{"year": "2019", "tier": "T1", "problem_label": "1", "problem_type": null, "exam": "Dutch_TST", "problem": "Gegeven is een kwadratisch polynoom $P(x)$ met twee verschillende reële nulpunten. Voor alle reële getallen $a$ en $b$ met $|a|,|b| \\geq 2017$ geldt dat $P\\left(a^{2}+b^{2}\\right) \\geq P(2 a b)$. Bewijs dat minstens één van de nulpunten van $P$ negatief is.", "solution": "Schrijf $P(x)=c(x-d)(x-e)$, waarbij $d$ en $e$ de nulpunten zijn, dus $d \\neq e$. Verder geldt $c \\neq 0$, anders is $P$ niet kwadratisch. Voor $|a|,|b| \\geq 2017$ volgt nu uit $P\\left(a^{2}+b^{2}\\right) \\geq P(2 a b)$ dat\n\n$$\nc\\left(a^{2}+b^{2}-d\\right)\\left(a^{2}+b^{2}-e\\right) \\geq c(2 a b-d)(2 a b-e)\n$$\n\nWe werken haakjes uit en strepen links en rechts de term cde weg:\n\n$$\nc\\left(\\left(a^{2}+b^{2}\\right)^{2}-(d+e)\\left(a^{2}+b^{2}\\right)\\right) \\geq c\\left((2 a b)^{2}-(d+e) \\cdot 2 a b\\right) .\n$$\n\nWe halen $c(2 a b)^{2}$ naar links, zodat daar een merkwaardig product ontstaat; en we zetten de termen met een factor $(d+e)$ samen rechts. Nu vinden we\n\n$$\nc\\left(a^{2}+b^{2}-2 a b\\right)\\left(a^{2}+b^{2}+2 a b\\right) \\geq c(d+e)\\left(a^{2}+b^{2}-2 a b\\right)\n$$\n\nWe factoriseren beide kanten:\n\n$$\nc(a-b)^{2}(a+b)^{2} \\geq c(d+e)(a-b)^{2}\n$$\n\nVoor $a \\neq b$ is $(a-b)^{2}>0$, dus kunnen we daardoor delen, zonder dat het teken omklapt. We krijgen\n\n$$\nc(a+b)^{2} \\geq c(d+e)\n$$\n\nWe onderscheiden nu twee gevallen. Stel eerst dat $c>0$. Dan kunnen we links en rechts door $c$ delen en klapt het teken niet om. Als we vervolgens kiezen voor $a=2017, b=-2017$ krijgen we $0 \\geq d+e$. Omdat $d \\neq e$ volgt hieruit dat minstens één van $d$ en $e$ negatief moet zijn.\nNu het tweede geval: $c<0$. Dan klapt het teken om bij deling door $c$ en krijgen we $(a+b)^{2} \\leq d+e$ voor alle $a \\neq b$ met $|a|,|b| \\geq 2017$. Door het variëren van $a$ en $b$ kan de linkerkant willekeurig groot worden, terwijl de rechterkant constant is. Tegenspraak.\n\nWe concluderen dat het eerste geval moet gelden en dus minstens één van de nulpunten van $P$ negatief is.", "metadata": {"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-C_uitwerkingen.jsonl", "problem_match": "\nOpgave 1.", "solution_match": "\nOplossing I."}}
{"year": "2019", "tier": "T1", "problem_label": "1", "problem_type": null, "exam": "Dutch_TST", "problem": "Gegeven is een kwadratisch polynoom $P(x)$ met twee verschillende reële nulpunten. Voor alle reële getallen $a$ en $b$ met $|a|,|b| \\geq 2017$ geldt dat $P\\left(a^{2}+b^{2}\\right) \\geq P(2 a b)$. Bewijs dat minstens één van de nulpunten van $P$ negatief is.", "solution": "Schrijf $P(x)=c(x-d)(x-e)$, waarbij $d$ en $e$ de nulpunten zijn, dus $d \\neq e$. Verder geldt $c \\neq 0$, anders is $P$ niet kwadratisch. We onderscheiden twee gevallen. Stel eerst dat $c>0$. We nemen $b=-a=2017$ in $P\\left(a^{2}+b^{2}\\right) \\geq P(2 a b)$, waardoor we krijgen $P\\left(2 a^{2}\\right) \\geq P\\left(-2 a^{2}\\right)$, dus\n\n$$\nc\\left(2 a^{2}-d\\right)\\left(2 a^{2}-e\\right) \\geq c\\left(-2 a^{2}-d\\right)\\left(-2 a^{2}-2\\right)\n$$\n\nWe delen door $c>0$, werken haakjes uit en strepen links en rechts de termen $4 a^{4}$ en de weg:\n\n$$\n-(d+e) \\cdot 2 a^{2} \\geq(d+e) \\cdot 2 a^{2}\n$$\n\noftewel\n\n$$\n4 a^{2}(d+e) \\leq 0\n$$\n\nWe kunnen delen door $4 a^{2}=4 \\cdot 2017^{2}$, zodat we vinden dat $d+e \\leq 0$. Omdat de twee nulpunten verschillend zijn, moet nu minstens één van beide negatief zijn.\nStel nu dat $c<0$. Dan hebben we te maken met een bergparabool, die rechts voorbij de top dalend is. Kies nu $a \\neq b$ met $a, b \\geq 2017$ en $a$ en $b$ rechts van de top, dan geldt volgens de ongelijkheid van het rekenkundig-meetkundig $a^{2}+b^{2}>2 a b$ (geen gelijkheid want $a \\neq b$ ). Omdat $a$ en $b$ positief en groter dan 1 zijn en rechts van de top liggen, geldt $2 a b>a$, dus ligt ook $2 a b$ rechts van de top (en daarmee $a^{2}+b^{2}$ ook). Dus omdat $P$ dalend is, geldt $P\\left(a^{2}+b^{2}\\right)<P(2 a b)$, in tegenspraak met het gegeven.\nWe concluderen dat het eerste geval moet gelden en dus minstens één van de nulpunten van $P$ negatief is.", "metadata": {"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-C_uitwerkingen.jsonl", "problem_match": "\nOpgave 1.", "solution_match": "\nOplossing II."}}
{"year": "2019", "tier": "T1", "problem_label": "2", "problem_type": null, "exam": "Dutch_TST", "problem": "Schrijf $S_{n}$ voor de verzameling $\\{1,2, \\ldots, n\\}$. Bepaal alle positieve gehele $n$ waarvoor er functies $f: S_{n} \\rightarrow S_{n}$ en $g: S_{n} \\rightarrow S_{n}$ bestaan zodat voor elke $x$ precies één van de gelijkheden $f(g(x))=x$ en $g(f(x))=x$ waar is.", "solution": "We laten eerst zien dat als $n=2 m$ voor zekere positieve gehele $m$, er dan zulke functies bestaan. Definieer\n\n$$\nf(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}\nx & \\text { als } 1 \\leq x \\leq m, \\\\\nx-m & \\text { als } m+1 \\leq x \\leq 2 m,\n\\end{array} \\quad g(x)= \\begin{cases}x+m & \\text { als } 1 \\leq x \\leq m \\\\\nx & \\text { als } m+1 \\leq x \\leq 2 m\\end{cases}\\right.\n$$\n\nMerk op dat alle voorgeschreven functiewaarden in $S_{n}$ vallen, dus dit zijn inderdaad functies van $S_{n}$ naar $S_{n}$. Verder is het bereik van $f$ gelijk aan $\\{1,2, \\ldots, m\\}$ en dat van $g$ aan $\\{m+1, m+2, \\ldots, 2 m\\}$. Dus $f(g(x)) \\neq x$ als $x \\geq m+1$ en $g(f(x)) \\neq x$ als $x \\leq m$. Voor $x \\leq m$ geldt daarnaast $f(g(x))=f(x+m)=x+m-m=x$ en vor $x \\geq m+1$ geldt juist $g(f(x))=g(x-m)=x-m+m=x$. We zien dat voor elke $x$ inderdaad aan precies één van $g(f(x))=x$ en $f(g(x))=x$ voldaan wordt. Dus $n=2 m$ voldoet.\nStel nu dat $n$ oneven is, zeg $n=2 m+1$, en stel dat $f$ en $g$ functies zijn die aan de voorwaarden voldoen. Dan geldt zonder verlies van algemeenheid minstens $m+1$ keer $f(g(x))=x$, zeg voor $x_{1}, \\ldots, x_{m+1}$. Stel nu dat voor een zekere $i, j$ met $1 \\leq i, j \\leq m+1$ geldt dat $g\\left(x_{i}\\right)=x_{j}$. Dan is $f\\left(x_{j}\\right)=f\\left(g\\left(x_{i}\\right)\\right)=x_{i}$, dus $g\\left(f\\left(x_{j}\\right)\\right)=g\\left(x_{i}\\right)=x_{j}$. Maar nu geldt zowel $f(g(x))=x$ als $g(f(x))=x$ voor $x=x_{j}$ en dat mag niet. Dus voor alle $i$ met $1 \\leq i \\leq m+1$ geldt dat $g\\left(x_{i}\\right)$ niet één van de getallen $x_{j}$ met $1 \\leq j \\leq m+1$ is. Er zijn echter nog slechts $m$ andere getallen in $S_{n}$, terwijl er $m+1$ waarden van $i$ mogelijk zijn, dus twee van de functiewaarden moeten gelijk zijn. Zeg $g\\left(x_{k}\\right)=g\\left(x_{l}\\right)$ voor $1 \\leq k<l \\leq m+1$. Maar nu is $x_{k}=f\\left(g\\left(x_{k}\\right)\\right)=f\\left(g\\left(x_{l}\\right)\\right)=x_{l}$, tegenspraak. Voor oneven $n$ kunnen dus geen functies bestaan die aan de voorwaarde voldoen.\nWe concluderen dat alle even $n$ voldoen en alle oneven $n$ niet.", "metadata": {"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-C_uitwerkingen.jsonl", "problem_match": "\nOpgave 2.", "solution_match": "\nOplossing I."}}
{"year": "2019", "tier": "T1", "problem_label": "2", "problem_type": null, "exam": "Dutch_TST", "problem": "Schrijf $S_{n}$ voor de verzameling $\\{1,2, \\ldots, n\\}$. Bepaal alle positieve gehele $n$ waarvoor er functies $f: S_{n} \\rightarrow S_{n}$ en $g: S_{n} \\rightarrow S_{n}$ bestaan zodat voor elke $x$ precies één van de gelijkheden $f(g(x))=x$ en $g(f(x))=x$ waar is.", "solution": "Elke $x \\in S_{n}$ is een dekpunt van precies één van de functies $f \\circ g$ en $g \\circ f$. We laten nu eerst zien dat als $x$ een dekpunt van $f \\circ g$ is, dat dan $x$ geen dekpunt van $g$ is. Immers, als wel zou gelden $f(g(x))=x$ en $g(x)=x$, dan is ook $f(x)=f(g(x))=x$, dus $g(f(x))=g(x)=x$, tegenspraak. Dus als $x$ een dekpunt van $f \\circ g$ is, dan geldt $g(x) \\neq x$. Noem nu $y=g(x)$. Dan is $f(y)=f(g(x))=x$, dus $g(f(y))=g(x)=y$, dus $y$ is een dekpunt van $g \\circ f$. Bij elk dekpunt $x$ van $f \\circ g$ hoort dus een dekpunt $y=g(x)$ van $g \\circ f$. Analoog hoort bij dat dekpunt $y$ van $g \\circ f$ ook weer een dekpunt $x^{\\prime}=f(y)$ van $f \\circ g$; bovendien geldt $x^{\\prime}=x$ want we hadden al gezien dat $f(y)=x$. We kunnen dus de getallen in $S_{n}$ opdelen in paren $(x, y)$ waarbij $x$ een dekpunt van $f \\circ g$ is en $y$ een dekpunt van $g \\circ f$ en waarvoor geldt $x \\neq y$. Het aantal elementen van $S_{n}$ moet dus even zijn, dus $n$ is even. Voor even $n$ kunnen we vervolgens net als in oplossing I laten zien dat zulke functies bestaan.", "metadata": {"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-C_uitwerkingen.jsonl", "problem_match": "\nOpgave 2.", "solution_match": "\nOplossing II."}}
{"year": "2019", "tier": "T1", "problem_label": "3", "problem_type": null, "exam": "Dutch_TST", "problem": "Gegeven is een positief geheel getal $n$. Bepaal de maximale waarde van $\\operatorname{ggd}(a, b)+\\operatorname{ggd}(b, c)+\\operatorname{ggd}(c, a)$, onder de voorwaarde dat $a, b$ en $c$ positieve gehele getallen zijn met $a+b+c=5 n$.", "solution": "Schrijf $G=\\operatorname{ggd}(a, b)+\\operatorname{ggd}(b, c)+\\operatorname{ggd}(c, a)$. Zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat $a \\leq b \\leq c$. Nu geldt $\\operatorname{ggd}(a, b) \\leq a, \\operatorname{ggd}(b, c) \\leq b$ en $\\operatorname{ggd}(c, a) \\leq a$. Dus\n\n$$\nG \\leq a+b+a \\leq a+b+c=5 n\n$$\n\nAls $3 \\mid n$, dan is $G=5 n$ haalbaar, namelijk met $a=b=c=\\frac{5}{3} n$. Alle drie de ggd's zijn dan gelijk aan $\\frac{5}{3} n$, dus $G=3 \\cdot \\frac{5}{3} n=5 n$.\nStel nu verder dat $3 \\nmid n$. Dan weten we dat $a, b$ en $c$ niet allemaal gelijk kunnen zijn. We onderscheiden een aantal gevallen:\n\nGeval 1a: $b=c$ en $b \\leq 2 n$. Omdat nu $a \\neq b$, geldt $\\operatorname{ggd}(a, b)=\\operatorname{ggd}(a, b-a) \\leq b-a$. Dus $G \\leq(b-a)+b+a=2 b \\leq 4 n$.\n\nGeval 1b: $b=c$ en $b>2 n$. Er geldt $a+2 b=5 n$, dus $a=5 n-2 b$, waaruit volgt dat $G \\leq a+b+a=10 n-4 b+b=10 n-3 b<10 n-6 n=4 n$.\n\nGeval 2a: $b \\neq c$ en $c-a \\geq n$. Nu geldt $G \\leq a+b+a=(a+b+c)-(c-a)=5 n-(c-a) \\leq$ $5 n-n=4 n$.\n\nGeval 2b: $b \\neq c$ en $c-a<n$. Omdat $a \\leq b \\leq c$ geldt nu ook $c-b<n$. Verder is $b \\neq c$ en dus ook $a \\neq c$. Dus $\\operatorname{ggd}(c, a)=\\operatorname{ggd}(c-a, a) \\leq c-a<n$ en $\\operatorname{ggd}(b, c)=\\operatorname{ggd}(b, c-b) \\leq c-b<n$. Daarnaast is $a \\leq \\frac{5 n}{3}$. We conluderen dat $G<\\frac{5 n}{3}+n+n<4 n$.\n\nWe zien dat in alle gevallen $G \\leq 4 n$. De waarde $G=4 n$ is haalbaar met $a=n, b=2 n$ en $c=2 n$, want dan geldt $\\operatorname{ggd}(a, b)=\\operatorname{ggd}(c, a)=n$ en $\\operatorname{ggd}(b, c)=2 n$.\nDus de maximale waarde van $G$ is $5 n$ als $3 \\mid n$ en $4 n$ als $3 \\nmid n$.", "metadata": {"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-C_uitwerkingen.jsonl", "problem_match": "\nOpgave 3.", "solution_match": "\nOplossing I."}}
{"year": "2019", "tier": "T1", "problem_label": "3", "problem_type": null, "exam": "Dutch_TST", "problem": "Gegeven is een positief geheel getal $n$. Bepaal de maximale waarde van $\\operatorname{ggd}(a, b)+\\operatorname{ggd}(b, c)+\\operatorname{ggd}(c, a)$, onder de voorwaarde dat $a, b$ en $c$ positieve gehele getallen zijn met $a+b+c=5 n$.", "solution": "We bewijzen op een alternatieve manier dat $G \\leq 4 n$ voor het geval $3 \\nmid n$. We nemen hier in eerste instantie niet aan dat $a \\leq b \\leq c$. We onderscheiden twee gevallen.\n\nGeval 1: twee van $a, b$ en $c$ zijn gelijk, zeg $a=b$. Schrijf $d=\\operatorname{ggd}(a, c)$. Dan geldt $G=a+d+d$. Verder is $5 n=a+b+c=2 a+c$. Omdat $d \\mid a$ en $d \\mid c$ geldt ook $d \\mid 5 n$ en bovendien $3 d \\leq 2 a+c=5 n$. Er is dus een $k \\geq 3$ met $k d=5 n$. Maar $3 \\nmid n$, dus $k=3$ kan niet. We onderscheiden nu weer twee gevallen:\n\nGeval 1a: $k=4$. Dan is $4 d=5 n=2 a+c$, terwijl $a$ en $c$ beide veelvouden van $d$ zijn. Dan geldt $a<2 d$, dus $a=d$. We vinden nu $G=a+2 d=3 d=\\frac{3}{4} \\cdot 5 n=\\frac{15}{4} n<4 n$.\nGeval 1b: $k \\geq 5$. Dan geldt $5 n=k d \\geq 5 d$, dus $n \\geq d$. Verder is $c \\geq d$, dus $G=a+2 d=$ $\\frac{5 n-c}{2}+2 d \\leq \\frac{5 n-d}{2}+2 d=\\frac{5}{2} n+\\frac{3}{2} d \\leq \\frac{5}{2} n+\\frac{3}{2} n=4 n$.\n\nGeval 2: $a, b$ en $c$ zijn allemaal verschillend. Neem zonder verlies van algemeenheid aan dat $a<b<c$. Er geldt nu $\\operatorname{ggd}(a, b) \\leq \\frac{b}{2}, \\operatorname{ggd}(b, c) \\leq \\frac{c}{2}$ en $\\operatorname{ggd}(c, a) \\leq a$, dus $6 G \\leq 3 b+3 c+6 a<3 b+3 c+4 a+b+c=4 a+4 b+4 c=20 n$, dus $G<\\frac{20 n}{6}<4 n$.", "metadata": {"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-C_uitwerkingen.jsonl", "problem_match": "\nOpgave 3.", "solution_match": "\nOplossing II."}}
{"year": "2019", "tier": "T1", "problem_label": "4", "problem_type": null, "exam": "Dutch_TST", "problem": "Gegeven is een driehoek $A B C$. Op zijde $A C$ liggen punten $D$ en $E$ zodat de volgorde van punten op deze lijn $A, E, D, C$ is. De lijn door $E$ evenwijdig aan $B C$ snijdt de omgeschreven cirkel van $\\triangle A B D$ in een punt $F$, waarbij $E$ en $F$ aan weerszijden van $A B$ liggen. De lijn door $E$ evenwijdig aan $A B$ snijdt de omgeschreven cirkel van $\\triangle B C D$ in een punt $G$, waarbij $E$ en $G$ aan weerszijden van $B C$ liggen. Bewijs dat $D E F G$ een koordenvierhoek is.\n![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_06_fb36d6685dbd9a5258e6g-6.jpg?height=679&width=670&top_left_y=799&top_left_x=695)", "solution": "Zij $G^{\\prime}$ het snijpunt van de lijn $B F$ en de omgeschreven cirkel van $\\triangle B C D$. We bewijzen dat $D E F G^{\\prime}$ een koordenvierhoek is en vervolgens dat $G=G^{\\prime}$, waarmee het bewijs compleet is.\nWegens $E F \\| B C$ geldt $180^{\\circ}-\\angle D E F=\\angle A E F=\\angle A C B$ en vanwege koordenvierhoek $B D C G^{\\prime}$ is $\\angle A C B=\\angle D C B=\\angle D G^{\\prime} B=\\angle D G^{\\prime} F$, dus $180^{\\circ}-\\angle D E F=\\angle D G^{\\prime} F$. Hieruit volgt dat $D E F G^{\\prime}$ een koordenvierhoek is. Dit betekent dat $\\angle D E G^{\\prime}=\\angle D F G^{\\prime}=\\angle D F B$. Vanwege koordenvierhoek $A D B F$ geldt $\\angle D F B=\\angle D A B$, dus $\\angle D E G^{\\prime}=\\angle D A B$, wat betekent dat $E G^{\\prime} \\| A B$. Omdat $G^{\\prime}$ ook op de omgeschreven cirkel van $\\triangle B C D$ ligt, moet nu $G=G^{\\prime}$.", "metadata": {"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-C_uitwerkingen.jsonl", "problem_match": "\nOpgave 4.", "solution_match": "\nOplossing."}}