# Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
## 8. tekmovanje v znanju matematike
za dijake poklicnih šol
Državno tekmovanje, 19. april 2008
Čas reševanja: 90 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor pol točke odšteli. Odgovore sklopa A vpišite v gornjo tabelo na nalepki, spodnjo tabelo na nalepki pa pustite prazno. V sklopu B račune in odgovore zapisujte pod posamezno nalogo.
Prilepite nalepko s šifro Pri vsaki nalogi lahko dobite največ 7 točk.
A1. Dana sta dva trikotnika s stranicami $a=5 \mathrm{~cm}, b=3 \mathrm{~cm}, c=7 \mathrm{~cm}$ in $a_{1}=10 \mathrm{~cm}$, $b_{1}=6 \mathrm{~cm}, c_{1}=14 \mathrm{~cm}$. Kaj lahko poveste o teh dveh trikotnikih?
(A) Sta skladna.
(B) Sta si podobna.
(C) Sta pravokotna.
(D) Sta enakokraka.
(E) Sta ploščinsko enaka.
A2. Obseg pravokotnika, katerega stranici sta dolgi celo število centimetrov, je $24 \mathrm{~cm}$. Koliko centimetrov sta lahko dolgi njegovi stranici?
(A) 12,12
(B) 6,4 ali 6,3
(C) 6,6 ali 8,4 ali 10,2
(D) 8,3
(E) 12,2
A3. Največ koliko različnih trikotnikov lahko narišete, če za oglišča vzamete poljubne tri od petih označenih točk na krožnici?
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 11
A4. Anka je na rojstnodnevno zabavo prinesla košaro z jabolki in pomarančami. Gostje so pojedli polovico vseh jabolk in tretjino vseh pomaranč. Koliko sadja je ostalo v košari?
(A) Polovica vsega sadja.
(B) Več kot polovica sadja.
(C) Manj kot polovica vsega sadja.
(D) Tretjina vsega sadja.
(E) Manj kot tretjina sadja.
A5. Matej je kupil 12 zvezkov. V sosednji papirnici bi za vsak zvezek plačal 20 centov več in bi za enak znesek kupil 3 zvezke manj. Koliko je Matej plačal za en zvezek?
(A) 35 centov
(B) 60 centov
(C) 72 centov
(D) 3 evre
(E) nič od navedenega
A6. Vlak je razdaljo med krajema $A$ in $B$ prevozil v 24 urah. Polovico časa je vozil s hitrostjo $80 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$, tretjino časa s hitrostjo $60 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$, preostanek časa pa s hitrostjo $40 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Kolikšna je razdalja med krajema $A$ in $B$ ?
(A) $160 \mathrm{~km}$
(B) $180 \mathrm{~km}$
(C) $800 \mathrm{~km}$
(D) $1600 \mathrm{~km}$
(E) $1800 \mathrm{~km}$
B1. Zapišite izraz, ki ustreza danemu diagramu.
Nato izračunajte vrednost izraza, če je:
A najmanjši skupni večkratnik števil 3 in 5 ,
$B$ dolžina katete v pravokotnem trikotniku s hipotenuzo, dolgo 5 enot, in drugo kateto, dolgo 4 enote,
$C$ najmanjše praštevilo.
B2. Mama se je odločila, da bo dva tedna varčevala za svoja dva sinova. V Andrejev šparovček je vrgla prvi dan 1 cent, vsak naslednji dan pa dvakrat toliko kot prejšnji dan. V Mihov šparovček je dala ob koncu vsakega tedna 75 evrov.
A Koliko denarja je privarčevala za Andreja po enem tednu?
B Koliko denarja je privarčevala za Miha po dveh tednih?
C Koliko denarja je privarčevala za Andreja po dveh tednih?
D Komu je po dveh tednih privarčevala več denarja in za koliko \%?
B3. V finalu plesnega turnirja Just Dance so uporabili ocenjevalni sistem, na podlagi katerega so določili zmagovalni par. Najprej je strokovna komisija podeljevala točke in jih zapisovala v preglednico:
| Št. plesnega para | 4 | 27 | 15 | 8 | 11 |
| :--- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |
| Nožna tehnika (T) | 3 | 2 | 3 | 1 | 3 |
| Koreografija (K) | 1 | 2 | 1 | 3 | 2 |
| Plesna figura (F) | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 |
| Plesna izraznost (I) | 3 | 2 | 2 | 3 | 2 |
kjer 3 točke pomenijo odlično, 2 točki dobro in 1 točka zadovoljivo.
Za izračun končne ocene (KO) so na tem tekmovanju uporabili formulo:
$$
\mathrm{KO}=3 T+K+2 F+I
$$
A Izračunajte končno oceno za par št. 15.
B V kateri kategoriji so bili plesni pari v povprečju najnižje ocenjeni?
C Kateri par je zmagal?
D Par št. 4 meni, da formula za izračun končne ocene ni poštena. Zapišite formulo za izračun končne ocene, ki bi temu paru prinesla zmago. Formula mora biti oblike
$$
\mathrm{KO}=\square T+\square K+\square F+\square I
$$
kjer morate $\mathrm{v}$ vsako prazno polje vpisati naravno število, manjše ali enako 3.
B4. Matej je stal na travniku in opazoval staro drevo. Nato se je napotil najprej $60 \mathrm{~m}$ proti severu in nato še $50 \mathrm{~m}$ proti zahodu ter ugotovil, da je drevo vzhodno od kraja, kamor je prišel. Ugotovil je še, da je od drevesa oddaljen enako kot na začetku svoje poti. Koliko metrov je oddaljen od drevesa? Narišite skico!
## 8. tekmovanje v znanju matematike
za dijake poklicnih šol
Državno tekmovanje, 19. april 2008
## Rešitve nalog in točkovnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
## Sklop A
V preglednici so zapisani pravilni odgovori. Pravilni odgovor tekmovalca se točkuje z 2 točkama, nepravilni $\mathrm{z}-\frac{1}{2}$ točko, prazno polje preglednice pa $\mathrm{z} 0$ točkami.
| A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| B | C | D | B | B | D |
A1. Razmerje med istoležnimi stranicami obeh trikotnikov je $1: 2$, zato sta si trikotnika podobna.
A2. Obseg pravokotnika je $24=2 \cdot(a+b)$, zato je vsota stranic $a$ in $b$ enaka $12 \mathrm{~cm}$. Le pri odgovoru (C) je v vseh primerih vosta stranic enaka 12.
A3. Točke na krožnici označimo z $A, B, C, D$ in $E$. Ce zapišemo vse različne možne trikotnike: $A B C, A B D, A B E, A C D, A C E, A D E, B C D, B C E, B D E, C D E$, jih je 10.
A4. Anka je v košari prinesla $x$ pomaranč in $y$ jabolk. Po zabavi je ostalo $\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}=\frac{3 x+4 y}{6}$ sadja, kar je več kot polovica prinešenega sadja, saj je $\frac{3 x+4 y}{6}>\frac{3(x+y)}{6}$.
A5. Ceno zvezka pred podražitvijo označimo z $x$ in zapišemo enačbo: $12 x=9 \cdot(x+0,20)$. En zvezek je pred podražitvijo stal $x=0,60$ evra oz. 60 centov.
A6. Vlak je v prvih 12 urah prevozil $80 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \cdot 12 \mathrm{~h}=960 \mathrm{~km}$, v naslednjih 8 urah $60 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \cdot 8 \mathrm{~h}=$ $480 \mathrm{~km}$ in v zadnjih 4 urah $40 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \cdot 4 \mathrm{~h}=160 \mathrm{~km}$ poti. Razdalja med krajema $A$ in $B$ je $960 \mathrm{~km}+240 \mathrm{~km}+160 \mathrm{~km}=1600 \mathrm{~km}$.
## Sklop B
B1. Izraz, ki ustreza diagramu, je
$$
(95-A: B):((107-98) \cdot C)
$$
Ker je $A=15, B=3$ in $C=2$, je njegova vrednost enaka $(95-15: 3):((107-98) \cdot 2)=5$.
Točkovnik: Skupaj: 7 točk
Zapisan izraz s simboli $\underbrace{(95-A: B)}_{1 \mathrm{t}}: \underbrace{((107-98) \cdot C)}_{\mathbf{1 t}}$, za vsak del po eno točko. ...... $\mathbf{2} \mathbf{t}$
Za vsako pravilno določeno število $A, B, C$ po en točko: $A=15, B=3, C=2 \ldots \ldots .3 \mathbf{t}$
B2. Za Andreja mama prvi dan privarčuje 0,01 evra, vsak naslednji dan pa dvakrat toliko kot prejšnji dan oz. v celem tednu: $0,01+0,02+0,04+0,08+0,16+0,32+0,64=1,27$ EUR. $\mathrm{V}$ naslednjem tednu pa: $1,28+2,56+5,12+10,24+20,48+40,96+81,92=162,56$ EUR. V obeh tednih za Andreja privarčuje 163,83 EUR.
Za Miha vsak teden privarčuje 75 EUR, torej 150 EUR v dveh tednih.
Za Andreja privarčuje $\frac{163,83}{150}=1,0922$ več kot za Miha, oz. $9,22 \%$.
Točkovnik: Skupaj: 7 točk
Mama po enem tednu za Andreja privarčuje 1,27 EUR.
Za Andreja po dveh tednih privarčuje 163,83 EUR. ......................................... 2 t
Za Andreja privarčuje $9,22 \%$ več kot za Miha ............................................. 1 t
B3. A Par št. 15 je pridobil za nožno tehniko $3 \cdot 3$ točke, za koreografijo $1 \cdot 1$ točko, za plesno figuro $2 \cdot 3$ točke in za plesno izraznost $1 \cdot 2$ točki. Skupaj 18 točk.
B Povprečne ocene parov iz:
- nožne tehnike $\frac{12}{5}$
- koreografije $\frac{9}{5}$
- plesne figure $\frac{13}{5}$
- plesne izraznosti $\frac{12}{5}$
V povprečju so bili pari najnižje ocenjeni iz koreografije.
C Točkovanje parov:
| Par | T | K | F | I | $\sum$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 4 | 9 | 1 | 4 | 3 | 17 |
| 27 | 6 | 2 | 4 | 2 | 14 |
| 15 | 9 | 1 | 6 | 2 | 18 |
| 8 | 3 | 3 | 6 | 3 | 15 |
| 11 | 9 | 2 | 6 | 2 | 19 |
D Par št. 4 bo zmagal po formuli: $2 T+1 K+1 F+3 I$ ali $3 T+1 K+1 F+3 I$.
Točkovnik: Skupaj: 7 točk
A Par št. 15 je pridobil 18 točk. ..................................................... 1 t
B V povprečju so bili pari najnižje ocenjeni iz koreografije. ........................... 2 t
C Odgovor, npr.: Zmagal je par št. 11. ..................................................... 2 t
D Zapisana ena od formul, po kateri bo zmagal par št. 4 : $2 T+1 K+1 F+3 I$ ali $3 T+$ $\qquad$
B4. Narišimo skico in označimo začetni položaj Mateja z $Z$, končni s $K$, položaj drevesa pa z $D$. Ker je $Z D A$ pravokotni trikotnik, lahko zapišemo Pitagorov izrek: $(50+x)^{2}=60^{2}+x^{2}$. Enačba ima rešitev $x=11$. Matej je od drevesa oddaljen $61 \mathrm{~m}$.
Točkovnik: Skupaj: 7 točk
Narisana skica, ki na kateri sta označeni začetna in končna Matejevo lego, ki je $60 \mathrm{~m}$ severno in $50 \mathrm{~m}$ zahodno od začetne ............................................................................................................................
Ustrezno narisano mesto drevesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1 \mathrm{t}$
Zapisan odgovor, npr.: Matej je od drevesa oddaljen $61 \mathrm{~m} . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots$ t