# Auswahlwettbewerb zur IMO 2000 

## 1. Auswahlklausur

## Aufgabe 1

Gegeben sei ein hinreichend großer Vorrat von gleichseitigen Dreiecken und Quadraten, alle mit der gleichen Seitenlänge. Aus diesen Bausteinen lassen sich konvexe* Polygone bilden, indem man sie in der Ebene lückenlos und überschneidungsfrei aneinander legt. (Die Figur zeigt drei Möglichkeiten für ein Sechseck.)
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_05_86be4ef4a7fa44b9a212g-1.jpg?height=121&width=614&top_left_y=796&top_left_x=713)
a) Welches ist die größtmögliche Anzahl $m$ von Seitenkanten für ein so gebildetes konvexes Polygon? (Die Antwort ist zu begründen.)
b) Man gebe für alle möglichen Anzahlen von Seitenkanten $\leq m$ jeweils ein Beispiel an.
*) Eine Figur heißt konvex, wenn für je zwei ihrer Punkte auch alle Punkte der Verbindungsstrecke zu der Figur gehören.

## Aufgabe 2

Wir betrachten - mit 1 beginnend - alle positiven Teiler einer natürlichen Zahl $n$ der Größ̉e nach geordnet: $1=d_{1}<d_{2}<d_{3}<\ldots<n$.
Man bestimme alle natürlichen Zahlen $n$ mit den Eigenschaften:
(1) $n=d_{13}+d_{14}+d_{15}$
und

$$
\left(d_{5}+1\right)^{3}=d_{15}+1
$$

## Aufgabe 3

Die natürlichen Zahlen von 1 bis $n^{2}$ werden zufällig auf die Felder eines $n \times n$-Quadrats verteilt ( $n \geq 2$ ). Für jedes Paar von Zahlen innerhalb einer Reihe bzw. einer Spalte dividieren wir die größere durch die kleinere Zahl. Der kleinste dieser $n^{2}(n-1)$ Quotienten werde als Charakteristik C der zufälligen Anordnung bezeichnet.
Welches ist der größtmögliche Wert für C ? (Die Antwort ist zu begründen.)

## 2. Auswahlklausur

## Aufgabe 1

In einem $10 \times 17$-Rechteck werden 74 Punkte markiert.
Man beweise, dass es dabei stets zwei markierte Punkte gibt, deren Abstand 2 nicht überschreitet.

## Aufgabe 2

Zwei Sehnen $A C$ und $B D$ eines Kreises mit Mittelpunkt $M$ schneiden sich in $P$. Die Umkreise der Dreiecke PBC und PDA haben ihre Mittelpunkte in $E$ bzw. $F$ und schneiden sich ein zweites Mal in $Q$.
Man beweise, dass $\overline{M F}=\overline{Q E}$ gilt.

## Aufgabe 3

Gegeben ist die Summe $S=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\ldots+\frac{1}{n+m}$ mit $n, m \in\{1,2,3, \ldots\}$.
a) Man beweise, dass $S$ keine natürliche Zahl sein kann.
b) Man ermittle (mit Begründung!) für $m=2 \cdot(n-1)$ ein $k \in \operatorname{IN}$ so, dass $S \in] k, k+1[$.