File size: 9,146 Bytes
de929c3 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 | 
# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală - 26 februarie 2022
## CLASA a XII-a - enunţuri
Timp de lucru 180 de minute
Fiecare problemă se punctează cu 1 punct
Alegeţi varianta de răspuns. Pentru fiecare întrebare, un singur răspuns este cel corect.
1. Fie operaţia $\perp$ definită prin $x \perp y=x y-6 x-6 y+42$, pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$. Această operaţie nu este lege de compoziţie pe:
A. $\mathbb{R}$.
B. $\mathbb{R} \backslash\{6\}$.
C. $(6, \infty)$.
D. $(-\infty, 6)$.
E. $\mathbb{Q}$.
2. Funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(a x+b) e^{x}$ este o primitivă a funcţiei $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=$ $(3 x+2) e^{x}$ dacă:
A. $a=3, b=1$.
B. $a=3, b=-1$.
C. $a=3, b=0$.
D. $a=3, b=2$.
E. $a=3, b=-2$.
3. Fie legea asociativă * definită pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$ prin $x * y=(x-3)(y-3)+3$. Atunci $\frac{7}{2} * \frac{11}{3} * \frac{15}{4} * \frac{19}{5} * \frac{23}{6}$ este egal cu:
A. $\frac{27}{7}$.
B. $\frac{19}{6}$.
C. $\frac{1}{6}$.
D. $\frac{7}{2}$.
E. 3 .
4. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie derivabilă cu derivata continuă astfel încât $f^{\prime}(0)=2$. Notăm cu $F$ o primitivă a lui $f$. Atunci $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{F(x)+F(-x)-2 F(0)}{x^{2}}$ este egală cu:
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. -1 .
E. -2 .
5. Pe $\mathbb{Z}_{8}$ definim legea $\circ$ prin $a \circ b=a b+a+b$, pentru orice $a, b \in \mathbb{Z}_{8}$. Numărul soluţiilor ecuaţiei $x \circ x=\widehat{7}$ este:
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 4 .
E. 8 .
6. Fie funcţia $f:\left[\frac{1}{2}, \infty\right) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\int_{\frac{1}{2}}^{x}(t-1) \ln (t) d t$. Atunci:
A. $x=1$ este punct de minim al funcţiei $f$.
B. $x=1$ este punct de maxim al funcţiei $f$.
C. $f$ este descrescătoare pe $\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$.
D. $f$ este crescătoare pe $\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$.
E. Toate răspunsurile anterioare sunt false.
7. Pe $(0, \infty)$ definim legea de compoziţie $\perp$ prin $u \perp v=u \sqrt{1+v^{2}}+v \sqrt{1+u^{2}}$, pentru orice $u, v \in(0, \infty)$. Valoarea numărului real $\alpha$, pentru care $\lim _{x \rightarrow \infty}\left((x \perp x)-\alpha x^{2}\right)$ există şi este finită, este egală cu:
A. 1 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 8 .
E. Alt răspuns.
8. Fie mulţimea $\mathcal{F}=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f$ admite primitive pe $\mathbb{R}\}$. Care dintre următoarele enunţuri este fals?
A. Pentru orice $g, h \in \mathcal{F}$ avem $g+h \in \mathcal{F}$.
B. Pentru orice $g, h \in \mathcal{F}$ avem $g-h \in \mathcal{F}$.
C. Pentru orice $g, h \in \mathcal{F}$ avem $g h \in \mathcal{F}$.
D. Pentru orice $\alpha \in \mathbb{R}$ si $g \in \mathcal{F}$ avem $\alpha g \in \mathcal{F}$.
E. $\mathcal{F}$ este grup în raport cu operaţia de adunare a funcţiilor.
9. Pe $\mathbb{R}$ definim legea asociativă * prin $a * b=3(a-2)(b-2)+2$, pentru orice $a, b \in \mathbb{R}$. Pentru un număr real $\alpha$ definim şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 2}$ prin relaţia $x_{n}=\underbrace{\alpha * \alpha * \ldots * \alpha}_{n \text { de } \alpha}$. Mulţimea tuturor valorilor posibile ale numărului $\alpha$ pentru care şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 2}$ este mărginit este:
A. $\emptyset$.
B. $\{2\}$.
C. $\left\{\frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right\}$.
D. $\left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right)$.
E. $\left[\frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right]$.
10. Valoarea integralei $I=\int_{0}^{1}(x \cos (x)+\sin (x)) d x$ este:
A. 0 .
B. 1 .
C. $\cos (1)$.
D. $\sin (1)$.
E. $\sin (1)+\cos (1)$.
11. Cel mai mic număr natural nenul $n$, pentru care $\widehat{2} \cdot \widehat{7} \cdot \widehat{12} \cdot \ldots \cdot(\widehat{5 n+2})=\widehat{0}$ în $\mathbb{Z}_{2022}$, este:
A. 1011 .
B. 37 .
C. 337 .
D. 67 .
E. 57 .
12. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie pară si $a \in(0, \infty)$ astfel încât $f(a) \neq 0$. Fie $F$ o primitivă a functुiei $f$ cu proprietatea $F(a)=F(-a)=0$. Atunci $\int_{-a}^{a} F(t) d t$ este egală cu:
A. $a$.
B. $-f(a)$.
C. $-a$.
D. $f(-a)$.
E. 0 .
13. Fie $(G, \cdot)$ un grup cu elementul neutru $e$. Se ştie că $x^{2}=e$, pentru orice $x \in G$. Câte morfisme injective $f: G \rightarrow G$ satisfac relaţia $f(f(x)) \cdot f(x)=e$, pentru orice $x \in G$ ?
A. Niciunul.
B. Exact unul.
C. Exact două.
D. Un număr finit mai mare sau egal decât 3 .
E. O infinitate.
14. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty)$ o funcţie continuă şi crescătoare cu proprietatea că $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x+1)}{f(x)}=1$. Fie $F$ o primitivă a lui $f$. Atunci despre $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{F(n)}{f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(n-1)}$ putem spune că:
A. $\mathrm{Nu}$ există.
B. Este egală cu 0.
C. Este egală cu 1.
D. Este egală cu $+\infty$.
E. Este egală cu 2.
15. Numărul total de valori posibile ale elementului $a \in \mathbb{Z}_{36}$, pentru care funcţia $f: \mathbb{Z}_{36} \rightarrow \mathbb{Z}_{36}$, $f(x)=a x$ este surjectivă, este egal cu:
A. 36 .
B. 18 .
C. 12 .
D. 9 .
E. 4 .
16. Pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ definim şirul $\left(I_{n}\right)_{n \geq 1}$ prin $I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\operatorname{tg} x)^{n} d x$. Valoarea lui $n$, pentru care are loc egalitatea $I_{n+2}+I_{n}=\frac{1}{2022}$, este:
A. 2023 .
B. 2022 .
C. 2021 .
D. 2020 .
E. 2019 .
17. Fie $(G, \cdot)$ un grup cu elementul neutru $e$. Fie $H \neq G$ o submulţime nevidă a lui $G \mathrm{cu}$ proprietatea că oricare ar fi $a \in H$ şi $b \in G \backslash H$ avem $a b \in H$. Considerăm enunţurile:
E1: Pentru orice $u, v \in H$ avem $u v \in H$.
E2: Pentru orice $u, v \in G \backslash H$ avem $u v \in G \backslash H$.
E3: $e \in H$.
E4: Pentru orice $x \in H$ avem $x^{-1} \in H$.
Numărul de enunţuri adevărate este egal cu:
A. 4 .
B. 2 .
C. 0 .
D. 3 .
E. 1 .
18. Mulţimea tuturor valorilor posibile ale numărului real $a$ pentru care funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\left\{\begin{aligned} \cos ^{2} \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{aligned}\right.$ admite primitive pe $\mathbb{R}$, este:
A. $\left\{\frac{1}{2}\right\}$.
B. $\{1\}$.
C. $\{0\}$.
D. $[0,1]$.
E. $\emptyset$.
19. Fie ( $G, \cdot)$ un grup cu elementul neutru $e$. Fie $a, b \in G$, astfel încât $a^{4}=e$ şi $a^{2} b a^{-2}=b^{4}$. Care dintre următoarele enunţuri este cu certitudine adevărat?
A. $a^{2} b^{3} a^{-2}=b^{8}$.
B. $a^{2} b^{5} a^{-2}=b^{16}$.
C. $b^{14}=e$.
D. $b^{15}=e$.
E. $b^{16}=e$.
20. Valoarea limitei $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\frac{1}{n}}^{n} \frac{\operatorname{arctg} x}{1+x^{2}} d x$ este:
A. $\frac{\pi^{2}}{4}$.
B. $\frac{\pi^{2}}{2}$.
C. $\frac{\pi}{4}$.
D. $\frac{\pi^{2}}{8}$.
E. $\frac{\pi}{8}$.
21. Fie $n \in \mathbb{N}$ şi $G$ un grup cu $2 n+1$ elemente, despre care se ştie că există o funcţie $f: G \rightarrow G$, cu proprietatea că $f(x f(x y))=y f\left(x^{2}\right)$, pentru orice $x, y \in G$. Considerăm enunţurile:
E1: $f$ este injectivă.
E2: $G$ poate fi grup necomutativ.
E3: $x^{8} y=y x^{8}$.
E4: $f(x)=x$, pentru orice $x \in G$.
Numărul de enunţuri adevărate este egal cu:
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
E. 4 .
22. Valoarea integralei $I=\int_{0}^{4 \pi} \frac{x \cos x}{1+\sin ^{2} x} d x$ este:
A. $2 \pi$.
B. 2 .
C. $\pi$.
D. 1 .
E. 0 .
23. Fie $A \subset \mathbb{Z}$ o mulţime care are ca elemente toate numerele naturale prime, opusele lor, 0,1 şi -1 . Fie enunţurile:
E1: Adunarea numerelor nu este lege de compozitiie pe $A$.
E2: Înmulţirea numerelor nu este lege de compoziţie pe $A$.
E3: Există o infinitate de operaţii * care pot fi legi de compoziţie pe $A$.
E4: Există cel puţin o operaţie * care defineşte o structură de grup abelian pe $A$.
Numărul de enunţuri adevărate este egal cu:
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
E. 4 .
24. Spunem că o funcţie integrabilă $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ are proprietatea $P$ dacă
$$
\int_{0}^{1} f^{2}(x) d x-\left(\int_{0}^{1} f(x) d x\right)^{2}=\frac{1}{4}
$$
Fie enunţurile:
E1: Există funcţii continue care au proprietatea $P$.
E2: Există funcţii discontinue care au proprietatea $P$.
E3: Există funcţii monotone care au proprietatea $P$.
E4: Există funcţii nemonotone care au proprietatea $P$.
Numărul de enunţuri adevărate este egal cu:
A. 3 .
B. 4 .
C. 0 .
D. 1 .
E. 2 .
Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală - 26 februarie 2022
CLASA a XII-a
Grila de răspunsuri
1. Răspuns: $\mathrm{D}$
2. Răspuns: $\mathrm{B}$
3. Răspuns: B
4. Răspuns: C
5. Răspuns: C
6. Răspuns: $\mathrm{D}$
7. Răspuns: $\mathrm{B}$
8. Răspuns: C
9. Răspuns: $\mathrm{E}$
10. Răspuns: $\mathrm{D}$
11. Răspuns: $D$
12. Răspuns: $\mathrm{E}$
13. Răspuns: $B$
14. Răspuns: C
15. Răspuns: C
16. Răspuns: C
17. Răspuns: B
18. Răspuns: A
19. Răspuns: $D$
20. Răspuns: $D$
21. Răspuns: D
22. Răspuns: $\mathrm{E}$
23. Răspuns: $\mathrm{E}$
24. Răspuns: A
|