{width="0.5625404636920385in" height="0.5694663167104111in"} {width="6.486111111111111in" height="8.972222222222221in"}**"十二五"普通高等教育本科国家级规划教材** **高等数学** **第七版上册** 同济大学数学系编 公 众号 ：考研拼课 高等教育出版社 {width="0.4860826771653543in" height="0.48606955380577427in"} **"十二五"普通高等教育本科国家级规划教材** **高等数学** **第七版上册** **同济大学数学系编** GAODENG SHUXUE 考研拼课 **高** **等** **教育** **出版社** **·** **北京** 内容提要 本书是同济大学数学系编的《高等数学》第七版，从整体上说与第六 版没有大的变化，内容深广度符合"工科类本科数学基础课程教学基本要 求",适合高等院校工科类各专业学生使用。 本次修订遵循"坚持改革、不断锤炼、打造精品"的要求，对第六版 中个别概念的定义，少量定理、公式的证明及定理的假设条件作了一些重 要修改；对全书的文字表达、记号的采用进行了仔细推敲；个别内容的安 排作了一些调整，习题配置予以进一步充实、丰富，对少量习题作了更 换。所有这些修订都是为了使本书更加完善，更好地满足教学需要。 本书分上、下两册出版，上册包括函数与极限、导数与微分、微分中 值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等内容，书 末还附有二阶和三阶行列式简介、基本初等函数的图形、几种常用的曲 线、积分表、习题答案与提示。 **图书在版编目(CIP)** **数据** 高等数学 . 上册/同济大学数学系编 . 一- 7版 . \--北京：高等教育出版社，2014.7(2018. 10重印) ISBN 978-7-04-039663-8 I.①高... Ⅱ.①同 ... Ⅲ.①高等数学-高等学校- 教 材 IV.①013 中 国 版 本 图 书 馆 CIP 数据核字(2014)第099713号 策划编辑 王 强 插图绘制 尹文军 责任编辑 蒋 青 责任校对 孟 玲 封面设计 王凌波 责任印制 毛斯璐 版式设计 童 丹 | > 出版发行 | > 高等教育出版社 | > 网 址 | | > 社 址 | > 北京市西城区德外大街4号 | > | | > 邮政编码 | > 100120 | > 网上订购 | | | | > | | > 印 刷 | > 高教社(天津)印务有限公司 | > | | > 开 本 | > 787mm×960mm 1/16 | > | | > 印 张 | > 28 | > 版 次 1978年3月第1版 | | > 字 数 | > 500千字 | > 2014年7月第7版 | | > 购书热线 | > 010-58581118 | > 印 次 2018年10月第24次印刷 | | > 咨询电话 | > 400-810-0598 | > 定 价 47.60元 | 本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题，请到所购图书销售部门联系调换 版权所有 侵权必究 物料号39663-00 研拼课 **第七版前言** 本次修订工作是在遵循"坚持改革、不断锤炼、打造精品"的要求下进行的，修 订的内容主要包括以下几个方面： 1\. 在与中学数学的衔接上，删去了有关集合的内容，保留了映射与函数，便于 在教学时根据实际情况作灵活处理； 2\. 关于一些重要概念的定义作了仔细推敲，力求更加准确、没有瑕疵； 3\. 在坚持工科数学教学要求的前提下，恰当地处理有关定理的假设条件、严 谨性、适用性等问题，使教材进一步完善； 4\. 关于语言文字表达以及一些记号的采用，力求用词规范，表达确切，记号采 用科学合理； 5\. 对于个别内容安排进行了适当调整，并增补少量内容，以便更好地适合教 学的需要； 6\. 对习题配置进一步充实、丰富，并作了一些必要的调整。 本书已经出到了第七版，在本书每一版的修订过程中都得到了广大关注本书 的专家、同仁和读者的关心、帮助和指导。本次修订就吸取了他们对前几版提出的 许多宝贵意见和建议，特别是浙江大学蔡燧林教授、北京师范大学李仲来教授、北 京航空航天大学李心灿教授和徐兵教授、北京交通大学李琦教授等，他们的意见和 建议对本次修订带来了很大帮助，在此谨向他们表示诚挚的谢意。 本次修订工作由同济大学邱伯驺完成。新版中存在的问题，继续欢迎广大专 家、同仁和读者给予批评指正。 编 者 二○一四年一月 考研拼课 公众号： **第六版前言** 本书第六版是在第五版的基础上，遵循以下几条原则进行修订的。 1\. 按照精品课程教材的要求，在保持本书第五版优点、特色的前提下，继续坚 持改革，反复锤炼，努力反映国内外高等数学课程改革和学科建设的最新成果和最 高水平，体现创新教学理念，有利于激发学生自主学习，有利于提高学生的综合素 质和创新能力。 2\. 教材的定位进行适当调整，使得修订后教材深广度的高限与第五版的要求 基本保持不变，而低限完全符合非数学类专业数学基础课程教学指导分委员会制 定的新的"工科类本科数学基础课程教学基本要求",以适合当前我国各类高校工 科类专业本科教学根据不同的教学要求实施分层次教学的需要。为此，在修订版 中，对于超过新的教学基本要求的内容，涉及一节、一目或有标题的内容均采用\* 号标出，其余的情形则采用异体字排印，有关习题也以\*号标出；对于新的教学基 本要求中的个别内容，如涉及向量分析的内容，本书第五版中体现不够，在修订时 给予适当的补充；对于新的教学基本要求中指明的为某些相关专业选用的基本内 容，也以\*号标出。 3\. 教材的习题配置是教材的重要组成部分，是高等数学课程教学中实现教学 要求，提高教学质量的重要环节。修订时努力吸收国内外一些优秀微积分教材在 习题配置方面的优点，对本书第五版中的习题作较多的调整，包括增加概念复习 题、图形题、应用题、综合题等，习题的总量也适当增加。 4\. 根据本书第五版出版以来广大同行和读者在教学实践中的意见和建议，进 行局部修订，包括本书上、下册内容的适当调整。修订时，将"微分方程"一章内容 移至上册作为第七章，"空间解析几何与向量代数"一章内容移至下册作为第八 章。 本版修订工作仍由邱伯驺、骆承钦完成。新版中存在的问题，欢迎广大专家、 同行和读者继续给予批评指正。 编 者 二O○ 六年七月 研拼课 **第五版前言** 本书第五版是在第四版的基础上，根据我们多年的教学改革实践，按照新形势 下教材改革的精神，进行全面修订而成的。在修订中，我们保留了原教材的系统和 风格及其结构严谨、逻辑清晰、叙述详细、通俗易懂、例题较多、便于自学等优点，同 时注意吸收当前教材改革中一些成功的改革举措，使得新版能更适合当前教学的 需要，成为适应时代要求、符合改革精神又继承传统优点的教材。 新版为更好地与中学数学教学相衔接，上册从一般的集合、映射引入函数概 念，精简了基本初等函数的基础内容；为有利于培养学生的能力和数学素养，渗透 了一些现代数学的思想、语言和方法，适当引用了一些数学记号和逻辑符号，文字 作了适当简化；为适应高等数学课程教学时数减少的情况，在保证《高等数学课程 教学基本要求》的前提下，对一些内容作了适当精简和合并；在应用方面，增加了一 些微积分在科学技术、经济管理和日常生活等方面的应用性例题和习题。对第四 版中存在的个别问题，这次也作了修订。修改较多的部分涉及函数、极限及向量代 数等内容。 这次修订中，我系的广大教师提出了许多宝贵的意见和建议，特别是郭镜明教 授提供了不少好的建议，我们在此表示诚挚的谢意。 本版修订工作由邱伯驺、骆承钦完成。新版中存在的问题，欢迎广大专家、同 行和读者批评指正。 编 者 二○○一年十月 考研拼课 **第四版前言** 关于本书的修订问题，全国高校工科数学课程教学指导委员会曾于1992年5 月的工作会议上进行了讨论，与会代表们希望本书修改后能更加适应大多数院校 的需要，这也正是我们的愿望。因此，我们在修订时，对不标\*号的部分，注意控制 其深广度，以期使它尽量符合高等工业院校的《高等数学课程教学基本要求》(后 称"基本要求");同时仍保留标\*号的内容，这些内容都是超出"基本要求"的，可 供对数学要求稍高的专业采用。 兄弟院校的同行，对本书此次修订也提出了不少具体意见，修订时我们都作了 认真考虑。在此，我们对课委会及同行们表示衷心的谢意。齐植兰、赵中时、谢树 艺三位教授审阅了本书第四版书稿，并提出不少宝贵意见，对此我们表示感谢。 本版在每章末增加了总习题，希望这些总习题在检查学习效果以及复习方面 能发挥作用。 本书中用到二、三阶行列式的一些知识，部分读者由于阅读本书前尚未学过这 方面的内容，因而产生学习上的困难。为此，本版上册增加了一个附录，用尽可能 少的篇幅介绍有关二、三阶行列式的一些简单知识。 本书从第二版起的修订工作均由同济大学承担。第二版修订工作的正文部分 由王福楹、邱伯驺完成，习题部分由宣耀焕、郭镜明、黄忠湛、王章炎完成。参加第 三版修订工作的有王福楹、邱伯驺、骆承钦、王章炎。参加第四版修订工作的有王 福楹、邱伯驺、骆承钦。 编 者 一九九三年十二月 A 号 。拷研拼味 **第一版前言** 本书分上、下两册。上册包括一元函数微积分学、空间解析几何与向量代数， 下册包括多元函数微积分学、级数、微分方程、线性代数和概率论。各章配有习题， 书末附有习题答案。 本书可作为高等学校工科高等数学课程的试用教材或教学参考书。 参加本书编写工作的有同济大学王福楹、王福保、蔡森甫、邱伯驺，上海交通大 学王嘉善，上海纺织工学院巫锡禾，上海科技大学蔡天亮，上海机械学院王敦珊、周 继高，上海铁道学院李鸿祥等同志。 本书由上海海运学院陆子芬教授主审。参加审稿的还有大连工学院刘锡琛， 合肥工业大学万迪生、何继文，成都电讯工程学院冯潮清，西北工业大学王德如，浙 江大学盛骤、孙玉麟，太原工学院徐永源、张宝玉，上海海运学院朱幼文、卢启兴等 同志。 审稿同志都认真审阅了原稿，并提出了不少改进意见，对此我们表示衷心感 谢 。 限于编者水平，同时编写时间也比较仓促，因而教材中一定存在不妥之处，希 望广大读者提出批评和指正。 编 者 一九七八年三月 考研拼课 公 你 [总习题三 181](#bookmark1) [**第四章** **不定积分** 184](#bookmark2) [第一节 不定积分的概念与性质 184](#bookmark3) [一、原函数与不定积分的概念(184) 二、基本积分表(188) 三、不定](#bookmark4-1) [积分的性质(189) 习题4-1(192)](#bookmark5) [第二节 换元积分法 193](#bookmark6) [一、第一类换元法(194)二、第二类换元法(200) 习题4-2(207)](#bookmark7) [第三节 分部积分法 208](#bookmark8) [习题4-3(212)](#bookmark9) [第四节 有理函数的积分 213](#bookmark10) [一、有理函数的积分(213) 二、可化为有理函数的积分举例(216)](#bookmark11) [习题4-4(218)](#bookmark12) [第五节 积分表的使用 219](#bookmark13) [习题4-5(221)](#bookmark14) [总习题四 222](#bookmark15) [**第五章** **定积分** 224](#bookmark216) [第一节 定积分的概念与性质 224](#bookmark17) [一、定积分问题举例(224) 二、定积分的定义(226) 三、定积分的](#bookmark18) [近似计算(229)四、定积分的性质(232) 习题5-1(236)](#bookmark18) [第二节 微积分基本公式 237](#bookmark19) [一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系(237) 二、积分](#bookmark20) [上限的函数及其导数(238)三、牛顿-莱布尼茨公式(240)](#bookmark20) [习题5-2(244)](#bookmark21) [第三节 定积分的换元法和分部积分法 246](#bookmark225) [一、定积分的换元法(246)二、定积分的分部积分法(252)](#bookmark23) [习题5-3(254)](#bookmark24) [第四节 反常积分 256](#bookmark25) [一、无穷限的反常积分(256)二、无界函数的反常积分(259)](#bookmark26) [习题5-4(262)](#bookmark27) [第 五 节 反常积分的审敛法 I 函 数 262](#bookmark28) [一、无穷限反常积分的审敛法(263)二、无界函数的反常积分的](#bookmark29) [审敛法(266) 三、I 函数(268) · 习题5-5(270)](#bookmark29) [总习题五 270](#bookmark30) [**第六章** **定积分的应用** 274](#bookmark31) [第一节 定 积 分 的 元 素 法 考 研 拼..........................................274](#bookmark32) [第二节. 定积分在几何学上的应用 276](#bookmark33) [一、平面图形的面积(276) 二、体积(280) 三、平面曲线的弧长(284)](#bookmark34) [习题6-2(286)](#bookmark35) [第三节 定积分在物理学上的应用 289](#bookmark36) [一、变力沿直线所作的功(289)二、水压力(291) 三、引力(292)](#bookmark37) [习题6-3(293)](#bookmark38) [总习题六 294](#bookmark39) [**第七章** **微分方程** 297](#bookmark40) [第一节 微分方程的基本概念 297](#bookmark41) [习题7-1(301)](#bookmark42) [第二节 可分离变量的微分方程 302](#bookmark43) [习题7-2(308)](#bookmark247) [第三节 齐次方程 308](#bookmark45) [一、齐次方程(308)'二、可化为齐次的方程(312) 习题7-3(314)](#bookmark46) [第四节 一阶线性微分方程 314](#bookmark47) [一、线性方程(314)'二、伯努利方程(319) 习题7-4(320)](#bookmark48) [第五节 可降阶的高阶微分方程 321](#bookmark49) [一、y\"=f(x)型的微分方程(321)二、y\"=f(x, y\')型的微分](#bookmark50) [方程(323) 三、y\"=f(y, y\')型的微分方程(326) 习题7-5(328)](#bookmark50) [第六节 高阶线性微分方程 329](#bookmark51) [一、二阶线性微分方程举例(329) 二、线性微分方程的解的](#bookmark52) [结构(331)三、常数变易法(334) 习题7-6(337)](#bookmark52) [第七节 常系数齐次线性微分方程 338](#bookmark53) [习题7-7(346)](#bookmark54) [第八节 常系数非齐次线性微分方程 347](#bookmark55) [一、f(x)=eP\_( x)型(348) 二、f( x)= e \*\[ P₁( x)cos wx+](#bookmark56) [Q。(x)sin wox\]型(350) 习题7-8(354)](#bookmark57) [第 九 节 欧拉方 程 355](#bookmark261) [· 习题7-9(356)](#bookmark59) [第 十 节 常系数线性微分方程组解法举例 357](#bookmark60) [' 习题7-10(359)](#bookmark61) [总习题七 360](#bookmark62) [**附录I 二阶和三阶行列式简介** 363](#bookmark63) [**附录Ⅱ** **基本初等函数的图形** 368](#bookmark64) [**附** **录** **Ⅲ** **几** **种** **常** **用** **的** **曲** **线** **考** **研** **拼** ....................................371](#bookmark65) · IV · **目** **录** [**第一章** **函数与极限** 1](#bookmark66) [第一节 映射与函数 1](#bookmark67) [一、映射(1) 二、函数(3) 习题1-1(16)](#bookmark68) [第二节 数列的极限 18](#bookmark69) [一、数列极限的定义(18)二、收敛数列的性质(23) 习题1-2(26)](#bookmark70) [第三节 函数的极限 27](#bookmark71) [一、函数极限的定义(27) 二、函数极限的性质(32) 习题1-3(33)](#bookmark72) [第四节 无穷小与无穷大 34](#bookmark73) [一、无穷小(34) 二、无穷大(35) 习题1-4(37)](#bookmark74) [第五节 极限运算法则 38](#bookmark75) [习题1-5(45)](#bookmark76) [第六节 极限存在准则 两个重要极限 45](#bookmark77) [习题1-6(52)](#bookmark78) [第七节 无穷小的比较 52](#bookmark79) [习题1-7(55)](#bookmark80) [第八节 函数的连续性与间断点 56](#bookmark81) [一、函数的连续性(56)二、函数的间断点(58) 习题1-8(61)](#bookmark82) [第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 62](#bookmark83) [一、连续函数的和、差、积、商的连续性(62) 二、反函数与复合函数的连续](#bookmark84) [性(62) 三、初等函数的连续性(64) 习题1-9(65)](#bookmark85) [第十节 闭区间上连续函数的性质 66](#bookmark86) [一、有界性与最大值最小值定理(67) 二、零点定理与介值定理(68)](#bookmark87) [\'三、一致连续性(69) 习题1-10(70)](#bookmark88) [总习题一 70](#bookmark89) [**第二章** **导数与微分** 73](#bookmark90) [第一节 导数概念 73](#bookmark91) [一、引例(73)二、导数的定义(75) 三、导数的几何意义(80)](#bookmark92) [四、函数可导性与连续性的关系(82) 习题2-1(83)](#bookmark93) [第二节 函数的求导法则 84](#bookmark94) [一、函数的和、差、积、商的求导法68拼课、反函数的求导法则(87)](#bookmark95) [三 、复合函数的求导法则(89)四、基本求导法则与导数公式(92)](#bookmark96) [习题2-2(94)](#bookmark97) [第 三 节 高 阶 导 数 96](#bookmark98) [习题2-3( 100)](#bookmark99) [第 四 节 隐 函 数 及 由 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 导 数 相 关 变 化 率 101](#bookmark100-1) [一 、隐函数的导数(101) 二、由参数方程所确定的函数的导数(104)](#bookmark101) [三 、相关变化率(108) 习题2-4(108)](#bookmark102) [第 五 节 函 数 的 微 分 110](#bookmark103) [一 、微分的定义(110) 二、微分的几何意义(113) 三、基本初等函数的](#bookmark104) [微分公式与微分运算法则(113) 四、微分在近似计算中的应用(116)](#bookmark104) [习题2-5( 120)](#bookmark105) [总 习 题 二 122](#bookmark106) [**第** **三** **章** **微** **分** **中** **值** **定** **理** **与** **导** **数** **的** **应** **用** 125](#bookmark107) [第 一 节 微 分 中 值 定 理 125](#bookmark108) [一 、罗尔定理(125)二、拉格朗日中值定理(126) 三、柯西中值](#bookmark109) [定理(129) 习题3-1( 132)](#bookmark110) [第 二 节 洛 必 达 法 则 132](#bookmark111) [习题3-2( 137)](#bookmark112) [第 三 节 泰 勒 公 式 137](#bookmark113) [习题3-3( 143)](#bookmark114) [第 四 节 函 数 的 单 调 性 与 曲 线 的 凹 凸 性 144](#bookmark115) [一 、函数单调性的判定法(144)二、曲线的凹凸性与拐点(147)](#bookmark116) [习题3-4( 150)](#bookmark117) [第 五 节 函 数 的 极 值 与 最 大 值 最 小 值 152](#bookmark118) [一 、函数的极值及其求法(152) 二、最大值最小值问题(156)](#bookmark119) [习题3-5( 161)](#bookmark120) [第 六 节 函 数 图 形 的 描 绘 163](#bookmark121) [习题3-6( 167)](#bookmark122) [第 七 节 曲 率 168](#bookmark201) [一 、弧微分(168)二、曲率及其计算公式(169) 三、曲率圆与曲率](#bookmark124) [半径(173)'四、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线(174)](#bookmark124) [习题3-7( 176)](#bookmark125) [第 八 节 方 程 的 近 似 解 177](#bookmark126) [一 、二分法(177) 二、切线法(178) 三、割线法(180)](#bookmark127) [习题3-8( 181)](#bookmark128) 众号 ： [**附录IV 积分表** 374](#bookmark129) [**习题答案与提示** 385](#bookmark130) 公众号： 考研拼课 ·V · []{#bookmark66 .anchor}**第一章** **函数与极限** 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动 的量.所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本 方法.本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念以及它们的一些 性质. []{#bookmark67 .anchor}第一节 映射与函数 映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射 的一种.本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等. **一** **、映** **射** **1.** **映射概念** **定义** 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素 x,按法则f,在 Y中有唯一确定的元素y 与之对应，那么称f 为从X 到 Y 的映射， 记作 *f:X→ Y,* 其中y 称为元素x (在映射f 下)的像，并记作f(x), 即 y=f(x), 而元素x 称为元素y (在映射f 下)的一个原像；集合X 称为映射f 的定义域，记 作 D,,即 D₁=X;X 中所有元素的像所组成的集合称为映射f 的值域，记作 R,或 f(X), 即 R,=f(X)={f(x)Ix∈X}. 在上述映射的定义中，需要注意的是： (1)构成一个映射必须具备以下三个要素：集合 X, 即定义域 D,=X; 集合 Y,即值域的范围：R,CY; 对应法则f, 使对每个 x∈X, 有唯 一确定的 y= f(x)与之对应. (2)对每个x∈X,元素x 的像y 是唯一的；而对每个y∈R,, 元素y 的原像不 一定是唯一的；映射f 的值域 R,是 Y的一子集理即R,CY, 不一定R,=Y. 例1 设f:R→R, 对每个x∈R,f(x)=x². 显然，f 是一个映射，f 的定义域 D, =R, 值域 R₁={yly≥0}, 它是R 的一个真子集.对于R,中的元素y,除y=0 外，它 的原像不是唯一的.如 y=4 的原像就有 x=2 和 x=-2 两个. 例 2 设X={(x,y)1x²+y²=1},Y={(x,0)11xl≤1},f:X→Y, 对每个(x,y) ∈X,有唯一确定的(x,0)∈Y 与之对应.显然f 是一个映射，f 的定义域 D,=X, 值 域 R,=Y. 在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点 投影到 x 轴的区间\[-1,1\]上. 例3 设.{width="1.3475546806649168in" height="0.30560258092738407in"},对每个 {width="0.8167169728783902in" height="0.30551399825021874in"},f(x)=sin x.f是一个 映射，其定义域 {width="0.8341371391076116in" height="0.2853073053368329in"} ,值域R,=\[-1,1\]. 设f 是从集合X 到集合Y 的映射，若R,=Y, 即 Y 中任一元素y 都是X 中某 元素的像，则称f 为X 到 Y 上的映射或满射；若对 X 中任意两个不同元素 x₁ ≠ x₂,它们的像f(x,)≠f(x₂),则称f 为 X 到 Y 的单射；若映射f 既是单射，又是满 射，则称f 为一一映射(或双射). 上面例1中的映射，既非单射，又非满射；例2中的映射不是单射，是满射； 例3中的映射，既是单射，又是满射，因此是一一映射. 映射又称为算子.根据集合X、Y的不同情形，在不同的数学分支中，映射又 有不同的惯用名称.例如，从非空集X 到数集 Y 的映射又称为X 上的泛函，从非 空集 X 到它自身的映射又称为 X 上的变换，从实数集(或其子集)X 到实数集 Y 的映射通常称为定义在X 上的函数. 2\. 逆映射与复合映射 设f 是 X 到 Y的单射，则由定义，对每个 y∈R,, 有唯一 的 x∈X, 适合 f(x)=y. 于是，我们可定义一个从 R,到 X 的新映射g, 即 *g:R→X,* 对每个y∈R,, 规定g(y)=x, 这x 满足f(x)=y. 这个映射 g 称为f 的逆映射，记作f¹, 其定义域D-₁=R,, 值域Ry₋₁=X. 按上述定义，只有单射才存在逆映射.所以，在例1、例2、例3中，只有例3 中的映射f 才存在逆映射f¹, 这个f 就是反正弦函数的主值 f¹(x)=arcsin x,x ∈\[-1,1\], 其定义域 D=\[-1,1\], 值域 {width="1.0069641294838145in" height="0.3124792213473316in"} 设有两个映射 *g:X→ Y₁, f:Y₂→Z,* 其中 Y₁CY₂, 则由映射g 和f 可以定出一个从 X 到 Z 的对应法则，它将每个 x∈X 映成f\[g(x)\]∈Z. 显然，这个对应法则确定了一个从X 到 Z 的映射，这个 映射称为映射g 和f 构成的复合映射，记作fog,即 *fog:X→Z,(fog)(x)=f\[g(x)\],x ∈X.* 由复合映射的定义可知，映射g 和f 构成复合映射的条件是：g 的值域Rg必 须包含在f 的定义域内，即 R₆CD. 否则，不能构成复合映射.由此可以知道，映 射g 和f 的复合是有顺序的，fog 有意义并不表示 gof 也有意义 . 即使 fog与gof 都有意义，复合映射fog 与 gof 也未必相同. 例4 设有映射g:R→ \[-1,1\], 对每个x∈R,g(x)=sin x;映射f:\[-1,1\]→ \[0,1\],对每个 u∈\[-1,1\],f(u)= √ 1-u², 则映射 g 和f 构成的复合映射 fog:R→ \[0,1\], 对每个x∈R, 有 (fog)(x)=f\[g(x)\]=f(sinx)=√ 1-sin²x=1cos xl. 二 、函 数 1\. 函数的概念 定义 设数集DCR, 则称映射f:D→R 为定义在D 上的函数，通常简记为 y=f(x),x∈D, 其中x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记作 D, 即 D=D. 函数的定义中，对每个x∈D, 按对应法则f, 总有唯一确定的值y 与之对应， 这个值称为函数f 在x 处的函数值，记作f(x), 即 y=f(x). 因变量 y 与自变量x 之间的这种依赖关系，通常称为函数关系.函数值f(x) 的全体所构成的集合称 为函数f 的值域，记作R,或f(D), 即 R,=f(D)={yly=f(x),x∈D}. 需要指出，按照上述定义，记号f 和f(x) 的含义是有区别的：前者表示自变 量x 和因变量y 之间的对应法则，而后者表示与自变量x 对应的函数值.但为了 叙述方便，习惯上常用记号"f(x),x∈D" 或"y=f(x),x∈D" 来表示定义在 D 上 的函数，这时应理解为由它所确定的函数f. 表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f 外，还可用其他的英文字 母或希腊字母，如 "g""F""φ" 等.相应地，函数可记作 y=g(x),y= F(x),y=φ(x) 等.有时还直接用恩变量的铠号来表示函数，即把函数记作 y= y(x). 但在同一个问题中，讨论到几个不同的函数时，为了表示区别，需用不同 的记号来表示它们. 函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在 R 内，因此构成函数的要素 是：定义域 D,及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么 这两个函数就是相同的，否则就是不同的. 函数的定义域通常按以下两种情形来确定： 一种是对有实际背景的函数，根 据实际背景中变量的实际意义确定.例如，在自由落体运动中，设物体下落的时 间为t,下落的距离为s,开始下落的时刻t=0, 落地的时刻t=T, 则 s 与 t 之间的 函数关系是 {width="0.4861340769903762in" height="0.29858377077865267in"} ,t∈\[0,T\]. 这个函数的定义域就是区间\[0,T\];另一种是抽象地用算式表达的函数，通常约 定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称 为函数的自然定义域.在这种约定之下， 一般的用算式表达的函数可用"y= f(x)" 表达，而不必再表出 D. 例如，函数 y=√ 1-x² 的 定 义 域 是 闭 区 间 \[-1,1\],函数{width="0.6190376202974628in" height="0.3888899825021872in"}的定义域是开区间(-1,1). 表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法(公式法),这在中学 里大家已经熟悉.其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面 上的点集 {P(x,y)Iy=f(x),x∈D} 称为函数y=f(x),x ∈D的图形(图1-1).图中的R,表示函数y=f(x)的值域. 下面举几个函数的例子. 例 5 函数 y=2 的定义域 D=(-∞,+∞), 值域 W={2}, 它的图形是一条平行于x 轴的直线，如 图1- 2所示 . {width="1.7708508311461066in" height="1.4652569991251094in"} {width="1.638911854768154in" height="1.1527515310586176in"}老 泳 图1-2 例 6 函数 {width="1.3055129046369205in" height="0.3706824146981627in"} 的定义域 D=(-∞,+∞), 值域 R,=(0,+∞), 它的图形如图1-3所示.这函数称 为绝对值函数. 例 7 函数 {width="1.3888648293963255in" height="0.5847944006999125in"} 称为符号函数，它的定义域 D=(-∞,+∞), 值域 R₁={-1,0,1}, 它的图形如图 1-4所示.对于任何实数x, 下列关系成立： x=sgn {width="1.7153029308836396in" height="1.10413823272091in"} 图1-3 x·Ixl. {width="1.8610892388451443in" height="1.520893482064742in"} 图1-4 例 8 设x 为任一实数，不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作\[x\]. 例如，{width="0.5347003499562555in" height="0.31942585301837273in"},\[ √ 2\]=1,\[π\]=3,\[-1\]=-1,\[-3.5\]=-4.把x 看作变量，则 函数 y=\[x\] 的定义域 D=(-∞,+∞), 值域 R,=Z. 它的图形如图1-5所示，这图形称为阶梯 曲线.在x 为整数值处，图形发生跳跃，跃度为1.这函数称为取整函数. 在例6和例7中看到，有时一个函数要用几个式子表示.这种在自变量的不 同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数. 例 9 函数 {width="1.7153029308836396in" height="0.46712160979877515in"} 是一个分段函数.它的定义撼 。\[皓 当 x∈\[0,1\] 时，对应的函数值 f(x)=2 √x;当x=(1,+∞) 时，对应的函数值f(x)=1+x. 例如，{width="0.6805511811023622in" height="0.30557305336832896in"},所以 {width="1.9027974628171478in" height="0.3611636045494313in"} 1\],所以f(1)=2 √ 1=2;3∈(1,+∞○), 所 以 f(3)=1+3=4. 这函数的图形如图1-6所示. {width="1.9930807086614173in" height="2.0971839457567802in"} 图1-5 {width="1.451385608048994in" height="1.7152843394575679in"} 图1-6 用几个式子来表示一个(不是几个!)函数，不仅与函数定义并无矛盾，而且 有现实意义.在自然科学和工程技术中，经常会遇到分段函数的情形.例如在等 温过程中，气体压强p 与体积 V 的函数关系，当V 不太小时依从玻意耳(Boyle)定 律；当 V 相当小时，函数关系就要用范德瓦耳斯(van der Waals)方程来表示，即 {width="1.493779527559055in" height="0.7093230533683289in"} 其中k,α,β,γ都是常量. 2\. 函数的几种特性 (1)函数的有界性 设函数f(x) 的定义域为D, 数集 XCD. 如果存在数 K₁, 使得 *f(x)≤K₁* 对任一x∈X 都成立，那么称函数f(x) 在 X 上有上界，而 K, 称为函数f(x) 在 X 上的一个上界.如果存在数K₂, 使得 f(x)≥K₂ 对任一x∈X 都成立，那么称函数f() 在考蛋荐平界，而K₂ 称为函数f(x) 在X 上的一个下界.如果存在正数M, 使得 If(x)\|≤M 对任一x∈X 都成立，那么称函数f(x) 在X 上有界.如果这样的 M不存在，就称 函数f(x) 在 X 上无界；这就是说，如果对于任何正数 M, 总存在 x₁∈X, 使 If(x₁)I\>M, 那么函数f(x)在 X 上无界. 例如，就函数f(x)=sin x在(-∞,+∞)内来说，数1是它的一个上界，数-1 是它的一个下界(当然，大于1的任何数也是它的上界，小于-1的任何数也是它 的下界).又 Isin xl≤1 对任一实数x 都成立，故函数f(x)=sin x 在(-∞,+∞)内是有界的.这里M=1 (当然也可取大于1的任何数作为M 而使If(x)I≤M 对任一实数x 都成立). 又如函数.{width="0.5473195538057742in" height="0.29858377077865267in"}在开区间(0,1)内没有上界，但有下界，例如1就是它的 一个下界.函数.{width="0.5667727471566054in" height="0.29858377077865267in"}在开区间(0,1)内是无界的，因为不存在这样的正数 M, 使{width="0.5644291338582678in" height="0.34721675415573056in"}对于(0,1)内的一切x 都成立.但是{width="0.6358344269466317in" height="0.31250437445319335in"}在区间(1,2)内是 有界的，例如可取M=1 而使 {width="0.4722014435695538in" height="0.34180555555555553in"}对于一切x∈(1,2) 都成立. 容易证明，函数f(x)在 X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有 下界. (2)函数的单调性 设函数f(x)的定义域为D, 区间ICD. I 上任意两点x₁及 x₂, 当x₁\f(x₂); 那么称函数f(x) 在区间I 上是单调减少的(图1-8).单调增加和单调减少的函 数统称为单调函数. 例如，函数f(x)=x² 在区间(0,+∞)上是单调增加的，在区间(-∞,0\]上是 单调减少的；在区间(-∞,+∞)内函数f(x)=x² 不是单调的(图1-9). 又例如，函数f(x)=x³在区间(-∞,+∞)内是单调增加的(图1-10). (3)函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域D 关于原点对称.如果对于任一 x∈D, {width="1.694426946631671in" height="1.7916830708661418in"} 图1-7 {width="1.4930129046369205in" height="1.4444641294838145in"} 图1-9 {width="1.694426946631671in" height="1.8323972003499562in"} 图1-8 {width="1.5138549868766404in" height="1.7291272965879265in"} 图1-10 恒成立，那么称f(x) 为偶函数.如果对于任一x∈D, f(-x)=-f(x) 恒成立，那么称f(x) 为奇函数. 例如，f(x)=x² 是偶函数，因为f(-x)=(-x)²=x²=f(x), 又例如，f(x)=x³是 奇函数，因为f(-x)=(-x)³=-x³=-f(x). 偶函数的图形关于y 轴是对称的.因为若f(x) 是偶函数，则f(-x)=f(x), 所 以如果A(x,f(x))是图形上的点，那么与它关于y 轴对称的点A\'(-x,f(x))也在 图形上(图1-11). 奇函数的图形关于原点是对称的. 因为若f(x) 是奇函数，则f(-x)= -f(x), 所以如果 A(x,f(x)) 是图形上的点，那么与它关于原点对称的点 A"(-x,-f(x)) 也在图形上(图1-12). 函数 y=sin x 是奇函数.函数y=cosx 是偶函数.函数y=sin x+cos x 既非奇 函数，也非偶函数. 号： {width="1.833325678040245in" height="1.1944564741907262in"} 图1-11 {width="1.673614391951006in" height="1.61707239720035in"} 图1-12 (4)函数的周期性 设函数f(x) 的定义域为D. 如果存在一个正数l,使得 对于任一x∈D 有(x±l)∈D, 且 f(x+l)=f(x) 恒成立，那么称f(x) 为周期函数，l 称 为f(x) 的周期，通常我们说周期函数的 周期是指最小正周期. 例如，函数sin x,cosx 都是以2π为周期的周期函数；函数 tan x是以π为周 期的周期函数. 图1- 13表示周期为l的一个周期函数.在每个长度为l 的区间上，函数图形 有相同的形状. {width="2.3819160104986876in" height="0.7916579177602799in"} 图1-13 并非每个周期函数都有最小正周期.下面的函数就属于这种情形. 例10 狄利克雷(Dirichlet) 函数 {width="1.2847364391951006in" height="0.4375120297462817in"} 容易验证这是一个周期函数，任何正有理数r 都是它的周期.因为不存在最 小的正有理数，所以它没有最小正周期. 3\. 反函数与复合函数 作为逆映射的特例，我们有以下反函数的概念. 设函数f:D→f(D) 是单射，则密存在逆映射f¹:f(D)→D, 称此映射f¹ 为 函 数f 的反函数. 按此定义，对每个y∈f(D), 有唯一的 x∈D, 使得f(x)=y, 于是有 *f¹(y)=x.* 这就是说，反函数f¹ 的对应法则是完全由函数f 的对应法则所确定的. 例如，函数 y=x³,x∈R 是单射，所以它的反函数存在，其反函数为 {width="0.35414588801399827in" height="0.20836067366579178in"},y∈R. 由于习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示，于是y=x³,x∈R 的反函数通 常写作 {width="0.33332130358705164in" height="0.20836067366579178in"},x ∈R. 一般地，y=f(x),x∈D 的反函数记成y=f\'(x),x∈f(D). 若f 是定义在D 上的单调函数，则f:D→f(D) 是单射，于是f 的反函数f¹ 必 定存在，而且容易证明f¹ 也是f(D) 上的单调函数.事实上，不妨设f 在D 上单调 增加，现在来证明f¹ 在f(D) 上也是单调增加的. 任取y₁,y₂∈f(D), 且y₁\x₂, 则由f(x) 单调增加，必有y₁\>y₂; 如果x₁=x₂, 则显然有y₁=y₂ . 这 两种情形都与假设y₁\0 且 a≠1), 对数函数：y=logax(a\>0 且 a≠1, 特别当a=e① 时，记为y=ln x), 三角函数：如y=sin x,y=cos x,y=tan x等， 反三角函数：如 y=arcsin x,y=arccos x,y=arctan x 等. 以上这五类函数统称为基本初等函数. 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所 构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如 y=√ 1-x², y=sin²x, {width="0.7222331583552056in" height="0.36112423447069114in"} 等都是初等函数.在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数. 应用上常遇到以 e 为底的指数函数y=e 和 y=e⁻ 所产生的双曲函数以及它 们的反函数------反双曲函数.它们的定义如下： ① e是 一 个 无 理 数 ， 这 个 数 的 意 义 见 本 章 第 六 节3: 双曲正弦 {width="0.8062095363079615in" height="0.28002952755905514in"} 双曲余弦 {width="1.1597320647419072in" height="0.34025043744531935in"} 双曲正切 这三个双曲函数的简单性态如下： 双曲正弦的定义域为(-∞,+∞o), 它是奇函数，它的图形通过原点且关于原 点对称.在区间(-∞,+∞)内它是单调增加的. 当x 的绝对值很大时，它的图形 在第一象限内接近于曲线 {width="0.5277777777777778in" height="0.2917191601049869in"},在第三象限内接近于曲线 {width="0.7638495188101487in" height="0.2917191601049869in"} 图 {width="0.7925459317585302in" height="0.2932863079615048in"}1-15). 双曲余弦的定义域为(-∞,+∞),它是偶函数，它的图形通过点(0,1)且关 于 y 轴对称.在区间(-∞,0)内它是单调减少的.在区间(0,+∞)内它是单调增 加的 .ch 0=1 是这函数的最小值. 当x 的绝对值很大时，它的图形在第一象限内 接近于曲线 {width="0.4722736220472441in" height="0.2916305774278215in"},在第二象限内接近于曲线 {width="0.513918416447944in" height="0.29860126859142605in"} (图1- 15) . 双曲正切的定义域为(-∞,+∞),它是奇函数，它的图形通过原点且关于原 点对称.在区间(一∞,+∞)内它是单调增加的. 它的图形夹在水平直线y=1 及y =-1之间，且当x 的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于直线y=1, 而 在第三象限内接近于直线y=-1 (图1- 16) . {width="1.6180807086614173in" height="2.069478346456693in"} 图1-15 {width="1.6180818022747157in" height="1.5069510061242344in"} 图1-16 根据双曲函数的定义，可证下列四个公式： sh(xty) 。sh xsh y, (1-3) sh(x-y)=sh xch y-ch xsh y, (1-4) ch(x+y)=ch xch y+sh xsh y, (1-5) ch(x-y)=ch xch y-sh xsh y. (1-6) 我们来证明公式(1-3),其他三个公式读者可自行证明. 由定义，得 sh xch y+ch xsh y {width="2.02079615048119in" height="0.3472211286089239in"} {width="2.680534776902887in" height="0.3472211286089239in"} {width="1.4375131233595801in" height="0.3403390201224847in"} 由以上几个公式可以导出其他一些公式，例如： 在公式(1-6)中令x=y, 并注意到 ch0=1, 得 ch²x-sh²x=1; (1-7) 在公式(1-3)中令 x=y, 得 sh 2x=2sh xch x; (1-8) 在公式(1-5)中令x=y, 得 ch 2x=ch²x+sh²x. (1-9) 以上关于双曲函数的公式(1-3)至(1-9)与三角函数的有关公式相类似， 把它们对比可帮助记忆. 双曲函数y =sh x,y=ch x(x≥0),y=th x的反函数依次记为 反双曲正弦 反双曲余弦 反双曲正切 y=arsh y=arch y=arth x, x, x. 这些反双曲函数都可通过自然对数函数来表示，分别讨论如下： 先讨论双曲正弦 y=sh x 的反函数. 由 x=sh y,有 {width="0.6250568678915136in" height="0.3263965441819773in"} 令 u=e³, 则由上式有 u²-2xu-1=0. 这是关于u 的一个二次方程，它的根为 u=x±√x²+1. 因 u=e\'\>0, 故上式根号前应取正号，于是 = √ 跨 岳 课 由于y=lnu, 故得反双曲正弦 y=arsh x=ln(x+√x²+1). {width="1.5555139982502186in" height="1.2777132545931758in"}函数 y=arsh x 的定义域为(-∞0,+∞),它是奇函数，在区间(-∞0,+∞)内为 单调增加。由y=sh x 的图形，根据反函数的作图法，可得 y=arsh x 的图形如图 1-17所示. 下面讨论双曲余弦 y=ch x(x≥0)的反函数. 由 x=chy(y≥0), 有 {width="0.5693996062992126in" height="0.294413823272091in"},y≥0. 由此得 e³=x±√ 故 y=ln(x±√x²-1). 上式中x 的值必须满足条件x≥1, 而其中平方根前 的符号由于y≥0 应取正.故 y=ln(x+√x²-1). {width="0.3194739720034996in" height="6.976159230096238e-3in"}上述双曲余弦 y=chx(x≥0) 的反函数称为反双曲余弦的主值，记作 y.= arch x,即 y=arch x=ln(x+√x²-1). 这样规定的函数 y=archx 的定义域为(1,+∞),它在区间(1,+∞)上是单 调增加的(图1-18). 类似地，可得反双曲正切 {width="1.2222594050743658in" height="0.3263823272090989in"} 这函数的定义域为开区间(-1,1),它在开区间(-1,1)内是单调增加的奇函数。 它的图形关于原点对称(图1-19). {width="1.3124792213473315in" height="1.1944400699912512in"} 图1-18 {width="1.6736198600174979in" height="1.5198643919510062in"} 图1-19 []{#bookmark68 .anchor}习 题 1-1 1\. 求下列函数的自然定义域： (1)y=√3x+2; (2) {width="0.46533464566929134in" height="0.25688320209973753in"} \(3\) {width="0.8403193350831146in" height="0.2638604549431321in"} (4) {width="0.5417093175853018in" height="0.3263823272090989in"}; (5)y=sin√x; (6)y=tan(x+1); (7)y=arcsin(x-3); (8) {width="1.1180643044619423in" height="0.2639501312335958in"} (9)y=In(x+1); (10) {width="0.35418416447944007in" height="0.18756452318460193in"} 2\. 下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同?为什么? (1)f(x)=lgx²,g(x)=21g x; (2)f(x)=x,g(x)=√x²; (3)f(x)=√x²-x,g(x)=x³x-1; {width="0.24303477690288713in" height="6.976159230096238e-3in"} (4)f(x)=1,g(x)=sec²x-tan²x. 3 . 设 {width="1.6043963254593177in" height="0.5585433070866141in"} 求 {width="1.347189413823272in" height="0.2847014435695538in"},φ(-2),并作出函数y=φ(x)的图形. 4\. 试证下列函数在指定区间内的单调性： \(1\) {width="0.4236045494313211in" height="0.22226924759405076in"} (-∞,1); (2)y=x+ln x,(0.+∞). 5\. 设f(x)为定义在(-1,1)内的奇函数，若f(x)在(0,1)内单调增加，证明f(x)在(-1,0) 内也单调增加. 6\. 设下面所考虑的函数都是定义在区间(-1,1)上的.证明： (1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数； (2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积 是奇函数. 7\. 下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数? (1)y=x²(1-x²); (2)y=3x²-x³; \(3\) {width="0.4722244094488189in" height="0.29167760279965005in"} (4)y=x(x-1)(x+1); (5)y=sin x-cos x+1; (6) 课 8\. 下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数，指出其周期： (1)y=cos(x-2); (2)y=cos 4x; (3)y=1+sinπx; (4)y=xcos x; (5)y=sin²x. 9\. 求下列函数的反函数： (1)y=³x+1;{width="0.23058945756780402in" height="6.87007874015748e-3in"} (2) {width="0.39524278215223096in" height="0.26387029746281715in"} \(3\) {width="1.138928258967629in" height="0.26395997375328084in"} (4) {width="1.4860968941382326in" height="0.2777909011373578in"} (5)y=1+ln(x+2); (6) {width="0.4722386264216973in" height="0.2847517497812773in"} 10\. 设函数f(x)在数集 X 上有定义，试证：函数f(x)在X 上有界的充分必要条件是它在 X 上既有上界又有下界. 11\. 在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量 值 x₁ 和 x₂ 的函数值： (1)y=u²,u=sin x,{width="0.8686548556430446in" height="0.2361187664041995in"} (2)y=sin u,u=2x, {width="0.8610761154855643in" height="0.22915791776027997in"} (3)y=√u,u=1+x²,x₁=1,x₂=2; (4)y=e",u=x²,x₁=0,x₂=1; (5)y=u²,u=e,x₁=1,x₂=-1. 12\. 设f(x) 的定义域D=\[0,1\], 求下列各函数的定义域： (1)f(x²); (2)f(sin x); (3)f(x+a)(a\>0); (4)f(x+a)+f(x-a)(a\>0). 13 .设 {width="1.1600470253718285in" height="0.5074759405074366in"} g(x)=e, 求fg(x)\] 和g\[f(x)\], 并作出这两个函数的图形. {width="2.3124825021872266in" height="0.7500284339457568in"}14. 已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角φ=40°(图1-20).当过水断面 ABCD 的面积为 定值S。时，求湿周 L.(L=AB+BC+CD) 与水深h 之间的函数关系式，并指明其定义域. 15\. 设 x0y 平面上有正方形D={(x,y)I 0≤x≤1,0≤y≤1} 及直线l:x+y=t(t≥0). 若S(t) 表示正方形D 位于直线l 左下方部分 的面积，试求S(t) 与t 之间的函数关系. 16\. 求联系华氏温度(用F 表示)和摄氏 图1-20 温度(用 C 表示)的转换公式，并求 (1)90F 的等价摄氏温度和-5℃的等价华氏温度； (2)是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的?如果存在，那 么该温度值是多少? 17\. 已知Rt△ABC 中，直角边AC、BC的长度分别为20、15,动点P 从 C出发，沿三角形边 界按C→B→A方向移动；动点Q 从 C 出发，沿三角形边界按 C→A→B方向移动，移动到两动 点相遇时为止，且点Q 移动的速度是点P 移动的速度的2倍.设动点P 移动的距离为x, △CPQ 的面积为y,试求y 与 x 之间的函数关系. 18\. 利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据①以及指数模型来推测2020年的世 界人口. | > 年份 | > 人口数/百万 | > 年增长率/% | | > 2008 | > 6708.2 | > 1.166 | | > 2009 | > 6786.4 | > 1.140 | | > 2010 | > 6863.8 | > 1.121 | | > 2011 | > 6940.7 | > 1.107 | | > 2012 | > 7017.5 | > 1.107 | | > 2013 | > 7095.2 | | []{#bookmark69 .anchor}第 二 节 数列的极限 一 、数 列 极 限 的 定 义 极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的 .例如，我国古代 数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法 ~~·~~ 割 圆 术，就是极限思想在几何学上的应用. 设有 一 圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A₁ ; 再 作 内 接 正 十 二 边 形，其面积记为 A₂ ; 再作内接正二十四边形，其面积记为A₃ ; 如此下去，每次边数 加倍， 一般地；把内接正6×2"⁻¹边形的面积记为 A 。(n∈N). 这样，就得到一系 列内接正多边形的面积 A₁,A₂,A₃, ... ,A, ... , 它们构成 一 列有次序的数 . 当n 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以 {width="1.2708727034120735in" height="6.944444444444444e-3in"} ①这里世界人口数据是指每年年中的人号数. A,作为圆面积的近似值也越精确.但是无论 n 取得如何大，只要 n 取定了，A,终 究只是多边形的面积，而还不是圆的面积.因此，设想n 无限增大(记为 n→∞, 读 作 n 趋于无穷大),即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边 形无限接近于圆，同时A, 也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理 解为圆的面积.这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数(所谓数列) A₁,A₂,A₃, ... ,A,, ... 当 n→∞ 时的极限.在圆面积问题中我们看到，正是这个数列 的极限才精确地表达了圆的面积. 在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基 本方法，因此有必要作进一步的阐明. 先说明数列的概念.如果按照某一法则，对每个 n∈N, 对应着一个确定的 实数xn, 这些实数xn按照下标 n 从小到大排列得到的一个序列 x₁,x₂,x₃, ... ,xn, ... 就叫做数列，简记为数列{x 。ł . 数列中的每一个数叫做数列的项，第 n 项 x 叫做数列的一般项(或通项). 例如： {width="1.4305850831146107in" height="0.31941272965879264in"} 2,4,8,...,2",... ; {width="1.3263637357830271in" height="0.319413823272091in"} 1,-1,1,...,(-1)\"+¹,... ; 2 {width="1.5486526684164479in" height="0.31941272965879264in"} {width="0.6805839895013124in" height="0.32636264216972877in"}都是数列的例子，它们的一般项依次为 {width="0.29988845144356957in" height="0.26457567804024495in"}{width="1.3347320647419072in" height="0.31941272965879264in"} 在几何上，数列{x。}可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x₁,x₂, x₃,...,xn,...(图1-21). 数列{xn} 可看作自变量为正整数 n 的函数 {width="1.6249923447069117in" height="0.21175853018372703in"} xn=f(n),n∈N. 图1-21 当自变量 n 依次取1,2,3, ... 一切正整数时，对应的函数值就排列成数列 *{x}.* 对于我们要讨论的问题来说，重要的是：当n 无限增大时(即 n→ ∞ 时),对 应的xn=f(n) 是否能无限接近于某个确定的数值?如果能够的话，这个数值等 于多少? {width="1.527820428696413in" height="0.319501312335958in"}我们对数列 2 进行分析.在这数列中， {width="1.8611264216972878in" height="0.34721128608923885in"} 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值 Ib-al 来度量(在数轴上1b-al 表示点a 与 点b 之间的距离),Ib-al 越小，a 与 b 就越接近. 就数列(2-1)来说，因为 {width="1.6458234908136482in" height="0.37500984251968505in"} 由此可见，当n 越来越大时，{width="0.1528073053368329in" height="0.31941272965879264in"}越来越小，从而x 就越来越接近于1. 因为只要 n 足够大，Ixₙ-11 即{width="0.2119663167104112in" height="0.32636264216972877in"}可以小于任意给定的正数，所以说，当 n 无限增大时，xn无限 接近于1.例如，给定：{width="0.2361340769903762in" height="0.3125524934383202in"},欲使- {width="0.47912620297462816in" height="0.32645122484689415in"},只要 n\>100, 即从第101项起，都能使不等 式 {width="0.736091426071741in" height="0.30551399825021874in"} 成立.同样地，如果给定 {width="0.43752734033245844in" height="0.30551399825021874in"},那么从第10001项起，都能使不等式 {width="0.9235761154855643in" height="0.31950240594925633in"} 成立.一般地，不论给定的正数ε多么小，总存在着一个正整数N, 使得当n\>N 时，不等式 lxₙ-1l\<ε 都成立.这就是数列{width="1.801065179352581in" height="0.31941272965879264in"}当 n→∞ 时无限接近于1这件 事的实质.这样的一个数1,叫做数列 {width="1.7847222222222223in" height="0.32636264216972877in"})当n→∞ 时的 极限. 一般地，有如下数列极限的定义： 定义 设{x} 为一数列，如果存在常数a 对于任意给定的正数ε(不论它 多么小),总存在正整数N, 使得当般%时，不等式 lxπ-al\N 时，所有的点x。都落在开区间(a-ε,a+e) 内，而只有有限个 (至多只有N 个)在这区间以外. 为了表达方便，引入记号"V"表示"对于任意给定的"或"对于每一个",记 号"3"表示"存在".于是，"对于任意给定的 e\>0" 写成"Ve\>0", "存在正整数 N"写成"3正整数N", 数列极限{width="0.6040758967629046in" height="0.21529199475065616in"}的定义可表达为 {width="1.0763648293963255in" height="0.21529199475065616in"},3正整数N, 当 n\>N 时，有1xₙ-al\0, 为了使lxₙ-al\N 时，就有 {width="1.2082917760279965in" height="0.38192694663167104in"} 即 {width="1.124996719160105in" height="0.33335958005249344in"} 例2 已知{width="0.7664020122484689in" height="0.36108595800524934in"},证明数列{xn}的极限是0. 证 {width="2.187522965879265in" height="0.38192694663167104in"} Ve\>0 为了使Ixₙ-al\N 时，就有 {width="1.0138932633420823in" height="0.3750404636920385in"} 即 {width="0.9305336832895889in" height="0.3541994750656168in"} 注意 在利用数列极限的定义来论证某个数 a 是数列{x。1的极限时，重要 的是对于任意给定的正数e, 要能够指出定义中所说的这种正整数 N 确实存在. 如果知道1x。-a1小于某个量(这个量与 n 存在函数关系),那么当这个量小于ε 时，1x 。-al\0 ( 设g\<1), 因为 xₙ-01=1q"⁻¹-01=Iq1"⁻¹, 要 使lxₙ-0I\N 时，就有 *Iq"⁻¹-0l\N₁ 时，不等式 {width="0.7638921697287839in" height="0.31251093613298336in"} 都成立.同理，因为 {width="0.5207841207349081in" height="0.21534120734908135in"},故3正整数N₂, 当 n\>N₂ 时，不等式 {width="0.7569641294838145in" height="0.3194520997375328in"} (2-2) (2-3) 都成立.取 N=max{N₁,N₂} (这式子表示N 是 N₁ 和N₂中较大的那个数),则当n \>N 时，(2-2)式及(2-3)式会同时成立，但由(2-2)式有 {width="0.506930227471566in" height="0.29862970253718285in"},由(2-3)式有 {width="0.47922134733158356in" height="0.3263921697287839in"},这是不可能的.这矛盾证明了本寤理的断言. 例 4 证明数列xₙ=(-1)+¹(n=1,2,...) 是发散的. 证 如果这数列收敛，根据定理1它有唯一的极限，设极限为a,即{width="0.6008005249343832in" height="0.2083497375328084in"}按 数列极限的定义，对于 {width="0.3729494750656168in" height="0.2916885389326334in"},3正整数N, 当 n\>N 时，{width="0.6896008311461067in" height="0.3125688976377953in"}-成立；即当n\>N 时 ，x, 都在开区间{width="0.8344291338582677in" height="0.35414916885389325in"}内.但这是不可能的，因为n→ 时 ，x。无休止地一 再重复取得1和-1这两个数，而这两个数不可能同时属于长度为1的开区间 {width="0.8402963692038495in" height="0.3402898075240595in"}内.因此这数列发散. 由函数有界性的概念可得以下的数列有界性概念. 对于数列{x, 如果存在正数M, 使得对于一切x。都满足不等式 lx,I≤M, 那么称数列{xa}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列{x} 是无界的. 例如，数列 {width="1.2847364391951006in" height="0.25694991251093613in"})是有界的，因为可取M=1, 而使 {width="0.5845363079615048in" height="0.3546773840769904in"} 对于一切正整数 n 都成立. 数列xₙ=2"(n=1,2,...) 是无界的，因为当 n 无限增加时，2"可超过任何正 数. 数轴上对应于有界数列的点x。都落在某个闭区间\[-M,M\] 上. 定理2(收敛数列的有界性)如果数列{x。收敛，那么数列{x 一定有界 . 证 因为数列1x1 收敛，设limxn=a. 根据数列极限的定义，对于 g=1, 3正整数N, 当 n\>N 时，不等式 lxₙ-al\<1 都成立.于是，当n\>N 时， IxaI=1(xₙ-a)+al≤1xₙ-al+lal\<1+lal. 取 M=max{lx₁1,Ix₂1, ... ,lxm1,1+lal}, 那么数列{xa 中的一切 x。都满足不等 式 lx,I≤M. 这就证明了数列{x。\|是有界的. 根据上述定理，如果数列{x} 无界，那么数列{x。}一定发散.但是，如果数列 {x。有界，却不能断定数列{x 一定收敛，例如数列 1,-1,1,...,(-1)+!.... 有界，但例4证明了这数列是发散的所以数冽有界是数列收敛的必要条件，但 不是充分条件. 定理3(收敛数列的保号性)如!{width="0.6524245406824147in" height="0.20833005249343833in"},且a\>0 ( 或 a\<0), 那么存在正 整数N, 当 n\>N 时，都有x。\>0( 或x。\<0). 证 就 a\>0 的情形证明.由数列极限的定义，对 {width="0.5555413385826772in" height="0.2639031058617673in"}3正整数N, 当 n\>N 时，有 {width="0.7291655730533684in" height="0.2916437007874016in"} 从而 {width="1.0000021872265967in" height="0.2916447944006999in"} 推论 如果数列{xa}从某项起有xₙ≥0 ( 或 xn≤0),\]{width="0.6506692913385826in" height="0.20139435695538058in"},那么a≥0 ( 或 a≤0). 证 设数列 {x 从 第N₁ 项起，即当n\>N, 时 有x₀≥0. 现在用反证法证明.若 {width="0.7013615485564304in" height="0.20833005249343833in"},则由定理3知，3正整数N₂, 当 n\>N₂ 时，有 x₀\<0. 取 N=max{N₁, N₂I, 当 n\>N 时，按假定有xₙ≥0, 按定理3有x₀\<0, 这引起矛盾.所以必有 a≥0. 数列{xa} 从某项起有xₙ≤0 的情形，可以类似地证明. 最后，介绍子数列的概念以及关于收敛数列与其子数列间关系的一个定理. 在数列{xa 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{x\| 中的先后次 序，这样得到的一个数列称为原数列{xn 的子数列(或子列). 设在数列{x 。 中，第一次抽取xη, 第二次在xa 后抽取xn₂, 第三次在xn₂ 后抽 取 xn, ... ... , 这样无休止地抽取下去，得到一个数列 *xa,x₂, ...,xn, ...,* 这个数列{x。 就是数列{x。的一个子数列. 注意 在子数列{xm 中，一般项xn,是第k 项，而xn 在原数列{x。3中却是第 n 项.显然，n ≥k. \'定理4(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列{xn 收敛于a, 那么它 的任一子数列也收敛，且极限也是a. 证 设数列{x 是 数 列 {x 的任 一子数列 . 由于{width="0.5265474628171478in" height="0.20833005249343833in"},故Ve\>0,3 正整数N, 当 n\>N 时 ，Ixₙ-al\<ε 成立. 取 K=N, 则 当 \>K时 ，n₂\>nk=nμ≥N. 于是lx₀-al\0, 存在NeN,, 当 n\>N 时，不等式x 。-a\0, 存在NeN, 当 n\>N 时，有无穷多项x。,使不等式1x₀-al\0, 存在NeN, 当 n\>N 时，不等式lx 。-al\N时，不等式{width="0.6066940069991251in" height="0.2500448381452319in"}成立. ·4.设数列{xa₁ 的一般项 {width="1.3611176727909011in" height="0.2500448381452319in"} 求出N, 使当n\>N时 ，x。与其极限之差 的绝对值小于正数e. 当ε=0.001时，求出数N. \*5.根据数列极限的定义证明： {width="0.8350459317585301in" height="0.2784306649168854in"}{width="0.8194444444444444in" height="0.2638363954505687in"} \(3\) {width="0.7639031058617672in" height="0.25689523184601926in"} \(2\) {width="1.1944291338582678in" height="0.2292224409448819in"} {width="0.8125054680664917in" height="0.18056211723534557in"},证明 {width="0.7014381014873141in" height="0.20135826771653542in"}.并举例说明：如果数列{1x₀1}有极限，但数列1x。未 必有极限. ·7.设数列{x。\|有界，又{width="0.4692858705161855in" height="0.20832020997375328in"},证明：{width="0.6233814523184602in" height="0.18056211723534557in"} \*8.对于数列{x 。,若xz₋→a(k→∞),xz→a(k→∞o), 证明：x 。→a(n→∞). []{#bookmark71 .anchor}第 三 节 函数的极限 一 、函数极限的定义 因为数列{x。}可看作自变量为n 的函数：xₙ=f(n),n∈N, 所以，数列{xa 的 极限为a, 就是：当自变量 n 取正整数而无限增大(即 n→∞) 时，对应的函数值 f(n) 无限接近于确定的数a. 把数列极限概念中的函数为f(n) 而自变量的变化过 程为 n→ ∞等特殊性撇开，这样可以引出函数极限的一般概念：在自变量的某个变 化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做 在这一变化过程中函数的极限.这个极限是与自变量的变化过程密切相关的，由于 自变量的变化过程不同，函数的极限就表现为不同的形式.数列极限看作函数f(n) 当 n→∞ 时的极限，这里自变量的变化过程是n→∞ . 下面讲述自变量的变化过程 为其他情形时函数f(x)的极限，主要研究两种情形： (1)自变量x 任意地接近于有限值x₀ 或者说趋于有限值x。(记作x→x₀) 时， 对应的函数值f(x) 的变化情形； (2)自变量x 的绝对值lxl 无限增大即趋于无穷大(记作x→∞) 时，对应的 函数值f(x)的变化情形. 1\. 自变量趋于有限值时函数的极限 现在考虑自变量x 的变化过程为x→xo.如果在x→x。的过程中，对应的函数值 f(x) 无限接近于确定的数值A, 那么就说A是函数f(x) 当x→x₀时的极限.当然，这里 我们首先假定函数f(x) 在点x₀ 的某个去心邻域①内是有定义的. 在x→x。的过程中，对应的函数值f(x) 无限接近于A, 就是1f(x)-Al 能任意 小.如数列极限概念所述，If(x)-AI 能任意小这件事可以用If(x)-AI\0,当0\<1x-x。I\<8时，有If(x)-AI\0, 可任取δ\>0,当0\<1x-x₀I\<δ 时，能使不等式 If(x)-Al=Ic-cl=0\<ε 成立.所以{width="0.5153007436570428in" height="0.2291557305336833in"} {width="1.2569575678040246in" height="6.976159230096238e-3in"} ① 设xo∈R,8\>0,开区间(z₀-8,xo+ō)称为点z。的8邻域，记作U(x₀,8),点x₀ 的去心δ邻域记作 Ů(x₀,8),8称为邻域半径. 例 2 证 {width="0.6597681539807524in" height="0.24307852143482064in"} 证 这里 \|f(x)-Al=1x-x₀ 1, 因 此Ve\>0, 总可取δ=ε,当0\<1x-x。\|\<8=ε时， 能使不等式f(x)-Al=Ix-x 。I\<ε 成立.所以{width="0.5155872703412073in" height="0.22219706911636045in"} 例 3 证明{width="0.915107174103237in" height="0.22219706911636045in"} 证 由 于 If(x)-AI=I(2x-1)-11=21x-11, 为了使If(x)-Al\0, 可取 {width="0.3402580927384077in" height="0.25699912510936135in"},则当x 适合不等式 0\0; 将不等式 {width="0.7777701224846895in" height="0.3680982064741907in"} 约去非零因子x-1 后，就化为 lx+1-21=lx-1l\<ε, 因此，只要取δ=ε,那么当0\<1x-11\<δ 时，就有 {width="0.8125218722659667in" height="0.35417760279965005in"} 所以 {width="0.7088801399825022in" height="0.29968832020997377in"} 例 5 证明：当x₀\>0 时，{width="0.8958366141732284in" height="0.26395997375328084in"} {width="3.1254068241469817in" height="0.6533792650918635in"}证 Ve\>0, 因为 ·29 · 要使If(x)-Al\X 时，对应的函数值f(x)都满足不等式 {width="1.2778291776027997in" height="1.6041918197725284in"} 图1-24 If(x)-Al\0, 当Ixl\>X 时，有If(x)-Al\0 且无限增大(记作x→+∞), 那么只要把上面定义中的Ixl\>X 改为 x\>X, 就可得{width="0.8901760717410324in" height="0.2153040244969379in"} 的定义.同样，如果 x\<0 且 Ix1 无限增大(记作 x→-∞), 那么只要把Ixl\>X 改为 x\<-X, 便得 {width="0.72916447944007in" height="0.22218613298337708in"} 的定义. {width="2.027772309711286in" height="1.2639402887139108in"}从几何上来说，{width="0.6875404636920385in" height="0.2152143482064742in"}的意义是：作直线y=A-ε 和y=A+e, 则总有一个 正数X 存在，使得当x\<-X 或x\>X 时，函数y=f(x) 的图形位于这两直线之间(图 1-25).这时，直线y=A 是函数y=f(x) 的图形的水平渐近线. 例7 证 {width="0.701415135608049in" height="0.30557305336832896in"} 证 Ve\>0, 要 证 3X\>0, 当 Ixl\>X 时 ， 不等式 {width="0.6458519247594051in" height="0.3680457130358705in"} 成立.因这个不等式相当于 图1-25 {width="0.40281824146981626in" height="0.29860126859142605in"}或 {width="0.451411854768154in" height="0.2916305774278215in"} 由此可知，如果取 {width="0.38887904636920384in" height="0.30557305336832896in"},那么当 {width="0.6874748468941382in" height="0.30557305336832896in"}时，不等式 {width="0.6197123797025372in" height="0.34107392825896765in"}成立，这就证 明了 考研拼课 *公众号：* {width="0.6111154855643045in" height="0.3125076552930884in"} 直线y=0 是函数 {width="0.34724081364829396in" height="0.3332819335083115in"}的图形的水平渐近线. 二 、函数极限的性质 与收敛数列的性质相比较，可得函数极限的一些相应的性质.它们都可以根 据函数极限的定义，运用类似于证明收敛数列性质的方法加以证明.由于函数极 限的定义按自变量的变化过程不同有各种形式，下面仅以"{width="0.5436209536307961in" height="0.2361570428696413in"}"这种形式为 代表给出关于函数极限性质的一些定理，并就其中的几个给出证明.至于其他形 式的极限的性质及其证明，只要相应地做一些修改即可得出. 定理1(函数极限的唯一性)如!{width="0.5830139982502187in" height="0.22923228346456692in"})存在，那么这极限唯一. 定理2(函数极限的局部有界性) 如 {width="0.7986100174978128in" height="0.22914260717410323in"},那么存在常数M\>0 和δ \>0,使得当0\<1x-x。I\<δ时，有If(x)I≤M 证 因 {width="0.8055293088363954in" height="0.2360673665791776in"},所以取ε=1,则3δ\>0,当0\<1x-x₀ I\<δ时，有 If(x)-Al\<1=If(x)I≤If(x)-Al+IAl\<1Al+1, 记 M=IAl+1, 则定理2就获得证明. 定理3(函数极限的局部保号性) 如果 {width="0.680511811023622in" height="0.22914260717410323in"},且A\>0 ( 或A\<0), 那么 存在常数δ\>0,使得当0\<1x-x 。I\<δ 时，有f(x)\>0 ( 或f(x)\<0). 证 就 A\>0 的情形证明. 因 {width="0.9722626859142607in" height="0.2361570428696413in"},所以，取 {width="0.5624792213473316in" height="0.2917344706911636in"},则3δ\>0,当0\<1x-x₀ I\<δ时，有 {width="2.20833552055993in" height="0.3332819335083115in"} 类似地可以证明A\<0 的情形. 从定理3的证明中可知，在定理3的条件下，可得下面更强的结论： 定 理 3 \' 如 {width="1.3194389763779528in" height="0.24308180227471565in"},那么就存在着x。的某一去心邻域U(x 。), 当x∈U(x₀) 时，就有 {width="0.7292136920384952in" height="0.29856846019247596in"} 由定理3,易得以下推论： 推论 如果在x。的某去心邻域内f(x)≥0( 惑f(x)≤0), 而 {width="0.7916896325459317in" height="0.24308180227471565in"},那 么A≥0( 或A≤0). 定理4(函数极限与数列极限的关系) 如果极限{width="0.5026443569553806in" height="0.23611767279090115in"}存在，{xn}为函 数f(x)的定义域内任一收敛于x₀ 的数列，且满足：xn≠x₀ (n∈N), 那么相应的 函数值数列{f(xn) 必收敛，{width="1.3125153105861767in" height="0.23611767279090115in"} 证 讫{width="0.7679188538932633in" height="0.23611767279090115in"},则Vε\>0,3δ\>0, 当0\<1x-x₀ I\<δ 时，有If(x)-Al\0,3N, 当 n\>N 时，有Ixₙ-x 。I\<δ . 由假设，xn≠x 。(n∈N), 故 当 n\>N 时，0\<1 xn-x₀I\<δ, 从 而 If(xn)-Al\ \(3\) | | height="0.21502843394575677in"}{width="0.43193350831146105in" | | > | > 4 | height="0.22198162729658794in"}不存在； | | > \(5\) | > | | | > | > \*\* | > 4 | | > \(7\) | | > | | | {width="0.5832972440944882in" | > (8)limf(x)=0 | | | height="0.19425634295713035in"} | | | | | | | | {width="0.6735520559930008in" | | | | height="0.21511701662292212in"} | | | | | | | | {width="0.5971970691163605in" | | | | height="0.19383311461067368in"} | | {width="1.6249825021872266in" height="1.1944247594050743in"} 图1-28 {width="0.872176290463692in" height="0.23615485564304461in"}{width="0.6070231846019247in" height="0.26392169728783904in"}当 x→0 时的左、右极限，并说明它们在x→0 时的极限是否 存在. ·5.根据函数极限的定义证明： {width="1.0625120297462818in" height="0.1874507874015748in"}{width="0.9792136920384952in" height="0.27776027996500435in"}{width="1.1249857830271217in" height="0.2013779527559055in"} {width="1.006913823272091in" height="0.3332950568678915in"} {width="0.7222462817147857in" height="0.2986078302712161in"}{width="0.9444400699912511in" height="0.30561679790026247in"}\*6.根据函数极限的定义证明： \(1\) ·7. 当x→2 时 ，y=x²→4.问δ等于多少，使当Ix-21\<8 时 ，ly-41\<0.001? ·8. 当x→∞ 时，{width="0.6497276902887139in" height="0.27776027996500435in"} 问 X 等于多少，使当Ixl\>X 时 ，ly-1I\<0.01? \*9.证明函数f(x)=lxl 当 x→0 时极限为零. 10\. 证明：若x→+∞ 及 x→-00 时，函数f(x) 的极限都存在且都等于A,则 {width="0.6319400699912511in" height="0.22222550306211725in"} \*11.根据函数极限的定义证明：函数f(x)当 x→x₀时极限存在的充分必要条件是左极限、 右极限各自存在并且相等. \*12.试给出x→∞ 时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明. []{#bookmark73 .anchor}第 四 节 无穷小与无穷大 一 、无 穷 小 定 义 1 如 果 函 数f(x) 当 x→x。 ( 或 x→∞) 时的极限为零，那么称函数 f(x) 为 当x→x。 ( 或x→∞) 时的无穷小 . 特别地，以零为极限的数列{xa 称 为 n→∞ 时的无穷小 . 例 1 因 为{width="0.8061132983377078in" height="0.22923556430446193in"},所以函数x-1 为 当x→ 1 时的无穷小 . 因 为{width="0.5990212160979878in" height="0.3055271216097988in"},所以函数 {width="0.15149168853893263in" height="0.31244641294838144in"}为 当x→∞ 时的无穷小 . 注意 不要把无穷小与很小的数(例如百万分之 一 )混为 一 谈，因为无穷 小是这样的函数，在x→x。( 或x→∞) 的过程中，这函数的绝对值能小于任意给 定的正数ε,而很小的数如百万分之 一 ，就不能小于任意给定的正数ε,例如取ε 等于千万分之 一 ，则百万分之 一 就不能小于这个给定的 e. 但零是可以作为无穷 小的唯一 的常数，因为如果f(x)=0 那 公 学 荏 意 给 定 的 8 \> 0 总 有If(x)I\0,3δ\>0, 使当0\<1x-x₀ I\<δ时，有 *If(x)-Al\0,3δ\>0, 使 当 0\X), 对应的函数值f(x) 总满足不等 式 If(x)I\>M, 那么称函数f(x)是当x→x。( 或x→∞) 时的无穷大. 按函数极限的定义来说，当x→x。( 或 x→∞) 时的无穷大的函数f(x) 的极 限是不存在的.但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说"函数的极限是无穷 大",并记作 {width="0.7291601049868767in" height="0.27083114610673664in"}。(惑im =c). 如果在无穷大的定义中，把If(x)I\>M 换成f(x)\>M ( 或f(x)\<-M), 就记作 {width="0.8749409448818898in" height="0.340255905511811in"} ( 或 {width="1.0416852580927385in" height="0.34025699912510937in"} 必须注意，无穷大(∞)不是数，不可与很大的数(如1千万、1亿等)混为 一 谈 例 2 证明1{width="0.6473972003499563in" height="0.2916229221347332in"} (图1-29). 证 设VM\>0. 要使 {width="0.6597101924759405in" height="0.36104877515310585in"} 只要 {width="0.6388746719160106in" height="0.31250437445319335in"} 所以，取{width="0.41071303587051616in" height="0.31946522309711284in"},则只要x 适合不等式0\<1x-1l\<δ= {width="0.18056977252843395in" height="0.30554352580927385in"},就有 {width="0.8472255030621172in" height="0.30554352580927385in"}{width="0.5856944444444444in" height="0.34180555555555553in"} {width="1.6597255030621172in" height="1.6736220472440946in"} 图1-29 这就证明 {width="0.7152701224846895in" height="0.25699912510936135in"}直线x=1 是函数 {width="0.43058945756780403in" height="0.312415791776028in"}的图形的铅直渐近线. 一般地说，如果 ,那么直线 x=x₀ 是函数 y=f(x) 的图形的铅直渐 近线. 无穷大与无穷小之间有一种简单的关系，即 定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，那{width="0.4254516622922135in" height="0.34025699912510937in"}为无穷 小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0, 那!{width="0.4069892825896763in" height="0.31946522309711284in"}为无穷大. 证 {width="0.9027854330708661in" height="0.22219706911636045in"} Ve\>0. 根据无穷大的定义，对于 {width="0.409753937007874in" height="0.29858377077865267in"},3δ\>0,当0\<1x-x。I\<δ时，有 {width="0.9513363954505687in" height="0.3400185914260717in"} 即 {width="0.6527876202974628in" height="0.3680282152230971in"} 所I{width="0.43334864391951006in" height="0.34722003499562554in"}为当x→x₀ 时的无穷小. {width="0.3680096237970254in" height="0.29167213473315834in"}反之，设 {width="0.6736286089238845in" height="0.23612314085739283in"},且f(x)≠0. VM\>0. 根据无穷小的定义，对于 ,3δ\>0,当0\<1x-x₀I\<δ 时，有 *If(x)* {width="0.5416601049868767in" height="0.29167213473315834in"} 由于当0\<1x-x 。I\<δ 时f(x)≠0, 从而 {width="0.6613232720909886in" height="0.3482086614173228in"} 所 {width="0.41668088363954503in" height="0.34721894138232723in"}为当x→x₀ 时的无穷大. 类似地可证当x→ ∞ 时的情形. []{#bookmark74 .anchor}习 题 1-4 1\. 两个无穷小的商是否一定是无穷小?举例说明之. \*2.根据定义证明： \(1\) {width="0.42360673665791776in" height="0.2707742782152231in"}为当x→3时的无穷小； (2) {width="0.5625in" height="0.2569313210848644in"}为当x→0时的无穷小. \*3.根据定义证明：函数 {width="0.4792027559055118in" height="0.2778291776027996in"}为当x→0 时的无穷大.问x 应满足什么条件，能使 Iyl\>10⁴? 4\. 求下列极限并说明理由： \(1\) {width="0.520819116360455in" height="0.2638976377952756in"} (2) {width="0.4583617672790901in" height="0.28479549431321083in"} 5\. 根据函数极限或无穷大定义，填写下表： | | > f(x)→A | > f(x)→ ∞ | > f(x)→+∞ | > f(x)→- | | | | | | > ∞ | | > x→x₀ | > Ve\>0, | | | | | | > | | | | | | > 3δ\>0, | | | | | | > | | | | | | > 使当0\<1x-x₀ | | | | | | > I\<δ时， | | | | | | > 即有If(x)-Al\ f(x)→A | > f(x)→ ∞ | > f(x)→+∞ | > f(x)→- | | | | | | > ∞ | | {width="0.3194685039370079in" | | | | | | height="0.17361001749781277in"} | | | | | | > x→x。 | | | | | | > x→ 四 | | > VM\>0, | | | | | | > | | | | | | > 3X\>0, | | | | | | > | | | | | | > 使当lxl\>X时， | | | | | | > 即有If(x)I\>M. | | | | > x→+0∞ | | | | | | > x→- | | | | | 6\. 函数 y=xcos x 在(-∞,+∞)内是否有界?这个函数是否为x→+∞ 时的无穷大?为什 么? 7\. 证明：函数 {width="0.6388724846894138in" height="0.2708628608923884in"}在区间(0,1)内无界，但这函数不是x→0+时的无穷大. 8.求函数.{width="0.5802548118985127in" height="0.2638976377952756in"}的图形的渐近线. []{#bookmark75 .anchor}第 五 节 极限运算法则 本节讨论极限的求法，主要是建立极限的四则运算法则和复合函数的极限 运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限.以后我们还将介绍求极限的 其他方法. 在下面的讨论中，记号"lim"下面没有标明自变量的变化过程，实际上，下面 的定理对 x→x₀ 及x→∞ 都是成立的.在论证时，我们只证明了x→x。的情形，只 要把δ改成 X, 把0\< 1x-x₀I\<δ 改成lxl\>X, 就可得x→∞ 情形的证明. 定理1 两个无穷小的和是无穷小. 证 设α及β是当x→x₀ 时的两个无穷小，而 y=α+β . Ve\>0. 因为α是当x→x₀时的无穷小，对于{width="0.31159011373578305in" height="0.24308945756780403in"},38₁\>0,当0\<1 x-x₀I\<δ₁ 时 ， 不等式 公 号 ： 考 研 {width="0.47218832020997376in" height="0.2847517497812773in"} 成立.又因β是当x→x。时的无穷小，对于{width="0.2967082239720035in" height="0.26387029746281715in"},3δ₂\>0,当0\<1x-x₀I\<δ₂ 时，不等 式 {width="0.4653138670166229in" height="0.2777919947506562in"} 成立.取δ=min{δ,δ₂1, 则当0\<1x-x₀I\<δ 时 ， {width="0.47218832020997376in" height="0.2777919947506562in"} 及 {width="0.4583727034120735in" height="0.25691054243219597in"} 同时成立，从而 {width="2.0902788713910763in" height="0.26387029746281715in"}.这就证明了γ也是当x→x。时 的无穷小. 用数学归纳法可证：有限个无穷小之和也是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数u 在 x。的某一去心邻域 U(x₀,8₁) 内是有界的，即3M\>0 使lul ≤M 对一切x∈U(x₀,8₁) 成立.又设α是当x→x。时的无穷小，即Ve\>0,3δ₂\>0, 当 x∈U(xo,δ₂)时，有 {width="0.49300853018372703in" height="0.27083114610673664in"} {width="0.472253937007874in" height="0.2847517497812773in"}取δ=min{δ₁,δ2,则 当x∈U(x。,δ)时 ， lul≤M 及 同时成立.从而 {width="1.7430118110236221in" height="0.25003937007874016in"} 这就证明了uα 是当x→x。时的无穷小. 推 论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小. 定理3 如果limf(x)=A,limg(x)=B, 那么 (1)lim\[f(x)±g(x)\]=limf(x)±limg(x)=A±B; (2)lim\[f(x)·g(x)\]=limf(x)·limg(x)=A·B; (3)若又有B≠0, 则 {width="1.4583366141732284in" height="0.3888899825021872in"} 证 先证(1). 因 limf(x)=A,limg(x)=B, 由第四节定理1有 f(x)=A+α,g(x)=B+β, 其中α及β为无穷小.于是 f(x)±g(x)=(A+α)±(B+β)=(A±B)+(α±β). 由本节定理1,α±β是无穷小(α - β可看作α+(-1)β,由本节定理2的推论 1,(-1)β是无穷小，因此α - β也可看作两个无穷小的和).再由第四节定理 1,得 lim\[f(x)±g(x)\]=A±B=limf(x)±limg(x). 关于(2)的证明，建议读者作为练习. 再证(3). 由 limf(x)=A,limg(x)=B, 有 f(x)=A+α,g(x)=B+β, 其中α及β为无穷小.设 {width="0.8263954505686789in" height="0.35408902012248467in"} 则 {width="1.9582863079615047in" height="0.35408792650918636in"} 上式表示，y 可看作两个函数的乘积，其中函数Bα-Aβ是无穷小.下面我们证明 另一个函{width="0.6520494313210848in" height="0.34025699912510937in"}在点x₀ 的某一邻域内有界. 根据第三节定理3\',由于 limg(x)=B≠0, 存 在 着 点x。的某 一 去心邻域 Ů(x₀), 当 x∈U(x₀) 时 ，{width="0.777749343832021in" height="0.29858377077865267in"},从而 {width="0.8055741469816273in" height="0.36104877515310585in"}.于是 {width="2.666699475065617in" height="0.3819302274715661in"} 这就证明{width="0.6584514435695538in" height="0.31250437445319335in"}在 点x₀ 的去心邻域 U(x 。)内有界. 因此，根据本节定理2,γ是无穷小.而 {width="0.8402755905511811in" height="0.34025699912510937in"} 所以由上节定理1,得 {width="1.4444564741907262in" height="0.43752405949256346in"} 证毕. 定理3中的(1)、(2)可推广到有限个函数的情形：例如，如果limf(x), limg(x),limh(x) 都存在，则有 lim\[f(x)+g(x)-h(x)\]=limf(x)+limg(x)-limh(x), lim\[f(x)·g(x)·h(x)\]=limf(x)·limg(x)·limh(x). 关于定理3中的(2),有如下推论： 推 论 1 如果limf(x) 存在，而c 为常数，那么 lim\[cf(x)\]=climf(x). 就是说，求极限时，常数因子可以提到极限记号外面.这是因为lim c=c. 推论2 如果 limf(x) 存在，而 n 是正整数，那么 lim\[f(x)\]"=\[limf(x)\]". 这是因为 lim\[f(x)\]\"=lim\[f(x)·f(x)·...·f(x)\] =limf(x)·limf(x)·...·limf(x)=\[limf(x)\]". 关于数列，也有类似的极限四则运算法则，这就是下面的定理. 定理4 设有数列{x 和{yn}. 如果 {width="0.5842399387576553in" height="0.18365157480314961in"}{width="0.6319411636045494in" height="0.23612314085739283in"} 那么 \(1\) {width="1.1250153105861767in" height="0.21522528433945756in"}; {width="0.7082830271216098in" height="0.34722003499562554in"}(2) {width="1.2221773840769903in" height="0.24308945756780403in"}; ( 3 ) 当y≠0(n=1,2,...) 且 B≠0 时 证明从略. 定 理 5 如果φ(x)≥ψ(x), 而lim φ(x)=A,limψ(x)=B,那么A≥B. 证 令f(x)=φ(x)-ψ(x), 则 f(x)≥0. 由本节定理3有 lim f(x)=lim\[φ(x)-ψ(x)\] =lim φ(x)-limψ(x)=A-B. 由第三节定理3推论，有 lim f(x)≥0,即 A-B≥0, 故 A≥B. 例 1 解 例 2 求{width="0.700974409448819in" height="0.22219160104986876in"} {width="0.7499890638670166in" height="0.34025371828521433in"}{width="2.9027930883639543in" height="0.2570209973753281in"} 求 解 这里分母的极限不为寮 考 研 迷 {width="1.7221916010498688in" height="0.4999311023622047in"} {width="2.381894138232721in" height="0.8889479440069992in"} 从上面两个例题可以看出，求有理整函数(多项式)或有理分式函数当 x→x。的极限时，只要把x。代替函数中的x 就行了(对于有理分式函数，需假定这 样代入后分母不等于零). 事实上，设多项式 f(x)=aox\"+a₁x\"⁻¹+...+an, 则 {width="2.680515091863517in" height="0.5763779527559055in"} =aox"+a1x"⁻¹+...+aₙ=f(x 。). 又设有理分式函数 {width="0.8680358705161855in" height="0.34721894138232723in"} 其中P(x),Q(x) 都是多项式，于是 {width="2.3681474190726157in" height="0.24308945756780403in"} 如果 Q(x₀)≠0, 那么 {width="2.9583792650918634in" height="0.5606802274715661in"} 但必须注意：若 Q(x₀)=0, 则关于商的极限的运算法则不能应用，那就需要 特别考虑.下面我们举两个属于这种情形的例题. 例 3 求 {width="0.5208344269466316in" height="0.29854768153980754in"} 解 当x→3 时，分子及分母的极限都是零，于是分子、分母不能分别取极 限.因分子及分母有公因子x-3, 而x→3时 ，x≠3,x-3≠0, 可约去这个不为零的 公因子.所以 {width="2.034692694663167in" height="0.5000207786526684in"} 例 4 求 {width="0.7430489938757655in" height="0.3194455380577428in"} 解 因 为 分 母 的 极 {width="2.0695024059492564in" height="0.23612314085739283in"},不能应用商的极限的 运算法则.但因 {width="1.7569466316710411in" height="0.33328740157480313in"} 故由第四节定理2得 {width="1.0069674103237096in" height="0.34025371828521433in"}{width="0.9861122047244094in" height="0.3264107611548556in"} 例 5 解 先 用x³ 去除分母及分子，然后取极限： {width="2.034724409448819in" height="0.6944400699912511in"} 这是因为 {width="1.9583661417322835in" height="0.36106189851268594in"} 其中a 为常数，n 为正整数，{width="0.6041469816272966in" height="0.29167104111986003in"}(见第三节例7). 例 6 求 {width="0.8471916010498688in" height="0.34721894138232723in"} 解 先 用x³去除分母和分子，然后求极限，得 {width="0.8541863517060367in" height="0.35418525809273843in"}{width="2.256933508311461in" height="0.6875623359580052in"} 例 7 求 解 应用例6的结果并根据上节定理2,即得 {width="1.1041797900262467in" height="0.36106189851268594in"} 例5、例6、例7是下列一般情形的特例，即当a≠0,b₀≠0,m 和 n 为非负整 数时，有 {width="2.3403958880139983in" height="0.8060334645669291in"} 例 8 求 {width="0.5416305774278215in" height="0.29167213473315834in"} 解 当 x→∞0时，分子及分母的极限都不存在，故关于商的极限的运算法则 不能应用.如果把{width="0.30725831146106736in" height="0.3125688976377953in"}看 作 sin x 与{width="0.15362860892388452in" height="0.3194455380577428in"}的乘积，由于 ·{width="0.17459864391951005in" height="0.3124792213473316in"}当 x→∞ 时为无穷小，而 sin x 是有界函数，则根据本节定理2,有 {width="0.7361198600174979in" height="0.3125688976377953in"} 定理6(复合函数的极限运算法则)设函数y=fg(x)\] 是由函数u=g(x) 与 函数y=f(u) 复合而成，fg(x)\] 在点x₀的某去心邻域内有定义，{width="0.9513648293963255in" height="0.24996609798775152in"} {width="0.694475065616798in" height="0.2569313210848644in"},且存在δ₀\>0,当 x∈U(x。,8。)时，有g(x)≠u₀, 则 {width="1.6041655730533684in" height="0.2638976377952756in"} 证 按函数极限的定义，要证：Ve\>0,3δ\>0, 使得当O\<1x-x₀\|\<δ 时， If\[g(x)\]-Al\<ε 成立. 由 {width="0.7986176727909011in" height="0.22915791776027997in"},Ve\>0,3η\>0, 当0\<1u-u₀I\0,3δ₁\>0,当0\<1 x-x₀I\<δ₁ 时 ， Ig(x)-u₀I\<η 成立. 由假设，当 x∈UŮ(x₀,8 。) 时 ，g(x)≠u 。 取 δ = min{8 。,81, 则 当 0 \< 1x-x₀ \|\<δ时 ，Ig(x)-uoI\<η 及 Ig(x)-uo!≠0 同 时 成 立 ， 即 0 \< Ig(x)-u₀I\<η 成立，从而 If\[g(x)\]-Al=If(u)-Al\n₀ 时，有 yn≤xₙ≤zn; \(2\) {width="1.2222528433945756in" height="0.22228674540682414in"} 那么数列{xn 的极限存在，且 {width="0.5555457130358705in" height="0.21532589676290464in"} 证 因 y 。→a,z→a, 所以根据数列极限的定义，Ve\>0,3 正整数N₁, 当 n\> N₁时，有lyn-al\N₂时，有Izₙ-al\N 时，有 lyn-al\N 时 ，x 介 于yn和z 之间，从而有 a-ε\M) 时 ， g(x)≤f(x)≤h(x); {width="1.708649387576553in" height="0.22915791776027997in"} \(2\) {width="1.3958114610673666in" height="1.3611176727909011in"}那么{width="0.557911198600175in" height="0.34721675415573056in"}存在，且等于A. 准则 I 及准则 I\'称为夹逼准则. 作为准则I\'的应用，下面证明一个重要的极限 {width="0.7152744969378828in" height="0.31250437445319335in"} 首先注意到，函 {width="0.4305544619422572in" height="0.2800437445319335in"}对于一切x≠0 都有定义. 在图1-30所示的四分之一的单位圆中，设圆心 {width="1.3616819772528435in" height="0.2928423009623797in"} ,点A 处的切线与OB 的延长线相交于D, 又 BC⊥0A, 则 sin x=CB,x=AB,tan x=AD. 因为 △AOB的面积\<扇形AOB的面积\<△AOD的面积， 所以 {width="1.3263823272090989in" height="0.30554352580927385in"} 即 sin x\N,n\>N 时，有 Ixₙ-xmI\0, 由数列极限的定义，3正整数 N, 当 n\>N 时，有 {width="0.7292082239720035in" height="0.2847944006999125in"} 同样，当m\>N 时，也有 {width="0.7152690288713911in" height="0.2847944006999125in"} {width="1.2708464566929134in" height="6.965223097112861e-3in"} ①柯西(Augustin-Louis Cauchy,1789---1857),法国数学家，他出版了《分析教程》(1821)、《无穷小 分析教程概论》(1823)、《微积分在几何中的应用》(1826---1828)这几部划时代的著作，给出了分析学一 系列基本概念的严格定义，将微积分理论完整而严密地墓葬极限的基础之上，从而使他成为严格微积 分学的奠基者. 因此，当m\>N,n\>N 时，有 lxₙ-xI=1(xₙ-a)-(xm-a)I {width="1.847237532808399in" height="0.28470581802274714in"} 所以条件是必要的. 充分性这里不予证明. 这准则的几何意义表示，数列{x1 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的 正数ε,在数轴上一切具有足够大号码的点xn中，任意两点间的距离小于8. 柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理. []{#bookmark78 .anchor}习 题 1-6 1.计算下列极限： \(1\) {width="0.5416382327209099in" height="0.2638976377952756in"} (2) {width="0.5208256780402449in" height="0.2707742782152231in"} \(3\) {width="0.5416382327209099in" height="0.2707742782152231in"} (4) {width="0.5763899825021872in" height="0.21531496062992125in"} \(5\) {width="0.6735793963254593in" height="0.2638976377952756in"} (6) {width="0.6318897637795275in" height="0.23612314085739283in"}(x 为不等于零的常数，neN.). 2.计算下列极限： \(1\) {width="0.64582895888014in" height="0.24308945756780403in"} (2) {width="0.7291437007874015in" height="0.24308945756780403in"} \(3\) {width="0.6944564741907262in" height="0.29854768153980754in"} (4) {width="0.7291437007874015in" height="0.29863735783027123in"}(k为正整数). \*3.根据函数极限的定义，证明极限存在的准则I\'. 4.利用极限存在准则证明： (1){width="0.884019028871391in" height="0.29863735783027123in"} {width="2.1438582677165354in" height="0.29167104111986003in"} (3)数列 √2,√ 2+J2,√2+√2+√2, ... 的极限存在； \(4\) {width="0.6319542869641295in" height="0.2083497375328084in"} (5) {width="0.770832239720035in" height="0.2707742782152231in"} 4 []{#bookmark79 .anchor}第 七 节 无穷小的比较 在第五节中我们已经知道，两个无穷小的和、差及乘积仍旧是无穷小.但是， 关于两个无穷小的商，却会出现不同的情况，例奶当x→0 时，3x、x²sin x 都是 无穷小，而 {width="0.5983694225721785in" height="0.31272528433945757in"} {width="0.6425481189851269in" height="0.2988932633420822in"}{width="0.7568930446194225in" height="0.29863735783027123in"} 两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的"快慢" 程度.就上面几个例子来说，在x→0 的过程中，x²→0 比 3x→0"快些",反过来3x → 0 比x²→0"慢些",而sin x→0与 3x→0"快慢相仿". 下面，我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时，来说明两个无穷小之间 的比较.应当注意，下面的α及β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小， 且α≠0,{width="0.39055446194225724in" height="0.30560367454068244in"}也是在这个变化过程中的极限. 定义 如果 {width="0.618079615048119in" height="0.29167213473315834in"},那么就说β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α); 如果 {width="0.6062795275590551in" height="0.28497812773403325in"} ,那么就说β是比α低阶的无穷小； 如果 {width="0.8125218722659667in" height="0.29854768153980754in"},那么就说β与α是同阶无穷小； 如果 {width="0.8263965441819773in" height="0.3124792213473316in"},k\>0 ,那么就说β是关于α的k 阶无穷小； 如果 {width="0.557998687664042in" height="0.28565288713910764in"},那么就说β与α是等价无穷小，记作α\~β. 显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即 c=1 的情形. 下面举一些例子： 因为{width="0.6412456255468066in" height="0.34722003499562554in"},所以当x→0 时，3x²是 比x 高阶的无穷小，即 3x²=o(x)(x→0). 因为{width="0.6795275590551181in" height="0.6474507874015748in"} ,所以当 n→ ∞ 时，{width="0.17278215223097113in" height="0.33328740157480313in"}是比- {width="0.15896981627296589in" height="0.3263221784776903in"}低阶的无穷小. 因为\]{width="0.703830927384077in" height="0.33328740157480313in"}所以当x→3 时 ，x²-9 与 x-3 是同阶无穷小. {width="1.2014074803149606in" height="0.30551399825021874in"},所以当x→0 时，1-cos x是关于x 的二阶无穷小. 因为{width="0.7037478127734034in" height="0.29167104111986003in"},所以当x→0 时 ，sin x 与 x 是等价无穷小，即 sin量 x x→0 下面再举一个常用的等价无穷小的例子. 例 1 证明：当 证 因为 时 {width="0.9514009186351706in" height="0.30560367454068244in"} {width="3.2638998250218725in" height="0.5486034558180227in"} {width="1.4374748468941383in" height="0.29863735783027123in"}{width="2.5069411636045493in" height="0.35409667541557305in"} 所以 关于等价无穷小，有下面两个定理. 定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为 β=α+0(α). 证 必要性 设α\~β,则 {width="2.2291207349081366in" height="0.33328740157480313in"} 因此β-α=o(α),即β=α+o(α). 充分性 设β=α+o(α), 则 {width="2.4860651793525808in" height="0.34025371828521433in"} 因此α\~β. 例 2 因为当x→0 时 ，sin x～x,tan x～x,arcsin x～x, {width="0.868086176727909in" height="0.28470581802274714in"},所以当 x→0 时有 sin x=x+o(x),tan x=x+o(x), arcsin x=x+0(x), {width="1.3680358705161855in" height="0.29863735783027123in"} 定理2 设 α\~α,β\~β,且 {width="0.39582239720034995in" height="0.43063101487314087in"}存在，则 {width="1.263908573928259in" height="6.965223097112861e-3in"} ① 极 {width="1.8819892825896762in" height="0.2152263779527559in"})用到了习题1-6中题4(4)的结果及第五节中定理3 的推论2. {width="0.9305653980752406in" height="0.45831583552055993in"} {width="3.7430971128608923in" height="0.5208705161854769in"} 证 {width="0.5833147419072616in" height="0.31946412948381453in"}定理2表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来 代替 . 因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，就可以使计算简化 . 例 3 求 解 当 x→0 时 ，tan 2x～2x,sin 5x～5x,所 以 {width="0.5763702974628171in" height="0.30554352580927385in"}{width="1.2985859580052495in" height="0.3332961504811899in"} 例 4 求 解 当 x→0 时 ，sin x\~x,无 穷 小x³+3x 与它本身显然是等价的，所以 {width="2.2708858267716536in" height="0.35417760279965005in"} 例 5 {width="1.06251968503937in" height="0.39585083114610675in"} 解 当 x→0 时 ，{width="2.1458759842519686in" height="0.29858377077865267in"},所以 {width="2.0000306211723533in" height="0.6528510498687664in"} []{#bookmark80 .anchor}习 题 1-7 1\. 当 x→0 时，2x-x² 与 x²-x³ 相比，哪一个是高阶无穷小? 2\. 当 x→0 时，(1-cosx)² 与 sin²x相比，哪一个是高阶无穷小? 3\. 当x→ 1 时，无穷小1-x 和(1)1-x³,(2) {width="0.5214774715660543in" height="0.25067694663167106in"}是否同阶，是否等价? {width="0.7222145669291339in" height="0.34025699912510937in"}4. 证明：当x→0 时，有 (1)arctan x～x; \(2\) 5\. 利用等价无穷小的性质，求 烈 极 限 ? \(1\) {width="0.5208103674540683in" height="0.25690944881889766in"} (2) {width="0.9444553805774278in" height="0.30554352580927385in"}n 为正整数); \(3\) {width="0.7777744969378828in" height="0.26395997375328084in"} {width="1.9583606736657917in" height="0.34721784776902886in"} 6.证明无穷小的等价关系具有下列性质： (1)α\~α(自反性); (2)若α\~β,则β\~α(对称性); (3)若α\~β,β\~γ,则α\~γ(传递性). []{#bookmark81 .anchor}第 八 节 函数的连续性与间断点 一 、函数的连续性 自然界中有许多现象，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等都是连续 地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。例如就气温的 变化来看，当时间变动很微小时，气温的变化也很微小，这种特点就是所谓连续 性.下面我们先引入增量的概念，然后来描述连续性，并引出函数的连续性的 定义. 设变量u 从它的一个初值 u1变到终值 u₂,终值与初值的差 u₂-u,就叫做变 量 u 的增量，记作△u,即 △u=U₂-u₁ . 增量△u 可以是正的，也可以是负的.在△u 为正的情形，变量 u 从 u, 变到u₂ =u₁+△u 时是增大的；当△u 为负时，变量 u 是减小的. 应该注意到：记号△u 并不表示某个量△与变量 u 的乘积，而是一个整体不 可分割的记号. 现在假定函数y=f(x) 在点x。的某一个邻域内是有定义的.当自变量 x 在这 这样描述：如果当△x 趋于零时，函数的对应增量△y 也趋于零，即 或 {width="0.6042147856517935in" height="0.25005577427821524in"} (8-1) {width="1.6736154855643044in" height="0.2638976377952756in"} 那么就称函数y=f(x) 在 点x₀ 处是连续的，即有下述定义： 定义 设函数y=f(x) 在点 x₀ 的某一邻域内有定义，如果 {width="2.173655949256343in" height="0.2708628608923884in"} 那么就称函数y=f(x) 在点x₀ 连续. 为了应用方便起见，下面把函数y=f(x) 在点x。连续的定义用不同的方式来 叙述. 设 x=x₀+△x, 则△x→0 就 是x→x₀ 又由于 △y=f(xo+△x)-f(x 。)=f(x)-f(x 。), 即 f(x)=f(x₀)+△y, 可见△y→0 就是f(x)→f(x₀), 因此(8-1)式与 {width="0.9166152668416448in" height="0.22483595800524933in"} 相当.所以，函数y=f(x) 在 点x。连续的定义又可叙述如下： 设函数y=f(x) 在点x₀ 的某一邻域内有定义，如果 {width="1.0277307524059494in" height="0.2708628608923884in"}(8-2) 那么就称函数f(x)在点x₀ 连续. 由函数f(x) 当 x→x。时的极限的定义可知，上述定义也可用"ε-8"语言表达 如下： f(x) 在点x。连续⇔ Vε\>0,3δ\>0, 当1x-x₀ I\<δ时，有If(x)-f(x。)I\0,当 x∈Ů(x,8。)时,有 g(x2 这务保,便得上面的定理-这里 g(x)≠u。 这条件可以取消的理由是： Vε\>0, 使 g(x)=uo 成立的那些点 x, 显然也使 If\[g(x)\]-f(uo)I\0,a≠1) 对于一切实数x 都有 定义，且在区间(-∞,+∞)内是单调的和连续的，它的值域为(0,+∞). 由指数函数的单调性和连续性，引用定理2可得：对数函数 log 。x(a\>0, a≠1) 在区间(0,+∞)内单调且连续. 幂函数y=x "的定义域随μ的值而异，但无论μ为何值，在区间(0,+∞)内幂 函数总是有定义的.下面我们来证明，在(0,+∞)内幂函数是连续的.事实上，设 x\>0, 则 *y=x"=aleB,* 因此，幂函数x"可看作是由y=a",u=μlog 。x 复合而成的，由此，根据定理4,它在 (0,+∞)内连续.如果对于μ取各种不同值加以分别讨论，可以证明(证明从略) 幂函数在它的定义域内是连续的. 综合起来得到：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的. 最后，根据第一节中关于初等函数的定义，由基本初等函数的连续性以及本 节定理1、定理4可得下列重要结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续 的.所谓定义区间，就是包含在定义域内的区间. 根据函数f(x) 在 点 x₀ 连续的定义，如果已知f(x) 在 点x。连续，那么求 f(x) 当 x→x。的极限时，只要求f(x) 在 点x₀ 的函数值就行了.因此，上述关于初 等函数连续性的结论提供了求极限的一个方法，这就是：如果f(x) 是初等函数， 且 x₀ 是 f(x) 的定义区间内的点，那么 {width="1.0000339020122484in" height="0.25001968503937005in"} 例如，点x₀=0 是初等函数f(x)=√ 1-x² 的定义区间\[- 1,1\]上的点，所以 {width="1.0555271216097988in" height="0.24299978127734034in"};又如点{width="0.4388604549431321in" height="0.27773950131233593in"}是初等函数f(x)=In sin x的一个定义区间(0, π)内的点，所以 {width="0.8194072615923009in" height="0.32642935258092737in"}{width="1.5485673665791777in" height="0.34721894138232723in"} 例 5 求 {width="2.9378904199475064in" height="0.43748906386701664in"} 例 6 求 {width="0.5208573928258967in" height="0.30554352580927385in"} 解 令 aˣ-1=t, 则 x=log(1+t), 当x→0 时 t→0,于是 {width="1.3472397200349957in" height="0.31250437445319335in"}{width="1.7638746719160106in" height="0.3332961504811899in"} 例7 求 解 令(1+x)\"-1=t, 则当x→0 时 ，t→0, 于是 {width="2.6458114610673666in" height="0.34721675415573056in"} {width="1.9582863079615047in" height="0.35417760279965005in"} 由例5、例6、例7可得下列三个常用的等价无穷小关系式： In(1+x)～x(x→0), {width="0.8611439195100612in" height="0.2777023184601925in"}e\*-1～x(x→0), (1+x)"-1\~αx(x→0). 例 8 求 解 因为 {width="2.5211800087489062in" height="0.2965780839895013in"} {width="2.3958442694663167in" height="0.5277416885389327in"}利用定理3及极限的 一般地，对于形如 u(x)ᵗ(x)(u(x)\>0,u(x)≠1) 的函数(通常称为幂指函 数),如果 lim u(x)=a\>0,lim v(x)=b, 那么 lim u(x)x)=a⁶ . 注意：这里三个lim 都表示在同一自变量变化过程中的极限. []{#bookmark85 .anchor}习 题 1-9 {width="0.38200021872265966in" height="0.18748468941382326in"}{width="0.40974628171478567in" height="0.18748468941382326in"}{width="0.42365157480314963in" height="0.18748468941382326in"}1. 求函数.{width="0.9761297025371829in" height="0.2847517497812773in"}的连续区间，并求极限 4 )及 2.设函数f(x) 与g(x) 在点x。连续，证明函数 φ(x)=max1f( 领 零 ,考 (y=min\|f(x),g(x) 在点x。也连续. 3\. 求下列极限： {width="0.625016404199475in" height="0.2777919947506562in"}{width="0.7708256780402449in" height="0.27083005249343833in"}{width="0.7786887576552931in" height="0.25793416447944006in"} 4 {width="0.9444444444444444in" height="0.48606846019247596in"} \(7\) {width="1.2723304899387577in" height="0.2025754593175853in"} (8) 4\. 求下列极限： {width="0.9444455380577428in" height="0.20836614173228346in"}{width="0.6528258967629046in" height="0.26387029746281715in"}{width="1.2989391951006124in" height="0.36884623797025373in"}{width="1.180573053368329in" height="0.34034667541557306in"} 5\. 设f(x) 在 R 上连续，且f(x)≠0,φ(x) 在 R 上有定义，且有间断点，则下列陈述中哪些 是对的，哪些是错的?如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例. (1)φ\[f(x)\] 必有间断点； (2)\[φ(x)\]² 必有间断点； (3)f\[φ(x)\] 未必有间断点； (4) {width="0.29168307086614176in" height="0.2847517497812773in"}必有间断点 6\. 设函数 {width="1.1319695975503061in" height="0.3680982064741907in"} 应当怎样选择数 a, 才能使得f(x) 成为在(-∞,+∞)内的连续函数. []{#bookmark86 .anchor}第 十 节 闭区间上连续函数的性质 第八节中已说明了函数在区间上连续的概念，如果函数f(x) 在 开 区 间(a, b\) 内连续，在右端点b 左连续，在左端点a 右连续，那么函数f(x) 就是在闭区间 a,6 上连续的 .在闭区间上连续的函数有几个熏要的性质，今以定理的形式叙 述它们 . 一 、有界性与最大值最小值定理 先说明最大值和最小值的概念.对于在区间I上有定义的函数f(x), 如果有 xo ∈1,使得对于任一x∈I 都有 f(x)≤f(x₀) (f(x)≥f(x₀)), 那么称f(x₀)是函数f(x)在区间 I上的最大值(最小值). 例如，函数f(x)=1+sin x在区间\[0,2π\]上有最大值2和最小值0.又例如， 函数f(x)=sgn x 在区间(-∞,+∞)内有最大值1和最小值-1.在开区间(0,+ ∞)内，sgn x 的最大值和最小值都等于1(注意：最大值和最小值可以相等!). 但函数f(x)=x 在开区间(a,b) 内既无最大值又无最小值.下面的定理给出函数 有界且最大值和最小值存在的充分条件. 定理1(有界性与最大值最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上 有界且一定能取得它的最大值和最小值. 这就是说，如果函数f(x) 在闭区间\[a,b\] 上 连续，那么存在常数M\>0, 使得对任一x∈\[a,b\], 满足If(x)I≤M; 且至少有一点ξ,使f(ξ₁)是 f(x) 在\[a,b\] 上的最大值；又至少有一点ξ2,使 f(ξ2)是f(x)在\[a,b\] 上的最小值(图1-40). 这里不予证明. {width="1.680573053368329in" height="1.201337489063867in"} {width="1.562509842519685in" height="1.4653248031496062in"}图1-40 注意 如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数 在该区间上不一定有界，也不一定有最大值或最小值.例如，函数y=tan x 在 开区间{width="0.6245778652668417in" height="0.3124792213473316in"}内是连续的，但它在开区间 {width="0.6111111111111112in" height="0.3194455380577428in"}内是无界的，且既无最大值又无最小值； 又如，函数 {width="1.7847320647419072in" height="0.6319258530183727in"} 图1-41 在闭区间\[0,2\]上有间断点x=1, 这函数f(x) 在 闭区间\[0,2\]上虽然有界，但是既无最大值又无最小值(图1-41). 众号 []{#bookmark87 .anchor}二 、零点定理与介值定理 如果x。使f(x 。)=0, 那么 x₀ 称为函数f(x) 的零点 · {width="1.6527635608048994in" height="1.3264545056867891in"}定理2(零点定理) 设函数f(x) 在闭区间 \[a,b\] 上连续，且f(a) 与f(b) 异号(即f(a)·f (b)\<0), 则在开区间(a,b) 内至少有一点ξ,使 f(ξ)=0. 这里不予证明. 从几何上看，定理2表示：如果连续曲线弧y =f(x) 的两个端点位于x 轴的不同侧，那么这段 曲线弧与x 轴至少有一个交点(图1-42). 图1-42 由定理2立即可推得下列较一般性的定理. 定理3(介值定理) 设函数f(x) 在闭区间\[a,b\] 上连续，且在这区间的 端点取不同的函数值 f(a)=A 及 f(b)=B, 则对于A 与 B 之间的任意一个数 C, 在开区间(a,b) 内至少有一点ξ,使得 f(ξ)=C (a\<ξ\0,f(1)=-2\<0. 根据零点定理，在(0,1)内至少有一点ξ,使得 f(ξ)=0, 即 ξ³-4ξ²+1=0 (0\<ξ\<1). 这等式说明方程 x³-4x²+1=0 在区间(0,1)内至少有一个根是ξ. \*三、 一致连续性 我们先介绍函数的一致连续性概念. 设函数在区间I 上连续，x。是在I 上任意取定的一个点.由于f(x)在点x₀连 续，因此Ve\>0,3δ\>0, 使得当1x-x。I\<δ时，就有If(x)-f(x₀)I\0(0\<ε\<1), 假定.{width="0.5444356955380577in" height="0.29854768153980754in"}在(0,1)上一致连续，应该3δ\>0,使得对于(0, 1\]上的任意两个值x₁、x₂,当lx₁-x₂ I\<时，就有If(x₁)-f(x₂)I\0,b\>0, 至少有一个正根，并且它不超过 a+b. 4\. 证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程 aox²⁺+a,x²+...+a₂ₙx+a2n+1=0 至少有一实根，其中a%,a₁,...,a₂n+1均为常数，n∈N. 5\. 若f(x) 在\[a,b\] 上连续，a\0,b\>0,c\>0); (6)](#bookmark162) [(7) {width="1.0903182414698163in" height="0.25690944881889766in"} (8)](#bookmark163) 10 . 设 {width="0.9583497375328084in" height="0.22915791776027997in"} ; {width="0.8125404636920385in" height="0.26387029746281715in"} {width="0.8125404636920385in" height="0.2777909011373578in"} {width="0.7152701224846895in" height="0.29858377077865267in"} {width="1.2926301399825022in" height="0.487496719160105in"} 要使f(x) 在(-∞,+∞)内连续，应当怎样选择数a? 11 . 设 {width="0.9027952755905512in" height="0.2847517497812773in"} 求f(x) 的间断点，并说明间断点所属类型. 12\. 证 明 {width="2.055557742782152in" height="0.34721675415573056in"} 13\. 证明方程 sin x+x+1=0 在开区间{width="0.564834864391951in" height="0.284663167104112in"}内至少有一个根. 14\. 如果存在直线 L:y=kx+b, 使得当 x→∞ ( 或x→+∞0,x→-∞) 时，曲线y=f(x) 上的动 点 M(x,y) 到直线 L的距离 d(M,L)→0, 那么称L 为曲线y=f(x) 的渐近线.当直线L 的斜率k ≠0时，称L 为斜渐近线. (1)证明：直线L:y=kx+b 为曲线y=f(x) 的渐近线的充分必要条件是 {width="0.8263812335958005in" height="0.26752077865266843in"} b= {width="0.9027941819772528in" height="0.21956911636045495in"} {width="1.445320428696413in" height="0.23959864391951005in"} (2)求曲线：{width="0.7152701224846895in" height="0.18052384076990377in"}的斜渐近线. []{#bookmark90 .anchor}**第二章** **导数与微分** 微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分. 本章中，我们主要讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法.至于导数的 应用，将在第三章讨论. []{#bookmark91 .anchor}**第一节** **导** **数** **概** **念** **一** **、引** **例** 为了说明微分学的基本概念------导数，我们先讨论两个问题：速度问题和切 线问题.这两个问题在历史上都与导数概念的形成有密切的关系. **1.** **直线运动的速度** 设某质点沿直线运动.在直线上规定了原点、正方向和单位长度，使直线成 为数轴.此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点.设质点于时刻 t 在直线上 的位置的坐标为s (简称位置s).这样，该质点的运动完全由某个函数 s=f(t) {width="0.7708256780402449in" height="0.40281167979002624in"}所确定.此函数对运动过程中所出现的 t 值有定义，称为位置函数.在最简单的 情形，该质点所经过的路程与所花的时间成正比.就是说，无论取哪一段时间间 隔，比值 (1-1) 总是相同的.这个比值就称为该质点的速度，并说该质点做匀速运动.如果运动 不是匀速的，那么在运动的不同时间间隔内，比值(1-1)会有不同的值.这样，把 比值(1-1)笼统地称为该质点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑.那 么,这种非匀速运动的质点在某一时刻(设为to)的速度应如何理解而又如何求 得呢? 首先取从时刻t。到 t 这样一个时间间隔，在这段时间内，质点从位置 so= {width="1.0764140419947505in" height="0.44448490813648295in"}f(t。)移动到s=f(t). 这时由(1-1)式算得的比值 (1-2) 可认为是质点在上述时间间隔内的平均速度.如果时间间隔选得较短，这个比值 (1-2)在实践中也可用来说明质点在时刻t 的速度.但对于质点在时刻t₀的速度 的精确概念来说，这样做是不够的，而更确切地应当这样：令t→t₀, 取(1-2)式的 极限，如果这个极限存在，设为v, 即 {width="1.0972189413823272in" height="0.38891951006124237in"} 这时就把这个极限值》称为质点在时刻1。的(瞬时)速度. 2\. 切线问题 圆的切线可定义为"与曲线只有一个交点的直线".但是对于其他曲线，用 "与曲线只有一个交点的直线"作为切线的定义就不一定合适.例如，对于抛物 线y=x², 在原点0处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有x 轴是该抛物 线在点0处的切线.下面给出切线的定义. 设有曲线 C 及 C 上的一点M (图2-1),在点M 外另取C 上一点N, 作割线 MN. 当点N 沿曲线 C 趋于点M时，如果割线 MN 绕点M 旋转而趋于极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C 在点M 处的切线.这里极限位置的含义是：只要弦长 IMNI 趋于零，∠NMT 也趋于零. 现在就曲线C 为函数y=f(x) 的图形的情形来讨论切线问题.设M(xo,y 。) 是曲线 C 上的一个点(图2-2),则y。=f(x。). 根据上述定义要定出曲线 C 在点 M 处的切线，只要定出切线的斜率就行了.为此，在点M 外另取 C 上的一点 N(x,y), 于是割线MN 的斜率为 {width="1.604212598425197in" height="0.38891951006124237in"} {width="1.736101268591426in" height="1.1597331583552055in"}{width="1.6875109361329834in" height="1.3124912510936133in"} 图2-1 图2-2 其中φ为割线 MN 的倾角.当点N 沿曲线 C 趋于点 M 时 ，x→x₀.如果当x→x₀ 时，上式的极限存在，设为k, 即 {width="1.2499989063867016in" height="0.416661198600175in"} 存在，那么此极限k 是割线斜率的极限，也就是切线的斜率.这里 k=tan α,其中 α是切线MT的倾角.于是，通过点 M(x 。,f(x 。)) 且以 k 为斜率的直线 MT 便是 曲 线C 在点M 处的切线.事实上；由∠NMT=φ- α 以 及x→x。时φ→ α,可见x→x。 时(这时1MNI→0),∠NMT→0. 因此直线 MT 确为曲线 C 在点 M处的切线. 二 、导数的定义 1\. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出，非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归 结为如下的极限： {width="0.9930479002624671in" height="0.3819302274715661in"} (1-3) 这里x-x。和f(x)-f(x 。) 分别是函数y=f(x) 的自变量的增量△x 和函数的增量 △y: △x=x-xo, △y=f(x)-f(x 。)=f(x₀+△x)-f(x₀). {width="0.43060367454068244in" height="0.31250437445319335in"}{width="1.2986362642169729in" height="0.3680096237970254in"}因 x→x₀相当于△x→0,故(1-3)式也可写成 或 在自然科学和工程技术领域内，还有许多概念，例如电流强度、角速度、线密度 等，都可归结为形如(1-3)式的数学形式.我们撇开这些量的具体意义，抓住它 们在数量关系上的共性，就得出函数的导数概念. 定义 设函数 y=f(x) 在点x。的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x。处取得 增量△x( 点 xo+△x 仍在该邻域内)时，相应地，因变量取得增量△y= f(x₀+△x)-f(x₀); 如果△y 与△x 之比当△x→0 时的极限存在，那么称函数 y= f(x) 在点 x。处可导，并称这个极限为函数 y=f(x) 在点 x。处的导数，记为 f\'(x₀), 即 也可记作 y\'lx=x₀, {width="2.3749857830271215in" height="0.3680096237970254in"} (1-4) {width="1.6944783464566928in" height="0.41664260717410323in"}{width="1.2153346456692913in" height="0.3680096237970254in"} 函数f(x)在点x₀ 处可导有时也说成f(x) 在点x。具有导数或导数存在. 导数的定义式(1-4)也可取不同的形式，常见的有 (1-5) {width="1.520825678040245in" height="0.3888593613298338in"}和 (1-6) (1-5)式中的h 即自变量的增量△x. 在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化"快慢"问题，在数学 上就是所谓函数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述. 它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量 方面来刻画变化率的本质：因变量增量与自变量增量之比{width="0.24817694663167103in" height="0.3332819335083115in"}是因变量y 在以x。 和 x₀+△x为端点的区间上的平均变化率，而导数f\'(x₀) 则是因变量y 在点x₀ 处 的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度. 如果极限(1-4)不存在，就说函数y=f(x) 在点x。处不可导.如果不可导的 原因是由于△x→0时，比{width="0.5687325021872266in" height="0.2939610673665792in"} ,为了方便起见，也往往说函数y=f(x) 在点 x₀处的导数为无穷大. 上面讲的是函数在一点处可导.如果函数y=f(x) 在开区间I 内的每点处都 可导，那么就称函数f(x) 在开区间I 内可导.这时，对于任一x∈I,都对应着 f(x) 的一个确定的导数值.这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数 y=f(x) 的导函数，记作 {width="0.7986078302712161in" height="0.3054932195975503in"}或 {width="0.43050743657042867in" height="0.3054932195975503in"} 在(1-4)式或(1-5)式中把x₀ 换成x, 即得导函数的定义式 {width="1.3749704724409448in" height="0.34029636920384954in"} 或 {width="1.548597987751531in" height="0.34029636920384954in"} 注意 在以上两式中，虽然x 可以取区间I 内的任何数值，但在极限过程 中 ，x 是常量，△x 或h 是变量. 显然，函数f(x) 在点x₀ 处的导数f\'(x 。) 就是导函数f\'(x) 在点x=x。处的函 数值，即 f\'(x₀)=f\'(x)I.₀ · 导函数f\'(x)简称导数，而f\'(x₀) 是f(x)在x。处的导数或导数f\'(x) 在 x₀ 处的值. 2\. 求导数举例 下面根据导数定义求一些简单函数的导 {width="2.354192913385827in" height="0.31946412948381453in"}例 1 求函数f(x)=C(C 为常数)的导数. 解 即 (C)\'=0. 这就是说，常数的导数等于零. {width="2.6249540682414696in" height="0.29858377077865267in"}例2 求函数f(x)=x\"(n∈N₄) 的导数. 解 当 n=1 时， 当 n\>1 时 ， {width="2.5208595800524933in" height="0.34730643044619425in"} {width="2.604161198600175in" height="0.326424978127734in"} 即 {width="1.3684733158355205in" height="0.3629604111986002in"} 例 3 求幂函数f(x)=x\"(μ∈R) 的导数. 解 幂函数的定义域与常数μ有关，以下设x 在幂函数x"的定义域内且 x≠0, 则 {width="2.8616797900262467in" height="0.6527613735783027in"} 利用第一章第九节例7的结果，便得 {width="2.013907480314961in" height="0.34025699912510937in"} 即 (x\")\'=μx- ¹ . 这就是幂函数的导数公式①. 利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如： 当 {width="0.3610793963254593in" height="0.2916229221347332in"}时 ，y=x 京= √x(x\>0) 的导数为 {width="1.270825678040245in" height="6.944444444444444e-3in"} ① 对x=0时，若μ\>1,则用导数定义直接计算得f(O)=0, 而此时公式右端当x=0时也为零，故公 式对一切x适用；若μ=1,则对一切x有f\'(x)=1,而此时公式端当x≠0时也为1,当x=0 时，其值特别 约定为1,这样，公式对一切x也适用. {width="1.4166360454943132in" height="0.326424978127734in"} 即 {width="0.7916830708661418in" height="0.3680096237970254in"} 当μ=-1时 {width="1.1041590113735782in" height="0.29171259842519687in"}的导数为 (x⁻¹)\'=(-1)x⁻¹⁻¹=-x⁻², 即 {width="0.7708256780402449in" height="0.3680982064741907in"} {width="2.8055260279965006in" height="0.31937554680664915in"}例4 求函数f(x)=sin x的导数. 解 {width="1.6597156605424321in" height="0.34025699912510937in"} {width="1.9166360454943132in" height="0.6805139982502187in"} 即 (sin x)\'=cos x. 这就是说，正弦函数的导数是余弦函数. 用类似的方法，可求得 (cos x)\'=-sin x, 就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数. 例5 求函数f(x)=a\*(a\>0,a≠1) 的导数. 解 {width="3.0416535433070866in" height="0.34721675415573056in"} 利用第一章第九节例6的结果得 f\'(x)=a\*ln a, 即 (a⁴)\'=a\*ln a. 这就是指数函数的导数公式.特殊地，当a=e 时，因In e=1,故有 (eˣ)\'=e. 上式表明，以e 为底的指数函数的导数就是它自己，这是以e 为底的指数函 数的一个重要特性. {width="2.8194313210848643in" height="0.3130358705161855in"}例 6 求函数f(x)=log 。x(a\>0,a≠1) 的导数. 解 {width="2.2916852580927385in" height="0.326424978127734in"} {width="2.132465004374453in" height="0.6327941819772528in"} 作代换 {width="0.3611428258967629in" height="0.326424978127734in"}并利用第一章第九节例5的结果得 {width="0.9027941819772528in" height="0.3263363954505687in"} 即 {width="0.9791426071741033in" height="0.31946412948381453in"} 这就是对数函数的导数公式.特殊地，当a=e 时，由上式得自然对数函数的 导数公式 {width="0.7499682852143482in" height="0.30554352580927385in"} {width="2.2777799650043744in" height="0.34025699912510937in"}例 7 求函数f(x)=Ixl 在 x=0 处的导数. 解 {width="1.4652384076990377in" height="0.30563320209973754in"} {width="0.4374923447069116in" height="0.29171259842519687in"}{width="0.6666666666666666in" height="0.298672353455818in"}当 h\<0 时， ; {width="1.0347626859142607in" height="0.30554352580927385in"}当 h\>0 时， ,故 所以， 不存在，即函数f(x)=1xl 在 x=0 处不可导. 3\. 单侧导数 根据函数f(x) 在 点x₀ 处的导数f\'(x。)的定义，导数 {width="1.7014304461942258in" height="0.34025699912510937in"} 是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此 f\'(x。)存在即f(x) 在点x₀ 处可导的充分必要条件是左、右极限 {width="2.7847331583552055in" height="0.46973753280839897in"} 都存在且相等.这两个极限分别称为函数f(x) 在点x₀ 处的左导数和右导数，记 作f\'(x。)及f(x。),即 {width="1.791613079615048in" height="0.7222145669291339in"} 现在可以说，函数f(x) 在点x₀ 处可导的充分必要条件是左导数f\'(x 。) 和右导数 f\'(x 。) 都存在且相等. 函数f(x)=1xl 在 x=0 处的左导数f\'(0)=-1 及右导数f\'(0)=1 虽然都 存在，但不相等，故f(x)=1xl 在 x=0 处不可导. 左导数和右导数统称为单侧导数. 如果函数f(x) 在开区间(a,b) 内可导，且f\'(a) 及f\'(b) 都存在，那么就说 f(x)在闭区间\[a,b\] 上可导. []{#bookmark92 .anchor}三 、导数的几何意义 {width="1.6527679352580928in" height="1.3055008748906387in"}由第一目中切线问题的讨论以及第二目中导数的定义可知：函数y=f(x) 在 点 x₀ 处的导数f\'(x₀) 在几何上表示曲线y=f(x) 在点M(x₀,f(xo)) 处的切线的 斜率，即 f\'(x₀)=tan α, 其中α是切线的倾角(图2-3). 如果y=f(x) 在点x。处的导数为无穷大，那么 这时曲线y=f(x) 的割线以垂直于x 轴的直线x= x₀ 为极限位置，即曲线 y=f(x) 在 点 M(x₀, f(x 。)) 处具有垂直于x 轴的切线x=x。(参看后面 例10). 根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方 程，可知曲线 y=f(x) 在点M(x₀,y%)处的切线方程为 y-yo=f\'(x 。)(x-x₀). 过切点M(x₀,y 。)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x) 在点M 处的法线. 如果f\'(x₀)≠0, 法线的斜率为{width="0.5482622484689413in" height="0.34030293088363955in"},从而法线方程为 {width="1.409673009623797in" height="0.41668525809273843in"} *公众号：考研拼课* 例 8 求等边双曲线 {width="0.33541666666666664in" height="0.29854768153980754in"}在点{width="0.44722222222222224in" height="0.34025371828521433in"}处的切线的斜率，并写出在该点处的 切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 {width="0.6735553368328959in" height="0.2013834208223972in"} 由于{width="0.9779013560804899in" height="0.35418525809273843in"},于是 {width="1.0764140419947505in" height="0.42366469816272967in"} 从而所求切线方程为 {width="1.0625087489063867in" height="0.35418525809273843in"} 即 4x+y-4=0. 所求法线的斜率为 {width="0.8055238407699038in" height="0.34722003499562554in"} 于是所求法线方程为 {width="1.0416513560804899in" height="0.340343394575678in"} 即 2x-8y+15=0. 例 9 求曲线*y=x²1*的通过点(0,-4)的切线方程： 解 设切点为(x₀,y 。), 则切线的斜率为 {width="1.6527635608048994in" height="0.3819586614173228in"} 于是所求切线方程可设为 {width="1.284730971128609in" height="0.29854768153980754in"} (1-7) 因切点(xo,y 。)在曲线y=x² 上，故有 {width="0.5347626859142607in" height="0.24308945756780403in"} (1-8) 由已知切线(1-7)通过点(0,-4),故有 {width="1.3680325896762904in" height="0.30551399825021874in"} (1-9) 求得方程(1-8)及(1-9)组感的方程组的解为x₀=4,y₀=8, 代入(1-7)式并 化简，即得所求切线方程为 3x-y-4=0. 四 、函数可导性与连续性的关系 设函数y=f(x) 在 点x 处可导，即 {width="0.8680325896762905in" height="0.3124792213473316in"} 存在. 由具有极限的函数与无穷小的关系知道， {width="0.9027941819772528in" height="0.3194455380577428in"} 其中α为当△x→0 时的无穷小.上式两边同乘△x,得 △y=f\'(x)△x+α△x. 由此可见，当△x→0 时，△y→0.这就是说，函数y=f(x) 在 点x 处是连续的.所以， 如果函数y=f(x) 在点x 处可导，那么函数在该点必连续. 另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导.举例说明如下： 例10 函数y=f(x)=³√x在区间(-∞,+∞)内连续，但在点x=0 处不可导. 这是因为在点x=0 处有 {width="1.7013659230096239in" height="0.3680271216097988in"} 因而，{width="1.8821369203849518in" height="0.34721894138232723in"} ,即导数为无穷大(注意，导数不存在).这事 实在图形中表现为曲线y=√x 在原点0具有垂直于x 轴的切线x=0 (图2 - 4) . 例11 函数y=√x² ( 即y=1x1) 在(一∞,+∞)内连续，但在例7中已经看 到，这函数在x=0 处不可导. 曲线y=√x² {width="1.6250174978127734in" height="1.2222353455818022in"} 图2-4 在原点0没有切线(图2-5). {width="1.5346992563429571in" height="1.3749475065616799in"} 图2-5 考研拼课 由以上讨论可知，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充 分条件 . []{#bookmark93 .anchor}习 题 2-1 1\. 设物体绕定轴旋转，在时间间隔\[0,t\] 上转过角度θ,从而转角θ是 t 的函数：θ= θ(t). 如果旋转是匀速的，那么称 {width="0.34717410323709536in" height="0.24996500437445318in"}为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎 样确定该物体在时刻t₀ 的角速度? 2\. 当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却.若物体的温度 T 与时间t的 函数关系为 T=T(t), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度? 3\. 设某工厂生产x 件产品的成本为 C(x)=2000+100x-0.1x² (元), 这函数 C(x) 称为成本函数，成本函数C(x) 的导数 C′(x)在经济学中称为边际成本.试求 (1)当生产100件产品时的边际成本； (2)生产第101件产品的成本，并与(1)中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际 意义. 4\. 设f(x)=10x², 试按定义求f\'(-1). 5\. 证明(cos x)\'=-sin x. 6\. 下列各题中均假定f\'(x 。) 存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么: {width="1.5139063867016622in" height="0.2847944006999125in"} \(2\) {width="0.6319685039370079in" height="0.2708628608923884in"},其中f(0)=0, 且f'(0) 存在； \(3\) {width="1.2916841644794401in" height="0.29167104111986003in"} 以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论： 7 . 设 {width="1.0694608486439194in" height="0.4930555555555556in"} 则f(x) 在x=1 处的( ). \(A\) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在，右导数不存在 \(C\) 左导数不存在，右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 8\. 设f(x) 可导，F(x)=f(x)(1+1 sin x1),则 f(0)=0 是 F(x) 在 x=0 处可导的 ( ). \(A\) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件 \(C\) 必要条件但非充分条件 )既非竞芬祭件又非必要条件 9\. 求下列函数的导数： (1)y=x⁴; (2)y=³x²; (3)y=x¹⁶6; \(4\) {width="0.3680314960629921in" height="0.30551399825021874in"} (5) {width="0.3680314960629921in" height="0.2708628608923884in"} (6)y=x³⁵x; \(7\) {width="0.5416502624671916in" height="0.3680271216097988in"} 10\. 已知物体的运动规律为s=t³m, 求这物体在t=2 s时的速度. 11\. 如果f(x)为偶函数，且f\'(0) 存在，证明f\'(0)=0. 12\. 求曲线y=sin x在具有下列横坐标的各点处切线的斜率： {width="0.4513965441819773in" height="0.27773950131233593in"} x=T. 13\. 求曲线y=cosx 上点{width="0.4920024059492563in" height="0.28470581802274714in"}处的切线方程和法线方程. 14\. 求曲线y=e⁵ 在点(0,1)处的切线方程. 15\. 在抛物线 y=x² 上取横坐标为x₁=1 及 x₂=3 的两点，作过这两点的割线.问该抛物线 上哪一点的切线平行于这条割线? 16\. 讨论下列函数在 x=0 处的连续性与可导性： (1)y=Isinxl; {width="1.152826990376203in" height="0.472247375328084in"} 17\. 设函数 {width="1.2083180227471566in" height="0.37499343832021in"} 为了使函数f(x) 在 x=1 处连续且可导，a、b应取什么值? 18\. 已知{width="1.0874617235345583in" height="0.36106189851268594in"}求f\'. (0)及f\'\_ (0), 又f\'(0) 是否存在? 19\. 已知 {width="1.1944772528433947in" height="0.36115157480314963in"} 求f\'(x). 20\. 证明：双曲线xy=a² 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a² . []{#bookmark94 .anchor}第 二 节 函数的求导法则 在本节中，将介绍求导数的几个基本法则以及前 一 节中未讨论过的几个基 本初等函数的导数公式 .借助于这些法则和基本初等函数的导数公式，就能比较 方便地求出常见的初等函数的导数{width="4.319116360454943e-2in" height="9.028762029746282e-2in"} 一 、函数的和、差、积、商的求导法则 定 理 1 如果函数u=u(x) 及 v=v(x) 都 在 点 x 具有导数，那么它们的和、 差、积、商(除分母为零的点外)都在点x 具有导数，且 (1)\[u(x)±v(x)\]\'=u\'(x)±v\'(x); (2)\[u(x)v(x)\]\'=u\'(x)v(x)+u(x)v\'(x); {width="3.1041622922134735in" height="0.35417760279965005in"} 证 (1) \[u(x)±v(x)\]\' {width="2.666669947506562in" height="0.31946412948381453in"} {width="2.555557742782152in" height="0.33338582677165357in"} =u\'(x)±v\'(x). 于是法则(1)获得证明.法则(1)可简单地表示为 (u±v)\'=u\'±v\'. (2)\[u(x)v(x)\]\' {width="2.1389227909011375in" height="0.31946412948381453in"} {width="3.618003062117235in" height="0.35417760279965005in"} {width="3.66667104111986in" height="0.31241469816272965in"} =u\'(x)v(x)+u(x)v\'(x). 其 中{width="1.1522856517935258in" height="0.21532589676290464in"}是由于 v\'(x)存在，故 v(x) 在 点x 连续 .于是法则(2)获 得证明.法则(2)可简单地表示为 (uv)\'=u\'v+uv\'. {width="2.139617235345582in" height="0.487496719160105in"} {width="2.1458114610673666in" height="0.3332961504811899in"} {width="3.0693996062992124in" height="0.44448490813648295in"} {width="2.9583530183727036in" height="0.49999015748031495in"} {width="1.555556649168854in" height="0.3680982064741907in"} 于是法则(3)获得证明.法则(3)可简单地表示为 {width="0.9791437007874015in" height="0.34721675415573056in"} 定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形.例如，设 u=u(x)、v=v(x)、w=w(x) 均可导，则有 (u+v-w)\'=u\'+v\'-w\', (uww)\'=\[(uv)w\]\'=(uv)\'w+(uv)w\'=(u\'v+uv\')w+uvw\', 即 *(uvw)\'=u\'vw+uv\'w+uvw\'.* 在法则(2)中，当v(x)=C(C 为常数)时，有 *(Cu)\'=Cu\'.* 例1 y=2x³-5x²+3x-7, 求 y\'. 解 y\'=(2x³-5x²+3x-7)\'=(2x³)\'-(5x²)\'+(3x)\'-(7)\' {width="0.4930479002624672in" height="0.31250437445319335in"}=2·3x²-5·2x+3-0=6x²-10x+3. 例 2 {width="1.4653029308836396in" height="0.26395997375328084in"},求f\'(x) 及 解 f\'(x)=3x²-4sin x, {width="1.1041590113735782in" height="0.33338582677165357in"} 例 3 y=e\*(sin x+cos x),求y\'. 解 y\'=(e\*)\'(sin x+cos x)+eˣ(sin x+cos x)\' =e\*(sin x+cos x)+e(cos x-sin x)=2e\*cos x. {width="3.2295286526684164in" height="0.3343864829396325in"}例 4 y=tan x,求y\'. 解 {width="1.6881813210848644in" height="0.328659230096238in"} 即 (tan x)\'=sec²x. 这就是正切函数的导数公式. {width="2.993057742782152in" height="0.34721894138232723in"}例 5 y=sec x,求 y\'. 解 {width="1.2013724846894138in" height="0.34025371828521433in"} 即 (sec x)\'=sec xtan x. 这就是正割函数的导数公式. 用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式 (cot x)\'=-csc²x, (csc x)\'=-csc xcot x. 二 、反函数的求导法则 定理2 如果函数x=f(y) 在区间I, 内单调、可导且f\'(y)≠0, 那么它的反 函数y=f(x) 在区间 I₄={xlx=f(y),y∈I} 内也可导，且 {width="1.0907764654418197in" height="0.3155282152230971in"} 或 {width="0.5016415135608049in" height="0.4868186789151356in"} (2-1) 证 由 于x=f(y) 在 I,内单调、可导(从而连续),由第一章第九节定理2知 道 ，x=f(y) 的反函数y=f¹(x) 存在，且f¹(x) 在 I 内也单调、连续. 任取x∈I, 给 x 以增量△x(△x≠0,x+△x∈I), 由 y=f\'(x) 的单调性可知 △y=f¹(x+△x)-f¹(x)≠0, 于是有 {width="0.576894138232721in" height="0.473662510936133in"} 因 y=f¹(x) 连续，故 {width="0.6466918197725284in" height="0.188999343832021in"} 从而 {width="2.2291972878390203in" height="0.5277952755905512in"} 上述结论可简单地说成：反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 下面用上述结论来求反三角函数及淋数描数的导数. 例 6 设x=sin y, {width="0.819475065616798in" height="0.30551399825021874in"}为直接函数，则y=arcsin x 是它的反函数. 函数x=sin y 在开区间{width="0.8523075240594926in" height="0.3333770778652668in"}内单调、可导，且 (sin y)\'=cos y\>0. 因此，由公式(2-1),在对应区间I=(-1,1) 内有 {width="1.7430282152230971in" height="0.3333770778652668in"} 但cos y= √ 1-sin²y= √ 1-x²(因为当{width="0.6528937007874016in" height="0.2638976377952756in"}时 ，cos y\>0,所以根号前只取正 号),从而得反正弦函数的导数公式 {width="1.2221883202099737in" height="0.38883530183727033in"} (2-2) 用类似的方法可得反余弦函数的导数公式 {width="1.3058005249343831in" height="0.3568646106736658in"} (2-3) 例7 设x=tan y 是直接函数，{width="1.076415135608049in" height="0.30551399825021874in"} ,则y=arctan x是它的反函 数.函数x=tan y 在{width="0.8522954943132108in" height="0.3194455380577428in"}内单调、可导，且 (tan y)\'=sec²y≠0. 因此，由公式(2-1),在对应区间I=(-∞,+∞) 内有 {width="1.7916196412948382in" height="0.36106189851268594in"} 但 sec²y=1+tan²y=1+x², 从而得反正切函数的导数公式 {width="1.1319663167104113in" height="0.3194455380577428in"} 用类似的方法可得反余切函数的导数公式 {width="1.2013724846894138in" height="0.3194455380577428in"} {width="1.284763779527559in" height="0.23612314085739283in"}{width="1.3263943569553807in" height="0.24996609798775152in"}如果利用三角学中的公式 和 (2-4) (2-5) 那么从公式(2-2)和(2-4),也立刻可得公式(2-3)和(2-5). 例8 设x=a³(a\>0,a≠1) 为直接函数，则 y=logax 是它的反函数.函数x= a\'在区间I,=(-∞,+∞) 内单调、可导：考 (a\")\'=a\'ln a≠0. 因此，由公式(2-1),在对应区间1,=(0,+∞)内有 {width="1.5069542869641295in" height="0.35417760279965005in"} 但 a³=x, 从而得到第一节例6中已求得的对数函数的导数公式 {width="0.9721905074365704in" height="0.31250437445319335in"} 三 、复合函数的求导法则 到目前为止，对于 In tan x,e³, {width="0.5069520997375329in" height="0.326424978127734in"} 那样的函数，我们还不知道它们是否可导，可导的话如何求它们的导数.这些问 题借助于下面的重要法则可以得到解决，从而使可以求得导数的函数的范围得 到很大扩充. 定理3 如果 u=g(x) 在点 x 可导，而 y=f(u) 在点u=g(x) 可导，那么复合 函数y=f\[g(x)\] 在点x 可导，且其导数为 {width="1.1458103674540683in" height="0.29171259842519687in"} 或 {width="0.7569849081364829in" height="0.31250437445319335in"} (2-6) 证 由 于y=f(u) 在 点u 可导，因此 {width="0.8958420822397201in" height="0.326424978127734in"} 存在，于是根据极限与无穷小的关系有 {width="1.277778871391076in" height="0.31946412948381453in"} 其中α(△u)是△u→O·时的无穷小.上式中△u≠0,用△u 乘上式两边，得 △y=f\'(u)△u+α(△u)·△u. (2-7) 当△u=0 时，规定α(△u)=0①, 这时因△y=f(u+△u)-f(u)=0, 而(2-7)式右端 亦为零，故(2-7)式对△u=0 也成立.用△x≠0 除(2-7)式两边，得 {width="1.5207939632545933in" height="6.96084864391951e-3in"}{width="1.7847320647419072in" height="0.34721675415573056in"} ① 这时，{width="1.599242125984252in" height="0.49998906386701664in"}数α(Au)在△u=0处连续，即{width="1.0360170603674541in" height="0.18748468941382326in"} 于是 {width="2.3263834208223972in" height="0.34025699912510937in"} 根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道，当△x→0 时，△u→0, 从而可以 推知 {width="1.6666688538932632in" height="0.27083114610673664in"} 又因 u=g(x) 在点x 处可导，有 {width="0.9444455380577428in" height="0.31946412948381453in"} {width="1.4722550306211724in" height="0.31946412948381453in"} {width="1.2083180227471566in" height="0.32633530183727033in"} 这就是公式(2-6). 例 9 设 y=e, 习 {width="0.2847298775153106in" height="0.2847517497812773in"} 解 y =e³ 可看作由 y=e",u=x³复合而成，因此 {width="1.8263823272090989in" height="0.3263363954505687in"} 例10 设 {width="1.1249529746281715in" height="0.31946522309711284in"} 解 {width="0.6747080052493438in" height="0.29858377077865267in"}可看作由 y=sin u,1{width="0.4750142169728784in" height="0.31250437445319335in"}复合而成.因 {width="0.6666666666666666in" height="0.31250437445319335in"} {width="1.9792082239720035in" height="0.3749693788276465in"} 所以 {width="2.597209098862642in" height="0.3680096237970254in"} 从以上例子看出，应用复合函数求导法则时，首先要分析所给函数可看作由 哪些函数复合而成，或者说，所给函数能分解成哪些函数的复合.如果所给函数 能分解成比较简单的函数的复合，而这些简单函数的导数我们已经会求，那么应 用复合函数求导法则就可以求所给函数的导数苏 对复合函数的分解比较熟练后，就不必再写出中间变量，而可以采用下列例 题的方式来计算. 例11 设y=ln sin x, {width="0.30552274715660543in" height="0.28470581802274714in"} 解 {width="2.72917760279965in" height="0.3263221784776903in"} 例12 设y=³√ 1-2x², {width="0.29168307086614176in" height="0.30551399825021874in"} 解 {width="2.3055260279965006in" height="0.30551399825021874in"}1-2x²)\' {width="0.9583497375328084in" height="0.39580161854768153in"} 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形.我们以两个中间变 量为例，设y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x), 则 {width="0.7985717410323709in" height="0.3194455380577428in"} 而 {width="0.7569849081364829in" height="0.3264107611548556in"},故复合函数y=flφ\[ψ(x)\]}的导数为 {width="1.055556649168854in" height="0.33328740157480313in"} 当然，这里假定上式右端所出现的导数在相应处都存在. {width="0.9096828521434821in" height="0.30551399825021874in"}例13 设y=ln cos(e⁸), {width="0.31247594050743654in" height="0.326411854768154in"} 解 所给函数可分解为 y=In u,u =cos v,v =e. 因 -sin v,{width="0.38145122484689414in" height="0.30551399825021874in"},故 {width="3.166669947506562in" height="0.36106189851268594in"} 不写出中间变量，此例可这样写： {width="2.458351924759405in" height="0.326411854768154in"} {width="1.847240813648294in" height="0.36115157480314963in"} 例14 解 设 {width="0.4374923447069116in" height="0.2152263779527559in"},求y\'. {width="1.6464840332458444in" height="0.4375076552930884in"} 考 研拼课 {width="2.5417180664916885in" height="0.39580161854768153in"} []{#bookmark96 .anchor}四 、基本求导法则与导数公式 基本初等函数的导数公式与本节中所讨论的求导法则，在初等函数的求导 运算中起着重要的作用，我们必须熟练地掌握它们.为了便于查阅，现在把这些 导数公式和求导法则归纳如下： 1\. 常数和基本初等函数的导数公式 (1)(C)\'=0, (2)(x")\'=μx⁴⁻¹, (3)(sin x)\'=cos x, (4)(cos x)\'=-sin x, (5)(tan x)\'=sec²x, (6)(cot x)\'=-csc²x, {width="1.8263823272090989in" height="0.29863735783027123in"}{width="0.7638735783027122in" height="0.29167213473315834in"}(7)(sec x)\'=sec xtan x, (8)(csc x)\'=-csc xcot x, (9)(a\*)\'=a\*ln a(a\>0,a≠1), (10)(eˣ)\'=e³, {width="1.2499693788276465in" height="0.3680282152230971in"}{width="1.3611450131233596in" height="0.3680271216097988in"}(11) (12) \(13\) (14) {width="1.152762467191601in" height="0.3124792213473316in"}{width="1.2569860017497814in" height="0.3194455380577428in"} \(15\) (16) 2\. 函数的和、差、积、商的求导法则 设 u=u(x),v=v(x) 都可导，则 (1)(u±v)\'=u\'±v\', (2)(Cu)\'=Cu\'(C 是常数), (3)(uv)\'=u\'v+uv\', (4) {width="1.4166360454943132in" height="0.3473086176727909in"} 3\. 反函数的求导法则 {width="1.0769597550306211in" height="0.29380139982502185in"}{width="0.5624431321084864in" height="0.5139534120734908in"}设x=f(y) 在区间I,内单调、可导且f\'(y)≠0, 则它的反函数y=f¹(x) 在 I =f(I,) 内也可导，且 或 4\. 复合函数的求导法则 {width="0.7500328083989501in" height="0.3194455380577428in"}设y=f(u), 而 u=g(x) 且f(u) 及 g(x) 都可导；则复合函数y=fg(x)\] 的 导 数为 或 y\'(x)f 速 ·g\'(x). 下面再举两个综合运用这些法则和导数公式的例子. 例15 设y =sin nx · sin\"x(n 为常数),求y\'. 解 首先应用积的求导法则得 y\'=(sin nx)\'sin"x+sin nx·(sin"x)\'. 在计算(sin nx)\'与(sin\"x) \'时，都要应用复合函数求导法则，由此得 y\'=ncos nx·sin\"x+sin nx·nsin\"⁻¹x·cos x =nsin\"⁻¹x(cos nx·sin x+sin nx·cos x) =nsin"⁻¹x·sin(n+1)x. 例16 证明下列双曲函数及反双曲函数的导数公式： {width="1.1259328521434822in" height="0.35561679790026246in"}{width="1.006953193350831in" height="0.3194455380577428in"}(sh x)\'=ch x,(ch x)\'=sh x, {width="0.8888899825021872in" height="0.3194455380577428in"} {width="1.1184219160104987in" height="0.3482075678040245in"} 证由定理1(1)、(2),有 {width="2.1666688538932632in" height="0.388924978127734in"} 再利用(e\*)\'=e\* 及定理3,得(e⁻\*)\'=-e⁻ . 于是 {width="2.2777799650043744in" height="0.36115157480314963in"} 同理可得 {width="2.055557742782152in" height="0.37499343832021in"} 由定理1(3)及上述结果，有 {width="2.652962598425197in" height="0.34159339457567806in"} {width="1.1179997812773403in" height="0.3680282152230971in"} 由 arsh x=ln(x+√ 1+x²),应用复合函数求导法则及定理1(1),有 {width="2.0486056430446196in" height="0.388924978127734in"} {width="1.9167005686789151in" height="0.388924978127734in"} 由arch x=In(x+√x²-1),同理可得 {width="2.0138418635170603in" height="0.4444728783902012in"} {width="0.9375568678915136in" height="0.3124792213473316in"}{width="1.180508530183727in" height="0.30551399825021874in"},可得 ,x ∈(-1,1). []{#bookmark97 .anchor}习 题 2-2 1\. 推导余切函数及余割函数的导数公式： (cot x)\'=-csc²x, (csc x)\'=-csc xcot x. 2\. 求下列函数的导数： \(1\) {width="0.9930479002624671in" height="0.2638976377952756in"} (2)y=5x³-2\*+3e\*; (3)y=2tan x+sec x-1; (4)y=sin x·cos x; (5)y=x²ln x; (6)y=3e\*cos x; \(7\) {width="0.4235870516185477in" height="0.2708628608923884in"} (8) {width="0.625016404199475in" height="0.2708628608923884in"} (9)y=x²ln xcos x; (10) {width="0.5693963254593176in" height="0.2569313210848644in"} 3\. 求下列函数在给定点处的导数： (1)y=sin x-cosx,求 {width="0.9860958005249344in" height="0.3681178915135608in"} \(2\) {width="1.5903193350831146in" height="0.34722003499562554in"} {width="1.0000010936132984in" height="0.28470581802274714in"},求f\'(0) 和f\'(2). 4\. 以初速度v₀ 竖直上抛的物体，其上升高度s 与时间t 的关系是 {width="0.6458092738407699in" height="0.24308945756780403in"}.求： (1)该物体的速度v(t); (2)该物体达到最高点的时刻. 5\. 求曲线y=2sin x+x²上横坐标为x=0 的点处的切线方程和法线方程. 6\. 求下列函数的导数： (1)y=(2x+5)⁴; (2)y=cos(4-3x); (3)y=e⁻3²; (4)y=ln(1+x²); (5)y=sin²x; (6)y=√a²-x²; (7)y=tan x²; (8)y=arctan(e²); (9)y=(arcsin x)²; (10)y=In cos x. 7\. 求下列函数的导数： (1)y=arcsin(1-2x); {width="0.8888899825021872in" height="0.3819597550306212in"}课 一般地，可得 {width="1.2638899825021872in" height="0.31945319335083117in"} 即 {width="1.631907261592301in" height="0.31246609798775155in"} 用类似方法，可得 {width="1.6041765091863518in" height="0.3264413823272091in"} {width="0.5138626421697288in" height="0.29159339457567807in"}{width="1.041654636920385in" height="0.34023731408573926in"}例 6 求函数ln(1+x) 的 n 阶导数. 解 y=ln(1+x), {width="0.8194247594050744in" height="0.3200054680664917in"}{width="0.7660170603674541in" height="0.3200054680664917in"} 一般地，可得 {width="1.3612587489063868in" height="0.321424978127734in"} 即 {width="1.9583278652668417in" height="0.3611100174978128in"} 通常规定0!=1,所以这个公式当n=1 时也成立. 例7 求幂函数的n 阶导数公式. 解 设y=x\"(μ 是任意常数),那么 *y\'=μx⁴⁻¹,* *y\"=μ(μ-1)x¹⁻²,* y\"=μ(μ-1)(μ-2)x⁻³, y⁴=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x-4, 一般地，可得 *y(\")=μ(μ-1)(μ-2)...(μ=n+1)x¹-,* 即 *(x\")(\")=μ(μ-1)(μ-2)...(μ-n+1)x-.* 当μ=n 时，得到 (x\")(#)=n(n-1)(n-2)·...·3·2·1=n!, 而 (x\")(#+)=0(k=1,2,...). 如果函数u=u(x) 及 v=v(x) 都在点x 处具有 n 阶导数，那么显然u(x)+ (2)及z(x)-(%) 也在点x 处 县 有 阶 整 器 要求函数的高阶导数公式，则需要在逐次求导过程中，善于寻求它的某种规律. 例 1 y=ax+b, 求y\". 解 y\'=a,y\"=0. 例 2 s=sin wt,求 s\". 解 s\'=wcos wt,s\"=-w²sin wt. 例3 证明：函数y=√2x-x² 满足关系式 y³y\"+1=0. 证 将y= √2x-x²求导，得 {width="1.4652635608048994in" height="0.39586832895888013in"} {width="1.9097342519685039in" height="0.5555063429571303in"} {width="2.361137357830271in" height="0.43752405949256346in"} 于是 y³y\"+1=0. 下面介绍几个初等函数的n 阶导数. 例4 求指数函数y=e 的 n 阶导数. 解 y′=e,y\"=e\*,y\"=e,y(⁴)=e. 一般地，可得 y(n)=e\*, 即 (e\*)(n)=e\*. 例 5 求正弦函数与余弦函数的n 阶导数 解 y=sin x, {width="1.3541447944007in" height="0.3263517060367454in"} {width="2.881996937882765in" height="0.3472244094488189in"} {width="2.361072834645669in" height="0.7986351706036745in"} (1)f(x+y)=f(x)·f(y), 对一切x,y∈R; (2)f(x)=1+xg(x), 而 {width="0.6735892388451443in" height="0.20136154855643046in"} 试证明f(x) 在R 上处处可导，且f\'(x)=f(x). 第 三 节 高 阶 导 数 我们知道，变速直线运动的速度v(t) 是位置函数s(t) 对时间t 的导数，即 {width="0.3472134733158355in" height="0.3125437445319335in"} 或 v=s\', 而加速度a 又是速度v 对时间t 的变化率，即速度v 对时间t 的导数： {width="0.8819685039370079in" height="0.3472211286089239in"} 或 a=(s\')\'. 这种导数的导数 {width="0.45133858267716537in" height="0.35419291338582676in"}或(s\')\'叫做s 对 t 的二阶导数，记作 {width="0.18871391076115485in" height="0.31554461942257217in"} 或 s\"(t). 所以，直线运动的加速度就是位置函数s 对时间t的二阶导数. 一般地，函数y=f(x) 的导数y\'=f\'(x)仍然是x 的函数.我们把 y\'=f\'(x)的 导数叫做函数y=f(x) 的二阶导数，记作y "或{width="0.21578521434820647in" height="0.3403390201224847in"} y\"=(y\')\' 或 {width="0.8124879702537183in" height="0.3472211286089239in"} 相应地，把y=f(x) 的导数f\'(x) 叫做函数y=f(x) 的一阶导数 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶 导数......一般地，(n-1) 阶导数的导数叫做n 阶导数，分别记作 y\",y⁴),...,y(\") 或 {width="1.174709098862642in" height="0.3199475065616798in"} 函数y=f(x) 具有 n 阶导数，也常说成函数f(x) 为n阶可导.如果函数 f(x) 在点x 处具有n 阶导数，那么f(x) 在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数.二阶及二阶以上的导数统称高阶导数. 由此可见，求高阶导数就是按前面学过的求导法则多次接连地求导数，若需 \(3\) {width="0.7569411636045494in" height="0.1805369641294838in"} (4) {width="0.6458475503062118in" height="0.2639238845144357in"}; \(5\) {width="0.5624956255468067in" height="0.26392279090113735in"} (6) {width="0.5347550306211724in" height="0.2569520997375328in"} (7)y=arcsin√x; (8)y=ln(x+√a²+x²); (9)y=ln(sec x+tan x); (10)y=ln(csc x-cot x). 8\. 求下列函数的导数： \(1\) {width="0.9236450131233596in" height="0.29860126859142605in"} (2) {width="0.7013943569553805in" height="0.22218613298337708in"} (3)y=√ 1+1n²x; (4)y=ectas; (5)y=sin\"xcos nx; (6) {width="0.763844050743657in" height="0.2639238845144357in"} \(7\) {width="0.6458475503062118in" height="0.2569520997375328in"} (8)y=ln In ln x; \(9\) {width="0.9652559055118111in" height="0.33327865266841644in"} (10) {width="0.8611307961504812in" height="0.3125437445319335in"} 9\. 设 函 数f(x) 和 g(x) 可导，且f(x)+g²(x)≠0, 试求函数y=√f(x)+g²(x) 的导数 . 10\. 设f(x) 可导，求下列函数的导{width="0.3189851268591426in" height="0.2777766841644794in"} (1)y=f(x²); (2)y=f(sin²x)+f(cos²x). 11\. 求下列函数的导数： (1)y=e⁻\*(x²-2x+3); (2)y=sin²x·sin(x²); \(3\) {width="0.9027427821522309in" height="0.30557305336832896in"} (4) {width="0.44443569553805773in" height="0.2708059930008749in"} \(5\) {width="0.5277876202974628in" height="0.2708059930008749in"} (6) {width="0.6528149606299213in" height="0.24998140857392825in"}; \(7\) {width="0.4791437007874016in" height="0.1805369641294838in"}; *(8)y=√x+Jx;* \(9\) {width="1.1736362642169729in" height="0.22218613298337708in"} (10) {width="0.7499737532808399in" height="0.263834208223972in"} 4 \*12 . 求下列函数的导数： (1)y=ch(sh x); (2)y=shx·e\*; (3)y=th(In x); (4)y=sh³x+ch²x; (5)y=th(1-x²); (6)y=arsh(x²+1); (7)y=arch(e²²); (8)y=arctan(th x); \(9\) {width="0.9652559055118111in" height="0.2708059930008749in"} (10) {width="0.7291349518810148in" height="0.2777766841644794in"} 13\. 设函数f(x) 和 g(x) 均 在 点x₀ 的某一邻域内有定义，f(x) 在 x。处可导，f(x。)=0,g(x) 在 x₀ 处连续，试讨论f(x)g(x) 在 x₀ 处的可导性 . 14\. 设 函 数f(x) 满足下列条件； (u±v)(\")=u(")±v("). 但乘积u(x)·v(x) 的 n 阶导数并不简单：由 *(uv)\'=u\'v+uv\'* 首先得出 *(uv)\"=u\"v+2u\'v\'+uv",* (uv)\"=u\"v+3u\"v\'+3u\'v\"+uv\". 用数学归纳法可以证明 {width="2.8263363954505687in" height="0.35422244094488187in"} {width="2.4097495625546808in" height="0.3472244094488189in"} 上式称为莱布尼茨(Leibniz) 公式.这公式可以这样记忆：把(u+D)"按二项式定 理展开写成 {width="2.833915135608049in" height="0.34717410323709536in"} 即 {width="1.520792869641295in" height="0.3681299212598425in"} 然后把 k 次幂换成 k 阶导数(零阶导数理解为函数本身),再把左端的u+2 换成 uv, 这样就得到莱布尼茨公式 {width="1.5764424759405073in" height="0.3680402449693788in"} 例8 y=x²e², 求y²0). 解 设 u=e²ˣ,v=x², 则 u(k)=2\*e²\*(k=1,2, ...,20), v\'=2x,v\"=2,v(k)=0(k=3,4, ...,20), 代入莱布尼茨公式，得 {width="3.8541557305336833in" height="0.32631889763779526in"} =22⁰e²(x²+20x+95). {width="1.2639370078740157in" height="6.944444444444444e-3in"} ① 记号 表示对同一类型诸项求和.例如，{width="0.5694280402449694in" height="0.31950021872265966in"}表示在C u\"-k,中依次令k=0,1,...,n. 然后对这样得到的 n+1 项求和. 号：考研拼课 []{#bookmark99 .anchor}习 题 2-3 1\. 求下列函数的二阶导数： (1)y=2x²+ln x; (2)y=e²-¹; (3)y=xcos x; (4)y=e⁻sin t; {width="0.40969597550306214in" height="0.2707808398950131in"}(5)y=√a²-x²; (6)y=1n(1-x²); (7)y=tan x; (8) {width="0.3125054680664917in" height="0.2639621609798775in"} (9)y=(1+x²)arctan x; (10) \* (11)y=xe²; (12)y=1n(x+√ 1+x²). 2\. 设f(x)=(x+10)⁶, 求f\"(2). 3\. 设f\"(x) 存在，求下列函数的二阶导{width="0.3531233595800525in" height="0.3055030621172353in"} (1)y=f(x²); (2)y=ln\[f(x)\]. 4\. 试从 {width="0.4027405949256343in" height="0.3403160542432196in"}导出： \(1\) {width="0.7013998250218723in" height="0.3125021872265967in"} (2) {width="0.9583213035870516in" height="0.31950021872265966in"} 5\. 已知物体的运动规律为s=Asin wt(A,w是常数),求物体运动的加速度，并验证： {width="0.6389238845144357in" height="0.32631889763779526in"} 6\. 密度大的陨星进入大气层时，当它离地心为skm 时的速度与S 成反比.试证陨星的加 速度与s² 成反比. 7\. 假设质点沿x 轴运动的速度为{width="0.4978926071741032in" height="0.2430566491688539in"},试求质点运动的加速度. 8\. 验证函数 y=C₁e\"+C₂e⁻\*(A,C₁,C₂ 是常数)满足关系式 y\"-A²y=0. 9\. 验证函数y=e\*sin x 满足关系式 y\"-2y\'+2y=0. 10\. 求下列函数所指定的阶的导数： (1)y=ecos x,求 y⁴); (2)y=x²sin 2x,求γ(50). \*11.求下列函数的n 阶导数的一般表达式： (1)y=x\"+a,x⁻¹+a₂x⁻²+...+a-1x+a。(a₁,a₂,...,a 都是常数); (2)y=sin²x; (3)y=xln x; (4)y=xe. 12\. 求函数f(x)=x²n(1+x) 在 x=0 处的n 警暴整案(0) (n≥3) 第 四 节 隐函数及由参数方程所确定的 []{#bookmark100-1 .anchor}函数的导数 相关变化率 一 、隐函数的导数 函数y=f(x) 表示两个变量y 与 x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各 种不同方式表达.前面我们遇到的函数，例如y=sin x,y=ln x+√ 1-x²等，这种函 数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子， 当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值.用这种方式表达 的函数叫做显函数.有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程 x+y³-1=0 表示一个函数，因为当变量x 在(-∞,+∞)内取值时，变量y 有确定的值与之对 应.例如，当x=0 时 ，y=1; 当 x=-1 时 ，y=√2, 等等.这样的函数称为隐函数. 一般地，如果变量x 和 y 满足一个方程 F(x,y)=0, 在一定条件下，当x 取某 区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的 y 值存在，那么就说方程 F (x,y)=0 在该区间内确定了一个隐函数. 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.例如从方程x+y³-1=0 解出 y=³√ 1-x, 就把隐函数化成了显函数.隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不 可能的.但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方 法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.下 面通过具体例子来说明这种方法. 例 1 求由方程e³+xy-e=0 所确定的隐函数的导 {width="0.30556430446194227in" height="0.29164041994750656in"} 解 我们把方程两边分别对 x 求导数①,注意y=y(x). 方程左边对 x 求导 得 {width="1.2638593613298337in" height="6.992563429571303e-3in"}方程右边对x 求导得 {width="1.7499945319335084in" height="0.2986329833770779in"} (0)\'=0. ①假设方程F(x,y)=0 确定一个函数y=y(x),把 x) 代人方程便得恒等式F\[x,y(x)\]=0. 因 此，这里说的方程两边对x求导，是指恒等式边对x 求导. 由于等式两边对 x 的导数相等，所以 {width="1.013934820647419in" height="0.32633530183727033in"} {width="0.6388845144356955in" height="0.3125284339457568in"}从而 (x+e\'≠0). 在这个结果中，分式中的y=y(x) 是由方程 e³+xy-e=0 所确定的隐函数. 例 2 求由方程y⁵+2y-x-3x⁷=0 所确定的隐函数在x=0 处的导 {width="0.5972200349956256in" height="0.35412839020122483in"} 解 把方程两边分别对x 求导，由于方程两边的导数相等，所以 {width="1.465294181977253in" height="0.31943241469816275in"} 由此得 {width="0.7638790463692039in" height="0.3750174978127734in"} 因为当x=0 时，从原方程得y=0, 所以 {width="0.7360597112860893in" height="0.3402318460192476in"} {width="1.6527548118985127in" height="1.361107830271216in"}例 3 求椭圆{width="0.5873359580052493in" height="0.3066622922134733in"} 在点{width="0.5792049431321085in" height="0.33332895888013997in"}处的切线方程(图2-6). 3 (2,2 √3) {width="0.6046161417322835in" height="0.3079757217847769in"} 0 4× {width="0.9860498687664042in" height="0.2986329833770779in"} 图2-6 {width="0.6180839895013124in" height="0.3402318460192476in"} 当 x=2 时，{width="0.5208442694663167in" height="0.29164041994750656in"},代入上式得 {width="0.8680741469816273in" height="0.3472244094488189in"} 于是所求的切线方程为 父众号。：湾 {width="1.3124989063867016in" height="0.33333989501312333in"} 即 √3x+4y-8√3=0. 例4 求由方程 {width="0.9683650481189852in" height="0.2986701662292213in"}所确定的隐函数的二阶导{width="0.39017825896762903in" height="0.34032699037620295in"} 解 应用隐函数的求导方法，得 {width="1.3958814523184602in" height="0.31945319335083117in"} 于是 {width="0.777762467191601in" height="0.3472244094488189in"} 上式两边再对x 求导，得 {width="1.861088145231846in" height="0.5278248031496063in"} 上式右端分式中的y=y(x) 是由方程 {width="0.9374704724409448in" height="0.29168307086614176in"} 所确定的隐函数. 在某些场合，利用所谓对数求导法求导数比用通常的方法简便些.这种方法 是先在y=f(x) 的两边取对数，然后再求出y 的导数.我们通过下面的例子来说 明这种方法. 例5 求 y=x³in(x\>0) 的导数. 解 这函数是幂指函数.为了求这函数的导数，可以先在等式两边取对数， 得 In y=sin x·In x. 上式两边对x 求导，注意到y=y(x), 得 {width="1.7986165791776028in" height="0.3472244094488189in"} 于是 {width="3.1458147419072615in" height="0.3472244094488189in"} 对于一般形式的幂指函数 y=u°(u\>0), (4-1) 如果 u=u(x)、v=D(x) 都可导，则可像例5那样利用对数求导法求出幂指函数(4 -1)的导数，也可把幂指函数(十者。表承为 y=e\'. 这样，便可直接求得 {width="2.7638604549431323in" height="0.3611100174978128in"} 例 6 求 {width="1.1666437007874015in" height="0.36809711286089236in"}的导数. 解 先在等式两边取对数(假定x\>4), 得 {width="3.0972615923009625in" height="0.30547790901137356in"} 上式两边对 x 求导，注意到y=y(x), 得 {width="1.944534120734908in" height="0.3222134733158355in"} 于是 {width="1.243034776902887in" height="0.34023731408573926in"}{width="1.7639173228346456in" height="0.34023731408573926in"} 当 x\<1 时 {width="1.2638801399825021in" height="0.3541229221347332in"} 当 2\ 导数公式 | > 微分公式 | | > (x\")\'=μx-¹ | > d(x\")=μx⁻¹dx | | > (sin x)\'=cos x | > d(sin x)=cos xdx | | | > 续表 | | > 导数公式 | > 微分公式 | | > (cos x)\'=-sin x | > d(cos x)=-sin xdx | | > | > | | > (tan x)\'=sec²x | > d(tan x)=sec²xdx | | > | > | | > (cot x)\'=-csc²x | > d(cot x)=-csc²xdx | | > | > | | > (secx)\'=sec xtan x (cscx)\'=-csc xcot x | > d(sec x)=sec xtan xdx d(cscx)=-csc xcot xdx | | > | > | | > (a\*)′=a⁴ln a(a\>0且a≠1) | > d(a²)=a\*ln adx(a\>0且a≠1) | | > | > | | > (e\*)′=e | > d(e\*)=e\*dx | | | | | {width="1.5972123797025373in" | | | height="0.23219925634295713in"} | | | | | | {width="0.6527777777777778in" | | | height="0.2846948818897638in"} | | | | | | {width="1.0764304461942258in" | | | height="0.34023731408573926in"} | | | | | | {width="1.18746719160105in" | | | height="0.3472244094488189in"} | | | | | | {width="0.9514227909011373in" | | | height="0.2846948818897638in"} | | | | | | {width="1.0347178477690289in" | | | height="0.27770778652668415in"} | | | +---------------------------------------------------------+ | | > {width="0.9514227909011373in" | | | > height="0.25002624671916013in"}(a\>0且a≠1) | | | | | | {width="0.83333552055993in" | | | height="0.27779746281714784in"} | | | | | | {width="1.222260498687664in" | | | height="0.34023731408573926in"} | | | | | | {width="1.3472025371828522in" | | | height="0.34032699037620295in"} | | | | | | {width="1.1944520997375327in" | | | height="0.6596916010498688in"} | ,2.函数和、差、积、商的微分法则 由函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则：为了便于对照，列 成下表(表中u=u(x),v=v(x) 都可导). | > 函数和、差、积、商的求导法则 | > 函数和、差、积、商的微分法则 | | > (u±0)\'=u\'±v\' (Cu)\'=Cu\' | > d(u±0)=du±dv | | > | > | | > (uv)\'=u\'v+uv\' | > d(Cu)=Cdu | | | > | | | > d(u)=vdu+udv | | > {width="0.8749825021872266in" | > {width="0.9444378827646545in" | | > height="0.31246609798775155in"}(v≠0) | > height="0.27779746281714784in"}(v≠0) | | | | 考研拼课 现在我们以乘积的微分法则为例加以证明. 根据函数微分的表达式，有 d(uv)=(uv)\'dx. 再根据乘积的求导法则，有 *(uv)\'=u\'v+uv\'.* 于是 d(u)=(u\'v+uv\')dx=u\'vdx+uv\'dx. 由于 u\'dx=du,v\'dx=dv, 所以 d(uv)=vdu+udv. 其他法则都可以用类似方法证明. 3\. 复合函数的微分法则 与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下： 设y=f(u) 及 u=g(x) 都可导，则复合函数y=f\[g(x)\] 的微分为 dy=y\'dx=f\'(u)g\'(x)dx. 由于g\'(x)dx=du, 所以，复合函数y=fLg(x)\] 的微分公式也可以写成 dy=f\'(u)du 或 dy=y\'du. 由此可见，无论 u 是自变量还是中间变量，微分形式 dy=f\'(u)du 保持不 变.这一性质称为微分形式不变性.这性质表示，当变换自变量时，微分形式 dy=f\'(u)du 并不改变. 例 3 y=sin(2x+1), 求 dy. 解 把 2x+1 看成中间变量 u, 则 dy=d(sin u)=cos udu=cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)·2dx=2cos(2x+1)dx. 在求复合函数的导数时，可以不写出中间变量.在求复合函数的微分时，类 似地也可以不写出中间变量.下面我们用这种方法来求函数的微分. 例 4 y=ln(1+e²), 求 dy. {width="3.5208213035870517in" height="0.319494750656168in"} {width="1.4930325896762904in" height="0.3889041994750656in"} 例 5 y=e¹-³cos x,求 dy.{width="0.16274825021872266in" height="0.11806649168853893in"}号号：考研拼课 解 应用积的微分法则，得 dy=d(e¹-3cos x)=cos xd(e¹-3)+e¹⁻³d(cos x) =(cos x)e¹-3(-3dx)+e¹-3(-sin xdx) =-e¹-3\*(3cos x+sin x)dx. 例 6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立. (1)d( )=xdx; (2)d()=cos wtdt(w≠0). 解 (1)我们知道， d(x²)=2xdx. 可见 {width="1.4028182414698163in" height="0.3680632108486439in"} 即 {width="0.7500415573053368in" height="0.3610870516185477in"} 一般地，有 {width="0.8749825021872266in" height="0.3472222222222222in"} (C 为任意常数). (2)因为 d(sin wt)=wcos wtdt, 可见 {width="2.229169947506562in" height="0.3472222222222222in"} 即 {width="1.41665791776028in" height="0.319494750656168in"} {width="1.486738845144357in" height="0.29949693788276466in"}一般地，有 (C 为任意常数，w≠0). []{#bookmark104 .anchor}四 、微分在近似计算中的应用 1\. 函数的近似计算 在工程向题中,经常会遇紫集杂的葬婴式如果直接用这些公式进行 计算，那是很费力的.利用微分往往可以把一些复杂的计算公式用简单的近似公 式来代替. 前面说过，如果y=f(x) 在点x。处的导数f\'(x₀)≠0, 且I△xl很小时，我们有 △y≈dy=f\'(x₀)△x. 这个式子也可以写为 △y=f(x₀+△x)-f(x₀)≈f\'(x₀)△x, (5-4) 或 f(x₀+△x)≈f(x₀)+f\'(x 。)△x. (5-5) 在(5-5)式中令x=x₀+△x,即△x=x-x 。,那么(5-5)式可改写为 *f(x)≈f(x₀)+f(x。)(x-x。).* (5-6) 如果f(xo)与f\'(x。)都容易计算，那么可利用(5-4)式来近似计算△y,利用 (5-5)式来近似计算f(x₀+△x),或利用(5-6)式来近似计算f(x). 这种近似计算 的实质就是用x 的线性函数f(x₀)+f\'(x 。)(x-x 。) 来近似表达函数f(x). 从导数 的几何意义可知，这也就是用曲线y=f(x) 在点(x₀,f(x 。)) 处的切线来近似代替 该曲线(就切点邻近部分来说). 例 7 有一批半径为1 cm 的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚 度定为0.01 cm. 估计一下每只球需用铜多少克(铜的密度是8.9 g/cm³)? 解 先求出镀层的体积，再乘密度就得到每只球需用铜的质量. 因为镀层的体积等于两个球体体积之差，所以它就是球体体积 {width="0.569417104111986in" height="0.29159339457567807in"}当 R自 R₀取得增量△R 时的增量△V.我们求 V对R 的导数 {width="2.0694356955380577in" height="0.39586832895888013in"} 由(5-4)式得 △V≈4πR?△R. 将 R₀=1,△R=0.01 代入上式，得 △V≈4×3.14×1²×0.01≈0.13(cm³), 于是镀每只球需用的铜约为 0.13×8.9≈1.16(g). 例 8 利用微分计算 sin 30°30\'的近似值. 解 把30°30′化为弧度，得 {width="1.006975065616798in" height="0.2708103674540682in"} 由于所求的是正弦函数的值警设 果in x.此时f(x)=cos x.如果取 x。 {width="0.26385279965004377in" height="0.2708103674540682in"},那么 {width="1.1319160104986876in" height="0.31246609798775155in"}与 较小.应用(5-5)式便得 {width="1.4031550743657042in" height="0.3541229221347332in"}容易计算，并且{width="0.513989501312336in" height="0.2638221784776903in"}比 {width="2.8472200349956256in" height="0.31945319335083117in"} {width="2.7018022747156607in" height="0.307159886264217in"} 下面我们来推导一些常用的近似公式.为此，在(5-6)式中取x₀=0, 于是得 *f(x)≈f(0)+f\'(0)x.* (5-7) 应用(5-7)式可以推得以下几个在工程上常用的近似公式(下面都假定 lxl是较小的数值): (i)(1+x)≈1+αx(α∈R); (ii)sin x≈x(x用弧度作单位来表达); (iii)tan x≈x(x 用弧度作单位来表达); (iv)eˣ≈1+x; (v)In(1+x)≈x. 证 ( i) 在第一章第九节例7中我们已经知道(1+ 从 而得出这个近似公式.在这里，我们利用微分证明.取f(x)=(1+x)\", 那么f(0)= 1 {width="1.673591426071741in" height="0.31255577427821524in"},代入(5-7)式便得 (1+x)"≈1+αx. 证 (ii) 取f(x)=sin x,那么.{width="1.8539140419947506in" height="0.333338801399825in"}1,代入(5-7)式 便得 sin x≈x. 其他几个近似公式可用类似方法证明，这里从略了. 例 9 计算 √ 1.05的近似值. 解 √ 1.05= √ 1+0.05, 这里x=0.05, 其值较小，利用近似公式(i) {width="0.4513954505686789in" height="0.29858048993875763in"}的情形),便得 {width="1.8680533683289589in" height="0.3263517060367454in"} 如果直接开方，可得 √ 1.05=1.02470. 将两个结果比较一下，可以看出，思?25推程05的近似值，其误差不超过 0.001,这样的近似值在一般应用上已够精确了.如果开方次数较高，就更能体现 出用微分进行近似计算的优越性. \*2.误差估计 在生产实践中，经常要测量各种数据.但是有的数据不易直接测量，这时我 们就通过测量其他有关数据后，根据某种公式算出所要的数据.例如，要计算圆 钢的截面积A, 可先用卡尺测量圆钢截面的直径D, 然后根据公式 {width="0.5555719597550306in" height="0.25005686789151355in"}算 出 A. 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的 数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把 它叫做间接测量误差 下面就讨论怎样利用微分来估计间接测量误差. 先说明绝对误差、相对误差的概念. 如果某个量的精确值为A,它的近似值为a,那么IA-al叫做a 的绝对误差，而绝 对误差与lal的比{width="0.49832786526684164in" height="0.3264632545931759in"}叫做a 的相对误差. 在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的，于是绝对误差和相对误 差也就无法求得.但是根据测量仪器的精度等因素，有时能够确定误差在某一个 范围内.如果某个量的精确值是A, 测得它的近似值是a, 又知道它的误差不超过 δA,即 IA-al≤δA, 那么δ叫做测量A 的绝对误差限，{width="0.38189523184601926in" height="0.33331911636045497in"}叫做测量 A 的相对误差限. 例10 设测得圆钢截面的直径D=60.03mm, 测 量D 的绝对误差限 δp= 0.05mm. 利用公式 {width="0.5208573928258967in" height="0.27089457567804026in"} 计算圆钢的截面积时，试估计面积的误差. 解 如果我们把测量D 时所产生的误差当作自变量D 的增量△D, 那么,利 用公式{width="0.5015266841644794in" height="0.25691272965879264in"}来计算A 时所产生的误差就是函数A 的对应增量△A.当I△DI很 小时，可以利用微分 dA 近似地代替增量△A, 即 {width="1.7995406824146982in" height="0.2872080052493438in"} 由于D 的绝对误差限为δp=0.05 mm,所以 I△DI≤δp=0.05, 而 {width="2.361082677165354in" height="0.29858048993875763in"} 因此得出A 的绝对误差限约为 {width="2.8957983377077867in" height="0.2846948818897638in"} A的相对误差限约为 {width="2.4379975940507435in" height="0.6117202537182852in"} 一般地，根据直接测量的 x 值按公式y=f(x) 计 算y 值时，如果已知测量 x 的绝对误差限是δ,即 I△xl≤δ, 那么,当y≠0 时 ，y 的绝对误差 IΔyl≈1dyl=ly\'I·I△xl≤1y\'t·δ, 即 y 的绝对误差限约为 δ,=ly\'I·δ; (5-8) y 的相对误差限约为 {width="0.9305358705161855in" height="0.3424671916010499in"} (5-9) 以后常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差 []{#bookmark105 .anchor}习 题 2-5 1\. 已知y=x³-x, 计算在x=2 处当△x分别等于1,0.1,0.01时的△y及dy. 2\. 设函数y=f(x) 的图形如图2-12,试在图2-12(a) 、(b) 、(c) 、(d)中分别标出在点x。 的 dy、△y及△y-dy, 并说明其正负. 3\. 求下列函数的微分： {width="0.5902537182852143in" height="0.29168307086614176in"}(1) {width="0.6457928696412948in" height="0.25009405074365704in"} (2)y=xsin 2x; (3) (4)y:m考 课 \(a\) (b) {width="1.3888495188101488in" height="1.1388724846894138in"} \(c\) (d) 图2- 12 {width="0.27083661417322835in" height="6.9870953630796154e-3in"}(5)y=x²e²; (6)y=e⁻\*cos(3-x); (7)y=arcsin√ 1-x²; (8)y=tan²(1+2x²); \(9\) {width="0.8332699037620297in" height="0.2986701662292213in"} (10)s=Asin(wt+φ)(A、w、φ 是常数). 4\. 将适当的函数填入下列括号内，使等式成立： (1)d( )=2dx; (2)d( )=3xdx; (3)d( )=cos tdt; (4)d( )=sin wxdx(w≠0); (5)d( {width="0.5555785214348207in" height="0.2499365704286964in"} (6)d()=e⁻²dx; \(7\) {width="0.7777187226596676in" height="0.3055686789151356in"} (8)d()=sec²3xdx. 5\. 如图2- 13所示的电缆AOB的长为s, 跨度为21,电缆的最低点0与杆顶连线AB 的距 离为f, 则电缆长可按下面公式计算 {width="0.7986078302712161in" height="0.3263517060367454in"} 当f 变化了△f 时，电缆长的变化约为多少? 6\. 设扇形的圆心角α=60°,半径 R=100 cm ( 图 2-14).如果R 不变，α减少30′,问扇形面积大约改变了 多少?又如果α不变，R 增加1 cm, 问扇形面积大约改变 了多少? {width="1.708319116360455in" height="1.1666437007874015in"} 图2 - 13 {width="1.0972069116360454in" height="1.1736100174978128in"} 图2-14 {width="1.0972069116360454in" height="1.408727034120735in"} 图2-15 7\. 计算下列三角函数值的近似值： (1)cos 29°; (2)tan 136° . 8\. 计算下列反三角函数值的近似值： (1)aresin 0.5002; (2)arccos 0.4995. 9\. 当1x1较小时，证明下列近似公式： (1)tan x≈x(x是角的弧度值);(2)In(1+x)≈x; {width="1.1249365704286964in" height="0.2638582677165354in"} (4)e≈1+x. 并计算tan 45′和In 1.002 的近似值. 10\. 计算下列各根式的近似值： (1)³ √996; (2)65. 11\. 计算球体体积时，要求精确度在2%以内.问这时测量直径D 的相对误差不能超过多 少? 12\. 某厂生产如图2-15所示的扇形板，半径R=200 mm,要求中心角α为55°.产品检验 时，一般用测量弦长l的办法来间接测量中心角α.如果测量弦长 l 时的误差8₁=0.1 mm,问 由此而引起的中心角测量误差δ是多少? []{#bookmark106 .anchor}总 习 题 二 1\. 在"充分""必要"和"充分必要"三者中选择一个正确的填人下列空格内： (1)f(x) 在点x₀可导是f(x) 在点x₀连续的 条件.f(x) 在点x。连续是f(x) 在 点x₀可导的 条件. (2)f(x) 在点x 的左导数f\'(x₀) 及右导数f!(x₀) 都存在且相等是f(x) 在点x。可导的 条件. (3)f(x) 在点x₀ 可导是f(x) 在点x。可微的 条件. 2\. 设f(x)=x(x+1)(x+2)...(x+n)(n≥2), 则f\'(0)=. 3\. 下述题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论： 设f(x)在a=a 的 某 个 邻 域 内 有 定 兽 。 善 = a 处可导的一个充分条件是 ( ). {width="1.513921697287839in" height="0.2778138670166229in"}存在 \(B\) {width="1.0903346456692913in" height="0.27083661417322835in"}存在 \(C\) {width="1.0277985564304462in" height="0.2638604549431321in"}存在 \(D\) {width="0.9027909011373578in" height="0.27083661417322835in"}存在 4\. 设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x, 于是分布在区间\[0,x\] 上细棒的质量m 与 x 存在函数关系m=m(x). 应怎样确定细棒在点x₀ 处的线密度(对于均匀 细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度)? 5\. 根据导数的定义，求.{width="0.4910586176727909in" height="0.2777241907261592in"}的导数. 6\. 求下列函数f(x)的f\'(0) 及f\'(0), 又f\'(0) 是否存在： {width="1.7292082239720035in" height="0.3403357392825897in"} {width="1.722186132983377in" height="0.48648075240594923in"} 7\. 讨论函数 {width="1.4374814085739283in" height="0.5416754155730533in"} 在x=0 处的连续性与可导性. 8\. 求下列函数的导数： (1)y=arcsin(sin x); (2) {width="0.7847036307961505in" height="0.2638604549431321in"} \(3\) {width="1.3958344269466316in" height="0.22217957130358706in"}3 (4)y=1n(e²+√ 1+e²); \(5\) {width="0.6875054680664917in" height="0.20133858267716537in"} 9\. 求下列函数的二阶导数： (1)y=cos²x·In x; (2) {width="0.576402012248469in" height="0.2985651793525809in"} 10\. 求下列函数的n 阶导数： {width="0.23610892388451443in" height="6.976159230096238e-3in"}(1)y="1+x; (2) {width="0.40968285214348205in" height="0.23613298337707786in"} 11.设函数y=y(x)由方程 ：所 聘 遥 缘(0). 12\. 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导娄 {width="0.24302821522309712in" height="0.29167760279965005in"}及二阶导 {width="0.3472123797025372in" height="0.29167760279965005in"} \(1\) {width="0.6527777777777778in" height="0.41672134733158356in"} (2) {width="0.7916885389326335in" height="0.409744094488189in"} 13.求 曲{width="0.5548523622047244in" height="0.3750404636920385in"}在t=0 相应的点处的切线方程及法线方程. 14\. 已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0 的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)-3f(1-sin x)=8x+o(x), 且f(x) 在x=1 处可导，求曲线y=f(x) 在点(6,f(6)) 处的切线方程. {width="1.798597987751531in" height="0.9444433508311461in"}15. 当正在高度 H 水平飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图2-16所示从飞机到机 场的水平地面距离为L. 假设飞机下降的路径为三次函 数 y=ax³+bx²+cx+d 的图形，其中yl=-L=H,yl₃₀=0. 试 确定飞机的降落路径. 16\. 甲船以6 km/h 的速率向东行驶，乙船以8 km/h 的速率向南行驶.在中午十二点整，乙船位于甲船之北 16 km处.问下午一点整两船相离的速率为多少? 17\. 利用函数的微分代替函数的增量求³1.02的近似值. 18\. 已知单摆的振动周期 {width="0.6527777777777778in" height="0.3263823272090989in"},其中g=980 cm/s²,l为摆长(单位为cm). 设原摆 长为20 cm, 为使周期 T 增大0.05s, 摆长约需加长多少? 考研拼课 公众号 ·124 · []{#bookmark107 .anchor}第 三 章 微分中值定理与导数的应用 上一章里，从分析实际问题中因变量相对于自变量的变化快慢出发，引进了 导数概念，并讨论了导数的计算方法.本章中，我们将应用导数来研究函数以及 曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题.为此，先要介绍微分学的 几个中值定理，它们是导数应用的理论基础. []{#bookmark108 .anchor}第 一 节 微分中值定理 我们先讲罗尔(Rolle) 定理，然后根据它推出拉格朗日(Lagrange) 中值定理 和柯西(Cauchy) 中值定理. 一 、罗尔定理 首先，我们观察图3-1.设曲线弧AB是函数y=f(x)(x∈\[a,b\]) 的图形.这 图3-1 费马引理 设函数f(x)在点x₀ 的某邻域U(x。)内有定义，并且在x₀ 处可导， 如果对任意的x∈U(x₀), 有 f(x)≤f(x。) ( 或f(x)≥f(x。)), 那么f\'(x₀)=0. 证 不妨设x∈U(x₀) 时 ，f(x)≤f(x 。) (如果f(x)≥f(x 。), 可以类似地证 明).于是，对于x₀+△x∈U(x₀), 有 f(x₀+△x)≤f(x₀), 从而当△x\>0 时， 公众号 {width="4.0249343832021e-2in" height="0.16226706036745406in"} {width="0.15308508311461066in" height="0.23620516185476814in"}饮研 {width="1.3126629483814523in" height="0.3154822834645669in"} 当△x\<0 时 ， {width="1.312548118985127in" height="0.3541097987751531in"} 根据函数f(x) 在 x₀可导的条件及极限的保号性，便得到 {width="2.7013746719160103in" height="0.3541994750656168in"} {width="2.6667202537182852in" height="0.3541994750656168in"} 所以，f\'(x₀)=0. 证毕. 通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理 如果函数f(x) 满足 (1)在闭区间\[a,b\] 上连续； (2)在开区间(a,b) 内可导； (3)在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b), 那么在(a,b) 内至少有一点ξ(a\<ξ\m. 因为f(a)=f(b), 所 以 M 和 m 这两个数中至少有一个不等于 f(x) 在区间\[a,b\] 的端点处的函数值.为确定起见，不妨设M≠f(a) (如果设m≠ f(a), 证法完全类似),那么必定在开区间(a,b) 内有 一 点专使f(ξ)=M. 因此，Vx∈\[a,b\], 有 f(x)≤f(ξ),从而由费马引理可知f\'(ξ)=0. 定理证毕. []{#bookmark109 .anchor}二 、拉格朗日中值定理 罗尔定理中f(a)=f(b) 这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到 限制.如果把f(a)=f(b) 这个条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应地改变 结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理. 拉格朗日中值定理 如果函数f 古)满足 (1)在闭区间\[a,b\] 上连续； (2)在开区间(a,b) 内可导， 那么在(a,b) 内至少有一点ξ(a\<ξ\0 或△x\<0),则公 式 ( 1 - 1 ) 在 区 间 \[x,x+△x\] ( 当 △x\>0 时 ) 或 在 区 间 \[x+△x,x\] (当△x\<0 时)上就成为 f(x+△x)-f(x)=f\'(x+θ△x)·△x(0\<θ\<1). (1-2) 这里数值θ在0与1之间，所以x+θ△x 是在x 与 x+△x 之间. 如果记f(x) 为y, 那么(1-2)式又可写成 △y=f\'(x+θ△x)·△x(0\<θ\<1). (1-3) 我们知道，函数的微分dy=f\'(x)·△x 是函数的增量△y的近似表达式，一般说 来，以dy 近似代替△y 时所产生的误差只有当△x→0时才趋于零；而(1-3)式却 给出了自变量取得有限增量△x(I△xl 不一定很小)时，函数增量△y 的准确表达 式.因此，这个定理也叫做有限增量定理，(1-3)式称为有限增量公式.拉格朗日 中值定理在微分学中占有重要地位，有时也称这定理为微分中值定理.在某些问 题中当自变量x 取得有限增量△x 而需要函数增量的准确表达式时，拉格朗日中 值定理就显出它的价值. 作为拉格朗日中值定理的一个应用，我们来导出以后讲积分学时很有用的 一个定理.我们知道，如果函数f(x) 在某一区间上是一个常数，那么f(x) 在该区 间上的导数恒为零.它的逆命题也是成立的，这就是： 定理 如果函数f(x)在区间I 上连续，I内①可导且导数恒为零，那么f(x) 在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点x₁ 、x₂(x₁\0 时 ， {width="1.0347331583552055in" height="0.28474846894138234in"} 证 设 f(t)=In(1+t), 显 然f(t)在区间\[0,x\]上满足拉格朗日中值定理的 条件，根据定理，应有 f(x)-f(0)=f\'(ξ)(x-0),0\<ξ\b\>0,n\>1, 证明： nb\"⁻¹(a-b)\b\>0, 证明： {width="0.85416447944007in" height="0.2639238845144357in"} 11\. 证明下列不等式： (1)larctan a-arctan bl≤la-bl; ( 2 ) 当x\>1 时 ，e\*\>ex. 12\. 证明方程x⁵+x-1=0 只有一个正根. \*13.设f(x) 、g(x) 在\[a,b\] 上连续，在(a,b) 内可导，证明在(a,b) 内有一点ξ,使 {width="2.138888888888889in" height="0.3680457130358705in"} 14\. 证明：若函数f(x) 在(-∞,+∞)内满足关系式f\'(x)=f(x), 且f(0)=1, 则f(x)=e. · 15 . 设函数 y=f(x) 在 x=0 的某邻域内具有 n 阶导数，且f(0)=f\'(0)= ...= fa⁻1)(0)=0, 试用柯西中值定理证明： {width="1.388853893263342in" height="0.29869094488188974in"} []{#bookmark111 .anchor}第 二 节 洛必达法则 如 果 当x→a ( 或x→) 时 ， 两 李 数 鸿 F(x) 都趋于零或都趋于无穷 大，那么极限 {width="0.6319050743657043in" height="0.3767432195975503in"}可能存在、也可能不存在.通常把这种极限叫做未定式， {width="0.1736187664041995in" height="0.26387029746281715in"}并分别简记 {width="0.24341316710411198in" height="0.30554352580927385in"} .在第一章第六节中讨论过的极{width="0.5949332895888014in" height="0.2916229221347332in"}就是未定式 ·{width="0.14877952755905513in" height="0.31946412948381453in"}的 一个例子.对于这类极限，即使它存在也不能用"商的极限等于极限的商"这一 法则.下面我们将根据柯西中值定理来推出求这类极限的一种简便且重要的 方法. 我们着重讨论x→a 时的未定式{width="0.24496937882764655in" height="0.31946522309711284in"}的情形，关于这情形有以下定理： 定 理 1 设 ( 1 ) 当x→a 时，函数f(x) 及 F(x) 都趋于零； (2)在点a 的某去心邻域内，f\'(x)及 F\'(x) 都存在且F\'(x)≠0; \(3\) {width="0.5694608486439195in" height="0.33338582677165357in"}存在(或为无穷大), 则 {width="1.2430807086614173in" height="0.34025699912510937in"} 这就是说，当 {width="0.6458737970253718in" height="0.34730643044619425in"}存 在 时 ，{width="0.5833016185476816in" height="0.34025699912510937in"}也 存 在 且 等 于 {width="0.6180643044619423in" height="0.31946412948381453in"} 当 {width="0.576839457567804in" height="0.3095472440944882in"}为无穷大时 {width="0.5625076552930883in" height="0.35417760279965005in"}也是无穷大.这种在一定条件下通过分子分母分 别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达(L\'Hospital)法 则 证 因 为 {width="0.4653018372703412in" height="0.35417760279965005in"}当 x→a 时的极限与f(a) 及 F(a) 无关，所以可以假定 f(a)=F(a)=0, 于是由条件(1)、(2)知道，f(x) 及 F(x) 在点a 的某一邻域内是 {width="1.7500339020122484in" height="0.36104877515310585in"}连续的.设 x 是这邻域内的一点，那么在以 x 及 a 为端点的区间上，柯西中值定 理的条件均满足，因此有 (ξ在x 与 a 之间). 令 x→a, 并对上式两端求极限，注意到x→a 时ξ→a, 再根据条件(3)便得要证明 的结论. 如 {width="0.5278105861767279in" height="0.3263363954505687in"}当 x→a 时 仍 属 {width="0.1736187664041995in" height="0.31250437445319335in"}型，且这时f\'(x),F\'(x) 能满足定理中 f(x),F(x) 所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则先确定 {width="0.6041590113735783in" height="0.31946412948381453in"},从 而确定 {width="0.5346981627296588in" height="0.31946522309711284in"},即 {width="1.9166360454943132in" height="0.32633530183727033in"} 且可以以此类推. 例 1 求!{width="0.748264435695538in" height="0.29858377077865267in"}≠0). 解 {width="1.6111122047244095in" height="0.30563320209973754in"} 例 2 求\]{width="0.8669652230971129in" height="0.3263363954505687in"} 解 {width="2.6527646544181978in" height="0.3332961504811899in"} 注意，上式中的 {width="0.5in" height="0.30563320209973754in"}已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导 致错误结果.以后使用洛必达法则时应当经常注意这一点，如果不是未定式，那 么就不能应用洛必达法则. 例 3 求 {width="0.6597145669291339in" height="0.29858377077865267in"} 解 {width="2.2777799650043744in" height="0.34025699912510937in"} 我们指出，对于x→∞ 时的未定式 {width="0.2521117672790901in" height="0.326424978127734in"}以及对于x→a 或 x→∞ 时 的 未 定{width="0.3151399825021872in" height="0.2777909011373578in"} 也有相应的洛必达法则.例如，对于x→ ∞ 时的未定式{width="0.25198600174978125in" height="0.31946522309711284in"}有以下定理. 定理2 设 ( 1 ) 当x→∞ 时，函数f(x) 及 F(x) 都趋于零； ( 2 ) 当Ixl\>N 时f\'(x) 与 F\'(x) 都存在，且F\'(x)≠0; \(3\) {width="0.5972069116360454in" height="0.326424978127734in"}存在(或为无穷大), 则 {width="1.284730971128609in" height="0.34025699912510937in"} 例4 求{width="1.0134492563429571in" height="0.6110881452318461in"} 拼 课 解 例 5 解 例 6 {width="0.9306047681539807in" height="0.326424978127734in"}{width="2.604161198600175in" height="0.6666819772528434in"} 求 {width="1.965304024496938in" height="0.48615813648293965in"} 求{width="0.6248939195100612in" height="0.31946412948381453in"}为正整数，λ\>0). 解 相继应用洛必达法则 n 次，得 {width="3.381940069991251in" height="0.3749693788276465in"} 事实上，如果例6中的 n 不是正整数而是任何正数，那么极限仍为零. 对数函数 Inx、幂函数 x"(n\>0) 、 指数函数 e(A\>0) 均为当x→+∞ 时的无 穷大，但从例5、例6可以看出，这三个函数增大的"速度"是很不一样的，幂函数 增大的"速度"比对数函数快得多，而指数函数增大的"速度"又比幂函数 快得多. 下表列出了x 分别取10,100,1000时，函数In x,√x,x²及e 相应的函数值. 从中可以看出当x 增大时这几个函数增大"速度"快慢的情况. | > x | > 10 | > 100 | > 1000 | | > In x | > 2.3 | > 4.6 | > 6.9 | | > √x | > 3.2 | > 10 | > 31.6 | | > x² | > 100 | > 10⁴ | > 10⁶ | | > e\* | > 2.20×10⁴ | > 2.69×10⁴³ | > 1.97×10⁴34 | ------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------- 其他还有一些0 · ∞、∞-∞、0°、1°、∞型的未定式，也可通过 {width="0.15069225721784776in" height="0.25815616797900265in"}或{width="0.17035542432195974in" height="0.27083114610673664in"}型的 未定式来计算，下面用例子说明. ------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------- 例 7 {width="1.2237007874015748in" height="0.2236395450568679in"} 解 这是未定式0 · ∞.因为 {width="0.7291754155730533in" height="0.28855971128608926in"} 号： 研拼9课 当 x→0+时，上式右端是未定{width="0.2821412948381452in" height="0.26387029746281715in"},应用洛必达法则，得 {width="2.7987095363079617in" height="0.4813112423447069in"} 例 8 求{width="1.0971489501312337in" height="0.27419728783902014in"} 解 这是未定式∞- ∞.因为 {width="1.3263812335958005in" height="0.31250437445319335in"} 当{width="0.36451115485564306in" height="0.25699912510936135in"}时，上式右端是未定式 ·{width="0.1504527559055118in" height="0.2777471566054243in"},应用洛必达法则，得 {width="2.7294717847769028in" height="0.3579735345581802in"} 例 9 求 {width="0.3819367891513561in" height="0.22219706911636045in"} 解 这是未定式0°.设y=x\*, 取对数得 ln y=xln x, 当x→0\*时，上式右端是未定式0 · ∞.应用例7的结果，得 {width="1.4791437007874015in" height="0.26387029746281715in"} 因为y=ely, 而lim y=lim elᵐy=elim Iay( 当x→0+), 所以 {width="1.2083180227471566in" height="0.27083114610673664in"} 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结 合使用.例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限 时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷. 例10 求\]{width="0.6585367454068242in" height="0.2777919947506562in"} 解 如果直接用洛必达法则，那么分母的导数(尤其是高阶导数)较繁.如 果作一个等价无穷小替代，那么运算就方便得多.其运算如下： {width="2.1736220472440944in" height="0.36113735783027123in"} {width="2.048604549431321in" height="0.31946522309711284in"} 最后，我们指出，本节定理给出的是求未定式的一种方法.当定理条件满足 时，所求的极限当然存在(或为∞),但当定理条件不满足时，所求极限却不一定 不存在，这就是说，当\]{width="0.5420417760279965in" height="0.326424978127734in"}不存；在时(篝于抚穷大的情况除外),{width="0.5894630358705162in" height="0.32633530183727033in"}仍 可 能 存 在 ( 见 本 节 习 题 第 2 、 第 3 题 ) . []{#bookmark112 .anchor}习 题 3-2 1\. 用洛必达法则求下列极限： {width="0.4791437007874016in" height="0.23611767279090115in"}{width="0.5346905074365704in" height="0.27083114610673664in"}{width="0.5416579177602799in" height="0.26387029746281715in"}{width="0.9444181977252843in" height="0.27083114610673664in"}{width="0.5347550306211724in" height="0.298672353455818in"}{width="0.7916491688538932in" height="0.2777909011373578in"}{width="0.7499737532808399in" height="0.2847517497812773in"}{width="0.7083617672790901in" height="0.29171259842519687in"} 事 2\. 验证极限 {width="0.5902373140857393in" height="0.25691054243219597in"}存在，但不能用洛必达法则得出. 3\. 验证极 {width="0.7222320647419073in" height="0.3983333333333333in"}存在，但不能用洛必达法则得出. \*4.讨论函数 {width="1.597169728783902in" height="0.5971675415573053in"} 在点 x=0 处的连续性. []{#bookmark113 .anchor}第 三 节 泰 勒 公 式 对于 一 些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用 一 些简单的函数来近似 表达 . 由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运 算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数 . 在 微 分 的 应 用 中 已 经 知 道 ， 当x1小 时 肴 如 下 的 近 似 等 式 ： eˣ≈1+x,In(1+x)≈x. 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.显然，在x=0 处这些一次多项 式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值. 但是这种近似表达式的精确度不高，它所产生的误差仅是关于x 的高阶无 穷小.为了提高精确度，自然想到用更高次的多项式来逼近函数.于是，提出如下 问题： 设 f(x)在 x。处具有 n 阶导数，试找出一个关于(x-x。)的 n 次多项式 Pa(x)=a₀+a₁(x-x 。)+a₂(x-x₀)²+...+a(x-x 。)\" (3-1) 来近似表达f(x), 要求使得pₙ(x) 与f(x) 之差是当 x→x₀时 比(x-x₀)\" 高阶的无 穷小. 下面我们来讨论这个问题.假设pn(x) 在 x₀ 处的函数值及它的直到n 阶 导 数在x₀ 处的值依次与f(x 。),f\'(x 。),...,f"(x₀) 相等，即满足 Pn(x₀)=f(x₀),p\'n(x₀)=f\'(x₀), p\" 。(x 。)=f\"(x 。),...,P\'")(x 。)=f")(x 。), 按这些等式来确定多项式(3-1)的系数 ao,a₁,a₂,...,an. 为此，对(3-1)式求各 阶导数，然后分别代入以上等式，得 a₀=f(x₀),1·a₁=f\'(x₀), 2!a₂=f"(x 。),...,n!an=f\"(x 。), 即得 {width="4.2152723097112865in" height="0.3750590551181102in"}ao=f(x₀),a₁=f\'(x₀), {width="2.1388932633420823in" height="0.30554352580927385in"} 将求得的系数ao,a₁,a₂,...,a 代入(3-1)式，有 (3-2) 下面的定理表明，多项式(3-2)的确是所要找的n 次多项式. 泰勒(Taylor) 中值定理1 如果函数f(x) 在 x₀ 处具有 n 阶导数，那么存在 x₀ 的一个邻域，对于该邻域内的任一x, 有 {width="4.409782370953631in" height="0.3749693788276465in"} 其中 R(x)=o((x-x 。)"). (3-4) 证 记R(x)=f(x)-p(x), 则 R 。(x₀)=R′(x 。)=R"(x₀)=...=R\'\"(x 。)=0. 由于f(x) 在 x₀处有 n 阶导数，因此f( 。的某邻域内存在(n-1) 阶导 数，从而 R,(x) 也在该邻域内(n-1) 阶可导，反复应用洛必达法则，得 {width="3.138847331583552in" height="0.38883530183727033in"} {width="1.2500142169728783in" height="0.3819597550306212in"} {width="1.7777701224846894in" height="0.388924978127734in"} {width="1.06248031496063in" height="0.3125688976377953in"} 因此R(x)=0((x-x 。)\"), 定理证毕. 多项式(3-2)称为函数f(x) 在 x₀ 处(或按(x-x 。) 的幂展开)的 n 次泰勒多 项式，公式(3-3)称为f(x) 在 x。处 ( 或 按(x-x₀) 的幂展开)的带有佩亚诺 (Peano) 余项的n 阶泰勒公式，而 R(x) 的表达式(3-4)称为佩亚诺余项，它就 是用n 次泰勒多项式来近似表达f(x) 所产生的误差，这一误差是当x→x。时比 (x-x。)\"高阶的无穷小，但不能由它具体估算出误差的大小.下面给出的具有另 一种余项形式的泰勒定理则解决了这一问题. 泰勒(Taylor) 中值定理2 如果函数f(x) 在 x₀ 的某个邻域 U(x₀) 内具有(n +1)阶导数，那么对任一x∈U(x₀), 有 其中 {width="3.0902537182852146in" height="0.3680282152230971in"} {width="1.534922353455818in" height="0.32713582677165354in"} {width="1.6874879702537182in" height="0.36811679790026247in"} (3-5) (3-6) 这里ζ是x₀ 与 x 之间的某个值. 证 记 R(x)=f(x)- p(x). 只需证明 {width="1.5833956692913387in" height="0.34722003499562554in"} (ξ在x。与 x 之间). 由假设可知，R(x) 在 U(x。)内具有(n+1) 阶导数，且 R(x₀)=R(x 。)=R\"(x₀)=...=R\'\"(x 。)=0. {width="2.715313867016623in" height="0.46528105861767277in"}对两个函数 R(x) 及(x-x 。)+¹ 在 以x。及 x 为端点的区间上应用柯西中值定理 (显然，这两个函数满足柯西中值定理的条件),得 (专，在x。与 x 之间), 再对两个函数R′(x)与(n+1)(x-x。)\" 在以x₀ 及ζ为端点的区间上应用柯西中 值定理，得 {width="2.2847462817147854in" height="0.39580161854768153in"} {width="1.2569192913385827in" height="0.37499343832021in"} (ξ₂在x。与ξ₁ 之间). {width="1.3124825021872266in" height="0.39580161854768153in"}照此方法继续做下去，经过(n+1) 次后，得 (ξ在x₀ 与ξ。之间，因而也在x₀ 与 x 之间). {width="1.6180489938757656in" height="0.340343394575678in"}注意到 R.#+1)(x)=fn+1)(x) ( 因P(4+1)(x)=0), 则由上式得 (ξ在x。与 x 之间), 定理证毕. 公式(3-5)称为f(x)在 x₀处(或按(x-x。)的幂展开)的带有拉格朗日余项 的 n 阶泰勒公式，而R₂ (x) 的表达式(3-6)称为拉格朗日余项. 当n=0 时，泰勒公式(3-5)变成拉格朗日中值公式 f(x)=f(x。)+f\'(ξ)(x-x。)(ξ在 x₀与 x 之间). 因此，泰勒中值定理2是拉格朗日中值定理的推广. {width="3.118067585301837in" height="0.37499343832021in"}由泰勒中值定理2可知，以多项式pn(x) 近似表达函数f(x) 时，其误差为 IR,(x)1.如果对于某个固定的n,当x∈U(xo) 时 ，Ifn+¹)(x)I≤M,那么有估计式 (3-7) 在泰勒公式(3-3)中，如果取 x₀=0, 那么有带有佩亚诺余项的麦克劳林 (Maclaurin) 公式 {width="2.5907534995625547in" height="0.3269400699912511in"} (3-8) 在泰勒公式(3-5)中，如果取x₀=0, 那么ξ在0与x 之间.因此可以令ξ= θx (0\<θ\<1),从而泰勒公式(3-5)变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日余项的 麦克劳林公式 {width="2.812501093613298in" height="0.36106189851268594in"} {width="0.12500109361329834in" height="0.12502734033245844in"}{width="0.8134000437445319in" height="0.34056321084864394in"} (0\<θ\<1). (3-9) 由(3-8)或(3-9)可得近似公式你 号 考研拼课 {width="2.7986122047244093in" height="0.354161198600175in"} {width="1.548591426071741in" height="0.31941272965879264in"}误差估计式(3-7)相应地变成 (3-10) 例 1 写出函数f(x)=e\* 的带有拉格朗日余项的n 阶麦克劳林公式. 解 因为 f\'(x)=f"(x)=...=f"(x)=e\*, 所以 f(0)=f\'(0)=f\"(0)=...=f"(0)=1. 把这些值代入公式(3-9),并注意到fn+1)(θx)=e"便得 {width="1.958319116360455in" height="0.35416010498687667in"} (0\<θ\<1). 由这个公式可知，若把 e\*用它的 n 次泰勒多项式表达为 {width="1.2638910761154856in" height="0.35424978127734036in"} {width="2.444430227471566in" height="0.354161198600175in"}这时所产生的误差为 (0\<θ\<1). 如果取x=1, 则得无理数e 的近似式为 {width="1.2222145669291338in" height="0.32645231846019246in"} 其误差 {width="1.465239501312336in" height="0.32636264216972877in"} 当 n=10 时，可算出e≈2.718282, 其误差不超过10⁻⁶ . 例2 求f(x)=sin x的带有拉格朗日余项的n 阶麦克劳林公式. 解 因为 f\'(x)=cos x,f\"(x)=-sin x,f\"(x)=-cosx, {width="2.5416524496937885in" height="0.32636264216972877in"} 所以 f(0)=0,f\'(0)=1,f"(0)=0,f\"(0)=-1,f⁴(0)=0 等.它们顺序循环地取四个数0,1,0,-1,于是按公式(3-9)得(令 n=2m) {width="2.95834864391951in" height="0.45831583552055993in"} 其中 {width="3.632062554680665in" height="0.4601421697287839in"} (0\<θ\<1). 如果取 m=1, 那么得近似公式 sin x≈x, {width="1.5485903324584427in" height="0.34721128608923885in"}这时误差为 (0\<θ\<1) {width="0.8402930883639546in" height="0.30560258092738407in"}如果m 分别取2和3,那么可得 sin x 的3次和5次泰勒多项式 和 {width="1.1944739720034996in" height="0.3125524934383202in"}{width="0.5764304461942257in" height="0.30551399825021874in"}f {width="0.5486253280839894in" height="0.3124639107611549in"}其误差的绝对值依次不超 . 以上三个泰勒多项式及正弦函数 的图形都画在图3-3中，以便于比较. {width="2.3333377077865265in" height="1.638853893263342in"}y *y=x* x-+0 *y=x----x³、* π x 图3-3 类似地，还可以得到 {width="3.909734251968504in" height="0.3402613735783027in"}{width="3.2222101924759405in" height="0.32636264216972877in"} 其中 {width="1.7361329833770778in" height="0.3402613735783027in"}{width="3.0208628608923886in" height="0.32645122484689415in"} 其中 (0\<θ\<1); {width="3.6598370516185477in" height="0.42481517935258095in"} {width="3.201398731408574in" height="0.32636264216972877in"} 其 中 (0\<θ\<1). {width="1.0555916447944007in" height="0.32636264216972877in"}由以上带有拉格朗日余项的麦克劳林公式，易得相应的带有佩亚诺余项的 麦克劳林公式，读者可自行写出. 例 3 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求极限 解 由于分式的分母 sin³x～x³(x→0), 我们只需将分子中的 sin x和xcos x 分别用带有佩亚诺余项的三阶麦克劳林公式表示，即 {width="1.195346675415573in" height="0.3199792213473316in"}{width="1.2847222222222223in" height="0.3333125546806649in"} 于 是 {width="3.4027788713910763in" height="0.34721128608923885in"} 对上式作运算时，把两个比x³高阶的无穷小的代数和仍记作o(x³), 故 {width="2.2569356955380577in" height="0.4930632108486439in"} []{#bookmark114 .anchor}习 题 3-3 1\. 按(x-4) 的幂展开多项式f(x)=x⁴-5x³+x²-3x+4. 2\. 应用麦克劳林公式，按x 的幂展开函数f(x)=(x²-3x+1)³ . 3\. 求函数f(x)=√x按(x-4) 的幂展开的带有拉格朗日余项的3阶泰勒公式. 4\. 求函数f(x)=Inx 按(x-2) 的幂展开的带有佩亚诺余项的n 阶泰勒公式. 5\. 求函数.{width="0.4899890638670166in" height="0.2708552055993001in"}按(x+1) 的幂展开的带有拉格朗日余项的n 阶泰勒公式. 6\. 求函数f(x)=tan x 的带有佩亚诺余项的3阶麦克劳林公式. 7\. 求函数f(x)=xe 的带有佩亚诺余项的n 阶麦克劳林公式. 8\. 验证当{width="0.48537182852143484in" height="0.2707655293088364in"}时，按公式{width="0.9497255030621172in" height="0.28466535433070866in"}计算 e 的近似值时，所产生的误差小于 0.01,并求 √e的近似值，使误差小于0.01. 9\. 应用3阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差： (1)³30; (2)sin 18° . \*10.利用泰勒公式求下列极限： {width="1.458351924759405in" height="0.2430566491688539in"}(1) ; \(2\) 拼 课 {width="1.0625284339457568in" height="0.3680599300087489in"} {width="1.3545439632545933in" height="0.44483595800524933in"} []{#bookmark115 .anchor}第 四 节 函数的单调性与曲线的凹凸性 一 、函数单调性的判定法 第一章第一节中已经介绍了函数在区间上单调的概念.下面利用导数来对 函数的单调性进行研究. 如果函数y=f(x) 在\[a,b\] 上单调增加(单调减少),那么它的图形是一条沿 x 轴正向上升(下降)的曲线.这时，如图3-4,曲线上各点处的切线斜率是非负 的(是非正的),即y\'=f\'(x)≥0(y\'=f\'(x)≤0). 由此可见，函数的单调性与导 数的符号有着密切的联系. {width="1.749983595800525in" height="1.1805380577427822in"}{width="1.7569214785651794in" height="1.1991283902012249in"} (a)函数图形上升时切线斜率非负 (b)函数图形下降时切线斜率非正 图3-4 反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢? 下面我们利用拉格朗日中值定理来进行讨论. 设函数f(x) 在\[a,b\] 上连续，在(a,b) 内可导，在\[a,b\] 上任取两点x₁ 、x₂(x₁\< x₂), 应用拉格朗日中值定理，得到 f(x₂)-f(x₁)=f\'(ξ)(x₂-x₁)(x₁\<ξ\0, 因此，如果在(a,b) 内导数f\'(x)保持正号，即 f\'(x)\>0, 那么也有f\'(ξ)\>0.于是 f(x₂)-f(x₁)=f\'(ξ)(x₂-x₁)\>0, 即 f(x₁)\f(x₂), 表明函数 y=f(x) 在\[a,b\] 上单调减少. 此外，如果f\'(x) 在(a,b) 内的某点x=c 处等于零，而在其余各点处均为正 (负),那么f(x) 在区间\[a,c\] 和区间\[c,b\] 上都是单调增加(减少)的，因此在区 间\[a,b\] 上仍是单调增加(减少)的.显然，如果f\'(x) 在(a,b) 内等于零的点为 有限多个，只要它在其余各点处保持定号，那么f(x) 在\[a,b\] 上仍是单调的. 归纳以上讨论，即得 定理1 设函数y=f(x) 在\[a,b\] 上连续，在(a,b) 内可导. (1)如果在(a,b) 内 f\'(x)≥0, 且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 y=f(x) 在\[a,b\] 上单调增加； (2)如果在(a,b) 内 f\'(x)≤0, 且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 y=f(x) 在\[a,b\] 上单调减少. 如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间(对于无穷区间，要求在 其任一有限的子区间上满足定理的条件),那么结论也成立，参阅本节习题8. 例 1 判定函数y=x-sin x 在\[-π,π\]上的单调性. 解 因为所给函数在\[-π,π\]上连续，在(一π,π)内 y\'=1-cos x≥0, 且等号仅在x=0 处成立，所以由定理1可知，函数y=x-sin x 在\[-π,π\]上单调 增加. 例 2 讨论函数y=e\*-x-1 的单调性. 解 y\'=eˣ-1. 函数y=e\*-x-1 的定义域为(-∞,+∞). 因为在(-∞,0)内y\'\<0, 所以函数 y=e\*-x-1 在(-∞,0)上单调减少；因为在(0,+∞)内y\'\>0,所以函数y=e\*-x-1 在\[0,+∞\]上单调增加. 例 3 讨论函数y=³x² 的单调性. 解 这函数的定义域为(-∞,+∞). {width="1.652794181977253in" height="1.1943864829396325in"}当 x≠0 时，这函数的导数为 {width="0.5833278652668417in" height="0.3819006999125109in"} 当 x=0 时，函数的导数不存在.在(-∞,0)内，y\'\< 0,因此函数y=³x² 在\[-∞,0\]上单调减少.在(0, +∞)内，y\'\>0, 因此函数y=³x² 在(0,+∞)上单调 增加.函数的图形如图3-5所示. 图3-5 考研拼课 R 众号 ： 我们注意到，在例2中，x=0 是函数 y=e\*-x-1 的单调减少区间\[-∞,0\]与单 调增加区间(0,+∞)的分界点，而在该点处y\'=0. 在例3中，x=0 是函数 y=³x² 的单调减少区间\[-∞,0\]与单调增加区间\[0,+∞)的分界点，而在该点处导数不 存在. 从例2中看出，有些函数在它的定义区间上不是单调的，但是当我们用函数的 驻点来划分函数的定义区间以后，就可以使函数在各个部分区间上单调.从例3中 可看出，如果函数在某些点处不可导，则划分函数的定义区间的分点，还应包括这 些导数不存在的点.一般地，我们有如下结论： 如果函数f(x)在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且 在区间内只有有限个驻点，那么只要用函数的驻点及导数不存在的点来划分函数 f(x)的定义区间，就能保证f\'(x) 在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x) 在每个部分区间上单调. 例 4 确定函数f(x)=2x³-9x²+12x-3 的单调区间. 解 这函数的定义域为(-∞,+∞).求这函数的导数 *f\'(x)=6x²-18x+12=6(x-1)(x-2).* 解方程f\'(x)=0, 即解 6(x-1)(x-2)=0, 得出它在函数定义域( - ∞,+∞)内的两个根 x₁=1 、x₂=2. 这 两 个 根 把 (-∞,+∞)分成三个部分区间\[-∞,1\]、\[1,2\]及\[2,+∞). {width="1.1458431758530183in" height="1.8541305774278216in"}在区间(-∞,1)内，x-1\<0 且 x-2\<0, 所 以f\'(x)\>0. 因此，函数f(x) 在 \[-∞,1\]内单调增加.在区间(1,2)内，x-1\>0 但 x-2\<0, 所 以f\'(x)\<0. 因此，函数f(x) 在\[1,2\]上单调减少.在区 间(2,+∞)内，x-1\>0 且 x-2\>0, 所以f\'(x)\>0. 因此，函数 f(x) 在(2,+∞)上单调增加. 函数y=f(x) 的图形如图3-6所示. 下面我们举一个利用函数的单调性证明不等式的 例子. 例 5 证 明：当 x\>1 时，{width="0.736081583552056in" height="0.3124398512685914in"} {width="1.2360947069116361in" height="0.33330489938757657in"}图3-6 证 令 ,则 {width="1.7638582677165355in" height="0.36112423447069114in"} f(x) 在(1,+∞)上连续，在(1,+∞)内f\'(0, 因此在\[1,+∞)上f(x)单调 增加，从而当x\>1 时，f(x)\>f(1). 由 于f(1)=0, 故f(x)\>f(1)=0, 即 {width="1.048639545056868in" height="0.3402613735783027in"} 亦即 {width="1.1110859580052495in" height="0.32636264216972877in"} []{#bookmark116 .anchor}二 、曲线的凹凸性与拐点 在第一目中，我们研究了函数单调性的判定法. 函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升或下 降.但是，曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯 曲方向的问题.例如，图3-7中有两条曲线弧，虽然它 们都是上升的，但图形却有显著的不同，ACB 是向上 {width="1.6735575240594927in" height="1.6597025371828522in"}凸的曲线弧，而ADB是向上凹的曲线弧，它们的凹凸 性不同，下面我们就来研究曲线的凹凸性及其 判定法. {width="1.465272309711286in" height="1.4791021434820648in"} 图3-7 我们从几何上看到，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联结这两点间的弦 总位于这两点间的弧段的上方(图3-8(a)), 而有的曲线弧，则正好相反(图 3-8(b)). 曲线的这种性质就是曲线的凹凸性.因此曲线的凹凸性可以用联结曲 线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点(即具有相同横坐标的点)的位 置关系来描述，下面给出曲线凹凸性的定义. {width="1.6666622922134733in" height="1.5902952755905513in"} \(a\) (b) 图3-8 定义 设f(x) 在区间I 上连续，如果对 I上任意两点x₁,x₂ 恒有 {width="1.534744094488189in" height="0.3680599300087489in"} 那么称f(x) 在 I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有 {width="1.534744094488189in" height="0.37500984251968505in"} 那么称f(x) 在 I上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 如果函数f(x) 在 I 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定 曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理. 定理2 设f(x) 在\[a,b\] 上连续，在(a,b) 内具有一阶和二阶导数，那么 ( 1 ) 若 在(a,b) 内f\"(x)\>0, 则f(x) 在\[a,b\] 上的图形是凹的； (2)若在(a,b) 内f"(x)\<0, 则f(x) 在\[a,b\] 上的图形是凸的. 证 在情形(1),设x₁ 和 x₂ 为\[a,b\] 内任意两点，且x₁\0, 故有 f(x₀+h)+f(x₀-h)-2f(x₀)\>0, {width="1.6249660979877516in" height="0.3402613735783027in"}即 亦即 {width="1.534744094488189in" height="0.365074365704287in"} 所以f(x)在\[a,b\] 上的图形是凹的. 类似地可证明情形(2). 如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间(包括无穷区间),那么结 论也成立. 例 6 判定曲线y=ln x 的凹凸性. 解 因为 {width="0.9722080052493438in" height="0.3124639107611549in"}所以在函数吸漫的定义域(0,+∞)内，y\"\<0, 由 定理2可知，曲线y=In x是凸的. 例 7 判定曲线y=x³ 的凹凸性. 解 因 为y\'=3x²,y\"=6x. 当x\<0 时 ，y\"\<0,所以曲线在\[-∞,0\]内为凸弧；当 x\>0 时 ，y\"\>0, 所以曲线在(0,+∞)内为凹弧. 一般地，设y=f(x) 在区间I 上连续，x₀是 I 内的点.如果曲线y=f(x) 在经过点 (x 。f(x₀)) 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x₀f(x₀)) 为这曲线的拐点. 如何来寻找曲线y=f(x) 的拐点呢? 从上面的定理知道，由f\"(x) 的符号可以判定曲线的凹凸性，因此，如果 f"(x)在 x₀ 的左、右两侧邻近异号，那么点(x₀,f(x。))就是曲线的一个拐点，所 以，要寻找拐点，只要找出f\"(x) 符号发生变化的分界点即可，也就是找出f\'(x) 单调增减区间发生变化的分界点即可.因此，如果f(x) 在区间(a,b) 内具有二阶 导数，那么在这样的分界点处必然有f"(x)=0; 除此以外，f(x)的二阶导数不存 在的点，也有可能是f\"(x) 的符号发生变化的分界点.综合以上分析，我们可以 按下列步骤来判定区间I 上的连续曲线y=f(x) 的拐点： ( 1 ) 求f\"(x); ( 2 ) 令f"(x)=0, 解出这方程在区间I 内的实根，并求出在区间I 内 f\"(x) 不存在的点①; (3)对于(2)中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x。,检查f\"(x) 在 x₀ 左、右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x₀,f(x。))是拐点，当两 侧的符号相同时，点(x₀,f(x 。)) 不是拐点. 例 8 求曲线y=2x³+3x²-12x+14 的拐点. 解 y\'=6x²+6x-12 {width="1.4166994750656168in" height="0.32634951881014873in"} 解方程 y\"=0, 得 {width="0.5186668853893264in" height="0.29166338582677165in"} 当 {width="0.49097440944881887in" height="0.27775371828521433in"}时 ，y\"\<0; 当{width="0.5670024059492563in" height="0.30557414698162727in"}时 ，y\"\>0. 因此，点 {width="0.7847309711286089in" height="0.3472145669291339in"}是这曲线的拐点. 例 9 求曲线y=3x⁴-4x³+1 的拐点及凹、凸的区间. 解 函数y=3x⁴-4x³+1 的定义域为(-∞,+∞). y\'=12x³-12x², {width="1.6527635608048994in" height="0.34025918635170604in"} {width="1.2639381014873141in" height="6.955380577427821e-3in"} ①这里假设这两种点在区间1内的众爱为有限不 解方程y\"=0, 得 x₁=0, {width="0.40279418197725286in" height="0.29166338582677165in"} x₁=0 及 {width="0.41663495188101485in" height="0.2986187664041995in"}把函数的定义域(-∞,+∞)分成三个部分区间：\[- ∞,0\]、 {width="1.1874606299212598in" height="0.32634842519685037in"} 在(-∞,0)内，y\"\>0,因此在区间(-∞,0)上这曲线是凹的.在{width="0.429915791776028in" height="0.34034886264216974in"}内 ，y\"\< 0,因此在区间 {width="0.4583497375328084in" height="0.33330489938757657in"}上这曲线是凸的 . 在 {width="0.563066491688539in" height="0.30552930883639545in"} 内 ，y\"\>0, 因 此 在 区 间 {width="0.6041590113735783in" height="0.33330489938757657in"}上这曲线是凹的. 当 x=0 时 ，y=1, 点(0,1)是这曲线的 一个拐点 . 当 {width="0.3819367891513561in" height="0.29166338582677165in"}时 {width="0.3905719597550306in" height="0.27840660542432194in"},点 {width="0.5068886701662292in" height="0.34025918635170604in"}也是这曲线的拐点. 例10 问曲线y=x⁴ 是否有拐点? 解 y′=4x³,y\"=12x² . 显然，只有 x=0 是方程y\"=0 的根.但当x≠0 时，无论 x\<0 或 x\>0 都有 y\"\> 0,因此点(0,0)不是这曲线的拐点：曲线y=x⁴ 没有拐点，它在(-∞,+∞)内是 凹的. 例 1 1 ′ 求曲线y=³x 的拐点. 解 这函数在(-∞,+∞)内连续，当x≠0 时 ， {width="1.4933366141732283in" height="0.368079615048119in"} 当x=0 时 ，y\',y" 都不存在.故二阶导数在(-∞0,+0○)内不连续且不具有零点.但x= 0 是y"不存在的点，它把(-∞,+∞)分成两个部分区间：(-∞,0)、\[0,+∞). 在(-∞,0)内，y\"\>0, 这曲线在\[-∞,0\]上是凹的.在(0,+∞)内，y\"\<0, 这 曲 线在(0,+∞)上是凸的. 当 x=0 时 ，y=0, 点(0,0)是这曲线的一个拐点. []{#bookmark117 .anchor}习 题 3-4 1\. 判定函数f(x)=arctan x-x的单调性. 2\. 判定函数f(x)=x+cosx 的单调性. 3\. 确定下列函数的单调区间： 考研拼课 (1)y=2x³-6x²-18x-7; (2) {width="0.5069192913385827in" height="0.25695538057742784in"} (x\>0); \(3\) {width="0.8333300524934383in" height="0.26390529308836397in"} (4)y=ln(x+√ 1+x²); (5)y=(x-1)(x+1)³; (6)y=³√(2x-a)(a-x)²(a\>0); (7)y=x\"e⁻¹ (n\>0,x≥0); (8)y=x+lsin 2xl. 4\. 设函数f(x) 在定义域内可导，y=f(x) 的图形如图 3-9所示，则导函数f\'(x) 的图形为图3-10中所示的四个 图形中的哪一个? {width="1.6597014435695538in" height="1.4295866141732283in"} 图3-9 {width="4.888883420822397in" height="1.2361351706036745in"} \(a\) (b) (c) (d) 图3- 10 5\. 证明下列不等式： ( 1 ) 当x\>0 时 {width="0.8611056430446195in" height="0.25695538057742784in"} ( 2 ) 当x\>0 时，1+xln(x+√ 1+x²)\>√ 1+x²; (3)当 {width="0.4166972878390201in" height="0.25686679790026246in"}时 ，sin x+tan x\>2x; (4)当 {width="0.42359251968503936in" height="0.22220800524934384in"}时 {width="0.7916994750656168in" height="0.25695647419072615in"} ( 5 ) 当x\>4 时，2\*\>x² . 6\. 讨论方程lnx=ax (其中a\>0) 有几个实根? 7\. 单调函数的导函数是否必为单调函数?研究下面的例子： f(x)=x+sin x. 8\. 设I 为任一无穷区间，函数f(x) 在区间 I 上连续，I内可导.试证明：如果f(x) 在I 的任 一有限的子区间上f\'(x)≥0 ( 或f\'(x)≤0), 且等号仅在有限多个点处成立，那么f(x) 在区 间 I 上单调增加(或单调减少). 9\. 判定下列曲线的凹凸性： (1)y=4x-x²; (2)y=sh x; \(3\) {width="0.46528871391076115in" height="0.2708552055993001in"} (x\>0); (4)y=xarctan x. 10.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间： (1)y=x³-5x²+3x+5; (2)y=xe⁻¹; (3)y=(x+1)⁴+e\*; (4)y=ln(x²+1); (5)y=ectan; (6)y=x⁴(121n x-7). {width="1.2922222222222222in" height="0.26457567804024495in"}11.利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式： (x\>0,y\>0,x≠y,n\>1); \(2\) {width="0.5353390201224847in" height="0.22982830271216098in"} (x≠y); \(3\) {width="1.3124748468941383in" height="0.2429669728783902in"} (x\>0,y\>0,x≠y). 12\. 试证明曲线 {width="0.4305533683289589in" height="0.28466535433070866in"}有三个拐点位于同一直线上. 13.问a、b为何值时，点(1,3)为曲线y=ax³+bx² 的拐点? 14.试决定曲线y=ax³+bx²+cx+d 中的a、b、c、d,使得x=-2 处曲线有水平切线，(1,-10) 为拐点，且点(-2,44)在曲线上. 15.试决定y=k(x²-3)² 中k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点. \*16.设y=f(x) 在x=x₀的某邻域内具有三阶连续导数，如果f"(x₀)=0, 而f\"(x₀)≠0, 试问 (x₀,f(x。))是否为拐点?为什么? []{#bookmark118 .anchor}第 五 节 函数的极值与最大值最小值 一 、函数的极值及其求法 在上节例4中我们看到，点x=1 及 x=2 是函数 f(x)=2x³-9x²+12x-3 的单调区间的分界点.例如，在点x=1 的左侧邻近，函数f(x)是单调增加的，在 点 x=1 的右侧邻近，函数f(x) 是单调减少的.因此，存在点x=1 的一个去心邻 域，对于这去心邻域内的任何点x,f(x)\f(2)均成立(参看图3- 6).具有这种性质的点如x=1 及x=2, 在应用上有着重要的意义，值得我们对此 作一般性的讨论. 定义 设函数f(x) 在 点x₀ 的某邻域 U(x。)内有定义，如果对于去心邻域 Ů(x。)内的任一x,有 f(x)\f(x₀)), 那么就称f(x₀) 是函数f(x)的一个极大值(或极小值). 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值 点.例如，上节例4中的函数 f(x)=2x³-9x²+12x-3 有极大值f(1)=2 和极小值f(2)=1, 点 x=1 和 x=2 是函数f(x) 的极值点. 函数的极大值和极小值概念是局部性的.如果f(x₀) 是函数f(x) 的一个极 大值，那只是就x₀ 附近的一个局部范围来说，f(x₀) 是 f(x) 的一个最大值；如果就 f(x) 的整个定义域来说，f(x。)不见得是最大值.关于极小值也类似. 在图3-11中，函数f(x) 有两个极大值：f(x₂) 、f(x₅), 三个极小值：f(x₁)、 f(x₄)f(x₆), 其中极大值f(x₂) 比极小值f(x₆) 还小.就整个区间\[a,b\] 来说，只 有一个极小值f(x₁) 同时也是最小值，而没有一个极大值是最大值. {width="2.430605861767279in" height="1.3472386264216973in"} 图3-11 从图中还可看到，在函数取得极值处，曲线的切线是水平的.但曲线上有水 平切线的地方，函数不一定取得极值.例如图中x=x₃ 处，曲线上有水平切线，但 f(x₃) 不是极值. 由本章第一节费马引理可知，如果函数f(x) 在 x₀ 处可导，且f(x) 在 x₀ 处取 得极值，那么f\'(x₀)=0. 这就是可导函数取得极值的必要条件.现将此结论叙述 成如下定理： 定理1(必要条件) 设函数f(x) 在x₀ 处可导，且在x₀ 处取得极值，则f\'(x₀) =0. 定理1就是说：可导函数f(x) 的极值点必定是它的驻点.但反过来，函数的 驻点却不一定是极值点.例如，f(x)=x³ 的导数f\'(x)=3x²,f\'(0)=0, 因 此x=0 是这可导函数的驻点，但 x=0 却不是这函数的极值点.所以，函数的驻点只是可 能的极值点.此外，函数在它的导数本存在的点处也可能取得极值.例如，函数 f(x)=Ixl 在点x=0 处不可导，但函数在该点取得极小值. 怎样判定函数在驻点或不可导的点处究竟是否取得极值?如果是的话，究 竟取得极大值还是极小值?下面给出两个判定极值的充分条件： 定理2(第 一 充分条件)设函数f(x) 在 x。处连续，且在x₀ 的某去心邻域 Ů(x₀,8) 内可导 . ( 1 ) 若x∈(x₀-δ,x。)时 ，f\'(x)\>0, 而 x∈(x₀,xo+δ)时 ，f\'(x)\<0, 则f(x) 在 x₀ 处取得极大值； ( 2 ) 若x ∈(x₀-δ,x 。) 时，f\'(x)\<0, 而 x ∈(x 。,xo+δ) 时 ，f\'(x)\>0, 则f(x) 在 x₀ 处取得极小值； ( 3 ) 若x∈U(x₀,δ)时 ，f\'(x) 的符号保持不变，则f(x) 在x₀ 处没有极值. 证 事实上，就情形(1)来说，根据函数单调性的判定法，函数 在 {width="1.5000010936132984in" height="1.2083366141732284in"}(x₀-δ,x₀) 内单调增加，而在(x₀,xo+δ) 内单调减少，又由于函数f(x) 在x₀ 处是连 续的，故当 x∈Ů(x₀,8) 时，总有f(x)\0; 在(-1,1)内，f\'(x)\<0. 故不可导点x=-1 是 一个极大值点；又在(1,+∞)内，f\'(x)\>0, 故驻点x=1 是一个极小值点； (4)极大值为f(-1)=0, 极小值为f(1)=-3³4. 当函数f(x) 在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可以利用下述定理来 判定f(x)在驻点处取得极大值还是极小值. 定理3(第二充分条件) 设函数f(x) 在 x。处具有二阶导数且f\'(x 。)=0, f\"(x₀)≠0, 则 ( 1 ) 当f"(x₀)\<0时，函数f(x)在x₀ 处取得极大值； ( 2 ) 当f"(x₀)\>0 时，函数f(x) 在x₀ 处取得极小值. 证 在情形(1),由于f\"(x₀)\<0, 按二阶导数的定义有 {width="1.8541929133858268in" height="0.3680402449693788in"} 根据函数极限的局部保号性，当x 在x₀ 的足够小的去心邻域内时， {width="1.1180643044619423in" height="0.3472080052493438in"} 但f\'(x₀)=0, 所以上式即 {width="0.6319695975503062in" height="0.3541524496937883in"} 从而知道，对于这去心邻域内的 x 来说，f\'(x) 与 x-x 。符号相反.因此，当 x-x₀\<0 即x\0; 当 x-x₀\>0 即 x\>x₀ 时 ，f\'(x)\<0. 于是根据定理2知 道，f(x) 在点x₀处取得极大值. 类似地可以证明情形(2). 定理3表明，如果函数f(x) 在驻点x₀ 处的二阶导数f\"(x₀)≠0, 那么该驻点 x₀ 一定是极值点，并且可以按二阶导数f"(x₀) 的符号来判定f(x 。)是极大值还是 极小值.但如果f\"(x₀)=0, 那么定理3就不能应用.事实上，当f\'(x 。)=0, f"(x 。)=0 时 ，f(x) 在 x₀ 处可能有极大值，也可能有极小值，也可能没有极值.例 如，f₁ (x)=-x⁴,f₂ (x)=x⁴,f₃ (x)=x³ 这三个函数在x=0 处就分别属于这三种情 况.因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，那么可以用一阶导数在驻点左右 邻近的符号来判定；如果函数在驻点处有f"(x 。)=...=fn-1)(x₀)=0,f"(x 。)≠ 0,那么也可利用具有佩亚诺余项的泰勒公式来讨论判定(参阅本节习题4). 例 2 求函数f(x)=(x²-1)³+1 的极值. 解 f\'(x)=6x(x²-1)² . {width="1.4791437007874015in" height="1.5208606736657917in"}令f\'(x)=0, 求得驻点x₁=-1,x₂=0,x₃=1. f"(x)=6(x²-1)(5x²-1). 因f"(0)=6\>0, 故f(x) 在 x=0 处取得极 小值，极小值为f(0)=0. 因f\"(-1)=f\"(1)=0, 故用定理3无法判 别.考察一阶导数f\'(x) 在驻点x₁=-1 及 x₃= 1左右邻近的符号： 当x 取-1左侧邻近的值时，f\'(x)\<0; 当x 取-1右侧邻近的值时，f\'(x)\<0; 因为f\'(x) 的 图3-13 符号没有改变，所以f(x) 在 x=-1 处没有极 值.同理，f(x) 在 x=1 处也没有极值(图3-13). []{#bookmark119 .anchor}二 、最大值最小值问题 在工农业生产、工程技术及科学实验中，常常会遇到这样一类问题：在一定条 件下，怎样使"产品最多""用料最省""成本最低""效率最高"等问题，这类问题在 数学上有时可归结为求某一函数(通常称为目标函数)的最大值或最小值问题. 假定函数f(x)在闭区间\[a,b\] 上连续，在开区间(a,b) 内除有限个点外可 导，且至多有有限个驻点.在上述条件下，我们来讨论f(x) 在\[a,b\] 上的最大值 和最小值的求法. 首先，由闭区间上连续函数的性质可知，f(x) 在\[a,b\] 上的最大值和最小值 一定存在. 其次，如果最大值(或最小值)f(x 。)在开区 (a,b) 内的点 x₀ 处取得，那么, 按f(x) 在开区间内除有限个点外可导且至多有有限个驻点的假定，可知f(x₀) 一 定也是f(x) 的极大值(或极小值),从而 x₀ 一定是f(x) 的驻点或不可导点.又 f(x) 的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得.因此，可用如下方法求 f(x)在\[a,b\] 上的最大值和最小值. (1)求出f(x) 在(a,b) 内的驻点①及不可导点； (2)计算f(x)在上述驻点、不可导点处的函数值及f(a),f(b); (3)比较(2)中诸值的大小，其中最大的便是f(x)在\[a,b\] 上的最大值，最 小的便是f(x)在\[a,b\] 上的最小值. 例 3 求函数f(x)=1x²-3x+21 在\[-3,4\]上的最大值与最小值. {width="1.2083825459317585in" height="0.8472769028871391in"}x∈\[-3,1\]U\[2,4\], x∈(1,2). x∈(-3,1)U(2,4), x∈(1,2). 在(-3,4)内，f(x) 的驻点为 {width="0.3819367891513561in" height="0.3263746719160105in"};不可导点为x=1,2. 由于.{width="3.05492782152231in" height="0.3194302274715661in"},比较可得f(x) 在x= -3 处取得它在\[ - 3,4\]上的最大值20,在 x =1 和 x=2 处 取 得 它 在\[-3,4\]上的最小值0. 例4 铁路线上AB 段的距离为100 km. 工厂 C 距A 处为20 km,AC垂直于 {width="1.9930489938757656in" height="0.8403324584426947in"}AB(图3-14).为了运输需要，要在AB线上 选定一点D 向工厂修筑一条公路.已知铁路 每千米货运的运费与公路上每千米货运的 运费之比为3:5.为了使货物从供应站B 运 到工厂C的运费最省，问D 点应选在何处? 解 设AD=x km,则DB=(100-x)km, *CD=√20²+x²=√400+x².* 由于铁路上每千米货运的运费与公路上每千米货运的运费之比为3:5,因 此我们不妨设铁路上每千米的运费为3k,公路上每千米的运费为5k(k 为某个 正数，因它与本题的解无关，所以不必定出).设从B 点到C 点需要的总运费为 y,则 *y=5k·CD+3h·DB,* {width="1.2638746719160106in" height="6.944444444444444e-3in"} ① 当f(x) 在(a,b) 内没有驻点时，这个求驻点的步票身颂取消. 即 y=5k√400+x²+3k(100-x)(0≤x≤100). 现在，问题就归结为：x在\[0,100\]内取何值时目标函数y 的值最小. 先求γ对 x 的导数 {width="1.2152701224846894in" height="0.3819291338582677in"} 解方程 y\'=0, 得 x=15 km. {width="3.173741251093613in" height="0.3615923009623797in"},其中以yl=15=380k 为 最小，因此，当AD=x=15 km 时，总运费为最省. 在求函数的最大值(或最小值)时，特别值得指出的是下述情形：f(x)在一 个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个驻点 x₀,并且这个驻点x₀ 是函 数f(x) 的极值点，那么,当f(x₀) 是极大值时，f(x₀) 就是f(x) 在该区间上的最大 值(图3-15(a)); 当f(x₀)是极小值时，f(x。)就是f(x)在该区间上的最小值(图 3-15(b)). 在应用问题中往往遇到这样的情形. {width="1.6597156605424321in" height="1.3541119860017499in"}{width="1.8819378827646545in" height="1.361055336832896in"} \(a\) (b) 图3-15 例5 一束光线由空气中点A 经过水面折射后到达水中点B (图3- 16). 已知光在空气中和水中传播的速度分别是v₁和 v₂,光线在介质中总是沿着耗时 最少的路径传播.试确定光线传播的路径. 解 设点A到水面的垂直距离为AO=h₁, 点 B 到水面的垂直距离为BQ=h₂,x 轴沿水面过点 0 和 Q,0Q 的长度为 l. 由于光线总是沿着耗时最少的路径传播，因 此光线在同一均匀介质中必沿直线传播.设光线 {width="1.6736209536307962in" height="1.3819772528433947in"}图3-16 的传播路径与x 轴的交点为 P,OP=x, 则 考 线 果 A 到 B 的传播路径必为折线APB, 其所需要的传播时间为 {width="2.4791721347331586in" height="0.4097211286089239in"} {width="2.8750371828521435in" height="0.8541262029746282in"}下面来确定x 满足什么条件时，T(x) 在\[0 ,l\] 上取得最小值. 由于 ,x ∈\[0,l\], ,x ∈\[0,l\], T\'(0)\<0,T\'(1)\>0, 又 T\'(x) 在\[0,l\] 上连续，故T\'(x) 在(0 ,l) 内存在唯一零点x₀, 且 x₀ 是 T(x) 在 (0,1)内的唯一极小值点，从而也是T(x) 在\[0 ,l\] 上的最小值点. 设 x 满足 T\'(x)=0, 即 {width="1.6460094050743657in" height="0.424417104111986in"} 记 {width="2.409917979002625in" height="0.4235411198600175in"} 就得到 {width="0.8750054680664917in" height="0.3750349956255468in"} 这就是说，当点P 满足以上条件时，APB 就是光线的传播路径.上式就是光学中 著名的折射定律，其中θ₁,θ₂分别是光线的入射角和折射角(见图3-16). {width="1.2499715660542432in" height="1.2291622922134733in"}还要指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数f(x) 确 有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得.这时如果f(x) 在定义区间 内部只有一个驻点xo,那么不必讨论f(x。)是不是极值，就可以断定f(x₀)是最大 值或最小值. 例 6 把一根直径为 d 的圆木锯成截面为矩形的梁 (图3-17).问矩形截面的高h 和宽 b 应如何选择才能使 梁的抗弯截面模量最大? 解由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为 {width="0.6249857830271216in" height="0.2986187664041995in"} 由图3-17看出，b 与 h 有下面的关系： *h²=d²-b²,* 因而 {width="0.993069772528434in" height="0.2986187664041995in"} 这样，W 就与b 存在函数关系，b的变化范围是(0,d). 现在，问题化为：b 等于多 少时目标函数 W=W(b) 取最大值?为此，求 W 对 b的导数 {width="1.0624562554680665in" height="0.2986187664041995in"} 令 W\'=0, 解得 {width="0.6388746719160106in" height="0.36112423447069114in"} 由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在(0,d) 内部取得；现在，W\'=0 在 (0,d) 内只有一个根 {width="0.5842377515310586in" height="0.36112423447069114in"},所以，当{width="0.6120614610673666in" height="0.35416994750656167in"}时 ，W 的值最大.这时， {width="1.6527810586176728in" height="0.29166338582677165in"} 即 {width="0.631930227471566in" height="0.3749453193350831in"} 亦即 d:h:b=√3:√2:1. 例 7 假设某工厂生产某产品x 千件的成本是C(x)=x³-6x²+15x, 售出该 产品x 千件的收入是r(x)=9x. 问是否存在一个能取得最大利润的生产水平? 如果存在的话，找出这个生产水平. 解 由题意知，售出x 千件产品的利润是 p(x)=r(x)-C(x). 如果p(x)取得最大值，那么它一定在使得p\'(x)=0 的生产水平处获得.因此，令 p\'(x)=r\'(x)-C\'(x)=0, 即 r\'(x)=C\'(x). 得 x²-4x+2=0. 解得 {width="1.0207863079615047in" height="0.32634951881014873in"},即 x₁=2-√2 ≈0.586,v₂-3 3.414. 又 p"(x)=-6x+12,p"(x₁)\>0,p\"(x₂)\<0. 故 在 x₂=3.414 处 达 到 最 大 利 润 ， 而 在 x₁= 0 . 586处发生局部最大亏损 . 在经济学中，称 C\'(x) 为 边 际 成 本 ，r\'(x) 为 边 际 收 入 ，p\'(x) 为边际利润 . 上述结果表明：在 给出最大利润的生产水平上，r\'(x)=C\'(x), 即 边际收入等于边际成本 . 上面的结果也可以从 图3 - 18的成本曲线和收入曲线中看出 . {width="1.7986264216972878in" height="1.631903980752406in"} 图3- 18 []{#bookmark120 .anchor}习 题 3-5 1\. 求下列函数的极值： (1)y=2x³-6x²-18x+7; (2)y=x-ln(1+x); (3)y=-x⁴+2x²; (4)y=x+√ 1-x;{width="0.2127701224846894in" height="6.949912510936133e-3in"} \(5\) {width="0.6806091426071741in" height="0.31941272965879264in"} (6) {width="0.7291601049868767in" height="0.28466535433070866in"} (7)y=e\*cos x; (8) {width="0.31252405949256346in" height="0.1875492125984252in"}4 \(9\) {width="0.8750054680664917in" height="0.1875492125984252in"} (10)y=x+tan x. 2\. 试证明：如果函数y=ax³+bx²+cx+d 满足条件 b²-3ac\<0, 那么这函数没有极值. 3\. 试问 a 为何值时，函数.{width="1.3626268591426072in" height="0.25695647419072615in"}{width="0.3097167541557305in" height="0.23610673665791776in"}处取得极值?它是极大值还是 极小值?并求此极值. 4\. 设函数f(x) 在 x。处有 n 阶导数，且f\'(x₀)=f\"(x 。)=...=f-1)(x 。)=0,f\"(x₀)≠0, 证 明 ： ( 1 ) 当n 为奇数时，f(x) 在 x₀ 处不取得极值； ( 2 ) 当 n 为偶数时，f(x) 在 x₀ 处取得极值，且当f\"(x₀)\<0 时 ，f(x。)为极大值，当 f\"(x₀)\>0 时，f(x₀) 为极小值. 5\. 试利用习题4的结论，讨论函数f(x)=e\*+e⁻\*+2cosx 的极值. 6\. 求下列函数的最大值、最小值； (1)y=2x³-3x²,-1≤x≤4; (2)y=x⁴-8x²+2,-1≤x≤3; (3)y=x+√ 1-x,-5≤x≤1. 7\. 问函数y=2x³-6x²-18x-7(1≤x≤4) 在何处取得最大值?并求出它的最大值. 8\. 问函数 {width="0.8888954505686789in" height="0.26390529308836397in"}在何处取得最小值? 9\. 问函数 {width="0.451424978127734in" height="0.25000656167979in"}(x≥0) 在何处取得最大值? 10\. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20 m 长的墙壁.问应围成怎样 的长方形才能使这间小屋的面积最大? 11\. 要造一圆柱形油罐，体积为 V,问底半径r 和高 h 各等于多少时，才能使表面积最小? 这时底直径与高的比是多少? 12\. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(图3-19).截面的面积为5 m².问底宽x 为 多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省? 13\. 设有质量为5kg 的物体，置于水平面上，受力F 的作用而开始移动(图3-20).设摩 擦系数μ=0.25,问力 F 与水平线的交角α为多少时，才可使力F 的大小为最小. {width="0.9652898075240595in" height="1.0624846894138233in"} 图3-19 {width="2.006976159230096in" height="1.519841426071741in"} 图3-20 14\. 有一杠杆，支点在它的一端.在距支点0.1 m 处挂一质量为49 kg的物体.加力于杠 杆的另一端使杠杆保持水平(图3-21).如果杠杆的线密度为5 kg/m, 求最省力的杆长? 15\. 从一块半径为R 的圆铁片上剪去一个扇形做成一个漏斗(图3-22). 问留下的扇形 的圆心角φ取多大时，做成的漏斗的容积最大? 图3-21 {width="1.2777504374453192in" height="1.2846926946631672in"} 图3-22 16\. 某吊车的车身高为1.5 m,吊臂长15 m. 现在要把一个6m 宽 2m 高的屋架(如图3- 23(a)), 水平地吊到6 m 高的柱子上去(如图3-23(b)), 问能否吊得上去? 17\. 一房地产公司有50套公寓要出租.当月租金定为4000元时，公寓会全部租出去.当 月租金每增加200元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓平均每月需花费400元 的维修费.试问房租定为多少可获得最大收入? 18\. 已知制作一个背包的成本为40元，如暴每价背包的售出价为x 元，售出的背包数由 {width="1.8194717847769029in" height="0.7638571741032371in"} {width="1.534727690288714in" height="1.7499496937882764in"}(a) (b) 图3-23 {width="0.9513801399825021in" height="0.2360618985126859in"} 给出，其中a,b 为正常数.问什么样的售出价格能带来最大利润? []{#bookmark121 .anchor}第 六 节 函数图形的描绘 借助于一阶导数的符号，可以确定函数图形在哪个区间上上升，在哪个区间 上下降；借助于二阶导数的符号，可以确定函数图形在哪个区间上为凹，在哪个 区间上为凸，在什么地方有拐点.知道了函数图形的升降、凹凸以及拐点后，也就 可以掌握函数的性态，并把函数的图形画得比较准确. 现在，随着现代计算机技术的发展，借助于计算机和许多数学软件，可以方 便地画出各种函数的图形.但是，如何识别机器作图中的误差，如何掌握图形上 的关键点，如何选择作图的范围等，从而进行人工干预，仍然需要我们有运用微 分学的方法描绘函数图形的基本知识. 利用导数描绘函数图形的一般步骤如下： 第一步 确定函数y=f(x) 的定义域及函数所具有的某些特性(如奇偶性、 周期性等),并求出函数的一阶导数f\'(x) 和二阶导数f"(x); 第二步 求出一阶导数f\'(x) 和二阶导数f\"(x) 在函数定义域内的全部零 点，并求出函数f(x)的间断点及f\'(x)和f\"(x) 不存在的点，用这些点把函数的 定义域划分成几个部分区间； 第三步 确定在这些部分区间内f\'(x) 和f"(x) 的符号，并由此确定函数图 形的升降、凹凸和拐点； 第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势； 第五步 算出f\'(x) 和f"()的雾照以吸不存在的点所对应的函数值，定出 图形上相应的点；为了把图形描绘得准确些，有时还需要补充一些点，然后结合 第三、四步中得到的结果，联结这些点画出函数y=f(x) 的图形. 例 1 画出函数y=x³-x²-x+1 的图形. 解 ( 1 ) 所 给 函 数y=f(x) 的定义域为(-∞,+∞),而 f\'(x)=3x²-2x-1=(3x+1)(x-1), f\"(x)=6x-2=2(3x-1). {width="0.40274496937882764in" height="0.29858377077865267in"}(2)f\'(x) 的零点为{width="0.456576990376203in" height="0.298672353455818in"}和 1 ;f"(x)的零点为{width="0.3551159230096238in" height="0.284663167104112in"}.将点点{width="0.4348359580052493in" height="0.2846620734908136in"}4 {width="0.17386701662292214in" height="0.2846620734908136in"},1由 小到大排列，依次把定义域(-∞,+∞)划分成四个部分区间 ,(1,+∞). {width="1.3472014435695538in" height="0.31946522309711284in"}, \(3\) {width="0.8158858267716536in" height="0.34721675415573056in"}内 ，f\'(x)\>0,f"(x)\<0, 所以在{width="0.6903554243219597in" height="0.35408792650918636in"}上的曲线弧上 升而且是凸的. {width="0.7430500874890639in" height="0.3403455818022747in"}内 ，f\'(x)\<0,f\"(x)\<0, 所以在 {width="0.5833792650918636in" height="0.32633530183727033in"} 上的曲线弧下降而且 是凸的. {width="0.43058945756780403in" height="0.31946522309711284in"}同样，可以讨论在区间 及区间(1,+∞)上相应的曲线弧的升降和凹 凸.为了明确起见，我们把所得的结论列成下表： | > x | {width="0.6388746719160106in" | {width="0.25696412948381453in" | {width="0.5694892825896762in" | {width="0.1875142169728784in" | {width="0.39586504811898515in" | > 1 | > (1,+∞) | | | height="0.2916229221347332in"} | height="0.26395997375328084in"} | height="0.2916229221347332in"} | height="0.27083114610673664in"} | height="0.29858377077865267in"} | | | | > f\'(x) | > \+ | > 0 | > \- | > 一 | > 一 | > 0 | > \+ | | > f\"(x) | > \- | > \- | > \- | > 0 | > \+ | > \+ | > +. | | > y=f(x)的图形 | | | | > 拐点 | | | | 这里记号表示曲线弧上升而且是凸的，表示曲线弧下降而且是凸的，表 示曲线弧下降而且是凹的，丁表示曲线弧上升而且是凹的. ( 4 ) 当x→+∞ 时 ，y→+∞; 当 x→-∞ 时 ，y→-∞ . (5)算出 {width="0.45611220472440944in" height="0.29171259842519687in"}{width="0.21054243219597552in" height="0.29171259842519687in"},1处的函数值 {width="0.7789009186351706in" height="0.3130358705161855in"} {width="0.6805457130358705in" height="0.3820188101487314in"},f(1)=0. 从而得到函数y=x³-x²-x+1 图 形 上 的 牵 点 {width="0.7054199475065617in" height="0.319413823272091in"}{width="0.5098611111111111in" height="0.32636264216972877in"},(1,0). 适当补充一些点.例如，计算出 *f(-1)=0,f(0)=1,* {width="0.6944564741907262in" height="0.3124639107611549in"} 就可补充描出点( - 1,0),点(0,1)和点 {width="0.527826990376203in" height="0.35416010498687667in"} .结合(3)、(4)中得到的结果，就可以 画出 *y=x³-x²-x+1* 的图形(图3-24). 例2 描绘函数 {width="0.6612860892388451in" height="0.3556178915135608in"}的图形. {width="1.7986111111111112in" height="1.256894138232721in"} 图3-24 解 (1)所给函数{width="0.945087489063867in" height="0.3958584864391951in"}的定义域为(-∞,+∞).由于 {width="2.2083727034120737in" height="0.3680599300087489in"} 所以f(x) 是偶函数，它的图形关于y 轴对称.因此可以只讨论(0,+∞)上该函数 的图形.求出 {width="2.270880358705162in" height="0.3680599300087489in"} {width="3.173692038495188in" height="0.36138779527559056in"} (2)在(0,+∞)上，f\'(x) 的零点为x=0;f\"(x) 的零点为x=1. 用点x=1 把 (0,+∞)划分成两个区间\[0,1\]和(1,+∞). (3)在(0,1)内，f\'(x)\<0,f\"(x)\<0, 所以在\[0,1\]上的曲线弧下降而且是 凸的. 在(1,+∞)内，f\'(x)\<0,f\"(x)\>0, 所以在(1,+∞)上的曲线弧下降而且是 凹的. 上述的这些结果，可以列成下表： | > x | > 0 | > (0,1) | > 1 | > (1,+∞) | | > f\'(x) | > 0 | > \- | > \- | > \- | | > f\"(x) | > \- | | > 0 | > \+ | | > y=f(x)的图形 | | > 8 | > 拐点 | | {width="0.7083311461067366in" height="0.22220800524934384in"}{width="0.8472736220472441in" height="0.2152580927384077in"} (4)由于{width="0.7418482064741907in" height="0.22915791776027997in"},所以图形有一条水平渐近线y=0. (5)算出 {width="1.555605861767279in" height="0.3680599300087489in"} .从而得到函数 {width="0.7152690288713911in" height="0.3819586614173228in"} {width="0.7291437007874015in" height="0.3611111111111111in"}图形上的两点 和 {width="0.8147758092738407in" height="0.3611111111111111in"} .又由{width="0.8356463254593176in" height="0.34721128608923885in"}得 {width="0.8818963254593176in" height="0.35416010498687667in"} 结合(3)、(4)的讨论，画出函数{width="0.7093339895013123in" height="0.4028073053368329in"}在(0,+∞)上的图形.最后，利用图形 的对称性，便可得到函数在\[-∞0,0\]上的图形(图3-25). {width="2.5277548118985127in" height="0.6388265529308836in"} 图3-25 {width="0.8124573490813648in" height="0.31941272965879264in"} 例 3 描绘函数 的图形. 解 (1)所给函数y=f(x) 的定义域为(-∞,-3),(-3,+∞). {width="2.2778116797900263in" height="0.3611111111111111in"} (2)f\'(x) 的零点为x=3;f\"(x) 的零点为x=6;x=-3 是函数的间断点.点 x=-3 、x=3 和 x=6 把定义域划分成四个部分区间： (-∞,-3),(-3,3),\[3,6\],\[6,+∞). (3)在各部分区间内f\'(x) 及f"(x)的符号、相应曲线弧的升降、凹凸和拐 点等如下表： | > x | > (-∞,-3) | > (-3,3) | > 3 | > (3,6) | > 6 | > (6,+∞) | | > f\'(x) | > \- | > \+ | > 0 | > 一 | > \- | > \- | | > f\"(x) | > \- | > \- | > \- | > \- | > 0 | > \+ | | > y=f(x)的图形 | | > ( | | | > 拐点 | | (4)由于 , 条铅直渐近线x=-3. (5)算出x=3,6 处的函数值众号 ,所以图形有一条水平渐近线y=1 和一 考研拼课 {width="0.6597790901137358in" height="0.2916229221347332in"} f(3)=4, {width="0.6597790901137358in" height="0.326424978127734in"}从而得到图形上的两个点 M,(3,4), 又由于 {width="2.958287401574803in" height="0.30554352580927385in"} {width="0.9236515748031496in" height="0.326424978127734in"}得图形上的四个点 M₃(0,1),M₄(-1,-8),M₅(-9,-8), 结合(3)、(4)中得到的结果，画出函数 {width="1.0139052930883639in" height="0.34721675415573056in"}的 图 形 如 图 3 - 26所示. {width="2.458351924759405in" height="1.70833552055993in"} 图3-26 []{#bookmark122 .anchor}习 题 3-6 描绘下列函数的图形： {width="1.3611450131233596in" height="0.25003937007874016in"} 2\. {width="0.4653018372703412in" height="0.2361187664041995in"} *3.y=e-(x=1)²;* 4.{width="0.5676531058617673in" height="0.24994969378827647in"} 5\. {width="0.513840769903762in" height="0.22915791776027997in"} A 众号。 考 床 []{#bookmark201 .anchor}第 七 节 曲 率 一 、弧 微 分 作为曲率的预备知识，先介绍弧微分的概念. 设函数f(x) 在区间(a,b) 内具有连续导数 . 在曲线y=f(x) 上取固定点 M。(xo,yo)作为度量弧长的基点(图3-27),并规定依x 增大的方向作为曲线的 正向.对曲线上任一点M(x,y), 规定有向弧段M₀M的值s (简称为弧 s)① 如下：5 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段M₀M的方向与曲线的正向一致时 s\>0, 相反时 s\<0. 显然，弧s 与 x 存在函数关系：s=s(x), 数.下面来求s(x) 的导数及微分. 设 x,x+△x 为(a,b) 内两个邻近的点，它们在 曲 线y=f(x) 上的对应点为M,M\' (图3-27),并设 对应于x 的增量为△x, 弧 s 的增量为△s, 那么 △s=M₀M\'-M₀M=MM\'. 于是 而 且s(x) 是 x 的单调增加函 {width="1.666667760279965in" height="1.2777712160979877in"} 图3-27 {width="2.3958442694663167in" height="0.4305632108486439in"} {width="1.7847320647419072in" height="0.4304746281714786in"} {width="1.5208584864391952in" height="0.4304746281714786in"} {width="2.076415135608049in" height="0.5486231408573928in"} 令△x→0 取极限，由于△x →0 时 ，M\'→M, 这时弧的长度与弦的长度之比的极限 {width="1.2639381014873141in" height="6.96084864391951e-3in"} ①有向弧段。z的值也常记作M县 蝇桑集磐高弧段,又表示有向弧段的值 等于1,即 {width="0.9305653980752406in" height="0.41664916885389325in"} 又 {width="0.7013801399825021in" height="0.31248687664041996in"} 因此得 {width="0.8750054680664917in" height="0.3055424321959755in"} 由 于s=s(x) 是单调增加函数，从而根号前应取正号，于是有 ds=√ 1+y\'²dx. 这就是弧微分公式. 二 、曲率及其计算公式 我们直觉地认识到：直线不弯曲，半径较小的圆弯曲得比半径较大的圆厉害 些，而其他曲线的不同部分有不同的弯曲程度，例如抛物线y=x² 在顶点附近弯 曲得比远离顶点的部分厉害些. 在工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度.例如，船体结构中的钢梁、机 床的转轴等，它们在荷载作用下要产生弯曲变形，在设计时对它们的弯曲必须有 一定的限制，这就要定量地研究它们的弯曲程度.为此首先要讨论如何用数量来 描述曲线的弯曲程度. {width="1.576385608048994in" height="1.263837489063867in"} 图3-28 {width="1.66667104111986in" height="1.589255249343832in"} 图3-29 在图3-28中可以看出，弧段M₁M₂ 比较平直，当动点沿这段弧从M 移动到 M₂ 时,切线转过的角度φ不 弧投 粤画得比较厉害,角4₂就比较大. 但是，切线转过的角度的大小还不能完全反映曲线弯曲的程度.例如，从图 3-29中可以看出，两段曲线弧M₁M₂及N₁N₂尽管切线转过的角度都是φ,然而弯 曲程度并不相同，短弧段比长弧段弯曲得厉害些. 由此可见，曲线弧的弯曲程度 还与弧段的长度有关. 按上面的分析，我们引入描述曲线弯曲程度的曲率概念如下： 设曲线 C 是光滑的①,在曲线C 上选定一点M₀作为度量弧s 的基点.设曲线 上点M 对应于弧 s, 在 点M 处切线的倾角为α(这里假定曲线 C 所在的平面上 已设立了xOy坐标系),曲线上另外一点M\'对应 于弧s+△s, 在点M\'处切线的倾角为α+△α(图3 -30),则弧段MM\'的长度为I△sI,当动点从 M 移 动到M\'时切线转过的角度为I△αl. 我们用比值 ·{width="0.3466141732283465in" height="0.31874234470691165in"},即单位弧段上切线转过 的角度的大小来表达弧段MM \'的平均弯曲程度， 把这比值叫做弧段MM\'的平均曲率，并记作 K, 即 {width="0.611094706911636in" height="0.3541524496937883in"} 图3-30 类似于从平均速度引进瞬时速度的方法，当△s→0 时(即 M′→M 时),上述 平均曲率的极限叫做曲线 C 在点M 处的曲率，记作K, 即 {width="0.8194455380577428in" height="0.3819291338582677in"} {width="0.958345363079615in" height="0.2985990813648294in"}在的条件下，K 也可以表示为 {width="0.5833792650918636in" height="0.3541524496937883in"} (7-2) 对于直线来说，切线与直线本身重合，当点沿直线移动时，切线的倾角α不 变(图3-31),△α=0,{width="0.4161100174978128in" height="0.2985990813648294in"},从而{width="0.7777045056867892in" height="0.3610958005249344in"}这就是说，直线上任意点M 处 的 曲率都等于零，这与我们直觉认识到的"直线不弯曲"一致. 设圆的半径为a, 由图3- 32可见圆在点 M、M\'处的切线所夹的角△α等于 圆心角MDM\'. 但 {width="0.7847200349956256in" height="0.2847101924759405in"},于是 {width="1.263924978127734in" height="6.944444444444444e-3in"} ①当曲线上每一点处都具有切线，具切堕切点移动需连续转动，这样的曲线称为光滑曲线. △s {width="0.7708300524934383in" height="0.3141251093613298in"} 从而 {width="0.8680599300087489in" height="0.3680982064741907in"} {width="1.6527810586176728in" height="1.3750393700787402in"}{width="1.701395450568679in" height="1.3749496937882764in"} 图3-31 因为点M 是圆上任意取定的一点，上述结论表示圆上各点处的曲率都等于半径 a 的倒娄{width="0.2633683289588801in" height="0.31946412948381453in"},这就是说，圆的弯曲程度到处一样，且半径越小曲率越大，即圆弯曲 得越厉害. 在一般情况下，我们根据(7-2)式来导出便于实际计算曲率的公式. 设曲线的直角坐标方程是y=f(x), 且f(x) 具有二阶导数(这时f\'(x) 连续， 从而曲线是光滑的).因为 tan α=y\',所以 {width="0.8402799650043744in" height="0.31250437445319335in"} {width="1.2916404199475067in" height="0.35417760279965005in"} 于是 {width="0.8055555555555556in" height="0.34721675415573056in"} 又由(7-1)知道 ds=√ 1+y\"dx. {width="0.8821620734908137in" height="0.3214020122484689in"}从而，根据曲率 K的表达式(7-2),有 (7-3) 设曲线由参数方程 公 众 号： 拷研 升 {width="0.6527646544181978in" height="0.4166437007874016in"} 给出，则可利用由参数方程所确定的函数的求导法，求出y\',及y\", 代入(7-3)便 {width="1.91669072615923in" height="0.34721784776902886in"}得 (7-4) 例 1 计算等边双曲线xy=1 在点(1,1)处的曲率. 解 {width="0.4374704724409449in" height="0.29858377077865267in"} {width="0.5217661854768154in" height="0.28560148731408574in"} 因此， y\'lx=1=-1,y\"Ix=1=2. 把它们代入公式(7-3),便得曲线xy=1 在点(1,1)处的曲率为 {width="1.4166513560804899in" height="0.3750590551181102in"} 例 2 抛物线y=ax²+bx+c 上哪一点处的曲率最大? 解 由 y=ax²+bx+c, 得 y\'=2ax+b,y\"=2a, 代入公式(7-3),得 {width="1.3124759405074367in" height="0.34025699912510937in"} 因为K 的分子是常数12aI, 所 以 只 要 分 母 最 小 ，K 就最大.容易看出，当 2ax+b=0, 即 {width="0.4722594050743657in" height="0.3263363954505687in"}时 ，K的分母最小，因而K 有最大值12a1. 而 {width="0.4930949256342957in" height="0.326424978127734in"}所对应 的点为抛物线的顶点.因此，抛物线在顶点处的曲率最大. 在有些实际问题中，1y\'l同1比较起来是很小的(有的工程技术书上把这种 关系记成ly\'l\<\<1),可以忽略不计.这时，由 1+y¹²≈1, 而有曲率的近似计算公式 {width="1.319420384951881in" height="0.3680096237970254in"} 这就是说，当ly\'l\<1 时，曲率 K 近似于Iy\"I. 经过这样简化之后，对一些复杂问 题的计算和讨论就方便多了. 号 ： 三 、曲率圆与曲率半径 设曲线y=f(x) 在点 M(x,y) 处的曲率为K(K≠0). 在点M 处的曲线的法 线上，在凹的一侧取一点D, 使{width="0.867338145231846in" height="0.2986176727909011in"}以 D 为圆心，p为半径作圆(图3-33),这个圆叫做曲 线在点 M 处的曲率圆，曲率圆的圆心 D 叫做曲 线在点 M 处的曲率中心，曲率圆的半径p 叫做曲 线在点 M处的曲率半径. 按上述规定可知，曲率圆与曲线在点M 有 相同的切线和曲率，且在点 M 邻近有相同的凹 向.因此，在实际问题中，常常用曲率圆在点M 邻 近的一段圆弧来近似代替曲线弧，以使问题简化. {width="1.6874825021872266in" height="1.5069160104986876in"} 图3-33 按上述规定，曲线在点M 处的曲率K(K≠0) p 有如下关系： {width="0.8546062992125985in" height="0.32634951881014873in"} 这就是说：曲线上一点处的曲率半径与曲线在 该点处的曲率互为倒数. 例3 设工件内表面的截线为抛物线 y= 0.4x² (图3-34).现在要用砂轮磨削其内表 面.问用直径多大的砂轮才比较合适? 解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触 处附近的那部分工件磨去太多，砂轮的半径应 不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值. 与曲线在点M 处的曲率半径 {width="1.7846708223972003in" height="1.27080271216098in"} 图3-34 由本节例2知道，抛物线在其顶点处的曲率最大，也就是说，抛物线在其顶点处 的曲率半径最小.因此，只要求出抛物线y=0.4x² 在顶点0(0,0)处的曲率半 径.由 y=0.8x,y\"=0.8, 而有 y\'lx=o=0,y\"1x=o=0.8. 把它们代入公式(7-3),得 K=0.8. 拼课 因而求得抛物线顶点处的曲率半径 {width="0.8124584426946632in" height="0.30557414698162727in"} 所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.50单位长. 对于用砂轮磨削一般工件的内表面时，也有类似的结论，即选用的砂轮的半 径不应超过这工件内表面的截线上各点处曲率半径中的最小值. \*四、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线 {width="1.1051432633420823in" height="0.7571347331583552in"}设已知曲线的方程是y=f(x), 且其二阶导数y"在点x 不为零，则曲线在对 应点M(x,y) 的曲率中心 D(α,β) 的坐标为 (7-5) 这是因为，曲线y=f(x) 在点M(x,y) 的曲率圆的方程为 *(ξ-α)²+(η-β)²=p²,* 其中ζ,η是曲率圆上的动点坐标，且 {width="1.1113998250218722in" height="0.3431124234470691in"} 因为点M 在曲率圆上，所以 (x-α)²+(y-β)²=p²; (7-6) 又因为曲线在点M 的切线与曲率圆的半径DM 相垂直(图3-33),所以 {width="0.618079615048119in" height="0.3194838145231846in"} (7-7) 由式(7-6)和(7-7)消去x-α, 解 出 {width="1.6180424321959754in" height="0.3819892825896763in"} 由于当y\"\>0 时曲线为凹弧，y-β\<0; 当 y\"\<0 时曲线为凸弧，y-β\>0. 总之，y" 与 y-β 异号.因此取上式两边的平方根，得 {width="0.8542115048118986in" height="0.3679899387576553in"} 又 {width="1.7639227909011375in" height="0.34025918635170604in"} 公众号：考研拼课 {width="1.1457961504811898in" height="0.7638899825021872in"}当点(x,f(x)) 沿曲线 C 移动时，相应的曲率中心D 的轨迹曲线G 称为曲线 C的渐屈线，而曲线 C 称为曲线 G的渐伸线(图3-35).所以曲线 y=f(x) 的渐屈 线的参数方程为 (7-8) 其中 y=f (x),y′=f\'(x),y\"=f" (x),x 为参数，直角坐标系αOβ与 x0y 坐标系 {width="1.66667104111986in" height="1.868041338582677in"}重合. 例 4 求摆线 {width="0.9791152668416448in" height="0.40276574803149606in"} {width="1.6112095363079615in" height="0.29166338582677165in"}的渐屈线方程. 解 ,所以 {width="0.7777744969378828in" height="0.34034886264216974in"} {width="1.5902755905511812in" height="0.6458333333333334in"} 图3-35 {width="0.993005249343832in" height="0.3472145669291339in"} {width="1.0485662729658793in" height="0.40972003499562554in"}将这些结果代入(7-8)式并化简，便得摆线的渐屈线的参数方程 (7-9) 其中t 为参数，直角坐标系αOβ 与 xOy坐标系重合.为了作出渐屈线(7-9), 令t=π+T, 代入(7-9)式得 {width="1.2780468066491688in" height="0.37676181102362205in"} {width="1.0071751968503937in" height="0.34121609798775154in"}再令α-πa=ξ,β+2a=η,则得 (7-10) 在新坐标系ζ0₁ η中，曲线(7-10)为一摆线，其中新坐标系ζ0₁ η由旧坐标系 x0y 平移到新原点0₁ (πa,-2a) 得到.由此可知摆线的渐屈线仍为一摆线，如图 3-36所示. {width="2.340271216097988in" height="1.548646106736658in"} 图3-36 []{#bookmark125 .anchor}习 题 3-7 1\. 求椭圆4x²+y²=4 在点(0,2)处的曲率. 2\. 求曲线y=In secx 在点(x,y) 处的曲率及曲率半径. 3\. 求抛物线y=x²-4x+3 在其顶点处的曲率及曲率半径. 4\. 求曲线x=acos³t;y=asin³t 在 t=t₀ 相应的点处的曲率. 5\. 对数曲线y=lnx 上哪一点处的曲率半径最小?求出该点处的曲率半径. \*6.证明曲线{width="0.5370483377077865in" height="0.25697834645669293in"}在点(x,y) 处的曲率半径为 ·{width="0.1879265091863517in" height="0.30557414698162727in"} 7\. 一飞机沿抛物线路径：{width="0.5089687226596675in" height="0.2596686351706037in"}(y 轴铅直向上，单位为m) 做俯冲飞行.在坐标原点0 处飞机的速度为 v=200 m/s.飞行员体重G=70 kg.求飞机俯冲至最低点即原点0处时座椅 对飞行员的反力. 8\. 汽车连同载重共5 t, 在抛物线拱桥上行驶，速度为21.6 km/h, 桥的跨度为10 m, 拱的 矢高为0.25 m (图3-37).求汽车越过桥顶时对桥的压力. {width="3.0555424321959754in" height="0.7360706474190726in"} 图3-37 \*9.求曲线y=lnx 在与 x 轴交点处的曲率圆方程. ·10.求曲线y=tan x 在点({width="0.4118416447944007in" height="0.2847080052493438in"}处的曲率圆方程. \*11.求抛物线y²=2px 的渐屈线方程. []{#bookmark126 .anchor}第 八 节 方程的近似解 在科学技术问题中，经常会遇到求解高次代数方程或其他类型的方程的问 题.要求得这类方程的实根的精确值，往往比较困难，因此就需要寻求方程的近 似解. 求方程的近似解，可分两步来做. 第一步是确定根的大致范围.具体地说，就是确定一个区间\[a,b\], 使所求 的根是位于这个区间内的唯一实根.这一步工作称为根的隔离，区间\[a,b\] 称为 所求实根的隔离区间 · 由于方程f(x)=0 的实根在几何上表示曲线 y=f(x) 与 x 轴交点的横坐标，因此为了确定根的隔离区间，可以先较精确地画出y=f(x) 的 图形，然后从图上定出它与x 轴交点的大概位置.由于作图和读数的误差，这种 做法得不出根的高精确度的近似值，但一般已可以确定出根的隔离区间. 第二步是以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似 值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似解.完成这一步工作有多种方法， 这里我们介绍三种常用的方法~~------二~~分法、切线法和割线法，按照这些方法，编 出简单的程序，就可以在计算机上求出方程足够精确的近似解. 一 、二分法 设f(x)在区间\[a,b\] 上连续，f(a) ·f(b)\<0, 且方程f(x)=0 在(a,b) 内仅 有一个实根ζ,于是\[a,b\] 即是这个根的一个隔离区间. 取\[a,b\] 的中点 {width="0.5069510061242345in" height="0.31950240594925633in"},计算f(ξ₁). 如果f(ξ)=0, 那么ξ=51; {width="0.9860881452318461in" height="0.2917038495188101in"}如果f(ξ₁) 与f(a) 同号，那么取a₁=51,b₁=b, 由 f(a₁)·f(b,)\<0, 即知 a₁\<5 \0. 故 f(x) 在(-∞,+∞)内单调增加，f(x)=0 至多有一个实根. 由f(0)=-1.4\<0,f(1)=1.6\>0, 知 f(x)=0 在\[0,1\]内有唯一的实根.取 a =0,b=1,\[0,1\] 即是一个隔离区间. 计算得 ζ₁=0.5,f(ξ)=-0.55\<0, 故 a₁=0.5,b₁=1; 5₂=0.75,f(ξ₂)=0.32\>0, 故 a₂=0.5,b₂=0.75; 5₃=0.625,f(ξ₃)=-0.16\<0, 故 a₃=0.625,b₃=0.75; ξ4=0.687,f(ζ4)=0.062\>0, 故 a₄=0.625,b₄=0.687; 55=0.656,f(ξ₅)=-0.054\<0, 故 a₅=0.656,b₅=0.687; 56=0.672,f(56)=0.005\>0, 故 a₆=0.656,b₆=0.672; 5┐=0.664,f(ξ₇)=-0.025\<0, 故 a┐=0.664,b₇=0.672; ξ₈=0.668,f(ξ₈)=-0.010\<0, 故 ag=0.668,b₈=0.672; 59=0.670,f(ξ₉)=-0.002\<0, 故 a₉=0.670,b₉=0.672; 510=0.671,f(ξ10)=0.001\>0, 故 a10=0.670,b1₀=0.671. 于是 0.670\<ξ\<0.671. 即0.670作为根的不足近似值，0.671作为根的过剩近似值，其误差都小于10⁻³. 二 、切 线 法 设f(x)在\[a,b\] 上具有二阶导数，f(a) ·f(b)\<0 且f\'(x) 及f"(x) 在 \[a,b\] 上保持定号.在上述条件下，方程f(x)=0 在(a,b) 内有唯一的实根ξ, {width="1.2638451443569554in" height="6.949912510936133e-3in"} ①按本例误差不超过10-的要求，计算时只取 小 数 课 {width="1.4721916010498688in" height="1.3124464129483815in"}\[a,b\] 为根的一个隔离区间.此时，y=f(x) 在\[a,b\] 上的图形AB 只有如图3-38所 示的四种不同情形. {width="1.4722550306211724in" height="1.3124464129483815in"} (a)f(a)\<0,f(b)\>0 (b)f(a)\>0,f(b)\<0 f\'(x)\>0,f\"(x)\>0 *f\'(x)\<0,f\"(x)\>0* {width="1.4791437007874015in" height="1.3125360892388451in"}{width="1.4792082239720035in" height="1.3125360892388451in"} (c)f(a)\<0,f(b)\>0 (d)f(a)\>0,f(b)\<0 f\'(x)\>0,f\"(x)\<0 *f\'(x)\<0,f\"(x)\<0* 图3-38 考虑用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值.这种 方法叫做切线法.从图3-38中看出，如果在纵坐标与f\"(x) 同号的那个端点(此 端点记作(xo。f(x₀)))处作切线，这切线与x 轴的交点的横坐标x,就比x。更接近 方程的根ζ. {width="1.6736209536307962in" height="1.2916141732283464in"}下面以图3-38(a):f(a)\<0,f(b)\>0,f\'(x)\> 0,f\"(x)\>0 的情形为例进行讨论.此时，因为 f(b) 与 f"(x) 同号，所以令x₀=b, 在 端 点(x₀, f(x₀)) 处作切线(图3-39),这切线的方程为 *y-f(x₀)=f\'(x₀)(x-x。).* 令 y=0, 从上式中解出x, 就得到切线与x 轴交点 的横坐标为 {width="0.9860958005249344in" height="0.45137029746281715in"} 图3-39 号：考研拼课 它比x₀ 更接近方程的根ξ. 再在点(x₁,f(x₁)) 处作切线，可得根的近似值x₂ . 如此继续，一般地，在点 (xn,f(x)) 处作切线，得根的近似值 {width="1.0346992563429571in" height="0.3749846894138233in"} (8-1) 如果f(a)与f\"(x) 同号，那么切线作在端点(a,f(a)) 处(如图3-38情形 (b) 及(c)), 可记x₀=a, 仍按公式(8-1)计算切线与x 轴交点的横坐标. 例 2 用切线法求方程 x³+1.1x²+0.9x-1.4=0 的实根的近似值，使误差不 超过10⁻³. 解 令f(x)=x³+1.1x²+0.9x-1.4. 由例1知\[0,1\]是根的一个隔离区间. f(0)\<0,f(1)\>0. 在\[0,1\]上， f\'(x)=3x²+2.2x+0.9\>0,f"(x)=6x+2.2\>0, 故f(x) 在\[0,1\]上的图形属于图3-38中情形(a). 按f"(x) 与f(1) 同号，所以令 xo=1. 连续应用公式(8-1),得 {width="1.9444466316710411in" height="1.5278051181102361in"} 至此，计算不能再继续.注意到f(x₂) (i=0,1,...) 与 f"(x) 同号，知 f(0.671)\>0, 经计算可知f(0.670)\<0, 于是有 0.670\<ξ\<0.671. 以0.670或0.671作为根的近似值，其误差都小于10⁻³. []{#bookmark127 .anchor}三 、割线法 利用切线法需要计算函数的导数，当f(x) 比较复杂时，计算f\'(x) 可能有困 难.这时，可考虑用 一 个 公 你 量 一n-1 来近似代替(8 - 1)式中的f\'(xn), 这时的迭代公式成为 {width="1.9791437007874015in" height="0.33338582677165357in"} {width="1.6389227909011375in" height="1.2291371391076116in"}(8-2) 其 中 ，x₀ 、x₁为初始值 . 迭代公式(8 - 2)的几何意义 是 用 过 点(xn-1,f(xₙ-1)) 和 点(xn,f(x。)) 的 割 线 来 近似代替点(xn,f(x₀)) 处的切线，将这条割线与 x 轴交点的横坐标作为新的近似值(见图3 - 40) . 因 此，这个方法叫做割线法或弦截法. 以下用割线法对例2中的方程求近似解 . 取 x₀=1,x₁=0.8. 连续用迭代公式(8- 2),得 图3-40 {width="2.2777799650043744in" height="0.32633530183727033in"} {width="2.298637357830271in" height="0.34025699912510937in"} {width="2.271246719160105in" height="0.30763560804899387in"} {width="2.243442694663167in" height="0.30170713035870517in"} 至此，计算不能再继续. 因x₄ 与 x₅ 小数前三位数字相同，故以0 . 671作为根的近 似值其误差小于10- ³ . []{#bookmark128 .anchor}习 题 3-8 1\. 试证明方程x³-3x²+6x-1=0 在区间(0,1)内有唯一的实根，并用二分法求这个根的 近似值，使误差不超过0.01. 2\. 试证明方程 x³+5x+1=0 在区间(-1,0)内有唯一的实根，并用切线法求这个根的近似 值，使误差不超过0.01. 3\. 用割线法求方程x³+3x-1=0 的近似根，使误差不超过0.01. 4\. 求方程xlg x=1的近似根，使误差不超过0.01. []{#bookmark1 .anchor}总 习 题 三 1\. 填空： 设常数k\>0, 函数{width="0.9436329833770779in" height="0.22915791776027997in"}在(0,+∞)内零点的个数为\_ 2\. 以下两题中给出了四个结论燃选出一个正确的结论： (1)设在\[0,1\]上f\"(x)\>0, 则 f\'(0),f\'(1),f(1)-f(0) 或f(0)-f(1) 几个数的大小顺序 为( ); (A)f\'(1)\>f\'(0)\>f(1)-f(0) (B)f\'(1)\>f(1)-f(0)\>f\'(0) (C)f(1)-f(0)\>f\'(1)\>f\'(0) (D)f\'(1)\>f(0)-f(1)\>f\'(0) ( 2 ) 设f\'(x 。)=f"(x₀)=0,f\"(x 。)\>0, 则 ( ). (A)f\'(x 。) 是 f\'(x) 的极大值 (B)f(x 。) 是 f(x) 的 极 大 值 (C)f(x₀) 是 f(x) 的 极 小 值 (D)(x 。,f(x₀)) 是 曲 线y=f(x) 的 拐 点 3\. 列举 一 个函数f(x) 满足：f(x) 在\[a,b\] 上连续，在(a,b) 内除某一 点外处处可导，但在 (a,b) 内不存在点ち,使f(b)-f(a)=f\' (专)(b-a). 4 . 设 {width="0.6666666666666666in" height="0.2013167104111986in"},求 {width="1.0625087489063867in" height="0.20836614173228346in"} 5\. 证明多项式f(x)=x³-3x+a 在\[0,1\]上不可能有两个零点. 6 . 设 {width="1.027746062992126in" height="0.2777919947506562in"},证明多项式 f(x)=ao+a₁x+ ...+aax\" 在(0,1)内至少有一个零点. · 7 . 设f(x) 在 \[ 0 ,a\] 上连续，在(0,a) 内可导，且f(a)=0, 证 明 存 在 一 点 ξ = ( 0 ,a), 使f(ξ)+ξf\'(ξ)=0. \* 8 . 设 0\a 时，1f(x)-f(a)I\0). 11\. 求下列函数在指定点x₀ 处具有指定阶数及余项的泰勒公式： (1)f(x)=x³lnx,x₀=1,n=4, 拉格朗日余项； (2)f(x)=arctan x,x₀=0,n=3,佩亚诺余项； (3)f(x)=e\*,x₀=0,n=3, 佩亚诺余项； (4)f(x)=In cos x,x₀=0,n=6,佩亚诺余项. 12\. 证明下列不等式： {width="0.9930479002624671in" height="0.30563320209973754in"}( 1 ) 当{width="0.6614884076990376in" height="0.22915791776027997in"}时 ( 2 ) 当x\>0 时， {width="0.6041590113735783in" height="0.2777919947506562in"} 众 号 ： 拷 研 拼 ( 3 ) 当e\1,f(x)=aˣ-ax 在(- ∞,+∞)内的驻点为 x(a). 问 a 为何值时，x(a) 最 小 ? 并 求出最小值. 14\. 求椭圆x²-xy+y²=3 上纵坐标最大和最小的点. 15\. 求数列{ √n} 的最大项. 16\. 曲线弧 y=sin x(0\0 时，由于 ,所以In x {width="0.2638724846894138in" height="0.2800634295713036in"}在(0,+∞)内的一个原函 数.因此，在(0,+∞)内， {width="0.9721916010498688in" height="0.3056321084864392in"} 当x\<0 时，由于{width="1.5056922572178477in" height="0.2985990813648294in"},所以In(-x) {width="0.24400153105861766in" height="0.3194313210848644in"}在(-∞,0)内的一 个原函数.因此，在(-∞,0)内， {width="1.1805074365704287in" height="0.2985990813648294in"} 把在x\>0 及 x\<0内的结果合起来，可写作 {width="1.0625087489063867in" height="0.31248687664041996in"} 例 3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的 两倍，求此曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为y=f(x), 按题设，曲线上任一点(x,y) 处的切线斜 率为 {width="0.5278105861767279in" height="0.31248687664041996in"} 即f(x)是 2x 的一个原函数. 因为 {width="0.8402865266841645in" height="0.27082130358705164in"},故必有某个常数 C 使f(x)=x²+C, 即曲线方程为y=x²+ C. 因所求曲线通过点(1,2),故 2=1+C,C=1. 于是所求曲线方程为 y=x²+1. 函数f(x)的原函数的图形称为f(x) 的积分曲线.本例即是求函数2x 的通 过点(1,2)的那条积分曲线.显然，这条积分曲线可以由另一条积分曲线(例如y =x²) 经 y 轴方向平移而得(图4-1). 例4 质点以初速度v₀铅直上抛，不计阻力，求它的运动规律. 解 所谓运动规律，是指质点的位置关于时间t 的函数关系.为表示质点的 位置，取坐标系如下：把质点所在的铅直线取作坐标轴，指向朝上，轴与地面的交 点取作坐标原点.设质点抛出时刻为t=0, 当 t=0 时质点所在位置的坐标为x₀, 在时刻t 时坐标为x (图4 - 2),x=x(t) 就是要求的函数. 按导数的物理意义知道， {width="0.6249518810148731in" height="0.3125754593175853in"} 即为质点在时刻t时向上运动的速磨(如做 ，那么运动方向实际朝下) . {width="0.9930479002624671in" height="1.499951881014873in"} {width="1.3333344269466316in" height="1.4652930883639546in"} 图4-1 又知 {width="0.9027941819772528in" height="0.3680599300087489in"} 即为质点在时刻 t 时向上运动的加速度，按题意，有 a(t)=-g, 即 {width="0.43060367454068244in" height="0.2985640857392826in"}或 {width="0.5277449693788276in" height="0.3333125546806649in"} 先求v(t).由 {width="0.47914260717410323in" height="0.32645231846019246in"},即 v(t) 是-g 的原函数，故 {width="1.6180653980752406in" height="0.2778051181102362in"} 由 v(0)=vo, 得 vo=C₁ , 于是 *v(t)=-gt+v₀.* 再求 x(t). 由 {width="0.5227930883639546in" height="0.27835958005249345in"} ,即x(t)是 v(t)的原函数，故 {width="2.965305118110236in" height="0.3125524934383202in"} {width="1.055556649168854in" height="0.2986537620297463in"}由 x(0)=x₀, 得 xo=C₂, 于是所求运动规律为 ,t∈\[0,T\], 其中T 表示质点落地的时刻. 从不定积分的定义，即可知下述关系： 由 于 {width="0.5625087489063867in" height="0.2638167104111986in"}是f(x) 的原函数，所以 {width="1.3194291338582678in" height="0.3124639107611549in"} {width="1.3962007874015747in" height="0.4253849518810149in"}或 (1-1) 又由于F(x) 是 F\'(x) 的原函数，所以 {width="1.3402876202974627in" height="0.284753937007874in"} {width="1.2083825459317585in" height="0.2986537620297463in"}或记作 (1-2) 由此可见，微分运算(以记号d 表示)与求不定积分的运算(简称积分运算， 以记号 {width="9.727034120734908e-2in" height="0.2708552055993001in"}表示)是互逆的.当记号 {width="6.952099737532808e-3in" height="0.2152580927384077in"} 与 d 连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一 个常数. []{#bookmark4-1 .anchor}二 、基本积分表 既然积分运算是微分运算的逆运算，那么很自然地可以从导数公式得到相 应的积分公式. 例如，因为{width="0.7265179352580927in" height="0.3611111111111111in"},所! {width="0.5029746281714785in" height="0.34721128608923885in"}x\" 的一个原函数，于是 {width="1.1180643044619423in" height="0.34721128608923885in"}(μ≠-1). 类似地可以得到其他积分公式.下面我们把一些基本的积分公式列成一个 表，这个表通常叫做基本积分表. ① {width="0.7430161854768154in" height="0.2708552055993001in"} (k 是常数), {width="0.9305402449693788in" height="0.30551399825021874in"}{width="1.8124770341207348in" height="0.3402613735783027in"} ③ {width="1.2152712160979877in" height="0.3333125546806649in"} ④ {width="1.3263823272090989in" height="0.3680599300087489in"} ⑤ {width="1.3819378827646545in" height="0.2708552055993001in"} {width="1.8194302274715661in" height="0.31950240594925633in"}{width="1.43749343832021in" height="0.284753937007874in"} ⑧ 众号 ： {width="2.0694389763779526in" height="0.3194488188976378in"} {width="1.58333552055993in" height="0.2778160542432196in"}{width="1.694436789151356in" height="0.2707884951881015in"} {width="0.8541458880139983in" height="0.27772747156605426in"}⑪ ⑫ {width="1.1319663167104113in" height="0.2986318897637795in"} {width="0.34026574803149606in" height="0.34026574803149606in"}以上十三个基本积分公式是求不定积分的基础，必须熟记，下面举几个应用 幂函数的积分公式②的例子. 例 5 {width="2.097214566929134in" height="0.35414260717410323in"} 解 {width="0.5486154855643045in" height="0.284666447944007in"} 例6 {width="3.0277930883639543in" height="0.5277887139107612in"} 解 {width="0.43055227471566054in" height="0.38189741907261593in"} 例 7 {width="2.875252624671916in" height="0.5277569991251093in"} 解 上面三个例子表明，有时被积函数实际是幂函数，但用分式或根式表示.遇 此情形，应先把它化为 x"的形式，然后应用幂函数的积分公式②来求不定积分. 三 、不定积分的性质 {width="2.5416885389326334in" height="0.28475503062117236in"}根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质： 性质1 设函数f(x) 及 g(x) 的原函数存在，则 (1-3) 证 将(1-3)式右端求导，得 {width="3.215261373578303in" height="0.35414260717410323in"} =f(x)+g(x). 这表示，(1-3)式右端是f(x)+g(x) 的原函数，又(1-3)式右端有两个积分记号， 形式上含两个任意常数，由于任意常数之和仍为任意常数，故实际上含一个任意 常数，因此(1-3)式右端是f(x)+g(x) 的不定积分. 性质1对于有限个函数都是成立的. 类似地可以证明不定积分的第二个性质. 性质2 设函数f(x) 的原函数存在，k 为非零常数，则 {width="1.4027613735783027in" height="0.29160433070866143in"} 利用基本积分表以及不定积分的这两个性质，可以求出一些简单函数的不 定积分. 例 8 解 {width="0.9305774278215223in" height="0.2639391951006124in"} 求 {width="3.097438757655293in" height="0.2864676290463692in"} {width="2.326379046369204in" height="0.3194488188976378in"} {width="1.1944127296587927in" height="0.3194488188976378in"} 注意 检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积 函数，相等时结果是正确的，否则结果是错误的.如就例8的结果来看，由于 {width="3.8750437445319337in" height="0.38189741907261593in"} 所以结果是正确的. 例 9 求 {width="0.7916349518810148in" height="0.34729330708661416in"} 解 {width="1.993073053368329in" height="0.35414260717410323in"} {width="1.2707797462817148in" height="0.3681091426071741in"} {width="1.694436789151356in" height="0.3194488188976378in"} {width="1.6944378827646545in" height="0.38189741907261593in"} {width="3.166933508311461in" height="0.258827646544182in"}{width="0.5624956255468067in" height="0.27082130358705164in"}例10 解 {width="1.0416404199475067in" height="0.27776574803149606in"} 例11 求 解 因为 2\*e\*=(2e)\*, 所以可把2e 看作a,并利用积分公式⑬,便得 {width="0.6110750218722659in" height="0.27776574803149606in"}{width="2.7291951006124235in" height="0.3402635608048994in"} 例12 求 解 基本积分表中没有这种类型的积分，先利用三角恒等式化成表中所列 类型的积分，然后再逐项求积分. {width="0.694491469816273in" height="0.2985990813648294in"}{width="3.506910542432196in" height="0.3055424321959755in"} 例13 求 解 基本积分表中也没有这种类型的积分，同上例一样，可以先利用三角恒 等式变形，然后再逐项求积分. {width="3.048603455818023in" height="0.31248687664041996in"} {width="1.0833169291338582in" height="0.4999792213473316in"}{width="2.4375273403324584in" height="0.3125754593175853in"} 例14 求 解 同上例一样，先利用三角恒等式变形，然后再求积分. {width="1.9721883202099737in" height="0.5208125546806649in"} {width="1.062542650918635in" height="0.3472080052493438in"}{width="1.5347200349956256in" height="0.29165463692038496in"} 例15 求 解 被积函数的分子和分母都是多项式，通过多项式的除法，可以把它化成 基本积分表中所列类型的积分，然后再语顼求积分. {width="2.631972878390201in" height="0.3610958005249344in"} {width="1.9374792213473315in" height="0.33331911636045497in"} {width="1.7430358705161855in" height="0.31248687664041996in"} []{#bookmark5 .anchor}习 题 4-1 {width="2.1180555555555554in" height="0.33331911636045497in"}1.利用求导运算验证下列等式： \(1\) {width="1.7916786964129483in" height="0.3542410323709536in"} \(2\) {width="2.167034120734908in" height="0.2726334208223972in"} \(3\) {width="2.1180555555555554in" height="0.24304571303587053in"} {width="1.9375448381452318in" height="0.24304571303587053in"} {width="2.2986297025371827in" height="0.25693350831146106in"} 2\. 求下列不定积分： \(1\) {width="0.2804418197725284in" height="0.2518832020997375in"} (2) {width="0.46527340332458444in" height="0.22915682414698163in"} \(3\) {width="0.2937959317585302in" height="0.31332020997375326in"} (4) {width="0.5139173228346456in" height="0.23610126859142608in"} \(5\) {width="0.40275918635170604in" height="0.33331911636045497in"} (6) {width="0.5277876202974628in" height="0.24304571303587053in"} \(7\) {width="0.4791437007874016in" height="0.25693350831146106in"} (8) {width="0.8819685039370079in" height="0.24304571303587053in"} \(9\) {width="0.4166305774278215in" height="0.3194313210848644in"}(g 是常数); (10) {width="0.7361034558180227in" height="0.24998906386701664in"} \(11\) {width="1.2361504811898512in" height="0.24998906386701664in"} (12) {width="0.6874595363079615in" height="0.33331911636045497in"} \(13\) {width="0.8264227909011373in" height="0.3194313210848644in"} (14) {width="1.1458311461067368in" height="0.33331911636045497in"} \(15\) {width="0.8333902012248469in" height="0.32637576552930886in"} (16) {width="0.6736537620297463in" height="0.2985990813648294in"} \(17\) {width="0.9583497375328084in" height="0.27772747156605426in"} (18) {width="1.270825678040245in" height="0.24303258967629046in"} \(19\) {width="0.6319685039370079in" height="0.23618438320209975in"} (20) {width="0.6041590113735783in" height="0.25700021872265966in"} \(21\) {width="0.8680314960629921in" height="0.25700021872265966in"} (22) {width="0.7847309711286089in" height="0.2708781714785652in"} \(23\) {width="0.5098206474190726in" height="0.22219706911636045in"} (24) {width="1.277778871391076in" height="0.23609470691163603in"} \(25\) {width="0.5486034558180227in" height="0.28475503062117236in"} (26) {width="0.6736198600174979in" height="0.2916940069991251in"} 3\. 含有未知函数的导数的方程称为微分方程，例如方 {width="0.5840923009623797in" height="0.25691163604549433in"},其中{width="0.17383530183727033in" height="0.2707884951881015in"}为未知函数的 导数，f(x)为已知函数.如果将函数 y=φ(x)代人微分方程，使微分方程成为恒等式，那么函 数 y=φ(x) 就称为该微分方程的解.求下列微分方程满足所给条件的解： \(1\) {width="0.6458092738407699in" height="0.26384951881014873in"},ylx=2=0; \(2\) {width="0.48370188101487316in" height="0.2718121172353456in"} {width="0.8680314960629921in" height="0.31250984251968505in"}=1. 4\. 汽车以20 m/s 的速度在直道上行驶，刹车后匀减速行驶了50m 停住，求刹车加速度. 可执行下列步骤： (1)求微分方{width="0.5316010498687664in" height="0.2986329833770779in"}满足条 {width="0.7204068241469817in" height="0.3194488188976378in"} 及s1, 。=0 的解； ( 2 ) 求{width="0.4663692038495188in" height="0.25700021872265966in"}的 t 值及相应的s 值； (3)求使s=50 的 k 值. 5\. 一曲线通过点(e²;3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线 的方程. 6\. 一物体由静止开始运动，经ts 后的速度是3t²m/s, 问 ( 1 ) 在 3s 后物体离开出发点的距离是多少? (2)物体走完360 m 需要多少时间? 7\. 证明函数arcsin(2x-1),arccos(1-2x) 和 {width="0.7360629921259843in" height="0.3194488188976378in"}都 {width="0.4860958005249344in" height="0.32638779527559053in"}的原函数. []{#bookmark6 .anchor}第 二 节 换元积分法 利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的 . 因此， 有必要进 一 步来研究不定积分的求法 . 本节把复合函数的微分法反过来用于求 不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称 换元法 .换元法通常分成两类，下面先讲簿研类换元法 . 一 、第 一 类换元法 {width="1.249968285214348in" height="0.2708770778652668in"}设f(u)具有原函数F(u), 即 *F\'(u)=f(u),* 如果u 是中间变量：u=φ(x),且设φ(x) 可微，那么,根据复合函数微分法，有 dF\[φ(x)\]=f\[φ(x)\]φ\'(x)dx, 从而根据不定积分的定义就得 {width="3.2362051618547683in" height="0.27999343832020995in"} 于是有下述定理： {width="2.347240813648294in" height="0.2986329833770779in"}定理1 设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式 (2-1) 由此定理可见，虽然 {width="1.1875251531058617in" height="0.2707884951881015in"}是一个整体的记号，但从形式上看， 被积表达式中的 dx 也可当作变量x 的微分来对待，从而微分等式φ\'(x)dx=du 可 以方便地应用到被积表达式中来，我们在上节第一目中已经这样用了，那里把积 分{width="0.6778499562554681in" height="0.2778160542432196in"}记作 {width="0.5100710848643919in" height="0.2708781714785652in"},就是按微分F\'(x)dx=dF(x), 把被积表达式F\'(x) dx 记作dF(x). 如何应用公式(2-1)来求不定积分?设要求 {width="0.6041590113735783in" height="0.27772747156605426in"},如果函数g(x) 可以 化为g(x)=fLφ(x)\]φ\'(x) 的形式，那么 {width="3.131971784776903in" height="0.31250984251968505in"} 这样，函数g(x) 的积分即转化为函数f(u)的积分.如果能求得f(u)的原函数，那 么也就得到了g(x) 的原函数. 例 1 求 {width="0.7361275153105862in" height="0.29160433070866143in"} 解 被积函数中，cos 2x 是一个由 cos 2x=cos u,u=2x 复合而成的复合函 数，常数因子恰好是中间变量u 的导数.因此，作变换u=2x, 便有 {width="3.0416535433070866in" height="0.2916940069991251in"} {width="1.409747375328084in" height="0.31242125984251967in"} 再以 u=2x 代入，即得 {width="1.4166994750656168in" height="0.2917038495188101in"} 例2 求 {width="0.6180643044619423in" height="0.30551399825021874in"} 解 被积函{width="0.7044892825896762in" height="0.2985640857392826in"},u=3+2x. 这里缺{width="0.5231135170603675in" height="0.3124639107611549in"}这样一个因子，但由 {width="0.3068842957130359in" height="0.2986537620297463in"} 是个常数，故可改变系数凑出这个因子： {width="2.548659230096238in" height="0.29379483814523183in"} 从而令u=3+2x, 便有 {width="3.000003280839895in" height="0.35424978127734036in"} {width="1.805524934383202in" height="0.32636264216972877in"} 一般地，对于积分 {width="1.3055883639545056in" height="0.2707666229221347in"},总可作变换u=ax+b, 把它化为 {width="0.7916830708661418in" height="0.354161198600175in"}{width="3.548627515310586in" height="0.3273173665791776in"} 例3 求 解 令 u=x+2, 则x=u-2,dx=du. 于是 {width="3.37505249343832in" height="0.38890857392825895in"} {width="1.6391196412948381in" height="0.2524540682414698in"} =ln lul+4u⁻¹-2u⁻²+C {width="0.6111111111111112in" height="0.2708552055993001in"}{width="1.6944783464566928in" height="0.354161198600175in"} 例4 求 解 被积函数中的一个因子为e²=e",u=x²,剩下的因子2x 恰好是中间变 量 u=x² 的导数，于是有 {width="2.847176290463692in" height="0.3125524934383202in"} 例 5 求 {width="0.7847309711286089in" height="0.2708552055993001in"} 公你号 ： 考研课 数排搬能 9 解 设 u=1-x², 则 du=-2xdx, 即{width="0.7934394138232721in" height="0.2916152668416448in"}因此， {width="2.6388593613298337in" height="0.5485706474190726in"} {width="1.756998031496063in" height="0.27421916010498687in"} 在对变量代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量 u. 例 6 求 {width="1.2013659230096239in" height="0.3333125546806649in"} 解 {width="1.8749857830271217in" height="0.5278116797900263in"} {width="2.1808169291338584in" height="0.5014041994750656in"} 在上例中，我们实际上已经用了变量代换 {width="0.3419663167104112in" height="0.2524540682414698in"},并在求出积分{width="0.7366076115485565in" height="0.31950240594925633in"} 后，代回了原积分变量x, 只是没有把这些步骤写出来而已. 例 7 解 例 8 {width="0.8888888888888888in" height="0.37500984251968505in"} 求 \>0). {width="1.2013659230096239in" height="0.31941272965879264in"}{width="3.465305118110236in" height="0.7361209536307961in"} 求 解 由 于 {width="1.409747375328084in" height="0.34721128608923885in"} 所以 {width="1.9097484689413824in" height="0.3334011373578303in"} {width="1.4722561242344707in" height="0.3333125546806649in"} {width="2.159780183727034in" height="0.32636264216972877in"} {width="0.8472386264216973in" height="0.3194313210848644in"}{width="2.6805741469816273in" height="0.3542410323709536in"} 例 9 求 {width="1.5833672353455819in" height="0.33331911636045497in"} 解 {width="0.5069520997375329in" height="0.4027613735783027in"}{width="2.3263823272090987in" height="0.3263746719160105in"} 例10 求 解 由 于 {width="0.7014293525809274in" height="0.3888724846894138in"},因此， {width="3.006955380577428in" height="0.4306266404199475in"} 下面再举一些积分的例子，它们的被积函数中含有三角函数，在计算这种积 分的过程中，往往要用到一些三角恒等式. {width="3.111114391951006in" height="0.3194313210848644in"}例11 解 {width="0.6041590113735783in" height="0.27776574803149606in"} {width="1.2499693788276465in" height="0.31248687664041996in"} {width="2.2430818022747157in" height="0.31248687664041996in"}例12 解 {width="0.8819367891513561in" height="0.27082130358705164in"} {width="1.7499693788276465in" height="0.2985990813648294in"} {width="2.048665791776028in" height="0.24430774278215223in"} {width="1.798571741032371in" height="0.32637576552930886in"} 一般地，对于sin²+¹x cos\"x或sin\"x cos²+¹x ( 其 中 k∈N) 型函数的积分，总 可依次作变换u=cosx 或 u=sin x,求得结果. 例13 求 {width="0.6042235345581802in" height="0.2917432195975503in"} 解 {width="3.562512029746282in" height="0.3888724846894138in"} 类似地可得 {width="1.6527635608048994in" height="0.2847998687664042in"} {width="2.9305424321959754in" height="0.31248687664041996in"}例14 求 {width="0.6388571741032371in" height="0.2985990813648294in"} 解 {width="0.8541918197725284in" height="0.26387795275590553in"}{width="2.604161198600175in" height="0.31248687664041996in"} {width="3.111114391951006in" height="0.31257655293088366in"}例15 求 解 {width="2.2777799650043744in" height="0.31248687664041996in"} {width="3.0416535433070866in" height="0.3263746719160105in"} {width="3.208384733158355in" height="0.3263746719160105in"} {width="1.6597156605424321in" height="0.3194313210848644in"} 一般地，对于 sin²xcos²x(k,l∈N) 型函数，总可利用三角恒等式：sin²x= {width="0.8268153980752406in" height="0.27185367454068243in"}{width="1.4444455380577428in" height="0.2917432195975503in"}成 cos 2x的多项式，然后采用例15中所用 {width="0.6319685039370079in" height="0.29165463692038496in"}的方法求得积分的结果. {width="3.3125688976377954in" height="0.27776574803149606in"}例16 求 解 {width="1.8888910761154856in" height="0.6458070866141732in"} {width="2.5278127734033244in" height="0.3610958005249344in"}例17 解 {width="0.8958420822397201in" height="0.28479877515310587in"} {width="1.805524934383202in" height="0.2917432195975503in"} {width="2.1388582677165355in" height="0.29165463692038496in"} {width="1.8472397200349957in" height="0.31248687664041996in"} 一般地，对于 tan"xsec²x 或 tan²-¹xsec\"x(n,k∈N.) 型函数的积分，可依次 作变换u=tan x 或 u=secx, 求得结果. 例18 求 {width="0.5845450568678915in" height="0.2513112423447069in"} 解 {width="2.202076771653543in" height="0.45944116360454945in"} {width="2.83333552055993in" height="0.6527504374453194in"} 因为 {width="2.902797462817148in" height="0.6110859580052493in"} 所以上述不定积分又可表为 {width="0.6041590113735783in" height="0.27776574803149606in"}{width="1.8541918197725284in" height="0.27785542432195975in"} 例19 求 解 利用上例的结果，有 {width="2.194478346456693in" height="0.31248687664041996in"} {width="1.930541338582677in" height="0.3610958005249344in"} =Inlsec x+tan xl+C. 例20 求 {width="1.0694608486439194in" height="0.2847101924759405in"} 解 利用三角函数的积化和差公式 {width="2.3687674978127733in" height="0.4170833333333333in"} 得 {width="2.0069542869641297in" height="0.3125754593175853in"} 于是 {width="2.5416524496937885in" height="0.3055424321959755in"} {width="2.069463035870516in" height="0.3194313210848644in"} {width="1.3680325896762904in" height="0.31248687664041996in"} 上面所举的例子，可以使我们认识到公式(2-1)在求不定积分中所起的作 用.像复合函数的求导法则在微分学中一样，公式(2-1)在积分学中也是经常使 用的.但利用公式(2-1)来求不定积分， 一般却比利用复合函数的求导法则求函 数的导数要来得困难，因为其中需要一定的技巧，而且如何适当地选择变量代换 u=φ(x) 没有一般规律可循，因此要掌握换元法，除了熟悉一些典型的例子外，还 要做较多的练习才行. 上述各例用的都是第一类换元法，即形如u=φ(x) 的变量代换.下面介绍另 一种形式的变量代换x=ψ(t), 即所谓第二类换元法. 二 、第二类换元法 {width="0.7708256780402449in" height="0.2847101924759405in"} 上面介绍的第一类换元法是通过变量代换 u=φ(x), 将积分 φ\'(x)dx化为积分{width="0.6190321522309711in" height="0.27776574803149606in"} 下面将介绍的第二类换元法是：适当地选择变量代换 x=ψ(t), 将积分 {width="0.5208573928258967in" height="0.26387795275590553in"} 化为积分 {width="1.138921697287839in" height="0.27776574803149606in"}.这是另一种形式的变量代换，换元公式可 表达为 {width="1.847240813648294in" height="0.3055424321959755in"} {width="1.1111122047244095in" height="0.26387795275590553in"}这公式的成立是需要一定条件的.首先，等式右边的不定积分要存在，即 f\[ψ(t)\]ψ'(t)有原函数；其次， 数t=ψ¹(x) 代回去，为了保证这反函数存在而且是可导的，我们假定直接函数x 三ψ(t)在 t 的某一个区间(这区间和所考虑的 x 的积分区间相对应)上是单调 的、可导的，并且ψ\'(t)≠0. 归纳上述，我们给出下面的定理： 定理2 设x=ψ(t) 是单调的可导函数，并且ψ\'(t)≠0. 又设fψ(t)\]ψ′(t) 具 有原函数，则有换元公式 {width="2.4097222222222223in" height="0.31248687664041996in"} (2-2) 其中ψ⁻¹(x) 是 x=ψ(t)的反函数. 证 设 f\[ψ(t)\]ψ\'(t) 的原函数为Φ(t), 记Φ\[ψ⁻¹(x)\]=F(x), 利用复合函 数及反函数的求导法则，得到 {width="3.6249693788276467in" height="0.3402635608048994in"} 即 F(x) 是 f(x) 的原函数.所以有 {width="4.027758092738408in" height="0.2966874453193351in"} 这就证明了公式(2-2). 下面举例说明换元公式(2-2)的应用. 例21 求 {width="1.0277701224846894in" height="0.27776574803149606in"}\>0). 解 求这个积分的困难在于有根式 √a²-x², 但我们可以利用三角公式 sin²t+cos²t=1 {width="1.2569881889763779in" height="6.944444444444444e-3in"}{width="0.6111395450568679in" height="0.25693350831146106in"}来化去根式. 设x=asin t, ,则 √a²-x²= √a²-a²sin²t=acos t,dx=acos tdt,于是 根式化成了三角式，所求积分化为 {width="2.7777734033245842in" height="0.2847998687664042in"} 利用例14的结果得 {width="3.1944695975503064in" height="0.3472080052493438in"} 由于 {width="1.187442038495188in" height="0.27082239720034995in"},所以 {width="0.7777788713910762in" height="0.2847101924759405in"} {width="2.444495844269466in" height="0.3610958005249344in"} 于是所求积分为 {width="2.548620953630796in" height="0.4235936132983377in"} 例22 求 {width="0.5833344269466316in" height="0.3681288276465442in"} (a\>0). 解 和上例类似，可以利用三角公式 1+tan²t=sec²t 来化去根式. {width="1.541687445319335in" height="0.29859798775153107in"},则 √x²+a²=√a²tan²t+a²=a√tan²t+1=asec t,dx=asec²tdt, 于是 {width="2.006897419072616in" height="0.40970581802274714in"} 利用例19的结果得 {width="1.8055489938757656in" height="0.3680402449693788in"} 为了要把sec t 及 tan t 换成x 的函数，可以根据 {width="0.5833344269466316in" height="0.2985990813648294in"}作辅助三角形(图 4-3),便有 {width="0.9583530183727034in" height="0.3610958005249344in"} 且 sec t+tan t\>0,因此， {width="1.868063210848644in" height="0.39581692913385824in"} =ln(x+√x²+a²)+C₁, 其中C₁=C-In a. 例23 求 {width="0.5833344269466316in" height="0.3610958005249344in"} (a\>0). 解 和以上两例类似；可以利用公式 {width="1.2013768591426073in" height="0.756913823272091in"} 图4-3 sec²t-1=tan²t 来化去根式.注意到被积函数的定义域是x\>a 和 x\<-a 两个区间，我们在两个区 间内分别求不定积分. 当 x\>a 时，设 {width="1.1527985564304462in" height="0.31248687664041996in"} ,则 √x²-a²=√a²sec²t-a²=a√sec²+-1=atan t, dx=asec ttanutdt, R 于是 {width="2.270893482064742in" height="0.3888199912510936in"} =ln(sec t+tan t)+C. 为了把sec t 及 tan t 换成x 的函数，我们根据 {width="0.5625349956255468in" height="0.26390529308836397in"}作辅助三角形(图4-4),得到 {width="0.9513932633420822in" height="0.3611111111111111in"} 因此 {width="1.5694149168853893in" height="0.819426946631671in"} 图4-4 {width="2.354309930008749in" height="0.38938101487314086in"} =1n(x+√x²-a²)+C₁, 其中C₁=C-ln a. 当 x\<-a 时；令x=-u, 那么u\>a. 由上段结果，有 {width="2.7221970691163606in" height="0.3888199912510936in"} {width="2.5694641294838143in" height="0.34730096237970254in"} =1n(-x-√x²-a²)+C₁, 其中 C₁=C-2ln a. 把在 x\>a 及x\<-a 内的结果合起来，可写作 {width="1.819459755030621in" height="0.3958584864391951in"} 从上面的三个例子可以看出：如果被积函数含有 √a²-x²,可以作代换 x=asin t化去根式；如果被积函数含有 √x²+a², 可以作代换x=atan t 化去根式； 如果被积函数含有 √x²-a², 可以作代换x=±asec t 化去根式.但具体解题时要分 析被积函数的具体情况，选取尽可能简捷的代换，不要拘泥于上述的变量代换 (如例5、例7). 当被积函数含有 √x²±a² 时，为了化去根式，除采用三角代换x=atant 或 x= ±asec t 外，还可利用公式 众号：聘保 采用双曲代换x=a sh t,x=±a ch t 来化去根式. 例如，在例22中，可设x=ash t,则 √x²+a²=√a²sh²t+a²=ach t,dx=ach tdt, 于是 {width="2.00003280839895in" height="0.37500984251968505in"} {width="2.256972878390201in" height="0.41661854768153983in"} =In(x+√x²+a²)+C₁, 其中C₁=C-ln a. 在例23中，当x\>a 时，可设x=ach t(t\>0),则 √x²-a²=√a²ch²t-a²=ash t, dx=ash tdt, 于是当x\>a 时 ， {width="2.7292213473315834in" height="0.37500984251968505in"} {width="2.8055194663167105in" height="0.4183573928258968in"} 其 中C₁=C-lna. 当 x\<-a 时，令x=-ach t(t\>0),类似可得 {width="1.9721926946631672in" height="0.3819597550306212in"} {width="1.12500656167979in" height="0.27780402449693786in"}上节所列基本积分表中没有双曲函数的积分公式，现添加两个常用的双曲 函数积分公式： ⑭ {width="1.2708442694663167in" height="0.2708552055993001in"} 下面我们通过例子来介绍一种也很有用的代换------倒代换，利用它常可消 去被积函数的分母中的变量因子 x. 例24 解 设 求 {width="1.3124748468941383in" height="0.3680599300087489in"} {width="0.35418635170603674in" height="0.2917038495188101in"},则 {width="0.5347594050743657in" height="0.3125524934383202in"},于是 0 考 研拼 课 {width="3.437713254593176in" height="0.6755161854768154in"} 当 x\>0 时，有 {width="2.631971784776903in" height="0.3681091426071741in"} {width="2.0833027121609797in" height="0.4166797900262467in"} 当 x\<0 时，有相同的结果. {width="1.562509842519685in" height="0.26384951881014873in"}在本节的例题中，有几个积分是以后经常会遇到的，所以它们通常也被当作 公式使用.这样，常用的积分公式，除了基本积分表中的几个外，再添加下面几个 (其中常数a\>0): ⑯ {width="1.8541929133858268in" height="0.2707884951881015in"}{width="1.6250174978127734in" height="0.2639391951006124in"} {width="1.8680971128608923in" height="0.27772747156605426in"}{width="1.5139063867016622in" height="0.3194488188976378in"}{width="1.4513976377952755in" height="0.333325678040245in"}⑱ ⑲ ② ㉑ {width="1.8541929133858268in" height="0.8333606736657918in"}{width="1.4792082239720035in" height="0.38198600174978126in"} 3 4 {width="0.6058606736657918in" height="0.3548326771653543in"} 例25 求 {width="2.756922572178478in" height="0.40271434820647417in"} 解 利用公式，便得 公众号： {width="0.7777777777777778in" height="0.40280293088363955in"}{width="2.104160104986877in" height="0.40280293088363955in"} 例26 求 {width="2.076532152230971in" height="0.7363702974628171in"} 解 利用公式2,便得 {width="1.6874617235345581in" height="0.38189741907261593in"} {width="1.2569860017497814in" height="0.37504811898512685in"}在例22中，我们用变换x=atan t 消去被积函数中的根式 √x²+a², 这个变换 还能消去被积函数分母中的(x²+a²) 的高次幂.请看下例. 例27 求 解 分母是二次质因式的平方，把二次质因式配方成(x-1)²+1, 令x-1=tan t {width="0.756920384951881in" height="0.2986329833770779in"},则 x²-2x+2=sec²t,dx=sec²tdt. 于是 {width="1.5833672353455819in" height="0.7638845144356955in"} {width="3.381940069991251in" height="0.6458366141732284in"} {width="4.027749343832021in" height="0.3055708661417323in"} {width="2.8958442694663167in" height="0.31250984251968505in"} =-ln cos t-cos²t+2t-sin tcos t+C, {width="2.215271216097988in" height="0.44443569553805773in"}按 tan t=x-1作辅助三角形(图4-5),便有 {width="1.3541272965879265in" height="0.7916393263342082in"}图4-5 于 是 {width="1.2360859580052495in" height="0.3680599300087489in"} {width="3.3402701224846894in" height="0.3333125546806649in"} []{#bookmark7 .anchor}习 题 4-2 {width="0.9652559055118111in" height="0.2707655293088364in"} 1\. 在下列各式等号右端的横线处填人适当的系数，使等式成立(例如 (1)dx=\_d(ax); (2)dx= d(7x-3); (3)xdx= d(x²); (4)xdx= d(5x²); (5)xdx= d(1-x²); (6)x³dx=\_d(3x⁴-2); {width="1.326340769903762in" height="0.28466535433070866in"}{width="0.9513856080489939in" height="0.25695538057742784in"}(7)e²dx=\_d(e²); (8) {width="1.1805391513560806in" height="0.25695647419072615in"}(9) (10) ; \(11\) (12) {width="1.2222156605424321in" height="0.27780402449693786in"}; \(13\) {width="1.3611132983377079in" height="0.31941272965879264in"});(14) {width="1.256923665791776in" height="0.31941272965879264in"} 2\. 求下列不定积分(其中a,b,w,φ均为常数): \(1\) {width="0.3888888888888889in" height="0.2430566491688539in"} (2) {width="0.7500382764654419in" height="0.23610673665791776in"} \(3\) {width="0.44443569553805773in" height="0.2708552055993001in"} (4) {width="0.4861111111111111in" height="0.30560258092738407in"}; \(5\) {width="0.9721587926509186in" height="0.26390529308836397in"} (6) {width="0.5069499125109361in" height="0.3402613735783027in"} \(7\) {width="0.5208202099737533in" height="0.2430566491688539in"} (8) {width="0.763844050743657in" height="0.2430566491688539in"} {width="0.7361034558180227in" height="0.2708552055993001in"}{width="1.375048118985127in" height="0.23610673665791776in"}(9) {width="0.7152646544181978in" height="0.3124639107611549in"} (10) {width="0.5555938320209973in" height="0.2917038495188101in"} \(11\) (12) ; \(13\) {width="0.5624956255468067in" height="0.2708552055993001in"} (14) {width="0.9861581364829396in" height="0.30551399825021874in"} \(15\) {width="0.9791907261592301in" height="0.23610673665791776in"} (16) {width="0.763908573928259in" height="0.2707655293088364in"} \(17\) {width="1.1318952318460191in" height="0.32636264216972877in"} (18) {width="0.7222331583552056in" height="0.3680599300087489in"} \(19\) {width="1.222280183727034in" height="0.31950240594925633in"} (20) {width="0.7361034558180227in" height="0.340262467191601in"} \(21\) {width="0.7500382764654419in" height="0.2917038495188101in"} (22) {width="0.6736537620297463in" height="0.25695538057742784in"} {width="0.8819685039370079in" height="0.23610673665791776in"}{width="0.8333256780402449in" height="0.2430566491688539in"}(23) {width="0.7917136920384952in" height="0.25695538057742784in"} (24) {width="0.5139173228346456in" height="0.23610673665791776in"} \(25\) (26) \* \(27\) {width="0.8888713910761155in" height="0.25000656167979in"} (28) {width="0.9097747156605425in" height="0.2430566491688539in"} \(29\) {width="0.8193908573928259in" height="0.2430566491688539in"} (30) {width="0.5139173228346456in" height="0.29161417322834643in"} \(31\) {width="0.7291360454943132in" height="0.31941272965879264in"} (32) {width="0.5694641294838145in" height="0.3124639107611549in"} \(33\) {width="0.4999825021872266in" height="0.2708552055993001in"} (34) {width="0.8680982064741908in" height="0.27780402449693786in"} \(35\) {width="0.6735892388451443in" height="0.25695538057742784in"} (36) {width="1.0694466316710411in" height="0.340262467191601in"} \(37\) {width="0.5833344269466316in" height="0.32636264216972877in"}4 (38) {width="0.6805566491688539in" height="0.3124639107611549in"}; \(39\) {width="0.694491469816273in" height="0.30551399825021874in"} (40) {width="0.5833344269466316in" height="0.32636264216972877in"} {width="0.7153291776027997in" height="0.31950240594925633in"}(41) (42) {width="0.7083617672790901in" height="0.3334011373578303in"} {width="0.7152646544181978in" height="0.26390529308836397in"}(43) (44) {width="0.7152646544181978in" height="0.30560258092738407in"} []{#bookmark8 .anchor}第 三 节 分部积分法 前面我们在复合函数求导法则的基础上，得到了换元积分法 . 现在我们利用 两个函数乘积的求导法则，来推得另 一个求积分的基本方法 --- --- 分部积分法 . 设 函 数 u=u(x) 及 v=v(x) 具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为 (uv)\'=u\'v+uv\', 移项，得 uv′=(uv)\'-u\'v. {width="1.3124693788276465in" height="0.4513659230096238in"}对这个等式两边求不定积分，得 (3-1) 公式(3-1)称为分部积分公式.如果求 {width="0.472176290463692in" height="0.27084426946631673in"}有困难，而求 {width="0.493079615048119in" height="0.27084426946631673in"}比较容易 时，分部积分公式就可以发挥作用了. {width="1.0624781277340332in" height="0.29857720909886265in"}为简便起见，也可把公式(3-1)写成下面的形式： (3-2) {width="0.6736537620297463in" height="0.27084426946631673in"}现在通过例子说明如何运用这个重要公式. 例 1 求 解 这个积分用换元积分法不易求得结果，现在试用分部积分法来求它.但 是怎样选取u 和 dv 呢?如果设u=x,dv=cos x dx,则 du=dx,v=sin x,代入分部 积分公式(3-2),得 {width="1.8263877952755905in" height="0.29857720909886265in"} 而 {width="1.0416404199475067in" height="0.2847101924759405in"}容易积出，所以 {width="1.7152952755905513in" height="0.2847101924759405in"} 求这个积分时，如果设u=cos x,dv=xdx,则 du=-sin xdx, {width="0.3749540682414698in" height="0.3193777340332458in"} 于是 {width="2.0347681539807523in" height="0.333332239720035in"} 上式右端的积分比原积分更不容易求出. 由此可见，如果 u 和 dv 选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法时， 恰当选取u 和 dv 是一个关键.选取 u 和 d 一般要考虑下面两点： (1)v 要容易求得； \(2\) {width="0.3611482939632546in" height="0.2847101924759405in"}要比 {width="0.340246062992126in" height="0.2847101924759405in"}容易积出. 例 2 求 {width="0.5069499125109361in" height="0.2847101924759405in"} 解 设 u=x,dv=e\*dx, 则 du=dx,v=e\". 于 是 {width="2.7985476815398074in" height="0.2777777777777778in"} 运用分部积分公式(3-2)的形式，例1、例2的求解过程也可表述为 {width="2.6735837707786527in" height="0.31253280839895015in"} =xsin x+cos x+C. {width="1.9792213473315836in" height="0.2777777777777778in"} =xe\*-e³+C=(x-1)e\*+C. 例 3 求 {width="0.5555927384076991in" height="0.2847101924759405in"} 解 设 u=x²,dv=eˣdx=d(e), 则 {width="3.3750437445319337in" height="0.3055993000874891in"} 这里 {width="0.4514031058617673in" height="0.2639107611548556in"} 比 {width="0.5277876202974628in" height="0.27084426946631673in"}容易积出，因为被积函数中x 的幂次前者比后者降 低了一次. 由例2可知，对 {width="0.4583705161854768in" height="0.2847101924759405in"}再使用一次分部积分法就可以了.于是 {width="2.6388746719160103in" height="0.29857720909886265in"} =x²e\*-2(xe-eˣ)+C=e(x²-2x+2)+C. {width="0.6041721347331583in" height="0.2847101924759405in"}总结上面三个例子可以知道，如果被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂 函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为 u.这样用 一 次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次.这里假定幂指数是正整数. 例 4 求 解 设 u=In x,dv=xdx,则 {width="2.7777734033245842in" height="0.3472889326334208in"} {width="0.7777788713910762in" height="0.26382108486439193in"}{width="2.020832239720035in" height="0.34026574803149606in"} 例 5 求 解 设 u=arccos x,dv=dx,则 {width="2.444430227471566in" height="0.2777777777777778in"} {width="1.4166601049868766in" height="0.3333333333333333in"} {width="2.104119641294838in" height="0.38195538057742784in"} =xarccosx-√ 1-x²+C. 在分部积分法运用比较熟练以后：就季秘再写出哪一部分选作 u,哪一部分 选作 dv.只要把被积表达式凑成φ(x)dψ(x) 的形式，便可使用分部积分公式. 例 6 解 {width="0.8263702974628171in" height="0.25702318460192475in"} 求 {width="2.097214566929134in" height="0.29165463692038496in"} {width="1.9513768591426073in" height="1.597247375328084in"} {width="1.7430282152230971in" height="0.31248687664041996in"} 总结上面三个例子可以知道，如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数 和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函 数为u. 下面几个例子中所用的方法也是比较典型的. 例 7 解 {width="0.7222287839020123in" height="0.27776574803149606in"} 求 {width="2.9791371391076114in" height="0.3055424321959755in"} 等式右端的积分与等式左端的积分是同一类型的.对右端的积分再用一次分部 积分法，得 {width="2.1111351706036747in" height="0.2985990813648294in"} {width="1.8819706911636045in" height="0.3055424321959755in"} 由于上式右端的第三项就是所求的积分 {width="0.6805971128608924in" height="0.2847101924759405in"},把它移到等号左端去，等式 两端再同除以2,便得 {width="2.111070647419073in" height="0.2847101924759405in"} 因上式右端已不包含积分项，所以必须加上任意常数 C. 例 8 求 {width="0.6735728346456693in" height="0.29165463692038496in"} 血 {width="1.7866338582677166in" height="0.2646237970253718in"} 解 {width="1.7361329833770778in" height="0.27082239720034995in"} {width="2.048624234470691in" height="0.29165463692038496in"} {width="2.0763998250218725in" height="0.27776574803149606in"} {width="2.45836176727909in" height="0.2847101924759405in"} 由于上式右端的第三项就是所求的积分 {width="0.618086176727909in" height="0.27776574803149606in"},把它移到等号左端去，等式两 端再同时除以2,便得 {width="2.9305457130358703in" height="0.3125754593175853in"} {width="0.45832786526684166in" height="0.2847101924759405in"}在积分的过程中往往要兼用换元法与分部积分法，如例5,下面再来举一个 例子. 例 9 求 解 令 √x=t, 则 x=t²,dx=2tdt. 于是 {width="1.0694553805774278in" height="0.29165463692038496in"} 利用例2的结果，并用t=√x代回，便得所求积分： {width="2.93750656167979in" height="0.29868766404199476in"} {width="0.5833508311461068in" height="0.24998906386701664in"}求下列不定积分： {width="0.6457972440944882in" height="0.24304571303587053in"}{width="0.5625349956255468in" height="0.22915682414698163in"}{width="0.7639238845144357in" height="0.23618985126859143in"}{width="0.7777799650043744in" height="0.23610126859142608in"}1. 3. 5. 7. 9. []{#bookmark9 .anchor}习 题 4-3 {width="0.46528871391076115in" height="0.24304571303587053in"} {width="0.47224846894138234in" height="0.24998906386701664in"}{width="0.66667760279965in" height="0.23610126859142608in"}{width="0.6458617672790901in" height="0.24313429571303588in"}2 4 6. 8. 号 和 铁 课 11.{width="0.6260608048993875in" height="0.23610673665791776in"} 12. {width="0.4355424321959755in" height="0.2430566491688539in"} 13\. {width="0.4481113298337708in" height="0.23216207349081364in"} 14.{width="0.816421697287839in" height="0.23610673665791776in"} 15.{width="0.7114818460192476in" height="0.23619641294838145in"} 16. {width="0.7396172353455818in" height="0.2160498687664042in"} 17.{width="0.9551902887139108in" height="0.25000656167979in"} 18. {width="0.44669838145231844in" height="0.27780402449693786in"} 19.{width="0.39027449693788274in" height="0.2430566491688539in"} 20. {width="0.643581583552056in" height="0.25000656167979in"} 21.{width="0.8472965879265092in" height="0.2430566491688539in"} 22. {width="0.6150109361329834in" height="0.26390529308836397in"} 23.{width="0.5229571303587052in" height="0.25000656167979in"} 24. {width="0.5365562117235345in" height="0.25000656167979in"} []{#bookmark10 .anchor}第 四 节 有理函数的积分 前面已经介绍了求不定积分的两个基本方法 换元积分法和分部积分 法，下面简要地介绍有理函数的积分及可化为有理函数的积分. 一 、有理函数的积分 两个多项式的{width="0.47471237970253716in" height="0.354161198600175in"}称为有理函数，又称有理分式.我们总假定分子多项 式 P(x) 与分母多项式Q(x) 之间没有公因式.当分子多项式P(x) 的次数小于分 母多项式 Q(x) 的次数时，称这有理函数为真分式，否则称为假分式 利用多项式的除法，总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之 和的形式，例如第一节例15中的被积函数 {width="1.4861603237095362in" height="0.3611100174978128in"} 对于真分：{width="0.48648622047244094in" height="0.3076126421697288in"},如果分母可分解为两个多项式的乘积 Q(x)=Q₁(x)Q₂(x), 且 Q₁(x) 与 Q₂(x) 没有公因式，那么它可分拆成两个真分式之和 {width="1.3957786526684164in" height="0.37500984251968505in"} 上述步骤称为把真分式化成部分分式之和.如果 Q₁(x) 或 Q₂(x) 还能再分解成 两个没有公因式的多项式的乘积那么就可苒分拆成更简单的部分分式.最后， 有理函数的分解式中只出现多项式 {width="1.2916841644794401in" height="0.3819586614173228in"}等三类函数(这里p²- 4q\<0,P₁(x) 为小于k 次的多项式，P₂(x) 为小于21次的多项式).多项式的积分 容易求得，后两类真分式的积分可参看第二节例3和例27. 下面举几个真分式的积分的例子. 例 1 求 {width="0.8333333333333334in" height="0.3333125546806649in"} 解 被积函数的分母分解成(x-3)(x-2), 故可设 {width="1.277778871391076in" height="0.3333125546806649in"} 其中A、B 为待定系数.上式两端去分母后，得 x+1=A(x-2)+B(x-3), 即 x+1=(A+B)x-2A-3B. 比较上式两端同次幂的系数，即有 {width="0.8611439195100612in" height="0.3888199912510936in"} 从而解得A=4,B=-3. 于是 {width="1.9444466316710411in" height="0.34721128608923885in"} =41nlx-31-31nlx-21+C. 例2 求{width="1.4234656605424323in" height="0.3402613735783027in"} {width="2.4930949256342956in" height="0.3351891951006124in"},则 x+2=A(x²+x+1)+(Bx+D)(2x+1), 即 x+2=(A+2B)x²+(A+B+2D)x+A+D, 比较上式两端同次幂的系数，即有 {width="0.8749846894138232in" height="0.6111176727909011in"} 从而解得{width="0.4449628171478565in" height="0.5763692038495188in"},于是 A 众号。8 {width="0.13748359580052494in" height="0.19855752405949256in"} 3 出 {width="1.3750503062117236in" height="0.3471992563429571in"} {width="3.2569575678040246in" height="0.3471992563429571in"} {width="2.875346675415573in" height="0.5277373140857393in"} {width="2.784708005249344in" height="0.3611548556430446in"} 例 3 求 {width="1.1875174978127734in" height="0.34026574803149606in"} 解 被积函数分母的两个因式 x-1 与 x²-1 有公因式，故需再分解成 (x-1)²(x+1). 设 {width="1.8333147419072615in" height="0.3541327646544182in"} 则 x-3=(Ax+B)(x+1)+D(x-1)², 即 x-3=(A+D)x²+(A+B-2D)x+B+D, 比较上式两端同次幂的系数，即有 {width="0.8888812335958005in" height="0.5972440944881889in"} {width="0.45832786526684166in" height="0.5832884951881014in"} 从而解得 于是 {width="1.3472101924759405in" height="0.3471992563429571in"} {width="3.1111198600174976in" height="0.3471992563429571in"} {width="1.8541305774278216in" height="0.3333333333333333in"} {width="2.5139129483814524in" height="0.3055993000874891in"} 公 号： 考 研 送 []{#bookmark11 .anchor}二 、可化为有理函数的积分举例 例 4 求 {width="1.229212598425197in" height="0.3333333333333333in"} 解 由三角函数知道，sin x与 cosx 都可以用 {width="0.38196194225721786in" height="0.2916437007874016in"}的有理式表示，即 {width="2.506953193350831in" height="0.6181332020997375in"} {width="2.6046259842519683in" height="0.6044356955380578in"} 如果作变换{width="1.4384919072615923in" height="0.25697725284339457in"},那么 {width="0.7442979002624672in" height="0.2916240157480315in"}{width="0.7916349518810148in" height="0.3333333333333333in"} 而x=2arctan u,从而 {width="0.7569641294838145in" height="0.3333333333333333in"} 于是 {width="1.1944127296587927in" height="0.32639982502187226in"} {width="2.3750349956255468in" height="0.7222222222222222in"} {width="3.6319586614173227in" height="0.36799978127734034in"} 本例所用的变量代换{width="0.5913134295713036in" height="0.2847101924759405in"}对三角函数有理式的积分都可以应用. {width="1.2638845144356956in" height="7.022090988626422e-3in"} ① 当x∈((2k-1)π,(2k+1)π)时，作变换{width="1.0371456692913386in" height="0.2638221784776903in"},x=2kπ+2arctan u,以下所得结果 相同. {width="0.694426946631671in" height="0.3541327646544182in"} 例 5 求 解 为了去掉根号，可以设 √x-1=u, 于 是x=u²+1,dx=2udu, 从而所求积 分为 {width="2.47913823272091in" height="0.3541327646544182in"} {width="2.2708234908136484in" height="0.3541327646544182in"} {width="0.27082895888013997in" height="6.944444444444444e-3in"}=2(√x-1-arctan√x-1)+C. 例 6 求 {width="0.6677241907261592in" height="0.34074037620297465in"} {width="0.2777318460192476in" height="6.944444444444444e-3in"}解 为了去掉根号，可以设³x+2=u. 于是x=u³-2,dx=3u²du, 从而所求积 分为 {width="1.3055675853018374in" height="0.3888888888888889in"} {width="2.611134076990376in" height="0.36799978127734034in"} {width="0.8471959755030621in" height="0.3888888888888889in"}{width="2.548620953630796in" height="0.31253280839895015in"} 例 7 求 解 被积函数中出现了两个根式 √x 及 ³x, 为了能同时消去这两个根式，可 令 x=u⁶, 于是dx=6u⁵du, 从而所求积分为 {width="2.5763615485564304in" height="0.39582130358705164in"} {width="2.256953193350831in" height="0.34035542432195975in"} =6(√x-arctanx)+C. 例 8 求 {width="0.8125513998250219in" height="0.3471992563429571in"} {width="0.6528160542432196in" height="0.3541327646544182in"}解 为了去掉根号，可以设 {width="0.7361034558180227in" height="0.35422134733158356in"}于 是 {width="1.2291830708661418in" height="0.3055993000874891in"},dx = ,从而所求积分为 59 5 号： {width="3.3263998250218725in" height="0.38195538057742784in"} {width="2.2916622922134735in" height="0.3611548556430446in"} =-2u+21n(u+1)-lnlu²-1l+C {width="2.263857174103237in" height="0.36808836395450567in"} 以上四个例子表明，如果被积函数中含有简单根式"ax+b 或 {width="0.47224081364829396in" height="0.3472889326334208in"},可以 令这个简单根式为u. 由于这样的变换具有反函数，且反函数是u 的有理函数， 因此原积分即可化为有理函数的积分. []{#bookmark12 .anchor}习 题 4-4 求下列不定积分： 1.{width="0.46710739282589675in" height="0.2847101924759405in"} 3\. {width="0.694426946631671in" height="0.2777777777777778in"} 5.{width="0.5221205161854768in" height="0.2639107611548556in"} 7.{width="1.182331583552056in" height="0.2777777777777778in"} 6 {width="0.896233595800525in" height="0.27847222222222223in"} 11.{width="1.0573818897637794in" height="0.2916437007874016in"} 13.{width="0.8351312335958005in" height="0.31253280839895015in"} 15.{width="0.5295931758530183in" height="0.27084426946631673in"} 17.{width="0.8490660542432196in" height="0.2639107611548556in"} 19\. {width="0.625009842519685in" height="0.3055993000874891in"} 21\. {width="0.7222320647419073in" height="0.32639982502187226in"} {width="0.763908573928259in" height="0.27075459317585304in"} 2\. {width="0.7847462817147857in" height="0.2777777777777778in"} 6.{width="0.9857283464566929in" height="0.31244422572178476in"} 8.{width="0.6935050306211723in" height="0.298665791776028in"} 10\. {width="0.5277876202974628in" height="0.2917322834645669in"} 12.{width="0.7240387139107611in" height="0.32639982502187226in"} 14.{width="0.5434634733158356in" height="0.2777777777777778in"} 16.{width="0.5364960629921259in" height="0.27075459317585304in"} 18.{width="0.911515748031496in" height="0.2639107611548556in"} {width="0.42359798775153107in" height="0.36799978127734034in"}20.{width="0.71542760279965in" height="0.34035542432195975in"} 22\. 拼课 {width="0.6111395450568679in" height="0.30554352580927385in"}23. 24\. {width="1.062542650918635in" height="0.3334076990376203in"} []{#bookmark13 .anchor}第 五 节 积分表的使用 通过前面的讨论可以看出，积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂.为 了实用的方便，往往把常用的积分公式汇集成表，这种表叫做积分表.积分表是 按照被积函数的类型来排列的.求积分时，可根据被积函数的类型直接地或经过 简单的变形后，在表内查得所需的结果. 本书末附录IV有一个简单的积分表，以供查阅. 我们先举几个可以直接从积分表中查得结果的积分例子. 例 1 求 {width="0.8402285651793526in" height="0.33340879265091866in"} 解 被积函数含有ax+b, 在积分表(一)中查得公式7 {width="2.361143919510061in" height="0.3402635608048994in"} 现 在a=3,b=4, 于 是 {width="0.7013943569553805in" height="0.31248687664041996in"}{width="2.395851924759405in" height="0.3472080052493438in"} 例 2 求 {width="0.6671948818897637in" height="0.29966754155730535in"} 解 被积函数含有三角函数，在积分表(十一)中查得关于积分 的公式，但是公式有两个，要看a²\>b²或 a²\b², 所以用公式105 {width="0.6736537620297463in" height="0.3194313210848644in"} {width="2.833320209973753in" height="0.3819291338582677in"} 于是 {width="0.6736537620297463in" height="0.32637576552930886in"} {width="2.9653160542432198in" height="0.39581692913385824in"} {width="1.388853893263342in" height="0.3888724846894138in"}研拼课 {width="0.7569411636045494in" height="0.40284995625546804in"}下面再举一个需要先进行变量代换，然后再查表求积分的例子. 例 3 求 解 这个积分不能在表中直接查到，需要先进行变量代换. 令 2x=u, 那么 √4x²+9=√u²+3², {width="0.3652734033245844in" height="0.25693350831146106in"}4{width="0.5720155293088364in" height="0.2847101924759405in"}.于是 {width="2.444495844269466in" height="0.6527504374453194in"} 被积函数中含有 √u²+3², 在积分表(六)中查到公式37 {width="1.9166415135608048in" height="0.41673775153105863in"} 现在a=3,x 相当于u, 于是 {width="1.972189413823272in" height="0.43053805774278214in"} 再把u=2x 代入，最后得到 {width="2.8124825021872266in" height="0.4235936132983377in"} {width="1.2638910761154856in" height="0.3610958005249344in"} 最后，举一个用递推公式求积分的例子. 例 4 求 {width="0.6111395450568679in" height="0.29165463692038496in"} 解 在积分表(十一)中查到公式95 {width="2.513911854768154in" height="0.3402635608048994in"} 利用这个公式可以使被积函数中正弦的幂次减少两次，只要重复使用这个 公式，可以使正弦的幂次继续减少，直到求出最后结果为止，这种公式叫做递推 公式. 现在n=4, 于是 {width="2.2222451881014873in" height="0.33331911636045497in"} 对积分 {width="0.5763670166229221in" height="0.27082239720034995in"}用公式93 公你号： 拷 研 速 {width="1.6457819335083115in" height="0.31250984251968505in"} 从而所求积分为 {width="2.756932414698163in" height="0.35414260717410323in"} 一般说来，查积分表可以节省计算积分的时间，但是，只有掌握了前面学过 的基本积分方法才能灵活地使用积分表，而且对一些比较简单的积分，应用基本 积分方法来计算比查表更快些，例如，对 {width="0.8888812335958005in" height="0.2707884951881015in"},用变换u=sin x 很快就 可得到结果.所以，求积分时究竟是直接计算，还是查表，或是两者结合使用，应 该作具体分析，不能一概而论. 在本章结束之前，我们还要指出：对初等函数来说，在其定义区间上，它的原 {width="0.5763899825021872in" height="0.40965223097112863in"}函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数，如 {width="0.5486154855643045in" height="0.28475503062117236in"}{width="0.4101082677165354in" height="0.2937882764654418in"}{width="0.618086176727909in" height="0.31250984251968505in"} 等等，它们的原函数就都不是初等函数. []{#bookmark14 .anchor}习 题 4-5 利用积分表计算下列不定积分： {width="0.7152679352580927in" height="0.3333267716535433in"} {width="0.8611056430446195in" height="0.31250984251968505in"} 5\. {width="0.7083081802274716in" height="0.2430336832895888in"} 7.{width="0.793477690288714in" height="0.2430336832895888in"} 6 {width="0.3888571741032371in" height="0.28475503062117236in"} 11.{width="0.8698556430446194in" height="0.23609470691163603in"} 13\. {width="0.6874923447069117in" height="0.27772747156605426in"} 15\. {width="0.7014129483814523in" height="0.2986329833770779in"} 17.{width="0.7170581802274716in" height="0.27772747156605426in"} 2 {width="0.7222287839020123in" height="0.29160542432195974in"} 4\. {width="0.7361482939632545in" height="0.23609470691163603in"} 6\. {width="0.6597178477690289in" height="0.2430336832895888in"} 8\. {width="0.5833508311461068in" height="0.2916940069991251in"} 10.{width="0.7657141294838146in" height="0.2639391951006124in"} 12.{width="0.49485345581802276in" height="0.25691054243219597in"} 14.{width="0.6198118985126859in" height="0.2985433070866142in"} 16.{width="0.7448337707786526in" height="0.34720363079615046in"} {width="0.618086176727909in" height="0.27772747156605426in"}18. o 19\. 21\. 23\. 25\. {width="0.7361482939632545in" height="0.24303258967629046in"} {width="0.6527569991251093in" height="0.31251093613298336in"} {width="0.6944531933508311in" height="0.2708781714785652in"} {width="0.638902012248469in" height="0.29160433070866143in"} 20\. 22\. 24\. {width="0.7361482939632545in" height="0.26393810148731406in"} {width="0.5972703412073491in" height="0.2985433070866142in"} {width="0.6319422572178478in" height="0.31251093613298336in"} []{#bookmark15 .anchor}总 习 题 四 1\. 填空： \(1\) {width="1.6597014435695538in" height="0.24997265966754156in"} \(2\) {width="2.104701443569554in" height="0.25886811023622047in"} 2\. 以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论： (1)已知.{width="1.0390671478565179in" height="0.2778160542432196in"},且f(1)=1, 则f(x) 等于( ); (A)In(1+2lnx)+1 (B) {width="0.9374726596675416in" height="0.26384951881014873in"} {width="1.2708442694663167in" height="0.26384951881014873in"} (D)2ln(1+2ln x)+1 (2)在下列等式中，正确的结果是( ). \(A\) {width="0.8680664916885389in" height="0.23609470691163603in"} (B) {width="0.7430435258092738in" height="0.24997265966754156in"} \(C\) {width="0.9583530183727034in" height="0.25700021872265966in"} (D)d {width="0.6805325896762905in" height="0.23618438320209975in"} 3 . 已{width="0.4677613735783027in" height="0.28475503062117236in"}f(x) 的一个原函数，求 {width="0.6635936132983377in" height="0.21928149606299213in"} 4\. 求下列不定积分(其中 a,b 为常数): \(1\) {width="0.47224846894138234in" height="0.28475503062117236in"} (2) {width="0.66667760279965in" height="0.284666447944007in"} \(3\) {width="0.9583530183727034in" height="0.2985433070866142in"} (4) {width="0.66667760279965in" height="0.2707884951881015in"} \(5\) {width="0.6250459317585302in" height="0.25691054243219597in"} (6) {width="0.8055544619422572in" height="0.26384951881014873in"} \(7\) {width="0.5208398950131233in" height="0.23609470691163603in"} (8) {width="1.1388615485564304in" height="0.23609470691163603in"} \(9\) {width="0.638902012248469in" height="0.284666447944007in"} {width="1.3125393700787402in" height="0.3403543307086614in"} \(11\) \(13\) \(15\) \(17\) \(19\) \(21\) \(23\) \(25\) \(27\) \(29\) \(31\) \(33\) \(35\) \(37\) \(39\) {width="0.618086176727909in" height="0.3194313210848644in"} ; {width="0.7847397200349956in" height="0.23610017497812774in"} {width="0.6528215223097112in" height="0.32637576552930886in"} {width="0.5763910761154856in" height="0.3055424321959755in"} \* {width="0.7708836395450569in" height="0.23610126859142608in"} {width="0.7083727034120735in" height="0.24304571303587053in"} {width="0.7083081802274716in" height="0.29165463692038496in"} {width="0.48616797900262465in" height="0.2639676290463692in"} {width="0.6597167541557305in" height="0.24999015748031497in"} {width="0.8471861329833771in" height="0.3472080052493438in"} {width="0.7916349518810148in" height="0.2847101924759405in"} {width="1.1180457130358705in" height="0.24998906386701664in"} {width="1.076415135608049in" height="0.24998906386701664in"} {width="0.6528215223097112in" height="0.24999015748031497in"} {width="0.9305774278215223in" height="0.27785542432195975in"} {width="0.5903105861767279in" height="0.24998906386701664in"} {width="0.5151990376202975in" height="0.30673884514435695in"}(12) {width="0.66667760279965in" height="0.2847101924759405in"}(14) {width="0.6805325896762905in" height="0.22915682414698163in"}(16) \* {width="0.569430227471566in" height="0.2847101924759405in"}(18) {width="0.819475065616798in" height="0.6041415135608049in"}(20) \(22\) {width="0.6874923447069117in" height="0.25007874015748033in"}(24) {width="1.1388615485564304in" height="0.31248687664041996in"}(26) \(28\) {width="0.7360837707786526in" height="0.6249748468941382in"} \(30\) {width="0.8263702974628171in" height="0.9652384076990376in"}(32) \(34\) \(36\) {width="0.8333311461067366in" height="0.26396653543307086in"}(38) \(40\) 考 研拼 课 []{#bookmark216 .anchor}第 五 章 定 积 分 本章讨论积分学的另一个基本问题------定积分问题.我们先从几何与力学 问题出发引进定积分的定义，然后讨论它的性质与计算方法.关于定积分的应 用，将在第六章讨论. []{#bookmark17 .anchor}第 一 节 定积分的概念与性质 一 、定积分问题举例 1\. 曲边梯形的面积 设 y=f(x) 在区间上\[a,b\] 上非负、连续.由直线 x=a、x=b、y=0 及曲线y= f(x)所围成的图形(如图5- 1)称为曲边梯 形，其中曲线弧称为曲边. 我们知道，矩形的高是不变的，它的面 积可按公式 矩形面积=高×底 来定义和计算.而曲边梯形在底边上各点处 的高f(x) 在区间\[a,b\] 上是变动的，故它的 面积不能直接按上述公式来定义和计算.然 图5-1 而，由于曲边梯形的高f(x) 在区间\[a,b\] 上是连续变化的，在很小一段区间上它 的变化很小，近似于不变.因此，如果把区间\[a,b\] 划分为许多小区间，在每个小 区间上用其中某一点处的高来近似代替同一个小区间上的窄曲边梯形的变高， 那么,每个窄曲边梯形就可近似地看成这样得到的窄矩形.我们就以所有这些窄 矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值，并把区间\[a,b\] 无限细分下去，即使每 个小区间的长度都趋于零，这时所有窄矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形 的面积.这个定义同时也给出了计算曲边梯形面积的方法，现详述于下. 在区间\[a,b\] 中任意插入若干个分点 把\[a,b\] 分 成 n 个小区间 a=x₀\ i | > x; | > y; | | > 0 | > 0.0 | > 4.00000 | | > 1 | > 0.1 | > 3.96040 | | > 2 | > 0.2 | > 3.84615 | | > 3 | > 0.3 | > 3.66972 | | > 4 | > 0.4 | > 3.44828 | | > 5 | > 0.5 | > 3.20000 | | > 6 | > 0.6 | > 2.94118 | | > 7 | > 0.7 | > 2.68456 | | > 8 | > 0.8 | > 2.43902 | | > 9 | > 0.9 | > 2.20994 | | > 10 | > 1.0 | > 2.00000 | 老 3 泳 00 按梯形法公式(1-5)求得近似值为 S₁=3.13993, 按抛物线法公式(1-6)求得近似值为 S₂=3.14159. 本例所给积分的精确值为 {width="2.1041108923884515in" height="0.3332961504811899in"} 用 S₂ 作为所给积分的近似值，误差小于10-⁵. 计算定积分的近似值的方法很多，这里不再作介绍.随着计算机应用的普 及，定积分的近似计算已变得更为方便，现在已有很多现成的数学软件可用于定 积分的近似计算. ? 四 、定积分的性质 为了以后计算及应用方便起见，对定积分作以下两点补充规定： ( 1 ) 当b=a 时 ，{width="0.8888812335958005in" height="0.32633530183727033in"} ( 2 ) 当a\>b 时 ，{width="1.4721686351706036in" height="0.35417760279965005in"} 由上式可知，交换定积分的上下限时，定积分的绝对值不变而符号相反. 下面讨论定积分的性质.下列各性质中积分上下限的大小，如不特别指明， 均不加限制，并假定各性质中所列出的定积分都是存在的. 性质1 设α与β均为常数，则 {width="3.208533464566929in" height="0.33327537182852146in"}{width="3.013872484689414in" height="0.35417760279965005in"} 证 {width="2.381930227471566in" height="0.36113845144356954in"} {width="1.6735575240594927in" height="0.3332961504811899in"} 性质1对于任意有限个函数的线性组合也是成立的. 性质2 设 a\b 都是成立的. 积分中值公式有如下的几何解释：在区间 \[a,b\] 上至少存在一点ち,使得以区间\[a,b\] 为底 边、以曲线y=f(x) 为曲边的曲边梯形的面积等 于 同 一 底 边 而 高 为f(ξ) 的 一 个 矩 形 的 面 积(图5-5). 按积分中值公式所得 {width="1.3055675853018374in" height="0.34722003499562554in"} {width="1.867998687664042in" height="1.3680719597550306in"} 图5-5 称为函数f(x) 在区间\[a,b\] 上的平均值例如按图5-5,f(ξ)可看作图中曲边梯 形的平均高度.又如物体以变速》(t)做直线运动，在时间区间\[T₁,T₂\] 上经过的 路程为 {width="0.6319772528433946in" height="0.34025371828521433in"},因此， {width="2.2708880139982504in" height="0.36811679790026247in"} 便是运动物体在\[T₁,T₂\] 这段时间内的平均速度. {width="1.2638910761154856in" height="6.944444444444444e-3in"} ①可以证明ξe(a,b), 参阅同济大学数学系编《高等数学附册 学习辅导与习题选解 同济 ·第 七版》第五章第一节释疑解难2. []{#bookmark18 .anchor}习 题 5-1 \*1.利用定积分的定义计算由抛物线y=x²+1 、两直线x=a 、x=b(b\>a) 及 x 轴所围成的图 形的面积. \*2.利用定积分的定义计算下列积分： \(1\) {width="0.7222320647419073in" height="0.2778291776027996in"} (2) {width="0.4166305774278215in" height="0.28470581802274714in"} 3\. 利用定积分的几何意义，证明下列等式： \(1\) {width="0.6602449693788276in" height="0.2714884076990376in"} (2) {width="1.0486089238845144in" height="0.2778291776027996in"} \(3\) {width="0.8263582677165354in" height="0.27773950131233593in"} (4) {width="1.375048118985127in" height="0.34025371828521433in"} 4\. 利用定积分的几何意义，求下列积分： \(1\) {width="0.8402930883639546in" height="0.2708628608923884in"} (2) {width="0.8831660104986877in" height="0.26451443569553806in"} \(3\) {width="0.6736537620297463in" height="0.2778291776027996in"} (4) {width="0.8055839895013124in" height="0.29167104111986003in"} 5\. 设 a\0) 在 x+△x处的函数值为 {width="1.5069149168853893in" height="0.32633530183727033in"} 由此得函数的增量 △Φ=Φ(x+△x)-Φ(x) {width="1.5347200349956256in" height="0.31946412948381453in"} {width="1.798581583552056in" height="1.3332764654418199in"} 图5-6 {width="2.208310367454068in" height="0.34025699912510937in"} {width="0.8888713910761155in" height="0.3332961504811899in"} 再应用积分中值定理，即有等式 △Φ=f(ξ)△x, 这里，ξ在x 与x+△x 之间.把上式两端各除以△x, 得函数增量与自变量增量的比值 {width="0.6736537620297463in" height="0.3332961504811899in"} 由于假设f(x) 在\[a,b\] 上连续，而△x→0 时，ξ→x,因此{width="0.9390069991251093in" height="0.22228674540682414in"} .于 是，令△x→0 对上式两端取极限时，左端的极限也应该存在且等于f(x). 这就是 说，函数Φ(x) 的导数存在，并且 Φ\'(x)=f(x). 若 x=a, 取△x\>0, 则同理可证Φ\'(a)=f(a); 若 x=b, 取△x\<0, 则同理可证 Φ\'(b)=f(b). 定理1证毕 . 这个定理指出了一个重要结论：连续函数f(x) 取变上限x 的定积分然后求 导，其结果还原为f(x)本身.联想到原函数的定义，就可以从定理1推知φ(x) 是连 续函数f(x)的一个原函数.因此，我们引出如下的原函数的存在定理. {width="1.0694455380577428in" height="0.43752405949256346in"}定理2 如果函数f(x) 在区间\[a,b\] 上连续，那么函数 (2-3) 就是f(x)在\[a,b\] 上的一个原函数. 这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方 面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.因此，我们就有可能通 过原函数来计算定积分. []{#bookmark20 .anchor}三 、牛顿- 莱布尼茨公式 现在我们根据定理2来证明一个重要定理------微积分基本定理，它给出了 用原函数计算定积分的公式. 定理3(微积分基本定理) 如果函数 F(x) 是连续函数f(x) 在区间\[a,b\] 上的一个原函数，那么 {width="1.5208497375328085in" height="0.33338582677165357in"} (2-4) 证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据定理2知道，积 分上限的函数 {width="1.0416404199475067in" height="0.31250437445319335in"} 也是f(x)的一个原函数.于是这两个原函数之差 F(x)-Φ(x) 在\[a,b\] 上必定是 某一个常数C (第四章第一节),即 F(x)-Φ(x)=C(a≤x≤b). (2-5) 在上式中令x=a, 得 F(a)-Φ(a)=C. 又由Φ(x) 的定义式(2-3)及上节定 积分的补充规定(1)可知φ(a)=0, 因此，C=F(a). 以 F(a) 代入(2-5)式中的 C,以 {width="0.5416579177602799in" height="0.31250437445319335in"}t代人(2-5)式中的Φ(x),可得 {width="1.5972342519685039in" height="0.31946522309711284in"} 在上式中令x=b, 就得到所要证明的公式(2-4). 由上节定积分的补充规定(2)可知，(2-4)式对 a\>b 的情形同样成立. 为了方便起见，以后把F(b)-F(a) 记成\[F(x)\]。,于是(2-4)式又可写成 {width="1.3264052930883639in" height="0.34025699912510937in"} 公式(2-4)叫做牛顿(N ewton)-莱布尼茨(Leibniz)公式①,也叫做微积分基 ①牛顿(Isaac Newton,1642---1727) 英国数学家、物理学家，微积分的奠基者.牛顿的微积分学说 最早的公开表述是在1687年出版的巨著《自然哲学之数学原理》中. 莱布尼茨(Gotfried Wilhelm Leibniz,1646---1716) 德国数学家，微积分的另一个奠基者.微积分基本 定理的陈述最早出现在莱布尼茨1677年的一篇手稿中 本公式.这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的 联系.它表明：一个连续函数在区间\[a,b\] 上的定积分等于它的任一个原函数在 区间\[a;b\] 上的增量.这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简 化了定积分的计算手续. 下面我们举几个应用公式(2-4)来计算定积分的简单例子. 例 1 计算第一节中的定积分 {width="0.49307852143482067in" height="0.340252624671916in"} 解 由 {width="0.2500546806649169in" height="0.30757108486439194in"}是 x²的一个原函数，所以按牛顿-莱布尼茨公式，有 {width="0.5764304461942257in" height="0.35418525809273843in"}{width="2.2221806649168854in" height="0.36811679790026247in"} 例 2 计算 解 由 于arctan x {width="0.41669510061242343in" height="0.33328740157480313in"}的一个原函数，所以 {width="2.8194499125109362in" height="0.35418525809273843in"} {width="0.4374682852143482in" height="0.3473086176727909in"}{width="1.1597014435695538in" height="0.3264107611548556in"} 例 3 计算 解 当 x\<0 时，{width="0.1874770341207349in" height="0.27773950131233593in"}的一个原函数是Inlxl,现在积分区间是\[-2,-1\],所以按 牛顿-莱布尼茨公式，有 {width="2.2846937882764653in" height="0.33328740157480313in"} {width="1.8819346019247594in" height="0.8819805336832895in"}通过例3,我们应该特别注意：公式(2-4)中的函数 F(x) 必须是f(x) 在 该 积分区间\[a,b\] 上的原函数. 例 4 计算正弦曲线y=sin x 在\[0,π\]上 与 x 轴所围成的平面图形(图5-7)的面积. 解 这图形是曲边梯形的一个特例.它的 面积 图5-7 {width="0.9027427821522309in" height="0.3124792213473316in"} 由于-cos x是 sin x的一个原函数，所以 考研拼课 {width="2.9513801399825024in" height="0.3194455380577428in"} 例 5 汽车以每小时36 km 速度在直道上行驶，到某处需要减速停车.设汽 车以等加速度a=-5m/s² 刹车.问从开始刹车到停车，汽车驶过了多少距离? 解 首先要算出从开始刹车到停车经过的时间.设开始刹车的时刻为t=0, 此时汽车速度 {width="2.347208005249344in" height="0.29854768153980754in"} 刹车后汽车减速行驶，其速度为 v(t)=vo+at=10-5t. 当汽车停住时，速度v(t)=0, 故从 v(t)=10-5t=0 解得 {width="0.7916491688538932in" height="0.3124792213473316in"} 于是在这段时间内，汽车所驶过的距离为 {width="3.381946631671041in" height="0.35409558180227474in"} 即在刹车后，汽车需驶过10 m 才能停住. 例 6 证明积分中值定理：若函数f(x) 在闭区间\[a,b\] 上连续，则在开区间 (a,b) 内至少存在一点ζ,使 {width="2.20837489063867in" height="0.3264107611548556in"} 证 因f(x) 连续，故它的原函数存在，设为F(x), 即设在\[a,b\] 上 F\'(x)= f(x). 根据牛顿-莱布尼茨公式，有 {width="1.6736187664041995in" height="0.34025371828521433in"} 显然函数 F(x) 在区间\[a,b\] 上满足微分中值定理的条件，因此按微分中值 定理，在开区间(a,b) 内至少存在一点ξ,使 F(b)-F(a)=F\'(ξ)(b-a),ξ∈(a,b), 故 {width="2.125021872265967in" height="0.34025371828521433in"} 本例的结论是上一节所述积分中值定理的改进.从本例的证明中不难看出 积分中值定理与微分中值定理的联系. 下面再举几个应用公式(2-2)的例研拼课 例7 设f(x) 在(0,+∞)内连续且f(x)\>0. 证明函数 {width="1.0624595363079614in" height="0.6666819772528434in"} 在(0,+∞)内为单调增加函数. 证由公式(2-2),得 {width="1.0915037182852143in" height="0.2922594050743657in"}{width="1.3411286089238845in" height="0.2856867891513561in"} 故 {width="2.451388888888889in" height="0.6805139982502187in"} {width="1.4305205599300088in" height="0.6597222222222222in"} 按假设，当0\0,(x-t)f(t)\>0, 按例6所述积分中值定理 可知 {width="0.8691393263342082in" height="0.285330271216098in"}{width="1.3541830708661418in" height="0.30554352580927385in"} 所以F\'(x)\>0(x\>0), 从而F(x) 在(0,+∞)内为单调增加函数. {width="0.9444663167104111in" height="0.49998906386701664in"} 例 8 {width="0.25697615923009626in" height="0.31946412948381453in"} 解 易知这是一 型的未定式，我们利用洛必达法则来计算.分子可写成 {width="0.8125218722659667in" height="0.33338582677165357in"} 它是以 cosx 为上限的积分，作为 x 的函数可看成是以u=cos x 为中间变量的复 合函数，故由公式(2-2)有 {width="1.8680719597550306in" height="0.32633530183727033in"} {width="1.9583595800524933in" height="0.3332961504811899in"} =-e-·(-sin x)三 提 因此 {width="2.1462281277340334in" height="0.487496719160105in"} []{#bookmark21 .anchor}习 题 5-2 {width="1.5347583114610674in" height="0.30554352580927385in"}1. 试求函数 {width="0.6388582677165354in" height="0.25690944881889766in"} {width="1.2014435695538057in" height="0.25699912510936135in"}2. 求由参数表达式 {width="0.8541786964129484in" height="0.2916229221347332in"}3. 求由 4\. 当 x 为何值时，函数 5\. 计算下列各导数： {width="0.9930971128608924in" height="0.26387029746281715in"}(1) {width="0.9027449693788276in" height="0.31250437445319335in"} ; 当x=0 及 {width="0.33331364829396326in" height="0.23611767279090115in"}时的导数. 所确定的函数对 x的 导{width="0.29031933508311464in" height="0.25003937007874016in"} 所确定的隐函数对x 的导数{width="0.3293132108486439in" height="0.27083114610673664in"} 有极值? {width="0.8680632108486439in" height="0.3749693788276465in"} \(2\) \(3\) {width="1.048575021872266in" height="0.27083114610673664in"} 6\. 证明.f(x)=「, √ 1+t³dt在\[-1,+∞\]上是单调增加函数，并求(f¹)\'(0). 7\. 设f(x) 具有三阶连续导数，y=f(x) 的图形如图5-8所示. 问下列积分中的哪一个积 分值为负? \(A\) (B) (C) \(D\) {width="0.6874890638670166in" height="1.2222670603674541in"} {width="2.0346970691163606in" height="1.0139009186351706in"} 图5 - 8 8\. 计算下列各定积分： {width="1.0555489938757656in" height="0.6318799212598425in"}(1) (2) {width="0.8333825459317585in" height="0.3403455818022747in"} \(3\) (4) {width="0.6250371828521435in" height="0.3819302274715661in"} \(5\) {width="0.7777766841644794in" height="0.36113845144356954in"} (6) {width="0.5833158355205599in" height="0.2861089238845144in"} \(7\) {width="0.6179975940507436in" height="0.34025699912510937in"} (8) {width="1.1319510061242344in" height="0.29858377077865267in"} {width="0.5555457130358705in" height="0.2847517497812773in"} 0 详 ； \(11\) {width="0.881903980752406in" height="0.298672353455818in"} \(12\) {width="0.4873086176727909in" height="0.2777919947506562in"},其中.{width="1.359070428696413in" height="0.4236034558180227in"} 9\. 设 k∈N. 试证下列各题： {width="0.8750021872265967in" height="0.5902077865266842in"} 10\. 设 k 、l∈N, 且 k≠l. 证 明 ： \(1\) {width="1.1527985564304462in" height="0.27083114610673664in"} (2) {width="1.1666688538932632in" height="0.27083114610673664in"} \(3\) {width="1.1319608486439194in" height="0.27083114610673664in"} 11\. 求下列极限： {width="0.9934186351706037in" height="0.4099387576552931in"} ② {width="0.81248687664042in" height="0.5971675415573053in"} 1 2 . 设 {width="1.3402755905511812in" height="0.3506966316710411in"} 求 {width="0.8680336832895889in" height="0.26039041994750656in"}t 在\[0,2\]上的表达式，并讨论Φ(x) 在(0,2)内的连续性。 1 3 . 设 {width="0.8750010936132984in" height="0.26387029746281715in"}{width="1.6532195975503061in" height="0.49337160979877515in"} 在 ( - ∞ , + ∞ ) 内 的 表 达 式 . 14\. 设 f(x) 在\[a,b\] 上连续，在(a,b) 内可导且f(x)≤0, {width="1.0902843394575679in" height="0.2847517497812773in"} {width="0.965320428696413in" height="0.2777909011373578in"}证 明 在(a,b) 内 有F\'(x)≤0. {width="0.7152646544181978in" height="0.20140529308836397in"}15 . 设 t,求 F\'(0). 16\. 设 f(x) 在(0,+∞)内连续，」 1.证明函数 {width="0.9583530183727034in" height="0.2777023184601925in"} 满足方程 {width="0.6157797462817148in" height="0.25699912510936135in"},并求{width="0.5317957130358705in" height="0.18748468941382326in"} []{#bookmark225 .anchor}第 三 节 定积分的换元法和分部积分法 由上节结果知道，计算定积分 {width="0.6041721347331583in" height="0.31946412948381453in"}的简便方法是把它转化为求f(x) 的 原函数的增量.在第四章中，我们知道用换元积分法和分部积分法可以求出一些 函数的原函数.因此，在一定条件下，可以用换元积分法和分部积分法来计算定 积分.下面就来讨论定积分的这两种计算方法. 一 、定积分的换元法 为了说明如何用换元法来计算定积分，先证明下面的定理： 定理 假设函数f(x)在区间\[a,b\] 上连续，函数x=φ(t)满足条件： (1)φ(α)=a,φ(β)=b; {width="1.9652854330708662in" height="0.326424978127734in"}(2)φ(t) 在\[α,β\](或\[β,α\])上具有连续导数，且其值域 R=\[a,b\]①, 则有 (3-1) 公式(3-1)叫做定积分的换元公式. 证 由假设可以知道，上式两边的被积函数都是连续的，因此不仅上式两边 的定积分都存在，而且由上节的定理2知道，被积函数的原函数也都存在.所以， (3-1)式两边的定积分都可应用牛顿-莱布尼茨公式.假设F(x) 是 f(x) 的一个 原函数，则 {width="1.6736187664041995in" height="0.326424978127734in"} 另一方面，记Φ(t)=F\[φ(t)\], 它是由F(x) 与 x=φ(t) 复合而成的函数.由复合 函数求导法则，得 {width="2.7986122047244093in" height="0.31946412948381453in"} 这表明Φ(t) 是f\[φ(t)\]φ\'(t) 的一个原函数.因此有 {width="2.3680457130358703in" height="0.31946522309711284in"} 又由Φ(t)=F\[φ(t)\]及φ(α)=a,φ(β)=b可知 {width="1.2638910761154856in" height="6.944444444444444e-3in"} ①当φ(t)的值域R。超出\[a,b\],但φ(t1)满足基余条螺只要f(x)在R。上连续，则定理的结论仍 成立. *Φ(β)-Φ(α)=F\[φ(β)\]-F\[φ(α)\]=F(b)-F(a).* 所以 {width="2.430528215223097in" height="0.3332961504811899in"} {width="1.4166349518810148in" height="0.3332972440944882in"} 这就证明了换元公式. 在定积分 {width="0.6388571741032371in" height="0.31250437445319335in"}中的dx, 本来是整个定积分记号中不可分割的一部分， 但由上述定理可知，在一定条件下，它确实可以作为微分记号来对待.这就是说， 应用换元公式时，如果把 {width="0.6597178477690289in" height="0.35417760279965005in"}中的x 换成φ(t), 则 dx 就换成φ\'(t)dt, 这 正 好是x=φ(t)的微分dx. 应用换元公式时有两点值得注意：(1)用x=φ(t)把原来变量x 代换成新变 量 t 时，积分限也要换成相应于新变量t 的积分限；(2)求出f\[φ(t)\]φ\'(t) 的 一 个原函数Φ(t)后，不必像计算不定积分那样再要把Φ(t)变换成原来变量x 的 函数，而只要把新变量t 的上、下限分别代入Φ(t) 中然后相减就行了. 例 1 计算 {width="1.305615704286964in" height="0.30554352580927385in"} 解 设x=asin t,则 dx=acos tdt, 当 x=0 时，取t=0; 当 x=a 时，取 {width="0.3819455380577428in" height="0.2916229221347332in"} 于是 {width="3.12499343832021in" height="0.3680982064741907in"} {width="1.5069225721784776in" height="0.3888899825021872in"} 换元公式也可反过来使用.为使用方便起见，把换元公式中左右两边对调位 置，同时把t 改记为x, 而 x 改记为t, 得 {width="1.993041338582677in" height="0.326424978127734in"} {width="0.965262467191601in" height="0.35417760279965005in"}这样，我们可用t=φ(x) 来引入新变量t, 而α=φ(a),β=φ(b). 例 2 计算 解 设 t=cos x,则 dt=-sin xdx,且 当 x=0 时，运1; 考 当 {width="0.2361165791776028in" height="0.29171259842519687in"}时 ，t=0. 于是 {width="3.020820209973753in" height="0.3750590551181102in"} 在例2中，如果我们不明显地写出新变量t, 那么定积分的上、下限就不要变 更.现在用这种记法写出计算过程如下： {width="2.215272309711286in" height="0.3680982064741907in"} {width="1.2916666666666667in" height="0.31250437445319335in"}{width="1.7430391513560806in" height="0.3749693788276465in"} {width="0.4028051181102362in" height="0.298672353455818in"}例 3 计算 解 由于 √sin³x-sin³x=√sin³x(1-sin²x)=sin²x·Icos lcosxl=cos x;在 {width="0.4583475503062117in" height="0.30554352580927385in"}上 ，Icos xl=-cos x,所 以 {width="3.8124825021872266in" height="0.40281167979002624in"} {width="2.3958475503062115in" height="0.8472069116360454in"} {width="1.0417279090113736in" height="0.33338582677165357in"} 注意 如果忽略 在{width="0.5048950131233596in" height="0.29858377077865267in"}上非正，而按 {width="1.5694389763779528in" height="0.22219706911636045in"} 计算，将导致错误. 例 4 计 算 {width="0.7708016185476816in" height="0.3819302274715661in"} 解 设 √2x+1=t, 则 {width="0.4583475503062117in" height="0.31250437445319335in"},dx=dz, 且 当 x=0 时 ，t=1; 当 x=4 时 ，t=3. 于是 {width="2.972253937007874in" height="0.58333552055993in"} {width="2.618079615048119in" height="0.3749693788276465in"} 例5 证明： ( 1 ) 若f(x)在\[-a,a\]上连续且为偶函数，则 {width="1.534757217847769in" height="0.31946522309711284in"} (2)若f(x) 在\[-a,a\] 上连续且为奇函数，则 {width="0.9652613735783027in" height="0.31946522309711284in"} 证 因为 {width="2.2708136482939634in" height="0.34025699912510937in"} 对积分 {width="0.6597178477690289in" height="0.31937554680664915in"}作代换x=-t, 则得 {width="3.354199475065617in" height="0.34025699912510937in"} 于是 {width="2.243043525809274in" height="0.31946412948381453in"} {width="1.5555533683289589in" height="0.30554352580927385in"} (1)若f(x)为偶函数，则 f(x)+f(-x)=2f(x), 从而 {width="1.5000120297462818in" height="0.31250437445319335in"} (2)若f(x)为奇函数，则 *f(x)+f(-x)=0,* 从而 {width="0.9166951006124234in" height="0.326424978127734in"} 利用例5的结论，常可简化计算偶函数、奇函数在对称于原点的区间上的定 积分. 例6 设f(x)在\[0,1\]上连续，证明： {width="2.08332895888014in" height="0.3332961504811899in"}{width="2.159730971128609in" height="0.34025699912510937in"} ② 研此计算 {width="0.8402285651793526in" height="0.3332961504811899in"} 证 ( 1 ) 设 {width="0.500003280839895in" height="0.25690944881889766in"},则 dx=-dt, 且 当 x=0 时 {width="0.3471992563429571in" height="0.25691054243219597in"}; 当 {width="0.34726377952755905in" height="0.24994969378827647in"}时 ，t=0. 于是 {width="2.368011811023622in" height="0.3888899825021872in"} {width="2.0000164041994752in" height="0.36113845144356954in"} ( 2 ) 设x=π-t, 则 dx=-dt, 且 当 x=0 时 ，t=π; 当 x=π 时 ，t=0. 于是 {width="2.8680161854768156in" height="0.35417760279965005in"} {width="1.4166994750656168in" height="0.31946412948381453in"} {width="1.9791557305336833in" height="0.31946412948381453in"} {width="2.1388702974628173in" height="0.31937554680664915in"} 所以 {width="2.062468285214348in" height="0.31250437445319335in"} 利用上述结论，即得 {width="3.319453193350831in" height="0.3332961504811899in"} {width="1.4305850831146107in" height="0.26387029746281715in"} {width="1.2986406386701663in" height="0.3750590551181102in"} 例 7 设f(x) 是连续的周期函数，周期为T, 证明： \(1\) {width="1.4513812335958005in" height="0.3263363954505687in"} {width="3.0833366141732284in" height="0.3888899825021872in"} {width="1.1458366141732284in" height="0.3264107611548556in"} 证 ( 1 ) 记 {width="1.173607830271216in" height="0.3264107611548556in"},则 {width="3.7569411636045493in" height="0.32632108486439193in"} 知 Φ(a) 与 a 无关，因此Φ(a)=Φ(0), 即 {width="1.9097287839020123in" height="0.36115048118985127in"}{width="1.4374956255468065in" height="0.34722003499562554in"} \(2\) ,由(1)知 {width="1.62498031496063in" height="0.35418525809273843in"} 因此 {width="1.5625284339457568in" height="0.34025371828521433in"} 由于 √ 1+sin 2x 是以π为周期的周期函数，利用上述结论，有 {width="4.034714566929134in" height="0.33328740157480313in"} {width="2.9999595363079616in" height="0.39580161854768153in"} {width="1.31252624671916in" height="0.37499343832021in"}{width="2.7291622922134735in" height="0.3124792213473316in"} 例 8 计 算 {width="1.9166393263342083in" height="0.340343394575678in"}{width="1.8610968941382326in" height="0.34025371828521433in"} 解 {width="3.548594706911636in" height="0.37499343832021in"} {width="0.5347495625546806in" height="0.2638976377952756in"}当 x=0 时， ;x=3 时，{width="0.4652580927384077in" height="0.2638976377952756in"} 于是 {width="4.305576334208224in" height="0.4166097987751531in"} {width="2.2643733595800524in" height="0.44483595800524933in"} {width="3.1597397200349957in" height="0.4097331583552056in"} {width="2.104189632545932in" height="0.3958027121609799in"} 例 9 设函数 {width="0.9027449693788276in" height="0.3264107611548556in"}{width="1.743190069991251in" height="0.5355949256342957in"} 计算 解 设 x-2=t, 则 dx=dt, 且 当 x=1 时 ，t=-1; 当 x=4 时 ，t=2. 于是 {width="3.215281058617673in" height="0.34025371828521433in"} {width="2.5624726596675416in" height="0.36106189851268594in"} []{#bookmark23 .anchor}二 、定积分的分部积分法 依据不定积分的分部积分法，可得 简记作 或 {width="2.2499540682414696in" height="0.34722003499562554in"} {width="2.076417322834646in" height="0.30560258092738407in"} {width="2.1458453630796153in" height="0.34025371828521433in"} {width="1.7361286089238845in" height="0.34025371828521433in"} {width="1.4722419072615922in" height="0.34025371828521433in"} (3-2) 公式(3-2)叫做定积分的分部积分公式.公式表明原函数已经积出的部分 可以先用上、下限代入. {width="0.8610892388451443in" height="0.368079615048119in"} 例10 计算 {width="2.7916786964129483in" height="0.45831583552055993in"} 解 {width="2.4931102362204722in" height="0.3333934820647419in"} 例11 计算 {width="0.5138888888888888in" height="0.33330489938757657in"} 解 先用换元法.令 √x=t, 则 x=t²,dx=2tdt, 且 当 x=0 时 ，t=0; 当 x=1 时 ，t=1. 于是 {width="3.138879046369204in" height="0.3333934820647419in"} =2(e-\[e\'\] 。)=2\[e-(e-1)\]=2. 例12 证明定积分公式(见附录IV积分表公式147): {width="1.7916699475065616in" height="0.36112423447069114in"} {width="2.166641513560805in" height="0.736159230096238in"} 十1的正 {width="1.4861264216972878in" height="0.35416994750656167in"} 证 {width="3.0624759405074364in" height="0.354080271216098in"} 右端第一项等于零；将第二项里的cos²x 写成1 -sin²x, 并把积分分成两个，得 {width="2.7013910761154856in" height="0.3749453193350831in"} =(n-1)In-2-(n-1)I, 由此得 {width="0.7222353455818022in" height="0.3194838145231846in"} 这个等式叫做积分 I 关于下标的递推公式. 如果把 n 换成 n-2, 那么得 {width="0.8194969378827647in" height="0.30557414698162727in"} 同样地依次进行下去，直到I 的下标递减到0或1为止.于是， {width="2.4582928696412947in" height="0.2858180227471566in"} {width="3.4583727034120737in" height="0.3124387576552931in"} 而 {width="0.9384820647419072in" height="0.3266491688538933in"}{width="1.236124234470691in" height="0.33330489938757657in"} 因此 {width="2.63911854768154in" height="0.30557414698162727in"} {width="3.312478127734033in" height="0.3194838145231846in"} {width="0.6319477252843395in" height="0.3472145669291339in"}{width="0.6388582677165354in" height="0.34025918635170604in"} 至于定积分 与 相等，由本节例6(1.)即可知道，证毕. 1\. 计算下列定积分： \(1\) {width="1.027778871391076in" height="0.3125284339457568in"} \(3\) {width="0.9513768591426072in" height="0.30557414698162727in"} \(5\) {width="0.6319477252843395in" height="0.34025918635170604in"} \(7\) {width="0.9444017935258092in" height="0.3194838145231846in"} \(9\) {width="1.4582906824146982in" height="0.27775371828521433in"} \(11\) {width="0.7083497375328084in" height="0.3194838145231846in"} \(13\) {width="0.8541786964129484in" height="0.32634951881014873in"} []{#bookmark24 .anchor}习 题 5-3 (2){width="0.9187981189851269in" height="0.30557414698162727in"} \(4\) {width="0.8749748468941382in" height="0.27079833770778655in"} \(6\) {width="0.8541786964129484in" height="0.30557414698162727in"} \(8\) {width="0.8124584426946632in" height="0.37503390201224845in"} \(10\) {width="0.8541786964129484in" height="0.35416994750656167in"} \(12\) {width="0.569430227471566in" height="0.34025918635170604in"} (14 {width="1.1944685039370078in" height="0.40972003499562554in"}; {width="0.8958344269466316in" height="0.35418525809273843in"}{width="1.0069181977252843in" height="0.3124792213473316in"}{width="0.7361198600174979in" height="0.3332884951881015in"}{width="0.8610892388451443in" height="0.29863735783027123in"}{width="1.2291491688538934in" height="0.6666655730533684in"} 2\. 设f(x) 在\[a,b\] 上连续，证明： {width="1.6389315398075242in" height="0.29863735783027123in"} 3\. 证明：{width="1.3749792213473315in" height="0.3124792213473316in"}x \>0). 4\. 证明：{width="2.6527602799650043in" height="0.29863735783027123in"} 5\. 设f(x) 在\[0,1\]上连续，n∈Z, 证明： {width="3.1319685039370078in" height="0.3680282152230971in"} 6\. 若f(t)是连续的奇函数，证明 {width="0.4583475503062117in" height="0.29167104111986003in"}是偶函数；若f(t) 是连续的偶函数，证明 {width="0.43748687664041996in" height="0.2638976377952756in"}t是奇函数. 7\. 计算下列定积分： \(1\) {width="0.4951093613298338in" height="0.2651563867016623in"} (2) {width="0.5555457130358705in" height="0.2708628608923884in"} \(3\) {width="0.8541786964129484in" height="0.3194455380577428in"}为常数); (4) {width="0.6597178477690289in" height="0.3333770778652668in"} \(5\) {width="0.5625207786526684in" height="0.34722003499562554in"} (6) {width="0.7777766841644794in" height="0.30560258092738407in"} \(7\) {width="0.7500054680664917in" height="0.30551399825021874in"} (8) {width="0.6250371828521435in" height="0.29167104111986003in"} \(9\) {width="0.8333180227471566in" height="0.2778291776027996in"} (10) {width="0.7916622922134733in" height="0.2638976377952756in"} \(11\) {width="0.7292104111986002in" height="0.3124792213473316in"}e (12) {width="1.4652657480314961in" height="0.28470581802274714in"} {width="1.8125306211723535in" height="0.3194455380577428in"} []{#bookmark25 .anchor}第 四 节 反 常 积 分 在一些实际问题中，常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函 数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分了.因此，我们对定积分作如下两 种推广，从而形成反常积分的概念. 一 、无穷限的反常积分 {width="0.89583552055993in" height="0.3124792213473316in"}设函数f(x) 在区间(a,+∞) 上连续，任取 t\>a, 作定积分 {width="0.576405293088364in" height="0.29863735783027123in"},再求 极限： (4-1) 这个对变上限定积分的算式(4-1)称为函数f(x) 在无穷区间(a,+∞) 上的反常 积分，记为 {width="0.6736034558180227in" height="0.31072944006999126in"},即 {width="1.7430391513560806in" height="0.3333770778652668in"} 根据算式(4-1)的结果是否存在，可引入反常积分 的定义如下： {width="0.6538615485564304in" height="0.2949103237095363in"} (4-1\') 收敛与发散 定义1(1)设函数f(x)在区间\[a,+∞\] 上连续，如果极限(4-1)存在，那 么称反常积分 {width="0.7083497375328084in" height="0.3125688976377953in"}收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限(4-1) 不存在，那么称反常积分 {width="0.6736034558180227in" height="0.3194455380577428in"}发散. 类似地，设函数f(x)在区间\[-∞,b\]上连续，任取t\0. {width="0.5833803587051618in" height="0.22915791776027997in"}解 {width="2.9375076552930883in" height="0.7708202099737533in"} {width="0.6388582677165354in" height="0.2777909011373578in"} 图5-9 {width="2.347215660542432in" height="0.7568996062992126in"} {width="0.8610892388451443in" height="0.31946412948381453in"}注意，上式中的极 "是未定式，可用洛必达法则确定. 例 3 证明反常积分 )当p\>1 时收敛；当p≤1 时发散. 证 当p=1 时 ， {width="2.076417322834646in" height="0.326424978127734in"} 当 p≠1 时 ， {width="1.9174311023622048in" height="0.6187270341207349in"} {width="0.500003280839895in" height="0.3680457130358705in"}因此，当p\>1 时，这反常积分收敛，其值 ;当p≤1 时，这反常积分发散. []{#bookmark26 .anchor}二 、无界函数的反常积分 现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形. 如果函数f(x)在 点a 的任一邻域内都无界，那么点a 称为函数f(x) 的瑕点 (也称为无界间断点).无界函数的反常积分又称为瑕积分. {width="0.569430227471566in" height="0.31942585301837273in"}设函数f(x) 在区间(a,b) 上连续，点a 为f(x) 的瑕点.任取 t\>a, 作定积分 {width="0.8680632108486439in" height="0.34025043744531935in"},再求极限 (4-4) {width="0.6319477252843395in" height="0.3263976377952756in"}这个对变下限的定积分求极限的算式(4-4)称为函数f(x) 在区间(a,b) 上的反 {width="1.5277832458442695in" height="0.34025043744531935in"}常积分，仍然记为 (4-4\') 根据算式(4-4)的结果是否存在，可引入反常积分 {width="0.5504724409448819in" height="0.2991972878390201in"} 收敛与发散的 定义如下： 定义2 (1)设函数f(x) 在区间\[a,b\] 上连续，点 a 为f(x) 的瑕点，如果极 限(4-4)存在，那么称反常积分 {width="0.5902909011373578in" height="0.3472211286089239in"}收敛，并称此极限为该反常积分的值； 如果极限(4-4)不存在，那么称反常积分 {width="0.5555457130358705in" height="0.3125437445319335in"}发散. 类似地，设函数f(x) 在区间(a,b) 上连续，点 b 为 f(x) 的瑕点 .任取 t\1 时收敛，当p≤1 时发散.因 此，取 {width="0.8888593613298338in" height="0.31250328083989504in"}0),立即可得下面的反常积分的比较审敛法. 定理3(比较审敛法1) 设函数f(x) 在区间(a,+∞)(a\>0) 上连续，且 f(x)≥0. 如果存在常数M\>0 及 p\>1, 使得 {width="1.402749343832021in" height="0.30554352580927385in"}),那么反常积分 {width="0.7292104111986002in" height="0.30554352580927385in"}收敛；如果存在常数N\>0, 使 {width="1.6041196412948382in" height="0.2916229221347332in"},那么反常积 分 {width="0.7360553368328959in" height="0.298672353455818in"}发散. 例 1 判定反常积分 {width="0.6874890638670166in" height="0.39585083114610675in"}的收敛性. 解 由 于 {width="1.2846916010498688in" height="0.3888899825021872in"} 根据比较审敛法1,这个反常积分收敛. 以比较审敛法1为基础，可以得到在应用上较为方便的极限审敛法. 定理4(极限审敛法1)设函数f(x)在区间(a,+∞) 上连续，且f(x)≥0.如果 存在常数p\>1, 使 得 {width="1.194403980752406in" height="0.22219706911636045in"},那么,反常积分 {width="0.660239501312336in" height="0.2928423009623797in"} 收敛；如果 {width="0.9818646106736658in" height="0.22219706911636045in"} ( 或{width="1.030563210848644in" height="0.22219706911636045in"},那么反常积分 {width="0.7102034120734908in" height="0.31250437445319335in"}发散. 证 由假设{width="1.2573611111111112in" height="0.22228674540682414in"}).根据极限的定义，存在充分大的x₁(x₁≥ a,x₁\>0), 当 x\>x₁ 时，必有 Ix\"f(x)-cl\<1, 由此得 0≤x\"f(x)\<1+c. 令1+c=M\>0, 于是在区间x₁\x₁ 时，必有 {width="0.9444663167104111in" height="0.2917115048118985in"} 由此得 {width="0.6389227909011373in" height="0.31250437445319335in"} ( 当{width="0.9198982939632546in" height="0.22915791776027997in"}时，可取任意正数作为d.) 令 {width="0.5879221347331584in" height="0.31946522309711284in"},于是在区间x₁\0) 的收敛性. 解 因为le⁻"\*sin bxl≤e⁻\*,而 {width="0.5920133420822398in" height="0.2811286089238845in"}收敛，根据比较审敛法1,反常积分 {width="1.097205818022747in" height="0.31250437445319335in"}收敛. 由定理5可知所给反常积分收敛. 二 、无界函数的反常积分的审敛法 对于无界函数的反常积分，也有类似的审敛法. 由上节例6知道，反常积分 {width="0.7430304024496938in" height="0.3750590551181102in"} 当 q \<1 时收敛，当 q≥1 时发散.于是，与定理3、定理4类似可得如下两个 审敛法： 定理6(比较审敛法2)设函数f(x) 在区间\[a,b\]上连续，且f(x)≥0,x=a 为f(x) 的瑕点如果存在常数 从 想 多 雄 便 得 {width="0.9236056430446195in" height="0.31939523184601926in"} (a\0, 使得 {width="0.7013746719160106in" height="0.29166338582677165in"} (a\0 均收 敛 .T 函数的图形如图5-11所示. 其次讨论 T 函数的几个重要性质 图5-11 1\. 递推公式 T(s+1)=sI(s)(s\>0). 证 应用分部积分法，有 {width="2.361101268591426in" height="0.35416994750656167in"} {width="2.298698600174978in" height="0.27775371828521433in"} 其中{width="0.7209765966754156in" height="0.21524825021872265in"} 可由洛必达法则求得. 显然，{width="1.33332239720035in" height="0.2986187664041995in"} 研拼课 反复运用递推公式，便有 T(2)=1·T(1)=1, T(3)=2·T(2)=2!, T(4)=3·T(3)=3!, {width="0.576405293088364in" height="3.477471566054243e-2in"} 一般地，对任何正整数 n, 有 T(n+1)=n!, 所以，我们可以把I 函数看成是阶乘的推广. 2\. 当 s→0\* 时 ，T(s)→+∞ . 证 因为 {width="1.7013823272090989in" height="0.2708869203849519in"}{width="0.9236056430446195in" height="0.2986187664041995in"},T(1)=1, 所以当s→O\*时 ，T(s)→+∞①. 3\. \<1). 这个公式称为余元公式，在此我们不作证明. 当 {width="0.3402241907261592in" height="0.3125284339457568in"}时，由余元公式可得 {width="0.7846872265966754in" height="0.33330489938757657in"} {width="1.4583552055993in" height="0.33330489938757657in"}4 . 在 {width="1.263895450568679in" height="0.3194838145231846in"} 中，作代换x=u², 有 (5-2) 再令2s-1=t 或 {width="0.43051181102362207in" height="0.2847080052493438in"},即有 {width="1.6666371391076116in" height="0.32643810148731406in"}(t\>-1). 上式左端是实际应用中常见的积分，它的值可以通过上式用I 函数计算出来. 在(5-2)中，令 {width="0.34028871391076115in" height="0.2985290901137358in"},得 从而 {width="1.263895450568679in" height="6.955380577427821e-3in"} ①T 函数在s\>0时连续. {width="1.6255293088363953in" height="0.3071511373578303in"} 考 研拼 课 公众 {width="1.0138932633420823in" height="0.34025918635170604in"} 上式左端的积分是在概率论中常用的积分 . []{#bookmark29 .anchor}习 题 5-5 1\. 判定下列反常积分的收敛性： \(1\) {width="0.8749748468941382in" height="0.30557414698162727in"} (2) {width="0.7648042432195975in" height="0.32157699037620296in"} \(3\) {width="0.7777766841644794in" height="0.29166338582677165in"} (4) {width="0.89583552055993in" height="0.2986187664041995in"} \(5\) {width="0.8610826771653544in" height="0.25243000874890636in"} (6) {width="0.6319466316710411in" height="0.30557414698162727in"} \(7\) {width="0.7014391951006125in" height="0.33330489938757657in"} (8) {width="0.9166305774278215in" height="0.3264391951006124in"} 2\. 设反常积分 {width="0.6597178477690289in" height="0.27079833770778655in"}收敛，证明反常积分 {width="0.6528073053368328in" height="0.29166338582677165in"}绝对收敛. 3\. 用 I 函数表示下列积分，并指出这些积分的收敛范围： \(1\) {width="1.0138932633420823in" height="0.2847976815398075in"} (2) {width="0.8055468066491689in" height="0.30557414698162727in"} \(3\) {width="1.1597222222222223in" height="0.27088801399825024in"} 4\. 证明 {width="2.0346970691163606in" height="0.30557305336832896in"},其中k∈N. 5\. 证明以下各式(其中n∈N.): (1)2·4·6·...·2n=2\"T(n+1);(2) {width="1.868073053368329in" height="0.3194838145231846in"} {width="1.923614391951006in" height="0.30557305336832896in"} (勒让德(Legendre) 倍量公式). []{#bookmark30 .anchor}总 习 题 五 1\. 填空： (1)函数f(x) 在\[a,b\] 上有界是f(x) 在\[a,b\] 上可积的 条件，而f(x) 在\[a,b\] 上连续是f(x)在\[a,b\]上可积的\_ 条件； ( 2 ) 对(a,+∞) 上非负、连续的函数f(x), 它的变上限积分 {width="0.5069783464566929in" height="0.27079833770778655in"}在(a,+∞) 上有界 是反常积分 {width="0.6319477252843395in" height="0.27079833770778655in"}收敛的\_ 条件； {width="1.0625240594925633in" height="0.27775371828521433in"}\*(3)绝对收敛的反常积分 (4)函数f(x) 在\[a,b\] 上有定义且If(x)I 在\[a,b\] 上可积，此时积分 存在. (5)设函数f(x) 连续，则{width="1.6916830708661417in" height="0.27775371828521433in"} 2\. 以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论： (1)设{width="0.8204516622922134in" height="0.3333934820647419in"},则估计I 值的大致范围为( ); \(A\) {width="0.5346850393700787in" height="0.2847090988626422in"} (B) {width="0.6249726596675416in" height="0.2986187664041995in"} \(C\) {width="0.4027405949256343in" height="0.2639326334208224in"} (D)I≥1 ( 2 ) 设F(x) 是连续函数f(x)的一个原函数，则必有( ). (A)F(x) 是偶函数⇔f(x)是奇函数 (B)F(x) 是奇函数⇔f(x)是偶函数 (C)F(x) 是周期函数⇔f(x)是周期函数 (D)F(x) 是单调函数⇔f(x) 是单调函数 3\. 回答下列问题： (1)设函数f(x) 及g(x) 在区间\[a,b\] 上连续，且f(x)≥g(x), {width="1.256984908136483in" height="0.30557414698162727in"} {width="1.4513812335958005in" height="0.27775371828521433in"}几何上表示什么? (2)设函数f(x)在区间\[a,b\] 上连续，且f(x)≥0,则 {width="0.6597178477690289in" height="0.27775371828521433in"}在几何上表示什么? (3)如果在时刻t 以φ(t) 的流量(单位时间内流过的流体的体积或质量)向一水池注 水，那么 {width="0.5207994313210849in" height="0.2986187664041995in"}表示什么? (4)如果某国人口增长的速率为u(t), 那么{width="0.5458245844269466in" height="0.3124398512685914in"}表示什么? (5)如果一公司经营某种产品的边际利润函数为P\'(x), 那么{width="0.7056047681539808in" height="0.2847080052493438in"}表示什么? \*4.利用定积分的定义计算下列极限： {width="1.04166447944007in" height="0.3193941382327209in"} \(1\) 5\. 求下列极限： \(1\) {width="0.8680643044619423in" height="0.27079833770778655in"}t,其中f(x) 连续； 6\. 下列计算是否正确，试说明理号： {width="1.5208716097987751in" height="0.27079833770778655in"} {width="1.0694346019247594in" height="0.5555971128608924in"} \(2\) 拼 {width="1.0764096675415573in" height="0.30557414698162727in"} {width="1.9167038495188102in" height="0.2847080052493438in"} 7\. 设 x\>0, 证明： {width="1.6597265966754156in" height="0.3264391951006124in"} 8\. 设 p\>0, 证明： {width="0.8889238845144357in" height="0.30557414698162727in"} 9\. 设f(x) 、g(x) 在区间\[a,b\] 上均连续，证明： {width="2.7018580489938757in" height="0.27840660542432194in"} (柯西-施瓦茨不等式); {width="3.486143919510061in" height="0.33330489938757657in"} 式) . 10\. 设f(x) 在区间\[a,b\] 上连续，且f(x)\>0. 证明： (闵可夫斯基不等 {width="1.6110947069116361in" height="0.3054844706911636in"} 11\. 计算下列积分： \(1\) {width="0.7430304024496938in" height="0.30557414698162727in"} (2) {width="0.972237532808399in" height="0.3054844706911636in"} \(3\) {width="1.1849912510936134in" height="0.32634951881014873in"} (4){width="0.9688659230096238in" height="0.30557414698162727in"} \(5\) {width="0.7153248031496063in" height="0.32634951881014873in"} {width="1.5069225721784776in" height="0.263844050743657in"} \(7\) {width="0.9305161854768154in" height="0.27079833770778655in"} (8) {width="0.8402930883639546in" height="0.27775371828521433in"} \(9\) {width="0.8749748468941382in" height="0.368079615048119in"} (10) {width="0.9513768591426072in" height="0.27079833770778655in"} 12\. 设f(x) 为连续函数，证明： {width="1.8610837707786527in" height="0.34870844269466317in"} 13\. 设f(x) 在 区 间\[a,b\] 上连续，且f(x)\>0, {width="2.0139020122484688in" height="0.2916229221347332in"} 证 明 ： (1)F\'(x)≥2; ( 2 ) 方 程 F(x)=0 在 区 间(a,b) 内有且仅有 一个根 . 1 4 . 求 {width="0.6666283902012249in" height="0.2916229221347332in"},其中 {width="1.0694356955380577in" height="0.6458902012248469in"} {width="1.7013823272090989in" height="0.2916229221347332in"}15. 设 f(x) 在区间\[a,b\] 上 连 续 ，g(x) 在 区 间\[a,b\] 上连续且不变号 .证明至少存在 一 点 ξ∈\[a,b\], 使下式成立 {width="2.104189632545932in" height="0.2846620734908136in"}(积分第 一 中值定理) . 16\. 证 明 ： ),并用它证明： {width="1.4236100174978128in" height="0.2777023184601925in"})(n∈N). {width="1.4097244094488188in" height="0.7221872265966754in"}\*17 .判定下列反常积分的收敛性： \(1\) {width="0.6666929133858268in" height="0.326424978127734in"} \(3\) {width="0.6666283902012249in" height="0.2777909011373578in"} \*18 . 计算下列反常积分： {width="1.0555489938757656in" height="0.30554352580927385in"}(1) {width="0.7292104111986002in" height="0.30554352580927385in"} 公 众 号 ： 拷当 研 拼 课 []{#bookmark31 .anchor}第 六 章 定积分的应用 本章中我们将应用前面学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中 的问题，其目的不仅在于建立计算这些几何、物理量的公式，更重要的还在于介 绍运用元素法将一个量表达成为定积分的分析方法. []{#bookmark32 .anchor}第 一 节 定积分的元素法 在定积分的应用中，经常采用所谓元素法.为了说明这种方法，我们先回顾 一下第五章中讨论过的曲边梯形的面积问题. 设f(x)在区间\[a,b\]上连续且f(x)≥0,求以曲线y=f(x) 为曲边、底为\[a, b\]的曲边梯形的面积A.把这个面积A 表示为定积分 {width="0.8541786964129484in" height="0.34721675415573056in"} 的步骤是： (1)用任意一组分点把区间\[a,b\] 分成长度为△x;(i=1,2,...,n) 的 n 个小 区间，相应地把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形，第i 个窄曲边梯形的面积设为 △A;,于是有 {width="0.7986373578302712in" height="0.36104877515310585in"} (2)计算△A 的近似值 △A≈f(ξ:)△x;(x;-1≤ξ;≤x;); (3)求和，得A 的近似值 {width="1.1389260717410323in" height="0.3680982064741907in"} (4)求极限，记λ=max{△x₁,△x₂,...,△xa}, 得 {width="1.9582950568678914in" height="0.3680096237970254in"} 在上述问题中我们注意到，所求量(即面积A)与区间\[a,b\] 有关.如果把区 间\[a,b\] 分成许多部分区间，那么所求量相应地分成许多部分量(即△A;), 而所 求量等于所有部分量之和(即 {width="0.7985728346456693in" height="0.3403455818022747in"}),这一性质称为所求量对于区间 \[a,b\] 具有可加性.此外，以f(三)△近侠代替部分量△A 时，要求它们只相差一 个比△x;高阶的无穷小，以使和式 {width="0.7500054680664917in" height="0.3403455818022747in"}的极限是A 的精确值，从而A 可 以表示为定积分 {width="0.8888593613298338in" height="0.33338582677165357in"} 在引出A 的积分表达式的四个步骤中，主要的是第二步，这一步是要确定 △A的近似值f(ξ:)△x;,使得 {width="1.9652701224846894in" height="0.3332961504811899in"} 在实用上，为了简便起见，省略下标i,用△A 表示任一小区间\[x,x+dx\] 上的窄曲 边梯形的面积，这样， {width="0.7292093175853018in" height="0.22228674540682414in"} 取\[x,x+dx\] 的左端点x 为ち,以点x 处的函数值f(x) 为高、dx 为底的矩形的面积 f(x)dx 为△A 的近似值(如图6-1阴影部分所示),即 △A≈f(x)dx. 上式右端f(x)dx 叫做面积元素，记为 dA=f(x)dx. 于是 {width="1.048639545056868in" height="0.22915791776027997in"} 因此 {width="1.8610968941382326in" height="0.3332961504811899in"} | > 一般地，如果某一实际问题中的所求量 U 符 | > {width="1.7083573928258968in" | | | > height="1.4999693788276465in"}y | | > 合下列条件： | > 图6-1 | | | | | (1)U 是与一个变量x 的变化区间\[a,b\] 有 | | | 关的量； | | | | | | > (2)U 对于区间\[a,b\] 具有可加性，就是说， | | | > 如果把区间\[a,b\] 分成许多部分区间，则 U | | | > 相应 地分成许多部分量，而 | | | > U等于所有部分量之和； | | | > | | | > (3)部分量△U 的近似值可表示为f(ξ:)△x;, | | | > 那么就可考虑用定积分来表达这个量 U. | | | > 通常写 出这个量 U的积分表达式的步骤是： | | 1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变 化区间\[a,b\]; 2)设想把区间\[a,b\] 分 成 n 个小区间，取其中任一小区间并记作\[x,x+ dz\], 求出相应于这个小区间的部分曼合的似值如果△U 能近似地表示为 \[a,b\] 上的一个连续函数在 x 处的值f(x) 与 dx 的乘积①,就把f(x)dx 称为量 U 的元素且记作dU, 即 dU=f(x)dx; 3)以所求量 U 的元素f(x)dx 为被积表达式，在区间\[a,b\] 上作定积分，得 {width="0.8888604549431321in" height="0.33338582677165357in"} 这就是所求量 U的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法.下面两节中我们将应用这个方法来讨论几何、物 理中的一些问题. 第 二 节 []{#bookmark33 .anchor}定积分在几何学上的应用 一 、平面图形的面积 1\. 直角坐标情形 在第五章中我们已经知道，由曲线 y=f(x)(f(x)≥0) 及直线 x=a, x=b(a\0) 上相应于θ从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形(图6-6)的面积. {width="1.6805872703412073in" height="0.826415135608049in"}解 在指定的这段螺线上，θ的变化区间为\[0,2π\].相应于\[0,2π\]上任一 小区间\[θ,θ+dθ\] 的窄曲边扇形的面积近似于半径 {width="0.9930325896762905in" height="0.31946412948381453in"}为 aθ、中心角为dθ的扇形的面积，从而得到面积 元素 图6-6 于是所求面积为 {width="2.1805916447944007in" height="0.35417760279965005in"} 例 5 计算心形线 p=a(1+cos θ)(a\>0) 所围成的图形的面积. {width="1.2986406386701663in" height="1.208345363079615in"}解 心形线所围成的图形如图6-7所示.这个图形对称于极轴，因此所求图 形的面积A是极轴以上部分图形面积A₁的 2 倍 . 对于极轴以上部分的图形，θ的变化区间为\[0,π\]. 相应于\[0,π\]上任一小区间\[θ,θ+dθ\] 的窄曲边扇形的 面积近似于半径为 a(1+cos θ)、中心角为dθ 的扇形的 {width="1.4583552055993in" height="0.31937554680664915in"}面积.从而得到面积元素 图6-7 于是 {width="3.3474365704286964in" height="0.37548009623797024in"} {width="2.312470472440945in" height="0.7708213035870516in"} 因而所求面积为 {width="0.9582874015748032in" height="0.29858377077865267in"} 二 、体 积 1\. 旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这 直线叫做旋转轴.圆柱、圆锥、圆台、球可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直 角三角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的直径旋转一周而成 的立体，所以它们都是旋转体. 上述旋转体都可以看作是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b 及x 轴所围成 的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体.现在我们考虑用定积分来计算这种旋 转体的体积. 取横坐标 x 为积分变量，它的变化区间为\[a,b\]. 相应于\[a,b\] 上的任一小 区间\[x,x+dx\] 的窄曲边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积近似于以f(x) 为底 半径、dx 为高的扁圆柱体的体积(图6-8),即体积元素 dV=π\[f(x)\]²dx. 以π\[f(x)\]²dx 为被积表达式，在闭区间\[a,b\] 上作定积分，便得所求旋转体体积为 {width="1.18749343832021in" height="0.36113845144356954in"} {width="1.7291535433070866in" height="1.2916032370953632in"} 图6-8 {width="1.7985804899387576in" height="1.3809514435695538in"} 图6-9 例6 连按生标原点0及点报3:解量量置直线二h 及=轴围成一个直角 三角形(图6-9).将它绕x 轴旋转一周构成一个底半径为 r、高为 h 的圆锥体.计 算这圆锥体的体积. 解 过原点0及点P(h,r) 的直线方程为 {width="0.4583475503062117in" height="0.2778051181102362in"} 取横坐标 x 为积分变量，它的变化区间为\[0,h\]. 圆锥体中相应于\[0,h\] 上 任一小区间\[x,x+dx\] 的薄片的体积近似于底半径为{width="0.24256780402449693in" height="0.25695538057742784in"}、高为dx 的扁圆柱体的 体积，即体积元素 {width="1.0069181977252843in" height="0.34721128608923885in"} 于是所求圆锥体的体积为 {width="2.201386701662292in" height="0.3818700787401575in"} 例7 计算由椭圆 {width="0.6041765091863517in" height="0.3611111111111111in"} 所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体(叫做旋转椭球体)的体积. 解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 {width="0.8125218722659667in" height="0.3124639107611549in"} 及x 轴围成的图形绕 x 轴旋转一周而成的立体. {width="1.7777854330708662in" height="1.4860520559930008in"}取x 为积分变量，它的变化区间为\[-a,a\]. 旋转椭球体中相应于\[-a,a\]上 任一小区间\[x,x+dx\] 的薄片的体积，近似于底半 径为 {width="0.6879494750656168in" height="0.2879133858267717in"}、高为 dx 的 扁 圆 柱 体 的 体 积 (图6-10),即体积元素 {width="1.2083541119860017in" height="0.3402613735783027in"} {width="2.32635498687664in" height="0.3611100174978128in"}于是所求旋转椭球体的体积为 图6-10 {width="1.7361286089238845in" height="0.3680599300087489in"} 当 a=b 时，旋转椭球体就成为步径的 球，它的体积为{width="0.41612642169728786in" height="0.30560258092738407in"} 用与上面类似的方法可以推出：由曲线x=φ(y)、直线y=c、y=d(c\0) 弧 长 . 木 5-6 2a 0 2πa x 图6-18 相应于0≤θ≤2π 一 段(图6 - 19)的 0 2πa x *P=aθ* 图6- 19 解 弧长元素为 *ds=√a²e²+a²dθ=a√1+0²dθ,* 于是所求弧长为 {width="3.4652985564304464in" height="0.3332961504811899in"} []{#bookmark35 .anchor}习 题 6-2 1\. 求图6-20中各阴影部分的面积. 2\. 求由下列各组曲线所围成的图形的面积： \(1\) {width="0.40276027996500435in" height="0.25003937007874016in"}²与 x²+y²=8 (两部分都要计算); \(2\) {width="0.319407261592301in" height="0.24307852143482064in"}与直线y=x 及 x=2; (3)y=e⁸,y=e⁻\* 与直线 x=1; (4)y=ln x,y 轴与直线 y=In a,y=In b(b\>a\>0). {width="0.5208202099737533in" height="0.2777909011373578in"}3. 求抛物线y=-x²+4x-3 及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积. 4\. 求抛物线y²=2px 及其在 5\. 求由下列各曲线所围成的图形再积： {width="1.555556649168854in" height="1.4375634295713036in"} \(1\) {width="1.2569400699912512in" height="1.9097779965004373in"} \(3\) {width="1.1250503062117236in" height="1.4920975503062117in"} \(2\) {width="1.33336176727909in" height="1.7846981627296588in"} \(4\) 图6 - 20 (1)p=2acos θ; (2)x=acos³t,y=asin³t; (3)p=2a(2+cos θ). 6\. 求由摆线x=a(t-sin t),y=a(1-cos t)的一拱(0≤t≤2π) 与横轴所围成的图形的面积. 7\. 求对数螺线p=ae° (一π≤θ≤π)及射线θ=π所围成的图形的面积. 8\. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： (1)p=3cosθ 及p=1+cosθ; (2)p=√2sin θ及p²=cos 20. 9\. 求位于曲线y=eˣ 下方、该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积. 10\. 求由抛物线y²=4ax 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值. 11\. 已知抛物线y=px²+qx ( 其 中p\<0,q\>0) 在第一象限内与直线x+y=5 相切，且此抛物线与x 轴所围成的图形的面积为A.问 p 和 q 为何值时，A达到最大值，并求出此最大值. 12\. 由 y=x³,x=2,y=0 所围成的图形分别绕 x 轴 及y 轴旋转，计算所得两个旋转体的 体积. 13\. 把星形线x²³+y²³=a²³ 所围成的图形绕 x 轴旋转(图6-21),计算所得旋转体的 体积. 14\. 用积分方法证明图6-22中球缺的肺赖 {width="0.8680336832895889in" height="0.29865266841644794in"} {width="1.7014238845144356in" height="1.7083497375328085in"} 图6 - 21 {width="1.6527810586176728in" height="1.7768875765529308in"} 图6- 22 15\. 求下列已知曲线所围成的图形按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： (1)y=x²,x=y², 绕 y 轴 ； (2)y=aresin x,x=1,y=0,绕 x 轴 ； (3)x²+(y-5)²=16, 绕 x 轴 ； ( 4 ) 摆 线 x=a(t-sin t),y=a(1-cos t)的 一 拱，y=0, 绕直线y=2a. {width="1.7569061679790026in" height="1.4930905511811023in"}16. 求圆盘x²+y²≤a² 绕 x=-b(b\>a\>0) 旋转所成旋转 体的体积. 17\. 设有一截锥体，其高为 h,上、下底均为椭圆，椭圆 的轴长分别为2a、2b 和 2A、2B,求这截锥体的体积. 18\. 计算底面是半径为 R 的圆，而垂直于底面上一条 固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积 (图6-23). 19\. 证明：由平面图形O≤a≤x≤b,0≤y≤f(x) 绕 轴 旋转所成的旋转体的体积为 {width="1.4027898075240595in" height="1.701311242344707in"}{width="0.9513856080489939in" height="0.2986537620297463in"} 20\. 利用题19的结论，计算曲线y=sin x(0≤x≤π)和x 轴 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 21\. 设由抛物线y=2x² 和直线 x=a,x=2 及 y=0 所围成的平 面图形为 D₁, 由抛物线y=2x² 和直线 x=a 及 y=0 所围成的平面 图形为 D₂, 其 中 0\ pV=k 或 | | | > {width="0.3957917760279965in" | | > 于是，作用在活塞上的力 | > height="0.3122484689413823in"} | | | | | | {width="0.40275918635170604in" | | | height="0.32613845144356957in"} | | | | | | > 。考研拼床 公 众 号 品 | {width="1.7221970691163604in" height="0.6805238407699038in"} 图6-28 {width="1.2711417322834646in" height="0.29160542432195974in"} 在气体膨胀过程中，体积 V是变的，因而x 也是变的，所以作用在活塞上的 力也是变的. 取 x 为积分变量，它的变化区间为\[a,b\]. 设\[x,x+dx\] 为\[a,b\] 上任一小区 间，当活塞从x 移动到x+dx 时，变力 F 所作的功近似于{width="0.3529068241469816in" height="0.2986329833770779in"},即功元素为 {width="0.6736165791776028in" height="0.3055708661417323in"} 于是所求的功为 {width="1.9027963692038494in" height="0.32638779527559053in"} 下面再举一个计算功的例子，它虽不是一个变力作功问题，但也可用积分来 计算. 例 3 一圆柱形的贮水桶高为5 m, 底圆半径为 3m, 桶内盛满了水.试问要把桶内的水全部吸出需作 多少功? 解 作x 轴如图6-29所示.取深度 x (单位为 m) 为积分变量，它的变化区间为\[0,5\].相应于\[0, 5\]上任一小区间\[x,x+dx\] 的一薄层水的高度为 dx, 若重力加速度g 取9 . 8 m/s², 则这薄层水的重力为 {width="1.5972462817147857in" height="1.354122922134733in"}0 x x+dx 5m ←3m *Yx* 图6-29 9.8π·3²dx kN. 把这薄层水吸出桶外需作的功近似地为 dW=88.2πxdx, 此即功元素.于是所求的功为 {width="3.6666524496937885in" height="0.36802055993000876in"} 二 、水压力 从物理学知道，在水深为h 处的压强为p=pgh, 这里p 是水的密度，g 是重力 加速度.如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h 处，那么,平板一侧所 受的水压力为 *P=p·A.* 如果平板铅直放置在水中，那么,由于水深不同的点处压强p 不相等，平板 一侧所受的水压力就不能用上述方法计带面举例说明它的计算方法. 例4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水(图6-30(a)). 设桶的底 半径为 R, 水的密度为p, 计算桶的一个端面上所受的压力. {width="1.8749945319335084in" height="0.7500065616797901in"}{width="1.2708147419072615in" height="1.1587576552930883in"} \(a\) (b) 图6-30 解 桶的一个端面是圆片，所以现在要计算的是当水平面通过圆心时，铅直 放置的一个半圆片的一侧所受到的水压力. 如图6-30(b), 在这个圆片上取过圆心且铅直向下的直线为x 轴，过圆心的 水平线为 y 轴.对这个坐标系来讲，所讨论的半圆的方程为 x²+y²=R² (0≤x≤R). 取 x 为积分变量，它的变化区间为\[0,R\]. 设\[x,x+dx\] 为\[0,R\] 上的 任一小区间，半圆片上相应于\[x,x+dx\] 的窄条上各点处的压强近似于pgx,这窄 条的面积近似于2 √R²-x²dx. 因此，这窄条一侧所受水压力的近似值，即压力元 素为 *dP=2pgx√R²-x²dx.* 于是所求压力为 {width="3.2152471566054244in" height="0.35414260717410323in"} {width="1.9236132983377079in" height="0.35414260717410323in"} []{#bookmark37 .anchor}三 、引 力 从物理学知道，质量分别为m₁ 、m₂,相距为 r 的两质点间的引力的大小为 {width="0.7499715660542432in" height="0.31250984251968505in"} 其中G 为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向. 如要计算一根细棒对一个质点的引力，那么,由于细棒上各点与该质点的距 离是变化的，且各点对该质点的引力的方向也是变化的，因此就不能用上述公式 来计算.下面举例说明它的计篡方法： 例5 设有一长度为l、线密度为μ的均匀细直棒，在其中垂线上距棒a 单 位处有一质量为m 的质点M.试计算该棒对质点M 的 引力. 解 取坐标系如图6-31所示，使棒位于y 轴上， 质点M 位于x 轴上，棒的中点为原点0.取y 为积分变 量，它的变化区间为 {width="0.6041721347331583in" height="0.32636264216972877in"}. 设 \[y,y+dy\] 为 {width="0.5972047244094488in" height="0.3402613735783027in"}上任一小区间，把细直棒上相应于\[y,y+dy\] {width="1.4583366141732284in" height="1.6875010936132984in"}的一小段近似地看成质点，其质量为μdy,与 M 相距r= 图6-31 √a²+y² . 因此可以按照两质点间的引力计算公式求出这小段细直棒对质点M 的 引力△F 的大小为 {width="0.881903980752406in" height="0.3611111111111111in"} 从而求出△F 在水平方向分力△F₂的近似值，即细直棒对质点M 的引力在水平 方向分力F 的元素为 {width="1.1944739720034996in" height="0.38890857392825895in"} 于是得引力在水平方向分力为 {width="2.6736482939632547in" height="0.43746719160104985in"} 由对称性知，引力在铅直方向分力为F,=0. 当细直棒的长度l 很大时，可视l趋于无穷.此时，引力的大小{width="0.5161450131233596in" height="0.31950240594925633in"},方向 与细直棒垂直且由 M 指向细直棒. []{#bookmark38 .anchor}习 题 6-3 1\. 由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力 F (单位：N)与伸长量s (单位：cm)成正 比，即 F=ks (k是比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6 cm,计算所作的功. 2.直径为20cm、高为80 cm的圆筒内充满压强为10N/cm²的蒸汽设温度保持不变，要 使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功? 3.(1)证明；把质量为m的物体从地球装面并高到h处所作的功是 {width="0.5485608048993875in" height="0.26390529308836397in"} 其中g 是重力加速度，R是地球的半径； (2)一颗人造地球卫星的质量为173 kg, 在高于地面630 km 处进入轨道.问把这颗卫星从地 面送到630 km的高空处，克服地球引力要作多少功?已知g=9.8m/s², 地球半径R=6370 km. 4\. 一物体按规律x=ci³ 做直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比.计算物体由x=0 移至 x=a 时，克服介质阻力所作的功. 5\. 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击 第一次时，将铁钉击人木板1 cm. 如果铁锤每次锤击铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁 钉又击入木板多少? 6\. 设一圆锥形贮水池，深15m,口径20 m, 盛满水，今以泵将水吸尽，问要作多少功? 7\. 有一闸门，它的形状和尺寸如图6-32所示，水面超过门顶2 m.求闸门上所受的水压力. 8\. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如图6-33所示.当水箱装满水时，计算 水箱的一个端面所受的压力. {width="1.1527985564304462in" height="1.527749343832021in"} 图6-32 {width="1.8055489938757656in" height="1.4166458880139983in"}1.5m 4m 2m 一 图6-33 9\. 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10 m 和 6 m, 高为20 m. 较长的底边与水面相 齐.计算闸门的一侧所受的水压力. 10\. 一底为8 cm、高为6 cm 的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水 面平行，而顶离水面3 cm, 试求它每面所受的压力. 11\. 设有一长度为L、线密度为μ的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为 a-单位处有一 质量为 m 的质点M, 试求这细棒对质点M 的引力. 12\. 设有一半径为 R、中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数μ.在圆心处有一质量 为 m 的质点M.试求这细棒对质点M的引力. []{#bookmark39 .anchor}总 习 题 六 1\. 填空： (1)曲线y=x³-5x²+6x 与x 轴所围成的图彬码蓄赖= (2)曲线 {width="0.6736165791776028in" height="0.27776574803149606in"}上相应于1≤x≤3 的一段弧的长度s=\_ 2\. 以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论： ( 1 ) 设x 轴上有一长度为 l、线密度为常数μ的细棒，在与细棒右端的距离为a 处有一质 量为 m 的质点M(图6-34),已知万有引力常量为G, 则质点M 与细棒之间的引力的大小为 ( ); \(A\) {width="0.777836832895888in" height="0.29859798775153107in"} (B) {width="0.7708541119860017in" height="0.29165463692038496in"} \(C\) {width="0.9236286089238845in" height="0.31248687664041996in"} (D)2 {width="0.7707895888013998in" height="0.3263746719160105in"} {width="1.8541765091863518in" height="0.3472080052493438in"} 图6-34 {width="1.7222200349956256in" height="0.27776574803149606in"} {width="1.41667104111986in" height="0.25693350831146106in"}(2)设在区间\[a,b\] 上，f(x)\>0,f\'(x)\>0,f\"(x)\<0. ,则有( ). (A)A₁\0)所围图形公 共部分的面积. 5\. 如图6-35所示，从下到上依次有三条曲线：y=x²,y=2x² 和 C.假设对曲线y=2x² 上的任一点P, 所对应的面积A 和 B 恒 相等，求曲线C 的方程. 图6-35 6\. 设抛物线y=ax²+bx+c 通过点(0,0),且当x∈\[0,1\] 时 ，y≥0. 试确定 a,b,c 的值，使得 抛物线y=ax²+bx+c 与直线x=1,y=0 所围图形的面积为 ·{width="0.1419116360454943in" height="0.27776574803149606in"},且使该图形绕 x 轴旋转而成的 旋转体的体积最小. 7\. 过坐标原点作曲线 y=1nx 的切线，该切线与曲线 y=1nx 及 x 轴围成平面图形 D. (1)求平面图形D 的面积A; (2)求平面图形D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 8\. 求由曲线 {width="0.3194488188976378in" height="0.19443569553805773in"},直线x=4 及 x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积. 9\. 求圆盘(x-2)²+y²≤1 绕y 轴旋转面成的旋转体的体积. 10\. 求抛物线 {width="0.40970363079615046in" height="0.24998906386701664in"}被 圆x²+y²=3 所截下的有限部分的弧长. 11\. 半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取 出，需作多少功? 12\. 边长为a 和 b 的矩形薄板，与液面成α角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深h 处，设a\>b, 液体的密度为p, 试求薄板每面所受的压力. 13\. 设星形线x=acos³t,y=asin³t 上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立 方，在原点0处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力. 14\. 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都要克服土层对桩的 阻力作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k,k\>0). 汽 锤第一次击打将桩打进地下am. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次 击打时所作的功之比为常数r(0\0.假设在 融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为r。的雪堆在开始融化的3小时内，融化了 其体积的{width="0.17776465441819772in" height="0.2778160542432196in"},问雪堆全部融化需要多少时间? []{#bookmark43 .anchor}第 二 节 可分离变量的微分方程 本节至第四节，我们讨论一阶微分方程 *y=f(x,y)* (2-1) 的一些解法. 一阶微分方程有时也写成如下的对称形式： P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0. (2-2) 在方程(2-2)中，变量 x 与 y 对称，它既可看作是以x 为自变量 y 为因变量的 方程 {width="0.8541633858267716in" height="0.361081583552056in"} (这时 Q(x,y)≠0), 也可看作是以y 为自变量x 为因变量的方程 {width="0.8541633858267716in" height="0.34720363079615046in"} (这时P(x,y)≠0). 在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程 {width="0.5000470253718285in" height="0.31250984251968505in"} 或 dy=2xdx. 把上式两端积分就得到这个方程的通解 *y=x²+C.* {width="0.5624956255468067in" height="0.3194488188976378in"}但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解.例如，对于一阶微分方程 (2-3) 就不能像上面那样用直接对两端积分的方法求出它的通解.这是什么缘故呢? 原因是方程(2-3)的右端含有与x 存在函数关系的变量y,积分 {width="0.5346905074365704in" height="0.28475503062117236in"} 求不出来，这是困难所在.为了解决这个 难 在访程(2-3)的两端同时 {width="0.2568941382327209in" height="0.34720363079615046in"},使 方程(2-3)变为 {width="0.6528160542432196in" height="0.36807852143482067in"} 这样，变量：x 与 y已分离在等式的两端，然后两端积分得 或 {width="0.7222320647419073in" height="0.34025918635170604in"} {width="0.6666218285214348in" height="0.3264391951006124in"} (2-4) 其 中C 是任意常数. 可以验证，函数(2-4)确实满足一阶微分方程(2-3),且含有一个任意常 数，所以它是方程(2-3)的通解. 一般地，如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy=f(x)dx (2-5) 的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy,另一端只含 x 的 函 数和dx,那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 假定方程(2-5)中的函数g(y) 和f(x) 是连续的.设y=φ(x) 是方程(2-5) 的解，将它代入(2-5)中得到恒等式 g\[φ(x)\]φ\'(x)dx=f(x)dx. 将上式两端积分，并由y=φ(x) 引进变量y, 得 {width="1.2847287839020123in" height="0.2986187664041995in"} 设 G(y) 及 F(x) 依次为g(y) 及f(x) 的原函数，于是有 G(y)=F(x)+C. (2-6) 因此，方程(2-5)的解满足关系式(2-6).反之，如果y=Φ(x) 是由关系式(2-6) 所确定的隐函数，那么在g(y)≠0 的条件下，y=Φ(x) 也是方程(2-5)的解，事 实上，由隐函数的求导法可知，当 g(y)≠0 时 ， {width="1.409757217847769in" height="0.36112423447069114in"} 这就表示函数y=Φ(x) 满足方程(2-5).所以，如果已分离变量的方程(2-5)中， g(y) 和f(x) 是连续的，且g(y)≠0, 那么(2-5)式两端积分后得到的关系式 (2-6),就用隐式给出了方程(2-5)的解，(2-6)式就叫做微分方程(2-5)的隐 式解.又由于关系式(2-6)中含有任意常数，因此(2-6)式所确定的隐函数是方 程(2-5)的通解，所以(2-6)式叫做微分方程(2-5)的隐式通解(当f(x)≠0 时 ， (2-6)式所确定的隐函数 x= 平(x) 也可泳劲提分程(2-5)的解). {width="0.5069499125109361in" height="0.3333038057742782in"}例 1 求微分方程 (2-7) 的通解. 解 方程(2-7)是可分离变量的，分离变量后得 {width="0.6388801399825021in" height="0.3472145669291339in"} 两端积分 {width="0.9027427821522309in" height="0.35416994750656167in"} 得 lnlyl=x²+C₁, 从而 y=±e²+Ci=±eie. 因±e¹ 是任意非零常数，又y=0 也是方程(2-7)的解，故得方程(2-7)的通解 y=Ce² . 例 2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀 的含量就不断减少，这种现象叫做衰变.由原子物理学知道，铀的衰变速度与当 时未衰变的铀原子的含量 M成正比.已知 t=0 时铀的含量为M。,求在衰变过程 中铀含量 M(t) 随时间t 变化的规律. {width="0.694426946631671in" height="0.33330489938757657in"}解 铀的衰变速度就是M(t) 对时间t 的 导 {width="0.35418088363954503in" height="0.2986187664041995in"}由于铀的衰变速度与其含 量成正比，故得微分方程 (2-8) 其中λ(λ\>0)是常数，叫做衰变系数，λ前置负号是由于当 t 增加时 M 单调减 少，即{width="0.43369969378827644in" height="0.3124398512685914in"}的缘故. 按题意，初值条件为 MI₁=o=M₀ . 方程(2-8)是可分离变量的.分离变量后得 {width="0.6736537620297463in" height="0.3125284339457568in"} 两端积分 {width="1.2083442694663167in" height="0.40276574803149606in"} 以 In C表示任意常数，考虑到M\>0, 得 *ln M=-λt+ln C,* 即 M=Ce-\^. 这就是方程(2-8)的通解.以初值条件代入上式，得 *M₀=Ce⁰=C,* 所以 M=M₀e⁻, 这就是所求铀的衰变规律.由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减 (图7- 1). 例 3 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞 离开跳伞塔时(t=0) 速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系. 解 设降落伞下落速度为 v(t).降落伞在空中下落时，同时受到重力P 与 阻力 R 的作用(图7-2).重力大小为mg, 方向与 v 一致；阻力大小为kv(k 为比 例系数),方向与v 相反，从而降落伞所受外力为 *F=mg-kv.* 根据牛顿第二运动定律 *F=ma* {width="0.8611307961504812in" height="0.2985990813648294in"}(其中a 为加速度),得函数v(t) 应满足的方程为 (2-9) 按题意，初值条件为 vl==0. {width="1.444465223097113in" height="1.187451881014873in"}{width="0.965320428696413in" height="1.8124267279090114in"} 图7-1 方程(2-9)是可分离变量的.分离变量后锡 两端积分 考虑到mg-kv\>0, 得 {width="0.7430708661417322in" height="0.3472965879265092in"} {width="1.104154636920385in" height="0.33331911636045497in"} {width="1.479174321959755in" height="0.3055424321959755in"} {width="0.986094706911636in" height="0.20832458442694662in"} {width="1.6944564741907262in" height="0.3681288276465442in"} (2-10) 这就是方程(2-9)的通解. 将初值条件 vl,=o=0 代入(2-10)式，得 {width="0.5208202099737533in" height="0.27776574803149606in"} 于是所求的特解为 {width="0.965320428696413in" height="0.2985990813648294in"} (2-11) 由(2-11)可以看出，随着时间t 的增大，速度v 逐渐接近于常数{width="0.2300754593175853in" height="0.29165463692038496in"},且不会 超 {width="0.31250437445319335in" height="0.28479877515310587in"},也就是说，跳伞后开始阶段是加速运动，但以后逐渐接近于等速运动. 例 4 有高为1m 的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积 为1 cm² (图7-3).开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面 的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 变化的规律，并求水流完所需的 时间. 解 对时间t 的变化率)Q 可用下列公式计算： {width="1.0694466316710411in" height="0.3055424321959755in"} 其 中k 为流量系数，由实验测得 k=0.62,S 另一方面，设在微小时间间隔\[t,t+dt\] {width="0.29856955380577427in" height="0.1597156605424322in"}0),则又可得到 d: V (2-12) 为孔口横截面面积，g 为重力加速度. 内，水面高度由 h 降 至 h+dh(dh\< (2-13) 其中r是时刻 t时的水面半径(图7-3),右端置负号是由于dh\<0 而 dV\>0 的缘 故.又因 r=√ 1²-(1-h)²=√2h-h², 所以(2-13)式变成 dV=-π(2h-h²)dh. (2-14) 比较(2-12)和(2-14)两式，得 kS√2gh dt=-π(2h-h²)dh, (2-15) 这就是未知函数h=h(t) 应满足的微分方程. 此外，开始时容器内的水是满的，所以未知函数 h=h(t) 还应满足下列初值 条件： hl,=0=1. 方程(2-15)是可分离变量的.分离变量后得 {width="1.6042016622922135in" height="0.3611111111111111in"} {width="1.7725885826771655in" height="0.3544280402449694in"}两端积分，得 (2-17) 其中C 是任意常数. 把初值条件(2-16)代入(2-17)式，得 {width="1.0764140419947505in" height="0.3124639107611549in"} 把所得的C 值代入(2-17)式并化简，就得 (2-16) {width="1.6874890638670166in" height="0.9930774278215223in"} 图7-3 {width="1.8402580927384078in" height="0.4027187226596675in"} 以 k=0.62,S=10⁻⁴m²,g=9.8m/s² 代入上式，计算后可得 {width="2.1388932633420823in" height="0.3402613735783027in"} 上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h 与时间t 之间的函数 关系.由此可知水流完所需的时间为 t=1.068×10⁴s=2h 58 min. 这里还要指出，在例4中我们是通过对微小量 dV 的分析得到微分方程 (2-15)的.这种微小量分析的方法，也是建立微分方程的一种常用方法. []{#bookmark247 .anchor}习 题 7-2 1\. 求下列微分方程的通解： (1)xy\'-yln y=0; (2)3x²+5x-5y²=0; (3)√ 1-x²y′=√ 1-y²; *(4)y\'-xy\'=a(y²+y\');* (5)sec²x tan ydx+sec²y tan xdy=0; (6) {width="0.5347550306211724in" height="0.26390529308836397in"}\* (7)(e⁺-eˣ)dx+(e³+e\')dy=0; (8)cos x sin ydx+sin x cos ydy=0; \(9\) {width="0.9583530183727034in" height="0.26390529308836397in"} (10)ydx+(x²-4x)dy=0. 2\. 求下列微分方程满足所给初值条件的特解： (1)y\'=e²-,y¹x==0; {width="2.291661198600175in" height="0.2430566491688539in"} (3)y\'sin x=ylny,yl =e; {width="2.291661198600175in" height="0.2430566491688539in"} (5)xdy+2ydx=0,y¹x=2=1. 3\. 有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10 cm, 顶角为60°,漏斗下面有面积为0.5 cm²的 孔，求水面高度变化的规律及水流完所需的时间. 4\. 质量为1g 的质点受外力作用做直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度 成反比.在t=10s 时，速度等于50 cm/s, 外力为4g·cm/s², 问从运动开始经过了1 min后的 速度是多少? 5\. 镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量R 成正比.由经验材料得知，镭 经过1600年后，只余原始量R₀ 的一半.试求镭的现存量R 与时间t 的函数关系. 6\. 一曲线通过点(2,3),它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程. 7\. 小船从河边点0处出发驶向对岸(两岸为平行直线).设船速为a,船行方向始终与河 岸垂直，又设河宽为 h, 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数 为 k). 求小船的航行路线. []{#bookmark45 .anchor}第 三 节 齐 次 方 程 一 、齐 次 方 程 如果 一 阶微分方程可化成 考 研 拼 课 {width="0.6388801399825021in" height="0.3403521434820647in"} 的形式，那么就称这方程为齐次方程，例如 (xy-y²)dx-(x²-2xy)dy=0 是齐次方程，因为它可化成 {width="0.7777788713910762in" height="0.3888724846894138in"} 即 {width="0.9236450131233596in" height="0.743024934383202in"} 在齐次方程 {width="0.6122626859142607in" height="0.3071456692913386in"} 中，引进新的未知函数 {width="0.4097276902887139in" height="0.27776574803149606in"} 就可把它化为可分离变量的方程.因为由(3-2)有 {width="0.763908573928259in" height="0.31248687664041996in"} y=ux, 代入方程(3-1),便得方程 {width="0.9242661854768154in" height="0.28799103237095364in"} 即 {width="0.9305479002624671in" height="0.33331911636045497in"} 分离变量，得 {width="0.8333891076115486in" height="0.3541524496937883in"} 两端积分，得 {width="0.14586504811898512in" height="0.28479877515310587in"}{width="1.173571741032371in" height="0.3472080052493438in"} 求出积分后，再以 代替 u,便得所给齐次方程的通解. 例 1 解方程 (3-1) (3-2) {width="0.9583530183727034in" height="0.3194313210848644in"} 解 原方程可写成 {width="1.173571741032371in" height="0.6805271216097988in"} 因此是齐次方程.令{width="0.35387576552930883in" height="0.24998906386701664in"},则 {width="0.763844050743657in" height="0.2847101924759405in"} *y=xu,* 于是原方程变为 {width="0.8541633858267716in" height="0.3542410323709536in"} 即 {width="0.6736537620297463in" height="0.3263746719160105in"} 分离变量，得 {width="0.9306124234470691in" height="0.3472080052493438in"} 两端积分，得 u-Inlul+C₁=lnlxl, 或写为 Inlxul=u+C₁ . 以 {width="0.15276793525809274in" height="0.25693350831146106in"}代上式中的 u, 便得所给方程的通解为 {width="1.409757217847769in" height="1.319390857392826in"}{width="0.8066415135608049in" height="0.25728127734033246in"} 或 y=Ce²(C=±e). 例 2 探照灯的聚光镜的镜面是一张旋转曲面，它 的形状由x0y 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成. 按聚光镜性能的要求，在其旋转轴(x 轴)上一 点0处发 出的一切光线，经它反射后都与旋转轴平行.求曲线 L 的方程. 解 将光源所在之0点取作坐标原点(如图7-4), 且曲线 L 位于y≥0 范围内. 图7-4 设点 M(x,y) 为 L 上的任一点，点0发出綦条光 线经点M 反射后是一条与x 轴平行的直线 MS.又设过点M 的切线AT与 x 轴的 夹角为α.根据题意，∠SMT=α . 另一方面，∠OMA是入射角的余角，∠SMT 是反 射角的余角，于是由光学中的反射定律有∠OMA=∠SMT=α . 从 而A0=0M, 但 {width="2.1319247594050745in" height="0.3610958005249344in"},而 OM=√x²+y² . 于是得微分方程 {width="0.9513856080489939in" height="0.3541513560804899in"} 把 x 看作因变量，y 看作自变量，当y\>0 时，上式即为 {width="1.340340113735783in" height="0.3749846894138233in"} 这是齐次方程.令-{width="0.32608923884514435in" height="0.29165463692038496in"},则 x=yv: {width="0.721599956255468in" height="0.3472080052493438in"},代入上式，得 {width="1.1527985564304462in" height="0.3402635608048994in"} 即 {width="0.8471959755030621in" height="0.3541524496937883in"} 分离变量，得 {width="0.7291349518810148in" height="0.3888724846894138in"} 积分，得 {width="0.32637576552930886in" height="6.944444444444444e-3in"}In(v+√B²+1)=In y-In C, 或 {width="0.8613298337707787in" height="0.24430774278215223in"} {width="1.02080271216098in" height="0.3819291338582677in"} {width="0.6882742782152231in" height="0.3135159667541557in"} 以 yv=x 代入上式，得 {width="0.9235804899387576in" height="0.3472965879265092in"} 这是以x 轴为轴、焦点在原点的抛物线考研拼课 \*二、可化为齐次的方程 方程 {width="0.9791907261592301in" height="0.3472080052493438in"} (3-3) 当 c=c₁=0 时是齐次的，否则不是齐次的.在非齐次的情形，可用下列变换把它 化为齐次方程：令 x=X+h,y=Y+k, 其中h 及 k 是待定的常数.于是 dx=dX,dy=dY, 从而方程(3-3)成为 {width="1.6180719597550306in" height="0.3541524496937883in"} 如果方程组 {width="0.9722233158355206in" height="0.4027613735783027in"} 的系数行列式 {width="0.7848501749781277in" height="0.41664916885389325in"},即{width="0.46537292213473314in" height="0.33331911636045497in"},那么可以定出 h 及 k 使它们满足上述方 程组.这样，方程(3-3)便化为齐次方程 {width="0.8611307961504812in" height="0.3541524496937883in"} 求出这齐次方程的通解后，在通解中以x-h 代X,y-k 代 Y,便得方程(3-3)的通解. 当 {width="0.4048118985126859in" height="0.3263746719160105in"}时，h 及k 无法求得，因此上述方法不能应用.但这时{width="0.7677996500437445in" height="0.3194313210848644in"},从而 方程(3-3)可写成 {width="1.1388626421697288in" height="0.3402635608048994in"} 引入新变量v=ax+by, 则 于是方程(3-3)成为 {width="0.7082972440944882in" height="0.31248687664041996in"} 或 {width="0.9513856080489939in" height="0.33331911636045497in"} {width="1.1805391513560806in" height="0.3681288276465442in"} 这是可分离变量的方程. 考研拼 以上所介绍的方法可以应用于更一般的方程 {width="1.2014413823272092in" height="0.3472965879265092in"} 例 3 解方程 (2x+y-4)dx+(x+y-1)dy=0. 解 所给方程属方程(3-3)的类型.令x=X+h,y=Y+k, 则 dx=dX,dy=dY, 代入原方程得 (2X+Y+2h+k-4)dX+(X+Y+h+k-1)dY=0. 解方程组 {width="0.8194553805774278in" height="0.4374825021872266in"} 得 h=3,k=-2. 令 x=X+3 ,y=Y-2, 原方程成为 (2X+Y)dX+(X+Y)dY=0, 或 这是齐次方程. 令{width="0.34629155730533684in" height="0.3055424321959755in"},则】*Y=Xu,* 或 分离变量得 积分得 于是 {width="1.319436789151356in" height="0.6596948818897638in"} {width="0.7985520559930008in" height="0.31248687664041996in"},于是方程变为 {width="0.986159230096238in" height="0.33340879265091866in"} {width="1.0971872265966753in" height="0.33331911636045497in"} {width="1.1111220472440946in" height="0.33331911636045497in"} {width="1.9305774278215224in" height="0.29165463692038496in"} {width="1.2152471566054244in" height="0.5138681102362205in"} 或 C₂=X²(u²+2u+2)(C₂=C²), 即 Y²+2XY+2X²=C₂ . 以 X=x-3,Y=y+2 代入上式并化简，得 2x²+2xy+y²-8x-2y=C(C=C₂-10). []{#bookmark46 .anchor}习 题 7-3 1\. 求下列齐次方程的通解： *(1)xy\'-y-√y²-x²=0;* (2) {width="0.7152646544181978in" height="0.25693350831146106in"} (3)(x²+y²)dx-xydy=0; (4)(x³+y³)dx-3xy²dy=0; {width="2.361078302712161in" height="0.25702318460192475in"} \(6\) {width="1.7221981627296588in" height="0.25693350831146106in"} 2\. 求下列齐次方程满足所给初值条件的特解： (1)(y²-3x²)dy+2xydx=0,y¹x==1; \(2\) {width="1.118024934383202in" height="0.25693350831146106in"} (3)(x²+2xy-y²)dx+(y²+2xy-x²)dy=0,yl₃=1=1. 3\. 设有联结点0(0,0)和A(1,1) 的 一 段向上凸的曲线弧OA, 对 于OA上 任 一 点P(x,y), 曲线弧OP 与直线段OP 所围图形的面积为x²,求曲线弧OA 的方程 . \*4.化下列方程为齐次方程，并求出通解： (1)(2x-5y+3)dx-(2x+4y-6)dy=0; (2)(x-y-1)dx+(4y+x-1)dy=0; (3)(3y-7x+7)dx+(7y-3x+3)dy=0; {width="5.554571303587052e-2in" height="5.555336832895888e-2in"}(4)(x+y)dx+(3x+3y-4)dy=0. []{#bookmark47 .anchor}第 四 节 一 阶 线 性 微 分 方 程 一 、线 性 方 程 {width="1.18750656167979in" height="0.3472080052493438in"}方 程 (4-1) 叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数 y 及其导数是一次方程.如果 Q(x)=0, 那么方程(4-1)称为齐次的；如果Q(x)≠0, 那么方程(4-1)称为非齐 次的. {width="0.8819685039370079in" height="0.31941272965879264in"}设(4-1)为非齐次线性方程.为了求出非齐次线性方程(4-1)的解，我们先 把Q(x) 换成零而写出方程 (4-2) 方程(4-2)叫做对应于非齐次线性方程(4-1)的齐次线性方程.方程(4-2)是可 分离变量的，分离变量后得 {width="0.9028062117235346in" height="0.3611100174978128in"} 两端积分，得 {width="1.4583366141732284in" height="0.28466535433070866in"} 或 y=Ce-JPsx)d. (C=±e¹), 这是对应的齐次线性方程(4-2)的通解①. 现在我们使用所谓常数变易法来求非齐次线性方程(4-1)的通解.这方法 是把(4-2)的通解中的 C 换成x 的未知函数u(x), 即作变换 y=ue-JP(x)d, (4-3) 于是 {width="2.041669947506562in" height="0.3124639107611549in"} (4-4) 将(4-3)和(4-4)代人方程(4-1)得 u\'e-P(±)d -uP(x)e-IP(z)+P(x)ue-JPsx)d=Q(x), 即 *u′e-JPx)d=Q(x),u\'=Q(x)eJP()d.* 两端积分，得 u=ʃQ(x)ePr⁴)dx+C 把上式代入(4-3),便得非齐次线性方程(4-1)的通解 {width="1.2638910761154856in" height="6.949912510936133e-3in"} ①这里记号 {width="0.472176290463692in" height="0.2152580927384077in"}表示P(x)的某个确定的愿数 {width="2.1805686789151357in" height="0.319413823272091in"} 将(4-5)式改写成两项之和 (4-5) {width="2.5069444444444446in" height="0.2985640857392826in"} 上式右端第一项是对应的齐次线性方程(4-2)的通解，第二项是非齐次线性方 程(4-1)的一个特解(在(4-1)的通解(4-5)中取 C=0 便得到这个特解). 由此 可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的 一个特解之和. 例 1 求方程 {width="1.084022309711286in" height="0.2719685039370079in"} 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次方程的通解. {width="0.81248687664042in" height="0.3124639107611549in"} {width="0.5764304461942257in" height="0.34721128608923885in"} lnlyl=2lnlx+1l+C₁, y=C(x+1)²(C=±eC¹). 用常数变易法，把 C换成u,即令 y=u(x+1)², (4-6) 那么 {width="1.611104549431321in" height="0.3124639107611549in"} 代入所给非齐次方程，得 u\'=(x+1). 两端积分，得 {width="1.0555107174103238in" height="0.2986537620297463in"} 再把上式代人(4-6)式，即得所求方程的通解为 {width="1.6736187664041995in" height="0.31950240594925633in"} 例 2 有一个电路如图7-5所示，其中电源电动势 为 E=E sin wt(E,w 都是常量),电阻R 和电感 L 都是 常量.求电流i(t). {width="1.388853893263342in" height="1.1319794400699912in"} 图7-5 解 (i) 列方程 由电学知道，当电流变化时，L 上有感应电动势-1{width="0.27768482064741906in" height="0.3054844706911636in"} 由 回路电压定律得出 {width="0.9305479002624671in" height="0.3124387576552931in"} 即 {width="0.7292005686789151in" height="0.3194838145231846in"} 把E=Esin wt代入上式，得 {width="1.1111220472440946in" height="0.33330489938757657in"} (4-7) 未知函数i(t) 应满足方程(4-7).此外，设开关S 闭合的时刻为t=0, 这时 i(t) 还应该满足初值条件 il=o=0. (4-8) \(ii\) 解方程 方程(4-7)是一个非齐次线性方程.可以先求出对应的齐次 方程的通解，然后用常数变易法求非齐次方程的通解.但是，也可以直接应用通 解公式(4-5)来求解.这里 {width="0.6486778215223097in" height="0.2986187664041995in"}{width="0.9485564304461942in" height="0.3194838145231846in"}t,代入公式(4-5),得 {width="2.076379046369204in" height="0.34025918635170604in"} 应用分部积分法，得 {width="3.173741251093613in" height="0.36301509186351705in"} 将上式代人前式并化简，得方程(4-7)的通解 {width="2.6250054680664916in" height="0.3472145669291339in"} 其中C 为任意常数. 将初值条件(4-8)代入上式，得 {width="0.7986176727909011in" height="0.36112423447069114in"} {width="3.0347331583552055in" height="0.35416994750656167in"}因此，所求函数i(t)为 (4-9) 为了便于说明(4-9)式所反映的物理现象，下面把 i(t) 中第二项的形式稍 加改变. {width="2.243018372703412in" height="0.3819892825896763in"}令 于是(4-9)式可写成 {width="2.5971992563429573in" height="0.40276574803149606in"} 其中 {width="0.8055205599300087in" height="0.30557414698162727in"} 当 t 增大时，上式右端第一项(叫做暂态电流)逐渐衰减而趋于零；第二项 (叫做稳态电流)是正弦函数，它的周期和电动势的周期相同而相角落后φ. 在上节中，对于齐次方程 {width="0.6110750218722659in" height="0.3124398512685914in"},我们通过变量代换y=xu, 把它化为变 量可分离的方程，然后分离变量，经积分求得通解.在本节中，对于一阶非齐次线 性方程 y\'+P(x)y=Q(x), 我们通过解对应的齐次线性方程找到变量代换 y=ue-IP(x)d, 利用这一代换，把非齐次线性方程化为变量可分离的方程，然后经积分求得 通解. {width="0.5486253280839894in" height="0.3472145669291339in"}利用变量代换(因变量的变量代换或自变量的变量代换)把一个微分方程 化为变量可分离的方程，或化为已经知其求解步骤的方程，这是解微分方程最常 用的方法.下面再举一个例子. 例 3 解方程 解 若把所给方程变形为 {width="0.5694630358705162in" height="0.3472145669291339in"} 即为一阶线性方程，则按一阶线性方程的解法可求得通解. {width="0.5763670166229221in" height="0.2986187664041995in"}也可用变量代换来解所给方程.令x+y=u, 则 y=u-x, {width="0.6597178477690289in" height="0.30557414698162727in"}.代人原方 程，得 {width="0.6404133858267717in" height="0.2856353893263342in"} 分离变量得 公 众号： 考研拼课 {width="0.7500120297462817in" height="0.2847517497812773in"} 两端积分得 u-lnlu+1l=x+C. 以 u=x+y 代入上式，即得 y-lnlx+y+1l=C, 或 x=C₁e\'-y-1 (C₁=±e-). \*二、伯努利方程 方程 {width="1.2221872265966753in" height="0.29858377077865267in"} (n≠0,1) (4-10) 叫做伯努利(Bernoulli)方程. 当 n=0 或 n=1 时，这是线性微分方程.当 n≠0,n ≠1时，这方程不是线性的，但是通过变量的代换，便可把它化为线性的.事实 上，以y\"除方程(4-10)的两端，得 {width="1.4722353455818022in" height="0.31946412948381453in"} (4-11) 容易看出，上式左端第一项与{width="0.5418186789151356in" height="0.29858377077865267in"}只差一个常数因子1-n,因此我们引入新 的因变量 z=y¹-, 那么 {width="1.0416152668416447in" height="0.31250437445319335in"} 用(1-n) 乘方程(4-11)的两端，再通过上述代换便得线性方程 {width="1.9170341207349082in" height="0.287253937007874in"} 求出这方程的通解后，以 y¹-"代换z 便得到伯努利方程的通解. 例 4 求方程 {width="1.111091426071741in" height="0.29171259842519687in"} 的通解. 解 以 y²除方程的两端，得 营研拼课 {width="1.2291349518810148in" height="0.34025699912510937in"} 即 {width="1.437496719160105in" height="0.36104877515310585in"} 令 z=y⁻¹, 则上述方程成为 {width="0.9725973315835521in" height="0.2661461067366579in"} 这是一个线性方程，它的通解为 {width="1.2360826771653544in" height="0.30563320209973754in"} 以 y⁻¹ 代 z, 得所求方程的通解为 {width="1.347244094488189in" height="0.30554352580927385in"} []{#bookmark48 .anchor}习 题 7-4 1\. 求下列微分方程的通解： \(1\) {width="0.58333552055993in" height="0.25699912510936135in"} (2)xy\'+y=x²+3x+2; (3)y¹+ycos x=ein\*; (4)y\'+ytan x=sin 2x; (5)(x²-1)y\'+2xy-cosx=0; (6) {width="0.6041786964129484in" height="0.25699912510936135in"} \(7\) {width="0.7083267716535433in" height="0.25691054243219597in"} (8)yln ydx+(x-ln y)dy=0; \(9\) {width="1.1736198600174979in" height="0.25699912510936135in"} ; (10) {width="0.9999945319335083in" height="0.25691054243219597in"} {width="1.6805971128608923in" height="0.25003937007874016in"}{width="1.319453193350831in" height="0.5971675415573053in"}2. 求下列微分方程满足所给初值条件的特解： {width="1.7916929133858268in" height="0.25691054243219597in"}(2) \(4\) \(5\) {width="0.7499475065616797in" height="0.2847517497812773in"}1,ylx₁=0. 3\. 求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(x,y) 处的切线斜率等于2x+y. 4\. 设有一质量为 m 的质点做直线运动.从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一 致、大小与时间成正比(比例系数为k₁) 的力作用于它，此外还受一与速度成正比(比例系数 为k₂) 的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系. 5\. 设有一个由电阻 R=10Ω、电感L=2H 电 源 单 乐 E=20sin 5tV串联组成的电路.开 关 S合上后，电路中有电流通过.求电流i与时间 t的函数关系. 6\. 验证形如 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的微分方程可经变量代换v=xy 化为可分离变量的 方程，并求其通解. 7\. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解： \(1\) {width="0.694491469816273in" height="0.27082239720034995in"} (2) {width="0.6319127296587926in" height="0.28471128608923885in"} (3)xy\'+y=y(In x+In y); (4)y\'=y²+2(sin x-1)y+sin²x-2sin x-cos x+1; (5)y(xy+1)dx+x(1+xy+x²y²)dy=0. \*8.求下列伯努利方程的通解： \(1\) {width="1.256923665791776in" height="0.25693350831146106in"} (2) {width="0.743069772528434in" height="0.26387795275590553in"} \(3\) {width="1.2500207786526685in" height="0.25693350831146106in"} (4) {width="0.625009842519685in" height="0.27082239720034995in"} (5)xdy-\[y+xy³(1+In x)\]dx=0. []{#bookmark49 .anchor}第 五 节 可降阶的高阶微分方程 从这一节起我们将讨论二阶及二阶以上的微分方程，即所谓高阶微分方程. 对于有些高阶微分方程，我们可以通过代换将它化成较低阶的方程来求解.以二 阶微分方程 *y\"=f(x,y,y\')* (5-1) 而论，如果我们能设法作代换把它从二阶降至一阶，那么就有可能应用前面几节 中所讲的方法来求出它的解了. 下面介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法. 一 、y(\")=f(x) 型的微分方程 微分方程 *y(n)=f(x)* (5-2) 的右端仅含有自变量x.容易看出，只要把y(n-1)作为新的未知函数，那么(5-2) 式就是新未知函数的一阶微分方程.两边积分，就得到一个n-1 阶的微分方程 {width="1.2985990813648294in" height="0.29165463692038496in"} 同理可得 {width="2.0765507436570427in" height="0.31248687664041996in"} 依此法继续进行，接连积分 n 次，便得方程(5-2)的含有n 个任意常数的通解. 例 1 求微分方程 y\"=e²ˣ-cos x 的通解. 解 对所给方程接连积分三次，得 {width="1.1666688538932632in" height="0.3055424321959755in"} {width="1.5069149168853893in" height="0.3055424321959755in"} {width="2.548620953630796in" height="0.33331911636045497in"} 这就是所求的通解. 例 2 质量为m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴做直线运动.设力F=F(t) 在开 始时刻t=0 时 F(0)=F。, 随着时间t 的增大，力 F 均匀地减小，直到t=T 时 ，F(T) =0.如果开始时质点位于原点，且初速度为零，求这质点的运动规律. 解 设 x=x(t) 表示在时刻 t 时质点的位置，根据牛顿第二定律，质点运动 的微分方程为 {width="0.8333902012248469in" height="0.3472080052493438in"} (5-3) 由题设，力F(t) 随 t 增大而均匀地减小，且t=0 时 ，F(0)=F 。, 所 以 F(t)=F₀- kt; 又 当t=T 时 ，F(T)=0, 从而 {width="1.090219816272966in" height="0.31951990376202977in"} 于是方程(5-3)可以写成 {width="0.9791262029746282in" height="0.3541524496937883in"} {width="0.6597189413823272in" height="0.3263746719160105in"}其初值条件为 x1=o=0, 把(5-4)式两端积分，得 {width="1.2222145669291338in" height="0.3472080052493438in"} 即 {width="1.2222145669291338in" height="0.4791469816272966in"} (5-4) (5-5) 将条 {width="0.7291349518810148in" height="0.31951990376202977in"} 代人(5-5)式，得 C₁=0, 于是(5-5)式成为 {width="0.9166130796150481in" height="0.3541513560804899in"} 把(5-6)式两端积分，得 {width="1.1805391513560806in" height="0.3541524496937883in"} 将条件xl=0 代入上式，得 C₂=0. {width="0.8611307961504812in" height="0.3542410323709536in"}于是所求质点的运动规律为 ,0≤t≤T. 二 、y\"=f(x,y\') 型的微分方程 方程 *y\"=f(x,y\')* 的右端不显含未知函数y.如果我们设y\'=p, 那 么 {width="0.7013943569553805in" height="0.3194302274715661in"} 而方程(5-7)就成为 *p\'=f(x,p).* 这是一个关于变量x,p 的一阶微分方程.设其通解为 *p=φ(x,C₁),* 但是 {width="0.38192147856517933in" height="0.31248687664041996in"},因此又得到一个一阶微分方程 {width="0.8750010936132984in" height="0.3194313210848644in"} 对它进行积分，便得方程(5-7)的通解为 | > 例 3 求微分方程 | {width="1.3118055555555554in" | | | height="0.2844455380577428in"} | | 满足初值条件 | | | | > *(1+x²)y\"=2xy'* | | | > | | | > 拷研拼课 公众号： | (5-6) (5-7) ylx==1,y\'lx=o=3 的特解. 解 所给方程是y\"=f(x,y\')型的.设y\'=p,代入方程并分离变量后，有 {width="0.7499737532808399in" height="0.3472069116360455in"} 两端积分，得 lnlpl=ln(1+x²)+C, 即 p=y\'=C₁(1+x²)(C₁=±e). 由条件y\'lx=o=3, 得 C₁=3, 所以 y′=3(1+x²). 两端再积分，得 y=x³+3x+C₂ . 又由条件y¹×==1, 得 C₂=1, 于是所求的特解为 y=x³+3x+1. 例 4 设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂.试 问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线? {width="1.3125349956255468in" height="1.2082841207349082in"}解 设绳索的最低点为A.取 y 轴通过点A 铅直向上，并取x 轴水平向右. 且10AI 等于某个定值(这个定值将在以后说明).设绳索曲线的方程为 y= φ(x). 考察绳索上点A 到另一点M(x,y) 间的一段弧AM, 设其长为s.假定绳索的线密度为p,则弧AM 所受重力为 pgs. 由于绳索是柔软的，因而在点A 处的张力沿水平的切 线方向，其大小设为H; 在点M 处的张力沿该点处的切线 方向，设其倾角为θ,其大小为T(图7-6).因作用于弧段 AM的外力相互平衡，把作用于弧AM上的力沿铅直及水平 两方向分解，得 *Tsin θ=pgs,Tcosθ=H.* 将此两式相除，得 公你号： 拷研 升 {width="0.600009842519685in" height="0.2717432195975503in"}{width="0.5347025371828521in" height="0.33338582677165357in"} 由于tan θ=y\' {width="0.9999945319335083in" height="0.29858377077865267in"},代人上式即得 {width="1.1947856517935258in" height="0.28581583552055995in"} {width="0.875003280839895in" height="0.298672353455818in"}将上式两端对x 求导，便得y=φ(x) 满足的微分方程 (5-8) 取原点0到点A 的距离为定值a, 即10AI=a, 那么初值条件为 yl==a,y\'lx=o=0. 下面来解方程(5-8). 方程(5-8)属于y\"=f(x,y\')的类型.设y\'=p, 则 {width="0.43750109361329836in" height="0.30554352580927385in"},代入方程(5-8),并 分离变量，得 两端积分，得 把条件y\'lx=o=plx=o=0 于是(5-9)式成为 解得 即 积分上式两端，便得 {width="0.708853893263342in" height="0.37073053368328956in"} {width="1.416654636920385in" height="0.284663167104112in"} 代入(5-9)式，得 C₁=0, {width="1.2153051181102361in" height="0.2847517497812773in"} {width="1.0347320647419072in" height="0.31250437445319335in"} {width="1.0347331583552055in" height="0.30554352580927385in"} {width="1.3333486439195101in" height="0.3819302274715661in"} (5-9) (5-10) 将条件ylx=o=a 代入(5-10)式，得 C₂=0. 于是该绳索的形状可由曲线方程 {width="0.9444149168853894in" height="0.2777023184601925in"} 来表示.这曲线叫做悬链线. 三 、y\"=f(y,y\')型的微分方程 方程 *y\"=f(y,y\')* (5-11) 中不明显地含自变量 x.为了求出它的解.我们令y\'=p,并利用复合函数的求导 法则把y\"化为对y 的导数，即 {width="1.3472430008748906in" height="0.34025699912510937in"} 这样，方程(5-11)就成为 {width="0.8611089238845144in" height="0.34025699912510937in"} 这是一个关于变量y,p 的一阶微分方程.设它的通解为 y\'=p=φ(y,C₁), 分离变量并积分，便得方程(5-11)的通解为 {width="1.1180391513560806in" height="0.3332961504811899in"} 例5 求微分方程 *yy"-y²=0* (5-12) 的通解. 解 方程(5-12)不明显地含自变量x, 设 *y¹=p,* 则 {width="0.5277548118985127in" height="0.326424978127734in"},代人方程(5-12),得 {width="0.7777373140857393in" height="0.36113735783027123in"} 在y≠0,p≠0 时，约去p 并分离变量，得 {width="0.48606955380577427in" height="0.39585083114610675in"} 两端积分，得 lnlpl=Inlyl+C, 即 p=C₁y 或 y\'=C₁y(C₁=±e"). 再分离变量并两端积分，便得方程(5-12)的通解为 lnlyl=C₁x+C₂, 或 y=C₂eC¹ (C₂=±eC 之). 例 6 一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始落向地面.求 它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力). 解 取联结地球中心与该物体的直线为y 轴，其方向铅直向上，取地球的中 心为原点0(图7-7). 设地球的半径为R, 物体的质量为 m, 物体开始下落时 与地球中心的距离为 l(l\>R), 在时刻t 物体所在位置为y= φ(t),于是速度为{width="0.6314774715660543in" height="0.29165463692038496in"} 根据万有引力定律，即得微分 方程 {width="0.9444663167104111in" height="0.37184930008748907in"} {width="0.7013746719160106in" height="0.3749846894138233in"}即 (5-13) 其中M 为地球的质量，G 为引力常数.因为当y=R 时 ， {width="0.48749343832020997in" height="0.32058180227471567in"}(这里置负号是由于物体运动加速度的方向与y 故),所以{width="0.4452405949256343in" height="0.31248687664041996in"}*,GM=gR².* 于是方程(5-13)成为 {width="0.6875535870516185in" height="0.3749846894138233in"} 初值条件是 yl=o=l,y\'I.=o=0. 先求物体到达地面时的速度.由{width="0.34541338582677167in" height="0.2847101924759405in"},得 {width="1.4444706911636045in" height="0.40284995625546804in"} 代入方程(5-14)并分离变量，得 {width="1.236124234470691in" height="2.2604844706911638in"} 图7-7 轴的正向相反的缘 (5-14) {width="0.8264074803149606in" height="0.3820177165354331in"} 两端积分，得 {width="0.8264074803149606in" height="0.3610958005249344in"} 把初值条件代入上式，得 {width="0.7224879702537182in" height="0.3055424321959755in"} 于是 {width="2.4378193350831148in" height="0.3472080052493438in"} 这里取负号是由于物体运动的方向与 y 轴的正向相反的缘故. 在(5-15)式中令y=R, 就得到物体到达地面时的速度为 {width="1.0906167979002626in" height="0.3615923009623797in"} 下面来求物体落到地面所需的时间.由(5-15)式有 {width="1.541667760279965in" height="0.3680402449693788in"} 分离变量得 {width="1.2847550306211724in" height="0.3749846894138233in"} 两端积分(对右端积分利用置换y=lcos²u), 得 {width="2.2569936570428695in" height="0.3750732720909886in"} 由条件yl=o=l,得 C₂=0. 于是(5-16)式成为 {width="2.0000164041994752in" height="0.3749846894138233in"} 在上式中令y=R, 便得到物体到达地面所需的时间为 {width="2.055557742782152in" height="0.3749846894138233in"} []{#bookmark50 .anchor}习 题 7-5 1.求下列各微分方程的通解： 考研拼课 (5-15) (5-16) (1)y\"=x+sin x; (2)y\"=xe\*; \(3\) {width="0.4514031058617673in" height="0.26396653543307086in"}; (4)y\"=1+y\"²; (5)y\"=y\'+x; (6)xy\"+y\'=0; (7)yy\"+2y\'²=0; (8)y³y\"-1=0; \(9\) {width="0.42366141732283463in" height="0.2985990813648294in"} (10)y\"=(y\')³+y\'. 2.求下列各微分方程满足所给初值条件的特解： (1)y³y\"+1=0,yl=1=1,y\'l.=0; (2)y\"-ay²=0,ylxo=0,y\'l=-1; (3)y\"=e\*,yl₁=y\'l =y\"I=1=0; (4)y\"=e²,yl =y\'lx=o=0; (5)y\"=3√y,yl,==1,y\'l==2; (6)y\"+(y\')²=1,yl×o=0,y\'l. 。=0. 3\. 试求y\"=x 的经过点M(0,1) 且在此点与直线{width="0.4839829396325459in" height="0.24304571303587053in"}相切的积分曲线. 4\. 设有一质量为m 的物体在空中由静止开始下落，如果空气阻力R=c (其中c 为常数， v为物体运动的速度),试求物体下落的距离s与时间t的函数关系. []{#bookmark51 .anchor}第 六 节 高阶线性微分方程 本节和以下两节，我们将讨论在实际问题中应用得较多的所谓高阶线性微 分方程.讨论时以二阶线性微分方程为主. 一 、二阶线性微分方程举例 {width="0.5903018372703412in" height="1.8333486439195101in"}例 1 设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为m 的物 体.当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹性力大小相 等、方向相反.这个位置就是物体的平衡位置.如图7-8,取x 轴铅直 向下，并取物体的平衡位置为坐标原点. 如果使物体具有一个初始速度 vo≠0,那么物体便离开平衡位 置，并在平衡位置附近做上下振动.在振动过程中，物体的位置 x 随 时间 t变化，即x 与 t 之间存在函数关系：x=x(t). 要确定物体的振动 规律，就要求出函数x=x(t). 由力学知道，弹簧使物体回到平衡位置的弹性恢复力f (它不包 括在平衡位置时和重力 mg 相平衡的那学部芬弹性力)和物体离开平 图7-8 衡位置的位移x 成正比： *f=-cx,* 其中c 为弹簧的劲度系数，负号表示弹性恢复力的方向和物体位移的方向相反. 另外，物体在运动过程中还受到阻尼介质(如空气、油等)的阻力的作用，使 得振动逐渐趋向停止.由实验知道，阻力 R 的方向总与运动方向相反，当运动速 度不大时，其大小与物体运动的速度成正比，设比例系数为μ,则有 {width="0.6041721347331583in" height="0.2985990813648294in"} 根据上述关于物体受力情况的分析，由牛顿第二定律得 移项，并记 则上式化为 {width="1.0764140419947505in" height="0.3402635608048994in"} {width="0.9930621172353455in" height="0.24999015748031497in"} {width="1.1458311461067368in" height="0.3402635608048994in"} (6-1) 这就是在有阻尼的情况下，物体自由振动的微分方程 如果物体在振动过程中，还受到铅直干扰力 *F=Hsinpt* {width="1.5208497375328085in" height="0.3610958005249344in"}的作用，则有 (6-2) 其中 {width="0.37501859142607175in" height="0.3055424321959755in"} 这就是强迫振动的微分方程. {width="1.4583366141732284in" height="1.263837489063867in"}例 2 设有一个由电阻R、自感L、电容C 和电源 E 串联组成的电路，其中R,L 及 C 为常数，E=Esin wt,这 里 E 及 w 也 是 常 数(图7-9). 设电路中的电流为i(t), 电容器极板上的电荷量为 q(t), 两极板间的电压为 uc, 自感电动势为 E₁ . 由电学 {width="0.3552755905511811in" height="0.27839785651793525in"}知道 {width="0.4583005249343832in" height="0.2506835083114611in"} 根据回路电压定律，得 {width="0.6805566491688539in" height="0.2847101924759405in"} A 众号。栏研拼课 {width="1.1597222222222223in" height="0.31946522309711284in"} 即 {width="1.944475065616798in" height="0.36113735783027123in"} 或写成 {width="1.8472123797025373in" height="0.35408902012248467in"} 式中 {width="0.9930325896762905in" height="0.35417760279965005in"}这就是串联电路的振荡方程. 如果电容器经充电后撤去外电源(E=0), 那么方程(6-3)成为 {width="1.402813867016623in" height="0.3680096237970254in"} (6-3) (6-4) 例1和例2虽然是两个不同的实际问题，但是仔细观察一下所得出的方程 (6-2)和(6-3),就会发现它们可以归结为同一个形式 {width="1.7569247594050743in" height="0.34721675415573056in"} (6-5) 而方程(6-1)和方程(6-4)都是方程(6-5)的特殊情形：f(x)=0. 在工程技术的 其他许多问题中，也会遇到上述类型的微分方程. 方程(6-5)叫做二阶线性微分方程，当方程右端f(x)=0 时，方程叫做齐次 的；当f(x)≠0时，方程叫做非齐次的. 于是方程(6-2)、(6-3)都是二阶非齐次线性微分方程，方程(6-1)、(6-4) 都是二阶齐次线性微分方程. 要进一步讨论例1和例2中的问题，就需要解二阶线性微分方程.为此，下 面来讨论二阶线性微分方程的解的一些性质，这些性质可以推广到 n阶 线 性方程 y(n)+a₁(x)y(n-1)+...+an₋1(x)y\'+a(x)y=f(x). 二 、线性微分方程的解的结构 先讨论二阶齐次线性方程 y\"+P(x)y\'+Q(x)y=0. 定理1 如果函数y₁(x) 与 y₂(x) 是方程(6-6)的两个解，那么 y=C₁y₁(x)+C₂y₂(x) 也是(6-6)的解，其中C₁,C₂ 是任意常数 (6-6) (6-7) 证 将(6-7)式代入(6-6)式左端，得 \[C₁y\"+C₂y2 \]+P(x)\[C₁y\'+C₂y2 \]+Q(x)\[C₁y₁+C₂y₂\] =C₁\[y\"+P(x)y{+Q(x)y₁\]+C₂\[y\"2+P(x)y₂+Q(x)y₂\]. 由于y₁ 与 y₂ 是方程(6-6)的解，上式右端方括号中的表达式都恒等于零，因而整 个式子恒等于零，所以(6-7)式是方程(6-6)的解. 解(6- 7)从形式上来看含有 C₁与 C₂ 两个任意常数，但它不一定是方程 (6-6)的通解.例如，设y₁(x) 是(6-6)的一个解，则y₂(x)=2y₁(x) 也是(6-6)的 解.这时(6-7)式成为y=C₁y₁(x)+2C₂y(x), 可以把它改写成y=Cy₁(x), 其 中C =C₁+2C₂. 这显然不是(6-6)的通解.那么在什么情况下(6-7)式才是方程(6- 6)的通解呢?要解决这个问题，还得引入一个新的概念，即所谓函数组的线性 相关与线性无关. 设 y₁ (x),y₂ (x),...,yn(x) 为定义在区间I 上的n 个函数，如果存在n 个 不 全为零的常数 k₁,k₂, ... ,k, 使得当x∈I 时有恒等式 k₁y₁+k₂y₂+...+knyn=0 成立，那么称这n 个函数在区间I 上线性相关；否则称线性无关. 例如，函数1,cos²x,sin²x 在整个数轴上是线性相关的 . 因为取 k₁=1, k₂=k₃=-1, 就有恒等式 1-cos²x-sin²x=0. 又如，函数1,x,x² 在任何区间(a,b) 内是线性无关的. 因为如果 k₁,k₂,k₃ 不全为 零，那么在该区间内至多只有两个 x 值能使二次三项式 k₁+k₂x+k₃x² 为零；要使它恒等于零，必须k₁,k₂,k₃ 全为零. 应用上述概念可知，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只要看 它们的比是否为常数：如果比为常数，那么它们就线性相关；否则就线性 无关 . 有了一组函数线性相关或线性无关的概念后，我们有如下关于二阶齐次线 性微分方程(6-6)的通解结构的定理. 定理2 如果y₁(x) 与 y₂(x) 是方程(6-6)的两个线性无关的特解，那么 y=C₁y₁(x)+C₂y₂(x) (C₁,C₂ 是任意常数) 就是方程(6-6)的通解. 例如，方程y\"+y=0 是二阶齐次线性方程(这里 P(x)=0,Q(x)=1). 容易验 证，y₁=cos x 与 y₂=sin x 是所给方程的两个解，{width="1.187509842519685in" height="0.35417760279965005in"}常数，即它们 是线性无关的.因此方程 y\"+y=0 的通解为 y=C₁cos x+C₂sin x. 又如，方程 (x-1)y\"-xy\'+y=0 也 是 二 阶 齐 次 线 性 方 程 {width="4.165573053368329e-2in" height="7.635498687664043e-2in"} 这 里 {width="1.6180708661417322in" height="0.31950240594925633in"} .容易验证y₁=x,y₂=e\* 是所给方程的两个解，且 {width="0.2986329833770779in" height="0.34730096237970254in"} {width="0.2361165791776028in" height="0.31941272965879264in"}常数，即它们是线性无关的.因此方程的通解为 y=C₁x+C₂eˣ . 定理2不难推广到 n 阶齐次线性方程. 推论 如果y₁(x),y₂(x),...,yn(x )是 n 阶齐次线性方程 y(\"+a₁(x)y(n-1)+...+an\_ 1(x)y\'+an(x)y=0 的 n 个线性无关的解，那么,此方程的通解为 y=C₁y₁(x)+C₂y₂(x)+...+Cny(x), 其中 C₁,C₂, ... ,C, 为任意常数. 下面讨论二阶非齐次线性方程(6-5).我们把方程(6-6)叫做与非齐次方 程(6-5)对应的齐次方程. 在第四节中我们已经看到， 一阶非齐次线性微分方程的通解由两部分构成： 一部分是对应的齐次方程的通解，另一部分是非齐次方程本身的一个特解.实际 上，不仅一阶非齐次线性微分方程的通解具有这样的结构，而且二阶及更高阶的 非齐次线性微分方程的通解也具有同样的结构. 定理3 设 y\*(x) 是二阶非齐次线性方程 y\"+P(x)y\'+Q(x)y=f(x) (6-5) 的一个特解.Y(x) 是与(6-5)对应的齐次方程(6-6)的通解，则 y=Y(x)+y\*(x) (6-8) 是二阶非齐次线性微分方程(6-5)的通解. 证 把(6-8)式代入方程(6-5)的左端，得 (Y\"+y\*\")+P(x)(Y\'+y\')+Q(x)(Y+y\*) =\[Y\"+P(x)Y\'+Q(x)Y\]+\[y\"+P(x)y⁴\'+Q(x)y\*\], 由 于Y 是方程(6-6)的解，y\* 是(6-5)的解，可知第一个括号内的表达式恒等于 零，第二个恒等于f(x). 这样，y=Y+y 使(6-5)的两端恒等. 即(6-8)式是方程 (6-5)的解. 由于对应的齐次方程(6-6)的通解 Y=C₁y₁+C₂y₂ 中含有两个任意常数，所 以 y=Y+y 中也含有两个任意常数，从而它就是二阶非齐次线性方程(6-5) 的通解. 例如，方程y\"+y=x² 是二阶非齐次线性微分方程. 已知 Y=C₁cos x+C₂sin x是 对应的齐次方程y\"+y=0 的通解；又容易验证y=x²-2 是所给方程的一个特解. 因此 y=C₁cos x+C₂sin x+x²-2 是所给方程的通解. 非齐次线性微分方程(6-5)的特解有时可用下述定理来帮助求出. 定理4 设非齐次线性方程(6-5)的右端f(x) 是两个函数之和，即 y\"+P(x)y²+Q(x)y=f₁(x)+f₂(x), (6-9) 而 y₁ (x) 与 y₂ (x) 分别是方程 y\"+P(x)y\'+Q(x)y=f₁(x) 与 *y\"+P(x)y¹+Q(x)y=f₂(x)* 的特解，则y\*(x)+y₂(x) 就是原方程的特解. 证 将 y=y1+y2 代入方程(6-9)的左端，得 (y+y₂)\"+P(x)(y+y2)\'+Q(x)(y1+y₂) =\[y\"+P(x)y₁\'+Q(x)y\*\]+\[y₂\"+P(x)y₂\'+Q(x)y₂\] =f₁(x)+f₂(x). 因此y1+y2 是方程(6-9)的一个特解. 这一定理通常称为线性微分方程的解的叠加原理. 定理3和定理4也可推广到n 阶非齐次线性方程，这里不再赘述. "三、常数变易法 在第四节中，为解一阶非齐次线性方程，我们用了常数变易法.这方法的特 点是：如果Cy₁(x) 是齐次线性方程的通解，那么,可以利用变换y=uy₁(x) (这变 换是把齐次方程的通解中的任意常数C 换成未知函数u(x) 而得到的)去解非齐 次线性方程.这一方法也适用于解高阶线性方程.下面就二阶线性方程来作 讨论. 如果已知齐次方程(6-6)的通解为 Y(x)=C₁y₁(x)+C₂y₂(x), 那么,可以用如下的常数变易法去求非齐次方程(6-5)的通解.令 y=y(x)v₁+y₂(x)v₂, (6-10) 要确定未知函数 v₁ (x) 及 v₂ (x) 使(6O 一 1 或所表示的函数满足非齐次方程 (6-5).为此，对(6-10)式求导，得 y\'=y₁v+y₂v\'+y\'v₁+y2V₂ · 由于两个未知函数，v₂ 只需使(6-10)式所表示的函数满足一个关系式(6-5), 所以可规定它们再满足一个关系式.从y' 的上述表示式可看出，为了使y"的表示 式中不含 v" 和 v2, 可 设 y₁v\'+y₂v\'2 =0, (6-11) 从而 y\'=y v₁+y2v₂, 再求导，得 y\"=y{v+y2v\'+y\"v₁+y\"v₂ · 把y,y\',y\"代入方程(6-5),得 y{v\'+yzv₂+y\""v₁+y2v₂+P(y{v₁+y₂v₂)+Q(y₁v₁+y₂v₂)=f, 整理得 y{v{+y2v₂+(y\"+Py{+Qy₁)v₁+(y\"+Py₂+Qy₂)v₂=f. 注意到y₁ 及y₂ 是齐次方程(6-6)的解，故上式即为 y{v{+y2v2 =f. (6-12) 联立方程(6-11)与(6-12),在系数行列式 {width="1.85417760279965in" height="0.4514391951006124in"} 时，可解得 {width="1.0974923447069116in" height="0.30560258092738407in"} {width="1.1110728346456693in" height="0.3333770778652668in"}对上两式积分(假定f(x) 连续),得 {width="1.2710925196850393in" height="0.29945975503062117in"} 于是得非齐次方程(6-5)的通解为 {width="2.256932414698163in" height="0.34025371828521433in"} 例 3 已知齐次方程(x-1)y\"-xy\'+y=0 的通解为 Y(x)=C₁x+C₂e\*, 求非齐 次方程(x-1)y\"-xy\'+y=(x-1)² 的通解. 解 把所给方程写成标准形式 {width="1.3611417322834645in" height="0.29863735783027123in"} 令 y=xv₁+e\*v₂. 按照 考研拼课 有 解得 积分，得 {width="0.9791666666666666in" height="0.4375076552930884in"} {width="0.979167760279965in" height="0.4097331583552056in"} v′=-1,v\'=xe⁻ . v₁=C₁-x,v₂=C₂-(x+1)e⁻ . 于是所求非齐次方程的通解为 y=C₁x+C₂eˣ-(x²+x+1). 如果只知齐次方程(6-6)的一个不恒为零的解 y₁(x), 那么,利用变换y= 事实上，把 y=y₁u,y=y₁u\'+yu,y\"=y₁u\"+2y{u\'+y\"u 代入方程(6-5),得 *y₁u\"+2y{u\'+y\"u+P(y₁u\'+y{u)+Qy₁u=f,* 即 *y₁u\"+(2y+Py₁)u\'+(y\"+Py+Qy₁)u=f,* 由于y\"+Py{+Qy₁=0, 故上式为 *y₁u\"+(2y\'+Py₁)u\'=f.* 令 u\'=z,上式即化为一阶线性方程 y₁z¹+(2y\'+Py₁)z=f. (6-13) 把方程(6-5)化为方程(6-13)以后，按一阶线性方程的解法，设求得方程 (6-13)的通解为 z=C₂Z(x)+z(x), 积分得 u=C₁+C₂U(x)+u\*(x) (其中 U\'(x)=Z(x),u\*\'(x)=z(x)), 上式两端乘y₁(x), 便得方程(6-5)的通解 y=C₁y(x)+C₂U(x)y₁(x)+u\*(x)y₁(x). 上述方法显然也适用于求齐次方程(6-6)的通解. {width="0.9236034558180227in" height="0.29863735783027123in"}例 4 已 知 y₁(x)=eˣ 是齐次方程 y\"-2y\'+y=0 的解，求非齐次方程 {width="0.11803149606299213in" height="0.11806102362204725in"}的通解. \] 公众 {width="8.337707786526684e-2in" height="2.7773403324584427e-2in"}研拼课 解 令 y=eu, 则 y\'=e\'(u\'+u),y\"=e\'(u\"+2u\'+u), 代入非齐次方程，得 {width="2.333330052493438in" height="0.31250437445319335in"} 即 {width="1.1458366141732284in" height="0.2847517497812773in"} 这里不需再作变换去化为一 阶线性方程，只要直接积分，便得 | | > u\'=C+lnlxl, | | 再积分得 | | | | > u=C₁+Cx+xlnlxl-x, | | > 即 | | | | u=C₁+C₂x+xlnlxl(C₂=C-1). | | > 于是所求通解为 | | | | y=C₁eˣ+C₂xeˣ+xe\*lnlxl. | []{#bookmark52 .anchor}习 题 7-6 1\. 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的? (1)x,x²; (2)x,2x; (3)e²ˣ,3e², (4)e⁻\*,e\*; (5)cos 2x,sin 2x; (6)e²,xe²; (7)sin 2x,cos xsin x; (8)e\*cos 2x,e\*sin 2x; (9)In x,xln x; (10)e"\*,e"(a≠b). 2\. 验证 y₁=cos wx及 y₂=sin wx 都是方程y\"+w²y=0 的解，并写出该方程的通解. 3\. 验证 y₁=e² 及y₂=xe² 都是方程y\"-4xy\'+(4x²-2)y=0 的解，并写出该方程的通解. 4\. 验证： \(1\) {width="1.0833202099737533in" height="0.25699912510936135in"} (C₁,C₂ 是任意常数)是方程y\"-3y\'+2y=e⁵ 的通解； \(2\) {width="2.298584864391951in" height="0.26395997375328084in"}(C₁,C₂是任意常数)是方程y\"+9y=xcos x 的通解； (3)y=C₁x²+C₂x²lnx(C₁,C₂ 是任意常数)是方程x²y\"-3xy\'+4y=0 的通解； \(4\) {width="1.381953193350831in" height="0.2777909011373578in"}是任意常数)是方程x²y\"-3xy\'-5y=x²lnx 的通解； \(5\) {width="1.6736122047244095in" height="0.25691054243219597in"}2是任意常数)是方程xy\"+2y\'-xy=e 的通解； (6)y=C₁e+C₂e⁻⁴+C₃cosx+C₄sin x-x²(C₁,C₂,C₃,C₄是 任 意 常 数 ) 是 方 程 y(⁴)-y=x² 的通解 . \*5 . 已知y₁ (x)=eˣ 是齐次线性方程 (2x-1)y"-(2x+1)y+2y=0 的一个解，求此方程的通解. '6 . 已知y(x)=x 是齐次线性方程x²y\"-2xy⁷+2y=0 的一个解，求非齐次线性方程x²y\"- 2xy\'+2y=2x³ 的通解 . ·7. 已知齐次线性方程y\"+y=0 的通解为Y(x)=C₁cosx+C₂sin x,求非齐次线性方程y\"+y =sec x 的通解. \*8. 已知齐次线性方程x²y"-xy\'+y=0的通解为Y(x)=C₁x+C₂xlnlxl, 求非齐次线性方程 x²y\"-xy\'+y=x 的通解 . []{#bookmark53 .anchor}第 七 节 常系数齐次线性微分方程 先讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法 ， 再把二阶方程的解法推广到 n 阶 方 程 . 在二阶齐次线性微分方程 y\"+P(x)y\'+Q(x)y=0 (7-1) 中，如果y\',y 的 系 数P(x),Q(x) 均为常数，即(7 - 1)式成为 y\"+py\'+qy=0, (7-2) 其 中p,q 是常数，那么称(7-2)为二阶常系数齐次线性微分方程。如果p,q 不 全 为常数，称(7 - 1)为二阶变系数齐次线性微分方程 . 由上节讨论可知，要找微分方程(7 - 2)的通解，可以先求出它的两个解 y₁, y₂, 如果它们之比不为常数，即 y₁ 与 y₂ 线性无关，那么y=C₁y₁+C₂y₂ 就 是 方 程 ( 7 - 2 ) 的 通 解 . 当 r 为常数时，指数函数y=e 和它的各阶导数都只相差 一 个常数因子 . 由 于指数函数有这个特点，因此我们用y=e 来尝试，看能否选取适当的常数 r,使 y=e 满足方程(7 - 2) . 将 y=e 求导①,得到 {width="1.2708048993875765in" height="6.958661417322835e-3in"} ① 当r 为复数a+bi,x 为实变数时，导数公式{width="0.5445658355205599in" height="0.22219706911636045in"}仍成立.事实上，对欧拉公式 e(a+bi)x=e"(cos bx+i sin bx) 两端求导，得 {width="2.6805304024496936in" height="0.2429899387576553in"} =(a+bi)\"(cs bx百 a+bi)e(a+bi³ ., *y\'=re\", y\"=r²e\"* 把y,y ′和 y"代入方程(7-2),得 (r²+pr+q)eˣ=0. 由于eˣ≠0, 所以 r²+pr+q=0. (7-3) 由此可见，只要r满足代数方程(7-3),函数y=e 就是微分方程(7-2)的 解，我们把代数方程(7-3)叫做微分方程(7-2)的特征方程. 特征方程(7-3)是一个二次代数方程，其中r²,r 的系数及常数项恰好依次 是微分方程(7-2)中y\",y\'及y 的系数. 特征方程(7-3)的两个根r₁,r₂ 可以用公式 {width="1.0764096675415573in" height="0.354161198600175in"} 求出.它们有三种不同的情形： \(i\) 当 p²-4q\>0 时 ，r₁,r₂ 是两个不相等的实根 {width="1.0079221347331584in" height="0.3133081802274716in"}{width="1.0347528433945756in" height="0.3333125546806649in"} \(ii\) 当p²-4q=0 时 ，r₁,r₂是两个相等的实根 {width="0.7569805336832895in" height="0.2778051181102362in"} \(iii\) 当 p²-4q\<0 时 ，r₁,r₂ 是一对共轭复根 *r₁=α+βi, r₂=α-βi,* 其中 {width="0.4861023622047244in" height="0.23684820647419072in"}{width="0.7093274278215224in" height="0.32006561679790024in"} 相应地，微分方程(7-2)的通解也有三种不同的情形.分别讨论如下： \(i\) 特征方程有两个不相等的实根：r₁≠r₂ 由上面的讨论知道，y₁=e¹,y₂=e² 是微分方程(7-2)的两个解，并」{width="0.4097156605424322in" height="0.3402613735783027in"} {width="0.7152602799650044in" height="0.31941272965879264in"}不是常数，因此微分方程(7-2)的通解为 y=C₁e\'¹\*+C₂e\'2. \(ii\) 特征方程有两个相等的实根：r₁=r₂ 这时，只得到微分方程(7-2)的一个解 考粉拼课 众号8 为了得出微分方程(7-2)的通解，还需求出另一个解y₂,并且要求 {width="0.1735990813648294in" height="0.2858202099737533in"}不是常 数 .{width="0.6575503062117235in" height="0.319413823272091in"},即y₂=e\'¹u(x). 下面来求 u(x). 将 y₂ 求导，得 y2=e\'¹(u\'+r₁u), *y2=e\'¹(u\"+2r₁u\'+r²u),* 将 y₂,y2 和y2 代人微分方程(7-2),得 e\'¹\[(u\"+2r₁u\'+r²u)+p(u\'+r₁u)+qu\]=0, 约去 e\'¹, 并合并同类项，得 u\"+(2r₁+p)u\'+(r²+pr₁+q)u=0. 由于r₁ 是特征方程(7-3)的二重根.因此 r²+pr₁+q=0, 且 2r₁+p=0, 于是得 u\"=0. 因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨选取u=x, 由此得到微分方程(7 -2)的另一个解 Y₂=xe\'¹ . 从而微分方程(7-2)的通解为 y=C₁e\'¹²+C₂xe\'¹, 即 y=(C₁+C₂x)e\'¹ˣ . \(iii\) 特征方程有一对共轭复根：r₁=α+βi,r₂=α-βi(β≠0) 这时，y₁=e(a+Bi)×,y₂=e(a-Bi)\*是微分方程(7-2)的两个解，但它们是复值函数 形式.为了得出实值函数形式的解，先利用欧拉公式 e⁴=cos θ+i sin θ 把 y₁,y₂ 改 写为 y₁=e(a+Bi)=e·e=e"(cos βx+i sin βx), y₂=e(a-Bi)=e·e-ˣi=e\*(cos βx-i sin βx). 由于复值函数y₁ 与 y₂ 之间成共轭关系，因此，取它们的和除以2就得到它们的实 部，取它们的差除以2i 就得到它们的虚部. 由于方程(7-2)的解符合叠加原理， 所以实值函数 {width="1.6250459317585302in" height="0.30551399825021874in"} {width="1.5555533683289589in" height="0.2985640857392826in"} 还是微分方程(7-2)的解，」{width="1.5138976377952755in" height="0.4652646544181977in"}不是常数，所以微分方程 (7-2)的通解为 y=e"(C₁cos βx+C₂sin βx). 综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程 y\"+py\'+qy=0 (7-2) 的通解的步骤如下： 第一步 写出微分方程(7-2)的特征方程 *r²+pr+q=0.* (7-3) 第二步 求出特征方程(7-3)的两个根 r₁,r₂ · 第三步 根据特征方程(7-3)的两个根的不同情形，按照下列表格写出微 分方程(7-2)的通解： | > 特征方程r²+pr+q=0的两个根r₁,r₂ | > 微分方程y\"+py\'+qy=0的通解 | | > 两个不相等的实根r₁,r₂ | > y=C₁e+C₂e\'2 | | > 两个相等的实根r₁=r₂ | > y=(C₁+C₂x)e\' | | > 一对共轭复根r1,2=α±βi | > y=e"(C₁cos βx+C₂sin βx) | 例 1 求微分方程y\"-2y\'-3y=0 的通解. 解 所给微分方程的特征方程为 r²-2r-3=0, 其根r₁=-1,r₂=3 是两个不相等的实根，因此所求通解为 y=C₁e⁻²+C₂e³ . 例 2 求 方 {width="1.0069181977252843in" height="0.3273173665791776in"}满足初值条件s1=o=4,s\'l=o=-2 的特解. 解 所给方程的特征方程为 r²+2r+1=0, 其根r₁=r₂=-1 是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为 s=(C₁+C₂t)e. 将条件s1₁=o=4 代入通解，得 C₁=4, 从而 s=(4+C₂t)e⁻ . 将上式对t求导，得 s′=(C₂-4-C₂t)e⁻ . 再把条件 s\'l==-2 代入上式，得 C₂=2. 于是所求特解为 s=(4+2t)e⁻¹ 例 3 求微分方程y"-2y+ 号 ? 的 通 解 解 所给方程的特征方程为 r²-2r+5=0, 其根 r₁,z=1±2i 为一对共轭复根.因此所求通解为 y=e³(C₁cos 2x+C₂sin 2x). 例 4 在第六节例1中，设物体只受弹性恢复力f 的作用，且在初始时刻 t=0 的位置为 x=xo, 初始速度为 {width="0.7434984689413823in" height="0.3009930008748906in"} 求反映物体运动规律的函数 x=x(t). {width="0.7499409448818898in" height="0.35409667541557305in"}解 由于不计阻力R, 即假设 ·{width="0.5431616360454943in" height="0.29863735783027123in"},所以方程(6-1)成为 (7-4) 方程(7-4)叫做无阻尼自由振动的微分方程. 反映物体运动规律的函数x=x(t) 是满足微分方程(7-4)及初值条件 {width="1.3055511811023621in" height="0.34721894138232723in"} 的特解. 方程(7-4)的特征方程为r²+k²=0, 其 根 r=±ki 是一对共轭复根，所以方程 (7-4)的通解为 x=C₁cos kt+C₂sin kt. 应用初值条件，定出 C₁=x₀: {width="0.45143700787401575in" height="0.27773950131233593in"}.因此，所求的特解为 {width="1.250009842519685in" height="0.29167104111986003in"} (7-5) 为了便于说明特解所反映的振动现象，我们令 x₀=Asin φ, {width="0.7231955380577428in" height="0.26385279965004377in"} (0≤φ\<2π), 于是(7-5)式成为 x=Asin(kt+φ), (7-6) 其中 {width="0.6261318897637795in" height="0.33386482939632545in"}{width="0.7788812335958005in" height="0.3893416447944007in"} 函数(7-6)的图形如图7-10所示(图中假定x₀\>0,v₀\>0). 函数(7-6)所反映的运动就是简谐振慈然添振动的振幅为A,初相为φ,周 {width="3.055543525809274in" height="0.9652602799650044in"} 图7-10 期为 {width="0.4259919072615923in" height="0.31255577427821524in"},角频率为k.由于{width="0.5237554680664916in" height="0.37499562554680665in"} (见第六节例1),它与初值条件无关，而 完全由振动系统(在本例中就是弹簧和物体所组成的系统)本身所确定.因此，k 又叫做系统的固有频率.固有频率是反映振动系统特性的一个重要参数. 例 5 在第六节例1中，设物体受弹簧的恢复力f 和阻力R 的作用，且在初 始时刻 t=0 的位置 x=x₀, 初始速度 {width="0.7500207786526684in" height="0.34032699037620295in"}求反映物体运动规律的函数 x=x(t). {width="1.1180489938757656in" height="0.333338801399825in"}解 这就是要找满足有阻尼的自由振动方程 (7-7) 及初值条件 {width="1.2639107611548557in" height="0.33325021872265964in"} 的特解. 方程(7-7)的特征方程为r²+2nr+k²=0, 其根为 {width="2.0347123797025373in" height="0.3472244094488189in"} 以下按 n\k 及n=k 三种不同情形分别进行讨论. \(i\) 小阻尼情形：n\0). (ii)大阻尼情形：n\>k 特征方程的根r₁=-n+√n²-k²,r₂=-n-√n²-k² 是两个不相等的负实根，所 以方程(7-7)的通解为 {width="1.1458464566929134in" height="1.3884514435695538e-2in"}x=C₁e-(m-√2²-H²)+C₂e-(n+√n²-2), (7-11) 其中任意常数 C₁,C₂ 可以由初值条件来确定. 从(7-11)式看出，使x=0 的 t 值最多只有一个，即物体最多越过平衡位置 一次，因此物体已不再有振动现象.又当t→+∞时 ，x→0. 因此，物体随时间t的 增大而趋于平衡位置. 函数(7-11)的图形如图7-12所示(图中假定x₀\>0,v₀\>0). {width="2.05549321959755in" height="1.4930850831146107in"} 图7-11 {width="1.5971948818897639in" height="1.118089457567804in"} 图7-12 \(iii\) 临界阻尼情形：n=k 特征方程的根r₁=r₂=-n 是两个相等的实根，所以方程(7-7)的通解为 x=e⁻\"(C₁+C₂t), 其中任意常数C₁ 及 C₂可由初值条件来确定.由上式可看出，在临界阻尼情形使x = 0 的t 值也最多只有一个，因此物体也不再有振动现象.又由于 {width="1.9444422572178477in" height="0.40276574803149606in"} 从而可以看出，当t→+∞ 时 ，x→0.因此，在临界阻尼情形，物体也随时间 t的增 大而趋于平衡位置. 上面讨论二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解的形 式，可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去，对此我们不再详细讨论，只简 单地叙述于下： n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是 y(\"+p₁y(a-1¹)+P₂y(n-2)+...+pn-1y⁷+pny=0, (7-12) 其中P₁,P₂,...,Pn-1,Pa 都是常数. 有时我们用记号D (叫做微分算子)表示对x 求导的运{width="0.6679265091863517in" height="0.31942585301837273in"}记作 Dy, 扌 {width="0.32633858267716537in" height="0.34025043744531935in"}记作 D\"y,并把方程(7-12)记作 (D\"+p₁D\"⁻¹+...+Pn-1D+Pn)y=0. (7-13) 记 *L(D)=D\"+p₁D\"⁻¹+...+Pa-1D+Pn,* L(D) 叫做微分算子D 的 n 次多项式.于是方程(7-13)可记作 L(D)y=0. 如同讨论二阶常系数齐次线性微分方程那样，令y=e. 由于De=re",..., D\"e=r\"e, 故L(D)e\"=L(r)e\". 因此把y=e 代入方程(7-13),得 L(r)eˣ=0. 由此可见，如果选取r是 n 次代数方程 L(r)=0, 即 r\"+p₁r\"⁻¹+p₂r\"⁻²+...+Pa-1T+pₙ=0 (7-14) 的根，那么作出的函数y=e\* 就是方程(7-13)的一个解. 方程(7-14)叫做方程(7-13)的特征方程. 根据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程的解如下： | > 特征方程的根 | > 微分方程通解中的对应项 | | > 单实根r | > 给出一项：Ce | | > | > | | > 一对单复根 | > 给出两项： e"(C₁cos βx+C₂sin βx) | | > | > | | > r1.,2=α±βi | > 给出k项： e\"(C₁+C₂x+ ... +Cx⁻¹) | | > k重实根r | > | | > | > 给出2k项： e\[(C₁+C₂x+...+Cex⁻¹)cos Bx+(D₁+D₂x+ ... | | > 一对k重复根 | > + | | > r1.2=α±βi | > | | | > D.x⁶-⁻¹)sin βx\] | 从代数学知道，n次代数方。"窍根重粮按重数计算),而特征方程的每 一个根都对应着通解中的一项，且每项各含一个任意常数，这样就得到n 阶常系 数齐次线性微分方程的通解 *y=C₁y₁+C₂y₂+...+Cayn ·* 例6 求方程 y(⁴-2y\"+5y\"=0 的通解. 解 这里的特征方程为 *r⁴-2r³+5r²=0,* 即 r²(r²-2r+5)=0. 它的根是 r₁=r₂=0 和r₃,4=1±2i. 因此所给微分方程的通解为 y=C₁+C₂x+eˣ(C₃cos 2x+C₄sin 2x). 例7 求方 {width="0.8958344269466316in" height="0.361075021872266in"}的通解，其中β\>0. 解 这里的特征方程为 *r⁴+β⁴=0.* 由于 *r⁴+β⁴=r⁴+2r²p²+⁴-2r²β²=(r²+B²)²-2r²p² =(r²-√2βr+β²)(r²+√2βr+β²),* 所以特征方程可以写为 *(r²-√2βr+β²)(r²+√2βr+β²)=0.* 它的根为 {width="1.8264162292213473in" height="0.3472222222222222in"},因此所给方程的通解为 {width="3.5208245844269466in" height="0.3749278215223097in"} []{#bookmark54 .anchor}习 题 7-7 1.求下列微分方程的通解： (1)y\"+y\'-2y=0; (2)y\"-4y=0; (3)y\"+y=0; (4)y\"+6y\'+13y=0; \(5\) {width="1.1319510061242344in" height="0.2917191601049869in"} (6)y\"-4y\'+5y=0; (7)y(⁴)-y=0; (8)y(⁴)+2y\"+y=0; (9)y(⁴-2y\"+y\"=0; (10)y(4)+5y\"-36y=0. 2.求下列微分方程满足所给初值条件的特解： (1)y\"-4y+3y=0,ylx=o=6,y\'Ix==10; (2)4y\"+4y\'+y=0,yl=o=2,y\'lx=o=0; (3)y\"-3y\'-4y=0,ylx=o=0,y\'lx○=-5; (4)y\"÷4y\'+29y=0,yl=o=0,y\'l=o=15; (5)y\"÷25y=0,y¹x=2,y\'I==5; (6)y\"-4y\'+13y=0,ylx==0,y\'l=3. {width="1.5486428258967628in" height="1.0694608486439194in"}3. 一个单位质量的质点在数轴上运动，开始时质点在原点0处且速度为v₀, 在运动过程 中，它受到一个力的作用，这个力的大小与质点到原点的距离成 正比(比例系数b₁\>0)而方向与初速度一致.又介质的阻力与速 度成正比(比例系数k₂\>0).求反映这质点的运动规律的函数. 4\. 在图7-13所示的电路中先将开关 S拨向A,达到稳定状 态后再将开关S 拨向 B,求电压 uc(t)及电流 i(t).已知 E= 20V,C=0.5×10⁻⁶F,L=0.1 H,R=2000 Ω . 5\. 设圆柱形浮筒的底面直径为0.5 m,将它铅直放在水中， 当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s, 求浮筒的质量. []{#bookmark55 .anchor}第八节 常系数非齐次线性微分方程 本节着重讨论二阶常系数非齐次线性微分方程的解法，并对 n 阶方程的解 法作必要的说明. 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是 *y\"+py\'+qy=f(x),* (8-1) 其 中p,q 是常数. 由第六节定理3可知，求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，归结为求 对应的齐次方程 y\"+py\'+qy=0 (8-2) 的通解和非齐次方程(8-1)本身的一个特解. 由于二阶常系数齐次线性微分方 程的通解的求法已在第七节得到解决，所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次 线性微分方程的一个特解y\* 的方法. 本节只介绍当方程(8-1)中的f(x) 取两种常见形式时求y 的方法.这种方 法的特点是不用积分就可求出y 来，它叫做待定系数法.f(x) 的两种形式是 (1)f(x)=e\*Pm(x), 其中λ是常数，Pm(x) 是 x 的 一个 m 次多项式： Pm(x)=aox\"+a₁x\"⁻¹+...+am-1x+am; (2)f(x)=e\^\*\[P₁(x)cos wx+Qn(x)sin wx\],其中λ、w 是常数，w≠0,P₁(x)、 Qn(x) 分别是x 的 l 次 、n 次多项式，且仅有一个可为零. 下面分别介绍f(x) 为上述两种形式时的求法 . 一 、f(x)=eP(x) 型 我们知道，方程(8-1)的特解y 是使(8-1)成为恒等式的函数.怎样的函数 能使(8-1)成为恒等式呢?因为(8-1)式右端f(x)是多项式 Pm(x) 与指数函数 e 的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指数函数的乘积， 因此，我们推测y=R(x)e ( 其 中R(x) 是某个多项式)可能是方程(8-1)的特 解.把 y",y'及y"代入方程(8-1),然后考虑能否选取适当的多项式 R(x), 使 y⁴=R(x)e\* 满足方程(8-1).为此，将 *y=R(x)e\*,* y\'=e\*\[AR(x)+R\'(x)\], y\*"=e\[A²R(x)+2AR\'(x)+R"(x)\] 代入方程(8-1)并消去e\^ˣ,得 R"(x)+(2λ+p)R\'(x)+(λ²+pλ+q)R(x)=Pm(x). (8-3) \(i\) 如果λ不是(8-2)式的特征方程r²+pr+q=0 的根，即λ²+pλ+q≠0,由于 Pm(x)是一个m 次多项式，要使(8-3)的两端恒等，那么可令R(x) 为另一个m 次多项式 R(x): Rm(x)=b₀x\"+b₁x\"⁻¹+...+bm-1x+bm, 代入(8-3)式，比较等式两端x 同次幂的系数，就得到以b。,b₁,...,b 作为未知数 的 m+1 个方程的联立方程组.从而可以定出这些 b(i=0,1,...,m), 并得到所求 的特解 y=R(x)e\^\*. \(ii\) 如果λ是特征方程r²+pr+q=0 的单根，即λ²+pλ+q=0, 但2λ+p≠0, 要 使(8-3)的两端恒等，那么R\'(x) 必须是m 次多项式.此时可令 R(x)=xR(x), 并且可用同样的方法来确定 Rm(x)的系数b(i=0,1,2,...,m). \(iii\) 如果λ是特征方程r²+pr+q=0 的重根，即λ²+pλ+q=0, 且2λ+p=0, 要 使(8-3)的两端恒等，那么R\"(x) 必须是m 次多项式.此时可令 R(x)=x²R(x), 并用同样的方法来确定 R(x) 中的系数. 综上所述，我们有如下结论： 如果f(x)=ePm(x), 那么二阶常系数非齐次线性微分方程(8-1)具有形 如 =x\*1R. (8-4) 的特解，其中Ra(x)是与P(x) 同次(m 次)的多项式，而 k 按λ不是特征方程的 根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2. 上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(8-4)式中 的 k 是特征方程含根λ的重复次数(即若λ不是特征方程的根，则k 取为0;若λ 是特征方程的s 重根，则k 取为s). 例 1 求微分方程y\"-2y\'-3y=3x+1 的一个特解. 解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数f(x)是 e\^\*P(x) 型(其 中λ=0,Pm(x)=3x+1). 与所给方程对应的齐次方程为 y\"-2y\'-3y=0, 它的特征方程为 r²-2r-3=0. 由于这里λ=0不是特征方程的根，所以应设特解为 y⁴=b₀x+b₁ . 把它代人所给方程，得 -3b₀x-2b₀-3b₁=3x+1, 比较两端x 同次幂的系数，得 {width="0.9097200349956256in" height="0.4027230971128609in"} 由此求得 b₀=-1, {width="0.4028051181102362in" height="0.2917191601049869in"}.于是求得一个特解为 {width="0.7222353455818022in" height="0.29860126859142605in"} 例2 求微分方程y\"-5y\'+6y=xe² 的通解. 解 所给方程也是二阶常系数非齐次线性微分方程，且f(x) 呈 e\*Pm(x) 型 (其中λ=2,Pm(x)=x). 与所给方程对应的齐次方程为 y\"-5y\'+6y=0, 它的特征方程 r²-5r+6=0 有两个实根r₁=2,r₂=3. 于是与所给方程对应的齐次方程的通解为 Y=C₁e²ˣ+C₂e³\*. 由于λ=2是特征方程的单根，所以应设y 为 三x( 把它代入所给方程，得 -2b₀x+2b₀-b₁=x. 比较等式两端同次幂的系数，得 {width="0.7291447944006999in" height="0.43749015748031495in"} 解得 {width="0.4722331583552056in" height="0.2916305774278215in"},b₁=-1. 因此求得一个特解为 {width="1.2013790463692038in" height="0.33327865266841644in"} 从而所求的通解为 {width="1.854121828521435in" height="0.3263079615048119in"} 二 、f(x)=e\^\*\[P₁ (x)cos wx+Qn(x)sin wx\]型 应用欧拉公式 {width="2.4516010498687666in" height="0.28465879265091865in"} 把f(x) 表示成复变指数函数的形式，有 f(x)=e\*\[P₁cos wx+Qnsin wx\] {width="1.8541863517060369in" height="0.34025043744531935in"} {width="2.0833278652668414in" height="0.3680457130358705in"} =P(x)e(+mi)+P(x)e(-ai), 其中 {width="2.909922353455818in" height="0.31942585301837273in"} 是互成共轭的 m 次多项式(即它们对应项的系数是共轭复数),而 m= max{l,n}. 应用上一目的结果，对于f(x)中的第一项P(x)e(+ai),可求出一个m 次多 项式 Rm(x), 使得 y=x⁴Re(A+ai) 为方程 的特解，其中1按λ+oi 不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1 由于f(x) 的第二项P(x)e(-△) 与第一项 P(x)·e(+i) 成共轭，所以与y 成共 轭的函数y₂=x\*Re(-i) 必然是方程 *y\"+py\'+qy=P(x)e(A-i)* 的特解，这里R 表示与R 成共轭的 m 次多项式.于是，根据第六节定理4,方程 (8-1)具有形如 y=x\*Re(A+ai)+x\*Re(-i) 的特解.上式可写为 y=x\*e\^\*\[Rmeˣ¹+Rme-i\] =x\*e\^\[R(cos wx+i sin wx)+R(cos wx-i sin wx)\], 由于括号内的两项是互成共轭的，相加后即无虚部，所以可以写成实函数的形式 y⁴=x\*e\^\*\[R\'¹³(x)cos wx+R(²)(x)sin wx\]. 综上所述，我们有如下结论： 如果f(x)=e\[P₁(x)cos wx+Qn(x)sin wx\],则二阶常系数非齐次线性微分 方程(8-1)的特解可设为 y=x\*e\^\*\[R1\](x)cos wx+R(²)(x)sin wx\], (8-5) 其中R¹³(x) 、R\'²)(x) 是m 次多项式，m=max{l,n}, 而 k 按λ+wi(或λ-wi) 不是 特征方程的根、或是特征方程的单根依次取0或1. 上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(8-5)式中 的 k 是特征方程中含根λ+wi(或λ-wi) 的重复次数. 例 3 求微分方程y\"+y=xcos 2x的一个特解. 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性方程，且f(x) 属 于 e\^\[P₁(x) cos wx+Qn(x)sin wx\]型(其中λ=0,w=2,P₁(x)=x,Qn(x)=0). 与所给方程对应的齐次方程为 y\"+y=0, 它的特征方程为 r²+1=0. 由于这里λ+wi=2i 不是特征方程的根，所以应设特解为 y\*=(ax+b)cos 2x+(cx+d)sin 2x. 把它代入所给方程，得 (-3ax-3b+4c)cos 2x-(3cx+3d+4a)sin 2x=xcos 2x. 比较两端同类项的系数，得 {width="0.813503937007874in" height="0.8064534120734909in"} 由此解得 {width="0.42360126859142605in" height="0.2916229221347332in"},b=0,c=0, {width="0.41669181977252845in" height="0.2847517497812773in"} 于是求得一个特解为 {width="1.5972747156605425in" height="0.30554352580927385in"} 例 4 求微分方程y\"-y=e\*cos 2x的一个特解. 解 这是二阶常系数非齐次线性方程，且f(x) 属 e\[P₁ (x)cos wx+ Qa(x)sin wx\]型(这里λ=1,w=2,P₁(x)=1,Qn(x)=0). 特征方程为r²-1=0, 由于λ+wi=1+2i 不是特征方程的根，所以应设特解为 y=e\*(a cos 2x+b sin 2x). 求导得 y\'=e\*\[(a+2b)cos 2x+(-2a+b)sin 2x\], y\*\"=e\[(-3a+4b)cos 2x+(-4a-3b)sin 2x\]. 代入所给方程，得 4e\*\[(-a+b)cos 2x-(a+b)sin 2x\]=e\*cos 2x, 比较两端同类项的系数，有 {width="0.7500054680664917in" height="0.5694149168853894in"}{width="0.5833103674540683in" height="0.6890277777777778in"} 得 因此所给方程的一个特解为 {width="1.5833245844269466in" height="0.31946412948381453in"} 例5 在第六节例1中，设物体受弹性恢复力f 和铅直干扰力F 的作用.试 求物体的运动规律. {width="1.027778871391076in" height="0.34025699912510937in"}解 这里需要求出无阻尼强迫振动方程 (8-6) 的通解. 对应的齐次微分方程(即无阻尼自由振动痧程)为 {width="0.7569805336832895in" height="0.35419291338582676in"}(8-7) 它的特征方程 r²+k²=0 的根为r=±ki.故方程(8-7)的通解为 X=C₁cos kt+C₂sin kt. 令 C₁=Asin φ,C₂=Acos φ,则方程(8-7)的通解又可写成 X=Asin(kt+φ), 其中，A,φ为任意常数. 方程(8-6)右端的函数 f(t)=hsin pt 与f(t)=e"\[P₁ (t)cos wt+Qn(t)sin wt\]相比较，有λ=0,w=p,P₁(t)=0, Qn(t)=h. 现在分别就p≠k 和 p=k 两种情形讨论如下： \(i\) 如 果p≠k, 则λ±wi=±pi 不是特征方程的根，故设 x⁴=a₁cos pt+b₁sin pt. {width="0.6319477252843395in" height="0.3403390201224847in"}代人方程(8-6)求得 a₁=0, 于是 {width="0.9930982064741908in" height="0.35410323709536307in"} 从而当p≠h 时，方程(8-6)的通解为 {width="2.1667060367454067in" height="0.35410323709536307in"} 上式表示，物体的运动由两部分组成，这两部分都是简谐振动.上式第一项 表示自由振动，第二项所表示的振动叫做强迫振动.强迫振动是干扰力引起的， 它的角频率即是干扰力的角频率p; 当干扰力的角频率p 与振动系统的固有频率 k相差很小时，它的振幅{width="0.5192814960629921in" height="0.3750174978127734in"}可以很大. \(ii\) 如果p=k 那么λ±wi=±pi 是特征方程的根.故设 x=t(aicos kt+b₁sin kt). 代入方程(8-6)求得 {width="0.5207994313210849in" height="0.29860126859142605in"},b₁=0. 于是 {width="1.0069181977252843in" height="0.3403390201224847in"} 从 而 当p=k 时，方程(8-6)的通解为 {width="2.0347615923009625in" height="0.3055719597550306in"} 上式右端第二项表明，强迫振动的振帽{width="0.3011953193350831in" height="0.2820811461067367in"}随 时 间 t 的增大而无限增大 . 这 就发生所谓共振现象.为了避免共振现象，应使干扰力的角频率p 不要靠近振动 系统的固有频率k.反之，如果要利用共振现象，那么应使 p=k 或 使p 与 k 尽 量 靠 近 . 有阻尼的强迫振动问题可作类似的讨论，这里从略了 . []{#bookmark57 .anchor}习 题 7-8 1\. 求下列各微分方程的通解： (1)2y\"+y\'-y=2e\*; (2)y\"+a²y=e; (3)2y\"+5y\'=5x²-2x-1; (4)y\"+3y\'+2y=3xe⁻³; (5)y\"-2y\'+5y=e\*sin 2x; (6)y\"-6y\'+9y=(x+1)e³; (7)y\"+5y\'+4y=3-2x; (8)y\"+4y=xcosx; (9)y\"+y=eˣ+cos x; (10)y\"-y=sin²x. 2\. 求下列各微分方程满足已给初值条件的特解： (1)y\"+y+sin 2x=0,y¹π=1,y\'l =1; (2)y\"-3y\'+2y=5,y¹=o=1,y\'Ix=o=2; *(3)y\"-10y\'+9y=e²,yl* {width="1.097270341207349in" height="0.28474846894138234in"} (4)y\"-y=4xeˣ,ylx==0,y\'lx=o=1; (5)y\"-4y=5,yl=o=1,y\'lo=0. 3\. 大炮以仰角α、初速度v₀发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线. 4\. 在 RLC 含源串联电路中，电动势为 E 的电源对电容器 C 充电. 已知 E=20V, C=0.2μF,L=0.1H,R=1000 Ω,试求合上开关S 后的电流 i(t)及电压uc(t). 5\. 一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m 另一端离开钉子12 m, 分别在以下 两种情况下求链条滑下来所需要的时间： (1)若不计钉子对链条所产生的摩擦力； (2)若摩擦力的大小等于1 m 长的链条所受重力的大小. 6\. 设函数φ(x) 连续，且满足 {width="1.8610968941382326in" height="0.3263965441819773in"} A 众 号 ： 考 升 []{#bookmark261 .anchor}\* 第 九 节 欧 拉 方 程 变系数的线性微分方程， 一般说来都是不容易求解的.但是有些特殊的变系 数线性微分方程，则可以通过变量代换化为常系数线性微分方程，因而容易求 解，欧拉方程就是其中的一种. 形如 x\"y(\")+p₁x"-¹y(n-1)+...+pa-1xy\'+pny=f(x) (9-1) 的方程(其中P₁,P₂,...,pa 为常数),叫做欧拉方程. 作变换x=e 或 t=In x,将自变量x 换成 t①,我们有 {width="1.1805588363954507in" height="0.3264107611548556in"} {width="1.1527580927384078in" height="0.3818700787401575in"} {width="1.6388823272090989in" height="0.3680282152230971in"} 如果采用记号 D 表示对t求导的运算{width="0.2788079615048119in" height="0.3125688976377953in"},那么上述计算结果可以写成 xy\'=Dy, {width="3.694453193350831in" height="0.7985695538057743in"} 一般地，有 x\*y()=D(D-1)...(D-k+1)y. 把它代入欧拉方程(9-1),便得一个以t 为自变量的常系数线性微分方程.在求 出这个方程的解后，把t 换 成ln x,即得原方程的解. 例 求欧拉方程 x³y\"+x²y"-4xy\'=3x² 的通解. 解 作变换 x=e \'或t=In x,原方程化为 D(D-1)(D-2)y+D(D-1)y-4Dy=3e², {width="1.2638965441819772in" height="6.965223097112861e-3in"} ①这里仅在x\>0范围内求解。如果要在x\<0内求解，那么可作变换x=-e\'或t=In(-x),所得结果与 x\>0内的结果相类似. 即 D³y-2D²y-3Dy=3e², {width="1.3680522747156605in" height="0.36106189851268594in"}或 (9-2) {width="1.222195975503062in" height="0.36106189851268594in"}方程(9-2)所对应的齐次方程为 (9-3) 其特征方程为 r³-2r²-3r=0, 它有三个根：r₁=0,r₂=-1,r₃=3. 于是方程(9-3)的通解为 {width="2.0138681102362206in" height="0.33328740157480313in"} 根据上节第一目，特解的形式为 y=be²=bx², 代入原方程，求得 {width="0.45140529308836397in" height="0.3124792213473316in"},即 {width="0.5763790463692039in" height="0.3333770778652668in"} 于是，所给欧拉方程的通解为① {width="1.3263517060367453in" height="0.340343394575678in"} \* 习 题 7-9 求下列欧拉方程的通解： 1.x²y\"+xy\'-y=0; 3.x³y\"+3x²y\"-2xy\'+2y=0; 5.x²y\"+xy\'-4y=x³; 7.x²y\"-3xy\'+4y=x+x²ln x; 4.x²y\"-2xy\'+2y=1n²x-21n x; 6.x²y"-xy\'+4y=xsin(Inx); 8.x³y\"+2xy\'-2y=x²ln x+3x. {width="1.2708147419072615in" height="6.965223097112861e-3in"} ①这是在z\>0内所求得的通解.窗品验在，也是所给方程的通解. []{#bookmark60 .anchor}\* 第 十 节 常系数线性微分方程组解法举例 前面讨论的是由一个微分方程求解一个未知函数的情形，但在研究某些实 际问题时，还会遇到由几个微分方程联立起来共同确定几个具有同一自变量的 函数的情形.这些联立的微分方程称为微分方程组 · 如果微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程，那么,这种 微分方程组就叫做常系数线性微分方程组 · 对于常系数线性微分方程组，我们可以用下述方法求它的解： 第一步 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未 知函数的高阶常系数线性微分方程. 第二步 解此高阶微分方程，求出满足该方程的未知函数. 第三步 把已求得的函数代入原方程组， 一般说来，不必经过积分就可求出 其余的未知函数. 例 1 解微分方程组 {width="0.7916622922134733in" height="0.7152679352580927in"} (10-1) (10-2) 解 这是含有两个未知函数y(x) 、z(x) 的由两个一阶常系数线性方程组成 的方程组. 设法消去未知函数y. 由(10-2)式得 {width="0.8264074803149606in" height="0.3750174978127734in"} 对上式两端求导，有 {width="1.0555489938757656in" height="0.3750164041994751in"} 把(10-3)、(10-4)两式代入(10-1)式并化简，得 (10-3) (10-4) {width="0.9444663167104111in" height="0.361075021872266in"} 这是一个二阶常系数线性微分方程，它的通解是 z=(C₁+C₂x)e. (10-5) 再把(10-5)式代人(10-3)式，得 {width="1.4931014873140858in" height="0.38189851268591424in"} (10-6) 将(10-5)、(10-6)联立起来，就得到所给方程组的通解. 如果我们要得到方程组满足初值条件 ylx=o=1, zl=0=0 的特解，只需将此条件代入(10-6)和(10-5)式，得 {width="1.1319520997375327in" height="0.5625262467191601in"} 由此求得 C₁=0,C₂=2. 于是所给微分方程组满足上述初值条件的特解为 {width="0.9444663167104111in" height="0.4096948818897638in"} 在讨论常系数线性微分方程(或方程组)时，常采用第七节中引入的记号D 表示对自变量x 求导的运 {width="0.2986329833770779in" height="0.31942585301837273in"} 例 2 解微分方程组 {width="0.965262467191601in" height="0.8055358705161855in"} {width="1.18749343832021in" height="0.43757983377077864in"}解 用记号 D 表示{width="0.19931649168853893in" height="0.31942585301837273in"},则方程组可记作 (10-7) (10-8) 我们可以类似于解代数方程组那样消去一个未知数，例如为消去x,可作如 下运算： (10-7)-D(10-8):-x-D³y=e\', (10-9) (10-8)+D(10-9):(-D⁴+D²+1)y=De\', 即 (-D⁴+D²+1)y=e. (10-10) (10-10)式为四阶非齐次线性方程，其特征方程为 *-r⁴+r²+1=0,* 解得特征根为 {width="1.3541830708661418in" height="0.4652854330708661in"}教 玩 课 ±i{width="0.5905916447944007in" height="0.3750164041994751in"} 容易求得一个特解y=e, 于是得(10-10)的通解为 y=C₁e⁻"+C₂e"+C₃cos Bt+C₄sin βt+e. (10-11) 再求 x.由(10-9)式，即有 *x=-D³y-e,* 以(10-11)式代入上式，即得 *x=a³C₁e-"-a³C₂e"-β³Csin Bt+β³C₄cos βt-2e\'.* (10-12) 将(10-11)和(10-12)两个函数联立，就是所求方程组的通解. 这里要注意，在求得一个未知函数以后，再求另一个未知函数时，一般不再 积分(积分就会出现新的任意常数，从(10-11)、(10-12)两式可知两式中的任 意常数之间有着确定的关系). 我们也可用行列式解上述方程组.由(10-7)和(10-8),有 {width="1.91663823272091in" height="0.45831583552055993in"} 即 (D⁴-D²-1)y=-e\'. 这与(10-10)式是一样的.但再求x 时，不宜再次应用行列式.如再应用行列式， 得 {width="1.9027537182852143in" height="0.45134951881014873in"} 即 (D⁴-D²-1)x=2e\', 解得 x=A₁e⁻"+A₂e"+A₃cos βt+A₄sin βt-2e, 则必须说明 A₁、A₂、A₃、A₄与 C₁、C₂、C₃、C₄之间的关系. 注意这里的"系数行列式" {width="1.5972101924759405in" height="0.45831583552055993in"} 是 D的四次多项式，这就标志着微分方程组是四阶的，它的通解中一定恰含四 个任意常数. \* 习 1.求下列微分方程组的通解公 众 : []{#bookmark61 .anchor}题 7-10 考研拼课 {width="0.6626738845144357in" height="0.6184798775153106in"}{width="1.2369728783902012in" height="0.5971839457567804in"}{width="1.189281496062992in" height="0.6110717410323709in"}{width="1.6184601924759405in" height="2.0556375765529307in"} 2\. 求下列微分方程组满足所给初值条件的特解： {width="1.258623140857393in" height="0.6051202974628171in"}{width="1.6740168416447945in" height="0.646324365704287in"} {width="1.3749781277340332in" height="0.6319258530183727in"}{width="1.8970188101487313in" height="0.6117497812773404in"} \(3\) {width="1.8543744531933508in" height="0.6043482064741907in"} {width="2.055557742782152in" height="0.6457677165354331in"} []{#bookmark62 .anchor}总 习 题 七 1\. 填空： (1)xy\"+2x²y¹²+x³y=x⁴+1 是 阶微分方程； (2)一 阶线性微分方程y\'+P(x)y=Q(x) 的通解为\_ (3)与积分方程 {width="0.8680643044619423in" height="0.29863735783027123in"}等价的微分方程初值问题是 (4)已知y=1,y=x,y=x² 是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为\_ {width="0.8888593613298338in" height="6.944444444444444e-3in"}{width="3.4745188101487315e-2in" height="2.7773403324584427e-2in"} 2\. 以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论： (1)设非齐次线性微分方程y\'+Pg 学 满 不 同 的 解：y(x) 与 y₂ (x),C 为 任 意 常数，则该方程的通解是( ); (A)C\[y₁(x)-y₂(x)\] (B)γ₁(x)+C\[y₁(x)-y₂(x)\] (C)C\[y₁(x)+y₂(x)\] (D)y₁(x)+C\[y₁(x)+y₂(x)\] (2)具有特解y₁=e⁻¹,y₂=2xe",y₃ =3e 的三阶常系数齐次线性微分方程是( ). (A)y\"-y\"-y\'+y=0 (B)y\"+y\"-y\'-y=0 (C)y-6y\"+11y\'-6y=0 (D)y\"-2y\"-y¹+2y=0 3\. 求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程： (1)(x+C)²+y²=1 (其中 C 为任意常数); (2)y=C₁e\*+C₂e² (其中C₁,C₂ 为任意常数). 4\. 求下列微分方程的通解： *(1)xy\'+y=2√xy;* (2)xy\'ln x+y=ax(Inx+1); \(3\) {width="0.8472681539807524in" height="0.2777766841644794in"} (4) {width="0.8472036307961505in" height="0.263834208223972in"} (5)y\"+y¹²+1=0; (6)yy\"-y²-1=0; (7)y\"+2y\'+5y=sin 2x; (8)y\"+y\"-2y\'=x(e\*+4); (9)(y⁴-3x²)dy+xydx=0; (10)y\'+x=√x²+y. 5\. 求下列微分方程满足所给初值条件的特解： \'(1)y³dx+2(x²-xy²)dy=0,x=1 时 y=1; (2)y\"-ay²=0,x=0 时 y=0,y\'=-1; (3)2y\"-sin 2y=0,x=0时 {width="0.3264031058617673in" height="0.22218613298337708in"},y=1; (4)y\"+2y\'+y=cosx,x=0 时 y=0 {width="0.42360126859142605in" height="0.24998140857392825in"} 6\. 已知某曲线经过点(1,1),它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程. 7\. 已知某车间的容积为30×30×6m³,其中的空气含0.12%的CO₂ (以容积计算).现以 含 CO₂0.04% 的新鲜空气输入，问每分钟应输入多少，才能在30 min后使车间空气中 CO₂的 含量不超过0.06%?(假定输人的新鲜空气与原有空气很快混合均匀后，以相同的流量排 出.) 8\. 设可导函数φ(x) 满足 {width="1.8055555555555556in" height="0.2777766841644794in"} 求φ(x). 9\. 设光滑曲线y=φ(x) 过原点，且当x\>0 时φ(x)\>0. 对应于\[0,x\]一段曲线的弧长为e -1,求φ(x). 10\. 设y₁ (x),y₂ (x) 是二阶齐次线性方程y\"+p(x)y+q(x)y=0 的两个解，令 {width="2.8680807086614175in" height="0.5694072615923009in"}证明：(1)W(x)满足方程 W\'+p(x) 照 号 ： {width="1.472189413823272in" height="0.23607502187226598in"} 11\. 求下列欧拉方程的通解： (1)x²y\"+3xy+y=0; (2)x²y\"-4xy\'+6y=x. 12\. 求下列常系数线性微分方程组的通解： {width="1.5416371391076116in" height="0.673584864391951in"}{width="1.562483595800525in" height="0.6249628171478565in"} 众 号 8 考 研 拼 课 []{#bookmark63 .anchor}附 录 I 二阶和三阶行列式简介 给出二元线性方程组 {width="1.0277657480314961in" height="0.40363298337707787in"} 求这方程组的解. 用大家熟知的消元法，分别消去方程组(1)中的x₂ 及 x₁,得 {width="2.0138692038495187in" height="0.4444728783902012in"} 下面引入二阶行列式，然后利用二阶行列式来进一步讨论上述问题. 设已知四个数排成正方形表 \(1\) \(2\) {width="0.7291535433070866in" height="0.4375076552930884in"} 则数a₁a₂₂-a₁₂a₂1 表示，因此 称为对应于这个表的二阶行列式，用记号 {width="0.6388976377952756in" height="0.46528105861767277in"} \(3\) {width="1.5625284339457568in" height="0.4305413385826772in"} 数a₁,a₁₂,a₂,a₂₂ 叫做行列式(3)的元素，横排叫做行，竖排叫做列.元素a; 中的第一个指标 i 和第二个指标j 依次表示该元素所在的行数和列数.例如，元 素 a₂1在行列式(3)中位于第二行和第一列. 现在，方程组(2)可利用行列式来表示.设 {width="1.8402766841644795in" height="0.4375076552930884in"} {width="1.7431025809273841in" height="0.45134951881014873in"} {width="1.7154363517060367in" height="0.424575678040245in"} 则方程组(2)可写成 号 。 考 研 拼 课 A {width="0.6183344269466317in" height="0.38447615923009626in"} (2\') 我们注意到，D 就是方程组(1)中x₁ 及x₂ 的系数构成的行列式，因此称为系 数行列式，而 D₁ 和 D₂ 分别是用方程组(1)右端的常数项代替D 的第一列和第二 列而形成的. 若 D≠0, 则方程组(2)的解为 {width="0.9590693350831146in" height="0.3133552055993001in"} (4) 把(4)中x₁ 及 x₂ 的值代入方程组(1),便可证实x₁ 及x₂ 的这对值也是方程组 (1)的解.另一方面，(2)是由(1)导出的，因此(1)的解一定是(2)的解.现在(2) 只有一组解(4),所以(4)是方程组(1)的唯一解. 由此得出结论： 在 D≠0 的条件下，方程组(1)有唯一的解 {width="0.951742125984252in" height="0.3194455380577428in"} 例 1 解方程组 {width="2.056048775153106in" height="0.38260826771653544in"}{width="0.7153182414698163in" height="0.37499343832021in"} 解 {width="2.465528215223097in" height="0.8613670166229221in"} {width="0.9444466316710411in" height="0.3264107611548556in"}因 D=-7≠0, 故所给方程组有唯一解 {width="0.8770428696412949in" height="0.30613517060367457in"} 下面介绍三阶行列式概念. 设已知九个数排成正方形表 {width="1.0208016185476816in" height="0.6666655730533684in"} 则数aa2₂Q₃3+a1₂a23a₃ 1+a13Q₂ 1a32-a₁₃a₂2a₃1-a12a₂ 1a₃3-a₁a₂₃a₃2 称为对应于这个 表的三阶行列式，用记号 考研拼课 公众号： {width="0.9305807086614173in" height="0.6944433508311461in"} 表示，因此 {width="0.9374912510936133in" height="0.6944422572178478in"} =a₁₁a₂₂a₃₃+a1₂Q₂₃a₃1+a13Q₂1a₃2-13@22a₃1-a12@21a³3-aπa²3Q³2 · (5) 关于三阶行列式的元素、行、列等概念，与二阶行列式的相应概念类似，不再 重复. {width="6.944444444444444e-3in" height="0.7847123797025372in"}{width="6.944444444444444e-3in" height="0.7777416885389327in"}{width="0.8958344269466316in" height="0.8264501312335958in"}(5)式右端相当复杂，我们可以借助下列图形得出它的计算法则(通常称为 对角线法则): {width="0.7708661417322835in" height="0.7847123797025372in"}十 行列式中从左上角到右下角的直线称为主对角线，从右上角到左下角的直 线称为次对角线.主对角线上元素的乘积以及位于主对角线的平行线上的元素 与对角上的元素的乘积，前面都取正号.次对角线上元素的乘积以及位于次对角 线的平行线上的元素与对角上的元素的乘积，前面都取负号. {width="0.7093274278215224in" height="0.605077646544182in"} 例 2 =2×3×5+1×1×2+2×(-4)×3-2×3×2-1×(-4)×5-2×1×3 =30+2-24-12+20-6=10. 利用交换律及结合律，可把(5)式改写如下： {width="0.9374912510936133in" height="0.6944433508311461in"} =a₁(a₂2a₃-a₂a₃2)-a12(a₂₁a₃3-a₂3a₃1)+a1₃(a₂₁a₃2-a₂2a₃1). 把上式右端三个括号中的式子表示为二阶行列式，则有 号 ： {width="3.7639162292213473in" height="0.7152668416447944in"} 上式称为三阶行列式按第一行的展开式 例 3 将例2中的行列式按第一行展开并计算它的值. {width="6.973972003499563e-3in" height="0.6111450131233596in"}解 {width="2.7222517497812775in" height="0.6249989063867016in"} =2×12-(-22)+2×(-18) =24+22-36=10. 习 题 1\. 利用二阶行列式解下列方程组： \(1\) {width="0.6041119860017498in" height="0.3263965441819773in"} (2) {width="0.5972014435695538in" height="0.3263976377952756in"} 2\. 利用对角线法则，计算下列各行列式： \(1\) {width="0.903588145231846in" height="0.5352088801399825in"} (2) {width="0.8333180227471566in" height="0.5485826771653544in"} \(3\) {width="0.6047419072615923in" height="0.5430085301837271in"} (4) {width="0.8138101487314086in" height="0.5277241907261593in"} 3.将下列行列式按第一行展开并计算它们的值： \(1\) {width="0.6347364391951006in" height="0.5694072615923009in"} (2){width="0.9486767279090114in" height="0.5417016622922135in"} 4\. 证明下列等式： {width="3.298593613298338in" height="0.6110564304461942in"}(1){width="3.472282370953631in" height="0.6110564304461942in"} (2) 注:上面这两个等式分别称为三阶行烈式按等 据 先 的 展 开 式 答 案 1.(1)x=1,y=3; (2)x=-22,y=17. 2\. (1)-4; (2)8;(3)-48; (4)ab 3\. (1)18; (2)27. 4\. 略. 考研拼课 公 众 号 ： []{#bookmark64 .anchor}**附录Ⅱ** **基本初等函数的图形** **幂函数** {width="1.7430391513560806in" height="1.6944838145231846in"} 3,2; ---1----2-3 1 3 \_21 -1 1 y=x **指数函数** {width="1.6388659230096239in" height="1.4236187664041995in"} *y=a* 三角函数 对数函数 {width="1.6874978127734033in" height="1.4305850831146107in"} y=log。x {width="3.12499343832021in" height="0.8402755905511811in"} y=sin x 公众号 ：考研拼课 {width="6.534722222222222in" height="8.958333333333334in"}基本初等函数的图形 y 1 x 一 π -1 y=cos x y y 1 0 2 π 婆 2π x y=tan x y=cot x y I 1 一 3π x 一 π 一 y=sec x y=csc x 考研拼课 C9ue ·369· {width="6.534722222222222in" height="8.958333333333334in"}附录Ⅱ 基本初等函数的图形 反 三 角 函 数 {width="1.1319444444444444in" height="2.118108048993876in"}{width="1.1180905511811023in" height="2.111120953630796in"}y 4 π -1 o 1 x 2 -1 y=arcsin x {width="2.0555621172353455in" height="1.0903182414698163in"}y 0 1 驾 y=arctan x y=arccos x {width="2.0417082239720035in" height="1.0903182414698163in"}y π 2 o 1 y=arccot x 考 拼 法 众 ·370· []{#bookmark65 .anchor}**附录Ⅲ** **几种常用的曲线** **(1)三次抛物线** (2)半立方抛物线 {width="0.9028116797900263in" height="1.277794181977253in"}{width="0.9097287839020123in" height="1.6110728346456693in"} y=ax³ *y²=ax³* {width="1.6388823272090989in" height="0.8472747156605425in"}(3)概率曲线 (4)箕舌线 {width="1.6250470253718285in" height="0.833332239720035in"} y=e⁻² (5)蔓叶线 {width="0.9444477252843395in" height="1.7152843394575679in"} y²(2a-x)=x³ {width="0.5555610236220473in" height="0.3055719597550306in"} (6)笛卡儿叶形线 {width="1.5832808398950131in" height="1.5277755905511812in"} *x³+y³-3axy=0* {width="0.8541272965879265in" height="0.2708059930008749in"} 拼课 (7)星形线(内摆线的一种) {width="1.5416447944007in" height="1.4236537620297463in"} {width="0.6319160104986876in" height="0.5833497375328084in"} (9)心形线(外摆线的一种) {width="1.5069258530183727in" height="1.534747375328084in"} x²+y²+ax=a√x²+y² p=a(1-cos θ) **(11)对数螺线** {width="1.388870297462817in" height="1.326324365704287in"} *p=e* **(8)摆线** {width="1.6944192913385827in" height="0.8194794400699913in"} {width="0.8472101924759405in" height="0.3472211286089239in"} (10)阿基米德螺线 {width="1.6388823272090989in" height="1.6363779527559055in"} *p=aθ* **(12)双曲螺线** {width="1.4861089238845144in" height="0.9791918197725284in"} 研拼课 **(13)伯努利双纽线** {width="1.2777318460192475in" height="1.277794181977253in"} (x²+y²)²=2a²xy p²=a²sin 2θ **(15)三叶玫瑰线** {width="1.5555457130358705in" height="1.4653029308836396in"} p=acos 3θ **(17)四叶玫瑰线** {width="1.3125153105861767in" height="1.3750339020122484in"} **p=asin 20** **(14)伯努利双纽线** {width="1.5208912948381452in" height="0.7707699037620297in"} *(x²+y²)²=a²(x²-y²)* p²=a²cos 2θ **(16)三叶玫瑰线** {width="1.444407261592301in" height="1.5417180664916885in"} **p=asin 3θ** **(18)四叶玫瑰线** {width="1.6458005249343832in" height="1.6388681102362204in"} **p=acos 20** 考 研拼 课 搬 般 影 8兵 6 5{width="0.11799431321084865in" height="7.63254593175853e-2in"} []{#bookmark129 .anchor}附 录IV 积 分 表 ( 一 )含有ax+b 的积分 {width="1.612267060367454in" height="0.29280621172353455in"} {width="3.0903772965879264in" height="0.35441491688538934in"} {width="2.4166557305336833in" height="0.29860126859142605in"} {width="3.5142661854768154in" height="0.33432852143482067in"} {width="2.020851924759405in" height="0.3750164041994751in"} {width="2.2916819772528436in" height="0.361075021872266in"} {width="3.083290682414698in" height="0.736182195975503in"} {width="2.5555304024496936in" height="0.3680457130358705in"} (二)含有 √ax+b 的积分 {width="2.027769028871391in" height="0.3055719597550306in"} {width="2.9027799650043744in" height="0.31942585301837273in"} {width="3.6666524496937885in" height="0.34025043744531935in"} {width="2.4236384514435696in" height="0.35419291338582676in"} {width="3.1319739720034994in" height="0.3681353893263342in"} 附录IV 积分表 {width="4.986091426071741in" height="1.3863735783027121e-2in"}{width="3.062541557305337in" height="1.180576334208224in"} {width="2.4308245844269467in" height="0.3684951881014873in"} {width="2.444413823272091in" height="0.3680632108486439in"} {width="2.458299431321085in" height="0.3889041994750656in"} ( 三 ) 含 有x²±a²的积分 {width="1.4652657480314961in" height="0.36108595800524934in"} 19\. {width="3.6388823272090987in" height="0.3472233158355206in"} 20\. {width="1.4791513560804899in" height="0.3541994750656168in"} 21\. ( 四 ) 含 有 ax²+b(a\>0) 的积分 {width="1.7013823272090989in" height="0.3055413385826772in"}{width="3.014917979002625in" height="0.8543613298337708in"} 23\. {width="1.8819575678040246in" height="0.7708311461067366in"} 24\. 25\. {width="2.2777887139107613in" height="0.3472233158355206in"}{width="2.1249846894138233in" height="0.3333584864391951in"} 27\. {width="2.5141907261592302in" height="0.4110422134733158in"} (五)含有 ax²+bx+c(a\>0) 的积分 {width="3.715284339457568in" height="0.8819225721784777in"}29. {width="3.1876148293963253in" height="0.3010662729658793in"} {width="0.3819455380577428in" height="6.976159230096238e-3in"} (六)含有 √x²+a²(a\>0) 的积分 31\. {width="2.618013998250219in" height="0.3889041994750656in"} 32\. {width="1.6944728783902012in" height="0.38192694663167104in"} 33\. {width="1.5143711723534559in" height="0.3333103674540682in"} 34.{width="1.8831900699912512in" height="0.39588035870516186in"} 35\. {width="2.8055643044619423in" height="0.40276793525809274in"} 36.{width="2.848452537182852in" height="0.4028576115485564in"} 37\. {width="1.8958431758530183in" height="0.4444488188976378in"} 38\. {width="1.5902996500437445in" height="0.4096544181977253in"} {width="3.0694510061242344in" height="0.31251859142607175in"} {width="1.9652701224846894in" height="0.2986548556430446in"}{width="3.9027701224846894in" height="0.2986548556430446in"} 41\. {width="3.81248687664042in" height="0.41668635170603674in"} O {width="2.7365452755905513in" height="0.3768241469816273in"} {width="2.902723097112861in" height="0.368079615048119in"} (七)含有√x²-a²(a \>0) 的积分 {width="1.7920931758530183in" height="1.2501082677165354in"}{width="3.1388877952755907in" height="0.38195538057742784in"} 46\. 47\. 48\. {width="2.743863735783027in" height="0.4104286964129484in"} 49\. {width="2.778135389326334in" height="0.3983092738407699in"} 50\. {width="1.7708442694663167in" height="0.36799103237095365in"} 51\. {width="1.7638517060367453in" height="0.423669072615923in"} {width="3.5974332895888015in" height="0.2916240157480315in"}{width="3.034724409448819in" height="0.3472233158355206in"} 54\. {width="2.2222626859142607in" height="0.2916360454943132in"} {width="3.7153160542432198in" height="0.3194750656167979in"} {width="2.5833048993875765in" height="0.36109798775153107in"} {width="2.910216535433071in" height="0.35488188976377955in"} {width="1.4514271653543307in" height="0.36109798775153107in"}(八)含有 √a²-x²(a\>0) 的积分 59\. {width="1.7222255030621172in" height="0.38884733158355206in"} 60\. {width="1.5986187664041995in" height="0.32663167104111984in"} 61\. {width="1.97917104111986in" height="0.36799103237095365in"} {width="2.75000656167979in" height="0.38195538057742784in"} 64.{width="2.388493000874891in" height="0.40281167979002624in"} 65\. {width="1.9310498687664042in" height="0.40365048118985125in"} 66\. {width="1.6042082239720035in" height="0.40281167979002624in"} {width="2.6740266841644793in" height="0.31302274715660544in"} {width="3.729169947506562in" height="0.28474300087489063in"} {width="2.305579615048119in" height="0.2986176727909011in"} {width="3.388906386701662in" height="0.2986176727909011in"} {width="2.4864260717410325in" height="0.36158136482939635in"} 71\. {width="2.5000535870516187in" height="0.35411636045494316in"} 公众号： 考研拼课 (九)含有 √ ±ax²+bx+c(a\>0) 的 积 分 {width="3.159971566054243in" height="0.3632863079615048in"} {width="2.5138287401574804in" height="0.3193853893263342in"} {width="2.2848458005249346in" height="0.38335629921259845in"} {width="2.215262467191601in" height="0.36799103237095365in"} {width="2.2293121172353456in" height="0.35488188976377955in"} {width="2.444744094488189in" height="0.3759580052493438in"} {width="2.514174321959755in" height="0.29276902887139106in"} {width="1.5763637357830271in" height="0.40970472440944883in"} {width="3.722253937007874in" height="0.38195538057742784in"} ( 十 ) 含 有{width="0.6245669291338583in" height="0.36808070866141734in"}√(x-a)(b-x) 的 积 分 79\. {width="3.4444411636045493in" height="0.36118766404199476in"} {width="3.277830271216098in" height="0.36799103237095365in"} {width="2.9096970691163606in" height="0.38186570428696415in"} {width="2.9932272528433947in" height="0.3200153105861767in"} {width="1.9027952755905513in" height="0.36808070866141734in"} (十 一 )含有三角函数的积分 {width="1.2777329396325459in" height="0.2777613735783027in"} 83\. {width="1.4583716097987751in" height="0.2777613735783027in"} {width="1.4105129046369205in" height="0.2579702537182852in"}{width="1.7777569991251094in" height="0.2707797462817148in"} 86\. {width="3.1537554680664917in" height="0.3343503937007874in"} 87\. {width="2.7570417760279966in" height="0.32663167104111984in"} 88\. {width="1.2082950568678914in" height="0.28474300087489063in"} 89\. {width="1.2572703412073492in" height="0.26512357830271216in"} 90\. {width="1.4794313210848644in" height="0.2579702537182852in"} 91\. {width="1.548989501312336in" height="0.2576246719160105in"} 92\. {width="1.6249825021872266in" height="0.2916360454943132in"} 93\. {width="1.6527832458442695in" height="0.3193853893263342in"} 94\. {width="2.638867016622922in" height="0.3124923447069116in"} 95\. {width="2.5902482502187225in" height="0.3056003937007874in"} 96\. {width="2.2917760279965003in" height="0.2996369203849519in"} 97\. {width="2.2224989063867016in" height="0.3061636045494313in"} 98\. {width="3.493059930008749in" height="0.2986176727909011in"} 99\. {width="2.666667760279965in" height="0.3194750656167979in"} {width="3.687470472440945in" height="0.3056003937007874in"}{width="4.048620953630796in" height="0.3264566929133858in"} 101\. {width="3.937925415573053in" height="0.41031277340332456in"} {width="3.29161854768154in" height="0.5277580927384077in"} {width="3.7362839020122482in" height="1.111075021872266in"} {width="3.2363495188101488in" height="0.7640955818022748in"} 106\. {width="2.4930457130358703in" height="0.3263068678915136in"} 107\. {width="2.382529527559055in" height="0.33329943132108486in"} 108\. {width="2.215272309711286in" height="0.29860126859142605in"} 109\. {width="3.3819706911636045in" height="0.30557305336832896in"} {width="2.506930227471566in" height="0.30557305336832896in"} {width="3.284708005249344in" height="0.3125437445319335in"} (十二)含有反三角函数的积分(其中 a\>0) {width="2.624989063867017in" height="0.2916305774278215in"} {width="3.2570395888014in" height="0.3338670166229221in"} {width="3.5485958005249345in" height="0.3195155293088364in"} {width="2.6597353455818022in" height="0.2708059930008749in"} {width="3.277732939632546in" height="0.4096948818897638in"} {width="3.56248031496063in" height="0.3263965441819773in"} {width="2.909673009623797in" height="0.27080489938757657in"} {width="3.013909667541557in" height="0.28474846894138234in"} 121\. {width="3.173624234470691in" height="0.3263965441819773in"} (十三)含有指数函数的积分 122\. {width="1.097270341207349in" height="0.29860126859142605in"} 123\. {width="1.0488090551181102in" height="0.2858661417322835in"} 124\. {width="1.6110958005249343in" height="0.3125437445319335in"} 125\. {width="2.0277865266841646in" height="0.2916305774278215in"} 126\. {width="1.819423665791776in" height="0.3133409886264217in"} {width="2.7013910761154856in" height="0.29860126859142605in"}{width="2.4166426071741034in" height="0.28465879265091865in"} 128\. {width="2.701547462817148in" height="0.29860126859142605in"} 129\. {width="3.319388670166229in" height="0.3125437445319335in"} 130\. {width="1.5694389763779528in" height="0.3403390201224847in"} {width="3.6389468503937006in" height="0.2917191601049869in"} {width="1.5833245844269466in" height="0.3403390201224847in"} (十四)含有对数函数的积分 {width="1.29169728783902in" height="0.2638604549431321in"} 132\. {width="1.1735772090988625in" height="0.29167760279965005in"} 133\. {width="2.4027548118985127in" height="0.2986548556430446in"} {width="2.7152865266841646in" height="0.2847014435695538in"} {width="3.562859798775153in" height="0.2923425196850394in"} (十五)含有双曲函数的积分 {width="1.1042038495188102in" height="0.2847014435695538in"} 137\. {width="1.0833213035870517in" height="0.2777241907261592in"} 138\. {width="1.2360958005249343in" height="0.2778138670166229in"} 139\. {width="1.9236132983377079in" height="0.2985651793525809in"} {width="1.8471937882764655in" height="0.3055413385826772in"} ( 十 六 ) 定 积 分 {width="1.3958530183727034in" height="0.3055413385826772in"}{width="2.1874617235345584in" height="0.3055413385826772in"} 143\. {width="2.2291622922134735in" height="0.38192694663167104in"} {width="2.215326990376203in" height="0.36117563429571303in"} {width="3.458340988626422in" height="0.5486515748031496in"} {width="2.319417104111986in" height="0.4652001312335958in"} {width="2.062487970253718in" height="0.7361275153105862in"}{width="0.70833552055993in" height="0.3333584864391951in"} 大于1 {width="0.43052274715660543in" height="0.27083661417322835in"} (n 为 []{#bookmark130 .anchor}习题答案与提示 第 一 章 习题1-1(第16页) 1\. (1) {width="0.7380194663167104in" height="0.3061428258967629in"} (2)(-∞,-1)U(-1,1)U(1,+∞); (3)(-1,0)U(0,1\];(4)(-2,2); (5)(0,+∞); (6) {width="1.5694991251093613in" height="0.3611100174978128in"} (7)\[2,4\]; (8)(-∞,0)U\[0,3\]; (9)(-1,+∞); (10)(-∞,0)U(0,+∞). 2\. 略 . {width="2.5000207786526683in" height="0.39586832895888013in"},φ(-2)=0. 4 --- 6.略. 7\. (1)偶函数；(2)既非奇函数又非偶函数；(3)偶函数； (4)奇函数；(5)既非奇函数又非偶函数；(6)偶函数. 8\. (1)是周期函数，周期l=2π; (2) 是周期函数，周期 {width="0.4027909011373578in" height="0.29168307086614176in"} (3)是周期函数，周期 l=2; (4)不是周期函数； (5)是周期函数，周期 l=π. {width="0.8611406386701662in" height="0.2846948818897638in"}{width="0.7013801399825021in" height="0.2638221784776903in"}9.(1)y=x³-1;(2) {width="0.4444597550306212in" height="0.28478455818022747in"}; (3) {width="0.6389107611548557in" height="0.3055686789151356in"} \(4\) ;(5)y=e⁻¹-2;(6) 10\. 略. 11.(1)y=sin²x, {width="0.483001968503937in" height="0.2846948818897638in"}{width="0.3919630358705162in" height="0.29858048993875763in"}\* {width="0.4583486439195101in" height="0.31246609798775155in"} {width="6.253390201224847e-2in" height="8.340113735783027e-2in"} 考研拼课 n (3)y=√ 1+x²,y₁=√2,y₂=√5; (4)y=e²,y₁=1,y₂=e; (5)y=e²,y₁=e²,y₂=e⁻² . {width="1.3680697725284339in" height="0.2709000437445319in"}12.(1)\[-1,1\];(2)U\[2nπ,(2n+1)π\];(3)\[-a,1-a\] {width="2.305505249343832in" height="0.34023622047244095in"} 13.{width="1.313400043744532in" height="0.5208366141732284in"} {width="1.369332895888014in" height="0.5218471128608924in"} 14\. {width="1.12497375328084in" height="0.31255577427821524in"},h∈(0,√S₀tan 40°). {width="2.2017049431321083in" height="0.8682688101487314in"} 16.F=1.8C+32 或 {width="0.9166327646544182in" height="0.2986701662292213in"} (1)90 F=32.2℃,-5℃=23 F;(2)-40 F=-40℃. {width="2.09792760279965in" height="0.7709820647419072in"} 18\. 在2008年后的第t 年，世界人口数为P(t)=6708.2 ·1.011 \'百万，2020 年对应t=12,P(12)≈76 亿 . 习题1- 2(第26页) 1\. (1)收敛，0;(2)收敛，0;(3)收敛，2;(4)收敛，1;(5)发散； (6)收敛，0;(7)发散；(8)发散. 2 . (1)必要条件；(2) 一 定发散； (3)不一定收敛，例如数列(-1)\"}有界，但发散. 3\. (1)错误，反例略；(2)错误，反例略； (3)正确，理由略； (4)正确，理由略. {width="0.5486625109361329in" height="0.2222561242344707in"}\*4. 9 \*5---\*8.略. {width="0.9583016185476816in" height="0.31255577427821524in"} {width="0.1874737532808399in" height="9.719706911636046e-2in"}拼课 习题1-3(第33页) 1\. (1)0; (2)-1; (3)不存在，因为f(O⁺)≠f(0-). 2 . (1)错；(2)对；(3)错；(4)错；(5)对；(6)对 . 3 . (1)对；(2)对；(3)对；(4)错；(5)对；(6)对； (7)对； (8)错 . 4\. {width="2.020870516185477in" height="0.22915682414698163in"} 4 {width="0.8012248468941382in" height="0.22218613298337708in"}, {width="0.7733978565179352in" height="0.22915682414698163in"}{width="0.5295658355205599in" height="0.20833333333333334in"})不存在. \*5---\*6.略. \*7. δ=0.0002.提示：因为x→2,所以不妨设1\0 时，1\<\"1+x\<1+x, 当 - 1\n); (3) {width="0.21256780402449693in" height="0.2855982064741907in"} 6\. 略. 习题1-8(第61页) 1.x=-1,0,1,2 均为f(x) 的间断点，除x=0 外它们均为f(x) 的可去间断 点.补充定义f(-1)=f(2)=0, 修改定义，使f(1)=2. 2.(1)f(x) 在\[0,2\]上连续； (2)f(x) 在(-∞,-1)与(-1,+∞)内连续，x=-1 为跳跃间断点. 3\. (1)x=1 为可去间断点，x=2 为第二类间断点； (2)x=0 和 {width="0.6180369641294838in" height="0.27779746281714784in"}为可去间断点，x=kπ(k≠0) 为第二类间断点； (3)x=0 为第二类间断点； (4)x=1 为第一类间断点. {width="1.319453193350831in" height="0.5694805336832895in"} 二1和x -1 为第一类问断点 5\. (1)对，因为\|If(x)1-If(a)I\|≤If(x)-f(a)I, 由此可推出结论； (2)错，例如 {width="1.6180489938757656in" height="0.37499562554680665in"}a∈R. \*6---\*7.略. \*8. {width="1.4374846894138233in" height="0.263911854768154in"} 习题1-9(第65页) 1\. 连续区间：(-∞,-3),(-3,2),(2,+∞); {width="0.7800393700787401in" height="0.2784241032370954in"}{width="0.7638834208223972in" height="0.22915354330708662in"}{width="0.9186297025371829in" height="0.2846948818897638in"} 2\. 略 . 考研拼课 3\. (1) √5;(2)1;(3)0;(4) 4.(1)1;(2)0;(3)√e;(4)e³;(5) 5\. (1)错，例如φ(x)=sgn {width="0.15972003499562554in" height="0.2977132545931759in"};(5)2;(6)cosα;(7)1;(8) {width="0.19443897637795277in" height="0.20138232720909885in"};(6) {width="0.15275043744531933in" height="0.29858048993875763in"};(7) x,f(x)=eˣ,φ\[f(x)\]=1在 R {width="0.26387685914260717in" height="0.30461067366579175in"} {width="0.15275043744531933in" height="0.29858048993875763in"};(8)-6. 上处处连续； (2)错，例如 {width="1.215718503937008in" height="0.3818930446194226in"} \[φ(x)\]²=1 在 R 上处处连续； (3)对，例如φ(x) 同(2),f(x)=Ixl+1,f\[φ(x)\]=2 在 R 上处处连续； (4)对，若 {width="0.7777580927384077in" height="0.3263517060367454in"}在 R 上连续，则φ(x)=F(x)f(x) 也 在R 上连 续，与已知条件矛盾. 6.a=1. 习题1- 10(第70页) 1 --- 4.略. 5\. 提示：{width="2.036317804024497in" height="0.3263517060367454in"},其中m、M分别为f(x) 在\[x₁,xπ\] 上的最小值及最大值. \*6.提示：证明f(x)在\[a,b\] 上连续. \*7. 略. \*8 . 若f(a+) 及f(b⁻) 存在，则f(x) 在(a,b) 内一致连续. 总习题一 (第70页) 1\. (1)必要，充分；(2)必要，充分；(3)必要，充分；(4)充分必要. 2.1. 3.(1)(B);(2)(B). 4.(1)\[-∞,0\];(2)\[1,e\];(3)\[0,tan 1\]; (4) {width="1.4312095363079615in" height="0.292836832895888in"} *5.fLf(x)\]=f(x),g\[g(x)\]=0,f\[g(x)\]=0,g\[f(x)\]=g(x).* 6\. 略 . 7\. {width="1.6666426071741032in" height="0.34032699037620295in"} (0\<α\<2π). \*8.略. {width="0.22915791776027997in" height="6.9870953630796154e-3in"}9. (1)∞;(2) {width="0.15275043744531933in" height="0.29168307086614176in"}(3)e;(4 Dbc;(6)1;(7) {width="0.18056430446194227in" height="0.29159339457567807in"};(8)-2. 10.a=0. 11.x=1 是第一类间断点. 12 --- 13.略. 14 . (1)略；(2)y=2x+1. 第 二 章 习题2- 1(第83页) {width="0.647422353455818in" height="0.3266360454943132in"} 2\. {width="0.20834536307961504in" height="0.2986537620297463in"} 3.(1)C\'(100)=80 (元/件); (2)C(101)-C(100)=79.9 (元)≈80(元),边际成本 C\'(x) 近似于产量 达到x 单位时再增加1个单位产品所需的成本. 4.-20. 5\. 略 . 6.(1)-f\'(xo);(2)f\'(0); (3)2f\'(x₀). 7.(B). 8.(A). 9.(1)4x³; (2) {width="0.4375513998250219in" height="0.2985651793525809in"} (3)1.6x⁰6; (4) {width="0.44439741907261593in" height="0.2847900262467192in"}; \(5\) {width="0.29165791776027994in" height="0.31242891513560805in"} (6) {width="0.35684930008748905in" height="0.28647528433945757in"} (7) {width="0.4166907261592301in" height="0.2986548556430446in"} 10.12 m/s. 11\. 略 . 12.k₁=y\'I {width="0.5902909011373578in" height="0.2847014435695538in"},k₂=y\'lx=π=-1. 13\. 切线方程为 {width="1.4861264216972878in" height="0.3610870516185477in"} 法线方程{width="1.5367935258092738in" height="0.3541097987751531in"} 14.x-y+1=0. 15\. (2,4). 众 号 ： 拷 研 16 . (1)在x=0 处连续，不可导；(2)在x=0 处连续且可导. 17.a=2,b=-1. 18.f\'(0)=0,f\'(0)=-1,f\'(0) 不存在. 19\. {width="1.4237959317585303in" height="0.349507874015748in"} 20\. 略 . 习题2-2(第94页) 1\. 略 . 2\. (1) {width="0.7569160104986876in" height="0.3055413385826772in"} (2)15x²-2\*ln 2+3e\*; (3)sec x(2sec x+tan x); (4)cos 2x; (5)x(2ln x+1); (6)3e\*(cos x-sin x); \(7\) {width="0.4930282152230971in" height="0.3194061679790026in"} (8) {width="0.5277744969378828in" height="0.3263823272090989in"}; {width="0.7222353455818022in" height="0.3472222222222222in"}(9)2xln xcos x+xcos x-x²ln xsin x; (10) {width="0.8472036307961505in" height="0.3541994750656168in"} 3\. (1) {width="0.8333825459317585in" height="0.31251859142607175in"},y\'¹共= √ 2;(2) {width="1.6458409886264218in" height="0.31251859142607175in"} *4.(1)v(t)=v₀-gt;(2)* {width="0.34028871391076115in" height="0.319494750656168in"} 5\. 切线方程为2x-y=0, 法线方程为x+2y=0. 6.(1)8(2x+5)³;(2)3sin(4-3x);(3)-6xe⁻³\*²;(4) {width="0.33331364829396326in" height="0.31251859142607175in"} (5)sin 2x; (6) {width="0.5347495625546806in" height="0.3333584864391951in"}\* (7)2xsec²(x²);(8) {width="0.34028871391076115in" height="0.31251859142607175in"}4 \(9\) {width="0.5902909011373578in" height="0.39588035870516186in"} (10)-tan x. {width="1.0694346019247594in" height="0.36117563429571303in"} (2) {width="0.7083497375328084in" height="0.3263823272090989in"} \(3\) {width="1.5833891076115485in" height="0.2985651793525809in"} (4) {width="0.5833158355205599in" height="0.3680632108486439in"} {width="0.8472036307961505in" height="0.340246062992126in"}(5) 考磁{width="1.2236078302712161in" height="0.3194050743657043in"} {width="0.8342213473315836in" height="0.40276793525809274in"} (9)sec x; 8\. {width="0.9250765529308836in" height="0.4936286089238845in"} \(3\) {width="0.6250371828521435in" height="0.3749507874015748in"} 4 (5)nsin"⁻¹xcos(n+1)x; {width="1.2291491688538934in" height="0.3472233158355206in"} \(7\) , \(9\) {width="0.8888604549431321in" height="0.3750404636920385in"} 9.{width="1.485417760279965in" height="0.39588035870516186in"} 10.(1)2xf\'(x²); {width="0.8889249781277341in" height="0.3055413385826772in"}11.(1)e⁻¹(-x²+4x-5); \(3\) {width="1.0434022309711286in" height="0.3061832895888014in"} \(5\) {width="1.0430839895013124in" height="0.2991830708661417in"} \(7\) {width="0.5416601049868767in" height="0.29158792650918636in"} \(9\) 4 {width="0.6736679790026247in" height="0.3263823272090989in"}\*12.(1)sh(sh x)·ch x; \(3\) 4 {width="0.7708661417322835in" height="0.3333584864391951in"} \(5\) {width="0.5075820209973754in" height="0.3826848206474191in"} \(7\) \(8\) {width="0.5555457130358705in" height="0.38097003499562554in"} (10)csc x. (2)csc x; \(4\) {width="0.7222353455818022in" height="0.409744094488189in"} \(6\) {width="0.42360126859142605in" height="0.3055413385826772in"}; \(8\) {width="0.9721719160104987in" height="0.32647200349956257in"}\* \(10\) {width="1.3055511811023621in" height="0.38192694663167104in"} (2)sin 2x\[f\'(sin²x)-f\'(cos²x)\]. (2)sin 2xsin(x²)+2xsin²xcos(x²); \(4\) {width="0.530346675415573in" height="0.2991841644794401in"} \(6\) {width="0.5972659667541558in" height="0.3194958442694663in"} \(8\) {width="0.6954604111986001in" height="0.4166087051618548in"} \(10\) {width="1.2786023622047245in" height="0.7153926071741032in"} (2)ec(ch x+sh²x); (4)(3sh x+2)sh xch x; \(6\) {width="0.7986373578302712in" height="0.3750404636920385in"} 考 研 短{width="0.5770527121609799in" height="0.31251859142607175in"} (9)th³x; (10) {width="1.243034776902887in" height="0.340246062992126in"} 13.f(x)g(x) 在 x₀ 处可导，其导数为f\'(x 。)g(x₀). 14\. 略 . 习题2-3(第100页) 1\. (1) {width="0.40280621172353454in" height="0.31251859142607175in"} (2)4e²-¹; (3)-2sin x-xcosx; (4)-2e⁻\'cos t; \(5\) {width="0.7500054680664917in" height="0.3541097987751531in"}; (6) {width="0.7152602799650044in" height="0.3541097987751531in"} (7)2sec²xtan x; (8) {width="0.7231966316710411in" height="0.34108048993875767in"} \(9\) {width="0.9166305774278215in" height="0.3055413385826772in"}\* (10) {width="0.8680643044619423in" height="0.3472233158355206in"} (11)2xe²(3+2x²); (12) {width="0.7291447944006999in" height="0.2985651793525809in"} 2.f\"(2)=207360. 3.(1)2f\'(x²)+4x²f\"(x²); {width="1.6110958005249343in" height="0.3610870516185477in"} 4\. 略 . 5\. {width="1.027778871391076in" height="0.3333584864391951in"} 6\. 略 . 7\. {width="0.9795056867891514in" height="0.340246062992126in"} {width="2.6461012685914262in" height="0.27142279090113736in"}8 --- 9. 略. 10.(1)-4e\*cos x; 11.(1)n!; (2) {width="1.4236100174978128in" height="0.2985651793525809in"} {width="1.3124617235345581in" height="0.3055413385826772in"}(3) {width="0.8889238845144357in" height="0.3263823272090989in"} (n≥2); (4)e\'(x+n). ------------------------------------------------------ ---------------- \*12. 考 研拼课 公众号： ------------------------------------------------------ ---------------- 习题2-4(第108页) 1\. (1) {width="0.28376093613298337in" height="0.2711428258967629in"} (2) {width="0.40476268591426073in" height="0.3477121609798775in"} (3) {width="0.3819685039370079in" height="0.3194061679790026in"}; (4) {width="0.4791415135608049in" height="0.31251859142607175in"} 2\. 切线方程为 {width="0.8194083552055993in" height="0.3472233158355206in"},法线方程为 x-y=0. 3\. (1) {width="0.2569291338582677in" height="0.3263823272090989in"} (2) {width="0.4131430446194226in" height="0.3404899387576553in"} (3)-2csc²(x+y)cot³(x+y); {width="1.3958530183727034in" height="0.3403357392825897in"}(4) {width="0.611097987751531in" height="0.3541994750656168in"} 4\. (1) {width="1.764323053368329in" height="0.3962784339457568in"} \(2\) {width="2.62496719160105in" height="0.7639446631671041in"} 5\. (1) {width="0.2500120297462817in" height="0.30563101487314087in"}; (2) {width="0.9444477252843395in" height="0.31251859142607175in"} 6\. √3-2. 7\. (1)切线方程为2 √ 2x+y-2=0, 法线方程为 √2x-4y-1=0; (2)切线方程为4x+3y-12a=0, 法线方程为3x-4y+6a=0. {width="2.159725503062117in" height="0.33335958005249344in"}8.(1)÷ ;(2)-a²si³ ;(3)9e" ;(4)\"(t) \*9. (1) {width="0.6875174978127734in" height="0.31251859142607175in"});(2) {width="0.3125306211723535in" height="0.340246062992126in"} 10.144π m²/s. {width="1.4930905511811023in" height="0.2986548556430446in"} 12.0.64 cm/min. 习题2- 5(第120页) 1\. 当△x=1 时，△y=18,dy=11; 当 △x=0.1 时，△y=1.161,dy=1.1; 当 △x= 0.01 时，△y=0.110601,dy=0.11 2.(a)△y\>0,dy\>0,△y-dy\>0; (b)△y\>0,dy\>0,△y-dy\<0; (c)△y\<0,dy\<0,△y-dy\<0; (d)△y\<0,dy\<0,△y-dy\>0. 3\. (1) {width="0.7916732283464567in" height="0.3680632108486439in"};(2)(sin 2x+2xcos 2x)dx; \(3\) {width="0.7499715660542432in" height="0.22217957130358706in"}; (4) {width="0.7430544619422572in" height="0.31251859142607175in"}; (5)2x(1+x)e²dx;(6)e⁻\[sin(3-x)-cos(3-x)\]dx; {width="1.618471128608924in" height="0.7851126421697288in"} (8)8xtan(1+2x²)sec²(1+2x²)dx; \(9\) {width="0.5416601049868767in" height="0.31251859142607175in"}; (10)Awcos(wt+φ)dt. 4.(1)2x+C; (2) {width="0.4999682852143482in" height="0.27841972878390203in"} (3)sin t+C; (4) {width="0.8472090988626422in" height="0.29167760279965005in"} (5)ln(1+x)+C;(6) {width="0.6319805336832895in" height="0.2986548556430446in"};(7)2√x+C;(8) {width="0.7221708223972003in" height="0.2985651793525809in"} 5 . 约{width="0.47154199475065617in" height="0.3332688101487314in"} 6\. 约减少43.63 cm², 约增加104.72 cm² . 7\. (1)0.87475; (2)-0.96509. 8\. (1)30°47\";(2)60°2\'. 9.tan 45\'≈0.01309,In 1.002≈0.002. 10\. (1)9.9867;(2)2.0052. \*11.0.667%. \*12.δ 。=0.00056 rad=1\'55". 提示：先求出圆心角α与弦长 l的函数关系式. 总习题二(第122页) 1 . (1)充分，必要；(2)充分必要；(3)充分必要 . 2.n!. 3.(D). 4\. {width="0.5486351706036745in" height="0.3679746281714786in"} 5\. {width="0.2708617672790901in" height="0.3055413385826772in"} 6.(1)f\'\_(0)=f\'(0)=f\'(0)=1; (2)f\'(0)=1,f\'. (0)=0,f\'(0) 不存在. 7\. 在x=0 处连续，不可导. 8\. (1) {width="0.5081310148731408in" height="0.2852613735783027in"} (2) {width="0.3490977690288714in" height="0.3060968941382327in"} (3)sin x·In tan x;(4) {width="0.5207994313210849in" height="0.409744094488189in"} \(5\) {width="0.8472036307961505in" height="0.21529199475065616in"} {width="0.9791469816272966in" height="0.340246062992126in"}9. (1) {width="2.9860739282589677in" height="0.3472233158355206in"} \*10. (1) {width="1.9861307961504813in" height="0.33335958005249344in"};(2) 11\. {width="0.6399365704286964in" height="0.29225721784776904in"} 12\. (1) {width="1.8543099300087489in" height="0.3263823272090989in"} 4 \(2\) {width="1.2503630796150482in" height="0.3472233158355206in"} 13\. 切线方程为x+2y-4=0, 法线方程为2x-y-3=0. 14\. 切线方程为 y=2x-12: 提示：先求f(1),f\'(1),再利用周期性，求f(6),f\'(6). 15\. {width="1.3827340332458442in" height="0.34108048993875767in"} 16.-2.8 km/h. 17.1.007. 18\. 约需加长2.23 cm. 第 三 章 习题3-1(第132页) 1 ---4.略. 5\. 有分别位于区间(1,2),(2,3)及(3,4)内的三个根. 6 --- \*13. 略. 14\. 提 示：令φ(x)=f(x)e⁻, 先证明φ(x) 为常数. \*15. 略. 习题3-2(第137页) 1\. (1)1; (2)2; (3)2;(4) {width="0.2291415135608049in" height="0.29167760279965005in"}9 (5) {width="0.22920603674540682in" height="0.2847014435695538in"}\* (6) {width="0.3819455380577428in" height="0.249996719160105in"} (7)1; (8)3; (9)1;(10)1; (11) {width="0.20831364829396326in" height="0.2849945319335083in"} (12)∞; \(13\) {width="0.2430916447944007in" height="0.29167760279965005in"};(14)e"; (15)1;(16)1. 2 --- 3. 略. \*4.连续. 习题3- 3(第143页) 1.f(x)=-56+21(x-4)+37(x-4)²+11(x-4)³+(x-4)⁴ . 2.f(x)=x⁶-9x⁵+30x⁴-45x³+30x²-9x+1. {width="1.2645942694663168in" height="0.3833092738407699in"}{width="2.736137357830271in" height="0.2985651793525809in"} (0\<θ\<1). {width="3.354134951881015in" height="0.3263823272090989in"} {width="2.1388702974628173in" height="0.319494750656168in"} {width="2.7152766841644795in" height="0.2986548556430446in"} {width="2.208297244094488in" height="0.3889041994750656in"} {width="1.4931014873140858in" height="0.29167760279965005in"} 7\. {width="2.0352952755905513in" height="0.3200240594925634in"} 8.√e≈1.645. 9.(1)√30≈3.10724,IR,\|\<1.881 (2)sin 18⁰≈0.3090,IR₃I\<1.3×10⁻4. \*10. (1) {width="0.21180008748906387in" height="0.28566929133858265in"} (2) {width="0.21336176727909012in" height="0.28499343832020996in"} (3) {width="0.27258858267716535in" height="0.28499343832020996in"} (4) {width="0.1805741469816273in" height="0.2986548556430446in"} 习题3-4(第150页) 1\. 单调减少. 2\. 单调增加. 3\. (1)在(-∞∞,-1)、\[3,+∞)内单调增加，在\[-1,3\]上单调减少； (2)在\[0,2\]内单调减少，在\[2,+∞)内单调增加； (3)在(- ∞,0),{width="0.45628608923884517in" height="0.3263823272090989in"},(1,+∞)内单调减少，在 {width="0.3774496937882765in" height="0.3071587926509186in"}上单调增加； (4)在(- ∞,+∞)内单调增加； ( 5 ) 在{width="0.5940605861767279in" height="0.3263823272090989in"}内单调减少，在{width="0.6080347769028871in" height="0.3333584864391951in"}内单调增加； ( 6 ) 在 {width="0.6458333333333334in" height="0.31242891513560805in"} ,(a,+∞) 内单调增加，在 {width="0.47984580052493436in" height="0.30027121609798774in"} 上单调减少； (7)在\[0,n\] 上单调增加，在(n,+∞) 内单调减少； ( 8 ) 在 {width="0.7986373578302712in" height="0.3403357392825897in"}上单调增加，在 {width="1.0208038057742783in" height="0.340246062992126in"} 上 单 调 减 少 (k∈Z). 4.(D). 5\. 略 . 6 . 当{width="0.32686679790026246in" height="0.2986548556430446in"}时没有实根，当{width="0.49389107611548555in" height="0.2986548556430446in"}时有两个实根，当 {width="0.354747375328084in" height="0.3194061679790026in"}时只有x=e 一 个 实根. 7\. 不一 定 .f(x)=x+sin x 在(-∞,+∞)内单调，但f\'(x) 在(- ∞,+∞)内不 单调. 8\. 略 . 9 . (1)是凸的； (2)在\[-∞,0\]内是凸的，在\[0,+∞)内是凹的； (3)是凹的； (4)是凹的 . 10 . (1)拐点{width="1.3378521434820647in" height="0.3263823272090989in"}内是凸的，在{width="0.6093875765529309in" height="0.3333584864391951in"}内是凹的； (2)拐点{width="0.4457797462817148in" height="0.33326990376202975in"},在\[-∞,2\]内是凸的，在\[2,+∞)内是凹的； (3)没有拐点，处处是凹的； (4)拐点( - 1 ,In 2),(1,In 2),在(-∞,-1),\[1,+∞)内是凸的，在 \[-1,1\]上是凹的； (5)拐点 {width="0.687765748031496in" height="0.29949693788276466in"} ,在 {width="0.5762171916010499in" height="0.3194061679790026in"} 内是凹的，在{width="0.6109514435695538in" height="0.3263812335958005in"}内是凸的； (6)拐点(1,-7),在\[0,1\]内是凸的，在\[1,+∞)内是凹的. 11\. 略. \*12.拐点：(-1,-1), {width="2.52081583552056in" height="0.38192694663167104in"} 13. {width="0.8402854330708661in" height="0.29167760279965005in"} 函 14.a=1,b=-3,c=-24,d=16. 15\. {width="0.5208639545056868in" height="0.3263823272090989in"} \*16.(x₀,f(x 。)) 为拐点. 习题3-5(第161页) 1 . (1)极大值f(-1)=17, 极小值f(3)=-47; (2)极小值f(0)=0; (3)极大值f(±1)=1, 极小值f(0)=0; (4)极大值.{width="0.6830675853018373in" height="0.340246062992126in"} (5)极大值.{width="0.9956124234470691in" height="0.3472233158355206in"} (6)极大值f(0)=4, 极小值.{width="0.6989052930883639in" height="0.2985651793525809in"} (7)极大值.{width="1.3560531496062993in" height="0.3610870516185477in"},极小值{width="1.1163188976377953in" height="0.3333584864391951in"} {width="1.3472080052493438in" height="0.33326990376202975in"} (8)极大值f(e)=e÷;(9) 没有极值；(10)没有极值. 2\. 略 . 3\. {width="1.0138932633420823in" height="0.3055413385826772in"}为极大值. 4\. 略. 5\. 极小值f(0)=4. 6\. (1)最大值f(4)=80, 最小值f(-1)=-5; (2)最大值f(3)=11, 最小值f(2)=-14; (3)最大值.{width="0.8220122484689414in" height="0.340246062992126in"}最小值f(-5)=-5+√6. 7\. 当 x=1 时函数有最大值-29. 8\. 当 x=-3 时函数有最小值27. 9\. 当x=1 时函数有最大值 ·{width="0.15195647419072617in" height="0.27198490813648296in"} 10\. 长为10 m,宽 为 5 m. 11\. {width="1.188409886264217in" height="0.37503937007874016in"};d:h=1:1. 12\. 底宽为{width="1.2551017060367453in" height="0.36117563429571303in"} 13\. 当α=arctan μ=arctan 0.25≈14°2\'时，可使力 F 最小. 14\. 杆长为1.4 m. 15\. {width="0.6110870516185477in" height="0.319494750656168in"} 16\. 当φ=54°13′时，屋架可吊到最大高度7.506 m, 而柱子高只有6 m, 所以 能吊得上去. 提示：设吊臂对地面的倾角为φ时，屋架吊起的高度为 h,建立h 与φ间的 函数关系式，然后求出h 的最大值. 17.7200元. 18.60元. 习题3-6(第167页) 1\. 在\[-∞,-2\]内单调减少，在\[-2,+∞)内单调增加；在(-∞,-1\],\[1, +∞)内是凹的，在\[-1,1\]上是凸的；拐{width="0.7324048556430446in" height="0.3472222222222222in"},(1,2). {width="0.7291447944006999in" height="0.3541994750656168in"}2. 对称于原点；在(-∞,-1),\[1,+∞)内单调减少，在\[-1,1\]上单调增加； 在(-∞,- √ 3),\[0, √ 3\]上是凸的，在\[- √ 3,0\],\[ √ 3,+∞)内是凹的；拐点 ,(0,0), {width="0.5089468503937008in" height="0.33537729658792653in"} ;水平渐近线y=0. {width="0.8610892388451443in" height="0.3750404636920385in"} 3\. 在(-∞,1)内单调增加，在\[1,+∞)内单调减少；在 {width="0.7846872265966754in" height="0.3610870516185477in"}{width="1.3613068678915135in" height="0.3889031058617673in"}内是凹的，在 {width="0.8888604549431321in" height="0.3541097987751531in"}上是凸的；拐点 {width="0.3194280402449694in" height="0.3750404636920385in"};水平渐近线y=0. 4\. 在(-∞,0),{width="0.4447036307961505in" height="0.36806430446194227in"}内单调减少，在{width="0.6019717847769029in" height="0.38192694663167104in"}内单调增加；在(-∞,-1), (0,+∞)内是凹的，在(-1,0)内是凸的；拐点(-1,0);铅直渐近线x=0. 5\. 定义域为 {width="1.3683245844269467in" height="0.3127832458442695in"};周期为2π;图形对称于y 轴；在\[0,π\] 部分：在 {width="1.7020374015748032in" height="0.3263823272090989in"} 内单调增加；在 {width="0.44446194225721786in" height="0.3055413385826772in"} 内是凹的，在 {width="0.5076465441819773in" height="0.31251859142607175in"}内是凸的，在{width="0.521486220472441in" height="0.3263823272090989in"} 内是凹的，在{width="0.48675853018372706in" height="0.340246062992126in"}内是凸的；拐点{width="0.4519674103237095in" height="0.31251859142607175in"};铅直 渐近线 {width="0.8194324146981627in" height="0.2847014435695538in"} 习题3-7(第176页) 1.K=2. 2.K=lcos xl,p=lsec xl. 3\. K=2 {width="0.39583114610673664in" height="0.2985651793525809in"} 4\. {width="0.9176410761154855in" height="0.34771325459317587in"} {width="0.8685575240594926in" height="0.3338681102362205in"}处曲率半径有最小1{width="0.43873468941382326in" height="0.319494750656168in"} \*6 . 略 . 7\. 约1246 N. 提示：沿曲线运动的物体所受的向心力为{width="0.5137456255468067in" height="0.3680632108486439in"},这里 m 为物体的质量，v 为它的速率，p 为运动轨迹的曲率半径. 8\. 约45400 N. 参看上题提示. \*9. (ξ-3)²+(η+2)²=8. \*10. {width="1.7153324584426948in" height="0.36117563429571303in"} \*11. {width="0.683497375328084in" height="0.7572550306211724in"} *或* *2* *7pβ²=8(α-p)³.* 习题3-8(第181页) 1.0.18\<ξ\<0.19. 2.-0.20\<ξ\<-0.19. 3.0.32\<ξ\<0.33. 4.2.50\<ξ\<2.51. 总习题三(第181页) 1.2. 2.(1)(B); (2)(D). 3.f(x)=1xl,x∈\[-1,1\]. *4.ka.* 5 --- 9 . 略 . 10\. (1)2; (2) {width="0.2266732283464567in" height="0.27268482064741906in"} (3) {width="0.2083147419072616in" height="0.20840551181102362in"}; (4)a₁a₂...aπ · {width="3.5139424759405076in" height="0.3194050743657043in"} {width="0.7221675415573053in" height="0.34033464566929134in"},其中ξ介于1与x 之间； \(2\) {width="1.39582239720035in" height="0.3263823272090989in"} {width="1.7152307524059494in" height="0.2986548556430446in"} {width="2.41669072615923in" height="0.3055413385826772in"} 12\. 略 . 13.a=e°,最小值 {width="0.33334317585301837in" height="0.2847014435695538in"} 14\. (1,2)和(-1,-2). 15.³3. 16\. {width="0.41053587051618545in" height="0.27150371828521436in"}处曲率半径有最小值。1考研拼课 17.2.414\<ξ\<2.415. \*18.提示：可以先用一次洛必达法则. 19\. 提 示：记x₀=(1-t)x₁+tx₂, 先 证 f(x)≥f(x₀)+f\'(x₀)(x-x₀), 然后在上式中分别令x=x₁ 及 x=x₂, 可得两个不等式，由此推出结论. 20\. {width="0.8471959755030621in" height="0.3055413385826772in"} 第 四 章 习题4- 1(第192页) 1\. 略 . 2\. (1) {width="0.42359798775153107in" height="0.3055413385826772in"}4 (3)2√x+C; \(5\) {width="0.680492125984252in" height="0.31242891513560805in"} \(7\) {width="0.5069499125109361in" height="0.2985651793525809in"} \(9\) {width="0.5763670166229221in" height="0.38192694663167104in"} \(11\) {width="1.3124704724409448in" height="0.3263823272090989in"} (13)2e\*+3lnlxl+C; (15)eˣ-2√x+C; {width="1.0007403762029747in" height="0.4517727471566054in"} \(17\) {width="0.6319127296587926in" height="0.29167760279965005in"} \(19\) (21)sin x-cos x+C; (23)-cot x-x+C; (25)x-arctan x+C; \(2\) {width="0.5486253280839894in" height="0.29158792650918636in"} \(4\) {width="0.5694641294838145in" height="0.30563101487314087in"} \(6\) {width="0.7916491688538932in" height="0.29167760279965005in"} \(8\) {width="0.9590944881889764in" height="0.3010662729658793in"} \(10\) {width="0.9027427821522309in" height="0.3194958442694663in"} \(12\) {width="1.2707939632545933in" height="0.3055413385826772in"} (14)3arctan x-2arcsin x+C; \(16\) {width="0.6388812335958005in" height="0.31251859142607175in"} (18)tan x-sec x+C; \(20\) {width="0.6805566491688539in" height="0.2985651793525809in"} (22)-(cot x+tan x)+C; (24)=cosθ+θ+C; (26)x-x+arctan x+C. 3\. (1) {width="1.447133639545057in" height="0.2850579615048119in"} (2) {width="0.749990157480315in" height="0.27774278215223097in"} {width="0.7638429571303587in" height="0.2847364391951006in"}4. (1) (2) {width="0.8610793963254593in" height="0.30553587051618547in"} (3)k=4. 答：刹车加速度为-4 m/s² . 5.y=In x+1. {width="0.2500174978127734in" height="6.944444444444444e-3in"}6.(1)27m;(2)³360≈7.11(s). 7\. 略 . 习题4-2(第207页) 1\. (1) {width="0.20336942257217847in" height="0.2922528433945757in"} (2) {width="0.20637248468941383in" height="0.2801563867016623in"} (3) {width="0.20336942257217847in" height="0.29332895888014in"} (4) {width="0.29863626421697287in" height="0.3125295275590551in"} (5) {width="0.3076104549431321in" height="0.2928915135608049in"} (6) {width="0.2847823709536308in" height="0.30553587051618547in"} (7) {width="0.21531824146981626in" height="0.30553587051618547in"} (8)-2;(9) {width="0.27261811023622046in" height="0.2850579615048119in"} (10) {width="0.21215223097112862in" height="0.277752624671916in"} (11) {width="0.2360990813648294in" height="0.29163932633420825in"}; (12) {width="0.21692694663167103in" height="0.2852701224846894in"} (13)-1; (14)-1. 2\. (1) {width="0.5555161854768154in" height="0.2986329833770779in"} (2) {width="0.9930150918635171in" height="0.2986329833770779in"} \(3\) {width="0.9860892388451443in" height="0.30562554680664916in"}9 (4) {width="0.9860892388451443in" height="0.2986329833770779in"}; \(5\) {width="1.1597167541557305in" height="0.2985433070866142in"} (6)-2cos√t+C; \(7\) {width="0.6944444444444444in" height="0.3125295275590551in"} (8) {width="0.8610793963254593in" height="0.2986329833770779in"} \(9\) {width="1.0702646544181977in" height="0.2777668416447944in"} (10) {width="1.0138615485564304in" height="0.30553587051618547in"} \(11\) {width="1.222253937007874in" height="0.3125295275590551in"}; (12) {width="1.1527898075240595in" height="0.2986329833770779in"}; \(13\) {width="0.6319717847769029in" height="0.3125284339457568in"} (14) {width="1.4236537620297463in" height="0.2986329833770779in"} \(15\) {width="0.7222167541557305in" height="0.29173009623797025in"} (16)Inlln In xl+C; \(17\) {width="0.7292093175853018in" height="0.30562554680664916in"}4 (18) {width="0.7569160104986876in" height="0.33332895888013997in"}4 (19)-Inlcos√ 1+x²I+C; (20)(arctan√x)²+C; \(21\) {width="0.6388998250218723in" height="0.29164041994750656in"} (22)Inltan xl+C; \(23\) {width="1.0903182414698163in" height="0.2986329833770779in"} (24) {width="0.909763779527559in" height="0.31943241469816275in"} \(25\) {width="1.4036504811898514in" height="0.2922517497812773in"} (26) {width="1.3055719597550306in" height="0.29173009623797025in"} \(27\) {width="1.194481627296588in" height="0.30553587051618547in"} (28) {width="1.423588145231846in" height="0.2847364391951006in"} \(29\) {width="1.0416994750656168in" height="0.30553587051618547in"} (30)arctan e³+C; 4 \(31\) {width="1.569443350831146in" height="0.2985433070866142in"} \*\* \(32\) {width="1.194481627296588in" height="0.31943241469816275in"} (33) {width="1.1527898075240595in" height="0.4166152668416448in"} \(34\) {width="0.9236176727909011in" height="0.35412839020122483in"} (35) {width="1.7222255030621172in" height="0.30553587051618547in"} {width="0.6666721347331583in" height="0.33332895888013997in"}{width="0.8749989063867016in" height="0.32633530183727033in"}{width="2.145805993000875in" height="0.36802384076990374in"} \(37\) {width="1.4791338582677165in" height="0.3403215223097113in"} {width="0.18055336832895888in" height="6.992563429571303e-3in"}(40)√2x-ln(1+√2x)+C; {width="1.3818974190726159in" height="0.35412839020122483in"} \(41\) {width="2.104179790026247in" height="0.36112095363079616in"} \(43\) {width="2.4097430008748906in" height="0.35412839020122483in"} 习题4-3(第212页) 1.-xcos x+sin x+C. 2.x(In x-1)+C. 3.xarcsin x+√ 1-x²+C. 4.-e⁻ᵗ(x+1)+C. 5\. {width="1.0972451881014873in" height="0.3125295275590551in"} 公 众。号考研拼课 6\. {width="1.2229604111986in" height="0.28499343832020996in"} 7\. {width="1.7361286089238845in" height="0.3055413385826772in"} 8.{width="1.2776662292213474in" height="0.27083770778652666in"} 9\. {width="2.1319597550306213in" height="0.30563101487314087in"} 10.{width="1.6951695100612423in" height="0.29167760279965005in"} 11.x²sin x+2xcos x-2sin x+C. 12\. {width="0.9378641732283465in" height="0.32796259842519687in"} 13.xln²x-2xln x+2x+C. 14\. {width="1.458847331583552in" height="0.29225721784776904in"} {width="2.0277865266841646in" height="0.31251859142607175in"}{width="2.1041240157480314in" height="0.319494750656168in"} 16\. {width="2.215272309711286in" height="0.3194050743657043in"} {width="1.4791513560804899in" height="0.23604330708661417in"}{width="2.1319597550306213in" height="0.3055413385826772in"} 19\. {width="1.7916699475065616in" height="0.27083770778652666in"} {width="0.3194291338582677in" height="6.976159230096238e-3in"}21.x(arcsin x)²+2√ 1-x²aresin x-2x+C. 22\. {width="1.9096642607174104in" height="0.2986548556430446in"} 23.{width="1.4768558617672791in" height="0.3263823272090989in"} 24\. {width="1.4721762904636921in" height="0.3055413385826772in"} 习题4-4(第218页) 1\. {width="1.8333267716535433in" height="0.31251859142607175in"} 2.Inlx-21+lnlx+5+C. {width="1.3888637357830271in" height="0.29167760279965005in"}{width="2.0902384076990375in" height="0.3194061679790026in"} 4\. {width="2.6117268153980753in" height="0.3754068241469816in"} 5\. {width="1.2162095363079615in" height="0.2849945319335083in"} 6\. {width="2.243108048993876in" height="0.29167760279965005in"} 7\. {width="2.8472200349956256in" height="0.3055413385826772in"} 8\. {width="2.8055643044619423in" height="0.3055413385826772in"} 9\. {width="1.923614391951006in" height="0.3472233158355206in"} {width="1.9864916885389325in" height="0.37549321959755033in"} 11\. {width="1.035029527559055in" height="0.2916305774278215in"} 12\. {width="1.6597265966754156in" height="0.3680632108486439in"} 13\. {width="1.2152635608048994in" height="0.3749507874015748in"} 14\. {width="1.354621609798775in" height="0.48656714785651795in"} {width="1.034689413823272in" height="0.3472222222222222in"}{width="1.6180697725284339in" height="0.5138582677165354in"} 17\. {width="1.6458409886264218in" height="0.5068810148731409in"} {width="2.3964173228346457in" height="0.2922823709536308in"} 19\. {width="2.24999343832021in" height="0.30556758530183725in"} 20\. {width="1.0069739720034996in" height="1.3885608048993876e-2in"}21.x-4√x+1+41n(√ 1+x+1)+C. 22.2√x-4√x+41n(√x+1)+C. {width="2.139336176727909in" height="0.4032108486439195in"}{width="1.5208409886264218in" height="0.39577865266841644in"} 23\. {width="0.7986078302712161in" height="0.37508530183727035in"} 24\. 习题4-5(第221页) {width="0.9875874890638671in" height="0.27899715660542435in"}{width="1.5625535870516185in" height="0.2986701662292213in"} 2\. {width="1.9514129483814524in" height="0.263911854768154in"} {width="2.47918416447944in" height="0.7499912510936133in"} {width="1.534679571303587in" height="0.31945319335083117in"} {width="2.0555314960629922in" height="0.34023731408573926in"} 8\. {width="1.618040244969379in" height="0.333338801399825in"} 9\. {width="1.6388637357830271in" height="0.3472244094488189in"} 10\. {width="1.6666349518810148in" height="0.3054790026246719in"} 11\. {width="1.091505905511811in" height="0.27269903762029746in"} {width="1.0499015748031495in" height="0.32723753280839896in"}12.xln³x-3xln²x+6xln x-6x+C. 13\. 号 考 研 拼 课 {width="0.27083661417322835in" height="6.9870953630796154e-3in"}{width="1.4791283902012249in" height="0.33333989501312333in"}{width="0.8680632108486439in" height="0.3472244094488189in"}14.2√x- 1-2arctan√x- 1+C. 15. {width="1.4930325896762904in" height="0.31945319335083117in"}16. {width="2.5763823272090987in" height="0.7847495625546806in"}17. 18\. 19\. {width="1.548649387576553in" height="0.7083344269466316in"} 20\. {width="1.6250240594925633in" height="0.34032589676290464in"} 21\. {width="2.159714566929134in" height="0.42354877515310585in"}22.arcsin x+√ 1-x²+C. 23. {width="2.041692913385827in" height="0.3611100174978128in"} 25\. {width="1.6458475503062118in" height="0.3055686789151356in"} 总习题四(第222页) 1.(1)(x³-3x²+6x-6)e²+C;(2) {width="2.0277887139107613in" height="0.3054790026246719in"} 2.(1)(B);(2)(C). 3.x²cosx-4xsin x-6cos x+C. 4\. (1) {width="0.9791666666666666in" height="0.3055686789151356in"} (2){width="1.1330358705161854in" height="0.3264413823272091in"} \(3\) {width="1.0485564304461943in" height="0.3611996937882765in"} 考研拼课 (4)Inlx+sin xl+C; (5)In x(In In x-1)+C; \(6\) {width="1.0839785651793525in" height="0.2795220909886264in"} \(7\) {width="1.2360892388451443in" height="0.30556758530183725in"} \(8\) {width="2.1388976377952758in" height="0.3264413823272091in"} {width="1.368005249343832in" height="0.263911854768154in"}{width="1.7916633858267716in" height="0.29168307086614176in"} \(10\) {width="1.458319116360455in" height="0.36800743657042867in"} \(11\) {width="1.7222167541557305in" height="0.29858048993875763in"} \(12\) {width="1.8194422572178477in" height="0.31246609798775155in"} \(13\) 4 {width="0.9583661417322835in" height="0.4235498687664042in"} \(14\) {width="0.6250207786526684in" height="0.333338801399825in"} \(15\) {width="1.8819772528433947in" height="0.39577865266841644in"} \(16\) {width="1.4999868766404199in" height="0.3611100174978128in"} \(17\) (18)(4-2x)cos√x+4√x sin√x+C; (19)xln(1+x²)-2x+2arctan x+C; {width="2.1596992563429573in" height="0.3055686789151356in"} (21)(x+1)aretan√x-√x+C; {width="1.5208530183727034in" height="0.37499562554680665in"}{width="2.131986001749781in" height="0.3541218285214348in"} \(23\) {width="1.048614391951006in" height="0.3888812335958005in"}新 般 影 {width="1.97913823272091in" height="0.34032589676290464in"} \(26\) {width="0.8680522747156605in" height="0.46529527559055117in"} 或 sec x+x-tan \(27\) {width="0.6874912510936133in" height="0.27779746281714784in"} {width="0.8889195100612424in" height="0.333338801399825in"}(28)ei(x-sec x)+C; (29) 4 {width="1.0138582677165355in" height="0.3264413823272091in"} \(30\) (31)arctan(e-e\*)+C; \(32\) {width="1.1875087489063867in" height="0.31246609798775155in"} 8 吾{width="0.12389654418197725in" height="0.1319553805774278in"} x+C; {width="1.7986406386701663in" height="1.3884514435695538e-2in"}(33)xln²(x+√ 1+x²)-2√ 1+x²ln(x+√ 1+x²)+2x+C; \(34\) {width="1.6527701224846894in" height="0.37499562554680665in"} {width="2.7361406386701663in" height="0.333338801399825in"} {width="2.8962281277340334in" height="0.2795220909886264in"} {width="1.2499781277340332in" height="0.31945319335083117in"}(37)-lnlcse x+1l+C; (38) {width="3.423632983377078in" height="0.31246609798775155in"} {width="3.2014020122484688in" height="0.4166513560804899in"} 第 五 章 习题5- 1(第236页) \*1. {width="1.0069346019247594in" height="0.29173009623797025in"} \*2. (1) {width="0.652752624671916in" height="0.2985433070866142in"} ;(2)e-1. {width="0.215252624671916in" height="0.2986329833770779in"}3. 略 . 4\. (1) {width="0.28471784776902886in" height="0.2985433070866142in"} ; (2)21;(3) {width="0.23556649168853894in" height="0.2784689413823272in"} (4) 5.a=0,b=1. 6.In 2≈0.6931. 7\. (1)6;(2)-2;(3)-3;(4)5. 8.88.2 kN. {width="1.8333814523184602in" height="0.3889129483814523in"}9. 略 . 10\. (1) {width="1.9171358267716536in" height="0.3133683289588801in"} \(3\) {width="3.8680325896762904in" height="0.4166152668416448in"} 11\. 提 示：设{width="2.4235968941382326in" height="0.34722550306211725in"} 12\. 略 . 13\. (1) {width="0.4271894138232721in" height="0.3133683289588801in"}较大；(2){width="0.48058836395450566in" height="0.31943241469816275in"}较大； (3) {width="0.5572014435695538in" height="0.32633530183727033in"}较大； \(4\) {width="0.4166535433070866in" height="0.3124387576552931in"}较大；(5) {width="0.4027996500437445in" height="0.3125284339457568in"}较大. 习题5-2(第244页) 1.0, {width="0.26393700787401575in" height="0.326424978127734in"} 2.cot t. 3\. {width="0.5277438757655293in" height="0.2569444444444444in"} 4\. 当 x=0 时 . 开拼课 {width="1.0347069116360454in" height="0.5208814523184602in"}5.(1)2x√ 1+x⁴; (2 ) (3)(sin x-cosx)·cos(πsin²x). 6 {width="0.22917213473315837in" height="0.35412839020122483in"} 7.(C). 8\. (1) {width="0.8282327209098863in" height="0.2922517497812773in"} (2) {width="0.1984219160104987in" height="0.27838363954505685in"} (3) {width="0.28000109361329834in" height="0.28497265966754154in"} (4) {width="0.20774606299212597in" height="0.22989720034995625in"} (5) {width="0.1527810586176728in" height="0.2569444444444444in"}\* \(6\) {width="0.17362751531058618in" height="0.2569444444444444in"}; (7) {width="0.15970800524934384in" height="0.25004155730533684in"};(8) {width="0.3055632108486439in" height="0.2569444444444444in"}1; (9)-1;(10) {width="0.350498687664042in" height="0.23688101487314087in"} (11)4; (12) {width="0.201334208223972in" height="0.29163932633420825in"} 9\. 略 . 10\. 提 示：应用三角学中的积化和差公式. 11\. (1)1;(2)2. {width="2.1876662292213473in" height="0.72250656167979in"} Φ(x) 在(0,2)内连续. {width="2.376053149606299in" height="0.7433038057742782in"} 14\. 略 . 15.1. 16.1. 习题5-3(第254页) 1\. (1)0;(2) {width="0.27487970253718286in" height="0.27950349956255466in"} (3) {width="0.21256561679790026in" height="0.27179461942257216in"} (4) {width="0.3819542869641295in" height="0.29163932633420825in"} \(5\) {width="0.4762128171478565in" height="0.3061220472440945in"} (6) {width="0.1527810586176728in" height="0.26393700787401575in"}; (7) √2(π+2);(8) {width="0.3611078302712161in" height="0.2500404636920385in"} \(9\) {width="0.2708639545056868in" height="0.2569444444444444in"};(10) {width="0.5138899825021872in" height="0.30553587051618547in"}; (11) {width="0.1527810586176728in" height="0.2847364391951006in"}; (12) {width="0.5902810586176728in" height="0.2986329833770779in"} (13)1-21n 2;(14)(√3-1)a;(15) {width="0.35411636045494316in" height="0.19445647419072615in"};(16)2( √3-1); {width="0.2175754593175853in" height="0.2790452755905512in"}(17) {width="0.15274715660542432in" height="0.26384733158355206in"};(18) (22)0;(23) 2 --- 6 . 略 . 7\. (1) {width="0.35507655293088364in" height="0.2790452755905512in"} (2) (5)4(2ln {width="2.167245188101487in" height="0.7083464566929134in"}(9) {width="0.42363735783027123in" height="0.33341754155730535in"};(10) {width="0.38890201224846893in" height="0.29785542432195977in"};(19)0; (20) {width="0.308840769903762in" height="0.27774387576552934in"} (21) {width="0.2846926946631671in" height="0.31860126859142607in"} \(24\) {width="0.20360892388451443in" height="0.2790452755905512in"} (25)2 √2;(26)4. {width="0.5903193350831146in" height="0.2846467629046369in"}{width="0.5448698600174978in" height="0.2922517497812773in"}{width="1.2361122047244095in" height="0.3542169728783902in"} {width="0.6111220472440945in" height="0.29163932633420825in"}{width="0.5277154418197725in" height="0.2986329833770779in"};(4) {width="1.388860454943132in" height="0.30562554680664916in"}{width="0.6180555555555556in" height="0.33332895888013997in"}2-1);(6) {width="0.3888363954505687in" height="0.2847364391951006in"};(7) );(11) m 为奇数， m 为偶数； {width="3.381976159230096in" height="0.763840769903762in"} J₁=π . 习题5\--4(第262页) 1\. (1) {width="0.16668088363954506in" height="0.30562554680664916in"}; (2)发散；(3) {width="0.15274715660542432in" height="0.29172900262467194in"};(4) {width="1.1319695975503061in" height="0.36112095363079616in"}( 6 ) π ; ( 7 ) 1 ; ( 8 ) 发 散 ； ((9) {width="0.23046587926509185in" height="0.23880030621172355in"} \(5\) {width="0.25288167104111986in" height="0.28564851268591424in"} (10) {width="0.4444400699912511in" height="0.30562554680664916in"} {width="0.7916721347331583in" height="0.29172900262467194in"}{width="0.18748359580052493in" height="0.277833552055993in"} 2\. 当 k\>1 时收敛 ;当k≤1 时发散；当 时取得 最小值. 3.n!. 4.-1. 习题5- 5(第270页) 1 . (1)收敛； (2)收敛； (3)收敛； (4)发散； (5)收敛； (6)发散； (7)收敛； (8)收敛 . 2\. 略 . 3\. (1) {width="0.5277810586176728in" height="0.32633530183727033in"} ,n\>0; (2)T(p+1),p\>-1; \(3\) {width="0.7103904199475065in" height="0.3061220472440945in"} {width="0.5069783464566929in" height="0.2846467629046369in"} 4---5.略. 总习题五(第270页) 1\. (1)必要，充分；(2)充分必要；'(3)收敛；(4)不一定； (5)xf(-x²). 2.(1)(B);(2)(A). 3\. (1)表示曲线 y=f(x)、y=g(x)和直线x=a、x=b 所围图形的面积； (2)表示曲线 y=f(x)和直线y=0、x=a、x=b 所围曲边梯形绕x 轴旋转 所得旋转体的体积； (3)表示\[t₁,t₂\]这段时间内流入水池的水量； (4)表示\[T₁,T₂\] 这段时期内该国人口增加的数量； (5)表示该公司经营该种产品自第1001件至第2000件所得利润. \*4. (1) {width="0.7083311461067366in" height="0.2985433070866142in"});(2) {width="0.2846926946631671in" height="0.31943241469816275in"} 5.(1)af(a);(2) {width="0.20835192475940506in" height="0.32633530183727033in"} 6---7.略. 8\. 提示：{width="0.8958147419072616in" height="0.31943241469816275in"} 9\. 提示：(1)对任意实数t, {width="3.06248031496063in" height="0.36802384076990374in"} (2)利用柯西-施瓦茨不等式. 10\. 提示：利用柯西-施瓦茨不等式. 11\. (1) {width="0.2031178915135608in" height="0.23125in"} (2) {width="0.42363735783027123in" height="0.26393700787401575in"},提示：令 {width="0.5069127296587926in" height="0.2430479002624672in"}\* (3) {width="0.21209208223972004in" height="0.23025590551181102in"} (4)2( √2-1); \(5\) {width="0.2846926946631671in" height="0.31952209098862644in"} (6) {width="0.24669181977252844in" height="0.23688101487314087in"} (7) 4 {width="0.6406517935258093in" height="0.2922517497812773in"} \(8\) {width="1.1875087489063867in" height="0.30553587051618547in"} {width="1.6113834208223972in" height="0.9250470253718285in"} \(9\) {width="0.9097101924759405in" height="0.2500120297462817in"} ;(10) 12 --- 13.略. 14.1+ln(1+e⁻¹). 15 --- \*16.略. 17 . (1)收敛；(2)收敛；(3)收敛，提示：先分部积分，再判别； (4)收敛 . 18\. (1) {width="0.4791382327209099in" height="0.28474300087489063in"},提示：{width="1.8194214785651794in" height="0.40970472440944883in"} \(2\) {width="0.16110454943132108in" height="0.2386111111111111in"},提示：令 {width="0.3889238845144357in" height="0.3194739720034996in"} 第 六 章 习题6-2(第286页) 1\. (1) {width="0.20205161854768153in" height="0.29222659667541556in"} (2)1; (3) {width="0.21297900262467193in" height="0.3200153105861767in"} (4) {width="0.21528543307086614in" height="0.3056003937007874in"} 2\. (1) {width="0.40968285214348205in" height="0.29852799650043743in"}4 {width="0.4027635608048994in" height="0.28465332458442694in"} (2) {width="0.5493766404199475in" height="0.2856342957130359in"} (3) {width="0.4652340332458443in" height="0.2986176727909011in"} ; (4)b-a. 3\. {width="0.21528543307086614in" height="0.3055107174103237in"} 4\. {width="0.32050306211723534in" height="0.28001312335958006in"} 5.(1)πa²;(2) {width="0.36803587051618547in" height="0.3055107174103237in"}; (3)18πa² . 6.3πa² . 7\. {width="0.8958716097987751in" height="0.3194750656167979in"} 8\. (1) {width="0.30400699912510937in" height="0.27118438320209975in"} (2) {width="0.6111297025371829in" height="0.3263670166229221in"} 9 {width="0.24302821522309712in" height="0.2638867016622922in"} 公众号： 10\. {width="0.2996500437445319in" height="0.2922276902887139in"} 11 . 当{width="0.445259186351706in" height="0.28474300087489063in"}q=3 12\. {width="0.6944892825896762in" height="0.3056003937007874in"} 13\. {width="0.5069466316710411in" height="0.3193853893263342in"} 14\. 略 . 15\. (1) {width="0.2778215223097113in" height="0.2986176727909011in"};(2) 散排婴影 时 ，A 达到最大{width="0.3893350831146107in" height="0.2916360454943132in"} {width="0.4374912510936133in" height="0.3056003937007874in"} (3)160π²;(4)7π²a³ . 16.2π²a²b. 17\. {width="1.680576334208224in" height="0.2916360454943132in"} 18\. {width="0.45831474190726157in" height="0.3263670166229221in"} 19\. 略 . 20.2π². 21\. (1) {width="0.9375185914260717in" height="0.28474300087489063in"} ,V₂=πa⁴; ( 2 ) 当a=1 时 ，V₁+V₂取得最大{width="0.5212423447069117in" height="0.2986176727909011in"} 22\. {width="0.6388735783027122in" height="0.3055107174103237in"} 23\. {width="0.8819017935258092in" height="0.38884733158355206in"} 24\. {width="1.6111198600174979in" height="0.37506233595800526in"} 25.6a. 26\. {width="0.3348392388451444in" height="0.2386111111111111in"} 27\. {width="1.2227898075240595in" height="0.34081583552055994in"} 28\. {width="0.999990157480315in" height="0.3471347331583552in"} 29\. {width="0.576402012248469in" height="0.3056003937007874in"} 30.8a. 习 题 6 - 3 ( 第 2 9 3 页 ) 1.0.18k J. 2.800πln 2 J. 3 . (1)略；(2)9 . 72×10⁵ kJ. 4\. {width="0.5625087489063867in" height="0.2986701662292213in"} ( 其 中k 为 比 例 常 数 ) . 5.(√2-1)cm. 6.57697.5 kJ. 7.205.8kN. 8.17.3 kN. 9.14373kN. 10.1.65 N. 11\. 取 y 轴通过细直棒，则 {width="2.3680522747156605in" height="0.3888812335958005in"} {width="0.5417279090113736in" height="0.29858048993875763in"}12. 引力的大小{width="0.8433103674540683in" height="0.31945319335083117in"}, 方 向 为 M 指向圆弧的中点. 总 习 题 六 ( 第 2 9 4 页 ) {width="1.0568416447944007in" height="0.27899715660542435in"} 2.(1)(A);(2)(D). 3\. {width="0.36803477690288716in" height="0.2986701662292213in"} 4\. {width="0.43053040244969376in" height="0.2852952755905512in"} {width="1.0347725284339457in" height="0.3055686789151356in"}5. {width="0.638834208223972in" height="0.3542115048118985in"} 或 6\. {width="0.4105336832895888in" height="0.27833880139982503in"},b=2,c=0. {width="1.3402712160979877in" height="0.3472244094488189in"}7. (1) {width="0.3681003937007874in" height="0.29168307086614176in"}1;(2) 8 {width="0.3819542869641295in" height="0.3055686789151356in"} 9.4π². 10.√6+ln(√2+√3). 11\. {width="0.4861176727909011in" height="0.2846948818897638in"} {width="0.6735990813648294in" height="0.29159339457567807in"}12. {width="1.2161482939632546in" height="0.2856846019247594in"} 13\. {width="0.6319728783902012in" height="0.3055686789151356in"}, 14.(1)√ 1+r+r²am; (2) {width="0.6528182414698163in" height="0.3541229221347332in"} 第 七 章 习题7-1(第301页) 1\. (1)一 阶；(2)二阶；(3)三阶；(4)一 阶；(5)二阶；(6)一 阶. 2 . (1)是；(2)是；(3)不是；(4)是 . 3\. 略. 4.(1)y²-x²=25;(2)y=xe²;(3)y=-cos x. 5.(1)y\'=x²;(2)yy\'+2x=0. 6\. {width="0.5833103674540683in" height="0.29283573928258966in"} k 为比例系数. 7.6小时. 习题7-2(第308页) 1.(1)y=e\*;(2) {width="1.069407261592301in" height="0.29858048993875763in"} (3)arcsin y=aresin x+C; (4) {width="1.2916524496937882in" height="0.3264413823272091in"} (5)tan x tan y=C;(6)10⁻⁹+10\*=C; (7)(e\*+1)(e³-1)=C;(8)sin x sin y=C; (9)3x\^+4(y+1)³=C;c8 ( 趋 结ca: 2\. (1) {width="0.8611351706036745in" height="0.2916360454943132in"} 号 (2)cosx-√2cos y=0; \(3\) {width="0.7152898075240595in" height="0.2638867016622922in"};(4)(1+e)secy=2√2;(5)x²y=4. 3.t=-0.0305h²+9.64, 水流完所需的时间约为10 s. 4.v=√72500≈269.3(cm/s). 5.R=R₀e-0.00433,时间以年为单位. 6.xy=6. 7\. 取0为原点，河岸朝顺水方向为x 轴 ，y 轴指向对岸，则所求航线为 {width="1.152762467191601in" height="0.3472233158355206in"} 习题7-3(第314页) 1.(1)y+√y²-x²=Cx²(x\>0),y-√y²-x²=C(x\<0); \(2\) {width="0.7430391513560805in" height="0.27086832895888013in"} ; (3)y²=x²(2lnlxl+C);(4)x³-2y³=Cx; {width="0.5624737532808399in" height="0.3056003937007874in"}(5) {width="0.7222594050743657in" height="0.2777613735783027in"}; (6) {width="0.72916447944007in" height="0.20140529308836397in"} 2.(1)y³=y²-x²;(2)y²=2x²(In x+2);(3) 3.y=x(1-4ln x). \*4.(1)(4y-x-3)(y+2x-3)²=C; {width="2.3749639107611547in" height="0.3124923447069116in"} (3)(y-x+1)²(y+x-1)⁵=C; (4)x+3y+2ln lx+y-21=C. 习题7-4(第320页) 1.(1)y=e⁻(x+C); (2) {width="1.2013560804899388in" height="0.2917257217847769in"} (3)y=(x+C)e⁻sin\*; (4)y=Ccos x-2cos²x; \(5\) {width="0.7152898075240595in" height="0.3124923447069116in"} (6)3p=2+Ce⁻³; (7)y=2+Ce⁻²; (8)2xln y=ln²y+C; *(9)y=(x-2)³+C(x-2)* 号：考 {width="1.0486056430446193in" height="0.2916360454943132in"} 习题答案与提示 {width="4.979150262467192in" height="0.2222626859142607in"} 2\. (1) {width="0.506975065616798in" height="0.27077865266841644in"} 4 (3)ysin x+5e⁵ˣ=1; (5)2y=x³-x³eˣ²-1. 3.y=2(eˣ-x-1). 4\. {width="1.2577963692038496in" height="0.3408147419072616in"} {width="1.5555161854768154in" height="0.3055096237970254in"} {width="1.7917104111986002in" height="0.3333497375328084in"} {width="0.506910542432196in" height="0.3055107174103237in"}7.(1)y=-x+tan(x+C); \(3\) ; {width="0.9236034558180227in" height="0.28474300087489063in"} {width="0.875009842519685in" height="0.2916360454943132in"}(2) \(4\) (2)(x-y)²=-2x+C; {width="0.9791666666666666in" height="0.2986176727909011in"}(4) ; (5)2x²y²ln Iyl-2xy-1=Cx²y² . \*8. (1) {width="1.0278258967629046in" height="0.3194739720034996in"} {width="1.5207972440944881in" height="0.35411636045494316in"} \(3\) {width="0.951418416447944in" height="0.3402416885389326in"} (4) {width="1.1051563867016623in" height="0.31415244969378825in"} \(5\) {width="1.4722036307961506in" height="0.37506233595800526in"} 习题7-5(第328页) 1\. (1) {width="1.3610761154855644in" height="0.2917257217847769in"} \* {width="2.0555227471566053in" height="0.3055993000874891in"}(2)y=(x-3)e\*+C₁x²+C₂x+C₃; \(3\) ; {width="1.1805118110236221in" height="0.2916360454943132in"}(4)y=-lnlcos(x+C₁)I+C₂; \(5\) (6)y=C₁Inlxl+C₂; (7)y³=C₁x+C₂; (8)C₁y²-1=(C₁x+C₂)²; \(9\) {width="2.3402438757655295in" height="0.3194750656167979in"} (10)y=arcsin(C₂e\*)+C₁ . {width="0.4027701224846894in" height="6.9870953630796154e-3in"}2.(1)y=√2x-x²;(2) 4 {width="2.9444695975503064in" height="0.3541229221347332in"} (4)y=ln sec x;(5) {width="0.7708694225721785in" height="0.35421259842519687in"};(6)y=ln(e⁸+e=)-1n 2. {width="0.7778040244969379in" height="0.31945319335083117in"}{width="1.2092060367454067in" height="0.2850087489063867in"}3. 4\. 习题7-6(第337页) 1\. (1)线性无关； (2)线性相关； (4)线性无关； (5)线性无关； (7)线性相关； (8)线性无关； (10)线性无关. 2.y=C₁cos wx+C₂sin wx. 3.y=(C₁+C₂x)e. 4\. 略 . \*5.y=C₁eˣ+C₂(2x+1). 6.y=C,x+C₂x²+x³ . \*7.y=C₁cos x+C₂sin x+xsin x+cos xln Icos x1. \*8. {width="1.7568952318460191in" height="0.2846948818897638in"} (3)线性相关； (6)线性无关； (9)线性无关； {width="1.0000240594925633in" height="0.29159339457567807in"}习题7-7(第346页) 1.(1)y=C₁e\*+C₂e⁻²; (2)y=C₁+C₂e⁴²; (3)y=C₁cos x+C₂sin x; ((4)y=e⁻³\*(C₁cos 2x+C₂sin 2x); \(5\) {width="0.9513538932633421in" height="0.22915354330708662in"}; (6)y=e²(C₁cos x+C₂sin x); (7)y=C₁eˣ+C₂e⁻+C₃cos x+C₄sin x; (8)y=(C₁+C₂x)cos x+(C₃+C₄x)sin x; (9)y=C₁+C₂x+(C₃+C₄x)e\*; (10)y=C₁e²+C₂e⁻²+C₃cos 3x+C₄sin 3x. 2.(1)y=4e\*+2e³;(2) {width="0.902749343832021in" height="0.263911854768154in"} (3)y=e⁻ˣ-e⁴#; (4)y=3e-²sin 5x;(5导 2 5x+Sin 5x;(6)y=e²sin 3x. {width="4.979188538932633in" height="1.3885608048993876e-2in"}习题答案与提示 {width="2.1677220034995623in" height="0.28568350831146105in"}{width="2.5634733158355205in" height="0.5145395888013998in"} {width="2.159730971128609in" height="0.2916819772528434in"} 5.195 kg. 习题7-8(第354页) {width="1.6874879702537182in" height="0.31255577427821524in"}1.(1)y=C₁e²+C₂e⁻\*+e\*; \(2\) 4 {width="2.16666447944007in" height="0.31945319335083117in"} {width="1.8611034558180228in" height="0.31945319335083117in"}(4) ; {width="1.5069378827646545in" height="0.29159339457567807in"}{width="2.7361165791776028in" height="0.7083344269466316in"} \(7\) 5 {width="2.7777876202974627in" height="0.31255577427821524in"} {width="2.2639391951006123in" height="0.31246609798775155in"} {width="2.062521872265967in" height="0.2986701662292213in"},提示 {width="1.3749923447069117in" height="0.29168307086614176in"} {width="1.111101268591426in" height="0.3054790026246719in"}2. (1) {width="1.7499606299212598in" height="0.29858048993875763in"} \(2\) 4 {width="1.2569149168853893in" height="0.31255577427821524in"} \(3\) (4)y=eˣ-e⁻\*+e\*(x²-x); \(5\) {width="1.055563210848644in" height="0.2986701662292213in"} 3\. 取炮口为原点，炮弹前进的水平方向为x 轴，铅直向上为y 轴建立直角 坐标系，弹道曲线为 {width="1.3472080052493438in" height="0.6111450131233596in"} 4.u(2)=20-20-5×10\[cos(5×10³t)+sin(5×10³+)\]V; i(t)=4×10⁻²e-⁵×10³sin(5×10³t)A, {width="1.5555533683289589in" height="0.3750164041994751in"}提 示：电路方程参见第六节例2 . {width="1.6944728783902012in" height="0.29860126859142605in"}{width="2.202236439195101in" height="0.3338659230096238in"} 6\. \*习题7\--9(第356页) 1 {width="0.6597178477690289in" height="0.31942585301837273in"} 2.y=x(C₁+C₂Inlx1)+xln²lx1. 3.y=C₁x+C₂xlnlxl+C₃x⁻² . {width="2.174116360454943in" height="0.2939534120734908in"} {width="1.4861264216972878in" height="0.28474846894138234in"} {width="3.4305358705161857in" height="0.3125437445319335in"} {width="2.055557742782152in" height="0.3263965441819773in"} {width="3.646227034120735in" height="0.2790015310586177in"} 习题7- 10(第359页) {width="1.3895034995625546in" height="0.38978346456692914in"} {width="1.9662817147856517in" height="0.4115999562554681in"} \(2\) {width="1.4374956255468065in" height="0.4027230971128609in"} \(3\) {width="3.6463003062117236in" height="0.7229647856517936in"} {width="2.389245406824147in" height="1.3357305336832896in"} \(5\) \(6\) {width="1.0100513998250218in" height="0.31303040244969377in"}{width="1.098216316710411in" height="0.3477876202974628in"}{width="0.48749343832020997in" height="0.3758748906386702in"} \(3\) {width="1.541667760279965in" height="0.5277580927384077in"} \(4\) {width="2.049432414698163in" height="0.38198818897637793in"} \(5\) {width="1.9794575678040245in" height="0.6956835083114611in"} \(6\) 总习题七(第360页) 1\. (1)3;(2) {width="2.1388702974628173in" height="0.2916305774278215in"} (3)y=f(x,y), {width="0.5902909011373578in" height="0.34025043744531935in"};(4)y=C₁(x-1)+C₂(x²-1)+1. 2:(1)(B);(2)(B). 3.(1)y²(y²+1)=1;(2)y\"-3y\'+2y=0. *4.(1)x-√xy=C;* (2) {width="0.7291447944006999in" height="0.3055719597550306in"} \(3\) {width="1.0138932633420823in" height="0.30557305336832896in"} \"(4)y⁻²=Ce²+x²+1; \*\* {width="1.472240813648294in" height="0.361075021872266in"} (5)y=Ilnlcos(x+C₁)I+C₂; (6)y 课 i+C²+e-(ix-C²) {width="2.520830052493438in" height="0.31943241469816275in"}{width="3.2082950568678914in" height="0.42360892388451443in"} \(8\) {width="1.4722014435695538in" height="0.3264260717410324in"} *\*(9)x²=Cy⁶+y⁴;* (10) {width="1.1180358705161855in" height="0.2985433070866142in"} \*5.(1)x(1+2In Iyl)-y²=0; (2) {width="1.0000240594925633in" height="0.29163932633420825in"} (3)y=2arctan e\*; (4) 6.y=x-xln x. 7\. 约250m³ . 8.φ(x)=cos x+sin x. 9.φ(x)=√e²-1-arctan√e²-1. {width="1.1666404199475067in" height="0.2986329833770779in"}10. 略 . 11\. (1) {width="1.2652657480314962in" height="0.3003105861767279in"} (2) {width="1.6666852580927385in" height="1.5767300962379702in"} \*12. (1) \(2\) **郑重声明** 高等教育出版社依法对本书享有专有出版权。任何未经许可的复 制、销售行为均违反《中华人民共和国著作权法》,其行为人将承担相应 的民事责任和行政责任；构成犯罪的，将被依法追究刑事责任。为了维 护市场秩序，保护读者的合法权益，避免读者误用盗版书造成不良后 果，我社将配合行政执法部门和司法机关对违法犯罪的单位和个人进 行严厉打击。社会各界人士如发现上述侵权行为，希望及时举报，本社 将奖励举报有功人员。 反盗版举报电话(010)5858199958582371 58582488 反盗版举报传真(010)82086060 反盗版举报邮箱 dd@hep.com.cn 通信地址 北京市西城区德外大街4号 高等教育出版社法律事务与版权管理部 邮政编码 100120 防伪查询说明 用户购书后刮开封底防伪涂层，利用手机微信等软件扫描二维码，会跳 转至防伪查询网页，获得所购图书详细信息。也可将防伪二维码下的20位 密码按从左到右、从上到下的顺序发送短信至106695881280,免费查询所购 图书真伪。 反盗版短信举报 编辑短信"JB, 图书名称，出版社，购买地点"发送至10669588128 防伪客服电话 (010)58582300 数字课程说明 1\. 计算机访问, 或手机扫描二维码、下 载并安装Abook 应用。 2\. 注册并登录，进入"我的课程"。 3.输人封底数字课程账号(20位密码，刮开涂层可见),或通过 Abook 应用扫描封底数字课程账号二维码，完成课程绑定。 4.单击"进入课程"按钮，开始本数字课程的学习。 课程绑定后一年为数字课程使用有效期。受硬件限制，部分内容无法 在手机端显示，请按提示通过计算机访问学习。 如有使用问题，请发邮件至yangfan@hep.com.cn。 {width="0.6528083989501312in" height="0.638840769903762in"} 扫描二维码 下载Abook 应用 **2008年度普通高等教育精品教材** **本书第三版获1997年普通高等学校** **国家级教学成果一等奖** +-----------------------------------------------------+---------------:+ | > 高等数学第七版上册 | 同济大学数学系 | | □ 高等数学第七版下册 | 同济大学数学系 | | □ 高等数学附册学习辅导与习题选解同济 · 第七版 | 同济大学数学系 | | □ 高等数学习题全解指南上册同济 · 第七版 | 同济大学数学系 | | □ 高等数学习题全解指南下册同济 · 第七版 | 同济大学数学系 | | □ 工程数学------线性代数第六版 | 同济大学数学系 | | □ 线性代数附册学习辅导与习题全解同济 ·第六版 | 同济大学数学系 | | □ 工程数学------概率统计简明教程第二版 | 同济大学数学系 | | □ 概率统计简明教程附册学习辅导与习题全解第二版 | 同济大学数学系 | | □ 工程数学------新编统计学 | 同济大学数学系 | {width="6.458359580052494in" height="0.3680402449693788in"} {width="6.444458661417323in" height="1.3906386701662292e-2in"}{width="6.458359580052494in" height="0.15970472440944883in"} \- {width="1.194459755030621in" height="1.1527504374453192in"}**数字课程网站** 网址：世p:Labgonedcom.cn/39663 公 你itB:9abook.hep.edu.cn/39663 数字课程账号 使用说明详见书内数字课程说明 **定价47.60** **元**