# Društvo matematikov, fizikov 

in astronomov Slovenije

Jadranska ulica 19

1000 Ljubljana

## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.

## 13. tekmovanje v znanju

 matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šolDržavno tekmovanje, 20. april 2013

Čas reševanja: 120 minut.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e61adeeba0bccbf25d97g-2.jpg?height=175&width=406&top_left_y=415&top_left_x=1499)

1. Naj bo $a<0$. Poenostavi izraz

$$
\frac{\sqrt{27 a^{2}}-\sqrt{12 a^{2}}+a \sqrt{108}+5 \sqrt{3}}{5 \sqrt{3} a-5 \sqrt{3}}
$$

Izračunaj vrednost izraza za $a=-2^{-1}$.

2. Meta je včeraj kupila 5 litrov mleka in 4 hlebce kruha ter plačala 9,10 evra. Danes je mleko cenejše za $10 \%$, kruh pa za $15 \%$. Za enako količino mleka in kruha bi danes Meta plačala 7,94 evra. Koliko sta stala liter mleka in hlebec kruha včeraj?
3. Poenostavi izraz

$$
\frac{a-2}{a \cdot(a-2)+4}+\frac{11-(1+a)}{8+a^{3}}-\frac{1}{a+2} .
$$

Za katere realne vrednosti $a$ izraz nima pomena?

4. Reši enačbo

$$
3+\frac{11}{x-1}+\frac{10}{1-2 x}-\frac{2}{4 x^{2}-4 x+1}=0
$$

Rešitve zapiši v obliki okrajšanih ulomkov z racionaliziranimi imenovalci.

## 13. tekmovanje v znanju

 matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šolDržavno tekmovanje, 20. april 2013

## Naloge za 2. letnik

Čas reševanja: 120 minut.

1. Reši neenačbo $\sqrt{2 x+y-4}+\sqrt{3 x-2 y-13} \leq 0$.
2. Naj bo $n$ naravno število. Pokaži, da je vrednost izraza

$$
\frac{\left(9^{n-1}+3^{2 n-1}\right)^{3}}{\left(3^{3 n-1}+27^{n}\right)^{2}}
$$

neodvisna od $n$.

3. Kvadratu $A B C D$ s stranico $a$ je včrtan enakokrak trikotnik $A B E$ tako, da je vrh $E$ razpolovišče stranice $C D$. Točka $F$ je nožišče višine na krak $A E$ trikotnika $A B E$ iz oglišča $B$. Dokaži, da je $|E F|:|F B|:|B E|=3: 4: 5$. Nariši ustrezno skico.

(8 točk)

4. Izračunaj koordinate točke, ki leži na premici skozi točki $A(-5,-2)$ in $B(-3,-1)$ ter je enako oddaljena od točk $C(-1,0)$ in $D(4,-1)$.

## 13. tekmovanje v znanju

matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol

Državno tekmovanje, 20. april 2013

## Naloge za 3. letnik

Čas reševanja: 120 minut.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e61adeeba0bccbf25d97g-4.jpg?height=175&width=417&top_left_y=415&top_left_x=1499)

1. Na sliki sta graf logaritemske funkcije $f$ s predpisom $f(x)=2 \log (x-2)+1$ in premica $p$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e61adeeba0bccbf25d97g-4.jpg?height=514&width=1159&top_left_y=697&top_left_x=491)

a) Zapiši enačbo premice $p$.

b) Izračunaj ničlo logaritemske funkcije. Rezultat naj bo natančen.

2. Reši enačbo $25^{\sqrt{x}}-124 \cdot 5^{\sqrt{x}}=125$.
3. Izberimo neki osni presek enakostraničnega stožca s polmerom $2 \mathrm{dm}$ in nanj postavimo pravokotni kordinatni sistem tako, da je koordinatno izhodišče v središču osnovne ploskve stožca, vrh pa leži na pozitivnem delu ordinatne osi (enoti na abscisni in ordinatni osi sta dolgi $1 \mathrm{dm}$ ). Izračunaj koordinati vrha stožca. V odsekovni obliki zapiši enačbi nosilk tistih stranic stožca, ki ležita na izbranem osnem preseku. Izračunaj površino in prostornino stožca. Rezultati naj bodo natančni.
4. Naj bo $m$ realno število in $f(x)=x^{2}-m x+m-1$ ter $g(x)=x^{2}-2 x-m$. Izračunaj vrednost parametra $m$ tako, da bosta najmanjši vrednosti funkcij $f$ in $g$ enaki. Pri največjem izmed tako izračunanih vrednostih parametra $m$ reši neenačbo $2 f(x) \geq g(x-1)$.

## 13. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol <br> Državno tekmovanje, 20. april 2013

## Naloge za 4. letnik

Čas reševanja: 120 minut.

| N1 | N2 | N3 | N4 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
|  |  |  |  |

1. Največja števka števila 13 je 3 , največja števka števila 77 je 7 . Za posamezne neničelne števke ugotovite, kolikokrat nastopajo kot največje števke v naravnih številih od 1 do 99 , in sestavite ustrezno frekvenčno tabelo. To frekvenčno porazdelitev prikažite s histogramom in $\mathrm{s}$ frekvenčnim poligonom. Dokažite, da je vsota ploščin pravokotnikov v histogramu enaka ploščini lika, ki ga omejujeta lomljena krivulja frekvenčnega poligona in abscisna os.
2. Dan je pokončni valj, za katerega velja, da ploščina osnovne ploskve, ploščina plašča in površina tvorijo aritmetično zaporedje.

a) Naj bo $v$ višina danega valja. Izrazi polmer $r$ tega valja $\mathrm{z} v$.

b) Denimo, da je dani valj visok $3 \mathrm{~m}$. V kolikem času bi se $\mathrm{v}$ tem primeru valj napolnil do polovice $z$ vodo, če bi vsako sekundo priteklo vanj 0,5 litra vode? Čas zapiši v urah, minutah in sekundah.

3. V splošni obliki zapiši predpise za vse polinome četrte stopnje, ki imajo ničle $-2,0,1$ (ena izmed njih je dvojna) in njihovi grafi potekajo skozi točko $M(-1,5)$.
4. a) Poenostavi izraz

$$
\left(\frac{\cos \alpha}{\cos \beta}\right)^{2}-(\cos \alpha \cdot \tan \beta)^{2}+\sin ^{2} \alpha
$$

če je $\cos \beta \neq 0$.

b) Izračunaj vrednost $\alpha+\beta$, če je $\sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$ in $\sin \beta=\frac{\sqrt{10}}{10}$ ter je $0^{\circ}<\alpha, \beta<45^{\circ}$. Nalogo reši brez uporabe žepnega računala.