# Društvo matematikov, fizikov 

in astronomov Slovenije

Jadranska ulica 19

1000 Ljubljana

## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.

## 21. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Državno tekmovanje, 15. maj 2021 <br> Naloge za 1. letnik

Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bomo vsak pravilni odgovor ovrednotili s tremi točkami, za vsak nepravilni odgovor pa bomo eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo, desno tabelo pusti prazno.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-02.jpg?height=172&width=806&top_left_y=585&top_left_x=638)

A1. Naj za števili $x$ in $y$ velja zveza $(x+2 y)^{2}-3 y(y-1)=(2 x+y)^{2}-3 x(x+1)$. Kolikšna je njuna vsota $x+y$ ?
(A) -100
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) se ne da enolično določiti

A2. Podana imamo tri števila $A=26^{351}, B=5^{702}$ in $C=3^{1053}$. Števila uredi po velikosti. Kateri spodnji zapis je pravilen?
(A) $A<B<C$
(B) $A<C<B$
(C) $B<C<A$
(D) $B<A<C$
(E) $C<A<B$

A3. Naj bo $x \in \mathbb{R}$ in $x>0, x \neq 4, x \neq 9$. Kateri izraz je ekvivalenten izrazu $\left((2+\sqrt{x})^{-1}+1\right)^{-1}$ ?
(A) $\frac{x+\sqrt{x}-6}{x-9}$
(B) $\frac{x-\sqrt{x}-6}{x-9}$
(C) $\frac{x-\sqrt{x}+6}{x-9}$
(D) $\frac{x-\sqrt{x}-6}{x-4}$
(E) $\frac{x-\sqrt{x}+6}{x-4}$

B1. Naj bo točka $C(5,-2)$ razpolovišče daljice $A B$. Krajišči daljice sta točki $A(2 a-b, a+b+1)$ in $B(3 a+2 b, 3 a+2 b-2)$, kjer sta $a$ in $b$ realni števili. Izračunaj dolžino daljice $A B$. Rezultat delno koreni.

B2. V nekem domu za ostarele so pred enim tednom ugotovili prve okužene s covid-19. Od takrat se je njihovo število popeterilo, torej jih je sedaj petkrat toliko kot pred enim tednom. 21 od teh okuženih so zjutraj odpeljali v bolnišnico, tako je med oskrbovanci, ki so ostali v domu, $9 . \overline{09} \%$ okuženih. Zvečer bodo v bolnišnico odpeljali še 9 okuženih, tako da bo med oskrbovanci, ki bodo ostali v domu, le $5 \%$ okuženih. Koliko je bilo prvotno število okuženih pred enim tednom in koliko je bilo takrat vseh oskrbovancev v domu?

B3. Štirikratni količnik razlike in vsote realnega števila $a$ in njegove obratne vrednosti zmanjšaj za dvakratnik razlike števila $a$ in njegove obratne vrednosti. Zapiši iskani izraz, ga poenostavi in izračunaj, za katere vrednosti števila $a$ je vrednost danega izraza enaka 0 .

## 21. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Državno tekmovanje, 15. maj 2021

## Naloge za 2. letnik

Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bomo vsak pravilni odgovor ovrednotili s tremi točkami, za vsak nepravilni odgovor pa bomo eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo, desno tabelo pusti prazno.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-06.jpg?height=168&width=802&top_left_y=590&top_left_x=640)

A1. Kolikšno vrednost mora imeti število $a \in \mathbb{R}, a \neq 4$ in $a \neq 2$, da se bosta premici z enačbama $a x-(a-2) y-2=0$ in $(a-1) x+(4-a) y+2=0$ sekali na ordinatni osi?
(A) -5
(B) 5
(C) -1
(D) -3
(E) 3

A2. Kolikšna je vrednost izraza $\frac{\left(\sqrt[5]{\left(a^{-\frac{4}{3}}\right)^{-\frac{5}{8}}}\right)^{-3}}{\left(\sqrt[8]{\left(\sqrt[3]{a^{4}}\right)^{5}}\right)^{-\frac{3}{5}}} \cdot \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}$, kjer je $a \in \mathbb{R}$ in $a>0$ ?
(A) $\frac{12 a}{29}$
(B) $\frac{12}{29}$
(C) $\frac{12}{29 a}$
(D) $\frac{29 a}{12}$
(E) $\frac{29}{12}$

A3. V pravokotnem trikotniku $A B C$ s pravim kotom pri $C$, višina iz ogličča $C$ seka stranico $A B \mathrm{v}$ točki $D$. Kolikšna je velikost kota $\Varangle B A C$, če velja $|C D|=\sqrt{12} \mathrm{~cm}$ in $|A D|=4 \mathrm{~cm}$ ?
(A) $\alpha \doteq 49,06^{\circ}$
(B) $\alpha \doteq 40,89^{\circ}$
(C) $\alpha \doteq 40,54^{\circ}$
(D) $\alpha \doteq 49,11^{\circ}$
(E) $\alpha \doteq 40,45^{\circ}$

B1. V trikotniku $A B C$ sta dolžini stranic $|A B|$ in $|A C|$ v sorazmerju $|A B|:|A C|=4: 3$. Na stranici $A B$ leži točka $D$, tako da imata kota $\Varangle A C B$ in $\Varangle C D A$ enako velikost. Razdalja med točkama $D$ in $C$ meri $7,5 \mathrm{~cm}$.

a) Izračunaj dolžino stranice $B C$.

b) Koliko merita dolžini stranic $A C$ in $A D$, če obseg trikotnika $A C D$ meri $18 \mathrm{~cm}$ ?

B2. V eksplicitni, implicitni in odsekovni obliki zapiši enačbo premice s pozitivnim smernim koeficientom, ki s koordinatnima osema oblikuje pravokotni trikotnik s ploščino 9 kvadratnih enot in abscisno os seka pri $x=-3$.

B3. Dan je izraz $\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}$.

a) Racionaliziraj imenovalec in izraz poenostavi.

b) Izračunaj vrednost izraza za $x=\frac{5}{4}$.

## 21. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Državno tekmovanje, 15. maj 2021

## Naloge za 3. letnik

Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bomo vsak pravilni odgovor ovrednotili s tremi točkami, za vsak nepravilni odgovor pa bomo eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo, desno tabelo pusti prazno.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-10.jpg?height=174&width=810&top_left_y=584&top_left_x=635)

A1. Pravilna, pokončna, štiristrana prizma ima površino $128 \mathrm{~m}^{2}$ in višino $6 \mathrm{~m}$. Koliko meri njena telesna diagonala?
(A) $D \doteq 8,23 \mathrm{~m}$
(B) $D \doteq 8,24 \mathrm{~m}$
(C) $D \doteq 7,22 \mathrm{~m}$
(D) $D \doteq 8,25 \mathrm{~m}$
(E) $D \doteq 7,21 \mathrm{~m}$

A2. Za katere vrednosti parametra $a \in \mathbb{R}$ je funkcija $f(x)=\log \left(x^{2}+(a+4) x+9\right)$ definirana na množici vseh realnih števil?
(A) $a<2$
(B) $a>-10$
(C) $-2<a<10$
(D) $-10<a<2$
(E) $a=-4$

A3. Dolžina akvarija je $50 \mathrm{~cm}$, širina $20 \mathrm{~cm}$ in višina $25 \mathrm{~cm}$. Koliko $\mathrm{cm}$ od zgornjega roba akvarija bo nivo vode, če vanj vlijemo 19 litrov vode?
(A) $19 \mathrm{~cm}$
(B) $1,9 \mathrm{~cm}$
(C) $10,9 \mathrm{~cm}$
(D) $6 \mathrm{~cm}$
(E) $0,6 \mathrm{~cm}$

B1. Dan je paralelogram z dolžino stranice $a=13 \mathrm{~m}$ in notranjim kotom $\alpha=60^{\circ}$. Obseg paralelograma meri $58 \mathrm{~m}$. Paralelogram je osnovna ploskev pokončne prizme. Višina prizme je enaka dolžini diagonale $f$ danega paralelograma. Natančno izračunaj površino in prostornino prizme.

B2. Dana je družina funkcij $f(x)=3^{x-b}-\frac{1}{3}, b \in \mathbb{R}$.

a) $\mathrm{Za} b=-1$ nariši graf funkcije $f$ in zapiši njeno zalogo vrednosti.

b) Izračunaj vrednost parametra $b$ za katerega bo $x=\frac{1}{2}$ ničla funkcije $f$.

c) $\mathrm{Za} b=2$ izračunaj na dve mesti natančno absciso presečǐšča grafa funkcije $f$ s premico $y-6=0$.

B3. Reši enačbo: $1+\log \left(2^{x}+1\right)=\log 2+\log \left(4^{x}+9\right)$.

## 21. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Državno tekmovanje, 15. maj 2021

## Naloge za 4. letnik

Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bomo vsak pravilni odgovor ovrednotili s tremi točkami, za vsak nepravilni odgovor pa bomo eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo, desno tabelo pusti prazno.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-14.jpg?height=168&width=804&top_left_y=590&top_left_x=638)

A1. V katerih točkah na krivulji, podani $\mathrm{z}$ enačbo $f(x)=x^{3}-2 x^{2}+3$, tangenta $\mathrm{z}$ abscisno osjo oklepa kot $135^{\circ}$ ?
(A) $T_{1}(1,-4)$ in $T_{2}(-2,0)$.
(B) $T_{1}(1,-4)$ in $T_{2}(2,0)$.
(C) $T_{1}(1,0)$ in $T_{2}(-1,4)$.
(D) $T_{1}(1,2)$ in $T_{2}\left(\frac{1}{3}, \frac{28}{9}\right)$
(E) $T_{1}(1,2)$ in $T_{2}\left(\frac{1}{3}, \frac{76}{27}\right)$.

A2. Za neko celo število $x$ je končno zaporedje $\sqrt{x}+2,3 \sqrt{x+1}, 2 \sqrt{x}+4$ geometrijsko. Kolikšen je količnik tega zaporedja?
(A) 2
(B) $\sqrt{3}$
(C) $\sqrt{2}$
(D) 3
(E) $3 \sqrt{2}$

A3. Kateri izraz je ekvivalenten izrazu $\frac{\sin ^{2} x-\cos ^{2} x}{\sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x} \cdot \frac{\tan x}{\cos x-\sin x}$ ?
(A) $-\cos x$
(B) $-\sin x$
(C) $-\sin ^{2} x$
(D) $-\cos ^{2} x$
(E) $\cos x$

B1. Reši enačbo: $4 x^{4}+2 x^{3}-4 x^{2}-x=-1$. Izračunaj razliko kvadratov vsote racionalnih rešitev in vsote iracionalnih rešitev enačbe.

B2. Naj bo $x$ takšno realno število, za katerega velja $\cos \left(60^{\circ}-x\right) \neq 0$ in $\sin \left(120^{\circ}-x\right) \neq 0$. Brez uporabe žepnega računala izračunaj natančno vrednost izraza: $\frac{\sqrt{3}+4 \sin x \cos x}{\cos \left(60^{\circ}-x\right) \cdot \sin \left(120^{\circ}-x\right)}$.

B3. Opazujemo telesi $A$ in $B$, ki sta med seboj oddaljeni za $450 \mathrm{~m}$. Istočasno se začneta premikati eno proti drugemu (po premici). Telo $A$ se v prvi minuti premakne za $5 \mathrm{~m}$, nato pa v vsaki minuti za $15 \mathrm{~m}$ več kot v prejšnji minuti. Telo $B$ se v prvi minuti premakne za $100 \mathrm{~m}$, nato pa v vsaki minuti za $10 \mathrm{~m}$ manj kot v prejšnji. Po kolikšnem času in na kolikšni oddaljenosti od začetne pozicije telesa $A$ se telesi srečata?

## 21. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol <br> Državno tekmovanje, 15. maj 2021 <br> Rešitve nalog za 1. letnik

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-18.jpg?height=137&width=232&top_left_y=477&top_left_x=929)

A1. Po kvadriranju in odpravi oklepajev dobimo $x^{2}+4 x y+4 y^{2}-3 y^{2}+3 y=4 x^{2}+4 x y+y^{2}-$ $3 x^{2}-3 x$. Enačba se preoblikuje v enačbo $3 y=-3 x$, oziroma $x+y=0$. Pravilen je odgovor C.

A2. $B=5^{702}=\left(5^{2}\right)^{351}=25^{351}, C=\left(3^{3}\right)^{351}=27^{351}$. Ker je $25^{351}<26^{351}<27^{351}$, dobimo $B<A<C$. Pravilen je odgovor $\mathrm{D}$.

A3. $\left.\operatorname{Izraz}(2+\sqrt{x})^{-1}+1\right)^{-1}$ preoblikujemo $\mathrm{v}\left(\frac{1}{2+\sqrt{x}}+1\right)^{-1}=\left(\frac{3+\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}\right)^{-1}=\frac{2+\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}, x \neq 9, x \neq 4$. Izraz še racionaliziramo in dobimo $\frac{x-\sqrt{x}-6}{x-9}$. Pravilen je odgovor B.

B1. Točka $S\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$ je središče daljice med $A\left(x_{1}, y_{1}\right)$ in $B\left(x_{2}, y_{2}\right)$. Tako dobimo enačbi $\frac{5 a+b}{2}=5$ in $\frac{4 a+3 b-1}{2}=-2$. Rešitev sistema je $a=3$ in $b=-5$. Za točko $A$ dobimo koordinati $A(11,-1)$ in za $B$ dobimo $B(-1,-3)$. Upoštevamo $d(A, B)=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$ in dobimo $d(A, B)=\sqrt{148}=2 \sqrt{37}$.

Upoštevanje ali zapis koordinat središča daljice $S\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots$ točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-18.jpg?height=57&width=1727&top_left_y=1419&top_left_x=176)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-18.jpg?height=60&width=1727&top_left_y=1466&top_left_x=176)

Reševanje sistema .........................................................................................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-18.jpg?height=48&width=1727&top_left_y=1575&top_left_x=176)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-18.jpg?height=49&width=1727&top_left_y=1620&top_left_x=176)

Upoštevanje ali zapis obrazca za dolžino daljice $d(A, B)=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \ldots 1$ točka Izračun dolžine in delno korenjenje $d(A, B)=\sqrt{148}=2 \sqrt{37} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka 

B2. Naj bo prvotno $x$ okuženih in v domu skupno $y$ oskrbovancev. Od vseh okuženih $5 x$ so jih 21 odpeljali, okuženih je ostalo $5 x-21$. Oskrbovancev je ostalo $y-21$. Delež okuženih je $\frac{5 x-21}{y-21}=9 . \overline{09} \%$. Če periodično število $9 . \overline{09}$ spremenimo v ulomek, dobimo $\frac{100}{11}$ in $9 . \overline{09} \%=\frac{1}{11}$. Zato delež okuženih lahko pišemo kot $\frac{5 x-21}{y-21}=\frac{1}{11}$, kar lahko preoblikujemo v $y=55 x-210$. Če odpeljejo še 9 okuženih, jih bodo skupno odpeljali 30 in dobimo delež okuženih $\frac{5 x-30}{y-30}=5 \%$. Upoštevamo, da je $5 \%=\frac{1}{20}$ in delež preoblikujemo v enačbo $y=100 x-570$. Z enačenjem obeh enačb dobimo $x=8$ in $y=230$, kar pomeni, da je bilo vseh oskrbovancev 230 , od tega 8 okuženih.
Zapisana povezava med številom okuženih pred enim tednom in sedaj $x$ in $5 x$ ..... 1 točka
Zapisano število okuženih ali preostalih oskrbovancev $5 x-21$ ali $y-21$ ..... 1 točka
Preoblikovanje $9 . \overline{09} \% \mathrm{v} \frac{1}{11}$ ..... 1 točka
Zapis ustrezne enačbe $\frac{5 x-21}{y-21}=9 . \overline{09} \%$ ..... 1 točka
Preoblikovanje enačbe v linearno $y=55 x-210$ ..... 1 točka
Zapis druge enačbe $\frac{5 x-30}{y-30}=5 \%$ ..... 1 točka
Preoblikovanje v linearno enačbo $y=100 x-570$ ..... 1 točka
Zapis odgovora. Vseh oskrbovancev je bilo 230, od tega 8 okuženih. ..... 1 točka

B3. Zapišemo izraz 4. $\frac{a-a^{-1}}{a+a^{-1}}-2 \cdot\left(a-a^{-1}\right)$. Izraz poenostavimo $4 \cdot \frac{a-\frac{1}{a}}{a+\frac{1}{a}}-2 \cdot\left(a-\frac{1}{a}\right)=4 \cdot \frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}-2$. $\frac{a^{2}-1}{a}=\frac{4 a\left(a^{2}-1\right)-2\left(a^{2}+1\right)\left(a^{2}-1\right)}{\left(a^{2}+1\right) a}=\frac{2\left(a^{2}-1\right)\left(2 a-a^{2}-1\right)}{\left(a^{2}+1\right) a}=\frac{-2\left(a^{2}-1\right)\left(a^{2}-2 a+1\right)}{\left(a^{2}+1\right) a}=\frac{-2(a-1)^{3}(a+1)}{\left(a^{2}+1\right) a}, a \neq 0$. Vrednost danega izraza je enaka 0 za $a=-1$ in $a=1$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-19.jpg?height=86&width=1757&top_left_y=448&top_left_x=158)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-19.jpg?height=66&width=1742&top_left_y=504&top_left_x=174)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-19.jpg?height=91&width=1742&top_left_y=563&top_left_x=174)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-19.jpg?height=89&width=1742&top_left_y=641&top_left_x=174)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-19.jpg?height=80&width=1742&top_left_y=714&top_left_x=174)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-19.jpg?height=83&width=1742&top_left_y=775&top_left_x=174)

Izračun, da je vrednost izraza enaka 0 za $a=-1$ in $a=1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1+1$ točka

## 21. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih <br> tehniških in strokovnih šol <br> Državno tekmovanje, 15. maj 2021 <br> Rešitve nalog za 2. letnik

| A1 | A2 | A3 |
| :---: | :---: | :---: |
| E | B | B |

A1. Če se premici sekata na ordinatni osi, je $x$ koordinata presečišča enaka 0 . V obe enačbi premice vstavimo za $x=0$ ter ju poenostavimo do npr. $-a y+2 y-2=0$ in $4 y-a y+2=0$. Dobimo sistem dveh enačb z dvema neznankama, ki ga rešimo na katerikoli način. Rešitvi sta $y=-2$ in $a=3$. Pravilen odgovor je E.

A2. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-20.jpg?height=111&width=1742&top_left_y=898&top_left_x=174)
$\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}=\frac{12}{29}$. Rezultat množenja teh dveh ulomkov je $\frac{12}{29}$. Pravilen je odgovor B.

A3. Uporabimo kotne funkcije v pravokotnem trikotniku $\tan \alpha=\frac{v_{c}}{b_{1}}=\frac{\sqrt{12}}{4}=$ in izračunamo kot $\alpha \doteq 40,89^{\circ}$. Pravilen je odgovor B.

B1.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-20.jpg?height=668&width=837&top_left_y=1285&top_left_x=244)
Trikotnik $A B C$ je podoben trikotniku $A C D$.

a) Zapišemo sorazmerje $|A B|:|A C|=|B C|:|C D|$. Upoštevamo, da je $|A B|:|A C|=4: 3$ in dolžina daljice $C D$ meri $7,5 \mathrm{~cm}$ in dobimo enačbo $4: 3=|B C|: 7,5$. Z rešitvijo enačbe izračunamo dolžino daljice $B C$, ki je $10 \mathrm{~cm}$.

b) Ker je $|A B|:|A C|=4: 3$ lahko $|A B|$ in $|A C|$ zapišemo kot $|A B|=4 x$ in $|A C|=3 x$. Zaradi podobnosti trikotnikov $A B C$ in $A C D$ lahko zapišemo sorazmerje $|A C|:|A B|=|A D|:|A C|$ vanj vstavimo $|A B|=4 x$ in $|A C|=3 x$ in dobimo $3 x: 4 x=|A D|: 3 x$ izrazimo $|A D|=\frac{9 x}{4}$. Obseg trikotnika $A C D$ je $18 \mathrm{~cm}$ torej je $3 x+\frac{9 x}{4}+7,5=18$ in $x=2$. Dolžini stranic sta $|A C|=3 x=6 \mathrm{~cm}$ in $|A D|=\frac{9 x}{4}=\frac{9}{2}$.

Ugotovitev, da sta trikotnika $A B C$ in $A C D$ podobna .......................................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-20.jpg?height=54&width=1727&top_left_y=2549&top_left_x=176)

Upoštevanje sorazmerja $|A B|:|A C|=4: 3$ ali zapis enačbe $4: 3=|B C|: 7,5 \ldots \ldots . .1$ točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-20.jpg?height=57&width=1727&top_left_y=2650&top_left_x=176)

Zapis ali upoštevanje sorazmerja $|A C|:|A B|=|A D|:|A C| \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots 1$ točka
Izražena dolžina stranice $|A D|=\frac{9 x}{4}$ ..... 1 točka
Zapisan ali upoštevan obrazec za obseg trikotnika $3 x+\frac{9 x}{4}+7,5=18$ ..... 1 točka
Izračun dolžin $|A C|=6 \mathrm{~cm}$ in $|A D|=\frac{9}{2} \mathrm{~cm}$ ..... 1 točka

B2. Premica s koordinatnima osema oblikuje pravokotni trikotnik, katerega ploščino izračunamo
kot polovični produkt med katetama $p=\frac{k_{1} \cdot k_{2}}{2}$. Iz naloge je razvidno, da je dolžina ene katete
3, dolžino druge katete pa izračunamo s pomočjo ploščine in dobimo rezultat 6. Ker je smerni
koeficient premice pozitiven, premica seka koordinatni osi v točkah $(-3,0)$ in $(0,6)$, s pomočjo
teh dveh točk lahko zapišemo vse tri oblike enačbe premice. Odsekovna oblika $\frac{x}{-3}+\frac{y}{6}=1$,
implicitna oblika $-2 x+y-6=0$ in eksplicitna oblika $y=2 x+6$.
Ugotovitev, da je trikotnik pravokotni ..... 1 točka
Zapis ali uporaba obrazca za ploščino pravokotnega trikotnika $p=\frac{k_{1} \cdot k_{2}}{2}$ ..... 1 točka
Zapis ali uporaba, da je dolžina ene katete 3 enote ..... 1 točka
Izračun druge katete 6 enot ..... 1 točka
Zapis ali uporaba točk $(-3,0)$ in $(0,6)$ ..... 1 točka
Odsekovna oblika $\frac{x}{-3}+\frac{y}{6}=1$ ..... 1 točka
Implicitna oblika $-2 x+y-6=0$ ..... 1 točka
Eksplicitna oblika $y=2 x+6$ ..... 1 točka

## B3.

a) Dani izraz $\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}} \mathrm{~V}$ števcu in imenovalcu pomnožimo $\mathrm{z} \sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}$ ter poenostavimo $\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}=\frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})^{2}}{(\sqrt{x+1})^{2}-(\sqrt{x-1})^{2}}=\frac{x+1+2 \sqrt{x+1} \sqrt{x-1}+x-1}{x+1-(x-1)}=\frac{2 x+2 \sqrt{(x+1)(x-1)}}{2}=$ $x+\sqrt{x^{2}-1}$.

b) Vstavimo $x=\frac{5}{4} \mathrm{~V}$ racionaliziran izraz $\frac{5}{4}+\sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-1}=\frac{5}{4}+\sqrt{\frac{25}{16}-\frac{16}{16}}=\frac{5}{4}+\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=$ $\frac{8}{4}=2$. Lahko pa vstavimo $x=\frac{5}{4} \mathrm{~V}$ dani izraz $\frac{\sqrt{\frac{5}{4}+1}+\sqrt{\frac{5}{4}-1}}{\sqrt{\frac{5}{4}+1}-\sqrt{\frac{5}{4}-1}}=\frac{\sqrt{\frac{9}{4}}+\sqrt{\frac{1}{4}}}{\sqrt{\frac{9}{4}}-\sqrt{\frac{1}{4}}}=\frac{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{4}{2}}{\frac{2}{2}}=2$.

Množenje danega izraza $\mathrm{z} \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}$ .1 točka

Izračun števca do oblike $x+1+2 \sqrt{x+1} \sqrt{x-1}+x-1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točki

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-21.jpg?height=54&width=1727&top_left_y=1852&top_left_x=176)

Poenostavitev izraza do oblike $\frac{2 x+2 \sqrt{(x+1)(x-1)}}{2}=x+\sqrt{x^{2}-1} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1+1$ točka

Izračun vrednosti izraza $x+\sqrt{x^{2}-1}=\frac{5}{4}+\sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-1}=2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1+1$ točka

## 21. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih <br> tehniških in strokovnih šol <br> Državno tekmovanje, 15. maj 2021 <br> Rešitve nalog za 3. letnik

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-22.jpg?height=137&width=220&top_left_y=477&top_left_x=929)

A1. S pomočjo obrazca za izračun površine pravilne štiristrane prizme $P=2 a^{2}+4 a v$, dobimo kvadratno enačbo $128=2 a^{2}+24 a$. Rešitvi kvadratne enačbe sta $a=4$ in $a=-16$. Ugotovimo, da je pravilna rešitev $a=4$. Osnovni rob prizme meri $a=4 \mathrm{~m}$. Z obrazcem $D=\sqrt{2 a^{2}+v^{2}}$ izračunamo dolžino telesne diagonale $D \doteq 8,25 \mathrm{~m}$. Pravilen je odgovor $\mathrm{D}$.

A2. Ugotovimo, da bo definicijsko območje dane funkcije $f$ množica vseh realnih števil ob pogoju $x^{2}+(a+4) x+9>0$. To pa bo izpolnjeno, če bo $D<0$. Poenostavimo levo stran neenačbe:

$$
D=b^{2}-4 a c=(a+4)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 9=a^{2}+8 a-20=(a+10)(a-2)
$$

Rešimo kvadratno neenačbo $(a+10)(a-2)<0$. Rešitvi kvadratne enačbe $(a+10)(a-2)=0$ sta $a_{1}=-10$ in $a_{2}=2$. Rešitev kvadratne neenačbe pa usterza intervalu $-10<a<2$. Pravilen je odgovor D.

A3. Ugotovimo, da je prostornina vode $19 \mathrm{dm}^{3}$. Zapišemo podatke v obrazec za prostornino vode ( $x$ je višina vode $\mathrm{v}$ akvariju) in dobimo enačbo $V=5 \cdot 2 \cdot x=19$. Izračunamo $x=1,9 \mathrm{dm}$ $=19 \mathrm{~cm}$. Nivo vode bo torej $6 \mathrm{~cm}$ nižje od zgornjega roba akvarija. Pravilen je odgovor D.

B1. Iz obsega paralelograma izračunamo dolžino stranice $b=16 \mathrm{~m}$. S kotno funkcijo sinus izračunamo višino na osnovnico $a, v_{a}=b \sin 60^{\circ}=8 \sqrt{3} \mathrm{~m}$. Izračunamo ploščino osnovne ploskve $O=a v_{a}=104 \sqrt{3} m^{2}$. S kosinusnim izrekom $f^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \alpha$ izračunamo dolžino diagonale, ki je enaka višini prizme $v=\sqrt{217} \mathrm{~m}$. Izračunamo ploščino plašča $S=o v=58 \sqrt{217}$ $m^{2}$. Natančno zapišemo izračun površine $P=2 O+S=(208 \sqrt{3}+58 \sqrt{217}) m^{2}$. Zapišemo še izračun prostornine $V=O v=104 \sqrt{651} \mathrm{~m}^{3}$.

Izračun dolžine stranice $b=16 \mathrm{~m}$ .1 točka

Izračun višine paralelograma $v_{a}=b \sin 60^{\circ}=8 \sqrt{3} \mathrm{~m}$ 1 točka

Izračun ploščine osnovne ploskve $O=a v_{a}=104 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{2}$ .1 točka

Uporaba kosinusnega izreka $f^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \alpha$ $1^{*}$ točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-22.jpg?height=65&width=1731&top_left_y=2109&top_left_x=174)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-22.jpg?height=52&width=1727&top_left_y=2167&top_left_x=176)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-22.jpg?height=57&width=1727&top_left_y=2213&top_left_x=176)
Izračun prostornine $V=104 \sqrt{651} \mathrm{~m}^{3}$ 1 točka

B2.

a) Vstavimo $b=-1 \mathrm{v}$ predpis funkcije $f$ in narišemo njen graf: graf lahko rišemo s premiki vzdolž abscisne in ordinatne osi ali $z$ izračunom ničle, presečišča $z$ ordinatno osjo ter vodo-
ravno asimptoto. Zapišemo še njeno zalogo vrednosti $\left(-\frac{1}{3}, \infty\right)$.

b) Vstavimo $x=\frac{1}{2} \mathrm{v}$ predpis funkcije $f$ in dobimo enačbo $3^{\frac{1}{2}-b}-\frac{1}{3}=0$. Rešimo enačbo in dobimo rešitev $b=\frac{3}{2}$.

c) Vstavimo $b=2$ v predpis funkcije $f$ in le tega izenačimo s 6 , enačbo preoblikujemo do oblike $3^{x-2}=\frac{19}{3}$, jo rešimo $\mathrm{z}$ logaritmiranjem in na ta način izračunamo absciso presečišča na dve mesti natančno $x \doteq 3,7$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-23.jpg?height=71&width=1762&top_left_y=1592&top_left_x=158)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-23.jpg?height=66&width=1753&top_left_y=1646&top_left_x=163)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-23.jpg?height=74&width=1756&top_left_y=1696&top_left_x=161)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-23.jpg?height=65&width=1751&top_left_y=1755&top_left_x=164)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-23.jpg?height=62&width=1756&top_left_y=1805&top_left_x=161)

Reševanje enačbe (logaritmiranje) ..................................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-23.jpg?height=60&width=1756&top_left_y=1906&top_left_x=161)

B3. Z upoštevanjem pravila za vsoto logaritmov preoblikujemo dano enačbo v $\log 10\left(2^{x}+1\right)=$ $\log 2\left(4^{x}+9\right)$. Enačbo antilogaritmiramo do oblike $10\left(2^{x}+1\right)=2\left(4^{x}+9\right)$ in jo $\mathrm{z}$ uvedbo nove neznanke $2^{x}=t$ preoblikujemo $\mathrm{v}$ enačbo $t^{2}-5 t+4=0$. Rešitvi enačbe sta $t_{1}=1$ in $t_{2}=4$. Izračunamo še vrednosti prvotnih neznank enačbe $x_{1}=0$ in $x_{2}=2$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-23.jpg?height=68&width=1757&top_left_y=2242&top_left_x=158)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-23.jpg?height=57&width=1753&top_left_y=2302&top_left_x=160)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-23.jpg?height=65&width=1753&top_left_y=2349&top_left_x=160)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-23.jpg?height=54&width=1753&top_left_y=2400&top_left_x=163)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-23.jpg?height=63&width=1756&top_left_y=2444&top_left_x=161)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-23.jpg?height=60&width=1753&top_left_y=2494&top_left_x=163)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-23.jpg?height=57&width=1753&top_left_y=2553&top_left_x=163)

# dUFA 

21. tekmovanje v znanju<br>matematike za dijake srednjih<br>tehniških in strokovnih šol<br>Državno tekmovanje, 15. maj 2021<br>Rešitve nalog za 4. letnik

$$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline \mathrm{A} 1 & \mathrm{~A} 2 & \mathrm{~A} 3 \\
\hline \mathrm{E} & \mathrm{C} & \mathrm{C} \\
\hline
\end{array}
$$

A1. Vrednost odvoda funkcije $f$ v iskanih točkah mora biti enaka tangensu naklonskega kota tangente $\mathrm{v}$ teh točkah $f^{\prime}(x)=\tan 135^{\circ}=-1$. Rešimo enačbo $3 x^{2}-4 x=-1$. Enačbo uredimo in izračunamo abscisi iskanih točk $x_{1}=1$ in $x_{2}=\frac{1}{3}$. Izračunamo funkcijski vrednosti $f\left(x_{1}\right)=$ $f(1)=2$ in $f\left(x_{2}\right)=f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{76}{27}$. Zapišemo točki $T_{1}(1,2)$ in $T_{2}\left(\frac{1}{3}, \frac{76}{27}\right)$. Pravilen je odgovor E.

A2. Upoštevamo zvezo med zaporednimi členi geometrijskega zaporedja. Rešimo iracionalno enačbo in dobimo rešitvi $x_{1}=1$ in $x_{2}=\frac{1}{49}$. Edina celoštevilska rešitev je 1 . Nato izračunamo člene zaporedja $a_{1}=3, a_{2}=3 \sqrt{2}, a_{3}=6$. Izračunamo količnik $q=\sqrt{2}$. Pravilen je odgovor C.

A3. Števec prvega ulomka razstavimo kot razliko kvadratov $\sin ^{2} x-\cos ^{2} x=(\sin x-\cos x)(\sin x+$ $\cos x)$, imenovalec pa zapišemo kot vsoto obratnih vrednosti $\sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}$ in dobljena ulomka seštejemo. Števec drugega ulomka zapišemo $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, v imenovalcu drugega ulomka pa izpostavimo $\cos x-\sin x=-(\sin x-\cos x)$. Sledi krajšanje ulomkov in dobimo rezultat $-\sin ^{2} x$. Pravilen je odgovor C.

B1. Enačbo lahko rešimo s pomočjo uporabe Hornerjevega algoritma in dobimo rešitve $x_{1}=$ $-1, x_{2}=\frac{1}{2}, x_{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}, x_{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Ugotovimo, da sta prvi dve rešitvi racionalni, drugi dve pa iracionalni. Izračunamo kvadrat vsote prvih dveh rešitev in dobimo $\frac{1}{4}$ ter kvadrat vsote drugih dveh rešitev in dobimo 0 . Nazadnje izračunamo še razliko kvadratov vsote racionalnih rešitev in vsote iracionalnih rešitev enačbe ter dobimo rešitev $\frac{1}{4}$.

Uporaba ustrezne metode za reševanje enačbe ........................................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-24.jpg?height=58&width=1727&top_left_y=1750&top_left_x=176)

Izračun iracionalnih rešitev enačbe $x_{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}, x_{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .2$ točki

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-24.jpg?height=63&width=1725&top_left_y=1853&top_left_x=177)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-24.jpg?height=52&width=1725&top_left_y=1910&top_left_x=177)

Izračun razlike kvadratov vsote racionalnih rešitev in vsote iracionalnih rešitev enačbe $\frac{1}{4} \ldots 1$ točka

B2. Najprej dvakrat uporabimo adicijska izreka in izraza kar se da poenostavimo $\cos \left(60^{\circ}-x\right)=$ $\cos 60^{\circ} \cdot \cos x+\sin 60^{\circ} \cdot \sin x=\frac{1}{2} \cdot \cos x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin x \operatorname{in} \sin \left(120^{\circ}-x\right)=\sin 120^{\circ} \cdot \cos x-\sin x \cdot \cos 120^{\circ}=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos x$. Produkt dobljenih poenostavljenih izrazov je potem $\frac{\sqrt{3}+4 \sin x \cos x}{4}$. Količnik $\frac{\sqrt{3}+4 \sin x \cos x}{\cos \left(60^{\circ}-x\right) \cdot \sin \left(120^{\circ}-x\right)}$ je po razrešitvi dvojnih ulomkov enak 4 .

Uporaba adicijskega izreka $\cos \left(60^{\circ}-x\right)=\cos 60^{\circ} \cdot \cos x+\sin 60^{\circ} \cdot \sin x=\frac{1}{2} \cdot \cos x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin x 1+1$ točka

Uporaba adicijskega izreka $\sin \left(120^{\circ}-x\right)=\sin 120^{\circ} \cdot \cos x-\sin x \cdot \cos 120^{\circ}=\frac{1}{2} \cdot \sin x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos x$ $1+1$ točka

Izračun $\left(\frac{1}{2} \cdot \cos x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin x\right)\left(\frac{1}{2} \cdot \sin x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos x\right)=\frac{\sqrt{3}}{4} \sin ^{2} x+\frac{\sqrt{3}}{4} \cos ^{2} x+\sin x \cos x \ldots 1$ točka Izračun $\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)+\sin x \cos x=\frac{\sqrt{3}}{4}+\sin x \cos x=\frac{\sqrt{3}+4 \sin x \cos x}{4} \ldots \ldots \ldots \ldots 1+1$ točka

B3. Ugotovimo, da je skupna pot obeh teles enaka $450 \mathrm{~m}$. Pot, ki jo opravi telo $A$ do srečanja, je vsota aritmetičnega zaporedja $\mathrm{z}$ začetnim členom $a_{1}=5 \mathrm{~m}$ in diferenco $d_{1}=15 \mathrm{~m}$. Pot, ki jo opravi telo $B$ do srečanja, je vsota aritmetičnega zaporedja $\mathrm{z}$ začetnim členom $b_{1}=100 \mathrm{~m}$ in diferenco $d_{2}=-10 \mathrm{~m}$. Naj bo $n$ čas v minutah, ki preteče od začetka poti do srečanja. Vstavimo podatke v obrazec za vsoto prvih $n$ členov aritmetičnega zaporedja in zapišimo poti obeh teles.

Telo $A$ opravi pot

$$
S_{A}=\frac{n}{2}(2 \cdot 5+(n-1) \cdot 15)
$$

telo $B$ pa pot

$$
S_{B}=\frac{n}{2}(2 \cdot 100+(n-1) \cdot(-10))
$$

Upoštevamo, da skupna pot obeh teles $S_{A}+S_{B}$ meri $450 \mathrm{~m}$. Dobimo enačbo

$$
\frac{n}{2}(2 \cdot 5+(n-1) \cdot 15)+\frac{n}{2}(2 \cdot 100+(n-1) \cdot(-10))=450
$$

Enačbo preuredimo in dobimo kvadratno enačbo

$$
n^{2}+41 n-180=0
$$

Enačbo rešimo in dobimo $n_{1}=4, n_{2}=-45$. Negativna rešitev nima pomena, torej sta telesi porabili za pot do srečanja 4 minute. Izračunamo še pot, ki jo v tem času opravi telo $A$.

$$
\begin{gathered}
S_{A}=\frac{n}{2}(2 \cdot 5+(n-1) \cdot 15) \\
S_{A}=\frac{4}{2}(2 \cdot 5+(4-1) \cdot 15)=2(10+45)=110
\end{gathered}
$$

Telesi se srečata po 4 minutah. Telo $A$ opravi pot $110 \mathrm{~m}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-25.jpg?height=68&width=1742&top_left_y=1714&top_left_x=171)

Zapis poti telesa $A a_{1}=5, d_{1}=15$ in pot $S_{A}=\frac{n}{2}(2 \cdot 5+(n-1) \cdot 15) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . .1$ točka

Zapis poti telesa $B b_{1}=100$ in $d_{2}=-10$ in pot $S_{B}=\frac{n}{2}(2 \cdot 100+(n-1) \cdot(-10)) \ldots \ldots . .1$ točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-25.jpg?height=52&width=1727&top_left_y=1873&top_left_x=176)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-25.jpg?height=57&width=1727&top_left_y=1919&top_left_x=176)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5bf9d67aee417dc7ba6ag-25.jpg?height=55&width=1728&top_left_y=1970&top_left_x=174)

Ugotovitev, da opravita pot v 4 minutah...................................................... 1 točka

Izračun poti, ki jo opravi telo $A$ od začetka poti do srečanja $S_{A}=\frac{4}{2}(2 \cdot 5+(4-1) \cdot 15)=$ $2(10+45)=110$.

1 točka