# Društvo matematikov, fizikov 

in astronomov Slovenije

Jadranska ulica 19

1000 Ljubljana

## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.

## 19. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol <br> Odbirno tekmovanje, 21. marec 2019

Ime in priimek:

## Naloge za 1. letnik

Čas reševanja: 45 minut.

1. Določi najmanjši skupni večkratnik in največji skupni delitelj izrazov:

$$
-3 x^{4}+24 x, \quad x^{3}-6 x^{2}+12 x-8, \quad a x^{2}-4 a x+4 a, \quad 3 b x^{2}-12 b
$$

(10 točk)

2. Izračunaj vrednost izraza $\left(-4 x y z^{-1}\right)^{-2}$, če so $x, y$ in $z$ neznanke $\mathrm{v}$ sistemu

$$
\begin{aligned}
& \frac{2}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-3 \\
& \frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=3 \\
& \frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}=4
\end{aligned}
$$

## 19. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol <br> Odbirno tekmovanje, 21. marec 2019

## Naloge za 2. letnik

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-04.jpg?height=163&width=191&top_left_y=387&top_left_x=1709)

1. Podani sta premica $p$ z enačbo $-x+2 y=1$ in premica $q$ z enačbo $-4 x+3 y=16$. Naj bo točka $A$ presečišče premice $p$ z osjo $x$, naj bo točka $B$ presečišče premice $q$ z osjo $x$, naj bo točka $C$ presečišče premic $p$ in $q$ ter naj bo točka $D$ pravokotna projekcija točke $C$ na os $x$.

a) Izračunaj in zapiši koordinate točk $A, B, C$ in $D$.

b) Izračunaj velikost notranjega kota $\beta$ v trikotniku $A B C$.

c) Izračunaj ploščino trikotnika $A B C$.

2. Dan je izraz

$$
X=\left(a+a^{-1}\right)^{-1}\left(a^{2}+3 a+2\right)\left(a^{2}-3 a+2\right)\left(a^{2}-4\right)^{-1}
$$

a) Izraz $X$ poenostavi in zapiši v obliki produkta.

(8 točk)

b) Izračunaj vrednost izraza $X$ za $a=-\frac{1}{3}$.

## 19. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol <br> Odbirno tekmovanje, 21. marec 2019

## Naloge za 3. letnik

| N1 | N2 |
| :--- | :--- |
|  |  |
|  |  |

1. Dan je trikotnik s stranicami $a=17 \mathrm{~cm}, b=8 \mathrm{~cm}$ in $c=15 \mathrm{~cm}$.

a) Izračunaj, kolikokrat je ploščina trikotniku očrtanega kroga večja od ploščine danega trikotnika. Rezultat zaokroži na celo število.

b) Izračunaj dolžino višine na stranico $a$. Rezultat naj bo točen.

c) Izračunaj velikost največjega kota danega trikotnika.

2. Dani sta funkciji $f(x)=\log _{3}(x+3)+1$ in $g(x)=\log _{3}(3 x)+1$.

a) Poišči absciso presečišča danih funkcij.

b) Izračunaj ničlo, začetno vrednost in zapiši enačbo asimptote za obe funkciji. Funkciji nariši v isti koordinatni sistem.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-07.jpg?height=871&width=1057&top_left_y=467&top_left_x=568)

## 19. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol <br> Odbirno tekmovanje, 21. marec 2019

## Naloge za 4. letnik

1. a) Dani so prvi štirje členi neskončnega aritmetičnega zaporedja:

$$
-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, \frac{9}{2}
$$

Izračunaj, katero število je dvestoti člen tega zaporedja in kolikšna je vsota prvih dvestotih členov zaporedja.

b) Med števili $\frac{1}{2}$ in $\frac{9}{2}$ vrinemo tri števila, tako da dobimo geometrijsko zaporedje. Določi vse možne vrednosti vrinjenih členov. Vrednosti naj bodo točne. (6 točk)

2. Dan je izraz

$$
A=\frac{\frac{1}{2} \sin 2 x+\cos 2 x}{1-\tan x}
$$

Izračunaj vrednost izraza $A$, če je $\cos x=-\frac{4}{5}$ in $\frac{\pi}{2}<x<\pi$. Rezultat naj bo točen. (10 točk)

## 19. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol

## Odbirno tekmovanje, 21. marec 2019

## Rešitve nalog in točkovnik

Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:

- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.

Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.

Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.

Oznaka '*' pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.

## Prvi letnik

1. 

Izraze zapišemo v obliki produkta $-3 x^{4}+24 x=-3 x\left(x^{3}-8\right)=-3 x(x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right)$, $x^{3}-6 x^{2}+12 x-8=(x-2)^{3}, a x^{2}-4 a x+4 a=a(x-2)^{2}, 3 b x^{2}-12 b=3 b(x-2)(x+2)$. Ugotovimo, da je $D=x-2$ in $v=-3 a b x(x-2)^{2}(x+2)\left(x^{2}+2 x+4\right)$.

Izpostavljen skupni faktor $-3 x^{4}+24 x=-3 x\left(x^{3}-8\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Zapis v obliki produkta $-3 x\left(x^{3}-8\right)=-3 x(x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka

Upoštevanje obrazca ali izpostavljanje skupnih faktorjev v štiričleniku....................... 1 točka

Zapis v obliki produkta $x^{3}-6 x^{2}+12 x-8=(x-2)^{3} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Izpostavljen skupni faktor $a x^{2}-4 a x+4 a=a\left(x^{2}-4 x+4\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Zapis v obliki produkta $a\left(x^{2}-4 x+4\right)=a(x-2)^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-11.jpg?height=60&width=1727&top_left_y=827&top_left_x=176)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-11.jpg?height=54&width=1727&top_left_y=887&top_left_x=176)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-11.jpg?height=49&width=1727&top_left_y=935&top_left_x=176)

Zapis najmanjšega skupnega večkratnika $v=-3 a b x(x-2)^{3}(x+2)\left(x^{2}+2 x+4\right) \ldots \ldots .1$ točka

2. Uvedemo nove neznanke $a=\frac{1}{x}, b=\frac{1}{y}, c=\frac{1}{z}$ in dobimo sistem enačb $2 a-b-c=$ $-3, a-b-c=3,3 a+2 b+2 c=4$, ki ga rešimo. Rešitev sistema je $a=2, b=3, c=-4$ in dobimo $x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{3}, z=-\frac{1}{4}$. Izračunamo $\left(-4 x y z^{-1}\right)^{-2}=\left(-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot\left(\frac{-1}{4}\right)^{-1}\right)^{-2}=\left(\frac{8}{3}\right)^{-2}=\frac{9}{64}$.
Uvedba novih neznank $a=\frac{1}{x}, b=\frac{1}{y}$ in $c=\frac{1}{z}$
1 točka
Zapis sistema z novimi neznankami...
1 točka
Reševanje sistema enačb
1 *točka
Rešitve preoblikovanega sistema $a=2, b=3, c=-4$
.3 točke
Rešitve prvotnega sistema enačb $x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{3}, z=-\frac{1}{4}$ (za dve pravilni rešitvi 1 * točka) . 2 točki

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-11.jpg?height=97&width=1731&top_left_y=1573&top_left_x=174)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-11.jpg?height=69&width=1736&top_left_y=1659&top_left_x=177)

## 19. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol

## Odbirno tekmovanje, 21. marec 2019

## Rešitve nalog in točkovnik

Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:

- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.

Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.

Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.

Oznaka '*' pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.

## Drugi letnik

1. Presečišče premice $\mathrm{z}$ osjo $x$ ima $y$ koordinato 0 . Tako dobimo $A(-1,0)$ in $B(4,0)$. Rešimo sistem enačb za $p$ in $q$, da dobimo koordinate točke $C\left(-\frac{29}{5},-\frac{12}{5}\right)$. Točka $D$ ima koordinati $D\left(-\frac{29}{5}, 0\right)$. Kot $\beta$ iz trikotnika $A B C$ je hkrati zunanji kot pri oglišču $B$ v trikotniku $B D C$. Daljica $D C$ je dolga $\frac{12}{5}$, daljica $B D$ pa ima dolžino $\frac{29}{5}-4=\frac{9}{5}$. Trikotnik $D B C$ je pravokoten, velja $\tan \beta^{\prime}=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{9}{5}}=\frac{4}{3}$ in dobimo $\beta \doteq 53,13^{\circ}$ in $\beta \doteq 126,87^{\circ}=126^{\circ} 52^{\prime}$.

Stranica $c$ v trikotniku $A B C$ ima dolžino 5. Ploščino trikotnika $A B C$ pa lahko izračunamo na več različnih načinov:

(a) Stranica $c$ v trikotniku $A B C$ ima dolžino 3. Daljica $D C$ je pravokotna na os $x$ in $\mathrm{s}$ tem na nosilko stranice $c \mathrm{v}$ trikotniku $A B C$. Daljica $D C$ je tako višina na stranico $c \mathrm{v}$ trikotniku $A B C$, njena dolžina je $\frac{12}{5}$. Ploščino trikotnika lahko izračunamo kot $S=\frac{c \cdot v_{c}}{2}=\frac{3 \cdot \frac{12}{5}}{2}=\frac{18}{5}=$ 3,6 .
(b) Stranica $a$ v trikotniku $A B C$ je hkrati hipotenuza v pravokotnem trikotniku $B D C$, po $\mathrm{Pi}-$ tagorovem izreku dobimo njeno dolžino 3. Isto dobimo z izračunom razdalje daljice $B C$. Ploščino trikotnika izračunamo kot $S=\frac{c \cdot a \cdot \sin \beta}{2}=\frac{3 \cdot 3 \cdot \sin 126,87^{\circ}}{2}=3,6$.
(c) Poleg $a=3$ in $c=3$ izračunamo še stranico $b$, torej dolžino daljice $A C$ :

$|A C|=\sqrt{\left(\frac{24}{5}\right)^{2}+\left(\frac{12}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{5}}=\frac{12 \sqrt{5}}{5} \doteq 5,37$. Sedaj lahko z uporabo Heronovega obrazca izračunamo ploščino trikotnika. $s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+6 \sqrt{5}}{5} \doteq 5,68$ in

$S=\sqrt{s \cdot(s-a) \cdot(s-b) \cdot(s-c)}=$

$\sqrt{\frac{15+6 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{6 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{6 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{15-6 \sqrt{5}}{5}}=\frac{18}{5}=3,6$.

(d) Ploščino trikotnika $A B C$ lahko izračunamo kot razliko ploščin trikotnika $A D C$ in trikotnika $B D C: S=\frac{\frac{12}{5} \cdot \frac{24}{5}}{2}-\frac{\frac{12}{5} \cdot \frac{9}{5}}{2}=3,6$.

Izračun in zapis $A(-1,0)$ .1 točka

Izračun in zapis $B(-4,0)$ 1 točka

Izračun in zapis $C\left(-\frac{29}{5},-\frac{12}{5}\right)$ 1 točka

Ugotovitev in zapis $D\left(-\frac{29}{5}, 0\right)$ 1 točka

Izračun ali zapis dolžin stranic $|C D|=\frac{12}{5}$ in $|B D|=\frac{9}{5}$ 1 točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-13.jpg?height=69&width=1731&top_left_y=1933&top_left_x=174)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-13.jpg?height=54&width=1725&top_left_y=1989&top_left_x=177)

Zapis ali uporaba ustreznega obrazca za ploščino trikotnika $\left(\frac{c \cdot v_{0}}{2}, \frac{c \cdot b \cdot \sin \beta}{2}\right.$, Heron, ... . . 1 točka Izračun potrebnih količin..................................................................................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-13.jpg?height=55&width=1725&top_left_y=2137&top_left_x=177)

2. Prvi faktor preoblikujemo v $\left(a+a^{-1}\right)^{-1}=\frac{a}{a^{2}+1}$.

V produktu $\left(a^{2}+3 a+2\right)\left(a^{2}-3 a+2\right)$ lahko vsak člen iz prvega oklepaja pomnožimo z vsakim členom iz drugega oklepaja. Hitrejša možnost pa je, da to preoblikujemo v produkt vsote in razlike istih členov in dobimo razliko kvadratov: $\left(a^{2}+3 a+2\right)\left(a^{2}-3 a+2\right)=\left(\left(a^{2}+2\right)+3 a\right)\left(\left(a^{2}+\right.\right.$ 2) $-3 a)=\left(a^{2}+2\right)^{2}-(3 a)^{2}=a^{4}+4 a^{2}+4-9 a^{2}=a^{4}-5 a^{2}+4$.

To s pomočjo Vietovega pravila razstavimo na $a^{4}-5 a^{2}+4=\left(a^{2}-1\right)\left(a^{2}-4\right)$.

Preoblikujmo še zadnji faktor $\left(a^{2}-4\right)^{-1}=\frac{1}{a^{2}-4}$. Vse to zmnožimo in dobimo $X=\frac{a}{a^{2}+1} \cdot\left(a^{2}-\right.$ 1) $\left(a^{2}-4\right) \cdot \frac{1}{a^{2}-4}=\frac{a}{a^{2}+1} \cdot\left(a^{2}-1\right)=\frac{a(a-1)(a+1)}{a^{2}+1}$. V poenostavljen izraz $X$ vstavimo $a=-\frac{1}{3}$ in dobimo $\frac{4}{15}$.

Zapisano ali uporabljeno $a^{-1}=\frac{1}{a}$ .1 točka

Poenostavljen prvi faktor, zapisan z ulomkom $\frac{a}{a^{2}+1}$ 1 točka

Zmnožen drugi in tretji faktor: $\left(a^{2}+3 a+2\right)\left(a^{2}-3 a+2\right)=a^{4}-5 a^{2}+4 \ldots \ldots \ldots \ldots 1^{*}+1$ točka Uporaba Vietovega pravila $a^{4}-5 a^{2}+4=\left(a^{2}-1\right)\left(a^{2}-4\right)$, lahko razstavljeno do $(a+1)(a+2)(a-1)(a-2)$ 1 točka

Preoblikovan zadnji faktor $\left(a^{2}-4\right)^{-1}=\frac{1}{a^{2}-4}$, lahko $v \frac{1}{(a+2)(a-2)} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ Množenje dobljenih faktorjev in krajšanje.....................................................................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-14.jpg?height=83&width=1727&top_left_y=1055&top_left_x=176)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-14.jpg?height=60&width=1727&top_left_y=1124&top_left_x=176)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-14.jpg?height=60&width=1742&top_left_y=1175&top_left_x=174)

## 19. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol

## Odbirno tekmovanje, 21. marec 2019

## Rešitve nalog in točkovnik

Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:

- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.

Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.

Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.

Oznaka '*' pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.

## Tretji letnik

1. 

a) S pomočjo Heronovega obrazca izračunamo ploščino trikotnika $s=\frac{a+b+c}{2}=20 \mathrm{~cm}, S_{t}=$ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=60 \mathrm{~cm}^{2}$. Izračunamo polmer trikotniku očrtanega kroga $R=$ $\frac{a b c}{4 S}=8,5 \mathrm{~cm}$. Ploščina očrtanega kroga $S_{k}=\pi r^{2}=226,98 \mathrm{~cm}^{2}$. Ploščino osenčenega kroga delimo s ploščino trikotnika in dobimo 3,78 . Ploščina kroga je 4 -krat večja od ploščine trikotnika.

b) S pomočjo formule za ploščino trikotnika izračunamo dolžino višine na želeno stranico $v_{a}=$ $\frac{2 S_{S}}{a}=\frac{120}{17} \mathrm{~cm}$.

c) Po dolžinah stranic ugotovimo, da je kot $\alpha$ največji kot v trikotniku. Uporabimo kosinusni izrek in izračunamo kot $\cos \alpha=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=0$ in $\alpha=90^{\circ}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-16.jpg?height=71&width=1742&top_left_y=981&top_left_x=174)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-16.jpg?height=54&width=1727&top_left_y=1041&top_left_x=176)

Izračun polmera očrtanega kroga $R=\frac{a b c}{4 S_{t}}=8,5 \mathrm{~cm} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-16.jpg?height=54&width=1725&top_left_y=1144&top_left_x=177)

Zapis odgovora.......................................................................................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-16.jpg?height=51&width=1727&top_left_y=1248&top_left_x=176)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-16.jpg?height=54&width=1727&top_left_y=1298&top_left_x=176)

Ugotovitev, da je $\alpha$ največji kot.......................................................................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-16.jpg?height=60&width=1725&top_left_y=1392&top_left_x=177)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-16.jpg?height=54&width=1736&top_left_y=1441&top_left_x=177)

2. 

a) Poiščemo absciso presečišča. Izenačimo funkciji $f(x)=g(x)$, ju vstavimo v enačbo in dobimo $\log _{3}(x+3)+1=\log _{3}(3 x)+1$. Enačbo uredimo in dobimo linearno enačbo $x+3=3 x$, katere rešitev je $x=\frac{3}{2}$.

b) Za funkcijo $f(x)=\log _{3}(x+3)+1$ izračunamo začetno vrednost $f(0)=\log _{3}(0+3)+1=$ 2. Izračunamo ničlo, tako da rešimo enačbo $0=\log _{3}(x+3)+1$, ki jo preoblikujemo $\mathrm{v}$ $\log _{3}(x+3)=-1$ in za tem s pomočjo definicije logaritma zapišemo enačbo $x+3=\frac{1}{3}$. Dobimo rešitev $x=-2 \frac{2}{3}$, ki je ničla funkcije $f$. Zapišemo enačbo asimptote $x=-3$.

Za funkcijo $g(x)=\log _{3}(3 x)+1$ ugotovimo, da začetna vrednost ne obstaja. Izračunamo ničlo, tako da rešimo enačbo $0=\log _{3}(3 x)+1$, jo preoblikujemo $\mathrm{v} \log _{3}(3 x)=-1$ in za tem uporabimo definicijo logaritma ter dobimo enačbo $3 x=\frac{1}{3}$. Dobimo rešitev $x=\frac{1}{9}$, ki je ničla funkcije $g$. Zapišemo enačbo asimptote $x=0$.

Narišemo oba grafa.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-17.jpg?height=868&width=1053&top_left_y=211&top_left_x=547)
Izračun začetne vrednosti za funkcijo $f: f(0)=2$ ..... 1 točka
Izračun ničle funkcije $f: x=-2 \frac{2}{3}$.... ..... 1 točka
Narisan graf funkcije $f$ ..... 1 točka
Ugotovitev, da funkcija $g$ nima začetne vrednosti ... ..... 1 točka
Izračun dodatne točke za funkcijo $g: g(1)=2 \ldots$ ..... 1 točka
Izračun ničle funkcije $g: x=\frac{1}{9}$ ..... 1 točka
Narisan graf funkcije $g$ ..... 1 točka
Zapis ali upoštevanje $\log _{3}(x+3)+1=\log _{3}(3 x)+1$ ..... 1 točka
Zapis linearne enačbe $x+3=3 x$ ..... 1 točka
Izračun abscise presečišča $x=\frac{3}{2}$ ..... 1 točka

## 19. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol

## Odbirno tekmovanje, 21. marec 2019

## Rešitve nalog in točkovnik

Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:

- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.

Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.

Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.

Oznaka '*' pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.

## Četrti letnik

1. 

a) Izračunamo diferenco aritmetičnega zaporedja $d=\frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)=2$. Izračunamo dvestoti člen zaporedja $a_{200}=a_{1}+(200-1) \cdot d=\frac{793}{2}$. Izračunamo vsoto prvih dvestotih členov $s_{200}=\frac{200}{2}\left(a_{1}+a_{2} 00\right)=\frac{200}{2}\left(-\frac{3}{2}+\frac{793}{2}\right)=39500$.

b) Med števili $\frac{1}{2}$ in $\frac{9}{2}$ vrinemo tri števila $a_{2}, a_{3}, a_{4}$. Dobimo zaporedje $\frac{1}{2}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \frac{9}{2}$. Število $\frac{9}{2}$ je peti člen geometrijskega zaporedja, zato velja enakost $a_{1} \cdot q^{4}=\frac{9}{2}$. Vstavimo $a_{1} \mathrm{v}$ enakost in dobimo $\frac{1}{2} \cdot q^{4}=\frac{9}{2}$. Ko odpravimo ulomke, dobimo enačbo $q^{4}=9$. Enačba ima dve rešitvi $q_{1}=\sqrt{3}, q_{2}=-\sqrt{3}$. Zapišemo obe rešitvi: $\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2} ; \quad-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2},-\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.

```
Izračun \(d=\frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)=2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\)

```

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-19.jpg?height=57&width=1728&top_left_y=914&top_left_x=178)

```
Izračun \(s_{200}=\frac{200}{2}\left(a_{1}+a_{200}\right)=\frac{200}{2}\left(-\frac{3}{2}+\frac{793}{2}\right)=39500 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\)

```

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-19.jpg?height=60&width=1727&top_left_y=1009&top_left_x=176)

```

```

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-19.jpg?height=51&width=1727&top_left_y=1065&top_left_x=173)

```

```

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-19.jpg?height=49&width=1725&top_left_y=1112&top_left_x=177)

```
Zapis rešitev \(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2} ; \quad-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2},-\frac{3 \sqrt{3}}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots\) točki
```

2. Uporabimo zvezo med kotnimi funkcijami $\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$ in dobimo $\sin ^{2} x=\frac{9}{25}$. Ker je $\frac{\pi}{2}<x<\pi$, je $\sin x=\frac{3}{5}$. Upoštevamo, da je $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, $\sin 2 x=2 \sin x \cos x$ in $\cos 2 x=$ $\cos ^{2} x-\sin ^{2} x$. Izračunana vrednost izraza $A=-\frac{4}{35}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-19.jpg?height=63&width=1744&top_left_y=1462&top_left_x=173)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-19.jpg?height=57&width=1742&top_left_y=1516&top_left_x=174)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-19.jpg?height=57&width=1739&top_left_y=1568&top_left_x=176)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-19.jpg?height=54&width=1731&top_left_y=1618&top_left_x=174)

Zapis ali upoštevanje $\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=\frac{7}{25} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-19.jpg?height=63&width=1731&top_left_y=1713&top_left_x=174)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18400104441c5ee1e47ag-19.jpg?height=63&width=1736&top_left_y=1762&top_left_x=177)