# Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
# dIFA
11. tekmovanje $\mathbf{v}$ znanju matematike
za dijake srednjih tehniških
in strokovnih šol
Državno tekmovanje, 16. april 2011
## Naloge za 1. letnik
1. Brata Anže in Uroš imata skupno 312 evrov. Če bi Anže dal Urošu $4 \%$ svojega zneska, bi imel Uroš 4-krat tolikšen znesek kot Anže. Izračunaj zneska, ki ga imata Anže in Uroš.
2. Poenostavi izraz $\left(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}-1\right):\left(\frac{x^{3}}{y^{3}}+\frac{y^{3}}{x^{3}}\right)$ ter izračunaj njegovo natančno vrednost za $x=\sqrt{33}$ in $y=\sqrt{77}$.
(6 točk)
3. Vsota števk trimestnega števila je 18. Prva števka je enaka osmini števila, ki ga tvorita ostali dve števki, zadnja pa je enaka osmini števila, ki ga tvorita prvi dve števki. Izračunaj to število.
(8 točk)
4. Izračunaj, za katere vrednosti $x$ je vrednost izraza $2(x-1)^{2}+4$ vsaj toliko, kot je vrednost izraza $(x-1)(x+2)+x(x-3)$.
(6 točk)
5. Janez, Marjeta in Tine so zbirali stari papir, za kar so dobili denarno nagrado. Prvotno naj bi bila nagrada razdeljena v razmerju $7: 6: 5$. Kasneje so dogovor spremenili in so nagrado razdelili v razmerju $6: 5: 4$.
a) Katera od obeh delitev je za Tineta ugodnejša? Odgovor utemelji.
b) Janez je dobil pri drugi delitvi 120 evrov več kot Marjeta. Koliko evrov je dobil vsak izmed njih?
## Za reševanje imaš na voljo 120 minut.
Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran. Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom, čitljivo in pregledno. Grafe funkcij riši s svinčnikom. Če nalogo rešuješ na več načinov, nedvoumno označi, katero rešitev naj ocenjevalec točkuje. Če se zmotiš, napačno prečrtaj.
Državna tekmovalna komisija ti želi veliko uspeha.
# $\triangle \mathrm{MFA}$
11. tekmovanje $\mathbf{v}$ znanju matematike
za dijake srednjih tehniških
in strokovnih šol
Državno tekmovanje, 16. april 2011
## Naloge za 2. letnik
1. Zapiši enačbo premice, ki je vzporedna premici $y=3-\frac{x}{2}$ in s koordinatnimi osmi tvori trikotnik s ploščino 49.
2. Ob poplavi nam je voda zalila sobo v kleti, zato smo vključili vodno črpalko, ki prečrpa 180 litrov vode na minuto. Soba je dolga $3,7 \mathrm{~m}$, široka $2,3 \mathrm{~m}$, višina vode v sobi pa je bila $1,2 \mathrm{~m}$.
a) Zapiši, kako se je količina vode v sobi ob prečrpavanju spreminjala, kot funkcijo časa.
b) Zapiši, v kolikšnem času je bila iz sobe izčrpana vsa voda. Rezultat naj bo v minutah in sekundah.
3. Pošči točko $T(x, y)$ na abscisni osi, ki je enako oddaljena od točk $A(1,4)$ in $B(7,2)$ ter natančno izračunaj dolžino višine trikotnika $A T B$ na stranico $A B$.
4. Okrajšaj ulomek $\frac{a^{2 x+2}+a^{2 x+1}-16 a^{2 x}-16 a^{2 x-1}}{a^{2 x+1}+5 a^{2 x}+4 a^{2 x-1}}$.
5. Poenostavi $\left((\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}-\left(\frac{\sqrt{x}^{3}-\sqrt{y}^{3}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\right)\right)(\sqrt{x y})^{-1}$.
(6 točk)
## Za reševanje imaš na voljo 120 minut.
Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran. Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom, čitljivo in pregledno. Grafe funkcij riši s svinčnikom. Če nalogo rešuješ na več načinov, nedvoumno označi, katero rešitev naj ocenjevalec točkuje. Če se zmotiš, napačno prečrtaj.
Državna tekmovalna komisija ti želi veliko uspeha.
## dIFA
11. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Državno tekmovanje, 16. april 2011
| $\mathrm{N} 1$ | $\mathrm{~N} 2$ | $\mathrm{~N} 3$ | $\mathrm{~N} 4$ | $\mathrm{~N} 5$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | | | | |
1. Minko in Binko se pripravljata na atletsko tekmovanje, zato trenirata na zemljišču oblike paralelograma z oglišči $A B C D$ s podatki $S=28 \sqrt{3} \mathrm{~km}^{2}, \beta=120^{\circ}, a+b=15 \mathrm{~km}$. Minko mora preteči razdaljo med točkama $A$ in $C$, Binko pa med točkama $B$ in $D$. Za koliko km je Minkova pot daljša?
2. Dve kmetici sta prinesli na tržnico skupaj 100 jajc. Imeli sta različno število jajc, vendar sta zanje dobili enako vsoto denarja. Prva je rekla drugi: "Če bi jaz imela tvoja jajca, bi zanje dobila 15 evrov."Druga ji je odgovorila: "Če bi jaz prodajala tvoja jajca, bi dobila zanje $6 \frac{2}{3}$ evrov."Koliko jajc je imela vsaka?
(7 točk)
3. Pravilna štiristrana prizma ima površino $2520 \mathrm{~cm}^{2}$. Če bi bila ta prizma za $3 \mathrm{~cm}$ nižja, bi bila njena površina enaka $2304 \mathrm{~cm}^{2}$. Kolikšna bi bila tedaj njena prostornina?
(8 točk)
4. Reši enačbo $\frac{1}{3} \log \left(271+3^{\sqrt{2} x}\right)=2-\log 10$. Rezultat naj bo natančen in racionaliziran.
5. Ali je vsota kvadratov treh zaporednih celih števil lahko enaka kvadratu kakšnega celega števila? Odgovor utemelji.
(6 točk)
## Za reševanje imaš na voljo 120 minut.
Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran. Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom, čitljivo in pregledno. Grafe funkcij riši s svinčnikom. Če nalogo rešuješ na več načinov, nedvoumno označi, katero rešitev naj ocenjevalec točkuje. Če se zmotiš, napačno prečrtaj.
Državna tekmovalna komisija ti želi veliko uspeha.
## dIEA
11. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
Državno tekmovanje, 16. april 2011
## Naloge za 4. letnik
1. Zapiši enačbo premice, ki gre skozi negativno ničlo polinoma $p(x)=-x^{4}+2 x^{3}+x^{2}-2 x$ in presečičče njegovega grafa z navpičnico, ki je oddaljena od ordinatne osi dve enoti v levo.
(7 točk)
2. V funkciji $f(x)=\frac{x^{2}+a}{x^{2}+b}$ je konstanta $a$ enaka abscisi, $b$ pa ordinati točke $M$, v kateri doseže funkcija $g(x)=2 x^{2}+12 x+19$ najmanjšo vrednost. Določi konstanti $a$ in $b$ ter nariši graf funkcije $f(x)$.
3. Premica $3 x-y-6=0$ je tangenta krožnice, katere središče je v točki $C(6,2)$. Izračunaj polmer te krožnice. Rezultat naj bo točen.
4. Podjetje AMBICIOZNI je naredilo načrt proizvodnje za leto 2011 in nekaj naslednjih let. Načrtujejo, da bo proizvodnja vsako naslednje leto dvakrat tolikšna kot predhodno leto. Proizvodnja v zadnjem letu načrtovalnega obdobja bo 320 ton, skupna proizvodnja v teh letih pa bo znašala 630 ton. Kolikšna bo proizvodnja leta 2011? Koliko let vnaprej načrtujejo?
(6 točk)
5. Vsota členov aritmetičnega zaporedja brez zadnjega člena je 77, vsota členov istega zaporedja brez prvega člena pa je 119. Vsota prvega in zadnjega člena je 14. Določi prvi člen, diferenco in število členov.
(6 točk)
## Za reševanje imaš na voljo 120 minut.
Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran. Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom, čitljivo in pregledno. Grafe funkcij riši s svinčnikom. Če nalogo rešuješ na več načinov, nedvoumno označi, katero rešitev naj ocenjevalec točkuje. Če se zmotiš, napačno prečrtaj.
Državna tekmovalna komisija ti želi veliko uspeha.
11. tekmovanje v znanju matematike
za dijake srednjih tehniških
in strokovnih šol
Državno tekmovanje, 16. april 2011
# Rešitve nalog in točkovnik
## Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, tako rešitev točkujemo z 0 točkami.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovico možnih točk.
## Prvi letnik
1. Upoštevamo, da imata brata skupaj $x+y=312$ evrov. Iz besedila naloge zapišemo enačbo $\left(x-\frac{4}{100} x\right) \cdot 4=y+\frac{4}{100} x$. V enačbi odpravimo oklepaje $4 x-\frac{4}{25} x=312-x+\frac{1}{25}$ in jo uredimo $96 x+24 x=7800$. Izračunamo $x=65$. Nato izračunamo še $y=247$. Zapišemo odgovor: Anže je imel 65 evrov, Uroš pa 247 evrov.
Zapis zveze $x+y=312$ ali $x=312-y \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Odgovor . ..........................................................................................................
2. Uredimo izraza v okepajih oziroma razširimo ulomke na skupna imenovalca: prvi oklepaj $\frac{x^{4}+y^{4}-x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}}$ in drugi oklepaj $\frac{x^{6}+y^{6}}{x^{3} y^{3}}$. Preoblikujemo izraz iz deljenja v množenje. Uporabimo obrazec za vsoto kubov in razstavimo drugi imenovelec $x^{6}+y^{6}=\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x^{4}-x^{2} y^{2}+y^{4}\right)$. Okrajšamo ulomka ter v poenosavljen izraz $\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}$ vstavimo vrednosti za $x$ in $y$. Delno korenimo števec $\sqrt{33 \cdot 77}=11 \sqrt{21}$, okrajšamo ulomek in dobimo rezultat $\frac{\sqrt{21}}{10}$.
Poenostavljen izraz $\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}$..............................................................................................................................
Rezultat $\frac{\sqrt{21}}{10}$
3. Števke označimo npr. z $a, b, c$. Po besedilu naloge zapišemo prvo zvezo $a+b+c=18$, drugo $a=\frac{1}{8}(10 b+c)$ in tretjo $c=\frac{1}{8}(10 a+b)$. Enačbe uredimo in dobimo sistem treh enačb $\mathrm{s}$ tremi neznankami:
$a+b+c=18$,
$8 a-10 b-c=0$,
$-10 a-b+8 c=0$.
Rešitve sistema so $a=6, b=4$ in $c=8$. Iskano število je 648 .
4. Nastavimo neenakost $2(x-1)^{2}+4 \geq(x-1)(x+2)+x(x-3)$. Odpravimo oklepaje $2\left(x^{2}-2 x+1\right)+4 \geq x^{2}+x-2+x^{2}-3 x$ in neenakost uredimo $2 x^{2}-4 x+2+4 \geq 2 x^{2}-2 x-2$. Upoštevamo pravila za računanje $\mathrm{z}$ neenakostmi in dobimo $-2 x \geq-8$. Delimo $\mathrm{z}-2$ in dobimo $x \leq 4$.
Zapis neenačbe $2(x-1)^{2}+4 \geq(x-1)(x+2)+x(x-3) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Množenje $(x-1)(x+2)=x^{2}+x-2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
5. Sklepamo, da je skupna nagrada $x$ prvotno sestavljena iz 18 delov, druga delitev pa iz 15 delov. Prvotno dobi Janez $\frac{7}{18} x$, Marjeta $\frac{6}{18} x$ in Tine $\frac{5}{18} x$. Po drugi delitvi dobi Janez $\frac{6}{15} x$, Marjeta $\frac{5}{15} x$ in Tine $\frac{4}{15} x$. Števila uredimo po velikosti, npr. razširimo na skupni imenovalec: prva delitev $\frac{35}{90} x, \frac{30}{90} x, \frac{25}{90} x$ in druga delitev $\frac{36}{90} x, \frac{30}{90} x, \frac{24}{90} x$. Ugotovimo, da Tine dobi več pri prvi delitvi. Za drugi del naloge nastavimo zvezo $\frac{36}{90} x=\frac{30}{90} x+120$. Rešitev enačbe je $x=1800$ evrov. Janez bobi 720 evrov, Marjeta 600 evrov, Tune pa 480 evrov.
Zapis deležev po prvi delitvi za Janeza $\frac{7}{18} x$, Marjeto $\frac{6}{18} x$ in Tineta $\frac{5}{18} x \ldots \ldots \ldots \ldots .1$ točka Zapis deležev po drugi delitvi za Janeza $\frac{6}{15} x$,Marjeto $\frac{5}{15} x$ in Tineta $\frac{4}{15} x \ldots \ldots \ldots \ldots 1$ točka Ureditev po velikosti prva delitev: $\frac{35}{90} x, \frac{30}{90} x, \frac{25}{90} x$ in druga delitev $\frac{36}{90} x, \frac{30}{90} x, \frac{24}{90} x \ldots \ldots 1$ točka Zapis odgovora: Tine dobi več pri prvi delitvi ......................................................................................................
Odgovor:Janez dobi 720 evrov, Marjeta 600 evrov, Tine pa 480 evrov................ 1 točka
## Drugi letnik
1. Vzporedne premice imajo enak smerni koeficient $k=-\frac{1}{2}$ Če uporabimo odsekovno obliko enačbe premice $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$, je ploščina enaka $S=\frac{|m \cdot n|}{2}$. Iz odsekovne oblike preoblikujemo v
eksplicitno in dobimo $y=-\frac{n}{m} x+n$. Torej je $k=-\frac{n}{m}=-\frac{1}{2}$ in $m=2 n$. Upoštevamo ploščino $S=\frac{|m \cdot n|}{2}$ in dobimo $49=n^{2}$. Imamo dve možnosti: $n=7, m=14$ ali $n=-7, m=-14$. Obstajata dve takšni premici: $\frac{x}{14}+\frac{y}{7}=1$ in $\frac{x}{-14}+\frac{y}{-7}=1$.
Zapis enačbe $m=2 n$.................................................................................................
2. Izračunamo količino vode v kleti $V=3,7 \cdot 2,3 \cdot 1,2=10,212 \mathrm{~m}^{3}=10212 \mathrm{dm}^{3}$. Količino vode zapišemo kot funkcijo časa $f(t)=10212-180 t$. Vsa voda bo izčrpana, ko bo vrednost funkcije $f(t)=0$. Rešimo enačbo $10212-180 t=0$. Dobimo $t=56,73$ minut, kar je 56 minut in 44 sekund.
Izračun volumna $V=3,7 \cdot 2,3 \cdot 1,2=10,212 \mathrm{~m}^{3} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots$ točka
Izračun časa $t=56,73$ minut . ...........................................................................................................
Rezultat 56 minut in 44 sekund..............................................................................
3. Ker je točka $T(x, y)$ enako oddaljena od točk $\mathrm{A}$ in $\mathrm{B}$, zapišemo enakost $d(A, T)=d(B, T)$. Razdaljo med točkama izračunamo po formuli $d(A, T)=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$. Točka T leži na abscisni osi, zato je $T(x, 0)$. Enačimo $\sqrt{(x-1)^{2}+(0-4)^{2}}=\sqrt{(x-7)^{2}+(0-2)^{2}}$. Enačbo kvadriramo in poenostavimo $12 x=36$. Iz tega dobimo $x=3$. Točka $\mathrm{T}$ ima torej koordinati $T(3,0)$. Ker je $\triangle A B T$ enakokraki trikotnik, višina razpolavlja osnovnico in je zato višina enaka razdalji med točkama $\mathrm{S}$ in $\mathrm{T}$, pri čemer je $\mathrm{S}$ razpolovišče stranice $\mathrm{AB}$. Koordinati razpolovišča sta $S\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$. Torej je točka $S\left(\frac{1+7}{2}, \frac{4+2}{2}\right)$ enaka (4,3). Razdalja $d(S, T)=\sqrt{10}$.
Kvadriranje enačbe $x^{2}-2 x+1+16=x^{2}-14 x+49+4 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$................................
4. Izpostavimo skupni faktor v števcu $a^{2 x-1}\left(a^{3}+a^{2}-16 a-16\right)$ in v imenovalcu $a^{2 x-1}\left(a^{2}+5 a+4\right)$. Izpostavljena faktorja $a^{2 x-1}$ lahko krajšamo. Števec razstavimo z izpostavljanjem skupnega faktorja $a^{2}(a+1)-16(a+1)=(a+1)\left(a^{2}-16\right)=(a+1)(a+4)(a-4)$. V imenovalcu razstavimo po Vietovem pravilu $(a+1)(a+4)$. Ulomek okrajšamo in dobimo $a-4$.
Izpostavljanje skupnega faktorja v števcu $a^{2 x-1}\left(a^{3}+a^{2}-16 a-16\right)$ .1 točka
Izpostavljanje skupnega faktorja v imenovalcu $a^{2 x-1}\left(a^{2}+5 a+4\right)$ ..... 1 točka
Izpostavljanje v števcu $a^{2}(a+1)-16(a+1)$ ..... 1 točka
Rastavljanje števca $(a+1)(a+4)(a-4)$ ..... 1 točka
Krajšanje ..... 1 točka
Rastavljanje imenovalca $(a+1)(a+4)$ ..... 1 točka
Rezultat $a-4$ ..... 1 točka
5. Kvadriramo $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}=x+2 \sqrt{x y}+y$ ter razstavimo števec ulomka $\frac{\sqrt{x} 3-\sqrt{3}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{x y}+y)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$. Ulomek krajšamo in dobimo $x+\sqrt{x y}+y$. Poenostavimo oklepaj $x+2 \sqrt{x y}+y-(x+\sqrt{x y}+y)=\sqrt{x y}$. Uredimo zapis $(\sqrt{x y})^{-1}=\frac{1}{\sqrt{x y}}$. Dobimo $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$, okrajšamo in dobimo 1 .
Krajšanje ulomka $\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{x y}+y)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=x+\sqrt{x y}+y \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1$ točka Poenostavitev oklepaja $x+2 \sqrt{x y}+y-(x+\sqrt{x y}+y)=\sqrt{x y} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka
## Tretji letnik
1. V obrazec za ploščino paralelograma $S=a \cdot b \cdot \sin \alpha$ vstavimo podatke
$28 \sqrt{3}=a(15-a) \sin 60^{\circ}$ uredimo enačbo $a^{2}-15 a+56=0$ in jo rešimo. Dobimo rešitvi $a=7 \mathrm{~km}$ in $b=8 \mathrm{~km}$. Uporabimo kosinusni izrek za izračun dolžin diagonal: $e^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \beta$ in $f^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \alpha$. Izračunamo dolžini obeh diagonal $e=13$ $\mathrm{km}$ in $f=7,5 \mathrm{~km}$. Minkova pot je torej daljša za približno $5,5 \mathrm{~km}$.
Zapis ali uporaba kosinusnega izreka $e^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \beta$ in $f^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \alpha$ 1 točka
Odgovor: Minkova pot je torej daljša za približno $5,5 \mathrm{~km}$. 1 točka
2. Če je prva kmetica imela $x$ jajc, potem jih je imela druga $100-x$. Če bi prva kmetica imela $100-x$ jajc, bi dobila zanje 15 evrov. Torej je prodajala svoja jajca po $\frac{15}{(100-x)}$. Če bi druga kmetica imela $x$ jajc, bi dobila zanje $6 \frac{2}{3}$ evra. Torej je prodajala svoja jajca po $6 \frac{2}{3}: x=\frac{20}{3 x}$. Prva kmetica je dobila za svoja jajca $\frac{x \cdot 15}{(100-x)}=\frac{15 x}{(100-x)}$, druga pa $(100-x) \cdot \frac{20}{3 x}=\frac{20(100-x)}{3 x}$. Glede na to, da sta obe dobili enako vsoto denarja, lahko zapišemo enačbo $\frac{15 x}{(100-x)}=\frac{20(100-x)}{3 x}$. Ko enačbo uredimo, dobimo kvadratno enačbo $x^{2}+160 x-8000=0$, ki ima dve rešitvi, in sicer $x_{1}=40$ in $x_{2}=-200$. Ker je negativni $x$ v našem primeru nesmiseln, je rešitev naloge, da je prva kmetica imela 40, druga pa 60 jajc.
Uporaba ali zapis: prva kmetica x jajc, druga $100-x$ ..... 1 točka
Cena enega jajca prve kmetice $\frac{15}{(100-x)}$ in cena enega jajca druge kmetice $\frac{20}{3 x}$.... ..... 1 točka
Zapis enačbe $\frac{15 x}{(100-x)}=\frac{20(100-x)}{3 x}$ ..... 1 točka
Ureditev enačbe do $x^{2}+160 x-8000=0$ ..... 1 točka
Rešitvi enačbe $x_{1}=40$ in $x_{2}=-200$...................... ..... 1 točka
Izločitev druge rešitve ..... 1 točka
Odgovor: Prva kmetica je imela 40, druga pa 60 jajc ..... 1 točka
3. Pravilna štiristrana prizma ima za osnovno ploskev kvadrat s ploščino $S=a^{2}$ in obsegom $o=4 a$. Ker je pravilna prizma hkrati pokončna, se njena površina izračuna $P=2 S+o \cdot v$. Razlika površin v obeh primerih je potem $P-P_{2}=2 S+o \cdot v-\left(2 S+o \cdot v_{2}\right)=o \cdot v-o \cdot v_{2}=$ $o\left(v-v_{2}\right)$. Vstavimo dane podatke in dobimo $2520-2304=4 a \cdot 3$, oziroma $216=12 a$ in $a=18 \mathrm{~cm}$. Če sedaj to vstavimo v obrazec za površino ene izmed prizem (npr. prvotno), dobimo $P=2 a^{2}+4 a \cdot v$ in $2520=2 \cdot 18^{2}+4 \cdot 18 \cdot v$. Iz tega izračunamo, da je višina prvotne prizme $26 \mathrm{~cm}$, višina druge pa $23 \mathrm{~cm}$. Upoštevamo obrazec za izračun prostornine prizme $V=S \cdot v=18^{2} \cdot 23=7452 \mathrm{~cm}^{3}$.
Zapis ali upoštevanje, da je osnovna ploskev kvadrat s ploščino
$S=a^{2}$ in obsegom $o=4 a$ .1 točka
Izračun prostornine $V=S \cdot v=18^{2} \cdot 23=7452 \mathrm{~cm}^{3} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1$ točka
4. Uporabimo pravila in definicijo logaritmov $\log 10=1$, zato je desna stran enačbe enaka 1 , dobimo enačbo $\frac{1}{3} \log \left(271+3^{\sqrt{2} x}\right)=1$. Enačbo množimo s 3 ali uporabimo pravilo za logaritem potence ter dobimo $\log \left(271+3^{\sqrt{2} x}\right)=3$ ali $\log \left(271+3^{\sqrt{2} x}\right)^{\frac{1}{3}}=1$. Uporabimo definicijo logaritma in po urejanju dobimo $271+3^{\sqrt{2} x}=10^{3}$. Poračunamo desno stran in preoblikujemo enačbo in dobimo $3^{\sqrt{2} x}=729$. Dobljeno eksponentno enačbo uredimo $3^{\sqrt{2} x}=3^{6}$. Enačimo eksponenta $\sqrt{2} x=6$. Izrazimo $x=\frac{6}{\sqrt{2}}$, rezultat racionaliziramo $x=3 \sqrt{2}$.
Uporaba $\log 10=1$ 1 točka
Poenostavljena enačba $\log \left(271+3^{\sqrt{2} x}\right)=3$ ali $\log \left(271+3^{\sqrt{2} x}\right)^{\frac{1}{3}}=1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1$ točka
Ureditev enačbe .........................................................................................................................
5. Zapišemo tri zaporedna cela števila $x, x+1, x+2$. Zapišemo vsoto njihovih kvadratov $x^{2}+(x+1)^{2}+(x+2)^{2}$, kvadriramo $x^{2}+x^{2}+2 x+1+x^{2}+4 x+4$, seštejemo $3 x^{2}+6 x+5$. Izračunamo diskriminanto $D=b^{2}-4 a c=-24$. Zaključimo, da ne obstaja nobeno realno število, ki bi ustrezalo temu pogoju, saj je $D<0$.
Zapis zaporednih celih števil $x, x+1, x+2$. ..... 1 točka
Zapis vsote $x^{2}+(x+1)^{2}+(x+2)^{2}$ ..... 1 točka
Kvadriranje $x^{2}+x^{2}+2 x+1+x^{2}+4 x+4$ ..... 1 točka
Ureditev vsote $3 x^{2}+6 x+5$ ..... 1 točka
Izračun $D=b^{2}-4 a c=-24$ ..... 1 točka
Ugotovitev:Ker je $D<0$, izraz ne moremo razstaviti oz. ne obstaja realno število, ki bi
ustrezalo temu pogoju. ..... 1 točka
## Četrti letnik
1. Nastavimo enačbo $-x^{4}+2 x^{3}+x^{2}-2 x=0$, izpostavimo skupni faktor $-x\left(x^{3}-2 x^{2}-x+2\right)=0$, nato razstavimo še štiričlenik in dobimo $-x(x-2)(x-1)(x+1)=0$. Negativna ničla je $x=-1$. Ugotovimo, da je navpičnica, ki je dve enoti oddaljena od ordinatne osi levo, premica $x=-2$. Izračunamo še presečišča grafa polinoma s to premico $x=-2$, tako da izračunamo $p(-2)=-24$. Imamo dve točki iskane premice, ki sta $(-1,0)$ in $(-2,-24)$. Izračunamo $k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-24-24$. V $y=k x+n$ vstavimo eno izmed točk npr. $(-1,0)$ ter dobimo $y=24 x+24$.
Izpostavljanje skupnega faktorja $-x\left(x^{3}-2 x^{2}-x+2\right)=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka Razcep štiričlenika $-x(x-2)(x-1)(x+1)=0$ ali uporaba Hornerjevega algoritma1* točka
Ugotovitev, da je $x=-2$ navpičnica...........................................................................................................
2. Upoštevamo, da je $a$ abscisa, $b$ pa ordinata temena kvadratne funkcije. Izračunamo $a=$ $-\frac{b}{2 a}=-3$ in $b=-\frac{D}{4 a}=1$. Zapišemo funkcijo $f(x)=\frac{x^{2}-3}{x^{2}+1}$. Določimo ničli $x_{1}=\sqrt{3}$ in $x_{2}=-\sqrt{3}$, polov ni, asimptota $y=1$ in začetna vrednost $(0,-3)$. Upoštevamo predznake in narišemo graf.
Ugotovitev, da polov ni .................................................................................................................................
Narisan graf...........................................................................................................
3. Poenostavimo enačbo premice do $y=3 x-6$. Zapišemo smerni koeficient $k=3$ in upoštevamo, da je tangenta pravokotna na polmer, kar pomeni, da je smerni koeficient nosilke polmera $k=-\frac{1}{3}$. Upoštevamo, da nosilka polmera poteka skozi središče krožnice $C(6,2)$ in določimo enačbo premice, ki je $y=-\frac{x}{3}+4$. Dotikališče tangente in krožnice je presečišče premic $y=3 x-6$ in $y=-\frac{x}{3}+4$. Zapišemo enačbo $3 x-6=-\frac{x}{3}+4$. Izračunamo $P(3,3)$. Polmer je razdalja med središčem in dotikališčem tangente na krožnico. Uporabimo obrazec za razdaljo med točkama $d(A, B)=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$, vstavimo ustrezne
koordinate in izračunamo $r=\sqrt{10}$.
Zapis enačbe za izračun presečišča $3 x-6=-\frac{x}{3}+4 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Uporaba enačbe za razdaljo ali vstavitev podatkov ......................................................................................
4. $\mathrm{Z} a_{1}$ označimo količino proizvodnje leta 2010 in $\mathrm{z} a_{n}$ količino proizvodnje $\mathrm{v}$ zadnjem načrtovanem letu in $\mathrm{s} s_{n}$ celotno predvideno količino proizvodnje v načrtovanem obdobju. Ker je proizvodnja vsako naslednje leto dvakrat tolikšna kot predhodno leto, je $q=2$. Potem je $a_{n}=a_{1} \cdot q^{n-1}$, zato je $320=a_{1} \cdot 2^{n-1}$. Velja tudi $s_{n}=\frac{a_{1}\left(2^{n}-1\right)}{2-1}$, zato je $630=a_{1} \cdot\left(2^{n}-1\right)$. Iz prve enačbe izrazimo $a_{1}=\frac{320}{2^{n}-1}$ in vstavimo v drugo enac̆bo $630=\frac{320}{2^{n}-1} \cdot\left(2^{n-1}\right)$. Odpravimo ulomek $2^{n-1} \cdot 630=320 \cdot\left(2^{n}-1\right)$, uredimo enačbo $630 \cdot 2^{n-1}-320 \cdot 2^{n}=-320$. Izpostavimo skupni faktor $2^{n-1}(320 \cdot 2-630)=320$, uredimo $2^{n-1} \cdot 10=320$, delimo z 10 . Dobimo $2^{n-1}=32$, kar lahko zapišemo $2^{n-1}=2^{5}$. Izračunamo $n=6$. Izračunamo še $a_{1}=10$. Količina proizvodnje v letu 2010 je $a_{1}=10$ ton. Načrt proizvodnje bodo uresničili čez 6 let.
Odgovor: Proizvodnja leta 2010 znaša 10 ton, načrt bodo uresničili čez 6 let....... 1 točka
OPOMBA: Polovični odgovor ima 0 točk.
5. Ugotovimo, da je razlika med prvo vsoto in drugo vsoto razlika med $a_{n}$ in $a_{1}$, ki je 42 . Nastavimo sistem enačb $a_{n}-a_{1}=42, a_{n}+a_{1}=14$ in ga rešimo. Dobimo rešitev $a_{n}=28$ in $a_{1}=-14$. Izračunamo vsoto $s_{n}=119+a_{1}=105$. Uporabimo obrazec za vsoto $s_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)$ in izračunamo $n=15$. Uporabimo še zvezo za $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ in izračunamo $d=3$.
