関数 \( f(x) = \sqrt{4x^2 + 2\cdot 5 \cdot x \sqrt{4} + 5^2} + x\sqrt{4} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -5 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{2x^2 + 2\cdot 3 \cdot x \sqrt{2} + 3^2} + x\sqrt{2} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 3| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -3/√a で最小値 -3 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -3 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{5x^2 + 2\cdot 1 \cdot x \sqrt{5} + 1^2} + x\sqrt{5} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -1 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{5x^2 + 2\cdot 1 \cdot x \sqrt{5} + 1^2} + x\sqrt{5} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -1 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{5x^2 + 2\cdot 5 \cdot x \sqrt{5} + 5^2} + x\sqrt{5} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -5 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{3x^2 + 2\cdot 2 \cdot x \sqrt{3} + 2^2} + x\sqrt{3} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 2| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -2/√a で最小値 -2 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -2 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{3x^2 + 2\cdot 3 \cdot x \sqrt{3} + 3^2} + x\sqrt{3} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 3| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -3/√a で最小値 -3 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -3 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{4x^2 + 2\cdot 1 \cdot x \sqrt{4} + 1^2} + x\sqrt{4} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -1 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{3x^2 + 2\cdot 1 \cdot x \sqrt{3} + 1^2} + x\sqrt{3} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -1 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{3x^2 + 2\cdot 2 \cdot x \sqrt{3} + 2^2} + x\sqrt{3} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 2| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -2/√a で最小値 -2 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -2 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{5x^2 + 2\cdot 1 \cdot x \sqrt{5} + 1^2} + x\sqrt{5} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -1 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{4x^2 + 2\cdot 4 \cdot x \sqrt{4} + 4^2} + x\sqrt{4} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 4| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -4/√a で最小値 -4 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -4 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{3x^2 + 2\cdot 3 \cdot x \sqrt{3} + 3^2} + x\sqrt{3} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 3| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -3/√a で最小値 -3 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -3 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{2x^2 + 2\cdot 4 \cdot x \sqrt{2} + 4^2} + x\sqrt{2} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 4| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -4/√a で最小値 -4 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -4 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{2x^2 + 2\cdot 5 \cdot x \sqrt{2} + 5^2} + x\sqrt{2} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -5 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{3x^2 + 2\cdot 1 \cdot x \sqrt{3} + 1^2} + x\sqrt{3} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -1 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{2x^2 + 2\cdot 1 \cdot x \sqrt{2} + 1^2} + x\sqrt{2} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -1 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{4x^2 + 2\cdot 4 \cdot x \sqrt{4} + 4^2} + x\sqrt{4} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 4| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -4/√a で最小値 -4 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -4 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{4x^2 + 2\cdot 2 \cdot x \sqrt{4} + 2^2} + x\sqrt{4} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 2| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -2/√a で最小値 -2 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -2 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{3x^2 + 2\cdot 5 \cdot x \sqrt{3} + 5^2} + x\sqrt{3} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -5 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{5x^2 + 2\cdot 1 \cdot x \sqrt{5} + 1^2} + x\sqrt{5} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -1 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{4x^2 + 2\cdot 5 \cdot x \sqrt{4} + 5^2} + x\sqrt{4} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -5 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{2x^2 + 2\cdot 1 \cdot x \sqrt{2} + 1^2} + x\sqrt{2} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -1 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{4x^2 + 2\cdot 1 \cdot x \sqrt{4} + 1^2} + x\sqrt{4} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -1 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{2x^2 + 2\cdot 1 \cdot x \sqrt{2} + 1^2} + x\sqrt{2} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -1 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{3x^2 + 2\cdot 4 \cdot x \sqrt{3} + 4^2} + x\sqrt{3} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 4| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -4/√a で最小値 -4 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -4 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{4x^2 + 2\cdot 4 \cdot x \sqrt{4} + 4^2} + x\sqrt{4} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 4| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -4/√a で最小値 -4 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -4 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{4x^2 + 2\cdot 5 \cdot x \sqrt{4} + 5^2} + x\sqrt{4} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -5 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{4x^2 + 2\cdot 4 \cdot x \sqrt{4} + 4^2} + x\sqrt{4} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 4| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -4/√a で最小値 -4 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -4 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{5x^2 + 2\cdot 3 \cdot x \sqrt{5} + 3^2} + x\sqrt{5} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 3| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -3/√a で最小値 -3 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -3 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{5x^2 + 2\cdot 2 \cdot x \sqrt{5} + 2^2} + x\sqrt{5} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 2| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -2/√a で最小値 -2 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -2 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{5x^2 + 2\cdot 5 \cdot x \sqrt{5} + 5^2} + x\sqrt{5} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -5 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{4x^2 + 2\cdot 5 \cdot x \sqrt{4} + 5^2} + x\sqrt{4} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -5 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{3x^2 + 2\cdot 2 \cdot x \sqrt{3} + 2^2} + x\sqrt{3} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 2| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -2/√a で最小値 -2 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -2 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{6x^2 + 2\cdot 5 \cdot x \sqrt{6} + 5^2} + x\sqrt{6} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -5 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{2x^2 + 2\cdot 4 \cdot x \sqrt{2} + 4^2} + x\sqrt{2} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 4| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -4/√a で最小値 -4 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -4 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{2x^2 + 2\cdot 5 \cdot x \sqrt{2} + 5^2} + x\sqrt{2} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -5 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{6x^2 + 2\cdot 2 \cdot x \sqrt{6} + 2^2} + x\sqrt{6} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 2| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -2/√a で最小値 -2 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -2 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{2x^2 + 2\cdot 4 \cdot x \sqrt{2} + 4^2} + x\sqrt{2} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 4| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -4/√a で最小値 -4 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -4 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{4x^2 + 2\cdot 2 \cdot x \sqrt{4} + 2^2} + x\sqrt{4} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 2| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -2/√a で最小値 -2 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -2 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{5x^2 + 2\cdot 5 \cdot x \sqrt{5} + 5^2} + x\sqrt{5} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -5 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{6x^2 + 2\cdot 5 \cdot x \sqrt{6} + 5^2} + x\sqrt{6} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -5 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{2x^2 + 2\cdot 1 \cdot x \sqrt{2} + 1^2} + x\sqrt{2} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -1 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{6x^2 + 2\cdot 2 \cdot x \sqrt{6} + 2^2} + x\sqrt{6} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 2| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -2/√a で最小値 -2 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -2 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{5x^2 + 2\cdot 1 \cdot x \sqrt{5} + 1^2} + x\sqrt{5} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -1 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{5x^2 + 2\cdot 4 \cdot x \sqrt{5} + 4^2} + x\sqrt{5} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 4| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -4/√a で最小値 -4 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -4 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{4x^2 + 2\cdot 3 \cdot x \sqrt{4} + 3^2} + x\sqrt{4} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 3| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -3/√a で最小値 -3 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -3 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{5x^2 + 2\cdot 1 \cdot x \sqrt{5} + 1^2} + x\sqrt{5} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -1 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{4x^2 + 2\cdot 3 \cdot x \sqrt{4} + 3^2} + x\sqrt{4} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 3| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -3/√a で最小値 -3 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -3 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{4x^2 + 2\cdot 4 \cdot x \sqrt{4} + 4^2} + x\sqrt{4} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 4| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -4/√a で最小値 -4 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -4 である。


関数 \( f(x) = \sqrt{3x^2 + 2\cdot 5 \cdot x \sqrt{3} + 5^2} + x\sqrt{3} \) の最小値を求めなさい。

Response:
【解説】
与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。
このとき、
 (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,
     これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。
 (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,
     こちらは一定値 -c。
従って全体での最小値は -c となる。
よって答えは -5 である。


複素数 $z$ が $z^{19} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{18} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=19 のときは 38/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{36} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{41} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{40} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=41 のときは 82/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{97} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{96} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=97 のときは 194/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{60} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{2} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{1} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=2 のときは 4/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{89} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{88} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=89 のときは 178/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{79} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{78} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=79 のときは 158/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{73} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{72} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=73 のときは 146/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{29} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{28} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=29 のときは 58/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{7} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{6} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=7 のときは 14/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{71} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{70} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=71 のときは 142/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{60} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{59} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{58} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=59 のときは 118/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{43} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{42} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=43 のときは 86/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{43} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{42} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=43 のときは 86/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{71} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{70} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=71 のときは 142/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{11} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{10} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=11 のときは 22/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{36} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{79} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{78} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=79 のときは 158/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{22} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{67} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{66} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=67 のときは 134/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{52} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{31} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{30} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=31 のときは 62/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{13} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{12} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=13 のときは 26/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{52} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{5} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{4} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=5 のときは 10/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{31} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{30} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=31 のときは 62/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{22} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{13} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{12} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=13 のときは 26/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{60} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{89} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{88} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=89 のときは 178/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{59} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{58} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=59 のときは 118/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{13} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{12} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=13 のときは 26/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{5} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{4} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=5 のときは 10/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{22} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{83} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{82} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=83 のときは 166/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{60} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{19} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{18} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=19 のときは 38/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{89} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{88} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=89 のときは 178/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{11} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{10} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=11 のときは 22/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{67} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{66} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=67 のときは 134/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{60} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{17} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{16} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=17 のときは 34/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{29} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{28} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=29 のときは 58/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{17} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{16} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=17 のときは 34/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{5} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{4} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=5 のときは 10/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{52} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{22} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{22} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{52} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{31} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{30} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=31 のときは 62/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{60} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{71} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{70} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=71 のときは 142/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{52} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{47} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{46} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=47 のときは 94/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{7} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{6} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=7 のときは 14/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{89} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{88} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=89 のときは 178/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{22} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{36} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{43} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{42} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=43 のときは 86/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{60} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{73} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{72} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=73 のときは 146/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{79} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{78} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=79 のときは 158/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{83} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{82} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=83 のときは 166/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{73} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{72} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=73 のときは 146/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{89} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{88} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=89 のときは 178/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{52} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{36} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{60} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{73} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{72} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=73 のときは 146/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{47} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{46} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=47 のときは 94/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{43} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{42} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=43 のときは 86/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{59} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{58} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=59 のときは 118/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{60} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{36} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{83} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{82} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=83 のときは 166/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{7} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{6} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=7 のときは 14/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{79} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{78} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=79 のときは 158/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{97} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{96} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=97 のときは 194/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{43} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{42} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=43 のときは 86/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{97} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{96} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=97 のときは 194/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{71} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{70} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=71 のときは 142/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{60} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{52} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{17} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{16} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=17 のときは 34/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{67} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{66} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=67 のときは 134/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{22} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{31} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{30} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=31 のときは 62/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{19} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{18} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=19 のときは 38/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{47} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{46} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=47 のときは 94/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{17} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{16} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=17 のときは 34/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{47} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{46} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=47 のときは 94/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{79} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{78} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=79 のときは 158/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{41} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{40} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=41 のときは 82/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{5} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{4} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=5 のときは 10/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{59} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{58} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=59 のときは 118/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{36} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{5} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{4} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=5 のときは 10/3 ）。


複素数 $z$ が $z^{7} = 1$、ただし $z \neq 1$ を満たすとき、
\[
\sum_{k = 0}^{6} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}
\]
の値を求めなさい。

Response:
【解説】
n を素数 (n \neq 3) としたとき、z^n=1, z\neq 1 の各項を部分分数分解し、
k -> 3k (mod n) の置換を用いると、
和は 2n/3 となる（n=7 のときは 14/3 ）。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \frac{5}{5^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{5} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{5}{(5+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{2} - \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} - \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{2} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{2}{(2+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{3} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{3}{(3+1)^2} \) です。


次の無限級数 \( S \) を求めなさい。
\[S = \frac{1}{4} - \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{4}{4^4} + \frac{5}{4^5} - \dotsb \]

Response:
【解説】
一般に、\( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \) （\(|x|<1\)）です。
ここで \( x = -\frac{1}{4} \) とすると、
級数は
  \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{k}\right)^n \) となり、
よって
  \( S = -\frac{-\frac{1}{k}}{(1+\frac{1}{k})^2} = \frac{1/k}{(\frac{k+1}{k})^2} = \frac{k}{(k+1)^2} \) となります。
したがって、答えは \( \frac{4}{(4+1)^2} \) です。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 7x^2 + \frac{y^2}{7} = 64 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 7x^2 + \frac{y^2}{7} = 64 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 49x^2 + y^2 = 448 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{64}{7}} + \frac{y^2}{448} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{64}{7}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{448}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{448 - \frac{64}{7} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{64 \sqrt{21}}{7} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 4x^2 + \frac{y^2}{10} = 85 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 4x^2 + \frac{y^2}{10} = 85 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 40x^2 + y^2 = 850 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{85}{4}} + \frac{y^2}{850} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{85}{4}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{850}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{850 - \frac{85}{4} }\) となり、
簡単化すると \( \sqrt{3315} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 8x^2 + \frac{y^2}{9} = 72 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 8x^2 + \frac{y^2}{9} = 72 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 72x^2 + y^2 = 648 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{72}{8}} + \frac{y^2}{648} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{72}{8}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{648}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{648 - \frac{72}{8} }\) となり、
簡単化すると \( 6 \sqrt{71} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 9x^2 + \frac{y^2}{3} = 75 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 9x^2 + \frac{y^2}{3} = 75 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 27x^2 + y^2 = 225 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{75}{9}} + \frac{y^2}{225} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{75}{9}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{225}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{225 - \frac{75}{9} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{10 \sqrt{78}}{3} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 8x^2 + \frac{y^2}{6} = 133 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 8x^2 + \frac{y^2}{6} = 133 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 48x^2 + y^2 = 798 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{133}{8}} + \frac{y^2}{798} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{133}{8}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{798}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{798 - \frac{133}{8} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{\sqrt{12502}}{2} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 5x^2 + \frac{y^2}{10} = 104 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 5x^2 + \frac{y^2}{10} = 104 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 50x^2 + y^2 = 1040 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{104}{5}} + \frac{y^2}{1040} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{104}{5}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{1040}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{1040 - \frac{104}{5} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{28 \sqrt{130}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 1x^2 + \frac{y^2}{3} = 61 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 1x^2 + \frac{y^2}{3} = 61 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 3x^2 + y^2 = 183 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{61}{1}} + \frac{y^2}{183} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{61}{1}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{183}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{183 - \frac{61}{1} }\) となり、
簡単化すると \( 2 \sqrt{122} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 5x^2 + \frac{y^2}{2} = 67 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 5x^2 + \frac{y^2}{2} = 67 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 10x^2 + y^2 = 134 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{67}{5}} + \frac{y^2}{134} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{67}{5}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{134}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{134 - \frac{67}{5} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{6 \sqrt{335}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 8x^2 + \frac{y^2}{5} = 140 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 8x^2 + \frac{y^2}{5} = 140 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 40x^2 + y^2 = 700 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{140}{8}} + \frac{y^2}{700} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{140}{8}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{700}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{700 - \frac{140}{8} }\) となり、
簡単化すると \( \sqrt{2730} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 8x^2 + \frac{y^2}{3} = 74 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 8x^2 + \frac{y^2}{3} = 74 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 24x^2 + y^2 = 222 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{74}{8}} + \frac{y^2}{222} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{74}{8}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{222}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{222 - \frac{74}{8} }\) となり、
簡単化すると \( \sqrt{851} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 3x^2 + \frac{y^2}{2} = 80 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 3x^2 + \frac{y^2}{2} = 80 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 6x^2 + y^2 = 160 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{80}{3}} + \frac{y^2}{160} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{80}{3}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{160}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{160 - \frac{80}{3} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{40 \sqrt{3}}{3} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 9x^2 + \frac{y^2}{5} = 115 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 9x^2 + \frac{y^2}{5} = 115 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 45x^2 + y^2 = 575 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{115}{9}} + \frac{y^2}{575} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{115}{9}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{575}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{575 - \frac{115}{9} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{4 \sqrt{1265}}{3} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 3x^2 + \frac{y^2}{7} = 147 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 3x^2 + \frac{y^2}{7} = 147 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 21x^2 + y^2 = 1029 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{147}{3}} + \frac{y^2}{1029} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{147}{3}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{1029}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{1029 - \frac{147}{3} }\) となり、
簡単化すると \( 28 \sqrt{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 8x^2 + \frac{y^2}{2} = 88 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 8x^2 + \frac{y^2}{2} = 88 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 16x^2 + y^2 = 176 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{88}{8}} + \frac{y^2}{176} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{88}{8}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{176}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{176 - \frac{88}{8} }\) となり、
簡単化すると \( 2 \sqrt{165} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 10x^2 + \frac{y^2}{5} = 67 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 10x^2 + \frac{y^2}{5} = 67 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 50x^2 + y^2 = 335 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{67}{10}} + \frac{y^2}{335} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{67}{10}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{335}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{335 - \frac{67}{10} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{7 \sqrt{670}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 10x^2 + \frac{y^2}{8} = 149 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 10x^2 + \frac{y^2}{8} = 149 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 80x^2 + y^2 = 1192 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{149}{10}} + \frac{y^2}{1192} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{149}{10}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{1192}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{1192 - \frac{149}{10} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{\sqrt{117710}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 10x^2 + \frac{y^2}{10} = 147 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 10x^2 + \frac{y^2}{10} = 147 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 100x^2 + y^2 = 1470 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{147}{10}} + \frac{y^2}{1470} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{147}{10}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{1470}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{1470 - \frac{147}{10} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{21 \sqrt{330}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 3x^2 + \frac{y^2}{3} = 76 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 3x^2 + \frac{y^2}{3} = 76 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 9x^2 + y^2 = 228 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{76}{3}} + \frac{y^2}{228} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{76}{3}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{228}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{228 - \frac{76}{3} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{8 \sqrt{114}}{3} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 10x^2 + \frac{y^2}{5} = 86 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 10x^2 + \frac{y^2}{5} = 86 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 50x^2 + y^2 = 430 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{86}{10}} + \frac{y^2}{430} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{86}{10}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{430}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{430 - \frac{86}{10} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{14 \sqrt{215}}{5} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 8x^2 + \frac{y^2}{3} = 107 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 8x^2 + \frac{y^2}{3} = 107 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 24x^2 + y^2 = 321 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{107}{8}} + \frac{y^2}{321} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{107}{8}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{321}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{321 - \frac{107}{8} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{\sqrt{4922}}{2} \) となる。


次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。
\[ 7x^2 + \frac{y^2}{5} = 138 \]

Response:
【解説】
与えられた楕円は
\( 7x^2 + \frac{y^2}{5} = 138 \) と表される。
両辺に分母の \(Q\) をかけると
\( 35x^2 + y^2 = 690 \) となり、
標準形は
 \( \frac{x^2}{\frac{138}{7}} + \frac{y^2}{690} = 1 \) となる。
このとき、横軸の長さの半分は \(a = \sqrt{{\frac{138}{7}}} \)、
縦軸の長さの半分は \(b = \sqrt{{690}} \) で、
（ここでは \(b > a\) なので楕円は縦長）
焦点は \( (0, \pm c) \) （または \( (\pm c, 0) \)）で、
 \( c = \sqrt{b^2 - a^2} \) となる。
よって焦点間の距離は \(2c = 2\sqrt{690 - \frac{138}{7} }\) となり、
簡単化すると \( \frac{4 \sqrt{8211}}{7} \) となる。