5 parov smuči manj na uro kot stroj $A$. Izračunaj čas izdelave smuči, če uporabimo oba stroja.[^1]
6. matematično tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih šol
Celje, 20. april 2002
## NALOGE ZA 3. LETNIK
1. Reši enačbo:
$$
\left(2\left(2^{\sqrt{x}+3}\right)^{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}\right)^{\frac{2}{\sqrt{x}-1}}=4
$$
2. Kje dosežeta funkciji $f(x)=\sin 4 x$ in $g(x)=-\cos 2 x$ enako vrednost?
3. V živalski vrt naselijo družino risov. Število risov $N$ po $t$ letih $(t \geq 0)$ določa funkcija $N=10 \cdot e^{\frac{2}{5} t}$.
(a) Koliko risov šteje družina ob naselitvi?
(b) Koliko let bi potrebovali v živalskem vrtu, da bi družina risov štela 100 članov? Rezultat zaokroži na celo število.
Zapiši odgovora.
4. Pavel ima podstrešno sobo v obliki pravokotnika $A B C D$ s stranicama $a=4 \mathrm{~m}$ in $b=3 \mathrm{~m}$. Ker mu je pretesna, si jo bo razširil tako, kot kaže slika. Izračunaj, za koliko odstotkov se bo povečala površina sobe. Rezultat zaokroži na eno decimalno mesto.
5. Žleb za vodo je dolg $5 \mathrm{~m}$ in lahko zajame $1440 \ell$ vode. Presek žleba je enakokraki trapez s krakoma $52 \mathrm{~cm}$ in višino $48 \mathrm{~cm}$. Koliko vode je v žlebu, če je napolnjen do polovice višine (glej sliko)?
[^2]
2. matematično tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih šol
Celje, 20. april 2002
## NALOGE ZA 4. LETNIK
1. Dana je funkcija $f(x)=\frac{x-2}{x^{2}+x-2}$. Za katere vrednosti $x$ bo graf funkcije $f(x)$ ležal nad premico z enačbo $y=1$ ?
2. Od 25 učencev so pri pisni nalogi štirje dobili oceno 5 , pet oceno 4 in pet oceno 2 . Koliko učencev je dobilo oceno 1 in koliko učencev oceno 3 , če je bila povprečna ocena natanko 3? Zapiši odgovor.
3. Ničle polinoma $p(x)=x^{3}-13 x^{2}+39 x-27$ so prvi trije členi naraščajočega geometrijskega zaporedja.
(a) Zapiši prvih pet členov in splošni člen zaporedja.
(b) Kateri člen danega geometrijskega zaporedja je rešitev enačbe $\log (15-3 x)-\log x=\log (x-1) ?$
4. Dani so štirje pravokotniki z dolžino $a=18$. Njihove širine tvorijo geometrijsko zaporedje. Obseg drugega pravokotnika je 60, tretji pravokotnik je kvadrat. Določi širine pravokotnikov.
5. Trije Butalci, Bingo, Bunko in Balko, so oropali banko in odnesli 22 vreč z bankovci. Postavili so jih v vrsto tako, da je bilo v prvi vreči najmanj denarja, v vsaki naslednji pa en šop bankovcev več kot v tisti pred njo. Šef Bingo je ukradene vreče denarja delil po načelu: prva meni (Bingu), druga tebi (Bunku), tretja meni (Bingu), četrta tebi (Balku), peta meni (Bingu), šesta tebi (Bunku) ... Nato so denar prešteli. Bunko in Balko sta ugotovila, da imata skupaj bajno vsoto 6710000 SIT. Veselila sta se tudi dejstva, da imata skupaj 110000 SIT več kot njun šef. Tvoja naloga je, da ugotoviš, koliko denarja je bilo v prvi vreči. Zapiši odgovor.[^3]
## Rešitve nalog in točkovnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovniktake ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovico možnih točk.
## Prvi letnik
1. Ugotovitev: sinovi dobijo $x, 1,2 x$ .1 točka
$1,44 x$ 1 točka
Izračunan $x=4000$ SIT ...........................................................................................
Izračunano, koliko dobita drugi in tretji sin:
drugi 4800 SIT $.0,5$ točke
tretji 5760 SIT 0,5 točke
Zapisan odgovor 1 točka
2. Zapisani pogoji: $p_{1}: x \geq 0$
Opomba: Pogoja morata biti natančno zapisana.
Potreben in zadosten pogoj: $(x \geq 0) \wedge(y \geq 1) \wedge(y<-2 x+13) \wedge\left(y \leq \frac{1}{2} x+3\right) \ldots 1$ točka
3. Zapis: $a=7 \cdot x+3$ ..... 1 točka
Zapis $b=7 \cdot y+4$ ..... 1 točka
$(a+b)^{2}=(7 x+7 y+7)^{2}=$ ..... 1 točka
$=(7 \cdot(x+y+1))^{2}=$ ..... 1 točka
$=7 \cdot\left(7 \cdot(x+y+1)^{2}\right)$ ..... 1 točka
Zapisana ugotovitev: Ostanek je 0, saj je $(a+b)^{2}$ večkratnik števila 7. ..... 1 točka
Opomba: Rešitev, dobljeno s poskušanjem in preizkusom, točkujemo z dvema točkama.
4. Po enem obratu prevozimo $o=2 \pi r$ ..... 1 točka
S prednjim kolesom prevozimo $x \cdot 1,1 \pi$ ..... 1 točka
Z zadnjim kolesom prevozimo $(x+69) \cdot 0,8 \pi$ ..... 1 točka
Zapisana enačba $x \cdot 1,1 \pi=(x+69) \cdot 0,8 \pi$ ..... 1 točka
Izračunan $x=184$ ..... 1 točka
Rešitev in zapisan odgovor: $o=636,11 \mathrm{~m}$ ..... 1 točka
Opomba: Če rezultat ni pravilno zaokrožen, tekmovalec ne dobi zadnje točke.
5. Zapis $f(x)=-\sqrt{(x-3)^{2}}$ ..... 1 točka
Zapis $f(x)=-|x-3|$ ..... 1 točka
Izračunana ničla $(m)$, začetna vrednost $(n): m=3, n=-3$ ..... 1 točka
Narisan graf funkcije $g(x)=-(x-3)$ ..... 1 točka
Narisan graf funkcije $f(x)=-|x-3|$ ..... 1 točka
Izračunana ploščina trikotnika $S=\frac{9}{2}$ ..... 1 točka
Opomba: Če dijak nariše $g(x)=-x+3$ in pravilno izračuna ploščino, dobi 4 točke.
## Drugi letnik
1. Poenostavljen izraz $\left[\frac{3 b^{-3}}{2 a(x-y)^{-1}}\right]^{-3}=\frac{2^{3} a^{3} b^{9}}{3^{3}(x-y)^{3}}$ .1 točka
Poenostavljen izraz $\frac{\left(2 a^{-1} b^{3}\right)^{2}}{(x-y)^{4}}: \frac{9 a^{-5} b^{-3}}{(x+y)^{-1}}=\frac{2^{2} b^{6}}{a^{2}(x-y)^{4}} \cdot \frac{a^{5} b^{3}}{9(x+y)} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2$ točki Poenostavljen izraz $\frac{2^{3} a^{3} b^{9}}{3^{3}(x-y)^{3}} \cdot \frac{a^{2}(x-y)^{4} \cdot 9(x+y)}{2^{2} b^{6} a^{5} b^{3}}=$ 1 točka
2. Zapisana zveza $\operatorname{tg} \alpha=\frac{h}{250+x}$ ..... 1 točka
Zapisana zveza $\operatorname{tg} \beta=\frac{h}{x}$ ..... 1 točka
Zapisana ugotovitev $x \cdot \operatorname{tg} \beta=(x+250) \cdot \operatorname{tg} \alpha$ ..... 1 točka
Izražena spremenljivka $x: x=\frac{250 \cdot \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \beta-\operatorname{tg} \alpha}$ ..... 1 točka
Izračunan $x=1017,6538$ ..... 0,5 točke
Izračunan $h=x \cdot \operatorname{tg} \beta=453,0595$ ..... 0,5 točke
Zapisan odgovor: $453 \mathrm{~m}$ ..... 1 točka
3. Zapisana enačba kvadratne funkcije $y=a(x-1)^{2}-2$ ..... 1 točka
Zapisani in vstavljeni podatki: za $f(-3)=16 \cdot a-2$ ..... 1 točka
za $4 \cdot f(0)=4(a-2)$ ..... 1 točka
Zapisana enačba $16 \cdot a-2+4(a-2)=0$ ..... 0,5 točke
Izračun $a=\frac{1}{2}$ ..... 1 točka
Zapisana kvadratna funkcija $f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^{2}-2$ ali $f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-x-\frac{3}{2}$ ..... 0,5 točke
Izračunano $f(1+\sqrt{5})=\frac{1}{2}$ ..... 1 točka
4. Zapisane stranice prvega trikotnika: $a=12 x, b=b, c=13 x$ ..... 0,5 točke
Zapisane stranice drugega trikotnika: $a^{\prime}=12 x-27$ ..... 0,5 točke
$$
\begin{aligned}
b^{\prime} & =b \\
c^{\prime} & =13 x-23
\end{aligned}
$$
0,5 točke
Zapisan Pitagorov izrak $b^{2}=c^{2}-a^{2}=c^{\prime 2}-a^{\prime 2}$ ..... 1 točka
Vstavljeni podatki $(13 x)^{2}-(12 x)^{2}=(13 x-23)^{2}-(12 x-27)^{2}$ ..... 1 točka
Preoblikovana in urejena enačba $50 x=200$ ..... 1 točka
Izračunan $x=4$ ..... 0,5 točke
Zapisane stranice prvega trikotnika: $a=48 \mathrm{~cm}, b=20 \mathrm{~cm}, c=52 \mathrm{~cm}$ ..... 1 točka
5. Zapis: $A$ na uro naredi $x$ parov ... za 130 parov porabi $t$ ur ..... 1 točka
Zapis: $B$ na uro naredi $(x-5)$ parov ... za 130 parov porabi $(t+2)$ ur ..... 1 točka
Izražena spremenljivka $t=\frac{1320}{x}$ ..... 0,5 točke
Zapisana enačba $t \cdot x=(t+2)(x-5)$ ..... 1 točka
Urejena enačba $x^{2}-5 x-3300=0$ ..... 1 točka
Izračunan $x=60$ ..... $.0,5$ točke
Izračunan čas $t_{1}=\frac{1320}{(60+55)}=11,48 \mathrm{~h}$ ..... 1 točka
## Tretji letnik
1. Potenciranje potence $\left(2 \cdot 2^{\frac{\sqrt{x}+3}{2 \sqrt{x}}}\right)^{\frac{2}{\sqrt{x}-1}}=4$ ..... 0,5 točke
Zapis števila 4 kot potenca ..... 0,5 točke
Množenje potenc $\left(2^{\frac{2 \sqrt{x}+\sqrt{x}+3}{2 \sqrt{x}}}\right)^{\frac{2}{\sqrt{x}-1}}=2^{2}$ ..... 0,5 točke
Potenciranje potenc $2^{\frac{(3 \sqrt{x}+3) \cdot 2}{2 \sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}=2^{2}$ ..... 0,5 točke
Zapis enačbe $\frac{(3 \sqrt{x}+3) \cdot 2}{2 \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}=2$ ..... 0,5 točke
Odprava ulomkov $3 \sqrt{x}+3=2 \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$ ..... 0,5 točke
Ureditev enačbe $5 \sqrt{x}=2 x-3$ ..... 0,5 točke
Kvadriranje $25 x=4 x^{2}-12 x+9$ ..... 1 točka
Ureditev enac̆be $4 x^{2}-37 x+9=0$ ..... 0,5 točke
Obe rešitvi $x_{1}=\frac{1}{4}$ in $x_{2}=9$ ..... 0,5 točke
Preiskus in izločitev rešitve $\frac{1}{4}$ ..... 0,5 točke
2. Zapis $f(x)=g(x)$ ali $\sin 4 x=-\cos 2 x$ ..... 0,5 točke
$2 \sin 2 x \cos 2 x+\cos 2 x=0$ ..... 1 točka
Zapis v obliki produkta: $\cos 2 x(2 \sin 2 x+1)=0$ ..... 1 točka
Zapis enačb: $\cos 2 x=0$ ..... 0,5 točke
$\sin 2 x=-\frac{1}{2}$ ..... 0,5 točke
Rešitev: $x_{1}=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2}$ ..... 1 točka
$x_{2}=-\frac{\pi}{12}+k \pi$ ..... 1 točka
$x_{3}=\frac{7 \pi}{12}+k \pi, k \in \mathbf{Z}$ ..... 0,5 točke
Opomba: Če je rezultat podan brez periode, odštejemo 0,5 točke.
3. (a) $t=0$ 0,5 točke
$N=10 \cdot e^{\frac{2}{5} \cdot 0}=10$ ..... 1 točka
Odgovor ..... 0,5 točke
(b) $N=100 \Rightarrow 100=10 \cdot e^{\frac{2}{5} t}$ ..... 0,5 točke
$10=e^{\frac{2}{5} t}$ ..... 0,5 točke
$\ln 10=\ln e^{\frac{2}{5} t}$ ..... 0,5 točke
$\ln 10=\frac{2}{5} t \ln e$ ..... 0,5 točke
$\ln 10=\frac{2}{5} t$ ..... 0,5 točke
$t=\frac{5}{2} \ln 10=5,75646 \doteq 5,76$ ..... 1 točka
Odgovor: 6 let ..... 0,5 točke
4. $(2 r)^{2}=a^{2}+b^{2}$ | |
| :---: | :---: |
| $r=2,5 \mathrm{~m} \ldots$ | 0,5 točke |
| $S=a \cdot b$ | . 0,5 točke |
| $S=12 \mathrm{~m}^{2}$ | . 0,5 točke |
| $\tan \frac{\varphi}{2}=\frac{2}{15}$ | $.0,5$ točke |
| $\varphi=106,3^{\circ}$ | . . 0,5 točke |
| Zapis $\frac{\pi^{2} \varphi}{360^{\circ}}$ | .. 0,5 točke |
| Ploščina trikotnika $S_{\triangle}=\frac{1}{2} r^{2} \sin \varphi$ | $.0,5$ točke |
|  | $.0,5$ točke
$.0,5$ točke
0,5 točke
$.0,5$ točke |
5. Skica
$x=2 \mathrm{~cm}$ ..... 0,5 točke
$a=c+2 x=c+4$ ..... 0,5 točke
Obrazec $S=\frac{a+c}{2} \cdot v$ ..... 0,5 točke
Rezultat $c=4 \mathrm{dm}$ ..... 0,5 točke
$\Rightarrow a=8 \mathrm{dm}$ ..... 0,5 točke
$v=2,4 \mathrm{dm}, s=\frac{a+c}{2}=6 \mathrm{dm}$ ..... 0,5 točke
$l=50 \mathrm{dm}$
Obrazec $V=\frac{4 \mathrm{dm}+6 \mathrm{dm}}{2} \cdot 2,4 \mathrm{dm} \cdot 50 \mathrm{dm}$ ..... 1 točka
Rezultat $V=600 \mathrm{dm}^{3}=600 \ell$
0,5 točke
## Četrti letnik
1. Zapis pogoja $\frac{x-2}{x^{2}+x-2}>1$
2. Zapis enačbe $\frac{4 \cdot 5+5 \cdot 4+2 \cdot 5+x+3 y}{25}=3$ ..... 1 točka
$x+y=11$ ..... 1 točka
Reševanje sistema - postopek ..... 1 točka
Rešitvi: $x=4$ ..... 1 točka
$y=7$ ..... 1 točka
Odgovor: Oceno 3 je dobilo 7 učencev, oceno 1 pa 4 učenci. ..... 1 točka
3. Ničle $x_{1}=1, x_{2}=3, x_{3}=9$ vsaka po 0,5 točke
(a) Zaporedje: 1, 3, 9, 27, 81 (le v tem vrstnem redu) ..... 0,5 točke
$a_{n}=3^{n-1}$ ..... 1 točka
(b) $\log \frac{15-3 x}{x}=\log (x-1)$ ..... 0,5 točke
$\frac{15-3 x}{x}=x-1$ ..... 0,5 točke
$x^{2}+2 x-15=0$ ..... 0,5 točke
Rešitev: $x_{1}=-5$ ..... 0,5 točke
$x_{2}=3$ ..... 0,5 točke
Odgovor: Rešitev enac̆be je drugi člen zaporedja. ..... 0,5 točke
4. Označeni členi geometrijskega zaporedja $b, b q, b q^{2}, b q^{3}$ ..... 1,5 točke
Zapis $2 a+2 b q=60$ ..... 0,5 točke
$a+b q=30 \Rightarrow b q=12$ ..... 0,5 točke
$a=b q^{2} \Rightarrow b q^{2}=18$ ..... 0,5 točke
Reševanje sistema ..... 1 točka
$12 \cdot q=18 \Rightarrow q=\frac{3}{2}$ ..... 0,5 točke
$b=8$ ..... 0,5 točke
S̆irine pravokotnikov: $8,12,18,27$ ..... 1 točka
5. Šopi šefa: $x+(x+2)+\cdots+(x+20)=\frac{6600000}{k}$ ..... 1 točka
Šopi Bunka in Balka: $(x+1)+(x+3)+\cdots+(x+21)=\frac{6710000}{k}$ ..... 1 točka
Ureditev obeh enačb: ..... 1 točka
$$
\begin{aligned}
& 11(x+10)=\frac{6600000}{k} \quad \text { in } \\
& 11(x+11)=\frac{6710000}{k}
\end{aligned}
$$
Rešitev sistema $x=50$ ..... 1 točka
$k=10000$ ..... 1 točka
Odgovor: V prvi vreči je $x \cdot k=500000$ SIT. ..... 1 točka
[^0]: Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.
Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.
Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.
Za reševanje imaš na voljo $120 \mathrm{~min}$.
DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.
[^1]: Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.
Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.
Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.
Za reševanje imaš na voljo 120 min.
DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.
[^2]: Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.
Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.
Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.
Za reševanje imaš na voljo 120 min.
DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.
[^3]: Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.
Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.
Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.
Za reševanje imaš na voljo 120 min.
DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.