次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 5x^2 + \frac{y^2}{5} = 150 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 5x^2 + \frac{y^2}{5} = 150 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 25x^2 + y^2 = 750 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{150}{5}} + \frac{y^2}{750} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{150}{5}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{750}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{750 - \frac{150}{5} }\) となり、
簡単化すると \( 24 \sqrt{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 5x^2 + \frac{y^2}{7} = 108 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 5x^2 + \frac{y^2}{7} = 108 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 35x^2 + y^2 = 756 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{108}{5}} + \frac{y^2}{756} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{108}{5}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{756}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{756 - \frac{108}{5} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{12 \sqrt{510}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 7x^2 + \frac{y^2}{3} = 138 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 7x^2 + \frac{y^2}{3} = 138 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 21x^2 + y^2 = 414 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{138}{7}} + \frac{y^2}{414} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{138}{7}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{414}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{414 - \frac{138}{7} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{4 \sqrt{4830}}{7} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 8x^2 + \frac{y^2}{6} = 50 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 8x^2 + \frac{y^2}{6} = 50 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 48x^2 + y^2 = 300 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{50}{8}} + \frac{y^2}{300} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{50}{8}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{300}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{300 - \frac{50}{8} }\) となり、
簡単化すると \( 5 \sqrt{47} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 4x^2 + \frac{y^2}{10} = 84 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 4x^2 + \frac{y^2}{10} = 84 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 40x^2 + y^2 = 840 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{84}{4}} + \frac{y^2}{840} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{84}{4}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{840}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{840 - \frac{84}{4} }\) となり、
簡単化すると \( 6 \sqrt{91} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 3x^2 + \frac{y^2}{10} = 87 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 3x^2 + \frac{y^2}{10} = 87 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 30x^2 + y^2 = 870 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{87}{3}} + \frac{y^2}{870} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{87}{3}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{870}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{870 - \frac{87}{3} }\) となり、
簡単化すると \( 58 \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 1x^2 + \frac{y^2}{5} = 104 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 1x^2 + \frac{y^2}{5} = 104 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 5x^2 + y^2 = 520 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{104}{1}} + \frac{y^2}{520} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{104}{1}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{520}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{520 - \frac{104}{1} }\) となり、
簡単化すると \( 8 \sqrt{26} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 5x^2 + \frac{y^2}{2} = 75 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 5x^2 + \frac{y^2}{2} = 75 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 10x^2 + y^2 = 150 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{75}{5}} + \frac{y^2}{150} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{75}{5}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{150}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{150 - \frac{75}{5} }\) となり、
簡単化すると \( 6 \sqrt{15} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 5x^2 + \frac{y^2}{4} = 101 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 5x^2 + \frac{y^2}{4} = 101 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 20x^2 + y^2 = 404 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{101}{5}} + \frac{y^2}{404} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{101}{5}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{404}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{404 - \frac{101}{5} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{2 \sqrt{9595}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 5x^2 + \frac{y^2}{3} = 110 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 5x^2 + \frac{y^2}{3} = 110 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 15x^2 + y^2 = 330 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{110}{5}} + \frac{y^2}{330} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{110}{5}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{330}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{330 - \frac{110}{5} }\) となり、
簡単化すると \( 4 \sqrt{77} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 5x^2 + \frac{y^2}{7} = 122 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 5x^2 + \frac{y^2}{7} = 122 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 35x^2 + y^2 = 854 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{122}{5}} + \frac{y^2}{854} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{122}{5}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{854}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{854 - \frac{122}{5} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{4 \sqrt{5185}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 4x^2 + \frac{y^2}{2} = 88 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 4x^2 + \frac{y^2}{2} = 88 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 8x^2 + y^2 = 176 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{88}{4}} + \frac{y^2}{176} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{88}{4}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{176}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{176 - \frac{88}{4} }\) となり、
簡単化すると \( 2 \sqrt{154} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 8x^2 + \frac{y^2}{5} = 83 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 8x^2 + \frac{y^2}{5} = 83 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 40x^2 + y^2 = 415 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{83}{8}} + \frac{y^2}{415} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{83}{8}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{415}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{415 - \frac{83}{8} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{\sqrt{6474}}{2} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 1x^2 + \frac{y^2}{7} = 144 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 1x^2 + \frac{y^2}{7} = 144 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 7x^2 + y^2 = 1008 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{144}{1}} + \frac{y^2}{1008} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{144}{1}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{1008}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{1008 - \frac{144}{1} }\) となり、
簡単化すると \( 24 \sqrt{6} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 6x^2 + \frac{y^2}{2} = 129 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 6x^2 + \frac{y^2}{2} = 129 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 12x^2 + y^2 = 258 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{129}{6}} + \frac{y^2}{258} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{129}{6}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{258}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{258 - \frac{129}{6} }\) となり、
簡単化すると \( \sqrt{946} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 8x^2 + \frac{y^2}{8} = 102 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 8x^2 + \frac{y^2}{8} = 102 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 64x^2 + y^2 = 816 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{102}{8}} + \frac{y^2}{816} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{102}{8}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{816}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{816 - \frac{102}{8} }\) となり、
簡単化すると \( 3 \sqrt{357} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 7x^2 + \frac{y^2}{6} = 112 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 7x^2 + \frac{y^2}{6} = 112 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 42x^2 + y^2 = 672 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{112}{7}} + \frac{y^2}{672} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{112}{7}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{672}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{672 - \frac{112}{7} }\) となり、
簡単化すると \( 8 \sqrt{41} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 10x^2 + \frac{y^2}{9} = 98 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 10x^2 + \frac{y^2}{9} = 98 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 90x^2 + y^2 = 882 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{98}{10}} + \frac{y^2}{882} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{98}{10}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{882}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{882 - \frac{98}{10} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{14 \sqrt{445}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 3x^2 + \frac{y^2}{9} = 54 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 3x^2 + \frac{y^2}{9} = 54 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 27x^2 + y^2 = 486 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{54}{3}} + \frac{y^2}{486} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{54}{3}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{486}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{486 - \frac{54}{3} }\) となり、
簡単化すると \( 12 \sqrt{13} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 7x^2 + \frac{y^2}{7} = 125 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 7x^2 + \frac{y^2}{7} = 125 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 49x^2 + y^2 = 875 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{125}{7}} + \frac{y^2}{875} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{125}{7}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{875}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{875 - \frac{125}{7} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{40 \sqrt{105}}{7} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 6x^2 + \frac{y^2}{7} = 117 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 6x^2 + \frac{y^2}{7} = 117 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 42x^2 + y^2 = 819 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{117}{6}} + \frac{y^2}{819} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{117}{6}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{819}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{819 - \frac{117}{6} }\) となり、
簡単化すると \( \sqrt{3198} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 9x^2 + \frac{y^2}{7} = 123 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 9x^2 + \frac{y^2}{7} = 123 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 63x^2 + y^2 = 861 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{123}{9}} + \frac{y^2}{861} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{123}{9}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{861}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{861 - \frac{123}{9} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{2 \sqrt{7626}}{3} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 2x^2 + \frac{y^2}{2} = 150 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 2x^2 + \frac{y^2}{2} = 150 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 4x^2 + y^2 = 300 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{150}{2}} + \frac{y^2}{300} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{150}{2}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{300}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{300 - \frac{150}{2} }\) となり、
簡単化すると \( 30 \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 7x^2 + \frac{y^2}{10} = 85 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 7x^2 + \frac{y^2}{10} = 85 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 70x^2 + y^2 = 850 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{85}{7}} + \frac{y^2}{850} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{85}{7}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{850}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{850 - \frac{85}{7} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{2 \sqrt{41055}}{7} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 4x^2 + \frac{y^2}{4} = 66 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 4x^2 + \frac{y^2}{4} = 66 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 16x^2 + y^2 = 264 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{66}{4}} + \frac{y^2}{264} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{66}{4}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{264}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{264 - \frac{66}{4} }\) となり、
簡単化すると \( 3 \sqrt{110} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 8x^2 + \frac{y^2}{3} = 69 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 8x^2 + \frac{y^2}{3} = 69 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 24x^2 + y^2 = 207 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{69}{8}} + \frac{y^2}{207} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{69}{8}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{207}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{207 - \frac{69}{8} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{23 \sqrt{6}}{2} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 1x^2 + \frac{y^2}{4} = 120 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 1x^2 + \frac{y^2}{4} = 120 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 4x^2 + y^2 = 480 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{120}{1}} + \frac{y^2}{480} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{120}{1}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{480}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{480 - \frac{120}{1} }\) となり、
簡単化すると \( 12 \sqrt{10} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 1x^2 + \frac{y^2}{9} = 125 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 1x^2 + \frac{y^2}{9} = 125 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 9x^2 + y^2 = 1125 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{125}{1}} + \frac{y^2}{1125} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{125}{1}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{1125}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{1125 - \frac{125}{1} }\) となり、
簡単化すると \( 20 \sqrt{10} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 6x^2 + \frac{y^2}{2} = 131 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 6x^2 + \frac{y^2}{2} = 131 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 12x^2 + y^2 = 262 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{131}{6}} + \frac{y^2}{262} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{131}{6}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{262}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{262 - \frac{131}{6} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{\sqrt{8646}}{3} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 7x^2 + \frac{y^2}{9} = 90 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 7x^2 + \frac{y^2}{9} = 90 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 63x^2 + y^2 = 810 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{90}{7}} + \frac{y^2}{810} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{90}{7}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{810}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{810 - \frac{90}{7} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{12 \sqrt{1085}}{7} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 2x^2 + \frac{y^2}{3} = 116 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 2x^2 + \frac{y^2}{3} = 116 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 6x^2 + y^2 = 348 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{116}{2}} + \frac{y^2}{348} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{116}{2}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{348}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{348 - \frac{116}{2} }\) となり、
簡単化すると \( 2 \sqrt{290} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 1x^2 + \frac{y^2}{10} = 54 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 1x^2 + \frac{y^2}{10} = 54 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 10x^2 + y^2 = 540 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{54}{1}} + \frac{y^2}{540} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{54}{1}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{540}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{540 - \frac{54}{1} }\) となり、
簡単化すると \( 18 \sqrt{6} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 3x^2 + \frac{y^2}{2} = 68 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 3x^2 + \frac{y^2}{2} = 68 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 6x^2 + y^2 = 136 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{68}{3}} + \frac{y^2}{136} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{68}{3}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{136}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{136 - \frac{68}{3} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{4 \sqrt{255}}{3} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 10x^2 + \frac{y^2}{5} = 102 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 10x^2 + \frac{y^2}{5} = 102 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 50x^2 + y^2 = 510 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{102}{10}} + \frac{y^2}{510} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{102}{10}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{510}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{510 - \frac{102}{10} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{14 \sqrt{255}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 7x^2 + \frac{y^2}{10} = 118 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 7x^2 + \frac{y^2}{10} = 118 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 70x^2 + y^2 = 1180 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{118}{7}} + \frac{y^2}{1180} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{118}{7}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{1180}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{1180 - \frac{118}{7} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{2 \sqrt{56994}}{7} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 2x^2 + \frac{y^2}{10} = 100 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 2x^2 + \frac{y^2}{10} = 100 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 20x^2 + y^2 = 1000 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{100}{2}} + \frac{y^2}{1000} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{100}{2}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{1000}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{1000 - \frac{100}{2} }\) となり、
簡単化すると \( 10 \sqrt{38} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 8x^2 + \frac{y^2}{2} = 142 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 8x^2 + \frac{y^2}{2} = 142 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 16x^2 + y^2 = 284 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{142}{8}} + \frac{y^2}{284} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{142}{8}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{284}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{284 - \frac{142}{8} }\) となり、
簡単化すると \( \sqrt{1065} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 5x^2 + \frac{y^2}{2} = 109 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 5x^2 + \frac{y^2}{2} = 109 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 10x^2 + y^2 = 218 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{109}{5}} + \frac{y^2}{218} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{109}{5}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{218}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{218 - \frac{109}{5} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{6 \sqrt{545}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 6x^2 + \frac{y^2}{3} = 55 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 6x^2 + \frac{y^2}{3} = 55 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 18x^2 + y^2 = 165 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{55}{6}} + \frac{y^2}{165} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{55}{6}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{165}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{165 - \frac{55}{6} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{\sqrt{5610}}{3} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 7x^2 + \frac{y^2}{6} = 51 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 7x^2 + \frac{y^2}{6} = 51 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 42x^2 + y^2 = 306 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{51}{7}} + \frac{y^2}{306} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{51}{7}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{306}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{306 - \frac{51}{7} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{2 \sqrt{14637}}{7} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 6x^2 + \frac{y^2}{3} = 94 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 6x^2 + \frac{y^2}{3} = 94 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 18x^2 + y^2 = 282 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{94}{6}} + \frac{y^2}{282} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{94}{6}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{282}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{282 - \frac{94}{6} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{2 \sqrt{2397}}{3} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 1x^2 + \frac{y^2}{9} = 61 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 1x^2 + \frac{y^2}{9} = 61 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 9x^2 + y^2 = 549 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{61}{1}} + \frac{y^2}{549} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{61}{1}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{549}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{549 - \frac{61}{1} }\) となり、
簡単化すると \( 4 \sqrt{122} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 9x^2 + \frac{y^2}{4} = 61 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 9x^2 + \frac{y^2}{4} = 61 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 36x^2 + y^2 = 244 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{61}{9}} + \frac{y^2}{244} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{61}{9}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{244}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{244 - \frac{61}{9} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{2 \sqrt{2135}}{3} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 9x^2 + \frac{y^2}{7} = 63 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 9x^2 + \frac{y^2}{7} = 63 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 63x^2 + y^2 = 441 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{63}{9}} + \frac{y^2}{441} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{63}{9}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{441}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{441 - \frac{63}{9} }\) となり、
簡単化すると \( 2 \sqrt{434} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 7x^2 + \frac{y^2}{8} = 130 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 7x^2 + \frac{y^2}{8} = 130 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 56x^2 + y^2 = 1040 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{130}{7}} + \frac{y^2}{1040} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{130}{7}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{1040}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{1040 - \frac{130}{7} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{10 \sqrt{2002}}{7} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 1x^2 + \frac{y^2}{5} = 121 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 1x^2 + \frac{y^2}{5} = 121 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 5x^2 + y^2 = 605 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{121}{1}} + \frac{y^2}{605} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{121}{1}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{605}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{605 - \frac{121}{1} }\) となり、
簡単化すると \( 44 \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 6x^2 + \frac{y^2}{5} = 62 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 6x^2 + \frac{y^2}{5} = 62 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 30x^2 + y^2 = 310 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{62}{6}} + \frac{y^2}{310} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{62}{6}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{310}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{310 - \frac{62}{6} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{2 \sqrt{2697}}{3} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 6x^2 + \frac{y^2}{10} = 111 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 6x^2 + \frac{y^2}{10} = 111 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 60x^2 + y^2 = 1110 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{111}{6}} + \frac{y^2}{1110} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{111}{6}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{1110}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{1110 - \frac{111}{6} }\) となり、
簡単化すると \( \sqrt{4366} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 2x^2 + \frac{y^2}{7} = 102 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 2x^2 + \frac{y^2}{7} = 102 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 14x^2 + y^2 = 714 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{102}{2}} + \frac{y^2}{714} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{102}{2}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{714}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{714 - \frac{102}{2} }\) となり、
簡単化すると \( 2 \sqrt{663} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 3x^2 + \frac{y^2}{2} = 132 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 3x^2 + \frac{y^2}{2} = 132 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 6x^2 + y^2 = 264 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{132}{3}} + \frac{y^2}{264} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{132}{3}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{264}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{264 - \frac{132}{3} }\) となり、
簡単化すると \( 4 \sqrt{55} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 9x^2 + \frac{y^2}{6} = 57 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 9x^2 + \frac{y^2}{6} = 57 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 54x^2 + y^2 = 342 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{57}{9}} + \frac{y^2}{342} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{57}{9}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{342}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{342 - \frac{57}{9} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{2 \sqrt{3021}}{3} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 8x^2 + \frac{y^2}{6} = 58 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 8x^2 + \frac{y^2}{6} = 58 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 48x^2 + y^2 = 348 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{58}{8}} + \frac{y^2}{348} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{58}{8}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{348}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{348 - \frac{58}{8} }\) となり、
簡単化すると \( \sqrt{1363} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 6x^2 + \frac{y^2}{7} = 65 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 6x^2 + \frac{y^2}{7} = 65 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 42x^2 + y^2 = 455 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{65}{6}} + \frac{y^2}{455} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{65}{6}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{455}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{455 - \frac{65}{6} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{\sqrt{15990}}{3} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 3x^2 + \frac{y^2}{9} = 90 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 3x^2 + \frac{y^2}{9} = 90 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 27x^2 + y^2 = 810 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{90}{3}} + \frac{y^2}{810} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{90}{3}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{810}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{810 - \frac{90}{3} }\) となり、
簡単化すると \( 4 \sqrt{195} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 9x^2 + \frac{y^2}{5} = 75 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 9x^2 + \frac{y^2}{5} = 75 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 45x^2 + y^2 = 375 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{75}{9}} + \frac{y^2}{375} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{75}{9}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{375}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{375 - \frac{75}{9} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{20 \sqrt{33}}{3} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 5x^2 + \frac{y^2}{3} = 101 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 5x^2 + \frac{y^2}{3} = 101 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 15x^2 + y^2 = 303 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{101}{5}} + \frac{y^2}{303} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{101}{5}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{303}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{303 - \frac{101}{5} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{2 \sqrt{7070}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 1x^2 + \frac{y^2}{10} = 115 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 1x^2 + \frac{y^2}{10} = 115 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 10x^2 + y^2 = 1150 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{115}{1}} + \frac{y^2}{1150} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{115}{1}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{1150}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{1150 - \frac{115}{1} }\) となり、
簡単化すると \( 6 \sqrt{115} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 6x^2 + \frac{y^2}{2} = 122 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 6x^2 + \frac{y^2}{2} = 122 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 12x^2 + y^2 = 244 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{122}{6}} + \frac{y^2}{244} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{122}{6}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{244}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{244 - \frac{122}{6} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{2 \sqrt{2013}}{3} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 5x^2 + \frac{y^2}{8} = 103 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 5x^2 + \frac{y^2}{8} = 103 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 40x^2 + y^2 = 824 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{103}{5}} + \frac{y^2}{824} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{103}{5}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{824}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{824 - \frac{103}{5} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{2 \sqrt{20085}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 5x^2 + \frac{y^2}{6} = 104 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 5x^2 + \frac{y^2}{6} = 104 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 30x^2 + y^2 = 624 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{104}{5}} + \frac{y^2}{624} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{104}{5}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{624}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{624 - \frac{104}{5} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{4 \sqrt{3770}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 3x^2 + \frac{y^2}{5} = 114 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 3x^2 + \frac{y^2}{5} = 114 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 15x^2 + y^2 = 570 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{114}{3}} + \frac{y^2}{570} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{114}{3}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{570}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{570 - \frac{114}{3} }\) となり、
簡単化すると \( 4 \sqrt{133} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 2x^2 + \frac{y^2}{6} = 94 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 2x^2 + \frac{y^2}{6} = 94 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 12x^2 + y^2 = 564 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{94}{2}} + \frac{y^2}{564} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{94}{2}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{564}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{564 - \frac{94}{2} }\) となり、
簡単化すると \( 2 \sqrt{517} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 8x^2 + \frac{y^2}{4} = 119 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 8x^2 + \frac{y^2}{4} = 119 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 32x^2 + y^2 = 476 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{119}{8}} + \frac{y^2}{476} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{119}{8}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{476}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{476 - \frac{119}{8} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{\sqrt{7378}}{2} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 9x^2 + \frac{y^2}{6} = 108 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 9x^2 + \frac{y^2}{6} = 108 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 54x^2 + y^2 = 648 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{108}{9}} + \frac{y^2}{648} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{108}{9}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{648}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{648 - \frac{108}{9} }\) となり、
簡単化すると \( 4 \sqrt{159} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 9x^2 + \frac{y^2}{3} = 109 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 9x^2 + \frac{y^2}{3} = 109 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 27x^2 + y^2 = 327 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{109}{9}} + \frac{y^2}{327} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{109}{9}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{327}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{327 - \frac{109}{9} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{2 \sqrt{2834}}{3} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 10x^2 + \frac{y^2}{10} = 114 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 10x^2 + \frac{y^2}{10} = 114 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 100x^2 + y^2 = 1140 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{114}{10}} + \frac{y^2}{1140} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{114}{10}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{1140}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{1140 - \frac{114}{10} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{6 \sqrt{3135}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 8x^2 + \frac{y^2}{5} = 132 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 8x^2 + \frac{y^2}{5} = 132 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 40x^2 + y^2 = 660 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{132}{8}} + \frac{y^2}{660} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{132}{8}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{660}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{660 - \frac{132}{8} }\) となり、
簡単化すると \( 3 \sqrt{286} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 7x^2 + \frac{y^2}{5} = 98 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 7x^2 + \frac{y^2}{5} = 98 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 35x^2 + y^2 = 490 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{98}{7}} + \frac{y^2}{490} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{98}{7}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{490}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{490 - \frac{98}{7} }\) となり、
簡単化すると \( 4 \sqrt{119} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 7x^2 + \frac{y^2}{6} = 101 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 7x^2 + \frac{y^2}{6} = 101 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 42x^2 + y^2 = 606 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{101}{7}} + \frac{y^2}{606} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{101}{7}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{606}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{606 - \frac{101}{7} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{2 \sqrt{28987}}{7} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 2x^2 + \frac{y^2}{7} = 132 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 2x^2 + \frac{y^2}{7} = 132 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 14x^2 + y^2 = 924 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{132}{2}} + \frac{y^2}{924} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{132}{2}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{924}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{924 - \frac{132}{2} }\) となり、
簡単化すると \( 2 \sqrt{858} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 4x^2 + \frac{y^2}{8} = 99 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 4x^2 + \frac{y^2}{8} = 99 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 32x^2 + y^2 = 792 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{99}{4}} + \frac{y^2}{792} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{99}{4}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{792}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{792 - \frac{99}{4} }\) となり、
簡単化すると \( 3 \sqrt{341} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 4x^2 + \frac{y^2}{10} = 93 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 4x^2 + \frac{y^2}{10} = 93 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 40x^2 + y^2 = 930 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{93}{4}} + \frac{y^2}{930} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{93}{4}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{930}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{930 - \frac{93}{4} }\) となり、
簡単化すると \( 3 \sqrt{403} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 8x^2 + \frac{y^2}{4} = 120 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 8x^2 + \frac{y^2}{4} = 120 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 32x^2 + y^2 = 480 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{120}{8}} + \frac{y^2}{480} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{120}{8}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{480}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{480 - \frac{120}{8} }\) となり、
簡単化すると \( 2 \sqrt{465} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 10x^2 + \frac{y^2}{2} = 53 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 10x^2 + \frac{y^2}{2} = 53 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 20x^2 + y^2 = 106 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{53}{10}} + \frac{y^2}{106} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{53}{10}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{106}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{106 - \frac{53}{10} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{\sqrt{10070}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 10x^2 + \frac{y^2}{5} = 139 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 10x^2 + \frac{y^2}{5} = 139 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 50x^2 + y^2 = 695 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{139}{10}} + \frac{y^2}{695} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{139}{10}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{695}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{695 - \frac{139}{10} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{7 \sqrt{1390}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 2x^2 + \frac{y^2}{10} = 141 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 2x^2 + \frac{y^2}{10} = 141 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 20x^2 + y^2 = 1410 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{141}{2}} + \frac{y^2}{1410} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{141}{2}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{1410}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{1410 - \frac{141}{2} }\) となり、
簡単化すると \( \sqrt{5358} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 2x^2 + \frac{y^2}{3} = 136 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 2x^2 + \frac{y^2}{3} = 136 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 6x^2 + y^2 = 408 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{136}{2}} + \frac{y^2}{408} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{136}{2}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{408}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{408 - \frac{136}{2} }\) となり、
簡単化すると \( 4 \sqrt{85} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 2x^2 + \frac{y^2}{9} = 82 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 2x^2 + \frac{y^2}{9} = 82 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 18x^2 + y^2 = 738 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{82}{2}} + \frac{y^2}{738} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{82}{2}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{738}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{738 - \frac{82}{2} }\) となり、
簡単化すると \( 2 \sqrt{697} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 9x^2 + \frac{y^2}{3} = 89 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 9x^2 + \frac{y^2}{3} = 89 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 27x^2 + y^2 = 267 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{89}{9}} + \frac{y^2}{267} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{89}{9}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{267}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{267 - \frac{89}{9} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{2 \sqrt{2314}}{3} \) となる。