# Društvo matematikov, fizikov 

in astronomov Slovenije

Jadranska ulica 19

1000 Ljubljana

## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.

## 9. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Državno tekmovanje, 18. april 2009

## Naloge za 1. letnik

1. Če Živa podari sestrici Zarji pet jabolk manj, kot je polovica vseh, ki jih ima, in bratu Jakobu tretjino preostanka, ji ostane šest jabolk več, kot je sedmina vseh, ki jih je imela na začetku. Koliko jabolk dobi Jakob?
2. Poenostavi izraz $\left(\frac{2^{x}+2^{-x}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{2^{x}-2^{-x}}{2}\right)^{2}$.
3. Za katero število $a$ je rešitev neenačbe $\frac{x}{4}-\frac{2(1-x)}{3}<a+\frac{3 x}{2} \operatorname{vsak} x$ z intervala $(-8, \infty)$ ?
4. Brez uporabe žepnega računala izračunaj vrednost izraza

$$
(-5)\left(-\left(\frac{1}{2}+\frac{7}{5}\right)^{0}\right)^{-3}+5^{-2} \cdot\left(2,4 \overline{3}: 10^{-1}+2 \cdot 3^{-1}\right)
$$

5. Konj in mula stopata drug poleg drugega s tovorom na hrbtu. Mula pravi: "Če bi preložila eno vrečo s tvojega na moj hrbet, bi moj tovor tehtal dvakrat toliko kot tvoje. Če pa bi z mojega na tvoj hrbet preložila eno vrečo, bi najina tovora tehtala enako." Koliko vreč je prenašal konj in koliko mula? Vse vreče tehtajo enako. Nalogo reši računsko.

## Za reševanje imaš na voljo 120 minut.

Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran. Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom, čitljivo in pregledno. Grafe funkcij riši s svinčnikom. Če nalogo rešuješ na več načinov, nedvoumno označi, katero rešitev naj ocenjevalec točkuje. Če se zmotiš, napačno prečrtaj.

Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.

Državna tekmovalna komisija ti želi veliko uspeha.

## 9. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Državno tekmovanje, 18. april 2009

## Naloge za 2. letnik

1. Za štirikotnik $A B C D$ velja: točka $A$ ima koordinati $(-2,-3)$, točka $B$ ima koordinati $(1,-5)$, točka $C$ je zrcalna slika točke $E(-6,1)$ pri zrcaljenju preko koordinatnega izhodišča, abscisa točke $D$ je rešitev enačbe $t^{2}-6 t+9=0$, ordinata te točke pa je nasprotna vrednost polovične vsote ordinat točk $A$ in $B$. Nariši skico in izračunaj dolžini diagonal štirikotnika $A B C D$.
2. Natančno izračunaj vrednost izraza $\sqrt{\sqrt{x}+1}-\sqrt{\sqrt{x}-1}$ za $x=2, \overline{7}$. Rezultat zapiši $\mathrm{s}$ koreni.
3. V paralelogramu $A B C D$ je notranji kot $\alpha$ ostri, stranica $B C$ meri $4,5 \mathrm{~cm}$. Na stranici $A B$ leži točka $G$ tako, da velja $|A G|:|G B|=2: 3$. Nosilka daljice $C G$ seka nosilko daljice $A D$ v točki $P$. Izračunaj dolžino daljice $A P$. Nariši skico.
4. Zapiši enačbo premice, ki poteka skozi točko $A(1,3)$ in s koordinatnima osema tvori enakokraki trikotnik. Zapiši vse rešitve.
5. Tetiva kroga ima dolžino $a$ in je od središča kroga oddaljena $\frac{a}{2}$. Izrazi polmer kroga z $a$ in izračunaj velikost ostrega in topega obodnega kota nad tetivo. Nariši skico.

## Za reševanje imaš na voljo 120 minut.

Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran. Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom, čitljivo in pregledno. Grafe funkcij riši s svinčnikom. Če nalogo rešuješ na več načinov, nedvoumno označi, katero rešitev naj ocenjevalec točkuje. Če se zmotiš, napačno prečrtaj.

Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.

Državna tekmovalna komisija ti želi veliko uspeha.

## 9. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Državno tekmovanje, 18. april 2009

## Naloge za 3. letnik

1. Določi parameter $m$ tako, da se bo graf kvadratne funkcije $f(x)=x^{2}+m x+3$ dotikal premice $y=2$. Poišči vse rešitve.
2. Dijaki so šli na ogled razstave in so morali za avtobusni prevoz plačati 120 EUR. Ker so trije dijaki zboleli, je moral vsak izmed preostalih dijakov za prevoz doplačati 2 EUR. Koliko dijakov se je prijavilo na ogled razstave?
3. Izračunaj na eno decimalno mesto natančno, koliko kubičnih metrov zraka je pod šotorom v obliki piramide, ki ga sestavljajo štiri šotorska krila v obliki enakokrakih trikotnikov z osnovnico dolžine $24 \mathrm{dm}$ in krakom dolžine $21 \mathrm{dm}$. Osnovna ploskev te piramide je kvadrat. Nariši skico.
4. Pravokotni trapez ima osnovnici dolgi $10 \mathrm{~cm}$ in $2 \mathrm{~cm}$ ter ploščino $90 \mathrm{~cm}^{2}$. Zavrtimo ga okrog daljše osnovnice. Natančno izračunaj površino in prostornino nastalega telesa.
5. Poišči celoštevilsko rešitev enačbe

$$
\sqrt{3^{x} \sqrt[3]{9^{x} \sqrt[x]{27^{-1}}}}=9 \cdot \sqrt[3]{3}
$$

## Za reševanje imaš na voljo 120 minut.

Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran. Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom, čitljivo in pregledno. Grafe funkcij riši s svinčnikom. Če nalogo rešuješ na več načinov, nedvoumno označi, katero rešitev naj ocenjevalec točkuje. Če se zmotiš, napačno prečrtaj.

Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.

Državna tekmovalna komisija ti želi veliko uspeha.

## 9. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Državno tekmovanje, 18. april 2009

## Naloge za 4. letnik

1. Poenostavi izraz $\frac{1-\cos ^{4} x}{\sin ^{4} x}-2 \tan ^{-2} x$.
2. Polinom $p(x)=x+3$ je skupni delitelj polinomov $r(x)=2 x^{3}+11 x^{2}+a x+b$ in $s(x)=x^{3}-14 x^{2}-3 a x$. Izračunaj $a$ in $b$ ter ničle polinoma $r$.
3. Dana je funkcija $f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{4}$. Zapiši interval na realni osi, na katerem leži graf funkcije $f(x)$ nad grafom funkcije $g(x)=1$.
4. V brezzračnem prostoru pade vsako telo pri prostem padu v prvi sekundi približno $4,9 \mathrm{~m}$ globoko, v vsaki naslednji sekundi pa $9,8 \mathrm{~m}$ več kot v prejšnji.

(a) Koliko metrov pade telo pri prostem padu v brezzračnem prostoru v 20. sekundi?

(b) Koliko metrov pade to telo v 20 sekundah?

5. V podjetju je 22 delavcev, ki imajo vsi enako plačo. V tem podjetju sta zaposlena še dva svetovalca, ki imata medsebojno enaki plači. Povprečna plača je 775 evrov. Naslednji mesec bodo zaposlili še enega svetovalca, ki bo imel enako plačo kot že oba zaposlena svetovalca. Povprečna plača se bo tako povečala na 852 evrov. Izračunaj in zapiši plačo delavca in plačo svetovalca.

## Za reševanje imaš na voljo 120 minut.

Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran. Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom, čitljivo in pregledno. Grafe funkcij riši s svinčnikom. Če nalogo rešuješ na več načinov, nedvoumno označi, katero rešitev naj ocenjevalec točkuje. Če se zmotiš, napačno prečrtaj.

Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.

Državna tekmovalna komisija ti želi veliko uspeha.

## 9. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških <br> in strokovnih šol <br> Državno tekmovanje, 18. april 2009

## Rešitve nalog in točkovnik

## Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki

- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi k rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.

Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, tako rešitev točkujemo z 0 točkami.

Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovico možnih točk.

## Prvi letnik

1. Naj ima Živa $n$ jabolk. Zarji podari $\frac{n}{2}-5$, Jakobu $\frac{n-\left(\frac{n}{2}-5\right)}{3}$. Ker ji ostane $\frac{n}{7}+6$, dobimo enačbo $n-\left(\frac{n}{2}-5\right)-\frac{n-\left(\frac{n}{2}-5\right)}{3}=\frac{n}{7}+6$. Rešitev enačbe je $n=14$. Jakob dobi 4 jabolka.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-06.jpg?height=63&width=1642&top_left_y=1685&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-06.jpg?height=69&width=1642&top_left_y=1736&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-06.jpg?height=68&width=1639&top_left_y=1802&top_left_x=206)

Reševanje enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-06.jpg?height=48&width=1636&top_left_y=1912&top_left_x=210)

Odgovor: Jakob dobi 4 jabolka.......................................................................................

2. Prvi ulomek kvadriramo $\frac{2^{2 x}+2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{-x}+2^{-2 x}}{4}$, prav tako tudi drugi $\frac{2^{2 x}-2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{-x}+2^{-2 x}}{4}$. Ulomka odštejemo in dobimo $\frac{4 \cdot 2^{x} \cdot 2^{-x}}{4}=1$.

I. način

V izrazu nastopa razlika kvadratov, zato ga lahko razcepimo kot

$$
\left(\frac{2^{x}+2^{-x}}{2}+\frac{2^{x}-2^{-x}}{2}\right)\left(\frac{2^{x}+2^{-x}}{2}-\frac{2^{x}-2^{-x}}{2}\right)
$$

V prvem oklepaju dobimo $\frac{2 \cdot 2^{x}}{2}=2^{x}$, v drugem pa $\frac{2 \cdot 2^{-x}}{2}=2^{-x}$. Vrednost izraza je zato $2^{x} \cdot 2^{-x}=1$.
Kvadriranje prvega oklepaja: $\frac{2^{2 x}+2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{-x}+2^{-2 x}}{4}$ ..... 1 točka
Kvadriranje drugega oklepaja: $\frac{2^{2 x}-2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{-x}+2^{-2 x}}{4}$ ..... 1 točka
Upoštevanje predznaka pred drugim ulomkom ..... 1 točka
Odštevanje ulomkov $4 \cdot 2^{x} \cdot 2^{-x}=4$. ..... $1+1^{*}$ točka
Rezultat 1 ..... 1 točka
II. način
Razstavljanje izrazov po pravilu vsote in razlike kvadratov za vsak faktor:
$\frac{2^{x}+2^{-x}}{2}+\frac{2^{x}-2^{-x}}{2}$ ..... 1 točka
$\frac{2^{x}+2^{-x}}{2}-\frac{2^{x}-2^{-x}}{2}$ ..... 1 točka
Seštevanje v vsakem oklepaju: $\frac{2 \cdot 2^{x}}{2}=2^{x}$ ..... 1 točka
$\frac{2 \cdot 2^{-x}}{2}=2^{-x}$ ..... 1 točka
Izračun $\frac{2 \cdot 2^{x}}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2^{-x}}{2}=2^{x} \cdot 2^{-x}$ ..... 1 točka
Rezultat 1 ..... 1 točka

3. Neenačbo pomnožimo z 12 in dobimo $3 x-8(1-x)<12 a+18 x$. Odpravimo oklepaj in uredimo $-7 x<12 a+18 x$. Izrazimo $x>-\frac{12 a+8}{7}$. Upoštevamo dani interval, torej $x>-8$. Primerjamo obe rešitvi in ugotovimo, da je $-\frac{12 a+8}{7}=-8$. Iz te enakosti izračunamo $a=4$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-07.jpg?height=66&width=1642&top_left_y=1166&top_left_x=204)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-07.jpg?height=52&width=1636&top_left_y=1222&top_left_x=210)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-07.jpg?height=68&width=1639&top_left_y=1268&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-07.jpg?height=54&width=1636&top_left_y=1321&top_left_x=210)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-07.jpg?height=63&width=1642&top_left_y=1368&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-07.jpg?height=54&width=1636&top_left_y=1418&top_left_x=210)

4. Upoštevamo, da je $\left(\frac{1}{2}+\frac{7}{5}\right)^{0}=1$. Periodično decimalno število zapišemo z okrajšanim ulomkom $2,4 \overline{3}=\frac{73}{30}$. Izračunamo $-5 \cdot(-1)^{-3}=5$, zapišemo $5^{-2}=\frac{1}{25}$. Izračunamo $2,4 \overline{3}: 10^{-1}+2 \cdot 3^{-1}=\frac{73}{30} \cdot 10+\frac{2}{3}=\frac{75}{3}$. Okrajšamo $\frac{1}{25} \cdot \frac{75}{3}=1$ in izračunamo vrednost izraza 6 .

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-07.jpg?height=77&width=1642&top_left_y=1783&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-07.jpg?height=72&width=1639&top_left_y=1837&top_left_x=206)

Izračun prvega produkta $-5 \cdot(-1)^{-3}=5 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-07.jpg?height=63&width=1639&top_left_y=1942&top_left_x=206)

Izračun zadnjega oklepaja $\frac{73}{30} \cdot 10+\frac{2}{3}=\frac{75}{3} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka

Rezultat..................................................................................................................

5. Naj bo $k$ število vreč konja in $m$ število vreč mule. Če konj da muli eno vrečo, ima konj $k+1$ vreč, mula pa $m+1$ in velja $m+1=2(k-1)$. Če pa mula da konju eno vrečo, ima mula $m-1$ vreč in velja $m-1=k+1$. Rešimo nastali sistem enačb in dobimo rešitev $k=5$ in $m=7$. Konj je prenašal 5 vreč, mula pa 7 .

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-07.jpg?height=63&width=1642&top_left_y=2413&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-07.jpg?height=57&width=1639&top_left_y=2464&top_left_x=206)

Postopek reševanja..................................................................................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-07.jpg?height=54&width=1639&top_left_y=2566&top_left_x=206)

Odgovor . .........................................................................................................

## Drugi letnik

1. Prezrcalimo točko $E(-6,1)$ preko kordinatnega izhodišča in dobimo točko $C(6,-1)$. Rešimo enačbo $t^{2}-6 t+9=0$ in izračunamo absciso točke $D$, ki je enaka 3. Ordinata točke $D$ je $-\frac{(-3-5)}{2}=4$. Z uporabo formule za izračun razdalje med točkama izračunamo dolžini obeh diagonal in sicer $d(A, C)=\sqrt{82+22}=\sqrt{68}$ ter $? d(B, D)=\sqrt{22+92}=\sqrt{85}$.

Skica 1 točka

Koordinati točke $C(6,-1)$ 1 točka Abscisa točke $D\left(x_{D}=3\right) \ldots \ldots \ldots . . .1$ točka Ordinata točke $D\left(y_{D}=4\right) \ldots \ldots . \ldots . .1$ točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-09.jpg?height=617&width=776&top_left_y=300&top_left_x=1071)
Izračun dolžine diagonale $A C d(A, C)=\sqrt{68}$ 1 točka Izračun diagonale $B D d(B, D)=\sqrt{85}$. .1 točka

2. Število $2, \overline{7}$ zapišemo v obliki ulomka, ki ga vstavimo v izraz $\sqrt{\sqrt{\frac{25}{9}}+1}-\sqrt{\sqrt{\frac{25}{9}}-1}$. Poenostavimo $\sqrt{\frac{5}{3}+1}-\sqrt{\frac{5}{3}-1}=\sqrt{\frac{8}{3}}-\sqrt{\frac{2}{3}}$. Delno korenimo $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$. Dobimo $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ ter nato še racionaliziramo. Rezultat je $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-09.jpg?height=72&width=1642&top_left_y=1346&top_left_x=204)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-09.jpg?height=91&width=1642&top_left_y=1411&top_left_x=204)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-09.jpg?height=83&width=1642&top_left_y=1483&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-09.jpg?height=86&width=1642&top_left_y=1553&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-09.jpg?height=52&width=1636&top_left_y=1616&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-09.jpg?height=77&width=1636&top_left_y=1652&top_left_x=207)

3. Narišemo ustrezno skico. Ugotovimo, da sta si trikotnika $A G P$ in $G B C$ podobna. Izrazimo dolžini $|A G|=2 x$ ter $|G B|=3 x$. Upoštevamo, da je kvocient istoležnih stranic konstanten: $|A G|:|G B|=|A P|:|B C|$, izrazimo in izračunamo $|A P|=\frac{|B C| \cdot|A G|}{|G B|}=\frac{4,5 \cdot 2 x}{3 x}=3$.

Skica paralelograma s pravilnim vnosom $G 1$ točka Ugotovitev ali upoštevanje, da sta trikotnika $A G P$ in $G B C$ podobna. . 1 točka Zapis ali upoštevanje $|A G|=2 x$ ter $|G B|=3 x$. 1 točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-09.jpg?height=577&width=737&top_left_y=1790&top_left_x=1139)
Zapis sorazmerja $|A G|:|G B|=|A P|:|B C|$ ..... 1 točka
Izražen $|A P|=\frac{|B C| \cdot|A G|}{|G B|}$. ..... 1 točka ..... 1 točka
Izračun $\frac{4,5 \cdot 2 x}{3 x}=3$

4. Ugotovimo, da sta odseka, ki ju iskana premica odreže na koordinatnih oseh, enaka. Zapišemo $k_{1}=1 \mathrm{oz} k_{2}=-1$. Upoštevamo še točko $A$ v zapisu iskane premice in zapišemo njeni enačbi $y=x+2$ ter $y=-x+4$.

$\mathrm{I}:$ način

Skica 1 točka

Ugotovitev $k_{1}=1$ oz $k_{2}=-1 \ldots \ldots \ldots \ldots . . .1$ točka

Zapis premice $y_{1}=k_{1} x_{1}+n_{1} \ldots \ldots \ldots \ldots . . .1$ točka

Izračun $n_{1}=2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-10.jpg?height=534&width=708&top_left_y=224&top_left_x=1139)

Zapis premice $y=x+2$. 1 točka

Zapis druge premice $y=-x+4$

1 točka

II: način

Izračunamo $n=4$ ter zapišemo enačbo $y=-x+4$. Uporabimo še zvezo $m=-n$ in izračunamo $n=2$ ter zapišemo enačbo $y=x+2$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-10.jpg?height=57&width=1636&top_left_y=1031&top_left_x=210)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-10.jpg?height=51&width=1639&top_left_y=1085&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-10.jpg?height=52&width=1642&top_left_y=1136&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-10.jpg?height=46&width=1642&top_left_y=1188&top_left_x=204)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-10.jpg?height=60&width=1642&top_left_y=1232&top_left_x=204)

5. Z uporabo Pitagorovega izreka v trikotniku ATS izrazimo $r^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{2}$. Nato korenimo ter racionaliziramo $r=\frac{a \sqrt{2}}{2}$. Ker je $A T S$ enakokrak pravokotni trikotnik, zato je $\varphi=45^{\circ}$. (Kot lahko izračunamo tudi z uporabo kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku $A T S$ in sicer: $\tan \varphi=\frac{\frac{a}{\frac{a}{a}}}{\frac{a}{2}}=$ 1.) Izračunamo središčni kot $\varphi=45^{\circ}$. Nato izračunamo še oba obodna kota. Ostri obodni kot nad tetivo $A B$ meri $45^{\circ}$, topi pa $135^{\circ}$.

Ustrezna skica 1 točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-10.jpg?height=517&width=528&top_left_y=1369&top_left_x=1324)

Uporaba Pitagorovega izreka $r^{2}=\frac{a^{2}}{2}$ 1 točka

Izračun $r=\frac{a \sqrt{2}}{2}$

1 točka

Uporaba kotnih funkcij $\tan \varphi=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}}=1$.

1 točka

Izračun kota $\varphi=45^{\circ}$

1 točka

Izračun obodnih kotov $45^{\circ}$ in $135^{\circ}$

1 točka

## Tretji letnik

1. Ugotovimo, da teme kvadratne funkcije leži na premici $y=2$, torej $q=2$. Uporabimo formulo za $D$ in $q$, v katero vstavimo podatke $2=-\frac{m^{2}-12}{4}$, odpravimo ulomek ter dobimo $m^{2}-4=0$. Rešitvi nastale enačbe sta $m_{1}=2$ in $m_{2}=-2$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-11.jpg?height=63&width=1642&top_left_y=485&top_left_x=204)

Izračun $D=m^{2}-12$..................................................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-11.jpg?height=71&width=1639&top_left_y=587&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-11.jpg?height=54&width=1639&top_left_y=641&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-11.jpg?height=60&width=1639&top_left_y=690&top_left_x=206)

2. Po besedilu zapišemo enačbi $n \cdot c=120$ in $(n-3)(c+2)=120$. Rešimo nastali sistem enačb. Dobimo kvadratno enačbo $c^{2}+2 c-80=0$. Upoštevamo pozitivno rešitev $c=8$ in izračunamo $n=15$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-11.jpg?height=60&width=1639&top_left_y=1009&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-11.jpg?height=57&width=1639&top_left_y=1062&top_left_x=206)

Reševanje sistema .................................................................................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-11.jpg?height=57&width=1639&top_left_y=1162&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-11.jpg?height=57&width=1642&top_left_y=1211&top_left_x=207)

Odgovor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 točka

3. Ker je osnovna ploskev piramide kvadrat, so njegove stranice dolge $24 \mathrm{dm}$. (Če bi namreč bile dolge $21 \mathrm{dm}$, iz trikotnikov ne bi morali oblikovati piramide.) Izračunamo dolžino diagonale osnovne ploskve piramide; $|A C|=d=a \sqrt{2}=24 \sqrt{2} \mathrm{dm}$. S pomočjo pravokotnega trikotnika $A F E \mathrm{~s}$ Pitagorovim izrekom izračunamo višino šotora z enačbo; $v^{2}=s^{2}-\left(\frac{d}{2}\right)^{2}$. Vstavimo podatke, korenimo in izračunamo približek $v=1,237 \mathrm{~m}$. Podatke vstavimo v formulo za izračun prostornine pokončne štiristrane piramide $V=\frac{a^{2} v}{3}$. Izračunamo $V=2,4 \mathrm{~m}^{3}$.

Narisana skica 1 točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-11.jpg?height=528&width=528&top_left_y=1392&top_left_x=1324)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-11.jpg?height=68&width=1637&top_left_y=1925&top_left_x=208)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-11.jpg?height=68&width=1636&top_left_y=1982&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-11.jpg?height=57&width=1636&top_left_y=2036&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-11.jpg?height=66&width=1639&top_left_y=2080&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-11.jpg?height=57&width=1642&top_left_y=2133&top_left_x=204)

4. Iz obrazca za ploščino trapeza izračunamo višino trapeza $v=$ $\frac{2 \cdot S}{a+c}=15 \mathrm{~cm}$. Izračunamo še višino stožca $v_{s}=a-c=8 \mathrm{~cm}$. Ugotovimo, da je $v_{v}=c$ in da sta polmera valja in stožca enaka višini trapeza. Izračunamo prostornino sastavljenega telesa $V=$ $V_{s}+V_{v}=\pi r^{2}\left(v_{v}+\frac{v_{s}}{3}\right)=1050 \pi \mathrm{cm}^{3}$. Izračunamo površino sestavljenega telesa $P=S+S_{p l_{v}}+S_{p l_{s}}=\pi\left(r^{2}+2 r v_{v}+r_{s}\right)=$ $540 \pi \mathrm{cm}^{2}$

Izračun višine trapeza $v=15 \mathrm{~cm}$ .1 točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-12.jpg?height=477&width=483&top_left_y=221&top_left_x=1366)

Izračun stranskega roba $s=\sqrt{r^{2}+v_{s}^{2}}=17 \mathrm{~cm} \ldots \ldots \ldots .1$ točka Izračun prostornine $V=V_{s}+V_{v}=\pi r^{2}\left(v_{v}+\frac{v_{s}}{3}\right)=1050 \pi \mathrm{cm}^{3}$ $1+1^{*}$ točka Izračun površine $P=S+S_{p l_{v}}+S_{p l_{s}}=\pi\left(r^{2}+2 r v_{v}+r_{s}\right)=540 \pi \mathrm{cm}^{2}$ $1+1^{*}$ točka OPOMBA: Za napačno enoto odštejemo 1 točko.

5. Enačbo zapišemo v obliki produkta potenc, množimo potence $\mathrm{z}$ istimi osnovami $3^{\frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{1}{2 x}}=$ $3^{2+\frac{1}{3}}$. Enačimo eksponente in dobimo enačbo $5 x^{2}-14 x-3=0$. Rešitvi enačbe sta $x_{1}=3$ in $x_{2}=-\frac{1}{5}$. Izberemo celoštevilsko rešitev $x=3$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-12.jpg?height=66&width=1639&top_left_y=1138&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-12.jpg?height=74&width=1642&top_left_y=1191&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-12.jpg?height=51&width=1642&top_left_y=1251&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-12.jpg?height=52&width=1642&top_left_y=1299&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-12.jpg?height=68&width=1642&top_left_y=1345&top_left_x=207)

## Četrti letnik

1. V števcu prvega ulomka uporabimo obrazec za razliko kvadratov in zapišemo produkt $\left(1-\cos ^{2} x\right)\left(1+\cos ^{2} x\right)$. Upoštevamo naslednji zvezi: $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ in $1-\cos ^{2} x=\sin ^{2} x$. Prvi ulomek krajšamo $\mathrm{s} \sin ^{2} x$ ter potenciramo drugi ulomek z eksponentom -2 . Ulomka seštejemo in dobimo $\frac{1-\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x}$. V števcu ponovno upoštevamo zvezo $1-\cos ^{2} x=\sin ^{2} x$, zato je rezultat 1 .

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-13.jpg?height=309&width=1642&top_left_y=568&top_left_x=204)

2. Uporabimo Hornerjev algoritem za oba polinoma, kjer upoštevamo, da je -3 ničla obeh polinomov. Dobimo enačbi $-3 a+b+45=0$ in $9 a-153=0$. Rešitev sistema nam da rešitvi $a=17$ in $b=6$. Upoštevamo obe rešitvi in rešimo kvadratno enačbo $2 x^{2}+5 x+2=0$. Dobimo še preostali rešitvi $x_{2}=-2$ in $x_{3}=-\frac{1}{2}$.

Uporaba Hornerjevega algoritma in zapis enačbe $-3 a+b+45=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-13.jpg?height=54&width=1639&top_left_y=1241&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-13.jpg?height=51&width=1639&top_left_y=1288&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-13.jpg?height=48&width=1639&top_left_y=1341&top_left_x=206)

Izračunani preostali ničli $x_{2}=-2$ in $x_{3}=-\frac{1}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \ldots \ldots 1^{*}$ točka

3. Zapis racionalne funkcije uredimo. Zapišemo racionalno neenačbo $\frac{5-x}{4 x-4}>1$. Preoblikujemo neenačbo v zapis $\frac{9-5 x}{4 x-4}>0$. Izračunamo ničle števca in imenovalca ter določimo njihove stopnje. Določimo predznake ulomka na posameznih intervalih ter zapišemo rešitve neenačbe.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-13.jpg?height=66&width=1639&top_left_y=1709&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-13.jpg?height=63&width=1642&top_left_y=1762&top_left_x=207)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-13.jpg?height=63&width=1639&top_left_y=1822&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-13.jpg?height=63&width=1636&top_left_y=1873&top_left_x=210)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-13.jpg?height=54&width=1639&top_left_y=1926&top_left_x=206)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-13.jpg?height=63&width=1639&top_left_y=1970&top_left_x=206)

4. Iz besedila naloge razberemo prvi člen $a_{1}=4,9$ in diferenco zaporedja $d=9,8$. Po obrazcu za splošno člen aritmetičnega zaporedja izračunamo 20 . člen $a_{20}=a_{1}+19 d=191,1 \mathrm{~m}$. Uporabimo obrazec za vsoto prvih $n$ členov aritmetičnega zaporedja $S_{20}=\frac{20}{2}\left(2 a_{1}+19 d\right)=$ $1960 \mathrm{~m}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-13.jpg?height=317&width=1642&top_left_y=2331&top_left_x=207)

5. Upoštevamo obrazec za povprečje - aritmetično sredino $\bar{x}=\frac{f_{1} \cdot x_{1}+f_{2} \cdot x_{2}}{N}$ in dobimo $\frac{22 \cdot a+2 \cdot b}{24}=775$ in $\frac{2 \cdot a+3 \cdot b}{25}=852$. Odpravimo imenovalca $\mathrm{v}$ obeh enačbah in dobimo sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama: $22 a+2 b=18600$ in $22 a+3 b=21300$. Enačbi odštejemo in dobimo $b=2700$, vstavimo $\mathrm{v}$ eno od enačb in dobimo $a=600$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-14.jpg?height=63&width=1636&top_left_y=454&top_left_x=210)
Zapis enačbe $\frac{22 \cdot a+2 \cdot b}{24}=775$ in $\frac{2 \cdot a+3 \cdot b}{25}=852 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1+1^{*}$ točka Izračun $b=2700$ 1 točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93a0a0489a8a740fd9e9g-14.jpg?height=52&width=1639&top_left_y=608&top_left_x=208)

Zapis odgovora: Plača delavca je 600 evrov, svetovalca pa $2700 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots$ točka