# Društvo matematikov, fizikov 

in astronomov Slovenije

Jadranska ulica 19

1000 Ljubljana

## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.

## 12. tekmovanje v znanju matematike

 za dijake poklicnih šolPodročno tekmovanje, 28. marec 2012

Prilepi nalepko s šifro

Čas reševanja: 90 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor pol točke odšteli. Odgovore sklopa A vpišite v levo tabelo.

| A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3ad088fae533eb6a81abg-2.jpg?height=166&width=420&top_left_y=545&top_left_x=1429)

A1 Kolikšen del šolske ure je zadnjih 5 minut?
(A) $\frac{1}{9}$
(B) $\frac{1}{8}$
(C) $\frac{1}{6}$
(D) $\frac{5}{12}$
(E) $\frac{1}{3}$

A2 V kolikšnem razmerju sta dolžini daljic?
(A) $a: b=8: 5$
(B) $a: b=5: 8$
(C) $a: b=6: 5$
(D) $a: b=5: 13$
(E) nič od tega

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3ad088fae533eb6a81abg-2.jpg?height=217&width=528&top_left_y=1039&top_left_x=1392)

A3 Pri kateri vrednosti spremenljivke $x$ imata izraza $x \cdot \frac{1}{2}$ in $x-\frac{1}{2}$ enako vrednost?
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2

A4 Med časoma 3.25 in 13.01 je:
(A) $9,36 \mathrm{~h}$
(B) $9 \mathrm{~h} 36 \mathrm{~min}$
(C) $9,6 \mathrm{~h}$
(D) $10 \mathrm{~h} 26 \mathrm{~min}$
(E) $10 \mathrm{~h} 36 \mathrm{~min}$

A5 Katero število moramo nadomestiti s $\square$, da bo enakost $8+\frac{5}{\square}+\frac{2}{1000}=8,052$ pravilna?
(A) 1
(B) 10
(C) 50
(D) 100
(E) 1000

A6 Pravokotnik je razdeljen na 12 enakih manjših pravokotnikov. Koliko majhnih pravokotnikov moramo pobarvati, da bosta pobarvani $\frac{2}{3}$ od $\frac{3}{4}$ pravokotnika?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3ad088fae533eb6a81abg-2.jpg?height=177&width=509&top_left_y=1982&top_left_x=1393)
(A) 3
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 9

A7 Na pasji razstavi se postavijo na oštevilčena mesta štirje psi. Na koliko različnih načinov se lahko razporedijo?
(A) 4
(B) 8
(C) 16
(D) 24
(E) 48

A8 Diagram prikazuje ocene, ki so jih dobili dijaki na izpitu. Kateri dve trditvi med naslednjimi sta pravilni?

A Oceno 3 je dobil 1 dijak.

B Dvajset dijakov je dobilo oceno najmanj 3.

C Oceno 2 je dobilo $20 \%$ dijakov.

D Izpit je opravljalo 25 dijakov.

E Oceno 4 je dobilo $20 \%$ dijakov.
(A) A in E
(B) B in E
(C) $\mathrm{C}$ in $\mathrm{D}$
(D) $\mathrm{C}$ in $\mathrm{E}$
(E) B in C

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3ad088fae533eb6a81abg-3.jpg?height=600&width=442&top_left_y=228&top_left_x=1475)

A9 Na koliko manjših kock z robom $6 \mathrm{~cm}$ lahko razrežemo večjo kocko z robom $24 \mathrm{~cm}$ ?
(A) 4
(B) 12
(C) 16
(D) 36
(E) 64

A10 Koliko je vrednost $\alpha$ ?
(A) $10^{\circ}$
(B) $15^{\circ}$
(C) $18^{\circ}$
(D) $20^{\circ}$
(E) $30^{\circ}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3ad088fae533eb6a81abg-3.jpg?height=268&width=148&top_left_y=1028&top_left_x=1642)

B1. Starši so Špelo peljali na počitniško križarjenje z ladjo. Narisala je del grafa, ki prikazuje prepotovano pot po dnevih.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3ad088fae533eb6a81abg-3.jpg?height=759&width=1174&top_left_y=1485&top_left_x=201)

A. Dani graf dopolnite za zadnje tri dni križarjenja, v katerih je s stalno hitrostjo preplula še $1000 \mathrm{~km}$.

B. Koliko dni je v celoti trajalo počitniško križarjenje?

C. Koliko km je ladja prevozila na celotnem križarjenju?

D. V krajih z bogato zgodovino je ladja mirovala, da so si lahko ogledali znamenitosti. Koliko dni je ladja mirovala?

B2. Izdelati želimo posodo brez pokrova v obliki kocke z robom $30 \mathrm{~cm}$.

A. Najmanj koliko $\mathrm{m}^{2}$ pločevine potrebujemo za njeno izdelavo?

B. Koliko mm je dolga najdaljša možna ravna tanka neupogljiva palica, ki jo lahko spravimo v posodo?

C. Koliko litrov drži posoda?

B3. Dopolnite besedilo, tako da bo izraz $10-(1,08+3 \cdot 0,52+5 \cdot 0,29)$ pravilen zapis računskega reševanja dane naloge.

Špela je v trgovini kupila tri jogurte, pet žemljic in kilogram moke.

Račun je plačala z bankovcem za $\qquad$ evrov.

Vsak jogurt stane $\qquad$ evrov.

Vsaka žemljica stane $\qquad$ evrov.

Kilogram moke stane $\qquad$ evrov.

Špeli so v trgovini vrnili $\qquad$ evrov.

B4. Diagram prikazuje zneske žepnin, ki jih dijaki prejemajo od staršev v enem mesecu.

A. Koliko dijakov dobi vsaj 31 EUR žepnine?

B. Koliko \% dijakov dobi manj od 21 EUR mesečne žepnine?

C. Izračunajte povprečno vrednost žepnine v celih evrih za dijake, prikazane v diagramu.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3ad088fae533eb6a81abg-4.jpg?height=766&width=597&top_left_y=1259&top_left_x=1312)

Mesečna žepnina v EUR

## 12. tekmovanje $v$ znanju matematike za dijake poklicnih šol

Področno tekmovanje, 28. marec 2012

## Rešitve nalog in točkovnik

Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki

- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.

V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor pol točke odšteli. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končnemu dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetnih 5 točk.

$V$ tabeli so zapisani pravilni odgovori izbirnih nalog.

| A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| A | B | D | B | D | C | D | B | E | C |

A1. 5 minut od 45 minut je $\frac{5}{45}=\frac{1}{9}$.

A2. Daljica $a$ je dolga 5 enot, daljica $b 8$ enot, zato je $a: b=5: 8$.

A3. Izraza enačimo: $x \cdot \frac{1}{2}=x-\frac{1}{2}$ in rešimo enačbo. Neznanka $x=1$.

A4. Med 3.25 in 4.00 je 35 minut, med 4.00 in 13.00 je 9 ur, med 13.00 in 13.01 je 1 minuta, skupaj 9 ur in 36 minut.

A5. Decimalno število $8,052=8+0,05+0,002=8+\frac{5}{100}+\frac{2}{1000}$, zato $\square$ nadomestimo s 100 .

A6. $\frac{3}{4}$ od velikega pravokotnika je 9 malih pravokotnikov ( $\frac{3}{4}$ od 12 ), $\frac{2}{3}$ od 9 pa je 6 malih pravokotnikov.

A7. Prvi pes, ki se razporeja, lahko izbira med štirimi mesti, drugi med tremi, tretji med dvema in zadnji med enim praznim mestom. Upoštevajoč pravilo produkta $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24$.

A8. Diagram prikazuje trditve:

A Oceno 3 je dobilo 9 dijakov.

B 20 dijakov je dobilo oceno najmanj 3.

C 23,3\% dijakov je dobilo oceno 2 .

D Izpit je opravljalo 30 dijakov.

E $20 \%$ dijakov je dobilo oceno 4 .

Pravilno zapisani sta trditvi pod B in E.

A9. V kocko z robom $24 \mathrm{~cm}$ lahko zložimo $4 \times 4 \times 4=64$ kock $\mathrm{z}$ robom $6 \mathrm{~cm}$.

A10. Vsota kotov $2 \alpha+3 \alpha=90^{\circ}$. Rešitev enačbe $\alpha=18^{\circ}$.

## DALJŠE NALOGE

B1. A. Dopolnjen graf............................................................................ 1 t

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3ad088fae533eb6a81abg-7.jpg?height=979&width=1522&top_left_y=407&top_left_x=290)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3ad088fae533eb6a81abg-7.jpg?height=62&width=1664&top_left_y=1431&top_left_x=253)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3ad088fae533eb6a81abg-7.jpg?height=54&width=1664&top_left_y=1498&top_left_x=253)

D. Ladja je mirovala 4 dni.................................................................... 2 t

B2. Površina kocke brez pokrova $P=5 a^{2}=4500 \mathrm{~cm}^{2}=0,45 \mathrm{~m}^{2}$. Palica je postavljena v lego telesne diagonale $\mathrm{z}$ dolžino $D=\sqrt{3 a^{2}} \approx 519 \mathrm{~mm}$. Prostornina kocke $V=a^{3}=27000 \mathrm{~cm}^{3}=$ 271 .

A. Izračunana najmanjša površina $P=4500 \mathrm{~cm}^{2}$. ............................................................................................

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3ad088fae533eb6a81abg-7.jpg?height=57&width=1602&top_left_y=1885&top_left_x=313)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3ad088fae533eb6a81abg-7.jpg?height=60&width=1664&top_left_y=1946&top_left_x=253)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3ad088fae533eb6a81abg-7.jpg?height=51&width=1602&top_left_y=2002&top_left_x=313)

C. Kocka drži 27 litrov. ......................................................................................................

B3. Izraz v oklepaju predstavlja strošek nakupa kilograma moke, treh jogurtov in petih žemljic, ki znaša: $4,09 \mathrm{EUR}=1,08+3 \cdot 0,52+5 \cdot 0,29 \mathrm{EUR}$. Špela je račun plačala z bankovcem za 10 evrov. Vrnili so ji $10-4,09=5,91$ evrov.

Pravilno dopolnjeno besedilo:

Račun je plačala z bankovcem za 10 evrov.

Vsak jugort stane $0,52 \_$evrov....................................................................................................

Vsaka žemljica stane ___ evrov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 t

Kilogram moke stane 1,08 evrov. $1 \mathrm{t}$

Špeli so v trgovini vrnili $\qquad$ 5,91 $\qquad$ evrov. $1 \mathrm{t}$

B4. Iz diagrama odčitamo trditvi: 20 dijakov dobi vsaj 31 EUR žepnine in 13 dijakov dobi manj kot 21 EUR žepnine (to je približno $28,9 \%$ ).

Povprečna žepnina je $\frac{4 \cdot 5,5+9 \cdot 15,5+12 \cdot 25,5+11 \cdot 35,5+9 \cdot 45,5}{45} \approx 28$ EUR.
A. 20 dijakov dobi vsaj 31 EUR žepnine. ....................................................... 1 t
B. $28,9 \%$ dijakov dobi manj kot 21 EUR žepnine. ........................................... 2 t

C. Povprečna žepnina je 28 EUR. .............................................................. 2 t