# Društvo matematikov, fizikov 

in astronomov Slovenije

Jadranska ulica 19

1000 Ljubljana

## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.

 6. državno tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Kranj, 22. april 2006

## NALOGE ZA 1. LETNIK

1. Brez uporabe žepnega računala izračunaj vrednost izraza $2^{3} \cdot 3^{-9} \cdot 6^{6} \cdot 8^{-8} \cdot 1728$. Rezultat naj bo zapisan v obliki potence.
2. Poenostavi izraz

$$
\left(\frac{2}{5} x^{2}-\left(\frac{5}{2 x y}\right)^{-1}\right)\left(x^{2}-y^{2}\right)^{-1} \frac{1}{0,3 \overline{9}}
$$

3. Dan je trikotnik $A B C$ z oglišči $A(-1,2), B(-2,-3)$ in $C(2,-1)$. Iz točke $A$ konstruiramo pravokotnico na stranico $B C$. Pravokotnica seka $B C$ v točki $E$. Natančno izračunaj dolžino daljice $A E$.
4. Dani sta števili $a=-8$ in $b=36$.

a) Izračunaj vrednost izraza ||$a|-2 \sqrt{b}|-\frac{1}{2}|\sqrt[3]{a}|$.

b) Reši enačbo $|x-\sqrt[3]{a}|=\sqrt{b}$.

5. Mojster in njegov pomočnik sta prejela za opravljeno delo 197200 SIT. Mojstrova dnevnica je za $56,5 \%$ večja od pomočnikove dnevnice. Koliko je zaslužil vsak, če je mojster delal 20 dni, pomočnik pa 18 dni? Zapiši odgovor.

Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.

Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.

Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.

## Za reševanje imaš na voljo $120 \mathrm{~min}$.

DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.

 6. državno tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Kranj, 22. april 2006

## NALOGE ZA 2. LETNIK

1. Na naš računalnik se je naselil virus SEM LAČEN. Ob vsakem kliku miške virus zasede novih $0,5 \mathrm{MB}$ prostora. Zapiši funkcijo, ki ponazarja širjenje virusa. Po kolikih klikih z miško bo virus zasedel $2,5 \cdot 10^{3}$ MB prostora? Zapiši odgovor.
2. Dana je funkcija $f(x)=m x-(3 m-20)$, kjer je $m$ rešitev enačbe $\frac{(\sqrt[3]{2})^{6} \cdot 2^{-6}}{0,5^{2} \cdot 8^{-\frac{2}{3}}}=m \cdot \frac{1}{(\sqrt[3]{2})^{9}}$. Nariši graf funkcije $f$.
3. Ograditi želimo vrt trikotne oblike, kot kaže slika. Koliko metrov lesene ograje potrebujemo, če vemo, da je $x+y=15 \mathrm{~m}$ ? Rezultat naj bo natančen. Zapiši odgovor.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-03.jpg?height=237&width=403&top_left_y=1275&top_left_x=1449)

4. Na krožnico s premerom $10 \mathrm{~cm}$ sta narisani obe tangenti iz točke $A$ izven krožnice. Točka $A$ je od središča krožnice oddaljena $1,3 \mathrm{dm}$. Izračunaj razdaljo med dotikališčema tangent na krožnico in jo izrazi v centimetrih. Rezultat zaokroži na eno decimalno mesto natančno.
5. Poenostavi izraz $\left((1-x) \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+1-x\right) \cdot\left(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-1\right)$, če je $-1 \leq x<1$.

Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.

Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.

Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.

## Za reševanje imaš na voljo $120 \mathrm{~min}$.

DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.

 6. državno tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Kranj, 22. april 2006

## NALOGE ZA 3. LETNIK

1. Dana je funkcija $f(x)=3^{x}$. Določi funkciji $g(x)=f(x+1)$ in $h(x)=4 f(x)-3$ ter izračunaj presečišče njunih grafov.
2. S pomočjo desetiških logaritmov reši dano enačbo $\sqrt{x^{\log \sqrt{x}}}=10$.
3. Razlika obsegov dveh kvadratov je $8 \mathrm{~cm}$, razlika ploščin pa $16 \mathrm{~cm}^{2}$. Koliko je vsota njunih ploščin? Zapiši odgovor.
4. Izračunaj površino in prostornino pokončne tristrane prizme, ki ima za osnovno ploskev pravokotni trikotnik, katerega dolžini katet sta rešitvi enačbe $\log _{x-2}(10 x-44)=2$. Višina prizme je enaka dolžini hipotenuze osnovne ploskve.
5. Če bi se zavojček žvečilnih gumijev podražil za toliko odstotkov, kolikor znaša njegova sedanja cena, bi morali za štiri zavojčke plačati 429 tolarjev. Koliko nas ti štirje zavojčki stanejo sedaj? Zapiši odgovor.[^0]

## Za reševanje imaš na voljo $120 \mathrm{~min}$.

DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.

 6. državno tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Kranj, 22. april 2006

## NALOGE ZA 4. LETNIK

1. Dani sta enačbi $2 \log _{3}(x+2)-\log _{3} x=2$ in $25^{x}=0,008$.

a) Reši enačbi.

b) Rešitve enačb so ničle polinoma $p$ tretje stopnje. Graf tega polinoma poteka tudi skozi točko (2,7). Zapiši predpis polinoma $p$ v ničelni obliki.

2. Določi presečǐšče grafa funkcije $f(x)=\frac{2 x^{3}+x+1}{x^{3}+1}$ z njegovo vodoravno asimptoto.

3. Povprečna vrednost statistične spre- |
| :--- |
| menljivke, ki jo opisuje stolpični diagram, |
| je 4,5. Izračunaj neznano frekvenco $f_{x}$. |
| mand |

4. Na grafu funkcije $f(x)=\sin x$ sta točki $A\left(\frac{\pi}{3}, f\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$ in $B\left(\frac{\pi}{6}, f\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$. Zapiši enačbo premice, ki poteka skozi točki $A$ in $B$. Koeficienti naj bodo določeni natančno (brez uporabe žepnega računala).
5. Površine petih kock so členi geometrijskega zaporedja s količnikom 4. Rob najmanjše kocke je dolg $5 \mathrm{~cm}$. Kolikšna je vsota površin vseh petih kock? Koliko meri površina največje kocke?[^1]

## Za reševanje imaš na voljo 120 min.

DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.

## Rešitve nalog in točkovnik

Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki

- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.

Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovico možnih točk.

## Prvi letnik

1. Število $1728 \mathrm{v}$ izrazu $2^{3} \cdot 3^{-9} \cdot 6^{6} \cdot 8^{-8} \cdot 1728$ razcepimo na prafaktorje $1728=2^{6} \cdot 3^{3}$. Zapišemo $6^{6}=(2 \cdot 3)^{6}=2^{6} \cdot 3^{6}$ in $8^{-8}=2^{-24}$. Upoštevamo pravila za množenje potenc z enako osnovo: osnovo prepišemo, eksponente seštejemo in dobimo rezultat $2^{-9}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-06.jpg?height=257&width=1644&top_left_y=1431&top_left_x=203)

2. V danem izrazu zapišemo število $0,3 \overline{9}$ z ulomkom $\frac{2}{5}$. Poenostavimo izraz v prvem oklepaju $\frac{2 x^{2}-2 x y}{5}=\frac{2 x(x-y)}{5}$ in pišemo $\left(x^{2}-y^{2}\right)^{-1}$ v obliki $\frac{1}{(x+y)(x-y)}$. Po krajšanju dobimo $\frac{x}{x+y}$.
\footnotetext{
Zapis $0,3 \overline{9}=\frac{2}{5}$ 1 točka

Zapis ulomka $\frac{1}{0,39} \mathrm{~s} \frac{5}{2}$

1 točka

Potenciranje z -1 v prvem oklepaju...........................................................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-06.jpg?height=60&width=1636&top_left_y=2074&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-06.jpg?height=66&width=1639&top_left_y=2126&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-06.jpg?height=63&width=1636&top_left_y=2176&top_left_x=207)

3. Ugotovimo, da je v danem trikotniku $v_{a}=d(A, E)$. Izračunamo ploščino trikotnika $\mathrm{ABC}: S=9$. Dolžina stranice $a$ je enaka $d(B, C)=2 \sqrt{5}$. Nato izrazimo $v_{a}$ iz ploščine $v_{a}=\frac{2 \cdot S}{a}=\frac{9 \sqrt{5}}{5}$. Dolžina $v_{a}=\frac{9 \sqrt{5}}{5}$.

Ugotovitev, da je $d(A, E)=v_{a} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. točka

Uporaba ustreznega obrazca za ploščino točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-07.jpg?height=623&width=565&top_left_y=228&top_left_x=1291)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-07.jpg?height=49&width=1065&top_left_y=678&top_left_x=210)
Izračunana $a=d(B, C)=2 \sqrt{5} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1$ točka Pravilno vstavljeni podatki v obrazec $S=\frac{a v_{a}}{2} \ldots .1$ točka $B(-2,-3)$

Rezultat $v_{a}=\frac{9 \sqrt{5}}{5}$

1 točka

4. a) V dani izraz vstavimo ustrezni števili: $\left.||-8|-2 \sqrt{36}|-\frac{1}{2} \sqrt[3]{-8}|=| 8-12 \right\rvert\,-\frac{1}{2} \cdot 2=4-1=3$.

b) Enačbo $|x-\sqrt[3]{-8}|=\sqrt{36}$ poenostavimo: $|x+2|=6$. Odtod sklepamo $x+2= \pm 6$ ter dobimo rešitvi $x_{1}=4$ in $x_{2}=-8$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-07.jpg?height=91&width=1602&top_left_y=1251&top_left_x=244)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-07.jpg?height=60&width=1551&top_left_y=1329&top_left_x=298)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-07.jpg?height=49&width=1548&top_left_y=1386&top_left_x=297)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-07.jpg?height=51&width=1602&top_left_y=1502&top_left_x=244)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-07.jpg?height=51&width=1551&top_left_y=1551&top_left_x=298)

5. Naj bo $x$ dnevnica pomočnika. Tedaj je dnevnica mojstra enaka 1,565x. Po besedilu naloge nastavimo enačbo $20 \cdot 1,565 x+18 x=197200$. Rešitev enačbe je $x=4000$. Prejeto plačilo za opravljeno delo pomočnika je 72000 SIT, za mojstra pa 125200 SIT.

Zapis dnevnice mojstra $x+0,565 x=1,565 x \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-07.jpg?height=52&width=1636&top_left_y=1933&top_left_x=210)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-07.jpg?height=45&width=1639&top_left_y=1985&top_left_x=208)

Odgovora $1+1$ točka

## Drugi letnik

1. Ugotovimo, da širjenje virusa predstavlja linearno funkcijo za naravna števila, pri čemer je $k=0,5$. Tako je enačba funkcije enaka $y=0,5 x$. Odgovor na drugo vprašanje dobimo iz sklepnega računa:

1 klik.......... $0,5 \mathrm{MB}$

$x$ klikov........... $2,5 \cdot 10^{3} \mathrm{MB}$.

Izračunamo $x=\frac{1.2,5 \cdot 10^{3}}{0,5}=5 \cdot 10^{3}$.

Zapis enačbe linearne funkcije za linearno naraščanje $y=k x+n \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-08.jpg?height=54&width=1642&top_left_y=698&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-08.jpg?height=51&width=1642&top_left_y=751&top_left_x=204)

Nastavitev sklepnega računa:

1 klik.......... $0,5 \mathrm{MB}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-08.jpg?height=57&width=1639&top_left_y=894&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-08.jpg?height=75&width=1642&top_left_y=939&top_left_x=207)

Zapis odgovora ......................................................................................................

2. Najprej rešimo enačbo $\frac{(\sqrt[3]{2})^{6} \cdot 2^{-6}}{0,5^{2} \cdot 8^{\frac{2}{3}}}=m \cdot \frac{1}{(\sqrt[3]{2})^{9}}$. Leva stran enačbe je enaka $\frac{2^{2} \cdot 2^{-6}}{2^{-2} \cdot 2^{-2}}=1$, desna stran pa $m \cdot 2^{-3}$. Iz enakosti $1=m \cdot 2^{-3}$ izračunamo $m=8$. Vstavimo $m$ v predpis za funkcijo in dobimo enačbo premice $y=8 x-4$. Narišemo njen graf.

Izračunana leva stran enačbe $\frac{2^{2} \cdot 2^{-6}}{2^{-2} \cdot 2^{-2}}=1$

točki

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-08.jpg?height=51&width=1214&top_left_y=1502&top_left_x=204)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-08.jpg?height=51&width=1214&top_left_y=1551&top_left_x=204)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-08.jpg?height=63&width=1214&top_left_y=1596&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-08.jpg?height=525&width=389&top_left_y=1128&top_left_x=1450)

Narisan graf

1 točka

3. Iz podatka $x+y=15$ izrazimo na primer $y=15-x$. Uporabimo kotno funkcijo $\sin 30^{\circ}=\frac{x}{y}$. Vstavimo $y$ in dobimo $\frac{1}{2}=\frac{x}{15-x}$. Iz te enakosti izračunamo $x=5 \mathrm{~m}$. Izračunamo še $y=10$ $\mathrm{m}$. Nato z uporabo Pitagorovega izreka izračunamo manjkajočo kateto $z^{2}=y^{2}-x^{2}$, katere dolžina je $z=5 \sqrt{3}$. Nato izračunamo obseg $o=x+y+z=15+5 \sqrt{3}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-08.jpg?height=57&width=1636&top_left_y=2013&top_left_x=210)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-08.jpg?height=71&width=1642&top_left_y=2063&top_left_x=204)

Izračun ene neznanke iz $\frac{1}{2}=\frac{x}{15-x}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-08.jpg?height=54&width=1639&top_left_y=2172&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-08.jpg?height=57&width=1639&top_left_y=2222&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-08.jpg?height=63&width=1642&top_left_y=2267&top_left_x=204)

Odgovor .............................................................................................................

4. Narišemo skico: središče krožnice $S$, točka $A$ izven krožnice, dotikališči $B$ in $C$. Označimo kot $\angle B S A$ z $\alpha$, razdaljo od $S$ do $A$ z $x$ in razdaljo od $B$ do $C$ z $2 y$. Ker je trikotnik $A S B$ pravokoten, uporabimo kotno funkcijo $\cos \alpha=\frac{r}{x}$, iz česar izračunamo $\alpha=67,38^{\circ}$. Tudi trikotnik $D S B$ je pravokoten ( $D$ je presečisče daljic $S A$ in $B C$ ). Z uporabo kotne funkcije $\sin \alpha=\frac{y}{r}$, izračunamo $y=r \cdot \sin \alpha=4,6$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-09.jpg?height=374&width=596&top_left_y=267&top_left_x=1184)
Nato izračunamo razdaljo $2 y=9,2$.

Nalogo lahko rešimo drugače: ploščina pravokotnega trikotnika $A S C$ je enaka $\frac{1}{2}|C S| \cdot|C A|=\frac{1}{2}|A S| \cdot|C D|$, od koder izrazimo $|B C|=2|C D|=\frac{2 \cdot|S C| \cdot \sqrt{|S A|^{2}-|S C|^{2}}}{|S A|}=$ $\frac{2 r \sqrt{x^{2}-r^{2}}}{x}=\frac{2 \cdot 5 \cdot 12}{13} \approx 9,2$.

Narisana skica .1 točka

Zapis $\cos \alpha=\frac{r}{x}=\frac{5}{13}$ .1 točka

Izračuna kot $\alpha=67,38^{0}$ 1 točka

Zapis $\sin \alpha=\frac{y}{r}$ 1 točka

Izračun $y=4,6$ 1 točka

Izračunana razdalja $2 y=9,2$. 1 točka

5. Če uporabimo v prvem oklepaju pravilo $a \cdot \sqrt{b}=\sqrt{a^{2} b}$, ki velja za $a \geq 0$, dobimo $((1-$ $\left.x) \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+1-x\right)=\left(\sqrt{\frac{(1-x)^{2}(1+x)}{1-x}}+1-x\right)$, krajšamo in dobimo $(\sqrt{(1-x)(1+x)}+1-x)$. $\left(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-1\right)$. Nato odpravimo oklepaja $\sqrt{\frac{(1-x)(1+x)(1+x)}{1-x}}+\sqrt{\frac{(1-x)(1+x)}{1-x}}-\sqrt{(1-x)(1+x)}-$ $(1-x)$, zopet krajšamo ter dobimo $\sqrt{(1+x)^{2}}-1+x$. Upoštevamo pogoj $\sqrt{a^{2}}=|a|, a \in \Re$. Ker pa je $1+x \geq 0$, imamo rešitev: $1+x-1+x=2 x$.

Nalogo lahko rešimo drugače: ker je $\left((1-x) \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+1-x\right)=(1-x)\left(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+1\right)$, lahko zapišemo $\left((1-x) \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+1-x\right) \cdot\left(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-1\right)=(1-x)\left(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-1\right)=(1-x)\left(\left|\frac{1+x}{1-x}\right|-1\right)=$ $(1-x)\left(\frac{1+x}{1-x}-1\right)=2 x$, kjer smo lahko opustili absolutno vrednost zaradi predpostavke $-1 \leq x<1$.

1. način: Ureditev izraza v prvem oklepaju $\left((1-x) \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+1-x\right)=\left(\sqrt{\frac{(1-x)^{2}(1+x)}{1-x}}+1-x\right)$ in krajšanje .1 točka Pravilna odprava oklepaja

$\sqrt{\frac{(1-x)(1+x)(1+x)}{1-x}}+\sqrt{\frac{(1-x)(1+x)}{1-x}}-\sqrt{(1-x)(1+x)}-(1-x) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1$ točka Ureditev izraza do $\sqrt{(1+x)^{2}}-1+x\left((1-x) \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+1-x\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1$ točka Uporaba pogoja $|1+x|$ 1 točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-09.jpg?height=60&width=1639&top_left_y=2426&top_left_x=206)

Utemeljitev, da druge rešitve ni, saj $1+x$ ne more biti negativen ................. 1 točka 2. način:

Izpostavljen skupni faktor $(1-x)\left(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+1\right)\left(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-1\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka

Poenostavitev do $(1-x)\left(\sqrt{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{2}}-1\right)$ 1 točka

Upoštevanje $\sqrt{a^{2}}=|a|, a \in \Re$. . . 1 točka

Zapis pogoja in izračun:

$(1-x)\left(\frac{1+x}{1-x}-1\right)=1+x-1+x=2 x$, ker je $1+x \geq 0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Utemeljitev, da druge rešitve ni, saj $1+x$ ne more biti negativen ........................................................................

Odprava ulomka pri katerem koli pogoju

$1^{*}$ točka

## Tretji letnik

1. Ker je $g(x)=f(x+1)$, dobimo $g(x)$ tako, da $\mathrm{v} f(x)$ vstavimo $x+1$ namesto $x$. Tako dobimo $g(x)=3^{x+1}$. Podobno dobimo $h(x)=4 \cdot 3^{x}-3$. Presečišča grafov funkcij $g(x)$ $\operatorname{in} h(x)$ dobimo tako, da enačimo enačbi obeh funkcij. Dobimo enačbo $3^{x+1}=4 \cdot 3^{x}-3$. Enačbo uredimo in dobimo rešitev $x=1$. Nato izračunamo še $y$. Dobimo presečišče $P(1,9)$.
Zapis funkcije $g(x)=3^{x+1}$ ..... 1 točka
Zapis funkcije $h(x)=4 \cdot 3^{x}-3$ ..... 1 točka
Nastavitev enačbe $3^{x+1}=4 \cdot 3^{x}-3$ ..... 1 točka
Poenostavitev enačbe $3=3^{x}$ ..... 1 točka
Rešitev: $x=1$ ..... 1 točka
Zapis presečišča $P(1,9)$ ..... 1 točka
2. Enačbo najpraj kvadriramo, pa dobimo $x^{\log \sqrt{x}}=100$. Nato jo še logaritmiramo $\log \sqrt{x}$. $\log x=\log 100$. Enačbo uredimo, dobimo $\frac{1}{2}(\log x)^{2}=2$. Ugotovimo, da je $\log x= \pm 2$, in dobimo rešitvi $x_{1}=100, x_{2}=\frac{1}{100}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-11.jpg?height=63&width=1639&top_left_y=1156&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-11.jpg?height=57&width=1639&top_left_y=1211&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-11.jpg?height=60&width=1639&top_left_y=1261&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-11.jpg?height=48&width=1636&top_left_y=1318&top_left_x=210)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-11.jpg?height=63&width=1636&top_left_y=1365&top_left_x=207)

3. Iz razlike obsegov kvadratov ugotovimo $a_{1}-a_{2}=2$. Iz razlike ploščin kvadratov, dobimo $a_{1}^{2}-a_{2}^{2}=16$, kar lahko razstavimo v $\left(a_{1}+a_{2}\right)\left(a_{1}-a_{2}\right)=16$. Ker je $a_{1}-a_{2}=2$, sledi da je $a_{1}+a_{2}=8$. Iz sistema enačb $a_{1}-a_{2}=2, a_{1}+a_{2}=8$, dobimo rešitvi $a_{1}=3 \mathrm{~cm}$ in $a_{2}=5$ $\mathrm{cm}$. Izračunamo ploščini obeh kvadratov $a_{1}^{2}=9 \mathrm{~cm}^{2}$ in $a_{2}^{2}=25 \mathrm{~cm}^{2}$. Vsota ploščin je 34 $\mathrm{cm}^{2}$.

Ugotovitev $4 a_{1}-4 a_{2}=8 \Rightarrow a_{1}-a_{2}=2$ 1 točka

Upoštevanje razlike kvadratov ploščin

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-11.jpg?height=60&width=1628&top_left_y=1883&top_left_x=217)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-11.jpg?height=49&width=1628&top_left_y=1940&top_left_x=217)

Izračun:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-11.jpg?height=57&width=1628&top_left_y=2033&top_left_x=217)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-11.jpg?height=52&width=1636&top_left_y=2087&top_left_x=210)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-11.jpg?height=60&width=1639&top_left_y=2129&top_left_x=206)

4. Rešimo enačbo $\log _{x-2}(10 x-44)=2$. Upoštevamo definicijo logaritma in dobimo $(x-2)^{2}=$ $10 x-44$. Enačbo uredimo in dobimo $x^{2}-14 x+48=0$. Rešitvi enačbe sta $x=6$ in $x=8$. Tako sta dolžini katet trikotnika enaki $a=6 \mathrm{~cm}$ in $b=8 \mathrm{~cm}$. Po Pitagorovem izreku izračunamo dolžino hipotenuze, ki meri $c=10 \mathrm{~cm}$. Višina prizme je enaka c. Prostornina prizme je $V=S \cdot v=\frac{a \cdot b}{2} \cdot c=240 \mathrm{~cm}^{3}$. Površina prizme je $P=2 S+S_{p l}=288 \mathrm{~cm}^{2}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-11.jpg?height=63&width=1639&top_left_y=2587&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-11.jpg?height=54&width=1637&top_left_y=2644&top_left_x=208)
Zapis npr. $a=6 \mathrm{~cm}$ in $b=8 \mathrm{~cm}$ ..... 1 točka
Izračunana hipotenuza $c=10 \mathrm{~cm}$ ..... 1 točka
Izračuna prostornina $240 \mathrm{~cm}^{2}$ ..... 1 točka
Izračunana površina $288 \mathrm{~cm}^{2}$ ..... 1 točka

5. Sedanja cena naj bo x. Nastavimo enačbo $4 \cdot\left(x+x \cdot \frac{x}{100}\right)=429$. Enačbo poenostavimo in dobimo $x^{2}+100 x-10725=0$. Rešitvi enačbe sta $x=65$ in $x=-165$. Upoštevamo pozitivno rešitev. Štirje paketi sztanejo $4 \cdot 65=260$ tolarjev.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-12.jpg?height=66&width=1642&top_left_y=732&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-12.jpg?height=52&width=1636&top_left_y=788&top_left_x=210)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-12.jpg?height=45&width=1636&top_left_y=840&top_left_x=210)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-12.jpg?height=49&width=1637&top_left_y=888&top_left_x=208)

Odgovor . .............................................................................................................

## Četrti letnik

1. Logaritemsko enačbo preoblikujemo $\mathrm{v} \frac{(x+2)^{2}}{x}=3^{2}$, preuredimo $\mathrm{v} \frac{x^{2}+4 x+4}{x}=9$ oziroma $x^{2}-5 x+4=0$ in razstavimo $(x-4)(x-1)=0$. Dobimo rešitvi $x_{1}=4$ in $x_{2}=1$. Nato še eksponentno enačbo preuredimo v $5^{2 x}=5^{-3}$. Rešitev te enačbe je $x=-\frac{3}{2}$. Iz vseh rešitev danih enačb zapišemo polinom $p(x)=a(x-4)(x-1)\left(x+\frac{3}{2}\right)$. Uporabimo koordinate točke $(2,7)$ in izračunamo vodilni koeficient $a=-1$. Nato polinom zapišemo v ničelni obliki $p(x)=-(x-4)(x-1)\left(x+\frac{3}{2}\right)$.

Preoblikovanje logaritemske enačbe do $x^{2}-5 x+4=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-13.jpg?height=52&width=1642&top_left_y=702&top_left_x=204)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-13.jpg?height=57&width=1639&top_left_y=748&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-13.jpg?height=66&width=1639&top_left_y=795&top_left_x=206)

Zapis polinoma $p(x)=a(x-4)(x-1)\left(x+\frac{3}{2}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Zapis polinoma $p(x)=-(x-4)(x-1)\left(x+\frac{3}{2}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$...................................

2. Vodoravna asimptota dane funkcije je $y=2$. Da dobimo presečišče, moramo enačiti $f(x)$ z asimptoto. Dobimo enačbo $\frac{2 x^{3}+x+1}{x^{3}+1}=2$. Enačbo rešimo tako, da odpravimo ulomek in upoštevamo pogoj $x \neq-1$. Dobimo enačbo $2 x^{3}+x+1=2 x^{3}+2$, ki jo rešimo. Rešitev je $x=1$. Ordinata presečišča je kar vrednost asimptote, tako je $P(1,2)$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-13.jpg?height=51&width=1639&top_left_y=1274&top_left_x=206)

Zapisana enačba $f(x)=2$ ali $\frac{2 x^{3}+x+1}{x^{3}+1}=2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-13.jpg?height=52&width=1639&top_left_y=1373&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-13.jpg?height=51&width=1639&top_left_y=1422&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-13.jpg?height=57&width=1642&top_left_y=1471&top_left_x=207)

3. Najprej uporabimo obrazec za izračun povprečne vrednosti statistične spremenljivke $\bar{x}=$ $\frac{x_{1} f_{1}+x_{2} f_{2}+x_{3} f_{3}}{f_{4}+f_{2}+f_{3}}$. Vstavimo dane podatke in upoštevamo, da je $f_{2}=f_{x}$. Odpravimo ulomek in dobimo $72+4,5 f_{x}=104+4 f_{x}$. Rešitev enačbe je $f_{x}=64$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-13.jpg?height=72&width=1639&top_left_y=1820&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-13.jpg?height=75&width=1639&top_left_y=1887&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-13.jpg?height=55&width=1639&top_left_y=1937&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-13.jpg?height=57&width=1639&top_left_y=1990&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-13.jpg?height=60&width=1636&top_left_y=2037&top_left_x=210)

4. Najprej izračunamo ordinati danih točk: $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ in $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$. Nato izračunamo smerni koeficient $k=\frac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}}$. Zapis poenostavimo $k=\frac{3(\sqrt{3}-1)}{\pi}$. Nato v enačbo premice vstavimo ustrezne podatke $y=k\left(x-x_{1}\right)+y_{1}=\frac{3(\sqrt{3}-1)}{\pi}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}$. Zapis poenostavimo in dobimo $y=\frac{3(\sqrt{3}-1)}{\pi} x+1-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-13.jpg?height=69&width=1636&top_left_y=2470&top_left_x=210)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-13.jpg?height=69&width=1639&top_left_y=2527&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-13.jpg?height=94&width=1642&top_left_y=2580&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-14.jpg?height=77&width=1642&top_left_y=216&top_left_x=204)

Vstavljeni podatki v enačbo premice ................................................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-14.jpg?height=85&width=1642&top_left_y=320&top_left_x=207)

5. Uporabimo obrazec za površino kocke $P=6 a^{2}$. Ugotovimo, da je površina najmanjše kocke prvi člen geometrijskega zaporedja $a_{1}=6 \cdot 5^{2}$. V obrazec za vsoto prvih petih površin kock vstavimo podatke $S_{5}=\frac{6 \cdot 5^{2}\left(4^{5}-1\right)}{4-1}$. Izračunamo vsoto $S_{5}=51150 \mathrm{~cm}^{2}$. Nato v obrazec za peti člen zaporedja vstavimo ustrezne podatke $a_{5}=6 \cdot 5^{2} \cdot 4^{4}$. Nato izračunamo površine $P_{5}=38400 \mathrm{~cm}^{2}$.

Uporaba obrazca za površino kocke $P=6 a^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-14.jpg?height=55&width=1642&top_left_y=812&top_left_x=204)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-14.jpg?height=69&width=1639&top_left_y=862&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-14.jpg?height=57&width=1642&top_left_y=917&top_left_x=204)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-14.jpg?height=60&width=1642&top_left_y=964&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59669f975316a35884bfg-14.jpg?height=57&width=1642&top_left_y=1017&top_left_x=207)


[^0]:    Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.

    Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.

    Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.

[^1]:    Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.

    Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.

    Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.