{"year": "2016", "tier": "T1", "problem_label": "1", "problem_type": null, "exam": "Dutch_TST", "problem": "Voor een positief geheel getal $n$ dat geen tweemacht is, definiëren we $t(n)$ als de grootste oneven deler van $n$ en $r(n)$ als de kleinste positieve oneven deler van $n$ die ongelijk aan 1 is. Bepaal alle positieve gehele getallen $n$ die geen tweemacht zijn en waarvoor geldt\n\n$$\nn=3 t(n)+5 r(n)\n$$", "solution": "Als $n$ oneven is, geldt $t(n)=n$ dus is $3 t(n)$ groter dan $n$, tegenspraak. Als $n$ deelbaar door 2 is maar niet deelbaar door 4 , dan geldt $t(n)=\\frac{1}{2} n$ en is $3 t(n)$ weer groter dan $n$, opnieuw tegenspraak. We kunnen concluderen dat $n$ in elk geval deelbaar door 4 moet zijn. Als $n$ deelbaar door 16 is, dan is $t(n) \\leq \\frac{1}{16} n$. Verder is $r(n) \\leq t(n)$, dus $3 t(n)+5 r(n) \\leq 8 t(n) \\leq \\frac{1}{2} n<n$, tegenspraak. Dus $n$ is niet deelbaar door 16 . We kunnen dus schrijven $n=4 m$ of $n=8 m$ met $m \\geq 3$ oneven.\nStel $n=4 m$ met $m \\geq 3$ oneven. Dan geldt $t(n)=m$, dus $4 m=3 m+5 r(n)$, dus $5 r(n)=m$. Omdat $r(n)$ gelijk is aan de kleinste oneven priemdeler van $n$, wat ook de kleinste priemdeler van $m$ is, moet nu $m$ van de vorm $m=5 p$ zijn met $p \\leq 5$ een oneven priemgetal. Dus $m=15$ of $m=25$, wat $n=60$ of $n=100$ geeft. Beide oplossingen voldoen.\nStel dat $n=8 m$ met $m \\geq 3$ oneven. Opnieuw geldt $t(n)=m$, dus $8 m=3 m+5 r(n)$, dus $5 r(n)=5 m$, oftewel $r(n)=m$. We zien dat $m$ priem is. Dus $n=8 p$ met $p$ een oneven priemgetal. Deze familie van oplossingen voldoet ook.\nWe vinden als oplossingen dus $n=60, n=100$ en $n=8 p$ met $p$ een oneven priemgetal.", "metadata": {"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-B_uitwerkingen.jsonl", "problem_match": "\nOpgave 1.", "solution_match": "\nOplossing I."}}
{"year": "2016", "tier": "T1", "problem_label": "1", "problem_type": null, "exam": "Dutch_TST", "problem": "Voor een positief geheel getal $n$ dat geen tweemacht is, definiëren we $t(n)$ als de grootste oneven deler van $n$ en $r(n)$ als de kleinste positieve oneven deler van $n$ die ongelijk aan 1 is. Bepaal alle positieve gehele getallen $n$ die geen tweemacht zijn en waarvoor geldt\n\n$$\nn=3 t(n)+5 r(n)\n$$", "solution": "Noem $p$ de kleinste oneven priemdeler van $n$. Dan is $r(n)=p$. We kunnen nu schrijven $n=2^{t} m p$ met $m$ oneven en $t \\geq 0$. Er geldt dan $t(n)=p m$, dus de gegeven gelijkheid gaat over in $2^{t} m p=3 p m+5 p$, oftewel $\\left(2^{t}-3\\right) m p=5 p$, dus $\\left(2^{t}-3\\right) m=5$. We zien dat $m$ een deler van 5 moet zijn, dus $m=1$ of $m=5$. Als $m=1$ geldt $2^{t}=8$, dus $t=3$. We krijgen dan $n=8 p$ met $p$ een oneven priem. Deze oplossing voldoet voor alle oneven priemgetallen $p$. Als $m=5$ geldt $2^{t}=4$, dus $t=2$. We krijgen dan $n=4 \\cdot 5 \\cdot p$ met $p$ een oneven priem. Deze oplossing voldoet alleen als $p$ de kleinste oneven priemdeler is, dus als $p=3$ of $p=5$. Zo vinden we nog twee oplossingen: $n=60$ en $n=100$.", "metadata": {"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-B_uitwerkingen.jsonl", "problem_match": "\nOpgave 1.", "solution_match": "\nOplossing II."}}
{"year": "2016", "tier": "T1", "problem_label": "2", "problem_type": null, "exam": "Dutch_TST", "problem": "Bepaal alle drietallen $(x, y, z)$ van niet-negatieve reële getallen die voldoen aan het stelsel vergelijkingen\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& x^{2}-y=(z-1)^{2} \\\\\n& y^{2}-z=(x-1)^{2} \\\\\n& z^{2}-x=(y-1)^{2}\n\\end{aligned}\n$$", "solution": "Haakjes uitwerken en alles bij elkaar optellen geeft\n\n$$\nx^{2}+y^{2}+z^{2}-(x+y+z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2(x+y+z)+3,\n$$\n\ndus $x+y+z=3$. Zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat $x \\leq y, z$. Dan geldt $0 \\leq x \\leq 1$. Dus $x^{2} \\leq x$, dus $x^{2}-y \\leq x-y \\leq 0$. Anderzijds is $x^{2}-y=(z-1)^{2} \\geq 0$. Dus moet gelijkheid gelden in o.a. $x^{2} \\leq x$ en $x-y \\leq 0$. Uit de eerste gelijkheid volgt $x=0$ of $x=1$ en uit de tweede $x=y$. Stel $x=y=0$, dan volgt uit $x+y+z=3$ dat $z=3$. Maar dan geldt niet $x^{2}-y=(z-1)^{2}$, tegenspraak. We houden alleen het geval over dat $x=y=1$. Dan geldt $z=3-1-1=1$. Dit drietal voldoet inderdaad en is daarmee de enige oplossing.", "metadata": {"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-B_uitwerkingen.jsonl", "problem_match": "\nOpgave 2.", "solution_match": "\nOplossing."}}
{"year": "2016", "tier": "T1", "problem_label": "3", "problem_type": null, "exam": "Dutch_TST", "problem": "Zij $\\triangle A B C$ een rechthoekige driehoek met $\\angle A=90^{\\circ}$ en omgeschreven cirkel $\\Gamma$. De ingeschreven cirkel raakt aan $B C$ in een punt $D$. Zij $E$ het midden van de boog $A B$ van $\\Gamma$ waar $C$ niet op ligt en zij $F$ het midden van de boog $A C$ van $\\Gamma$ waar $B$ niet op ligt.\na) Bewijs dat $\\triangle A B C \\sim \\triangle D E F$.\nb) Bewijs dat $E F$ door de raakpunten van de ingeschreven cirkel aan $A B$ en $A C$ gaat.", "solution": "a) Het midden $E$ van boog $A B$ waar $C$ niet op ligt, ligt op de bissectrice $C I$. Net zo ligt $F$ op $B I$. Er geldt $\\angle I F C=\\angle B F C=\\angle B A C=90^{\\circ}$ omdat $A B C F$ een koordenvierhoek is en $\\angle I D C=90^{\\circ}$ omdat $D$ het raakpunt van de ingeschreven cirkel aan $B C$ is. Dus $\\angle I F C+\\angle I D C=180^{\\circ}$, waaruit volgt dat $F I D C$ een koordenvierhoek is. Nu geldt $\\angle D F I=\\angle D C I=\\frac{1}{2} \\angle A C B$, terwijl ook $\\angle I F E=\\angle B F E=\\angle B C E=$ $\\frac{1}{2} \\angle A C B$. Dus $\\angle D F E=\\frac{1}{2} \\angle A C B+\\frac{1}{2} \\angle A C B=\\angle A C B$. Analoog is $\\angle D E F=\\angle A B C$. Samen geeft dit $\\triangle D E F \\sim \\triangle A B C$.\nb) $\\mathrm{Zij} S$ het snijpunt van $E F$ met $A B$. In het vorige onderdeel hebben we gezien dat $B F$ de bissectrice is van $\\angle D F E=\\angle D F S$. Ook is $B F$ de bissectrice van $\\angle A B C=$ $\\angle S B D$. Dus $\\triangle B D F \\cong \\triangle B S F$ vanwege (HZH). Dit betekent dat $|B D|=|B S|$. Anderzijds zijn de afstanden van $B$ tot de raakpunten van de ingeschreven cirkel aan $B C$ en $B A$ gelijk en het ene raakpunt is $D$, dus het andere raakpunt moet $S$ zijn. Dus $E F$ gaat door het raakpunt van de ingeschreven cirkel aan $A B$. Analoog gaat hij ook door het raakpunt van de ingeschreven cirkel aan $A C$.", "metadata": {"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-B_uitwerkingen.jsonl", "problem_match": "\nOpgave 3.", "solution_match": "# Oplossing I."}}
{"year": "2016", "tier": "T1", "problem_label": "3", "problem_type": null, "exam": "Dutch_TST", "problem": "Zij $\\triangle A B C$ een rechthoekige driehoek met $\\angle A=90^{\\circ}$ en omgeschreven cirkel $\\Gamma$. De ingeschreven cirkel raakt aan $B C$ in een punt $D$. Zij $E$ het midden van de boog $A B$ van $\\Gamma$ waar $C$ niet op ligt en zij $F$ het midden van de boog $A C$ van $\\Gamma$ waar $B$ niet op ligt.\na) Bewijs dat $\\triangle A B C \\sim \\triangle D E F$.\nb) Bewijs dat $E F$ door de raakpunten van de ingeschreven cirkel aan $A B$ en $A C$ gaat.", "solution": "a) Zoals in de eerste oplossing bewijzen we dat FIDC een koordenvierhoek is. Vanwege de buitenhoekstelling is $\\angle C I F=\\angle I C B+\\angle I B C=\\frac{1}{2} \\angle A C B+\\frac{1}{2} \\angle A B C=90^{\\circ}-$ $\\frac{1}{2} \\angle B A C=45^{\\circ}$. Dus $\\angle C D F=\\angle C I F=45^{\\circ}$. Analoog is $\\angle B D E=45^{\\circ}$, zodat $\\angle E D F=180^{\\circ}-45^{\\circ}-45^{\\circ}=90^{\\circ}$. Zij nu $M$ het midden van $B C$. Dan is $M$ ook het midden van de omgeschreven cirkel van $\\triangle A B C$ dus staat $M F$ loodrecht op $A C$. Dat betekent dat $M F \\| A B$. Zo ook is $M E \\| A C$. Dus $\\angle E M F=90^{\\circ}$. We zien dat $\\angle E M F=\\angle E D F$, dus $D, E, F$ en $M$ liggen op één cirkel. We onderscheiden nu twee gevallen.\nAls $D=M$, dan geldt $45^{\\circ}=\\angle C D F=\\angle C M F=\\angle C B A$ wegens $F$-hoeken, dus $\\triangle A B C$ is een gelijkbenige rechthoekige driehoek. Omdat $M$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel is, waar ook $E$ en $F$ op liggen, is $|M E|=|M F|$, dus ook $\\triangle M E F$ is een gelijkbenige rechthoekige driehoek. Dus $\\triangle A B C \\sim \\triangle M E F=\\triangle D E F$.\n\nIn het andere geval geldt $D \\neq M$. Zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat $D$ dichter bij $C$ ligt dan $M$. Dan geldt $\\angle D E F=\\angle D M F=\\angle C B A$ wegens F-hoeken en $\\angle D F E=180^{\\circ}-\\angle D M E=\\angle B M E=\\angle B C A$ wegens F-hoeken. Dus met (hh) is nu ook $\\triangle D E F \\sim \\triangle A B C$.\nb) $\\mathrm{Zij} L$ het raakpunt van de ingeschreven cirkel aan $A C$. We hebben al gezien dat $F I D C$ een koordenvierhoek is wegens $\\angle I D C=90^{\\circ}=\\angle I F C$. Omdat ook $\\angle I L C=$ $90^{\\circ}$, ligt $L$ op dezelfde cirkel. Dus\n\n$$\n\\angle L F B=\\angle L F I=\\angle L C I=\\angle A C E=\\angle E C B=\\angle E F B,\n$$\n\nwaaruit volgt dat $E, F$ en $L$ op een lijn liggen. Dus $E F$ gaat door het raakpunt $L$. Analoog gaat $E F$ ook door het raakpunt van de ingeschreven cirkel aan $A B$.", "metadata": {"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-B_uitwerkingen.jsonl", "problem_match": "\nOpgave 3.", "solution_match": "# Oplossing II."}}
{"year": "2016", "tier": "T1", "problem_label": "3", "problem_type": null, "exam": "Dutch_TST", "problem": "Zij $\\triangle A B C$ een rechthoekige driehoek met $\\angle A=90^{\\circ}$ en omgeschreven cirkel $\\Gamma$. De ingeschreven cirkel raakt aan $B C$ in een punt $D$. Zij $E$ het midden van de boog $A B$ van $\\Gamma$ waar $C$ niet op ligt en zij $F$ het midden van de boog $A C$ van $\\Gamma$ waar $B$ niet op ligt.\na) Bewijs dat $\\triangle A B C \\sim \\triangle D E F$.\nb) Bewijs dat $E F$ door de raakpunten van de ingeschreven cirkel aan $A B$ en $A C$ gaat.", "solution": "a) Zoals in de vorige oplossing bewijzen we dat $\\angle C D F=45^{\\circ}=\\angle B D E$. Zij nu $F^{\\prime}$ de spiegeling van $F$ in $B C$. Omdat $B C$ de middellijn van $\\Gamma$ is, ligt $F^{\\prime}$ weer op $\\Gamma$. Verder is $\\angle C D F^{\\prime}=\\angle C D F=45^{\\circ}$ en $\\angle C D E=180^{\\circ}-\\angle B D E=135^{\\circ}$, dus $\\angle C D F^{\\prime}+\\angle C D E=180^{\\circ}$, waaruit volgt dat $F^{\\prime}, D$ en $E$ op een lijn liggen. We zien dat\n\n$$\n\\angle F E D=\\angle F E F^{\\prime}=\\angle F B F^{\\prime}=2 \\angle F B C=2 \\cdot \\frac{1}{2} \\angle A B C=\\angle A B C .\n$$\n\nAnaloog geldt $\\angle E F D=\\angle A C B$, dus met (hh) geldt $\\triangle D E F \\sim \\triangle A B C$.\nb) Laat $K$ en $L$ de raakpunten zijn van de inschreven cirkel aan respectievelijk $A B$ en $A C$. Omdat $\\angle A K I=\\angle A L I=90^{\\circ}$ en ook $\\angle K A L=90^{\\circ}$, is $A K I L$ een rechthoek. Het is zelfs een vierkant, aangezien $|I K|=|I L|$. Dus diagonaal $K L$ is de middelloodlijn van $A I$. We gaan nu bewijzen dat $E F$ ook de middelloodlijn van $A I$ is, zodat $E F$ samenvalt met $K L$ en het gevraagde bewezen is.\nEr geldt\n\n$$\n\\angle F A I=\\angle F A C+\\angle C A I=\\angle F B C+\\angle C A I=\\frac{1}{2} \\angle A B C+\\frac{1}{2} \\angle B A C\n$$\n\nen verder, wegens de buitenhoekstelling in $\\triangle A B I$,\n\n$$\n\\angle A I F=\\angle I A B+\\angle I B A=\\frac{1}{2} \\angle A B C+\\frac{1}{2} \\angle B A C .\n$$\n\nDus $\\angle F A I=\\angle A I F$, waaruit volgt $|A F|=|I F|$. Dat betekent dat $F$ op de middelloodlijn van $A I$ ligt. Analoog kunnen we laten zien dat ook $E$ op de middelloodlijn van $A I$ ligt. Dus $E F$ is inderdaad de middelloodlijn van $A I$.", "metadata": {"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-B_uitwerkingen.jsonl", "problem_match": "\nOpgave 3.", "solution_match": "# Oplossing III."}}
{"year": "2016", "tier": "T1", "problem_label": "4", "problem_type": null, "exam": "Dutch_TST", "problem": "De Facebookgroep Olympiadetraining heeft minstens vijf leden. Er is een zeker getal $k$ met de eigenschap: voor elk $k$-tal leden geldt dat er minstens één lid van dat $k$-tal bevriend is met de andere $k-1$. (Vriendschap is wederzijds: als $A$ bevriend is met $B$, dan is $B$ ook bevriend met $A$.)\na) Stel $k=4$. Kun je met zekerheid zeggen dat de Facebookgroep een lid heeft dat vrienden is met alle andere leden?\nb) Stel $k=5$. Kun je met zekerheid zeggen dat de Facebookgroep een lid heeft dat vrienden is met alle andere leden?", "solution": "a) Ja, dat kan. Als iedereen bevriend is met iedereen, dan zijn we klaar. Stel dus dat er twee leden zijn, zeg $A$ en $B$, die geen vrienden met elkaar zijn. Als we een groep van vier bekijken met $A, B$ en twee andere leden, dan moet één van die andere twee bevriend zijn met de ander en met $A$ en $B$. In het bijzonder zijn die twee anderen bevriend met elkaar. Dit geldt voor elke twee leden (ongelijk aan $A$ en $B$ ) die we kiezen, dus elk tweetal zonder $A$ en $B$ is bevriend met elkaar. Neem nu $A, B, C$ en $D$ en zeg dat $C$ bevriend is met $A, B$ en $D$. Hij is verder ook bevriend met alle andere leden van de groep, dus $C$ is iemand die bevriend is met iedereen.\nb) Nee, dat kan niet. We geven een tegenvoorbeeld. Stel dat de Facebookgroep zes leden heeft, namelijk $A, B, C, D, E$ en $F$. Zij zijn allemaal vrienden van elkaar, behalve het paar $(A, B)$, het paar $(C, D)$ en het paar $(E, F)$. Dat betekent dat er geen enkel lid vrienden is van alle andere leden. Als we een groep van vijf nemen, dan is dat zonder verlies van algemeenheid $A, B, C, D$ en $E$. Hierbij is iemand die vrienden is met de andere vier, namelijk $E$. Dus aan de voorwaarde is voldaan.", "metadata": {"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-B_uitwerkingen.jsonl", "problem_match": "\nOpgave 4.", "solution_match": "# Oplossing."}}
{"year": "2016", "tier": "T1", "problem_label": "5", "problem_type": null, "exam": "Dutch_TST", "problem": "Bepaal alle paren $(m, n)$ van positieve gehele getallen waarvoor\n\n$$\n(m+n)^{3} \\mid 2 n\\left(3 m^{2}+n^{2}\\right)+8\n$$", "solution": "Stel dat het quotiënt van $2 n\\left(3 m^{2}+n^{2}\\right)+8$ en $(m+n)^{3}$ niet gelijk aan 1 is. Dan is het minstens 2, dus geldt\n\n$$\n(m+n)^{3} \\leq n\\left(3 m^{2}+n^{2}\\right)+4\n$$\n\noftewel\n\n$$\nm^{3}+3 m^{2} n+3 m n^{2}+n^{3} \\leq 3 m^{2} n+n^{3}+4\n$$\n\noftewel\n\n$$\nm^{3}+3 m n^{2} \\leq 4\n$$\n\nHieruit volgt meteen $m<2$, dus $m=1$. Dan staat er $1+3 n^{2} \\leq 4$, dus ook $n=1$. Het paar $(m, n)=(1,1)$ is inderdaad een oplossing, want er geldt $2^{3} \\mid 2 \\cdot 4+8$.\nDe andere mogelijkheid is dat het quotiënt juist wel gelijk aan 1 is. Dan geldt\n\n$$\n(m+n)^{3}=2 n\\left(3 m^{2}+n^{2}\\right)+8\n$$\n\noftewel\n\n$$\nm^{3}+3 m^{2} n+3 m n^{2}+n^{3}=6 m^{2} n+2 n^{3}+8\n$$\n\noftewel\n\n$$\nm^{3}-3 m^{2} n+3 m n^{2}-n^{3}=8\n$$\n\nDe linkerkant kunnen we ontbinden als $(m-n)^{3}$. Dus er geldt $m-n=2$, oftewel $m=n+2$. Uit de voorgaande berekeningen volgt direct ook dat $(m, n)=(n+2, n)$ inderdaad een oplossing is voor alle positieve gehele $n$.\nWe concluderen dat de oplossingen zijn: $(m, n)=(1,1)$ en $(m, n)=(n+2, n)$ voor $n \\geq 1$.", "metadata": {"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-B_uitwerkingen.jsonl", "problem_match": "\nOpgave 5.", "solution_match": "\nOplossing."}}