## Auswahlwettbewerb zur IMO 2001

## 1. Auswahlklausur

## Aufgabe 1

In einem Schritt kann man vom Punkt $A(i|j| k)$, mit $i, j k \in\{0,1,2,3\}$, zu einem weiteren Punkt des Würfelgitters gelangen, indem man stets genau eine der Koordinaten um 1 vergrößert.
Man ermittle die Anzahl aller kürzesten Wege, die vom Ursprung $\mathrm{O}(0|0| 0)$ in den Punkt $\mathrm{P}(3|3| 3)$ führen.

## Aufgabe 2

Man beweise: Für die positiven reellen Zahlen a, b, c gilt die Ungleichung

$$
\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+a)(b+c)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}} \leq \frac{3}{2} .
$$

## Aufgabe 3

Im regulären 18-Eck $\quad \mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2} . \mathrm{A}_{18}$ mit den Umkreismittelpunkt M ist P der Schnitt von $A_{1} A_{7}$ mit $M A_{2}$ und $Q$ der Schnitt von $A_{2} A_{13}$ mit $M A_{1}$. Man berechne den Winkel $\angle \mathrm{MPQ}$.

## 2. Auswahlklausur

## Aufgabe 1

Gegeben seien positive ganze Zahlen $a, b, c$ mit der Eigenschaft $b>2 a$ und $c>2 b$.
Man zeige, dass es dann stets eine reelle Zahl $r$ mit folgender Eigenschaft gibt:
Die gebrochenen Teile der Zahlen $r a, r b, r c$ liegen alle im Intervall $\left.\rfloor \frac{1}{3} ; \frac{2}{3}\right\rfloor$.
(Hinweis: Der gebrochene Teil einer Zahl ist die Differenz zwischen der Zahl und ihrem ganzen Teil.)

## Aufgabe 2

Wir betrachten zwei Kreise in der Ebene, welche sich in den beiden verschiedenen Punkten $X$ und $Y$ schneiden.
Man beweise, dass es in dieser Ebene vier feste Punkte mit folgender Eigenschaft gibt: Für jeden Kreis, der im Durchschnitt der beiden gegebenen Kreise liegt und diese in den Punkten $A$ und $B$ berührt sowie die Gerade $X Y$ in den Punkten $C$ und $D$ schneidet, geht jede der Geraden $A C, A D, B C$ und $B D$ durch einen dieser vier Punkte.

## Aufgabe 3

Für jede positive ganze Zahl $n$ bezeichne $d(n)$ die Anzahl aller positiver Teiler von $n$. (Beispiele: $d(2)=2, d(6)=4, d(9)=3$.)
Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen $n$ mit der Eigenschaft $(d(n))^{3}=4 n$.