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Brazilian_MO/md/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_1.md

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+# 1 O número de quadrados 
+
+Determine o número de quadrados na figura abaixo.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-01.jpg?height=339&width=333&top_left_y=1213&top_left_x=941)
+
+## 1 O número de quadrados-Solução
+
+Vamos ordenar a contagem dos quadrados de acordo com as dimensões de seus lados.
+
+I) Existe exatamente um quadrado $4 \times 4$.
+
+II) Existem $2^{2}=4$ quadrados $3 \times 3$.
+
+III) Existem $3^{2}=9$ quadrados $2 \times 2$.
+
+IV) Existem $4^{2}+2=18$ quadrados $1 \times 1$, dos quais dois formam ainda 4 quadrados cada. Portanto, ao todo temos $1+4+9+18+8=40$ quadrados.
+
+## 2 Cubo de arame
+
+Na figura a seguir, temos um cubo $2 \times 2 \times 2$ feito com pedaços de arame. A aresta de cada cubo é um pedaço de $1 \mathrm{~cm}$ de arame e ao todo foram usados 54 desses pedaços. Para fazer um cubo $10 \times 10 \times 10$, quantos pedaços de arame serão utilizados?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-02.jpg?height=352&width=365&top_left_y=638&top_left_x=719)
+
+## 2 Cubo de arame -Solução
+
+Cada vértice dos cubinhos está conectado com segmentos que podem ser classificados em três diferentes direções associadas às arestas do cubo maior. Assim, podemos dividir a tarefa de encontrar a quantidade de segmentos utilizados de acordo com essas direções. Vista de cima de uma face qualquer do cubo maior, a figura se assemelha a um quadrado $10 \times 10$ composto por 100 quadradinhos $1 \times 1$. Existem 121 vértices nesses quadradinhos e de cada um deles, na direção perpendicular a face, devem ser conectados 10 outros segmentos. Ou seja, em uma determinada direção, existem $121 \cdot 10=1210$ segmentos.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-02.jpg?height=528&width=534&top_left_y=1716&top_left_x=634)
+
+Como temos 3 direções, o total de segmentos é $1210 \cdot 3=3630$.
+
+## 3 A média aritmética
+
+A média aritmética de uma lista de números é a soma deles dividida pela quantidade de elementos da lista. Por exemplo, a média aritmética da lista 3, 3, 4, 5 e 10 é
+
+$$
+\frac{3+3+4+5+10}{5}=5
+$$
+
+A média aritmética de 5 inteiros positivos distintos é igual a 11. Qual é o maior valor possível de um número dessa lista?
+
+## 3 A média aritmética - Solução
+
+Como a média dos 5 inteiros é 11 , a soma deles é $5 \cdot 11=55$. Como todos são inteiros positivos distintos, a soma de quatro deles é pelo menos $1+2+3+4=10$. Portanto, o quinto elemento é no máximo $55-10=45$. Assim, o maior valor possível de um número dessa lista é 45 e um exemplo em que isso acontece é com a lista 1,2,3,4,45.
+
+## 4 Qual a área da figura?
+
+a) Na figura a seguir, cada segmento mede $3 \mathrm{~cm}$. Qual a área da figura?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-03.jpg?height=396&width=745&top_left_y=1417&top_left_x=735)
+
+b) Na figura abaixo, cada quadradinho do reticulado tem área de $1 \mathrm{~cm}^{2}$. Determine a área do polígono sombreado.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-03.jpg?height=378&width=492&top_left_y=2074&top_left_x=862)
+
+## 4 Qual a área da figura? - Solução
+
+a) Podemos deslocar partes da figura, sem alterar a área do conjunto, e formar um quadrado de lado $3 \cdot 3=9 \mathrm{~cm}$. No desenho a seguir, figuras iguais estão indicadas com a mesma letra e possuem áreas iguais. Portanto, a área da figura é $9 \cdot 9=81 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-04.jpg?height=393&width=735&top_left_y=660&top_left_x=539)
+
+b) Como no item anterior, podemos decompor a figura original em pedaços e deslocá-los. No desenho a seguir, figuras iguais estão indicadas com a mesma letra e possuem áreas iguais. A figura resultante é um retângulo $5 \times 4$ e sua área é $20 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-04.jpg?height=378&width=492&top_left_y=1416&top_left_x=669)
+
+## 5 Os cachorros e os passarinhos
+
+Três cachorros precisam de 7 horas para cavarem 9 buracos. Cinco passarinhos gastam 40 minutos para construírem 2 ninhos. Mantendo-se essas taxas, quantos minutos a mais um cachorro leva para cavar um buraco do que um passarinho leva para construir um ninho?
+
+## 5 Os cachorros e os passarinhos - Solução
+
+Como 1/3 dos cachorros realiza 1/3 do trabalho durante o mesmo período, podemos concluir que $3 / 3=1$ cachorro precisa de 7 horas para construir $9 / 3=3$ buracos. Trabalhando $1 / 3$ do tempo, esse cachorro fará $1 / 3$ do trabalho e assim, podemos garantir que 1 cachorro gasta $(7 \cdot 60) / 3=140$ minutos para fazer um buraco. De modo semelhante, 1 passarinho precisa de 40 minutos para construir $2 / 5$ de um ninho e $5 / 2 \cdot 40=100$ minutos para construir $5 / 2 \cdot 2 / 5=1$ ninho. Portanto, para cavar um buraco, um cachorro gasta 40 minutos a mais que um passarinho para construir um ninho.
+
+## 6 Painel de luzes
+
+A figura a seguir é um painel de luzes que acendem ou apagam dependendo da tecla tocada (na figura todas as luzes estão acesas). Cada vez que uma tecla é tocada, todas as outras teclas que possuem um lado comum a ela apagam, se estiverem acesas (quando estão brancas), ou acendem, se estiverem apagadas (quando estão cinza).
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-05.jpg?height=576&width=534&top_left_y=1541&top_left_x=843)
+
+a) Se todas as teclas estão acesas e apertarmos uma única vez as teclas 1, 4, 7 e 10, nesta ordem, quais teclas ficarão acesas?
+b) Na configuração abaixo, quais teclas devem ser apertadas para que todas as luzes fiquem acesas?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-06.jpg?height=576&width=537&top_left_y=489&top_left_x=667)
+
+c) Na configuração abaixo, existe uma sequência de teclas apertadas para que todas as teclas fiquem acesas?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-06.jpg?height=564&width=528&top_left_y=1431&top_left_x=677)
+
+## 6 Painel de luzes - Solução
+
+a) Quando apertamos uma tecla, acionamos as suas vizinhas (com um lado comum), ou seja, vizinhas acesas, apagam-se, enquanto que vizinhas apagadas, acendem-se. As teclas acionadas um número par de vezes, permanecem como estavam e as teclas
+acionadas um número ímpar de vezes, mudam de acesas para apagadas ou vice-versa. Apertando as teclas 1, 4, 7 e 10, acionaremos uma vez as teclas 2, 4, 5, 6, 7, 8, que ficarão apagadas, pois foram acionadas um número ímpar de vezes; as teclas 3 e 9 , que foram acionadas duas vezes, assim como as teclas 1 e 10, que não foram acionadas, ficarão acesas. Na figura, temos a configuração final do painel.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-07.jpg?height=676&width=639&top_left_y=500&top_left_x=820)
+
+b) 5 e 7. Apertando 5, acionamos 1, 2 e 8, que acendem, e 6 que apaga; apertando 7 , acendem 3, 4, 9 e 6 (que está apagada após apertarmos 5). Assim, todas ficam acesas.
+
+c) Não. As teclas 1, 4 e 10 têm dois vizinhos; as teclas 2, 3, 5, 7, 8 e 9 têm quatro vizinhos; e a tecla 6 tem seis vizinhos. Ou seja, todas as teclas possuem uma quantidade par de vizinhos. Sendo assim, quando apertamos qualquer tecla acionamos sempre uma quantidade par de teclas. Se o total de teclas que precisamos acender é cinco (ímpar), nunca conseguiremos deixar todas acesas.
+
+## 7 Mesa da família Naldo
+
+Em uma mesa circular estão sentadas 5 pessoas: Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo, Dernaldo e Ernaldo, cada um em uma cadeira. Analisando no sentido horário, temos:
+
+I. Entre Arnaldo e Bernaldo existe 1 cadeira vazia;
+
+II. Entre Bernaldo e Cernaldo são 5 cadeiras;
+
+III. Entre Dernaldo e Ernaldo são 4 cadeiras, quase todas vazias;
+
+IV. Entre Dernaldo e Cernaldo são 2 cadeiras;
+
+V. Entre Ernaldo e Bernaldo são 3 cadeiras, nem todas vazias.
+
+Quantas cadeiras possuem ao redor da mesa?
+
+## 7 Mesa da família Naldo - Solução
+
+Vamos posicionar Arnaldo na cadeira que chamaremos de 1 e, pela informação $I$, Bernaldo deverá sentar-se na cadeira 3 e, consequentemente, pela informação $I I$, Cernaldo deverá sentar-se na cadeira 9. Como entre Dernaldo e Ernaldo são 6 cadeiras e entre Dernaldo e Cernaldo são 2 cadeiras, Cernaldo está entre Dernaldo e Ernaldo, sendo que Dernaldo está sentado na cadeira 6 e Ernaldo na cadeira 11. Como entre Ernaldo e Bernaldo são 3 cadeiras, Arnaldo está entre eles, existindo uma cadeira vazia entre Ernaldo e Arnaldo, que é a cadeira 12, a última cadeira. Portanto, são 12 cadeiras ao todo.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-08.jpg?height=590&width=595&top_left_y=789&top_left_x=612)
+
+## 8 Quebra-cabeça furado
+
+Joana ganhou um quebra cabeça com um tabuleiro, como o da figura abaixo.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-08.jpg?height=482&width=476&top_left_y=1887&top_left_x=671)
+
+Este tabuleiro deve ser completamente preenchido com peças como as da figura abaixo, de forma que não pode haver sobreposição de peças e cada peça preencha exatamente quatro quadradinhos do tabuleiro.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-09.jpg?height=360&width=770&top_left_y=543&top_left_x=714)
+
+a) Quantas peças são necessárias para preencher o tabuleiro?
+
+b) Preencha o tabuleiro utilizando as peças que julgar necessário (pode utilizar de um único tipo de peça até todos os tipos).
+
+c) É possível preenchê-lo utilizando, exatamente, uma peça como a da figura abaixo e as demais dos outros tipos de peça?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-09.jpg?height=175&width=243&top_left_y=1673&top_left_x=1010)
+
+## 8 Quebra-cabeça furado-Solução
+
+a) O total de quadradinhos do tabuleiro é 40 . Como cada peça cobre 4 quadradinhos do tabuleiro, o número de peças necessário para cobrir o tabuleiro é $\frac{40}{4}=10$.
+b) Na figura a seguir, uma solução.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-10.jpg?height=489&width=489&top_left_y=734&top_left_x=691)
+
+c) O tabuleiro é composto por 40 quadradinhos, sendo 20 brancos e 20 cinzas. Todas as peças cobrem 4 quadradinhos, sendo 2 de cada cor, com exceção da peça sugerida no item que cobre 3 peças de uma cor e 1 da outra. Sendo assim, as outras 9 peças, quaisquer que sejam, cobrirão 18 quadradinhos brancos e 18 quadradinhos cinzas. Quando colocarmos a última peça (a peça sugerida no item), teríamos 21 quadradinhos brancos e 19 cinzas ou 19 brancos e 21 cinzas, o que é impossível.
+
+## 9 Fruteira de Angélica
+
+Na fruteira de Angélica existem 12 bananas, 1 abacaxi, 4 laranjas, 2 mangas e 3 mamões. O peso de 1 abacaxi é o mesmo que o peso de 1 laranja, 1 manga e 1 mamão, juntos; o peso de 1 banana é a metade do peso de 1 mamão; 4 bananas pesam o mesmo que 1 laranja e 1 manga, juntas; e 1 manga pesa $100 \mathrm{~g}$ a mais que 1 laranja. Se 1 abacaxi pesa $600 \mathrm{~g}$, então:
+
+a) Quanto pesam todas as frutas da fruteira de Angélica?
+
+b) De quantas maneiras Pedro, neto de Angélica, pode escolher 2 frutas diferentes para tomar seu café da manhã, utilizando as frutas da fruteira?
+
+c) Quantas vitaminas podem ser feitas com estas frutas, usando $600 \mathrm{~g}$ de frutas? (É permitido utilizar frutas repetidas, mas apenas quantidades inteiras de fruta).
+
+## 9 Fruteira de Angélica - Solução
+
+a) Vamos organizar as informações:
+I) 1 laranja + 1 manga +1 mamão = 1 abacaxi $(600 \mathrm{~g})$;
+
+II) 2 bananas = 1 mamão;
+
+III) 1 laranja +1 manga $=4$ bananas;
+
+IV) 1 manga $=1$ laranja $+100 \mathrm{~g}$.
+
+Em (I), trocando laranja, manga e mamão, usando (II) e (III), chegamos que 6 bananas equivalem a um abacaxi, ou seja, cada banana pesa $100 \mathrm{~g}$ e, consequentemente, cada mamão pesa $200 \mathrm{~g}$ e uma laranja e uma manga juntas pesam $400 \mathrm{~g}$, que, por (IV), é possível concluir que cada manga pesa $250 \mathrm{~g}$ e cada laranja pesa $150 \mathrm{~g}$. Sendo assim, o peso de todas as frutas é $12 \cdot 100+600+4 \cdot 150+2 \cdot 250+3 \cdot 200=3.500 \mathrm{~g}$, que é o mesmo que $3,5 \mathrm{~kg}$.
+
+b) São 5 tipos de frutas para escolher duas, ou seja, banana e mamão; banana e manga; banana e abacaxi; banana e laranja; mamão e manga; mamão e abacaxi; mamão e laranja; manga e abacaxi; manga e laranja; e, por fim, abacaxi e laranja. Sendo assim, Pedro pode escolher duas frutas diferentes de 10 maneiras. Outra forma de encontrar este resultado, sem precisar listar todas as possibilidades é $\frac{5 \cdot 4}{2}=10$, que significa que temos 5 opções para a primeira fruta, 4 para a segunda e, como a ordem com a qual escolhemos primeira e segunda frutas não importa, dividimos o resultado por 2.
+c) Vamos listar as possibilidades:
+
+| Abacaxi | Manga | Mamão | Laranja | Banana |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
+| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
+| 0 | 1 | 0 | 1 | 2 |
+| 0 | 2 | 0 | 0 | 1 |
+| 0 | 0 | 1 | 2 | 1 |
+| 0 | 0 | 1 | 0 | 4 |
+| 0 | 0 | 2 | 0 | 2 |
+| 0 | 0 | 3 | 0 | 0 |
+| 0 | 0 | 0 | 2 | 3 |
+| 0 | 0 | 0 | 4 | 0 |
+| 0 | 0 | 0 | 0 | 6 |
+
+Portanto, são 11 vitaminas diferentes.
+
+## 10 O quarto de Jack
+
+O quarto de Jack tem $27 \mathrm{~m}^{2}$ de área de parede e teto. Para pintá-lo, Jack pode usar 1 lata de tinta, mas sobraria 1 litro de tinta, ou 5 galões de tinta, mas que também sobraria 1 litro, ou ainda 4 galões mais 2, 8 litros de tinta.
+
+a) Qual a razão entre o volume de uma lata e o volume de um galão?
+
+b) Qual o volume de um galão?
+
+c) Qual a área de tinta que Jack consegue pintar com 1 litro de tinta, ou seja, qual o rendimento da tinta?
+
+## 10 O quarto de Jack - Solução
+
+a) Se usando 1 lata ou 5 galões sobra a mesma quantidade de tinta, então ambos possuem o mesmo volume, pois pintam a mesma área. Sendo assim, a razão entre seus volumes (1 lata por 5 galões) é $\frac{1}{5}$.
+
+b) Temos que 5 galões menos 1 litro é equivalente a 4 galões mais 2,8 litros, ou seja, 1 galão tem 3,8 litros.
+
+c) São necessários 5 3,8-1 = 18 litros para pintar os $27 m^{2}$ do quarto de Jack, ou seja, $\frac{27}{18}=1,5 \mathrm{~m}^{2} / \ell$.
+
+## 11 As Tintas do M. A. Luco
+
+O cientista M. A. Luco possui 3 substâncias líquidas, sendo uma verde, uma azul e uma rosa, todas com $100 \mathrm{ml}$ e cada uma em um recipiente (substância verde no recipiente $V$, substância azul no recipiente $A$ e substância $R$ no recipiente rosa). Em uma de suas experiências o famoso cientista passa $20 \mathrm{ml}$ do recipiente $V$ para o recipiente $A$; depois, $20 \mathrm{ml}$ de $A$ para $R$; e, por fim, $20 \mathrm{ml}$ de $R$ para $V$. Em cada passagem que é feita, os líquidos são misturados. Ao final do experimento, quanto de líquido verde haverá no recipiente $V$ ?
+
+## 11 As tintas de M. A. Luco-Solução
+
+Foram feitas 3 misturas. Vamos analisar cada uma delas:
+I) $1 \underline{a}$ mistura: recipiente $A$ ficou com $100 \mathrm{ml}$ de líquido azul, que equivale a $\frac{100}{120}=\frac{5}{6}$ do volume total, e $20 m l$ de líquido verde, $\frac{1}{6}$ do total;
+
+II) $2^{\underline{a}}$ mistura: tirando $20 m l$ do recipiente $A$, ou seja, $\frac{1}{6}$, sairá $\frac{1}{6} \cdot 20=\frac{10}{3} m l$ de líquido verde e $\frac{1}{6} \cdot 100=\frac{50}{3} m l$ de líquido azul, que são colocados no recipiente $R$, ficando com $120 \mathrm{ml}$ de líquido;
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-13.jpg?height=90&width=1515&top_left_y=1417&top_left_x=353)
+quido verde, que será passado para o recipiente $V$, que ficará, ao final da experiência, com $\frac{5}{9}+80 \cong 80,56 m l$ de líquido verde.
+
+## 12 A calculadora maluca
+
+A calculadora maluca possui, além dos botões com os 10 algarismos, quatro superbotões:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-13.jpg?height=64&width=309&top_left_y=1969&top_left_x=945)
+
+Quando a tecla é apertada, o número do visor é multiplicado por 2; a tecla $)^{*}$ soma todos os algarismos do visor; a tecla $\mathcal{S}$ divide o número do visor por 4 e mostra o resto desta divisão; e a tecla $\bowtie$ soma 3 ao número do visor.
+
+a) Com o número 1.234 no visor, Pedro apertou, na sequência, as teclas número apareceu?
+
+b) Pedro digitou o número 12.345 e as quatro teclas especiais uma única vez cada, aparecendo no visor o zero ao final. Determine uma possível sequência de teclas especiais.
+
+## 12 A calculadora maluca -Solução
+
+a) Temos:
+
+$$
+1.234 \rightarrow \rightarrow 2.468 \rightarrow(\cdot \rightarrow 20 \rightarrow \mathcal{B} \rightarrow 0 \rightarrow \bowtie \rightarrow 3 .
+$$
+
+b) Uma sequência possível é:
+
+$$
+12.345 \rightarrow \rightarrow 24.690 \rightarrow \odot \rightarrow 21 \rightarrow \bowtie \rightarrow 24 \rightarrow Љ \rightarrow 0 .
+$$
+
+## 13 Árvore de Natal
+
+$\mathrm{Na}$ árvore de natal da OBMEP devem ser penduradas letras em ambos os lados, além de uma no topo. As letras O e B pesam $300 \mathrm{~g}$ cada, as letras $M$ e $E$ pesam $200 \mathrm{~g}$ cada e a letra P pesa $100 \mathrm{~g}$. Já foram colocadas 5 letras, como mostra a figura, mas ainda faltam duas de cada. Coloque estas 10 letras faltantes de maneira que a soma dos pesos das letras do lado esquerdo seja igual à soma dos pesos do lado direito.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-14.jpg?height=735&width=515&top_left_y=1290&top_left_x=652)
+
+## 13 Árvore de Natal - Solução
+
+Cada conjunto das 5 letras da palavra OBMEP pesa $2 \cdot 300+2 \cdot 200+100=1.100 \mathrm{~g}$. Ainda faltam distribuir 10 letras, ou seja, $2.200 \mathrm{~g}$, sendo que já existem $500 \mathrm{~g}$ do lado esquerdo e $300 \mathrm{~g}$ do lado direito. Sendo assim, devem ser colocados $1.000 \mathrm{~g}$ do lado esquerdo e 1.200 gramas do lado direito, para que haja o equilíbrio.
+
+Uma distribuição é:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-15.jpg?height=713&width=508&top_left_y=381&top_left_x=846)
+
+### 141.000 Relógios?
+
+A figura abaixo é o início de uma sequência lógica composta por 1000 relógios.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-15.jpg?height=252&width=1080&top_left_y=1468&top_left_x=566)
+
+a) O ponteiro do Relógio 5 aponta para qual número?
+
+b) O ponteiro do Relógio 1.000 aponta para que número?
+
+c) Perceba que de um Relógio para o seguinte o ponteiro (dos minutos) avança 25 minutos, mas o ponteiro das horas não vemos, pois ele é invisível. Supondo que no Relógio 1 sejam 12 horas em ponto, que horas são no Relógio 997?
+
+## 14 1.000 Relógios? - Solução
+
+a) Como o ponteiro, de um relógio para o seguinte, percorre, no sentido horário, 5 casas (25 minutos), no Relógio 5 o ponteiro estará apontando para o 8.
+b) Como "anda"de 5 em 5 e são 12 casas nos relógios, ele estará novamente no 12 depois de 60 casas, pois $m m c(5,12)=60$, ou seja, depois de 12 giros completos. Então, partindo do Relógio 1, de 12 em 12 relógios, o ponteiro volta para a posição inicial (Relógios 1, 13, 25, 37, 49, ..). Todos estes relógios são números que deixam resto 1 na divisão por 12. Se 1.000 dividido por 12 deixa resto 4, então no Relógio 997 o ponteiro está no 12 e, consequentemente, no Relógio 1.000 está no 3.
+
+c) A cada 12 giros do ponteiro dos minutos, que equivalem a 5 voltas completas, o ponteiro das horas (invisível) "anda" 5 casas. Usando o item anterior, 997 dividido por 12, resulta em 83 como quociente e resto 1 , ou seja, o ponteiro dos minutos para 83 vezes na posição inicial, sendo que em cada uma delas o ponteiro das horas "anda" 5 casas. Como $83 \cdot 5=415$ e 415 dividido por 12 deixa resto 7 , são $7 h$ no Relógio 997 .
+
+## 15 Divisibilidade por 7
+
+Uma maneira de verificar se um número é divisível por 7 é subtrair, do número formado pelos algarismos restantes após a retirada do algarismo das unidades, o dobro do algarismo das unidades, verificando se este número é divisível por 7. Por exemplo, 336 é divisível por 7, pois $33-2 \cdot 6=21$ é divisível por 7, mas 418 não é pois $41-2 \cdot 8=25$ não é.
+
+a) Utilize este método para verificar se 4.578 é divisível por 7 .
+
+b) Se $A$ e $B$ são algarismos, quantos são os números de três algarismos do tipo $\overline{A B 5}$ que são divisíveis por 7 ?
+
+## 15 Divisibilidade por 7 - Solução
+
+a) $457-2 \cdot 8=441 \rightarrow 44-2 \cdot 1=42$, que é divisível por 7 , então 4.578 também é divisível por 7 .
+
+b) Como $\overline{A B 5}$ tem três algarismos, então $A \neq 0$. Além disso, $\overline{A B}-14$, pela regra de divisibilidade, é múltiplo de 7 e, consequentemente, $\overline{A B}$ deve ser múltiplo de 7 , pois 14 é, ou seja $A B$ pode ser qualquer elemento do conjunto
+
+$$
+\{14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98\}
+$$
+
+Portanto, são 13 números.
+
+## 16 Mário no mercado
+
+Mário comprou algumas guloseimas no mercado, sendo que 3 chocolates custavam o mesmo que 2 picolés e 2 pirulitos custavam o mesmo que 5 chocolates.
+
+a) Mário resolveu voltar ao mercado com dinheiro para comprar exatamente 3 pirulitos mas resolveu comprar picolés. Quantos picolés ele conseguiu comprar?
+
+b) Se ele tivesse usado o dinheiro de 3 chocolates, 2 picolés e 2 pirulitos para comprar o máximo possível de guloseimas, quantas teria comprado?
+
+## 16 Mário no mercado-Solução
+
+a) 15 chocolates custam o mesmo que 10 picolés e o mesmo que 6 pirulitos. Então, 10 picolés valem o mesmo que 6 pirulitos e, consequentemente, 5 picolés o mesmo que 3 pirulitos. Assim, com o dinheiro de 3 pirulitos, Mário consegue comprar 5 picolés.
+
+b) Pelo item anterior, vimos que a maior quantidade de guloseimas que Mário pode comprar com o mesmo valor é chocolate. Se 2 picolés equivalem a 3 chocolates e 2 pirulitos equivalem a 5 chocolates, então, a quantidade máxima de guloseimas são $3+3+5=11$ chocolates.
+
+## 17 Marta e os números
+
+Marta escolheu um número de 3 algarismos diferentes não nulos e o multiplicou por 3. O resultado encontrado foi um número de 3 algarismos iguais ao algarismo da dezena do número escolhido. Que número Marta escolheu?
+
+## 17 Marta e os números - Solução
+
+Seja o número escolhido $a b c$. Temos, então, que:
+
+| $a b c$ |
+| ---: |
+| $a b c$ |
+| $+\quad b \quad c$ |
+| $b b b$ |
+
+Vamos analisar caso a caso: Se $c=1$, então $b=3$, o que não é possível pois a dezena do resultado deveria ser 9; se $c=2$, então $b=6$, o que não é possível, pois a dezena do resultado deveria ser 8 ; se $c=3$, então $b=9$, o que não é possível, pois a dezena do resultado deveria ser 7; se $c=4$, então $b=2$, o que não é possível, pois a dezena do resultado deveria
+ser 7; se $c=5$, então $b=5$, o que não é possível, pois os algarismos devem ser diferentes; se $c=6$, então $b=8$, o que não é possível, pois a dezena do resultado deveria ser 5 ; se $c=7$, então $b=1$, o que não é possível, pois a dezena do resultado deveria ser 5; se $c=8$, então $b=4$ e, consequentemente, $a=1$; se $c=9$, então $b=7$, o que não é possível, pois a dezena do resultado deveria ser 3. Portanto, o número escolhido por Marta foi 148.
+
+## 18 A sequência de Jonas
+
+Jonas escreveu uma sequência com os múltiplos positivos de 13 em ordem crescente.
+
+## $1326395265 \ldots$
+
+a) Qual o $2.019^{\circ}$ algarismo da sequência de Jonas?
+
+b) O número 2.019 aparecerá nesta sequência?
+
+## 18 A sequência de Jonas - Solução
+
+a) São 7 múltiplos de 13 com 2 algarismos (14 algarismos); com 3 algarismos, são 69 múltiplos de $13(3 \cdot 69=207$ algarismos). Já são $14+207=221$ algarismos, então faltam $2.019-221=1.798$. Dividindo 1.798 por 4 , obtemos 449 e resto 2 , ou seja, o primeiro múltiplo de 13 com 4 algarismos é $13 \cdot 77=1001$, então $13(449+76)=6.825$. Como o resto da divisão é 2 e o próximo múltiplo é 6.838 , então o $2.019^{\circ}$ algarismo é 8 .
+
+b) Sim. Dividindo 20.190 por 13, encontramos quociente 1.553 e resto 1 , então 20.189 e 20.202 são múltiplos de 13, que significa que não existe um múltiplo de 13 entre 20.190 e 20.199. Mas, dividindo 201.900 por 13 encontramos quociente 15.530 e resto 10, então 201.903 é múltiplo de 13 e, consequentemente, 2.019 aparece na sequência.
+
+## 19 Escola 2.019
+
+Uma escola tem 2.019 alunos. No final do ano, cada aluno recebeu um cartão com um número de 1 a 2.019. Os alunos receberam estes números em ordem alfabética: Abiel recebeu o cartão com o número 1; Adriana recebeu o cartão com o número 2; e assim por diante até Ziraldo, que recebeu o número 2.019.
+
+a) Qual a soma dos números dos cartões dos alunos cuja inicial é F, se o primeiro deles, Fábio, tem o 219 e o último, Fuzano, tem o 271?
+
+b) Escolhendo-se aleatoriamente 3 alunos e somando os números dos seus cartões, quantas são as possíveis somas?
+c) Quantos alunos pegaram um cartão com um número cuja quantidade de divisores positivos é ímpar?
+
+## 19 Escola 2019 - Solução
+
+a) Se o primeiro número da sequência é 219 e o último é 271 , então são $271-218=53$ números e sua soma é $\frac{(219+271) \cdot 53}{2}=12.985$.
+
+b) A menor soma é $1+2+3=6$ e a maior é $2.017+2.018+2.019=6.054$. Portanto, são $6.054-5=6.049$ somas ao todo.
+
+c) Os números com quantidade ímpar de divisores positivos são os quadrados perfeitos, sendo o maior deles $44^{2}=1.936$, ou seja, 44 alunos pegaram cartão contendo número com quantidade ímpar de divisores positivos.
+
+## 20 O tabuleiro do Chaves
+
+Chaves pegou um tabuleiro e começou a escrever os números naturais positivos em suas casas seguindo uma sequência lógica, conforme a figura.
+
+| 1 | 2 | 9 | 10 | 25 | $\cdots$ |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 4 | 3 | 8 | 11 | 24 | $\cdots$ |
+| 5 | 6 | 7 | 12 | 23 | $\cdots$ |
+| 16 | 15 | 14 | 13 | 22 | $\cdots$ |
+| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | $\cdots$ |
+| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |  |
+
+a) Qual a linha do número 2.019?
+
+b) Se o tabuleiro for $10 \times 10$, ou seja, for até o número 100 apenas, qual a soma dos números da $1 \underline{a}$ linha?
+
+c) Se o tabuleiro for $n \times n$, qual o último número da diagonal $(1,3,7,13, \ldots)$ ?
+
+## 20 O tabuleiro do Chaves -Solução
+
+a) Na $1 \underline{a}$ linha (horizontal), temos os quadrados dos naturais ímpares $\left(1^{2}, 3^{2}, 5^{2}, \ldots\right)$ na $1^{a}$, $3^{a}, 5^{a}$, ... , casas e na $2^{a}, 4^{a}, 6^{-a}, \ldots$, casas temos os sucessores dos refidos quadrados $\left(1^{2}+1,3^{2}+1,5^{2}+1, \ldots\right)$. Já na $1 \underline{a}$ coluna (vertical), temos na $2 \underline{a}, 4^{\underline{a}}, 6 \underline{a}, \ldots$, casas os quadrados dos naturais positivos pares e na $3 \stackrel{a}{a}, 5 \underline{a}, 7 \underline{a}, \ldots$, casas os sucessores destes quadrados. Como $45^{2}=2.025$ está na $1 \underline{a}$ linha, então 2.019 está na $7 \underline{a}$ linha ( $2.025-$ $2.018=7$ ).
+
+b) Temos:
+
+$$
+1+2+9+10+25+26+49+50+81+82=335
+$$
+
+c) Como o tabuleiro é quadrado, o último número escrito, $n^{2}$, será o último número da $1 \underline{a}$ linha ou da $1 \underline{a}$ coluna, dependendo da paridade de $n$. Basta agora "voltarmos" pelo caminho da sequência, até chegarmos ao último número da diagonal, sendo que, para isto, precisamos apenas subtrair de $n^{2}$ o número $n-1$, ou seja, o último número da diagonal é $n^{2}-(n-1)$.
+
+## 21 Linhas no tabuleiro
+
+O tabuleiro com 15 quadradinhos a seguir é formado com 4 linhas horizontais e 6 linhas verticais.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-20.jpg?height=209&width=309&top_left_y=1709&top_left_x=755)
+
+Qual o número máximo de quadradinhos que podemos obter em um tabuleiro usando 21 linhas?
+
+## 21 Linhas no tabuleiro-Solução
+
+Para cada maneira de escrever 21 como soma do número de linhas e colunas, podemos encontrar o número de quadradinhos formados subtraindo uma unidade de cada uma dessas quantidades e multiplicá-las. Por exemplo, se escrevermos $21=5+16$, o número de quadradinhos formados será $(5-1)(16-1)=60$. Podemos listar todas as decomposições
+$21=l+c$, onde $l$ é a quantidade de linhas e $c$ a de colunas, e contar para cada uma a quantidade de quadradinhos $q$ :
+
+| $l$ | $c$ | $q$ |
+| :---: | :---: | :---: |
+| 2 | 19 | 18 |
+| 3 | 18 | 34 |
+| 4 | 17 | 48 |
+| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
+| 10 | 11 | 90 |
+| 11 | 10 | 90 |
+| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
+| 19 | 2 | 18 |
+
+Portanto, maior quantidade de quadradinhos possível é 90 .
+
+## 22 Porcentagem da área
+
+Na figura a seguir, todos os quadradinhos do tabuleiro são iguais. Qual a porcentagem que a região pintada cobre do quadrado maior?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-21.jpg?height=219&width=217&top_left_y=1482&top_left_x=994)
+
+## 22 Porcentagem da área - Solução
+
+A figura total possui 16 quadradinhos e a região pintada corresponde a área de 3 deles. Portanto, a porcentagem de área pintada é
+
+$$
+\frac{3}{16}=\frac{18,75}{100}=18,75 \%
+$$
+
+## 23 Quadrado mágico I
+
+Em um quadrado mágico, a soma dos números em cada linha, coluna e diagonal é a mesma. No quadrado mágico abaixo, quanto vale $a+b+c$ ?
+
+| 16 | 2 | $a$ |
+| :---: | :---: | :---: |
+| $c$ | 10 | $d$ |
+| $b$ | $e$ | 4 |
+
+## 23 Quadrado mágico I - Solução
+
+A soma comum às linhas, colunas e diagonais é $16+10+4=30$. Analisando as somas das linhas e colunas, temos:
+
+I) De $2+10+e=30$, segue que $e=18$.
+
+II) De $b+e+4=30$, segue que $b=8$.
+
+III) De $16+c+b=30$, segue que $c=6$.
+
+IV) De $16+2+a=30$, segue que $a=12$.
+
+Portanto, $a+b+c=26$.
+
+## 24 O show de mágica
+
+Em um show de mágica, um mágico apresenta um baralho com 29 cartas, que estão numeradas de 1 a 29, e pede que um membro da plateia escolha duas delas. Em seguida, um assistente de palco do mágico escolhe duas cartas das 27 restantes e pede que um outro membro da plateia as leve para um segundo mágico que se encontra em outra sala. As duas cartas são apresentadas ao segundo mágico em uma ordem arbitrária. A partir de uma estratégia feita entre os mágicos e o assistente antes do show, o segundo mágico é sempre capaz de descobrir as duas cartas escolhidas pelo membro da plateia apenas olhando as cartas que ele recebe. Explique como eles podem fazer isso.
+
+## 24 O show de mágica - Solução
+
+Uma possível estratégia é combinar antes do show um código entre os mágicos e o assistente. Para iniciar a transmissão da informação das cartas em código, eles devem considerar os 29 números escritos em um círculo, como se fossem as horas de um relógio, de modo que 1 e 29 sejam vizinhos. Se um membro da plateia escolher dois números consecutivos, digamos 7 e 8, o assistente deve escolher os próximos dois números consecutivos nesse círculo imaginário, a saber, 9 e 10. Se o membro da plateia escolher dois números que não são consecutivos, digamos $4 \mathrm{e} 11$, o assistente deve escolher os sucessores deles no círculo, que são 5 e 12. Exemplifiquemos como funciona a descoberta das cartas por meio desse código. Se por um lado o segundo mágico receber dois números consecutivos, digamos 2 e 3, ele sabe que o membro da plateia escolheu 29 e 1 . Por outro lado, se ele receber dois números não consecutivos, como 6 e 19, ele sabe que o membro da plateia escolheu 5 e 18.
+
+## 25 Sopa da vovó
+
+Vovó fez uma sopa para que seus 5 netos a dividissem igualmente. Ângela e Daniela chegaram, dividiram a sopa igualmente em 5 pratos, tomaram cada uma a sua parte, devolveram o que sobrou na panela para não esfriar e foram brincar no parque. Laura, quando chegou, achou que era a primeira e dividiu a sopa em 5 pratos iguais, tomou um deles e devolveu o restante na panela. João, quando chegou, achou que apenas Laura havia tomado sua parte, dividiu-a em 4 pratos, tomou sua a parte e foi dormir. Quando Toni chegou, sabia que era o último e tomou todo o restante da sopa.
+
+a) Que fração da sopa Laura tomou?
+
+b) Quem foi que tomou mais sopa?
+
+c) Se a sopa fosse dividida em potes de $100 \mathrm{ml}$, todos teriam tomado uma quantidade inteira de potes. Qual a menor quantidade possível de sopa que havia na panela?
+
+## 25 Sopa da vovó-Solução
+
+a) Ângela e Daniela tomaram $\frac{1}{5}$ cada, deixando $\frac{3}{5}$ da sopa na panela. Laura dividiu os $\frac{3}{5}$ restantes em 5 partes, tomando 1 parte, ou seja, $\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{25}$.
+
+b) Continuando o item anterior, restou, após a passagem de Laura, $\frac{3}{5}-\frac{3}{25}=\frac{15-3}{25}=\frac{12}{25}$ da sopa. João dividiu essa fração em 4 partes, ou seja, tomou $\frac{1}{4} \cdot \frac{12}{25}=\frac{3}{25}$, deixando $\frac{12}{25}-\frac{3}{25}=\frac{9}{25}$, que foi a fração que Toni tomou. Portanto, Toni foi o que tomou mais sopa.
+
+c) Seriam 25 potes, ou seja, 2,5 litros.
+
+## 26 Ingressos para o parque
+
+Para entrar em um parque, um grupo com dois homens, quatro mulheres e duas crianças pagou 226 reais, enquanto que um grupo com três homens, três mulheres e uma criança pagou 207 reais.
+
+a) Quanto pagaria um grupo com 8 homens, 10 mulheres e 4 crianças para entrar no parque?
+
+b) Se os valores dos ingressos são todos números naturais, quantos são os possíveis preços para os ingressos?
+
+## 26 Ingressos para o parque - Solução
+
+a) Seja $h$ o preço do ingresso para homens, $m$ o preço do ingresso para mulheres e $c$ o preço do ingresso para crianças. Organizando as informações, temos:
+
+$$
+\left\{\begin{aligned}
+2 h+4 m+2 c & =226 \\
+3 h+3 m+c & =207
+\end{aligned}\right.
+$$
+
+Um grupo com 8 homens, 10 mulheres e 4 crianças é o mesmo que um grupo do tipo (I) mais dois grupos do tipo (II), ou seja, pagaria $226+2 \cdot 207=640$ reais.
+
+b) Fazendo 2(II) - (I), obtemos a equação $4 h+2 m=188$, donde $m=94-2 h$, que, substituindo em (II), chegamos a $c=3 h-75$. A solução para o sistema pode ser escrita como $\{(h, m, c)\}=\{h, 94-2 h, 3 h-75\}$. Como $m=94-2 h>0$, segue que $h<47$ e, analogamente, $c=3 h-75>0$, donde $h>25$. Sendo assim, $25<h<47$, que resulta em $46-25=21$ resultados possíveis.
+
+## 27 SEQUENLADA
+
+Uma sequência numérica é chamada de SEQUENLADA quando, a partir do segundo número, o elemento seguinte é formado pelas regras:
+
+I) se tem mais de 2 algarismos, passa-se o último algarismo para a $1 \underline{a}$ posição e depois soma-se os dois últimos algarismos;
+
+II) se tem dois algarismos, soma-se estes 2 até obter 1 algarismo apenas.
+
+A sequência termina quando chegamos em um número com apenas um algarismo. Um exemplo de uma SEQUENLADA é:
+
+$$
+12.345 \rightarrow 5.127 \rightarrow 753 \rightarrow 312 \rightarrow 24 \rightarrow 6
+$$
+
+a) Escreva a SEQUENLADA que começa com 246.831 .
+
+b) Quantas SEQUENLADAS de três números terminam com 1 ?
+
+## 27 SEQUENLADA-Solução
+
+a) $246.831 \rightarrow 124.611 \rightarrow 11.247 \rightarrow 5.443 \rightarrow 358 \rightarrow 88 \rightarrow 16 \rightarrow 7$.
+
+b) Vamos analisar a sequência ao contrário, com o primeiro número sendo 1 . O segundo, então só pode ser 10 ou 100 . No primeiro caso (10), o $3^{\circ}$ termo pode ser $19,28,37,46$, $55,64,73,82,91,190,280,370,460,550,640,730,820,910$ ou 1.000; no segundo caso (100 na segunda posição), o $3^{\circ}$ número da sequência só pode ser 10.000 .
+
+Vamos organizar as sequências:
+
+| 19 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 28 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 37 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 46 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 55 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 64 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 73 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 82 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 91 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 190 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 280 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 370 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 460 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 550 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 640 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 730 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 820 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 910 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 1.000 | $\rightarrow$ | 10 | $\rightarrow$ | 1 |
+| 10.000 | $\rightarrow$ | 100 | $\rightarrow$ | 1 |
+
+Portanto, são 20 SEQUENLADAS com 3 números que terminam em 1.
+
+## 28 A fábrica de roupas
+
+O dono de uma fábrica de roupas é fanático por matemática e organiza seus produtos em pacotes cujo número de peças é um número primo. Por exemplo, as peças de roupas na cor verde, ele organiza em pacotes com 2 peças cada; as de cor azul, em pacotes com 3 peças cada; as de cor rosa, em pacotes com 5 peças cada; as de cor branca, em pacotes com 7 peças cada; e assim por diante. Em uma caixa grande, o dono da fábrica decide colocar apenas pacotes com cor verde, azul e rosa (podendo ter as três cores ou apenas uma, inclusive). Na caixa devem ter exatamente 20 peças. De quantas maneiras diferentes, ele pode organizar esta caixa?
+
+## 28 A fábrica de roupas -Solução
+
+As cores verde, azul e rosa têm 2, 3 e 5 peças por pacotes, respectivamente. Podemos pegar diversas quantidades de pacotes de cada cor, inclusive não pegar, desde que a quantidade de peças seja exatamente 20. Vamos montar um quadro para listar as possibilidades:
+
+| Verde | Azul | Rosa |
+| :---: | :---: | :---: |
+| 10 | 0 | 0 |
+| 7 | 2 | 0 |
+| 6 | 1 | 1 |
+| 5 | 0 | 2 |
+| 4 | 4 | 0 |
+| 3 | 3 | 1 |
+
+
+| Verde | Azul | Rosa |
+| :---: | :---: | :---: |
+| 2 | 2 | 2 |
+| 1 | 6 | 0 |
+| 1 | 1 | 3 |
+| 0 | 5 | 1 |
+| 0 | 0 | 4 |
+
+Portanto, são 11 maneiras diferentes.
+
+## 29 A balança de dois pratos
+
+Existem 68 moedas em uma sacola, todas possuindo pesos diferentes. Descreva como encontrar a moeda mais pesada e a moeda mais leve, usando 100 pesagens em uma balança de dois pratos.
+
+Observação: Em uma balança de dois pratos, colocam-se objetos sobre os pratos e descobrese qual conjunto de objetos é mais pesado.
+
+## 29 A balança de dois pratos - Solução
+
+Inicialmente divida as moedas em 34 pares e realize 34 pesagens neles. As 34 moedas mais pesadas serão classificadas em um grupo de mesmo nome e as demais em um grupo chamado de moedas mais leves. Divida o grupo das moedas mais pesadas em 17 pares e realize as 17 pesagens entre eles. Considere agora as 17 moedas mais pesadas obtidas nesse processo, separe uma delas, que será chamada de $A$, e divida as restantes em 8 pares. Em cada um desses pares, realize uma pesagem e repita o processo com as 4 moedas mais pesadas realizando assim mais duas pesagens. Compare agora a moeda mais pesada dessa segunda pesagem com a moeda separada anteriormente chamada de $A$. $\mathrm{O}$ resultado é a moeda mais pesada do conjunto. Ao todo, após as 34 pesagens originais, foram realizadas $17+8+4+2+1+1=33$ pesagens. O mesmo processo pode ser usado, dessa vez, considerando os grupos de moedas mais leves, para identificarmos a moeda mais leve com outras 33 pesagens. Assim, o total de pesagens utilizadas foi de
+
+$$
+34+33+33=100
+$$
+
+Observação: Em geral, podemos mostrar que $3 n-2$ pesagens são suficientes para descobrirmos a moeda mais leve e a mais pesada em um grupo com $2 n$ moedas. Inicialmente,
+divida as moedas em $n$ pares e realize uma pesagem em cada um deles. As $n$ moedas mais pesadas dessa pesagem formarão o grupo 1 e as demais o grupo 2. No grupo 1, podemos escolher de forma aleatória duas moedas quaisquer, realizar uma pesagem e eliminar a mais leve. Com $n-1$ pesagens podemos eliminar $n-1$ moedas e obter a mais pesada do grupo 1. O mesmo processo no grupo 2 nos permite obter a moeda mais leve com $n-1$ pesagens. Assim, com $n+(n-1)+(n-1)=3 n-2$ pesagens podemos obter a moeda mais leve e a moeda mais pesada.
+
+30 As voltas do carrossel
+
+Ana brinca com seu carrossel elétrico todos os dias. Como ela é muito organizada, após brincar de rodar o seu carrossel, ela sempre o deixa na mesma posição inicial daquele dia. Todas as noites seus três irmãos menores acordam e também brincam com ele. Seu irmão João sempre dá $1 / 7$ de uma volta completa em cada movimento. Seu outro irmão Pedro sempre dá $1 / 9$ de uma volta completa em cada movimento. Finalmente, seu irmão José sempre dá $1 / 32$ de uma volta completa em cada movimento. Cada um pode movimentar o carrossel quantas vezes quiser. Em quantas posições diferentes Ana pode encontrar o carrossel ao acordar?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-28.jpg?height=433&width=423&top_left_y=1729&top_left_x=698)
+
+## 30 As voltas do carrossel - Solução
+
+Como 7$\cdot$9$\cdot$32 = 2016, segue que todos os movimentos são múltiplos do movimento que dá 1/2016 de uma volta completa. Portanto, o carrossel pode estar em no máximo 2016 posições distintas, a saber, os múltiplos
+
+$$
+\frac{1}{2016}, 2 \cdot \frac{1}{2016}, 3 \cdot \frac{1}{2016}, \ldots, 2016 \cdot \frac{1}{2016}
+$$
+
+de uma volta. Para verificar que todas essas posições são possíveis, basta encontrarmos uma maneira de darmos 1/2016 de uma volta, pois se for possível realizar tal movimento, basta repetir a sequência de movimentos que o gera para produzir novos incrementos de 1/2016 de uma volta em um múltiplo já encontrado. Basta João rodar o carrossel em 1/7 de uma volta em uma direção e Pedro e José fazerem seus movimentos no sentido contrário. Assim, o carrossel terá sido rodado em
+
+$$
+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}-\frac{1}{32}=\frac{288-224-63}{2016}=\frac{1}{2016}
+$$
+
+de uma volta.
+
+Observação: Uma posição qualquer após os movimentos dos três irmãos corresponde a seguinte fração de uma volta:
+
+$$
+\frac{x}{7}+\frac{y}{9}+\frac{z}{32}=\frac{288 x+224 y+63 z}{2016}
+$$
+
+em que $x, y$ e $z$ são inteiros. Como $m d c(288,224,63)=1$, segue que existem inteiros $a, b$ e $c$ tais que
+
+$$
+288 a+224 b+63 c=1
+$$
+
+e isso garante que é possível obter 1/2016 de uma volta completa. Essa análise pode ser usada para tratar casos mais gerais.
+

Brazilian_MO/md/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_2.md

@@ -0,0 +1,835 @@
+# ENUNCIADOS E SOLUÇÕES DO NÍVEL 2 
+
+## 10 perímetro do retângulo
+
+$\mathrm{Na}$ figura a seguir, todos os retângulos são iguais e possuem o perímetro de $8 \mathrm{~cm}$. Qual o perímetro total da figura?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-01.jpg?height=190&width=497&top_left_y=1309&top_left_x=859)
+
+## 1] 0 perímetro do retângulo - Solução
+
+Podemos deslizar os blocos e formar uma nova figura com o mesmo perímetro da anterior. Se o lado menor do bloco mede $a$ e o maior mede $b$ então $2 a+2 b=8 \mathrm{~cm}$. No perímetro da nova figura, temos 8 segmentos de tamanho $a$ e 8 de tamanho $b$. Assim, o seu perímetro é $8 a+8 b=4(2 a+2 b)=32 \mathrm{~cm}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-01.jpg?height=182&width=492&top_left_y=2087&top_left_x=862)
+
+## 2 Número TOP
+
+Um número é dito TOP se possui 5 algarismos e quando o produto entre o $1^{\circ}$ e o $5^{\circ}$ é igual a soma do $2^{\circ}, 3^{\circ} \mathrm{e} 4^{\circ}$. Por exemplo, 12.338 é TOP, pois possui 5 algarismos e $1 \cdot 8=2+3+3$.
+
+a) Qual o valor de $a$ para que $23.4 a 8$ seja TOP?
+
+b) Quantos números TOP terminam com 2 e começam com 1 ?
+
+c) Quantos números TOP começam com 9?
+
+## 2 Número TOP-Solução
+
+a) Temos que $2 \cdot 8=3+4+a$, segue que $a=9$.
+
+b) Seja $1 b . c d 2$ um número TOP. Temos que $b+c+d=2$, sendo que todas as possibilidades $(b, c, d)$, são $(0,0,2),(0,1,1),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(2,0,0)$, ou seja, são 6 números TOP.
+
+c) Seja 9e.fgh um número TOP. Vamos analisar todos os casos iniciando pelos possíveis valores de $h$ :
+
+I) Se $h=0$, então $e+f+g=0$, cuja única possibilidade é $(0,0,0)$.
+
+II) Se $h=1$, então $e+f+g=9$, ou seja, para $e=0$, são 10 possibilidades para $f$ (de 0 a 9) e $g$ fica determinado; para $e=1$, são 9 possibilidades para $f$ e $g$ fica determinado; para $e=2$, são 8 possibilidades para $f$; e assim por diante até $e=9$ e 1 possibilidade para $f$, ou seja, o total de possibilidades para $h=1$ é $10+9+8+$ $7+6+5+4+3+2+1=55$.
+
+III) Se $h=2$, então $e+f+g=18$, ou seja, para $e=0$, existe apenas uma combinação para $f$ e $g$ que é $f=g=9$; para $e=1$ são 2 possibilidades para $f$ e $g$; para $e=2$, são 3 possibilidades; para $e=3$, são 4 possibilidades; e assim por diante até $e=9$, que são 10 possibilidades. Neste caso, temos, portanto, $1+2+3+4+\ldots+10=55$ possibilidades.
+
+IV) Se $h=3$, então $e+f+g=27$, que possui apenas a solução $e=f=g=9$.
+
+V) Se $h>3$ não existe número TOP.
+
+Sendo assim, o total de números TOP que começam com 9 é $1+55+55+1=112$.
+
+## 3 Ofloco de neve
+
+Cada um dos números de 1 a 13 está escrito em um dos círculos do floco de neve da figura a seguir, de modo que as somas dos 5 números em cada linha e a soma dos 7 números no centro da figura sejam todas iguais. Encontre essa soma dado que ela é a menor possível dentre as que satisfazem essas condições.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-03.jpg?height=555&width=619&top_left_y=624&top_left_x=798)
+
+## 3 O floco de neve-Solução
+
+Sejam $s$ o valor da soma em cada linha e $a$ o valor escrito no círculo central. Então,
+
+$$
+3 s=(1+2+\ldots+13)+2 a=91+2 a
+$$
+
+consequentemente $s=\frac{91+2 a}{3} \geq \frac{93}{3}=31$. Para verificar que esse valor é possível, considere a figura a seguir.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-03.jpg?height=555&width=622&top_left_y=1771&top_left_x=794)
+
+## 4 Quadrado de triângulos e triângulo
+
+Na figura a seguir, temos um quadrado dividido em dois triângulos congruentes e um triângulo retângulo cujo cateto maior tem a mesma medida do lado do quadrado e o cateto menor tem a metade da medida do lado do quadrado.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-04.jpg?height=310&width=596&top_left_y=590&top_left_x=612)
+
+Se a área do quadrado é $4 k$, determine:
+
+a) A área em cinza claro da figura abaixo.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-04.jpg?height=386&width=389&top_left_y=1264&top_left_x=736)
+
+b) A área em cinza escuro da figura abaixo.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-04.jpg?height=388&width=391&top_left_y=1979&top_left_x=738)
+
+## 4 Quadrado de triângulos e triângulo - Solução
+
+a) A área cinza claro é a metade da área do quadrado $(2 k)$ menos a área do triângulo, que é a quarta parte da área do quadrado, ou seja, $k$. Portanto, a área cinza claro é $2 k-k=k$.
+
+b) Prolongando um lado do quadrado e a hipotenusa do triângulo, conforme a figura, vamos marcar os pontos $A, B, C, D$ e $E$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-05.jpg?height=748&width=441&top_left_y=800&top_left_x=911)
+
+Os triângulos $\triangle A B E$ e $\triangle C D E$ são semelhantes de razão 4 e, consequentemente, a razão das áreas é 16. Além disso, $\frac{E B}{E D}=4$ (razão), o que implica que a raz��o entre as áreas dos triângulos $\triangle B C E$ e $\triangle C D E$ é 4 . Se a área do $\triangle C D E$ é igual a $x$, a área do $\triangle B C E$ é igual a $4 x$. Como a área do $\triangle A B C$ é igual à área do quadrado ( $4 k$ ), temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{A_{A B E}}{A_{C D E}} & =16 \\
+\frac{A_{A B C}-A_{B C E}}{A_{C D E}} & =16 \\
+\frac{4 k-4 x}{x} & =16 \\
+16 x & =4 k-4 x \\
+20 x & =4 k \\
+x & =\frac{k}{5}
+\end{aligned}
+$$
+
+## 5 Inteiros no quadro
+
+Inicialmente, o número 1 e dois números positivos $x$ e $y$ estão escritos em um quadro negro. Em cada movimento, um jogador pode escolher dois números sobre o quadro, não necessariamente distintos, e escrever a sua soma ou a sua diferença no quadro. Também podemos escolher um número não nulo no quadro e escrever o seu inverso. Após um número finito de movimentos, descreva como podemos obter os seguintes números:
+
+a) $x^{2}$.
+
+b) $x y$.
+
+## 5 Inteiros no quadro-Solução
+
+a) Se $x=1$ não há o que fazer. Suponhamos então que $x \neq 1$. Primeiramente, escreva $x+1$ e $x-1$. Usando o movimento do inverso, podemos escrever $\frac{1}{x+1} \mathrm{e} \frac{1}{x-1}$. Em seguida, podemos escrever a diferença desses dois números: $\frac{2}{x^{2}-1}$. O inverso desse último número é $p=\frac{x^{2}-1}{2}$. Calculando $p+p$ encontramos $x^{2}-1$. Finalmente, basta adicionar 1 para obter $x^{2}-1+1=x^{2}$.
+
+b) Primeiramente, escreva $x+y$. Pelo item anterior, podemos escrever $(x+y)^{2}, x^{2}$ e $y^{2}$. Em seguida, com dois movimentos, podemos escrever $(x+y)^{2}-x^{2} \mathrm{e}(x+y)^{2}-x^{2}-y^{2}=$ $2 x y$. Também podemos escrever o inverso desse último número: $q=\frac{1}{2 x y}$. Finalmente, podemos escrever $q+q=\frac{1}{x y}$ e o seu inverso $x y$.
+
+## 6 Paralelepipedo de cubinhos
+
+Um paralelepípedo deve ser construído com a sobreposição de cubinhos de $1 \mathrm{~cm}$ de medida de aresta, sendo seu comprimento composto por $n$ cubinhos, sua largura, por $p$ cubinhos e sua altura por $q$ cubinhos.
+
+a) Qual o volume do paralelepípedo?
+
+b) Pintando as faces do paralelepípedo de vermelho, quantos cubinhos terão apenas uma de suas faces pintada de vermelho?
+
+c) Tomando um paralelepípedo, como o do enunciado, de forma que $n=p=q$. Se aumentarmos cada uma de suas dimensões em $a$, sendo $a$ um número natural, o novo cubo passa a ter 98 cubinhos a mais que o cubo inicial. Quais os valores de $n$ e $a$ ?
+
+## 6 Paralelepípedo de cubinhos - Solução
+
+a) $V=n p q$.
+
+b) Nas faces $n \times p$, apenas os cubinhos que não estão nas laterais terão apenas uma face pintada de vermelho, ou seja, são $2 \cdot(n-2) \cdot(p-2)$ cubinhos. De forma análoga, nas faces $n \times q$, serão $2 \cdot(n-2) \cdot(q-2)$ e nas faces $p \times q$ são $2 \cdot(p-2) \cdot(q-2)$. Portanto, são $2[(p-2)(q-2)+(n-2)(p-2)+(n-2)(q-2)]$ cubinhos com apenas uma face vermelha.
+
+c) Temos um cubo de aresta $n$, ou seja, formado de $n^{3}$ cubinhos. O novo cubo terá $(n+a)^{3}$ cubinhos, que equivale a 98 cubinhos a mais. Assim:
+
+$$
+\begin{aligned}
+(n+a)^{3}-n^{3} & =98 \\
+3 n^{2} a+3 n a^{2}+a^{3} & =98 \\
+a\left(3 n^{2}+3 n a+a^{2}\right) & =2 \cdot 7^{2}
+\end{aligned}
+$$
+
+Como $a$ é um número natural, os possíveis valores de $a$ pertencem ao conjunto $\{1,2,7,14,49,98\}$. Vamos analisar cada caso:
+
+I) Se $a=1$, então $3 n^{2}+3 n=97$, mas não teríamos $n \in \mathbb{N}$.
+
+II) Se $a=2$, então $3 n^{2}+6 n=45$, donde $n=3$.
+
+III) Para $a=7$, $a=14$, $a=49$ ou $a=98$, não teríamos $n \in \mathbb{N}$.
+
+Portanto, $a=2$ e $n=3$.
+
+## 7 Acerte o alvo
+
+A figura abaixo indica um alvo em uma parede que está fixo e não pode ser rotacionado. Ele está dividido em 10 partes, divididas em um círculo central, um anel menor e um anel maior (externo). Devemos distribuir os números de 1 a 10, um em cada parte, que serão correspondentes às pontuações obtidas ao acertar cada parte.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-07.jpg?height=497&width=510&top_left_y=1940&top_left_x=845)
+a) De quantas maneiras podemos distribuir os números nas partes do alvo?
+
+b) De quantas maneiras podemos distribuir os números de forma que números mais próximos do centro não possam ser menores que números mais distantes do centro?
+
+c) De quantas maneiras podemos distribuir os números de maneira que a soma dos números no anel externo seja igual à soma dos números do anel menor?
+
+## 7 Acerte o alvo-Solução
+
+a) Como são 10 partes e 10 números, o total de possibilidades é
+
+$$
+10!=10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 1=3.628 .800
+$$
+
+b) No círculo central deve ser o 10 (apenas uma possibilidade); no anel menor, devem ser os números 7 , 8 e 9 para 3 partes $(3 \cdot 2 \cdot 1=6$ possibilidades); no anel externo são os 6 números restantes para 6 partes $(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=720$ possibilidades). Portanto, o total de maneiras para esta distribuição é $1 \cdot 6 \cdot 720=4.320$.
+
+c) A soma de todos os números é $1+2+3+\ldots+10=55$ (ímpar). Como a soma dos anéis menor e externo deve ser a mesma, os dois juntos devem resultar em um número par e, consequentemente, no círculo central deve conter um número ímpar. Vamos analisar cada caso:
+I) 1 no círculo central (soma de cada anel igual a 27): no anel menor devemos ter 10,9 e $8(3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=4.320$ possibilidades $)$;
+
+II) 3 no círculo central (soma de cada anel igual a 26): no anel menor devemos ter 10,9 e $7(3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=4.320$ possibilidades);
+
+III) 5 no círculo central (soma de cada anel igual a 25): no anel menor devemos ter 10,9 e 6 ou 10 , 8 e 7 ( $2 \cdot 4.320=8640$ possibilidades);
+
+IV) 7 no círculo central (soma de cada anel igual a 24): no anel menor devemos ter 10,9 e 5 ou 10 , 8 e $6(2 \cdot 4.320=8640$ possibilidades $)$;
+V) 9 no círculo central (soma de cada anel igual a 23): no anel menor devemos ter 10,8 e 5 ou 10,7 e $6(2 \cdot 4.320=8640$ possibilidades $)$.
+
+Portanto, são $8 \cdot 4320=34560$ possibilidades ao todo.
+
+## 8 A reta secante
+
+O segmento $A B$ de comprimento $16 \mathrm{~cm}$ é diâmetro de um círculo de centro $O$. Uma reta secante corta o círculo em $C$ e $D$ e a reta $A B$ em $P$, como indica a figura a seguir. Se $O D=D P$ e $\angle A P C=18^{\circ}$, qualo valor do ângulo $\angle A O C$ ?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-09.jpg?height=421&width=600&top_left_y=572&top_left_x=802)
+
+## 8 A reta secante - Solução
+
+Como $O D=D P$, segue que $\angle D O P=\angle O P D=18^{\circ}$. Pelo Teorema do Ângulo Externo, segue que $\angle O D C=2 \cdot 18^{\circ}=36^{\circ}$. O triângulo $C O D$ é isósceles, pois $C O$ e $O D$ são raios do círculo. Assim, $\angle O C D=\angle C D O=36^{\circ}$. Novamente, pelo Teorema do Ângulo Externo, segue que $\angle C O A=\angle O C P+\angle C P O=54^{\circ}$.
+
+## 9 Jogo da prateleira
+
+A figura abaixo representa uma estante com duas prateleiras com cinco pilhas de livros, sendo três delas com dois livros e duas delas com apenas um livro. Alice e Luiz inventaram um jogo no qual cada um deles, alternadamente, retira um ou dois livros de uma das pilhas de livros. Vence aquele que tirar o último livro. Alice começa o desafio. Qual deles tem uma estratégia vencedora, quaisquer que sejam as jogadas do adversário?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-09.jpg?height=486&width=793&top_left_y=1962&top_left_x=711)
+
+## 9 Jogo da prateleira - Solução
+
+Aquele que deixar duas pilhas com 1 livro cada para o adversário jogar, vence o jogo. Para conseguir isso, basta Alice tirar, em seu primeiro lance, uma pilha com 2 livros. Após isso, Luiz terá 3 opções, que são:
+
+I) Tirar uma pilha com 2 livros: basta Alice tirar a outra pilha com 2 livros que chegará à posição vencedora citada no início da solução.
+
+II) Tirar uma pilha com apenas 1 livro: basta Alice tirar a outra pilha com 1 livro apenas, deixando duas pilhas com 2 livros cada, que ela vence no próximo lance ou chega à posição vencedora do início da solução.
+
+III) Tirar 1 livro de uma pilha com 2 livros: basta Alice tirar 1 livro da pilha com 2 que restarão 4 pilhas com 1 livro e Alice chegará à posição vencedora do início da solução no próximo lance. Portanto, Alice tem a estratégia vencedora.
+
+Outra maneira é passar as quantidades das pilhas para notação binária: 10, 10, 10, 1, 1. Quando Alice for jogar, basta ela tirar uma quantidade que, somando os valores restantes, obtenha-se um resultado apenas com números pares, por exemplo, em seu primeiro lance, se ela tirar uma pilha com 2 livros, a soma dos valores restantes será $10+10+1+1=22$. Fazendo isso, em todos os seus lances ela conseguirá chegar à posição vencedora.
+
+## 10 Supercortador de grama
+
+Uma máquina de cortar grama mais eficiente está sendo desenvolvida. Para isso, em um vértice de um quadrado de grama, de lado $m$, prende-se a ponta de uma haste metálica de comprimento $p$ e na outra ponta da haste prende-se um triângulo equilátero, por um de seus vértices, de lado $l$, sendo $p+l<m$. O triângulo gira muito rápido ao redor do encaixe com a haste e a haste gira muito devagar ao redor do encaixe no vértice do quadrado, ou seja, toda grama abaixo do triângulo é cortada, formando parte de uma coroa circular. Qual a área cortada?
+
+## 10 Supercortador de Grama - Solução
+
+Quando o triângulo gira ao redor de um de seus vértices, seu alcance é limitado por uma circunferência de raio $l$. Assim, o raio do maior arco da área de corte é $(p+l)$, enquanto que o raio do menor arco da área de corte é $(p-l)$. Portanto, a área de corte é
+
+$$
+\frac{\pi(p+l)^{2}-\pi(p-l)^{2}}{4}=\frac{\pi}{4} \cdot 4 p l=p l \pi
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-11.jpg?height=595&width=624&top_left_y=675&top_left_x=793)
+
+## 11 Embalagem de perfume
+
+O frasco de um perfume tem formato cilíndrico e uma embalagem em forma de flor deve ser construída para acondicioná-lo. Para a confecção desta embalagem será utilizada uma folha quadrada de lado $n$, quatro arcos de circunferência com centros nos vértices do quadrado e raio medindo $n$ e uma circunferência tangente a estes arcos.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-11.jpg?height=452&width=452&top_left_y=1815&top_left_x=882)
+
+a) Qual a medida do raio da circunferência?
+
+b) Qual a medida da área mais clara da figura?
+
+## 11 Embalagem de perfume - Solução
+
+a) O raio do arco mede $n$ e a diagonal do quadrado mede $n \sqrt{2}$, então o raio da circunferência é $\frac{n-(n \sqrt{2}-n)}{2}=\frac{2 n-n \sqrt{2}}{2}$.
+
+b) Dividindo o quadrado como na figura, temos que a soma das áreas $A, B$ e $C$ é $\frac{n^{2}}{2}$. Como $B=\frac{\pi \cdot n^{2}}{6}$ (setor circular de $30^{\circ}$ ), $C=\frac{n^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{2}=\frac{n^{2} \sqrt{3}}{8}$ (metade da área de um triângulo equilátero), então $A=\frac{n^{2}}{2}-\frac{\pi n^{2}}{6}-\frac{n^{2} \sqrt{3}}{8}$. Assim, a área mais clara é $8 A=$ $n^{2}\left(4-\frac{4 \pi}{3}-\sqrt{3}\right)$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-12.jpg?height=434&width=428&top_left_y=1015&top_left_x=719)
+
+## 12 Quadrado mágico II
+
+No quadrado mágico a seguir, todo inteiro de 1 a 25 pode ser colocado nos quadradinhos de modo que as somas em toda linha e coluna, bem como nas diagonais, é a mesma. Dado que o número no centro do quadrado é 18, qual é o valor da soma dos números escritos nos quadradinhos sombreados?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-12.jpg?height=429&width=428&top_left_y=2030&top_left_x=693)
+
+## 12 Quadrado mágico II - Solução
+
+Como a soma de todos os números do quadrado mágico é $1+2+\ldots+25=325$, a soma dos números em cada linha, coluna ou diagonal é $325 / 5=65$. Ao somar todos os números das duas diagonais, da linha do meio e da coluna do meio, estamos somando todos os números que não estão sombreados e assim obtemos $4 \cdot 65=260$. Entretanto, o quadrado central foi somado quatro vezes e podemos concluir que a soma de todos os números não sombreados é $260-3 \cdot 18=206$. Portanto, a soma dos números nos quadrados sombreados é $325-206=119$.
+
+## 13 Bloqueando celulares
+
+Para bloquear seu celular, Tom escolhe um caminho, na tela do celular, que deve passar pelos lados dos quadrados, sem passar pelos vértices, em um caminho contínuo. $\mathrm{Na}$ figura, temos dois exemplos, ambos começando no 1 e terminando no 5.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-13.jpg?height=315&width=304&top_left_y=1413&top_left_x=763)
+
+| 1 | 2 | 3 |
+| :--- | :--- | :--- |
+| 4 | 5 | 6 |
+| 7 | 8 | 9 |
+
+a) Quantas senhas diferentes, com 3 números, Tom pode escolher?
+
+b) E com os 9 números, usando exatamente uma vez cada, quantas senhas Tom pode escolher, começando no 5 ?
+
+## 13 Bloqueando celulares - Solução
+
+a) Começando nos cantos, são 4 possibilidades para cada ( $4 \cdot 4=16$ ao todo), por exemplo, começando com 1, temos as senhas 123, 125, 145, 147. Começando em 2, 4,6 ou 8 são 5 possibilidades para cada ( $4 \cdot 5=20$ ao todo), por exemplo, começando com 2 , temos as senhas 236, 256, 258, 254, 214. Começando pelo 5, temos 8 possibilidades (521, 523, $563,569,589,587,547,541)$. Sendo assim, temos um total de $16+20+8=44$ senhas com 3 números.
+
+b) Iniciando no 5, o segundo número deve ser 2, 4, 6 ou 8, sendo que em cada caso deve seguir a sequência no sentido horário ou anti-horário. Sendo assim, são $4 \cdot 2=8$ senhas.
+
+## 14 2.019 Armários?
+
+Os 2.019 armários dos 2.019 alunos de uma escola são numerados com os quadrados dos 2.019 primeiros naturais positivos, ou seja, o primeiro armário tem o número $1^{2}=1, o$ segundo armário tem o número $2^{2}=4$, o terceiro armário tem o número $3^{2}=9$, e assim até o último armário que tem o número $2.019^{2}=4.076 .361$.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-14.jpg?height=252&width=744&top_left_y=1312&top_left_x=529)
+
+a) Quantos algarismos foram utilizados para pintar os cem primeiros armários?
+
+b) Somando todos os números dos armários, qual o algarismo das unidades deste resultado?
+
+## 14 2.019 Armários? - Solução
+
+a) Vamos dividir em grupos pela quantidade de algarismos:
+I) 1 algarismo: 3 armários $\left(1^{2}, 2^{2}, 3^{2}\right)$;
+
+II) 2 algarismos: $9-3=6$ armários ( $4^{2}$ a $9^{2}$ );
+
+III) 3 algarismos: $31-9=22$ armários $\left(10^{2}\right.$ a $\left.31^{2}\right)$;
+
+IV) 4 algarismos: $99-31=68$ armários $\left(32^{2}\right.$ a $\left.99^{2}\right)$;
+V) 5 algarismos: apenas o armário $100^{2}$.
+
+Portanto, foram pintados $3+2 \cdot 6+3 \cdot 22+4 \cdot 68+5 \cdot 1=358$ algarismos nos cem primeiros armários.
+
+b) O algarismo das unidades dos 10 primeiros quadrados desses armários são
+
+$$
+1,4,9,6,5,6,9,4,1,0
+$$
+
+Essa sequência de algarismos repete-se de 10 em 10. Como a soma de uma dessas sequências termina em 5 e são, até $2020^{2}$ (vamos considerar o $2020^{2}$ para termos uma quantidade inteira de sequências e como seu algarismo das unidades é zero, não altera o resultado) 202 somas que terminam em 5, que somadas, o resultado termina em 0.
+
+## 15 As cinco amigas do vôlei
+
+Cinco amigas são titulares de um time de vôlei. Suas camisas são numeradas nas costas com os 5 primeiros ímpares positivos. Ana é a número 1; Bia é a número 3; Cátia é a número 5; Dani é a número 7; e Esmeralda é a número 9. Durante os treinos as cinco amigas fazem filas para formar números com suas camisas, todos com 5 algarismos. Por exemplo, a fila com Esmeralda, Dani, Cátia, Bia e Ana, nesta ordem, formam o número 97.531 .
+
+a) Quantos números diferentes elas podem formar?
+
+b) Quantos números podem ser formados se Cátia não pode ser a primeira da fila?
+
+c) Quantos números podem ser formados se Esmeralda e Bia ficarem lado a lado?
+
+d) Fábia, camisa número 11, resolve participar da brincadeira. Quantos são os números formados agora?
+
+## 15 As Cinco Amigas do Vôlei - Solução
+
+a) Como são 5 algarismos para permutar, temos $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120$ números diferentes.
+
+b) Se Cátia não pode ser a primeira, temos $4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=96$ números diferentes.
+
+c) Esmeralda e Bia lado a lado serão consideradas como uma só, podendo trocar de lugar uma com a outra apenas. Sendo assim, são $2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=48$ números.
+
+d) Como Fábia tem o número 11 e existe o número 1 (Ana), se as duas estiverem lado a lado e as trocarmos de lugar, continua o mesmo número. Então, vamos subtrair do total a metade da quantidade de situações nas quais elas aparecem lado a lado. Temos, portanto, $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1-5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=720-120=600$ números diferentes formados.
+
+## 16 As sequências de Jaime
+
+Jaime adora somar sequências de números inteiros consecutivos.
+
+a) Qual o resultado encontrado por Jaime, quando ele soma os 2.019 primeiros números inteiros positivos?
+
+b) Jaime soma 100 números consecutivos e encontra 17.050. Qual é o menor dos números desta sequência?
+
+c) Ao somar 180 números em sequência, Jaime encontrou como resultado 3.690. Qual é o menor deles?
+
+d) Jaime somou 100 números positivos consecutivos, mas cometeu um equívoco, trocando um deles pelo seu quadrado, obtendo assim, 7.500. Qual número foi somado ao quadrado?
+
+## 16 As sequências de Jaime - Solução
+
+a) Se o primeiro é 1 e o último 2.019, então a soma é $\frac{(1+2.019) \cdot 2.019}{2}=2.039 .190$.
+
+b) Seja $n$ o menor deles, então o maior é ( $n+99$ ). Temos, então:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{(n+n+99) \cdot 100}{2} & =17.050 \\
+2 n+99 & =341 \\
+2 n & =242 \\
+n & =121
+\end{aligned}
+$$
+
+c) Seja $n$ o menor deles, então $(n+179)$ é o maior. Assim:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{(n+n+179) \cdot 180}{2} & =3.690 \\
+2 n+179 & =41 \\
+2 n & =-138 \\
+n & =-69
+\end{aligned}
+$$
+
+d) Sejam $n$ o menor deles e $k$ o número que foi trocado por seu quadrado, então:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{(n+n+99)) \cdot 100}{2}-k+k^{2} & =7.500 \\
+50(2 n+99)+k(k-1) & =7.500 \\
+k(k-1) & =50(150-2 n-99) \\
+k(k-1) & =50(51-2 n)
+\end{aligned}
+$$
+
+Para que $2 \cdot 5^{2} \cdot(51-2 n)$ seja o produto de dois números consecutivos, devemos ter $n=1$ ou $n=19$. Portanto, temos duas situações possíveis, ou seja, o número somado ao quadrado pode ter sido 50 , se $n=1$, ou 26 , se $n=19$.
+
+## 17 Logomarca
+
+A logomarca de uma empresa deve ser criada sobrepondo-se um triângulo equilátero e um quadrado, conforme a figura. Se a medida do lado do triângulo é $12 \mathrm{~cm}$ e o lado do triângulo intercepta o lado do quadrado em seu ponto médio, qual a diferença entre a área sobreposta (escura) e a soma das áreas sem sobreposição (claras)?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-17.jpg?height=478&width=553&top_left_y=1014&top_left_x=823)
+
+## 17 Logomarca - Solução
+
+Vamos chamar a medida do lado do quadrado de $2 n$, então quatro triângulos retângulos que não foram sobrepostos (todos congruentes) tem catetos medindo $n$ e ( $6-n)$ e o triângulo equilátero não sobreposto tem lado medindo ( $4 n-12$ ).
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-17.jpg?height=450&width=516&top_left_y=1993&top_left_x=847)
+
+Como os ângulos do triângulo equilátero medem $60^{\circ}$, então:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{n}{6-n} & =\sqrt{3} \\
+n & =6 \sqrt{3}-\sqrt{3} n \\
+n(\sqrt{3}+1) & =6 \sqrt{3} \\
+n & =\frac{6 \sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} \\
+n & =9-3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}
+\end{aligned}
+$$
+
+Vamos agora ao cálculo das áreas:
+
+$$
+\begin{aligned}
+A_{\text {escura }} & =(2 n)^{2}-n(6-n) \\
+& =4 n^{2}+n^{2}-6 n \\
+& =5 n^{2}-6 n \\
+& =5(9-3 \sqrt{3})^{2}-6(9-3 \sqrt{3}) \\
+& =5(81-54 \sqrt{3}+27)-54+18 \sqrt{3} \\
+& =(486-252 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2} \\
+A_{\text {clara }}= & 2 n(6-n)+\frac{(4 n-12)^{2} \sqrt{3}}{4} \\
+= & 12 n-2 n^{2}+4 \sqrt{3}(n-3)^{2} \\
+= & 12(9-3 \sqrt{3})-2(9-3 \sqrt{3})^{2}+4 \sqrt{3}(6-3 \sqrt{3})^{2} \\
+= & 108-36 \sqrt{3}-2(81-54 \sqrt{3}+27)+4 \sqrt{3}(36-36 \sqrt{3}+27) \\
+= & 108-36 \sqrt{3}-216+108 \sqrt{3}+252 \sqrt{3}-432 \\
+= & 324 \sqrt{3}-540 \mathrm{~cm}^{2}
+\end{aligned}
+$$
+
+Portanto, a diferença entre as áreas escura e clara é $(1.026-576 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2}$.
+
+## 18 Calendário jupiteriano
+
+No Calendário Jupiteriano, os meses são Julius, Uranius, Plutônius, Ílius, Terrius, Eráclitus e Raley. Os meses que começam com consoantes possuem 17 dias e os meses que começam com vogais têm 19 dias. O ano começa em Július e segue a sequência mencionada, anteriormente, encerrando-se em Raley. Assim, como no nosso calendário, o Jupiteriano possui uma semana com 7 dias (domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta e sábado). Diógenes, um menino Jupiteriano, nasceu em 11 de Plutônio de 1999, que foi em um domingo.
+
+a) Que dia Diógenes completará 100 dias de vida?
+
+b) Que dia da semana Diógenes completará 20 anos?
+
+## 18 Calendário Jupiteriano - Solução
+
+a) Se ele nasceu em 11 de Plutônio de 1.999, viveu $17-11=6$ dias neste mês, 19 dias em Ílius, 17 dias em Terrius, 19 dias em Eraclitus, 17 dias em Raley, 17 dias em Julius e 5 em Uranius, ou seja, Diógenes completará 100 dias em 5 de Uranius de 2.000 .
+
+b) Cada ano neste calendário possui $17 \cdot 4+19 \cdot 3=68+57=125$ dias. Sendo assim, 20 anos são $20 \cdot 125=2.500$ dias. Quando dividimos 2.500 por 7, obtemos quociente 357 e resto 1, ou seja, são 357 semanas completas e mais um dia. Como Diógenes nasceu em um domingo, completará 20 anos em uma segunda (um dia após o domingo).
+
+## 19 Bronquinha e seu suco de frutas
+
+Bronquinha consegue cortar a grama de seu quintal em 3 horas, mas se ele tomar suco de frutas Gummy, ele corta em 2 horas. Em determinado dia, Bronquinha começou a cortar a grama às 10 horas e, em certo momento, tomou o suco de frutas Gummy, terminando de cortar a grama às 12 horas e 30 minutos. Que horas Bronquinha tomou o suco de frutas Gummy?
+
+## 19 Bronquinha e seu suco de frutas - Solução
+
+Seja $A$ a área de grama a ser cortada. Assim, sem tomar o suco, a velocidade com a qual
+
+Bronquinha corta a grama é $\frac{A}{3}$, enquanto que tomando o suco a velocidade é $\frac{A}{2}$. Seja $t$ o tempo que Bronquinha corta a grama sem tomar o suco, na situação proposta, temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{A}{3} \cdot t+\frac{A}{2} \cdot(2,5-t) & =A \\
+\frac{t}{3}+\frac{2,5-t}{2} & =1 \\
+2 t+7,5-3 t & =6 \\
+t & =1,5
+\end{aligned}
+$$
+
+Portanto, se Bronquinha começou a cortar a grama às $10 h$, ele tomou o suco às 11 horas e 30 minutos.
+
+## 20 A rolha hexagonal no copo d'água
+
+Luísa faz experiências com uma rolha e um copo d'água. Por conta de sua densidade, uma rolha fica com apenas $60 \%$ de seu volume imerso na água. A rolha da experiência de Luísa tem formato de um prisma hexagonal regular, ou seja, sua base é um hexágono regular, com $3 \mathrm{~cm}$ de altura $2 \mathrm{~cm}$ do diâmetro da circunferência que circunscreve a base.
+a) Se a rolha ficar "em pé", como na figura, qual a altura da parte não imersa?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-20.jpg?height=441&width=431&top_left_y=480&top_left_x=715)
+
+b) Se a rolha ficar "deitada", como na figura, qual a altura da parte não imersa, se duas das faces laterais (a de cima e a de baixo) ficarem paralelas ao nível da água?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-20.jpg?height=441&width=439&top_left_y=1392&top_left_x=711)
+
+## 20 A Rolha Hexagonal no Copo D'água - Solução
+
+a) Como a altura da rolha é de $3 \mathrm{~cm}$, e a parte fora da água corresponde a $40 \%$, então esta altura corresponde a $0,4 \cdot 3=1,2 \mathrm{~cm}$.
+b) Vamos analisar a figura abaixo, que representa uma seção transversal da rolha com sua parte inferior imersa. Vamos lembrar que um hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros e também que a altura de um triângulo equilátero de lado $R$ pode ser calculado como $\frac{R \sqrt{3}}{2}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-21.jpg?height=385&width=405&top_left_y=590&top_left_x=929)
+
+Pela figura, temos que $h$ é a altura de um triângulo equilátero de lado $2 m$, ou seja, $h=m \sqrt{3}$. Como a área não imersa é $40 \%$ da área do hexágono, temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{(R+R+2 m) \cdot h}{2} & =\frac{4}{10} \cdot \frac{6 \cdot R^{2} \sqrt{3}}{4} \\
+\left(R+\frac{\sqrt{3} h}{3}\right) h & =\frac{3}{5} \cdot R^{2} \sqrt{3} \\
+5 h^{2}+5 R h \sqrt{3}-9 R^{2} & =0 \\
+h & =\frac{-5 R \sqrt{3} \pm \sqrt{75 R^{2}+180 R^{2}}}{10} \\
+h & =\frac{-5 R \sqrt{3} \pm R \sqrt{255}}{10} \\
+h & =\frac{R}{10}( \pm \sqrt{255}-5 \sqrt{3}) .
+\end{aligned}
+$$
+
+Como $R=1 \mathrm{~cm}$, temos que a altura da parte da rolha não imersa é $h=\frac{\sqrt{255}-5 \sqrt{3}}{10}$ $\mathrm{cm}$
+
+## 21 Estacionamento lotado
+
+Em um estacionamento existem motos, carros, ônibus e caminhões, em um total de 80 veículos e 540 rodas. Cada moto tem 2 rodas, cada carro tem 4, cada ônibus tem 6 e cada caminhão tem 8. O número de carros é a soma do número de motos com o número de ônibus. Quantos são os caminhões neste estacionamento, se este número é menor que 50 ?
+
+## 21 Estacionamento lotado-Solução
+
+Sejam as quantidades de motos, carros, ônibus e caminhões iguais a $m, k, o$ e $c$ respectivamente. Organizando as informações, temos:
+
+$$
+\left\{\begin{array}{cccc}
+m+k+o+c & = & 80 & (I) \\
+2 m+4 k+6 o+8 c & = & 540 & (I I) \\
+k & = & m+o & (I I I)
+\end{array}\right.
+$$
+
+Substituindo (III) em (II) e (I), chegamos a:
+
+$$
+\left\{\begin{array}{ccc}
+2 m+2 o+c & =80 & (I V) \\
+3 m+5 o+4 c & =270 & (V)
+\end{array}\right.
+$$
+
+Substituindo (IV) em (V), temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+3 m+5 o+4(80-2 m-2 o) & =270 \\
+3 m+5 o+320-8 m-8 o & =270 \\
+5 m+3 o & =50 \\
+o & =\frac{50-5 m}{3}
+\end{aligned}
+$$
+
+Voltando a (IV), temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+2 m+2\left(\frac{50-5 m}{3}\right)+c & =80 \\
+c & =80-2 m+\frac{10 m-100}{3} \\
+c & =\frac{4 m+140}{3}
+\end{aligned}
+$$
+
+Substituindo agora os resultados encontrados em (I), chegamos a:
+
+$$
+\begin{aligned}
+m+k+\frac{50-5 m}{3}+\frac{4 m+140}{3} & =80 \\
+k & =\frac{50-2 m}{3}
+\end{aligned}
+$$
+
+Chegamos, assim, à solução do sistema
+
+$$
+\{(m, k, o, c)\}=\left\{\left(m, \frac{50-2 m}{3}, \frac{50-5 m}{3}, \frac{4 m+140}{3}\right)\right\}
+$$
+
+De $o=\frac{50-5 m}{3} \in \mathbb{N}$, concluímos que $m \in\{1,4,7,10\}$. Vamos analisar cada um dos casos:
+
+| caso | $m$ | $k$ | $o$ | $c$ |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| $1^{\circ}$ | 1 | 16 | 15 | 48 |
+| $2^{\circ}$ | 4 | 14 | 10 | 52 |
+
+
+| caso | $m$ | $k$ | $o$ | $c$ |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| $3^{\circ}$ | 7 | 12 | 5 | 56 |
+| $4^{\circ}$ | 10 | 10 | 0 | 60 |
+
+Como a quantidade de caminhões deve ser menor que 50, são 48 caminhões no estacionamento.
+
+## 22 As pedras do lago
+
+Às margens de um lago circular, existem pedras numeradas de 1 a 10, no sentido horário. O sapo Frog parte da pedra 1 e salta no sentido horário apenas nestas 10 pedras.
+
+a) Se Frog salta de 2 em 2 pedras, ou seja, ele vai da pedra 1 para a 3, da 3 para a 5 e assim por diante, após 100 saltos em que pedra estará?
+
+b) Se no primeiro salto, Frog vai para a pedra 2, no segundo para a pedra 4, no terceiro para a pedra 7, ou seja, em cada salto ele pula uma pedra a mais que no salto anterior. Em que pedra Frog estará após 100 saltos?
+
+## 22 As pedras do lago-Solução
+
+a) Depois de 5 saltos, Frog volta para a pedra 1 e incia a mesma sequência. Como 100 é múltiplo de 5 , no $100^{\circ}$ salto ele vai para a pedra 1 .
+
+b) No $1^{\circ}$ salto ele se desloca 1 pedra; no $2^{\circ}, 2$ pedras; no $3^{\circ}, 3$ pedras e assim até $o$ último salto quando se desloca 100 pedras. O total de deslocamentos foi de $\frac{(1+100) \cdot 100}{2}=$ 5.050. Como a cada 10 deslocamentos, ele volta para a pedra 1 e 5.050 é múltiplo de 10, após 100 saltos, Frog volta para a pedra 1.
+
+## 23 Retas paralelas, quadrado e triângulos
+
+Sobre uma reta $r$, marcam-se os pontos $A$ e $B$, e sobre uma reta $s$, paralela à $r$, marcam-se os pontos $C$ e $D$, de maneira que $A B C D$ seja um quadrado. Marca-se também o ponto $E$ no segmento $C D$.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-23.jpg?height=434&width=760&top_left_y=1998&top_left_x=722)
+a) Qual a razão entre as áreas dos triângulos $A B E$ e $B C D$, se $E$ for o ponto médio de $C D$ ?
+
+b) Qual a razão $\frac{D E}{E C}$, para que a área do triângulo $B F E$ seja o dobro da área do $D F E$, sendo $F$ a intersecção dos segmentos $A E$ e $B D$ ?
+
+## 23 Retas paralelas, quadrado e triângulos - Solução
+
+a) Seja $2 k$ a área do quadrado $A B C D$, então a área do triângulo $A B E$ é igual $k \mathrm{e}$ a área do triângulo $B C D$ também é igual a $k$, portanto, a razão entre as áreas é 1 .
+
+b) Se $\frac{A_{B F E}}{A_{D F E}}=2$, então $\frac{B F}{F D}=2$. Se $r / / s$, então $\triangle A B F \sim \triangle D E F$, de razão 2 e, consequentemente, $\frac{A B}{D E}=2$, segue que $E$ é o ponto médio do segmento $C D$, ou seja, $\frac{D E}{E C}=1$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-24.jpg?height=449&width=769&top_left_y=1158&top_left_x=546)
+
+## 24 O quadrilátero dentro do quadrado
+
+Considere o quadrado $A B C D$ com lados de comprimento 1 , como no desenho a seguir. Um segmento horizontal $E W$ e um segmento vertical $N S$, ambos de comprimento $1 / 2$, estão inteiramente dentro do quadrado e se intersectam no ponto $X$ formando um ângulo de $90^{\circ}$.
+
+a) Qual a área do quadrilátero NESW?
+
+b) Qual a soma das áreas dos triângulos $E D N, A E S, B S W$ e $C N W$ ?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-25.jpg?height=555&width=534&top_left_y=254&top_left_x=843)
+
+## 24 O quadrilátero dentro do quadrado - Solução
+
+a) A área do quadrilátero $N E S W$ é dada por
+
+$$
+\begin{aligned}
+A_{N E S W} & =A_{E N W}+A_{E S W} \\
+& =\frac{E W \cdot N X}{2}+\frac{E W \cdot X S}{2} \\
+& =\frac{E W \cdot(N X+X S)}{2} \\
+& =\frac{1 / 2 \cdot 1 / 2}{2} \\
+& =\frac{1}{8}
+\end{aligned}
+$$
+
+b) A soma das áreas dos triângulos $C D N$ e $A B S$ é $1 / 4$, pois cada um tem base de comprimento 1 e suas alturas somam $1 / 2$. Analogamente, a soma das áreas dos triângulos $A E D$ e $B C W$ é também 1/4. A soma das áreas dos quatro triângulos mencionados no enunciado é o complementar das áreas dos triângulos $C D N, A B S, A D E, B C W$ e do quadrilátero $N E S M$, portanto, a área procurada é
+
+$$
+1-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3}{8}
+$$
+
+## 25 Transformações multissômicas
+
+Liu e Lia brincam no quadro da sala de aula. Um deles escreve dois números naturais positivos e o outro tem que fazer transformações MULTISSÔMICAS até transformar o menor no maior. Transformação MULTISSÔMICA é trocar um número $a=m+n$ por $m \cdot n$, por exemplo, podemos trocar 10 por $2 \cdot 8=16$.
+a) Liu escreve no quadro 6 e 15. Mostre como Lia pode transformar 6 em 15.
+
+b) Lia escreve 5 e 2.019. Mostre como Liu pode fazer a transformação.
+
+c) A professora gostou da brincadeira e resolveu participar, escrevendo 7 e $x$ e perguntou quantos são os possíveis valores de $x$ para transformar 7 em $x$ com exatamente duas transformações MULTISSÔMICAS. Qual deve ser a resposta de Liu e Lia?
+
+## 25 Transformaç̃̃es Multissômicas - Solução
+
+a) Temos:
+
+$$
+6=2+4 \rightarrow 2 \cdot 4=8 \rightarrow 8=3+5 \rightarrow 3 \cdot 5=15
+$$
+
+b) Qualquer natural positivo $n$ pode ser escrito como $n=(n-1)+1 \mathrm{e}$, consequentemente, pode ser transformado em $(n-1)$. Começando com 5 , temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+5=2+3 \rightarrow 2 \cdot 3= & 6 \rightarrow 6=3+3 \rightarrow 3 \cdot 3=9 \rightarrow 9=4+5 \rightarrow 4 \cdot 5=20 \rightarrow 20=10+10 \rightarrow \\
+& 10 \cdot 10=100 \rightarrow 100=30+70 \rightarrow 30 \cdot 70=2.100 .
+\end{aligned}
+$$
+
+A partir de agora basta transformar cada número no seu antecessor até chegarmos a 2.019 .
+
+c) O 7 pode ser transformado em 3 números $(1 \cdot 6=6,2 \cdot 5=10$ e $3 \cdot 4=12)$. Vamos analisar cada um dos casos:
+
+I) 6: são 3 transformações $(1 \cdot 5=5,2 \cdot 4=8$ e $3 \cdot 3=9)$;
+
+II) 10: são 5 transformações $(1 \cdot 9=9,2 \cdot 8=16,3 \cdot 7=21,4 \cdot 6=24,5 \cdot 5=25)$;
+
+III) 12: são 6 transformações $(1 \cdot 11=11,2 \cdot 10=20,3 \cdot 9=27,4 \cdot 8=32,5 \cdot 7=35$, $6 \cdot 6=36)$.
+
+Encontramos, portanto, 13 valores diferentes para $x$.
+
+## 26 Cidades, rodovias, ferrovia
+
+As cidades A, B e C estão posicionadas nos vértices de um triângulo equilátero com 60 $\mathrm{km}$ de lado. Entre elas, ligando duas a duas, existem três rodovias, $A B, A C$ e $B C$, todas em linha reta. Uma ferrovia será construída, também em linha reta, devendo interceptar $A B$ a $30 \mathrm{~km}$ de $A ; A C$ a $20 \mathrm{~km}$ de $C$; e, por fim, a rodovia $B C$, depois de $C$.
+
+a) Se $h_{1}, h_{2}$ e $h_{3}$ são as distâncias de $A, B$ e $C$ para a ferrovia, respectivamente, verifique que
+
+$$
+\frac{A D}{B D}=\frac{h_{1}}{h_{2}}, \quad \frac{B F}{C F}=\frac{h_{2}}{h_{3}}, \quad \mathrm{e} \quad \frac{C E}{A E}=\frac{h_{3}}{h_{1}}
+$$
+
+b) Qual a distância entre a cidade $C$ e a intersecção entre a ferrovia e a rodovia $B C$ ?
+
+## 26 Cidades, Rodovias, Ferrovia - Solução
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-27.jpg?height=439&width=870&top_left_y=1081&top_left_x=670)
+
+a) Na figura anterior, os triângulos retângulos $\triangle A D I$ e $\triangle B G D$ possuem os mesmos ângulos, pois $\angle A D I=\angle G D B$ e $\angle A I D=\angle D G B=90^{\circ}$. Portanto, eles são semelhantes e daí
+
+$$
+\frac{A D}{B D}=\frac{h_{1}}{h_{2}}
+$$
+
+As demais igualdades decorrem das semelhanças $\triangle B G F \sim \triangle C H F$ e $\triangle C E H \sim \triangle A E I$.
+
+b) Se denotarmos a distância $C F$ por $x$, pelo item anterior temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{A D}{D B} \cdot \frac{B F}{F C} \cdot \frac{C E}{E A} & =\frac{h_{1}}{h_{2}} \cdot \frac{h_{2}}{h_{3}} \cdot \frac{h_{3}}{h_{1}} \\
+\frac{30}{30} \cdot \frac{60+x}{x} \cdot \frac{20}{40} & =1 \\
+60+x & =2 x \\
+x & =60 .
+\end{aligned}
+$$
+
+Portanto, a distância do ponto de intersecção da rodovia $B C$ com a ferrovia à cidade $C$ é $60 \mathrm{~km}$.
+
+## 27 Frações semelhantes
+
+Dois inteiros positivos $x$ e $y$ são tais que:
+
+$$
+\frac{2010}{2011}<\frac{x}{y}<\frac{2011}{2012}
+$$
+
+Encontre o menor valor possível para a soma $x+y$.
+
+## 27 Frações semelhantes - Solução
+
+Como $\frac{2011}{2012}<1$, temos $x<y$ e assim $x=y-d$, com $d$ inteiro positivo. De
+
+$$
+\frac{2011-1}{2011}<\frac{y-d}{y}<\frac{2012-1}{2012}
+$$
+
+segue que
+
+$$
+\frac{1}{2012}<\frac{d}{y}<\frac{1}{2011}
+$$
+
+Assim,
+
+$$
+2011 d<y<2012 d
+$$
+
+Se $d=1$, a desigualdade (1) não possui solução inteira. Se $d=2$, a única possibilidade é $y=4023$. Nesse caso, $x+y=8044$. Para $d \geq 3$,
+
+$$
+\begin{aligned}
+x+y & =2 y-d \\
+& >4021 d \\
+& \geq 12063
+\end{aligned}
+$$
+
+Consequentemente, o valor mínimo da soma é obtido com $d=2$ e nesse caso $x+y=8044$.
+
+## 28 O número de dígitos
+
+Seja $m=999 \ldots 99$ o número formado por 77 dígitos iguais a 9 e seja $n=777 \ldots 77$ o número formado por 99 dígitos iguais a 7. Qual o número de dígitos de $m \cdot n$ ?
+
+## 28 O número de dígitos - Solução
+
+Como $m+1=10^{77}$, perceba que:
+
+$$
+\begin{aligned}
+m \cdot n & =(m+1) \cdot n-n \\
+& =\underbrace{777 \ldots 77}_{99} \underbrace{000 \ldots 00}_{77}-\underbrace{777 \ldots 77}_{99} .
+\end{aligned}
+$$
+
+Como $\underbrace{777 \ldots 77}_{99} \underbrace{000 \ldots 00}_{77}$ possui $99+77$ dígitos e $\underbrace{777 \ldots 77}_{99}$ é menor que $\underbrace{777 \ldots 77}_{175}$, o resultado da subtração anterior ainda terá 176 dígitos.
+
+## 29 A folha de papel dobrada
+
+Uma folha de papel com lados de comprimentos $1 \mathrm{~cm}$ e $\sqrt{2} \mathrm{~cm}$ foi dobrada, como mostrado na figura abaixo, de modo que um vértice fique sobre o lado oposto. Qual o valor do comprimento $d$ em centímetros?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-29.jpg?height=386&width=449&top_left_y=854&top_left_x=883)
+
+## 29 A folha de papel dobrada - Solução
+
+Desdobrando a folha de papel, obtemos o retângulo $B C D F$. Daí $B C=D F=D E$ e $A F=$ $A E=x \mathrm{~cm}$. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $C D E$, temos
+
+$$
+C E=\sqrt{D E^{2}-C D^{2}}=\sqrt{2-1}=1
+$$
+
+Consequentemente, $B E=(\sqrt{2}-1) \mathrm{cm}$ e o triângulo $C E D$ é retângulo isósceles. Como $\angle A E D=90^{\circ}$, isso nos leva a $\angle B E A=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$. Daí, $A B E$ também é um triângulo retângulo isósceles e $d=B E=(\sqrt{2}-1) \mathrm{cm}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-29.jpg?height=380&width=452&top_left_y=1999&top_left_x=879)
+
+Observação: Como $C D=B F=1 \mathrm{~cm}$, podemos concluir que $x=(1-d) \mathrm{cm}$. Novamente usando o Teorema de Pitágoras, dessa vez no triângulo $A B E$, obtemos
+
+$$
+\begin{aligned}
+A B^{2}+B E^{2} & =A E^{2} \\
+d^{2}+(\sqrt{2}-1)^{2} & =(1-d)^{2} \\
+d^{2}+2-2 \sqrt{2}+1 & =1-2 d+d^{2} \\
+d & =\sqrt{2}-1 \mathrm{~cm}
+\end{aligned}
+$$
+
+## 30 O triângulo dobrado
+
+Na figura a seguir, $A B C$ é um triângulo equilátero de papel com lado $1 \mathrm{~m}$ que foi dobrado ao longo do segmento $E F$ de modo que o vértice $A$ caísse sobre o lado $B C$, onde está o ponto $D$ na figura. Suponha que $D F$ é perpendicular a $B C$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-30.jpg?height=507&width=561&top_left_y=1100&top_left_x=629)
+
+a) Determine o ângulo $\angle A E D$.
+
+b) Determine o comprimento do segmento $C D$.
+
+c) Determine a razão entre as áreas dos triângulos $A E F$ e $A B C$.
+
+## 30 O triângulo dobrado - Solução
+
+a) Como $\angle F D C=90^{\circ}$, segue que $\angle D F C=30^{\circ}$ e $\angle A F D=180^{\circ}-\angle D F C=150^{\circ}$. A dobradura ao longo de $E F$ nos diz que os triângulos $A E F$ e $D E F$ são congruentes. Daí $\angle A F E=\angle E F D=\frac{150^{\circ}}{2}=75^{\circ}$ e $\angle A E F=180^{\circ}-75^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}$. Consequentemente, $\angle A E D=2 \cdot 45^{\circ}=90^{\circ}$.
+b) Seja $x$ o comprimento de $C D$, então $\frac{C D}{C F}=\operatorname{sen} 30^{\circ}=1 / 2 \mathrm{e}$ assim $C F=2 x$. Além disso, $\frac{D F}{C F}=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Logo, $A F=D F=\sqrt{3} x$. Finalmente, $1=A F+F C=\sqrt{3} x+2 x$ implica $x=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=(2-\sqrt{3}) \mathrm{m}$.
+
+c) Como $\angle E A F=\angle E D F=60^{\circ}$, segue que $\angle E D B=30^{\circ}$. Além disso, $\angle B E D=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$ e $B D=1-C D=\sqrt{3}-1$. Portanto, de $\frac{B E}{B D}=\operatorname{sen} 30^{\circ}=\frac{1}{2}$, temos $B E=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ e $A E=1-B E=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$. Assim
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{A_{A E F}}{A_{A B C}} & =\frac{\frac{A E \cdot A F \cdot \operatorname{sen} \angle E A F}{2}}{\frac{A B \cdot A C \cdot \operatorname{sen} \angle E A F}{2}} \\
+& =\frac{(3-\sqrt{3}) \cdot(2 \sqrt{3}-3)}{2} \\
+& =\frac{9 \sqrt{3}-15}{2}
+\end{aligned}
+$$
+
+## 31 Ângulo no quadrado
+
+Na figura abaixo, todos os quadradinhos do tabuleiro são iguais. Qual o valor do ângulo $\angle A E F$ ? Justifique.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-31.jpg?height=391&width=343&top_left_y=1901&top_left_x=931)
+
+## 31 Ângulo no quadrado-Solução
+
+Marque os pontos $G$ e $H$ como indicados na figura. Os triângulos $E F G$ e $A E H$ correspondem a metade de um retângulo $1 \times 3$ e consequentemente $\angle F E G=\angle E A H$ e $\angle E F G=$ $\angle A E H$. Como esses triângulos são retângulos, temos $\angle E A H+\angle A E H=90^{\circ}$. Assim
+
+$$
+\begin{aligned}
+\angle A E F & =180^{\circ}-(\angle A E H+\angle F E G) \\
+& =180^{\circ}-90^{\circ} \\
+& =90^{\circ}
+\end{aligned}
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-32.jpg?height=383&width=331&top_left_y=826&top_left_x=736)
+

Brazilian_MO/md/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_3.md

@@ -0,0 +1,1555 @@
+# 1 A fração da área 
+
+Na figura a seguir, $A B C$ é um triângulo equilátero, $D, E$ e $F$ são seus pontos médios e $P$ é o seu centro. Qual a fração que a área sombreada representa do total do triângulo $A B C$ ?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-01.jpg?height=397&width=407&top_left_y=1250&top_left_x=904)
+
+## 1 A fração da área-Solução
+
+Os pontos $I, G$ e $H$ são as interseções dos segmentos $D E, E F$ e $D F$ com os segmentos $A P$, $B P$ e $C P$. Pela simetria da figura, as áreas dos quadriláteros EIPG, DIPH e $F G P H$ medem o mesmo valor $x \mathrm{~cm}^{2}$. Além disso, pelo mesmo argumento, as áreas dos triângulos $A E I$ e $A D I$ também medem um mesmo valor $y \mathrm{~cm}^{2}$. Os triângulos $A D E, D E F, D B F$ e $C E F$ possuem a mesma área $S \mathrm{~cm}^{2}$ e assim $x=S / 3$ e $y=S / 2$. A fração procurada é
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{A_{A E G P}}{A_{A B C}} & =\frac{y+x}{4 S} \\
+& =\frac{S / 2+S / 3}{4 S} \\
+& =\frac{5}{24}
+\end{aligned}
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-02.jpg?height=394&width=394&top_left_y=263&top_left_x=712)
+
+## 2 A soma de frações
+
+a) Encontre o valor da soma
+
+$$
+\frac{1}{1+1 / x}+\frac{1}{1+x}
+$$
+
+b) Encontre o valor da soma
+
+$$
+\frac{1}{2019^{-2019}+1}+\ldots+\frac{1}{2019^{-1}+1}+\frac{1}{2019^{0}+1}+\frac{1}{2019^{1}+1}+\ldots+\frac{1}{2019^{2019}+1}
+$$
+
+## 2 A soma de frações - Solução
+
+a) Temos
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{1}{1+1 / x}+\frac{1}{1+x} & =\frac{1}{(x+1) / x}+\frac{1}{1+x} \\
+& =\frac{x}{1+x}+\frac{1}{1+x} \\
+& =1
+\end{aligned}
+$$
+
+b) Em virtude do item anterior, considerando $x=a^{b}$, podemos agrupar as frações $\frac{1}{a^{-b}+1}$ $\mathrm{e} \frac{1}{a^{b}+1}$ em pares que somam 1. Retirando o termo $\frac{1}{2019^{0}+1}=1 / 2$, podemos reescrever a soma dos termos restantes como
+
+$$
+\begin{aligned}
+& \left(\frac{1}{2019^{-2019}+1}+\frac{1}{2019^{2019}+1}\right)+\left(\frac{1}{2019^{-2018}+1}+\frac{1}{2019^{2018}+1}\right)+ \\
+& \left(\frac{1}{2019^{-2017}+1}+\frac{1}{2019^{2017}+1}\right)+\left(\frac{1}{2019^{-2016}+1}+\frac{1}{2019^{2016}+1}\right)+\ldots
+\end{aligned}
+$$
+
+A soma desses 2019 pares é 2019. Assim, a soma pedida vale $2019+1 / 2=\frac{4039}{2}$.
+
+## 3 Razões de segmentos
+
+Na figura abaixo, $D$ é o ponto médio do lado $A B, C E: D E=5: 3 \mathrm{e} B F: E F=1: 3$. Se a área do triângulo $A B C$ é $192 \mathrm{~cm}^{2}$, determine a área do triângulo $B D F$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-03.jpg?height=481&width=547&top_left_y=616&top_left_x=826)
+
+## 3 Razões de segmentos - Solução
+
+Denote os comprimentos de $B D, B F$ e $D E$ por $x, z$ e $3 y$, respectivamente. Em virtude das proporções dadas, segue que $E F=3 z, C E=5 y$ e $A D=x$. Portanto,
+
+$$
+\begin{aligned}
+& \frac{A_{B D F}}{A_{B D E}}=\frac{z}{3 z+z} \\
+& \frac{A_{B D E}}{A_{C D B}}=\frac{3 y}{3 y+5 y} \\
+& \frac{A_{C D B}}{A_{A B C}}=\frac{x}{x+x}
+\end{aligned}
+$$
+
+Multiplicando essas equações, temos
+
+$$
+\frac{A_{B D F}}{A_{A B C}}=\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2}
+$$
+
+Daí,
+
+$$
+A_{B D F}=\frac{192 \cdot 3}{64}=9
+$$
+
+Observação: Estamos denotando a área do triângulo $X Y Z$ por $A_{X Y Z}$.
+
+## 4 A área sombreada
+
+Na figura a seguir, os quadrados $A B C D$ e $C E F G$ possuem o mesmo comprimento de lado. Determine a razão entre a área sombreada e a área do quadrado $A B C D$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-04.jpg?height=577&width=497&top_left_y=502&top_left_x=632)
+
+## 4 A área sombreada - Solução
+
+Denote por $l$ o comprimento dos lados dos quadrados. Pelo Teorema de Pitágoras, $A C=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}=\sqrt{2} l$. Seja $H$ a interseção de $A D$ e $E F$. Como $C E=l$, segue que $A E=\sqrt{2} l-l=(\sqrt{2}-1) l$. De $\angle D A C=45^{\circ}$ e $\angle A E H=90^{\circ}$, podemos concluir que $A E H$ é um triângulo retângulo isósceles e daí $H E=A E=(\sqrt{2}-1) l$ e $A H=\sqrt{2} \cdot A E=(2-\sqrt{2}) l$. Logo, $D H=l-(2-\sqrt{2}) l=(\sqrt{2}-1) l$ e as áreas dos triângulos $H E C$ e $H D C$ valem:
+
+$$
+\begin{aligned}
+{[C E H] } & =\frac{E H \cdot C E}{2} \\
+& =\frac{(\sqrt{2}-1) l^{2}}{2} \\
+{[C D H] } & =\frac{D H \cdot D C}{2} \\
+& =\frac{(\sqrt{2}-1) l^{2}}{2}
+\end{aligned}
+$$
+
+Assim, a área sombreada mede $[A B C D]-[C E H]-[C D H]=l^{2}-(\sqrt{2}-1) l^{2}=(2-\sqrt{2}) l^{2}$. Finalmente, o quociente procurado é
+
+$$
+\frac{[A B C E H]}{[A B C D]}=\frac{(2-\sqrt{2}) l^{2}}{l^{2}}=2-\sqrt{2}
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-05.jpg?height=582&width=497&top_left_y=248&top_left_x=843)
+
+## 5 Uma fatoração diferente
+
+Os três inteiros positivos $a, b$ e $c$ satisfazem
+
+$$
+4^{a} \cdot 5^{b} \cdot 6^{c}=8^{8} \cdot 9^{9} \cdot 10^{10}
+$$
+
+Determine o valor de $a+b+c$.
+
+## 5 Uma fatoração diferente - Solução
+
+$$
+\begin{aligned}
+4^{a} \cdot 5^{b} \cdot 6^{c} & =8^{8} \cdot 9^{9} \cdot 10^{10} \\
+2^{2 a+c} \cdot 5^{b} \cdot 3^{c} & =2^{24} \cdot 3^{18} \cdot 5^{10} \cdot 2^{10} \\
+2^{2 a+c-34} \cdot 3^{c-18} \cdot 5^{b-10} & =1
+\end{aligned}
+$$
+
+Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, todos os expoentes do membro esquerdo da última equação são nulos. Daí, $c=18,2 a+c=34 \mathrm{e} b=10$. Substituindo o valor de $c$ na segunda equação, encontramos $a=8$. Portanto, $a+b+c=18+8+10=36$.
+
+## 6 Ojogo das trocas
+
+Em um determinado jogo, o número 1 está escrito no quadro. Em qualquer momento, um movimento permitido consiste em trocar o número escrito no quadro pelo seu dobro ou por outro número que possui os mesmos dígitos que ele. Por exemplo, se estiver escrito no quadro o número 137, um movimento permitido consiste em trocá-lo por $137 \cdot 2=274$ ou por 173, 317, 371, 713 ou 731. Determine se após um número finito de operações é possível obtermos os seguintes números:
+
+a) $10^{3}$.
+b) $10^{9}$.
+
+c) 9876543210 .
+
+## 6 O jogo das trocas - Solução
+
+a) Sim, é possível. Após realizar o movimento de multiplicação por 2 nove vezes, podemos trocar o 1 original por $2^{9}=512$. Em seguida, podemos trocá-lo por 125 . Multiplicando-o por 2 três vezes, podemos trocá-lo por $125 \cdot 2^{3}=1000$.
+
+b) Sim, também é possível. Note que $1000=1 \cdot 10^{3}$. Podemos repetir as operações do item anterior trocando o fator 1 por $10^{3}$ :
+
+$$
+1 \cdot 10^{3} \rightarrow 512000 \rightarrow 125000 \rightarrow 1000000 .
+$$
+
+Esse último número pode ser escrito como $1 \cdot 10^{6}$. Novamente, repetindo as operações do primeiro item, podemos obter as seguintes trocas:
+
+$$
+1 \cdot 10^{6} \rightarrow 512 \cdot 10^{6} \rightarrow 125 \cdot 10^{6} \rightarrow 1000 \cdot 10^{6}
+$$
+
+Esse último número é igual a $10^{9}$.
+
+c) Não é possível. Quando um número que não é múltiplo de 3 é multiplicado por 2, ele continua sendo um número que não é múltiplo de 3 . Em virtude do critério de divisibilidade por 3, o mesmo acontece quando permutamos os seus dígitos. Como o número inicial não é divisível por 3, não é possível após algumas das operações descritas trocá-lo por qualquer múltiplo de 3. Como a soma dos dígitos de 987654321 é um múltiplo de 3, é impossível obtê-lo.
+
+## 7 As áreas dos quadrados
+
+Na figura a seguir, o quadrado maior possui área de $1 \mathrm{~cm}^{2}$ e o quadrado do meio área $M$. A área do quadrado menor, que possui um vértice sobre um lado do quadrado do meio, é $N$. Qual o valor de $N$ em função de $M$ ?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-07.jpg?height=428&width=426&top_left_y=584&top_left_x=887)
+
+## 7 As áreas dos quadrados - Solução
+
+Sejam $A Q=x \mathrm{~cm}, Q R=a \mathrm{~cm}$ e $A G=s \mathrm{~cm}$. Como a área do quadrado maior é $1 \mathrm{~cm}^{2}$, segue que $A D=1 \mathrm{~cm}$. Os triângulos retângulos $A R Q$ e $D Q P$ possuem os mesmos ângulos, pois
+
+$$
+\begin{aligned}
+\angle A Q R & =180^{\circ}-\angle P Q R-\angle D Q P \\
+& =90^{\circ}-\angle D Q P \\
+& =\angle D P Q
+\end{aligned}
+$$
+
+Como $Q R=Q P$, os triângulos $D P Q$ e $A Q R$ são congruentes. Assim, $A R=D Q=1-x$. De $Q F \| A R$, segue que os triângulos $Q G F$ e $Q A R$ são semelhantes e assim
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{s}{1-x} & =\frac{x-s}{x} \\
+s x & =x-x^{2}-s+s x \\
+s & =x-x^{2}
+\end{aligned}
+$$
+
+Pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo $Q A R$, segue que
+
+$$
+\begin{aligned}
+(1-x)^{2}+x^{2} & =a^{2} \\
+1-a^{2} & =2 x-2 x^{2} \\
+1-M & =2 s
+\end{aligned}
+$$
+
+Daí,
+
+$$
+N=s^{2}=\left(\frac{1-M}{2}\right)^{2}
+$$
+
+## 8 As somas dos elementos do conjunto
+
+Um conjunto contém 4 números. As seis somas de dois elementos desse conjunto são 189, 320, 287, 264, $x$ e $y$. Encontre o maior valor possível para $x+y$.
+
+## 8 As somas dos elementos do conjunto - Solução
+
+Sejam $a, b, c$ e $d$ os quatro números do conjunto. Temos dois casos a considerar:
+I) $x=a+b$ e $y=c+d$ (somas sem parcelas em comum). Então $a+c, a+d, b+c$ e $b+d$ são, em alguma ordem, os números 189, 320, 287 e 264. Adicionando essas quatro somas, obtemos $a+b+c+d=530$. Assim, $x+y=530$.
+
+II) $x=a+b$ e $y=a+c$ (somas com uma parcela em comum). Nesse caso, $a+d, b+c$, $b+d$ e $c+d$ são, em alguma ordem, os números 189, 320, 287 e 264. Temos a seguinte estimativa:
+
+$$
+\begin{aligned}
+x+y & =2(a+d)+2(b+c)-(b+d)-(c+d) \\
+& \leq 2(320+287)-(264+189) \\
+& =761
+\end{aligned}
+$$
+
+Esse valor pode ser obtido com o exemplo $(a, b, c, d)=(237,181,106,83)$.
+
+## 9 O quadrado dentro do triângulo
+
+No triângulo retângulo isósceles $A O B$, os pontos $P, Q$ e $S$ são escolhidos sobre os lados $O B, O A$ e $A B$, respectivamente, de modo que $P Q R S$ é um quadrado. Se os comprimentos de $O P$ e $O Q$ são $a$ e $b$, respectivamente, e a área do quadrado $P Q R S$ é $2 / 5$ da área do triângulo $A O B$, determine o valor de $a / b$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-09.jpg?height=439&width=429&top_left_y=592&top_left_x=901)
+
+## 9 O quadrado dentro do triângulo - Solução
+
+Seja $C$ o pé da perpendicular do ponto $S$ ao segmento $O B$. Os triângulos $S P C$ e $P Q O$ possuem os mesmos ângulos, pois
+
+$$
+\begin{aligned}
+\angle C P S & =\angle 180^{\circ}-\angle S P Q-\angle O P Q \\
+& =90^{\circ}-\angle O P Q \\
+& =\angle P Q O
+\end{aligned}
+$$
+
+Como $P S=P Q$, esses triângulos são congruentes pelo caso A.L.A. Assim $P C=b, C S=a$. Uma vez que $B S C$ é um triângulo retângulo isósceles, obtemos $O B=2 a+b$. Consequentemente, a área do triângulo $A O B$ é $(2 a+b)^{2} / 2$. Pelo Teorema de Pitágoras, a área do quadrado $P Q R S$ é $P Q^{2}=a^{2}+b^{2}$. Daí
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{A_{P Q R S}}{A_{O A B}} & =\frac{2}{5} \\
+5\left(a^{2}+b^{2}\right) & =(2 a+b)^{2} \\
+a^{2}+4 b^{2} & =4 a b \\
+(a-2 b)^{2} & =0
+\end{aligned}
+$$
+
+Assim, $a=2 b$ e a razão procurada é $a / b=2$.
+
+## 10 As diagonais do trapézio
+
+Considere o trapézio $A B C D$ de bases $B C$ e $A D$ de modo que $A B=B C=C D=5$ e $A D=10$. Seja $E$ o ponto de interseção das diagonais $A C$ e $B D$. A reta perpendicular a $A C$ traçada por $E$ intersecta o prolongamento de $A B$ em $F$ e a base $A D$ em $H$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-10.jpg?height=553&width=870&top_left_y=289&top_left_x=485)
+
+a) Determine o comprimento de $A H$.
+
+b) Determine o comprimento de $A E$.
+
+c) Encontre a área do quadrilátero $A F C H$.
+
+## 10 As diagonais do trapézio - Solução
+
+a) Inicialmente, verificaremos que $A B C D$ é metade de um hexágono regular. Seja $M \mathrm{o}$ ponto médio de $A D$. Como $B C$ e $A M$ são iguais e paralelos, $A B C M$ é um paralelogramo. Além disso, como $A M=A B=B C$, segue que $C M=A B=C D=D M$. Assim, $C D M$ é um triângulo equilátero. De modo semelhante, podemos obter $B M=C M=$ $C D$. Daí os triângulos $A B M, B C M$ e $C D M$ são congruentes e a circunferência de centro $M$ e raio $C M$ passa por $A, B, C$ e $D$. Logo
+
+$$
+\angle B A D=60^{\circ} \text { e } \angle A B C=180^{\circ}-\angle B A M=120^{\circ}
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-10.jpg?height=288&width=576&top_left_y=1791&top_left_x=627)
+
+De $A B=B C$ segue que $\angle B A C=\angle B C A=\angle C A D$. Assim, $\angle B A C=\angle C A D=30^{\circ}$. Como $F H \perp A E$, temos $\triangle A F H$ equilátero. Além disso, $\angle A C D=\angle D B A=90^{\circ}$. Portanto, $E H \| C D$. Como os triângulos $\triangle B E C$ e $\triangle A E D$ são semelhantes, temos
+
+$$
+\frac{A H}{H D}=\frac{A E}{E C}=\frac{10}{5}=2
+$$
+
+Por conseguinte $H D=10 / 3$ e $A H=20 / 3$.
+b) No triângulo retângulo $A E H$, temos
+
+$$
+A E=A H \cdot \cos 30^{\circ}=\frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{10 \sqrt{3}}{3}
+$$
+
+c) Como as diagonais de $A F C H$ são perpendiculares, temos $[A F C H]=\frac{A C \cdot F H}{2}$. Pelo Teorema de Pitágoras, segue que
+
+$$
+A C=\sqrt{A D^{2}-C D^{2}}=\sqrt{100-25}=5 \sqrt{3}
+$$
+
+Outra forma de obter o comprimento desse segmento é calcular
+
+$$
+A C=A D \cdot \cos 30^{\circ}=5 \sqrt{3}
+$$
+
+Daí,
+
+$$
+\begin{aligned}
+A_{A F C H} & =\frac{A C \cdot F H}{2} \\
+& =\frac{A C \cdot A H}{2} \\
+& =\frac{5 \sqrt{3} \cdot 20 / 3}{2} \\
+& =\frac{50 \sqrt{3}}{3}
+\end{aligned}
+$$
+
+## 11 O valor do ângulo $x$
+
+No desenho a seguir, $\angle C B G=20^{\circ}, \angle G B E=40^{\circ}, \angle E B F=20^{\circ}, \angle B C F=50^{\circ}$ e $\angle F C E=30^{\circ}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-11.jpg?height=603&width=703&top_left_y=1776&top_left_x=759)
+a) Verifique que $B G=B F$.
+
+b) Verifique que $F G=E G$.
+
+c) Encontre o valor da medida do ângulo $x$.
+
+## 11 O valor do ângulo $x$-Solução
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-12.jpg?height=613&width=727&top_left_y=738&top_left_x=543)
+
+a) Temos
+
+$$
+\angle C G B=180^{\circ}-\angle B C G-\angle C B G=80^{\circ}=\angle B C G
+$$
+
+Portanto, $B C=B G$. Por outro lado,
+
+$$
+\angle B F C=180^{\circ}-\angle C B F-\angle B C F=50^{\circ}=\angle B C F
+$$
+
+daí $B C=B F$. Assim,
+
+$$
+B G=B C=B F
+$$
+
+b) Como $B G=B F \mathrm{e} \angle G B F=60^{\circ}$, o triângulo $B F G$ é isósceles com ângulos da base dados por
+
+$$
+\frac{180^{\circ}-\angle G B F}{2}=60^{\circ}
+$$
+
+Ou seja, $B F G$ é um triângulo equilátero e daí $F G=B G$. Como
+
+$$
+\angle B G E=180^{\circ}-\angle B G C=100^{\circ}
+$$
+
+segue que
+
+$$
+\angle G E B=180^{\circ}-\angle B G E-\angle G B E=40^{\circ}
+$$
+
+e assim $\triangle B E G$ é isósceles com lado $E G=B G=F G$.
+c) Como $\angle F G E=180^{\circ}-\angle B G F-\angle B G C=40^{\circ}$ e $F G=B G=E G$, segue que o triângulo $E F G$ é isósceles com ângulo da base dado por
+
+$$
+\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}
+$$
+
+Assim, $x+40^{\circ}=70^{\circ}$, ou seja, $x=30^{\circ}$.
+
+## 12 O sistema com fraç̃̃es
+
+Se $x, y$ e $z$ são números reais positivos $\mathrm{e}$
+
+$$
+\frac{x y}{x+y}=a, \frac{x z}{x+z}=b, \text { e } \frac{y z}{y+z}=c
+$$
+
+a) Verifique que
+
+$$
+x=\frac{a y}{y-a}
+$$
+
+b) Verifique que
+
+$$
+x=\frac{2 a b c}{a c+b c-a b}
+$$
+
+## 12 O sistema com frações - Solução
+
+a) Da primeira equação do enunciado, temos
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{x y}{x+y} & =a \\
+x y & =a x+a y \\
+x(y-a) & =a y \\
+x & =\frac{a y}{y-a} .
+\end{aligned}
+$$
+
+Note que a última divisão por $y-a$ é possível, pois se $y-a=0$ segue que $a y=0$ e isso é ímpossível, dado que $a$ e $x$ são positivos.
+
+b) De forma semelhante ao item anterior, podemos concluir que
+
+$$
+x=\frac{z b}{z-b} \text { e } y=\frac{z c}{z-c}
+$$
+
+Isso nos permite eliminar $y$ na identidade daquele item:
+
+$$
+\begin{aligned}
+x & =\frac{a\left(\frac{z c}{z-c}\right)}{\frac{z c}{z-c}-a} \\
+& =\frac{a z c}{z-c} \cdot \frac{z-c}{z c-a z+a c} \\
+& =\frac{a z c}{z c-a z+a c}
+\end{aligned}
+$$
+
+Podemos escrever $z$ em função de $b$ e $x$ a partir de
+
+$$
+\begin{aligned}
+x & =\frac{z b}{z-b} \\
+z x-b x & =z b \\
+z & =\frac{b x}{x-b}
+\end{aligned}
+$$
+
+Finalmente, podemos escrever
+
+$$
+\begin{aligned}
+x & =\frac{a z c}{z c-a z+a c} \\
+& =\frac{\frac{a b x c}{x-b}}{\frac{b c x}{x-b}-\frac{a b x}{x-b}+\frac{a c(x-b)}{x-b}} \\
+& =\frac{a b c x}{x-b} \cdot \frac{x-b}{b c x-a b x+a c(x-b)} \\
+& =\frac{a b c x}{b c x-a b x+a c(x-b)}
+\end{aligned}
+$$
+
+Ou seja,
+
+$$
+\begin{aligned}
+b c x-a b x+a c(x-b) & =a b c \\
+x(b c-a b+a c) & =2 a b c \\
+x & =\frac{2 a b c}{a c+b c-a b}
+\end{aligned}
+$$
+
+## 13 Quadrado mágico III
+
+Um quadrado $3 \times 3$ está preenchido com os números $a, b, c, d, e, f, g, h$ e $i$ da seguinte forma:
+
+| $c$ | $f$ | $i$ |
+| :--- | :--- | :--- |
+| $b$ | $e$ | $h$ |
+| $a$ | $d$ | $g$ |
+
+Sabemos que ele é um quadrado mágico, isto é, existe um valor $S$ que é igual as somas dos números em cada linha, coluna e cada uma das duas diagonais. Verifique que:
+
+a) $2(a+c+g+i)=b+d+f+h+4 e$.
+
+b) $S=3 e$.
+
+c) $a c+c i+a g+g i=e(b+d+f+h)$.
+
+d) $2\left(a^{2}+c^{2}+g^{2}+i^{2}\right)=b^{2}+d^{2}+f^{2}+h^{2}+4 e^{2}$.
+
+## 13 Quadrado mágico III - Solução
+
+a) Somando os números das linhas e colunas que não contém o quadradinho central, obtemos:
+
+$$
+(a+b+c)+(a+d+g)+(c+f+i)+(g+h+i)=4 S
+$$
+
+Por outro lado, somando a linha e a coluna que contém o quadrado central, temos:
+
+$$
+2 S=(b+e+h)+(d+e+f)
+$$
+
+Comparando as duas equações, podemos concluir que
+
+$$
+(a+b+c)+(a+d+g)+(c+f+i)+(g+h+i)=4 S=2(b+e+h)+2(d+e+f)
+$$
+
+Finalmente, subtraindo de cada membro o número $(b+d+f+h)$, ficamos com
+
+$$
+2(a+c+g+i)=b+d+f+h+4 e
+$$
+
+b) Considerando todas as linhas, colunas e diagonais que contém o quadrado central, temos:
+
+$$
+a+i=c+g=b+h=d+f=S-e
+$$
+
+Usando a equação anterior, podemos concluir que
+
+$$
+\begin{aligned}
+2(a+c+g+i) & =b+d+f+h+4 e \\
+2((a+i)+(c+g)) & =(b+h)+(d+f)+4 e \\
+2(S-e+S-e) & =S-e+S-e+4 e
+\end{aligned}
+$$
+
+De $4 S-4 e=2 S+2 e$, obtemos $S=3 e$.
+
+c) Pelo item anterior, $S-e=2 e$ e daí
+
+$$
+\begin{aligned}
+a c+c i+a g+g i & =(a+i)(c+g) \\
+& =(S-e)(S-e) \\
+& =2 e(S-e) \\
+& =e(2 S-2 e)
+\end{aligned}
+$$
+
+Como $S-e=b+h=d+f$, segue que
+
+$$
+\begin{aligned}
+b+d+f+h & =(b+h)+(d+f) \\
+& =(S-e)+(S-e) \\
+& =2 S-2 e
+\end{aligned}
+$$
+
+Substituindo essa identidade na relação anterior, chegamos a
+
+$$
+a c+c i+a g+g i=e(2 S-2 e)=e(b+d+f+h)
+$$
+
+d) Note agora que $a+c=S-b=h+e, c+i=S-f=d+e, g+i=S-h=b+e$ e $a+g=$ $S-d=f+e$. Daí
+
+$$
+\begin{aligned}
+(a+c)^{2}+(c+i)^{2}+(a+g)^{2}+(g+i)^{2} & =(h+e)^{2}+(d+e)^{2}+(f+e)^{2}+(b+e)^{2} \\
+2\left(a^{2}+c^{2}+g^{2}+i^{2}\right)+2(a c+c i+a g+g i) & =\left(b^{2}+d^{2}+f^{2}+h^{2}\right)+2 e(b+d+f+h)+4 e^{2}
+\end{aligned}
+$$
+
+Pelo item anterior, podemos cancelar na última equação os termos $2(a c+c i+a g+g i)$ e $2 e(b+d+f+h)$, obtendo
+
+$$
+2\left(a^{2}+c^{2}+g^{2}+i^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}+f^{2}+h^{2}\right)+4 e^{2}
+$$
+
+## 14 A área do quadrilátero
+
+No quadrilátero $A B C D$, temos:
+
+$$
+\angle D A B=\angle A B C=\angle B C D=30^{\circ}, A B=4 \mathrm{~cm}, B C=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}
+$$
+
+a) Determine o valor do ângulo $\angle D C A$.
+
+b) Determine o comprimento de $C D$.
+
+c) Encontre a área do quadrilátero $A B C D$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-17.jpg?height=363&width=716&top_left_y=860&top_left_x=742)
+
+## 14 A área do quadrilátero-Solução
+
+a) Como $\frac{B C}{A B}=\cos 30^{\circ}$ e $\angle A B C=30^{\circ}$ segue que $\angle A C B=90^{\circ}$. Daí, $\angle B A C=60^{\circ}$ e $\frac{A C}{A B}=$ $\operatorname{sen} 30^{\circ}=\frac{1}{2}$, logo, $A C=\frac{A B}{2}=2 \mathrm{~cm}$. Consequentemente, $\angle D A C=30^{\circ}$ e $\angle D C A=60^{\circ}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-17.jpg?height=370&width=703&top_left_y=1753&top_left_x=759)
+
+b) Do item anterior e das relações trigonométricas no triângulo $A D C$, decorre que $\frac{A D}{A C}=$ $\operatorname{sen} 60^{\circ} \mathrm{e} \frac{C D}{A C}=\operatorname{sen} 30^{\circ}$. Portanto,
+
+$$
+A D=\sqrt{3} \mathrm{~cm} \text { e } C D=1 \mathrm{~cm}
+$$
+
+c) A área do quadrilátero $A B C D$ é
+
+$$
+\frac{A C \cdot B C}{2}-\frac{C D \cdot A D}{2}=\frac{2 \cdot 2 \sqrt{3}}{2}-\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}
+$$
+
+## 15 Os números ao redor do círculo
+
+Existem 100 números reais distintos arranjados ao redor de um círculo. Verifique que existem quatro números consecutivos ao redor do círculo de modo que a soma dos dois números do meio é estritamente menor que a soma dos outros dois números.
+
+## 15 Os números ao redor do círculo - Solução
+
+Seja $a$ o menor número escrito no círculo e sejam $b$ e $c$ seus dois vizinhos, com $b<c$. Seja $d$ o outro vizinho de $b$. Assim, estarão escritos no círculo, em ordem, $d, b, a$ e $c$ ou $c, a, b$ e $d$. Em qualquer caso, como $a<d$ e $b<c$, temos $a+b<c+d$.
+
+## 16 A eleição
+
+Dois candidatos participaram de uma eleição com $p+q$ eleitores. O candidato $A$ recebeu $p$ votos e o candidato $B$ recebeu $q$ votos, com $p>q$. Durante a apuração, é registrado apenas um voto de cada vez em um quadro. Seja $r$ a probabilidade de que o número associado ao candidato $A$ no quadro seja sempre maior que o número associado ao candidato $B$ durante toda a apuração.
+
+a) Determine o valor de $r$ se $p=3$ e $q=2$.
+
+b) Determine o valor de $r$ se $p=1010$ e $q=1009$.
+
+## 16 A eleição-Solução
+
+a) Podemos fazer listas com as letras $A$ e $B$ representando as possíveis ordens de votos apurados. Por exemplo, a lista $A A B A B$ indica que os dois primeiros e o quarto voto apurados foram para o candidato $A$, o terceiro e o quinto para o candidato $B$. Existem exatamente 10 listas com 3 letras $A$ e duas letras $B$ :
+
+| A | A | A | B | B | A | A | B | A | B |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+| A | B | A | A | B | B | A | A | A | B |
+| A | A | B | B | A | A | B | A | B | A . |
+| B | A | A | B | A | A | B | B | A | A |
+| B | A | B | A | A | B | B | A | A | A |
+
+Dessas 10 listas, em apenas duas a quantidade de letras $A$ quando contabilizadas da esquerda para a direita é sempre superior a quantidade de letras $B$, a saber,
+
+## $A A A B B$ e $A A B A B$
+
+Portanto,
+
+$$
+r=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}
+$$
+
+b) Vamos chamar de empate um momento da apuração em que o número de votos de ambos os candidatos é o mesmo. Para que o candidato $A$ esteja sempre à frente, certamente não podemos ter empates. Qualquer apuração em que o primeiro voto foi para o candidato $B$ terá um empate, pois sabemos que no final o número de votos de $A$ é maior e se não tivermos empate em nenhum momento o candidato $B$ irá ganhar. Para qualquer sequência que começa em $A$ e atinja um empate, associe outra sequência trocando as letras $A$ 's por $B$ 's e vice-versa até a posição de primeiro empate. Por exemplo, na sequência
+
+$A A A B B A B B A B$.
+
+Temos empate nas apurações do oitavo e décimo votos. A posição de primeiro empate é a oitava e iremos trocar a sequência anterior por
+
+$$
+B B B A A B A A A B
+$$
+
+Com essa operação, perceba que as quantidades de letras $A$ 's e $B$ 's não se alteram e agora a sequência começa com a letra $B$. Com essa operação, para toda sequência que começa $\operatorname{com} B$, que já sabemos possuir empates, podemos associar de modo único outra sequência começada por $A$ com empates, e vice-versa. Assim o número de sequências com empates começando com $A$ é igual ao número de sequências começadas por $B$. Com mais razão, podemos concluir que a probabilidade de uma sequência começar com $A$ e possuir empates é igual à probabilidade de uma sequência começar com $B$. Como existem $q$ letras $B$ em um universo de $p+q$ letras, a probabilidade de uma sequência começar em $B$ é $\frac{q}{p+q}$. Assim, como toda sequência com empates começa com $A$ ou $B$, a probabilidade de escolhermos, dentre as sequências possíveis de $p$ letras $A$ e $q$ letras $B$ uma com empates é $\frac{q}{p+q}+\frac{q}{p+q}=\frac{2 q}{p+q}$. Finalmente, o valor de $r$ é o complementar dessa probabilidade:
+
+$$
+\begin{aligned}
+r & =1-\frac{2 q}{p+q} \\
+& =\frac{p-q}{p+q} \\
+& =\frac{1}{2019}
+\end{aligned}
+$$
+
+Observação: O resultado apresentado nesse problema é conhecido como o Teorema da Eleição de Bertrand, em alusão ao matemático Joseph Louis François Bertrand.
+
+## 17 As frações irredutiveis
+
+Os denominadores de duas frações irredutíveis são 600 e 700. Qual é o menor valor possível do denominador de sua soma quando escrita como uma fração irredutível?
+
+Observação: Dizemos que a fração $p / q$ é irredutível se os inteiros $p$ e $q$ não possuem fatores primos em comum em suas fatorações. Por exemplo, 5/7 é uma fração irredutível.
+
+## 17 As frações irredutiveis - Solução
+
+Sejam $a / 600$ e $b / 700$ as duas frações irredutíveis. Assim, $m d c(a, 600)=m d c(b, 700)=1$. A soma das duas frações pode ser escrita como
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{a}{600}+\frac{b}{700} & =\frac{7 a+6 b}{6 \cdot 7 \cdot 100} \\
+& =\frac{7 a+6 b}{3 \cdot 7 \cdot 2^{3} \cdot 5^{2}}
+\end{aligned}
+$$
+
+Como $a$ e $b$ são ímpares, $7 a+6 b$ é ímpar e assim não possui o fator primo 2 em sua fatoração. Como 7 não divide $b$, segue que a soma $7 a+6 b$ também não possui o fator primo 7 em sua fatoração. De modo semelhante, como 3 não divide $a$, podemos concluir que esse fator não está presente na fatoração de $7 a+6 b$. Assim, apenas o fator primo 5 pode ser comum ao numerador e ao denominador da soma e por conseguinte o denominador será pelo menos $3 \cdot 7 \cdot 2^{3}$. Para verificar que ele é admissível, basta encontrarmos $a$ e $b$ tais que 25 seja um divisor de $7 a+6 b$. Isso pode ser obtido $\operatorname{com} a=1 \mathrm{e} b=3$, por exemplo,
+
+$$
+\frac{1}{600}+\frac{3}{700}=\frac{1}{168}
+$$
+
+## 18 Tabuleiro com algarismos 0 e 1
+
+De quantas maneiras podemos colocar 8 algarismos iguais a 1 e 8 algarismos iguais a $0 \mathrm{em}$ um tabuleiro $4 \times 4$ de modo que as somas dos números escritos em cada linha e coluna sejam as mesmas?
+
+| 1 | 0 | 1 | 0 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 0 | 1 | 1 | 0 |
+| 1 | 0 | 0 | 1 |
+| 0 | 1 | 0 | 1 |
+
+## 18 Tabuleiro com algarismos 0 e 1 - Solução
+
+Como a soma dos números de todas as casas do tabuleiro é 8, a soma dos números em cada linha e coluna é $8 / 4=2$. Ou seja, em cada linha e coluna temos exatamente dois algarismos iguais a 1 e dois algarismos iguais a 0 . Podemos escolher a posição do primeiro 1 da primeira linha de 4 maneiras. Em seguida, podemos escolher a posição do segundo 1 de 4-1 = 3 maneiras, pois não podemos colocá-lo em uma posição já escolhida. Entretanto, nessas $3 \cdot 4$ escolhas, estamos contando cada maneira de colocá-los na primeira linha duas vezes, pois como eles são algarismos iguais, a inversão de posição entre eles gera a mesma escolha. Portanto, temos $3 \cdot 4 / 2=6$ maneiras de dispormos os dois algarismos 1 na primeira fila. Após feita essa escolha, temos três casos a considerar para a segunda linha: (I) todos os seus algarismos são iguais aos das posições correspondentes na primeira linha, (II) todos os algarismos da segunda linha diferem dos seus correspondentes na primeira linha e (III) dois algarismos da segunda linha coincidem com os seus correspondentes na primeira linha. Não existem outros casos, porque se três algarismos da terceira linha coincidem com os correspondentes da primeira, como aparecem apenas dois algarismos de cada tipo nela, necessariamente o quarto algarismo também será igual. De modo semelhante, também podemos perceber que não é possível apenas um algarismo coincidir entre as duas primeiras linhas.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-21.jpg?height=225&width=209&top_left_y=1209&top_left_x=636)
+
+Caso I
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-21.jpg?height=225&width=196&top_left_y=1209&top_left_x=1031)
+
+Caso II
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-21.jpg?height=225&width=199&top_left_y=1209&top_left_x=1418)
+
+Caso III
+
+O total de tabuleiros do caso ( $I$ ) é igual ao número de possíveis escolhas da primeira linha, que é 6. No caso (II), as duas primeiras linhas diferem em todas as posições. Para a escolha da terceira linha, podemos determinar as posições dos dois algarismos iguais a 1 de 6 formas e as demais posições serão preenchidas com 0 . Em seguida, a quarta linha só poderá ser escolhida de uma única forma, pois já terão sido definidos os três primeiros algarismos de cada coluna. Nesse caso, temos 6 escolhas possíveis para a primeira linha e outras 6 para a segunda linha. Isso dá um total de $6 \cdot 6=36$ possibilidades.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-21.jpg?height=219&width=490&top_left_y=1942&top_left_x=860)
+
+No caso (III), temos 6 escolhas possíveis para a primeira linha. Feita essa escolha, podemos escolher de 2 formas qual das posições da segunda linha repetirá o algarismo 1 da primeira linha e de outras 2 formas qual das posições da segunda linha repetirá o algarismo 0 . Isso nos dá $6 \cdot 2 \cdot 2=24$ preenchimentos das duas primeiras linhas. Nas casas dessas duas primeiras linhas, em precisamente duas colunas, já teremos escrito 2 algarismos iguais a 1 e dois algarismos iguais a 0 . Consequentemente, as demais casas dessas
+colunas estarão determinadas. Ainda analisando as possíveis escolhas de terceira linha, temos 2 escolhas possíveis para o quadradinho mais à esquerda ainda não preenchido. Uma vez que ele tenha sido escolhido, toda a terceira linha estará determinada e, finalmente, os algarismos da quarta linha também.
+
+| 1 | 1 | 0 | 0 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 0 | 1 | 1 | 0 |
+|  |  |  |  |
+|  |  |  |  |$\rightarrow$| 1 | 1 | 0 | 0 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 0 | 1 | 1 | 0 |
+|  | 0 |  | 1 |
+|  | 0 |  | 1 |
+
+Portanto, nesse caso, temos $24 \cdot 2=48$ possíveis tabuleiros. Somando as configurações encontradas nas três situações, temos $6+36+48=90$ possibilidades de dispormos os algarismos no tabuleiro.
+
+## 19 As inversões na sequência
+
+Em uma sequência de inteiros positivos, uma inversão é um par de posições em que o elemento da posição mais à esquerda é maior que o elemento da posição mais à direita. Por exemplo, a sequência 2,5,3,1,3 tem 5 inversões: entre a primeira e a quarta posição, entre a segunda e todas as demais para a direita e, finalmente, entre a terceira e a quarta. Dentre todas as sequências de inteiros positivos cuja soma de seus elementos é $n$, qual é o maior número possível de inversões se
+
+a) $n=7$ ?
+
+b) $n=2019$ ?
+
+Observação: As sequências de inteiros positivos consideradas nesse problema podem ter mais de 5 elementos.
+
+## 19 As inversões na sequência - Solução
+
+a) Primeiramente vamos mostrar que qualquer sequência maximizante do número de inversões precisa ser não-crescente. De fato, se existe um par de números consecutivos $a$ e $b, \operatorname{com} a<b$, então a troca de posição desses elementos não altera a soma e aumenta o número de inversões em uma unidade. Para cada sequência não-crescente com soma 7, indicaremos o seu número de inversões na coluna I da tabela a seguir:
+
+|  | $\mathrm{I}$ |  | $\mathrm{I}$ |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+| $(6,1)$ | 1 | $(5,2)$ | 1 |
+| $(5,1,1)$ | 2 | $(4,3)$ | 1 |
+| $(4,2,1)$ | 3 | $(4,1,1,1)$ | 3 |
+| $(3,3,1)$ | 2 | $(3,2,2)$ | 2 |
+| $(3,2,1,1)$ | 5 | $(3,1,1,1,1)$ | 4 |
+| $(2,2,2,1)$ | 3 | $(2,2,1,1,1)$ | 6 |
+| $(2,1,1,1,1,1)$ | 5 | $(1,1,1,1,1,1,1)$ | 0 |
+
+O máximo de inversões é 6 e pode ser obtido com a sequência $2,2,1,1,1$.
+
+b) Mostraremos que qualquer sequência não crescente que maximiza o número de inversões deve possuir apenas números iguais a 1 e 2. Suponha, por absurdo, que a sequência contém algum número $k>2$. Troque o último $k$ por um par de elementos: $k-1$ na posição original e 1 na posição final. Claramente essa operação não altera a soma. O 1 final é parte de uma inversão com todo o elemento que era membro de uma inversão com o $k$ original, exceto pelos números 1 à sua direita. $O$ novo $k-1$ é parte de uma inversão com todo elemento que era menor que o $k$ original, incluindo as parcelas 1 à sua direita. Assim, contabilizando a inversão criada entre o novo $k-1 \mathrm{e}$ o novo 1, essa troca criada aumenta o número de inversões em pelo menos uma unidade. Finalmente, considerando uma sequência qualquer que maximiza o número de inversões e que possui a soma de seus elementos igual a 2019, podemos supor que existem $a$ parcelas iguais a 2 e $2019-2 a$ parcelas iguais a 1 . O número de inversões é
+
+$$
+\begin{aligned}
+a(2019-2 a) & =2019 a-2 a^{2} \\
+& =\frac{2019^{2}}{8}-2\left(a-\frac{2019}{4}\right)^{2}
+\end{aligned}
+$$
+
+Para maximizar a expressão anterior, devemos minimizar $|a-2019 / 4|$ e isso ocorre para $a=505$. Portanto, o maior número de inversões é $505 \cdot 1009$.
+
+## 20 Ângulos no triângulo isósceles
+
+O triângulo $A B C$ é isósceles com $A B=B C$. A bissetriz do ângulo $\angle C A B$ encontra o lado $B C$ no ponto $D$. A diferença entre as medidas de dois ângulos internos do triângulo $A B D$ é $40^{\circ}$. Encontre os possíveis valores do ângulo $\angle A C B$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-23.jpg?height=349&width=317&top_left_y=1745&top_left_x=949)
+
+## 20 Ângulos no triângulo isósceles -Solução
+
+Seja $x=\angle B A C=\angle A B C$. Assim, $\angle A C B=180^{\circ}-2 x$. Consequentemente, os ângulos internos do triângulo $A B D$ são $\angle B A D=x / 2, \angle D B A=x \mathrm{e} \angle A D B=180^{\circ}-3 x / 2$. Consideraremos todos os casos para os quais dois ângulos podem diferir por $40^{\circ}$ :
+i) Se $x-x / 2=40^{\circ}$, então $x=80^{\circ}$ e assim $\angle A C B=20^{\circ}$.
+
+ii) Como $x>0$, não podemos ter $x / 2-x=40^{\circ}$.
+
+iii) Se $180^{\circ}-3 x / 2-x / 2=40^{\circ}$, então $x=70^{\circ} \mathrm{e} \angle A C B=40^{\circ}$.
+
+iv) Se $x / 2-\left(180^{\circ}-3 x / 2\right)=40^{\circ}$, temos $x=110^{\circ}$. Isso produz uma contradição, pois nesse caso $\angle A C B=180^{\circ}-2 x<0$.
+
+v) Se $\left(180^{\circ}-3 x / 2\right)-x=40^{\circ}$, então $x=56^{\circ} \mathrm{e} \angle A C B=68^{\circ}$.
+
+vi) Finalmente, se $x-\left(180^{\circ}-3 x / 2\right)=40^{\circ}$, segue que $x=88^{\circ} \mathrm{e} \angle A C B=4^{\circ}$.
+
+Portanto, os possíveis valores de $\angle A C B$ são $4^{\circ}, 20^{\circ}, 40^{\circ}$ e $68^{\circ}$.
+
+## 21 As soluções inteiras do sistema
+
+Considere as soluções do sistema
+
+$$
+\left\{\begin{array}{l}
+2019=a+b-c \\
+2019=a^{2}+b^{2}-c^{2}
+\end{array}\right.
+$$
+
+em que $a, b$ e $c$ são inteiros.
+
+a) Encontre pelo menos uma solução do sistema.
+
+b) Verifique que o número de soluções é finito.
+
+## 21 As soluções inteiras do sistema - Solução
+
+a) Da primeira equação, segue que $c=a+b-2019$. Substituindo na segunda equação, obtemos
+
+$$
+2019=a^{2}+b^{2}-(a+b-2019)^{2}=-2 a b+4038 a+4038 b-2019^{2}
+$$
+
+Daí,
+
+$$
+\begin{aligned}
+2019-2019^{2} & =-2 a b+4038 a+4038 b-2 \cdot 2019^{2} \\
+-2019 \cdot 2018 & =-2(a-2019)(b-2019) \\
+2019 \cdot 1009 & =(a-2019)(b-2019)
+\end{aligned}
+$$
+
+Para obtermos uma solução, é suficiente que $a-2019=1$ e $b-2019=2019 \cdot 1009$, ou seja,
+
+$$
+(a, b, c)=\left(2020, \frac{2019 \cdot 2020}{2}, \frac{2019 \cdot 2020}{2}+1\right)
+$$
+
+b) Em virtude do item anterior, $a-2019$ e $b-2019$ são divisores inteiros do número $2019 \cdot 1009$, que possui um número finito de divisores inteiros.
+
+Observação: Se $x$ é um divisor inteiro de $2019 \cdot 1009$ e $y=2019 \cdot 1009 / x$, então
+
+$$
+(a, b, c)=(x+2019, y+2019, x+y+2019)
+$$
+
+é solução do sistema com $a-2019=x$ e $b-2019=y$.
+
+## 22 O quadrado dobrado
+
+Na figura a seguir, $A B C D$ é um quadrado de papel que foi dobrado ao longo do segmento $F E$ de modo que o vértice $C$ coincida com o vértice $C^{\prime}$ e $D \operatorname{com} D^{\prime}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-25.jpg?height=648&width=703&top_left_y=1056&top_left_x=740)
+
+a) Verifique que $C^{\prime} D^{\prime}$ é tangente ao círculo com centro $C$ e raio $C B$.
+
+b) Verifique que o perímetro do triângulo $G A C^{\prime}$ é igual à metade do perímetro de $A B C D$.
+
+c) Verifique que $A G=C^{\prime} B+G D^{\prime}$
+
+d) Verifique que a soma dos perímetros dos triângulos $C^{\prime} B E$ e $G D^{\prime} F$ é igual ao perímetro do triângulo $G A C^{\prime}$.
+
+e) Verifique que o perímetro do triângulo $G D^{\prime} F$ é igual ao comprimento do segmento $A C^{\prime}$.
+
+f) O incírculo de um triângulo é o círculo que é tangente aos seus três lados. Verifique que o raio do incírculo do triângulo $G A C^{\prime}$ é igual ao comprimento do segmento $G D^{\prime}$.
+
+## 22 O quadrado dobrado - Solução
+
+a) Considere o círculo $\Gamma$ de centro $C^{\prime}$ e com raio $R$ dado pelo lado do quadrado $A B C D$. Como a distância de $C^{\prime}$ ao segmento $C D$ é igual a $R$, segue que esse círculo é tangente a esse lado no ponto $H$. Ao desdobrarmos o quadrado de papel ao longo do segmento $E F$, o círculo $\Gamma$ é levado em um círculo $\Gamma^{\prime}$ de centro $C$. Como $C B=C D=R$, esse círculo passa por $B$ e $D$. Para concluir, perceba que se $\Gamma$ é tangente a $C D$ então $\Gamma^{\prime}$ é tangente a $C^{\prime} D^{\prime}$, cujo ponto de tangência é $H^{\prime}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-26.jpg?height=861&width=849&top_left_y=730&top_left_x=485)
+
+b) O semiperímetro do quadrado é dado pela soma dos comprimentos de $A B$ e $A D$. Para relacionar essa soma com o perímetro do triângulo $G A C^{\prime}$, usaremos o Teorema do Bico, que diz que as distâncias de um ponto exterior a uma circunferência aos pontos onde suas tangentes tocam a circunferência são iguais. Ou seja, na figura a seguir temos $A P=A Q$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-26.jpg?height=425&width=534&top_left_y=2008&top_left_x=634)
+
+Em virtude do Teorema do Bico, podemos escrever o semiperímetro do triângulo $G A C^{\prime}$ como:
+
+$$
+\begin{aligned}
+A C^{\prime}+C^{\prime} G+G A & = \\
+A C^{\prime}+C^{\prime} H^{\prime}+H^{\prime} G+G A & = \\
+A C^{\prime}+C^{\prime} B+G F+G A & =A B+D A
+\end{aligned}
+$$
+
+c) Em virtude do item anterior e do Teorema do Bico:
+
+$$
+\begin{aligned}
+A B+C^{\prime} D^{\prime} & =A C^{\prime}+C^{\prime} G+A G \\
+A C^{\prime}+C^{\prime} B+C^{\prime} G+G D^{\prime} & =A C^{\prime}+C^{\prime} G+A G \\
+C^{\prime} B+G D^{\prime} & =A G
+\end{aligned}
+$$
+
+d) Os triângulos retângulos $G A C^{\prime}, C^{\prime} B E$ e $G D^{\prime} F$ são semelhantes, pois
+
+$$
+\angle D^{\prime} G F=\angle A G C^{\prime}=\angle E C^{\prime} B
+$$
+
+Daí,
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{A G}{C^{\prime} B} & =\frac{A C^{\prime}}{B E} \\
+\frac{A G}{G D^{\prime}} & =\frac{A C^{\prime}}{D^{\prime} F}
+\end{aligned}
+$$
+
+Consequentemente, de $A G=C^{\prime} B+G D^{\prime}$, temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+B E+D^{\prime} F & =\frac{A C^{\prime}}{A G} \cdot\left(C^{\prime} B+G D^{\prime}\right) \\
+& =\frac{A C^{\prime}}{A G} \cdot A G \\
+& =A C^{\prime}
+\end{aligned}
+$$
+
+De forma semelhante, também segue que $C^{\prime} G=E C^{\prime}+F G$. Assim
+
+$$
+A G+A C^{\prime}+C^{\prime} G=\left(C^{\prime} B+B E+E C^{\prime}\right)+\left(G D^{\prime}+D^{\prime} F+F G\right)
+$$
+
+e) Como $A C^{\prime} H D$ é um retângulo, $A C^{\prime}=D H$. Em virtude da dobradura, $D H=D^{\prime} H^{\prime}$ e $F D=F D^{\prime}$. Pelo Teorema do Bico, temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+A C^{\prime} & =D^{\prime} H^{\prime} \\
+& =D^{\prime} G+G H^{\prime} \\
+& =D^{\prime} G+G D \\
+& =D^{\prime} G+G F+F D \\
+& =D^{\prime} G+G F+F D^{\prime}
+\end{aligned}
+$$
+
+A soma $D^{\prime} F+F G+G D^{\prime}$ é exatamente o perímetro do triângulo $G D^{\prime} F$.
+f) Sejam $X, Y$ e $Z$ os pontos de tangência do incírculo do triângulo $A C^{\prime} G$ com os seus lados, como indicado na figura a seguir. Se $r$ denota o comprimento do raio do incírculo do triângulo $A C^{\prime} G$, temos $A X=A Z=r$, pois $A X O Z$ é um quadrado de lado $r$. Além disso, pelo Teorema do Bico, $C^{\prime} X=C^{\prime} Y=x, G Y=G Z=y$. Assim, novamente usando o segundo item, segue que
+
+$$
+\begin{aligned}
+A C^{\prime}+C^{\prime} G+G A & =A B+D A \\
+(r+x)+(x+y)+(r+y) & =2 \cdot C^{\prime} D^{\prime} \\
+2 \cdot(r+x+y) & =2 \cdot\left(D^{\prime} G+x+y\right) \\
+r & =D^{\prime} G
+\end{aligned}
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-28.jpg?height=650&width=703&top_left_y=891&top_left_x=547)
+
+Observação: Esse item foi extraído de um clássico Sangaku japonês. Os Sangakus são tábuas comemorativas de madeira com problemas matemáticos oferecidas em templos e santuários.
+
+## 23 As triplas bacanas
+
+Dizemos que uma tripla de inteiros $(x, y, z)$ é do tipo bacana se $x, y$ e $z$ são inteiros positivos, com $y \geq 2$, e $x^{2}-3 y^{2}=z^{2}-3$.
+
+a) Encontre uma tripla $(x, y, z)$ do tipo bacana com $x=5$ e $x=7$.
+
+b) Mostre que para todo $x \geq 5$ e ímpar existem pelo menos duas triplas distintas $\left(x, y_{1}, z_{1}\right)$ e $\left(x, y_{2}, z_{2}\right)$ do tipo bacana.
+
+c) Encontre alguma tripla do tipo bacana com $x$ par.
+
+## 23 As triplas bacanas - Solução
+
+a) Para $x=5$ e $x=7$, temos alguns exemplos de triplas do tipo bacana: $(x, y, z)=(5,2,4)$, $(5,3,1),(7,3,5)$ e $(7,4,2)$.
+
+b) Os casos particulares do item anterior permitem conjecturar as seguintes triplas para $x$ ímpar:
+
+$$
+(x, y, z)=(2 n+1, n, n+2) \text { e }(x, y, z)=(2 n+1, n+1, n-1)
+$$
+
+Para verificar que elas satisfazem a equação, perceba que
+
+$$
+\begin{aligned}
+(2 n+1)^{2}-3 n^{2} & =n^{2}+4 n+1 \\
+& =(n+2)^{2}-3
+\end{aligned}
+$$
+
+e
+
+$$
+\begin{aligned}
+(2 n+1)^{2}-3(n+1)^{2} & =n^{2}-2 n-2 \\
+& =(n-1)^{2}-3
+\end{aligned}
+$$
+
+c) Considerando a fatoração $(x-z)(x+z)=3(y-1)(y+1)$, podemos concluir que $x-z \mathrm{e}$ $x+z$ são divisores do membro direito da equação. Como $x$ é a média aritmética desses dois divisores, isso permite definir uma busca ordenada de possíveis soluções da equação com $x$ par. Escolhendo $y=4$, podemos analisar os possíveis pares de divisores positivos de $3 \cdot 3 \cdot 5$ :
+
+$$
+(3,3 \cdot 5),(3 \cdot 3,5) \text { e }(1,3 \cdot 3 \cdot 5)
+$$
+
+Como $x-z<x+z$, temos os casos:
+
+$$
+\left\{\begin{array} { l } 
+{ x - z = 3 } \\
+{ x + z = 1 5 }
+\end{array} \quad \left\{\begin{array} { l } 
+{ x - z = 5 } \\
+{ x + z = 9 }
+\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
+x-z=1 \\
+x+z=45
+\end{array} .\right.\right.\right.
+$$
+
+Não existem valores pares para $x$ nesse caso. A mesma análise para $y=7$ também mostra que não existem soluções nesse caso. Se $y=9$, a tripla $(x, y, z)=(16,9,4)$ é uma solução do tipo bacana com $x$ par.
+
+## 24 A soma dos algarismos
+
+Se $n$ é um número inteiro positivo, qual o menor valor que a soma dos algarismos da representação decimal de $3 n^{2}+n+1$ pode assumir?
+
+## 24 A soma dos algarismos - Solução
+
+Se $n=8$, temos que $3 n^{2}+n+1=201$ e soma de seus dígitos é 3 . Verificaremos agora que a soma dos dígitos de $3 n^{2}+n+1$ não pode ser 1 ou 2 e concluiremos que o menor valor possível é 3. Como $n(n+1)$ é o produto de dois números consecutivos, ele é par e assim $3 n^{2}+n+1=2 n^{2}+n(n+1)+1$ é um número ímpar. Para que a soma dos algarismos seja 1 , devemos ter $3 n^{2}+n+1=10^{k}$. Isso é impossível, pois $3 n^{2}+n+1>1$ e $10^{k}$ é par para $k>1$. Para que a soma dos algarismos seja 2 , devemos ter $3 n^{2}+n+1=10^{i}+10^{j}, \operatorname{com} i>j$ ou $3 n^{2}+n+1=2 \cdot 10^{k}$. A segunda opção é inválida, pois $2 \cdot 10^{k}$ é par. Na primeira opção, como $10^{i}+10^{j}$ precisa ser ímpar, devemos ter $j=0$, ou seja,
+
+$$
+\begin{aligned}
+3 n^{2}+n+1 & =10^{i}+1 \\
+n(3 n+1) & =10^{i} \\
+n(3 n+1) & =2^{i} \cdot 5^{i}
+\end{aligned}
+$$
+
+Se algum número primo $p$ divide $n$, então ele divide $3 n$ e, consequentemente, não pode dividir o seu sucessor $3 n+1$. Assim, $n$ e $3 n+1$ não possuem fatores primos em comum. Como $n<3 n+1$, devemos ter $n=2^{i}$ e $3 n+1=5^{i}$. Isso é um absurdo, porque, nesse caso, para $i \geq 2$,
+
+$$
+3 n+1=5^{i}>4^{i}>3 \cdot 2^{i}+1=3 n+1
+$$
+
+Quando $i=1$, não há solução, pois $5 \neq 3 \cdot 2+1$. Isso termina nossa análise e mostra que a soma mínima dos algarismos é 3 .
+
+## 25 As distâncias no quadrado
+
+Seis pontos são distribuídos dentro de um quadrado de lado $10 \mathrm{~cm}$ de tal modo que a distância entre quaisquer dois deles é um número inteiro em centímetros. Verifique que pelo menos duas dessas distâncias são iguais.
+
+## 25 As distâncias no quadrado - Solução
+
+A maior distância possível entre dois pontos do quadrado é $10 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$, que ocorre quando dois pontos estão dispostos em extremos opostos de uma diagonal. Como $14<10 \sqrt{2}<15$, a maior distância inteira possível entre eles é de $14 \mathrm{~cm}$. Assim, existem 14 distâncias inteiras possíveis entre os pontos: $1,2,3, \ldots, 14$ centímetros. Para determinar o número de pares de pontos, perceba que podemos escolher qualquer um deles de 6 formas possíveis e o outro de 5 outras formas. Como a mudança de ordem entre eles gera o mesmo par, nessa contagem estaremos contando cada par duas vezes. Portanto, existem $6 \cdot 5 / 2=15$ pares de distâncias possíveis entre os 6 pontos. Como o número de segmentos é maior que o número de distâncias possíveis, pelo menos dois segmentos terão o mesmo comprimento.
+
+## 26 Os números de 6 algarismos
+
+Os algarismos $a, b, c, d$, $e$ e $f$ são distintos e foram escolhidos no conjunto $\{1,2, \ldots, 9\}$.
+
+a) Verifique que pelo menos dois deles são consecutivos.
+
+b) Determine os possíveis valores do inteiro positivo $x$, que divide qualquer número de 6 algarismos formados por $a, b, c, d, e \mathrm{e} f$.
+
+## 26 Os números de 6 algarismos -Solução
+
+a) Suponha que $a<b<c<d<e<f$ (a análise que será feita se adapta facilmente aos outros ordenamentos possíveis). Se não existem dois inteiros consecutivos, então $b \geq a+2, c \geq b+2 \geq a+4, d \geq c+2 \geq a+6, e \geq d+2 \geq a+8$ e $f \geq e+2 \geq a+10$. Essa última desigualdade é impossível, pois $a$ e $f$ são números de apenas um algarismo.
+
+b) Suponha que $a$ e $b$, com $a>b$, são os algarismos consecutivos. Se $x$ divide os números $\overline{c d e f a b}$ e $\overline{c d e f b a}$, então $x$ divide a diferença entre eles, que é
+
+$$
+\begin{aligned}
+\overline{c d e f a b}-\overline{c d e f b a} & =\overline{a b}-\overline{b a} \\
+& =(10 a+b)-(10 b+a) \\
+& =9(a-b) \\
+& =9 .
+\end{aligned}
+$$
+
+Portanto, $x$ deve ser um divisor de 9. O critério de divisibilidade por 9 nos diz que um número é divisível por 9 se, e somente se, a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 9. Assim, se $a+b+c+d+e+f$ é um múltiplo de 9 , então os possíveis valores de $x$ são 1 ou 9. Se a soma dos 6 algarismos é um múltiplo de 3, mas não de 9 , então $x$ pode ser 1 ou 3. Finalmente, se a soma dos 6 algarismos não é um múltiplo de 3 , a única possibilidade para $x$ é 1 .
+
+Observação: Estamos usando uma barra para distinguir a representação decimal do número de três algarismos $\overline{A B C}$ do produto $A \cdot B \cdot C$. Por exemplo, se $\overline{A B C}=126$, então $A=1, B=2$ e $C=6$.
+
+## 27 As cordas perpendiculares
+
+No desenho a seguir, as cordas $D E$ e $B C$ são perpendiculares, sendo $B C$ um diâmetro do círculo com centro em $A$. Além disso, $\angle C G F=40^{\circ}$ e $G H=2 \mathrm{~cm}$.
+
+a) Determine o valor do ângulo $\angle C H F$.
+b) Encontre o comprimento de $H J$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-32.jpg?height=753&width=663&top_left_y=575&top_left_x=583)
+
+## 27 As cordas perpendiculares - Solução
+
+a) Como $B C$ é um diâmetro, segue que $\angle B F C=90^{\circ}$. Assim, como também temos $\angle C H G=90^{\circ}$, a circunferência $\Gamma$ de diâmetro $C G$ passa por $F$ e $H$. Nessa circunferência, os ângulos $\angle C G F$ e $\angle C H F$ estão inscritos no mesmo $\operatorname{arco} C F$ e assim $\angle C H F=$ $\angle C G F=40^{\circ}$.
+
+b) Novamente observando o círculo $\Gamma$, podemos concluir que $\angle H C G=\angle H F G$, pois ambos estão inscritos no arco $G H$. Considerando agora o círculo de diâmetro $B C$, temos $\angle I C B=\angle I F B$, porque ambos estão inscritos no arco $I B$. Assim, $\angle I C H=\angle B F H=$ $\angle H F G=\angle H C G$. Daí como os triângulos retângulos $C H G$ e $C H J$ possuem os mesmos ângulos e um cateto em comum, eles são congruentes, resultando em $H J=G H=$ $2 \mathrm{~cm}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-33.jpg?height=746&width=667&top_left_y=259&top_left_x=782)
+
+## 28 O jogo de Berlekamp
+
+Um cadeado digital é constituído por um tabuleiro $4 \times 4$ formado por 16 interruptores. Cada interruptor pode estar ligado, simbolizado pelo símbolo 1 , ou desligado, simbolizado pelo símbolo 0 . Quando um interruptor é alterado de uma posição para outra, todos os outros interruptores na mesma linha e coluna precisam ser alterados também (veja o diagrama abaixo). O cadeado digital só é aberto quando todos os interruptores estão ligados.
+
+| 1 | 0 | 1 | 0 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 0 | $\mathbf{1}$ | 1 | 0 |
+| 1 | 0 | 0 | 1 |
+| 0 | 1 | 0 | 1 |$\quad \Rightarrow \quad$| 1 | $\mathbf{1}$ | 1 | 0 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{0}$ | $\mathbf{0}$ | $\mathbf{1}$ |
+| 1 | $\mathbf{1}$ | 0 | 1 |
+| 0 | $\mathbf{0}$ | 0 | 1 |
+
+a) Na figura abaixo, determine uma sequência de movimentos que permitam a abertura do cadeado.
+
+| 1 | 0 | 1 | 0 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 1 | 0 | 1 | 0 |
+| 0 | 0 | 1 | 1 |
+| 0 | 0 | 1 | 1 |
+
+b) Verifique que é possível usar uma sequência de movimentos que produza como resultado a alteração de apenas um interruptor.
+
+c) Verifique que não importam as posições iniciais dos interruptores, é sempre possível abrir o cadeado digital.
+
+## 28 O jogo de Berlekamp-Solução
+
+a) Basta realizar a seguinte sequência de movimentos:
+
+| 1 | 0 | $\mathbf{1}$ | 0 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 1 | 0 | 1 | 0 |
+| 0 | 0 | 1 | 1 |
+| 0 | 0 | 1 | 1 |$\quad \Rightarrow \quad$| 0 | 1 | 0 | 1 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 1 | $\mathbf{0}$ | 0 | 0 |
+| 0 | 0 | 0 | 1 |
+| 0 | 0 | 0 | 1 |$\quad \Rightarrow$| $\mathbf{0}$ | 0 | 0 | 0 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 0 | 1 | 1 | 1 |
+| 0 | 1 | 1 | 1 |
+| 0 | 1 | 1 | 1 |$\Rightarrow$| 1 | 1 | 1 | 1 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 1 | 1 | 1 | 1 |
+| 1 | 1 | 1 | 1 |
+| 1 | 1 | 1 | 1 |
+
+b) Fixado um interruptor $X$ do tabuleiro, altere a posição de cada um dos outros 7 interruptores em sua mesma linha e coluna, um de cada vez, incluindo o próprio $X$. Com essas operações, a posição fixada será trocada um número ímpar de vezes e assim terá seu estado alterado de ligado para desligado ou o contrário. Os interruptores na mesma linha ou coluna de $X$ serão alterados, cada um, 4 vezes. Como essa quantidade é par, eles permanecerão no seu estado original. Cada um dos outros interruptores do quadradinho será alterado duas vezes, que também é par e assim manterá seu estado inalterado. Portanto, essas 7 alterações produzem apenas a alteração do interruptor $X$
+
+c) Dada uma configuração qualquer do cadeado, podemos realizar as operações descritas no item anterior e ligar cada um dos interruptores desligados.
+
+Observação: Esse problema é baseado em um jogo de mesmo nome desenvolvido por Elwyn Berlekamp em meados da década de 1970.
+
+## 29 A cobertura com triminós
+
+Um triminó é um retângulo $3 \times 1$ e um monominó é um único quadrado $1 \times 1$. Quais são as possíveis posições de um monominó na cobertura de um tabuleiro $8 \times 8$ usando 21 triminós e 1 monominó?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-34.jpg?height=333&width=335&top_left_y=1972&top_left_x=742)
+
+## 29 A cobertura com triminós - Solução
+
+Pinte os quadradinhos do tabuleiro $8 \times 8$ com as cores 1,2 e 3 como indicado nos tabuleiros a seguir.
+
+| 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 |
+| 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 |
+| 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 |
+| 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 |
+| 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 |
+| 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 |
+| 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 |
+
+
+| 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 3 |
+| 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 |
+| 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 |
+| 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 3 |
+| 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 |
+| 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 |
+| 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 3 |
+
+Comecemos a nossa análise pelo tabuleiro da esquerda. Nele pintamos 22 quadradinhos da cor 1,21 da cor 2 e 21 da cor 3 . Como todo triminó cobre exatamente um quadradinho de cada cor, a união deles cobrirá exatamente 21 quadradinhos de cada cor e assim o monominó deve ter a cor 1. Repetindo a mesma análise na pintura feita no tabuleiro da direita, também podemos concluir que o monominó deve ter a cor 1 naquele tabuleiro. Daí os únicos possíveis locais para os monominós são os que foram marcados com a cor 1 nos dois tabuleiros, ou seja, os quadradinhos pintados no desenho a seguir. Para verificar que para todos eles existe uma cobertura admissível, basta rotacionar o desenho do enunciado por $90^{\circ}, 180^{\circ}$ e $270^{\circ}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-35.jpg?height=333&width=330&top_left_y=1544&top_left_x=940)
+
+## 30 As diferenças no conjunto
+
+Seja $A$ um subconjunto de $\{1,2,3, \ldots, 2019\}$ possuindo a propriedade de que a diferença entre quaisquer dois de seus elementos não é um número primo. Qual é o maior número possível de elementos de $A$ ?
+
+## 30 As diferenças no conjunto - Solução
+
+Suponha que $a \in A$. Então, nenhum elemento do conjunto $\{a+2, a+3, a+5, a+7\}$ pode pertencer a $A$ e entre os elementos de $\{a+1, a+4, a+6\}$, no máximo um deles pode pertencer a $A$. Assim, a cada 8 inteiros consecutivos, digamos os elementos do conjunto $\{a, a+1, a+2, \ldots, a+7\}$, no máximo dois deles pertencem a $A$. Portanto, o número máximo de elementos de $A$ não é maior que o maior inteiro que não ultrapassa 2019/4 mais 1 , ou seja, 505. Essa quantidade pode ser obtida com o conjunto $\{3,7,11, \ldots, 2019\}$. Note que a diferença entre quaisquer dois deles é um múltiplo de $4 \mathrm{e}$, consequentemente, não pode ser um número primo. Portanto, o número máximo de elementos é 505.
+
+## 31 Frações ordenadas
+
+Qual é o maior inteiro positivo $n$ para o qual existe um único inteiro $k$, tal que
+
+$$
+\frac{8}{15}<\frac{n}{n+k}<\frac{7}{13} ?
+$$
+
+## 31 Frações ordenadas - Solução
+
+Podemos escrever a desigualdade como
+
+$$
+\frac{13}{7}<\frac{n+k}{n}<\frac{15}{8}
+$$
+
+Assim, multiplicando os membros da desigualdade por $56 n$, obtemos a desigualdade equivalente
+
+$$
+\begin{aligned}
+104 n & <56 n+56 k & <105 n \\
+48 n< & 56 k & <49 n
+\end{aligned}
+$$
+
+Para que exista um único inteiro $k$ satisfazendo a desigualdade, o intervalo $(48 n, 49 n)$ deve possuir exatamente um múltiplo de 56. O comprimento de tal intervalo é $n$ e ele contém exatamente $n-1$ inteiros positivos. Se $n-1 \geq 2 \cdot 56=112$, o intervalo conterá pelo menos dois múltiplos de 56 e não servirá para a desigualdade. Portanto, $n \leq 112$. Para verificar que $n=112$, é a solução máxima, basta notar que
+
+$$
+\begin{aligned}
+48 \cdot 112 & =56 \cdot 96 \\
+& <56 \cdot 97 \\
+& <56 \cdot 98 \\
+& =49 \cdot 112
+\end{aligned}
+$$
+
+Assim, $k=97$ é o único inteiro possível para satisfazer a desigualdade quando $n=112$.
+
+## 32 Algarismos das potências
+
+a) Dado que a representação decimal de $5^{2018}$ possui 1411 algarismos e começa com 3 (o dígito não nulo mais à esquerda é 3), para quantos inteiros $1 \leq n \leq 2017$ o número $5^{n}$ começa com 1 ?
+
+b) Os inteiros $4^{52}$ e $5^{52}$ ambos começam com o algarismo 2 . Se as representações decimais das potências $4^{n}$ e $5^{n}$, com $n>0$ e inteiro, começam com o mesmo algarismo $d$, quais os possíveis valores desse algarismo?
+
+## 32 Algarismos das potências - Solução
+
+a) Se $5^{k}$ começa com $a$ e possui $j$ algarismos, então
+
+$$
+10^{j}<5^{k}<\cdot 10^{j+1}
+$$
+
+e assim
+
+$$
+\begin{aligned}
+10^{j} & <5 \cdot 10^{j} \\
+& <5 \cdot 5^{k} \\
+& =5^{k+1} \\
+& <10 \cdot 10^{j+1}
+\end{aligned}
+$$
+
+Isso significa que a representação decimal de $5^{k+1}$ também possui $j$ algarismos. Por outro lado, se $5^{k+1}$ e $5^{k}$ possuem a mesma quantidade $j$ de algarismos, então o primeiro algarismo de $5^{k}$ é 1 , pois caso contrário
+
+$$
+5^{k+1}=5 \cdot 5^{k}>5 \cdot 2 \cdot 10^{j}=10^{j+1}
+$$
+
+possuiria pelo menos $j+1$ algarismos. Então, o problema se resume a encontrarmos os valores de $k \in\{1,2, \ldots, 2017\}$ tais que $5^{k}$ e $5^{k+1}$ possuem a mesma quantidade de algarismos. Entre duas potências de 5 consecutivas, a quantidade de algarismos cresce em no máximo uma unidade. Como $5^{2018}$ possui 1411 algarismos, dentre as potências $5^{1}$, $5^{2}, \ldots, 5^{2018}$, temos 1410 crescimentos nas quantidades de algarismos entre potências consecutivas e exatamente $2017-1410=607$ valores de $k$ em que $5^{k}$ e $5^{k+1}$ possuem a mesma quantidade de algarismos. Ou seja, o número procurado de potências que começam com 1 é 607.
+
+b) Como $4^{n}$ e $5^{n}$ começam com o mesmo algarismo $d$, existem inteiros não negativos $i \mathrm{e}$ $j$, tais que
+
+$$
+\begin{aligned}
+& d \cdot 10^{i} \leq 4^{n}<(d+1) \cdot 10^{i} \\
+& d \cdot 10^{j} \leq 5^{n}<(d+1) \cdot 10^{j}
+\end{aligned}
+$$
+
+Elevando ao quadrado a segunda dessas expressões e multiplicando o resultado pela primeira, obtemos
+
+$$
+d^{3} \cdot 10^{i+2 j} \leq 10^{2 n}<(d+1)^{3} \cdot 10^{i+2 j} .
+$$
+
+Daí,
+
+$$
+1 \leq d^{3} \leq 10^{2 n-i-2 j}<(d+1)^{3} \leq(9+1)^{3}=1000
+$$
+
+Se $2 n-i-2 j=0$, o único algarismo que satisfaz a desigualdade é $d=1$. Entretanto, nesse caso, como ocorre igualdade na última expressão, devemos ter igualdade nas duas iniciais. Assim, $1 \cdot 10^{i}=4^{n}$. Em virtude do Teorema Fundamental da Aritmética, isso só é possível se $i=0$ e $n=0$. Como $n$ é um inteiro positivo, esse caso não é válido. Então, $2 n-i-2 j>0$. Analisando os cubos
+
+$$
+1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, \ldots, 9^{3}, 10^{3}
+$$
+
+podemos concluir que os únicos algarismos $d$ para os quais o intervalo $\left(d^{3},(d+1)^{3}\right)$ contém uma potência de 10 são $d=2$ e $d=4$. De fato, além do exemplo dado no enunciado garantindo que $d=2$ é possível, $4^{11}$ e $5^{11}$ começam com o algarismo 4 .
+
+## 33 Os estudantes no torneio de xadrez
+
+Dois estudantes precoces do Nível 3 participaram de um torneio de xadrez universitário. Cada participante joga contra todos os outros exatamente uma vez. Uma vitória vale 1 ponto, um empate vale 0,5 ponto e uma derrota vale 0 ponto. A soma das pontuações dos dois estudantes do Nível 3 é 6,5 . Todos os estudantes universitários obtiveram a mesma pontuação. Quantos estudantes universitários participaram da competição?
+
+## 33 Os estudantes no torneio de xadrez - Solução
+
+Seja $x$ a quantidade de estudantes universitários e $p$ a pontuação comum a todos eles. Como em cada jogo é disputado exatamente 1 ponto, segue que o total de pontos do torneio, que é $6,5+p x$, coincide com o número de jogos, que é $\frac{(x+2)(x+1)}{2}$. Além disso, a pontuação de cada participante é um múltiplo inteiro de 0,5 e assim podemos escrever $p=k / 2$, para algum inteiro positivo $k$. Portanto:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{(x+2)(x+1))}{2} & =6,5+p x \\
+(x+2)(x+1) & =13+k x \\
+x^{2}+3 x+2 & =13+k x \\
+x(x+3-k) & =11
+\end{aligned}
+$$
+
+Como $x$ e $x+3-k$ são inteiros, podemos concluir que $x$ é um divisor positivo de 11 , ou seja, $x=1$ ou $x=11$. Não podemos ter $x=1$, pois nesse caso o torneio teria apenas $3 \mathrm{e}$
+não seria possível dois estudantes obterem 6,5 pontos. Para mostrar que $x=11$ é solução, considere o torneio formado pelos universitários $U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{11}$ e pelos estudantes do Nível $3 E_{1}$ e $E_{2}$ com os seguintes resultados:
+
+I) Todos os jogos entre dois universitários terminaram em empate.
+
+II) $E_{1}$ perdeu para $U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{11}$ e $E_{2}$.
+
+III) $E_{2}$ empatou com $U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{11}$.
+
+O torneio com esses resultados satisfaz o enunciado.
+
+## 34 O número de soluções
+
+a) Verifique que para qualquer inteiro positivo $a, \operatorname{com} a>1$, a equação
+
+$$
+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a}
+$$
+
+possui pelo menos três soluções da forma $(x, y)$, com $x$ e $y$ inteiros positivos. Por exemplo, para $a=3$, os pares $(6,6),(4,12)$ e $(12,4)$ são soluções.
+
+b) Encontre o número de pares de inteiros positivos $(x, y)$ que são soluções dessa equação quando $a=2019$.
+
+Dica: Se a fatoração em primos do inteiro positivo $n$ é $p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{\alpha_{2}} \cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha_{k}}$, então ele possui $\left(\alpha_{1}+1\right)\left(\alpha_{2}+1\right) \ldots\left(\alpha_{k}+1\right)$ divisores positivos.
+
+## 34 O número de soluções -Solução
+
+a) Podemos encontrar uma equação equivalente:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} & =\frac{1}{a} \Leftrightarrow \\
+(x-a)(y-a) & =a^{2}
+\end{aligned}
+$$
+
+Como $1 / x$ e $1 / y$ são menores que $1 / a$, segue que $x-a$ e $y-a$ são positivos. Para encontrarmos soluções dessa última equação, considere os seguintes sistemas:
+
+$$
+\left\{\begin{array} { l } 
+{ x - a = 1 } \\
+{ y - a = a ^ { 2 } }
+\end{array} \quad \left\{\begin{array} { l } 
+{ x - a = a } \\
+{ y - a = a }
+\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
+x-a=a^{2} \\
+y-a=1
+\end{array}\right.\right.\right.
+$$
+
+As soluções $(x, y)$ deles são, respectivamente, $\left(a+1, a+a^{2}\right),(2 a, 2 a)$ e $\left(a+a^{2}, a+1\right)$. Se $a>1$, essas soluções são distintas e satisfazem a equação dada.
+b) Em geral, se $d$ é um divisor qualquer de $a^{2}$, sempre existe uma solução em inteiros positivos para o sistema
+
+$$
+\left\{\begin{array}{l}
+x-a=d \\
+y-a=\frac{a^{2}}{d}
+\end{array}\right.
+$$
+
+que é dada por $(x, y)=\left(a+d, a+\frac{a^{2}}{d}\right)$. Existe uma correspondência entre os pares $(x, y)$ que são soluções da equação original e os divisores positivos de $a^{2}$, pois para cada solução o inteiro $x-a$ corresponde a algum divisor positivo $d$ de $a^{2}$. Como $2019^{2}=3^{2} \cdot 673^{2}$, o seu número de divisores positivos é $(2+1) \cdot(2+1)=9$. Logo, o número de soluções é 9 .
+
+## 35 O trapézio e o círculo
+
+Seja $A B C D$ um trapézio, com $A D \| B C$, tal que o lado $C D$ é tangente ao círculo com diâmetro $A B$. Se $G$ é o ponto médio de $C D$ e $C D=8 \mathrm{~cm}$, determine a medida da altura GF.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-40.jpg?height=534&width=804&top_left_y=1179&top_left_x=486)
+
+## 35 O trapézio e o círculo - Solução
+
+Seja $O$ o centro do círculo de diâmetro $A B$. Como $O$ é ponto médio de $A B$ e $G$ é ponto médio de $C D$, segue que $G O$ é base média do trapézio $A B C D$. Daí, $G O$ é paralelo aos lados $A D$ e $B C$. Consequentemente, temos as seguintes igualdades de áreas: $A_{D G O}=A_{A G O} \mathrm{e}$ $A_{C O G}=A_{B G O}$.
+
+Daí,
+
+$$
+\begin{aligned}
+A_{C D O} & =A_{D G O}+A_{C G O} \\
+& =A_{A G O}+A_{B G O} \\
+& =A_{A B G} \\
+& =\frac{A B \cdot h}{2}
+\end{aligned}
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-41.jpg?height=540&width=811&top_left_y=293&top_left_x=689)
+
+Por outro lado, como $E O=A O=B O=\frac{A B}{2}$, segue que
+
+$$
+A_{C D O}=\frac{C D \cdot E O}{2}=\frac{C D \cdot A B}{4}
+$$
+
+Finalmente, comparando as duas expressões para a área $A_{C D O}$, temos
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{A B \cdot h}{2} & =\frac{C D \cdot A B}{4} \\
+h & =\frac{C D}{2} \\
+& =4 \mathrm{~cm}
+\end{aligned}
+$$
+
+## 36 O quadrado perfeito
+
+Os inteiros positivos $x$ e $y$ são tais que o número $x^{2019}+x+y^{2}$ é divisível por $x y$.
+
+a) Dê um exemplo de tais inteiros $x$ e $y, \operatorname{com} x>y$.
+
+b) Verifique que, necessariamente, $x$ é um quadrado perfeito.
+
+## 36 O quadrado perfeito - Solução
+
+a) Basta escolher $x=4$ e $y=2$, pois $4^{2019}+4+2^{2}=8 \cdot\left(2^{4035}+1\right)$ é divisível por $4 \cdot 2=8$.
+b) Seja $d=m d c(x, y)$. Assim, $x=d m$ e $y=d n$, $\operatorname{com} m d c(m, n)=1$. Daí,
+
+$$
+\frac{x^{2019}+x+y^{2}}{x y}=\frac{d^{2018} m^{2019}+m+d n^{2}}{d m n}
+$$
+
+é um inteiro. Como $d$ divide $d^{2018} m^{2019}+m+d n^{2}$, podemos concluir que $d$ divide $m$. Além disso, de $m d c(m, n)=1$ e $\frac{d^{2018} m^{2019}+m+d n^{2}}{m} \in \mathbb{Z}$, podemos concluir que $m$ divide $d$. Como $m$ e $d$ são positivos, $m=d$ e $x=d m=d^{2}$.
+
+## 37 o produto que é um quadrado perfeito
+
+a) Verifique que se $a \in\{1,2,4\}$, então $n(a+n)$ não é um quadrado perfeito para qualquer inteiro positivo $n$.
+
+b) Verifique que se $a=2^{k}$, com $k \geq 3$, então existe um inteiro positivo $n$ tal que $n(a+n)$ é um quadrado perfeito.
+
+c) Verifique que se $a \notin\{1,2,4\}$, então sempre existe um inteiro positivo $n$ tal que $n(a+n)$ é um quadrado perfeito.
+
+## 37 o produto que é um quadrado perfeito - Solução
+
+a) Para $a \in\{1,2,4\}$ e $n$ inteiro positivo, em virtude das desigualdades
+
+$$
+n^{2}<n(n+1)<n(n+2)<(n+1)^{2}
+$$
+
+e
+
+$$
+(n+1)^{2}<n(n+4)<(n+2)^{2}
+$$
+
+podemos concluir que $n(n+a)$ está entre dois quadrados perfeitos consecutivos e, consequentemente, não pode ser um quadrado perfeito.
+
+b) Se $a=2^{k}$, com $k \geq 3$, podemos escrever $a=8 l$, com $l$ inteiro positivo. Basta escolher $n=l$, pois daí $n(a+n)=9 l^{2}=(3 l)^{2}$.
+
+c) Se $a$ não é uma potência de 2, podemos escrever $a=(2 x+1) y$, $\operatorname{com} x \geq 1$ e $y \geq 1$. Basta escolher $n=x^{2} y$, pois daí
+
+$$
+\begin{aligned}
+n(a+n) & =x^{2} y\left((2 x+1) y+x^{2} y\right) \\
+& =x^{2} y^{2}\left(x^{2}+2 x+1\right) \\
+& =(x y(x+1))^{2}
+\end{aligned}
+$$
+
+## 38 Os números no quadro negro
+
+Existem $n$ números em um quadro negro. A seguinte operação é realizada sobre esses números: dois números $a$ e $b$ são apagados e, em seguida, é escrito o número $\frac{a+b}{4}$. A operação é repetida $n-1$ vezes. Como resultado, um único número permanece no quadro. Prove que se todos os números originais são iguais a 1, então o número resultante não é menor que $1 / n$.
+
+## 38 Os números no quadro negro-Solução
+
+Como todo quadrado é não negativo, temos
+
+$$
+\begin{aligned}
+(a-b)^{2} & \geq 0 \\
+(a+b)^{2} & \geq 4 a b \\
+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} & \geq \frac{4}{a+b}
+\end{aligned}
+$$
+
+Essa desigualdade implica na soma $S$ dos inversos dos números escritos no quadro não aumentar após cada operação. Inicialmente, a soma é igual a $n$. Portanto, no final do processo, teremos $S \leq n$, ou seja, o número restante $\frac{1}{S}$ é pelo menos $\frac{1}{n}$.
+
+## 39 A cadeia no triângulo
+
+Todo lado de um triângulo equilátero é dividido em $n$ partes iguais. Linhas paralelas aos lados do triângulo são desenhadas através desses pontos dividindo o triângulo em $n^{2}$ triângulos menores. Dizemos que uma sequência de triângulos distintos é uma cadeia se dois triângulos sucessivos compartilham um lado em comum. Qual é o maior número possível de triângulos em uma cadeia?
+
+## 39 A cadeia no triângulo - Solução
+
+A resposta é $n^{2}-n+1$ e uma cadeia com essa quantidade de triângulos é mostrada a seguir. Para mostrar que esse número é o máximo, pinte os triângulos de forma alternada com duas cores como também indica a figura abaixo. Existem $n$ triângulos brancos a mais que cinzas. Como os triângulos da cadeia são de cores alternadas, pode existir no máximo um triângulo branco a mais que um cinza. Portanto, pelo menos $n-1$ triângulos brancos não fazem parte da cadeia.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-44.jpg?height=346&width=402&top_left_y=237&top_left_x=698)
+
+## 40 Os voos entre as cidades
+
+Em um certo país, existem exatamente 2019 cidades e entre quaisquer duas delas existe exatamente um voo direto operado por alguma companhia aérea, isto é, dadas as cidades $A$ e $B$ ou existe um voo de $A$ para $B$ ou um voo de $B$ para $A$. Encontre o menor número de companhias aéreas que operam no país, sabendo que os voos diretos entre quaisquer três cidades distintas são operados por companhias diferentes.
+
+## 40 Os voos entre as cidades - Solução
+
+A resposta é 2019. Como existem 1009 pares disjuntos de cidades, cada companhia aérea pode operar em no máximo 1009 pares. Existem exatamente 2019 $\cdot$ 2018/2 voos diretos e, portanto, o número de companhias aéreas é pelo menos $\frac{2019 \cdot 2018}{2 \cdot 1009}=2019$. Resta exibirmos um exemplo para verificar que essa quantidade é realmente possível. Denote as cidades por $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{2019}$ e as companhias por $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{2019}$. Conecte as cidades $c_{i}$ e $c_{j}$ por um voo da companhia $f_{l}$ se o resto na divisão de $i+j$ por 2019 é $l$. Para verificar que essa escolha de companhias satisfaz o enunciado, considere três cidades quaisquer $c_{i}, c_{j}$ e $c_{k}$. Para que exista uma mesma companhia operando em dois pares delas, no conjunto
+
+$$
+\{i+j, i+k, k+j\}
+$$
+
+devem existir dois números com o mesmo resto na divisão por 2019. Digamos que esses dois números sejam $i+j$ e $i+k$. A diferença entre eles será então um múltiplo de $2019 \mathrm{e}$ podemos escrever, para algum $m$ inteiro, que
+
+$$
+j-k=(i+j)-(i+k)=2019 \cdot m
+$$
+
+Como $j, k \in\{1,2,3, \ldots, 2019\}$ são distintos, $|j-k| \in\{1,2,3, \ldots, 2018\}$. Esse conjunto não contém nenhum múltiplo de 2019 e, consequentemente, a última equação não admite solução. Isso mostra que nessa distribuição as companhias que operam os voos diretos entre quaisquer três cidades são distintas.
+
+## 41 A competição de matemática
+
+Uma competição de matemática consiste de três problemas, cada um dos quais recebe uma nota inteira de 0 a 7. Para quaisquer dois competidores, sabemos que existe no máximo um problema em que eles obtiveram a mesma pontuação. Encontre o maior número possível de competidores nessa competição.
+
+## 41 A competição de matemática-Solução
+
+Existem 8 pontuações possíveis para cada problema e, consequentemente, $8 \cdot 8=64$ pontuações distintas possíveis para os dois primeiros problemas. Como não podem existir dois competidores com exatamente as mesmas pontuações nos dois primeiros problemas, o total de competidores não pode ser maior que 64. Iremos mostrar agora que esse valor máximo é realizável. Para isso, basta exibirmos uma distribuição de pontuações entre 64 jogadores satisfazendo às condições do enunciado. Considere a tabela:
+
+|  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
+| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 |
+| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 |
+| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 |
+| 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 |
+| 5 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
+| 6 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
+| 7 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
+
+As linhas indicarão a pontuação no primeiro problema e as colunas as do segundo problema. Para cada uma das 64 combinações possíveis de linhas e colunas, que realizam todas as 64 pontuações possíveis nos dois primeiros problemas, escolha como pontuação do terceiro problema o número escrito na interseção delas. Por exemplo, a combinação da linha de número 2 com a coluna de número 5 gera a pontuação $(2,5,7)$. Como não existem números repetidos nas linhas e colunas, todas essas triplas geram pontuações satisfazendo as condições do enunciado.
+
+Observação: Outra construção possível seria escolher para cada um dos 64 pares de pontuações possíveis nos dois primeiros problemas, digamos $\left(p_{1}, p_{2}\right)$, usar como $p_{3}$ o único inteiro do conjunto $\{0,1, \ldots, 7\}$ de modo que $p_{1}+p_{2}+p_{3}$ seja múltiplo de 8 . Se existem duas triplas ( $\left.p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)$ e $\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)$ com duas pontuações iguais nos mesmos problemas, então as demais pontuações também deverão coincidir, pois o conjunto $\{0,1, \ldots, 7\}$ contém apenas um representante de cada resto possível na divisão por 8 .
+
+## 42 O torneio de xadrez
+
+Vinte jogadores participaram de um torneio de xadrez. Cada jogador enfrentou todos outro jogador exatamente uma vez e cada partida terminou com a vitória de um dos jogadores ou em empate. Nesse torneio, notou-se que para cada partida que terminou em empate, cada um dos demais 18 jogadores venceu pelo menos um dos dois jogadores envolvidos nela. Sabemos ainda que pelo menos dois jogos terminaram em empate. Mostre que é possível nomear os jogadores como $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{20}$ de modo que o jogador $P_{k}$ ganhou do jogador $P_{k+1}$, para cada $k \in\{1,2,3, \ldots, 19\}$.
+
+## 42 O torneio de xadrez-Solução
+
+Inicialmente mostraremos que cada jogador participou de no máximo um empate. Suponha, por absurdo, que o jogador $A$ empatou com os jogadores $B$ e $C$. Como $A$ empatou $\operatorname{com} B$, pelas regras mencionadas, $C$ ganhou de $A$ ou de $B$. Dado que $C$ empatou com $A$, a única possibilidade é $C$ ter ganho de $B$. Por simetria, também podemos concluir que $B$ ganhou de $C$. Isso é um absurdo. Considere agora a maior cadeia de jogadores $P_{1}, P_{2}, \ldots$, $P_{t} \operatorname{com} P_{k}$ perdendo para $P_{k+1}$, para $k=1,2, \ldots, t-1$. Nosso objetivo é mostrar que $t=20$. Suponha, novamente por absurdo, que existe um jogador $A$ que não está na cadeia. Assim, $P_{1}$ não pode ter ganho de $A$, pois, caso contrário, ele poderia ser incluído na cadeia. Se $A$ venceu $P_{1}$, então $A$ não empatou com $P_{2}$. Se $A$ perdeu para $P_{2}$, podemos inserir $A$ entre $P_{1}$ e $P_{2}$ e aumentar a cadeia, obtendo assim uma contradição. Então, se $A$ venceu $P_{1}$, então também venceu $P_{2}$. Podemos repetir o argumento com os demais membros da cadeia e concluir que $A$ ganhou de todos eles, podendo assim ser incluído no final da cadeia. Isso também é uma contradição.
+
+Resta analisarmos o caso em que $A$ empatou com $P_{1}$. Como $P_{1}$ empatou no máximo uma vez, podemos assumir $t=19$, pois, caso contrário, podemos trocar de jogador e recair na situação já tratada no último parágrafo. Se $A$ venceu $P_{2}$, também deve ter vencido $P_{3}$, do contrário poderíamos inserir $A$ entre $P_{3}$ e $P_{2}$. Repetindo esse argumento, podemos concluir que $A$ venceu todos os demais e assim pode ser incluído no final da cadeia, gerando um absurdo. Então $A$ perdeu para $P_{2}$ e, de forma semelhante, para todos os demais entre $P_{2}$ e $P_{19}$. Como existem pelo menos dois empates, devem existir $i$ e $j$, com $i, j \geq 2$, tais que $P_{i}$ e $P_{j}$ empataram. Entretanto, $A$ não pode ter vencido nenhum desses dois jogadores e isso gera um novo absurdo. Logo, a cadeia maximal deve conter todos os jogadores.
+
+## Banco de Questões 2019
+
+1. O perímetro do retângulo - Páginas 25 e 89.
+
+Há um pequeno erro nas figuras inseridas no problema e na solução. Elas devem ser trocadas por:
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-47.jpg?height=196&width=1118&top_left_y=1302&top_left_x=571)
+
+Agradecemos o comentário de Manoela E Te Ferraz em relação a esse erro.
+
+2. SEQUENLADA - Página 83.
+
+No intem a), deveria estar escrito: $246.831 \rightarrow 124.611 \rightarrow 11.247 \rightarrow 7116 \rightarrow 672 \rightarrow 213 \rightarrow$ $33 \rightarrow 6$.
+
+3. Transformações Multissômicas - Página 114
+
+Na última frase, deveria estar escrito 14 em vez de 13, como obtido na solução.
+
+Agradecemos ao professor Roberto Antonio Vosgerau pelos comentários desses últimos dois erros.
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2006_N1.md

@@ -0,0 +1,1246 @@
+1) Quando Joana entrou em sua sala de aula, a professora estava apagando o quadro negro, mas ela ainda pôde ver algo escrito, conforme mostra a figura. Qual é o número que foi apagado?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-01.jpg?height=271&width=508&top_left_y=647&top_left_x=680)
+A) 8
+B) 9
+C) 11
+D) 12
+E) 13
+
+2) Numa papelaria, pacotes com 500 folhas de papel, cada um, são armazenados em pilhas de 60 pacotes. Cada folha de papel tem espessura de $0,1 \mathrm{~mm}$. Ignorando a espessura do papel utilizado para embrulhar os pacotes, o que podemos afirmar sobre a altura de uma pilha?
+
+A)É aproximadamente a sua altura.
+
+B) É aproximadamente a altura de um bebê de um ano.
+
+C)É aproximadamente a altura de uma mesa comum.
+
+D)É aproximadamente a altura de um prédio de dez andares.
+
+E) É aproximadamente a altura de uma sala de aula.
+
+3) Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. $\mathrm{O}$ maior deles só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. Se a diferença entre eles é a maior possível, qual é essa diferença?
+A) 997
+B) 777
+C) 507
+D) 531
+E) 729
+4) Uma farmácia dá desconto de $30 \%$, sobre o preço de tabela, em todos os medicamentos que vende. Ao adquirir um remédio cujo preço de tabela é 120 reais, quanto uma pessoa irá pagar com esse desconto?
+A) 36 reais
+B) 84 reais
+C) 64 reais
+D) mais de 116 reais
+E) 94 reais
+5) Quatro cidades $A, B, C$ e $D$, foram construídas à beira de uma rodovia reta, conforme a ilustração abaixo:
+
+$$
+A \quad B \quad C \quad D
+$$
+
+A distância entre $A$ e $C$ é de $50 \mathrm{~km}$ e a distância entre $B$ e $D$ é de $45 \mathrm{~km}$. Além disso, sabese que a distância entre a primeira e a última é de $80 \mathrm{~km}$. Qual é a distância entre as cidades $B$ e $C$ ?
+A) $15 \mathrm{~km}$
+B) $20 \mathrm{~km}$
+C) $25 \mathrm{~km}$
+D) $5 \mathrm{~km}$
+E) $10 \mathrm{~km}$
+
+6) Na tabela a seguir vemos o consumo mensal de água de uma família, durante os 5 primeiros meses de 2004.
+
+| Meses | Consumo <br> $\left(\mathbf{m}^{3}\right)$ |
+| :---: | :---: |
+| Janeiro | 12,5 |
+| Fevereiro | 13,8 |
+| Março | 13,7 |
+| Abril | 11,4 |
+| Maio | 12,1 |
+
+Qual é o consumo médio mensal dessa família de janeiro a maio?
+A) $11,3 m^{3}$
+B) $11,7 \mathrm{~m}^{3}$
+C) $12,7 \mathrm{~m}^{3}$
+D) $63,5 \mathrm{~m}^{3}$
+E) $317,5 \mathrm{~m}^{3}$
+
+7) Escreva os números de 0 a 9 nos círculos ao lado, de forma que eles cresçam no sentido anti-horário. Em seguida, subtraia 1 dos números ímpares e some 1 aos números pares. Escolhendo três círculos consecutivos, qual é a maior soma que se pode obter?
+A) 19
+B) 21
+C) 23
+D) 24
+E) 25
+8) Na malha quadriculada a seguir, todas as circunferências têm o mesmo centro. Então, pode-se concluir que a área cinza é:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-02.jpg?height=345&width=348&top_left_y=1512&top_left_x=246)
+
+A) Dois quintos da área do círculo maior.
+
+B) Três sétimos da área do círculo maior.
+
+C) Metade da área do círculo maior.
+
+D) Quatro sétimos da área do círculo maior.
+
+E) Três quintos da área do círculo maior
+
+9) A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias fazendo várias trocas?
+A) 11
+B) 12
+C) 13
+D) 14
+E) 15
+10) Ester vai a uma papelaria para comprar cadernos e canetas. Nesta papelaria os cadernos custam $R \$ 6,00$ cada um. Se ela comprar 3 cadernos, sobram $R \$ 4,00$. Se o seu irmão lhe emprestar $R \$ 4,00$, com o total ela conseguirá comprar 2 cadernos e outras 7 canetas iguais.
+
+a) Quanto custa cada caneta?
+
+b) Se ela comprar 2 cadernos e não pedir dinheiro emprestado, quantas das canetas acima Ester poderá comprar?
+
+1. (D) Solução 1 - Como $96 \div 8=12$, temos $8 \times 12=96$.
+
+Observe que a solução é equivalente a resolver a equação $8 x=96$, cuja raiz é $x=\frac{96}{8}=12$.
+
+Solução 2 - Devemos encontrar na lista de cinco opções qual é o número que multiplicado por 8 dá 96 . O algarismo das unidades deste número só pode ser 2 ou 7 .
+
+Logo, só pode ser o número 12 .
+
+2. (E) Como a espessura de cada folha é $0,1 \mathrm{~mm}$, a altura de um pacote com 500 folhas é $500 \times 0,1 \mathrm{~mm}=50 \mathrm{~mm}$. Logo, a altura de cada pilha será $60 \times 50 \mathrm{~mm}=3000 \mathrm{~mm}=3 \mathrm{~m}$.
+3. (E) Para que a diferença seja a maior possível devemos escolher o maior número de 3 algarismos pares diferentes e o menor número de 3 algarismos ímpares diferentes. $\mathrm{O}$ maior número de 3 algarismos pares diferentes é 864 e o menor número de 3 algarismos ímpares diferentes é 135 . A diferença entre eles é $864-135=729$.
+4. (B) Solução 1 - A pessoa irá pagar 120 reais menos o desconto que é de $30 \%$ sobre 120 . Ou seja: $120-0,3 \times 120=120-36=84$ reais.
+
+Solução 2- Podemos também resolver este problema notando que se o desconto é de $30 \%$ então o preço que a pessoa pagará é $70 \%$ de 120 , ou seja: $0,7 \times 120=84$ reais.
+
+5. (A) Solução 1 - Temos $C D=80-50=30$ e $A B=80-45=35$. Logo $B C=80-35-30=15$.
+
+## Solução 2 -
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-03.jpg?height=279&width=577&top_left_y=1848&top_left_x=180)
+
+Do enunciado temos: $A C=50, B D=45$ e $A D=80$. Da figura segue que $B C=A C-A B$, logo $B C=50-A B$.
+
+Logo, basta calcular $A B$. Para isso, note na figura que $A B=A D-B D$, e portanto, $A B=80-45=35$.
+
+Finalmente, $B C=50-35=15 \mathrm{~km}$.
+
+Solução 3 - Da figura temos que $45-B C=80-50$. Logo, $B C=15 \mathrm{~km}$.
+
+6. (C) Lembre que a média aritmética de $n$ números é a soma desses números dividido por $n$. Por exemplo: a média aritmética dos números $3,6,8$ e 26 é $\frac{3+6+8+26}{4}=\frac{43}{4}=10,75$.
+
+Analogamente, define-se o consumo mensal médio como a razão entre a soma dos consumos mensais e o número de meses. Logo, o consumo mensal médio é igual a $\frac{12,5+13,8+13,7+11,4+12,1}{5}=12,7 \mathrm{~m}^{3}$.
+
+7. (C) A partir de qualquer círculo, obtemos inicialmente a seqüência $0,1,2,3,4,5,6,7,8$, 9;
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-04.jpg?height=334&width=349&top_left_y=318&top_left_x=228)
+
+Subtraindo 1 dos ímpares e somando 1 aos pares, a seqüência torna-se $1,0,3,2,5,4,7,6,9$, 8 . Agora é fácil verificar que a maior soma possível com 3 números consecutivos é $6+9+8=23$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-04.jpg?height=345&width=351&top_left_y=336&top_left_x=1481)
+
+8. (C) Observe que a figura é simétrica em relação à reta $r$ que passa pelo centro comum das circunferências. Para cada região cinza de um lado de $r$ existe uma região branca equivalente do outro lado de $r$, e vice-versa. Logo, a área cinza é igual à área branca. Além disso, a soma dessas duas áreas é igual à área do círculo maior. Portanto, a área cinza é metade da área do círculo maior.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-04.jpg?height=557&width=443&top_left_y=1166&top_left_x=178)
+
+9. (D) Como $43=10 \times 4+3$, numa primeira vez, as 43 garrafas vazias podem ser trocadas por 10 garrafas cheias, sobrando ainda 3 vazias. Agora, consumindo o leite dessas 10 garrafas, ficamos com 13 vazias, $13=4 \times 3+1$, que podem ser trocadas desta vez por 3 cheias, sobrando 1 vazia. Finalmente, consumindo o leite das 3 garrafas cheias, sobram 4 vazias, que podem ser trocadas por 1 cheia. Portanto, o total de garrafas cheias de leite que podem ser obtidas é $10+3+1=14$.
+10. Comprando 3 cadernos por 6 reais cada um ainda sobram 4 reais para Ester, logo, a quantia que ela possui é:
+
+$3 \times 6+4=22$ reais.
+
+(a) Se o irmão lhe empresta 4 reais, ela fica então com $22+4=26$ reais. Conforme dados do problema, com 26 reais, Ester pode comprar 2 cadernos a 6 reais cada um e 7 canetas. Portanto, o preço das 7 canetas é $26-2 \times 6=26-12=14$ reais. Concluímos que o preço de cada caneta é $14 \div 7=2$ reais.
+
+(b) Como Ester tinha 22 reais, se ela comprar 2 cadernos, sobram-lhe ainda $22-2 \times 6=22-12=10$ reais. Como cada caneta custa 2 reais, ela poderá comprar $10 \div 2=5$ canetas.
+
+1) Um pedreiro é capaz de assentar 8 metros de muro por dia. Quantos metros de muro esse pedreiro consegue assentar em 15 dias?
+A) 104
+B) 110
+C) 120
+D) 128
+E) 112
+2) A balança da figura está em equilíbrio com bolas e saquinhos de areia em cada um de seus pratos. As bolas são todas iguais e os saquinhos também. O peso de um saquinho de areia é igual ao peso de quantas bolas?
+A) 1
+B) 2
+C) 3
+D) 5
+E) 6
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-05.jpg?height=288&width=445&top_left_y=1298&top_left_x=200)
+
+3) Três frascos, todos com capacidade igual a um litro, contêm quantidades diferentes de um mesmo líquido, conforme ilustração ao lado. Qual das alternativas abaixo melhor expressa, aproximadamente, o volume de líquido contido nos frascos A, B e C, nesta ordem?
+A) $\frac{3}{7} ; \frac{4}{9} ; \frac{2}{5}$
+B) $\frac{2}{3} ; \frac{1}{2} ; \frac{1}{4}$
+C) $\frac{2}{3} ; \frac{4}{6} ; \frac{2}{4}$
+D) $\frac{2}{3} ; \frac{4}{7} ; \frac{3}{4}$
+Е) $\frac{3}{3} ; \frac{4}{5} ; \frac{2}{3}$
+4) Um litro de álcool custa $\mathrm{R} \$ 0,75$. O carro de Maria percorre $25 \mathrm{~km}$ com 3 litros de álcool.Quantos reais Maria gastará com álcool para percorrer $600 \mathrm{~km}$ ?
+A) 54
+B) 72
+C) 50
+D) 52
+E) 45
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-05.jpg?height=514&width=366&top_left_y=2170&top_left_x=228)
+
+5) Num armazém foram empilhadas algumas caixas que formaram o monte mostrado na figura. Se cada caixa pesa $25 \mathrm{~kg}$ quanto pesa o monte com todas as caixas?
+A) $300 \mathrm{~kg}$
+B) $325 \mathrm{~kg}$
+C) $350 \mathrm{~kg}$
+D) $375 \mathrm{~kg}$
+E) $400 \mathrm{~kg}$
+6) Um livro de 100 páginas tem suas páginas numeradas de 1 a 100 . Quantas folhas desse livro possuem o algarismo 5 em sua numeração?
+A) 13
+B) 14
+C) 15
+D) 16
+E) 17
+7) A figura abaixo foi desenhada em cartolina e dobrada de modo a formar um cubo.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=234&width=308&top_left_y=591&top_left_x=246)
+
+Qual das alternativas mostra o cubo assim formado?
+A)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=97&width=108&top_left_y=868&top_left_x=400)
+B)
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=100&width=416&top_left_y=866&top_left_x=681)
+C)
+D)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=109&width=115&top_left_y=868&top_left_x=1256)
+E)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=97&width=111&top_left_y=868&top_left_x=1555)
+
+8) José colou uma bandeirinha em cada um dos dois discos dentados que formam uma engrenagem, como mostra a figura ao lado:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=254&width=502&top_left_y=1044&top_left_x=1391)
+
+Os dois discos são exatamente iguais. José girou a engrenagem, e é claro que as bandeirinhas mudaram de posição. Qual é a nova posição das duas bandeirinhas?
+A)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=231&width=440&top_left_y=1455&top_left_x=334)
+B)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=234&width=434&top_left_y=1456&top_left_x=868)
+D)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=231&width=446&top_left_y=1735&top_left_x=591)
+E)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=229&width=443&top_left_y=1733&top_left_x=1092)
+C)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=231&width=454&top_left_y=1461&top_left_x=1349)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=314&width=539&top_left_y=1990&top_left_x=196)
+
+9) O desenho ao lado é a planta de uma casa, cujo piso é retangular, e no qual estão desenhados 7 quadrados numerados de 1 a 7 na figura. Se a área do menor desses quadrados é $1 \mathrm{~m}^{2}$, a área total do piso, em metros quadrados, é igual a:
+A) 42
+B) 44
+C) 45
+D) 48
+E) 49
+10) O número da casa de Júlia tem exatamente três algarismos, cuja soma é 24 . Encontre todos os possíveis números da casa de Júlia, em cada uma das situações a seguir:
+
+a) Os três algarismos são iguais.
+
+b) Os algarismos são todos diferentes.
+
+c) Apenas dois algarismos são iguais.
+
+1.(C) Se o pedreiro assenta 8 metros por dia, em 15 dias assentará $15 \times 8=120$.
+
+2. (B) Retirando-se dois saquinhos e quatro bolas de cada prato, a balança continua equilibrada, e restam 3 saquinhos no prato à esquerda e 6 bolas no prato da direita. Logo:
+
+$$
+\text { peso de } 3 \text { saquinhos = peso de } 6 \text { bolas. }
+$$
+
+Daí, concluímos que o peso de 1 saquinho é igual ao peso de 2 bolas.
+
+Esta solução corresponde a explicitar $\mathrm{x}$ em função de y na equação $5 x+4 y=2 x+10 y$, onde $x$ representa o peso de um saquinho e $y$ o de uma bola. Desta equação segue que:
+
+$$
+5 x-2 x=10 y-4 y \Rightarrow 3 x=6 y \Rightarrow x=2 y
+$$
+
+3. (B) Solução 1 - As figuras mostram que os volumes ocupados pelos líquidos correspondem, aproximadamente a mais da metade no frasco A, a metade no frasco B e menos da metade no frasco C.
+
+O único grupo de frações que corresponde a essas estimativas é: $\frac{2}{3}$ (mais que a metade); $\frac{1}{2}$ (metade); $\frac{1}{4}$ (menos que a metade).
+
+Solução 2 - As figuras mostram que os volumes ocupados pelos líquidos são números decrescentes. As únicas opções possíveis são B e E. Como $\frac{3}{3}=1$ e nenhum frasco está cheio, a resposta é B.
+
+4. (A) Solução 1 - Se num percurso de $25 \mathrm{~km}$ ela gasta 3 litros, então para percorrer $100 \mathrm{~km}$, Maria gastará $4 \times 3=12$ litros. Portanto, para percorrer $600 \mathrm{~km}$ o carro gastará $6 \times 12=72$ litros. Como cada litro custa 0,75 reais, então 72 litros custarão $0,75 \times 72=54$ reais.
+
+Solução 2 - Observe que podemos usar a Regra de Três para calcular quantos litros são gastos em $600 \mathrm{~km}$ :
+
+| 3 litros |  | $25 \mathrm{~km}$ |
+| :--- | :--- | :--- |
+| $x$ litros |  |  |
+|  |  | $600 \mathrm{~km}$ |
+
+Como esta regra de três é direta temos: $25 x=3 \times 600 \Rightarrow x=3 \times \frac{600}{5}=72$ litros.
+
+Solução 3 - Como $600=25 \times 24$, temos que o carro gastará $24 \times 3=72$ litros.
+
+5. (C) Na figura, vemos: 1 coluna com 3 caixas, 4 colunas com 2 caixas e 3 colunas com uma caixa. Logo, o total de caixas é $1 \times 3+4 \times 2+3 \times 1=14$. Como cada caixa pesa $25 \mathrm{~kg}$, o peso do monte de caixas é $14 \times 25=350 \mathrm{~kg}$.
+6. (C) O algarismo 5 aparece nos números 5, 15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85 e 95 . Agora, como o livro é numerado de 1 a 100 , a $1^{\text {a }}$ folha contém as páginas 1 e 2 , a $2^{a}$ folha as páginas 3 e 4, a 3a folha as páginas 5 e 6 , e assim sucessivamente. Ou seja, as duas páginas que compõem cada folha têm a seguinte numeração: um número ímpar e o número par consecutivo.
+
+$$
+1,2 ; \underbrace{3,4} ; \ldots ; \underbrace{47,48} ; \underbrace{99,50} ; \underbrace{51,52} ; \ldots ; \underbrace{59,60} ; \ldots ; \underbrace{95,96} ; \underbrace{97,98} ; \underbrace{99,100} .
+$$
+
+Assim, estão numa mesma folha as seguintes duplas de números: $\underbrace{49,50 ;} \underbrace{51,52 ;} \underbrace{53,54 ;} \underbrace{55,56}$; 57,58; $\underbrace{59,60}$. Logo, neste grupo temos 6 folhas. Por outro lado, de 1 a 48 temos 5 folhas com o algarismo 5, e de 61 a 100, 4 folhas. Portanto, o total de folhas contendo o algarismo 5 em sua numeração é: $6+5+4=15$.
+
+7. (B) As opções A e E; C e D são iguais entre si e distintas de (B).
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-08.jpg?height=220&width=392&top_left_y=1346&top_left_x=181)
+
+8. (A) A engrenagem desta questão é formada por dois discos dentados. Quando um deles gira no sentido horário, o outro gira no sentido antihorário.
+
+As 5 opções de resposta mostram a bandeira do disco à esquerda numa posição, que corresponde a uma rotação deste disco no sentido horário de um certo ângulo. Nesse caso, a engrenagem direita girou desse mesmo ângulo no sentido anti-horário, levando a bandeirinha para a posição indicada na primeira alternativa.
+
+9. (C) Solução 1 - Como os quadrados menores têm $1 m^{2}$ de área, cada um deles tem lado igual a $1 \mathrm{~m}$. Da figura concluímos que $B C=2 m$ e $B H=3 m$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-08.jpg?height=459&width=725&top_left_y=1992&top_left_x=194)
+
+Como $A B C D$ é um quadrado segue que $B C=C D=A D=A B=2 m$. Sendo $C D E F$ também um quadrado, temos $C D=D E=2 m$. Novamente da figura temos: $A H=A B+B H=2+3=5, \quad J E=J A+A D+D E$ e $J A=A H$. Segue que $J E=5+2+2=9$. Como $E G=A H=5$, as dimensões do terreno são $9 m$ de comprimento por $5 m$ de largura. Portanto, a sua área é $9 m \times 5 m=45 m^{2}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-09.jpg?height=422&width=745&top_left_y=283&top_left_x=130)
+
+Solução 2 - Quadriculando o retângulo maior com quadrados de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área, obtemos um retângulo ( $B F G H$ ) formado por 12 quadrados de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área, dois quadrados ( $A B C D$ e $D C F E$ ) formados por 4 quadrados cada um de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área, e um quadrado ( $A H I J$ ) formado por 25 quadrados de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área. Portanto, a área pedida é $12+4+4+25=45 \mathrm{~m}^{2}$.
+
+10. Nesta questão, o número 24 deve ser escrito como uma soma de 3 algarismos. Inicialmente, note que os algarismos $0,1,2,3,4$ e 5 não podem ser usados. Se um deles fosse usado, por exemplo o algarismo 5, então teríamos que encontrar dois algarismos cuja soma é 19 , pois 24-5=19. Sabemos que isso não é possível. O mesmo ocorre com os algarismos 0,1,2,3e 4. Logo, o número da casa de Júlia só pode ser composto pelos algarismos $6,7,8$ e 9 .
+
+a) Se os três algarismos são iguais então o número da casa é 888 .
+
+b) Se os três algarismos são diferentes, temos apenas as seguintes alternativas:
+
+Iniciando com o algarismo 9: $\quad 987$ e 978
+
+Iniciando com o algarismo 8: $\quad 897$ e 879
+
+Iniciando com o algarismo 7: $\quad 798$ e 789
+
+Note que neste item o número da casa não pode iniciar com o algarismo 6 , pois 24-6=18, e a única maneira de escrever 18 como soma de dois algarismos é $9+9$, o que daria um número com dois algarismos iguais.
+
+c) Com apenas dois algarismos iguais temos 3 números: 996, 699 e 969 .
+
+1) O famoso matemático grego Pitágoras chamou de números triangulares os números obtidos pela soma dos primeiros números inteiros maiores que 0 . Por exemplo, 1, 3 , 6 e 10 são números triangulares:
+
+$$
+\begin{aligned}
+1 & =1 \\
+3 & =1+2 \\
+6 & =1+2+3 \\
+10 & =1+2+3+4
+\end{aligned}
+$$
+
+A figura ilustra a motivação para o nome números triangulares.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-10.jpg?height=260&width=862&top_left_y=972&top_left_x=603)
+
+A seqüência de números triangulares continua com $1+2+3+4+5=15, \quad 1+2+3+4+5+6=21$, etc. Quantos são os números triangulares menores do que 100?
+
+2) Uma bibliotecária recebe 130 livros de Matemática e 195 livros de Português. Ela quer arrumá-los em estantes, colocando igual quantidade de livros em cada estante, sem misturar livros de Matemática e de Português na mesma estante. Quantos livros ela deve colocar em cada estante para que o número de estantes utilizadas seja o menor possível?
+3) A sexta parte dos alunos de uma classe usam óculos. Dentre os que usam óculos, $\frac{1}{3}$ são meninas; além disso, 4 meninos usam óculos. Quantos são os alunos dessa classe?
+
+|  |  | $3 / 5$ |
+| :--- | :--- | :--- |
+|  | $1 / 2$ |  |
+| 0,4 | 0,5 |  |
+
+4) Complete as casas em branco da tabela ao lado com frações de modo que a soma dos três números de qualquer linha, qualquer coluna e das duas diagonais seja sempre a mesma.
+5) Sejam $A, B$ e $C$ algarismos diferentes de zero tais que $(A B)^{2}=C A B$, isto é, o número de dois algarismos $A B$ elevado ao quadrado dá o número de 3 algarismos $C A B$. Determine o valor de $A+B+C$.
+6) Uma faixa quadriculada tem 5 quadradinhos na largura e 250 quadradinhos no comprimento.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-11.jpg?height=437&width=1579&top_left_y=410&top_left_x=250)
+
+## 250 quadradinhos
+
+Alguns quadradinhos serão pintados de cinza, começando da esquerda, conforme o modelo ilustrado na figura, e continuando com este padrão até chegar ao final da faixa à direita. Quantos quadradinhos não serão pintados?
+
+7) João tem, em seu jardim, uma cisterna na qual ele armazena água de chuva e tira água para regar suas flores. À meia-noite do dia 31 de dezembro de 2005 a cisterna continha 156 litros de água. João tem o hábito de anotar em um quadro, todo dia, o número de litros de água gasta para regar as flores e de água recolhida da chuva. Abaixo vemos parte do quadro referente aos primeiros dias de 2006:
+
+| Data | litros de água <br> gastos para <br> regar as flores | litros de água <br> recolhidos da chuva |
+| :---: | :---: | :---: |
+| $1^{\circ}$ de janeiro | 6 | 2,5 |
+| 2 de janeiro | 9 | 0 |
+| 3 de janeiro | 0 | 5 |
+| 4 de janeiro | 4 | 0 |
+| 5 de janeiro | 9 | 3 |
+| 6 de janeiro | 0 | 0 |
+| 7 de janeiro | 11 | 4,5 |
+| 8 de janeiro | 0 | 0 |
+
+Quantos litros de água havia na cisterna do João à meia noite do dia 8 de janeiro de 2006 ?
+
+1. Notamos que o segundo número triangular é obtido a partir do primeiro acrescentando-se $2, o$ terceiro é obtido do segundo acrescentando-se $3 \mathrm{e}$ assim por diante. Essa observação nos mostra como calcular os próximos números triangulares sem fazer muitas contas; por exemplo, já sabemos que o quarto número triangular é 10 , donde o quinto será $10+5=15$, o sexto sendo então $15+6=21$. Podemos assim escrever os números triangulares até passar de 100:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-12.jpg?height=128&width=1442&top_left_y=864&top_left_x=247)
+
+Logo, os números triangulares menores que 100, são: $1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78$ e 91 . Assim, temos 13 números triangulares menores do que 100 .
+
+2. Chamemos de $n$ o número de livros que a bibliotecária vai colocar em cada estante. Então temos: $130 \div n=$ número de estantes para os livros de Matemática e $195 \div n=$ número de estantes para os livros de Português.
+
+Isso mostra que $n$ deve ser um divisor comum de 130 e 195 , pois o número de estantes utilizadas é inteiro. Sabemos que quando aumentamos o denominador de uma fração, esta fração diminui (por exemplo: $\frac{27}{10}$ é menor do que $\frac{27}{8}$ ). Logo, quanto maior for o denominador $n$, menores serão as frações $\frac{130}{n}$ e $\frac{195}{n}$, o que significa que menor será o número de estantes utilizadas. Vemos assim que $n$ deve ser o maior divisor comum (MDC) de 130 e 195. Como $130=2 \times 5 \times 13$ e $195=3 \times 5 \times 13$ segue que o MDC de 130 e 195 é $5 \times 13=65$.
+
+Logo, a bibliotecária vai colocar 65 livros em cada estante. Portanto, o número de estantes para os livros de Matemática é $130 \div 65=2$ e o número de estantes para os de Português é $195 \div 65=3$, o que dá um total de $2+3=5$ estantes.
+
+3. Nosso problema aqui é achar o número de alunos da classe. O enunciado diz que $\frac{1}{6}$ dos alunos usam óculos, e destes $\frac{1}{3}$ são meninas, isto é $\frac{1}{3}$ de $\frac{1}{6}$ são meninas. Como
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-13.jpg?height=140&width=1234&top_left_y=461&top_left_x=411)
+
+Como $\frac{1}{6}-\frac{1}{3} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{6}-\frac{1}{18}=\frac{3}{18}-\frac{1}{18}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$, concluímos que $\frac{1}{9}$ da classe consiste de meninos que usam óculos, que são em número de 4 . Temos
+
+$\frac{1}{9}$ da classe $\xrightarrow{\text { corresponde a }} 4$ alunos
+$\frac{9}{9}$ da classe $\xrightarrow{\text { corresponde a }} 4 \times 9=36$ alunos
+
+Logo, o número de alunos na classe é 36 .
+
+4. Para facilitar nossas contas, é conveniente reduzir todas as frações que aparecem a um mesmo denominador. Como $0,4=\frac{4}{10}$ e $0,5=\frac{5}{10}$, podemos reescrever a tabela como ao lado, onde indicamos com letras, os números
+
+| $\mathrm{a}$ | $\mathrm{c}$ | $6 / 10$ |
+| :---: | :---: | :---: |
+| $\mathrm{b}$ | $5 / 10$ | $\mathrm{~d}$ |
+| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $\mathrm{e}$ |
+
+que devemos calcular.
+
+O problema pede que a soma dos números em qualquer linha ou coluna e nas duas diagonais seja sempre a mesma. Olhando para a diagonal destacada no quadrado ao lado
+
+| $\mathrm{a}$ | $\mathrm{c}$ | $6 / 10$ |
+| ---: | ---: | ---: |
+| $\mathrm{b}$ | $5 / 10$ | $\mathrm{~d}$ |
+| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $\mathrm{e}$ |
+
+vemos que esta soma é $\frac{4}{10}+\frac{5}{10}+\frac{6}{10}=\frac{15}{10}$. Da $3^{\text {a linha temos então }}$ $\frac{4}{10}+\frac{5}{10}+e=\frac{15}{10}$, donde $e=\frac{6}{10}$; e da $2^{\mathrm{a}}$ coluna temos $\frac{5}{10}+\frac{5}{10}+c=\frac{15}{10}$, donde $c=\frac{5}{10}$. Colocando estes valores de $c$ e $e$ no quadrado, obtemos
+
+A 1a linha nos dá então $a+\frac{5}{10}+\frac{6}{10}=\frac{15}{10}$, donde $a=\frac{4}{10} ;$ e da $3^{\mathrm{a}}$ coluna temos $\frac{6}{10}+d+\frac{6}{10}=\frac{15}{10}$, donde $d=\frac{3}{10}$. O quadrado então fica:
+
+Do mesmo modo achamos $b=\frac{7}{10}$ e o quadrado está completo:
+
+| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $6 / 10$ |
+| :--- | :--- | :--- |
+| $7 / 10$ | $5 / 10$ | $3 / 10$ |
+| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $6 / 10$ |
+
+5. De acordo com a igualdade $(A B)^{2}=C A B, B$ é o último algarismo (o algarismo das unidades) $\operatorname{de}(A B)^{2}$ e também o último algarismo de $B^{2}$. Logo $B$ é um número entre 1 e 9 cujo quadrado também tem $B$ como seu último algarismo. Logo, os valores possíveis para $B$ são 1,5 e 6 , pois esses são os únicos algarismos (diferentes de zero) tais que cada um deles e seu respectivo quadrado têm o mesmo algarismo das unidades:
+
+$$
+1^{2}=1,5^{2}=25 \text { e } 6^{2}=36
+$$
+
+$C A B$ é um número de 3 algarismos, logo é menor que 1000 . Por isso, $A$ não pode ser maior que 3, porque qualquer número da forma $(4 B)^{2}$ já é maior do que 1000 . De fato, se $A$ fosse maior que 3então $A$ seria no mínimo 4 ; então $A B$ seria no mínimo 41 , o que não pode acontecer pois $41^{2}=1681$ já é maior que 1000 . Logo, os valores possíveis para $A$ são 1,2 e 3 .
+
+Vamos analisar cada caso separadamente.
+
+10 caso: $B=1$.
+
+- se $A=1$ temos $11^{2}=121$, o que implica $C A 1=121$, donde $A=2$;
+- se $A=2$ temos $21^{2}=441$, o que implica $C A 1=441$, donde $A=4$,
+- se $A=3$ temos $31^{2}=961$, o que implica $C A 1=961$, donde $A=6$.
+
+Em qualquer caso chegamos a uma contradição, logo o caso $B=1$ está excluído.
+
+2o caso: $B=5$
+
+Nesse caso, $(\mathrm{AB})^{2}$ termina em 25; isto é $(A B)^{2}=(A 5)^{2}=C 25$. Temos então $C A 5=C 25$, donde $A=2$. Como $25^{2}=625$, concluímos que $C=6$.
+
+3o caso: $B=6$
+
+Aqui, $(A B)^{2}$ acaba em 36, isto é $(A B)^{2}=(A 6)^{2}=C 36$. Logo,$C A 6=C 36$ donde $A=3$ e segue que $A B=36$. Como $36^{2}=1296$ é um número com quatro algarismos, chegamos a uma outra contradição. Logo excluímos a possibilidade $B=6$.
+
+Desse modo, a única possibilidade é $A=2, B=5$ e $C=6$, onde temos $A+B+C=13$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-15.jpg?height=394&width=325&top_left_y=408&top_left_x=200)
+
+6. Para pintar a faixa conforme o modelo, o retângulo padrão (aquele que se repete por toda a faixa) é o retângulo de 5 linhas e 4 colunas mostrado na figura ao lado; nele temos 7 quadradinhos pintados e 13 não pintados. Precisamos saber quantos retângulos padrão cabem na faixa. A faixa tem 250 colunas e cada retângulo padrão tem 4 colunas. Da divisão de 250 por 4 temos que $250=4 \times 62+2$, e concluímos que na faixa cabem 62 retângulos padrão, sobrando ainda duas colunas.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-15.jpg?height=454&width=1173&top_left_y=921&top_left_x=447)
+
+Nos 62 retângulos padrão temos $62 \times 13=806$ quadradinhos não pintados. Falta agora verificar quais os quadradinhos não pintados nas duas colunas finais. A figura mostra como são as duas colunas de acordo com o modelo. Nessas colunas temos 6 quadradinhos não pintados. Finalmente, o número de quadradinhos não pintados em toda a faixa é $806+6=812$.
+
+7. O dia $1^{\circ}$ de janeiro começa com 156 litros de água na cisterna, e a partir daí a cisterna recebe água da chuva e perde água para a rega das flores. Como no dia 8 não houve alteração na quantidade de água na cisterna, então o número de litros de água na cisterna no dia 8 é
+
+$156+$ litros de água de chuva do dia 1 ao dia 7 -litros de água para regar do dia 1 ao dia 7
+
+O enunciado diz que a segunda parcela da expressão acima é a soma dos números da 3a coluna, que é $2,5+0+5+0+3+0+4,5=15$, e a terceira parcela é a soma dos números da $2^{a}$ coluna da tabela, que é $6+9+0+4+9+0+11=39$. Logo, o número de litros na cisterna à meia noite do dia 8 é $156+15-39=132$.
+
+1) Da igualdade $9174532 \times 13=119268916$ pode-se concluir que um dos números abaixo é divisível por 13. Qual é este número?
+A) 119268903
+B) 119268907
+C) 119268911
+D) 119268913
+E) 119268923
+2) Arnaldo disse que um bilhão é o mesmo que um milhão de milhões. O Professor Piraldo o corrigiu e disse, corretamente, que um bilhão é o mesmo que mil milhões. Qual é a diferença entre o valor correto de um bilhão e a resposta de Arnaldo?
+A) 1000
+B) 999000
+C) 1000000
+D) 999000000
+E) 999000000000
+3) Com a energia fornecida por um litro de mel, uma abelha consegue voar 7.000 quilômetros. Quantas abelhas conseguiriam voar 1 quilômetro, cada uma, com a energia fornecida por 10 litros de mel?
+A) 7000
+B) 70000
+C) 700000
+D) 7000000
+E) 70000000
+4) Um agricultor esperava receber cerca de $R \$ 100.000,00$ pela venda de sua safra. Entretanto, a falta de chuva provocou uma perda da safra avaliada entre $\frac{1}{5} \mathrm{e} \frac{1}{4}$ do total previsto. Qual dos valores a seguir pode representar a perda do agricultor?
+A) $\mathrm{R} \$ 21.987,53$
+B) $\mathrm{R} \$ 34.900,00$
+C) $\mathrm{R} \$ 44.999,99$
+D) $\mathrm{R} \$ 51.987,53$
+E) $\mathrm{R} \$ 60.000,00$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-16.jpg?height=405&width=434&top_left_y=2065&top_left_x=183)
+
+5) Uma placa decorativa consiste num quadrado branco de 4 metros de lado, pintado de forma simétrica com, partes em cinza, conforme desenho ao lado. Qual é a fração da área da placa que foi pintada?
+A) $\frac{1}{2}$
+B) $\frac{1}{3}$
+C) $\frac{3}{8}$
+D) $\frac{6}{13}$
+E) $\frac{7}{11}$
+6) Diamantino colocou em um recipiente três litros de água e um litro de refresco. $\mathrm{O}$ refresco é composto de $20 \%$ de suco de laranja e $80 \%$ de água. Depois de misturar tudo, que porcentagem do volume final representa o suco de laranja?
+A) $5 \%$
+B) $7 \%$
+C) $8 \%$
+D) $20 \%$
+E) $60 \%$
+7) Nove amigos compraram 3 bolos, cada um deles cortado em oito fatias. Todos comeram bolo e não sobrou nenhum pedaço. Sabendo que cada um só comeu fatias inteiras do bolo, podemos ter certeza de que:
+
+A) Alguém comeu quatro fatias.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-17.jpg?height=257&width=489&top_left_y=700&top_left_x=1383)
+
+B) Um deles comeu somente uma fatia.
+
+C) Todos comeram duas fatias pelo menos.
+
+D) Uns comeram duas fatias e os demais comeram três fatias.
+
+E) Um deles comeu, no mínimo, três fatias.
+
+8) Uma seqüência de mosaicos quadrados é construída com azulejos quadrados pretos e brancos, todos do mesmo tamanho, como se segue: o primeiro é formado por um azulejo branco cercado por azulejos pretos, o segundo de quatro azulejos brancos cercados por azulejos pretos; e assim sucessivamente, como indica a figura. Se numa seqüência de mosaicos formada de acordo com esta regra forem usados 80 azulejos pretos, quantos serão os azulejos brancos utilizados?
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-17.jpg?height=484&width=1340&top_left_y=1773&top_left_x=358)
+A) 55
+B) 65
+C) 75
+D) 85
+E) 100
+9) No último campeonato de futebol da escola do Marcelo participaram 6 equipes. Cada equipe disputou com cada uma das outras exatamente uma partida. Abaixo, a tabela de classificação do campeonato, onde:
+
+| Equipe | $\mathbf{V}$ | $\mathbf{E}$ | $\mathbf{D}$ | $\mathbf{G P}$ | $\mathbf{G C}$ |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| $\boldsymbol{A}$ | 4 | 1 | 0 | 6 | 2 |
+| $\boldsymbol{B}$ | 2 | 1 | 2 | 6 | 6 |
+| $\boldsymbol{C}$ | 0 | 3 | 2 | 2 | 6 |
+| $\boldsymbol{D}$ | 1 | 1 | $\boldsymbol{y}$ | 3 | 6 |
+| $\boldsymbol{E}$ | 0 | 1 | 4 | 1 | 5 |
+| $\boldsymbol{F}$ | $\boldsymbol{x}$ | 1 | 0 | $\boldsymbol{z}$ | 3 |
+
+- V é o número de vitórias de uma equipe
+- E é o número de empates
+- D é o número de derrotas
+- GP é o número de gols feitos por um time
+- GC é o número de gols sofridos
+
+a) Quantas partidas foram disputadas?
+
+b) Determine a quantidade de vitórias da equipe $F$, a quantidade de derrotas da equipe $D$ e a quantidade de gols feitos pela equipe $F$, representados por $x, y$ e $z$ na tabela.
+
+10) Um bloco retangular de madeira tem $320 \mathrm{~cm}$ de comprimento, $60 \mathrm{~cm}$ de largura e $75 \mathrm{~cm}$ de altura. O bloco é cortado várias vezes, com cortes paralelos às suas faces, de modo a subdividi-lo em blocos também retangulares de $80 \mathrm{~cm}$ de comprimento por $30 \mathrm{~cm}$ de largura por $15 \mathrm{~cm}$ de altura.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-18.jpg?height=620&width=711&top_left_y=1546&top_left_x=570)
+
+a) Quantas peças foram obtidas?
+
+b) Um metro cúbico dessa madeira pesa aproximadamente 900 quilogramas. Qual é o peso de cada uma dessas peças?
+
+1. (A) Como 119268916 é divisível por 13, já que $9174532 \times 13=119268916$,podemos concluir que os números divisíveis por 13 são aqueles obtidos somando-se ou subtraindo-se múltiplos de 13 ao número 119 268916. Dentre os números apresentados, o número 119 268916-13=119268903 é o único divisível por 13 .
+2. (E) Arnaldo disse que 1 bilhão $=1000000 \times 1000000=1000000000000=10^{12}$. O Professor Piraldo corrigiu-o, dizendo que 1 bilhão $=1000 \times 1000000=1000000000=10^{9}$. A diferença é: $10^{12}-10^{9}=10^{9}\left(10^{3}-1\right)=999 \times 10^{9}=999000000000$
+3. (B) A energia gasta por uma abelha para voar 7.000 quilômetros é a mesma que 7.000 abelhas gastam para voar 1 quilômetro cada. Como o número de litros de mel foi multiplicado por 10, temos energia suficiente para que 10 vezes este número de abelhas voem 1 quilômetro cada, ou seja, 70.000 abelhas. Note que poderíamos ter também 7.000 abelhas voando 10 quilômetros cada, entre outras alternativas.
+4. (A) Como $\frac{1}{5}$ de $100000=\frac{100000}{5}=20000$ e $\frac{1}{4}$ de $100000=\frac{100000}{4}=25000$, concluímos que a perda da safra está avaliada entre $R \$ 20.000,00$ e $R \$ 25.000,00$. Logo, um possível valor para a perda é $R \$ 21.987,53$.
+5. (C) Traçando paralelas aos lados, podemos dividir a placa em quadrados de 1 metro de lado, conforme indicado na figura. Então, a área pintada é igual a 12 metades desses quadrados, ou, equivalentemente, 6 desses quadrados. Como a placa total tem 16 desses quadrados, concluímos que a fração da área pintada em relação à área da placa é $\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$.
+6. (A) O refresco é composto de $20 \%$ de um litro $=0,2$ litros de
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-19.jpg?height=426&width=440&top_left_y=1443&top_left_x=1345)
+suco e $80 \%$ de um litro $=0,8$ litros de água. Logo, a mistura final tem 0,2 litros de suco e $3+0,8=3,8$ litros de água. A porcentagem de suco em relação ao volume da mistura é então $\frac{\text { volume de suco }}{\text { volume total }}=\frac{0,2}{4}=\frac{2}{40}=0,05=5 \%$.
+
+7. (E) Temos um total de $8 \times 3=24$ fatias de bolo que foram comidas. Como todos comeram bolo, inicialmente cada um dos 9 amigos comeu uma fatia. Sobraram ainda $24-9=15$ fatias para serem comidas por 9 pessoas. Nesta situação, obrigatoriamente uma certa pessoa $X$ deve ter comido pelo menos 2 dessas 15 fatias. Caso contrário, isto é, se todas as 9 pessoas tivessem comido menos do que 2 fatias significaria que poderíamos escrever o número 15 como uma soma de 9 parcelas cada uma delas sendo 0 (os que não comeram das 15 fatias) ou 1 (os que comeram 1 fatia das 15 ), o que claramente não é possível. Como esta pessoa $X$ já havia comido inicialmente 1 fatia, concluímos que ela comeu no mínimo 3 fatias.
+8. (A) No primeiro mosaico, temos $3+3+1+1=8$ azulejos pretos; no segundo, temos $4+4+2+2=12$; no terceiro, temos $5+5+3+3=16$; não é difícil perceber (e verificar) que os próximos mosaicos têm 20 e 24 azulejos pretos. Como $8+12+16+20+24=80$, é possível construir exatamente 5 mosaicos. Finalmente, o número total de azulejos brancos nesta seqüência de cinco mosaicos é: $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=1+4+9+16+25=55$.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-20.jpg?height=362&width=1442&top_left_y=500&top_left_x=316)
+9. a) Podemos contar, por listagem, quantas foram as partidas: $A^{\prime} B, A^{\prime} C, A^{\prime} D, A^{\prime} E, A^{\prime} F, B^{\prime} C, B^{\prime} D$, $B^{\prime} E, A^{\prime} F, C^{\prime} D, C^{\prime} E, C^{\prime} F, D^{\prime} E, D^{\prime} F$ e $E^{\prime} F$, num total de 15 partidas.
+
+Por outro lado, podemos contar de um modo mais geral, como se segue. Como cada equipe jogou com todas as outras, segue que cada equipe jogou 5 partidas. Parece então que o número total de partidas foi de 5 partidas por equipe $\times 6$ equipes $=30$ partidas . No entanto, nesta contagem cada partida foi contada duas vezes; por exemplo, o jogo entre os times $A$ e $B$ foi contado como $A \times B$ e como $B \times A$. Logo, o número correto de partidas jogadas é $\frac{30}{2}=15$.
+
+b) Como vimos no item (a), cada time jogou 5 partidas. Desse modo, a soma do número de vitórias, empates e derrotas de um mesmo time deve ser igual a 5; por exemplo, para o time $A$, observamos na tabela 4 vitórias +1 empate +0 derrotas $=5$ partidas. Aplicando este raciocínio ao time $F$, temos $x+1+0=5$, donde $x=4$. Do mesmo modo, para a equipe $D$ temos $1+1+y=5$, donde $y=3$. Notamos agora que em um campeonato de futebol o número de gols feitos é igual ao número de gols sofridos. Logo $\underbrace{6+6+2+3+1+z}_{\text {Gols feitos }}=\underbrace{2+6+6+6+5+3}_{\text {Gols sofridos }}$, donde $18+z=28$, ou seja, $z=10$.
+
+10. a) As dimensões do bloco maior são $320 \times 60 \times 75$ e as dos blocos menores $80 \times 30 \times 15$. Logo, no bloco maior o comprimento foi dividido por $320 \div 80=4$, a largura foi dividida $60 \div 30=2$ e a altura foi dividida por $75 \div 15=5$. Portanto teremos um total de $4 \times 2 \times 5=40$ peças distribuídas em cinco camadas de oito peças cada, conforme ilustrado no desenho ao lado.
+
+b) O volume de um bloco retangular é dado por comprimento $\times$ largura $\times$ altura. Logo, o volume de cada um dos blocos menores é $80 \times 30 \times 15=36000 \mathrm{~cm}^{3}$. O enunciado do problema nos dá o peso de um metro cúbico de madeira; para saber o peso de um dos blocos pequenos devemos primeiro saber seu volume em metros cúbicos, ou seja, fazer a conversão de $36000 \mathrm{~cm}^{3}$ para $\mathrm{m}^{3}$.Como $1 \mathrm{~cm}^{3}=10^{-6} \mathrm{~m}^{3}=0,000001 \mathrm{~m}^{3}$, para fazer esta conversão basta deslocar a vírgula 6 casas para a esquerda; obtemos então $36000 \mathrm{~cm}^{3}=0,036 \mathrm{~m}^{3}$. Logo o peso de um bloco pequeno é $0,036 \times 900=32,4$ quilogramas.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-20.jpg?height=580&width=651&top_left_y=2049&top_left_x=1202)
+
+1) Uma turma da escola fez uma eleição para eleger seu representante. Três candidatos concorreram à eleição: João, Rosa e Marcos. João teve $\frac{2}{7}$ dos votos, Rosa teve $\frac{3}{5}$ dos votos. Quem ganhou a eleição?
+2) Qual é o valor de $2^{6}+2^{6}+2^{6}+2^{6}-4^{4}$ ?
+A) 0
+B) 2
+C) 4
+D) $4^{2}$
+E) $4^{4}$
+3) Com seis retângulos idênticos formamos um retângulo maior com um dos lados medindo $21 \mathrm{~cm}$, como na figura. Qual é a área do retângulo maior?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-21.jpg?height=346&width=583&top_left_y=969&top_left_x=928)
+A) $210 \mathrm{~cm}^{2}$
+B) $280 \mathrm{~cm}^{2}$
+C) $430 \mathrm{~cm}^{2}$
+D) $504 \mathrm{~cm}^{2}$
+E) $588 \mathrm{~cm}^{2}$
+
+4) Três anos atrás, a população de Pirajussaraí era igual à população que Tucupira tem hoje. De lá para cá, a população de Pirajussaraí não mudou, mas a população de Tucupira cresceu $50 \%$. Hoje a soma das populações das duas cidades é de 9000 habitantes. Há três anos, qual era a soma destas duas populações?
+A) 3600
+B) 4500
+C) 5000
+D) 7200
+E) 7500
+5) As balanças (1) e (2) da figura abaixo estão em equilíbrio. Sabe-se que todos os triângulos têm o mesmo peso; todos os quadrados também têm o mesmo peso, assim como os círculos. Quantos quadrados devem ser colocados no prato direito da balança (3) para que ela também fique em equilíbrio?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-21.jpg?height=194&width=439&top_left_y=2202&top_left_x=223)
+
+(1)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-21.jpg?height=217&width=443&top_left_y=2196&top_left_x=772)
+
+(2)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-21.jpg?height=225&width=483&top_left_y=2189&top_left_x=1346)
+
+(3)
+A) 7
+B) 8
+C) 9
+D) 10
+E) 12
+
+6) Em um ano, no máximo quantos meses têm cinco domingos?
+A) 3
+B) 4
+C) 5
+D) 6
+E) 7
+7) Uma calculadora possui duas teclas especiais:
+
+- a tecla A que duplica o número que aparece no visor
+- a tecla $B$ que acrescenta uma unidade ao número que aparece no visor.
+
+Por exemplo, se o número 45 estiver inicialmente no visor e a tecla $\mathrm{B}$ for apertada, o visor mostrará o número 46 . Se, em seguida, apertarmos a tecla $\mathrm{A}$, o visor mostrará $\mathrm{o}$ número 92 . Nesse exemplo, apertamos ao todo 2 vezes as teclas $\mathrm{A}$ e B: uma vez a tecla B, e depois uma vez a tecla A, para, a partir de 45 , chegarmos ao 92 .
+
+Suponha que o número no visor seja 1.
+
+a) Indique uma maneira de obter o número 10 apertando um total de 4 vezes as teclas $\mathrm{A}$ e B.
+
+b) Indique uma maneira de obter o número 15 apertando um total de 6 vezes as teclas A e B.
+
+c) Indique uma maneira de obter o número 100 apertando um total de 8 vezes as teclas A e B.
+
+1. João recebeu: $\frac{2}{7}$ do total de votos; Rosa recebeu: $\frac{3}{5}$ do total de votos e Marcos recebeu: $1-\left(\frac{2}{7}+\frac{3}{5}\right)=1-\frac{31}{35}=\frac{4}{35}$ do total de votos. O vencedor foi aquele que obteve a maior fração dos votos. Para comparar essas frações igualamos seus denominadores: $\frac{2}{7}=\frac{10}{35}$ e $\frac{3}{5}=\frac{21}{35}$. Daí segue que $\underbrace{\frac{4}{35}}_{\text {Marcos }}<\underbrace{\frac{2}{7}}_{\text {João }}<\underbrace{\frac{3}{5}}_{\text {Rosa }}$, e portanto, Rosa venceu a eleição. Comentário: É muito interessante notar que a resposta não depende do número de alunos da turma.
+2. (A) Solução 1: Temos: $2^{6}+2^{6}+2^{6}+2^{6}-4^{4}=4 \times 2^{6}-4^{4}=4 \times\left(2^{2}\right)^{3}-4^{4}=4 \times 4^{3}-4^{4}=4^{4}-4^{4}=0$
+
+Solução 2: Temos: $2^{6}+2^{6}+2^{6}+2^{6}-4^{4}=4 \times 2^{6}-4^{4}=4(2^{6}-\underbrace{4^{3}})=4\left[2^{6}-2^{6}\right]=0$
+
+$$
+\left(2^{2}\right)^{3}=2^{6}
+$$
+
+Solução 3: Temos: $2^{6}+2^{6}+2^{6}+2^{6}-4^{4}=4 \times 2^{6}-4^{4}=2^{2} \times 2^{6}-\left(2^{2}\right)^{4}=2^{8}-2^{8}=0$
+
+3. (E) A partir da figura, vemos que o comprimento $a$ dos retângulos menores é o dobro da sua largura $b$, isto é, $a=2 b$. Temos então $a+b=2 b+b=3 b=21$, ou seja, $b=7 \mathrm{~cm}$ e $a=14 \mathrm{~cm}$. Portanto, o comprimento do retângulo maior é $4 b=28$ e sua área é $21 \times 28=588 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-23.jpg?height=408&width=460&top_left_y=1372&top_left_x=1432)
+
+4. (D) Solução 1: Seja $p$ a população de Tucupira há três anos. Como esta população cresceu de $50 \%$, atualmente Tucupira tem $p+50 \%$ de $p$ habitantes, ou seja $p+\frac{50}{100} p=p+0,5 p=1,5 p$ habitantes. Como a população de Pirajussaraí não cresceu nesses 3 anos e há 3 anos era igual à de Tucupira, podemos concluir que a população atual de Pirajussaraí é $p$. Hoje, a soma das populações das duas cidades é $9000 ; \log$, $p+1,5 p=9000$, donde $p=\frac{9000}{2,5}=3600$. Portanto, a soma das duas populações, há 3 anos, era de $3600 \times 2=7200$ habitantes.
+
+Solução 2: De 2003 a 2006 a população de Tucupira cresceu 50\%, logo em 2006 esta população corresponde a $150 \%$ da população em 2003. Já a população de Pirajussaraí não cresceu nesses 3 anos e em 2003 era igual à de Tucupira. Temos então:
+
+$$
+\underbrace{\text { Populacão de Tucupira em } 2006}_{\begin{array}{c}
+\text { corresponde a 150\% da } \\
+\text { populaçao de Tucupira em } 2003
+\end{array}}+\underbrace{\text { População de Pirajussaraí em } 2006}_{\begin{array}{c}
+\text { corresponde a 100\% da } \\
+\text { populaçao de Tucupira em } 2003
+\end{array}}=9000
+$$
+
+Logo, podemos concluir que em 2006 a soma das populações das duas cidades corresponde a $250 \%$ da população de Tucupira em 2003, como essa soma é 9000 temos:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-24.jpg?height=210&width=874&top_left_y=475&top_left_x=592)
+
+Portanto, a soma das duas populações há 3 anos era de $3600 \times 2=7200$ habitantes.
+
+5. (D) Na primeira balança temos $3 \boldsymbol{\bullet}+1 \bullet=6 \square$; na segunda temos $2 \boldsymbol{\Delta}+4 \bullet=8 \square$, o que é equivalente a $1 \boldsymbol{\bullet}+2 \bullet=4 \boldsymbol{\bullet}$. Logo $(3 \boldsymbol{\bullet}+1 \bullet)+(1 \boldsymbol{\bullet}+2 \bullet)=6 \boldsymbol{\bullet}+4 \boldsymbol{\bullet}$, ou seja, $4 \boldsymbol{\bullet}+3 \bullet=10 \boldsymbol{\bullet}$. Logo será necessário colocar 10 quadrados no prato direito da balança (3) para que ela fique em equilíbrio.
+6. (C) Um ano normal tem 365 dias e o ano bissexto 366 . Da divisão de 365 por 7 , obtemos $365=52 \times 7+1$ e da divisão de 366 por 7 obtemos $366=52 \times 7+2$. Logo:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\text { ano normal } & =52 \text { semanas }+1 \mathrm{dia} \\
+\text { ano bissexto } & =52 \text { semanas }+2 \mathrm{dias}
+\end{aligned}
+$$
+
+Portanto, um ano normal ou bissexto tem no mínimo 52 domingos e no máximo 53 domingos ( 1 domingo para cada uma das 52 semanas e talvez outro domingo para os 1 ou 2 dias que completam o ano).
+
+Cada um dos doze meses do ano tem no mínimo 4 domingos. Logo, cada ano tem no mínimo $12 \times 4=48$ domingos.
+
+(i) Num ano de 52 domingos, como cada mês tem no mínimo 4 domingos, sobram ainda $52-48=4$ domingos. Cada um desses ficará num mês diferente, porque nenhum mês tem 6 domingos. Temos então 4 meses com 5 domingos.
+
+(ii) Analogamente, num ano com 53 domingos restaram 5 domingos, que ficarão um em cada mês diferente. Portanto teremos 5 meses com 5 domingos
+
+7. Com o número 1 no visor devemos aplicar sucessivamente as operações das teclas A e B para obter o número desejado.
+
+$\begin{array}{llllllll}\text { A A B } & \text { B } & \text { B } & \text { A } & \text { B } & \text { A }\end{array}$
+
+(a) $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 10$ ou $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 10$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-24.jpg?height=88&width=1168&top_left_y=2446&top_left_x=313)
+
+$\begin{array}{lllllllllllllll}\text { A } & \text { B A } & \text { A } & \text { A } & \text { B } & \text { A } & \text { A } & \text { B } & \text { B } & \text { A } & \text { A } & \text { A } & \text { B } & \text { A } & \text { A }\end{array}$
+
+(c) $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 6 \rightarrow 12 \rightarrow 24 \rightarrow 25 \rightarrow 50 \rightarrow 100$ ou $\quad 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 6 \rightarrow 12 \rightarrow 24 \rightarrow 25 \rightarrow 50 \rightarrow 100$
+
+1) A metade do número $2^{12}+3 \times 2^{10}$ é:
+A) $2^{6}+3 \times 2^{5}$
+B) $2^{6}+3 \times 2^{10}$
+C) $2^{11}+3 \times 2^{5}$
+D) $2^{11} \times 7$
+E) $2^{9} \times 7$
+2) Neste momento são 6 horas e 27 minutos da tarde. Qual era o horário 2880717 minutos mais cedo?
+A) $6 \mathrm{he} 22 \mathrm{~min}$
+B) $6 \mathrm{he} 24 \mathrm{~min}$
+C) $6 \mathrm{he} 27 \mathrm{~min}$
+D) $6 \mathrm{he} 30 \mathrm{~min}$
+E) $6 \mathrm{he} 32 \mathrm{~min}$
+3) Os alunos de uma escola participaram de uma excursão, para a qual dois ônibus foram contratados. Quando os ônibus chegaram, 57 alunos entraram no primeiro ônibus e apenas 31, no segundo. Quantos alunos devem passar do primeiro para o segundo ônibus para que a mesma quantidade de alunos seja transportada nos dois ônibus?
+A) 8
+B) 13
+C) 16
+D) 26
+E) 31
+4) Em qual das alternativas abaixo aparecem dois pedaços de papelão com os quais podese construir um cubo, dobrando pelas linhas tracejadas e colando pelas linhas contínuas?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-25.jpg?height=202&width=302&top_left_y=1675&top_left_x=640)
+B)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-25.jpg?height=197&width=286&top_left_y=1672&top_left_x=1159)
+C)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-25.jpg?height=201&width=256&top_left_y=1901&top_left_x=683)
+D)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-25.jpg?height=131&width=234&top_left_y=1945&top_left_x=1165)
+E)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-25.jpg?height=189&width=214&top_left_y=2144&top_left_x=704)
+
+5) O algarismo das unidades do número $1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 97 \times 99$ é:
+A) 1
+B) 3
+C) 5
+D) 7
+E) 9
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-26.jpg?height=248&width=963&top_left_y=233&top_left_x=227)
+
+6) A figura mostra um retângulo formado por 18 quadrados iguais com algumas partes sombreadas. Qual fração da área do retângulo é sombreada?
+A) $\frac{7}{18}$
+B) $\frac{4}{9}$
+C) $\frac{1}{3}$
+D) $\frac{5}{9}$
+E) $\frac{1}{2}$
+7) O desenho ao lado mostra o mapa de um país (imaginário) constituído por cinco estados. Deseja-se colorir esse mapa com as cores verde, azul e amarela, de modo que dois estados vizinhos não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode ser pintado?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-26.jpg?height=335&width=471&top_left_y=889&top_left_x=1312)
+A) 12
+B) 6
+C) 10
+D) 24
+E) 120
+
+8) As nove casas de um tabuleiro $3 \times 3$ devem ser pintadas de forma que em cada coluna, cada linha e cada uma das duas diagonais não hajam duas casas de mesma cor. Qual é o menor número de cores necessárias para isso?
+A) 3
+B) 4
+C) 5
+D) 6
+E) 7
+9) Considere um número escrito na forma $X, Y$, onde $X$ e $Y$ são algarismos diferentes de 0 . Determine esse número sabendo que ele é igual a $\frac{3}{10}(X+Y)$.
+10) Em um mesmo lado de uma rua serão construídas 6 casas vizinhas. As casas podem ser de tijolo ou de madeira, mas como medida de segurança contra incêndio, duas casas de madeira não podem ser vizinhas. De quantas maneiras se pode planejar a construção dessas casas?
+1. (E) Antes de dividir a expressão por 2, colocamos $2^{10} \mathrm{em}$ evidência: $2^{12}+3 \times 2^{10}=2^{10}\left(2^{2}+3 \times 1\right)=2^{10} \times 7$. Logo: $\frac{2^{12}+3 \times 2^{10}}{2}=\frac{2^{10} \times 7}{2}=2^{9} \times 7$.
+2. (D) Dividindo 2880717 por 60 , obtemos $2880717=48011 \times 60+57$. Isso significa que $2880717 \mathrm{~min}=48011 \mathrm{~h}+57 \mathrm{~min}$. Dividindo 48011 por 24 , obtemos $48011=2000 \times 24+11$. Podemos então escrever:
+
+$$
+2880717 \mathrm{~min}=\underbrace{48000 \mathrm{~h}}_{2000 \mathrm{dias}}+11 \mathrm{~h}+57 \mathrm{~min}
+$$
+
+Os 2000 dias não interferem no horário que estamos procurando. Como 6 horas e 27 minutos da tarde são exatamente 18 horas e 27 minutos, a resposta é $18 \mathrm{~h} 27 \mathrm{~min}-11 \mathrm{~h} 57 \mathrm{~min}=17 \mathrm{~h} 87 \mathrm{~min}-11 \mathrm{~h} 57 \mathrm{~min}=6 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$.
+
+3. (B) $\mathrm{O}$ número total de alunos nos dois ônibus é $57+31=88 \mathrm{e} \frac{88}{2}=44$. Para que cada ônibus tenha o mesmo número de alunos, devem então passar $57-44=13$ alunos do primeiro para o segundo ônibus.
+4. (E) Com as peças abaixo.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-27.jpg?height=189&width=208&top_left_y=1590&top_left_x=867)
+
+5. (C) O último algarismo de um múltiplo de 5 é 0 ou 5 ; os que terminam em 0 são pares e os que terminam em 5 são ímpares. Como $1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 97 \times 99$ é múltiplo de $5 \mathrm{e}$, sendo um produto de números ímpares, também é ímpar; segue que o seu algarismo das unidades é 5 .
+6. (B) A parte sombreada consiste de 10 metades de quadrados mais 3 quadrados inteiros, o que equivale a $\frac{10}{2}+3=5+3=8$ quadrados inteiros. Logo, a fração que representa a parte sombreada é $\frac{\text { área sombreada }}{\text { área total }}=\frac{\text { área de } 8 \text { quadrados }}{\text { área de } 18 \text { quadrados }}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$
+7. (B) O estado A pode ser pintado de 3 formas: verde, azul ou amarelo. Para qualquer estado vizinho, por exemplo, o estado $\mathrm{B}$, temos duas possibilidades e os demais estados têm suas cores determinadas ( 1 possibilidade). Logo, podemos colorir o mapa de $3 \times 2=6$ formas. Abaixo ilustramos duas destas maneiras de pintar o mapa; em ambas o estado A tem a mesma cor.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-28.jpg?height=298&width=992&top_left_y=573&top_left_x=538)
+8. (C) Para satisfazer as condições do problema, as cinco casas marcadas com ${ }^{*}$ devem ter cores diferentes.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-28.jpg?height=243&width=266&top_left_y=1135&top_left_x=244)
+
+Por isso, precisaremos, no mínimo, de 5 cores distintas. Chamemos de $1,2,3,4$ e 5 as cinco cores distintas que usaremos para colorir essas 5 casas, e vamos determinar como podemos escolher as cores para as 4 casas restantes para satisfazer as condições pedidas.
+
+| 1 |  | 4 |
+| :--- | :--- | :--- |
+|  | 3 |  |
+| 2 |  | 5 |$\rightarrow$| 1 | 2 | 4 |
+| :--- | :--- | :--- |
+| 4 | 3 | 1 |
+| 2 | 4 | 5 |
+
+Logo, podemos colorir as 4 casas restantes sem utilizar mais cores. Assim, bastam 5 cores. Outros exemplos de colorações são:
+
+| 2 |  | 3 |
+| :--- | :--- | :--- |
+|  | 1 |  |
+| 5 |  | 4 |
+
+
+| 2 | 4 | 3 |
+| :--- | :--- | :--- |
+| 4 | 1 | 2 |
+| 5 | 2 | 4 |
+
+
+| 1 |  | 2 |
+| :--- | :--- | :--- |
+|  | 4 |  |
+| 3 |  | 5 |$\rightarrow$| 1 | 3 | 2 |
+| :--- | :--- | :--- |
+| 2 | 4 | 1 |
+| 3 | 2 | 5 |
+
+
+| 1 |  | 5 |
+| :--- | :--- | :--- |
+|  | 2 |  |
+| 4 |  | 3 |$\rightarrow$| 1 | 3 | 5 |
+| :--- | :--- | :--- |
+| 3 | 2 | 4 |
+| 4 | 1 | 2 |
+
+9. Temos $X, Y=X+\frac{Y}{10}=\frac{10 X+Y}{10}$, o enunciado nos diz que $\frac{10 X+Y}{10}=\frac{3}{10}(X+Y)$. Logo $10 X+Y=3 X+3 Y$, ou seja, $7 X=2 Y$. Concluímos que $2 Y$ é múltiplo de 7 , e como $Y$ é um número inteiro entre 1 e 9 , só temos a possibilidade $Y=7$, donde $X=2$. Assim, $o$ número é 2,7 .
+1) $9^{20}+9^{20}+9^{20}$ é igual a:
+(A) $9^{20}$
+(B) $3^{66}$
+(C) $9^{23}$
+(D) $3^{41}$
+(E) $3^{23}$
+2) Miguel escolheu um número de 3 algarismos e outro de 2 algarismos. Qual é a soma desses números se a sua diferença é 989 ?
+(A) 1000
+(B) 1001
+(C) 1009
+(D) 1010
+(E) 2005
+3) Qual é o menor número natural $n$ para o qual $10^{n}-1$ é múltiplo de 37 ?
+(A) 6
+(B) 5
+(C) 4
+(D) 3
+(E) 2
+4) Num certo país com 14 milhões de habitantes, $0,15 \%$ da população contraiu uma certa gripe. Quantos habitantes não contraíram a gripe?
+(A) 13979000
+(B) 1397900
+(C) 139790
+(D) 13979
+(E) 139790000
+5) O Código Secreto. O código secreto de um grupo de alunos é um número de 3 algarismos distintos diferentes de 0 . Descubra o código com as seguintes informações:
+
+123 Nenhum algarismo correto
+
+$4 \quad 5 \quad 6$ Um só algarismo correto na posição certa
+
+612 Um só algarismo correto, mas na posição errada
+
+$\begin{array}{llll}5 & 4 & 7 & \text { Um só algarismo correto, mas na posição errada }\end{array}$
+
+$8 \quad 4 \quad 3$ Um só algarismo correto na posição certa
+(A) 137
+(B) 876
+(C) 768
+(D) 678
+(E) 576
+
+1. (D) $9^{20}+9^{20}+9^{20}=3 \times 9^{20}=3 \times\left(3^{2}\right)^{20}=3 \times 3^{40}=3^{41}$.
+2. (C) Como a diferença é 989 e o menor número tem 2 algarismos (logo, é maior do que 9), o número de 3 algarismos tem que ser maior do que $989+9=998$, logo a única opção é 999.
+
+Logo, o número de 2 algarismos é 10 , e a soma dos dois é $999+10=1009$.
+
+3. (D) Observe que $10^{n}-1$ é um número que tem todos os seus algarismos iguais a 9. Os menores múltiplos de 37 terminados em 9 são:
+
+$37 \times 7=259,37 \times 17=629,37 \times 27=999$. Como $999=10^{3}-1$, segue que $n=3$.
+
+4. (A) Os que não contraíram a gripe representam $100 \%-0,15 \%=99,85 \%$ da população. Temos: $99,85 \%$ de 14 milhões $=\frac{99,85}{100} \times 14000000=\frac{9985}{10000} \times 14000000=9985 \times 1400=13979000$
+5. (B) O código pode ser formado com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 .
+
+Da 1a informação temos que 1,2 e 3 não fazem parte do código. Da 3a informação, concluímos que 6 faz parte do código, e sua posição é _ 6 _ ou _- 6 .
+
+| 1 | 2 | 3 |
+| :--- | :--- | :--- |
+| 4 | 5 | 6 |
+| 6 | 1 | 2 |
+| 5 | 4 | 7 |
+| 8 | 4 | 3 |
+
+Da $2^{\text {a }}$ informação segue que $4 \mathrm{e} 5$ não fazem parte do código e a posição do 6 no código é _- 6 . Da última informação tem só que o código é da forma $8 \_6$. Com a $4^{\text {a }}$ informação completamos o código:876.
+
+| 1 | 2 | 3 |
+| :--- | :--- | :--- |
+| 4 | 5 | 6 |
+| 6 | 1 | 2 |
+| 5 | 4 | 7 |
+| 8 | 4 | 3 |
+
+1) $2-2\{2-2[2-2(4-2)]\}$ é igual a:
+(A) 0
+(B) 2
+(C) -2
+(D) 4
+(E) -10
+2) Escrevendo as frações em ordem crescente $\frac{4}{3}, \frac{4}{5}, \frac{4}{6}, \frac{3}{5}, \frac{6}{5}$, $\frac{2}{5}$, encontramos:
+(A) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$
+(B) $\frac{4}{3}<\frac{4}{6}<\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}$
+(C) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{3}<\frac{6}{5}$
+(D) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{4}{6}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$
+(E) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{4}{3}<\frac{4}{6}<\frac{6}{5}$
+3) Quantos números maiores que 200 podem ser escritos, usando-se apenas os algarismos 1,3 e 5 ?
+(A) 10
+(B) 12
+(C) 14
+(D) 15
+(E) 18
+4) Uma maratona de $52 \mathrm{~km}$ começou às $11: 30$ horas e o vencedor terminou às $12: 45$ horas do mesmo dia. Qual foi a velocidade média do vencedor em $\mathrm{km} / \mathrm{hora}$ ?
+(A) 35
+(B) 38
+(C) 39,5
+(D) 41,6
+(E) 52
+5) Cinco alunas escreveram cada uma um número num papel, os números só podiam ser 1 ou 2 ou 4 . Qual pode ser o produto dos cinco números escritos?
+(A) 100
+(B) 120
+(C) 256
+(D) 768
+(E) 2048
+1. (E) As ordens de prioridade para resolver uma expressão são:
+
+$\underbrace{\text { parênteses }}_{1^{\circ}} \rightarrow \underbrace{\text { colchete }}_{2^{\circ}} \rightarrow \underbrace{\text { chaves }}_{3^{\circ}}$ e $\underbrace{\text { multiplicações e divisões }}_{1^{\circ}} \rightarrow \underbrace{\text { somas e subtrações }}_{2^{\circ}}$
+
+Temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 2-2\{2-2[2-2(\underbrace{4-2}_{2})]\}=2-2\{2-2[2-\underbrace{2 \times 2}_{4}]\}=2-2\{2-2[\underbrace{2-4}_{-2}]\}= \\
+& =2-2\{2-\underbrace{2 \times(-2)}_{-4}\}=2-2\{2-(-4)\}=2-2\{\underbrace{2+4}_{6}\}=2-\underbrace{2 \times 6}_{12}=2-12=-10
+\end{aligned}
+$$
+
+2. (A) Solução 1: Temos: $\frac{4}{6}<\frac{4}{5}<\frac{4}{3}$ (frações de mesmo numerador, a menor é a que tem o maior denominador) e $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}$ (frações de mesmo denominador, a menor é a que tem o menor numerador). As duas maiores são $\frac{4}{3}$ e $\frac{6}{5}$ por serem as únicas maiores do que 1 (numerador maior do que denominador). Temos $\frac{4}{3}=\frac{20}{15}$ e $\frac{6}{5}=\frac{18}{15} \Rightarrow \frac{6}{5}<\frac{4}{3}$ e logo: $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$. Falta apenas "encaixar" $4 / 6=2 / 3$. Note que $\frac{2}{5}<\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$ e $\frac{4}{6}<\frac{4}{5}$. Como, $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$ e $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$, segue que $\frac{3}{5}<\frac{4}{6}$ Finalmente, temos: $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$.
+
+Solução 2: Escrevendo as frações na forma decimal, obtemos:
+
+$$
+\frac{4}{3}=1,333 \ldots ; \frac{4}{5}=0,8 ; \frac{4}{6}=0,666 \ldots ; \frac{3}{5}=0,6 ; \frac{6}{5}=1,2 ; \frac{2}{5}=0,4
+$$
+
+Logo: $\underbrace{0,4}_{\frac{2}{5}}<\underbrace{0,6}_{\frac{3}{5}}<\underbrace{0,666 \ldots}_{\frac{4}{6}}<\underbrace{0,8}_{\frac{4}{5}}<\underbrace{1,2}_{\frac{6}{5}}<\underbrace{1,333 \ldots}_{\frac{4}{3}}$
+
+Solução 3: Escrevendo as frações com o mesmo denominador comum, temos: $\frac{4}{3}=\frac{40}{30} ; \frac{4}{5}=\frac{24}{30} ; \frac{4}{6}=\frac{20}{30} ; \frac{3}{5}=\frac{18}{30} ; \frac{6}{5}=\frac{36}{30} ; \frac{2}{5}=\frac{12}{30}$. Assim, $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$. (frações de mesmo denominador, a menor é a que tem o menor numerador).
+
+3. (E) Por serem maiores que 200 , o algarimo das centenas só pode ser 3 ou 5 . Os números são:
+
+- Começando com 3: $\left\{\begin{array}{l}\text { sem repetir algarismos: } 315 \text { e } 351 \\ \text { repetindo algarismos: 311, 313, 331, 335, 353, 333, } 355 .\end{array}\right.$
+
+Nesse caso, temos 9 números.
+
+- Começando com 5: basta trocar o 3 com o 5 nos números acima. Logo, teremos 9 números.
+
+Assim, temos 18 números que satisfazem as condições do problema.
+
+4. (D) O tempo que o vencedor gastou foi: $12 \mathrm{~h} 45 \mathrm{~min}-11 \mathrm{~h} 30 \mathrm{mim}=1 \mathrm{~h} 15 \mathrm{~min}=11 / 4 \mathrm{~h}=5 / 4 \mathrm{~h}$. Logo, a velocidade média em $\mathrm{km} /$ hora é:
+
+$$
+\frac{\text { espaço percorrido em } \mathrm{km}}{\text { tempo gasto em horas }}=\frac{52}{\frac{5}{4}}=52 \times \frac{4}{5}=41,6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
+$$
+
+5. (C) Se todos as alunas escreveram o número 1 , o produto seria 1 que não está entre as opções. Logo, 2 ou 4 são fatores do produto, por isso o produto tem que ser uma potência de 2 . O maior produto possível é obtido no caso em que todas as 5 alunas escreveram o número 4 , e o produto seria $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4=4^{5}=2^{10}=1024$. Logo, podemos eliminar 2048. Agora temos:
+
+$\cdot$100e 120 são divisíveis por 5 , logo não são potências de 2;
+
+- 768 é divisível por $3(7+6+8=21)$, logo não é potência de 2 .
+
+A única resposta possível é $256=2^{8}$. Seria, por exemplo o caso em que duas alunas escreveram o número 2 e três escreveram o número $4: 256=2 \times 2 \times 4 \times 4 \times 4$.
+
+1) O produto $\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)$ é :
+(A) $\frac{119}{120}$
+(B) $\frac{5}{7}$
+(C) $2 \frac{43}{60}$
+(D) $\frac{1}{5}$
+(E) $\frac{1}{120}$
+2) A soma de dois números naturais é 11. Qual o maior produto possível que se pode obter com esses números?
+(A) 30
+(B) 22
+(C) 66
+(D) 24
+(E) 28
+3) Se $m$ é um número natural, tal que $3^{m}=81$, então $m^{3}$ é igual a:
+(A) $81^{3}$
+(B) $3^{81}$
+(C) 64
+(D) 24
+(E) 48
+4) Se $a-1=b+2=c-3=d+4$, então qual o maior dentre os números $a, b, c$ e $d$ ?
+(A) $a$
+(B) $b$
+(C) $c$
+(D) $d$
+(E)todos são iguais.
+5) Quatro formigas atravessam uma sala coberta de lajotas retangulares todas iguais. $\mathrm{O}$ trajeto de cada formiga é mostrado na figura em negrito. Qual o comprimento do trajeto percorrido por Biloca?
+
+(A) $30 \mathrm{dm}$
+
+(B) $35 \mathrm{dm}$
+
+(C) $43 \mathrm{dm}$
+
+(D) $55 \mathrm{dm}$
+
+(E) $48 d m$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-34.jpg?height=408&width=1128&top_left_y=1549&top_left_x=744)
+
+6) Célia quer trocar com Guilherme figurinhas de um ��lbum sobre animais brasileiros. Celina quer trocar 4 figurinhas de borboleta, 5 de tubarão, 3 de cobra, 6 de periquito e 6 de macaco. Todas as figurinhas de Guilherme são de aranha. Eles sabem que:
+
+(a) 1 figurinha de borboleta vale 3 figurinhas de tubarão
+
+(b) 1 figurinha de cobra vale 3 figurinhas de periquito
+
+(c) 1 figurinha de macaco vale 4 figurinhas de aranha
+
+(d) 1 figurinha de periquito vale 3 figurinhas de aranha
+
+(e) 1 figurinha de tubarão vale 2 figurinhas de periquito
+
+Quantas figurinhas Célia receberá se ela trocar todas que quiser?
+
+1. (D) $\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5}=\frac{1}{5}$.
+2. (A) Examinemos os produtos dos números naturais cuja soma é 11 :
+
+$$
+\begin{array}{lll}
+11=1+10 & \text { e } & 1 \times 10=10 \\
+11=2+9 & \text { e } & 2 \times 9=18 \\
+11=3+8 & \text { e } & 3 \times 8=24 \\
+11=4+7 & \text { e } & 4 \times 7=28 \\
+11=5+6 & \text { e } & 5 \times 6=30
+\end{array}
+$$
+
+3. (C) Temos $3^{m}=81=3^{4}$; donde $m=4$. Logo, $m^{3}=4^{3}=4 \times 4 \times 4=64$.
+4. (C) Somando 3 a todos os membros obtemos: $a-1+3=b+2+3=c-3+3=d+4+3 \Rightarrow a+2=b+5=c=d+7$, o que mostra que $c$ é o maior.
+5. (B) O trajeto de Biloca é: 3 diagonais +4 larguras +2 comprimentos.
+
+Pipoca percorre 5 diagonais, logo o comprimento de 1 diagonal é $25 \div 5=5 \mathrm{dm}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-35.jpg?height=63&width=1688&top_left_y=1325&top_left_x=184)
+
+4 larguras $=37-25=12 \mathrm{dm}$.
+
+Cotinha percorre 5 comprimentos $+\underbrace{4 \text { larguras }}_{12}=32 \Rightarrow 1$ comprimento $=20 \div 5=4 \mathrm{dm}$.
+
+Finalmente, Biloca percorre:
+
+3 diagonais +4 larguras +2 comprimentos $=15+12+8=35 \mathrm{dm}$. Observe que o comprimento de 1 $\underbrace{3 x_{12}}_{3 \times 5} \underbrace{4}_{2 \times 4}$
+
+largura é $12 \div 4=3 \mathrm{dm}$.
+
+6. A "moeda de troca" de Guilherme são figurinhas de aranha, logo vamos calcular o "valor-aranha" de cada tipo de figurinha usando as informaç̃oes (a), (b), (c), (d) e (e).
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-35.jpg?height=97&width=1005&top_left_y=2007&top_left_x=251)
+
+5 tubarão $\underset{(\mathrm{e})}{=} \underset{5 \times 2}{10}$ periquito $\underset{(\mathrm{d})}{=} \underbrace{30}_{10 \times 3}$ aranha
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-35.jpg?height=92&width=659&top_left_y=2284&top_left_x=253)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-35.jpg?height=88&width=425&top_left_y=2423&top_left_x=253)
+
+6 macaco $\underset{(\mathrm{c})}{\underset{6 \times 4}{24}}$ aranha $\quad$ Logo, ela receberá $72+30+27+18+24=171$ figurinhas de aranha.
+
+1) O valor de $\frac{10+20+30+40}{10}+\frac{10}{10+20+30+40}$ é:
+(A) 1
+(B) 20
+(C) 30
+(D) 10,1
+(E) 1,01
+2) A figura ao lado é formada por um triângulo e um retângulo usando-se 60 palitos iguais. Para cada lado do triângulo são necessários 6 palitos. Se cada palito tem $5 \mathrm{~cm}$ de comprimento, qual é a área do retângulo da figura?
+(A) $120 \mathrm{~cm}^{2}$
+(B) $540 \mathrm{~cm}^{2}$
+(C) $1350 \mathrm{~cm}^{2}$
+(D) $2700 \mathrm{~cm}^{2}$
+(E) $5400 \mathrm{~cm}^{2}$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-36.jpg?height=334&width=328&top_left_y=730&top_left_x=1475)
+3) $O$ incêndio e o bombeiro - Uma casa pega fogo. Um bombeiro se mantém no degrau do meio de uma escada jogando água sobre o incêndio. As chamas diminuem e ele sobe 5 degraus. O vento sopra e o bombeiro desce 7 degraus. Um pouco depois ele sobe 8 degraus e fica lá até que o incêndio acabe. Em seguida, ele sobe os últimos 7 degraus e entra na casa. Quantos degraus tem a escada do bombeiro?
+(A) 25
+(B) 26
+(C) 27
+(D) 28
+(E) 29
+
+4) A figura mostra a árvore geneológica de uma família. Cada flexa vai do pai em direção ao seu filho. Quem é o irmão do pai do irmão do pai de Evaristo?
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-36.jpg?height=878&width=1262&top_left_y=1715&top_left_x=160)
+5) Uma colcha quadrada em branco e cinza é feita com quadrados e triângulos retângulos isósceles. A parte em cinza representa que percentagem da colcha?
+(A) $36 \%$
+(B) $40 \%$
+(C) $45 \%$
+(D) $50 \%$
+(E) $60 \%$
+1. (D) Solução: $\frac{10+20+30+40}{10}+\frac{10}{10+20+30+40}=\frac{100}{10}+\frac{10}{100}=10+0,1=10,1$.
+2. (D) Para o triângulo foram usados $6 \times 3=18$ palitos, sobrando então $60-18=42$ palitos para formar os 3 lados do retângulo. Da figura, temos que a largura do retângulo é formada por 6 palitos, logo o comprimento é formado por $\frac{42-6}{2}=18$ palitos. Como cada palito tem $5 \mathrm{~cm}$ de comprimento, a área do retângulo é dada por $\underbrace{6 \times 5}_{\text {largura }} \times \underbrace{18 \times 5}_{\text {comprimento }}=30 \times 90=2700 \mathrm{~cm}^{2}$
+3. (C) O sobe-desce do bombeiro a partir do degrau do meio até chegar ao último degrau é o seguinte:
+
+sobe sobe sobe
+
+$+5 \underset{\text { desce }}{-7}+8+7$, logo o bombeiro sobe $8+5=13$ degraus acima do degrau do meio, chegando assim, ao último degrau da escada. Logo, a escada tem 13 degraus acima do degrau do meio, e portanto, 13 degraus abaixo do degrau do meio. Portanto, a escada tem $13+1+13=27$ degraus. Veja um esquema da movimentação do bombeiro.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-37.jpg?height=659&width=1445&top_left_y=1818&top_left_x=311)
+
+(2) sobe 7
+
+(4) sobe 7
+
+4. (C) Na figura vemos que o pai de Evaristo é José. O irmão de José é Jean. O pai de Jean é Luís. O irmão de Luís é André.
+
+irmão do pai de Evaristo = irmão de José $=$ Jean
+
+José
+
+pai do irmão do pai de Evaristo = pai de Jean = Luís
+
+$\underbrace{\text { José }}_{\text {Jean }}$
+
+irmão do pai do irmão do pai de Evaristo = irmão de Luís=André
+
+$\underbrace{\underbrace{\text { José }}_{\text {Jean }}}_{\text {Luís }}$
+
+5. (B) A colcha é formada de $5 \times 5=25$ quadradinhos. Os quadradinhos são todos iguais. Já os triângulos, temos de dois tipos: tipo I que corresponde a meio quadrado e tipo II que corresponde a $1 / 4$ de um quadradinho. A parte em cinza é composta de 8 triângulos do tipo I, 8 triângulos do tipo II e 4 quadrados, ou seja:
+
+8 triângulos tipo I +8 triângulos tipo II +4 quadrados $=10$ quadrados.
+
+4 quadrados 2 quadrados
+
+Logo, a fração correspondente a parte cinza é $\frac{10}{25}=\frac{40}{100}=40 \%$.
+
+1) Qual das igualdades está correta?
+
+(i) $3 \times 10^{6}+5 \times 10^{2}=8 \times 10^{8}$
+
+(ii) $2^{3}+2^{-3}=2^{0}$
+
+(iii) $5 \times 8+7=75$
+
+(iv) $5+5 \div 5=2$
+(A) (i)
+(B)(ii)
+(C) (iii)
+(D)(iv)
+(E) nenhuma
+
+2) Se $a, b$ e $c$ são números naturais tais que $3 a=4 b=7 c$, então o menor valor de $a+b+c$ é:
+(A) 84
+(B) 36
+(C) 61
+(D) 56
+(E) 42
+3) Um número é um quadrado perfeito se é igual a um número inteiro elevado ao quadrado. Por exemplo, são quadrados perfeitos:. $25=5^{2}, 49=7^{2}$ e $125=25^{2}$. Qual o menor número que devemos multiplicar 120 para obter um quadrado perfeito?
+(A) 10
+(B) 15
+(C) 20
+(D) 30
+(E) 35
+4) A máquina que registra o número de visitantes de um Museu marca 1879564. Note que esse número tem todos os algarismos distintos. Qual o menor número de visitantes que são necessários para que a máquina registre um número que também tenha todos os seus algarismos distintos?
+(A) 35
+(B) 36
+(C) 38
+(D) 47
+(E) 52
+5) Os números de 0 a 2000 foram ligados por flexas como mostra a figura:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-39.jpg?height=202&width=1288&top_left_y=2012&top_left_x=224)
+
+e assim por diante.
+
+Qual é a sucessão de flexas que liga o número1997 ao número 2000?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-39.jpg?height=120&width=466&top_left_y=2467&top_left_x=201)
+
+(A)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-39.jpg?height=137&width=286&top_left_y=2467&top_left_x=705)
+
+(C)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-39.jpg?height=128&width=300&top_left_y=2466&top_left_x=1004)
+
+(D)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-39.jpg?height=128&width=163&top_left_y=2466&top_left_x=1363)
+
+(E)
+
+(B)
+
+1. (E) Nenhuma igualdade está correta.
+
+(i) Errada: $3 \times 10^{6}+5 \times 10^{2}=3000000+500=30000500 \neq 8 \times 10^{8}$
+
+(ii) Errada: $2^{3}+2^{-3}=2^{3}+\frac{1}{2^{3}}=8+\frac{1}{8} \neq 1=2^{0}$ (iii) Errada: $\underbrace{5 \times 8+7}_{\text {multiplicação }}=40+7=47 \neq 75$
+
+soma
+
+(iv) Errada: $\underbrace{5+5 \div 5}_{\substack{\text { division } \\ \text { antes da } \\ \text { soma }}}=5+1=6 \neq 2$
+
+2. (C) Como $a, b$ e $c$ são números naturais, segue que $3 a$ é múltiplo de $3,4 b$ múltiplo de 4 e $7 c$ múltiplo de 7 . Como 3,4 e 7 são primos entre si (pois possuem 1 como divisor comum), o menor múltiplo comum de 3,4 e 7 é $3 \times 4 \times 7=84$. Portanto:
+
+$3 a=84 \Rightarrow a=28 \quad ; \quad 4 b=84 \Rightarrow b=21 \quad ; \quad 7 c=84 \Rightarrow c=12$. Logo, o menor valor para $a+b+c$ é $28+21+12=61$.
+
+3. (D) Fatorando 120, obtemos: $120=2^{3} \times 3 \times 5$. Para obter um quadrado perfeito todos os expoentes dessa decomposição devem ser pares, $\operatorname{logo}$ basta multiplicar 120 por $2 \times 3 \times 5=30$. De fato, temos:
+
+$120 \times 30=2^{3} \times 3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5=2^{4} \times 3^{2} \times 5^{2}=\left(2^{2} \times 3 \times 5\right)^{2}=60^{2}$
+
+4. (C) Observe que os únicos algarismos que não aparecem no número 1879564 são 0,2 e 3 . O próximo número com todos os algarismos distintos ocorrerá quando mudar o algarismo das centenas, e tivermos 18796 _. . Logo, o menor número será 1879602 , e faltam ainda 1879602-1879564=38 visitantes.
+5. (E) O caminho-padrão é aquele que se repete, no caso é:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-40.jpg?height=243&width=491&top_left_y=1806&top_left_x=1339)
+
+Esse caminho é formado de 6 flexas e começa sempre nos múltiplos de $6: 0,6,12$, etc. Vamos averiguar qual a posição de 1997 em relação ao múltiplo de 6 mais próximo. Dividindo 1997 por 6 , obtemos $1997=\underbrace{6 \times 332}_{\begin{array}{c}\text { corresponde a 332 } \\ \text { caminhos-padrão }\end{array}}+\underbrace{5}_{\text {resto }}$. Portanto, 1998 é o múltiplo de 6 mais próximo de 1997.
+
+Logo, 1998 ocupa a 1 1a posição no caminho-padrão, então, a situação é a seguinte:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-40.jpg?height=342&width=425&top_left_y=2302&top_left_x=1324)
+
+10. Como as casas são vizinhas, podemos pensar nelas como uma fila de casas com 6 posições.Vamos dividir a contagem em casos, de acordo com o número de casas de madeira que podem ser construídas.
+
+a) Nenhuma casa de madeira: aqui há apenas uma maneira de construir as casas, ou seja, todas de tijolo.
+
+b) Uma casa de madeira: aqui temos 6 maneiras de construir as casas, pois a casa de madeira pode ser qualquer uma delas, sendo as outras de tijolo.
+
+c) Duas casas de madeira: as casas de madeira podem ocupar as seguintes posições: $1^{\underline{a}}$ e $3^{\underline{a}}$, $1^{\underline{a}}$ e $4^{a}$, $1^{\underline{a}}$ e $5^{a}$, $1^{\underline{a}}$ e $6^{\underline{a}}$, $2^{\underline{a}}$ e $4^{a}$, $2^{\underline{a}}$ e $5^{a}$, $2^{\underline{a}}$ e $6^{\underline{a}}$, $3^{\underline{a}}$ e $5^{a}, 3^{a}$ e $6^{\underline{a}}$ ou $4^{a}$ e $6^{a}$. Temos aqui 10 maneiras.
+d) 3 casas de madeira: as casas de madeira podem ocupar as seguintes posições: $1^{a}$, $3^{a}$ e $5^{a} ; 1^{a}$, $3^{a}$ e $6^{a} ; 1^{a}, 4^{a}$ e $6^{a} ; 2^{a}, 4^{a}$ e $6^{a}$. Temos aqui 4 maneiras nototal.
+e) 4 ou mais casas de madeira: impossível, pois é fácil ver neste caso que sempre teremos duas casas de madeira juntas.
+
+Dessa forma, há $1+6+10+4=21$ maneiras de se planejar a construção.
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2006_N2.md

@@ -0,0 +1,1632 @@
+1) Em 1998, a população do Canadá era de 30,3 milhões. Qual das opções abaixo representa a população do Canadá em 1998?
+A) 30300000
+B) 303000000
+C) 30300
+D) 303000
+E) 30300000000
+2) Uma certa máquina é capaz de produzir 8 réguas em cada minuto. Quantas réguas esta máquina consegue produzir em 15 minutos?
+A) 104
+B) 110
+C) 112
+D) 128
+E) 120
+3) Luíza, Maria, Antônio e Júlio são irmãos. Dois deles têm a mesma altura. Sabe-se que:
+
+- Luíza é maior que Antônio
+- Maria é menor que Luíza
+- Antônio é maior do que Júlio
+- Júlio é menor do que Maria.
+
+Quais deles têm a mesma altura?
+A) Maria e Júlio
+B) Júlio e Luíza
+C) Antônio e Luíza
+D) Antônio e Júlio
+E) Antônio e Maria
+
+4) O algarismo das unidades do número $1 \times 3 \times 5 \times 79 \times 97 \times 113$ é:
+A) 1
+B) 3
+C) 5
+D) 7
+E) 9
+
+| Seleção | Jogos | V | E | D | GM | GS | P |
+| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| Dinamarca | 3 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 7 |
+| Senegal | 3 | 1 | 2 | 0 | 5 | 4 | $?$ |
+| Uruguai | 3 | 0 | 2 | 1 | 4 | $\boldsymbol{?}$ | 2 |
+| França | 3 | 0 | 1 | 2 | 0 | 3 | 1 |
+
+Utilize as informações abaixo para resolver as duas próximas questões:
+
+A tabela ao lado mostra o desempenho das seleções do grupo A da Copa do Mundo de 2002:
+
+# Legenda: 
+
+V - vitórias, E - empates, D - derrotas, GM - Gols Marcados, GS - Gols Sofridos, P - Pontos.
+
+Numa partida de futebol, a equipe vencedora ganha 3 pontos, em caso de empate as duas ganham 1 ponto e a perdedora não ganha nem perde pontos.
+
+5) Quantos pontos obteve a seleção do Senegal?
+A) 3
+B) 4
+C) 5
+D) 6
+E) 7
+6) Quantos gols sofreu a seleção do Uruguai?
+A) 2
+B) 3
+C) 4
+D) 5
+E) 6
+7) Na figura abaixo temos dois quadrados. O maior tem lado $a+b$ e o menor lado $a$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-02.jpg?height=363&width=506&top_left_y=792&top_left_x=775)
+
+Qual é a área da região em cinza?
+A) $b$
+B) $a+b$
+C) $a^{2}+2 a b$
+D) $b^{2}$
+E) $2 a b+b^{2}$
+
+8) Passa-se um barbante através dos seis furos de uma cartolina. A frente da cartolina, com o barbante, é mostrada na figura.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-02.jpg?height=268&width=211&top_left_y=1542&top_left_x=931)
+
+Qual das figuras abaixo não pode ser o verso da cartolina?
+(a)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-02.jpg?height=229&width=171&top_left_y=2030&top_left_x=380)
+(b)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-02.jpg?height=237&width=186&top_left_y=2023&top_left_x=975)
+(c)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-02.jpg?height=239&width=188&top_left_y=2025&top_left_x=1568)
+(d)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-02.jpg?height=223&width=160&top_left_y=2307&top_left_x=391)
+(e)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-02.jpg?height=226&width=162&top_left_y=2303&top_left_x=1581)
+
+9) Adriano, Bruno, César e Daniel são quatro bons amigos. Daniel não tinha dinheiro, mas os outros tinham. Adriano deu a Daniel um quinto do seu dinheiro, Bruno deu um quarto do seu dinheiro e César deu um terço do seu dinheiro. Cada um deu a Daniel a mesma quantia. A quantia que Daniel possui agora representa que fração da quantia total que seus três amigos juntos possuíam inicialmente?
+A) $\frac{1}{10}$
+B) $\frac{1}{4}$
+C) $\frac{1}{3}$
+D) $\frac{2}{5}$
+E) $\frac{1}{2}$
+10) O quadrado abaixo é chamado quadrado mágico, porque a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal é sempre a mesma. Neste caso essa soma é 15 .
+
+| 4 | 9 | 2 |
+| :--- | :--- | :--- |
+| 3 | 5 | 7 |
+| 8 | 1 | 6 |
+
+Complete os cinco números que faltam no quadrado abaixo para que ele seja um quadrado mágico.
+
+| -12 |  | -4 |
+| :--- | :--- | :--- |
+|  | 0 |  |
+| 4 |  |  |
+
+1. (A) Temos que 1 milhão $=1000000$. Logo, 30,3 milhões $=30,3 \times 1000000=30300000$
+2. (E) Se a máquina produz 8 réguas em 1 minuto, em 8 minutos ela produzirá $8 \times 15=120$ réguas.
+3. (E) Solução 1: Usaremos a notação $a<b$ que significa que $a$ é menor do que $b$, ou equivalentemente, $b$ é maior do que $a$. Assim, $a<b<c$ significa que $a$ é menor do que $b$ e $b$ é menor do que $c$.
+
+Para simplificar, vamos denotar a altura de cada um dos irmãos pela letra inicial de seu nome.
+
+Do enunciado temos:
+
+(i) $\mathrm{L}$ maior que $\mathrm{A}$ ou, equivalentemente, $\mathrm{A}$ menor que $\mathrm{L}(\mathrm{A}<\mathrm{L})$
+
+(ii) $\mathrm{M}$ menor que $\mathrm{L}(\mathrm{M}<\mathrm{L})$
+
+(iii) A maior que $\mathrm{J}$ ou, equivalentemente, $\mathrm{J}$ menor que $\mathrm{A}(\mathrm{J}<\mathrm{A})$
+
+(iv) $\mathrm{J}$ menor que $\mathrm{M}(\mathrm{J}<\mathrm{M})$
+
+De (i) e (iii) segue que: $\mathrm{J}<\mathrm{A}<\mathrm{L}$. Portanto, os irmãos de mesma altura não estão entre Júlio, Antônio e Luíza.
+
+De (ii) e (iv) segue que: $\mathrm{J}<\mathrm{M}<\mathrm{L}$. Portanto, os irmãos de mesma altura não estão entre Júlio, Maria e Luíza.
+
+Logo, a única opção é que Antônio e Maria tenham a mesma altura.
+
+Solução 2: Pelo enunciado, as opções A, C e D não ocorrem. Como Luíza é maior do que Antônio e Antônio é maior do que Júlio, temos que Luíza é maior do que Júlia. Logo, a opção correta é (E).
+
+4. (C) Como um dos fatores é 5 , o produto é um múltiplo de 5 . Os múltiplos de 5 são aqueles cujo algarismo das unidades é 0 ou 5 . Além disso, todos os fatores são números ímpares, então o produto é um número ímpar. Logo, o seu algarismo das unidades tem que ser 5.
+5. (C) Segundo as condições da copa, uma vitória vale 3 pontos, um empate vale 1 ponto e quem sofre uma derrota não pontua. Como Senegal teve uma vitória e dois empates, ele somou: $1 \times 3+2 \times 1=5$ pontos.
+6. (D) Observe que num campeonato, o número total de gols marcados é o mesmo que o total de gols sofridos. Denotando por $x$ o número de gols que sofreu a seleção do Uruguai temos:
+
+$$
+5+5+4+0=2+4+x+3 \Rightarrow 14=9+x
+$$
+
+Daí obtemos $x=5$.
+
+7. (E) Solução 1 - Usaremos que $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$. Lembre que a área de um quadrado de lado $l$ é $l^{2}$. Note que a área da região cinza é a diferença entre as áreas do maior e do menor quadrado. O lado do maior é $a+b$, portanto sua área é $(a+b)^{2}$. Já o lado do menor é $a$, logo sua área é $a^{2}$. Concluímos que a área da região cinza é: $(a+b)^{2}-a^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}-a^{2}=2 a b+b^{2}$.
+
+Solução 2 - Lembre que a área de um retângulo é o produto da largura pelo comprimento.
+
+Podemos dividir a região cinza em dois retângulos, um da largura $b$ e comprimento $a$, e o outro de largura $b$ e comprimento $a+b$, como mostra a figura. A área em cinza é a soma das áreas desses dois retângulos, ou seja:
+
+$a \times b+b \times(a+b)=a b+a b+b^{2}=2 a b+b^{2}$.
+
+Portanto, a área solicitada é $2 a b+b^{2}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-05.jpg?height=434&width=548&top_left_y=388&top_left_x=1325)
+
+Solução 3 - A região cinza é formada por 2 retângulos de dimensões $a \times b$ e um quadrado de lado b. Logo a sua área é: $2 \times a b+b^{2}$.
+
+8. (E) Observando a frente da cartolina, verificamos que o barbante entra e sai pelos furos da primeira linha. Na opção (e) o verso mostra estes dois furos como consecutivos ao percorrer o barbante, o que não é possível.
+9. (B) Suponha que Daniel tenha recebido $x$ reais de cada um de seus amigos. Então, Adriano tinha, inicialmente, $5 x$ reais, Bruno tinha $4 x$ reais e César tinha $3 x$ reais. Segue que o total de dinheiro dos três no início era de $5 x+4 x+3 x=12 x$ reais. Como cada um de seus três amigos lhe deu $x$ reais, Daniel tem agora $3 x$ reais, o que representa a quarta parte de $12 x$. Logo, ele possui agora $\frac{1}{4}$ da quantia que seus três amigos juntos possuíam inicialmente.
+10. Como a soma dos números de uma diagonal é $4+0+(-4)=0$, este deve ser o valor da soma dos números de cada linha coluna e diagonal.
+
+Assim, obtemos de imediato os números que faltam nas casas em cinza no primeiro tabuleiro: 16, 8 e 12, pois $(-12)+16+(-4)=0$ (na primeira linha), $(-12)+8+4=0$ (na primeira coluna) e $(-12)+0+(12)=0$ (na diagonal).
+
+| -12 |  | -4 |
+| :--- | :--- | :--- |
+|  | 0 |  |
+| 4 |  |  |$\rightarrow$| -12 | 16 | -4 |
+| :---: | :---: | :---: |
+| 8 | 0 |  |
+| 4 |  | 12 |$\rightarrow$| -12 | 16 | -4 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 8 | 0 | -8 |
+| 4 | -16 | 12 |
+
+Agora, o número que falta na segunda linha do segundo tabuleiro é $(-8)$, porque $8+0+(-8)=0$. Para a terceira linha, obtemos $(-16)$, pois $4+(-16)+12=0$.
+
+1) A, B, C, D, E, F, G e $\mathrm{H}$ são os fios de apoio que uma aranha usa para construir sua teia, conforme mostra a figura. A aranha continua seu trabalho. Sobre qual fio de apoio estará o número 118 ?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-06.jpg?height=740&width=746&top_left_y=561&top_left_x=655)
+A) B
+B) $\mathrm{D}$
+C) $\mathrm{E}$
+D) G
+E) $\mathrm{H}$
+
+2) Na figura temos $\hat{B}=50^{\circ}, A D$ e $C D$ são as bissetrizes dos ângulos $\hat{A}$ e $\hat{C}$ respectivamente.
+
+Qual a medida do ângulo $A \hat{D} C$ ?
+A) $90^{\circ}$
+B) $100^{\circ}$
+C) $115^{\circ}$
+D) $122.5^{\circ}$
+E) $125^{\circ}$
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-06.jpg?height=1150&width=1468&top_left_y=1566&top_left_x=200)
+
+3) O gráfico mostra o número de pontos que cada jogador da seleção de basquete da escola marcou no último jogo.
+
+O número total de pontos marcados pela equipe foi:
+A) 54
+B) 8
+C) 12
+D) 58
+E) 46
+
+4) Geni é cliente de um companhia telefônica que oferece o seguinte plano:
+
+- tarifa mensal fixa de $\mathrm{R} \$ 18,00$
+- gratuidade em 10 horas de ligações por mês
+- $\mathrm{R} \$ 0,03$ por cada minuto que exceder às 10 horas.
+
+Em janeiro, Geni usou seu telefone por 15 horas e 17 minutos, e em fevereiro por 9 horas e 55 minutos. Qual a despesa de Geni com telefone nesses dois meses?
+A) $R \$ 45,51$
+B) $\mathrm{R} \$ 131,10$
+C) $R \$ 455,10$
+D) $R \$ 13,11$
+E)R $\$ 4,55$
+
+5) Veja as promoções de dois supermercados:
+
+| Supermercado A | Supermercado B |
+| :---: | :---: |
+| 6 latas de 3 litros do <br> sorvete QUENTE | Sorvete QUENTE - lata de 3 <br> litros |
+| $\mathrm{R} \$ 24,00$ | 4 latas - só $\mathrm{R} \$ 14,00$ |
+
+Joana quer comprar 12 latas de sorvete para a festa de seu aniversário. Em qual supermercado ela deve comprar?
+
+A) No A, pois economizará $R \$ 7,00$ em relação ao $B$.
+
+B) No A, pois economizará $R \$ 6,00$ em relação ao B.
+
+C) No B, pois economizará $R \$ 8,00$ em relação ao $A$.
+
+D) No B, pois economizará $R \$ 6,00$ em relação ao $A$.
+
+E) Tanto faz, porque o preço é o mesmo nos dois supermercados.
+
+6) Paulo quer comprar um sorvete com 4 bolas em uma sorveteria que dispõe de três sabores: açaí, baunilha e cajá. De quantos modos diferentes ele pode fazer a compra?
+A) 6
+B) 9
+C) 12
+D) 15
+E) 18
+7) A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias fazendo trocas sucessivas?
+A) 11
+B) 12
+C) 13
+D) 14
+E) 15
+8) Pedro montou um quadrado com quatro das cinco peças abaixo. Qual é a peça que ele não usou?
+
+(a)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-08.jpg?height=123&width=168&top_left_y=521&top_left_x=430)
+
+(d)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-08.jpg?height=165&width=183&top_left_y=660&top_left_x=411)
+
+(b)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-08.jpg?height=129&width=188&top_left_y=521&top_left_x=974)
+
+(c)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-08.jpg?height=169&width=180&top_left_y=475&top_left_x=1532)
+
+(e)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-08.jpg?height=177&width=231&top_left_y=660&top_left_x=1478)
+
+9) Uma linha de ônibus possui 12 paradas numa rua em linha reta. A distância entre duas paradas consecutivas é sempre a mesma. Sabe-se que a distância entre a terceira e a sexta paradas é 3300 metros. Qual é a distância entre a primeira e a última parada?
+A) $8,4 \mathrm{~km}$
+B) $12,1 \mathrm{~km}$
+C) $9,9 \mathrm{~km}$
+D) $13,2 \mathrm{~km}$
+E) $9,075 \mathrm{~km}$
+10) Sete equipes, divididas em dois grupos, participaram do torneio de futebol do meu bairro.
+
+O grupo 1 foi formado pelas equipes Avaqui, Botágua e Corinense.
+
+O grupo 2 foi formado pelas equipes Dinossauros, Esquisitos, Flurinthians e Guaraná.
+
+Na primeira rodada do torneio, cada equipe enfrentou cada uma das equipes do seu grupo exatamente uma vez.
+
+$\mathrm{Na}$ segunda rodada do torneio, cada equipe enfrentou cada uma das equipes do outro grupo exatamente uma vez.
+
+(a) Quantas partidas foram disputadas na primeira rodada no grupo 1?
+
+(b) Quantas partidas foram disputadas na primeira rodada no grupo 2?
+
+(c) Quantas partidas foram disputadas na segunda rodada?
+
+1. (D) Observe que são 8 fios de apoio que a aranha utiliza, numerados a partir do fio A iniciando com 0 . Logo:
+
+- sobre o fio A aparecem os múltiplos de 8
+- sobre o fio $\mathrm{B}$ aparecem os (múltiplos de 8 ) +1
+- sobre o fio C aparecem os (múltiplos de 8 )+2
+- sobre o fio D aparecem os (múltiplos de 8 )+3
+- sobre o fio E aparecem os (múltiplos de 8 ) +4
+- sobre o fio $\mathrm{F}$ aparecem os (múltiplos de 8 ) +5
+- sobre o fio G aparecem os (múltiplos de 8 )+6
+- sobre o fio $\mathrm{H}$ aparecem os (múltiplos de 8 )+7
+
+Na divisão de 118 por 8 encontramos resto 6 , o que significa que $118=($ múltiplo de 8$)+6$. Portanto, 118 está sobre o fio G.
+
+2. (C) Nesta questão, usaremos o seguinte importante teorema da Geometria Plana: Teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$.
+
+Do teorema acima temos $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ}$, e como $\hat{B}=50^{\circ}$, segue que
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-09.jpg?height=506&width=371&top_left_y=1666&top_left_x=246)
+
+$$
+\hat{A}+50^{\circ}+\hat{C}=180^{\circ} \Rightarrow \hat{A}+\hat{C}=130^{\circ}
+$$
+
+Aplicando agora o teorema ao triângulo $\mathrm{ADC}$, obtemos:
+
+$\frac{A}{2}+\frac{C}{2}+A \hat{D} C=180^{\circ}$
+
+Como $\frac{\hat{A}}{2}+\frac{\hat{C}}{2}=\frac{\hat{A}+\hat{C}}{2}=\frac{130^{\circ}}{2}=65^{\circ}$, concluímos da igualdade acima que $A \hat{D} C=180^{\circ}-65^{\circ}=115^{\circ}$.
+
+3. (A) Analisando o gráfico, verificamos que os jogadores marcaram as seguintes quantidades de pontos: Daniel 7, Ramon 8, Ian 2, Bernardo 11, Tiago 6, Pedro 12, Ed 1 e André 7.
+
+Total: 54 pontos.
+
+4. (A) Vejamos a despesa em janeiro. Como 10 horas são gratuitas e Geni usou seu telefone por 15 horas e 17 minutos, ela deve pagar o custo de apenas 5 horas e 17 minutos mais a tarifa fixa mensal de 18 reais. Como o preço é dado em minutos, vamos reduzir a minutos o tempo a pagar. Sabemos que 1 hora $=60$ minutos, portanto 5 horas $=5 \times 60=300$ minutos . Logo, $5 \mathrm{~h} 17 \mathrm{~m}=300+17=317 \mathrm{~m}$. Portanto, a conta telefônica de Geni em janeiro foi:
+
+$$
+18+317 \times 0,03=18+9,51=27,51 \text { reais. }
+$$
+
+Em fevereiro, Geni usou seu telefone menos do que 10 horas, portanto neste mês ela só precisa pagar a tarifa fixa mensal de 18 reais. Logo, a despesa de Geni com telefone nesses dois meses foi:
+
+$$
+27,51+18=45,51 \text { reais. }
+$$
+
+5. (D) Se comprar no supermercado A, Joana gastará $2 \times R \$ 24,00=R \$ 48,00$.
+
+Se comprar no supermercado B, ela gastará $3 \times R \$ 14,00=R \$ 42,00$.
+
+6. (D) Vamos denotar cada sabor de sorvete pela sua letra inicial:
+
+$a \rightarrow$ açaí, $b \rightarrow$ baunilha, $c \rightarrow$ cajá
+
+Para enumerar todas as possibilidades de compra do $a a a a$ aaab $a a b b$ aabc sorvete com quatro bolas, devemos considerar os seguintes casos:
+
+- 4 bolas do mesmo sabor (1a coluna ao lado);
+- 3 bolas do mesmo sabor e 1 de sabor diferente ( $2^{a}$ coluna ao lado);
+- 2 bolas de um mesmo sabor e 2 de outro sabor $b b b b$ сcсc (3a coluna ao lado);
+- 2 bolas de um mesmo sabor e as outras 2 dos outros dois sabores (4a coluna ao lado).
+
+Obtemos assim 15 modos de fazer a compra do sorvete.
+
+aaac aacc bbac
+
+bbba
+
+$b b b c$
+
+ссса
+
+$c c c b$
+
+7. (D) Ele separa 40 garrafas vazias e as troca por 10 garrafas de 1 litro cheias de leite. Esvaziadas as 10 garrafas, ele pode juntá-las com as 3 vazias que restaram e trocá-las por 3 garrafas cheias, sobrando ainda 1 garrafa vazia. Esvaziando as 3 cheias e juntando com a garrafa vazia, ele ainda pode obter em troca mais uma garrafa cheia. Ao todo, ele pode obter, por sucessivas trocas, $10+3+1=14$ garrafas cheias de leite, todas elas a partir das 43 vazias que ele possuía.
+8. (B)
+
+Solução 1 - Contando o total de quadrados nas peças.
+
+Para que seja possível montar o quadrado, o número total de quadradinhos deve ser um quadrado perfeito (Um número é um quadrado perfeito se ele é igual ao quadrado de um número inteiro. Por exemplo, 1,9 e 16 são quadrados perfeitos pois $1=1^{2}, 9=3^{2}, 16=4^{2}$.).
+
+Contando o total de quadradinhos apresentados nas cinco opções de resposta, obtemos: $4+5+6+7+8=30$.
+
+Portanto, devemos eliminar uma peça de modo que o total de quadradinhos resultante seja um quadrado perfeito. A única possibilidade é a (b). De fato, eliminando (b), a soma fica sendo 25 que é um quadrado perfeito, pois $25=5^{2}$.
+
+Solução 2 - Tentando montar o quadrado com 4 das cinco peças.
+
+Neste caso, conseguimos montar um quadrado com as peças $a, c, d$ e $e$, como na figura:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-11.jpg?height=392&width=394&top_left_y=912&top_left_x=1302)
+
+9. (B)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-11.jpg?height=137&width=1307&top_left_y=1508&top_left_x=383)
+
+Como a distância entre a 3a e a 6a paradas é $3300 \mathrm{~m}$, então a distância entre duas paradas consecutivas é $3300 \div 3=1100 \mathrm{~m}$.
+
+Portanto, a distância entre a primeira e a última paradas é $1100 m \times 11=12100 m$. Como as opções da resposta são dadas em quilômetro, devemos reduzir $12100 \mathrm{~m}$ a quilômetro. Como $1 \mathrm{~km}=1000 \mathrm{~m}$, temos $12100 \mathrm{~m}=12,1 \mathrm{~km}$.
+
+10. (a) Foram disputadas 3 partidas que são: $A \times B, B \times C, C \times A$.
+
+(b) Foram disputadas 6 partidas que são: $D \times E, D \times F, D \times G, E \times F, E \times G, F \times G$
+
+(c) Na segunda rodada, cada equipe do grupo 1 joga 4 partidas; uma com cada equipe do grupo 2. Como o grupo 1 tem 3 equipes, o total de partidas será $3 \times 4=12$.
+
+1) Os quadrados brancos sem números da figura ao lado devem ser preenchidos com números de modo que cada número, a partir da segunda linha, seja igual à soma dos dois números vizinhos da linha imediatamente superior. Por exemplo, o número da primeira casa da segunda linha é 11,
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-12.jpg?height=248&width=451&top_left_y=413&top_left_x=1396)
+porque $11=5+6$. Qual o número que vai aparecer no quadrado indicado com $x$ ?
+A) 4
+B) 6
+C) 9
+D) 15
+E) 10
+
+2) Uma bola de futebol é feita com 32 peças de couro. Dessas peças 12 são pentágonos regulares idênticos e as outras 20 são hexágonos, também regulares e idênticos. Os lados dos pentágonos são iguais aos lados dos hexágonos. Para unir dois lados de duas dessas peças é necessária uma costura. Quantas são as costuras necessárias para fazer uma bola?
+A) 60
+B) 64
+C) 90
+D) 120
+E) 180
+3) A figura ao lado mostra uma grade formada por quadrados de lado $1 \mathrm{~cm}$. Qual é a razão entre a área sombreada e a área não sombreada?
+A) $1 / 4$
+B) $1 / 5$
+C) $1 / 6$
+D) $2 / 5$
+E) $2 / 7$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-12.jpg?height=306&width=309&top_left_y=1252&top_left_x=1479)
+
+4)Em um quente dia de verão, 64 crianças comeram, cada uma, um sorvete pela manhã e outro à tarde. Os sorvetes eram de 4 sabores: abacaxi, banana, chocolate e doce de leite. A tabela abaixo mostra quantas crianças consumiram um destes sabores pela manhã e outro à tarde; por exemplo, o número 7 na tabela indica que 7 crianças tomaram sorvete de banana pela manhã e de chocolate à tarde.
+
+|  | TARDE |  |  |  |  |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+|  |  | Abacaxi | Banana | Chocolate | Doce de <br> leite |
+| $\mathbf{M}$ <br> $\mathbf{A}$ <br> $\mathbf{N}$ <br> $\mathbf{H}$ <br> $\tilde{A}$ | Abacaxi | 1 | 8 | 0 | 3 |
+|  | Banana | 6 | 2 | 7 | 5 |
+|  | Chocolate | 3 | 3 | 0 | 5 |
+|  | Doce de <br> Leite | 2 | 9 | 9 | 1 |
+
+Quantas crianças tomaram sorvetes de sabores diferentes neste dia?
+A) 58
+B) 59
+C) 60
+D) 61
+E) 62
+
+5) Camila e Lara têm, cada uma, um tabuleiro $4 \times 4$, inicialmente ambos em branco. Com estes tabuleiros elas fazem uma brincadeira do seguinte modo:
+
+- Camila, escondida de Lara, pinta algumas casas de seu tabuleiro, de preto;
+- Ainda em seu tabuleiro, Camila escreve em cada casa o número de casas vizinhas que estão pintadas de preto (duas casas distintas são vizinhas se possuem um lado ou um vértice em comum);
+- Camila copia os números escritos em seu tabuleiro no tabuleiro de Lara;
+- Lara deve adivinhar, a partir dos números escritos em seu tabuleiro, quantas são as casas pretas do tabuleiro de Camila.
+
+Por exemplo, se Camila pintou seu tabuleiro assim
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-13.jpg?height=215&width=211&top_left_y=852&top_left_x=928)
+
+então ela vai colocar os números no tabuleiro de Lara do seguinte modo:
+
+| 1 | 1 | 3 | 1 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 2 | 3 | 2 | 2 |
+| 1 | 3 | 1 | 1 |
+| 1 | 2 | 0 | 0 |
+
+Se o tabuleiro de Lara tem os números
+
+| 1 | 2 | 1 | 1 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 0 | 2 | 1 | 2 |
+| 2 | 3 | 3 | 1 |
+| 1 | 0 | 2 | 1 |
+
+quantas foram as casas que Camila pintou?
+A) 3
+B) 4
+C) 5
+D) 6
+E) 7
+
+6) Larissa e Jorge estão jogando com cartões numerados de 1 a 6 que devem ser colocados nas casas do tabuleiro abaixo de modo a formar um número de seis algarismos.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-13.jpg?height=134&width=574&top_left_y=2172&top_left_x=747)
+
+Jorge coloca o primeiro cartão e a seguir as jogadas são alternadas entre os dois. O objetivo de Larissa é obter o maior número possível e o de Jorge é obter o menor número possível. Larissa tem os cartões com os algarismos 1,3 e 5 e Jorge tem os cartões com os algarismos $2,4 \mathrm{e} 6$. Se os dois jogadores forem espertos, qual o número que aparecerá ao final do jogo?
+A) 254361
+B) 253416
+C) 251634
+D) 256134
+E) 251346
+
+1. (E) Preenchendo o tabuleiro de acordo com as regras do problema:
+
+| 5 |  | 6 |  | $x$ |  | 7 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 11 |  | $x+6$ |  | $x+7$ |  |  |
+|  | $x+17$ |  | $2 x+13$ |  |  |  |
+|  |  |  |  |  |  |  |
+
+segue que $60=(x+17)+(2 x+13)=3 x+30$, donde $x=10$.
+
+2. (C) Se somarmos os números de lados de todos os polígonos ( 20 hexágonos e 12 pentágonos) que compõem a superfície da bola, obteremos um valor que é duas vezes o número de costuras, pois cada costura é lado comum de exatamente dois polígonos. Assim, temos que $2 \times$ (número de costuras) $=12 \times 5+20 \times 6=180$, donde o número de costuras é 90 .
+3. (A) A grade é um quadrado de lado igual a $5 \mathrm{~cm}$, logo sua área é igual a $25 \mathrm{~cm}^{2}$. A parte sombreada da grade é formada por quatro triângulos, sendo que dois deles têm base $1 \mathrm{~cm}$ e altura $2 \mathrm{~cm}$ e os outros dois têm base $1 \mathrm{~cm}$ e altura $3 \mathrm{~cm}$. Logo a área sombreada é igual a $2 \times \frac{1 \times 2}{2}+2 \times \frac{1 \times 3}{2}=5 \mathrm{~cm}^{2}$ e a área não sombreada é igual a $25-5=20 \mathrm{~cm}^{2}$. Assim, a razão pedida é $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$.
+4. (C) Vamos primeiro analisar a informação contida na diagonal da tabela indicada pelos números dentro dos quadradinhos.
+
+|  | TARDE |  |  |  |  |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+|  |  | Abacaxi | Banana | Chocolate | Doce de leite |
+| $M$ <br> $\mathbf{A}$ <br> $\mathbf{N}$ <br> $\mathbf{H}$ <br> $\tilde{A}$ | Abacaxi | $\sqrt{1}$ | 8 | 0 | 3 |
+|  | Banana | 6 | 2 | 7 | 5 |
+|  | Chocolate | 3 | 3 | 0 | 5 |
+|  | Doce de <br> Leite | 2 | 9 | 9 | $\mid 1$ |
+
+Esses números indicam quantos foram as crianças que tomaram sorvetes com o mesmo sabor pela manhã e pela tarde: 1 tomou sorvetes de abacaxi, 2 de banana, 0 de chocolate e 1 de doce de leite. Todos os outros estudantes comeram sorvetes de sabores diferentes pela manhã e à tarde; estes são em número de $64-(1+2+0+1)=60$.
+
+|  |  |  |  |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 0 |  |  |  |
+|  |  |  |  |
+|  | 0 |  |  |$\Rightarrow$| $\mathrm{X}$ | $\mathrm{X}$ |  |  |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+|  | $\mathrm{X}$ |  |  |
+| $\mathrm{X}$ | $\mathrm{X}$ | $\mathrm{X}$ |  |
+| $\mathrm{X}$ |  | $\mathrm{X}$ |  |
+
+5. (B) Notamos primeiro que se uma casa tem o algarismo 0 , então nenhuma das casas vizinhas pode estar pintada. Logo as casas marcadas com um $\mathrm{X}$ na figura ao lado não foram pintadas:
+
+Consideremos agora a casa do canto superior direito, na qual aparece o número 1. Ela tem 3 vizinhas, e já sabemos que duas delas não foram pintadas; logo, a vizinha que sobra (a casa imediatamente abaixo) foi pintada.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-15.jpg?height=206&width=668&top_left_y=571&top_left_x=1228)
+
+|  |  |  |  |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+|  |  |  |  |
+|  |  |  |  |
+| 1 |  |  | 1 |$\Rightarrow$| $\mathrm{X}$ | $\mathrm{X}$ |  |  |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+|  | $\mathrm{X}$ |  |  |
+| $\mathrm{X}$ | $\mathrm{X}$ | $\mathrm{X}$ |  |
+| $\mathrm{X}$ |  | $\mathrm{X}$ |  |
+
+Podemos aplicar o mesmo argumento às casas do canto inferior esquerdo e do canto inferior direito.
+
+Olhamos agora para o 2 na última linha. Como esta casa já tem duas vizinhas pintadas, todas suas outras vizinhas não foram pintadas:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-15.jpg?height=200&width=529&top_left_y=1116&top_left_x=1363)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-15.jpg?height=221&width=556&top_left_y=1443&top_left_x=156)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-15.jpg?height=215&width=552&top_left_y=1760&top_left_x=158)
+
+Argumento idêntico se aplica à casa da segunda linha e terceira coluna, pois nela aparece um 1e já temos uma de suas vizinhas pintadas. Logo, as suas outras 3 vizinhas não foram pintadas
+
+Finalmente, usamos o 3 que aparece na casa da terceira linha e terceira coluna; esta casa já tem 2 vizinhas pintadas, logo deve haver mais uma de suas vizinhas pintada. Esta vizinha só pode ser a casa em branco na figura acima, e podemos completar a tabela:
+
+Concluímos que o número de casas pintadas é 4 .
+
+6. (B) A formação de um número de 6 algarismos é ilustrada a seguir.
+
+| centena <br> de milhar | dezena de <br> milhar | unidade <br> de <br> milhar | centena | dezena | unidade |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+
+Para se obter o menor número possível, os menores algarismos devem estar o mais à esquerda possível (na casa do milhar); e para se obter o maior número possível os maiores algarismos devem também estar o mais à esquerda possível (na casa do milhar).
+
+Iorge joga primeiro: Para obter o menor número possível, ele coloca o menor algarismo que ele possui, que é o 2, na casa das centenas de milhar. Se ele não fizesse isso, Larissa colocaria seu 5 nesta casa na próxima jogada, obtendo assim um número maior.
+
+| 2 | dezena de <br> milhar | unidade <br> de <br> milhar | centena | dezena | unidade |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+
+Agora é a vez de Larissa: Para obter o maior número possível, ela coloca o maior algarismo que ela possui, que é o 5 , na casa das dezenas de milhar, pois a casa das centenas de milhar já está ocupada.
+
+| 2 | 5 | unidade <br> de <br> milhar | centena | dezena | unidade |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+
+Jorge tem agora os algarismos 4 e 6, e Larissa 1e 3. Logo, os algarismos de Larissa são menores dos que os de Jorge, o que determina a estratégia de Jorge : ele deve tentar colocar seus algarismos o mais à direita possível, com o 6 à direita do 4 . Por sua vez, Larissa deve tentar colocar seus algarismos o mais à esquerda possível, com o 3 à esquerda do 1. Jorge então coloca o 6 na casa das unidades.
+
+Iorge joga: Ele coloca o algarismo 6 na casadas unidades.
+
+| 2 | 5 | unidade <br> de <br> milhar | centena | dezena | 6 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+
+Larissa joga: Ela coloca seu 1 na casa das dezenas.
+
+| 2 | 5 | unidade <br> de <br> milhar | centena | 1 | 6 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+
+Agora Jorge tem apenas o algarismo $4 \mathrm{e}$ Larissa o 3. Ele então coloca o 4 na casa das centenas, $\mathrm{e}$ Larissa coloca o 3 na casa das unidades de milhar, acabando assim o jogo.
+
+| 2 | 5 | 3 | 4 | 1 | 6 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+
+Logo, o número final obtido se os dois jogadores forem espertos é 253416.
+
+1) Uma professora tem 237 balas para dar a seus 31 alunos. Qual é o número mínimo de balas a mais que ela precisa conseguir para que todos os alunos recebam a mesma quantidade de balas, sem sobrar nenhuma?
+A) 11
+B) 20
+C) 21
+D) 31
+E) 41
+2) Um artesão começa a trabalhar às 8 h e produz 6 braceletes a cada vinte minutos; já seu auxiliar começa a trabalhar uma hora depois e produz 8 braceletes do mesmo tipo a cada meia hora. O artesão pára de trabalhar às $12 \mathrm{~h}$, mas avisa ao seu auxiliar que este deverá continuar trabalhando até produzir o mesmo que ele. A que horas o auxiliar irá parar?
+A) $12 \mathrm{~h}$
+B) $12 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$
+C) $13 \mathrm{~h}$
+D) $13 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$
+E) $14 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$
+3) Se girarmos o pentágono regular, ao lado, de um ângulo de $252^{\circ}$, em torno do seu centro, no sentido horário, qual figura será obtida? Observação: Sentido horário é o sentido em que giram os ponteiros do relógio; no caso ele está indicado pela seta no desenho.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-17.jpg?height=185&width=211&top_left_y=1318&top_left_x=1482)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-17.jpg?height=175&width=165&top_left_y=1643&top_left_x=246)
+A)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-17.jpg?height=169&width=169&top_left_y=1646&top_left_x=521)
+B)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-17.jpg?height=172&width=166&top_left_y=1650&top_left_x=822)
+C)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-17.jpg?height=160&width=168&top_left_y=1662&top_left_x=1144)
+D)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-17.jpg?height=172&width=166&top_left_y=1650&top_left_x=1462)
+E)
+
+4) O perímetro de um retângulo é $100 \mathrm{~cm}$ e a diagonal mede $x \mathrm{~cm}$. Qual é a área do retângulo em função de $x$ ?
+A) $625-x^{2}$
+B) $625-\frac{x^{2}}{2}$
+C) $1250-\frac{x^{2}}{2}$
+D) $250-\frac{x^{2}}{2}$
+E) $2500-\frac{x^{2}}{2}$
+5) Se $x+y=8$ e $x y=15$, qual é o valor de $x^{2}+6 x y+y^{2}$ ?
+A) 64
+B) 109
+C) 120
+D) 124
+E) 154
+6) Na figura estão indicadas em graus as medidas de alguns ângulos em função de x. Quanto vale $x$ ?
+A) $6^{\circ}$
+B) $12^{\circ}$
+C) $18^{\circ}$
+D) $20^{\circ}$
+E) $24^{\circ}$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=397&width=688&top_left_y=293&top_left_x=1001)
+
+7) Qual dos seguintes desenhos não pode ser feito sem tirar o lápis do papel e passando apenas uma vez por cada linha?
+A)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=240&width=214&top_left_y=942&top_left_x=367)
+B)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=239&width=228&top_left_y=957&top_left_x=914)
+C)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=254&width=238&top_left_y=952&top_left_x=1523)
+D)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=257&width=234&top_left_y=1214&top_left_x=563)
+E)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=231&width=237&top_left_y=1272&top_left_x=1155)
+
+8)Cortamos um canto de um cubo, como mostrado na seguinte figura.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=285&width=283&top_left_y=1585&top_left_x=1543)
+
+Qual das representações abaixo corresponde ao que restou do cubo?
+(a)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=283&width=371&top_left_y=1969&top_left_x=386)
+(b)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=284&width=359&top_left_y=1968&top_left_x=880)
+(c)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=272&width=365&top_left_y=1977&top_left_x=1351)
+(d)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=265&width=351&top_left_y=2312&top_left_x=401)
+(e)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=269&width=366&top_left_y=2307&top_left_x=868)
+
+9)Você já viu um truque numérico? Aqui vão os passos de um truque numérico:
+
+(I) Escolha um número qualquer.
+
+(II) Multiplique-o por 6.
+
+(III) Do resultado subtraia 21.
+
+(IV) Divida agora este novo resultado por 3.
+
+(V) Deste último resultado subtraia o dobro do número que você escolheu.
+
+(a) Experimente fazer esses cinco passos três vezes, iniciando cada vez com um número diferente. Qual foi o resultado de seu experimento?
+
+(b) A seguir, usando a letra $x$ para representar o número que você pensou, mostre por que os resultados do item (a) não são apenas uma coincidência, mas sim um fato matemático.
+
+10)Na figura abaixo vemos uma mesa de sinuca quadriculada e parte da trajetória de uma bola, tacada a partir de um canto da mesa, de modo que, sempre, ao bater em uma das bordas da mesa, segue seu movimento formando ângulos de $45^{\circ} \mathrm{com}$ a borda.
+
+(a) Em qual das quatro caçapas a bola cairá?
+
+(b) Quantas vezes a bola baterá nas bordas da mesa antes de cair na caçapa?
+
+(c) A bola atravessará a diagonal de quantos desse quadrados durante sua trajetória?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-19.jpg?height=588&width=559&top_left_y=1399&top_left_x=1091)
+
+1. (A) O algoritmo de divisão de Euclides nos dá $237=7 \times 31+20$; logo 237 não é divisível por 31. Isso quer dizer que a professora realmente vai ter que comprar mais balas para que todos os alunos recebam o mesmo número de balas. De acordo com o enunciado, devemos então adicionar à expressão $7 \times 31+20$ o menor inteiro positivo $x$ tal que $7 \times 31+20+x$ seja múltiplo de 31. Como $x=31-20=11$, basta que a professora compre 11 balas.
+
+2.(D) $\mathrm{O}$ artesão produz 6 braceletes a cada 20 minutos. Como 1 hora $=60$ minutos $=3 \times 20$ minutos, o artesão produz $6 \times 3=18$ braceletes em 1 hora. Como ele trabalhou 12 horas -8 horas $=4$ horas, o número de braceletes feitos pelo artesão é $18 \times 4=72$.
+
+O auxiliar produz 8 braceletes a cada meia-hora, portanto em 1 hora ele produz 16 braceletes. Para produzir 72 braceletes ele precisará de $\frac{72}{16}=4,5$ horas $=4$ horas e 30 minutos. Como ele inicia seu trabalho às 9 horas, ele terminará seu trabalho às 9 horas +4 horas +30 minutos $=13$ horas e 30 minutos .
+
+3. (B) O pentágono tem 5 lados, logo seu ângulo central é $\frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$. Como $252^{\circ}=72^{\circ}+180^{\circ}$, podemos pensar na rotação de $252^{\circ}$ como uma rotação de $72^{\circ}$ seguida de outra de $180^{\circ}$, conforme ilustrado na figura abaixo, onde $O$ é o centro do polígono.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-20.jpg?height=360&width=366&top_left_y=1533&top_left_x=434)
+
+$180^{\circ}$
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-20.jpg?height=364&width=726&top_left_y=1568&top_left_x=859)
+
+rotação de $72^{\circ}$
+
+rotação de $180^{\circ}$
+
+4. (C) Solução 1: Como o perímetro do retângulo é 100, seu semiperímetro é 50 . Como o semi-perímetro de um retângulo é a soma do comprimento com a largura, concluímos que esses são da forma $a$ e $50-a$. A área de um retângulo é o produto do comprimento pela
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-20.jpg?height=200&width=346&top_left_y=2076&top_left_x=1506)
+largura. No nosso caso, esta área é $(50-a) \cdot a=50 a-a^{2}$. Pelo teorema de Pitágoras, temos $x^{2}=(50-a)^{2}+a^{2}$, ou seja, $x^{2}=2500-100 a+2 a^{2}=2500-2\left(50 a-a^{2}\right)$. Logo $50 a-a^{2}=\frac{1}{2}\left(2500-x^{2}\right)$ e obtemos a expressão da área do retângulo em função de $x$.
+
+Solução 2: Área do retângulo de medidas $a$ e $b$ é $A=a b$. Como $a+b=50$, temos $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b=50^{2}$. Pelo Teorema de Pitágoras, $x^{2}=a^{2}+b^{2}$, assim, $x^{2}+2 A=2500$
+
+5. (D) Usando a identidade $(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}$, temos $x^{2}+6 x y+y^{2}=\left(x^{2}+2 x y+y^{2}\right)+4 x y=(x+y)^{2}+4 x y=8^{2}+4 \times 15=124$
+6. (C) Completamos a figura marcando os ângulos $\alpha \mathrm{e} \beta$, lembrando que ângulos opostos pelo vértice são iguais. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$, podemos escrever as três igualdades abaixo, uma para cada um dos triângulos da figura:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& \alpha+7 x=180^{\circ} \\
+& \beta+8 x=180^{\circ} \\
+& \alpha+\beta+5 x=180^{\circ}
+\end{aligned}
+$$
+
+Logo,
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-21.jpg?height=474&width=688&top_left_y=411&top_left_x=1138)
+
+$$
+(\alpha+7 x)+(\beta+8 x)-(\alpha+\beta+5 x)=180^{\circ}+180^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ}
+$$
+
+e como
+
+$$
+(\alpha+7 x)+(\beta+8 x)-(\alpha+\beta+5 x)=\alpha+7 x+\beta+8 x-\alpha-\beta-5 x=10 x
+$$
+
+segue que $10 x=180^{\circ}$, donde $x=18^{\circ}$
+
+7. (E)
+(a)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-21.jpg?height=317&width=287&top_left_y=1475&top_left_x=673)
+(b)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-21.jpg?height=305&width=269&top_left_y=1481&top_left_x=1176)
+(c)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-21.jpg?height=300&width=277&top_left_y=1849&top_left_x=684)
+(d)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-21.jpg?height=303&width=263&top_left_y=1839&top_left_x=1179)
+
+Observe nas ilustrações (a), (b), (c) e (d) que iniciando o desenho no ponto P e seguindo as setas de acordo com a ordem numérica, é possível completar cada desenho sem tirar o lápis do papel.
+
+Já o desenho da opção (e) não pode ser construído sem tirar o lápis do papel. De fato, excetuando-se o vértice de início do traçado e o vértice de finalização, os demais vértices do desenho devem possuir obrigatoriamente um número par de linhas chegando até eles, pois a cada vez que se chega a um desses vértices por uma linha, deixa-se esse mesmo vértice por outra linha. No caso da letra (e), os quatro vértices externos possuem três linhas chegando a cada um deles, logo é impossível fazer tal traçado.
+
+8. (E) Cortando um canto do cubo, eliminamos um de seus vértices. Como cada vértice se liga a três arestas do cubo, uma representação do cubo cortado deve mostrar três cortes ao redor de um mesmo vértice.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-22.jpg?height=414&width=1138&top_left_y=387&top_left_x=514)
+9. (a) Vamos fazer o experimento com os números 0,5 e - 4 .
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 0 \longrightarrow{ }_{\mathrm{x} 6} 0 \xrightarrow[-21]{ } 0 \xrightarrow{-21}-7 \xrightarrow[-(0 \times 2)=0]{ }-7
+\end{aligned}
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-22.jpg?height=82&width=1168&top_left_y=1164&top_left_x=450)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-22.jpg?height=74&width=1182&top_left_y=1319&top_left_x=437)
+
+O resultado final é sempre-7.
+
+(b) É razoável conjeturar então que para qualquer número escolhido o resultado final deste procedimento será sempre -7 . Seja $x$ o número inicial. Temos então as operações:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-22.jpg?height=106&width=1531&top_left_y=1677&top_left_x=211)
+
+Portanto, o resultado será -7 qualquer que seja o número inicialmente escolhido.
+
+10. A bola muda a direção de sua trajetória cada vez que bate na borda da mesa. Como a trajetória faz sempre um ângulo de $45^{\circ}$ com a borda, a bola seguirá sempre as diagonais dos quadrados que ela cruza.
+
+a) Traçando esta trajetória, concluímos que a bola cairá na caçapa $D$;
+
+b) A bola baterá 5 vezes na borda da mesa;
+
+c)Contando quantos são os quadradinhos atravessados, descobrimos que ela atravessará 23 quadradinhos.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-22.jpg?height=628&width=642&top_left_y=1916&top_left_x=1255)
+
+1) Se $m$ e $n$ são inteiros maiores do que zero com $m<n$, definimos $m \nabla n$ como a soma dos inteiros entre $m$ e $n$, incluindo $m$ e $n$. Por exemplo, $\quad 5 \nabla 8=5+6+7+8=26$.
+
+Então o valor de $\frac{22 \nabla 26}{4 \nabla 6}$ é:
+A) 4
+B) 6
+C) 8
+D) 10
+E) 12
+
+2) O preço de uma corrida de táxi é $R \$ 2,50$ fixos ("bandeirada"), mais $R \$ 0,10$ por cada 100 metros rodados. Tenho apenas $R \$ 10,00$ no bolso. Logo, tenho dinheiro para uma corrida de até:
+A) $2,5 \mathrm{~km}$
+B) $5,0 \mathrm{~km}$
+C) $7,5 \mathrm{~km}$
+D) $10,0 \mathrm{~km}$
+E) $12,5 \mathrm{~km}$
+3) Quantos números entre 1 e 601 são múltiplos de 3 ou múltiplos de 4 ?
+A) 100
+B) 150
+C) 250
+D) 300
+E) 430
+4) Se $x, y$ e $z$ são números inteiros positivos tais que $x y z=240, x y+z=46 e x+y z=64$, qual é $o$ valor de $x+y+z$ ?
+A) 19
+B) 20
+C) 21
+D) 24
+E) 36
+5) Na reta abaixo estão representados os cinco números $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{m}, \mathbf{n}, \mathbf{p}$ e $\mathbf{q}$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-23.jpg?height=88&width=1016&top_left_y=1715&top_left_x=520)
+
+Então os números que melhor representam $a+b, a-b$ e $a b$ são, respectivamente,
+(A) m, peq
+(B) m, q e p
+(C) n, q e p
+(D) n, p e q
+(E) $q$, m e p
+
+6) Numa corrida de carros, um piloto percorreu três trechos: um de $240 \mathrm{~km}$, um de $300 \mathrm{~km}$ e um de $400 \mathrm{~km}$. O piloto sabe que as velocidades médias nesses trechos foram $40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, $75 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ e $80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, mas não se lembra qual dessas velocidades corresponde a cada um desses trechos.. Podemos garantir que o tempo total em horas gasto pelo piloto para percorrer os três trechos foi:
+
+A) menor ou igual a 13 horas
+
+B) maior ou igual a 13 horas e menor ou igual a 16 horas
+
+C) maior ou igual a 16 horas e menor ou igual a 17 horas
+
+D) maior ou igual a 15 horas e menor ou igual a 18 horas
+
+E) maior ou igual a 18 horas
+
+7) Do quadrado $A B C D$ foram cortados os triângulos isósceles sombreados, como na figura, restando o retângulo $P Q R S$. A área total do que foi cortada é de $200 \mathrm{~m}^{2}$. Qual é o comprimento de $P R$ ?
+(A) $\sqrt{200} m$
+(B) $20 \mathrm{~m}$
+(C) $\sqrt{800} \mathrm{~m}$
+(D) $25 \mathrm{~m}$
+(E) $88 \mathrm{~m}$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-24.jpg?height=420&width=417&top_left_y=241&top_left_x=1416)
+
+8) Na figura o triângulo $A B C$ é isósceles, $B \hat{A} C=20^{\circ}$ e $B C=B D=B E$.
+
+Determine a medida do ângulo $B \hat{D} E$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-24.jpg?height=678&width=289&top_left_y=923&top_left_x=1018)
+
+9) São dadas 4 moedas aparentemente iguais, das quais 3 são verdadeiras e por isso têm o mesmo peso; uma é falsa e por isso tem peso diferente. Não se sabe se a moeda falsa é mais leve ou mais pesada que as demais. Mostre que é possível determinar a moeda diferente empregando somente duas pesagens em uma balança de pratos. Observação: Neste tipo de balança podemos comparar os pesos colocados nos dois pratos, ou seja, a balança pode ficar equilibrada ou pender para o lado mais pesado.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-24.jpg?height=491&width=759&top_left_y=2116&top_left_x=657)
+
+1. (C) De acordo com a definição de $\nabla$, temos $\frac{22 \nabla 26}{4 \nabla 6}=\frac{22+23+24+25+26}{4+5+6}=\frac{120}{15}=8$.
+2. (C) Como a bandeirada é fixa, temos $10,00-2,50=7,50$ reais a serem gastos apenas com os metros rodados. Cada trecho de 100 metros rodado custa $R \$ 0,10$, então com $R \$ 7,50$ posso fazer uma corrida de $\frac{7,50}{0,10}=\frac{750}{10}=75$ trechos de 100 metros cada um, ou seja $75 \times 100=7500$ metros. Como 1 quilômetro tem 1000 metros, segue que com $R \$ 10,00$ posso pagar uma corrida de até 7500 metros $=\frac{7500}{1000}$ quilômetros $=7,5$ quilômetros .
+3. (D) Para achar o número de múltiplos de 3 compreendidos de 1a 601, basta usar o algoritmo da divisão e escrever $601=200 \times 3+1$. Isso mostra que $3 \times 1,3 \times 2, \ldots, 3 \times 200$ são os múltiplos de 3 de 1 a 601, ou seja, temos 200 destes múltiplos. Do mesmo modo vemos que existem 150 múltiplos de 4 de 1 a 601.
+
+Nesse total $\underbrace{200}_{\begin{array}{c}\text { múltiplos } \\ \text { de } 3\end{array}}+\underbrace{150}_{\begin{array}{c}\text { múltiplos } \\ \text { de } 4\end{array}}=350$, alguns números aparecem contados duas vezes, pois são múltiplos de 3 e de 4 ao mesmo tempo. Por exemplo: 12,36 e 60 foram incluídos nos 200 múltiplos de 3 e também nos 150 múltiplos de 4 . Lembre que os múltiplos de 3 e de 4 são também múltiplos de 12 . O mesmo argumento usado acima mostra que temos 50 múltiplos de 12 de 1 a 601 . Logo o número de múltiplos de 3 ou 4 de 1 a 601 é $350-50=300$.
+
+4. (B) Solução 1: De $x y z=240$ segue que $x y=\frac{240}{z}$; substituindo em $x y+z=46$ obtemos $\frac{240}{z}+z=46$, ou seja, $z^{2}-46 z+240=0$. As raízes desta equação são números cuja soma é $46 \mathrm{e}$ cujo produto é 240 , ou seja, as raízes são 6 e 40 . Logo, $z=6$ ou $z=40$ (I). Do mesmo modo, a substituição de $y z=\frac{240}{x}$ em $x+y z=64$ nos leva a $x=4$ ou $x=60$ (II). De $x y z=240$, segue que $y=\frac{240}{x z}$. Como $y$ é um número inteiro, então $x z$ é um divisor de 240 . Segue de (I) e (II) que as possibilidades para $x z$ são:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-25.jpg?height=97&width=840&top_left_y=2270&top_left_x=608)
+
+Vemos que só podemos ter $x=4$ e $z=6$, pois em qualquer outro caso o produto $x z$ não é um divisor de 240 . Segue que $y=\frac{240}{x z}=\frac{240}{4 \times 6}=10$, donde $x+y+z=4+10+6=20$.
+
+Solução 2: Somando $x y+z=46$ e $x+y z=64$, obtemos:
+
+$$
+x y+z+x+y z=(x+z)+y(x+z)=(x+z)(y+1)=110(\mathrm{I})
+$$
+
+e vemos que $y+1$ é um divisor de 110 . Logo, temos as possibilidades $y+1=1,2,5,10,11,22,55$ e 110 , ou seja, $y=0,1,4,9,10,21,54$ e 109 . Por outro lado, $y$ é um divisor de 240 porque $x y z=240$, além disso $y$ é positivo, que nos deixa com as possibilidades e $y=1,4$ e 10 .
+
+Se $y=1$ então $\left\{\begin{array}{l}(x+z)(y+1)=110 \Rightarrow x+z=55 \\ x y+z=46 \Rightarrow x+z=46\end{array}\right.$; o que não é possível. Logo $y \neq 1$.
+
+Se $y=4$ então $\left\{\begin{array}{l}(x+z)(y+1)=110 \Rightarrow x+z=22 \\ x y z=240 \Rightarrow x z=60\end{array}\right.$, e podemos verificar (por exemplo, com uma lista de divisores de 60 ou então resolvendo a equação $w^{2}-22 w+60=0$ ) que não há valores inteiros positivos de $x$ e $z$ que verifiquem estas duas condições. Logo $y \neq 4$.
+
+Se $y=10$ então $\left\{\begin{array}{l}(x+z)(y+1)=110 \Rightarrow x+z=10 \\ x y z=240 \Rightarrow x z=24\end{array}\right.$, donde concluímos que $x=4$ e $z=6$. Finalmente, temos $x+y+z=4+10+6=20$.
+
+5. (B) Notamos que $a$ e $b$ são números maiores que $1 / 2$ e menores que 1. Logo $a+b$ é um número maior que 1e menor que 2 ; assim, $a+b$ só pode ser representado por $m$. Como $a<b$, segue que $a-b$ é negativo e portanto só pode ser representado por $q$. Quanto ao produto $a b$, notamos primeiro que como $a$ e $b$ são positivos, seu produto é positivo. Por outro lado, temos $b<1$ e $a>0$, donde $a b<a$.Logo o único número que pode representar $a b$ é $p$.
+6. (D) O menor tempo de percurso é obtido quando se percorre o maior trecho com a maior velocidade e o menor trecho com a menor velocidade. Já o maior tempo é obtido quando se percorre o maior trecho com a menor velocidade e o menor trecho com a maior velocidade. Assim, o tempo total gasto pelo piloto nos três trechos é no mínimo $\frac{240}{40}+\frac{300}{75}+\frac{400}{80}=15$ horas e no máximo $\frac{240}{80}+\frac{300}{75}+\frac{400}{40}=17$ horas.
+7. (B) Primeiro notamos que os triângulos $A P S$ e $C Q R$ são congruentes, pois têm os três ângulos iguais (um deles é reto) e também um de seus lados $(P S=Q R$ ). Do mesmo modo os triângulos $B P Q$ e $D R S$ também são congruentes. Sejam $A P=x$ e $B P=y$; então a área do triângulo APS é $\frac{1}{2} x^{2}$ e a do triângulo $B P Q$ é $\frac{1}{2} y^{2}$. Logo a área cortada foi de $2\left(\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2} y^{2}\right)=x^{2}+y^{2}$, e concluímos que $x^{2}+y^{2}=200$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-26.jpg?height=429&width=437&top_left_y=1910&top_left_x=1386)
+
+Agora notamos que $P R$ é a hipotenusa do triângulo retângulo $P S R$; para calcular $P R$ basta saber o comprimento dos catetos $P S$ e RS. Mas $P S$ é a hipotenusa do triângulo retângulo APS; do teorema de Pitágoras segue que $P S^{2}=A S^{2}+A P^{2}=x^{2}+x^{2}=2 x^{2}$; do mesmo modo obtemos $R S^{2}=2 \mathrm{y}^{2}$. Logo $P R^{2}=P S^{2}+R S^{2}=2 x^{2}+2 y^{2}=2\left(x^{2}+y^{2}\right)=2 \times 200=400$, ou seja, $P R=\sqrt{400}=20 \mathrm{~m}$.
+
+8. Lembramos que um triângulo isósceles é caracterizado tanto por ter dois lados iguais como por ter dois ângulos iguais.
+
+A soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$. Como $\hat{A}=20^{\circ}$ e $\hat{B}=\hat{C}$, segue que $180^{\circ}=20^{\circ}+\hat{B}+\hat{C}=20^{\circ}+2 \hat{B}$. Logo, $\hat{B}=\hat{C}=80^{\circ}$.
+
+Pelo enunciado temos $B C=B D$, donde o triângulo $B D C$ é também isósceles de base $C D$. Então, $C \hat{D} B=\hat{C}$ e portanto $C \hat{D} B=80^{\circ}$. Considerando a soma dos ângulos internos do triângulo $B C D$, temos $C \hat{B D}+C \hat{D} B+\hat{C}=180^{\circ}$. Substituindo os valores acima, temos $C \hat{B} D+80^{\circ}+80^{\circ}=180^{\circ}$. Concluímos que $C \hat{B} D=20^{\circ}$, e segue então que $D \hat{B} E=\hat{B}-20^{\circ}=80^{\circ}-20=60^{\circ}$.
+
+O triângulo $B D E$ também é isósceles, pois $B D=B E$. Logo $B \hat{D E}=B \hat{E} D$. Como $B \hat{D} E+B \hat{E} D+60^{\circ}=180^{\circ}$, concluímos que $B \hat{D} E=60^{\circ}$.
+
+9. Sejam $A, B, C$ e $D$ as quatro moedas. Comparamos as moedas $A$ e $B$ na balança, colocando uma em cada prato. Dois casos podem ocorrer: a balança fica em equilíbrio ou a balança não fica em equilíbrio. Vamos analisar separadamente cada caso.
+
+$1^{\circ}$ Caso: A balança fica equilibrada. Podemos concluir que $A$ e $B$ têm o mesmo peso, e logo são verdadeiras. Vamos então comparar $A$ com $C$. Para isso, mantemos $A$ na balança e colocamos $C$ no lugar de $B$. Se houver equilíbrio novamente, é porque $A$ e $C$ têm o mesmo peso e logo são verdadeiras. Portanto, $A, B$ e $C$ são verdadeiras, e a única opção é que $D$ seja falsa. Se não houver equilíbrio, $C$ será a moeda falsa.
+
+$2^{\circ}$ Caso: A balança não fica equilibrada. Logo uma das duas moedas, $A$ ou $B$ será falsa. Substituímos $A$ por $C$ na balança. Se houver equilíbrio, $A$ será a moeda falsa. Se não houver equilíbrio, a moeda falsa será $B$.
+
+Observe que nos dois casos só utilizamos a balança duas vezes.
+
+1)Determine o valor de $123456123456 \div 1000001=$.
+
+2)Toda vez que Joãozinho vai ao cinema, ele toma 2 refrigerantes. Ele gastou toda a sua mesada de $\mathrm{R} \$ 50,00$ indo ao cinema 6 vezes e tomando um total de 20 refrigerantes, incluindo os que ele tomou quando foi ao cinema. Se Joãozinho tivesse tomado só um refrigerante cada vez que foi ao cinema, com essa economia ele poderia ter ido ao cinema mais uma vez, tomando um refrigerante também nessa ocasião. A respeito do preço do ingresso no cinema e preço do refrigerante, podemos afirmar que:
+
+A) o preço do ingresso é o triplo do preço do refrigerante.
+
+B) o preço do ingresso é o quádruplo do preço do refrigerante.
+
+C) o preço do ingresso é o quíntuplo do preço do refrigerante.
+
+D) o ingresso é $R \$ 6,00$ mais caro que o refrigerante.
+
+E) o ingresso é $R \$ 5,00$ mais caro que o refrigerante
+
+3)O quociente de $50^{50}$ por $25^{25}$ é igual a :
+A) $25^{25}$
+B) $10^{25}$
+C) $100^{25}$
+D) $2^{25}$
+E) $2 \times 25^{25}$
+
+4)Você possui apenas palitos com $6 \mathrm{~cm}$ e $7 \mathrm{~cm}$ de comprimento. O número mínimo de palitos que você precisa para cobrir com esses palitos um segmento de reta com 2 metros é:
+A) 29
+B) 30
+C) 31
+D) 32
+E) 33
+
+5)A maior raiz da equação $(x-37)^{2}-169=0$ é:
+A) 39
+B) 43
+C) 47
+D) 50
+E) 53
+
+6)Uma certa máquina tem um visor, onde aparece um número inteiro $x$, e duas teclas $A \mathrm{e}$ B. Quando se aperta a tecla $\mathrm{A}$ o número do visor é substituído por $2 x+1$. Quando se aperta a tecla $\mathrm{B}$ o número do visor é substituído por $3 \mathrm{x}-1$.
+
+Se no visor está o número 5, o maior número de dois algarismos que se pode obter apertando alguma seqüência das teclas $A$ e $B$ é:
+A) 85
+B) 87
+C) 92
+D) 95
+E) 96
+
+7)Em um quadrado mágico, a soma dos 3 números de cada linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma. A seguir temos um quadrado mágico, parcialmente preenchido.
+
+|  |  |  |
+| :--- | :--- | :--- |
+| 1 | 14 | $x$ |
+| 26 |  | 13 |
+
+Qual é o valor de x?
+A) 20
+B) 22
+C) 23
+D) 25
+E) 27
+
+8)Um retângulo $A B C D$ está dividido em quatro retângulos menores. As áreas de três deles estão indicadas na figura abaixo. Qual é a área do retângulo $A B C D$ ?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-29.jpg?height=277&width=391&top_left_y=1009&top_left_x=821)
+A) 80
+B) 84
+C) 86
+D) 88
+E) 91
+
+9) Quatro peças iguais, em forma de triângulo retângulo, foram dispostas de dois modos diferentes, como mostram as figuras abaixo.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-29.jpg?height=408&width=1010&top_left_y=1640&top_left_x=434)
+
+Os quadrados $A B C D$ e $E F G H$ têm lados respectivamente iguais a $3 \mathrm{~cm}$ e $9 \mathrm{~cm}$. Determine a medida do lado do quadrado $I J K L$.
+
+1. É claro que com números tão grandes, a questão não pretende que se efetue a divisão. Para resolvê-la vamos usar alguns truques aritméticos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 123456123456=123456000000+123456=123456 \times 1000000+123456= \\
+& =123456 \times(1000000+1)=123456 \times 1000001
+\end{aligned}
+$$
+
+Logo, $123456123456 \div 1000001=123456$.
+
+2. (C) A economia teria sido equivalente a 6 refrigerantes, permitindo a Joãozinho mais um cinema e mais um refrigerante. Logo o ingresso do cinema é 5 vezes o valor do refrigerante.
+3. (C) Solução 1: $\frac{50^{50}}{25^{25}}=\frac{\left(2 \times 5^{2}\right)^{50}}{\left(5^{2}\right)^{25}}=\frac{2^{50} \times 5^{100}}{5^{50}}=2^{50} \times 5^{50}=\left(2^{2} \times 5^{2}\right)^{25}=100^{25}$ Solução 2: $\frac{50^{50}}{25^{25}}=\frac{(2 \times 25)^{50}}{25^{25}}=\frac{2^{50} \times 25^{50}}{25^{25}}=2^{25} \times 2^{25} \times 25^{25}=100^{25}$
+4. (A) A quantidade utilizada de palitos é mínima quando o número de palitos de $7 \mathrm{~cm}$ utilizado é o maior possível. Dividindo 200 por 7 obtemos $200=28 \times 7+4$. Como $200=26 \times 7+18=26 \times 7+3 \times 6$, usando 26 palitos de $7 \mathrm{~cm}$ e 3 palitos de $6 \mathrm{~cm}$ obtemos o que queríamos. Logo, o número mínimo de palitos é $26+3=29$.
+
+Comentário: Observe que a solução equivale a encontrar números inteiros $x$ e $y$ tais que. $200=\underset{\text { múltiplo de } 7}{7 y}+\underset{\text { mútiplotode } 6}{6 x}$ e $y$ seja o maior possível, onde $y=$ número de palitos de $7 \mathrm{~cm}$ e $x=$ número de palitos de $6 \mathrm{~cm}$.
+
+5. (D)
+
+Solução 1: Usando a fatoração $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ : $(x-37)^{2}-13^{2}=0 \Leftrightarrow(x-37-13)(x-37+13)=0 \Leftrightarrow(x-50)(x-24)=0$.
+
+Logo, as raízes são 24 e 50.
+
+Solução 2: Extraindo a raiz quadrada em ambos os lados:
+
+$(x-37)^{2}=13^{2} \Leftrightarrow x-37=13$ ou $x-37=-13$. Assim, $x=50$ ou $x=24$.
+
+6. (D) O diagrama a seguir mostra os resultados que podem ser obtidos a partir do número 5 apertando-se cada uma das duas teclas.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-31.jpg?height=993&width=1131&top_left_y=266&top_left_x=517)
+
+7. (E) Seja y um dos números do quadrado mágico, conforme a figura. De acordo com a regra de quadrado mágico temos $\underbrace{26+14+y}_{\begin{array}{c}\text { soma dos nimeros } \\ \text { da diagonal quecontém } y\end{array}}=\underbrace{y+x+13}_{\begin{array}{c}\text { soma dos nimeros } \\ \text { da coluna que contém } y\end{array}}$. Segue que $26+14=x+13$, donde $x=27$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-31.jpg?height=229&width=254&top_left_y=1322&top_left_x=1638)
+
+8. (E) Solução 1: Sejam $x$ e $y$ lados dos retângulos de áreas 12 e 27 respectivamente como indicado na figura. Logo, os outros lados desses retângulos são 12/x (retângulo de área 12), 16/x (retângulo de área 16) e 27/y (retângulo de área 27), como indicado na figura. Assim, o comprimento do retângulo $\mathrm{ABCD}$ é $x+y$ e sua largura $\frac{16}{x}+\frac{12}{x}=\frac{28}{x}$. Claramente $\frac{12}{x}=\frac{27}{y}$.
+
+Temos: $\frac{12}{x}=\frac{27}{y} \Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{27}{12} \Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{9}{4}$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-31.jpg?height=417&width=748&top_left_y=1850&top_left_x=1111)
+
+A área de um retângulo é o produto do comprimento pela largura. Logo, a área de ABCD é $\mathrm{A}=(x+y) \times \frac{28}{x}=28+\frac{28 y}{x}=28+28 \frac{y}{x}$. Logo, $\mathrm{A}=28+28 \times \frac{9}{4}=28+7 \times 9=91$.
+
+1) Qual é o maior dos números?
+(A) $2 \times 0 \times 2006$
+(B) $2 \times 0+6$
+(C) $2+0 \times 2006$
+(D) $2 \times(0+6)$
+(E) $2006 \times 0+0 \times 6$
+2) O símbolo $\odot$ representa uma operação especial com números. Veja alguns exemplos $2 \odot 4=10,3 \odot 8=27, \quad 4 \odot 27=112, \quad 5 \odot 1=10$. Quanto vale $4 \odot(8 \odot 7)$ ?
+(A) 19
+(B) 39
+(C) 120
+(D) 240
+(E) 260
+3) Se dois lados de um triângulo medem $5 \mathrm{~cm}$ e $7 \mathrm{~cm}$, então o terceiro lado não pode medir:
+(A) $11 \mathrm{~cm}$
+(B) $10 \mathrm{~cm}$
+(C) $6 \mathrm{~cm}$
+(D) $3 \mathrm{~cm}$
+(E) $1 \mathrm{~cm}$
+4) Se $\frac{*}{24}-\frac{3}{8}-\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$, então $*$ é igual a:
+(A) 20
+(B) 21
+(C) 23
+(D) 25
+(E) 29
+5) O que representam as expressões (a), (b) e (c) na figura ao lado?
+
+(a) $a^{2}+1,5 a$
+
+(b) $4 a+3$
+
+(c) $a(1,5+a)$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-32.jpg?height=260&width=365&top_left_y=1743&top_left_x=754)
+
+6)A figura é composta de triângulos retângulos isósceles todos iguais. Qual é a área em $\mathrm{cm}^{2}$ da parte sombreada?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-32.jpg?height=197&width=714&top_left_y=2209&top_left_x=608)
+(A) 20
+(B) 25
+(C) 35
+(D) 45
+(E) 50
+
+1. (D) Lembre que se num produto um dos fatores é zero, então o produto também é zero. Temos: $2 \times 0 \times 2006=0 ; \quad 2 \times 0+6=0+6=6 ; \quad 2+0 \times 2006=2+0=2 ; \quad 2 \times(0+6)=2 \times 6=12 \mathrm{e}$ $2006 \times 0+0 \times 6=0+0=0$. Logo, o maior é $2 \times(0+6)$.
+2. (E) Temos que descobrir qual é a regra dessa operação. Note que $\quad 2 \odot 4=10=2 \times 4+2,3 \odot 8=27=3 \times 8+3,4 \odot 27=112=4 \times 27+4,5 \odot 1=10=5 \times 1+5$ Podemos concluir que a regra que define a operação $\odot$ é $a \odot b=a \times b+a$. Assim, temos: $4 \odot(8 \odot 7)=4 \odot(8 \times 7+8)=4 \odot 64=4 \times 64+4=260$.
+3. (E) Lembre que num triângulo a soma de dois lados quaisquer tem que ser maior que o terceiro lado. Como $1+5$ não é maior do que 7 , o terceiro lado não pode ser 1 .
+4. (E) $\frac{*}{24}-\frac{3}{8}-\frac{2}{3}=\frac{*}{24}-\left(\frac{3}{8}+\frac{2}{3}\right)=\frac{*}{24}-\left(\frac{3}{8}+\frac{2}{3}\right)=\frac{*}{24}-\frac{25}{24}=\frac{*-25}{24}$.
+
+Logo,
+
+$\frac{*-25}{24}=\frac{1}{6}=\frac{4}{24}$, donde $*-25=4 \Rightarrow *=29$.
+
+5. Note que a figura é um retângulo formado por quadrado de lado $a$ e um retângulo de lados 1,5 e $a$.
+
+(a) $a^{2}=$ área do quadrado e $1,5 a=$ área do retângulo. Logo $a^{2}+1,5 a$ representa a somas dessas duas áreas, e portanto a área total da figura.
+
+(b) $4 a+3=3 a+1,5+a+1,5$ é o perímetro da figura.
+
+(c) A figura é um retângulo de largura $a$ e comprimento $a+1,5, \log o(1,5+a)$ é a área total da figura.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-33.jpg?height=257&width=251&top_left_y=1962&top_left_x=160)
+
+$6 \mathrm{~cm}$
+6. (D) Solução 1: O comprimento da hipotenusa de cada um dos 5 triângulos é $30 \div 5=6 \mathrm{~cm}$. O quadrado formado por 4 desses triângulos tem lado igual a $6 \mathrm{~cm}$, logo sua área é $36 \mathrm{~cm}^{2}$. Logo, cada um dos triângulos tem $36: 4=9 \mathrm{~cm}^{2}$ de área. Portanto, a área da parte sombreada é $9 \times 5=45 \mathrm{~cm}^{2}$
+
+Solução 2: Pelo Teorema de Pitágoras, temos $36=2 x^{2} \rightarrow x^{2}=18$. A área da parte sombreada é $5 \times \frac{x^{2}}{2}=5 \times \frac{18}{2}=45 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-33.jpg?height=225&width=420&top_left_y=2309&top_left_x=1452)
+
+6
+
+1) Se eu der duas barras de chocolate para Tião, ele me empresta sua bicicleta por 3 horas. Se eu lhe der 12 bombons, ele me empresta a bicicleta por 2 horas. Amanhã, eu lhe darei uma barra de chocolate e 3 bombons. Por quantas horas ele me emprestará a bicicleta?
+(A) $1 / 2$
+(B) 1
+(C) 2
+(D) 3
+(E) 4
+2) $2-2\{2-2[2-2(4-2)]\}$ é igual a:
+(A) 0
+(B) 2
+(C) -2
+(D) 4
+(E) -10
+3) Na figura, as retas FD e EC são paralelas?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-34.jpg?height=514&width=557&top_left_y=977&top_left_x=1161)
+
+4) Se $x>5$, então qual dos números abaixo é o menor?
+(A) $5 / x$
+(B) $5 /(x+1)$
+(C) $5 /(x-1)$
+(D) $x / 5$
+(E) $(x+1) / 5$
+
+5)O quadrado $S T U V$ é formado de um quadrado limitado por 4 retângulos iguais. $\mathrm{O}$ perímetro de cada retângulo é $40 \mathrm{~cm}$. Qual é a área, em $\mathrm{cm}^{2}$, do quadrado $S T U V$ ?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-34.jpg?height=349&width=329&top_left_y=1850&top_left_x=658)
+
+(A) 400
+
+(B) 200
+
+(C) 160
+
+(D) 100
+
+(E) 80
+
+6) a) Calcule as diferenças: $1-\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$; $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$; $\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$; $\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$
+
+b) Deduza de (a) o valor da soma: $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$
+
+c) Calcule a soma: $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\cdots+\frac{1}{999000}$
+
+1. (C)
+
+$\left\{\begin{array}{l}2 \text { barras } \xrightarrow{\text { corresponde }} 3 \text { horas } \\ 12 \text { bombons } \xrightarrow{\text { corresponde }} 2 \text { horas }\end{array} \operatorname{logo}\left\{\begin{array}{l}1 \text { barra } \xrightarrow{\text { corresponde }} 1,5 \text { horas } \\ 3 \text { bombons } \xrightarrow{\text { corresponde }} 0,5 \text { horas }\end{array}\right.\right.$
+
+Logo, Tião me emprestará a bicicleta por $1,5+0,5=2$ horas
+
+2. (E) As ordens de prioridade para resolver uma expressão são:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& \underbrace{\text { parêteses }}_{1^{\circ}} \rightarrow \underbrace{\text { colchete }}_{2^{\circ}} \rightarrow \underbrace{\text { chaves }}_{3^{\circ}} \text { e } \underbrace{\text { multiplicações e divisões }}_{1^{\circ}} \rightarrow \underbrace{\text { somas e subtrações }}_{2^{\circ}} \\
+& \quad 2-2\{2-2[2-2(\underbrace{4-2}_{2})]\}=2-2\{2-2[2-\underbrace{2 \times 2}_{4}]\}=2-2\{2-2[\underbrace{2-4}_{-2}]\}=
+\end{aligned}
+$$
+
+Temos:
+
+$$
+=2-2\{2-\underbrace{2 \times(-2)}_{-4}\}=2-2\{2-(-4)\}=2-2\{\underbrace{2+4}_{6}\}=2-\underbrace{2 \times 6}_{12}=2-12=-10
+$$
+
+3. No triângulo $B C E$, temos $B E \hat{C}=180^{\circ}-\left(42^{\circ}+48^{\circ}\right)=90^{\circ}$. No triângulo $\mathrm{AFD}$, temos: $\widehat{A F D}=180^{\circ}-\left(28^{\circ}+62^{\circ}\right)=90^{\circ}$. Logo, as retas FD e EC são perpendiculares a AB, portanto, são paralelas.
+4. (B) Solução 1: Como a questão tem uma única resposta, ela é válida para qualquer valor de $x$. Podemos então escolher um valor para $\mathrm{x}$, por exemplo $x=10$. Temos: $\frac{5}{x}=\frac{5}{10} \quad, \frac{5}{x+1}=\frac{5}{11}, \frac{5}{x-1}=\frac{5}{9} \quad, \quad \frac{x}{5}=\frac{10}{5} \quad, \quad \frac{x+1}{5}=\frac{11}{5}$. Vemos que $x / 5 \mathrm{e}(x+1) / 5$ são maiores que 1, logo estão excluídos porque as outras três opções são menores que 1. Como 5/10,5/11 e $5 / 9$ têm o mesmo numerador, o menor é o que tiver maior denominador, que é $5 / 11$, ou seja, $\frac{5}{x+1}$.
+
+Solução 2 : Se $x>5$, então $\frac{5}{x}, \frac{5}{x+1} \mathrm{e} \frac{5}{x-1}$ são menores do $1 \mathrm{e} \frac{x}{5} \mathrm{e} \frac{x+1}{5}$ são maiores do que 1. Logo, as opções D e E estão excluídas. Como $\frac{5}{x}, \frac{5}{x+1} \mathrm{e} \frac{5}{x-1}$, têm o mesmo numerador, o menor é o que tem maior denominador, que é $\frac{5}{x+1}$.
+
+5. (A)Denotemos por $C e L$, o comprimento e a largura respectivamente de cada um dos quatro retângulos. O perímetro de cada retângulo é $2(C+L)$. Então, $2 \times(C+L)=40 \Rightarrow C+L=20$. Observe na figura que o lado do quadrado STUV é $C+\mathrm{L}$, e portanto sua área é $\mathrm{A}=(C+L)^{2}=20^{2}=400 \mathrm{~cm}^{2}$.
+6. Solução:
+
+a) $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \quad ; \quad \frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6} \quad ; \quad \frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12} \quad ; \quad \frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{1}{20} \quad ; \quad \frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$
+
+b) $\left.\frac{1}{2}+\underbrace{\frac{1}{6}}+\underbrace{\frac{1}{12}}+\underbrace{\frac{1}{20}}+\underbrace{\frac{1}{30}}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} / \frac{1}{3} \right\rvert\,-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ $\overbrace{1-\frac{1}{2}}^{2} \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \underbrace{20}_{\frac{1}{4}-\frac{1}{5}} \underbrace{30}_{\frac{1}{5}-\frac{1}{6}}$
+
+c) Note que os denominadores são produtos de números consecutivos, iniciando no 1:
+
+$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=1-\frac{1}{6}$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-36.jpg?height=63&width=468&top_left_y=851&top_left_x=197)
+
+Mas, geralmente, usando a decomposição de cada parcela como no item (a) podemos provar que:
+
+$\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{4 \times 5}+\frac{1}{5 \times 6}+\frac{1}{6 \times 7}+\cdots+\frac{1}{n \times(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}$
+
+Logo:
+
+$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\mathrm{L}+\frac{1}{999000}=1-\frac{1}{1000}=\frac{999}{1000}=0,999$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-36.jpg?height=66&width=828&top_left_y=1532&top_left_x=197)
+
+1) Calcule os ângulos que não estão indicados e o perímetro da figura sabendo que $\mathrm{BD}=\mathrm{BC}$ e $\widehat{D B C}=\widehat{B C D}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-37.jpg?height=331&width=673&top_left_y=457&top_left_x=977)
+
+2) Quais os valores de $x$ que satisfazem $\frac{1}{x-2}<4$ ?
+(A) $x<\frac{9}{4}$
+(B) $x>2$
+(C) $2<x<\frac{9}{4}$
+(D) $x<-2$
+(E) $x<2$ ou $x>\frac{9}{4}$
+
+3)Quantas soluções inteiras e positivas satisfazem a dupla inequação $2000<\sqrt{n(n+1)}<2005$ ?
+(A) 1
+(B) 2
+(C) 3
+(D) 4
+(E) 5
+
+4) $\mathrm{Na}$ figura, $\mathrm{O}$ é $\mathrm{o}$ centro do círculo e $\mathrm{AB}=5 \mathrm{~cm}$. Qual é o diâmetro desse círculo?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-37.jpg?height=377&width=377&top_left_y=1405&top_left_x=1499)
+
+5) Se $a, b$ e $c$ são números naturais tais que $3 a=4 b=7 c$, então o menor valor de $a+b+c$ é:
+(A) 84
+(B) 36
+(C) 61
+(D) 56
+(E) 42
+6) Na figura temos TU=SV. Quanto vale o ângulo $\widehat{S V U}$ ?
+(A) $30^{\circ}$
+(B) $50^{\circ}$
+(C) $55^{\circ}$
+(D) $65^{\circ}$
+(E) $70^{\circ}$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-37.jpg?height=408&width=754&top_left_y=2166&top_left_x=1185)
+
+7) O café, o bolo e o gato - Dez minutos antes de colocar o bolo no forno, eu coloquei meu gato do lado de fora da casa. O bolo deve cozinhar por 35 minutos, então eu coloquei o despertador para tocar 35 minutos, após colocar o bolo no forno. Imediatamente fiz um café para mim, o que me tomou 6 minutos. Três minutos antes de acabar de beber o café o gato entrou em casa. Isso foi 5 minutos antes do despertador tocar. O telefone tocou no meio do tempo entre eu acabar de fazer o café e o gato entrar em casa. Falei ao telefone por 5 minutos e desliguei. Eram 3h59min da tarde.
+
+(a) A que horas coloquei o gato fora de casa?
+
+(b) Quantos minutos depois de colocar o gato fora de casa, o despertador tocou?
+
+(c) Quanto tempo o gato estava fora de casa até o momento em que o telefone tocou?
+
+1. O triângulo $\mathrm{ABE}$ é isósceles porque tem dois ângulos iguais. Logo os lados $A E$ e $A B$ são iguais, portanto $A B=120 m$. $O$ triângulo $B C D$ também é isósceles porque tem dois lados iguais, $\mathrm{BC}=\mathrm{BD}$, logo $\widehat{B D C}=\widehat{B C D}$. Como, $\widehat{D B C}=\widehat{B C D}$ então os três ângulos do triângulo $\mathrm{BCD}$ são iguais, logo cada um vale $180^{\circ} \div 3=60^{\circ}$. Assim, ele é equilátero e temos $\mathrm{BD}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=115 \mathrm{~m}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-39.jpg?height=331&width=640&top_left_y=460&top_left_x=1325)
+
+Assim, o perímetro da figura é: $120 \times 2+115 \times 2+226=696 \mathrm{~m}$.
+
+2. (E) $\frac{1}{x-2}<4 \Rightarrow \frac{1}{x-2}-4<0 \Rightarrow \frac{1-4(x-2)}{x-2}=\frac{9-4 x}{x-2}<0$
+
+$1^{\circ}$ caso : $9-4 x>0$ e $x-2<0$ :
+
+$9-4 x>0 \Rightarrow x<\frac{9}{4} \quad$ e $\quad x-2<0 \Rightarrow x<2$.
+
+Como $2<\frac{9}{4}$ a solução são todos os números $x$ menores que 2, isto é $x<2$.
+
+$2^{\circ}$ caso : $9-4 x<0$ e $x-2>0$ :
+
+$9-4 x<0 \Rightarrow x>\frac{9}{4} \quad$ e $\quad x-2>0 \Rightarrow x>2$
+
+Como $2<\frac{9}{4}$ a solução são todos os números $x$ maiores que 9/4, isto é $x>\frac{9}{4}$.
+
+Logo, a solução da inequação é $x<2$ ou $x>\frac{9}{4}$.
+
+3. (E) Como os números que aparecem são todos positivos, podemos elevá-los ao quadrado mantendo os sinais, isto é: $2000^{2}<n(n+1)<2005^{2}$. Observe que $n$ e $n+1$ são inteiros consecutivos. Logo, temos as seguintes opções:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 2000^{2}<2000 \times 2001<2005^{2} \\
+& 2000^{2}<2001 \times 2002<2005^{2} \\
+& 2000^{2}<2002 \times 2003<2005^{2} \\
+& 2000^{2}<2003 \times 2004<2005^{2} \\
+& 2000^{2}<2004 \times 2005<2005^{2}
+\end{aligned}
+$$
+
+Logo, temos 5 possibilidades para $n$ : 2000, 2001, 2002, 2003 e 2004 .
+
+4. Observe que $\mathrm{OC}$ é um raio do círculo. Temos que $\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=5 \mathrm{~cm}$ por serem as diagonais do retângulo $\mathrm{OABC}$. Logo, o diâmetro é $10 \mathrm{~cm}$.
+5. (C)Como $a, b$ e $c$ são números naturais, segue que $3 a$ é múltiplo de $3,4 b$ múltiplo de $4 \mathrm{e}$ $7 c$ múltiplo de 7 . Como 3, 4 e 7 são primos entre si (só possuem 1 como divisor comum), o menor múltiplo comum de 3,4 e 7 é $3 \times 4 \times 7=84$. Portanto:
+
+$3 a=84 \Rightarrow a=28 \quad ; \quad 4 b=84 \Rightarrow b=21 \quad ; \quad 7 c=84 \Rightarrow c=12$. Logo, o menor valor para $a+b+c$ é $28+21+12=61$
+
+6. (D) Lembre que a soma dos ângulos internos de um triangulo é $180^{\circ}$.
+
+Do triângulo $S T U$ temos que $\widehat{T S U}=180^{\circ}-\left(75^{\circ}+30^{\circ}\right)=75^{\circ}$. Logo, esse triângulo é isósceles (por ter dois ângulos iguais) e portanto TU=SU. Como TU=SV, segue que SU=SV. Portanto, o triângulo SUV também é isósceles, e portanto $\widehat{S V U}=\underline{180^{\circ}-50^{\circ}}=65^{\circ}$.
+
+2
+
+7. Vamos listar os eventos ocorridos e contar o tempo gasto em cada um. A primeira atividade foi colocar o gato fora da casa, logo nossa lista começa com essa atividade e o tempo é contado a partir dela.
+
+| Atividade | Tempo depois que o gato <br> foi posto fora de casa |
+| :--- | :--- |
+| Gato fora de casa | 0 minutos |
+| Bolo no forno | 10 minutos |
+| Fazer o café | $10+6=16$ minutos |
+| Despertador toca | $35+10=45$ minutos |
+| Gato entra em casa | $45-5=40$ minutos |
+| Acabar de tomar o café | $40+3=43$ minutos |
+| Telefone toca | $16+(40-16): 2=28$ minutos |
+| Desligar o telefone | $28+5=33$ minutos |
+
+Podemos agora dar as respostas.
+
+(a) Às 3:59horas desliguei o telefone, o que ocorreu 33 minutos depois de colocar o gato fora de casa. Logo a resposta é 3:59-0:33=3:26.
+
+(b) O despertador toca 45 minutos após colocar o gato for a de casa.
+
+(c) 28 minutos
+
+Podemos saber exatamente a hora de cada atividade; veja na tabela a seguir.
+
+| Atividade | Tempo depois que o gato <br> foi posto fora de casa | Hora atual |
+| :--- | :--- | :--- |
+| Gato fora de casa | 0 minutos | $3: 59-0: 33=3: 26$ |
+| Bolo no forno | 10 minutos | $3: 26+0: 10=3: 36$ |
+| Fazer o café | $10+6=16$ minutos | $3: 26+0: 16=3: 42$ |
+| Despertador toca | $35+10=45$ minutos | $3: 26+0: 45=4: 11$ |
+| Gato entra em casa | $45-5=40$ minutos | $3: 26+0: 40=4: 06$ |
+| Acabar de tomar o café | $40+3=43$ minutos | $3: 26+0: 43=4: 09$ |
+| Telefone toca | $16+(40-16): 2=28$ minutos | $3: 26+0: 28=3: 54$ |
+| Desligar o telefone | $28+5=33$ minutos | $3: 59$ |
+
+1) Se $m$ é um número natural tal que $3^{m}=81$, então $m^{3}$ é igual a:
+(A) 36
+(B) 40
+(C) 64
+(D) 99
+(E) 100
+2. Quais figuras estão corretas?
+
+FIGURA II
+
+FIGURA I
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-41.jpg?height=260&width=509&top_left_y=741&top_left_x=228)
+
+FIGURA III
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-41.jpg?height=608&width=712&top_left_y=668&top_left_x=1050)
+
+3) Sinal de um produto e sinal de um quociente: $a, b, c$ e $d$ são quatro números não nulos tais que os quocientes $\frac{a}{5}, \frac{-b}{7 a}, \frac{11}{a b c}, \frac{-18}{a b c d}$ são positivos. Determine os sinais de $a$, $b, c$ e $d$.
+4) Quais dos números abaixo são negativos?
+$10-3 \sqrt{11}$;
+$3 \sqrt{11}-10 ;$
+$18-5 \sqrt{13}$;
+$51-10 \sqrt{26}$;
+$10 \sqrt{26}-51$.
+5) As retas re s são paralelas, encontre $x$ e y:
+
+| Dia | Temperatura <br> máxima <br> $\mathrm{em}^{\circ} \mathrm{C}$ | Temperatura <br> mínima em <br> $\mathrm{em}^{\circ} \mathrm{C}$ |
+| :---: | :---: | :---: |
+| $2^{\mathrm{a}}$-feira | 7 | -12 |
+| 3a-feira | 0 | -11 |
+| $4^{\mathrm{a}}$-feira | -2 | -15 |
+| 5a-feira | 9 | -8 |
+| $6^{\mathrm{a}}$-feira | 13 | -7 |
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-41.jpg?height=397&width=874&top_left_y=1837&top_left_x=1045)
+
+6) A tabela mostra as temperaturas máximas e mínimas durante 5 dias seguidos em certa cidade. Em qual dia ocorreu o maior variação de temperatura?
+1. (C)Temos $3^{m}=81=3^{4}$; donde $m=4$. Logo, $m^{3}=4^{3}=4 \times 4 \times 4=64$.
+2. Na figura I, temos $63^{\circ}+18^{\circ}+95^{\circ}=176^{\circ}$ que é menor do que $180^{\circ}$; logo a figura está errada.
+
+Na figura II, temos $112^{\circ}+72^{\circ}=184^{\circ}$ que é maior do que $180^{\circ}$; logo a figura está errada.
+
+Na figura III, temos $44^{\circ}+45^{\circ}+62^{\circ}+29^{\circ}=180^{\circ}$, e a figura está correta.
+
+3. Solução.
+
+- $\frac{a}{5}>0 \Rightarrow a>0$
+- Temos $a>0 \Rightarrow 7 a>0$, logo: $\underbrace{\frac{-b}{7 a}}_{+}>0 \Rightarrow-b>0 \Rightarrow b<0$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-42.jpg?height=134&width=1190&top_left_y=1138&top_left_x=313)
+
+- $\frac{\overbrace{18}^{i 8}}{a b c d}>0 \Rightarrow a b c d<0$, como $a b c>0$ segue que $d<0$.
+
+4. Como $100>99$ então $\underbrace{\sqrt{100}}_{10}>\underbrace{\sqrt{99}}_{3 \sqrt{11}}$. Logo, $10-3 \sqrt{11}>0$ e $3 \sqrt{11}-10<0$. Analogamente: $2601>2600 \Rightarrow \underbrace{\sqrt{2601}}_{51}>\underbrace{\sqrt{2600}}_{10 \sqrt{26}}$.
+
+Assim, $51-10 \sqrt{26}>0$ e $10 \sqrt{26}-51<0$.
+
+Finalmente, $324<325 \Rightarrow \underbrace{\sqrt{324}}_{18}<\underbrace{\sqrt{325}}_{5 \sqrt{13}} \Rightarrow 18-5 \sqrt{13}<0$. Os números negativos são $3 \sqrt{11}-10$, $10 \sqrt{26}-51$ e $18-5 \sqrt{13}$.
+
+5. Temos $80^{\circ}+y=180^{\circ} \Rightarrow y=100^{\circ}$.Como as retas $r$ e $s$ são paralelas, segue que, $60^{\circ}+x+80^{\circ}=180^{\circ}$, donde $x=40^{\circ}$.
+
+| Dia | Temperatura <br> máxima <br> em $^{\circ} \mathrm{C}$ | Temperatura <br> mínima em <br> em $^{\circ} \mathrm{C}$ | Variação |
+| :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 2a-feira | 7 | -12 | $7-(-12)=7+12=19$ |
+| 3a-feira | 0 | -11 | $0-(-11)=0+11=11$ |
+| 4-feira | -2 | -15 | $-2-(-15)=-2+15=13$ |
+| 5a-feira | 9 | -8 | $9-(-8)=9+8=17$ |
+| 6a-feira | 13 | -7 | $13-(-7)=13+7=20$ |
+
+6. A variação de temperatura é a diferença entre a máxima e a mínima. Temos :
+
+Logo, a maior variação ocorreu na $6^{a}$ feira.
+
+1) O número que fica entre $2 / 5$ e $3 / 4$ é
+(A) $1 / 6$
+(B) $4 / 3$
+(C) $5 / 2$
+(D) $4 / 7$
+(E) $1 / 4$
+2) A figura mostra o retângulo maior dividido em 18 retângulos menores, todos com a mesma largura. Que fração do retângulo maior representa a parte em cinza?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-43.jpg?height=260&width=716&top_left_y=590&top_left_x=1184)
+
+3) Na lista de frações, no quadro ao lado, temos:
+
+- 2 frações cuja soma é $\frac{5}{2}$
+- 2 frações cuja diferença é $\frac{5}{2}$
+
+| $\frac{5}{4}$ | $\frac{17}{6}$ | $\frac{-5}{4}$ | $\frac{10}{7}$ | $\frac{2}{3}$ |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+
+$\begin{array}{llll}\frac{14}{8} & \frac{-1}{3} & \frac{5}{3} & \frac{-3}{2}\end{array}$
+
+- 2 frações cujo produto é $\frac{5}{2}$
+- 2 frações cujo quociente é $\frac{5}{2}$
+
+Encontre a fração que está sobrando.
+
+4) No triângulo KLM temos KL=KM, KT=KS e $L K S=30^{\circ}$. O ângulo $x$ é:
+(A) $10^{\circ}$
+(B) $15^{\circ}$
+(C) $20^{\circ}$
+(D) $25^{\circ}$
+(E) $30^{\circ}$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-43.jpg?height=486&width=1128&top_left_y=1519&top_left_x=795)
+
+5) Escreva dentro dos círculos os números inteiros que tornam correta a sucessão de operações.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-43.jpg?height=365&width=691&top_left_y=2139&top_left_x=571)
+
+6) Iara possui $R \$ 50,00$ para comprar copos que custam $R \$ 2,50$ e pratos que custam $R \$ 7,00$. Ela quer comprar no mínimo 4 pratos e 6 copos. O que ela pode comprar ?
+1. (D) $2 / 5$ e $3 / 4$ são menores que 1 (numerador menor que denominador) ; por sua vez, 4/3 e $5 / 2$ são maiores que 1 (numerador maior que denominador), logo (B) e (C) estão excluídas. Temos $1 / 6$ menor do que $1 / 4$. Como $1 / 4=0,25$ e $2 / 5=0,4$ segue que: $\frac{1}{6}<\underbrace{\frac{1}{4}}_{0,25}<\underbrace{\frac{2}{5}}_{0,4}$. Logo o único número entre $2 / 5$ e $3 / 4$ é $4 / 7$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-44.jpg?height=154&width=920&top_left_y=728&top_left_x=448)
+
+Um número $x$ que "fica entre" $2 / 5$ e $3 / 4$ é um número maior do que $2 / 5$ e menor do que $3 / 4$ ou seja $\frac{2}{5}<x<\frac{3}{4}$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-44.jpg?height=317&width=739&top_left_y=921&top_left_x=156)
+
+2. Observe na figura, a região em cinza tem a mesma área que a do enunciado. Como todos os retângulos têm a mesma largura, o retângulo maior está dividido em 4 partes iguais pelos segmentos paralelos ao seu comprimento . Logo, a região em cinza representa $1 \frac{1}{4}$ do retângulo maior.
+3. (a) 2 frações cuja diferença é $\frac{5}{2}: \frac{5}{4}-\left(-\frac{5}{4}\right)=\frac{5}{4}+\frac{5}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$
+
+| $\frac{5}{4}$ | $\frac{17}{6}$ | $\frac{-5}{4}$ | $\frac{10}{7}$ | $\frac{2}{3}$ |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+| $\frac{14}{8}$ | $\frac{-1}{3}$ | $\frac{5}{3}$ | $\frac{-3}{2}$ |  |
+
+(b) 2 frações cujo produto é $\frac{5}{2}: \frac{10}{7} \times \frac{14}{8}=\frac{10}{7} \times \frac{7}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-44.jpg?height=300&width=491&top_left_y=1666&top_left_x=1319)
+
+(c) 2 frações cuja soma é $\frac{5}{2}: \frac{17}{6}+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{17}{6}-\frac{1}{3}=\frac{17}{6}-\frac{2}{6}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-44.jpg?height=288&width=488&top_left_y=2032&top_left_x=1338)
+
+(d) 2 frações cujo quociente é $\frac{5}{2}: \frac{5}{3} \div \frac{2}{3}=\frac{5}{3} \times \frac{3}{2}=\frac{5}{2}$.
+
+Logo, o fração que está sobrando é $-3 / 2$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-44.jpg?height=271&width=491&top_left_y=2349&top_left_x=1319)
+
+4. (B)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-45.jpg?height=437&width=1171&top_left_y=273&top_left_x=411)
+
+Sejam $\widehat{T S M}=x, \widehat{S K T}=y, \widehat{K L S}=\alpha, \widehat{K T S}=\beta$. O triângulo KLM é isósceles porque tem dois lados iguais; consequentemente seus ângulos da base são iguais, isto é: $\widehat{K L S}=\widehat{K M S}=\alpha$. Analogamente, o triângulo KST também é isósceles e portanto $\widehat{K S T}=\widehat{K T S}=\beta$. Usaremos agora que a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$. Acompanhe na figura:
+
+- No triângulo STM temos: $x+\alpha+180^{\circ}-\beta=180^{\circ} \Rightarrow x=\beta-\alpha$
+- No triângulo KLM temos: $\alpha+\alpha+30^{\circ}+y=180^{\circ} \Rightarrow y=150^{\circ}-2 \alpha$. Logo, $\beta+\beta+150^{\circ}-2 \alpha=180^{\circ} \Rightarrow \beta-\alpha=15^{\circ}$. Portanto, $x=15^{\circ}$.
+
+5. Colocando $x$ num dos círculos e aplicando a sucessão de operação obtemos $x=\frac{x+2}{2}+1$, donde $x=4$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-45.jpg?height=388&width=971&top_left_y=1459&top_left_x=311)
+
+6. Sejam $c$ e $p$ o número de copos e pratos que Iara pode comprar. Logo seu gasto é $2,5 c+7 p$. Ela só tem $\mathrm{R} \$ 50,00, \log 2,5 c+7 p \leq 50$ (I) Além disso, ela quer comprar no mínimo 4 pratos e 6 copos, logo $p \geq 4$ e $c \geq 6$ (II). Devemos encontrar dois números inteiros $c$ e $p$ (número de copos e pratos são números inteiros) que satisfaçam (I) e (II).
+
+Se ela comprar 4 pratos sobram $50-4 \times 7=22$ reais para os copos. Como $22=8 \times 2,50+2$, ela podem comprar 8 copos (sobrando-lhe R $\$ 2,00$ ).
+
+Se ela comprar 5 pratos sobram $50-5 \times 7=15$ reais para os copos. Como $15=6 \times 2,50$, ela pode comprar 6 copos.
+
+Se ela comprar 6 pratos sobram $50-6 \times 7=8$ reais para os copos, o que the permite comprar apenas 1 copo que não é o que ela quer.
+
+Logo, Iara pode comprar 4 pratos e 8 copos, ou 5 pratos e 6 copos.
+
+1) Quantos são os números inteiros $x$ tais que $-5<x-1 \leq 5$ ?
+(A)
+(B) 9
+(C) 10
+(D) 11
+(E) 12
+2) Na figura mostra nove quadrados. $A$ área do quadrado $A$ é $1 \mathrm{~cm}^{2}$ e do quadrado $B$ é $81 \mathrm{~cm}^{2}$. Qual a área do quadrado I em centímetros quadrados?
+
+(A) 196
+
+(B) 256
+
+(C) 289
+
+(D) 324
+
+(E) 361
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-46.jpg?height=594&width=654&top_left_y=680&top_left_x=632)
+
+3) André, Bruno, Celina e Dalva ganharam juntos 21 medalhas num concurso. André foi o que mais ganhou medalhas, Bruno ganhou o dobro de Celina e Dalva 3 a mais que Bruno. Quantas medalhas cada um pode ter ganhado?
+4) Célia quer trocar com Guilherme figurinhas de um álbum sobre animais brasileiros. Celina quer trocar figurinhas de 4 borboleta, 5 tubarão, 3 cobra, 3 periquito e 6 macaco. Todas as figurinhas de Guilherme são de aranha. Eles sabem que:
+
+(i) 1 figurinha de borboleta vale 3 figurinhas de tubarão
+
+(ii) 1 figurinha de cobra vale 3 figurinhas de periquito
+
+(iii)1 figurinha de macaco vale 4 figurinhas de aranha
+
+(iv) 1 figurinha de periquito vale 3 figurinhas de aranha
+
+(v) 1 figurinha de tubarão vale 2 figurinhas de periquito
+
+Quantas figurinhas Célia receberá se ela trocar todas que quiser?
+
+5)Escreva numa linha os números de 1 a 15 de modo que a soma de dois números adjacentes nessa linha seja um quadrado perfeito.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-46.jpg?height=365&width=662&top_left_y=2273&top_left_x=206)
+
+6) Um retângulo está dividido em 3 regiões, duas delas com áreas $24 \mathrm{~cm}^{2}$ e $13 \mathrm{~cm}^{2}$ conforme indicado na figura. Qual é a área da outra região?
+1. (C) Somando 1 a todos os membros das duas desigualdades temos $-5+1<x-1+1 \leq 5+1 \Rightarrow-4<x \leq 6$.
+
+Os valores inteiros de $x$ que satisfazem as duas desigualdades são: $-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-47.jpg?height=154&width=870&top_left_y=617&top_left_x=593)
+
+2. (D) O lado de A é $\sqrt{1}=1 \mathrm{~cm}$ e o de $B$ é $\sqrt{81}=9 \mathrm{~cm}$. Agora temos:
+
+- Lado de $\mathrm{G}=$ lado de de $\mathrm{B}$-lado de $\mathrm{A}=9-1=8 \mathrm{~cm}$
+- $\quad$ Lado de $\mathrm{C}=$ lado de $\mathrm{B}+$ lado de $\mathrm{A}=1+9=10 \mathrm{~cm}$
+- $\quad$ Lado de $\mathrm{F}=$ lado de $\mathrm{G}$-Lado de $\mathrm{A}=8-1=7 \mathrm{~cm}$
+- $\quad$ Lado de $\mathrm{H}=$ lado de $\mathrm{G}+$ lado de $\mathrm{F}=8+7=15 \mathrm{~cm}$
+- Lado de B+lado de C=lado de G+lado de F+lado de $\mathrm{E} \Rightarrow$ 9+10=8+7+lado de $\mathrm{E}$. Logo, lado de $\mathrm{E}=4 \mathrm{~cm}$
+- $\quad$ Lado de $\mathrm{D}=$ ladoC+lado de $\mathrm{E}=10+4=14 \mathrm{~cm}$
+- Lado de I=lado de E+lado de $\mathrm{D}=18 \mathrm{~cm}$.
+
+Finalmente, a área de I é $18^{2}=324 \mathrm{~cm}^{2}$
+
+3. Denotemos por A, B, C e D o número de medalhas ganhas por André, Bruno, Celina e Dalva respectivamente, então $A+B+C+D=21$. Agora, temos:
+
+- "Bruno ganhou o dobro de Celina" $\Rightarrow B=2 C$
+- "Dalva 3 a mais que Bruno": $\Rightarrow D=B+3$
+
+Daí obtemos $A+B+\frac{B}{2}+B+3=21 \Rightarrow 2 A+5 B=36$. Como A e B são números inteiros, temos as seguintes possibilidades para A e B:
+
+| $\mathbf{A}$ | $\mathbf{B}$ | $\mathbf{2 A}+\mathbf{5 B}$ |
+| :--- | :--- | :--- |
+| 3 | 6 | $2 \times 3+5 \times 6=36$ |
+| 8 | 4 | $2 \times 8+5 \times 4=36$ |
+| 13 | 2 | $2 \times 13+5 \times 2=36$ |
+| 18 | 0 | $2 \times 18+5 \times 0=36$ |
+
+Como André foi o que mais recebeu medalhas, a solução $A=3$ e $B=6$ não serve. Agora usando as condições $\mathrm{C}=\mathrm{B} / 2$ e $\mathrm{D}=\mathrm{B}+3$, obtemos as seguintes possibilidades de medalhas para cada um deles, mostradas no quadro ao lado.
+
+| André | Bruno | Celina | Dalva | Total |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 8 | 4 | $4: 2=2$ | $4+3=7$ | 21 |
+| 13 | 2 | $2: 2=1$ | $2+3=5$ | 21 |
+| 18 | 0 | $0: 2=0$ | $0+3=3$ | 21 |
+
+4. A "moeda de troca" de Guilherme são figurinhas de aranha, logo vamos calcular o "valor-aranha" de cada tipo de figurinha usando as informações (a), (b), (c), (d) e (e).
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-48.jpg?height=564&width=658&top_left_y=697&top_left_x=247)
+
+5. Primeiro verificamos quais os números que podem ser adjacentes.
+
+| Números | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+| Possíveis <br> vizinhos | 3 | 7 | 1 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
+|  | 8 | 14 | 6 | 12 | 11 | 10 | 9 |  |  | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 |
+|  | 15 |  | 13 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
+
+Os algarismos 8 e o 9 só têm cada um apenas um possível vizinho, logo eles devem ser colocados no início e no fim da fila, seguidos de seus únicos vizinhos:
+
+| 8 | 1 | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | 7 | 9 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+
+Sobram os números 2, 3, 4, 5, 6, 10,11 12, 13, 14 e 15. Na "tabela de vizinhos" vemos que ao lado do 7 só podemos colocar o 2 e ao lado do 2 o 14. Temos então:
+
+| 8 | 1 | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | 14 | 2 | 7 | 9 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+
+Consultando a "tabela de vizinhos" e os números que sobram, chegamos à resposta. Veja a seguir a solução passo a passo.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-49.jpg?height=1036&width=1464&top_left_y=453&top_left_x=296)
+
+6. Lembre que a área de um triângulo é $\frac{\text { base } \times \text { altura }}{2}$, onde a altura é relativa à base escolhida. No triângulo $\mathrm{AEB}$ temos base $=\mathrm{AB}=$ comprimento do retângulo e a altura relativa a essa base é $\mathrm{BC}=$ largura do retângulo. Logo, $\frac{A B \times B C}{2}=24 \Rightarrow A B \times B C=48$. Logo a área do retângulo é $48 \mathrm{~cm}^{2}$. Portanto, a área pedida é $48-(24+13)=48-37=11 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+Solução 2: $x z=12$
+
+$$
+y z=27
+$$
+
+$$
+x w=16
+$$
+
+$x y z w=27 \times 16$
+
+$y w=\frac{27 \times 16}{x z}=\frac{27 \times 16}{12}=91$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-50.jpg?height=339&width=582&top_left_y=236&top_left_x=1134)
+
+9. Solução 1: Sejam $x$ e $y$ o maior e o menor catetos, respectivamente, do triângulo retângulo. Como o lado do quadrado $A B C D$ mede $3 \mathrm{~cm}$, temos $x-y=3$. Por outro lado, como o lado de EFGH mede $9 \mathrm{~cm}$, temos $x+y=9$. Resolvendo o sistema, encontramos $x=6$ e $y=3$. Logo, o lado do quadrado IJKL, que é a hipotenusa do triângulo retângulo, mede $\sqrt{6^{2}+3^{2}}=\sqrt{45}=3 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-50.jpg?height=586&width=1396&top_left_y=1029&top_left_x=360)
+
+Solução 2: Os quadrados $I J K L$ e $M N O P$ têm como lados as hipotenusas dos triângulos retângulos dados, logo têm a mesma área. Superpondo-se as duas figuras e fazendo esses dois quadrados coincidirem, encontramos 8 triângulos e concluímos que
+
+$8 \times$ área do triângulo $=$ área de $E F G H$ - área de $A B C D=9^{2}-3^{2}=72 \mathrm{~cm}^{2}$. Logo a área de cada triângulo é $9 \mathrm{~cm}^{2}$. Da figura temos
+
+$$
+\text { área de } I J K L=4 \times \text { área do triângulo }+ \text { área de } A B C D=4 \times 9+9=45 \text {. }
+$$
+
+Logo, o lado do quadrado IJKL é $\sqrt{45}=3 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-50.jpg?height=657&width=648&top_left_y=2076&top_left_x=1184)
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2006_desafios.md

@@ -0,0 +1,134 @@
+1. (N2/N3) Partindo do número 265863 e utilizando uma única vez cada uma das operações + ; - ; × ; : , e também uma única vez os números $51,221,6817,13259$, podemos obter vários números, por exemplo 54911 :
+
+$265863 \xrightarrow{+221} 1203 \xrightarrow{\times 51} 61353 \xrightarrow{-13259} 48094 \xrightarrow{+6817} 54911$
+
+Encontre a cadeia que permite obter o menor número inteiro positivo.
+
+2. (N2/N3)Você sabe repartir a figura ao lado em duas partes idênticas (que possam ser superpostas)? $\mathrm{AB}=\mathrm{AE}=\mathrm{ED}=\mathrm{CD}=\mathrm{CA}$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-1.jpg?height=369&width=508&top_left_y=992&top_left_x=1071)
+
+3.(N1/N2/N3) Cada um em seu Estado - Amélia, Bruno, Constância e Denise são 4 amigos que moram em Estados diferentes e se encontram sentados numa mesa quadrada, cada um ocupa um lado da mesa.
+
+- À direita de Amélia está quem mora no Amazonas;
+- Em frente à Constância está a pessoa que mora em São Paulo;
+- Bruno e Denise estão um ao lado do outro;
+- Uma mulher está à esquerda da pessoa que mora no Ceará.
+- Um dos quatro mora na Bahia. Quem?
+
+4. (N1/N2) Divisão- Numa divisão, aumentando o dividendo de 1989 e o divisor de 13, o quociente e o resto não se alteram. Qual é o quociente?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-1.jpg?height=269&width=534&top_left_y=2150&top_left_x=196)
+
+5. (N1/N2) Extra-terrestre - No planeta Staurus, os anos têm 228 dias (12 meses de 19 dias). Cada semana tem 8 dias: Zerum, Uni, Duodi, Trio, Quati, Quio, Seise e Sadi. Sybock nasceu num duodi que foi o primeiro dia do quarto mês. Que dia da semana ele festejará seu primeiro aniversário?
+6. (N1/N2) Que família! Numa família cada menino tem o mesmo número de irmãos que de irmãs, e cada menina tem o dobro de irmãos que de irmãs. Qual é a composição dessa família?
+7. (N1) Siga a pista - Na pista de corrida ao lado, os 7 pontos de referência são marcados a cada $50 \mathrm{~m}$. Os atletas devem fazer $2 \mathrm{~km}$ no sentido indicado pela flexa. Eles partem do ponto P. Marque o ponto de chegada C.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-2.jpg?height=368&width=756&top_left_y=798&top_left_x=570)
+
+8. Cara ou Coroa - Jerônimo joga no tabuleiro ao lado da seguinte maneira: Ele coloca uma peça na casa "PARTIDA" e ele move a peça da seguinte maneira: ele lança uma moeda, se der CARA ele avança duas casas, e se der COROA ele recua uma casa. Jerônimo lançou a moeda 20 vezes e conseguiu chegar na casa CHEGADA. Quantas vezes a moeda deu CARA?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-2.jpg?height=551&width=874&top_left_y=1341&top_left_x=1022)
+
+9. (N1) Os relógios - Um só dos quatro relógios indica a hora correta. Um está 20 minutos adiantado, outro está 20 minutos atrasado, e o quarto está parado. Qual é a hora certa?
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-2.jpg?height=290&width=1462&top_left_y=2310&top_left_x=274)
+10. (N1) Contas do papagaio - Rosa tem um papagaio que faz contas de um modo estranho. Cada vez que Rosa diz dois números ele faz a mesma conta, veja:
+
+- Se Rosa diz " 4 e 2" o papagaio responde " 9 "
+- Se Rosa diz " 5 e 3 " o papagaio responde " 12 "
+- Se Rosa diz "3 e 5" o papagaio responde " 14 "
+- Se Rosa diz "9 e 7" o papagaio responde " 24 "
+- Se Rosa diz " 0 e 0 " o papagaio responde " 1 "
+
+Se Rosa diz "1 e 8" o que responde o papagaio?
+
+11. (N1/N2) As férias de Tomás - Durante suas férias, Tomás teve 11 dias com chuva. Durante esses 11 dias, se chovia pela manhã havia sol sem chuva à tarde, e se chovia à tarde, havia sol sem chuva pela manhã. No total, Tomás teve 9 manhãs e 12 tardes sem chuva. Quantos dias duraram as férias de Tomás?
+12. (N3) Maratona de Matemática - Numa Maratona de Matemática, o número de questões é muito grande. $\mathrm{O}$ valor de cada questão é igual à sua posição na prova: 1 ponto para a questão 1,2 pontos para a questão 2,3 pontos para a questão 3,4 pontos para a questão $4, \ldots, 10$ pontos para a questão $10, \ldots$ e assim por diante. Joana totalizou 1991 pontos na prova, errando apenas uma questão e acertando todas as outras. Qual questão ela errou?Quantas questões tinha a prova?
+13. (N1) - Escolhi quatro frações entre $1 / 2,1 / 4,1 / 6,1 / 10$ e $1 / 12$ cuja soma é 1 . Quais foram as frações que eu não escolhi?
+14. Um jogo- Regras;
+
+(i) Partindo da casa em cinza com o número 3 deve-se chegar à casa TOTAL deslocando-se somente por linhas ou colunas e calculando os pontos.
+
+(ii) Quando nos deslocamos por uma linha só podemos adicionar, por exemplo passando da 3 para a -6 ao lado, obtemos $3+(-6)=-3$ pontos
+
+(iii) Quando nos deslocamos por uma coluna só podemos subtrair, por exemplo passando da 3 para a 5 abaixo, obtemos $3-5=-2$ pontos.
+
+(iv) Só é permitido passar uma vez por cada casa.
+
+Qual o caminho que dá o maior total?
+
+| 3 | -6 | 9 | -9 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 5 | 7 | 2 | -1 |
+| -8 | -3 | -5 | 4 |
+| -4 | 1 | 6 | 8 |
+| 0 | -2 | -7 | TOTAL |
+
+15. (N1/N2/N3) Produtos em linha - Em cada uma das casas em branco do quadro abaixo escrevemos um algarismo dentre oito algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 de modo que os produtos efetuados em linha reta seguindo as flexas forneçam os valores indicados dentro dos casas em cinza. Em qual casa se encontra o número 2 ?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-4.jpg?height=577&width=1099&top_left_y=474&top_left_x=453)
+
+16. (N2/N3) Código Postal - Para fazer a separação em regiões da correspondência que deve ser entregue, um serviço postal indica sobre os envelopes um código postal com uma série de 5 grupos de bastões, que podem ser lidos por um leitor ótico. Os algarismos são codificados como a seguir:
+
+| $0 \bullet\\|I\\|$ | $5 \% \cdot \\|$ |
+| :---: | :---: |
+| 1 $\cdot$॰\|l | $6\|\cdot\| \\| \mid$ |
+| $2 \cdot\\|\\| \\|$ | $7\\|\bullet \bullet\\|$ |
+| $3 \cdot \\| 1 \mid 10$ | $8 \mathrm{ll} \cdot \mathrm{Ol}$ |
+| 4 \|०o|l| | 9\||$\|\bullet \circ\|$ |
+
+A leitura se faz da direita para a esquerda, por exemplo o código postal 91720 se escreve como ..IIIII.III.IIII..III.I.IIIII.I.I. Em detalhe:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-4.jpg?height=83&width=460&top_left_y=2129&top_left_x=1049)
+
+Note que a codificação de $94, \underbrace{\mid \circ \cdot \| I \text { III०| }}_{4}$, tem um eixo vertical de simetria. Encontre os códigos de 47000a 47999, aqueles que apresentam um eixo vertical de simetria.
+
+17. (N1/N2/N3) Anéis olímpicos - Os números de 1 a 9 foram colocados dentro de cinco anéis olímpicos de tal modo que dentro de cada anel a soma é 11 .
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-5.jpg?height=343&width=946&top_left_y=317&top_left_x=501)
+
+Disponha os 9 números de outra maneira para que a soma dentro de cada anel seja a maior possível.
+
+18. (N2/N3)Denise e Antônio jogam uma série de 8 jogos no qual o vencedor da primeira partida ganha 1 ponto, o da segunda 2 pontos, o da terceira 4 pontos, o da quarta 8 pontos e assim por diante, multiplicando por 2 o número de pontos de uma partida para a outra. No final, Denise ganhou 31 pontos a mais que Antônio e não houve empate em nenhuma das partidas. Quais partidas Denise ganhou?
+19. (N1/N2)Você sabe repartir um quadrado em 7 quadrados menores?
+
+20.(N1/N2/N3) Ilha misteriosa -Numa misteriosa ilha havia 13 camaleões cinza, 15 camaleões marrons e 17 camaleões vermelhos. Quando dois camaleões de cores diferentes se encontram, os dois tomam a terceira cor. Por exemplo, se um cinza se encontra com um vermelho, então os dois ficam marrons. Por causa de uma tempestade, ocorreram 2 encontros cinza-vermelho, 3 encontros marrom-vermelho e 1 encontro cinza-vermelho, quantos camaleões de cada cor ficaram na ilha?
+
+21. (N3)Universo hostil - Num deserto há cobras, ratos e escorpiões. Cada manhã, cada cobra mata um rato. Cada meio-dia, cada escorpião mata uma cobra. Cada noite, cada rato mata um escorpião. Ao final de uma semana, à noite, só restava um rato. Quantos ratos havia na manhã no início da semana?
+22. $265863 \xrightarrow{\div 6817} 39 \xrightarrow{+221} 260 \xrightarrow{\times 51} 13260 \xrightarrow{-13259} 1$
+23. 
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-6.jpg?height=408&width=562&top_left_y=550&top_left_x=427)
+
+3. Bruno ou Amélia (O desafio tem duas soluções).
+4. 153
+5. Seise
+6. 3 meninas e 4 meninos
+7. 
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-6.jpg?height=277&width=662&top_left_y=1409&top_left_x=480)
+
+8. 12
+9. $17 \mathrm{~h} 05 \mathrm{~min}$
+10. 1
+
+11.16 dias
+
+12. 25 e 63, respectivamente.
+13. 
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-6.jpg?height=380&width=411&top_left_y=2294&top_left_x=457)
+15.casa B
+16. 47679 e 47779
+
+17. 
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-7.jpg?height=311&width=893&top_left_y=410&top_left_x=433)
+18. $1^{a}, 2^{a}, 3^{a}, 4^{a}$ e $8^{a}$
+
+19. 
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-7.jpg?height=274&width=320&top_left_y=911&top_left_x=477)
+20. 16 cinzas, 18 marrons e 11 vermelhos
+21. 1873
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L1_N1.md

@@ -0,0 +1,134 @@
+# Nível 1 
+
+## Lista 1
+
+## 1. Múltiplos de 9
+
+(a) Qual é o menor múltiplo (positivo) de 9 que é escrito apenas com os algarismos 0 e 1 ?
+
+(b) Qual é o menor múltiplo (positivo) de 9 que é escrito apenas com os algarismos 1 e 2 ?
+
+2. A florista - Uma florista colheu $49 \mathrm{~kg}$ de flores do campo que podem ser vendidas imediatamente por $R \$ 1,25$ o quilo. A florista pode também vendêlas desidratadas por 2 reais a mais no quilo. O processo de desidratação faz as flores perderem $5 / 7$ de seu peso. Qual é o tipo de venda mais lucrativo para a florista?
+3. Divisores - Seja $N$ o menor número que tem 378 divisores e é da forma $2^{a} \times 3^{b} \times 5^{c} \times 7^{d}$. Quanto vale cada um desses expoentes?
+4. O produto dos algarismos - Denotemos por $P(n)$ o produto dos algarismos do número $n$. Por exemplo: $P(58)=5 \times 8=40$ e $P(319)=3 \times 1 \times 9=27$.
+
+(a) Quais os números naturais menores que 1000 cujo produto de seus algarismos é 12 , ou seja: os números naturais $n<1000$ tais que $P(n)=12$ ?
+
+(b) Quantos números naturais menores que 199 satisfazem $P(n)=0$ ? Ou seja: têm o produto de seus algarismos igual a 0 ?
+(c) Quais números naturais menores que 200 satisfazem a desigualdade $37<$ $P(n)<45$ ?
+
+(d) Dentre os números de 1 a 250, qual o número cujo produto de seus algarismos é o maior?
+
+5. Suco de laranja - Davi vai a um armazém que vende uma garrafa de suco de laranja por $R \$ 2,80$ e uma caixa com seis dessas garrafas por $R \$ 15,00$. Ele precisa comprar 22 garrafas para seu aniversário. Quanto ele gastará no mínimo?
+6. A casa da Rosa - A figura mostra a planta da casa da Rosa. O quarto e o quintal são quadrados. Qual é a área da cozinha?
+
+|  | Sala <br> $24 m^{2}$ |
+| :---: | :---: |
+| Quintal <br> $4 m^{2}$ | Cozinha |
+
+7. O passeio do Matias - Matias passeia em volta de 4 quarteirões perto de sua casa. O seu passeio consiste em fazer o maior percurso possível de bicicleta, respeitando as seguintes condições:
+ele pode passar várias vezes pelos cruzamentos das ruas, mas ele não pode passar mais do que uma vez pela mesma quadra. Quando ele não pode mais respeitar essas condições, ele tem que saltar da bicicleta e voltar a pé. Ele parte de $P$ e deve voltar a $P$. Os quatro quarteirões são quadrados com 100 metros de lado em cada quadra. Qual o maior percurso que ele pode fazer? A largura das ruas é desprezível.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a0d391260739810f40cdg-3.jpg?height=477&width=426&top_left_y=561&top_left_x=1383)
+8. $O$ adesivo dos carros oficiais - O prefeito de uma cidade decidiu colocar um adesivo em todos os carros oficiais. O adesivo terá a forma retangular com 6 quadrados dispostos em $2 \times 3$ e com 3 cores: 1 quadrado azul, 2 quadrados amarelos e 3 quadrados verdes. Dentre quantos tipos diferentes de adesivo o prefeito terá que escolher?
+
+## Soluções da Lista 1
+
+## 1. Múltiplos de 9
+
+(a) Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 9. Logo, o número deve ter 9 algarismos iguais a 1. Assim, o menor número é: 111111111.
+
+(b) Devemos usar o maior número possível de algarismos iguais a 2, que devem ficar nas casas mais à direita. Assim, o menor número é: 12222 .
+
+2. A florista - Se a florista vender as flores sem desidratá-las, ela vai apurar $49 \times 1,25=61,25$ reais.
+
+O peso das flores após a desidratação é $\frac{2}{7} \times 49=14 \mathrm{~kg}$. Logo, vendendo as flores desidratadas, ela apura $14 \times 3,25=45,50$. Portanto, a florista ganha mais no processo sem a desidratação.
+
+3. Divisores - Como 2, 3, 5 e 7 são primos, para que $2^{a} \times 3^{b} \times 5^{c} \times 7^{d}$ tenha 378 divisores, devemos ter:
+
+$$
+(a+1) \times(b+1) \times(c+1) \times(d+1)=378
+$$
+
+Decompondo 378 em fatores primos, encontramos $378=2 \times 3^{3} \times 7$. Logo,
+
+$$
+(a+1) \times(b+1) \times(c+1) \times(d+1)=2 \times 3^{3} \times 7
+$$
+
+Por outro lado, como $N$ é mínimo então os expoentes estão ordenados do maior
+
+para o menor, isto é, $a \geq b \geq c \geq d$.
+
+Afirmamos que $d>0$, pois se $d=0$ então $a+1, b+1$ ou $c+1$ tem dois fatores maiores do que 1 . Se $a+1=m n$ com $m \geq n>1$ temos que
+
+$$
+2^{a}=2^{m n-1}=2^{m-1} 2^{m n-m}=2^{m-1}\left(2^{m}\right)^{n-1} \geq 2^{m-1} 8^{n-1}>2^{m-1} 7^{n-1}
+$$
+
+onde na penúltima desigualdade usamos o fato que $m \geq 3$. Assim, temos que $2^{a} 3^{b} 5^{c} 7^{d}>2^{m-1} 3^{b} 5^{c} 7^{n-1}$, logo encontramos um número com a mesma quantidade de divisores, mas menor. A prova é igual no caso em que $b+1$ tem dois fatores ou $c+1$ tem dois fatores. Assim, $d \geq 1$ e temos unicamente as seguintes possibilidades
+
+| $a$ | $b$ | $c$ | $d$ | $(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=378$ |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 20 | 2 | 2 | 1 | $21 \times 3 \times 3 \times 2$ |
+| 13 | 2 | 2 | 2 | $14 \times 3 \times 3 \times 3$ |
+| 8 | 6 | 2 | 1 | $9 \times 7 \times 3 \times 2$ |
+| 6 | 5 | 2 | 2 | $7 \times 6 \times 3 \times 3$ |
+
+Por último, como
+
+$$
+\begin{aligned}
+& \frac{2^{20} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{1}}{2^{13} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}=\frac{2^{7}}{7}>1 \\
+& \frac{2^{13} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}{2^{8} \cdot 3^{6} \cdot 5^{1} \cdot 7^{1}}=\frac{2^{5} \cdot 7}{3^{4}}>1
+\end{aligned}
+$$
+
+e
+
+$$
+\frac{2^{8} \cdot 3^{6} \cdot 5^{2} \cdot 7^{1}}{2^{6} \cdot 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}=\frac{2^{2} \cdot 3}{7}>1
+$$
+
+temos que o valor de $N$ é $2^{6} \cdot 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}$. Portanto, $a=6, b=5, c=2$ e $d=2$.
+
+## 4. O produto dos algarismos
+
+(a) Como $12=2 \times 6=4 \times 3=2 \times 2 \times 3$, devemos utilizar os algarismos $1,2,3,4$ e 6 cujos produtos sejam 12. Assim temos:
+
+- números com 2 algarismos: 26, 62, 34, 43
+- números com 3 algarismos:
+- com os algarismos 1, 2 e 6: 126, 162, 216, 261, 612, 621
+- com os algarismos 1, 3 e 4: 134, 143, 314, 341, 413, 431
+- com os algarismos 2, 2 e 3: 223, 232, 322 .
+
+(b) Se $P(n)=0$, então o produto de seus algarismos é igual a zero, logo pelo menos um dos algarismos do número $n$ é zero. Temos 19 números com zero só nas unidades, 9 números com zero só nas dezenas e ainda o número 100, totalizando 29 números:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a0d391260739810f40cdg-6.jpg?height=123&width=1162&top_left_y=1001&top_left_x=458)
+
+(c) Queremos encontrar os números menores do que 200, cujo produto de seus algarismos seja maior do que 37 e menor do que 45. Por exemplo, 58 é um desses números porque $5 \times 8=40$.
+
+Em primeiro lugar, note que não existem números cujo produto de seus algarismos sejam 38, 39, 41, 43 e 44 porque esses números não podem ser escritos como produto de dois ou três algarismos. Restam, então: 40 e 42 . Vejamos as possibilidades:
+
+- números menores do que 200 cujo produto dos algarismos é 40: 58, 85, 158 e 185
+- números menores do que 200 cujo produto dos algarismos é 42: 67,76 , 167 e 176
+
+(d) O número é $249=2 \times 4 \times 9=72$.
+
+5. Suco de laranja - Se Davi comprar 6 garrafas individualmente, ele vai gastar $6 \times 2,80=16,80$ reais, que é mais caro do que comprar uma caixa com seis. Portanto, ele deve comprar a maior quantidade possível de caixas. Para ter pelo menos 22 garrafas, ele pode comprar 4 caixas e gastará 60 reais, ou
+comprar 3 caixas e 4 garrafas individualmente, caso em que gastará $3 \times 15+$ $4 \times 2,80=56,20$ reais, que é o mínimo possível.
+6. A casa da Rosa - Como o quarto é quadrado e tem $16 m^{2}$ de área, então suas dimensões são $4 m$ por $4 m$. Da mesma forma, as dimensões do quintal são $2 m$ por $2 m$. Agora, a sala tem $24 m^{2}$ e uma das dimensões é a mesma que a dimensão do quarto, isto é $4 m$, logo a outra dimensão da sala é $6 m$. Assim, as dimensões totais da casa são $10 \mathrm{~m}$ por $6 m$ e a área total da casa é 60 metros quadrados. Logo, a área da cozinha é
+
+|  |  |  |
+| :---: | :---: | :---: |
+| Quintal | 2 | Cozinha |
+
+$60-16-24-4=16 m^{2}$.
+
+7. Passeio do Matias - Primeiro observamos que temos 12 quadras de 100 metros entre os 4 quarteirões. Além disso, entre os quatro quarteirões temos 4 esquinas nas quais chegam 3 quadras e que estão marcadas com $\star$ no desenho. Assim, no momento em que chegamos a uma das ditas esquinas temos que sair, logo usamos 2 das quadras em cada passada e, no momento que chegamos de novo, temos que parar.
+
+Portanto, dentre as ditas 4 esquinas, em todo caminho que tracemos tem pelo menos duas esquinas em que não usamos todas as quadras que chegam à esquina mencionada. Assim, o caminho de comprimento máximo usa no máximo 10 quadras. Na figura desenhamos um dos trajetos máximos.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a0d391260739810f40cdg-7.jpg?height=420&width=397&top_left_y=2063&top_left_x=1383)
+
+8. O adesivo oficial - Como o quadrado pintado da cor azul pode estar em qualquer lugar, então temos 6 possíveis formas de escolher a posição desse quadrado. Entre os 5 quadrados restantes precisamos pintar dois de amarelo, o que podemos fazer de 10 formas, assim os três quadrados restantes são pintados de verde. Portanto, o prefeito tem $6 \times 10=60$ formas diferentes de escolher o adesivo.

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L1_N2.md

@@ -0,0 +1,165 @@
+# Nível 2 
+
+## Lista 1
+
+1. Potências de 10 - O valor de $\frac{0,00001 \times(0,01)^{2} \times 1000}{0,001}$ é:
+(a) $10^{-1}$
+(b) $10^{-2}$
+(c) $10^{-3}$
+(d) $10^{-4}$
+(e) 1
+2. Diferença de quadrados - Se $(x+y)^{2}-(x-y)^{2}=20$, então $x y$ é igual a:
+(a) 0
+(b) 1
+(c) 2
+(d) 5
+(e) 10
+3. Um quadrilátero - O quadrilátero $A B C D$ da figura é um paralelogramo?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9ca8b777b16e5f5c5786g-1.jpg?height=451&width=414&top_left_y=1462&top_left_x=929)
+
+4. Sexta-feira 13 - Qual o número máximo de sexta-feiras 13 que podem ocorrer num ano não bissexto? Neste caso, qual é o $10^{\circ}$ dia do ano?
+5. Triângulos com lados inteiros - Quantos triângulos existem cujos lados são números inteiros e o perímetro é 12 ?
+(a) 1
+(b) 3
+(c) 5
+(d) 7
+(e) 9
+6. Festa de aniversário - Para comemorar seu aniversário, Ana vai preparar tortas de pera e tortas de maçã. No mercado, uma maçã pesa $300 \mathrm{~g}$ e uma pera $200 \mathrm{~g}$. A sacola de Ana aguenta um peso máximo de $7 k$. Qual é o numero máximo de frutas que ela pode comprar para poder fazer tortas das duas frutas?
+7. Os dois quadrados - As medidas em centímetros dos lados de cada um dos dois quadrados são números inteiros. Se o menor quadrado tivesse $2001 \mathrm{~cm}^{2}$ a mais de área, os dois quadrados seriam iguais. Quanto pode medir o lado do maior quadrado?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9ca8b777b16e5f5c5786g-2.jpg?height=394&width=377&top_left_y=974&top_left_x=1342)
+
+8. A multiplicação - Júlio faz multiplicações usando apenas os quadrados dos números. Ele tem que calcular o produto $85 \times 135$. Para isso, ele desenha um retângulo de $85 \mathrm{~mm}$ por $135 \mathrm{~mm}$ e traça nesse retângulo o maior quadrado possível; faz o mesmo no quadrado restante e assim sucessivamente. Dessa maneira ele obtém oito quadrados. Desenhe a figura feita por Júlio e escreva $85 \times 135$ como a soma de oito quadrados: $85 \times 135=85^{2}+\ldots$
+
+## Soluções da Lista 1
+
+1. Potências de 10 - Temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{0,00001 \times(0,01)^{2} \times 1000}{0,001} & =\frac{10^{-5} \times\left(10^{-2}\right)^{2} \times 10^{3}}{10^{-3}}=\frac{10^{-5} \times 10^{-4} \times 10^{3}}{10^{-3}}= \\
+& =\frac{10^{-5+(-4)+3}}{10^{-3}}=\frac{10^{-6}}{10^{-3}}=10^{-6-(-3)}=10^{-3}
+\end{aligned}
+$$
+
+A opção correta é (c).
+
+2. Diferença de quadrados - Como $(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}$ e $(x-y)^{2}=$ $x^{2}-2 x y+y^{2}$, temos:
+
+$$
+(x+y)^{2}-(x-y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}-x^{2}+2 x y-y^{2}=4 x y=20
+$$
+
+segue-se que $x y=5$. A opção correta é (d).
+
+3. Um quadrilátero - Para que $A B C D$ seja um paralelogramo, seus lados devem ser dois a dois paralelos, isto é: $A B / / C D$ e $A D / / B C$.
+
+Como
+
+$$
+\widehat{D A B}+\widehat{A B C}=180^{\circ}
+$$
+
+então as retas $A D$ e $B C$ são paralelas. Além disso, temos dois ângulos alternos internos de $45^{\circ}$ entre as retas $A B$ e $D C$, segue-se que elas são paralelas. Logo $A B C D$ é um paralelogramo.
+
+4. Sexta-feira 13 - Dado que os dias da semana se repetem a cada 7 dias, então a diferença entre os dias da semana é dada pelo resto ao dividir por 7 o número de dias transcorridos.
+
+$\mathrm{Na}$ tabela seguinte temos:
+
+- na primeira linha o número de dias entre o dia 13 de um mês e o dia 13 do mês seguinte;
+- na segunda linha o resto quando dividimos esse numero por 7;
+- na terceira linha o resto quando dividimos por 7 o número de dias entre o 13 de janeiro e o 13 do mês correspondente, ou seja, é obtida somando os resultados obtidos na linha anterior desde janeiro até o mês correspondente e depois calculando o resto ao dividir por 7 .
+
+| J-F | F-M | M-A | A-M | M-J | J-J | J-A | A-S | S-O | O-N | N-D |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 31 | 28 | 31 | 30 | 31 | 30 | 31 | 31 | 30 | 31 | 30 |
+| 3 | 0 | 3 | 2 | 3 | 2 | 3 | 3 | 2 | 3 | 2 |
+| 3 | 3 | 6 | 1 | 4 | 6 | 2 | 5 | 0 | 3 | 5 |
+
+Os valores iguais na última linha, significam que nestes meses o dia 13 caiu no mesmo dia da semana. Em particular esta última linha nos diz que 13 de fevereiro, 13 de março e 13 de novembro correspondem ao mesmo dia da semana. Logo, temos no máximo três sexta-feiras treze.
+
+Nesse caso temos que 13 de janeiro ocorreu 3 dias antes de sexta-feira, isto é terça-feira e o dia 10 de janeiro aconteceu 3 dias antes, isto é, no sábado.
+
+Observação: Note que a $6^{a}$-feira 13 ocorre apenas quando o $1^{o}$ dia do mês é um domingo. Assim, uma outra maneira, talvez mais simples, de resolver o problema é determinar o número máximo de vezes em que o $1^{\circ}$ dia do mês é um domingo num ano não bissexto.
+
+5. Triângulos com lados inteiros - Para que três números $a, b, c$ sejam os comprimentos dos lados do triângulo, cada um deles deve ser maior que a diferença e menor que a soma dos outros dois.
+
+Sejam $a \leq b \leq c$ os comprimentos dos lados do triângulo. Assim, $c<a+b$.
+
+Agora, somando $c$ a ambos os membros temos que: $2 c<a+b+c=12$, ou seja, $2 c<12$, $\log c<6$.
+
+Além disso, como $3 c \geq a+b+c=12$ temos que: $c \geq 4$. Logo, $4 \leq c<6$.
+
+No caso de $c=5$, temos que $a+b=7$. Os possíveis valores de $a$ e $b$ são: $a=2$ e $b=5$ ou $a=3$ e $b=4$
+
+No caso de $c=4$, temos que $a+b=8$, e portanto temos somente a solução $a=b=4$.
+
+assim temos 3 possíveis triângulos. A opção correta é (b).
+
+6. Festa de aniversário - Denotemos por $m$ o número de maças e $p$ o número de peras que Ana comprou, assim o peso que ela leva na sacola é $300 m+200 p$ gramas. Como a sacola aguenta no máximo 7000 gramas, temos que
+
+$$
+300 m+200 p \leq 7000, \text { que é equivalente a } 3 m+2 p \leq 70
+$$
+
+Como as peras pesam menos, Ana tem que levar a máxima quantidade de peras, e portanto, a mínima quantidade de maçãs. Assim, se ela levar 1 maçã, temos:
+
+$$
+2 p \leq 70-3=67 \Longrightarrow p \leq 33,5
+$$
+
+Logo, levando 1 maçã, ela pode levar 33 peras. Então, o numero máximo de frutas é 34 .
+
+Na tabela abaixo vemos que Ana pode também levar 2 maçãs e 32 peras.
+
+| $p$ | $m$ | $300 m+200 p$ | $p+m$ |
+| :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 34 | 0 | 6800 | 34 |
+| 33 | 1 | 6900 | 34 |
+| 32 | 2 | 7000 | 34 |
+| 31 | 2 | 6800 | 33 |
+
+7. Os dois quadrados - Se $a$ é a medida do lado do quadrado maior e $b$ a medida do lado do quadrado menor, então pelo enunciado temos
+
+$$
+a^{2}=b^{2}+2001
+$$
+
+Log:
+
+$$
+2001=a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)
+$$
+
+Como $a$ e $b$ são números inteiros, temos que $a+b$ e $a-b$ são divisores de 2001 . Mas, $2001=3 \times 23 \times 29$, segue que
+
+$$
+(a+b)(a-b)=2001 \times 1=667 \times 3=87 \times 23=69 \times 29
+$$
+
+Consequentemente, temos 4 possíveis formas de fatorar 2001 em dois fatores:
+
+- se $a+b=2001$ e $a-b=1 \Longrightarrow a=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}=1001$;
+- se $a+b=667$ e $a-b=3 \Longrightarrow a=\frac{667+3}{2}=335$;
+- se $a+b=87$ e $a-b=23 \Longrightarrow a=\frac{87+23}{2}=55$;
+- se $a+b=69$ e $a-b=29 \Longrightarrow a=\frac{69+29}{2}=49$.
+
+Assim as possibilidades para o lado maior são: $1001,335,55$ e 49.
+
+8. A multiplicação - O maior quadrado no retângulo de $85 \times 135$ é aquele de $85 \times 85$. Sobra então um retângulo de $50 \times 85$, onde o maior quadrado é de $50 \times 50$. Continuando assim, obtemos:
+
+$$
+85 \times 135=85^{2}+50^{2}+35^{2}+15^{2}+15^{2}+5^{2}+5^{2}+5^{2}
+$$
+
+|  |  |  | $5^{2} 5^{2} 5^{2}$ |  |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+|  | $35^{2}$ | $15^{2}$ |  |  |
+|  |  |  | $15^{2}$ |  |
+|  |  |  |  |  |
+|  |  |  |  |  |
+|  |  | $50^{2}$ |  |  |
+|  |  |  |  |  |
+|  |  |  |  |  |
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L1_N3.md

@@ -0,0 +1,185 @@
+# Nível 3 
+
+## Lista 1
+
+1. Equação cúbica - Sobre a equação $2007 x^{3}+2006 x^{2}+2005 x=0$ é certo afirmar:
+(a) Não possui raízes
+(b) Tem 3 raízes reais distintas
+(c) Tem 2 raízes iguais
+(d) Tem apenas uma raiz real
+(e) Tem 3 raízes positivas
+2. O perfume de Rosa - Rosa ganhou um vidro de perfume no formato de um cilindro de $7 \mathrm{~cm}$ de raio da base e $10 \mathrm{~cm}$ de altura. Depois de duas semanas usando o perfume restou $0,45 l$ no vidro. Qual a fração que representa o volume que Rosa já usou?
+3. Igualdade com inteiros - Quais números naturais $m$ e $n$ satisfazem a $2^{n}+1=m^{2}$ ?
+4. O caminho da pulga - Para percorrer um caminho reto de 10 metros de comprimento, uma pulga usa a seguinte estratégia: a cada dia ela percorre a metade do caminho que faltava no dia anterior. Portanto, no primeiro dia ela percorre 5 metros, no segundo 2,5 metros e assim por diante (o tamanho da pulga é desprezível).
+
+(a) Quantos metros ela terá percorrido ao final do sétimo dia? E do décimo?
+
+(b) A partir de qual dia a pulga estará a menos de $0,001 \mathrm{~m}$ do final do caminho?
+
+5. Uma soma alternada - Se $S_{n}=1-2+3-4+5-6+\ldots+(-1)^{n+1} n$, onde $n$ é um inteiro positivo, então $S_{1992}+S_{1993}$ é:
+(a) -2
+(b) -1
+(c) 0
+(d) 1
+(e) 2
+6. O raio da circunferência - Um arco de circunferência mede $300^{\circ}$ e o seu comprimento é $2 \mathrm{~km}$. Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio em metros?
+(a) 157
+(b) 284
+(c) 382
+(d) 628
+(e) 764
+7. Quatro passageiros - Em um táxi podem se sentar um passageiro na frente e três atrás. De quantas maneiras podem se sentar os quatro passageiros se um deles quer ficar na janela?
+8. Os cinco círculos - Cinco discos de mesmo raio estão dispostos como mostra a figura. Quatro centros são os vértices de um quadrado e três estão alinhados. Trace uma reta que divida a figura formada pelos 5 discos em duas partes de mesma área.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8c8106cb3e7af661a7e3g-2.jpg?height=474&width=691&top_left_y=1673&top_left_x=1048)
+
+## Soluções da Lista 1
+
+1. Equação cúbica - Observemos que $x=0$ é uma solução, logo as possibilidades (a) e (e) ficam descartadas. Agora só precisamos estudar as soluções de $2007 x^{2}+2006 x+2005=0$, que é uma equação do $2^{o}$ grau com discriminante
+
+$$
+\begin{aligned}
+\Delta & =2006^{2}-4 \times 2007 \times 2005=2006^{2}-4(2006+1)(2006-1) \\
+& =2006^{2}-4\left(2006^{2}-1\right)=-3 \times 2006^{2}+4<0
+\end{aligned}
+$$
+
+logo não possui raízes reais. Portanto, a equação inicial tem uma única raiz real, e a opção correta é (d).
+
+Observação: Uma outra maneira (e mais simples) de mostrar que $\Delta<0$ é: como $2006<2007$ e $2006<4 \times 2005$, então
+
+$$
+2006 \times 2006<4 \times 2005 \times 2007 \Longrightarrow 2006^{2}-4 \times 2005 \times 2007<0
+$$
+
+2. O perfume de Rosa - O volume de um cilindro é o produto da área da base pela altura. Como o raio da base é $7 \mathrm{~cm}$, a área da base é: $\pi \times 7^{2}$, e então o volume do vidro é
+
+$$
+\pi \times 7^{2} \times 10 \mathrm{~cm}^{3}=490 \pi \mathrm{cm}^{3}=\frac{490 \pi}{1000} \mathrm{dm}^{3}=0,49 \pi \text { litros }
+$$
+
+lembrando que $1000 \mathrm{~cm}^{3}=1 \mathrm{dm}^{3}=1$ litro.
+
+Depois de duas semanas, restaram 0,45 litros de perfume, então ela gastou $(0,49 \pi-0,45)$ litros. Portanto, a fração que representa o volume gasto é:
+
+$$
+\frac{\text { volume gasto }}{\text { volume total }}=\frac{0,49 \pi-0,45}{0,49 \pi}=\frac{49 \pi-45}{49 \pi}
+$$
+
+## 3. Igualdade com inteiros - Como
+
+$$
+2^{n}=m^{2}-1=(m+1)(m-1)
+$$
+
+temos que $m-1$ e $m+1$ são potências de 2 cuja diferença é 2 . Logo, a única solução possível é $m-1=2$ e $m+1=2^{2}$, donde $m=3$. Segue que $2^{n}+1=3^{2}$, e obtemos $n=3$.
+
+4. O caminho da pulga - No $1^{\varrho}$ pulo a pulga percorre $10 \times \frac{1}{2}$, no $2^{\underline{o}}, 10 \times \frac{1}{2^{2}}$, e assim por diante.
+
+Os pulos da pulga
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8c8106cb3e7af661a7e3g-4.jpg?height=257&width=719&top_left_y=1028&top_left_x=680)
+
+Depois de 7 dias a pulga terá percorrido
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 10\left(\frac{1}{2}\right)+10\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+10\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+10\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+10\left(\frac{1}{2}\right)^{5}+10\left(\frac{1}{2}\right)^{6}+10\left(\frac{1}{2}\right)^{7}= \\
+& 10\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{5}+\left(\frac{1}{2}\right)^{6}+\left(\frac{1}{2}\right)^{7}\right]= \\
+& 10 \times \frac{2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2+1}{2^{7}}=10 \times \frac{127}{128} \approx 9,9
+\end{aligned}
+$$
+
+Logo em 7 dias ela percorreu, aproximadamente $9,9 \mathrm{~m}$. Em geral, depois de $n$ dias a pulga terá percorrido
+
+$$
+10\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)
+$$
+
+Para calcular a soma acima, note que $\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)$ é a soma dos $n$ termos de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é $a_{1}=1 / 2$ e a razão é $q=1 / 2$. A fórmula para essa soma é:
+
+$$
+S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\frac{1 / 2\left(1-1 / 2^{n}\right)}{1-1 / 2}=1-\frac{1}{2^{n}}
+$$
+
+Logo, $10\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)=10\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)$.
+
+Portanto, ao final do décimo dia a pulga terá percorrido $10\left(1-\frac{1}{2^{10}}\right) m$.
+
+A pulga estará a menos de $0,001 \mathrm{~m}$ do final do caminho, quando ela já tiver percorrido pelo menos $10-0,001=9,999$, ou seja quando
+
+$$
+10\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right) \geq 9,999
+$$
+
+Vamos determinar o menor valor de $n$ que satisfaz a desigualdade acima.
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 10\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right) \geq 9,999 \quad \Longrightarrow 10-\frac{10}{2^{n}} \geq 9,999 \quad \Longrightarrow \quad 10-9,999 \geq \frac{10}{2^{n}} \\
+& \Longrightarrow 0,001 \geq \frac{10}{2^{n}} \quad \Longrightarrow 2^{n} \geq \frac{10}{0,001} \quad \Longrightarrow 2^{n} \geq 10000
+\end{aligned}
+$$
+
+Agora,
+
+$$
+2^{10}=2^{5} \times 2^{5}=32 \times 32=1024
+$$
+
+segue que
+
+$$
+2^{13}=2^{10} \times 2^{3}=1024 \times 8=8192
+$$
+
+Logo, devemos ter $n=14$.
+
+## 5. Uma soma alternada -
+
+Solução 1: Lembre que
+
+$(-1)^{n+1}= \begin{cases}1 & \text { se } n \text { é ímpar } \\ -1 & \text { se } n \text { é par }\end{cases}$
+
+Observemos que associando duas a duas parcelas consecutivas,
+
+$$
+(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots
+$$
+
+obtemos uma soma de $n$ parcelas todas iguais a -1 . Logo,
+$S_{1992}=\underbrace{(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+(1991-1992)}_{1992 \div 2=996 \text { parcelas }}=(-1) \times 996=-996$.
+
+$S_{1993}=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+(1991-1992)+1993=-996+1993=997$.
+
+Assim, $S_{1992}+S_{1193}=-996+997=1$. A opção correta é (d).
+
+Solução 2: Note que
+
+$$
+S_{2 n}=\underbrace{(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+[2 n-(2 n+1)]}_{n \text { parcelas iguais a }-1}
+$$
+
+Obtemos que $S_{2 n}=-n$ e $S_{2 n+1}=S_{2 n}+(2 n+1)=-n+2 n+1=n+1$. Logo, $S_{2 n}+S_{2 n+1}=1$.
+
+## 6. O raio da circunferência -
+
+Solução 1: Se o raio é $r$ então o comprimento de um arco de $\theta$ graus é $2 \pi \frac{\theta}{360} r$. Assim, no problema dado, temos que
+
+$$
+2 \pi \frac{300}{360} r=2000 m \Longrightarrow r=2000 \times \frac{3}{5 \pi} \simeq 382,17 m
+$$
+
+Logo, a opção correta é (c).
+
+Solução 2: Como a circunferência tem $360^{\circ}$, um arco de $300^{\circ}$ representa $\frac{5}{6}$ da circunferência, logo, seu comprimento é $\frac{5}{6}$ do comprimento da circunferência, isto é:
+
+$$
+\frac{5}{6} \times 2 \pi r=2000 m \Longrightarrow r=\frac{2000 \times 6}{10 \pi}=\frac{1200}{\pi} \approx 382,17 \mathrm{~m}
+$$
+
+7. Quatro passageiros - O passageiro que quer ficar na janela tem 3 possíveis lugares para se sentar, o seguinte pode-se sentar em qualquer lugar livre, logo tem 3 possíveis lugares, o seguinte dois possíveis lugares, e o último não tem escolha. Concluímos que o número de formas de se sentar é $3 \times 3 \times 2=18$.
+8. Os cinco círculos - Observemos que qualquer linha que passe por $O$, o centro do quadrado $A B C D$, divide a área formada pelos círculos $\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2}, \mathcal{C}_{3} \mathrm{e}$ $\mathcal{C}_{4}$ na metade. Por outro lado, qualquer linha reta que passe por $F$ divide a área do circulo $\mathcal{C}_{5}$ na metade. Assim, a reta procurada é a reta $F O$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8c8106cb3e7af661a7e3g-7.jpg?height=523&width=785&top_left_y=1126&top_left_x=744)
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L2_N1.md

@@ -0,0 +1,124 @@
+# Lista 2 
+
+1. Adição de números - Qual é o algarismo $a \mathrm{em}$
+
+$$
+a 000+a 998+a 999=22997 ?
+$$
+
+2. Cubo perfeito e divisibilidade - Quais os cubos perfeitos que dividem $9^{4}$ ?
+3. Localizando pontos - Qual é o ponto indicado no diagrama?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc51a5be9c4a524107d6g-1.jpg?height=117&width=917&top_left_y=1221&top_left_x=701)
+
+4. Calculando porcentagem - Num teste com 84 questões se você acerta 58/84 das questões, então qual é o seu percentual de acertos?
+5. Comparando algarismos - Um número se chama ascendente se cada um de seus algarismos é maior do que o algarismo que está à sua esquerda. Por exemplo, 2568 é ascendente e 175 não. Quantos números ascendentes existem entre 400 e 600 ?
+6. Muro colorido - O muro da figura é construído com 14 tijolos nas cores amarelo, azul e vermelho e tal que dois tijolos que se tocam são de cores diferentes. Os preços dos tijolos são dados na tabela. Qual o menor preço que se gastará na compra dos tijolos para construir esse muro?
+
+| tijolo | $R \$$ |
+| :--- | :---: |
+| amarelo | 6 |
+| azul | 7 |
+| vermelho | 8 |
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc51a5be9c4a524107d6g-2.jpg?height=229&width=499&top_left_y=431&top_left_x=984)
+
+7. Divisores e fatoração - Decompor 96 em dois fatores cuja soma dos quadrados seja 208.
+8. Brincando com áreas - Luís desenhou um retângulo de $6 \mathrm{~cm}$ por $10 \mathrm{~cm}$ e quer dividi-lo em quatro partes. Cada parte deve ter de área, respectivamente, $8 \mathrm{~cm}^{2}, 12 \mathrm{~cm}^{2}, 16 \mathrm{~cm}^{2}, 24 \mathrm{~cm}^{2}$. Desenhe como ele pode fazer essa divisão.
+
+## Soluções da Lista 2
+
+1. Adição de números - Efetuando a adição
+
+$$
+\begin{array}{r}
+a \\
+a \\
+a 998 \\
++\quad a 999 \\
+\hline \square 997
+\end{array}
+$$
+
+encontramos $\square 997=22997$, onde $\square=a+a+a+1$.
+
+Logo, $22=a+a+a+1$. Assim, $a=7$.
+
+2. Cubo perfeito e divisibilidade - Um cubo perfeito é um número da forma $a^{3}$, onde $a$ é um natural. Como $9^{4}=\left(3^{2}\right)^{4}=3^{8}$, os cubos perfeitos que dividem $3^{8}$ são: $3^{3}$ e $\left(3^{2}\right)^{3}=3^{6}$.
+3. Localizando pontos - O ponto indicado está 4 marcas à direita de 19. Entre 18 e 19 e entre 19 e 20 são feitas subdivisões em 10 partes iguais, logo cada marca equivale a 0,1 nessa escala. Assim, o ponto indicado é 19,4 .
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc51a5be9c4a524107d6g-3.jpg?height=120&width=917&top_left_y=1890&top_left_x=701)
+
+4. Calculando porcentagem - Temos 58 acertos em 84 questões, logo a razão de acertos é $\frac{58}{84}$. Dividindo 58 por 84 encontramos 0,69047 com aproximação. Logo, o percentual é aproximadamente $69,047 \%$.
+5. Comparando algarismos - Os números que estamos procurando são maiores do que 400 e menores do que 600, logo o algarismo das centenas é 4 ou 5 . Como são números ascendentes, o algarismo das dezenas tem que ser menor do que o algarismo das unidades. Vejamos como escolher os algarismos das dezenas e das centenas.
+
+$$
+4\left\{\begin{array}{l}
+56 \\
+57 \\
+58 \\
+59
+\end{array} \quad ; \quad 4\left\{\begin{array}{l}
+67 \\
+68 \\
+69
+\end{array} \quad ; \quad 4\left\{\begin{array}{l}
+78 \\
+79
+\end{array} \quad ; 4\{89\right.\right.\right.
+$$
+
+$$
+5\left\{\begin{array}{l}
+67 \\
+68 \\
+69
+\end{array} \quad ; \quad 5\left\{\begin{array}{l}
+78 \\
+79
+\end{array} \quad ; \quad 5\{89\right.\right.
+$$
+
+Logo, temos 10 números ascendentes com 4 como algarismo das centenas e 6 números ascendentes com 5 como algarismo das centenas; no total temos 16 números ascendentes.
+
+6. Muro colorido - Observamos que no momento que fixamos a cor de dois tijolos vizinhos, então a cor de todos os tijolos fica fixa. Assim, os tijolos
+
+| $\bar{E}$ |  | $\bar{A}$ |  | $\bar{C}$ |  |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| $A$ | $\dot{C}$ | 1 | $B$ |  | $\bar{A}$ |
+| $\vec{B}$ |  | $A$ |  | $\bar{C}$ |  |
+| $A$ | $C$ |  | $B$ |  | $A$ |
+
+marcados por $A, B$ ou $C$ na figura têm que ter a mesma cor.
+
+Como a maior quantidade de tijolos está marcada $\operatorname{com} A, 6$ no total, então tais tijolos são amarelos. Por outro lado, temos a mesma quantidade de tijolos
+$B$ e $C, 4$ de cada tipo, logo temos que pintar 4 tijolos de azul e 4 de vermelho. Assim, o menor preço na compra dos tijolos é
+
+$$
+6 \times 6+4 \times 7+4 \times 8=96 \text { reais. }
+$$
+
+7. Divisores e fatoração - Como o produto dos dois números é 96, eles são divisores de 96. Decompondo 96 em fatores primos, encontramos $96=2^{5} \times 3$, logo seus divisores são:
+
+$$
+1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96
+$$
+
+Os divisores 96, 48, 32, 24 e 16 não servem pois seus quadrados já são maiores do que 208. Sobram
+
+$$
+1,2,3,4,6,8,12
+$$
+
+cujos quadrados são:
+
+$$
+1,4,9,16,36,64,144
+$$
+
+Agora vemos que a única possibilidade é $64+144=208$. Como $8 \times 12=96$, os números são 8 e 12.
+
+8. Brincando com áreas - Faremos a divisão com retângulos. Observamos que $24=6 \times 4$ e $12=6 \times 2$, logo ele pode fazer um primeiro corte a $4 \mathrm{~cm}$ no lado de $10 \mathrm{~cm}$ e outro corte a $2 \mathrm{~cm}$ do corte anterior. Depois de tais cortes, ficamos uma cartolina de tamanho $6 \times 4$. Por último, como $16=4 \times 4$, basta fazer um último corte a $4 \mathrm{~cm}$ no lado de $6 \mathrm{~cm}$. Os cortes estão ilustrados na seguinte figura.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc51a5be9c4a524107d6g-5.jpg?height=357&width=560&top_left_y=2180&top_left_x=859)
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L2_N2.md

@@ -0,0 +1,180 @@
+# Lista 2 
+
+1. Expressão fracionária - Se $\frac{x}{y}=2$, então $\frac{x-y}{x}$ é igual a:
+(a) -1
+(b) $-\frac{1}{2}$
+(c) $\frac{1}{2}$
+(d) 1
+(e) 2
+2. Potências de 2 - Calcule:
+a) $1678^{2}-1677^{2}$
+b) $1001^{2}+1000^{2}$
+c) $19999^{2}$
+d) $2001^{2}+2002^{2}+2003^{2}$
+3. Um queijo triangular - Osvaldo comprou um queijo em forma de um triângulo equilátero. Ele quer dividir o queijo igualmente entre ele e seus quatro primos. Faça um desenho indicando como ele deve fazer essa divisão.
+4. Notas de Matemática - João e Cláudia receberam suas notas numa prova de matemática. A nota de João foi $\star$ e a de Cláudia $\star *$. Juntos eles obtiveram $* \square \boxplus$. Além disso, Cláudia obteve 13 pontos a mais que João. Qual a nota de cada um?
+5. Operação com raiz quadrada - O número
+
+$$
+A=(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-2) \sqrt{\sqrt{3}+2}
+$$
+
+é igual a:
+(a) $-\sqrt{3}$
+(b) $-\sqrt{2}$
+(c) -2
+(d) 1
+(d) 2
+
+6. O caminho da escola - Cátia sai da escola todos os dias no mesmo horário e volta para casa de bicicleta. Quando ela pedala a $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ela chega em
+casa às $4: 30$ horas da tarde. Se ela pedalar a $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ela chega em casa às $5: 15$ horas da tarde. A qual velocidade ela deve pedalar para chegar em casa às 5 : 00 horas da tarde?
+7. Distância na reta - Cinco pontos estão sobre uma mesma reta. Quando listamos as dez distâncias entre dois desses pontos, da menor para a maior, encontramos $2,4,5,7,8, k, 13,15,17,19$. Qual o valor de $k$ ?
+8. Número ímpar - Se $n$ é um número inteiro qualquer, qual das seguintes opções é um número ímpar?
+(a) $n^{2}-n+2$
+(b) $n^{2}+n+2$
+(c) $n^{2}+n+5$
+(d) $n^{2}+5$
+(e) $n^{3}+5$
+
+## Soluções da Lista 2
+
+## 1. Expressão fracionária -
+
+Solução 1: Temos:
+
+$$
+\frac{x-y}{x}=\frac{x}{x}-\frac{y}{x}=1-\frac{y}{x}
+$$
+
+Como $\frac{x}{y}=2$ temos que $\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$, assim
+
+$$
+\frac{x-y}{x}=\frac{x}{x}-\frac{y}{x}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
+$$
+
+A opção correta é (c).
+
+Solução 2: Se $\frac{x}{y}=2$, então $x=2 y$. Logo
+
+$$
+\frac{x-y}{x}=\frac{2 y-y}{2 y}=\frac{y}{2 y}=\frac{1}{2}
+$$
+
+2. Potências de 2 - Fatorando temos:
+
+$1678^{2}-1677^{2}=(1678+1677)(1678-1677)=3355$.
+
+(b) Como $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$, temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+1001^{2}+1000^{2} & =(1000+1)^{2}+1000^{2}=1000^{2}+2000+1+1000^{2}= \\
+& =2 \times 1000^{2}+2001=2002001
+\end{aligned}
+$$
+
+(c) Como $(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b-b^{2}$, temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+19999^{2} & =(20000-1)^{2}=\left(2 \times 10^{4}\right)^{2}-4 \times 10^{4}+1= \\
+& =4 \times 10^{8}-4 \times 10^{4}+1=399960001
+\end{aligned}
+$$
+
+(d) Colocando em função de 2000 temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+2001^{2}+2002^{2}+2003^{2} & =(2000+1)^{2}+(2000+2)^{2}+(2000+3)^{2}= \\
+& =3 \times 2000^{2}+12 \times 2000+14 \\
+& =12024014
+\end{aligned}
+$$
+
+3. Um queijo triangular - Para dividir o queijo em 5 partes iguais, é suficiente dividi-lo em $5 k$ partes iguais e dar $k$ partes a cada um. Uma forma de fazer essa partição, é mostrada na figura, onde o queijo foi partido em $25=5 \times 5$ triângulos.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2364a1ff751c3bd5ab7eg-4.jpg?height=563&width=645&top_left_y=741&top_left_x=817)
+
+4. Notas de Matemática - Temos que encontrar os valores dos símbolos na
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2364a1ff751c3bd5ab7eg-4.jpg?height=126&width=299&top_left_y=1659&top_left_x=433)
+
+As duas notas são números de dois algarismos e a soma tem três algarismos, logo a soma tem que ser maior do que 100 e menor do que 200, assim temos que $*=1$.
+
+Mas, Cláudia obteve 13 pontos mais do que João, assim $\frac{+13}{\star 1}$.
+
+Agora como a soma de $\star$ e 3 tem que terminar em 1 , temos que $\star=8$, e portanto =6. Assim as notas de Cláudia e João são, respectivamente, 81 e 68.
+
+5. Operação com raiz quadrada - (c) Como
+
+$$
+\begin{aligned}
+A^{2} & =[(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-2) \sqrt{\sqrt{3}+2}]^{2} \\
+& =(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}(\sqrt{3}-2)^{2}(\sqrt{\sqrt{3}+2})^{2} \\
+& =(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}(\sqrt{3}-2)^{2}(\sqrt{3}+2) \\
+& =(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}(\sqrt{3}-2)[(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)] \\
+& =(6+2 \sqrt{12}+2)(\sqrt{3}-2)\left((\sqrt{3})^{2}-2^{2}\right) \\
+& =(6+2 \sqrt{12}+2)(\sqrt{3}-2)(-1) \\
+& =(8+4 \sqrt{3})(2-\sqrt{3}) \\
+& =4(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) \\
+& =4\left(2^{2}-(\sqrt{3})^{2}\right)=4 \times 1=4
+\end{aligned}
+$$
+
+Assim $A^{2}=4$ e logo, $A$ pode ser 2 ou -2 . Como $\sqrt{3}-2$ é negativo, temos que $A$ tem que ser negativo, e portanto $A=-2$.
+
+6. O caminho da escola - Seja $t$ o tempo que ela gasta pedalando a $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Pedalando a $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ela faz o percurso no dôbro do tempo que pedalando a $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, isto é $2 t$. No entanto, como ela demora 45 minutos a mais temos:
+
+$$
+2 t-t=45 \Longrightarrow t=45 \mathrm{~min}
+$$
+
+Logo, diariamente ela sai da escola às $4: 30 h-45 \min =3: 15 h$, e o percurso até em casa é de $45 \mathrm{~min} \times 20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=\frac{3}{4} \times 20=15 \mathrm{~km}$. Para percorrer $15 \mathrm{~km}$ em $5: 00 h-3: 15 h=1: 45 h=\frac{5}{4} h$, ela deve manter uma velocidade de
+
+$$
+\frac{15 k m}{\frac{5}{4} h}=12 k m / h
+$$
+
+## 7. Distância na reta -
+
+Solução 1: - Essa solução é um pouco difícil de escrever porque é feita na base
+de "tentativa e erro". Começamos desenhando uma reta numérica e colocando os pontos 0 e 19. Como a primeira distância é 2 , marcamos nossos primeiros três pontos:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2364a1ff751c3bd5ab7eg-6.jpg?height=112&width=962&top_left_y=655&top_left_x=653)
+
+Como temos que ter uma distância 7, colocamos o ponto 7 na reta. Isso nos dá distâncias que não são incompatíveis com o problema:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2364a1ff751c3bd5ab7eg-6.jpg?height=103&width=1011&top_left_y=1045&top_left_x=631)
+
+As distâncias entre esses 4 pontos são: 2, 7, 19, 5, 17 e 12. Finalmente, colocando o ponto 15 na reta obtemos o seguinte:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2364a1ff751c3bd5ab7eg-6.jpg?height=126&width=1020&top_left_y=1425&top_left_x=629)
+
+Com esses pontos as distâncias são: $2,7,15,19,5,13,17,8,12,4$, que são compatíveis com os dados do problema. Logo, $k=12$.
+
+Note que temos também uma outra distribuição dos números, a saber:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2364a1ff751c3bd5ab7eg-6.jpg?height=123&width=1033&top_left_y=1903&top_left_x=617)
+
+Nessa distribuição também obtemos $k=12$.
+
+Solução 2: Como a maior distância é 19 podemos, supor que um ponto é o 0 e outro é 19.
+
+Se $a$ é um outro ponto, então na lista das distâncias temos os números: $a-0=$ $a$ e $19-a$. De fato, na lista aparecem os pares 2 e 17, assim podemos supor que o número 2 é outro ponto sobre a reta.
+
+Da mesma forma, como 4 e 15 estão na lista das distâncias, temos que 4 ou 15 é outro ponto na reta. Mas, 4 não pode ser um dos pontos porque a distância 2 não apareceu duas vezes. Logo, 15 é outro ponto na reta.
+
+Por último o quinto ponto tem que estar a uma distância 5 de um dos pontos e a 7 de outro, logo o ponto que falta é o ponto 7 e a distância desconhecida é $k=19-7=12$.
+
+## 8. Número ímpar - Lembremos que:
+
+- $n$ e $n^{2}$ têm a mesma paridade: $(\text { par })^{2}=$ par e (ímpar $)^{2}=$ ímpar;
+- a soma ou diferença de números de mesma paridade é um número par: (part par=par e ímpar $\pm$ ímpar=par).
+
+Solução 1: Observemos que $n^{2}+n$ e $n^{2}-n$ são soma e diferença de dois números que sempre têm a mesma paridade, logo estes números sempre serão pares. Portanto $n^{2}+n+5=\left(n^{2}+n\right)+5$ é soma de um par e um ímpar, logo sempre será ímpar para todo valor inteiro de $n$. A opção correta é (c).
+
+Solução 2: Observemos que $n^{2}+n=n(n+1)$ e $n^{2}-n=n(n-1)$ são produtos de dois números consecutivos, logo estes números são pares. Portanto, $n^{2}+$ $n+5=\left(n^{2}+n\right)+5$ é a soma de um par com um ímpar, assim este numero é ímpar para todo valor inteiro de $n$.
+
+Observemos que (a) e (b) são sempre números pares para qualquer valor de $n$, enquanto que (d) e (e) podem ser pares ou ímpares, dependendo se $n$ é ímpar ou par.
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L2_N3.md

@@ -0,0 +1,175 @@
+# Lista 2 
+
+1. O triângulo e o quadrado - Na figura $A B C D$ é um quadrado cujo lado mede $1 \mathrm{~cm}, E$ é o ponto médio da diagonal $B D$ e $F$ o ponto médio do segmento $B E$. Qual é a área do triângulo $\triangle B C F$ ?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_df4451ddcede6035446dg-1.jpg?height=323&width=328&top_left_y=535&top_left_x=1315)
+
+2. Uma refeição - Um sanduíche e um prato de refeição custam em média $R \$ 5,00$ e $R \$ 7,00$, respectivamente. De quantas maneiras pode-se comprar sanduíches e pratos de refei ção com $R \$ 90,00$, sem deixar troco?
+3. Plano Cartesiano - O ponto $P=(a, b)$ está marcado na figura ao lado. Marque os pontos:
+
+(a) $A=(a / 2, b+1)$
+
+(b) $B=(a-1, b / 2)$
+
+(c) $C=(-a,-b)$
+
+(d) $D=(1-a, b-1)$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_df4451ddcede6035446dg-1.jpg?height=577&width=603&top_left_y=1368&top_left_x=1115)
+
+4. Soma dos terminados em 9 - A soma $S_{n}=9+19+29+39+\cdots+a_{n}$ denota a soma dos primeiros $n$ números naturais terminados em 9. Qual é o menor valor de $n$ para que $S_{n}$ seja maior do que $10^{5}$ ?
+5. Três cilindros - Três cilindros têm alturas e raios das bases iguais a $10 \mathrm{~cm}$ $\times 10 \mathrm{~cm}, 10 \mathrm{~cm} \times 5 \mathrm{~cm}$ e $20 \mathrm{~cm} \times 5 \mathrm{~cm}$, e volumes $V_{1}, V_{2}$ e $V_{3}$, respectivamente.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_df4451ddcede6035446dg-2.jpg?height=538&width=644&top_left_y=390&top_left_x=817)
+
+(a) Escreva em ordem crescente os volumes $V_{1}, V_{2}$ e $V_{3}$ dos três cilindros.
+
+(b) Dê as dimensões de um cilindro $V_{4}$ cujo volume esteja entre $V_{2}$ e $V_{3}$.
+
+(c) Dê as dimensões de um cilindro $V_{5}$ cujo volume esteja entre $V_{1}$ e $V_{3}$.
+
+6. Percentagem de mortalidade - Se $15 \%$ dos membros de uma população afetados por uma doença $8 \%$ morreram, a percentagem da mortalidade em relação à população inteira é:
+(a) $1,2 \%$
+(b) $1,8 \%$
+(c) $8 \%$
+(d) $12 \%$
+(e) $23 \%$
+7. Agenda de aulas - Eliane quer escolher o seu horário para a natação. Ela quer ir a duas aulas por semana, uma de manhã e a outra de tarde, não sendo no mesmo dia nem em dias seguidos. De manhã, há aulas de natação de segunda-feira a sábado, às $9 h$, às $10 h$ e às $11 h$ e de tarde, de segunda-feira a sexta-feira, às $17 h$ e às $18 h$. De quantas maneiras distintas pode Eliane escolher o seu horário?
+8. Jogo de cartas - Um grupo de amigos disputa um jogo que consiste em mover sucessivamente a carta superior de uma pilha e colocá-la sobre uma
+outra pilha, até obter 4 novas pilhas que são da forma: na Pilha 1 só tem Áses, na Pilha 2 só tem Valetes, na Pilha 3 só tem Damas e na Pilha 4 só tem Reis. Ganha o jogo quem fizer o menor número de movimentos. Qual é o número de movimentos que será sempre o vencedor?
+
+| Pilha 1 | Pilha 2 | Pilha 3 | Pilha 4 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: |
+| Rei de $\odot$ | Dama de $\odot$ | Rei de $\square$ | Valete de |
+| Dama de $\square$ | Ás de $\square$ | Valete de $\odot$ | Rei de |
+| Valete de $\square$ | Ás de $\odot$ | Dama de | Ás de |
+| Ás de | Valete de | Dama de |  |
+
+## Soluções da Lista 2
+
+1. O triângulo e o quadrado - As diagonais do quadrado $A B C D$ dividem o quadrado em 4 triângulos iguais, logo a área do triângulo $\triangle B C E$ é
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_df4451ddcede6035446dg-4.jpg?height=317&width=328&top_left_y=544&top_left_x=1412)
+
+$$
+1 \div 4=0,25 \mathrm{~cm}^{2}
+$$
+
+Como o comprimento de $B F$ é a metade de $B E$ e a altura relativa aos lados $B F$ e $B E$ é $C E$, então a área do triângulo $\triangle C B F$ é a metade da área do triângulo $\triangle C B E$. Assim, a área de dito triângulo é $0,25 \div 2=0,125 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+2. Uma refeição - Se $S$ corresponde ao n úmero de sanduíches e $P$ o número de pratos de refeição, então $5 S+7 P=90$. Precisamos encontrar soluções inteiras $P$ e $Q$ para essa equação. Temos:
+
+$$
+5 S+7 P=90 \Longrightarrow P=\frac{90-5 S}{7}=5 \times \frac{18-S}{7}
+$$
+
+Como $P$ é um número natural temos que 7 tem que dividir $18-S$, assim $S=4$, 11 ou 18 , e em cada um destes casos $P$ é igual a 10, 5 e 0 , respectivamente. Portanto, temos somente três formas de fazer a compra.
+
+3. Plano Cartesiano - As coordenadas do ponto $P$ satisfazem:
+
+$$
+0<a<1
+$$
+
+e
+
+$$
+1<b<2
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_df4451ddcede6035446dg-4.jpg?height=494&width=531&top_left_y=2032&top_left_x=1439)
+
+Lembremos três propriedades de desigualdades:
+(i) Uma desigualdade não se altera se somarmos (ou subtrairmos) um mesmo número a ambos os seus membros: $x<y \Longrightarrow x+z<y+z$.
+
+(ii) Uma desigualdade não se altera se multiplicarmos por um número positivo ambos os seus membros: $x<y \Longrightarrow x z<y z, \quad z>0$.
+
+(iii) Uma desigualdade inverte o seu sentido se multiplicarmos por um número negativo ambos os seus membros: $x<y \Longrightarrow x z>y z, \quad z<0$.
+
+Assim temos:
+
+(a) $0<a / 2<1 / 2$ e $1+1<b+1<2+1$;
+
+(b) $-1<a-1<0$ e $1 / 2<b / 2<1$;
+
+(c) $-1<-a<0$ e $-2<-b<-1$;
+
+(d) $0<1-a<1$ e $0<b-1<1$.
+
+A figura mostra os pontos no Plano Cartesiano.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_df4451ddcede6035446dg-5.jpg?height=580&width=620&top_left_y=1600&top_left_x=775)
+
+4. Soma dos terminados em 9 - Note que $S_{n}$ é a soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é $a_{1}=9$ e a razão
+é $r=10$. Substituindo esses dados na fórmula $a_{n}=a_{1}+(n-1) r$ obtemos $a_{n}=9+10(n-1)$. Por outro lado, note que:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 9=9+0 \cdot 10 \\
+& 19=9+1 \cdot 10 \\
+& 29=9+2 \cdot 10 \\
+& 39=9+3 \cdot 10 \\
+& \ldots \\
+& a_{n}=9+(n-1) \cdot 10
+\end{aligned}
+$$
+
+Então temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+S_{n} & =9+19+29+\cdots+a_{n} \\
+& =(9+0)+(9+10)+(9+2 \cdot 10)+\cdots+[9+(n-1) \cdot 10] \\
+& =9 n+[1 \cdot 10+2 \cdot 10+3 \cdot 10+\cdots+(n-1) \cdot 10] \\
+& =9 n+[1+2+3+\cdots+(n-1)] \cdot 10 \\
+& =9 n+\frac{n(n-1)}{2} \cdot 10 \\
+& =9 n+5 \cdot n(n-1) \\
+& =5 n^{2}+4 n
+\end{aligned}
+$$
+
+Como queremos que $S_{n} \geq 10^{5}$ então precisamos encontrar o menor valor inteiro positivo $n$ tal que $5 n^{2}+4 n \geq 10^{5}$, ou equivalentemente, $5 n^{2}+4 n-10^{5} \geq 0$. Resolvendo a equação $5 x^{2}+4 x-10^{5}=0$ temos que
+
+$$
+x=\frac{-4 \pm \sqrt{16+20 \cdot 10^{5}}}{10}
+$$
+
+A raiz positiva é $x_{1}=\frac{-4+\sqrt{16+20 \cdot 10^{5}}}{10} \simeq 141,02$.
+
+Mas, $5 x^{2}+4 x-10^{5}$ é positiva fora das raízes. Como estamos procurando o menor número positivo e inteiro tal que $5 x^{2}+4 x-10^{5} \geq 0$, então $n=142$.
+
+## 5. Três cilindros -
+
+(a) Dado que o volume de um cilindro de raio $R$ e altura $h$ é $\pi R^{2} h$ temos que os volumes $V_{1}, V_{2}$ e $V_{3}$ são:
+
+$V_{1}=\pi \times 10^{3}=1000 \pi, V_{2}=\pi \times 5^{2} \times 10=250 \pi, \quad V_{3}=\pi \times 5^{2} \times 20=500 \pi$
+
+Assim, temos então que $V_{1}>V_{3}>V_{2}$.
+
+(b) Como os dois cilindros têm o mesmo raio, basta manter o raio do cilindro com $5 \mathrm{~cm}$ e a altura entre $10 \mathrm{~cm}$ e $20 \mathrm{~cm}$, por exemplo: $h=15 \mathrm{~cm}$. Neste caso, o volume $V_{4}$ é: $\pi \times 5^{2} \times 15=375 \pi \mathrm{cm}^{3}$.
+
+(c) Para construir um cilindro de volume $V_{5}$ entre $V_{1}$ e $V_{3}$, podemos diminuir o raio do cilindro de volume $V_{5}$ para $8 \mathrm{~cm}$ e tomar como altura $10 \mathrm{~cm}$, a menor das duas alturas, obtendo um cilindro de volume $\pi \times 8^{2} \times 10=640 \pi \mathrm{cm}^{3}$.
+
+6. Percentagem de mortalidade - A proporção de população que fica doente pela enfermidade é $\frac{15}{100}$ e dos que ficam doentes, a proporção que morre é $\frac{8}{100}$. Logo, a proporção de população que morre pela doença é $\frac{15}{100} \times \frac{8}{100}$, que corresponde a
+
+$$
+\frac{15 \times 8}{100^{2}}=\frac{120}{10000}=\frac{12}{1000}=\frac{1,2}{100}=1,2 \%
+$$
+
+A opção correta é (a).
+
+7. Agenda de aulas - Se a aula da manhã é segunda ou sexta (em qualquer dos três horários), então o dia da aula de tarde pode ser escolhida de 3 formas diferentes (em qualquer dos dois horários), assim temos $2 \times 3 \times 3 \times 2=36$ formas diferentes de escolher o horário. No caso em que a aula de manhã seja sábado então o dia da aula da tarde pode ser qualquer dia de segunda a quinta, assim temos $3 \times 4 \times 2=24$ possíveis formas. Por último, se a aula da manhã
+é terça, quarta ou quinta, então a aula da tarde só pode ser escolhida de duas formas, assim temos $3 \times 3 \times 2 \times 2=36$ formas. Logo a Eliana pode escolher seu horário de $36+24+36=96$ formas distintas.
+8. Jogo de Cartas - A estratégia abaixo permite realizar o jogo com 17 movimentos.
+
+O primeiro número indica a pilha sobre a qual a carta é tomada e o segundo a pilha onde a carta é colocada, por exemplo: Movimento $1=$ pegar a carta superior na Pilha 4 e colocar na Pilha 2.
+
+| $(1) 4$ sobre 2 | $(2) 4$ sobre 3 | $(3) 4$ sobre 2 | $(4) 3$ sobre 4 | $(5) 3$ sobre 4 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| $(6) 1$ sobre 4 | $(7) 3$ sobre 4 | $(8) 1$ sobre 3 | $(9) 1$ sobre 4 | $(10) 2$ sobre 1 |
+| $(11) 2$ sobre 4 | $(12) 2$ sobre 3 | $(13) 2$ sobre 1 | $(14) 2$ sobre 1 | $(15) 4$ sobre 2 |
+| $(16) 4$ sobre 2 | $(17) 4$ sobre 2 |  |  |  |
+
+O movimento 2 poderia ser também 4 sobre 1, o movimento 4 poderia ser 1 sobre 4 , o movimento 5 poderia ser 1 sobre 4 , o movimento 6 poderia ser 3 sobre 4. Os movimentos 4, 5 e 6 poderiam ser permutados em qualquer ordem. Teríamos assim, pelo menos, seis maneiras de se realizar o jogo com 17 movimentos.
+
+Esse jogo pode ser realizado com um número menor de movimentos?
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L3_N1.md

@@ -0,0 +1,108 @@
+# Lista 3 
+
+1. Comparação de números - Escreva em ordem crescente os números: $\sqrt{121}$, $\sqrt[3]{729}$ e $\sqrt[4]{38416}$.
+2. As moedas - Uma brincadeira começa com 7 moedas alinhadas em cima de uma mesa, todas com a face coroa virada para cima. Para ganhar a brincadeira é preciso virar algumas moedas de modo que no final duas moedas vizinhas estejam sempre com faces diferentes viradas para cima. A regra da brincadeira é: em cada jogada tem-se que virar duas moedas vizinhas. Quantas jogadas, no mínimo, são necessárias para ganhar a brincadeira?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_04afcf84596e2b884570g-1.jpg?height=128&width=843&top_left_y=1318&top_left_x=618)
+
+3. O preço do frango - O preço do quilo de frango era $R \$ 1,00$ em janeiro de 2000 e começou a triplicar a cada 6 meses. Quando ele atingirá $R \$ 81,00$ ?
+(a) 1 ano
+(b) 2 anos
+(c) $21 / 2$ anos
+(d) 13 anos
+(e) $131 / 2$ anos
+4. Excursões a Foz do Iguaçu - Em 2005, uma agência de turismo programou uma excursão para a Foz do Iguaçu, distribuindo as pessoas em ônibus de 27 lugares, tendo sido necessário formar um ônibus incompleto com 19 lugares. Em 2006, aumentou em 53 o número de participantes e continuou a utilizar ônibus de 27 de lugares. Quantos ônibus a mais foram necessários e quantas pessoas ficaram no ônibus incompleto em 2006?
+5. As frações de Laura - Laura desenhou 5 círculos dentro dos quais ela quer colocar números. Ela coloca os círculos afim de formar uma fração e seu valor inteiro.
+
+De quantas maneiras Laura colocou os números 2, 3,5,6 e 11 dentro dos círculos para que a igualdade seja verdadeira?
+
+6. Cálculo da unidade - Qual é o algarismo da unidade do produto
+
+$$
+(5+1)\left(5^{3}+1\right)\left(5^{6}+1\right)\left(5^{12}+1\right) ?
+$$
+
+(a) 0
+(b) 1
+(c) 2
+(d) 5
+(e) 6
+
+7. Números cruzados - Francisco escreveu 28 algarismos numa tabela $6 \times 6$ e pintou de preto algumas casas, como nas palavras cruzadas. Ele fez uma lista de todos os números que podem ser lidos horizontalmente ou verticalmente, excluindo os números de um só algarismo. Veja a lista:
+
+| 28 | 45 | 51 | 57 | 72 | 88 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 175 | 289 | 632 | 746 | 752 | 805 |
+| 885 | 5647 | 5873 | 7592 | 8764 |  |
+
+Preencha a tabela escrevendo os números dados. Um algarismo já foi colocado.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_04afcf84596e2b884570g-2.jpg?height=329&width=331&top_left_y=2234&top_left_x=971)
+
+8. Ovos e maçãs - Num armazém, uma dúzia de ovos e 10 maçãs tinham o mesmo preço. Depois de uma semana, o preço dos ovos caiu $10 \%$ e o da maçã subiu $2 \%$. Quanto se gastará a mais na compra de uma dúzia de ovos e 10 maçãs?
+(a) $2 \%$
+(b) $4 \%$
+(c) $10 \%$
+(d) $12 \%$
+(e) $12,2 \%$
+
+## Soluções da Lista 3
+
+1. Comparação de números - Fatorando os números e extraindo as raízes temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& \sqrt{121}=\sqrt{11^{2}}=11 \\
+& \sqrt[3]{729}=\sqrt[3]{9^{3}}=9 \\
+& \sqrt[4]{38416}=\sqrt[4]{2^{4} \times 7^{4}}=2 \times 7=14
+\end{aligned}
+$$
+
+Logo, em ordem crescente temos: $\sqrt[3]{729}, \sqrt{121}, \sqrt[4]{38416}$.
+
+2. As moedas - Se damos o valor de 1 às coroas e -1 às caras e somamos os resultados depois de cada jogada, inicialmente a brincadeira começa com 7 como soma e temos que chegar a cara e coroa alternadas, logo a brincadeira termina em 1 ou -1. Observamos que em cada passo da brincadeira temos as seguintes possibilidades: trocamos duas coroas por duas caras e o valor da soma diminui em 4; trocamos uma cara e uma coroa por uma coroa e uma cara e o valor da soma fica inalterado ou trocamos duas caras por duas coroas e o valor da soma aumenta em 4. Portanto, é impossível de 7 como soma inicial chegar a 1, mas é possível chegar a -1 , isto é, 4 caras e 3 coroas. Como precisamos obter 4 caras não consecutivas, então precisamos de pelo menos 4 jogadas. As 4 jogadas se ilustram no seguinte desenho:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_04afcf84596e2b884570g-4.jpg?height=622&width=808&top_left_y=1962&top_left_x=701)
+
+3. O preço do frango - Como $81=3^{4}$, então o valor do franco triplicou 4 vezes, o número de meses transcorridos foi $4 \times 6=24$ meses, isto é, 2 anos, ou seja, em janeiro de 2002 o frango atingirá o preço proposto. A opção correta é (b).
+4. Excursões a Foz do Iguaçu - Temos um ônibus com $27-19=8$ lugares livres e ainda precisamos acomodar os $53-8=45$ participantes em ônibus de 27 lugares. É claro que um ônibus não é suficiente, logo precisamos de 2 ônibus e vamos ter $2 \times 27-45=9$ lugares livres no último ônibus. Ficaram 18 pessoas no ônibus incompleto.
+5. As frações de Laura - Como a fração é igual a um número inteiro, o seu numerador tem que ser um múltiplo do seu denominador. Vamos testar todas as possibilidades e escolher as que satisfazem as condições do problema:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& \frac{3+5+6}{2}=7 ; \frac{3+11+6}{2}=10 ; \frac{5+11+6}{2}=11 \longrightarrow \text { não satisfazem } \\
+& \frac{2+5+11}{3}=6 \quad \longrightarrow \quad \text { satisfaz } \\
+& \frac{3+6+11}{5}=4 \quad \longrightarrow \quad \text { não satisfaz } \\
+& \frac{2+5+11}{6}=3 \quad \longrightarrow \quad \text { satisfaz } \\
+& \frac{2+3+6}{11}=1 \quad \longrightarrow \quad \text { não satisfaz. }
+\end{aligned}
+$$
+
+Assim temos duas respostas:
+
+$$
+\frac{(2)+(5)+(11)}{(3}=6 \quad \frac{(2)+(5)+(11)}{6}=(3
+$$
+
+6. Cálculo da unidade - O algarismo da unidade de qualquer potência de 5 é 5 , segue que o algarismo da unidade de cada fator do produto é $5+1=6$. Mas, $6 \times 6=36$, ou seja, o produto de dois números terminados em 6 é também um número que termina em 6. Logo, o algarismo da unidade desse produto é 6. A opção correta é (e).
+
+## 7. Números cruzados -
+
+| 5 | 2 |  |  |  |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 8 | 8 | 5 重 |  |  |
+| 5 7 | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_04afcf84596e2b884570g-6.jpg?height=56&width=73&top_left_y=1223&top_left_x=1067) | 1 |  | 5 |
+| 6 3 | 2 |  |  |  |
+| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_04afcf84596e2b884570g-6.jpg?height=65&width=92&top_left_y=1328&top_left_x=985) | 8 | 7 |  | 4 |
+| 7 5 | 9 |  |  |  |
+
+8. Ovos e maçãs - Suponhamos, inicialmente, que uma dúzia de ovos custava $R \$ 1,00$. Assim, 10 maçãs também custavam $R \$ 1,00$. Como o preço dos ovos subiu $10 \%$, o novo valor dos ovos é $R \$ 1,10$. O preço das maçãs diminuiu $2 \%$, logo o novo preço das maçãs é $R \$ 0,98$.
+
+Assim, antes gastava-se 2 reais na compra de 1 dúzia de ovos e 10 maçãs, agora gasta-se $1,10+0,98=2,08$. Daí temos que o aumento foi de $R \$ 0,08$, que corresponde ao percentual:
+
+$$
+\frac{0,08}{2}=0,04=\frac{4}{100}=4 \%
+$$
+
+A opção correta é (b).
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L3_N2.md

@@ -0,0 +1,174 @@
+# Lista 3 
+
+1. Quatro números inteiros - Se quatro inteiros positivos distintos $m, n, p$ e $q$ satisfazem a equação
+
+$$
+(7-m)(7-n)(7-p)(7-q)=4
+$$
+
+então a soma $m+n+p+q$ é igual a:
+(a) 10
+(b) 21
+(c) 24
+(d) 26
+(e) 28
+
+2. As páginas do dicionário - Para numerar as páginas de um dicionário, imprimiu-se 1988 vezes o algarismo 1. Quantas páginas tem esse dicionário?
+3. Soma de potências de 2 - Determine um valor de $n$ para o qual o numero $2^{8}+2^{11}+2^{n}$ seja um quadrado perfeito.
+4. Reverso de um número - O reverso de um número inteiro de dois algarismos é o número que se obtém invertendo a ordem de seus algarismos. Por exemplo, 34 é o reverso de 43. Quantos números existem que somados ao seu reverso dão um quadrado perfeito?
+5. Ângulos externos de um triângulo - Dados os ângulos de $150^{\circ}$ e $160^{\circ}$, indicados na figura, calcule os valores dos ângulos $x, y$ e $z$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_295f60edfddf0933da33g-1.jpg?height=540&width=665&top_left_y=1829&top_left_x=1138)
+
+6. Uma brincadeira - É feita uma brincadeira com quatro números inteiros da seguinte maneira: some três desses números, divida essa soma por 3 e o
+resultado some com o quarto número. Existem quatro formas de fazer esta brincadeira, obtendo os seguintes resultados: 17, 21, 23 e 29. Qual é o maior dos quatro números?
+7. Ovos e maçãs - Num armazém, uma dúzia de ovos e 10 maçãs tinham o mesmo preço. Depois de uma semana, o preço dos ovos caiu $2 \%$ e o da maçã subiu 10\%. Quanto se gastará a mais na compra de uma dúzia de ovos e 10 maças?
+(a) $2 \%$
+(b) $4 \%$
+(c) $10 \%$
+(d) $12 \%$
+(e) $12,2 \%$
+8. Dividir um cubo - Se dividirmos um cubo de $1 \mathrm{~m}$ de aresta em cubinhos de $1 \mathrm{~mm}$ de aresta, que altura terá uma coluna formada por todos os cubinhos, dispostos sucessivamente um em cima do outro?
+(a) $1 \mathrm{~m}$
+(b) $1 \mathrm{~km}$
+(c) $10 \mathrm{~km}$
+(d) $100 \mathrm{~km}$
+(e) $1000 \mathrm{~km}$
+
+## Soluções da Lista 3
+
+1. Quatro números inteiros - Como $m, n, p$ e $q$ são inteiros, então $7-m$, $7-n, 7-p$ e $7-q$ também são inteiros. Agora,
+
+$$
+4=(-1) \times(-2) \times 1 \times 2
+$$
+
+é a única decomposição de 4 em um produto de números inteiros distintos. Segue que
+
+$$
+(7-m)+(7-n)+(7-p)+(7-q)=(-1)+(-2)+1+2
+$$
+
+e daí obtemos $m+n+p+q=28$. A opção correta é (e).
+
+## 2. As páginas do dicionário - Observemos que:
+
+- a cada 10 números imprime-se 1 vez o 1 nas unidades,
+- a cada 100 números imprime-se 10 vezes o 1 nas dezenas,
+- a cada 1000 números imprime-se 100 vezes o 1 nas centenas.
+
+Assim, de 1 até 999 imprime-se o número 1:
+
+100 vezes nas unidades +100 nas dezenas +100 nas centenas $=300$.
+
+De 1000 até 1999, imprime-se o numero 1 outras 300 vezes entre as unidades, dezenas e centenas, e 1000 vezes na posição dos milhares, portanto entre 1 e 1999 o numero de vezes que imprime-se o 1 é: $300+300+1000=1600$.
+
+Agora entre 2000 e 2999 imprime-se o 1 mais 300 vezes, completando $1600+$ $300=1900$.
+
+De 3000 a 3099 temos 20 algarismos 1, de 3100 a 3119, temos 40 algarismos 1 e de 3120 a 3139 temos 22 algarismos, portanto até 3139 o numero de vezes que imprime-se o 1 é: $1900+20+40+22=1982$ vezes. Como faltam 6 algarismos 1, o número de páginas do livro é 3144.
+
+3. Soma de potências de 2 - Observe que
+
+$$
+2^{8}+2^{11}+2^{n}=\left(2^{4}\right)^{2}+2 \times 2^{4} \times 2^{6}+\left(2^{\frac{n}{2}}\right)^{2}
+$$
+
+Logo, se $n=12$, temos
+
+$$
+2^{8}+2^{11}+2^{12}=\left(2^{4}+2^{6}\right)^{2}
+$$
+
+Logo $n=12$ é uma solução.
+
+Solução Geral: $\operatorname{Se} 2^{8}+2^{11}+2^{n}=k^{2}$, então:
+
+$$
+\begin{aligned}
+2^{8}+2^{3} \times 2^{8}+2^{n} & =k^{2} \\
+9 \times 2^{8}+2^{n} & =k^{2} \\
+2^{n} & =k^{2}-\left(3 \times 2^{4}\right)^{2} \\
+2^{n} & =\left(k-3 \times 2^{4}\right)\left(k+3 \times 2^{4}\right)
+\end{aligned}
+$$
+
+Logo, $\left(k-3 \times 2^{4}\right)$ e $\left(k+3 \times 2^{4}\right)$ são potências de 2 , ou seja:
+
+$$
+k+3 \times 2^{4}=2^{a}, k-3 \times 2^{4}=2^{b} \text { e } a+b=n
+$$
+
+Temos:
+
+$$
+2^{a}-2^{b}=\left(k+3 \times 2^{4}\right)-\left(k-3 \times 2^{4}\right)=3 \times 2^{5}=96
+$$
+
+Examinemos a lista das potências de 2:
+
+$$
+1,4,8,16,32,64,128,256, \cdots
+$$
+
+Constatamos que $128-32=96$. Logo, $a=7, b=5$ e $n=12$.
+
+4. Reverso de um número - Denotemos por $a b \mathrm{e}$ ba o número e seu reverso. Temos que
+
+$$
+a b+b a=10 a+b+10 b+a=11(a+b)
+$$
+
+Por outro lado, $a \leq 9$ e $b \leq 9$, logo, $a+b \leq 18$. Como 11 é um número primo e $a+b \leq 18$, para que $11(a+b)$ seja um quadrado perfeito, só podemos ter $a+b=11$.
+
+Assim, temos 8 números satisfazendo a condição do
+
+Lembrete: números de dois algarismos onde $a$ é o algarismos das dezenas e $b$ o das unidades são da forma
+
+$10 \times a+b$.
+
+Ex: $47=4 \times 10+7$
+
+problema: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 e 92.
+
+5. Ângulos externos de um triângulo - Observemos que os ângulos $y, 150^{\circ}$ e $160^{\circ}$ são ângulos externos de um triângulo, logo
+
+$$
+y+150^{\circ}+160^{\circ}=360^{\circ}
+$$
+
+Assim $y=50^{\circ}$. Pela mesma razão concluímos que $z=50^{\circ}$. Como $x, y$ e $z$ são ângulos internos de um triângulo então $x+y+z=180^{\circ}$, portanto $x=80^{\circ}$.
+
+6. Uma brincadeira - Sejam $a, b, c$ e $d$ os números procurados. São dados os números
+
+$$
+\frac{a+b+c}{3}+d, \frac{a+b+d}{3}+c, \frac{a+c+d}{3}+b \mathrm{e} \frac{b+c+d}{3}+a
+$$
+
+mas não sabemos a ordem deles. Como
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{a+b+c}{3}+d+\frac{a+b+d}{3}+c+\frac{a+c+d}{3}+b+\frac{b+c+d}{3}+a & =2(a+b+c+d) \\
+& =17+21+23+29
+\end{aligned}
+$$
+
+Logo,
+
+$$
+2(a+b+c+d)=90 \Longrightarrow a+b+c+d=45
+$$
+
+Agora, seja $d$ o maior dentre os números $a . b, c$ e $d$. Assim,
+
+$$
+d=29-\frac{a+b+c}{3}=29-\frac{45-d}{3} \Longrightarrow d=21
+$$
+
+7. Ovos e maçãs - Podemos supor que o preço inicial de uma dúzia de ovos é $R \$ 1,00$, assim 10 maças também custa $R \$ 1,00$. Como o preço do ovo caiu $2 \%$, então o novo valor de uma dúzia de ovos é $R \$ 0,98$. O preço das maças subiu $10 \%$, logo o novo preço das 10 maças é $R \$ 1,10$. Assim antes gastava-se $R \$ 2,00$ na compra dos ovos e das maças e agora gasta-se $0,98+1,10=2,08$ reais. Logo, o aumento foi de $R \$ 0,08$, que corresponde a $\frac{0,08}{2} \times 100 \%=4 \%$. A opção correta é (b).
+8. Dividir um cubo - Convertendo metros em milímetros temos: $1 \mathrm{~m}=$ $1000 \mathrm{~mm}$. Assim, o cubo ficou dividido em $1000 \times 1000=10^{6}$ cubinhos de lado $1 \mathrm{~mm}$ cada um. Colocando-se lado a lado os $10^{6}$ cubinhos, teremos uma coluna de comprimento
+
+$$
+1000 \times 1000=10^{6} \mathrm{~mm}=10^{6} \times 10^{-3} \mathrm{~m}=10^{3} \mathrm{~m}=1 \mathrm{~km}
+$$
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L3_N3.md

@@ -0,0 +1,158 @@
+# Lista 3 
+
+1. Frações inteiras - Quantos números inteiros positivos $n$ existem tais que $\frac{2 n^{2}+4 n+18}{3 n+3}$ é um inteiro?
+2. Quatro prefeitos e um círculo - Quatro prefeitos decidem construir uma rodovia circular que passe em suas cidades, entretanto, as quatro cidades não estão sobre um mesmo círculo. Eles contratam uma empresa para elaborar um projeto para a construção da rodovia circular eqüidistante das quatro cidades. Qual o maior número de projetos geograficamente distintos que a empresa elaborou?
+3. Fatoriais - Se $n$ é um número natural, denotamos por $n$ ! o produto de todos os inteiros de 1 a $n$. Por exemplo: $5!=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5$ e 13 ! $=$ $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \ldots \times 12 \times 13$. Por convenção, $0!=1$. Encontre três números inteiros diferentes $a, b$ e $c$, entre 0 e 9 tais que o número de tr ês algarismos $a b c$ é igual a $a!+b!+c!$.
+4. Para a escola de bicicleta - Cátia sai da escola todos os dias no mesmo horário e volta para casa de bicicleta. Quando ela pedala a $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ela chega em casa às $4: 30$ horas da tarde. Se ela pedalar a $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ela chega em casa às 5 : 15 horas da tarde. A qual velocidade ela deve pedalar para chegar em casa às $17: 00$ horas?
+5. O Riquinho - Riquinho distribuiu $R \$ 1000,00$ reais entre os seus amigos: Antônio, Bernardo e Carlos da seguinte maneira: deu, sucessivamente, 1 real
+ao Antônio, 2 reais ao Bernardo, 3 reais ao Carlos, 4 reais ao Antônio, 5 reais ao Bernardo, etc. Quanto que o Bernardo recebeu?
+6. Retângulo com dimensões inteiras - As diagonais de um retângulo medem $\sqrt{1993} \mathrm{~cm}$. Quais são suas dimensões, sabendo que elas são números inteiros?
+7. Múltiplos de 3 e quadrados perfeitos - Escreve-se em ordem crescente cada múltiplo de 3 cuja soma com o número 1 é um quadrado perfeito:
+
+$$
+3 ; \quad 15 ; \quad 24 ; 48 ; \quad \ldots
+$$
+
+Qual é o múltiplo na posição $2006^{\circ}$ ?
+
+8. Cinco cartas - As cinco cartas abaixo estão sobre uma mesa, e cada uma tem um número numa face e uma letra na outra. Simone deve decidir se a seguinte frase é verdadeira: "Se uma carta tem uma vogal numa face, então ela tem um número par na outra." Qual o menor número de cartas que ela precisa virar para decidir corretamente?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ca9dad428f17f021dd49g-2.jpg?height=172&width=708&top_left_y=1987&top_left_x=794)
+
+## Soluções da Lista 3
+
+1. Frações inteiras - Como
+
+$$
+\frac{2 n^{2}+4 n+18}{3 n+3}=\frac{2}{3} \frac{\left(n^{2}+2 n+1\right)+8}{n+1}=\frac{1}{3}\left(2 n+2+\frac{16}{n+1}\right)
+$$
+
+segue que $n+1$ tem que dividir 16. Assim, $n$ tem que pertencer ao conjunto $\{1,3,7,15\}$. Em cada um destes casos temos
+
+| $n$ | $\frac{2 n^{2}+4 n+18}{3 n+3}$ |
+| :---: | :---: |
+| 1 | 4 |
+| 3 | 4 |
+| 7 | 6 |
+| 15 | 11 |
+
+Portanto para os quatro valores de $n, 1,3,7$ e 11 , tem- se que $\frac{2 n^{2}+4 n+18}{3 n+3}$ é um inteiro.
+
+2. Os prefeitos e o círculo - O número de rodovias é igual ao número de pontos que podem ser centros da circunferência formada pelas rodovias.
+
+Observemos por outra parte que podemos ter dois tipos de configuração. $\mathrm{Na}$ primeira configuração a circunferência divide o conjunto das 4 cidades em dois conjuntos: um conjunto com 3 cidades e outro com una cidade. Na segunda configuração a circunferência divide o conjunto das cidades, em dois conjuntos, cada um deles com 2 cidades.
+
+Nas figuras abaixo está ilustrado um exemplo de cada um destas configurações onde a circunferência contínua é a rodovia planejada.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ca9dad428f17f021dd49g-4.jpg?height=436&width=898&top_left_y=372&top_left_x=680)
+
+Na primeira configuração temos que o centro da circunferência está na mesma distância das três cidades que ficam do mesmo lado da rodovia e assim o centro desta rodovia é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo formado pelas três cidades. Logo, o número de rodovias é igual ao número de triângulos que podemos formar com as 4 cidades, isto é, 4 possíveis rodovias.
+
+Na segunda configuração, temos que o centro da circunferência formada pela rodovia esta sobre a mediatriz das duas cidades que ficam na parte interna da rodovia e também sobre a mediatriz das duas cidades que ficam na parte externa da rodovia. Assim, o número de rodovias é igual ao número de formas de dividir o conjunto de 4 elementos em dois conjuntos com 2 elementos cada um, isto é 3 formas.
+
+Logo o número possível de projetos é $4+3=7$.
+
+3. Fatoriais - Primeiramente observe que como o n úmero tem 3 algarismos, então o maior dos algarismos tem que ser menor que ou igual a 6 , já que $7!>1000$. Como o número tem que ter 3 algarismos e $4!=1 \times 2 \times 3 \times 4=12$ então um dos algarismos tem que ser 5 ou 6 , mas $6!=720$ implicaria que a soma teria um algarismo maior ou igual a 7 , logo o maior dos algarismos é 5 . Por outra parte, $5!=120$ e $5!+4!+3!=120+24+6=150$, assim a soma dos fatoriais está entre 100 e 150, portanto o algarismo das centenas é 1 . Por último como $5!+1!+4!=145$, então 145 é solução.
+4. Para a escola de bicicleta - Seja $t$ o tempo que ela gasta pedalando a $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Pedalando a $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ela faz o percurso no dobro do tempo que pedalando a $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, isto é $2 t$. No entanto, como ela demora 45 minutos a mais temos:
+
+$$
+2 t-t=45 \Longrightarrow t=45 \mathrm{~min}
+$$
+
+Logo, diariamente ela sai da escola às
+
+$$
+4: 30 h-45 \min =3: 45 h
+$$
+
+e o percurso até em casa é de
+
+$$
+45 \mathrm{~min} \times 20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=\frac{3}{4} \times 20=15 \mathrm{~km}
+$$
+
+Para percorrer $15 k m$ em $5: 00 h-3: 45 h=1: 15 h=\frac{5}{4} h$, ela deve manter uma velocidade de
+
+$$
+\frac{15 k m}{\frac{5}{4} h}=12 k m / h
+$$
+
+5. O Riquinho - O dinheiro foi repartido em parcelas na forma
+
+$$
+1+2+3+\cdots+n \leq 1000
+$$
+
+Como $1+2+3+\cdots+n$ é a soma $S_{n}$ dos $n$ primeiros números naturais a partir de $a_{1}=1$ temos:
+
+$$
+S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right) n}{2}=\frac{(1+n) n}{2} \leq 1000 \Longrightarrow n^{2}+n-2000 \leq 0
+$$
+
+Temos que
+
+$$
+n^{2}+n-2000<0 \quad \text { para valores de } n \text { entre as raízes }
+$$
+
+Como a solução positiva de $n^{2}+n-2000=0$ é
+
+$$
+n=\frac{-1+\sqrt{1+8000}}{2} \simeq 44,22
+$$
+
+então $n \leq 44$. Assim Bernardo recebeu
+
+$$
+2+5+8+11+\cdots+44=\frac{(44+2) \cdot 15}{2}=23 \cdot 15=345
+$$
+
+6. Retângulo com dimensões inteiras - Se $a \geq b$ são os comprimentos dos lados do retângulo, então pelo teorema de Pitágoras temos
+
+$$
+a^{2}+b^{2}=1993
+$$
+
+Como $a^{2} \geq b^{2}$, segue que
+
+$$
+2 a^{2} \geq a^{2}+b^{2}=1993>a^{2}
+$$
+
+Logo,
+
+$$
+\sqrt{1993}>a \geq \sqrt{996,5}
+$$
+
+Assim, $44 \geq a \geq 32$. Usando o fato que $a^{2}-(a-1)^{2}=2 a-1$ podemos completar a seguinte tabela, somando aos elementos da segunda coluna na linha $a-1$ o número $2 a-1$ para obter o elemento da segunda coluna na linha $a$.
+
+| $a$ | $b^{2}=1993-a^{2}$ |
+| :---: | :---: |
+| 44 | 57 |
+| 43 | 144 |
+| 42 | 229 |
+| $\vdots$ | $\vdots$ |
+
+Assim, temos que $a=43$ e $b=12$ é solução.
+
+7. Múltiplos de 3 e quadrados perfeitos - Chamemos $a$ um número qualquer da lista, então sabemos que:
+
+- $a$ é múltiplo de 3
+- $a+1$ é um quadrado: $a+1=k^{2}$, sendo $k$ um número natural.
+
+Assim $a=k^{2}-1$, e logo
+
+$$
+a=(k-1)(k+1)
+$$
+
+Como $a$ é divisível por 3 , então ou $k+1$ ou $k-1$ é divisível por 3 . Logo, $k$ não é divisível por 3 , portanto, $k$ tem que ser da forma $3 n+1$ ou $3 n+2$, ou seja para cada valor de $n$ temos dois números que não são múltiplos de 3 .
+
+O número desta lista que está na posição 2006 é $2006 \times \frac{3}{2}-1=3008$, e neste caso $a=3008^{2}-1$.
+
+## 8. Cinco cartas -
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ca9dad428f17f021dd49g-7.jpg?height=169&width=690&top_left_y=1389&top_left_x=700)
+
+Ela não precisa virar a carta que tem o número 2 , porque sendo vogal ou consoante, ela cumpre a condição, de igual forma. Ela também não precisa virar a carta com a letra M. A carta que tem o número 3 tem que ser virada, para comprovar que na outra face tem uma consoante, e também as cartas com a letra $\mathbf{A}$ e a letra $\mathbf{E}$ têm que ser viradas para verificar que os números na outra face são pares. Assim, ela precisa virar somente 3 cartas.
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L4_N1.md

@@ -0,0 +1,150 @@
+# Lista 4 
+
+1. Divisão de números decimais - Sabendo que $144 \times 177=25488$ podemos concluir que $254,88 \div 0,177$ é igual a
+(a) 1440
+(b) 14,4
+(c) 1,44
+(d) 0,144
+(e) 144
+2. Cálculo de porcentagem - Num teste com 84 questões se você acerta 58/84 das questões, então qual é o seu percentual de acertos?
+3. Almoço dos amigos - Júlio e Denise almoçaram num restaurante que oferece três tipos de prato e três tipos de vitamina, cujos preços estão na tabela ao lado. Cada um escolheu um prato e uma vitamina. Júlio gastou 6 reais a mais do que Denise. Quanto Denise gastou?
+
+|  | $R \$$ |
+| :--- | :---: |
+| prato simples | 7 |
+| prato com carne | 11 |
+| prato com peixe | 14 |
+| vitamina de leite | 6 |
+| vitamina de frutas | 7 |
+| vitamina especial | 9 |
+
+4. Adição de inteiros positivos - Encontre quatro números inteiros distintos e maiores do que 0 tais que somados de três em três dão $6,7,8$ e 9 .
+5. O passeio do Jorge - Jorge passeia por um caminho em forma de retângulo, onde estão dispostas doze árvores com $5 \mathrm{~m}$ de distância entre duas consecutivas. Jorge brinca de tocar cada árvore durante seu passeio.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-1.jpg?height=280&width=460&top_left_y=2027&top_left_x=1278)
+
+Primeiro ele toca a árvore do canto, assinalada com $\mathrm{P}$ na figura, e percorre 32 metros num mesmo sentido; aí ele volta 18 metros e depois torna a andar para frente mais 22 metros. Em quantas árvores ele tocou?
+
+6. A descoberta do algarismo - Os quadrados dos números naturais de 1 a 99 foram escritos um após o outro, formando o número 14916253649 ... Qual é o algarismo que ocupa a $100^{a}$ posição? (As posições são contadas da esquerda para a direita: a $1^{\underline{a}}$ posição é o 1 , a $2^{\underline{a}}$ é o 4 , etc.)
+7. $\boldsymbol{O B M E P}$ - Cada um dos 7 discos $\mathrm{X}, \mathrm{Z}, \mathrm{O}, \mathrm{B}, \mathrm{M}, \mathrm{E}, \mathrm{P}$ tem um peso diferente, de $1 g$ a $7 g$. Nas interseções dos discos indicamos a soma dos pesos desses dois discos. Qual é a soma dos pesos dos cinco discos O, B, M, E, P ?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-2.jpg?height=375&width=603&top_left_y=1206&top_left_x=858)
+
+8. Prédio misterioso - As figuras mostram as plantas do $1^{\varrho}$ e $2^{o}$ andares de um prédio que guarda segredos muito perigosos. Os 9 elevadores estão representados por letras e em cada letra podemos pegar o elevador ou continuar. Qual o caminho mais curto da entrada até a saída?
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-2.jpg?height=382&width=1050&top_left_y=2104&top_left_x=593)
+
+## Soluções da Lista 4
+
+1. Divisão de números decimais - Efetuando a divisão temos:
+
+$$
+\frac{254,88}{0,177}=\frac{254880}{177}=\frac{144 \times 177 \times 10}{177}=1440
+$$
+
+2. Cálculo de porcentagem - A divisão de 58 por 84 é: $58 \div 84=0,69047 \ldots$ Multiplicando por 100 temos que o percentual de acertos é $0,69047 \times 100=$ $69,047 \%$, que é aproximadamente $69 \%$.
+3. Almoço dos amigos - Os preços de um prato mais uma vitamina são:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-3.jpg?height=109&width=891&top_left_y=1393&top_left_x=591)
+
+Dentre esses, os que diferem de 6 são: 14 e 20 ou 17 e 23. Logo, temos duas soluções: Denise pode gastar $7+7=14$ e Júlio $14+6=11+9=20$ ou Denise gasta $11+6=17$ e Júlio $14+9=23$.
+
+## 4. Adição de inteiros positivos -
+
+Solução 1 - Inicialmente observe que se a maior soma de três desses números é 9 , então todos os números têm que ser menores do que 7 , ou seja:
+
+$$
+1,2,3,4,5,6
+$$
+
+Por outro lado, se a menor soma é 6 , então eles têm que ser menores do que 5 , logo restam:
+
+$$
+1,2,3,4
+$$
+
+Verificamos que esses são os números:
+
+$$
+1+2+3=6,1+2+4=7,1+3+4=8,2+3+4=9
+$$
+
+Solução 2 - Somando de três em três quatro números $a, b, c$ e $d$ temos os números $a+b+c, a+b+d, a+c+d$ e $b+c+d$. Logo,
+
+$6+7+8+9=(a+b+c)+(a+b+d)+(a+c+d)+(b+c+d)=3(a+b+c+d)$.
+
+Donde, $a+b+c+d=\frac{30}{3}=10$. Portanto, os números procurados são
+
+$$
+10-6=4 \quad ; \quad 10-7=3 \quad ; \quad 10-8=2 \quad ; \quad 10-9=1
+$$
+
+5. O passeio do Jorge - As figuras ilustram o percurso que Jorge fez:
+
+- caminhando $32 m$ no início, ele toca em 7 árvores e pára a $2 m$ da última que tocou;
+- voltando $18 m$, ele toca em 4 árvores e pára a $1 m$ da última que tocou;
+- ao retornar os $22 m$ ele toca em 5 árvores e pára a $1 m$ da última que tocou.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-4.jpg?height=224&width=1374&top_left_y=1712&top_left_x=454)
+
+Assim, ele tocou em $7+4+5=16$ árvores.
+
+6. A descoberta do algarismo - Separando os números cujos quadrados têm 1,2 e 3 algarismos temos:
+
+1 algarismo: $1,2,3$
+
+2 algarismos: $4,5,6,7,8,9$
+
+3 algarismos: $10,11,12, \ldots, 31$
+
+Até $31^{2}$ a seqüência tem $3+12+66=81$ algarismos.
+
+$$
+\underbrace{1^{2}, 2^{2}, 3^{2}}_{1 \times 3 \text { algs }}, \underbrace{4^{2}, \ldots, 9^{2}}_{2 \times 6=12 \text { algs }}, \underbrace{10^{2}, \ldots, 31^{2}}_{3 \times 22=66 \text { algs }}
+$$
+
+Assim, faltam $100-81=19$ algarismos para o $100^{\varrho}$. Como $19=4 \times 4+3$, teremos mais 4 números de 4 algarismos cada um, que são $32^{2}, 33^{2}, 34^{2}$ e $35^{2}$, e mais os 3 algarismos (milhar, centena, dezena) do número: $36^{2}=1296$.
+
+$$
+\underbrace{1^{2}, 2^{2}, 3^{2}}_{1 \times 3 \text { algs }}, \underbrace{4^{2}, \ldots, 9^{2}}_{2 \times 6=12 \text { algs }}, \underbrace{10^{2}, \ldots, 31^{2}}_{3 \times 22=66 \text { algs }}, \underbrace{32^{2}, 33^{2}, 34^{2}, 35^{2}}_{4 \times 4=16 \text { algs }}, 12 \underbrace{9}_{100^{2} \text { alg }} 6
+$$
+
+Logo, o número é 9 .
+
+## 7. $O B M E P$ - Como
+
+peso de $X+$ peso de $O=13$ e peso de $Z+$ peso de $O=9$,
+
+segue que
+
+$$
+\text { peso de } X=\text { peso de } Z+4
+$$
+
+Logo, as opções para os pesos de $Z$ e de $X$ são:
+
+$$
+1 \text { e } 5, \quad 2 \text { e } 6, \quad 3 \text { e } 7
+$$
+
+Por outro lado, temos:
+
+$$
+\text { peso de } M+\text { peso de } P=6 \quad \text { e peso de } B+\text { peso de } E=6
+$$
+
+Logo, os pesos de $M, P, B$ e $E$ são todos menores do que 6 , ou seja:
+
+$$
+1,2,3,4,5
+$$
+
+Além disso, nenhum deles pode ter peso $3 g$.
+
+Concluímos que os pesos de $Z$ e de $X$ são 3 e 7 , o que nos dá o peso de $O$ igual a 6. Assim, temos:
+
+peso de $O+$ peso de $B+$ peso de $E+$ peso de $M+$ peso de $P=6+6+6=18$.
+
+8. Prédio misterioso - Primeiro observamos que os elevadores $A, C, D, E$, $F$ e $H$ conduzem a quartos fechados em algum dos dois andares e, portanto, não levam à saída. Assim, desconsiderando os elevadores mencionados, nosso desenho de elevadores úteis é o seguinte
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-6.jpg?height=392&width=1080&top_left_y=728&top_left_x=583)
+
+Assim, o caminho adequado fica evidente: primeiro pegar o elevador $B$, depois o $J$ e por último o $G$.
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L4_N2.md

@@ -0,0 +1,200 @@
+# Lista 4 
+
+1. Uma expressão - A expressão $\frac{a^{-2}}{a^{5}} \times \frac{4 a}{\left(2^{-1} a\right)^{-3}}$ onde $a \neq 0$, é igual a:
+(a) $\frac{a^{3}}{2}$
+(b) $\frac{2}{a^{3}}$
+(c) $\frac{1}{2 a^{3}}$
+(d) $\frac{a^{5}}{2}$
+(e) $\frac{2}{a^{5}}$
+2. Uma igualdade - Os números $a$ e $b$ são inteiros positivos e satisfazem $96 a^{2}=b^{3}$. Qual é o menor valor de $a$ ?
+3. O retângulo do Luís - Luís desenhou um retângulo de $6 \mathrm{~cm}$ por $10 \mathrm{~cm}$, e quer dividí-lo em quatro partes. Cada parte deve ter de área, respectivamente, $8 \mathrm{~cm}^{2}, 12 \mathrm{~cm}^{2}, 16 \mathrm{~cm}^{2}, 24 \mathrm{~cm}^{2}$. Desenhe como ele pode fazer essa divisão.
+4. Somas de 3 em 3 - Encontre quatro números inteiros que somados de três em três dão $6,7,8$ e 9 .
+5. Uma fábrica de blusas - Uma fábrica produz blusas a um custo de $R \$ 2,00$ por unidade além de uma parte fixa de $R \$ 500,00$. Se cada unidade produzida é comercializada a $R \$ 2,50$, a partir de quantas unidades produzidas a fábrica obtém lucro?
+(a) 250
+(b) 500
+(c) 1000
+(d) 1200
+(e) 1500
+6. Existência de triângulos - Qual dos seguintes triângulos não pode existir?
+
+(a) triângulo agudo isósceles
+
+(b) triângulo retângulo isósceles
+(c) triângulo retângulo obtusângulo
+
+(d) triângulo retângulo escaleno
+
+(e) triângulo escaleno obtusângulo
+
+7. Os doze pontos - Doze pontos estão marcados numa folha de papel quadriculada, conforme mostra a figura. Qual o número máximo de quadrados que podem ser formados unindo quatro desses pontos?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8935ac0233b397f8e8f1g-2.jpg?height=320&width=326&top_left_y=768&top_left_x=1393)
+
+8. O colar - Um colar é composto de pérolas grandes e pérolas pequenas, num total de menos do que 500 pérolas.
+
+i - Se substituirmos $70 \%$ das pérolas grandes por pequenas, o peso do colar diminui de $60 \%$.
+
+ii - Se substituirmos $60 \%$ das pérolas pequenas por grandes, o peso do colar aumenta de $70 \%$.
+
+Quantas pérolas tem o colar?
+
+## Soluções da Lista 4
+
+1. Uma expressão - Temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{a^{-2}}{a^{5}} \times \frac{4 a}{\left(2^{-1} a\right)^{-3}} & =a^{-2-5} \times \frac{2^{2} a}{2^{3} a^{-3}} \\
+& =a^{-7} \times \frac{a^{1-(-3)}}{2} \\
+& =a^{-7} \times \frac{a^{4}}{2} \\
+& =\frac{a^{-7+4}}{2}=\frac{a^{-3}}{2}=\frac{1}{2 a^{3}}
+\end{aligned}
+$$
+
+A opção correta é (c)
+
+2. Uma igualdade - Fatorando 96 temos: $2^{5} \times 3 \times a^{2}=b^{3}$. Para que $2^{5} \times 3 \times a^{2}$ seja um cubo, o numero $a$ deve ser da forma: $a=2^{n} \times 3^{m}$. Assim,
+
+$$
+2^{5} \times 3 \times a^{2}=2^{5} \times 3 \times\left(2^{n} \times 3^{m}\right)^{2}=2^{5+2 n} \times 3^{1+2 m}=b^{3}
+$$
+
+Logo, $5+2 n$ e $1+2 m$ são múltiplos de 3 . Os menores valores de $n$ e $m$ são: $n=2$ e $m=1$. Portanto, $a=2^{2} \times 3=12$.
+
+3. O retângulo do Luis - Como $24=4 \times 6$, então ele construiu o primeiro retângulo, tirando $4 \mathrm{~cm}$ do lado de $10 \mathrm{~cm}$, sobrando um quadrado de lado $6 \mathrm{~cm}$. Sendo $16=4 \times 4$, ele construiu um quadrado de lado $4 \mathrm{~cm}$ sobrando dois retângulos de áreas $(6-4) \times 4=8 \mathrm{~cm}^{2}$ e $(6-4) \times 6=12 \mathrm{~cm}^{2}$, como, por exemplo, a divisão mostrada na figura ao lado.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8935ac0233b397f8e8f1g-3.jpg?height=298&width=473&top_left_y=2121&top_left_x=1343)
+
+6
+
+A seguinte configuração também é uma solução para o problema.
+
+| 4 | 2 | 4 |
+| :---: | :---: | :---: |
+| 24 | 12 | 16 |
+|  |  | 8 |
+
+4. Somas de 3 em 3 - Sejam $a, b, c$ e $d$ os números procurados. São dados os números
+
+$$
+a+b+c, a+b+d, a+c+d \quad \text { e } \quad b+c+d
+$$
+
+$\log o$
+
+$6+7+8+9=(a+b+c)+(a+b+d)+(a+c+d)+(b+c+d)=3(a+b+c+d)$.
+
+Assim,
+
+$$
+a+b+c+d=\frac{30}{3}=10
+$$
+
+Note que cada numero é igual à diferença entre a soma dos quatro números e a soma dos outros três. Por exemplo: $c=(a+b+c+d)-(a+b+d)$. Logo, os números procurados são
+
+$$
+10-6=4 \quad, \quad 10-7=3 \quad, \quad 10-8=2 \quad \text { e } \quad 10-9=1
+$$
+
+5. Uma fábrica de blusas - Denotemos por $x$ o número de unidades produzidas. Assim o custo de produção é $500+2 x$ reais. Pela venda o fabricante está recebendo $2,5 x$. Assim, ele terá lucro quando
+
+$$
+2,5 x>500+2 x
+$$
+
+isto é, $0,5 x>500$. Portanto $x>1000$. Logo, a opção correta é (c).
+
+6. Existência de triângulos - A soma dos três ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$. Logo, se um deles mede $90^{\circ}$, a soma dos outros dois é $90^{\circ}$, e por isso não podem ser maiores do que $90^{\circ}$. Portanto, não existem triângulos retângulos obtusângulos. Os seguintes exemplos de comprimentos de lados mostram que os outros casos podem ocorrer:
+(a) $2,3,3 \quad$;
+(b) $1,1, \sqrt{2}$;
+(d) $3,4,5, \quad$;
+(e) $3,4,6$.
+7. Os doze pontos - No total, temos 11 possíveis quadrados como mostrado a seguir.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8935ac0233b397f8e8f1g-5.jpg?height=346&width=1398&top_left_y=1209&top_left_x=430)
+8. $O$ colar - Sejam $n$ o número de pérolas grandes, $p$ o número de pérolas pequenas, $a$ o peso de uma pérola grande e $b$ o de uma pérola pequena. Com essa notação temos:
+
+- número total de pérolas no colar $=p+n$. Logo: $n+p<500$
+- peso das pérolas grandes $=n \times a$
+- peso das pérolas pequenas $=p \times b$
+- peso total do colar $=p b+n a$
+
+Para equacionar o problema, vamos equacionar antes as duas hipóteses:
+
+i - Ao substituirmos $70 \%$ das pérolas grandes pelas pequenas, o colar fica composto como
+
+$$
+\underbrace{30 \% \times n}_{\text {grandes }}+\underbrace{p+70 \% \times n}_{\text {pequenas }}=0,3 n+(p+0,7 n)
+$$
+
+e seu peso fica sendo
+
+$$
+\underbrace{0,3 n \times a}_{\text {peso das grandes }}+\underbrace{(p+0,7 n) \times b}_{\text {peso das pequenas }}=\underbrace{0,4(n a+p b)}_{40 \% \text { do peso inicial }}
+$$
+
+ii - Analogamente, temos que ao substituirmos $60 \%$ das pérolas pequenas pelas grandes, o colar fica composto como
+
+$$
+\underbrace{n+60 \% \times p}_{\text {grandes }}+\underbrace{40 \% \times p}_{\text {pequenas }}=(n+0,6 p)+0,4 p
+$$
+
+e seu peso fica sendo
+
+$$
+\underbrace{(n+0,6 p) \times a}_{\text {peso das grandes }}+\underbrace{0,4 p \times b}_{\text {peso das pequenas }}=\underbrace{1,7(n a+p b)}_{170 \% \text { do peso inicial }}
+$$
+
+Temos, então, o sistema:
+
+$$
+\left\{\begin{array}{l}
+0,3 n a+0,7 n b+p b=0,4(n a+p b) \\
+n a+0,6 p a+0,4 p b=1,7(n a+p b)
+\end{array}\right.
+$$
+
+Para resolvê-lo, começamos eliminando as incógnitas $a$ e $b$, escrevendo o sistema na seguinte forma:
+
+$$
+\left\{\begin{aligned}
+\frac{7 n+6 p}{n} & =\frac{a}{b} \\
+\frac{-13 p}{7 n-6 p} & =\frac{a}{b}
+\end{aligned}\right.
+$$
+
+Segue que
+
+$$
+\frac{7 n+6 p}{n}=\frac{-13 p}{7 n-6 p} \Longrightarrow 36 p^{2}-13 p n-49 n^{2}=0
+$$
+
+Para fatorar essa expressão, escrevemos
+
+$$
+-13 p n=36 p n-49 p n
+$$
+
+e temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+36 p^{2}-13 p n-49 n^{2} & =36 p^{2}+36 p n-49 p n-49 n^{2} \\
+& =p(36 p-49 n)+n(36 p-49 n) \\
+& =(36 p-49 n)(p+n)
+\end{aligned}
+$$
+
+Finalmente:
+
+$$
+(36 p-49 n)(p+n)=0
+$$
+
+Obtemos $36 p=49 n$, e como $p$ e $n$ são inteiros positivos, segue que $n$ é múltiplo de 36 e $p$ de 49. Assim temos: $n=36 k$ e $p=49 k^{\prime}$, onde $k$ e $k^{\prime}$ são inteiros maiores do que 1. Logo,
+
+$$
+36 \times 49 k^{\prime}=49 \times 36 k \Longrightarrow k=k^{\prime}
+$$
+
+Portanto, $n=36 k$ e $p=49 k$. Deduzimos que $n+p=85 k$. Como $n+p<500$, o colar só pode ter: $85,170,255,340$ ou 425 pérolas.
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L4_N3.md

@@ -0,0 +1,194 @@
+# Lista 4 
+
+1. Lucro de uma companhia - Uma companhia tem um lucro de $6 \%$ nos primeiros $R \$ 1000$, 00 reais de venda diária, e $5 \%$ em todas as vendas que excedem $R \$ 1000,00$ reais, nesse mesmo dia. Qual é o lucro dessa companhia num dia que as vendas alcançam $R \$ 6000,00$ reais?
+(a) $R \$ 250$
+(b) $R \$ 300$
+(c) $\$ 310$
+(d) $R \$ 320$
+(e) $R \$ 360$
+2. Seqüência triangular - Qual é o $21^{\varrho}$ termo da seqüência
+
+$$
+1 ; 2+3 ; 4+5+6 ; 7+8+9+10 ; 11+12+13+14+15 ; \ldots ?
+$$
+
+3. O jardim octogonal - A figura mostra a planta de um jardim de uma cidade, feita num papel quadriculado. O jardim tem a forma de um polígono de oito lados com uma roseira quadrada no centro, cercada de grama. A área total do jardim é de $700 \mathrm{~m}^{2}$. Para colocar uma cerca em volta do jardim e da roseira, o prefeito dispõe de no máximo
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-1.jpg?height=500&width=491&top_left_y=1383&top_left_x=1385)
+$R \$ 650,00$. Qual o maior preço que ele poderá pagar pelo metro de cerca?
+
+4. Número de caracteres - Numa folha de papel cabem 100 caracteres na largura e 100 na altura. Nessa folha são escritos sucessivamente os números $1,2,3, \ldots$ com um espaço entre cada um. Quando no final de uma linha não há espaço para escrever um número este é escrito na linha seguinte. Qual é o ultimo número escrito na folha?
+5. A árvore de Emilia - A árvore de Emília cresce de acordo com a seguinte regra: após 2 semanas do aparecimento de um galho, esse mesmo galho produz um novo galho a cada semana, e o galho original continua a crescer. A árvore tem 5 galhos depois de 5 semanas, como mostra a figura. Quantos galhos, incluindo o galho principal a árvore terá no final de 8 semanas?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-2.jpg?height=468&width=394&top_left_y=474&top_left_x=1342)
+
+6. Um teste vocacional - Foi feito um teste vocacional em 1000 estudantes de uma escola. A tabela a seguir apresenta os resultados por área de estudo e sexo.
+
+|  | Exatas | Humanas | Biológicas |
+| :---: | :---: | :---: | :---: |
+| Masculino | 232 | 116 | 207 |
+| Feminino | 112 | 153 | 180 |
+
+Se um aluno é escolhido ao acaso, determine a probabilidade de:
+
+(a) Ser da área de exatas.
+
+(b) Ser da área de humanas, sendo do sexo masculino.
+
+(c) Ser do sexo feminino, dado que é da área biológica.
+
+7. Dois setores circular - A área do círculo da figura ao lado mede $20 \mathrm{~cm}^{2}$. Se $\widehat{A O B}=60^{\circ}$ e $\widehat{C O D}=30^{\circ}$, quanto mede a área da região do círculo que está tracejada?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-2.jpg?height=372&width=409&top_left_y=2184&top_left_x=1326)
+
+8. Compra de televisores - Maria encomendou certo número de televisores a $R \$ 1994,00$ cada um. Ela reparou que no total a pagar, não tem nem 0 , nem 7 , nem 8 e nem 9. Qual foi o menor número de televisores que ela encomendou?
+
+## Soluções da Lista 4
+
+1. Lucro de uma companhia - (c) Nos primeiros $R \$ 1000$ reais a companhia tem lucro de $R \$ 60$ reais, e para os $R \$ 5000$ reais restantes tem lucro de $5000 \times$ $5 \%=250$ reais. Logo o lucro da empresa nesse dia é $R \$ 310$ reais.
+2. Seqüência triangular - Observe que o $21^{\circ}$ termo é a soma de 21 números consecutivos. Tomando a primeira parcela de cada termo, isto é, 1,2,4,7,11, $16, \ldots$, temos que
+
+$$
+\begin{aligned}
+2 & =1+1 \\
+4 & =2+1+1 \\
+7 & =3+2+1+1 \\
+11 & =4+3+2+1+1 \\
+16 & =5+4+3+2+1+1
+\end{aligned}
+$$
+
+Assim, a primeira parcela do $21^{\circ}$ termo é
+
+$$
+20+19+\cdots+3+2+1+1=\frac{20 \times 21}{2}+1=211
+$$
+
+e o $21^{\circ}$ termo é
+
+$$
+211+212+\cdots+230+231=\frac{(211+231) \times 21}{2}=221 \times 21=4641
+$$
+
+3. O jardim octogonal - Observemos que a área do jardim pode ser medida contando o número de quadradinhos na folha. De fato, se contarmos o número de quadrados obtemos em total
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-4.jpg?height=416&width=422&top_left_y=2142&top_left_x=1294)
+
+24 quadradinhos +8 meios quadradinhos $=28$ quadradinhos
+
+Como a área total é $700 \mathrm{~m}^{2}$, a área de cada quadradinho corresponde a
+
+$$
+700 \div 28=25 \mathrm{~m}^{2}
+$$
+
+Assim, o lado de cada quadradinho corresponde a $5 \mathrm{~m}$. Pelo Teorema de Pitágoras, a diagonal $d$ de cada quadradinho corresponde a $d=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=$ $5 \sqrt{2} m$.
+
+O contorno da roseira é formado por 4 diagonais e do jardim por 8 diagonais e 8 lados, logo temos:
+
+$$
+\text { perímetro da roseira }=4 \times d=4 \times 5 \sqrt{2}=20 \sqrt{2} \mathrm{~m}
+$$
+
+$$
+\text { perímetro do jardim }=8 \times 5+8 \times d=40+40 \sqrt{2}
+$$
+
+Logo, o comprimento total de cerca que será necessário é
+
+$$
+20 \sqrt{2}+40+40 \sqrt{2}=40+60 \sqrt{2} m
+$$
+
+Agora temos:
+
+$$
+\frac{650}{40+60 \sqrt{2}}=\frac{65}{4+6 \sqrt{2}} \approx \frac{65}{4+6 \times 1,414}=\frac{65}{12,484} \approx 5,21
+$$
+
+Assim, o preço máximo que o prefeito poderá pagar é $R \$ 5,21$.
+
+4. Número de caracteres - Na $1^{\underline{a}}$ linha escrevemos os números de 1 a 9 , cada um seguido de um espaço, ocupando 18 espaços, e sobram 82 espaços. Cada número de 2 algarismos mais um espaço ocupa 3 lugares na linha. Como
+$82=27 \times 3+1$, completamos a $1 \underline{\underline{a}}$ linha com 27 números de dois algarismos a partir do 10. Logo o último número da primeira linha é 36. Representando cada espaço por um traço, a $1 \underline{\underline{a}}$ linha fica como
+
+$$
+\underbrace{1-2-3-4-5-6-7-8-9}_{18} \underbrace{10-\cdots-36-}_{82}
+$$
+
+Como $100=33 \times 3+1$, em cada linha podemos colocar 33 números de 2 algarismos, cada um seguido de um espaço, e no final da linha ainda sobra um espaço:
+
+$$
+2^{\underline{a}} \operatorname{linha}: \underbrace{37-38-\cdots-69-}_{99}-
+$$
+
+Na $3^{\underline{a}}$ linha, colocamos de 70 a 99 , ocupando $30 \times 3=90$ espaços. Os 10 espaços restantes ocupamos com dois números de 3 algarismos:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-6.jpg?height=114&width=799&top_left_y=1442&top_left_x=640)
+
+Agora, em cada linha podemos colocar $100 \div 4=25$ números de 3 algarismos com seus respectivos espaços. De 102 a 999 inclusive temos $999-102+1=198$ números. Como $198=25 \times 7+23$, ocupamos da $4^{\underline{a}}$ a $10^{\underline{a}}$ linha com os números de 3 algarismos e ainda sobram 23 espaços na 10 $\underline{\underline{a}}$ linha, que podemos ocupar com $23 \div 5=4$ números de 4 algarismos:
+
+$10^{a}$ linha : $\underbrace{--\cdots-999-}_{67} \underbrace{1000-1001-1002-}_{23}---$
+
+Em cada linha podemos colocar $100 \div 5=20$ números de 4 algarismos e seus respectivos espaços. Portanto, nas 90 linhas restantes podemos colocar $90 \times 20=1800$ números de 4 algarismos. Começando com 1003 chegaremos até o número 2802.
+
+5. A árvore de Emília - Denotemos por $f_{n}$ o número de galhos da árvore depois de $n$ semanas. Como depois de duas semanas aparece um galho então $f_{2}=1$, $\mathrm{Na}$ seguinte semana este galho produz um novo galho, $\log f_{3}=2$. Pela regra, o número de galhos na $n+1$-ésima semana é igual ao número de galhos que existiam na $n$-ésima semana, mais os galhos novos. Mas, os galhos novos nascem dos galhos que têm pelo menos duas semanas, isto é, nasce um galho novo por
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-7.jpg?height=511&width=405&top_left_y=550&top_left_x=1431)
+cada galho que existia na semana $n-1$.
+
+Assim, temos que $f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1}$. Logo:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& f_{4}=2+1=3 \\
+& f_{5}=3+2=5 \\
+& f_{6}=5+3=8 \\
+& f_{7}=8+5=13 \\
+& f_{8}=13+8=21
+\end{aligned}
+$$
+
+## 6. Um teste vocacional -
+
+(a) De exatas temos $232+112=344$ estudantes, $\log$ o probabilidade de escolher ao acaso um aluno de exatas é $\frac{344}{1000}=0,344$.
+
+(b) Como o número de estudantes do sexo masculino é 555, temos que a probabilidade de ser da área de humanas é $\frac{116}{555}=0,209$.
+
+(c) O número de estudantes da área biológica é 387. Assim, a probabilidade de escolher um do sexo feminino é $\frac{180}{387}=0,465$.
+
+7. Dois setores circular - Como
+
+$$
+60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}
+$$
+
+segue que área tracejada representa um quarto da área total del círculo. Como a área do circulo é $20 \mathrm{~cm}^{2}$ então a área tracejada é $5 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-8.jpg?height=372&width=397&top_left_y=425&top_left_x=1338)
+
+8. Compra de televisores - Se Maria comprou $n$ televisores, então ela gastou 1994n, que é um múltiplo de 1994 onde não aparecem os algarismos $0,7,8$ e 9. Vamos tentar limitar o valor de $n$. Primeiro observe que
+
+$$
+1994 n=2000 n-6 n
+$$
+
+e também que se
+
+$$
+6 n<300
+$$
+
+então o número $2000 n-6 n$ tem 7 ou 8 ou 9 no algarismos das centenas (faça alguns exemplos, lembre-se que $2000 n$ termina com 3 zeros e depois convençase). Assim devemos ter
+
+$$
+6 n \geq 300, \quad \text { isto é } n \geq 50
+$$
+
+Observemos que 50 não pode ser porque o valor terminaria em 0 , $\log n \geq 51$. Dado que $1994 \times 51=101694$ temos que $n$ não pode ser 51 e portanto $n=$ $51+m$ com $m$ positivo. Agora como precisamos que o número não tenha 0 , assim $1994 m$ tem que eliminar o 0 de 101694, portanto $m \geq 4$, mas $m=4$ não é solução porque $1994 \times 55$ termina em 0 . Se testamos $n=56$ temos que
+
+$$
+1994 \times 56=111664
+$$
+
+é o número procurado.
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L5_N1.md

@@ -0,0 +1,134 @@
+# Lista 5 
+
+1. Soma de frações - Qual é o valor de $\frac{1}{10}-\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}$ ?
+2. Biblioteca - A biblioteca de uma escola comprou 140 novos livros, ficando com $\frac{27}{25}$ de livros. O número de livros antes da compra, é:
+(a) 1750
+(b) 2500
+(c) 2780
+(d) 2140
+(e) 1140
+3. Comparação de frações - Quantas frações menores do que 1 existem, tais que o numerador e denominador são números naturais de um algarismo?
+4. Divisão com resto - Quantos são os números que ao dividir 2007 deixam resto 5 ?
+5. Panelas - Uma panela pesa $645 \mathrm{~g}$ e outra $237 \mathrm{~g}$. José divide $1 \mathrm{~kg}$ de carne entre as duas panelas, de modo que as duas com seus conteúdos ficam com o mesmo peso. Quanto ele colocou de carne em cada panela?
+6. Dominós - Juliana representou uma multiplicação com 5 dominós. Seu irmão Bruno trocou dois dominós de posição e agora a multiplicação ficou errada. Troque a posição de dois dominós para que a multiplicação fique correta novamente.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-2.jpg?height=454&width=962&top_left_y=410&top_left_x=658)
+
+7. Código secreto - Antônio tem que descobrir um código de 3 algarismos diferentes $A B C$. Ele sabe que $B$ é maior que $A$, que $A$ é menor do que $C$ e ainda:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& \begin{array}{|l|l|}
+\hline B & B \\
+\hline A & A \\
+\hline A
+\end{array}+\begin{array}{|l|l|l|}
+\hline C & C \\
+\hline
+\end{array}=\begin{array}{|l|l|l|}
+\hline 2 & 4 & 2 \\
+\hline
+\end{array}
+\end{aligned}
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-2.jpg?height=48&width=479&top_left_y=1415&top_left_x=797)
+
+Qual é o código que Antônio procura?
+
+8. Os doze pontos - Doze pontos estão marcados numa folha de papel quadriculada, conforme mostra a figura.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-2.jpg?height=254&width=271&top_left_y=1980&top_left_x=1007)
+
+Qual o número máximo de quadrados que podem ser formados unindo quatro desses pontos?
+
+## Soluções da Lista 5
+
+## 1. Soma de frações -
+
+Solução 1: Transformando as frações em números decimais temos:
+
+$$
+\frac{1}{10}-\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}=0,1-0,01+0,001-0,00001=0,0909=\frac{909}{10000}
+$$
+
+Solução 2: Efetuando temos:
+
+$$
+\frac{1}{10}-\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}=\frac{1000-100+10-1}{10000}=\frac{909}{10000}
+$$
+
+2. Biblioteca - Ao comprar 140 livros a biblioteca ficou com $\frac{27}{25}$ do número de livros, logo 140 corresponde a $\frac{2}{25}$ dos livros da biblioteca. Logo, temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& \frac{2}{25} \longrightarrow 140 \\
+& \frac{1}{25} \longrightarrow 140 \div 2=70 \\
+& \frac{25}{25} \longrightarrow 70 \times 25=1750
+\end{aligned}
+$$
+
+A opção correta é (a).
+
+3. Comparação de frações - Para que uma fração seja menor do que 1 , o numerador tem que ser menor do que o denominador. As frações são:
+
+- com denominador 2: $\frac{1}{2}$
+- com denominador 3: $\frac{1}{3}$ e $\frac{2}{3}$
+- com denominador 4: $\frac{1}{4}, \underbrace{\frac{2}{4}}_{1 / 2}$ e $\frac{3}{4}$
+- com denominador $5: \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}$
+- com denominador 6: $\frac{1}{6}, \underbrace{\frac{2}{6}}_{1 / 3}, \underbrace{\frac{3}{6}}_{1 / 2}, \underbrace{\frac{4}{6}}_{2 / 3}, \frac{5}{6}$
+- com denominador 7 : $\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$
+- com denominador 8: $\frac{1}{8}, \underbrace{\frac{2}{8}}_{1 / 4}, \frac{3}{8}, \underbrace{\frac{4}{8}}_{1 / 2}, \frac{5}{8}, \underbrace{\frac{6}{8}}_{3 / 4}, \frac{7}{8}$
+- com denominador 9: $\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \underbrace{\frac{3}{9}}_{1 / 3}, \frac{4}{9}, \frac{5}{9}, \underbrace{\frac{6}{9}}_{2 / 3}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9}$
+
+Temos então 27 frações.
+
+4. Divisão com resto - Se um número ao dividir 2007 deixa resto 5, então esse número é um divisor de $2007-5=2002$. Logo, temos que calcular os divisores de 2002:
+
+$$
+\begin{array}{r|l|l}
+2002 & 2 & 2 \\
+1001 & 7 & 7,14 \\
+143 & 11 & 11,22,77,154 \\
+13 & 13 & 13,26,91,182,143,286,1001,2002 \\
+1 & &
+\end{array}
+$$
+
+Logo, os números que ao dividirem 2007 deixam resto 5 são:
+
+$$
+1,2,7,11,13,14,22,26,77,91,143,154,182,286,1001,2002
+$$
+
+5. Panelas - Convertendo quilo para gramas temos que $1 \mathrm{~kg}=1000 \mathrm{~g}$. As duas panelas mais a carne pesam juntas
+
+$$
+645+237+1000=1882 g
+$$
+
+Logo, cada panela mais o seu conteúdo de carne deve pesar $1882 \div 2=941 \mathrm{~g}$. Logo, José colocou em cada panela, respectivamente,
+
+$$
+941-645=296 g \text { e } 941-237=704 g
+$$
+
+6. Dominós - Dado que $2 \times 3=6$, suporemos por enquanto que os dominós $\cdot \cdot \cdot$ e $[\cdot \because \because$ estão na posição certa. Caso isso seja verdade, dado que $1 \times 3=3$ temos que o algarismo na dezena do resultado é três, logo temos que trocar o dominó $\quad . \cdot \bullet$ pelo dominó $\quad \because \because \because$, de tal forma que o 3 fique na dezena. Dado que temos um 2 na centena do resultado, então na centena do primeiro número tem que ter um 4. Assim, o produto certo fica da forma
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-5.jpg?height=514&width=1083&top_left_y=1373&top_left_x=498)
+
+7. Código secreto - A única maneira de obter 360 como produto de três números de um algarismos cada um é
+
+$$
+360=9 \times 8 \times 5
+$$
+
+Logo, a soma $A A+B B+C C$ é igual a $55+88+99$. Como $A$ é menor do que $B$ e do que $C$, temos que $A=5$. Logo, temos duas possibilidades para o código: 589 ou 598.
+
+8. Os doze pontos - No total, temos 11 possíveis quadrados como mostrado a seguir.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-6.jpg?height=320&width=626&top_left_y=682&top_left_x=652)
+
+2 quadrados
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-6.jpg?height=266&width=271&top_left_y=735&top_left_x=1372)
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L5_N2.md

@@ -0,0 +1,141 @@
+# Lista 5 
+
+1. Suco de laranja - Davi vai a um armazém que vende uma garrafa de suco de laranja por $R \$ 2,80$ e uma caixa com seis dessas garrafas por $R \$ 15,00$. Ele precisa comprar 22 garrafas para seu aniversário. Quanto ele gastará no mínimo?
+2. Mulheres votantes - Numa cidade, $40 \%$ de todas as mulheres são votantes e $52 \%$ da população é de mulheres. Qual o percentual da população formado de mulheres votantes?
+(a) $18,1 \%$
+(b) $20,8 \%$
+(c) $26,4 \%$
+(d) $40 \%$
+(d) $52 \%$
+3. Amigos do século $\boldsymbol{X X}$ - Dois amigos nasceram no século XX, com uma semana de intervalo e no mesmo mês e ano. Escrevendo da esquerda para a direita a data na forma o (ou os) algarismo(s) do dia, (ou os) algarismo(s) do mês, e os dois últimos algarismos do ano, obtemos dois números sendo um o sêxtuplo do outro. Não colocamos 0 na frente dos 9 primeiros meses. Qual é a data de nascimento do amigo mais velho?
+4. Operação em uma fração - Que número se deve somar aos dois termos de uma fração para se obter o inverso dessa mesma fração?
+5. O número 119 - O número 119 tem a seguinte propriedade:
+
+- a divisão por 2 deixa resto 1 ;
+- a divisão por 3 deixa resto 2 ;
+- a divisão por 4 deixa resto 3 ;
+- a divisão por 5 deixa resto 4 ;
+- a divisão por 6 deixa resto 5 .
+
+Quantos inteiros positivos menores que 2007 satisfazem essa propriedade?
+
+6. Fonte com 3 torneiras - Sílvia vai a uma fonte que tem três torneiras, encher os seus dez garrafões. Um dos garrafões demora um minuto para encher, outro dois minutos, outro três minutos e assim por diante. Como Ślvia deverá distribuir os garrafões pelas torneiras de modo a gastar o menor tempo possível? Qual é esse tempo?
+7. A seqüência $x y z$ - Na seqüência $\frac{1}{2}, \frac{5}{8}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, x, y, z, \ldots$ os valores de $x, y$ e $z$ são...
+8. A mesa circular - Uma mesa circular tem 60 cadeiras em sua volta. Existem $N$ pessoas sentadas nessas cadeiras de tal modo que a próxima pessoa a se sentar vai ter que se sentar ao lado de alguém. Qual é o menor valor possível para $N$ ?
+
+## Soluções da Lista 5
+
+1. Suco de laranja - Se Davi comprar 6 garrafas individualmente, ele gastará
+
+$$
+6 \times 2,80=16,80 \text { reais }
+$$
+
+que é mais caro do que comprar uma caixa com seis. Portanto ele deve comprar a maior quantidade possível de caixas. Nesse caso, ele deve comprar 3 caixas e 4 garrafas individualmente, caso em que gastará
+
+$$
+3 \times 15+4 \times 2,80=56,20 \text { reais }
+$$
+
+que é o mínimo possível.
+
+2. Mulheres votantes - A fração de mulheres na população é $\frac{52}{100}$, e delas, a fração que é votante é $\frac{40}{100}$. Logo, a fração de mulheres volantes é:
+
+$$
+\frac{52}{100} \times \frac{40}{100}=\frac{104}{5 \times 100}=\frac{104}{5 \times 100} \times 100 \%=20,8 \%
+$$
+
+A opção correta é (b).
+
+3. Amigos do século $\boldsymbol{X X}$ - Os dois amigos nasceram no mesmo mês e no mesmo ano, com uma diferença de 7 dias, assim um nasceu no dia $d / m / a$ e o outro no dia $(d+7) / m / a$. Com esta datas formamos os números $(d)(m)(a)$ e $(d+7)(m)(a)$. Sabemos que:
+
+$$
+(d+7)(m)(a)=(d)(m)(a)+7 \times 10^{k}
+$$
+
+Assim,
+
+$$
+(d+7)(m)(a)=6 \times(d)(m)(a), \quad \Longrightarrow \quad 7 \times 10^{k}=5(d)(m)(a)
+$$
+
+Logo, $k=3$ se o mês tem 1 algarismo e $k=4$ se o mês tem 2 algarismos. No primeiro caso, quando $k=3$, temos que $\frac{7000}{5}=1400$, isto é, 1 de abril de 1900. Logo, seu amigo nasceu em 8 de abril de 1900. No segundo caso, quando $k=1, \frac{70000}{5}=14000$ não é uma data válida.
+
+4. Operação em uma fração - Seja $\frac{a}{b}$ a fração procurada e seja $c$ um número tal $\frac{a+c}{b+c}=\frac{b}{a}$. Esta igualdade é equivalente a $(a+c) a=(b+c) b$. Assim temos:
+
+$$
+(a+c) a=(b+c) b \Longrightarrow a^{2}+a c-b^{2}-b c=0 \Longrightarrow\left(a^{2}-b^{2}\right)+c(a-b)=0
+$$
+
+Donde
+
+$$
+0=\left(a^{2}-b^{2}\right)+c(a-b)=(a-b)(a+b)+c(a-b)=(a-b)(a+b+c)
+$$
+
+Portanto $(a-b)(a+b+c)=0$. Temos dois casos:
+
+$\left.1^{o}\right) a-b=0 \Longrightarrow a=b$. Nesse caso a fração é igual a $1=\frac{a}{a}$ e podemos somar qualquer número.
+
+$\left.2^{o}\right) a+b+c=0 \Longrightarrow c=-(a+b)$. Nesse caso temos que somar $-a-b$.
+
+5. O número 119 - Inicialmente note que se $N$ dividido por $d$ deixa resto $r$, então somando a $N$ um múltiplo de $d$, o resto não se altera, isto é:
+
+$$
+\frac{(N+\text { múltiplo de } d)}{d} \text { também deixa resto } r
+$$
+
+Por exemplo: 38 dividido por 3 deixa resto 2 , logo o resto da divisão de $(38+5 \times 3)$ também é 2 .
+
+Assim, se somamos a 119 um número que seja múltiplo simultaneamente de 2, 3, 4, 5 e 6 , esse número deixa os mesmos restos que 119 quando dividido por
+$2,3,4,5$ e 6 . O menor múltiplo comum de $2,3,4,5$ e 6 é 60 , logo todo número da forma
+
+$$
+119+(\text { múltiplo de 60) }
+$$
+
+satisfaz as cinco condições do enunciado.
+
+Da divisão de 2007 por 60 temos:
+
+$$
+2007=33 \times 60+27=32 \times 60+87=31 \times 60+147
+$$
+
+Como 119 está entre 87 e 147, temos que os números
+
+$$
+59,119,179, \ldots, 31 \times 60+119
+$$
+
+cumprem a mesma propriedade que 119. Logo, temos 33 possíveis números.
+
+## 6. Fonte com 3 torneiras -
+
+Solução 1: Para simplificar, numeramos os garrafões de acordo com os respectivos tempos que gastam para ficar cheios. A idéia, é utilizar o "tempo que sobra" de um garrafão para encher outro garrafão, enchendo simultaneamente outros. As figuras ilustram a solução.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7edf59f8d27fef74e9deg-5.jpg?height=436&width=1390&top_left_y=1738&top_left_x=343)
+
+$\mathrm{Na}$ figura I as 3 torneiras gastam 10 minutos para encher os garrafões 10, 9, 8, 1 e 2. Na figura II as 3 torneiras gastam 9 minutos para encher os garrafões $7,6,5,2,3$ e 4. Logo, o tempo total gasto é de 19 minutos.
+
+Solução 2: Se tivéssemos uma torneira só, o tempo gasto para encher os 10 garrafões é $1+2+\cdots+9+10=55$ minutos. Como $55=18 \times 3+1$, se temos
+
+3 torneira devemos gastar pelo menos 19 minutos. A seguinte tabela mostra a forma de fazer o trabalho em 19 minutos.
+
+| Torneira 1 | 10 | 9 |  |  |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| Torneira 2 | 8 | 7 | 3 |  |
+| Torneira 3 | 5 | 4 | 2 | 1 |
+
+7. A seqüência $x y z$ - Igualando os denominadores, verificamos que a seqüência dada é a mesma que a seqüência
+
+$$
+\frac{4}{8}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}, \frac{7}{8}, x, y, z, \ldots
+$$
+
+Assim, o denominador é 8 e os numeradores são números consecutivos. Logo $x=\frac{8}{8}=1, y=\frac{9}{8}$ e $z=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$.
+
+8. A mesa circular - Se a próxima pessoa a se sentar vai ter que se sentar ao lado de uma cadeira ocupada, isso significa que existem no máximo 2 cadeiras desocupadas consecutivas. Veja na figura: as cadeiras ocupadas estão representadas por quadradinhos brancos e as desocupadas por quadradinhos pretos. Podemos então pensar nas cadeiras
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7edf59f8d27fef74e9deg-6.jpg?height=474&width=439&top_left_y=1479&top_left_x=1391)
+em grupos de 3 e a terceira está ocupada. Logo, o menor valor de $N$ é $60 \div 3=20$.
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L5_N3.md

@@ -0,0 +1,199 @@
+# Lista 5 
+
+1. Distância entre números - Considere os números reais $a, b, c$ e $d$ representados em uma reta, conforme mostra a figura. Determine quais das afirmações são verdadeiras ou falsas.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-1.jpg?height=100&width=988&top_left_y=772&top_left_x=640)
+(a) $|a|<4$
+(b) $|b|<2$
+(c) $|c|<2$
+(d) $|a|>|b|$
+(e) $|c|<|d|$
+(f) $|a|<|d|$
+(g) $|a-b|<4$
+(h) $|a-b| \geq 3$
+(i) $|c-d|<1$
+(j) $|b-c|<2$
+(1) $|b-c|>3$
+(m) $|c-a|>1$
+
+2. Cartões premiados - Uma loja distribui 9999 cartões entre os seus clientes. Cada um dos cartões possui um número de 4 algarismos, entre 0001 e 9999. Se a soma dos primeiros 2 algarismos for igual à soma dos 2 últimos, o cartão é premiado. Por exemplo, o cartão 0743 é premiado. Prove que a soma dos números de todos os cartões premiados é divisível por 101.
+3. O preço da gasolina - Em 1972 encher o tanque de gasolina de um carro pequeno custava $R \$ 29,90$, e em 1992, custava $\$ 149,70$ para encher o mesmo tanque. Qual dos valores abaixo melhor aproxima o percentual de aumento no preço da gasolina nesse período de 20 anos?
+(a) $20 \%$
+(b) $125 \%$
+(d) $300 \%$
+(d) $400 \%$
+(e) $500 \%$
+4. O triângulo de latas - Um menino tentou alinhar 480 latas em forma de um triângulo com uma lata na $1^{\underline{a}}$ linha, 2 latas na $2^{\underline{a}}$ e assim por diante. No fim sobraram 15 latas. Quantas linhas tem esse triângulo?
+5. Circunferência e triângulo retângulo - Inscreve-se uma circunferência num triângulo retângulo. $\mathrm{O}$ ponto de tangência divide a hipotenusa em dois segmentos de comprimentos $6 \mathrm{~cm}$ e $7 \mathrm{~cm}$. Calcule a área do triângulo.
+6. Soma de razão $\frac{1}{2}-$ Se $S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}$, qual é o menor número inteiro positivo $n$ tal que $S_{n}>0,99$ ?
+
+## 7. Soma de raizes quadradas -
+
+(a) Se $r=\sqrt{2}+\sqrt{3}$, mostre que $\sqrt{6}=\frac{r^{2}-5}{2}$.
+
+(b) Se $s=\sqrt{215}+\sqrt{300}$, mostre que $s^{2}>1015$.
+
+8. Duas rodas - A roda A gira com 1200 voltas por minuto, e a roda B com 1500 voltas por minuto. Calcule os raios das duas rodas.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-2.jpg?height=365&width=500&top_left_y=1782&top_left_x=778)
+
+## Soluções da Lista 5
+
+## 1. Distância entre números -
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-3.jpg?height=114&width=985&top_left_y=614&top_left_x=638)
+
+Como os números $a, b$ e $c$ são negativos e $c$ é positivo, temos que
+
+$$
+|a|=-a,|b|=-b,|c|=-c,|d|=d
+$$
+
+Assim, $|a|,|b|$ e $|c|$ são simétricos de $a, b$ e $c$ em relação ao zero. No seguinte gráfico se mostram os pontos $|a|,|b|,|c|$ e $|d|$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-3.jpg?height=114&width=988&top_left_y=1262&top_left_x=640)
+
+Note que não podemos afirmar qual entre os dois, $|b|$ e $|d|$, é o maior, as unicas comparações que podemos fazer são:
+
+$$
+0<|c|<1<|b|<2<|a|<4 \text { e } 0<|c|<1<|d|<2<|a|<4
+$$
+
+Portanto, (a), (b), (c), (d) e (e) são verdadeiros e (f) é falso.
+
+Lembre que $|x-y|=$ distância de $x$ a $y$.
+
+Como $a$ e $b$ estão entre -4 e -1 , a distância entre eles é menor do que 3 , isto é: $|a-b|<3, \operatorname{logo}(\mathrm{g})$ é verdadeira e (h) é falso. Analogamente, temos:
+
+- $1<|c-d|<3 \Longrightarrow$ (i) é falso
+- $0<|b-c|<2 \Longrightarrow$ (j) é verdadeiro e (l) é falso
+- $2<|a-c| \Longrightarrow(\mathrm{m})$ é verdadeiro.
+
+2. Cartões premiados - Observe que se o cartão $a b c d$ é premiado então o cartão $c d a b$ também é premiado, por exemplo: 2341 e 4123 são ambos premiados. Assim sempre que $a b \neq c d$ temos dois cartões premiados cuja soma é
+
+$$
+a b c d+c d a b=(a b \times 100+c d)+(c d \times 100+a b)=101(a b+c d)
+$$
+
+assim a soma desse dois cartões é divisível por 101.
+
+No caso que o cartão ser da forma
+
+$$
+a b a b=a b \times 100+a b=101 \times a b
+$$
+
+o número do cartão é divisível por 101. Assim a soma de todos os cartões é divisível por 101 já que a soma pode ser feita agrupando cartões do tipo $a b c d$ com $c d a b$.
+
+3. O preço da gasolina - O aumento do valor foi
+
+$$
+149,70-29,90=119,80 \text { reais }
+$$
+
+que corresponde a:
+
+$$
+\frac{119,80}{29,90} \times 100 \%=400,66 \%
+$$
+
+A opção correta é (d).
+
+4. O triângulo de latas - Suponhamos que o triângulo está composto por $n$ linhas, logo foram usadas $1+2+3+\cdots+n$ latas, assim
+
+$$
+480-15=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} \Longrightarrow n^{2}+n-930=0
+$$
+
+Resolvendo a equação $n^{2}+n-930=0$, obtemos:
+
+$$
+n=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4 \times 930}}{2}=\frac{-1 \pm 61}{2}
+$$
+
+Assim, $n=30$ que é única solução positiva desta equação. Logo o triângulo tem 30 linhas.
+
+5. Circunferência e triângulo retângulo - Seja $r$ o raio da circunferência inscrita. Usando o teorema de Pitágoras temos que $(6+7)^{2}=(r+6)^{2}+(r+7)^{2}=r^{2}+12 r+36+r^{2}+14 r+49=2\left(r^{2}+13 r\right)+85$, assim temos que $r^{2}+13 r=\frac{169-85}{2}=42$.
+
+Por outro lado, a área do triângulo é
+
+$\frac{(r+6)(r+7)}{2}=\frac{r^{2}+13 r+42}{2}=\frac{42+42}{2}=42$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-5.jpg?height=323&width=440&top_left_y=1055&top_left_x=1393)
+
+6. Soma de razão $\frac{1}{2}$ - Como
+
+$$
+S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}
+$$
+
+segue que
+
+$$
+\frac{1}{2} S_{n}=\frac{1}{2} \times\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{n+1}}
+$$
+
+Logo,
+
+$$
+\frac{1}{2} S_{n}=S_{n}-\frac{1}{2} S_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}
+$$
+
+Assim
+
+$$
+S_{n}=1-\frac{1}{2^{n}}
+$$
+
+Como queremos $S_{n}>0,99$, isto é equivalente a encontrar o menor $n$ tal que
+
+$$
+1-\frac{1}{2^{n}}>0,99
+$$
+
+e assim
+
+$$
+2^{n}>100
+$$
+
+Logo, devemos ter $n \geq 7$ porque $128=2^{7}>100>2^{6}=64$.
+
+Observação: Outro modo de calcular $S_{n}$, é notar que é a soma de uma progressão geométrica com $a_{1}=1 / 2$ e razão $q=1 / 2$. Aplicando a fórmula, temos:
+
+$$
+S_{n}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n}} \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^{n}}
+$$
+
+## 7. Soma de raizes quadradas -
+
+(a) Como
+
+$$
+r^{2}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{2})^{2}+2(\sqrt{2})(\sqrt{3})+(\sqrt{3})^{2}=2+2 \sqrt{6}+3=5+2 \sqrt{6}
+$$
+
+portanto $r^{2}-5=2 \sqrt{6} \Longrightarrow \sqrt{6}=\frac{r^{2}-5}{2}$.
+
+(b) Pelo mesmo argumento temos que
+
+$$
+\begin{aligned}
+s^{2} & =(\sqrt{215}+\sqrt{300})^{2}=215+2 \sqrt{215 \cdot 300}+300 \\
+& =515+10 \sqrt{43 \cdot 60}=515+10 \sqrt{2580}> \\
+& >515+10 \sqrt{2500}=515+500=1015
+\end{aligned}
+$$
+
+8. Duas rodas - Dos dados do problema podemos dizer que quando a roda $A$ dá 12 voltas a roda $B$ dá 15 voltas, ou equivalentemente, quando a roda $A$ dá 4 voltas a roda $B$ dá 5 voltas. Denotemos por $R$ o raio da roda $A$ e por $r$ o raio da roda $B$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-6.jpg?height=355&width=471&top_left_y=2084&top_left_x=1272)
+O comprimento da roda $\mathrm{A}$ é $2 \pi R$ e o da roda $\mathrm{B}$ é $2 \pi r$. Logo, o comprimento de 4 voltas da roda $A$ é $4 \times(2 \pi R)$ e o comprimento de 5 voltas da roda $B$ é
+$5 \times(2 \pi r)$. Como esses dois comprimentos são iguais então temos que $4 R=5 r$. Por outro lado, da figura temos que $2(r+R)=9$, assim
+
+$$
+2 r+2\left(\frac{5}{4} r\right)=\left(2+\frac{5}{2}\right) r=\frac{9}{2} r=9
+$$
+
+portanto $r=2$ e $R=\frac{5}{2}$.
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L6_N1.md

@@ -0,0 +1,135 @@
+# Lista 6 
+
+1. Relógio - O grande relógio de parede da escola marca a data (dia, mês e ano) e as horas (horas e minutos) como na figura. Que dia, mês e ano esses mesmos 10 algarismos da figura voltarão a aparecer juntos no relógio pela primeira vez?
+
+## 280594
+
+2. Lápis - Em 13 caixas foram embalados 74 lápis. Se a capacidade máxima de cada caixa é de 6 lápis, qual é o número mínimo de lápis que pode haver em uma caixa?
+(a) 1
+(b) 2
+(c) 3
+(d) 4
+(e) 6
+3. Contagem - Se o algarismo 1 aparece 171 vezes na numeração das páginas de um livro, quantas páginas tem o livro?
+4. Viagem a Recife - Em meu vôo para Recife, quando fui receber a medalha de ouro que conquistei na OBMEP, as seguintes informações apareceram na tela da cabine de passageiros:
+
+Velocidade média: $864 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$
+
+Distância do local de partida: $1222 \mathrm{~km}$
+
+Tempo de chegada a Recife: 1 h $20 \mathrm{~min}$
+
+Se o avião manteve a mesma velocidade, então qual é, aproximadamente, a distância de Recife à cidade onde tomei esse vôo?
+(a) $2300 \mathrm{~km}$
+(b) $2400 \mathrm{~km}$
+(c) $2500 \mathrm{~km}$
+(d) $2600 \mathrm{~km}$
+(e) $2700 \mathrm{~km}$
+
+5. Praça - Maria e João dão uma volta completa na praça juntos, contando as casas que ficam em volta da praça. Eles começaram a contar as casas em pontos diferentes. A quinta casa da Maria é a décima segunda do João e a quinta casa do João é a trigésima da Maria. Quantas casas tem em volta da praça?
+6. Seqüência de figuras - As figuras $\triangle, \boldsymbol{\Lambda}, \diamond, \uparrow, \odot, \square$ são repetidas na sequiência
+
+$$
+\triangle, \boldsymbol{\phi}, \diamond, \boldsymbol{\phi}, \odot, \square, \triangle, \boldsymbol{\phi}, \diamond, \boldsymbol{\phi}, \odot, \square, \ldots
+$$
+
+(a) Que figura aparecerá na $1000^{\underline{a}}$ posição da sequiência?
+
+(b) Em qual posição aparece o milésimo $\diamond$ ?
+
+7. A brincadeira do quadrado - Um quadrado de $1 \mathrm{~m}$ de lado foi cortado, com cortes paralelos aos seus lados, em quadradinhos de $1 \mathrm{~mm}$ de lado. Colocandose lado a lado os quadradinhos, sem superposição, formou-se um retângulo de $1 \mathrm{~mm}$ de largura. Qual o comprimento desse retângulo?
+8. O código da Arca do Tesouro - Simão precisa descobrir um número que é o código da Arca do Tesouro que está escondido na tabela.
+
+| 5 | 9 | 4 | 9 | 4 | 1 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 6 | 3 | 7 | 3 | 4 | 8 |
+| 8 | 2 | 4 | 2 | 5 | 5 |
+| 7 | 4 | 5 | 7 | 5 | 2 |
+| 2 | 7 | 6 | 1 | 2 | 8 |
+| 5 | 2 | 3 | 6 | 7 | 1 |
+
+Para descobrir o código ele tem que formar grupos de 3 algarismos que estão em casas sucessivas, na horizontal ou na vertical, cuja soma é 14. Retirados esses grupos, o código é a soma dos números que não aparecem nesses grupos. Qual é esse código?
+
+## Soluções da Lista 6
+
+1. Relógio - Vamos tentar uma data e um horário no mesmo ano de 94. Já que com os números dados não podemos alterar o dia nem para 29 nem para 30 sem alterar o ano, então a data procurada não está no mês 05 . O seguinte mês possível é o 08. Como precisamos da data mais próxima possível, observemos que podemos formar o dia 01 sobrando os números $0,2,4$ e 5 para formar a hora. A menor hora possível que podemos formar com esses algarismos é 02 : 45, logo a data procurada é 1 de agosto de 1994 às 2 horas e 45 minutos.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7802a0a2c42db868808eg-4.jpg?height=516&width=1194&top_left_y=1089&top_left_x=548)
+2. Lápis - Vamos ver em quantas caixas podemos colocar o número máximo de lápis, que é 6 por caixa. Nas 13 caixas não é possível, pois $13 \times 6=78$, que é maior do que o número de lápis 74 . Em 12 caixas teríamos: $12 \times 6=72$. Assim, sobraria uma caixa com $74-72=2$ lápis. Logo, a opção correta é (b).
+3. Contagem - A cada 10 páginas aparece 1 nas unidades e a cada 100 páginas aparece 10 vezes o número 1 nas dezenas.
+
+Contando o número de páginas que contém o algarismo 1 em cada faixa abaixo temos:
+
+- 20 páginas entre 1-99:
+
+1,11,21,31,41,51,61,71,81,91: 10 (1 na unidade)
+
+10,11,12,13,14,15,16,17, 18,19: 10 (1 na dezena)
+
+- 120 páginas entre 100 - 199:
+
+101,111,121,131,141,151,161,171,181,191: 10 (1 na unidade)
+
+110,111,112,113,114,115,116,117,118,119: 10 (1 na dezena)
+
+100,101, 102, . ., 199: 100 (1 na centena)
+
+- 20 páginas entre 200-299:
+
+201, 211,221, 231, 241, 251, 261, 271, 281, 291: 10 (1 na unidade)
+
+210,211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219: 10 (1 na dezena)
+
+Até a página 299 temos $20+120+20$ vezes que aparece o número 1 , faltando assim apenas $171-160=11$ uns, que seriam os 2 primeiros que aparecem na unidade de 301, 311 e os 9 primeiros que aparecem nas dezenas de 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318. Logo, o livro tem 318 páginas.
+
+4. Viagem a Recife - No momento em que a informação foi dada, o tempo que faltava de vôo era de $1 h 20 \mathrm{~min}$, ou $4 / 3 h$. Logo, nesse momento, a distância a Recife era de $864 \times \frac{4}{3}=1152 \mathrm{~km}$. Desde que estávamos a $1222 \mathrm{~km}$ da cidade de partida, a distância entre essa cidade e Recife é de $1152+1222=2374 \mathrm{~km}$. Dentre as opções, a mais próxima é $2400 \mathrm{~km}$, ou seja, a opção (b).
+5. Praça - Como a $5^{\underline{a}}$ casa da Maria é a $12^{\underline{a}}$ casa do João, a diferença entre as contagens é de 7 casas. Assim, a $1^{\underline{a}}$ casa da Maria é a $8^{\underline{a}}$ casa do João e a $5^{\underline{a}}$ casa do João corresponde a duas casas antes da casa que a Maria começou a contar. Mas, como a $5^{\underline{a}}$ casa do João é a $30^{\underline{a}}$ da Maria, então a praça tem 32
+casas: as 30 casas que Maria já contou mais as 2 casas que faltam para Maria chegar ao ponto onde começou a contar.
+6. Seqüência de figuras - As figuras se repetem de 6 em 6. Dividindo 1000 por 6 temos: $1000=6 \times 166+4$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7802a0a2c42db868808eg-6.jpg?height=186&width=1219&top_left_y=861&top_left_x=521)
+
+(a) A figura que fica em $1000^{\circ}$ lugar é
+
+(b) O primeiro $\diamond$ está na $3^{\underline{a}}$ posição, o segundo na posição de número $3+6$, o terceiro em $3+6+6$, e assim por adiante, como indicado a seguir: $\mathbf{1}^{\circ} \quad \longrightarrow \quad 3+\mathbf{0} \times 6$ $\mathbf{2}^{-} \quad \longrightarrow \quad 3+\mathbf{1} \times 6$ $\mathbf{3}^{\circ} \longrightarrow 3+\mathbf{2} \times 6$ $4^{\underline{o}} \longrightarrow 3+\mathbf{3} \times 6$ $1000^{\circ} \longrightarrow 3+\mathbf{9 9 9} \times 6$
+
+Logo, o $1000^{\circ} \diamond$ aparece na posição: $3+999 \times 6=5997$.
+
+## 7. A brincadeira com o quadrado -
+
+Solução 1 - Convertendo metros em milímetros temos: $1 \mathrm{~m}=1000 \mathrm{~mm}$. Assim, o quadrado ficou dividido em $1000 \times 1000=10^{6}$ quadradinhos de lado $1 \mathrm{~mm}$ cada um. Colocando-se lado a lado os $10^{6}$ quadradinhos, teremos um retângulo de comprimento
+
+$$
+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{10^{6} \text { parcelas }}=10^{6} \times 1=10^{6} \mathrm{~mm}
+$$
+
+Solução 2 - O quadrado tem área igual $1 \mathrm{~m}^{2}=10^{6} \mathrm{~mm}^{2}$. A área $\Delta$ do retângulo é a mesma do quadrado. Como a largura do retângulo é $\ell=1 \mathrm{~mm}$ temos que o comprimento $c$ em milímitros é
+
+$$
+c=\frac{\Delta}{\ell}=\frac{10^{6}}{1}=10^{6} \mathrm{~mm}
+$$
+
+8. O código da Arca do Tesouro - Nas seguintes duas tabelas mostramos unicamente os números cuja soma é 14 , horizontalmente e verticalmente, respectivamente.
+
+|  |  |  | 9 | 4 | 1 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+|  |  | 7 | 3 | 4 |  |
+| 8 | 2 | 4 |  |  |  |
+|  |  |  | 7 | 5 | 2 |
+|  | 7 | 6 | 1 |  |  |
+|  |  |  | 6 | 7 | 1 |
+
+
+|  | 9 |  |  |  | 1 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+|  | 3 |  |  | 4 | 8 |
+|  | 2 |  |  | 5 | 5 |
+| 7 |  | 5 | 7 | 5 |  |
+| 2 |  | 6 | 1 | 2 |  |
+| 5 |  | 3 | 6 | 7 |  |
+
+Assim, quando eliminamos esses números da tabela inicial, os números que sobrevivem são:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7802a0a2c42db868808eg-7.jpg?height=474&width=394&top_left_y=1962&top_left_x=840)
+
+Portanto, a soma dos números que ficam é $5+4+6+4+8+2=29$.
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L6_N2.md

@@ -0,0 +1,152 @@
+# Lista 6 
+
+1. Números proporcionais - Se $\frac{x}{y}=\frac{3}{z}$, então $9 y^{2}$ é igual a:
+(a) $\frac{x^{2}}{9}$
+(b) $x^{3} z$
+(c) $3 x^{2}$
+(d) $x^{2} z^{2}$
+(e) $\frac{1}{9} x^{2} z^{2}$
+2. Esportistas de uma escola - Em um grupo de 40 estudantes, 20 jogam futebol, 19 jogam vôlei e 15 jogam exatamente uns destes dois esportes. Quantos estudantes não praticam futebol e vôlei?
+(a) 7
+(b) 5
+(c) 13
+(d) 9
+(e) 10
+3. Vamos ao teatro - Na campanha "Vamos ao teatro", 5 ingressos podem ser adquiridos pelo preço usual de 3 ingressos. Mário comprou 5 ingressos nessa campanha. A economia que Mário fez representa que percentual sobre o preço usual dos ingressos?
+(a) $20 \%$
+(b) $33 \frac{1}{3} \%$
+(c) $40 \%$
+(d) $60 \%$
+(e) $66 \frac{2}{3} \%$
+4. Uma desigualdade - Os valores de $x$ que satisfazem $\frac{1}{x-1}>1$ são:
+(a) $x<2$
+(b) $x>1$
+(c) $1<x<2$
+(d) $x<1$
+(e) $x>2$
+5. A sala do Newton- Professor Newton dividiu seus alunos em grupos de $4 \mathrm{e}$ sobraram 2. Ele dividiu seus alunos em grupos de 5 e um aluno ficou de fora. Se 15 alunos são mulheres e tem mais mulheres do que homens, o número de alunos homens é:
+(a) 7
+(b) 8
+(c) 9
+(d) 10
+(e) 11
+6. Um jardim retangular - O retângulo $\mathrm{ABCD}$ representa um terreno retangular cuja largura é $3 / 5$ do comprimento. O retângulo ABEF representa um jardim retangular cuja largura é também $3 / 5$ do comprimento. Qual
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_24e0b8d008632224b4c1g-2.jpg?height=345&width=540&top_left_y=410&top_left_x=1269)
+a razão entre a área do jardim e a área total do terreno?
+(a) $30 \%$
+(b) $36 \%$
+(c) $40 \%$
+(d) $45 \%$
+(e) $50 \%$
+
+7. Os bombons misturados - Marta e Carmem ganharam, cada uma, muitos bombons. Elas misturarm os bombons e agora não sabem mais qual o número de bombons que cada uma ganhou. Vamos ajudá-las a descobrir os números sabendo que:
+
+- juntas ganharam 200 bombons;
+- cada número é múltiplo de 8 ;
+- Marta se lembra que ganhou menos de 100 bombons, mas mais do que $4 / 5$ do que ganhou Carmem.
+
+
+## Soluções da Lista 6
+
+1. Números proporcionais - Como $\frac{x}{y}=\frac{3}{z}$, então $x z=3 y$. Elevando ao quadrado ambos os membros dessa igualdade obtemos $x^{2} z^{2}=9 y^{2}$. A opção correta é (d).
+2. Esportistas de uma escola - Denotemos por $x$ o número de estudantes que praticam simultaneamente os dois esportes. Logo, temos que o número de estudantes que pratica somente futebol é $20-x$ e o que pratica somente vôlei é $19-x$. Portanto os estudantes que praticam exatamente um esporte são
+
+$$
+(20-x)+(19-x)=15
+$$
+
+Segue-se que $x=12$ e teremos que os estudantes que praticam algum esporte são
+
+$$
+20+(19-x)=27
+$$
+
+Portanto, os que não praticam esporte são 13. A opção correta é (c).
+
+3. Vamos ao teatro - Mário pagou 3 e levou 5, logo ele pagou apenas $\frac{3}{5}$ do preço usual e portanto, economizou $\frac{2}{5}$. Como $\frac{2}{5}=\frac{40}{100}$, a economia foi de $40 \%$. A opção correta é (c).
+4. Uma desigualdade - Note que o inverso de um número $b$ só é maior do que 1 quando $b$ for positivo e menor do que 1. Portanto,
+
+$$
+\frac{1}{x-1}>1 \Longleftrightarrow 0<x-1<1 \Longleftrightarrow 1<x<2
+$$
+
+A opção correta é (c).
+
+## 5. A sala do Newton -
+
+Solução 1: Como o número de alunos homens é menor do que 15 e das mulheres é 15 , temos
+
+$$
+15<\text { alunos homens }+ \text { alunas mulheres }<15+15=30
+$$
+
+ou seja: o número de alunos está entre 15 e 30.
+
+Por outro lado quando dividimos por 4 sobram 2 alunos, então o número de alunos é par. Quando dividimos por 5 sobra um, então o último algarismo do número é 1 ou 6 , mas sendo par só pode ser 6 . Assim só temos dois possíveis valores: 16 e 26. Descartamos 16 porque é divisível por 4. Logo, a resposta é 26 .
+
+Solução 2: Como acima, o número de alunos está entre 15 e 30. Observemos que o número 6 dividido por 4 deixa resto 2 e dividido por 5 deixa resto 1. Logo se somamos a 6 um múltiplo comum de 4 e 5 , o número obtido também terá esta propriedade. O menor múltiplo comum de 4 e 5 é 20, assim os possíveis valores para o número de alunos é $6,26,46,66, \ldots$ Dado que o número de alunos está entre 15 e 30 então a solução é 26.
+
+6. Um jardim retangular - Pelos dados do problema sabemos que
+
+$$
+A D=\frac{5}{3} A B \quad \text { e } \quad A B=\frac{5}{3} A F
+$$
+
+Logo,
+
+$$
+A D=\left(\frac{5}{3}\right)^{2} A F=\frac{25}{9} A F
+$$
+
+A área do terreno é $A B \times A D$ e a área do jardim é $A B \times A F$, portanto a razão entre as áreas é
+
+$$
+\frac{A B \times A F}{A B \times A D}=\frac{A F}{A D}=\frac{A F}{\left(\frac{5}{3}\right)^{2} A F}=\frac{9}{25}=36 \%
+$$
+
+A opção correta é (b).
+
+7. Números decrescentes - Escreva os números abaixo em ordem decrescente
+
+$$
+\sqrt[5]{3}, \quad 3^{-2 / 3}, \quad 3^{-2}, \quad\left(\frac{1}{3}\right)^{3}, \quad\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}
+$$
+
+Solução: Sabemos que
+
+- $3^{-2 / 3}=\frac{1}{3^{2 / 3}}<1$,
+- $3^{-2}=\frac{1}{3^{2}}<1$,
+- $\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{3^{3}}<1$,
+- $1<\sqrt[5]{3}<3$.
+Se $a, b$ e $c$ são não nulos e
+
+$$
+a>b>c
+$$
+
+então
+
+$$
+\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<\frac{1}{c}
+$$
+
+Como $3^{3}>3^{2}>3^{2 / 3}$ temos então :
+
+$$
+\frac{1}{3^{3}}<\frac{1}{3^{2}}<\frac{1}{3^{2 / 3}}<1<\sqrt[5]{3}<3
+$$
+
+Portanto,
+
+$$
+\left(\frac{1}{3}\right)^{3}<3^{-2}<3^{-2 / 3}<\sqrt[5]{3}<\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}
+$$
+
+8. Os bombons misturados - Sejam $x$ o número de bombons que Marta ganhou e $y$ o que Carmem ganhou. Temos $x+y=200$. Como $x<100$ então $y \geq 100$. Por outro lado, $x>\frac{4}{5} y$ e $y \geq 100$, concluímos que $x>\frac{4}{5} \times 100=80$. Logo, $x$ é um inteiro compreendido entre 80 e 100 e múltiplo de 8 , logo, só pode ser 88 ou 96 . Vamos decidir:
+
+- Se $x=88$, então $y=200-88=112$. Logo: $x>\frac{4}{5} \times 112=89,5$, o que não é possível.
+- Se $x=96$, então $y=200-96=104$ e $x>\frac{4}{5} \times 104=83,2$, o que é possível.
+
+Logo Marta ganhou 96 bombons e Carmem 104.
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L6_N3.md

@@ -0,0 +1,161 @@
+# Lista 6 
+
+1. Dois divisores - O número $2^{48}$ - 1 é divisível por dois números compreendidos entre 60 e 70. Quais são esses números?
+(a) 61 e 63
+(b) 61 e 65
+(c) 63 e 65
+(d) 63 e 67
+(e) 67 e 69
+2. Rede de estações - Um serviço de vigilância vai ser instalado num parque na forma de uma rede de estações. As estações devem ser conectadas por linhas de telefone, de modo que qualquer uma das estações possa se comunicar com todas as outras, seja por uma conexão direta seja através de no máximo uma outra estação. Cada estação pode ser conectada diretamente por um cabo a no máximo 3 outras estações.
+
+O diagrama mostra um exemplo de uma rede desse tipo conectando 7 estações. Qual é o maior número de estações que podem ser conectadas dessa maneira?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-1.jpg?height=317&width=323&top_left_y=1338&top_left_x=1409)
+
+3. Bolas brancas e pretas - Uma caixa tem exatamente 100 bolas pretas e 100 bolas brancas. Repetidamente, 3 bolas são retiradas da caixa e substituídas por outras bolas que estão em um saco da seguinte maneira:
+
+## BOLINHAS REMOVIDAS <br> SUBSTITUÍDAS POR
+
+3 pretas $\Longrightarrow 1$ preta
+
+2 pretas e 1 branca $\Longrightarrow 1$ preta e 1 branca
+
+1 preta e 2 brancas $\Longrightarrow 2$ brancas
+
+3 brancas $\Longrightarrow 1$ preta e 1 branca
+
+Qual pode ser o conteúdo da caixa depois de seguidas aplicações desse procedimento?
+(a) 2 pretas
+(b) 2 brancas
+(c) 1 preta
+(d) 1 preta e 1 branca
+(e) 1 branca.
+4. $O$ cubo - Alice tem uma folha de cartolina de $60 \mathrm{~cm}$ por $25 \mathrm{~cm}$. Ela quer cortar a folha para montar um cubo. Qual o cubo de maior volume que ela pode construir?
+
+## 5. Um quadrado e um triângulo
+
+- Na figura, $A B C D$ é um quadrado cuja área é $7 / 32$ da área do triângulo $X Y Z$. Qual é a razão entre $X A$ e $X Y$ ?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-2.jpg?height=420&width=529&top_left_y=858&top_left_x=1089)
+
+6. A urna - Uma urna tem 6 bolas numeradas de 1 a 6 . Se duas bolas são extraídas, qual é a probabilidade da diferença entre os números dessas 2 bolas ser 1 ?
+7. Soma das raízes de um equação - Determine a soma das raízes distintas da equação $x^{2}+3 x+2=|x+1|$.
+8. Produto de três números - No diagrama abaixo cada círculo representa um algarismo. Preencha o diagrama colocando em cada círculo um dos algarismos de 0 a 9 , utilizando cada algarismo uma única vez.
+
+$$
+\text { ○×○০×○○○=○○○○ }
+$$
+
+## Soluções da Lista 6
+
+1. Dois divisores - Lembre que
+
+$$
+a^{4}-1=(a-1)\left(a^{3}+a^{2}+a+1\right)
+$$
+
+Logo, se $a=2^{12}$, temos:
+
+$$
+2^{48}-1=\left(2^{12}\right)^{4}-1=\left(2^{12}-1\right)\left(2^{36}+2^{24}+2^{12}+1\right)
+$$
+
+e $2^{12}-1=\left(2^{6}+1\right)\left(2^{6}-1\right)=65 \times 63$. A opção correta é (c).
+
+2. Rede de estações - O exemplo mostra que podemos conectar pelo menos 7 estações dentro das condições propostas. Começamos com uma estação particular, e vamos pensar nela como se fosse a base da rede. Ela pode ser conectada a 1, 2 ou 3 estações conforme mostra o diagrama.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-3.jpg?height=274&width=328&top_left_y=1439&top_left_x=864)
+
+Agora, as estações A, B e C têm ainda duas linhas não utilizadas, logo podem ser conectadas a duas outras estações como a seguir:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-3.jpg?height=469&width=525&top_left_y=2007&top_left_x=774)
+
+Agora, é impossível acrescentar mais estações porque qualquer outra a mais não poderia ser conectada à base satisfazendo as condições do problema. Isso mostra que não podemos ter mais do que 10 estações. Vamos agora verificar se podemos montar a rede com essas 10 estações. Observe no diagrama acima que apenas a Base é conectada a todas as outras estações (através de um cabo ou de uma conexão via uma estação). As estações que estão nos extremos ainda possuem duas linhas não utilizadas, e agora vamos usá-las para "fechar" a rede; veja o diagrama a seguir.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-4.jpg?height=628&width=711&top_left_y=1062&top_left_x=730)
+
+3. Bolas brancas e pretas - Inicialmente observe que depois de cada substituição o número de bolas brancas ou permance o mesmo ou decresce de 2 . Logo o número de bolas brancas permanece par. Por outro lado, cada grupo de bolas removidas que contém pelo menos 1 bola branca é substituído por outro que também contém 1 bola branca, o número de bolas brancas nunca é zero. Agora observe que a opção (b) é a única incluindo pelo menos 2 bolas brancas, logo ela é a opção correta. Um modo de obter esse resultado é remover 3 bolas brancas 49 vezes até obter 149 pretas e 2 brancas, e depois, remover 1 preta e 2 brancas 149 vezes.
+4. $O$ cubo - Seja $a$ a aresta do cubo que queremos construir. Como a área lateral do cubo é $6 a^{2}$, devemos ter $6 a^{2} \leq 25 \times 60$, isto é $a^{2} \leq 250$ e assim $a<16$. Com $a=15$ temos $4=60 \div 15$ quadrados de lado $15 \mathrm{~cm}$ e sobra um retângulo de $60 \mathrm{~cm}$ por $10 \mathrm{~cm}$.
+
+Podemos cortar um retângulo de $60 \mathrm{~cm}$ por $2,5 \mathrm{~cm}$ e os pedaços marcados com $\circledast$ de dimensões $15 \mathrm{~cm}$ por $7,5 \mathrm{~cm}$. Assim na figura a linha pontilhada indica dobradura e a linha continua indica corte e com os pedaços de cartolina marcados com $\circledast$ formamos a tampa.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-5.jpg?height=223&width=537&top_left_y=1162&top_left_x=768)
+
+5. Um quadrado e um triângulo - Sejam $l$ o comprimento do lado do quadrado, $h$ a altura do triângulo $\triangle X A B, H$ a altura do triângulo $\triangle X Y Z$ e $b$ o comprimento do lado $Y Z$.
+
+A área do quadrado é $l^{2}$ e a área do tri ângulo $\triangle X Y Z$ é $\frac{b H}{2}$. Como os triângulos $X Y Z$ e $A B C$ são semelhantes, temos
+
+$$
+\frac{b}{l}=\frac{H}{h}=\frac{X Y}{X A}
+$$
+
+Portanto $b=\frac{H l}{h}=\frac{(h+l) l}{h}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-5.jpg?height=417&width=534&top_left_y=1867&top_left_x=1069)
+
+Assim a área do triângulo $\triangle X Y Z$ é: $\frac{b H}{2}=\frac{(h+l)^{2} l}{2 h}$ e a razão $\frac{X A}{X Y}$ é
+
+$$
+\frac{X A}{X Y}=\frac{h}{H}=\frac{h}{h+l}=\frac{1}{1+\frac{l}{h}}
+$$
+
+Logo, basta calcular $\frac{l}{h}$.
+
+Como a razão entre as área do triângulo $\triangle X Y Z$ e a área do quadrado é $\frac{32}{7}$, então
+
+$$
+\frac{\frac{(h+l)^{2} l}{2 h}}{l^{2}}=\frac{32}{7} \Longrightarrow(h+l)^{2}=\frac{64}{7} h l \Longrightarrow l^{2}-\frac{50}{7} h l+h^{2}=0
+$$
+
+Dividindo por $h^{2}$ obtemos a equação quadrática $\left(\frac{l}{h}\right)^{2}-\frac{50}{7}\left(\frac{l}{h}\right)+1=0$, que tem como soluções
+
+$$
+\frac{l}{h}=\frac{\frac{50}{7} \pm \sqrt{\left(\frac{50}{7}\right)^{2}-4}}{2}=\frac{25 \pm \sqrt{25^{2}-7^{2}}}{7}=\frac{25 \pm 24}{7}
+$$
+
+Assim $\frac{l}{h}$ tem dois possíveis valores $\frac{1}{7}$ e 7 , e em cada um destes casos $\frac{X A}{X Y}$ é $\frac{7}{8}$ e $\frac{1}{8}$, respectivamente.
+
+6. A urna - Observemos que se extraímos a primeira bola com um número entre 2 e 5 , então dentre as 5 bolas que ficam na urna temos duas possíveis bolas que cumprem a condição do problema, logo neste caso a probabilidade que a segunda bola cumpra a condição é $\frac{2}{5}$ e a probabilidade que a primeira bola tenha um número entre 2 e 5 é $\frac{4}{6}$. Por outro lado, se a primeira bola extraída é 1 ou 6 , só temos uma bola na urna que cumpre a condição, logo neste caso a probabilidade para a escolha da segunda bola é $\frac{1}{5}$ e a probabilidade da primeira bola ser 1 ou 6 é $\frac{2}{6}$. Portanto, a probabilidade das bolas serem consecutivas é
+
+$$
+\frac{4}{6} \times \frac{2}{5}+\frac{2}{6} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{3}
+$$
+
+7. Soma das raizes de um equação - Temos que considerar dois casos.
+
+Caso 1: $x \geq-1$.
+
+Nesse caso, $x^{2}+3 x+2=x+1$, e $\log x^{2}+2 x+1=0$ que só possui a solução $x=-1$.
+
+Caso 2: $x<-1$.
+
+Nesse caso, $x^{2}+3 x+2=-x-1$, $\operatorname{logo} x^{2}+4 x+3=0$ que tem, no intervalo, apenas a solução $x=-3$.
+
+Assim as únicas soluções distintas da equação são -1 e -3 , cuja soma é -4 .
+
+8. Produto de três números - Sejam $a, b, c, \ldots$ os números em cada círculo como indicado abaixo.
+
+## $(a) \times(b)(c) \times(d)(e) f=(g)(b)(j)$
+
+Temos que $a, c$ e $f$ não podem ser zero, pois $0 \times x=0$.
+
+Mas, o produto dos três números é um número de 4 algarismos, assim, $a b d<10$ e portanto os números que aparecem em dito produto são $1,2,3$ ou $1,2,4$. Observemos que a segunda é impossível porque o mínimo produto que podemos obter neste caso é
+
+$$
+1 \times 23 \times 456=10488
+$$
+
+assim $a b d=6$ e o produto é maior do que 6000. Por outra parte $a$ não pode ser 2 ou 3 porque nesse caso o mínimo valor que tem o produto é
+
+$$
+2 \times 14 \times 356=9968
+$$
+
+e os outro produtos ficam maiores do que 10000. Portanto $a=1$.
+
+Continuando essa análise, obtemos a solução:
+
+$$
+(1) \times(2) \times(3)(4)=8(9)(7)(0)
+$$
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L7_N1.md

@@ -0,0 +1,39 @@
+# Lista 7 
+
+1. Operações com decimais - Efetue $\frac{(0,2)^{3}+1}{0,2+1}$
+2. Fatores inteiros - Decompor 96 em dois fatores inteiros cuja soma dos quadrados seja 208 .
+3. Divisibilidade - No número $6 a 78 b$, a é o algarismo da unidade de milhar e $b$ é o algarismo da unidade. Se $6 a 78 b$ é divisível por 45 , então o valor de $a+b$ é:
+(a) 5
+(b) 6
+(c) 7
+(d) 8
+(e) 9
+4. Número simples - Um número inteiro positivo é denominado simples se ele tem apenas os algarismos 1 ou 2 (ou ambos). Quantos números simples existem inferiores a um milhão?
+5. O retângulo do Luis - Luís desenhou um retângulo de $6 \mathrm{~cm}$ por $10 \mathrm{~cm}$, e quer dividi-lo em quatro partes. Cada parte tem área, respectivamente, $8 \mathrm{~cm}^{2}$, $12 \mathrm{~cm}^{2}, 16 \mathrm{~cm}^{2}, 24 \mathrm{~cm}^{2}$. Desenhe como ele pode fazer essa divisão.
+6. Venda de $\boldsymbol{T V}$ - O gerente de uma loja foi verificar qual tinha sido o preço de venda em 2006 de uma televisão da marca VejoTudo. Encontrou uma fatura meio apagada, onde se lia: "lote de 72 TV's da VejoTudo vendido por $R \$ \ldots 679 \ldots$ reais", onde os algarismos da unidade e da dezena de milhar estavam ilegíveis. Qual foi o preço de venda em 2006 de cada uma dessas televisões?
+7. Chocolate - Henrique comprou barras de chocolate por $R \$ 1,35$ cada uma. Ele pagou com uma nota de $R \$ 10,00$ reais e recebeu de troco menos do que $R \$ 1,00$. Quantas barras ele comprou?
+
+## Soluções da Lista 7
+
+## 1. Operações com decimais - Temos:
+
+$$
+\frac{(0,2)^{3}+1}{0,2+1}=\frac{0,008+1}{1,2}=\frac{1,008}{1,2}=0,84
+$$
+
+2. Fatores inteiros - No Exercício 7 da Lista 2, encontramos os fatores positivos 8 e 12. As duas possibilidades são: 8 e 12 ou -8 e -12 .
+3. Divisibilidade - O número é divisível por 5 e 9.
+
+Todo número divisível por 5 termina em 0 ou 5 . Assim, $b=0$ ou $b=5$.
+
+Todo número divisível por 9 tem como a soma dos seus algarismos um número múltiplo de 9 .
+
+Logo, temos que $6+a+7+8+0=21+a$ ou $6+a+7+8+5=26+a$ são múltiplos de 9. Donde, $a=6$ ou $a=1$, respectivamente. Daí temos: $a+b=6+0=6 \quad$ ou $a+b=1+5=6$.
+
+4. Número simples - Se o número é menor do que um milhão, então ele tem 6 algarismos. Para cada posição deste número temos duas possibilidades: 1 ou 2. Como são 6 posições temos $2^{6}=64$ números simples.
+5. O retângulo do Luís - Como $24=4 \times 6$, então ele construiu o primeiro retângulo, tirando $4 \mathrm{~cm}$ do lado de $10 \mathrm{~cm}$, sobrando um quadrado de lado $6 \mathrm{~cm}$. Sendo $16=4 \times 4$, ele construiu um quadrado de lado $4 \mathrm{~cm}$ sobrando dois retângulos de áreas $(6-4) \times 4=8 \mathrm{~cm}^{2}$ e $(6-4) \times 6=12 \mathrm{~cm}^{2}$, como, por exemplo, a divisão mostrada na figura ao lado.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b5c341d562c6157835e4g-4.jpg?height=340&width=463&top_left_y=407&top_left_x=791)
+
+6. Venda de $\boldsymbol{T V}$ - Sejam $a$ o algarismo da dezena de milhar e $b$ o da unidade. Como o número é divisível por $72=8 \times 9$ temos que $79 b$ é um número par divisível por 8 . Testando os valores de $b=0,2,4,6$ e 8 , vemos que $b=2$. Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 9. Então, $a+6+7+9+2=a+24$ é um múltiplo de 9. Logo, $a=3$. Assim, cada TV custou: $36792 \div 72=511$ reais.
+7. Chocolate - Como $8 \times 1,35=10,8$ é maior do que 10, então ele comprou 7 barras de chocolate e recebeu de troco: $10-7 \times 1,35=0,55$ reais ou 55 centavos.

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L7_N2.md

@@ -0,0 +1,121 @@
+# Lista 7 
+
+1. Jantar aos sábado - Três casais jantam todo sábado no mesmo restaurante, numa mesma mesa redonda. A política do restaurante é :
+
+(a) jamais colocar juntos à mesa como vizinhos marido e mulher;
+
+(b) a disposição dos seis à mesa é diferente a cada sábado.
+
+Durante quantos sábados os casais poderão ir ao restaurante sem repetir as disposições à mesa?
+
+2. Expressão com radicais - O valor de $(\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}})^{4}$ é:
+(a) $\sqrt{2}+\sqrt{3}$
+(b) $\frac{1}{2}(7+3 \sqrt{5})$
+(c) $1+2 \sqrt{3}$
+(d) 3
+(e) $3+2 \sqrt{2}$
+3. Uma diferença - O valor de $\frac{\sqrt[3]{-0,001} \times \sqrt{400}}{\sqrt{0,25}}-\frac{\sqrt{0,036}-\sqrt{0,4}}{\sqrt{0,4}}$ é:
+(a) $-3,3$
+(b) $-4,7$
+(c) $-4,9$
+(d) $-3,8$
+(e) $-7,5$
+4. A Terra - A superfície do globo terrestre consiste de água (70\%) e de terra (30\%). Dois quintos da terra são desertos ou cobertos por gelo e, um terço é pastagem, floresta ou montanha; o resto é cultivado. Que percentual da superfície total do globo terrestre é cultivada?
+5. Uma fração - Determine $\frac{A N}{A C}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dd76292562bf30692f44g-2.jpg?height=411&width=340&top_left_y=431&top_left_x=1121)
+
+6. Cáculo de ângulo - Na figura $P Q$ é paralelo a $R S$ e $T U=T V$. Se o ângulo $\widehat{T W S}=110^{\circ}$, o ângulo $\widehat{Q U V}$ mede:
+(a) $135^{\circ}$
+(b) $130^{\circ}$
+(c) $125^{\circ}$
+(d) $115^{\circ}$
+(e) $110^{\circ}$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dd76292562bf30692f44g-2.jpg?height=509&width=479&top_left_y=1316&top_left_x=800)
+
+7. Uma loja de brinquedos - Uma loja estava vendendo um brinquedo por $R \$ 13,00$ a unidade. Para conseguir vender todo o seu estoque que não era superior a 100 unidades, resolveu abaixar o preço de um número inteiro de reais. Com isso, conseguiu vender todo o estoque por $R \$ 781,00$. Qual foi a redução do preço, por unidade?
+
+## Soluções da Lista 7
+
+1. Jantar aos sábado - Para simplificar, vamos denotar cada casal por um par de números: $(1,2),(3,4),(5,6)$, onde em cada par, um número representa o marido e o outro a mulher. Três pares não podem ser vizinhos $(1,2),(3,4)$, $(5,6)$
+
+Veja duas disposições possíveis; no sentido horário começando em 1: 1-3-2-5$4-6$ e $1-6-4-5-2-3$.
+
+<img class="imgSvg" id = "lvno6n7f4jajyg0sa05" src="data:image/svg+xml;base64,<svg id="smiles-lvno6n7f4jajyg0sa05" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 265 192.67666267765293" style="width: 265.3512542912399px; height: 192.67666267765293px; overflow: visible;"><defs><linearGradient id="line-lvno6n7f4jajyg0sa05-1" gradientUnits="userSpaceOnUse" x1="191.8512542912525" y1="96.33840644310803" x2="223.35125429123988" y2="96.33843471772232"><stop stop-color="currentColor" offset="20%"></stop><stop stop-color="currentColor" offset="100%"></stop></linearGradient><linearGradient id="line-lvno6n7f4jajyg0sa05-3" gradientUnits="userSpaceOnUse" x1="185.30200837374954" y1="127.15004998758761" x2="191.8512542912525" y2="96.33840644310803"><stop stop-color="currentColor" offset="20%"></stop><stop stop-color="currentColor" offset="100%"></stop></linearGradient><linearGradient id="line-lvno6n7f4jajyg0sa05-5" gradientUnits="userSpaceOnUse" x1="185.302063687242" y1="65.52675114138273" 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            "></text><text x="54.81225836164245" y="51.8116015202129" class="debug" fill="#ff0000" style="
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            "></text><text x="78.22133928358076" y="30.7340084320507" class="debug" fill="#ff0000" style="
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                font: 5px Droid Sans, sans-serif;
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            "></text><text x="185.302063687242" y="65.52675114138273" class="debug" fill="#ff0000" style="
                font: 5px Droid Sans, sans-serif;
            "></text></g></svg>"/>
+
+
+Fixando a posição do 1 na mesa e lendo os números formados no sentido horário, o problema se resume em encontrar todos os números de 6 algarismos distintos que podem ser escritos com os algarismos $1,2,3,4,5$ e 6 , onde:
+
+- os números todos começam com o algarismo 1;
+- não podem aparecer juntos 1 e 2,3 e 4, 5 e 6 .
+
+Encontramos os 16 números que estão na tabela.
+
+| 132546 | 132645 | 135246 | 135264 | 135426 | 136245 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 136254 | 136425 | 142536 | 142635 | 145236 | 145326 |
+| 146235 | 146325 | 153246 | 154236 |  |  |
+
+Logo, a resposta é 16 sábados.
+
+## 2. Expressão com radicais -
+
+$$
+(\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}})^{4}=(1+\sqrt{2})^{2}=1+2 \sqrt{2}+2=3+2 \sqrt{2}
+$$
+
+A opção correta é (e).
+
+3. Possiveis triângulos - Os lados de um triângulo têm comprimentos: $a, a+2$ e $a+5$, onde $a>0$. Determine os possíveis valores de $a$.
+
+Solução: Como a soma dos comprimentos dos lados menores deve ser maior que o comprimento do lado maior, então temos que $a+(a+2)>a+5$, assim $a>3$.
+
+4. Uma diferença - (a) Temos:
+
+$\frac{-0,1 \times 20}{0,5}-\frac{\sqrt{0,4}(\sqrt{0,09}-1)}{\sqrt{0,4}}=-\frac{20}{5}-(0,3-1)=-4-0,3+1=-3,3$.
+
+5. A Terra - A fração da terra que é cultivada é
+
+$$
+1-\frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{15-6-5}{15}=\frac{4}{15}
+$$
+
+Como a terra é $\frac{3}{10}$ do globo, temos que área cultivada é $\frac{4}{15} \times \frac{3}{10}=\frac{2}{25}$ do globo, isto é o $\frac{2}{25} \times 100 \%=8 \%$ do globo terrestre.
+
+6. Uma fração - A figura mostra que $M N$ é paralelo a $B C$, logo os triângulos $A B C$ e $A M N$ são semelhantes, e por isso seus lados são proporcionais. Usando o lado dos quadradinhos da grade da figura, temos: $\frac{A M}{A B}=\frac{4}{7}$. Logo,
+
+$$
+\frac{A N}{A C}=\frac{A M}{A B}=\frac{4}{7}
+$$
+
+7. Cáculo de ângulo - Como as retas $P Q$ e $R S$ são paralelas, então os ângulos $\widehat{T W S}$ e $\widehat{Q T W}$ são complementares. Assim temos que
+
+$$
+\widehat{Q T W}=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}
+$$
+
+Por outro lado, sabemos que o triângulo $\triangle U T V$ é isósceles, logo os ângulos em $U$ e em $V$ são iguais. Usando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$ temos que
+
+$$
+2 \widehat{T U V}=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}
+$$
+
+Portanto
+
+$$
+\widehat{T U V}=55^{\circ} \text { e } \widehat{Q U V}=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ}
+$$
+
+A opção correta é (c).
+
+8. Uma loja de brinquedos - Se $x$ é o desconto em reais e $y$ é o número de peças, então
+
+$$
+(13-x) \times y=781 \text { e } y<100
+$$
+
+Assim, $(13-x)$ e $y$ são divisores de 781 . Como $781=11 \times 71$, a única solução é $y=71$ e $13-x=11$. Logo, a redução foi de $R \$ 2,00$.
+
+Observação: $x=12$ e $y=781$ é solução da equação $(13-x) \times y=781$, mas não do problema porque devemos ter $y<100$.
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L7_N3.md

@@ -0,0 +1,208 @@
+# Lista 7 
+
+1. Área do triângulo - Determine a área do triângulo $A B C$ mostrado na figura.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-1.jpg?height=345&width=437&top_left_y=553&top_left_x=1272)
+
+2. Duas tabelas - As duas tabelas abaixo foram formadas de acordo com uma mesma regra, mas na segunda indicamos apenas três números. Qual o número que deve ser colocado na casa com $\star$ ?
+
+| 5 | 8 | 11 | 14 | 17 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
+| 19 | 22 | 25 | 28 | 31 |
+| 26 | 29 | 32 | 35 | 38 |
+| 33 | 36 | 39 | 42 | 45 |
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-1.jpg?height=403&width=434&top_left_y=1215&top_left_x=1188)
+
+3. A seqüência $\boldsymbol{a b c}$ - A lei de formação da sequiência $10, a, 30, b, c, \ldots$ é: cada termo, começando com o 30, é o dobro da soma dos dois termos imediatamente anteriores. Qual o valor de $c$ ?
+4. Perímetro e diagonal - O perímetro de um retângulo $A B C D$ á $20 \mathrm{~m}$. O menor comprimento, em metros, que a diagonal $A C$ pode ter é:
+(a) 0
+(b) $\sqrt{50}$
+(c) 10
+(d) $\sqrt{200}$
+(e) $20 \sqrt{5}$
+5. As idades numa classe - Numa classe na escola, todos os alunos têm a mesma idade, exceto sete que têm 1 ano a menos e dois que têm 2 anos a mais.
+
+A soma das idades de todos os alunos dessa classe é 330. Quantos alunos tem essa classe?
+
+6. A mesa redonda - Uma mesa redonda tem $1,40 m$ de diâmetro. Para uma festa, a mesa é aumentada colocando-se três tábuas de $40 \mathrm{~cm}$ de largura cada uma, como mostra a figura. Se cada pessoa à mesa deve dispor de um espaço
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-2.jpg?height=506&width=724&top_left_y=618&top_left_x=996)
+de $60 \mathrm{~cm}$, quantos convidados poderão se sentar na mesa?
+7. Brincadeira com 7 números - Sete números inteiros positivos estão escritos em ordem crescente numa mesma linha. Coloque entre esses números cinco sinais de " + " e um só de " $=$ " para obter uma igualdade.
+8. Um terreno compartilhado - Três amigas compraram um terreno quadrado e querem reparti-lo como indicado na figura, por que em $A$ se encontra uma fonte de água. Elas querem também que as áreas das três partes sejam iguais. Onde devem estar os pontos $M$ (sobre $B C)$ e $N$ (sobre $C D)$ ?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-2.jpg?height=320&width=332&top_left_y=2147&top_left_x=859)
+
+## Soluções da Lista 7
+
+1. Área do triângulo - Para determinar a á rea basta conhecer o comprimento de uma base e sua respectiva altura. Se $A C$ é uma base, então a altura corta $A C$ no ponto $H=(1,0)$. Assim, a base $A C=8$ e a altura $B H$ relativa a essa base é 7 .
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-3.jpg?height=348&width=439&top_left_y=551&top_left_x=1408)
+Logo, a área do triângulo é $\frac{7 \times 8}{2}=28$.
+
+## 2. Duas tabelas -
+
+| 5 | 8 | 11 | 14 | 17 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
+| 19 | 22 | 25 | 28 | 31 |
+| 26 | 29 | 32 | 35 | 38 |
+| 33 | 36 | 39 | 42 | 45 |
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-3.jpg?height=397&width=440&top_left_y=1138&top_left_x=1185)
+
+Observemos que na primeira tabela cada linha é uma progressão aritmética de razão 3 e cada coluna é uma progressão aritmética de razão 7. Suponhamos que na segunda tabela cada linha é uma progressão aritmética de razão $a$ e cada coluna é uma progressão aritmética de razão $b$. Assim temos que:
+
+| $39-2 a$ | $39-a$ | 39 | $39+a$ | $39+2 a$ |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| $39-2 a+b$ |  |  |  | $39+2 a+b$ |
+| $39-2 a+2 b$ |  |  |  | 87 |
+| 56 |  |  |  |  |
+|  |  |  | $\star$ |  |
+
+Logo: $\left\{\begin{array}{l}39+2 a+2 b=87 \\ 39-2 a+3 b=56 .\end{array}\right.$ Somando essas duas equações obtemos $78+$ $5 b=143$, donde $b=13$ e $a=\frac{48-2 b}{2}=11$. Portanto, o número na posição da é: $39+a+4 b=39+11+4 \times 13=102$.
+3. $\boldsymbol{A}$ seqüência $\boldsymbol{a b c}$ - Sabemos que $30=2(10+a), \log o=5$. Assim
+
+$$
+b=2(30+a)=2(30+5)=70
+$$
+
+e
+
+$$
+c=2(b+30)=2(70+30)=200
+$$
+
+4. Perímetro e diagonal - Denotemos por $a$ e $b$ os comprimentos dos lados do retângulo, assim $2 a+2 b=20$, $\log a+b=10$. Por outro lado quadrado do comprimento da diagonal pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras, assim $d^{2}=a^{2}+b^{2}$. Como
+
+$$
+\begin{aligned}
+2 d^{2} & =2 a^{2}+2 b^{2}=\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)+\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right) \\
+& =(a+b)^{2}+(a-b)^{2} \\
+& =100+(a-b)^{2}
+\end{aligned}
+$$
+
+temos que o comprimento da diagonal é mínimo quando $a=b$, e neste caso $2 d^{2}=100$ e $d=\sqrt{50}$. A opção correta é (b).
+
+5. As idades numa classe - Denotemos por $a$ a idade comum dos alunos e $n$ o número de alunos, assim temos 7 alunos com $a-1$ anos, 2 com $a+2$ anos e o resto, isto é, $n-9$ com $a$ anos. Assim a soma das idades é
+
+$$
+7(a-1)+2(a+2)+(n-9) a=n a-3=330
+$$
+
+$\log o$
+
+$$
+n a=333=9 \times 37
+$$
+
+Como a classe tem mais do que 9 alunos, então $a=9$ e $n=37$, portanto a classe tem 37 alunos.
+
+## 6. A mesa redonda -
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-5.jpg?height=510&width=750&top_left_y=470&top_left_x=752)
+
+O perímetro de mesa aumentada é
+
+$$
+140 \times \pi+40 \times 6 \simeq 140 \times 3,14+240=679,60 \mathrm{~cm}
+$$
+
+Se cada convidado precisa de $60 \mathrm{~cm}$ para colocar-se ao redor da mesa e
+
+$$
+\frac{679,60}{60} \simeq 11,3
+$$
+
+Então, podem se acomodar 11 convidados.
+
+## 7. Brincadeira com 7 números -
+
+Solução 1 - Os 7 números podem ser escritos como
+
+$$
+\underbrace{n-3, n-2, n-1}_{3 n-6}, n, \underbrace{n+1, n+2, n+3}_{3 n+6}
+$$
+
+Observando que $3 n-6+12=3 n+6$, concluímos que $n=12$. Logo, os números são
+
+$$
+9+10+11+12=13+14+15
+$$
+
+Solução 2 - Seja $n+1, n+2, \ldots, n+7$ os sete números consecutivos e suponhamos que
+
+$$
+(n+1)+\cdots+(n+k)=(n+k+1)+\cdots+(n+7)
+$$
+
+Como os números à esquerda são menores, então tem mais somandos à esquerda, assim $k \geq 4$. Supondo $k=4$, a igualdade anterior é
+
+$$
+4 n+1+2+3+4=3 n+5+6+7
+$$
+
+$\log n=8$. No caso $k=5$ temos que
+
+$$
+5 n+1+2+3+4+5=2 n+6+7
+$$
+
+que não gera solução inteira. De igual forma $k=6$ não gera solução inteira positiva. Portanto a única solução é
+
+$$
+9+10+11+12=13+14+15
+$$
+
+8. Um terreno compartilhado - Como as áreas de $\triangle A B M$ e $\triangle A D N$ são iguais e $A B=A D$ temos então
+
+$$
+\frac{B M \times A B}{2}=\frac{N D \times A D}{2} \Longrightarrow B M=D N
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-6.jpg?height=320&width=343&top_left_y=1345&top_left_x=1325)
+
+Assim, a figura $A M C N$ é simétrica com respeito à diagonal $A C$. Portanto, a área do $\triangle A C N$ é a metade da área do $\triangle A D N$. Agora, como esses triângulos têm a mesma altura então $D N=2 N C$ e pela simetria temos que $B M=2 M C$. Concluímos que $B M$ é $2 / 3$ do lado do quadrado, o mesmo ocorrendo com $D N$.
+
+## Lista 8
+
+1. As duas partículas - Duas partículas, $A$ e $B$, percorrem uma circunferência de $120 m$ de comprimento. A partícula $A$ gasta 3 segundos menos que $B$, por estar animada com uma velocidade maior de 2 metros por segundo. Qual é a velocidade de cada partícula?
+2. Queda livre - Um corpo em queda livre demora 11 segundos para tocar o solo. No primeiro segundo ele percorre $4,5 \mathrm{me}$, em cada segundo que segue, a distância percorrida aumenta de $9,8 \mathrm{~m}$. Qual a altura da queda e quantos metros ele percorreu no último segundo?
+3. Um caminho retangular - Janete passeia por um caminho de forma retangular $A B C D$ com largura $A B=1992 \mathrm{~m}$. Ela gasta 24 minutos para percorrer a largura $A B$. Depois, com a mesma velocidade, ela percorre o comprimento $B C$ e a diagonal $C A$ em 2 horas e 46 minutos. Qual é o comprimento $B C$ ?
+4. O preço do feijão - A tabela e o gráfico, dados a seguir, mostram a evolução do preço médio de três tipos de feijão, A, B e C, na bolsa de alimentos durante os primeiros quatro meses de certo ano: Desses 3 tipos, os que apresentam, respectivamente, o maior e o menor crescimento percentual no preço nesse período são:
+(a) $A$ e $B$
+(b) $A$ e $C$
+(c) $B$ e $C$
+(d) $C$ e $A$
+(e) $C$ e $B$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-7.jpg?height=657&width=440&top_left_y=1919&top_left_x=1413)
+
+|  | jan | fev | mar | abr |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| A | 65,67 | 83,33 | 96,67 | 103,33 |
+| B | 73,30 | 80,50 | 99,55 | 109,50 |
+| C | 64,50 | 71,57 | 89,55 | 100,00 |
+
+5. Interseç̧ão de triângulos - Os 3 triângulos da figura se cortam em 12 pontos diferentes. Qual é o número máximo de pontos de intersecção de 3 triângulos?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-8.jpg?height=340&width=623&top_left_y=1155&top_left_x=748)
+
+6. Comparar triângulos - Na figura, estão indicados os comprimentos dos segmentos. Demonstre que $A C$ divide o ângulo $\widehat{D A B}$ ao meio.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-8.jpg?height=251&width=531&top_left_y=1682&top_left_x=1179)
+
+7. Queima de velas - Dois tipos de vela têm o mesmo comprimento mas são feitas de material diferente; uma queima completamente em 3 horas e a outra em 4 horas, ambas queimam com velocidade uniforme. A que horas as velas devem ser acesas de modo que às 16 horas o comprimento de uma seja o dobro do da outra?
+(a) $1: 24$
+(b) $1: 28$
+(c) $1: 36$
+(d) $1: 40$
+(e) $1: 48$
+8. Uma distração - Em vez de multiplicar certo número por 6, Julia se distraiu e dividiu o número por 6. O erro cometido por Julia foi de aproximadamente
+(a) $100 \%$
+(b) $97 \%$
+(c) $83 \%$
+(d) $17 \%$
+(e) $3 \%$

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L8_N1.md

@@ -0,0 +1,161 @@
+# Lista 8 
+
+1. $O$ quadradinho - Qual o valor de $\square$ em $\frac{6400000}{400}=1,6 \times \square$ ?
+2. Dois números - O produto de dois números de dois algarismos cada um é 1728. Se e o máximo divisor comum $(m d c)$ deles é 12, quais são esses números?
+3. As idades dos irmãos - No dia de seu aniversário de 7 anos, 13 de março de 2007, uma $3^{a}$-feira, Carlos disse a seu irmão: "A contar de hoje, faltam 2000 dias para você completar 15 anos". Em que dia da semana vai cair o aniversário do irmão de Carlos?. Quantos anos terá Carlos nesse dia?
+4. A mistura de concreto - Uma certa mistura de concreto é feita de cimento, areia e terra na razão $1: 3: 5$ por quilo. Quantos quilos dessa mistura pode ser feita com 5 quilos de cimento?
+(a) $13 \frac{1}{3}$
+(b) 15
+(c) 25
+(d) 40
+(e) 45
+5. Ponto na escala - A que número corresponde o ponto $\mathrm{P}$ na escala abaixo?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_372bf95320fb8596c1bdg-1.jpg?height=100&width=894&top_left_y=2023&top_left_x=701)
+
+6. O pomar do Francisco - O pomar do Francisco tem macieiras, pereiras, laranjeiras, limoeiros e tangerineiras, dispostas em cinco filas paralelas, cada uma com uma única variedade de árvores, da seguinte maneira:
+
+- as laranjeiras estão do lado dos limoeiros;
+- as pereiras não estão do lado das laranjeiras nem dos limoeiros;
+- as macieiras estão do lado das pereiras, mas não dos limoeiros, nem das laranjeiras.
+
+Em que fila estão as tangerineiras?
+(a) $1^{\underline{a}}$
+(b) $2^{\underline{a}}$
+(c) $3^{\underline{a}}$
+(d) $4^{\underline{a}}$
+(e) $5^{\underline{a}}$
+
+7. Quatro quadrados - Quatro quadrados iguais, com $3 \mathrm{~cm}^{2}$ de área cada um, estão superpostos formando a figura abaixo. Qual é a área dessa figura?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_372bf95320fb8596c1bdg-2.jpg?height=442&width=803&top_left_y=1304&top_left_x=638)
+
+8. O fio de arame - Com um fio de arame Ernesto formou a figura abaixo.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_372bf95320fb8596c1bdg-2.jpg?height=63&width=303&top_left_y=2073&top_left_x=885)
+
+Qual das figuras abaixo ele pode formar com o mesmo fio de arame, cortando ou não o fio?
+(a)
+
+<img class="imgSvg" id = "lvno7j4wi4m9ndzva5p" src="data:image/svg+xml;base64,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"/>
+(b) $\mathrm{a}$
+(c)
+
+<img class="imgSvg" id = "lvno7j5jvorpeuwmrer" src="data:image/svg+xml;base64,<svg id="smiles-lvno7j5jvorpeuwmrer" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 302 57.7501285543016" style="width: 302.2384017536291px; height: 57.7501285543016px; overflow: visible;"><defs><linearGradient id="line-lvno7j5jvorpeuwmrer-1" gradientUnits="userSpaceOnUse" x1="232.95861213740585" y1="21.000110189404438" x2="260.2384017536291" y2="36.7501285543016"><stop stop-color="currentColor" offset="20%"></stop><stop stop-color="currentColor" offset="100%"></stop></linearGradient><linearGradient id="line-lvno7j5jvorpeuwmrer-3" gradientUnits="userSpaceOnUse" x1="205.67880131522182" y1="36.75009182450012" x2="232.95861213740585" y2="21.000110189404438"><stop stop-color="currentColor" offset="20%"></stop><stop stop-color="currentColor" offset="100%"></stop></linearGradient><linearGradient id="line-lvno7j5jvorpeuwmrer-5" gradientUnits="userSpaceOnUse" x1="178.39901169899858" y1="21.00007345960296" x2="205.67880131522182" y2="36.75009182450012"><stop stop-color="currentColor" offset="20%"></stop><stop stop-color="currentColor" offset="100%"></stop></linearGradient><linearGradient id="line-lvno7j5jvorpeuwmrer-7" gradientUnits="userSpaceOnUse" x1="151.11920087681455" y1="36.75005509469864" x2="178.39901169899858" y2="21.00007345960296"><stop stop-color="currentColor" offset="20%"></stop><stop stop-color="currentColor" offset="100%"></stop></linearGradient><linearGradient id="line-lvno7j5jvorpeuwmrer-9" gradientUnits="userSpaceOnUse" x1="123.83941126059129" y1="21.00003672980148" x2="151.11920087681455" y2="36.75005509469864"><stop stop-color="currentColor" offset="20%"></stop><stop stop-color="currentColor" offset="100%"></stop></linearGradient><linearGradient id="line-lvno7j5jvorpeuwmrer-11" gradientUnits="userSpaceOnUse" x1="96.55960043840727" y1="36.75001836489716" x2="123.83941126059129" y2="21.00003672980148"><stop stop-color="currentColor" offset="20%"></stop><stop stop-color="currentColor" offset="100%"></stop></linearGradient><linearGradient id="line-lvno7j5jvorpeuwmrer-13" gradientUnits="userSpaceOnUse" x1="69.27981082218402" y1="21" x2="96.55960043840727" y2="36.75001836489716"><stop stop-color="currentColor" offset="20%"></stop><stop stop-color="currentColor" offset="100%"></stop></linearGradient><linearGradient id="line-lvno7j5jvorpeuwmrer-15" gradientUnits="userSpaceOnUse" x1="42" y1="36.74998163509568" x2="69.27981082218402" y2="21"><stop stop-color="currentColor" offset="20%"></stop><stop stop-color="currentColor" offset="100%"></stop></linearGradient></defs><mask id="text-mask-lvno7j5jvorpeuwmrer"><rect x="0" y="0" width="100%" height="100%" fill="white"></rect></mask><style>
                .element-lvno7j5jvorpeuwmrer {
                    font: 14px Helvetica, Arial, sans-serif;
                    alignment-baseline: 'middle';
                }
                .sub-lvno7j5jvorpeuwmrer {
                    font: 8.4px Helvetica, Arial, sans-serif;
                }
            </style><g mask="url(#text-mask-lvno7j5jvorpeuwmrer)"><line x1="232.95861213740585" y1="21.000110189404438" x2="260.2384017536291" y2="36.7501285543016" style="stroke-linecap:round;stroke-dasharray:none;stroke-width:1.26" stroke="url('#line-lvno7j5jvorpeuwmrer-1')"></line><line x1="205.67880131522182" y1="36.75009182450012" x2="232.95861213740585" y2="21.000110189404438" style="stroke-linecap:round;stroke-dasharray:none;stroke-width:1.26" stroke="url('#line-lvno7j5jvorpeuwmrer-3')"></line><line x1="178.39901169899858" y1="21.00007345960296" x2="205.67880131522182" y2="36.75009182450012" style="stroke-linecap:round;stroke-dasharray:none;stroke-width:1.26" stroke="url('#line-lvno7j5jvorpeuwmrer-5')"></line><line x1="151.11920087681455" y1="36.75005509469864" x2="178.39901169899858" y2="21.00007345960296" style="stroke-linecap:round;stroke-dasharray:none;stroke-width:1.26" stroke="url('#line-lvno7j5jvorpeuwmrer-7')"></line><line x1="123.83941126059129" y1="21.00003672980148" x2="151.11920087681455" y2="36.75005509469864" style="stroke-linecap:round;stroke-dasharray:none;stroke-width:1.26" stroke="url('#line-lvno7j5jvorpeuwmrer-9')"></line><line x1="96.55960043840727" y1="36.75001836489716" x2="123.83941126059129" y2="21.00003672980148" style="stroke-linecap:round;stroke-dasharray:none;stroke-width:1.26" stroke="url('#line-lvno7j5jvorpeuwmrer-11')"></line><line x1="69.27981082218402" y1="21" x2="96.55960043840727" y2="36.75001836489716" style="stroke-linecap:round;stroke-dasharray:none;stroke-width:1.26" stroke="url('#line-lvno7j5jvorpeuwmrer-13')"></line><line x1="42" y1="36.74998163509568" x2="69.27981082218402" y2="21" style="stroke-linecap:round;stroke-dasharray:none;stroke-width:1.26" stroke="url('#line-lvno7j5jvorpeuwmrer-15')"></line></g><g><text x="260.2384017536291" y="36.7501285543016" class="debug" fill="#ff0000" style="
                font: 5px Droid Sans, sans-serif;
            "></text><text x="232.95861213740585" y="21.000110189404438" class="debug" fill="#ff0000" style="
                font: 5px Droid Sans, sans-serif;
            "></text><text x="205.67880131522182" y="36.75009182450012" class="debug" fill="#ff0000" style="
                font: 5px Droid Sans, sans-serif;
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                font: 5px Droid Sans, sans-serif;
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                font: 5px Droid Sans, sans-serif;
            "></text><text x="96.55960043840727" y="36.75001836489716" class="debug" fill="#ff0000" style="
                font: 5px Droid Sans, sans-serif;
            "></text><text x="69.27981082218402" y="21" class="debug" fill="#ff0000" style="
                font: 5px Droid Sans, sans-serif;
            "></text><text x="42" y="36.74998163509568" class="debug" fill="#ff0000" style="
                font: 5px Droid Sans, sans-serif;
            "></text></g></svg>"/>
+(d) $ิ$
+(e) 8
+
+9. Quantos fósforos são necessários para formar o oitavo termo da seqüência, cujos três primeiros termos são mostrados abaixo?
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_372bf95320fb8596c1bdg-3.jpg?height=74&width=570&top_left_y=614&top_left_x=866)
+(a) 21
+(b) 24
+(c) 27
+(d) 30
+(e) 34
+
+## Soluções da Lista 8
+
+1. $O$ quadradinho - Por simplificação $\frac{6400000}{400}=16000$, logo:
+
+$$
+\frac{6400000}{400}=1,6 \times \square \quad \Longrightarrow \quad 16000=1,6 \times
+$$
+
+Segue que $\square=10000$.
+
+2. Dois números - Como 12 é o maior divisor comum dos dois números, ambos são múltiplos de 12 , logo estão dentre os números
+
+$$
+12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144, \ldots
+$$
+
+Da lista acima, temos três únicas possibilidades:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 12 \times 144=1728 \text { e } m d c(12,144)=12 \\
+& 24 \times 72=1728 \quad \text { e } \quad m d c(24,72)=24 \\
+& 36 \times 48=1728 \quad \text { e } \quad m d c(36,48)=12
+\end{aligned}
+$$
+
+Logo, temos duas soluções: 12 e 144, ou 36 e 48 .
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 12=2^{2} \times 3,144=2^{4} \times 3^{2} \\
+& m d c(12,144)=2^{2} \times 3
+\end{aligned}
+$$
+
+72 é múltiplo de 24 , $\Rightarrow m d c(24,72)=24$
+
+$36=2^{2} \times 3^{2}$ e $48=2^{4} \times 3$, $\Rightarrow m d c(36,48)=2^{2} \times 3$
+
+3. As idades dos irmãos - Dividindo 2000 por 7 obtemos $2000=7 \times 285+5$. Logo, 2000 dias equivalem a 285 semanas mais 5 dias. Como o dia 13 de março de 2007 caiu em uma terça-feira, contando os 5 dias restantes, temos que o aniversário do seu irmão cairá em um domingo.
+
+Agora, dividindo 2000 por 365 obtemos $2000=365 \times 5+175$. Logo, 2000 é, aproximadamente, igual a cinco anos e meio, portanto Carlos terá 12 anos de idade.
+
+4. A mistura de concreto - De acordo com os dados do problema temos:
+
+$$
+\begin{array}{cccc}
+\text { cimento } & \text { areia } & & \text { terra } \\
+1 \mathrm{~kg} & \longleftrightarrow 3 \mathrm{~kg} & \longleftrightarrow & 5 \mathrm{~kg}
+\end{array}
+$$
+
+Logo, com $5 k g$ de cimento temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& \text { cimento } \quad \text { areia } \quad \text { terra } \\
+& 1 \mathrm{~kg} \times 5 \longleftrightarrow 3 \mathrm{~kg} \times 5 \longleftrightarrow 5 \mathrm{~kg} \times 5
+\end{aligned}
+$$
+
+Assim, com 5 quilos de cimento essa mistura tem $5+15+25=45 \mathrm{~kg}$.
+
+5. Ponto na escala - A distância entre os pontos inicial e final é de: 12,62 $12,44=0,18$. Como estão marcados 18 intervalos, o comprimento de cada um deles é de $0,18 \div 18=0,01$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_372bf95320fb8596c1bdg-5.jpg?height=109&width=891&top_left_y=1413&top_left_x=702)
+
+O número $P$ está na $6^{\underline{a}}$ posição à direita de 12,44 . Assim, o ponto $P$ vale:
+
+$$
+12,44+0,01 \times 6=12,50
+$$
+
+6. O pomar de Francisco - Podemos observar que temos os dois pares de árvores:
+
+- laranjeiras e limoeiros,
+- macieiras e pereiras,
+
+que não são vizinhos. Como $5=2+1+2$, temos que as tangerineiras estão na $3^{\underline{a}}$ fila.
+
+7. Quatro quadrados - Se a área de cada quadrado é $3 \mathrm{~cm}^{2}$ e cada um deles está dividido em 16 quadradinhos, então a área de cada quadradinho é $\frac{3}{16} \mathrm{~cm}^{2}$. Como os 4 quadrados se superpõem em 6 quadradinhos, temos que a área da figura é:
+
+$$
+4 \times 3-6 \times \frac{3}{16}=12-\frac{9}{8}=10,875 \mathrm{~cm}^{2}
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_372bf95320fb8596c1bdg-6.jpg?height=457&width=807&top_left_y=842&top_left_x=636)
+
+8. O fio de arame - A figura é composta de 3 semicírculos, o que exclui as opções (b), (c) e (e), e 4 segmentos de reta. A opção (a) só tem 3 segmentos, logo a opção correta é (d).
+
+Observação: Esse exercício usa uma certa "informalidade", pois para decidirmos entre as opções (a) e (d), estamos admitindo que cada segmento de reta na figura tem o comprimento do diâmetro dos círculos.
+
+9. Observe que o número de fósforos da sequiência é formado da seguinte maneira:
+
+$$
+\begin{aligned}
+1^{o} \text { termo } & =3+3=\mathbf{2} \times 3 \\
+2^{\underline{o}} \text { termo } & =3+3+3=\mathbf{3} \times 3 \\
+3^{-} \text {termo } & =3+3+3+3=\mathbf{4} \times 3
+\end{aligned}
+$$
+
+Logo, o $8^{o}$ termo da seqüência é: $(8+1) \times 3=27$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_372bf95320fb8596c1bdg-6.jpg?height=114&width=637&top_left_y=2427&top_left_x=755)
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L8_N2.md

@@ -0,0 +1,134 @@
+# Lista 8 
+
+1. Fração de fração - Qual o valor de $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}$ ?
+2. Potências de 3 - Se $3^{n}=2$ então quanto vale $27^{2 n}$ ?
+3. Aumento de preço - Se o preço de um produto subiu de $R \$ 5,00$ para $R \$ 5,55$, qual foi a taxa percentual de aumento?
+4. Roseiras em fila - Jorge ganhou 15 roseiras para seu jardim, com a condição de plantá-las em 6 filas de 5 roseiras cada uma. Isso é possível? Em caso afirmativo faça um desenho indicando para Jorge como plantar as roseiras.
+5. Calculadora diferente - Uma fábrica produziu uma calculadora original que efetua duas operações:
+
+- a adição usual +
+- a operação $\circledast$
+
+Sabemos que para todo número natural $a$ tem-se:
+
+$$
+\text { (i) } a \circledast a=a \quad \text { e (ii) } a \circledast 0=2 a
+$$
+
+e, para quaisquer quatro naturais $a, b, c$ e $d$
+
+$$
+\text { (iii) }(a \circledast b)+(c \circledast d)=(a+c) \circledast(b+d) \text {. }
+$$
+
+Quais são os resultados das operações $(2+3) \circledast(0+3)$ e $1024 \circledast 48$ ?
+
+6. Dois quadrados - Na figura ao lado, a área do quadrado maior é $10 \mathrm{~cm}^{2}$ e do menor é $4 \mathrm{~cm}^{2}$. As diagonais do quadrado maior contém as diagonais do quadrado menor. Quanto mede a área da região tracejada?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_99964c9a90a7dfca8690g-2.jpg?height=380&width=374&top_left_y=484&top_left_x=1406)
+
+7. Paralelismo- Sendo $I L$ paralela à $E U$ e $R E$ paralela à $N I$, determine $\frac{F N \times F U}{F R \times F L}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_99964c9a90a7dfca8690g-2.jpg?height=219&width=454&top_left_y=1164&top_left_x=915)
+
+8. Um subconjunto - O conjunto $\{1,2,3, \ldots, 3000\}$ contém um subconjunto de 2000 elementos tal que nenhum elemento é o dobro do outro?
+9. Triângulos retângulos - Dada a figura com as marcas, determine $v, w, x, y$ e $z$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_99964c9a90a7dfca8690g-2.jpg?height=282&width=446&top_left_y=1895&top_left_x=1339)
+
+10. Uma desigualdade especial- Quais valores de $x$ satisfazem $x^{2}<|x|+2$ ?
+(a) $x<-1$ ou $x>1$
+(b) $x>1$
+(c) $-2<x<2$
+(d) $x<-2$
+(e) $x<0$
+
+## Soluções da Lista 8
+
+1. Fração de fração - Temos:
+
+$$
+1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{3}{2}}}=1+\frac{1}{1+\frac{2}{3}}=1+\frac{1}{\frac{5}{3}}=1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}
+$$
+
+2. Potências de 3 - Temos: $27^{2 n}=\left(3^{3}\right)^{2 n}=3^{6 n}=\left(3^{n}\right)^{6}=2^{6}=64$.
+3. Aumento de preço - O aumento em reais foi $5,55-5=0,55$; então o percentual de aumento foi
+
+$$
+\frac{0,55}{5}=\frac{0,55 \times 20}{5 \times 20}=\frac{11}{100}=11 \%
+$$
+
+4. Roseiras em fila - É possível plantar as roseiras em 6 filas de 5 roseiras cada uma, conforme mostra o desenho a seguir .
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_99964c9a90a7dfca8690g-3.jpg?height=585&width=776&top_left_y=1712&top_left_x=340)
+
+5. Calculadora diferente - Para calcular $(2+3) \circledast(0+3)$ utilizaremos a propriedade (iii), e temos:
+
+$$
+(2+3) \circledast(0+3)=(2 \circledast 0)+(3 \circledast 3)
+$$
+
+Agora, por (i) temos $2 \circledast 0=2 \times 2=4$, e por (ii) temos $3 \circledast 3=3$. Portanto,
+
+$$
+(2+3) \circledast(0+3)=4+3=7
+$$
+
+Agora, para calcular $1024 \circledast 48$ vamos usar a mesma estratégia que acima. Para isso, note que $1024=976+48$ e $48=0+48$.
+
+$$
+\begin{aligned}
+1024 \circledast 48 & =(976+48) \circledast(0+48) \\
+& =(976 \circledast 0)+(48 \circledast 48) \\
+& =2 \times 976+48 \\
+& =1952+48=2000
+\end{aligned}
+$$
+
+6. Dois quadrados - Observemos que a área do quadrado maior menos a área do quadrado menor é igual a 4 vezes a área procurada. Logo a área tracejada é
+
+$$
+\frac{10^{2}-4^{2}}{4}=\frac{100-16}{4}=25-4=21
+$$
+
+7. Paralelismo- Dado que $I L$ e $E U$ são paralelas então $\frac{F U}{F L}=\frac{F E}{F I}$. Analogamente, como $R E$ é paralela a $N I$ temos que $\frac{F N}{F R}=\frac{F I}{F E}$. Logo,
+
+$$
+\frac{F N \times F U}{F R \times F L}=\frac{F E}{F I} \times \frac{F I}{F E}=1
+$$
+
+8. Um subconjunto - Vamos construir o subconjunto pedido da seguinte forma:
+
+- ele contém todos os números ímpares: $1,3,5, \ldots, 2999$. Aqui já temos uma lista com 1500 números.
+- o conjunto não pode conter os números que são da forma $2 \times$ (número ímpar),
+- o conjunto pode conter os números que são da forma $4 \times$ (número ímpar), isto é,
+
+$$
+\underbrace{4 \times 1}_{4}, \underbrace{4 \times 3}_{12}, \underbrace{4 \times 5}_{20}, \ldots, \underbrace{4 \times 749}_{2996}
+$$
+
+essa lista tem 749 números e nenhum é o dôbro do outro. Além disso, nenhum deles é o dôbro de um número ímpar.
+
+Logo, o nosso conjunto já possui $1500+749=2249$ elemento; assim qualquer subconjunto dele com 2000 elementos satisfaz as condições pedidas.
+
+9. Triângulos retângulos - Observemos que os quatro triângulos que aparecem na figura são triângulos retângulos semelhantes, e portanto seus lados são proporcionais. Em particular
+
+$$
+\frac{v}{8}=\frac{9}{x}=\frac{y}{20}
+$$
+
+Além disso, pelo teorema de Pitágoras temos que $y^{2}=x^{2}+9^{2}$ e portanto
+
+$$
+\frac{81}{x^{2}}=\frac{y^{2}}{400}=\frac{x^{2}+81}{400}
+$$
+
+$\operatorname{assim} x^{4}+81 x^{2}-81 \times 400=0$ e
+
+$$
+x=\sqrt{\frac{81+\sqrt{81^{2}+4 \times 81 \times 400}}{2}}=3 \sqrt{\frac{9+\sqrt{81+1600}}{2}}=3 \sqrt{\frac{9+41}{2}}=15
+$$
+
+donde $y=\sqrt{15^{2}+9^{2}}=3 \sqrt{34}, z=\sqrt{20^{2}-x^{2}}=5 \sqrt{7}, v=8 \frac{9}{15}=\frac{24}{5} \mathrm{e}$ finalmente $w=\sqrt{8^{2}+v^{2}}=\frac{8}{5} \sqrt{34}$.
+
+10. Uma desigualdade especial- Observemos que se um número $a$ satisfaz a desigualdade, então $-a$ também satisfaz a desigualdade, logo os valores que satisfazem a desigualdade formam um conjunto simétrico, portanto basta considerar o caso em que $x$ é positivo. Mas, $(2-x)(1+x)=x+3-x^{2}>0$ é positivo se $2-x$ é positivo, portanto $x<2$. Como a solução é simétrica temos que $-2<x<2$ é a solução da equação inicial. A opção correta é (c).

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L8_N3.md

@@ -0,0 +1,128 @@
+# Soluções da Lista 8 
+
+1. As duas partículas - Seja $v$ a velocidade da partícula $B$ e $v+2$ a velocidade de $A$. Assim, o tempo que demora $B$ em dar uma volta é $\frac{120}{v}$ e o tempo que demora $A$ é $\frac{120}{v+2}$ que é três segundos a menos do que $B$, portanto,
+
+$$
+\frac{120}{v}-3=\frac{120}{v+2} \Longrightarrow v^{2}+2 v-80=0
+$$
+
+A raiz positiva dessa equação é
+
+$$
+v=\frac{-2+\sqrt{4+320}}{2}=-1+\sqrt{8} 1=8
+$$
+
+Portanto, a velocidade de $B$ é $8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ e a velocidade de $A$ é $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$.
+
+2. Queda livre - Como a distância percorrida aumenta em $9,8 \mathrm{~m}$ com respeito ao segundo anterior, no $n+1$-ésimo segundo ele percorre $4,5+9,8 n$ metros. Assim no $11^{\underline{o}}$ segundo o corpo percorre $4,5+9,8 \cdot 10=102,5$ metros.
+
+A distância total percorrida pelo corpo até o 11으 segundo é
+
+$$
+\begin{gathered}
+4,5+(4,5+9,8)+(4,5+9,8 \times 2)+\cdots+(4,5+9,8 \times 10)= \\
+=4,5 \times 11+9,8(1+2+\cdots+10)=49,5+9,8 \times 55=588,5 \mathrm{~m}
+\end{gathered}
+$$
+
+3. Um caminho retangular - Se $v$ representa a velocidade com que Janete caminha, então $v=\frac{1992}{24}=83 \mathrm{~m} / \mathrm{min}$.
+
+Janete percorre $B C+A C$ com a mesma velocidade $v=83 \mathrm{~m} / \mathrm{min}$ e gasta $2 h$ e $46 \min =166$ min, então $B C+A C=83 \times 166=13778$.
+
+Pelo teorema de Pitágoras temos que a diagonal do quadrado satisfaz:
+
+$$
+(A C)^{2}=(1922)^{2}+(B C)^{2}
+$$
+
+Daí temos:
+
+$$
+(A C)^{2}-(B C)^{2}=(A C-B C)(A C+B C)=(1992)^{2}
+$$
+
+Substituindo o valor da soma $B C+A C$ temos: $A C-B C=\frac{(1992)^{2}}{83 \times 166}=288$.
+
+Logo: $\left\{\begin{array}{l}A C+B C=13778 \\ A C-B C=288\end{array} \Longrightarrow 2 B C=13778-288=13490\right.$.
+
+Portanto $B C=\frac{13490}{2}=6745$.
+
+4. O preço do feijão - Se $b$ é o preço final e $a$ o preço inicial, temos que a variação é $b-a$, e o aumento percentual será
+
+$$
+\frac{b-a}{a}
+$$
+
+Assim os aumentos foram:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_22b82fbc7c8c5cefa06cg-2.jpg?height=520&width=352&top_left_y=1476&top_left_x=515)
+
+$$
+\begin{aligned}
+& A: \frac{103,33-65,67}{65,67}=\frac{37,66}{65,67}=0,57=57 \% \\
+& B: \frac{109,50-73,30}{73,30}=\frac{36,20}{73,30}=0,49=49 \% \\
+& C: \frac{100,00-64,50}{64,50}=\frac{35,50}{64,50}=0,55=55 \%
+\end{aligned}
+$$
+
+Portanto, o maior aumento foi de $A$ e o menor foi de $B$.
+
+Observe que os valores intermediários (meses de fevereiro e março) não alteram a variação do preço de janeiro a abril. A opção correta é (a).
+
+5. Intersecção de triângulos - Observemos que cada reta pode cortar no máximo dois lados de um triângulo, assim cada lado de um triângulo cortará no máximo dois lados do outro triângulo e, portanto, o número máximo de cortes
+entre dois triângulos é 6 . Assim, se temos 3 triângulos, o número máximo de cortes é dado pelo número de formas de pegar dois de ditos triângulos e multiplicar por 6. Assim, a resposta é 18, como mostra a figura seguinte:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_22b82fbc7c8c5cefa06cg-3.jpg?height=443&width=445&top_left_y=618&top_left_x=814)
+
+6. Comparar triângulos - De acordo com os dados do problema temos:
+
+$$
+\frac{A B}{A C}=\frac{B C}{C D}=\frac{A C}{A D}=\frac{2}{3}
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_22b82fbc7c8c5cefa06cg-3.jpg?height=234&width=485&top_left_y=1185&top_left_x=1234)
+
+Segue que os triângulo $\triangle A B C$ e $\triangle A C D$ têm seus lados proporcionais, portanto são semelhantes. Em particular temos que $\widehat{B A C}=\widehat{C A D}$.
+
+7. Queima de velas - Seja $l$ o comprimento das velas. Assim, uma queima a velocidade constante $\frac{l}{3}$ e a outra a velocidade $\frac{l}{4}$. Depois de um tempo $t$ o que sobra da primeira vela é
+
+$$
+l-\frac{l}{3} t
+$$
+
+e da segunda
+
+$$
+l-\frac{l}{4} t
+$$
+
+Queremos saber quanto tempo transcorre até o momento em que o comprimento de uma vela é o dobro do comprimento da outra, o que equivale a resolver a equação
+
+$$
+l-\frac{l}{4} t=2\left(l-\frac{l}{3} t\right)
+$$
+
+Segue que
+
+$$
+\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right) t=1 \text { donde } t=\frac{12}{5} \text { horas }=2 \frac{2}{5} \text { horas }=2 \text { horas e } 24 \text { minutos. }
+$$
+
+Portanto, depois de 2 horas e 24 minutos o comprimento de uma vela é o dobro do comprimento da outra. Como queremos que isso aconteça às $16: 00$, então as velas devem ser acesas às 13 horas e 36 minutos. A opção correta é (c).
+
+## 8. Uma distração -
+
+Solução 1: Seja $x$ o número. Julia tinha que obter $6 x$ e com sua distração, obteve $\frac{x}{6}$. Logo, seu erro foi de $6 x-\frac{x}{6}=\frac{35 x}{6}$. Portanto, em termos percentuais o erro foi de
+
+$$
+\frac{\frac{35 x}{6}}{6 x}=\frac{35}{36} \approx 0,9722=97,22 \%
+$$
+
+A opção correta é (b).
+
+Solução 2: Se $N$ é o valor que a Julia tinha que obter, então ela com seu erro encontrou $\frac{N}{36}$, assim o erro absoluto cometido foi de $N-\frac{N}{36}=\frac{35}{36} N$. Portanto, o erro relativo foi de
+
+$$
+\frac{35}{36} \times 100 \%=97,22 \%
+$$
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2007_desafios.md

@@ -0,0 +1,200 @@
+# Desafios 
+
+1. O jogo das fichas - Para iniciar um jogo com seus amigos, Manoel coloca 8 fichas em cada uma das nove casas do tabuleiro mostrado na figura. Para ganhar o jogo, ele precisa mover as fichas de modo que em cada linha, cada coluna e cada diagonal haja o mesmo $\mathrm{n}$ úmero de fichas. Na $1^{a}$ jogada ele coloca 11 fichas na casa 3 e nenhuma na casa 2. Agora, quantas fichas ele deve colocar em cada uma das outras casas para ganhar o jogo, mantendo as fichas da $1^{a}$ jogada?
+
+| 1 | 2 | 3 |
+| :--- | :--- | :--- |
+| 4 | 5 | 6 |
+| 7 | 8 | 9 |
+
+
+| 1 | 2 <br> fichas | (11 |
+| :---: | :---: | :---: |
+| 4 | 5 | 6 |
+| 7 | 8 | 9 |
+
+2. Nas igualdades abaixo, cada letra representa um algarismo:
+
+$$
+A B+B C=C D \quad \text { e } \quad A B-B C=B A
+$$
+
+quanto vale $A+B+C+D$ ?
+
+3. Rosa, Margarida e Dália são três constelações em forma de buquês de flores. Sabemos que:
+
+(a) O número de estrelas de Dália, que é a menor das três, é o quadrado de um quadrado;
+
+(b) O número de estrelas de Rosa é também o quadrado de um quadrado;
+(c) Margarida tem 28561 estrelas;
+
+(d) Dália e Rosa têm juntas o mesmo número de estrelas do que Margarida.
+
+Quantas estrelas possuem Dália e Rosa cada uma?
+
+4. Veja a seguir a página do calendário de abril de 2005:
+
+| $\mathrm{D}$ | $\mathrm{S}$ | $\mathrm{T}$ | $\mathrm{Q}$ | $\mathrm{Q}$ | $\mathrm{S}$ | $\mathrm{S}$ |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+|  |  |  |  |  | 1 | 2 |
+| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
+| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
+| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
+| 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
+
+Qual mês de 2005 ou de 2006 terá uma página igual?
+
+5. A faixa e o quadrado - Uma faixa retangular de cartolina tem $5 \mathrm{~cm}$ por $1 \mathrm{~cm}$. Corte a faixa com 4 cortes retilíneos de modo a poder montar um quadrado com as peças obtidas (n vale superposição das peças).
+6. Um número e o sêxtuplo - Um número de 3 algarismos e seu sêxtuplo são formados pelos mesmos algarismos. A soma dos algarismos desse número é 17 e a de seu sêxtuplo é 21. Qual é esse número? Existe mais do que um?
+7. Oito dentro de um retângulo - Coloque dentro dos círculos do retângulo abaixo os números de 1 a 8 de modo que a diferença entre dois números ligados por um segmento seja sempre maior do que 1.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9fafc06d2f66b4576bc5g-3.jpg?height=294&width=488&top_left_y=378&top_left_x=887)
+
+8. Uma estratégia com um número muito grande - Carlos escreveu em seguida todos os números de 1 a 60 :
+
+$$
+1234567891011121314 \cdots 57585960
+$$
+
+Depois ele riscou 100 algarismos de modo que o número formado com os algarismos que não foram riscados fôsse o maior possível, sem mudar a ordem inicial de como os algarismos foram escritos. Qual é esse número?
+
+9. Um número surpreendente - Um número surpreendente é um número divisível por 9 , de nove algarismos diferentes, nenhum deles igual a 0 tal que:
+
+(a) o número formado pelos 2 primeiros algarismos é divisível por 2;
+
+(b) o número formado pelos 3 primeiros algarismos é divisível por 3;
+
+(c) o número formado pelos 4 primeiros algarismos é divisível por 4;
+
+(d) o número formado pelos 5 primeiros algarismos é divisível por 5;
+
+(e) o número formado pelos 6 primeiros algarismos é divisível por 6;
+
+(f) o número formado pelos 7 primeiros algarismos é divisível por 7;
+
+(g) o número formado pelos 8 primeiros algarismos é divisível por 8;
+
+Qual é esse número?
+
+10. Qual é o erro? - Uma das afirmações abaixo é falsa:
+
+(a) André é mais velho do que Bruno;
+
+(b) Cláudia é mais nova do que Bruno
+
+(c) A soma das idades de Bruno e Cláudia é o dobro da idade de André;
+
+(d) Claúdia é mais velha do que André.
+
+Quem é o mais velho? E o mais novo?
+
+11. Soma - Nessa exercício, as letras representam algarismos. Determine cada uma das parcelas da soma abaixo.
+
+$$
+\begin{array}{r}
+a b c d e f \\
+a b c d e f \\
++\quad g h i j \\
+\hline d e f h j f
+\end{array}
+$$
+
+12. Bolinhas - Rogério coloca seis bolinhas sobre a mesa de modo a formar dois quadrados, como na figura. Ele percebe que havia esquecido de colocar mais uma bolinha. Complete a figura formada pelas bolinhas com essa bolinha a mais, de modo a formar 3 quadrados.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9fafc06d2f66b4576bc5g-4.jpg?height=148&width=263&top_left_y=2253&top_left_x=905)
+
+13. Um número não divisivel por 5 - Determine quais números naturais $n$ entre 2001 e 2007, tornam o número $1^{n}+2^{n}+3^{n}+4^{n}$ não divisível por 5 .
+14. Quatro frações e um inteiro - Quantos números naturais $a, b, c$ e $d$, todos distintos, existem tais que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ seja um inteiro?
+15. O Rei Arthur e o Dragão das Três Cabeças e Três Caudas - O Rei Arthur teve que lutar com o Dragão das Três Cabeças e Três Caudas. Sua tarefa ficou facilitada quando conseguiu arranjar uma espada mágica que podia, de um só golpe, fazer uma e somente uma das seguintes coisas:
+
+- cortar uma cabeça;
+- cortar duas cabeças;
+- cortar uma cauda;
+- cortar duas caudas.
+
+Além disso, a Fada Morgana lhe revelou o segredo do dragão:
+
+- se uma cabeça é cortada uma nova cresce;
+- se duas cabeças são cortadas nada acontece;
+- no lugar de uma cauda nascem duas caudas novas;
+- se duas caudas são cortadas uma nova cabeça crece e
+- o dragão morre se perder as três cabeças e as três caudas.
+
+Quantos golpes o Rei Artur vai precisar para matar o dragão?
+
+16. Num tabuleiro $5 \mathrm{x} 5$, um cavaleiro do jogo de xadrez está na casa marcada com A. Depois ele se move marcando as casa por onde passa:
+
+$\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{D} \rightarrow \mathrm{E} \rightarrow \mathrm{F} \rightarrow \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{H}$.
+
+| $\mathrm{A}$ |  |  |  | $\mathrm{G}$ |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+|  |  | $\mathrm{H}$ |  |  |
+|  | $\mathrm{B}$ |  | $\mathrm{F}$ |  |
+|  |  | $\mathrm{D}$ |  |  |
+| $\mathrm{C}$ |  |  |  | $\mathrm{E}$ |
+
+Partindo da casa $\mathrm{H}$, o cavaleiro se move pelo tabulaeiro até ter passado por todas as 25 casas. Descreva o trajeto que ele fez.
+
+17. Oito dados são agrupados formando um cubo. Quantas faces ficam visíveis?
+
+## Respostas dos desafios
+
+1. 
+
+| 1 | 2 | 3 |
+| ---: | :--- | :--- |
+| 13 | 0 | 11 |
+| 4 | 5 | 6 |
+| 6 | 8 | 10 |
+| 7 | 8 | 9 |
+| 5 | 16 | 3 |
+
+2. 23
+3. $\mathrm{D}=4225=25 \times 169$ e $\mathrm{R}=144 \times 169=24336$
+4. Setembro de 2006
+5. 
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9fafc06d2f66b4576bc5g-7.jpg?height=140&width=615&top_left_y=1512&top_left_x=458)
+6. 746 (solução única?)
+
+7. 
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9fafc06d2f66b4576bc5g-7.jpg?height=272&width=482&top_left_y=1917&top_left_x=433)
+8. 9999785960 .
+9. 381654729
+
+10. Cláudia e Bruno.
+11. 3 soluções:
+
+$$
+\begin{array}{r}
+231468 \\
+231468 \\
++\quad 5972 \\
+\hline 468908
+\end{array}
+$$
+
+| 264538 |
+| ---: |
+| 264538 |
+| faa40c486-0c5b-40ec-b6aa-b6edefa7eba3}273548 <br> 273548 <br> 538178{f0e77e3de-7314-4231-af2b-bc51aefbe492 |
+| 548698 |
+
+12. 
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9fafc06d2f66b4576bc5g-8.jpg?height=226&width=228&top_left_y=909&top_left_x=366)
+13. 2004
+14. 1
+15. 5
+
+16. 
+
+| A | X | M | R | G |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| N | S | H | $Y$ | $L$ |
+| I | B | $W$ | $F$ | $Q$ |
+| T | O | $D$ | $K$ | $V$ |
+| $C$ | $J$ | $U$ | $P$ | $E$ |
+
+17. 20

Brazilian_MO/md/pt-bq2008_L1_N1.md

@@ -0,0 +1,164 @@
+# Nível 1 
+
+## Lista 1
+
+1. O trajeto das formiguinhas - As formiguinhas Maricota e Nandinha passeiam numa varanda cujo chão é formado por lajotas retangulares de $4 \mathrm{~cm}$ de largura por $6 \mathrm{~cm}$ de comprimento. Maricota parte do ponto $M$ e Nandinha do $N$, andando ambas apenas pelos lados dos retângulos, percorrendo o trajeto no sentido indicado na figura.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-1.jpg?height=317&width=500&top_left_y=1252&top_left_x=869)
+
+(a) As duas se encontram depois de andarem a mesma distância. Qual foi essa distância?
+
+(b) Aonde elas se encontraram?
+
+2. A soma é 100 - A soma de 3 números é 100, dois são primos e um é a soma dos outros dois.
+
+(a) Qual é o maior dos 3 números?
+
+(b) Dê um exemplo desses 3 números.
+
+(c) Quantas soluções existem para esse problema?
+
+3. Código de barras - Um serviço postal usa barras curtas e barras longas para representar o Código de Endereçamento Postal - CEP. A barra curta corresponde ao zero e a longa ao 1. A primeira e a última barra não fazem parte do código. A tabela de conversão do código é mostrada abaixo.
+
+$$
+\begin{array}{ll}
+11000=0 & 01100=5 \\
+00011=1 & 10100=6 \\
+01010=2 & 00001=7 \\
+00101=3 & 10001=8 \\
+00110=4 & 10010=9
+\end{array}
+$$
+
+(a) Escreva os CEP 36470130 na forma de código de barras.
+
+(b) Identifique o CEP que representa o código de barras abaixo:
+
+## ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+
+4. Atletas da escola - Numa escola, um quarto dos alunos joga somente vôlei, um terço joga somente futebol, 300 praticam os dois esportes e 1/12 nenhum deles.
+
+(a) Quantos alunos tem a escola?
+
+(b) Quantos alunos jogam somente futebol?
+
+(c) Quantos alunos jogam futebol?
+
+(d) Quantos alunos praticam um dos 2 esportes?
+
+5. Dizima periódica - Qual é o algarismo da $1997^{\mathrm{a}}$ casa decimal de:
+(a) $\frac{1}{22}$
+(b) $\frac{1}{27}$
+
+## Soluções do Nível 1
+
+## Lista 1
+
+## 1. O trajeto das formiguinhas -
+
+(a) O trajeto de $M$ a $N$ é composto de 14 comprimentos e 12 larguras das lajotas, logo seu comprimento é:
+
+$$
+14 \times 6+12 \times 4=84+48=132 \mathrm{~cm}
+$$
+
+Como as formiguinhas percorrem a mesma distância, cada uma deve andar $132 \div 2=66 \mathrm{~cm}$.
+
+(b) Vamos acompanhar o percurso feito por Maricota desde o início, até completar $66 \mathrm{~cm}$ :
+
+$$
+\begin{aligned}
+& \underbrace{2 \text { comprimentos }}_{2 \times 6=12}+\underbrace{1 \text { largura }}_{4+12=16}+\underbrace{3 \text { comprimentos }}_{18+16=34}+\underbrace{2 \text { larguras }}_{8+34=42}+ \\
+& \underbrace{2 \text { comprimentos }}_{12+42=54}+\underbrace{1 \text { largura }}_{4+54=58}+\underbrace{1 \text { comprimento }}_{6+58=64}+\underbrace{1 / 2 \text { largura }}_{2+64=66}
+\end{aligned}
+$$
+
+O caminho de Maricota até o ponto de encontro está indicado na figura :
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-3.jpg?height=471&width=1013&top_left_y=2055&top_left_x=687)
+
+## 2. A soma é 100 -
+
+(a) Inicialmente observe que:
+
+- o maior número é a soma dos outros dois;
+- o maior número não pode exceder 50, senão a soma dos três seria maior do que 100 ;
+- o maior número não pode ser menor que 50, senão a soma dos três seria menor do que 100 .
+
+Logo, o maior número só pode ser 50.
+
+(b) Os números 3, 47 e 50 formam uma solução do problema.
+
+(c) Existem tantas soluções quantos são os pares de primos que somam 50. A tabela mostra todas as soluções. Logo, esse problema tem 4 soluções.
+
+| 3 | 47 | 50 |
+| :---: | :---: | :---: |
+| 7 | 43 | 50 |
+| 13 | 37 | 50 |
+| 19 | 31 | 50 |
+
+## 3. Código de barras -
+
+(a) Primeiramente, escrevemos o CEP na forma de 0's e 1's:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-4.jpg?height=100&width=888&top_left_y=2274&top_left_x=641)
+
+Podemos, agora, escrever o código de barras desse CEP:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-4.jpg?height=91&width=694&top_left_y=2487&top_left_x=635)
+
+Lembre que a primeira e a última barra não fazem parte do código.
+(b) Primeiramente, escrevemos o código de barras na forma de 0's e 1's:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-5.jpg?height=149&width=763&top_left_y=585&top_left_x=795)
+
+Podemos, agora, escrever o CEP: 20240020.
+
+## 4. Atletas da escola -
+
+(a)
+
+O número total de alunos na escola é dado pela fração 12/12, que graficamente podemos representar por um retângulo dividido em 12 partes iguais.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-5.jpg?height=251&width=326&top_left_y=1208&top_left_x=1502)
+
+Denotaremos por V, F e NE o número de alunos que jogam somente vôlei, somente futebol e nenhum desses esportes, respectivamente. Agora temos:
+
+- os $1 / 4$ dos alunos que jogam somente vôlei correspondem a 3 quadrados;
+- os $1 / 3$ dos alunos que jogam somente futebol correspondem a 4 quadrados;
+- os 1/12 dos alunos que não jogam nenhum desses esportes correspondem a 1 quadrado.
+
+| $\mathrm{V}$ | $\mathrm{V}$ | $\mathrm{V}$ | $\mathrm{F}$ |
+| :---: | :---: | :---: | :---: |
+| $\mathrm{F}$ | $\mathrm{F}$ | $\mathrm{F}$ | $\mathrm{NE}$ |
+|  |  |  |  |
+
+Sobram, então, 4 retângulos para os alunos que não jogam vôlei futebol, ou seja esses 300 alunos correspondem a 4/12 = 1/3 do total dos alunos
+da escola. Logo, o total de alunos na escola é
+
+$$
+300 \times 3=900
+$$
+
+(b) Temos que $\frac{1}{3} \cdot 900=300$ é o total de alunos que jogam somente futebol.
+
+(c) Neste caso, os alunos que jogam futebol são os que jogam só futebol mais os que jogam futebol e vôlei, ou seja, $300+300=600$.
+
+(d) O total de alunos que praticam um dos esportes é $\frac{11}{12} \cdot 900=825$, pois $1 / 12$ dos alunos não praticam nenhum dos esportes.
+
+## 5. Dizima periódica -
+
+(a) Dividindo 1 por 22 temos: $\frac{1}{22}=0,0454545 \ldots$ Observemos que o algarismo 4 está nas posicões pares: $2,4,6, \ldots$ e o algarismo 5 nas posições ímpares: $3,5,7 \ldots$ Como 1997 é um número ímpar temos que o algarismo da $1997^{\text {a }}$ casa decimal é o 5 .
+
+(b) Dividindo 1 por 27 temos: $\frac{1}{27}=0,037037037 \ldots$
+
+Observemos que os algarismos 0,3 e 7 se repetem, sucessivamente, a cada três casas decimais, sendo que o algarismo:
+
+- 0 está nas posições: $1,4,7, \ldots$, ou seja, se divididas por três deixam resto 1 ;
+- 3 está nas posições: $2,5,8, \ldots$, ou seja, se divididas por três deixam resto 2 ;
+- 7 está nas posições: $3,6,9, \ldots$, ou seja, são múltiplos de 3 .
+
+Como a divisão $1997 \div 3$ deixa resto 2 , o algarismo da $1997^{a}$ casa decimal é o 3.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-6.jpg?height=119&width=209&top_left_y=2459&top_left_x=1506)
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2009_N1.md

@@ -0,0 +1,1234 @@
+# Nível 1 
+
+## Lista 1
+
+1. Encontro de amigos - Embora eu esteja certo de que meu relógio está adiantado 5 minutos, ele está, na realidade, com 10 minutos de atraso. Por outro lado, o relógio do meu amigo está realmente 5 minutos adiantado, embora ele pense que está correto. Nós marcamos um encontro às 10 horas e planejamos chegar pontualmente. Quem chegará em primeiro lugar? Depois de quanto tempo chegará o outro?
+2. Trabalho comunitário - Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, $60 \%$ dos alunos dessa classe foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho?
+(A) 1
+(B) 2
+(C) 4
+(D) 6
+(E) 8
+3. Área de trapézios - Unindo quatro trapézios iguais de bases $30 \mathrm{~cm}$ e $50 \mathrm{~cm}$ e lados não paralelos iguais, como o da figura, podemos formar um quadrado de área $2500 \mathrm{~cm}^{2}$, com um "buraco" quadrado no meio. Qual é a área de cada trapézio, em $\mathrm{cm}^{2}$ ?
+(A) 200
+(B) 250
+(C) 300
+(D) 350
+(E) 400
+4. Adivinhação - Pensei em 2 números de dois algarismos, que não possuem algarismos em comum, sendo um o dobro do outro. Além disso, os algarismos do menor número são a soma e a diferença dos algarismos do maior número. Quais são os números?
+5. 18 números consecutivos - Escreva 18 números consecutivos de 3 algarismos e verifique que um deles é divisível pela soma de seus algarismos.
+
+Isso é sempre verdade. Ou seja: se você escrever 18 números consecutivos de 3 algarismos, então um deles é divisível pela soma de seus algarismos. Mostre este fato.
+
+## Lista 2
+
+1. Completar uma tabela - Descubra a regra utilizada para as casas já preenchidas e complete a tabela. Qual é o valor de A?
+
+| $\mathbf{0}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| $\mathbf{1}$ | 2 | 5 | 10 |  |
+| $\mathbf{2}$ |  |  |  |  |
+| $\mathbf{3}$ |  |  |  |  |
+| $\mathbf{4}$ |  |  |  | A |
+
+2. Procurando múltiplos de 9 - Consideremos um conjunto formado por 10 números naturais diferentes. Se calculamos todas as diferenças entre esses números, pelo menos uma dessas diferenças é um múltiplo de 9?
+3. Correndo numa praça - Um atleta costuma correr $15,5 \mathrm{~km}$ ao redor de uma praça retangular de dimensões $900 \mathrm{~m} \times 600 \mathrm{~m}$. Ele inicia a corrida sempre do ponto $P$ situado a $550 \mathrm{~m}$ de um dos vértices correndo no sentido horário, como mostra a figura. Em que ponto da praça ele para?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-02.jpg?height=284&width=441&top_left_y=953&top_left_x=1281)
+
+4. Ovos para um bolo - Uma doceira foi ao mercado comprar ovos para fazer 43 bolos, todos com a mesma receita, que gasta menos de 9 ovos. O vendedor repara que se tentar embrulhar os ovos que a doceira comprou em grupos de 2 ou de 3 ou de 4 ou de 5 ou de 6 ovos, sempre sobra 1 ovo. Quantos ovos ela usa em cada bolo? Qual o menor número de ovos que a doceira vai gastar para fazer os 43 bolos?
+5. Cálculos H e V - Você consegue colocar os números de 1 a 8 dentro dos círculos, sem repeti-los, de modo que os cálculos na horizontal e na vertical sejam corretos?
+
+DICA: Quais as possibilidades para a multiplicação? Quais os possíveis lugares para o número 1 ?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-02.jpg?height=239&width=290&top_left_y=1515&top_left_x=1449)
+
+## Lista 3
+
+1. Cortando uma cartolina - Uma folha retangular de cartolina foi cortada ao longo de sua diagonal. Num dos pedaços obtidos, foram feitos 2 cortes paralelos aos 2 lados menores e pelos pontos médios desses lados. Ao final sobrou um retângulo de perímetro $129 \mathrm{~cm}$. O desenho abaixo indica a sequência de cortes.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-03.jpg?height=176&width=870&top_left_y=622&top_left_x=586)
+
+Qual era o perímetro da folha antes do corte?
+
+2. A soma errada - A soma ao lado está incorreta. Para corrigi-la basta 742586 substituir um certo algarismo em todos os lugares que ele aparece na conta $\quad+829430$ por um outro algarismo. Quais são esses dois algarismos? 1212016
+3. Número de 5 algarismos - Os algarismos $1,2,3,4$ e 5 foram usados, cada um uma única vez, para escrever um número de 5 algarismos $a b c d e$, tal que: $a b c$ é divisível por $4, b c d$ por 5 , e $c d e$ por 3 . Encontre esse número.
+4. Tabela misteriosa - Complete a tabela $6 \times 6$ de modo que em cada linha e cada coluna apareçam apenas múltiplos de um dos números:
+
+$$
+2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
+$$
+
+Você pode repetir apenas um número na tabela.
+
+| 32 |  |  | 40 |  |  |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+|  |  |  |  | 49 |  |
+|  |  | 22 |  |  |  |
+|  | 15 |  |  |  |  |
+|  |  | 24 |  |  |  |
+|  |  |  |  | 42 |  |
+
+5. Habitantes e esporte - Numa cidade com quase 30 mil habitantes, dois nonos dos homens e dois quinze avos das mulheres pratica esporte somente nos finais de semana, e o número de habitantes que não pratica esporte é o quíntuplo dos que praticam esporte regularmente. Com esses dados, complete a tabela.
+
+| Não praticam esporte |  | Praticam esporte somente <br> nos finais de semana |  | Praticam esporte <br> regularmente |  | População |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| fem. | masc. | fem. | masc. | fem. | masc. | total |
+| 8563 | 8322 |  |  |  | 1252 |  |
+
+## Lista 4
+
+1. Botões luminosos - No mecanismo luminoso da figura, cada um dos oito botões pode acender as cores verde ou azul. O mecanismo funciona do seguinte modo: ao ser ligado, todos os botões acendem a luz azul, e se apertamos um botão, esse botão e seus vizinhos trocam de cor. Se ligarmos o mecanismo e apertarmos sucessivamente os botões 1,3 e 5 , qual será o número de luzes verdes que estarão acesas no final?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-04.jpg?height=407&width=415&top_left_y=371&top_left_x=1321)
+(A) 3
+(B) 4
+(C) 5
+(D) 6
+(E) 7
+
+2. Qual é o número? - Um número de 6 algarismos começa por 1 . Se deslocamos esse algarismo 1 da primeira posição para a última à direita, obtemos um novo número de 6 algarismos que é o triplo do número de partida. Qual é esse número?
+3. Jardim variado - Um jardim retangular de $120 \mathrm{~m}$ por $80 \mathrm{~m}$ foi dividido em 6 regiões como na figura, onde $N, M$ e $P$ são pontos médios dos lados, e $R$ divide o comprimento na razão $1 / 3$. Em cada região será plantado um dos seguintes tipos de flor: rosa, margarida, cravo, bem-me-quer, violeta e bromélia, cujos preços, por $\mathrm{m}^{2}$ estão indicados na tabela. Quais as possíveis escolhas das flores em cada região, de modo a gastar o mínimo possível?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-04.jpg?height=358&width=458&top_left_y=1350&top_left_x=389)
+
+| Tipo | Preço por $\mathrm{m}^{2}$ |
+| :--- | :---: |
+| rosa | 3,50 |
+| margarida | 1,20 |
+| cravo | 2,20 |
+| bem-me-quer | 0,80 |
+| violeta | 1,70 |
+| bromélia | 3,00 |
+
+4. O algarismo 3 - Luis escreveu a sequência de números naturais a partir de 1:
+
+$$
+1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \cdots
+$$
+
+Quando ele escreveu o algarismo 3 pela $25^{\text {a }}$ vez?
+
+5. Soma de potências - $\mathrm{O}$ número $3^{444}+4^{333}$ é divisível por 5 ?
+
+## Lista 5
+
+1. Telefonemas - João mora em Salvador e seus pais em Recife. Para matar a saudade, ele telefona para seus pais a cada três dias. O primeiro telefonema foi feito no domingo, o segundo telefonema na $4^{a}$ feira, o terceiro telefonema no sábado, e assim por diante. Em qual dia da semana João telefonou para seus pais pela centésima vez?
+2. O maior produto - Com os algarismos de 1 a 5 e um sinal de multiplicação $\times$ Clara forma o produto de 2 números, com o sinal $\times$ entre eles. Como Clara deve colocar os cartões para obter o maior produto possível?
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-05.jpg?height=186&width=198&top_left_y=568&top_left_x=1473)
+3. O caminho da Joaninha - Dona Joaninha quer atravessar um pátio com azulejos quadrados numerados como mostra a figura. Ela vai partir do ponto $\mathrm{P}$ e quer chegar ao ponto $\mathrm{C}$ andando somente sobre os lados dos azulejos. Dona Joaninha não quer ter números primos à sua direita ao longo de todo o percurso. Qual é o menor percurso que ela pode fazer?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-05.jpg?height=347&width=499&top_left_y=781&top_left_x=1233)
+
+4. O lugar dos amigos - Sete amigos traçaram um triângulo, um quadrado e um círculo. Cada um marcou seu lugar com um número:
+
+Ana: "Eu não falarei nada."
+
+Bento: "Eu estou dentro de uma única figura."
+
+Celina: "Eu estou dentro das três figuras."
+
+Diana: "Eu estou dentro do triângulo mas não do quadrado."
+
+Elisa: "Eu estou dentro do triângulo e do círculo."
+
+Fábio: "Eu não estou dentro de um polígono."
+
+Guilherme: "Eu estou dentro do círculo."
+
+Encontre o lugar de cada um.
+
+5. Quadrado perfeito? - Cada um dos cinco números abaixo tem 100 algarismos, e é formado pela repetição de um ou dois algarismos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& N_{1}=333333 \ldots 3 \\
+& N_{2}=666666 \ldots 6 \\
+& N_{3}=151515 \ldots 15 \\
+& N_{4}=212121 \ldots 21 \\
+& N_{5}=272727 \ldots 27
+\end{aligned}
+$$
+
+Algum destes números é um quadrado perfeito?
+
+## Lista 6
+
+1. Preenchendo quadradinhos - Complete os quadradinhos com os números $1,2,3,5,6$.
+
+$$
+(\square+\square-\square) \times \square \div \square=4
+$$
+
+2. Os 3 números - Sofia brinca de escrever todos os números de 4 algarismos diferentes que se pode escrever com os algarismos 1,2,4 e 7 . Ela soma 3 desses números - todos diferentes - e obtém 13983. Quais são esses 3 números?
+3. Preencher uma tabela - Jandira deve preencher uma tabela $4 \times 4$ que já vem com duas casas preenchidas com os números 1 e 2 - veja ao lado. Duas casas são consideradas vizinhas se têm um vértice ou um lado em comum.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-06.jpg?height=192&width=260&top_left_y=782&top_left_x=1472)
+
+As regras que ela tem que obedecer são:
+
+- uma casa só pode ser preenchida se alguma de suas casas vizinhas já contém um número;
+- ao preencher uma casa, deve-se colocar a soma de todos os números que já constam em suas casas vizinhas.
+
+Qual é o maior número que é possível escrever na tabela?
+
+4. Olimpíada de Pequim - Na Olimpíada de Pequim sentaram-se, em uma mesa quadrada, as mulheres, Maria e Tânia, e os homens, Juan e David, todos atletas. Cada um deles pratica um esporte diferente: natação, vôlei, ginástica e atletismo. Eles estavam sentados da seguinte maneira:
+
+(a) Quem pratica a natação estava à esquerda de Maria.
+
+(b) Quem pratica ginástica estava em frente a Juan.
+
+(c) Tânia e David sentaram-se lado a lado.
+
+(d) Uma mulher sentou-se ao lado de quem pratica volei.
+
+Qual dos atletas pratica atletismo?
+
+5. Culturas diferentes - Jorge, que mora em Recife, se corresponde com seu amigo inglês Ralph que mora na Inglaterra. Os dois se compreendem muito bem nas duas línguas, mas têm um problema com as datas: a data $08 / 10$ no Brasil significa 8 de outubro, e na Inglaterra 10 de agosto. Por causa disso, os dois combinaram não se escrever nos dias em que a data for ambígua. Eles preferem datas como $25 / 03$ que só pode significar 25 de março.
+
+(a) Em quais das datas a seguir Jorge e Ralph não podem se escrever?
+(i) 3 de dezembro
+(ii) 18 de agosto
+(iii) 5 de maio
+
+(b) Quando ocorre o maior período em que os dois amigos não podem se escrever?
+
+## Lista 7
+
+1. Uma liquidação - Na liquidação da loja SUPER-SUPER todos os produtos estão $50 \%$ mais baratos, e aos sábados existe ainda um desconto adicional de $20 \%$. Carla comprou uma calça antes da liquidação, e agora ela se lamenta: Nesse sábado eu teria economizado $R \$ 50,40$ na calça. Qual era o preço da calça antes da liquidação?
+2. Número com muitos zeros - Se $a$ é o número $0, \underbrace{000 \ldots 000}_{2009 \text { zeros }} 1$, então qual das expressões a seguir representa o maior número?
+(A) $3+a$
+(B) $3-a$
+(C) $3 a$
+(D) $3 / a$
+(E) $a / 3$
+3. Corrida das tartarugas - Cinco tartarugas apostaram uma corrida em linha reta e na chegada a situação foi a seguinte: Sininha está $10 \mathrm{~m}$ atrás de Olguinha e $25 \mathrm{~m}$ à frente de Rosinha que está $5 \mathrm{~m}$ atrás de Elzinha que está $25 \mathrm{~m}$ atrás de Pulinha. Qual foi a ordem de chegada?
+4. Que memória... - Esquecinaldo tem péssima memória para guardar números, mas ótima para lembrar sequências de operações. Por isso, para lembrar do seu código bancário de 5 algarismos, ele consegue se lembrar que nenhum dos algarismos é zero, os dois primeiros algarismos formam uma potência de 5 , os dois últimos formam uma potência de 2 , o do meio é um múltiplo de 3 e a soma de todos os algarismos é um número ímpar. Agora ele não precisa mais decorar o número porque ele sabe que é o maior número que satisfaz essas condições e que não tem algarismos repetidos. Qual é esse código?
+5. Uma fração irredutível - Encontre uma fração irredutível tal que o produto de seu numerador pelo denominador seja $2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \ldots \times 10$. Quantas dessas frações irredutíveis existem?
+
+## Lista 8
+
+1. Transformar em decimal - Escreva o resultado das seguintes expressões na forma decimal:
+(a) $7 \times \frac{2}{3}+16 \times \frac{5}{12}$
+(b) $5-\left(2 \div \frac{5}{3}\right)$
+(c) $1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+4}}$
+2. Uma sequência especial - Escrevendo sucessivamente os números naturais, obtemos a sequência:
+
+$$
+12345678910111213141516171819202122 \ldots
+$$
+
+Qual algarismo está na $2009^{a}$ posição dessa sequência?
+
+3. Cortar um retângulo - Como cortar um retângulo de $13 \mathrm{~cm}$ por $7 \mathrm{~cm}$ em 13 retângulos diferentes?
+4. Medida de ângulo - Na figura, $A \widehat{O} D$ e $B \widehat{O} Y$ são ângulos retos e a medida de $D \widehat{O} Y$ está entre $40^{\circ}$ e $50^{\circ}$. Além disso, os pontos $C$ e $Y$ estão sobre a reta $r$, enquanto $D$ e $E$ estão sobre a reta $s$. Os possíveis valores para a medida de $A \widehat{O} C$ variam de:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-08.jpg?height=409&width=531&top_left_y=1216&top_left_x=453)
+
+(A) $30^{\circ}$ a $40^{\circ}$
+
+(B) $40^{\circ}$ a $50^{\circ}$
+
+(C) $50^{\circ}$ a $60^{\circ}$
+
+(D) $40^{\circ}$ a $60^{\circ}$
+
+(E) não podem ser determinados
+
+5. Perímetros e áreas - Um quadrado tem $\sqrt{3}+3 \mathrm{~cm}$ de lado, e as dimensões de um retângulo, em centímetros, são $\sqrt{72}+3 \sqrt{6}$ e $\sqrt{2}$. Qual dos dois tem maior área? E maior perímetro?
+6. Cálculo de ângulo - Encontre $B \widehat{A} D$, sabendo que $D \widehat{A C}=39^{\circ}, A B=A C$ e $A D=B D$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-08.jpg?height=368&width=545&top_left_y=1838&top_left_x=1126)
+
+## Lista 9
+
+1. O caminho da formiga - Uma formiga sai de um ponto $A$, anda $7 \mathrm{~cm}$ para a esquerda, $5 \mathrm{~cm}$ para cima, $3 \mathrm{~cm}$ para a direita, $2 \mathrm{~cm}$ para baixo, $9 \mathrm{~cm}$ para a direita, $2 \mathrm{~cm}$ para baixo, $1 \mathrm{~cm}$ para a esquerda e $1 \mathrm{~cm}$ para baixo, chegando no ponto $B$. Qual é a distância d entre $A$ e $B$ ?
+(A) $0 \mathrm{~cm}$
+(B) $1 \mathrm{~cm}$
+(C) $4 \mathrm{~cm}$
+(D) $5 \mathrm{~cm}$
+(E) $7 \mathrm{~cm}$
+2. Menino mentiroso - Joãozinho mente nas terças-feiras, quintas-feiras e sábados e o resto dos dias fala a verdade. Um dia Pedrinho encontra com Joãozinho e têm o seguinte diálogo:
+
+- Pedrinho pergunta: Que dia é hoje?
+- Joãozinho responde: Sábado.
+- Pedrinho pergunta: E que dia será amanhã?
+- Joãozinho responde: Quarta-feira.
+
+Que dia da semana o Pedrinho encontrou com o Joãozinho?
+
+3. Encontre os 4 números - Encontre quatro números distintos de 3 algarismos, tais que a soma de três quaisquer deles é divisível pelo quarto número.
+4. Colando 6 triângulos - Construa 6 triângulos equiláteros, o primeiro com lado de comprimento $1 \mathrm{~cm}$ e os triângulos seguintes com lado igual a metade do lado do triângulo anterior, como indicado na figura ao lado. Qual é o perímetro desta figura?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-09.jpg?height=287&width=417&top_left_y=1315&top_left_x=1236)
+
+5. Os livros da Elisa - Elisa tem 24 livros de ciências e outros de matemática e literatura. Se Elisa tivesse um livro a mais de matemática, então $\frac{1}{9}$ de seus livros seria de matemática e um quarto de literatura. Se Elisa tem menos que 100 livros, quantos livros de matemática ela possui?
+
+## Lista 10
+
+1. Divisão por 9 -
+
+(a) Listemos os primeiros 20092009 números naturais. Em seguida, substituímos, sucessivamente, cada número pela soma dos seus algarismos, até obtermos uma lista de números com apenas um algarismo. A lista tem mais algarismos 4 ou 5 ? Quantos 9 tem a lista?
+
+(b) Aplicando o mesmo processo ao número $3^{2009}$, isto é, substituindo o número pela soma dos seus algarismos, qual é o número de apenas um algarismo obtido?
+
+(c) E para o número $17^{2009}$ ?
+
+2. Uma brincadeira na sala de aula - A professora Raquel inventou a seguinte brincadeira: escreva um número no quadro, se ele for ímpar acrescente 3 unidades ao número, e se ele for par divida o número por 2.
+
+Esta operação pode ser feita diversas vezes. A professora está interessada em obter no final o número 1 e perguntou para a classe: Como obter o número 1 após 3 operações? E após 4 operações? E após 5 operações?
+
+3. Calcule a idade - Laura e sua avó Ana acabaram de descobrir que, no ano passado, suas idades eram divisíveis por 8 e, no próximo ano, serão divisíveis por 7 . Vovó Ana ainda não é centenária. Qual é a idade de Laura?
+4. Divisões e restos - $O$ dobro de um número dividido por 5 deixa resto 1 . Qual o resto da divisão desse número por 5 ?
+5. Preenchendo o círculo - Cada um dos sinais $\square, \boxplus, \boxtimes, \boxminus \mathrm{e} \boxminus$ representa um número de 1 algarismo. Descubra quem são eles e complete o número que falta no círculo em branco.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-10.jpg?height=111&width=935&top_left_y=1647&top_left_x=557)
+
+## Soluções do Nível 1
+
+## Lista 1
+
+1. Encontro de amigos - Eu chegarei quando meu relógio marcar $10 \mathrm{~h} 5 \mathrm{~min}$, uma vez que penso que o relógio está adiantado $5 \mathrm{~min}$. Como ele está atrasado $10 \mathrm{~min}$, chegarei, na verdade, as $10 \mathrm{~h} 15 \mathrm{~min}$.
+
+Meu amigo chegará quando seu relógio marcar 10 horas, pois ele pensa que o relógio está correto, mas na realidade serão $9 \mathrm{~h} 55 \mathrm{~min}$. Logo meu amigo chegará 20 min antes de mim.
+
+2. Trabalho comunitário - A resposta correta é (B).
+
+Do número total de alunos dessa classe, $60 \%$ foram prestar trabalho comunitário, isto é, $0,6 \times 40=24$. O número mínimo de alunas que participaram desse trabalho é obtido quando o número de alunos que participaram é máximo, ou seja, quando 22 alunos se envolverem no trabalho, restando o mínimo de 2 vagas para as alunas.
+
+3. Área de trapézios - A resposta correta é (E).
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-11.jpg?height=328&width=304&top_left_y=1267&top_left_x=347)
+
+Unindo os quatro trapézios, formamos um quadrado de lado $50 \mathrm{~cm}$, e portanto de área $2500 \mathrm{~cm}^{2}$. Como o "buraco" quadrado tem lado $30 \mathrm{~cm}$, sua área é $30 \times 30=900 \mathrm{~cm}^{2}$. Logo, a área de cada um dos 4 trapézios, em $\mathrm{cm}^{2}$, é
+
+$$
+(2500-900) \div 4=1600 \div 4=400
+$$
+
+4. Adivinhação - Já de início sabemos sobre o maior número:
+
+- é par por ser o dobro do menor mas não termina em zero porque o maior e o menor número não possuem algarismos em comum;
+- seu algarismo das dezenas é no mínimo 2 porque sua metade é um número com 2 algarismos;
+- a soma de seus algarismos é no máximo 9 , porque essa soma é um dos algarismos do menor número;
+
+Logo, os candidatos ao maior e menor número são:
+
+| maior | 22 | 32 | 62 | 72 | 34 | 44 | 54 | 26 | 36 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+| menor | 11 | 16 | 31 | 36 | 17 | 22 | 27 | 13 | 18 |
+
+Por verificação, temos que 17 e 34 são os números que satisfazem as condições do problema.
+5. 18 números consecutivos - Uma sequência de 18 números consecutivos possui sempre 2 termos que são múltiplos de 9 . Logo, a soma dos algarismos de cada um desses 2 números é um múltiplo de 9 . Observe que como os números têm 3 algarismos, a maior das somas que pode ocorrer é 27 . Logo as possibilidades para as somas dos algarismos desses 2 números são:
+
+(i) 9 e 9
+
+(ii) 9 e 18
+
+(iii) 18 e 18
+
+(iv) 18 e 27
+
+Vamos examinar alguns exemplos de cada um dos 4 casos.
+
+(i) 9 e 9
+
+Exemplo: um dos números é 144, e o outro 135 ou 153. Veja algumas possíveis sequências:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-12.jpg?height=409&width=992&top_left_y=1091&top_left_x=534)
+
+(ii) 9 e 18
+
+Exemplo: um dos números é 900 e o outro 891 ou 909 . Veja algumas possíveis sequências:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-12.jpg?height=406&width=992&top_left_y=1727&top_left_x=534)
+
+(iii) 18 e 18
+
+Exemplo: um dos números é 828 e o outro 819 ou 837 . Veja algumas possíveis sequências:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-13.jpg?height=95&width=978&top_left_y=413&top_left_x=541)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-13.jpg?height=187&width=986&top_left_y=516&top_left_x=537)
+
+$\underbrace{}_{10 \circ}, \underbrace{}_{11 \varrho}, \underbrace{}_{12 \varrho}, \underbrace{}_{130}, \underbrace{}_{14 \varrho}, \underbrace{837}_{150}, \underbrace{}_{160}, \underbrace{}_{170}, \underbrace{840}_{180}$.
+
+(iv) 18 e 27 .
+
+Nesse caso um dos números é 999 e temos uma única opção para a sequência:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-13.jpg?height=200&width=992&top_left_y=995&top_left_x=534)
+
+Vamos agora analisar cada caso. Nos casos (i) e (ii) um dos números é divisível por 9 que é a soma de seus algarismos. No caso (iv) um dos números é 999 que é divisível por 27 . Finalmente no caso (iii) um dos números tem de ser par, pois são 2 múltiplos consecutivos de 9 . Logo, esse número é múltiplo de 2 e 9 , portanto múltiplo de 18 .
+
+1. Completar uma tabela - Observe que em cada quadrado formado por 4 quadradinhos, o número que está na parte inferior direita é a soma dos outros 3 números. Assim, temos:
+
+| $\mathbf{0}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| $\mathbf{1}$ | 2 | 5 | 10 | $3+4+10=17$ |
+| $\mathbf{2}$ | $1+2+2=5$ | $2+5+5=12$ | $5+10+12=27$ | $10+17+27=54$ |
+| $\mathbf{3}$ | 10 | 27 | 66 | 147 |
+| $\mathbf{4}$ | 17 | 54 | 147 | $\mathbf{A}$ |
+
+Logo:
+
+$$
+\mathbf{A}=66+147+147=360
+$$
+
+2. Procurando múltiplos de 9 - Sempre existe uma diferença que é um múltiplo de 9 . De fato, quando dividimos um número por 9 , podemos encontrar nove restos diferentes: $0,1,2,3,4,5,6,7$ ou 8 . Logo, entre os 10 números do conjunto, pelo menos dois deles têm mesmo resto quando divididos por 9 , já que temos no máximo 9 restos diferentes.
+
+Quando fazemos a diferença desses dois números que têm o mesmo resto, obtemos um número com resto zero, ou seja, divisível por 9 .
+
+3. Correndo numa praça - A distância que ele percorre a cada volta completa é igual ao perímetro da praça:
+
+$$
+2 \times 900+2 \times 600=3000 \mathrm{~m}
+$$
+
+Como $15,5 \mathrm{~km}=15500 \mathrm{~m}$ e $15500=5 \times 3000+500$, o atleta dá 5 voltas completas (partindo de $P$ e retornando a $P$ ), e corre ainda mais $500 \mathrm{~m}$. Portanto, ele para no ponto $Q$, a $150 \mathrm{~m}$ do vértice $B$, como na figura.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-14.jpg?height=279&width=458&top_left_y=1601&top_left_x=1273)
+
+4. Ovos para um bolo - Como os 43 bolos têm a mesma receita, o número de ovos que a doceira precisa é um múltiplo de 43. Por outro lado, esse número também é um múltiplo de $2,3,4,5$ e 6 acrescido de 1 . O mmc de $2,3,4,5$ e 6 é 60 , mas $60+1=61$ não é múltiplo de 43! Precisamos, então, encontrar um número com essas duas propriedades:
+
+- é múltiplo de 43 ;
+- acrescido de 1 é múltiplo de $2,3,4,5$ e 6 .
+
+Lembre também que como a receita gasta menos de 9 ovos, o número que estamos procurando é menor do que $43 \times 9=387$. Temos:
+
+$$
+\begin{array}{ll}
+60 \times 2+1=121 & \text { não é múltiplo de } 43 \\
+60 \times 3+1=181 & \text { não é múltiplo de } 43 \\
+60 \times 4+1=241 & \text { não é múltiplo de } 43 \\
+60 \times 5+1=301 & \text { é m��ltiplo de } 43 \\
+60 \times 6+1=361 & \text { não é múltiplo de } 43
+\end{array}
+$$
+
+Podemos parar por aqui porque os próximos números serão maiores do que 387. Logo, a doceira comprou 301 ovos.
+
+5. Cálculos H e V - Inicialmente, veja que os possíveis lugares para o número 1 estão mostrados ao lado. Já as multiplicações só podem ser $2 \times 3=6$ e $2 \times 4=8$. Agora, repare que o 2 só pode ser o multiplicando e não o multiplicador (tente colocá-lo como multiplicador e veja que isso não é possível).
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-15.jpg?height=244&width=290&top_left_y=691&top_left_x=1449)
+
+Temos agora duas opções para preencher.
+
+1-a opção: $2 \times 3=6$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-15.jpg?height=252&width=1057&top_left_y=1126&top_left_x=339)
+
+2a opção: $2 \times 4=8$
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-15.jpg?height=238&width=664&top_left_y=1538&top_left_x=342)
+(6) $\div(3)=(2)$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-15.jpg?height=146&width=356&top_left_y=1629&top_left_x=337)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-15.jpg?height=54&width=65&top_left_y=1637&top_left_x=1128)
+(4)
+(1) +7 (7) 8
+
+## Lista 3
+
+1. Cortando uma cartolina - Os lados do retângulo final obtido após os cortes são, cada um, a metade dos lados da cartolina original. Assim, o perímetro do retângulo original é o dobro do perímetro do retângulo final. Logo, o perímetro da cartolina antes do corte é $2 \times 129=258 \mathrm{~cm}$.
+
+Observação. Ao fazer um corte paralelo a um dos lados do triângulo e pelo ponto médio desse lado, o outro corte que formará o retângulo, só pode ocorrer no ponto médio do outro lado, em vista da semelhança que ocorre desses triângulos. Assim, o enunciado contém um dado a mais, desnecessário para os que conhecem semelhança de triângulos.
+
+2. A soma errada - À primeira inspeção, podemos admitir que os três algarismos à direita dos números estão corretos, isto é, estão corretos os algarismos $0,1,3,4,5,6$ e 8 . Portanto, dentre os algarismos 2, 7 e 9, um deles está errado. O algarismo 9 está certo, pois se o mudarmos, a soma com 2 não estará certa. Sendo assim, sobraram 2 e 7 . Se o 7 estiver errado, então 2 estará correto, mas isso não é possível pois $1+4+2=7$. Logo, o 2 é que deve ser substituído. Olhando novamente para a soma $1+4+2$, vemos que o resultado é um número com o algarismo da unidade igual a 1. Logo, o algarismo 2 deve ser substituído por 6 . Fazendo a substituição, verificamos que a soma fica correta.
+3. Número de 5 algarismos - Para que $a b c$ seja divisível por 4 , seus dois últimos algarismos devem formar um número divisível por 4 . Como os algarismos são $1,2,3,4$ e 5, as únicas possibilidades são: $b c=12, b c=24, b c=32, b c=52$. Por outro lado, os números divisíveis por 5 terminam em 0 ou 5 . Como 0 não está incluído, segue que $d=5$ pois $b c d$ é divisível por 5 . Isso exclui a possibilidade $b c=52$ porque não podemos repetir o 5. Até agora temos 3 possibilidades:
+
+$$
+a 125 e, \quad a 245 e, \quad a 325 e
+$$
+
+Vamos agora examinar esses 3 casos, para escolher os algarismos $a$ e $e$, lembrando que não pode haver repetição.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-16.jpg?height=482&width=1410&top_left_y=1842&top_left_x=324)
+
+Logo, o número é 12453 .
+
+4. Tabela misteriosa - Observemos que:
+
+- na última coluna estarão os múltiplos de 9 porque essa coluna está em branco e nenhum dos números que aparecem na tabela é múltiplo de 9 ;
+- na 5 a linha estarão os múltiplos de 12 , pois é nessa linha que aparece o único múltiplo de 12 da tabela (24);
+- na 4a coluna estarão os múltiplos de 10 , pois 40 é o único múltiplo de 10 na tabela;
+- na $5^{a}$ coluna teremos múltiplos de 7 , pois 42 e 49 são os únicos múltiplos de 7 na tabela;
+- na $2^{\text {a }}$ linha estarão os múltiplos de 7 , porque 1 e 7 são os únicos divisores de 49 menores do que 12 ;
+- na $3^{\text {a }}$ coluna aparecerão os múltiplos de 2 , pois 2 é o único divisor comum de 22 e 24 diferente de 1 ;
+- na $3^{\mathbf{a}}$ linha aparecerão os múltiplos de 11 , pois $22=2 \times 11$ e os múltiplos de 2 já estão na 3 ạ coluna;
+- na 6 a linha aparecerão os múltiplos de 6 , pois os divisores de $42=2 \times 3 \times 7$ menores do que 12 e diferentes de 1 são $2,3,6$ e 7 . Os múltiplos de 2 e 7 já estão em seus respectivos lugares. Faltam os múltiplos de 3 e 6 . Os únicos múltiplos de 6 na tabela são 24 e 42 , e 24 já aparece na $5^{a}$ linha.
+
+Como $15=3 \times 5$ e os divisores comuns de 32 e 40 , menores do que 12 e diferentes de 1 , são 2 (já colocado na tabela), 4 e 8 , até o momento temos a seguinte situação:
+
+|  | 4 ou 8 | 3 ou 5 | 2 | 10 | 7 | 9 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 4 ou 8 | 32 |  |  | 40 |  |  |
+| 7 |  |  | $\mathbf{1 4}$ | $\mathbf{7 0}$ | 49 | $\mathbf{6 3}$ |
+| 11 |  |  | 22 | $\mathbf{1 1 0}$ | $\mathbf{7 7}$ | $\mathbf{9 9}$ |
+| 3 ou 5 |  | 15 |  |  |  |  |
+| 12 |  |  | 24 | $\mathbf{1 2 0}$ | $\mathbf{8 4}$ | $\mathbf{1 0 8}$ |
+| 6 |  |  | $\mathbf{1 2}$ | $\mathbf{6 0}$ | 42 | $\mathbf{5 4}$ |
+
+Examinemos agora as possibilidades:
+
+I - Repetição de 2 números: 30 e 60
+
+|  | 8 | 5 | 2 | 10 | 7 | 9 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 4 | 32 | 20 | 8 | 40 | 28 | 36 |
+| 7 | 56 | 35 | 14 | 70 | 49 | 63 |
+| 11 | 88 | 55 | 22 | 110 | 77 | 99 |
+| 3 | 24 | 15 | 6 | $\mathbf{3 0}$ | 21 | 27 |
+| 12 | 96 | $\mathbf{6 0}$ | 24 | 120 | 84 | 108 |
+| 6 | 48 | $\mathbf{3 0}$ | 12 | $\mathbf{6 0}$ | 42 | 54 |
+
+II - Repetição de 3 números: 24, 30 e 60
+
+|  | 4 | 5 | 2 | 10 | 7 | 9 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 8 | 32 | 40 | 16 | 80 | 56 | 72 |
+| 7 | 28 | 35 | 14 | 70 | 49 | 63 |
+| 11 | 44 | 55 | 22 | 110 | 77 | 99 |
+| 3 | 12 | 15 | 6 | $\mathbf{3 0}$ | 21 | 27 |
+| 12 | 48 | $\mathbf{6 0}$ | $\mathbf{2 4}$ | 120 | 84 | 108 |
+| 6 | $\mathbf{2 4}$ | $\mathbf{3 0}$ | 12 | $\mathbf{6 0}$ | 42 | 54 |
+
+III - Repetição de 2 números: 12 e 40
+
+|  | 8 | 3 | 2 | 10 | 7 | 9 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 4 | 32 | $\mathbf{1 2}$ | 8 | $\mathbf{4 0}$ | 28 | 36 |
+| 7 | 56 | 21 | 14 | 70 | 49 | 63 |
+| 11 | 88 | 33 | 22 | 110 | 77 | 99 |
+| 5 | $\mathbf{4 0}$ | 15 | 10 | 50 | 35 | 45 |
+| 12 | 96 | 36 | 24 | 120 | 84 | 108 |
+| 6 | 48 | 18 | $\mathbf{1 2}$ | 60 | 42 | 54 |
+
+IV - Repetição de apenas um número: 24
+
+|  | 4 | 3 | 2 | 10 | 7 | 9 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 8 | 32 | $\mathbf{2 4}$ | 16 | 80 | 56 | 72 |
+| 7 | 28 | 21 | 14 | 70 | 49 | 63 |
+| 11 | 44 | 33 | 22 | 110 | 77 | 99 |
+| 5 | 20 | 15 | 10 | 50 | 35 | 45 |
+| 12 | 48 | 36 | $\mathbf{2 4}$ | 120 | 84 | 108 |
+| 6 | $\mathbf{2 4}$ | 18 | 12 | 60 | 42 | 54 |
+
+Logo, a única solução é a tabela IV.
+
+5. Habitantes e esporte - Dos dados na tabela temos $8563+8322=16885$ pessoas que não praticam esporte. Logo, a cidade tem $16885 \div 5=3377$ pessoas que praticam esporte regularmente, e portanto $3377-1252=2125$ pessoas do sexo feminino praticam esporte regularmente.
+
+Note que o número de pessoas que praticam esporte somente no fim de semana é divisível por 15 e por 9. Logo, precisamos encontrar o maior número, não superior a 30000 , múltiplo de 15 e 9 . Este número deve terminar em 0 ou 5 e a soma de seus algarismos deve ser um múltiplo de 9 . Como 29970 é o número mais próximo de 30000 , menor do que 30000 e múltiplo de 5 e 9 , podemos assumir que ele é a população total da cidade.
+
+Logo, $\frac{2}{15} \times 29970=3996$ e $\frac{2}{9} \times 29970=6660$ são as mulheres e os homens, respectivamente, que praticam esporte somente nos finais de semana.
+
+## Lista 4
+
+1. Botões luminosos - A resposta correta é (C).
+
+A tabela mostra a cor de cada botão em cada etapa.
+
+|  | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{5}$ | $\mathbf{6}$ | $\mathbf{7}$ | $\mathbf{8}$ |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| início | azul | azul | azul | azul | azul | azul | azul | azul |
+| apertando botão 1 | verde | verde | azul | azul | azul | azul | azul | verde |
+| apertando botão 3 | verde | azul | verde | verde | azul | azul | azul | verde |
+| apertando botão 5 | verde | azul | verde | azul | verde | verde | azul | verde |
+
+Logo, os botões que ficaram com luzes verdes acesas no final são $1,3,5,6$ e 8 , o que nos dá um total de 5 botões.
+
+2. Qual é o número? - O problema é determinar os algarismos $a, b, c, d$ e $e$ tais que o número $a b c d e 1$ seja o triplo de $1 a b c d e$ 1abcde:
+
+$$
+\frac{\times 3}{a b c d e 1}
+$$
+
+De início vemos que $e=7$, e a partir daí podemos ir descobrindo cada um dos algarismos:
+
+| $1 a b c d 7$ | $1 a b c 57$ | $1 a b 857$ | $1 a 2857$ |
+| :---: | :---: | :---: | :---: |
+| $\times 3$ | $\times 3$ | $\times 3$ | $\times 3$ |
+| $a b c d 71$ | $a b c 571$ | $a b 8571$ | $a 2857$ |
+
+Portanto, $a=4$ e o número de partida é 142857 .
+
+3. Jardim variado - Os triângulos $1,2,5$ e 6 são retângulos, logo para calcular suas áreas vamos "enxergar" cada um deles como metade de um retângulo. Para isso precisamos saber dividir o terreno retangular em retângulos menores, de modo que nossa estratégia funcione: subdividimos o terreno em 16 retângulos de $15 \mathrm{~m}$ por $40 \mathrm{~m}$, como mostra a figura. Cada um desses retângulos tem $15 \times 40=600 \mathrm{~m}^{2}$ de área.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-19.jpg?height=383&width=506&top_left_y=1424&top_left_x=1227)
+
+Temos então:
+
+- área do triângulo $1=$ área do triângulo $5=\frac{1}{2} \times 4 \times 600=1200 \mathrm{~m}^{2}$
+- área do triângulo $2=\frac{1}{2} \times 6 \times 600=1800 \mathrm{~m}^{2}$
+- área do triângulo $6=\frac{1}{2} \times 2 \times 600=600 \mathrm{~m}^{2}$.
+
+Observe que a área do triângulo 4 é a metade da área do terreno todo subtraída das áreas de 3 triângulos: triângulo 5 , triângulo 6 e um triângulo formado por metade de 4 desses retângulos menores, temos então:
+
+área do triângulo $4=\frac{120 \times 80}{2}-\left(1200+600+\frac{4 \times 600}{2}\right)=4800-3000=1800 \mathrm{~m}^{2}$.
+
+Finalmente, a área do triângulo 3 é a área total do terreno subtraída da soma das áreas já calculadas dos outros 5 triângulos
+
+$$
+120 \times 80-(2 \times 1200+2 \times 1800+600)=9600-6600=3000 \mathrm{~m}^{2}
+$$
+
+Para que o gasto seja o menor possível, as flores mais caras devem ser plantadas nas menores regiões. Assim, a menor região é a 6 , onde deve ser plantada a flor mais cara, rosa, gastando $3,50 \times 600=2100,00$. A maior região é a 3 onde deve ser plantada a flor mais barata, bem-me-quer, gastando $0,80 \times 3000=2400,00$.
+
+As regiões 1 e 5 com áreas iguais a $1200 \mathrm{~m}^{2}$ devem ser plantadas bromélias e cravos, tendo os gastos: $(3,00+2,20) \times 1200=6240$.
+
+As regiões 2 e 4 com áreas $1800 \mathrm{~m}^{2}$ devem ser plantadas margarida e violeta com gasto de $(1,20+1,70) \times 1800=5220$. Temos então 4 diferentes maneiras de formar o jardim mantendo o mesmo preço mínimo.
+
+O gasto mínimo é $2100+2400+6240+5220=\mathrm{R} \$ 15960,00$. Veja a seguir uma das 4 possibilidades de escolhas das flores com o menor orçamento.
+
+| Região | Área $\mathrm{m}^{2}$ | Flor | Preço $^{2}$ | Total por flor |
+| :---: | :---: | :--- | :---: | :---: |
+| 1 | 1200 | bromélia | 3,00 | $3,00 \times 1200=3600$ |
+| 2 | 1800 | margarida | 1,20 | $1,20 \times 1800=2160$ |
+| 3 | 3000 | bem-me quer | 0,80 | $0,80 \times 3000=2400$ |
+| 4 | 1800 | violeta | 1,70 | $1,70 \times 1800=3060$ |
+| 5 | 1200 | cravo | 2,20 | $2,20 \times 1200=2640$ |
+| 6 | 600 | rosa | 3,50 | $3,50 \times 6=2100$ |
+|  |  |  | TOTAL: 15960 |  |
+
+4. O algarismo 3 - Vejamos cada vez que Luis escreveu o algarismo 3:
+
+- $3 \rightarrow 1$;
+- $\underbrace{13,23}_{2}, \underbrace{30,31,32,33, \ldots, 39}_{11}, \underbrace{43, \ldots, 93}_{6} \rightarrow 2+6+11=19$;
+
+Até aqui ele escreveu 20 vezes o algarismo 3. Daí temos:
+
+$$
+\underbrace{103}_{21 \mathrm{a}}, \underbrace{113}_{22 \mathrm{a}}, \underbrace{123}_{23 \mathrm{a}}, \underbrace{130}_{24^{\mathrm{a}}}, \underbrace{131}_{25 \mathrm{a}} .
+$$
+
+Logo, ao escrever o número 131, ele escreveu o algarismo 3 pela 25 a vez.
+
+5. Soma de potências - Existe um padrão para o algarismo das unidades de uma potência de 3: ele tem período 4 , pois se repete de 4 em 4 vezes.
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 3 \\
+& 3^{2}=9 \\
+& 3^{3}=27 \\
+& 3^{4}=81 \\
+& 3^{5}=243 \\
+& 3^{6}=\ldots 9 \\
+& 3^{7}=\ldots 7 \\
+& 3^{8}=\ldots 1
+\end{aligned}
+$$
+
+Como 444 é múltiplo de 4 , o algarismo das unidades de $3^{444}$ é 1 .
+
+Analogamente, o algarismo das unidades de potências de 4 tem período 2. De fato temos:
+
+$$
+\begin{array}{ll}
+4^{1}=4 & ; \quad 4^{3}=64 \\
+4^{2}=16 \quad & ; \quad 4^{4}=256
+\end{array}
+$$
+
+Como 333 é ímpar, o algarismo das unidades de $4^{333}$ é 4 . Portanto, o algarismo das unidades de $3^{444}+4^{333}$ é $1+4=5$, e logo ele é divisível por 5 .
+
+LEMBRE: Os números divisíveis por 5 terminam em 0 ou em 5
+
+## Lista 5
+
+1. Telefonemas - Uma vez que João liga para seus pais a cada 3 dias, podemos montar uma tabela que indica os dias da semana em que ocorreram os 14 primeiros telefonemas do João:
+
+| Domingo | Segunda | Terça | Quarta | Quinta | Sexta | Sábado |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 1 | 6 | 4 | 2 | 7 | 5 | 3 |
+
+Analisando a primeira linha dessa tabela percebemos que são 7 telefonemas, 1 em cada dia da semana e que, a partir do 70 telefonema, os dias começam a se repetir. Isto implica que, os números que aparecem na segunda linha da tabela são obtidos dos números que aparecem na primeira linha somados de 7 .
+
+Por exemplo, João telefonará para seus pais aos domingos nos telefonemas de números:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 1 \\
+& 1+7=8 \\
+& 8+7=15 \\
+& 15+7=22 \\
+& 22+7=29 \\
+& 29+7=36
+\end{aligned}
+$$
+
+ou seja, nos números que deixam resto 1 quando divididos por 7 .
+
+Com este raciocínio podemos determinar o dia da semana que cai uma ligação, analisando o resto da divisão do número do telefonema por 7 .
+
+| Domingo | Segunda | Terça | Quarta | Quinta | Sexta | Sábado |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 1 | 6 | 4 | 2 | 7 | 5 | 3 |
+| 8 | 13 | 11 | 9 | 14 | 12 | 10 |
+| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
+| $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ |
+| resto 1 | resto 6 | resto 4 | resto 2 | resto 0 | resto 5 | resto 3 |
+
+Dividindo 100 por 7 , obtemos $100=7 \times 14+2$. Logo, o resto da divisão de 100 por 7 é 2 , e segue que o 100 o telefonema será numa quarta-feira.
+
+2. O maior produto - Observe que obtemos o maior resultado possível se um dos números começar com o algarismo 5 e o outro com 4 . Vejamos as possibilidades que dão o maior produto:
+
+- um dos fatores tem 1 algarismo:
+
+$5321 \times 4=21284 ; 4321 \times 5=21605$
+
+- um dos fatores tem 2 algarismos:
+
+$532 \times 41=21812 ； 531 \times 42=22302 ； 521 \times 43=22403$
+
+É bom usar uma calculadora.
+
+$432 \times 51=22032 ； 431 \times 52=22412 ； 421 \times 53=22313$.
+
+Logo, o melhor resultado é $431 \times 52=22412$.
+
+3. O caminho da Joaninha - Os números primos que aparecem na tabela são: $23,73,37,17$, $79,19,37,53$ e 251 . Logo, o caminho a ser percorrido pela Joaninha é apresentado na figura a seguir:
+
+|  |  |  |  |  |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 23 | 213 | 73 | 37 | 17 |
+| 218 | 79 | 65 | 19 | 57 |
+| 37 | 53 | 231 | 87 | 251 |
+
+4. O lugar dos amigos -
+
+Observe que 3 é o único número dentro das três figuras, e 1 é o único que não está dentro de um polígono, logo:
+
+Celina $\rightarrow 3 ; \quad$ Fábio $\rightarrow 1$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-23.jpg?height=241&width=247&top_left_y=1522&top_left_x=1470)
+
+Agora, 4 é o único número dentro do triângulo e do círculo, logo: Elisa $\rightarrow 4$. Nessa situação, 5 é o único dentro do triângulo mas não do quadrado, assim Diana $\rightarrow 5$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-23.jpg?height=241&width=244&top_left_y=1766&top_left_x=1474)
+
+Finalmente, 7 é o único número dentro de uma única figura, logo: Bento $\rightarrow 7$. Resta então, 2 dentro do círculo, assim Guilherme $\rightarrow 2$, e 6 para Ana.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-23.jpg?height=235&width=247&top_left_y=2013&top_left_x=1470)
+
+5. Quadrado perfeito? - Lembre que um número é um quadrado perfeito se na sua decomposição em fatores primos os expoentes são todos pares. Por exemplo:
+
+- $5^{4} \times 7^{6} \times 13^{2}$ é quadrado perfeito, pois é igual a $\left(5^{2} \times 7^{3} \times 13\right)^{2}$.
+
+Como nenhum número elevado ao quadrado termina em 3 , segue que $N_{1}=333 \ldots 3$ não é um quadrado.
+
+Temos que $N_{2}=666 \ldots 6=2 \times 333 \ldots 3$. Como $333 \ldots 3$ é ímpar, então na decomposição de $N_{2}$ em fatores primos não aparece 2 com expoente par. Logo, $N_{2}$ não é quadrado.
+
+Vejamos a divisibilidade por 3. A soma dos algarismos de cada um dos números é:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& N_{3} \leadsto 50 \times 15=750 \\
+& N_{4} \leadsto 50 \times 21=1050 \\
+& N_{5} \leadsto 50 \times 27=1350
+\end{aligned}
+$$
+
+Como todas essas somas são divisíveis por 3 , todos os números também são divisíveis por 3. Logo, se algum deles fosse um quadrado perfeito teria que ser divisível por 9 .
+
+A soma dos algarismos de $N_{3}$ e $N_{4}$ não é divisível por 9 , logo esses números não são divisíveis por 9 e, consequentemente, não são quadrados perfeitos.
+
+Como 1350 é divisível por 9 , então $N_{5}$ é divisível por 9 . Temos:
+
+$$
+2727272727 \ldots 27 \div 9=303030 \ldots 03
+$$
+
+e
+
+$$
+303030 \ldots 03 \div 3=101010 \ldots 01
+$$
+
+logo:
+
+$$
+2727272727 \ldots 27=3^{2} \times 303030 \ldots 03=3^{3} \times 101010 \ldots 01
+$$
+
+Note que $101010 \ldots 01$ tem 49 algarismos, dos quais 25 são iguais a 1 e os outros iguais a 0 . Logo a soma de seus algarismos é 25 e portanto não é divisível por 3 . Assim, 2727272727 . . 27 é divisível por $3^{2}$ mas não por $3^{4}$, e por isso concluímos que não é um quadrado perfeito.
+
+## Lista 6
+
+1. Preenchendo quadradinhos - A operação é equivalente a
+
+$$
+(\square+\square-\square) \times \square=4 \times
+$$
+
+Logo, o lado esquerdo da igualdade é um múltiplo de 4, portanto as únicas possibilidades são:
+
+$$
+(\square+\square-\square) \times \square=4 \times \square \quad \text { ou } \quad(\square+\square-\square) \times \square=4 \times \square
+$$
+
+Daí, podemos concluir que:
+
+$$
+(\boxed{3}+5-\square) \times \square=4 \times \square \quad \text { ou } \quad(6+5-\square) \times \square=4 \times \square
+$$
+
+2. Os 3 números - Como 13983 termina em 3, a soma dos algarismos das unidades dos 3 números deve ser 13 , e para isso só temos uma opção: $2+$ $4+7=13$.
+
+|  |  |  |  | 2 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+|  |  |  |  | 4 |
+|  |  |  |  | 7 |
+| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 |
+
+Agora, a soma dos algarismos das dezenas deve ser $8-1=7$, e logo tem de ser $1+2+4=7$. Completamos os algarismos das dezenas, tendo o cuidado de não repetir o mesmo algarismo num mesmo número. Temos três opções:
+
+|  |  |  | 1 | 2 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+|  |  |  | 2 | 4 |
+|  |  |  | 4 | 7 |
+| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 |
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-25.jpg?height=300&width=355&top_left_y=1910&top_left_x=793)
+
+|  |  |  |  |  |  |  |  | 1 |  |  |  |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+|  |  |  | 4 | 2 |  |  |  |  |  |  |  |
+|  |  |  | 1 | 4 |  |  |  |  |  |  |  |
+|  |  |  | 2 | 7 |  |  |  |  |  |  |  |
+| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 |  |  |  |  |  |  |  |
+
+Os algarismos das centenas devem somar 9 , aí temos duas opções: $4+4+1$ e $1+1+7$. Como nas três possibilidades anteriores o algarismo 4 ocorre em dois dos três números, escolhemos a segunda opção, para que não apareça o algarismo 4 repetido. Temos de tomar cuidado para que 1 e 7 também não apareçam repetidos.
+
+|  |  | 7 | 1 | 2 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+|  |  | 1 | 2 | 4 |
+|  |  | 1 | 4 | 7 |
+| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 |
+
+
+|  |  | 1 | 4 | 2 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+|  |  | 7 | 1 | 4 |
+|  |  | 1 | 2 | 7 |
+| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 |
+
+Finalmente, os algarismos das unidades de milhar devem somar 13, agora é fácil escolhêlos:
+
+|  | 4 | 7 | 1 | 2 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+|  | 7 | 1 | 2 | 4 |
+|  | 2 | 1 | 4 | 7 |
+| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 |
+
+
+|  | 7 | 1 | 4 | 2 |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+|  | 2 | 7 | 1 | 4 |
+|  | 4 | 1 | 2 | 7 |
+| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 |
+
+3. Preencher uma tabela - Existem várias maneiras de preencher a tabela, dependendo de como selecionamos a casa a ser preenchida. A cada vez temos várias casas que podem ser preenchidas.
+
+Veja um exemplo de como preencher a tabela: inicialmente temos 4 casas que podem ser preenchidas - marcadas com $X$. Escolhemos uma delas e preenchemos de acordo com a segunda regra, e repetimos esse processo até a tabela estar completamente preenchida.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-26.jpg?height=398&width=1402&top_left_y=1296&top_left_x=328)
+
+Mas para colocar em cada casa o maior número possível, a ideia é a cada vez examinar todas as casas que podem ser preenchidas, e só preencher a casa onde podemos colocar o maior número. Se em duas dessas casas o número a ser colocado é o mesmo, preencheremos a que tem o menor número de vizinhos preenchidos. Vamos lá!
+
+|  |  |  |  |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+|  |  |  |  |
+| 3 |  |  |  |
+| 1 | 2 |  |  |
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-26.jpg?height=184&width=954&top_left_y=1899&top_left_x=736)
+
+|  |  |  |  |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+| 9 | 18 |  |  |
+| 3 | 6 |  |  |
+| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ |  |  |
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-26.jpg?height=190&width=954&top_left_y=2094&top_left_x=736)
+
+| 27 | 54 | 72 |  |
+| :---: | :---: | :---: | :--- |
+| 9 | 18 | 144 |  |
+| 3 | 6 |  |  |
+| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ |  |  |$\Rightarrow$| 27 | 54 | 72 | 216 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 9 | 18 | 144 |  |
+| 3 | 6 |  |  |
+| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ |  |  |$\Rightarrow$| 27 | 54 | 72 | 216 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 9 | 18 | 144 | 432 |
+| 3 | 6 |  |  |
+| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ |  |  |
+
+
+| 27 | 54 | 72 | 216 | $\Rightarrow$ | 27 | 54 | 72 | 216 |  | 2 | 5 | 72 | 216 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 9 | 18 | 144 | 432 |  | 9 | 18 | 144 | 432 |  | $\bar{g}$ | $\overline{1 \varepsilon}$ | $\overline{14}$ | 432 |
+| 3 | 6 |  | 576 |  | 3 | 6 | 1178 | 576 |  | 3 | 6 | $\overline{117}$ | 576 |
+| 1 | 2 |  |  |  | 1 | 2 |  |  |  | 1 | $\overline{2}$ |  | 1754 |
+
+
+| 27 | 54 | 72 | 216 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 9 | 18 | 144 | 432 |
+| 3 | 6 | 1178 | 576 |
+| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | 3516 | 1754 |
+
+Logo, o maior número é 3516 .
+
+4. Olimpíada de Pequim - Para iniciar, escolhemos um lugar para Maria.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-27.jpg?height=171&width=249&top_left_y=1031&top_left_x=903)
+
+(a) Quem pratica natação está à esquerda de Maria. Logo, só podemos ter a configuração abaixo.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-27.jpg?height=206&width=246&top_left_y=1567&top_left_x=945)
+
+(b) Quem pratica ginástica está na frente de Juan. Existem duas únicas possibilidades: Maria pratica ginástica ou Maria não pratica ginástica.
+
+Maria pratica ginástica
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-27.jpg?height=230&width=415&top_left_y=2140&top_left_x=432)
+
+Maria não pratica ginástica
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-27.jpg?height=287&width=290&top_left_y=2106&top_left_x=1400)
+(c) Como Tânia e David sentaram-se juntos, então somente a segunda opção do item anterior - Maria não pratica ginástica - pode satisfazer essa condição. Ela gera as seguintes duas possibilidades:
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-28.jpg?height=370&width=1264&top_left_y=444&top_left_x=431)
+
+(d) Como uma mulher sentou-se ao lado de quem pratica vôlei, a segunda opção do item anterior é a correta, e temos:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-28.jpg?height=369&width=1350&top_left_y=970&top_left_x=385)
+
+Logo, David ou Maria pratica atletismo.
+
+## 5. Culturas diferentes -
+
+(a) (i) $03 / 12$ significa para Ralph 12 de março e para Jorge 3 de dezembro; logo é ambígua.
+
+(ii) 18/08 só pode ser mesmo 18 de agosto.
+
+(iii) $05 / 05$ só pode ser 5 de maio.
+
+Logo, (i) é uma data que eles não podem se escrever.
+
+(b) A data só é ambígua quando o número do dia pode representar também um número do mês, logo quando é um número de 1 a 12. Por outro lado, nesses números não há ambiguidade quando o número do mês é igual ao número do dia, por exemplo 05/05, que só pode ser 5 de maio. Por isso, em cada mês eles têm de evitar 11 dias. Logo, os períodos mais longos que eles não podem se escrever ocorrem em 11 dias consecutivos em janeiro de 02 a 12 de janeiro, e em dezembro, de 02 a 12 de dezembro. Observe que nos outros meses os períodos que eles não podem se escrever são menores, veja os exemplos:
+
+- em abril eles não podem se escrever de 01/04 a 03/04 e depois de 05/04 a $12 / 04$.
+- em setembro eles não podem se escrever de 01/09 a 08/09 e depois de 10/09 a $12 / 09$.
+
+
+## Lista 7
+
+1. Uma liquidação - Na liquidação, exceto nos sábados, os preços estão valendo $50 \%$ dos preços originais. Nos sábados, com o desconto adicional de $20 \%$, os preços valem $80 \%$ dos preços fora dos sábados, ou seja
+
+$$
+80 \% \text { de } 50 \%=\frac{80}{100} \times \frac{50}{100}=\frac{40}{100}=40 \% \text { do preço fora de liquidação. }
+$$
+
+Logo, Roberta deixou de economizar $60 \%$ que corresponde a $\mathrm{R} \$ 50,40$. Temos:
+
+$$
+\begin{array}{ll}
+60 \% & \Rightarrow 50,40 \\
+10 \% & \Rightarrow 50,40 \div 6=8,4 \\
+100 \% & \Rightarrow 8,4 \times 10=84
+\end{array}
+$$
+
+O preço da calça antes da liquidação era de $R \$ 84,00$.
+
+2. Número com muitos zeros - A resposta correta é (D).
+
+Vamos tentar comparar os 5 números sem efetuar cálculos. Temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+3+a= & 3,000 \ldots 0001 \text { é menor do que } 4 \\
+3-a & \text { é menor do que } 3 \\
+3 a= & 0,000 \ldots 0003 \text { é menor do que } 1 \\
+\frac{3}{a}= & \frac{3}{0,000 \ldots 0001}=\frac{3}{\frac{1}{10^{2010}}}=3 \times 10^{2010} \text { é maior do que } 10 \\
+\frac{a}{3}= & \frac{0,000 \ldots 0001}{3} \text { é menor do que } 0,000 \ldots 0001
+\end{aligned}
+$$
+
+Logo, o maior número é $\frac{3}{a}$.
+
+3. Corrida das tartarugas - Vamos representar cada tartaruga numa reta, utilizando a sua letra inicial. Temos então a seguinte situação:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-29.jpg?height=225&width=1200&top_left_y=1866&top_left_x=430)
+
+Logo, Sininha está $20 \mathrm{~m}$ à frente de Elzinha. Portanto, Pulinha está $5 \mathrm{~m}$ à frente de Sininha. A ordem de chegada forma a palavra: OPSER.
+
+4. Que memória... - O número começa com 25 porque $5^{2}$ é a única potência de 5 com 2 algarismos.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-29.jpg?height=60&width=320&top_left_y=2407&top_left_x=848)
+
+Os candidatos aos 2 últimos algarismos são as potências de 2 com 2 algarismos: 16, 32 e 64 :
+
+$$
+25 \_16, \quad 25 \_32, \quad 25 \_64 \text {. }
+$$
+
+Já o algarismo do meio pode ser 3,6 ou 9 . Para escolher entre esse números, lembremos que a soma dos 5 algarismos é ímpar, e como $2+5$ é ímpar, a soma dos 3 últimos tem de ser par. Nessa situação temos os números
+
+$$
+25316,25916,25332,25932,25664
+$$
+
+Dentre esses números os que não têm algarismos repetidos são
+
+$$
+25316,25916 \text {. }
+$$
+
+Logo, o código é 25916 .
+
+5. Uma fração irredutível - Para que a fração seja irredutível, o numerador e o denominador não podem ter fator comum.
+
+Inicialmente, vamos ver quais são os fatores primos de $N=2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \ldots \times 10$ :
+
+$$
+2 \times 3 \times \underbrace{4}_{2^{2}} \times 5 \times \underbrace{6}_{2 \times 3} \times 7 \times \underbrace{8}_{2^{3}} \times \underbrace{9}_{3^{2}} \times \underbrace{10}_{2 \times 5}
+$$
+
+Logo, a decomposição de $N$ em fatores primos é:
+
+$$
+N=2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7(*)
+$$
+
+Podemos escolher diversas frações que satisfazem o problema. Por exemplo:
+
+(i) O numerador tem apenas 1 fator de $(*)$ :
+
+$$
+\frac{2^{8}}{3^{4} \times 5^{2} \times 7} ; \frac{3^{4}}{2^{8} \times 5^{2} \times 7} ; \frac{5^{2}}{2^{8} \times 3^{4} \times 7} ; \frac{7}{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2}} .
+$$
+
+Nesse caso temos 4 frações mais as 4 frações inversas, com denominadores com apenas 1 fator de $(*)$.
+
+Não podemos esquecer do número 1 , obtendo as 2 frações:
+
+$$
+\frac{1}{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7} ; \frac{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7}{1} .
+$$
+
+(ii) O numerador tem 2 fatores de $(*)$ :
+
+$$
+\frac{2^{8} \times 3^{4}}{5^{2} \times 7} ; \frac{2^{8} \times 5^{2}}{3^{4} \times 7} ; \frac{2^{8} \times 7}{3^{4} \times 5^{2}} ; \frac{3^{4} \times 5^{2}}{2^{8} \times 7} ; \frac{3^{4} \times 7}{2^{8} \times 5^{2}} ; \frac{5^{2} \times 7}{2^{8} \times 3^{4}}
+$$
+
+Nesse caso temos 6 frações.
+
+(iii) O numerador tem 3 fatores de $(*)$ :
+
+$$
+\frac{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2}}{7} ; \frac{2^{8} \times 3^{4} \times 7}{5^{2}} ; \frac{2^{8} \times 5^{2} \times 7}{3^{4}} ; \frac{3^{4} \times 5^{2} \times 7}{2^{8}} .
+$$
+
+Ao todo temos 16 frações irredutíveis.
+
+## Lista 8
+
+1. Transformar em decimal - Temos:
+
+(a) $7 \times \frac{2}{3}+16 \times \frac{5}{12}=\frac{14}{3}+\frac{20}{3}=\frac{34}{3}=11,3333 \ldots$
+
+(b) $5-\left(2 \div \frac{5}{3}\right)=5-\left(2 \times \frac{3}{5}\right)=5-\frac{6}{5}=5-1,2=3,8$
+
+(c) $1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+4}}=1+\frac{2}{1+\frac{3}{5}}=1+\frac{2}{\frac{8}{5}}=1+2 \times \frac{5}{8}=1+\frac{10}{8}=1+1,25=2,25$.
+
+2. Uma sequência especial -
+
+- os números 1 a 9 ocupam 9 posições;
+- os números 10 a 99 ocupam $2 \times 90=180$ posições;
+- os números 100 a 199 ocupam $3 \times 100=300$ posições; os de 200 a 299 ocupam $3 \times 100=300$ posições; os números 300 a 399 ocupam $3 \times 100=300$ posições; etc.
+
+$$
+\underbrace{100, \ldots 199}_{3 \times 100=300}, \underbrace{200, \ldots, 299}_{3 \times 100=300}, \underbrace{300, \ldots, 399}_{3 \times 100=300}, \underbrace{400, \ldots, 499}_{3 \times 100=300}, \underbrace{500, \ldots, 599}_{3 \times 100=300}, \underbrace{600, \ldots, 699}_{3 \times 100=300}
+$$
+
+Assim, os algarismos usados para escrever de 1 a 699 ocupam $9+180+6 \times 300=1989$ posições, logo faltam $2009-1989=20$ posições. Como $20=3 \times 6+2$ precisamos ainda escrever de 700 a 706, obtendo 21 posições, com o algarismo 6 ocupando a posição 21. Logo o algarismo 0 é que ocupa a 2009 a posição.
+
+3. Cortar um retângulo - Dividimos o retângulo em $13 \times 7$ quadradinhos de $1 \mathrm{~cm}$ de lado cada um. Agora, usamos que
+
+$$
+13=1+3+4+5=6+7=0+13
+$$
+
+para obter a divisão em 13 retângulos diferentes. Você pode encontrar outras formas de fazer essa divisão?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-32.jpg?height=349&width=564&top_left_y=1907&top_left_x=756)
+
+4. Medida de ângulo - A resposta correta é (B).
+
+Temos que $A \widehat{O} C+C \widehat{O} E=90^{\circ}$ e $C \widehat{O} E=D \widehat{O} Y$. Logo, $A \widehat{O} C=90^{\circ}-D \widehat{O} Y$. Como $D \widehat{O} Y$ está entre $40^{\circ}$ e $50^{\circ}$, segue que $A \widehat{O} C$ está entre $90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$ e $90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$.
+
+5. Perímetros e áreas - A área do quadrado é
+
+$$
+(\sqrt{3}+3)^{2}=\sqrt{3}^{2}+2 \times 3 \sqrt{3}+3^{2}=12+6 \sqrt{3}
+$$
+
+e a do retângulo:
+
+$$
+(\sqrt{72}+3 \sqrt{6}) \times \sqrt{2}=\sqrt{144}+3 \sqrt{12}=12+6 \sqrt{3} .
+$$
+
+Logo eles têm a mesma área. Vamos agora comparar os perímetros. O do quadrado é
+
+$$
+4 \times(\sqrt{3}+3)=4 \sqrt{3}+12
+$$
+
+e o do retângulo é
+
+$$
+2 \times(\sqrt{72}+3 \sqrt{6}+\sqrt{2})=2 \times(6 \sqrt{2}+3 \sqrt{6}+\sqrt{2})=14 \sqrt{2}+6 \sqrt{6}
+$$
+
+Como $4 \sqrt{3}<6 \sqrt{6}$ e $12<14 \sqrt{2}$, segue que $4 \sqrt{3}+12<6 \sqrt{6}+14 \sqrt{2}$. Logo, o retângulo tem o maior perímetro.
+
+6. Cálculo de ângulo - Como $A B=A C$, o triângulo $\triangle A B C$ é isósceles, logo $A \widehat{B} C=A \widehat{C} B$. Sendo $A D=B D$ o triângulo $\triangle A B D$ também é isósceles, logo $A \widehat{B} D=B \widehat{A} D$. Temos então
+
+$$
+A \widehat{B} C=A \widehat{C} B=B \widehat{A} D
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-33.jpg?height=241&width=447&top_left_y=1099&top_left_x=1273)
+
+$\mathrm{Na}$ figura, esses 3 ângulos iguais estão representados pela letra $\alpha$. Os ângulos internos de $\triangle A B C$ são $\alpha+39^{\circ}, \alpha$ e $\alpha$; logo:
+
+$$
+\alpha+39^{\circ}+\alpha+\alpha=180^{\circ} \Rightarrow 3 \alpha=180^{\circ}-39^{\circ}=141^{\circ}
+$$
+
+Assim, $B \widehat{A} D=47^{\circ}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-33.jpg?height=218&width=662&top_left_y=1723&top_left_x=344)
+
+LEMBRETE 2: Em um
+triângulo isósceles os
+ângulos da base são
+iguais:
+$\widehat{B}=\widehat{C}$ e $A B=A C$.
+
+## Lista 9
+
+1. O caminho da formiga -
+
+A resposta correta é (C).
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-34.jpg?height=393&width=808&top_left_y=427&top_left_x=821)
+
+2. Menino mentiroso - Claramente Pedrinho encontrou Joãozinho em um dia que ele mente. O sábado está descartado pois, caso contrário, ele estaria falando a verdade. Assim, o encontro entre eles foi numa terça-feira ou quinta-feira. Como o dia seguinte não pode ser quarta-feira, a única possibilidade é quinta-feira.
+3. Encontre os 4 números - Observemos que os números 1,2,3 e 6 satisfazem a propriedade. Portanto, os múltiplos $a, 2 a, 3 a$ e $6 a$, para qualquer valor de $a$, também satisfazem a propriedade. Como estamos procurando números de 3 algarismos e $999 \div 6=166,5$ então basta considerar qualquer valor de $a$ entre 100 e 166 para obter os 4 números de 3 algarismos.
+
+## 4. Colando 6 triângulos -
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-34.jpg?height=610&width=875&top_left_y=1435&top_left_x=598)
+
+A figura é formada por 12 segmentos, na sequência de formação dos triângulos.
+
+- 2 segmentos de $1 \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{2} \mathrm{~cm}$ no triângulo I.
+- 1 segmento de $\frac{1}{2} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{4} \mathrm{~cm}$ no triângulo II.
+- 1 segmento de $\frac{1}{4} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{8} \mathrm{~cm}$ no triângulo III.
+- 1 segmento de $\frac{1}{8} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{16} \mathrm{~cm}$ no triângulo IV.
+- 1 segmento de $\frac{1}{16} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{32} \mathrm{~cm}$ no triângulo $V$.
+- 2 segmentos de $\frac{1}{32} \mathrm{~cm}$ no triângulo VI.
+
+Logo o perímetro é:
+
+$$
+\begin{aligned}
+2 \times 1+2 \times \frac{1}{2}+2 \times \frac{1}{4}+2 \times \frac{1}{8}+2 \times \frac{1}{16}+3 \times \frac{1}{32} & =2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{3}{32} \\
+& =3+\frac{16+8+4+3}{32} \\
+& =3+\frac{31}{32}
+\end{aligned}
+$$
+
+5. Os livros da Elisa - Seja $N$ o número total de livros da Elisa. Como $N+1$ é múltiplo de 9 e 4 , temos que ele é múltiplo de 36 . Logo $N+1$ é 36 ou 72 , pois Elisa tem menos que 100 livros. Se $N=35$ então, o número de livros de matemática é $36 \div 9-1=3 \mathrm{e}$ o número de livros de literatura é $36 \div 4=9$. Logo, Elisa teria: $24+3+9=36$ livros, o que é impossível porque 36 é maior que 35.
+
+Portanto, $N=71$ e o número de livros de matemática é $72 \div 9-1=7$.
+
+## Lista 10
+
+## 1. Divisão por 9 -
+
+(a) Sabemos que um número e a soma de seus algarismos sempre deixam o mesmo resto quando divididos por 9. Assim, o número inicial menos o número final é sempre divisível por 9 .
+
+Efetuando, sucessivamente os passos, obtemos os algarismos de 1 a 9. Daí, a lista final é:
+
+$$
+1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3, \ldots
+$$
+
+Como o resto da divisão do número 20092009 por 9 é 4 , então os 6 últimos algarismos da lista são: ..., $8,9,1,2,3,4$. Portanto, a lista tem mais 4 do que 5 .
+
+O número de vezes que aparece o 9 na lista, é o número de múltiplos de 9 , que são menores ou iguais a 20092 009. Como 20092005 é o maior múltiplo de 9 que é menor do que 20092009 , temos que $20092005 \div 9=2232445$ vezes aparece o algarismo 9 na lista.
+
+(b) Como $3^{2009}=3^{2008} \times 3=\left(3^{2}\right)^{1004} \times 3=9^{1004} \times 3$, então, o resto da divisão por 9 é 0 . Logo, o número final de apenas um algarismo é o 9 .
+
+(c) Observemos que $17^{2}=$ múltiplo de $9+1$. Logo,
+
+$$
+17^{2008}=\left(17^{2}\right)^{1004}=\text { múltiplo de } 9+1
+$$
+
+assim $17^{2009}=$ múltiplo de $9+17=$ múltiplo de $9+8$.
+
+Daí, podemos concluir que, se fazemos o mesmo processo com o número $17^{2009}$ obtemos no final o algarismo 8 .
+
+## 2. Uma brincadeira na sala de aula -
+
+(a) O número 1 só pode ser obtido a partir do $2 \leadsto 1=2 \div 2$, e o 2 a partir do $4 \leadsto 2=4 \div 2$, mas o 4 pode ser obtido a partir do $1 \leadsto 1+3=4$ ou do $8 \sim 4=8 \div 2$.
+
+Logo, temos 2 maneiras de obter 1, a partir de 1 e 8 depois de 3 operações:
+
+$\left\{\begin{array}{l}1 \leadsto 4 \leadsto 2 \leadsto 1 \\ 8 \leadsto 4 \leadsto 2 \leadsto 1\end{array}\right.$.
+
+(b) Para uma operação a mais vemos que o número 8 pode ser obtido a partir do $5 \sim 8=5+3$ ou do $16 \sim 8=16 \div 2$. Logo, temos 3 maneiras de obter 1 a partir
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-36.jpg?height=176&width=873&top_left_y=2010&top_left_x=412)
+
+(c) De maneira similar vemos que para 5 operações temos os números: $4,10,13$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-36.jpg?height=217&width=914&top_left_y=2231&top_left_x=413)
+
+3. Calcule a idade - No próximo ano Laura será 2 anos mais velha do que no ano passado. Logo sua idade no ano passado é um múltiplo de 8 que somado a 2 dá um múltiplo de 7. Vamos procurar esse número:
+
+$$
+\begin{array}{rlllllllllllll}
+\text { múltiplos de } 7: & 7 & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 & 56 & 63 & 70 & \ldots & 98 & \ldots \\
+\text { (múltiplos de 7) - } 2: & 5 & 12 & 19 & 26 & 33 & 40 & 47 & 54 & 61 & 68 & \ldots & 96 & \ldots
+\end{array}
+$$
+
+Note que 40 e 96 são os únicos múltiplos de 8 menores que 100 que aparecem na segunda linha. Como Vovó Ana tem menos do que 100 anos, podemos concluir que ano passado ela tinha 96 anos e Laura 40. Logo, a idade atual de Laura é 41 anos.
+
+4. Divisões e restos - De acordo com os dados do problema, o dobro do número é um múltiplo de 5 acrescido de 1 . Como os múltiplos de 5 terminam em 0 ou 5 , o dobro termina em 1 ou 6 . Mas o dobro é um número par, logo termina em 6. Assim, o número termina em 3 ou 8 , portanto dividido por 5 deixa resto 3 .
+5. Preenchendo o círculo - Sabemos que $\square=423 \div 47=9$. Por outro lado, temos que
+
+$$
+1448=\underbrace{282 \times \boxminus}_{\text {múltiplo de } 282}+\underbrace{\square \boxtimes}_{\text {no com } 2 \text { algarismos }}
+$$
+
+Como 282 tem 3 algarismos, concluímos que $\square \boxtimes$ só pode ser o resto da divisão de 1448 por 282. Efetuando essa divisão, obtemos $1448=282 \times 5+38$. Logo, $\square=3$ e $\boxtimes=8$. Obtemos também que $\boxminus=5$. Finalmente, temos:
+
+$$
+423 \times \frac{\boxplus}{3}=282 \Rightarrow 141 \times \boxplus=282 \Rightarrow \boxplus=2
+$$
+
+A sequência completa:
+
+$$
+\text { (47) } \xrightarrow{\times 9} \xrightarrow{\times 2 / 3}(282 \xrightarrow{\times 5} \xrightarrow{+}(1410 \xrightarrow{+38}
+$$
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2009_N2.md

@@ -0,0 +1,1296 @@
+# Nível 2 
+
+## Lista 1
+
+1. Vista ruim - Numa classe, $40 \%$ dos alunos não enxergam bem. Desses, $70 \%$ usam óculos e os $30 \%$ restantes usam lentes de contato. Sabendo que 21 alunos usam óculos, quantos alunos tem essa classe?
+2. Idade média da população de Campo Verde - $A$ razão entre o número de homens e o de mulheres na cidade de Campo Verde é $\frac{2}{3}$. A idade média dos homens é 37 anos e a das mulheres é 42 anos. Qual é a idade média dos habitantes de Campo Verde?
+3. Área de triângulo - Se $A C=1,5 \mathrm{~cm}$ e $A D=4 \mathrm{~cm}$, qual é a relação entre as áreas dos triângulos $\triangle A B C$ e $\triangle D B C$ ?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-01.jpg?height=222&width=523&top_left_y=862&top_left_x=1213)
+
+4. Construindo quadrados perfeitos - Observe as seguintes igualdades:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-01.jpg?height=299&width=798&top_left_y=1200&top_left_x=623)
+
+Será que isso é sempre verdadeiro? Isto é: o produto de quatro números inteiros consecutivos, mais 1 , é sempre um quadrado perfeito?
+
+5. Feira de Ciências - Na Feira de Ciências de uma escola, observou-se que metade dos alunos do ensino fundamental e um quarto dos alunos do ensino médio presentes nesse evento compraram um adesivo cada.
+
+| FEIRA DE CIÊNCIAS |  |
+| :---: | :---: |
+| Preço dos Adesivos (unidade) |  |
+| $\mathrm{R} \$ 0,30$ | alunos do ensino fundamental |
+| $\mathrm{R} \$ 0,50$ | alunos do ensino médio |
+
+Notou-se também que o número de alunos do ensino médio presentes que não compraram adesivos foi o dobro do número de alunos do ensino fundamental que não compraram adesivos. Sabendo que arrecadou-se $\mathrm{R} \$ 38,00$ na venda de adesivos para os alunos desse dois níveis quantos alunos de cada nível participaram da feira?
+
+## Lista 2
+
+1. Par perfeito - Dizemos que 2 números naturais formam um par perfeito quando a soma e o produto desses dois números são quadrados perfeitos. Por exemplo, 5 e 20 formam um par perfeito, pois $5+20=25=5^{2}$ e $5 \times 20=100=10^{2}$. Será que 122 forma um par perfeito com outro natural?
+2. Um trapézio - No trapézio da figura abaixo $A B$ é paralelo a $C D, A D=A B=$ $B C=1 \mathrm{~cm}$ e $D C=2 \mathrm{~cm}$. Quanto mede o ângulo $C \hat{A} D$ ?
+
+(A) $30^{\circ}$
+
+(B) $45^{\circ}$
+
+(C) $60^{\circ}$
+
+(D) $90^{\circ}$
+
+(E) $120^{\circ}$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-02.jpg?height=241&width=398&top_left_y=720&top_left_x=950)
+
+3. Mistério das bolas - Henrique têm duas urnas. A primeira urna contém somente bolas pretas e a segunda somente bolas brancas. Henrique retirou um número de bolas da primeira urna e as colocou na segunda. Em seguida, retirou o mesmo número de bolas da segunda urna e as colocou na primeira. Depois disso o número de bolas brancas na primeira urna é maior, menor ou igual ao número de bolas pretas na segunda urna?
+4. Contando a palavra BRASIL - Quantas vezes aparece a palavra BRASIL na figura ao lado? Só vale ler a palavra emendando letras que estão escritas em quadradinhos adjacentes.
+
+|  |  |  |  | $\bar{B}$ | R |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+|  |  |  | $\bar{B}$ | $\bar{R}$ | $\bar{A}$ |
+|  |  | $B$ | $\bar{R}$ | $\bar{A}$ | $\bar{S}$ |
+|  | $\bar{B}$ | $\mathrm{R}$ | $\mathrm{A}$ | $\bar{S}$ | $T$ |
+| $B$ | $\mathrm{R}$ | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{S}$ | $T$ | $\mathrm{~L}$ |
+
+5. Quais são os números? - Descubra quais números inteiros positivos $x$ e $y$ satisfazem a equação $x^{4}=y^{2}+71$.
+
+## Lista 3
+
+1. No jogo - Aldo, Bernardo e Carlos jogam baralho. No início, a quantia em dinheiro que eles tinham estava na proporção $7: 6: 5$. No final do jogo, a proporção era $6: 5: 4$. Um dos jogadores ganhou 1200 reais. Qual a quantidade de dinheiro com que ficou cada jogador, no final da partida?
+2. Um número inteiro - Mostre que $M=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$ é um número inteiro.
+3. Área de triângulos - $\mathrm{A}$ área do quadrado $A B C D$ é $300 \mathrm{~cm}^{2}$. $\mathrm{Na}$ figura, $M$ é o ponto médio de $C D$ e o ponto $F$ pertence à reta que passa por $B$ e $C$.
+
+(a) Qual é a área do triângulo $\triangle A B F$ ?
+
+(b) Qual é área do triângulo $\triangle A D F$ ?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-03.jpg?height=358&width=225&top_left_y=680&top_left_x=1489)
+
+4. Um quadriculado - O retângulo quadriculado na figura é feito de 31 segmentos de $0,5 \mathrm{~cm}$, e compreende 12 quadrados. Rosa desenhou numa folha retangular de $21 \mathrm{~cm}$ por $29,7 \mathrm{~cm}$ quadriculada com quadrados de lado $0,5 \mathrm{~cm}$, um grande retângulo quadriculado feito com 1997 segmentos. Quantos quadrados tem esse retângulo?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-03.jpg?height=233&width=293&top_left_y=1071&top_left_x=1450)
+
+5. Inteiros de 4 algarismos - Sabendo que $a$ é um número natural, e que $4 a^{2}$ e $\frac{4}{3} \times a^{3}$ são números naturais de 4 algarismos, determine $a$.
+
+## Lista 4
+
+1. Pares positivos - Quantos pares de inteiros positivos $(x, y)$ são soluções da equação $3 x+5 y=501 ?$
+2. Diferença de quadrados - Se a diferença dos quadrados de dois números inteiros consecutivos é 2000 , então os dois números são:
+
+(A) menores que 100 .
+
+(B) menores que 1000 , porém maiores que 99 .
+
+(C) menores que 10000 , porém maiores que 999 .
+
+(D) menores que 100000 , porém maiores que 9999 .
+
+(E) não existem estes dois números.
+
+3. Cálculo de ângulos - Em cada uma das figuras a seguir, calcule o valor do ângulo $x$, sabendo que os segmentos $A B$ e $D E$ são paralelos.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-04.jpg?height=340&width=1122&top_left_y=1152&top_left_x=446)
+4. Tabela - $\mathrm{Na}$ tabela ao lado, com 6 colunas e diversas linhas, estão escritos os números $1,2,3,4, \ldots$ Qual é a posição do número 1000 ?
+
+| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
+| 13 | 14 | $\cdots$ |  |  |  |
+|  |  |  |  |  |  |
+|  |  |  |  |  |  |
+| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
+
+5. Entre 1 e $\mathbf{2}$ - Complete os numeradores com inteiros positivos para satisfazer as condições: $\frac{a}{5}$ e $\frac{b}{7}$ são menores do que 1 , e $1<\frac{a}{5}+\frac{b}{7}<2$.
+
+## Lista 5
+
+1. Triatlon - Maria está planejando participar do Triatlon-Brasil que começa às 24 horas de domingo e consta de $800 \mathrm{~m}$ a nado, seguido de $20 \mathrm{~km}$ de bicicleta e finalmente $4 \mathrm{~km}$ de corrida. Maria corre a uma velocidade constante e que é o triplo da velocidade que nada, e pedala 2,5 vezes mais rápido do que corre. Para terminar a prova em no máximo 1 hora e 20 minutos, quanto tempo ela deve gastar em cada uma das 3 etapas?
+2. Foto de formatura - $\mathrm{O}$ diretor da escola decidiu tirar uma foto dos formandos de 2008 . Ele colocou os alunos em filas paralelas, todas com o mesmo número de alunos, mas essa disposição era muito larga para o campo de visão de sua máquina fotográfica. Para resolver esse problema, o diretor reparou que bastava tirar um aluno por fila e colocá-los numa nova fila. Essa disposição não agradou o diretor porque a nova fila tinha 4 alunos a menos que as outras. Ele decide então tirar mais 1 aluno por fila colocando-os na nova fila que ele criou, e constata que assim todas as filas ficam com o mesmo número de alunos, e finalmente tira a foto. Quantos alunos apareceram na foto?
+3. Circunferências tangentes - Desenhe duas circunferências de mesmo centro, uma de raio $1 \mathrm{~cm}$ e a outra de raio $3 \mathrm{~cm}$. Na região exterior a circunferência de raio $1 \mathrm{~cm}$ e interior a de raio $3 \mathrm{~cm}$, desenhe circunferências que sejam simultaneamente tangentes às duas circunferências, como mostrado na figura a seguir.
+
+(a) Qual deve ser o raio dessas circunferências?
+
+(b) Qual o número máximo dessas circunferências, caso elas não se sobreponham?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-05.jpg?height=250&width=252&top_left_y=1214&top_left_x=1424)
+
+4. Festa na escola - Para a festa de aniversário da escola, Ana, Pedro, Miriam e Fábio levaram juntos 90 docinhos. A professora deles observou que:
+
+- se Ana tivesse levado 2 docinhos a mais;
+- se Pedro tivesse levado 2 docinhos a menos;
+- se Miriam tivesse levado o dobro;
+- se Fábio tivesse levado a metade;
+
+os 4 amigos teriam levado todos o mesmo número de docinhos. Quantos docinhos levou cada um dos amigos?
+
+5. Inflação - Márcia está numa loja comprando um gravador que ela queria há muito tempo. Quando o caixa registra o preço ela exclama: "Não é possível, você registrou o número ao contrário, trocou a ordem de dois algarismos, lembro que na semana passada custava menos que 50 reais!" Responde o caixa: Sinto muito, mas ontem todos os nossos artigos tiveram um aumento de $20 \%$. Qual é o novo preço do gravador?
+
+## Lista 6
+
+1. Gatos no condomínio - Em um condomínio moram 29 famílias, cada uma delas possui ou 1 gato ou 3 gatos ou 5 gatos. O número de famílias que possuem apenas 1 gato é o mesmo que o de famílias que possuem 5 gatos. Quantos gatos tem esse condomínio?
+2. Soma constante - Preencha as 5 casas em branco da tabela $3 \times 3$ com os números de 3 a 8 , sem repeti-los, de modo que as somas dos 4 números escritos nas subtabelas formadas por quadrados $2 \times 2$ seja a mesma nas 4 subtabelas.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-06.jpg?height=154&width=195&top_left_y=541&top_left_x=1537)
+
+$A B C D E$ $B C D E$ $C D E$ $D E$ mesmo algarismo e letras diferentes algarismos diferentes. Encontre o número $A B C D E$.
+
+4. Proporção triangular - Num triângulo $\triangle A B C$, o ponto $F$ está sobre o lado $A C$ e $F C=2 A F$. Se $G$ é o ponto médio do segmento $B F$ e $E$ o ponto de interseção da reta passando por $A$ e $G$ com o segmento $B C$, calcule a razão $\frac{E C}{E B}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-06.jpg?height=430&width=575&top_left_y=1189&top_left_x=691)
+
+5. Números primos entre si - Encontre todos os pares de inteiros positivos $x, y$ tais que $x$ e $y$ são primos entre si, $x<y$ e $2000\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)$ é um inteiro ímpar.
+
+## Lista 7
+
+1. Fique atento - Determine todas as soluções da equação $\sqrt{x}=x-2$.
+2. Soluções inteiras - Determine todos os números inteiros $x$ e $y$ tais que:
+
+$$
+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{19}
+$$
+
+3. No ponto de ônibus - Um grupo de meninos e meninas aguarda em um ponto pelo ônibus. No primeiro ônibus que passa embarcam somente 15 meninas, e ficam 2 meninos para cada menina no ponto de ônibus. No segundo ônibus que passa, embarcam somente 45 meninos, e ficam 5 meninas para cada menino no ponto de ônibus. Determine o número de meninos e meninas que estavam no ponto antes da parada do primeiro ônibus.
+4. Contorno circular - A figura a seguir é formada por quatro círculos tangentes de raio a. Determine o comprimento do contorno externo que está com o traçado destacado.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-07.jpg?height=369&width=501&top_left_y=1100&top_left_x=736)
+
+5. Um quadrilátero especial - Dois lados consecutivos de um quadrilátero medem $10 \mathrm{~cm}$ e $15 \mathrm{~cm}$. Se cada diagonal divide o quadrilátero em duas regiões de mesma área, calcule o seu perímetro.
+
+## Lista 8
+
+1. Número curioso - 0 número 81 tem a seguinte propriedade: ele é divisível pela soma de seus algarismos $8+1=9$. Quantos números de dois algarismos cumprem esta propriedade?
+2. Número premiado - Um número de 6 algarismos é "premiado" se a soma de seus primeiros 3 algarismos é igual à soma de seus 3 últimos algarismos. Por exemplo 342531 é premiado pois $3+4+2=5+3+1$.
+
+(a) Qual é o maior e o menor número premiado, com 6 algarismos diferentes?
+
+(b) Mostre que a soma de todos os números premiados, com 6 algarismos diferentes, é divisível por 13 .
+
+3. Altura versus lado - Seja $\triangle A B C$ um triângulo tal que a altura relativa ao lado $B C$ não é menor do que o lado $B C$ e a altura relativa ao lado $A B$ não é menor do que o lado $A B$. Determine as medidas dos ângulos deste triângulo.
+4. Frações egípcias - Encontre números inteiros positivos $a$ e $b$, com $a>b$, tais que:
+
+$$
+\frac{2}{7}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}
+$$
+
+5. Tabuleiro de xadrez - De quantas maneiras podemos colocar dois bispos num tabuleiro de xadrez em filas, colunas e casas de cores distintas?
+
+## Lista 9
+
+1. Quem é menor? - Sem usar calculadora, decida qual dos números $33^{12}, 63^{10}$ e $127^{8}$ é o menor.
+2. Brincando com números - $\mathrm{A}$ soma $1+1+4$ dos algarismos do número 114 , divide o próprio número. Qual é o maior número, menor do que 900 , que satisfaz esta propriedade?
+3. Cortando papéis - No início de uma brincadeira, André tinha 7 pedaços de papel. Na primeira rodada, ele pegou alguns destes pedaços e cortou cada um deles em 7 pedaços, que são misturados aos pedaços de papel que não foram cortados nesta rodada. Na segunda rodada, ele novamente pegou alguns pedaços e cortou cada um deles em 7 pedaços que foram misturados aos demais papéis. Continuando desta maneira, ao final de alguma rodada, André poderá ter exatamente 2009 pedaços de papel?
+4. Um trapézio especial - A base $A D$ de um trapézio $A B C D$ mede $30 \mathrm{~cm}$. Suponhamos que existe um ponto $E$ sobre $A D$ tal que os triângulos $\triangle A B E, \triangle B C E$ e $\triangle C D E$ tenham perímetros iguais. Determine o comprimento de $B C$.
+5. Uma estrela - Na estrela $A B C D E$ na figura que se segue, sabemos que $\measuredangle G B F=20^{\circ}$ e $\measuredangle G H I=130^{\circ}$. Qual é o valor do ângulo $\measuredangle J E I$ ?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-09.jpg?height=363&width=482&top_left_y=1293&top_left_x=797)
+
+## Lista 10
+
+1. Número palindrome - Um número é dito palindrome se a leitura da direita para a esquerda é igual a da esquerda para a direita. Por exemplo, os números 23432 e 18781 são palindromes. Quantos números palindromes de 4 algarismos são divisíveis por 9 ?
+2. Multiplicação com letras - Na operação abaixo, as letras $a, b$ e $c$ são algarismos distintos e diferentes de 1 .
+
+$$
+\begin{array}{r}
+a b b \\
+\times \quad c \\
+\hline b c b 1
+\end{array}
+$$
+
+Determine os valores de $a, b$ e $c$.
+
+3. Números sortudos - Um número sortudo é aquele cuja soma de seus algarismos é divisível por 7. Por exemplo, 7, 25 e 849 são números sortudos. O menor par de números sortudos é 7 e 16 .
+
+(a) Encontre oito números consecutivos, dos quais dois são números sortudos.
+
+(b) Encontre 12 números consecutivos, tal que nenhum seja sortudo.
+
+(c) Mostre que qualquer sequência de 13 números consecutivos contém pelo menos um número sortudo.
+
+4. Uma sequência especial - Na sequência $1,3,2, \ldots$ cada termo depois dos dois primeiros é igual ao termo precedente subtraído do termo que o precede, ou seja: se $n>2$ então $a_{n}=a_{n-1}-a_{n-2}$. Qual é a soma dos 100 primeiros termos dessa sequência?
+5. Triângulos e ângulos... - Determine os ângulos $\alpha$ e $\beta$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-10.jpg?height=504&width=569&top_left_y=1605&top_left_x=694)
+
+## Soluções do Nível 2
+
+## Lista 1
+
+1. Vista ruim - Seja $A$ o número total de alunos da sala. Logo, $\frac{40}{100} \times A$ não enchergam bem. Portanto, $\frac{70}{100} \times \frac{40}{100} \times A$ usam óculos. Consequentemente, temos que:
+
+$$
+\frac{70}{100} \times \frac{40}{100} \times A=21 \Rightarrow A=\frac{21 \times 100}{7 \times 4}=3 \times 25=75
+$$
+
+2. Idade média da população de Campo Verde - Se $H$ indica o número de homens e $M$ o de mulheres, então:
+
+$$
+\frac{H}{M}=\frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad M=\frac{3 H}{2}
+$$
+
+A idade média da população é:
+
+$$
+\frac{37 H+42 M}{H+M}=\frac{37 H+42 \frac{3 H}{2}}{H+\frac{3 H}{2}}=\frac{100 H}{\frac{5 H}{2}}=\frac{100 \times 2}{5}=40 \text { anos. }
+$$
+
+3. Área de triângulo - Os triângulos $\triangle A B C$ e $\triangle D B C$ têm bases $A C$ e $C D$ respectivamente, e a mesma altura $h$ em relação a essas bases.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-11.jpg?height=285&width=680&top_left_y=1511&top_left_x=674)
+
+Assim temos:
+
+$$
+\text { área } \triangle A B C=\frac{A C \times h}{2} \quad \text { e área } \triangle D B C=\frac{C D \times h}{2} \text {. }
+$$
+
+Logo, a relação entre as áreas é dada por:
+
+$$
+\frac{\text { área }}{} \triangle A B C=\frac{\frac{A C \times h}{2}}{\text { área } \triangle D B C}=\frac{A C}{C D}=\frac{1,5}{4-1,5}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}
+$$
+
+LEMBRE-SE: A área de um triângulo é a metade do produto de um dos seus lados pela altura $h$ relativa a este lado, como exemplificado nas duas figuras a seguir.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-12.jpg?height=290&width=439&top_left_y=310&top_left_x=407)
+
+Área do $\triangle B C D=\frac{C D \times h}{2}$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-12.jpg?height=285&width=572&top_left_y=318&top_left_x=1140)
+
+Área do $\triangle A B C=\frac{A C \times h}{2}$
+
+4. Construindo quadrados perfeitos - Sim, será sempre um quadrado perfeito. De fato, se $n-1, n, n+1$ e $n+2$, são quatro inteiros consecutivos, então seu produto mais 1 , é dado por:
+
+$$
+\begin{aligned}
+(n-1) n(n+1)(n+2)+1 & =n\left(n^{2}-1\right)(n+2)+1 \\
+& =n\left(n^{3}+2 n^{2}-n-2\right)+1 \\
+& =n^{4}+2 n^{3}-n^{2}-2 n+1 \\
+& =n^{4}+2 n^{3}+\left(n^{2}-2 n^{2}\right)-2 n+1 \\
+& =\left(n^{4}+2 n^{3}+n^{2}\right)-2 n^{2}-2 n+1 \\
+& =\left(n^{2}+n\right)^{2}-2\left(n^{2}+n\right)+1 \\
+& =\left[\left(n^{2}+n\right)-1\right]^{2}
+\end{aligned}
+$$
+
+5. Feira de Ciências - Sejam $x$ e $y$ o número de alunos do ensino fundamental e do médio respectivamente, presentes na feira. Logo, o número daqueles que compraram um adesivo é:
+
+$$
+\frac{x}{2} \text { do ensino fundamental e } \quad \frac{y}{4} \text { do ensino médio; }
+$$
+
+e os que não compraram foram
+
+$$
+\frac{x}{2} \text { do ensino fundamental e } \frac{3 y}{4} \text { do ensino médio. }
+$$
+
+Dentre os alunos que não compraram adesivos, os do ensino médio representam o dobro dos do ensino fundamental. Logo,
+
+$$
+\frac{3 y}{4}=2 \times \frac{x}{2} \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{3 y}{8}
+$$
+
+Sabendo que o total arrecadado foi de $R \$ 38,00$, concluímos que:
+
+$$
+\begin{aligned}
+38=0,30 \frac{x}{2}+0,50 \frac{y}{4}=0,30 \frac{3 y}{8}+0,50 \frac{y}{4} & \Rightarrow 1,90 y=8 \times 38 \\
+& \Rightarrow y=160
+\end{aligned}
+$$
+
+Agora, de $x=\frac{3 y}{4}$, segue que $x=120$.
+
+## Lista 2
+
+1. Par perfeito - Chamemos de $n$ o natural "candidato" a formar um par perfeito com 122. Então, devemos ter: $122+n=A^{2}$ e $122 \times n=B^{2}$ onde $A$ e $B$ são números naturais.
+
+Como $B^{2}=2 \times 61 \times n$, concluímos que $n$ tem também os fatores primos 2 e 61 . Logo, podemos escrever $n$ como $n=2 \times 61 \times m^{2}=122 \mathrm{~m}^{2}$.
+
+Obtemos então $A^{2}=122+122 m^{2}=122\left(1+m^{2}\right)$. O menor valor de $\left(1+m^{2}\right)$ que satisfaz esta igualdade é $1+m^{2}=122$, ou seja, $m^{2}=121$. Daí segue que $m=11$. Consequentemente, $n=122 \times 121$ e temos:
+
+$$
+A^{2}=122+122 \times 121=122^{2} \quad \text { e } \quad B^{2}=122 \times 122 \times 121=(122 \times 11)^{2}
+$$
+
+Logo, 122 e $122 \times 121$ formam um par perfeito.
+
+Observação. Na verdade, $122 \times 121$ é o menor natural que forma um par perfeito com 122. Será que existem outros?
+
+2. Um trapézio - A resposta correta é (D).
+
+Seja $P$ o ponto médio do segmento $C D$ e traçemos os segmentos $A P$ e $B P$. Os três triângulos formados $\triangle A D P$, $\triangle A B P$ e $\triangle B C P$ são equiláteros (porquê?). Então, os ângulos $D \widehat{A} P=60^{\circ}=P \widehat{A B}$. Como o segmento $A C$ é a bissetriz do ângulo $P \widehat{A} B$ (porquê?), concluímos que $P \widehat{A C}=30^{\circ}$. Portanto:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-13.jpg?height=244&width=401&top_left_y=1165&top_left_x=1339)
+
+$$
+C \widehat{A} D=D \widehat{A} P+P \widehat{A} C=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}
+$$
+
+3. Mistério das bolas - Seja $m$ o número de bolas pretas na primeira urna e $n$ o de bolas brancas na segunda urna. Inicialmente, Henrique retirou $k$ bolas pretas da primeira urna e as colocou na segunda urna. Nesse ponto a situação é a seguinte:
+
+- na 1a urna temos:
+
+$$
+\underbrace{m-k}_{\text {pretas }}
+$$
+
+- na $2^{\mathrm{a}}$ urna temos:
+
+$$
+\underbrace{n}_{\text {brancas }}+\underbrace{k}_{\text {pretas }}
+$$
+
+Depois, ele retirou $k$ bolas da segunda urna e as colocou na primeira urna. Agora esse grupo de $k$ bolas pode ter bolas brancas e pretas. Assim chamemos de $p$ o número de bolas pretas e de $b$ o de bolas brancas retiradas da $2^{\mathrm{a}}$ urna, e logo $k=b+p$. Temos então:
+
+- na 1a urna temos: $\underbrace{m-k}_{\text {pretas }}+\underbrace{p}_{\text {pretas }}+\underbrace{b}_{\text {brancas }}=\underbrace{m-k+p}_{\text {pretas }}+\underbrace{b}_{\text {brancas }}$
+- na 2a urna temos:
+
+$$
+\underbrace{n}_{\text {brancas }}+\underbrace{k}_{\text {pretas }}-\underbrace{b}_{\text {brancas }}-\underbrace{p}_{\text {pretas }}=\underbrace{n-b}_{\text {brancas }}+\underbrace{k-p}_{\text {pretas }}
+$$
+
+Assim, ele ficou com $b$ bolas brancas na primeira urna e $k-p$ bolas pretas na segunda urna. Mas, $k=p+b$, ou seja, $b=k-p$. Logo, o número de bolas brancas na primeira urna é igual ao número de bolas pretas na segunda urna.
+
+4. Contando a palavra BRASIL - Para ler a palavra BRASIL, devemos percorrer um caminho que começa em uma letra B e termina em uma letra L. Observemos que o caminho a ser percorrido é composto sucessivamente de deslocamentos horizontais para a direita e verticais para baixo. Assim, vamos representar estes caminhos por sequências de letras $\mathrm{H}$ (significando deslocamento para a direita) e letras $\mathrm{V}$ (significando deslocamento para baixo).
+
+Vamos ver dois exemplos:
+
+(i) Começamos em B na segunda linha (de cima para baixo) e seguimos o caminho VHVVV.
+
+(ii) Começamos em B na terceira linha e seguimos o caminho HVVHH.
+
+Para resolver o problema devemos contar quantos caminhos começam com $B$ e terminam com L. Para isto, temos que listar esses caminhos. Seja $\mathcal{C}_{j}$ o número de tais caminhos começando na linha $j$, onde $j$ varia de 1 a 6 :
+
+Linha 1: $V V V V V \leadsto \mathcal{C}_{1}=1$;
+
+Linha 2: HVVVV, VHVVV, VVHVV, VVVHV, VVVVH $\leadsto \mathcal{C}_{2}=5$;
+
+Linha 3: HHVVV, HVHVV, HVVHV, HVVVH, VHHVV, VHVHV, VHVVH, VVHHV, VVHVH, VVVHH $\leadsto \mathcal{C}_{3}=10 ;$
+
+Linha 4: HHHVV, HHVHV, HHVVH, HVHHV, HVHVH, HVVHH, VHHHV, VHHVH, VHVHH, VVHHH $\leadsto \mathcal{C}_{4}=10 ;$
+
+Linha 5: HHHHV, HHHVH, HHVHH, HVHHH, VHHHH $\leadsto \mathcal{C}_{5}=5$;
+
+Linha 6: $\mathrm{HHHHH} \leadsto \mathcal{C}_{6}=1$.
+
+Portanto, a palavra BRASIL aparece
+
+$$
+\mathcal{C}_{1}+\mathcal{C}_{2}+\mathcal{C}_{3}+\mathcal{C}_{4}+\mathcal{C}_{5}+\mathcal{C}_{6}=1+5+10+10+5+1=32
+$$
+
+vezes na figura (Procure entender a simetria: $\mathcal{C}_{1}=\mathcal{C}_{6} ; \mathcal{C}_{2}=\mathcal{C}_{5}$ e $\mathcal{C}_{3}=\mathcal{C}_{4}$ ).
+
+5. Quais são os números? - A equação pode ser escrita na forma $x^{4}-y^{2}=71$. Agora, fatorando $x^{4}-y^{2}$ temos:
+
+$$
+\left(x^{2}-y\right)\left(x^{2}+y\right)=71(*)
+$$
+
+Como $x$ e $y$ são inteiros, então cada um dos fatores $\left(x^{2}-y\right)$ e $\left(x^{2}+y\right)$ também é um número inteiro. Logo em $\left(^{*}\right)$ escrevemos 71 como o produto de 2 números inteiros. Como 71 é um número primo, ele só pode ser escrito como produto de inteiros na forma: $71=1 \times 71$. Temos então dois casos a considerar: $\left(x^{2}-y\right)=1$ e $\left(x^{2}+y\right)=71$, ou $\left(x^{2}-y\right)=71$ e $\left(x^{2}+y\right)=1$.
+
+Vamos estudar cada caso.
+1o caso: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}-y=1 \\ x^{2}+y=71\end{array}\right.$.
+
+Somando as duas equações obtemos: $2 x^{2}=72$, o que implica $x= \pm 6$. Portanto, $y=( \pm 6)^{2}-1=35$. Como $x, y$ são inteiros positivos, concluímos que a solução nesse primeiro caso é: $x=6$ e $y=35$.
+
+2o caso: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}-y=71 \\ x^{2}+y=1\end{array}\right.$.
+
+Se $x^{2}+y=1$, então $x=0$ e $y=1$ ou $x=1$ e $y=0$ já que $x, y$ são inteiros positivos. Por outro lado, é fácil verificar que tais valores não satisfazem a equação $x^{4}=y^{2}+71$.
+
+Logo, a solução para o problema é: $x=6$ e $y=35$.
+
+## Lista 3
+
+1. No jogo - Seja $T$ a quantidade total de dinheiro no jogo. Assim, no início, os jogadores possuíam:
+
+$$
+\begin{array}{ll}
+\text { Aldo: } & \frac{7}{18} T \\
+\text { Bernardo: } & \frac{6}{18} T \\
+\text { Carlos: } & \frac{5}{18} T
+\end{array}
+$$
+
+No final eles possuíam:
+
+$$
+\begin{array}{ll}
+\text { Aldo: } & \frac{6}{15} T \\
+\text { Bernardo: } & \frac{5}{15} T \\
+\text { Carlos: } & \frac{4}{15} T
+\end{array}
+$$
+
+Para melhor comparar essas frações, coloquemo-las com um denominador comum:
+
+No início:
+
+$$
+\begin{array}{llrl}
+\text { Aldo: } & & \frac{7}{18} T & =\frac{35}{90} T \\
+& \text { Bernardo: } & \frac{6}{18} T & =\frac{30}{90} T \\
+\text { Carlos: } & & \frac{5}{18} T & =\frac{25}{90} T .
+\end{array}
+$$
+
+No final:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& \text { Aldo: } \quad \frac{6}{15} T=\frac{36}{90} T \\
+& \text { Bernardo: } \quad \frac{5}{15} T=\frac{30}{90} T \\
+& \text { Carlos: } \quad \frac{4}{15} T=\frac{24}{90} T
+\end{aligned}
+$$
+
+Logo, Carlos perdeu 1/90 do total e Aldo ganhou 1/90. Portanto, 1220 corresponde a $1 / 90$ do total de dinheiro. Portanto, o total $T$ de dinheiro no início o jogo é:
+
+$$
+\frac{1}{90} T=1200 \Rightarrow T=90 \times 1200=108000
+$$
+
+Assim, no final da partida os jogadores possuiam:
+
+Aldo: $\quad \frac{35}{90}$ de $108000=42000$
+
+Bernardo: $\quad \frac{30}{90}$ de $108000=36000$
+
+Carlos: $\quad \frac{25}{90}$ de $108000=30000$.
+
+2. Um número inteiro - Sejam $a=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}$ e $b=\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$. Assim, $M=a-b$ e temos:
+
+$$
+M^{3}=(a-b)^{3}=a^{3}-b^{3}-3 a b(a-b)
+$$
+
+Sabemos que $a^{3}-b^{3}=4$ e $a b=1$. Assim, $M^{3}+3 M-4=0$, ou seja, o número $M$ é raiz do polinômio $x^{3}+3 x-4$.
+
+Por sua vez, o número 1 é uma raiz do polinômio $x^{3}+3 x-4$. Fatorando tal polinômio, obtemos $(x-1)\left(x^{2}+x+4\right)$. Mas o trinômio $x^{2}+x+4$ tem discriminante negativo. Consequentemente, 1 é a única raiz real de $x^{3}+3 x-4$. Portanto, $M=1$.
+
+## 3. Área de triângulos -
+
+(a) Note que $F \widehat{M} C$ e $A \widehat{M} D$ são ângulos opostos pelo vértice. Logo, $F \widehat{M C}=A \widehat{M} D$. Como $M C=M D$ e os triângulos $\triangle A M D$ e $\triangle F M C$ são retângulos, concluímos que eles são congruentes. Logo, possuem a mesma área, donde concluímos que a área do triângulo $\triangle A B F$ é igual a área do quadrado $A B C D$, ou seja $300 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-17.jpg?height=396&width=260&top_left_y=688&top_left_x=1366)
+
+(b) Como $A D=F C$ (do item anterior) e $D M=M C$, segue que os triângulos $\triangle A D M$, $\triangle D M F$ e $\triangle M C F$ têm a mesma área. Por outro lado, a área dos dois últimos é a metade da área do quadrado. Portanto, a área do triângulo $\triangle A D F$ é a metade da área do quadrado, ou seja $150 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+4. Um quadriculado - Sejam $m$ e $n$ respectivamente, o número de segmentos de $0,5 \mathrm{~cm}$ sobre dois lados consecutivos do retângulo. Sabemos que o número total de segmentos de $0,5 \mathrm{~cm}$ na divisão do retângulo em $m \times n$ quadrados de lado $0,5 \mathrm{~cm}$ é: $m(n+1)+n(m+1)$ (prove isso). Assim,
+
+$$
+m(n+1)+n(m+1)=1997 \Rightarrow n=\frac{1997-m}{2 m+1}
+$$
+
+Além disso, um dos lados considerados é menor ou igual ao outro, digamos: $m \leq n$. Nesse caso podemos concluir que $m \leq 31$, pois
+
+$$
+n \geq m \Rightarrow n(m+1)+m(n+1) \geq 2 m(m+1)
+$$
+
+Logo $1997 \geq 2 m(m+1)$ e como $1998>1997$ segue que
+
+$$
+1998>2 m(m+1) \Rightarrow 999>m(m+1)
+$$
+
+Daí concluímos que $m<32$.
+
+Por outro lado temos que:
+
+$$
+n=\frac{1997-m}{2 m+1} \Rightarrow 2 n=\frac{3994-2 m}{2 m+1}=\frac{3995-(2 m+1)}{2 m+1} \Rightarrow 2 n=\frac{3995}{2 m+1}-1
+$$
+
+Assim, a questão se resume agora em pesquisar os divisores de $3995=5 \times 17 \times 47$. Os únicos valores de $m$ que atendem a condição $1 \leq m \leq 31$ são $m=2, m=8$ e $m=23$, que correspondem, respectivamente, aos divisores 5,17 e 47 . Para esses valores
+de $m$ temos $n=399, n=117$ e $n=42$ respectivamente. Os outros divisores darão configurações equivalentes (trocando $m$ por $n$ ).
+
+Portanto, Rosa pode ter construído 3 configurações diferentes com os 1997 segmentos. A primeira com $2 \times 399$ quadrados, a segunda com $8 \times 117$ quadrados e a terceira com $23 \times 42$ quadrados.
+
+5. Inteiros de 4 algarismos - Temos que $1000 \leq 4 a^{2}<10000$ e também $1000 \leq \frac{4}{3} \times a^{3}<10000$.
+
+De $1000 \leq 4 a^{2}<10000$ segue que $250 \leq a^{2}<2500$. Sendo $a$ um número inteiro e $15^{2}=225,16^{2}=256$ e $50^{2}=2500$, temos que $15<a<50$.
+
+De $1000 \leq \frac{4}{3} a^{3}<10000$ temos $750 \leq a^{3}<7500$. Mas, $10^{3}=1000,9^{3}=729$, $20^{3}=8000$ e $19^{3}=6859$. Assim, $9<a<20$.
+
+Portanto, temos $a=16,17,18$ ou 19.
+
+Por outro lado, como $\frac{4}{3} \times a^{3}$ é um número inteiro, concluímos que $a^{3}$ é múltiplo de 3 e consequentemente, $a$ é múltiplo de 3 . Logo, $a=18$.
+
+Outra maneira de finalizar a solução é substituir os 4 possíveis valores para $a$ e verificar que o único valor é $a=18$.
+
+## Lista 4
+
+1. Pares positivos - A equação dada é equivalente a $y=\frac{3(167-x)}{5}$. Como $y$ é um inteiro positivo, $167-x$ deve ser um múltiplo positivo de 5 , ou seja:
+
+$167-x=5 k \quad \Rightarrow \quad x=167-5 k \quad \Rightarrow \quad x=5 \times 33+2-5 k \quad \Rightarrow \quad x=5(33-k)+2$
+
+onde $k$ é um inteiro positivo. Como $x$ é positivo, devemos ter $k \leq 33$. Consequentemente, $k=1,2, \ldots, 33$ o que nos garante 33 soluções para o problema proposto.
+
+2. Diferença de quadrados - A resposta correta é (E).
+
+Inicialmente, observe que o quadrado de um número par é par, e o quadrado de um número ímpar é ímpar. Se os dois números são consecutivos, então um número é par e o outro é ímpar. Portanto, elevando ao quadrado, um deles é par e o outro é ímpar. Mas, a diferença entre um número par e um número ímpar é sempre um número ímpar. Como 2000 é um número par, concluímos que não existem dois números consecutivos cuja diferença dos seus quadrados seja 2000 .
+
+Outra solução para o problema é a seguinte. Primeiramente, suponhamos que tais inteiros $a$ e $a+1$ são maiores ou iguais a zero. Nesse caso, temos:
+
+$$
+(a+1)^{2}-a^{2}=2000
+$$
+
+Fatorando a diferença de quadrados $(a+1)^{2}-a^{2}$ obtemos:
+
+$$
+(a+1+a)(a+1-a)=2000 \Rightarrow 2 a+1=2000
+$$
+
+que não tem solução pois $2 a+1$ é ímpar e 2000 é par.
+
+Se $a$ e $a+1$ fossem menores ou iguais a zero então $-a$ e $-a-1$ seriam inteiros maiores ou iguais a zero e sucessivos, satisfazendo a condição $(-a)^{2}-(-a-1)^{2}=2000$ o que não pode ocorrer como provado acima.
+
+3. Cálculo de ângulos - Na primeira figura, prolongue o segmento $B C$ até que ele intercepte o segmento $E D$ em um ponto $F$. Uma vez que os segmentos $A B$ e $E D$ são paralelos, os ângulos $A \widehat{B} F$ e $B \widehat{F} D$ são alternos internos. Isto implica que esses ângulos possuem a mesma medida, ou seja, $C \widehat{F} D=25^{\circ}$. Agora vemos que o ângulo $x$ é externo ao triângulo $\triangle C D F$. Logo, $x$ é igual a soma dos dois ângulos internos não adjacentes, ou seja, $x=25^{\circ}+55^{\circ}=80^{\circ}$.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-19.jpg?height=290&width=1066&top_left_y=2106&top_left_x=472)
+
+Na segunda figura, também prolongue o segmento $B C$ até que ele intercepte o prolongamento do segmento $E D$ em um ponto $F$. Como os segmentos $A B$ e $E F$ são paralelos, os ângulos $A \widehat{B F}$ e $D \widehat{F} B$ são colaterais internos. Isto implica que esses ângulos são suplementares, ou seja,
+
+$$
+D \widehat{F} C=180^{\circ}-160^{\circ}=20^{\circ}
+$$
+
+Por outro lado, o ângulo $C \widehat{D} F$ é igual a $30^{\circ}$, pois ele é o suplemento do ângulo $E \widehat{D} C=150^{\circ}$. Finalmente, como $x$ é ângulo externo ao triângulo $\triangle C D F$ temos que: $x=20^{\circ}+30^{\circ}=50^{\circ}$.
+
+4. Tabela - Como a tabela tem 6 colunas, em cada linha escrevemos 6 números consecutivos. Dividindo 1000 por 6 obtemos
+
+$$
+1000=6 \times 166+4
+$$
+
+| $1^{\text {a }}$ linha | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| $2^{\text {a }}$ linha | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
+| $3^{\text {a } l i n h a}$ | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
+| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
+| $167^{\text {a }}$ linha | 997 | 998 | 999 | 1000 |  |  |
+| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
+
+Deste modo, para escrever o número 1000 na tabela serão necessárias 166 linhas completas (terminando no número $6 \times 166=996$ ) e mais uma linha com os 4 números: 997, 998, 999 e 1000. Logo, 1000 está escrito na 167a linha e na 4a coluna.
+
+5. Entre 1 e 2 - Como as duas frações são positivas e menores do que 1, seus numeradores devem ser respectivamente menores que seus denominadores, logo devemos ter:
+
+$$
+0<a<5 \text { e } 0<b<7
+$$
+
+Temos $\frac{a}{5}+\frac{b}{7}=\frac{7 a+5 b}{35}$, portanto:
+
+$$
+1<\frac{7 a+5 b}{35}<2 \Rightarrow 35<7 a+5 b<70
+$$
+
+Vejamos as opções para que $a$ e $b$ sejam inteiros positivos e satisfaçam (1) e (2):
+
+- $a=1 \Rightarrow 7 a+5 b=7+5 b$. Logo,
+
+$$
+35<7+5 b<70 \Rightarrow 28<5 b<63 \Rightarrow \frac{28}{5}<b<\frac{63}{5} \Rightarrow 5,6<b<12,6
+$$
+
+Como $b$ é um número inteiro, concluímos que $b=6,7,8, \ldots, 12$. No entanto, só podemos escolher $b=6$, pois $b<7$.
+
+- $a=2 \Rightarrow 7 a+5 b=14+5 b$. Logo,
+
+$$
+35<14+5 b<70 \Rightarrow 21<5 b<56 \Rightarrow \frac{21}{5}<b<\frac{56}{5} \Rightarrow b=5,6,7,8, \ldots, 11
+$$
+
+Nesse caso, só podemos escolher $b=5$ e $b=6$, pois $b<7$.
+
+- $a=3 \Rightarrow 7 a+5 b=21+5 b$. Logo,
+
+$$
+35<21+5 b<70 \Rightarrow 14<5 b<49 \Rightarrow \frac{14}{5}<b<\frac{49}{5} \Rightarrow b=3,4,5,6, \ldots, 9
+$$
+
+Aqui, podemos escolher $b=3,4,5,6$.
+
+- $a=4 \Rightarrow 7 a+5 b=28+5 b$. Logo,
+
+$$
+35<28+5 b<70 \Rightarrow 7<5 b<42 \Rightarrow \frac{7}{5}<b<\frac{42}{5} \Rightarrow b=2,3,4,5,6, \ldots, 8
+$$
+
+Podemos escolher $b=2,3,4,5,6$.
+
+Para finalizar, exibimos as soluções na tabela abaixo:
+
+| $a$ | $b$ | $\frac{a}{5}+\frac{b}{7}$ |
+| :---: | :---: | :---: |
+| 1 | 6 | $\frac{1}{5}+\frac{6}{7}=\frac{37}{35}$ |
+| 2 | 5 | $\frac{2}{5}+\frac{5}{7}=\frac{39}{35}$ |
+|  | 6 | $\frac{2}{5}+\frac{6}{7}=\frac{44}{35}$ |
+| 3 | 3 | $\frac{3}{5}+\frac{3}{7}=\frac{36}{35}$ |
+|  | 4 | $\frac{3}{5}+\frac{4}{7}=\frac{41}{35}$ |
+|  | 5 | $\frac{3}{5}+\frac{5}{7}=\frac{46}{35}$ |
+|  | 6 | $\frac{3}{5}+\frac{6}{7}=\frac{51}{35}$ |
+| 4 | 2 | $\frac{4}{5}+\frac{2}{7}=\frac{38}{35}$ |
+|  | 3 | $\frac{4}{5}+\frac{3}{7}=\frac{43}{35}$ |
+|  | 4 | $\frac{4}{5}+\frac{4}{7}=\frac{48}{35}$ |
+|  | 5 | $\frac{4}{5}+\frac{5}{7}=\frac{53}{35}$ |
+|  | 6 | $\frac{4}{5}+\frac{6}{7}=\frac{58}{35}$ |
+
+## Lista 5
+
+1. Triatlon - Seja $x$ a velocidade em metros por minuto com que Maria nada. Logo, a sua velocidade na corrida é $3 x$ e na bicicleta $2,5 \times 3 x=7,5 x$. Logo, o tempo total que ela gastará nas 3 etapas é:
+
+$$
+\underbrace{\frac{800}{x}}_{\text {nadando }}+\underbrace{\frac{20000}{3 x}}_{\text {correndo }}+\underbrace{\frac{4000}{7,5 x}}_{\text {pedalando }}=\frac{800 \times 7,5+20000 \times 2,5+4000}{7,5 x}=\frac{60000}{7,5 x}
+$$
+
+Logo, para que ela vença as 3 etapas em 1 hora e 20 minutos ( $=80 \mathrm{~min})$, devemos ter:
+
+$$
+\frac{60000}{7,5 x}=80 \Rightarrow x=\frac{60000}{7,5 \times 80}=100 \mathrm{~m} / \mathrm{min}
+$$
+
+Segue que
+
+$$
+3 x=300 \mathrm{~m} / \mathrm{min} \text { e } 7,5 x=750 \mathrm{~m} / \mathrm{seg}
+$$
+
+Assim, para que Maria termine a prova em no máximo 1 hora e 10 minutos, ela deve desenvolver as seguintes velocidades:
+
+- nadar: a uma velocidade mínima de $100 \mathrm{~m} / \mathrm{min}$;
+- correr: a uma velocidade mínima de $300 \mathrm{~m} / \mathrm{min}$;
+- pedalar: a uma velocidade mínima de $750 \mathrm{~m} / \mathrm{min}$.
+
+2. Foto de formatura - As figuras a seguir representam a situação do problema, onde em preto estão representados os alunos que foram inicialmente retirados e em cinza os alunos retirados na segunda vez.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-22.jpg?height=270&width=1394&top_left_y=1622&top_left_x=339)
+
+Sejam $n$ e $m$ o número de filas (linhas horizontais) e de colunas da formação inicial, respectivamente. Ao retirar 1 aluno de cada fila, o diretor obtém uma formação com uma coluna a menos e uma fila incompleta - faltam 4 alunos. Logo, podemos concluir que:
+
+$$
+n+4=m-1 \quad \Rightarrow \quad m=n+5
+$$
+
+Retirando agora mais um aluno de cada fila obtém-se uma formação retangular com 2 colunas a menos que a formação inicial. Logo, podemos concluir que o número de filas (iniciais) é $n=3$. Assim, $m=8$ e o número de alunos é dado por $n \times m=3 \times 8=24$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-22.jpg?height=276&width=409&top_left_y=2193&top_left_x=1324)
+
+## 3. Circunferências tangentes -
+
+(a) Como as circunferências de raios $1 \mathrm{~cm}$ e $3 \mathrm{~cm}$ são concêntricas, as outras circunferência mostradas na figura devem ter raio igual a $1 \mathrm{~cm}$.
+
+(b) Os centros das 3 circunferências de raio $1 \mathrm{~cm}$ mostradas na figura formam um triângulo equilátero de lado $2 \mathrm{~cm}$. Logo seus ângulos internos medem $60^{\circ}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-23.jpg?height=320&width=331&top_left_y=377&top_left_x=1339)
+
+Como $\frac{360}{60}=6$ concluímos que até 6 circunferências podem ser dispostas nas condições exigidas.
+
+4. Festa na escola - Representando o número de docinhos que cada um dos 4 amigos levou pela inicial de seu nome temos:
+
+$$
+\left\{\begin{array}{l}
+A+P+M+F=90 \\
+A+2=P-2=2 M=\frac{F}{2}
+\end{array}\right.
+$$
+
+Segue da segunda equação que:
+
+$$
+P=A+4 \quad ; \quad M=\frac{A+2}{2} \quad ; \quad F=2(A+2)
+$$
+
+Substituindo esses valores na primeira equação obtemos:
+
+$$
+A+A+4+\frac{A+2}{2}+2(A+2)=90 \Rightarrow 9 A=180-18 \Rightarrow A=18
+$$
+
+Logo:
+
+$$
+P=18+4=22 ; M=\frac{18+2}{2}=10 \quad \text { e } \quad F=2(18+2)=40
+$$
+
+5. Inflação - O preço antigo era menor que 50 reais e sofreu um acréscimo de $20 \%$. Logo, o novo preço ainda é um número de 2 algarismos. Vamos representá-lo por $a b$, onde $a$ é o algarismo das dezenas e $b$ é o algarismo das unidades. Logo, o novo preço é $b a$, e temos:
+
+$$
+10 b+a=1,2(10 a+b) \Rightarrow 10 b-1,2 b=12 a-a
+$$
+
+Portanto:
+
+$$
+8,8 b=11 a \quad \Rightarrow \quad a=\frac{8}{10} \times b=\frac{4}{5} \times b
+$$
+
+Como $a$ e $b$ são algarismos, só podemos ter $a=4$ e $b=5$. Logo, o novo preço é $\mathrm{R} \$ 54,00$.
+
+## Lista 6
+
+1. Gatos no condomínio - Sejam:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& x=\text { número de famílias que possuem apenas } 1 \text { gato; } \\
+& y=\text { número de famílias que possuem exatamente } 3 \text { gatos; } \\
+& z=\text { número de famílias que possuem } 5 \text { gatos. }
+\end{aligned}
+$$
+
+Segue então que $x+y+z=29$ e $x=z$. Portanto, $2 x+y=29$. Por outro lado, $\mathrm{o}$ número de gatos é $x+3 y+5 z$. Daí temos:
+
+$$
+\text { número de gatos }=x+3 y+5 z=6 x+3 y=3(2 x+y)=3 \times 29=87 \text {. }
+$$
+
+## 2. Soma constante -
+
+Sejam $a, b, c, d, e$ e $f$ os números que colocaremos na tabela.
+
+De acordo com a regra para as 4 subtabelas $2 \times 2$
+
+| 1 | $a$ | 2 |
+| :---: | :---: | :---: |
+| b | 9 | $c$ |
+| $d$ | $e$ | $f$ |
+
+
+| 1 | $\mathrm{a}$ |
+| :--- | :--- |
+| $\mathrm{b}$ | 9 |
+
+
+| $\mathrm{a}$ | 2 |
+| :--- | :--- |
+| 9 | $\mathrm{c}$ |
+
+
+| b | 9 |
+| :--- | :--- |
+| $d$ | $e$ |
+
+
+| 9 | $c$ |
+| :--- | :--- |
+| $e$ | $f$ |
+
+temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 1+a+b+9=a+2+9+c \Rightarrow b=c+1 \\
+& 1+a+b+9=b+9+d+e \Rightarrow a+1=d+e \\
+& a+2+9+c=9+c+e+f \Rightarrow a+2=e+f
+\end{aligned}
+$$
+
+| a | $\mathbf{a}+\mathbf{1}=\mathbf{d}+\mathbf{e}$ | Solução |  |  |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 3 | 4 | não possu |  |  |
+| 4 | 5 | não possui |  |  |
+| 5 | 6 | não possui |  |  |
+|  | 7 | 1 | 6 | 2 |
+| 6 |  | 8 | 9 | 7 |
+|  |  |  | 3 | 5 |
+| 7 | 8 | não possui |  |  |
+| 8 | 9 | 1 | 8 | 2 |
+|  |  | 5 | 9 | 4 |
+|  |  |  | 3 | 7 |
+
+Subtraindo a $2^{\mathrm{a}}$ igualdade da $3^{\mathrm{a}}$, obtemos $f=1+d$. A nossa tabela então ficará assim:
+
+| 1 | $a$ | 2 |
+| :---: | :---: | :---: |
+| $b$ | 9 | $b-1$ |
+| $d$ | $e$ | $d+1$ |
+
+Como $a+1=d+e \mathrm{e}\{a, b, d, e\} \subset\{3,4,5,6,7,8\}$, temos os seguintes casos a considerar:
+
+# 3. Qual é o número? - 
+
+Note que $5 \times E$ é um múltiplo de 5 , e no caso, terminado em
+
+$5 B C D E$<br>$B C D E$<br>$C D E$<br>$D E$
+
+$E$ é ímpar pois se fosse par teríamos $A=0$. Observe que $E$ não pode ser 1 , pois senão $4 D=5$, o que é impossível. Logo, $E=3,5,7,9$.
+
+Analizemos cada possibilidade:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& E=3 \Rightarrow 4 D+1 \text { termina em } 5 \Rightarrow D=1 \text { ou } D=6 \\
+& E=5 \Rightarrow 4 D+2 \text { termina em } 5 \Rightarrow \text { impossível porque } 4 D+2 \text { é par; } \\
+& E=7 \Rightarrow 4 D+3 \text { termina em } 5 \Rightarrow D=3 \text { ou } D=5 . \text { Logo } D=3 \\
+& E=9 \Rightarrow 4 D+4 \text { termina em } 5 \Rightarrow \text { impossível porque } 4 D+4 \text { é par. }
+\end{aligned}
+$$
+
+Restaram então os seguintes 3 casos:
+$5 B C 13$
+$B C 13$
+C 13
+13
+5555
+$\begin{array}{r}5 B C 63 \\ B C 63 \\ C 63 \\ 63 \\ 3 \\ \hline 55555\end{array}$
+$5 B C 37$
+В $C 37$
+C 37
+37
+
+7
+55555
+
+Antes de analisar cada caso, observe que $B$ tem de ser menor do que 5 , ou seja $B=1,2,3,4$. Lembre que letras distintas representam algarismos distintos.
+
+1o caso: $3 C$ termina em 5 .
+
+Como 1, 3 e 5 já foram usados concluímos que esse caso não ocorre pois $C$ teria que valer 5 .
+
+2o caso: $3 C+2$ termina em 5 .
+
+Logo, $C=1$ e portanto $2 B=5$, o que não é possível.
+
+3o caso: $3 C+1$ termina em 5 .
+
+Logo, $C=8$ e portanto $2 B+2=5$, o que implica $B=2$. Finalmente, temos que $A B C D E=52837$.
+
+4. Proporção triangular - Temos que $\frac{F C}{A F}=2$. Agora, trace o segmento $F H$, paralelo ao segmento $A E$ onde $H$ está sobre o segmento $B C$, como na figura a seguir.
+
+Os triângulos $\triangle A E C$ e $\triangle F H C$ são semelhantes pois têm lados paralelos. Isto implica que $C H=2 E H$.
+
+Por outro lado, os triângulos $\triangle B F H$ e $\triangle B G E$ também são semelhantes, pois têm lados paralelos. Dessa semelhança e do fato que $G$ é ponto médio do segmento $B F$ concluímos que $E$ é ponto médio do segmento $B H$.
+
+Assim, $B E=E H$ e, portanto, $E C=E H+C H=E H+2 E H=3 E H=3 E B$. Consequentemente, $\frac{E C}{E B}=3$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-26.jpg?height=431&width=561&top_left_y=283&top_left_x=706)
+
+## 5. Números primos entre si -
+
+Solução 1: Temos:
+
+$$
+2000\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=16 \times 125\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}\right)
+$$
+
+Como $x$ e $y$ são primos entre si, concluímos que $x y$ e $x^{2}+y^{2}$ não têm fatores em comum (prove isso). Logo, $x$ e $y$ são divisores de $2000=16 \times 125=2^{4} \times 5^{3}$. Além disso, 16 tem que dividir $x y$ porque a expressão tem que ser ímpar. Portanto, $16=2^{4}$ divide $x$ ou $y$.
+
+1o caso: 16 divide $x$.
+
+Se $x>16$ então, $x$ é no mínimo $16 \times 5=80$, já que $x$ divide 2000 . Nesse caso, $x>y$ pois $x y$ divide 2000. Logo, $x=16$. Assim, como $x$ e $y$ são primos entre si, $x<y$ e $y$ divide 2000 concluímos que as únicas possibilidades são $y=25$ ou 125 .
+
+2o caso: 16 divide $y$.
+
+Como no item anterior fazemos:
+
+Se $y>16$ então as possibilidades seriam: $y=16 \times 5$ e $x=1 ; y=16 \times 25$ e $x=1$; $y=16 \times 125$ e $x=1$.
+
+Se $y=16$ então as possibilidades para $x$ seria: $x=1 ; x=5$.
+
+Logo, os pares $(x, y)$ satisfazendo as condições do problema são:
+
+$$
+(16,25) ;(16,125) ;(5,16) ;(1,16) ;(1,80) ;(1,400) ;(1,2000)
+$$
+
+Porém, como podemos trocar $x$ e $y$ em vista da simetria da expressão, temos ainda as soluções:
+
+$$
+(25,16) ;(125,16) ;(16,5) ;(16,1) ;(80,1) ;(400,1) ;(2000,1)
+$$
+
+## Solução 2:
+
+Temos $N=2000\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=\frac{16 \times 125 \times\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x y}=\frac{2^{4} \times 5^{3}}{x y} \times\left(x^{2}+y^{2}\right)$.
+
+Como $N$ é ímpar segue que $\frac{2^{4} \times 5^{3}}{x y}$ e $x^{2}+y^{2}$ são ímpares. As opções para isso são:
+$x y=2^{4}, 2^{4} \times 5,2^{4} \times 5^{2}, 2^{4} \times 5^{3}$ e, $x$ e $y$ têm paridades distintas. Vamos determinar $x$ e $y$ para cada uma dessas opções:
+
+| $x y$ | $x$ | $y$ |
+| :---: | :---: | :---: |
+| $2^{4}$ | 1 | $2^{4}$ |
+| $2^{4} .5$ | 1 | $2^{4} .5$ |
+|  | $2^{4}$ | 5 |
+| $2^{4} .5^{2}$ | 1 | $2^{4} .5^{2}$ |
+|  | $2^{4}$ | $5^{2}$ |
+| $2^{4} .5^{3}$ | 1 | $2^{4} .5^{3}$ |
+|  | $2^{4}$ | $5^{3}$ |
+
+Logo, os pares $(x, y)$ satisfazendo as condições do problema são:
+
+$$
+(1,16) ;(1,80) ;(16,5) ;(1,400) ;(16,25) ;(1,2000) ;(16,125)
+$$
+
+Porém, como podemos trocar $x$ e $y$ em vista da simetria da expressão, temos ainda as soluções:
+
+$$
+(16,1) ;(80,1) ;(5,16) ;(400,1) ;(25,16) ;(2000,1) ;(125,16)
+$$
+
+## Lista 7
+
+1. Fique atento - Elevando ambos os membros da equação ao quadrado, obtemos $x=x^{2}-4 x+4$, que é equivalente a $x^{2}-5 x+4=0$. As raízes dessa equação do segundo grau são $x=1$ e $x=4$. Entretanto, quando substituímos $x=1$ na equação original $\sqrt{x}=x-2$ obtemos $\sqrt{1}=-1$, que é falso. No entanto, quando substituímos $x=4$ obtemos $\sqrt{4}=2$, que é verdadeiro. Portanto, a equação dada possui $x=4$ como única solução.
+
+Atenção: O aparecimento da "solução estranha" $x=1$ deve-se ao fato que a implicação
+
+$$
+a^{2}=b^{2} \Rightarrow a=b
+$$
+
+não é verdadeira em geral. O correto é
+
+$$
+a^{2}=b^{2} \Rightarrow a= \pm b
+$$
+
+Deste modo, quando elevamos os dois membros de uma equação ao quadrado, obtemos uma nova equação que pode, eventualmente, conter mais soluç̃es que a equação original. Você também pode ver isso com clareza, por exemplo, nas equações: $x=1 \mathrm{e}$ $x^{2}=1^{2}$.
+
+2. Soluções inteiras - A equação é equivalente a $x y=19(x+y)$. Uma vez que estamos procurando soluções inteiras e 19 é um número primo, esta igualdade implica que $x$ ou $y$ devem ser divisíveis por 19. Como a equação é simétrica em relação as variáveis $x$ e $y$, podemos supor que $x$ é divisível por 19 . Isto é, $x=19 k$ para algum valor inteiro de $k$. Nessa condição, temos:
+
+$$
+x y=19(x+y) \quad \Leftrightarrow \quad k y=19 k+y
+$$
+
+Desta igualdade concluímos que $19 k+y$ é divisível por $k$. Uma vez que $19 k$ já é divisível por $k$ concluímos que $y$ é divisível por $k$ (prove isso). Isto é, $y=k m$ para algum valor inteiro de $m$. Assim,
+
+$$
+k y=19 k+y \Rightarrow k^{2} m=19 k+k m \Rightarrow k m-m=19 \Rightarrow m(k-1)=19
+$$
+
+Visto que $m$ e $k$ são números inteiros e 19 é um número primo, existem somente 4 possibilidades para a igualdade $m(k-1)=19$ :
+
+- $m=19$ e $k-1=1$. Isto implica que $x=38$ e $y=38$;
+- $m=-19$ e $k-1=-1$. Isto implica que $x=0$ e $y=0$, que não é possível, pois na equação original, $x \neq 0$ e $y \neq 0$;
+- $m=1$ e $k-1=19$. Isto implica que $x=380$ e $y=20$;
+- $m=-1$ e $k-1=-19$. Isto implica que $x=-342$ e $y=18$.
+
+Deste modo, obtemos as seguintes possibilidades para o par de números inteiros $(x, y)$ que são soluções da equação dada:
+
+$$
+(38,38) ;(380,20) ;(20,380) ;(-342,18) ;(18,-342)
+$$
+
+3. No ponto de ônibus - Vamos representar por $M$ o número de meninas e por $H \circ$ número de meninos que estavam no ponto antes da parada do primeiro ônibus. Depois do embarque das 15 meninas no primeiro ônibus, ficaram no ponto $M-15$ meninas e $H$ meninos. Uma vez que, neste momento, ficam no ponto 2 meninos para cada menina, temos: $H=2(M-15)$. No segundo ônibus embarcam 45 meninos, e ficaram no ponto $M-15$ meninas e $H-45$ meninos. Como, neste momento, ficaram no ponto 5 meninas para cada menino, temos: $M-15=5(H-45)$.
+
+Deste modo, obtemos o sistema linear
+
+$$
+\left\{\begin{array}{l}
+H=2(M-15) \\
+M-15=5(H-45)
+\end{array}\right.
+$$
+
+Substituindo a primeira equação na segunda obtemos: $M-15=5(2 M-30-45)$. Logo:
+
+$$
+375-15=10 M-M \Rightarrow M=40
+$$
+
+e $H=2(40-15)=50$.
+
+4. Contorno circular - Sejam $A, B, C$ e $D$ os centros dos círculos, e $M, N, P$ e $Q$ os pontos de tangência.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-29.jpg?height=384&width=509&top_left_y=1296&top_left_x=732)
+
+Observe que $A D=D C=B C=A B=A C=2 a$. Logo, os triângulos $A B C$ e $A C D$ são equiláteros e por isso seus ângulos internos são iguais a $60^{\circ}$. Assim, temos:
+
+$$
+A \widehat{B C}=60^{\circ} \Rightarrow \widehat{M N}=\frac{5}{6} \times 2 \pi a \text { e } B \widehat{A} D=120^{\circ} \Rightarrow \widehat{M Q}=\frac{2}{3} \times 2 \pi a
+$$
+
+Como $\widehat{M N}=\widehat{P Q}$ e $\widehat{M Q}=\widehat{N P}$ segue que o contorno externo da figura dada tem comprimento igual a:
+
+$$
+\left(2 \times \frac{5}{6}+2 \times \frac{2}{3}\right) 2 \pi a=6 \pi a
+$$
+
+5. Um quadrilátero especial - Se cada diagonal divide o quadrilátero em duas regiões de mesma área temos:
+
+$$
+\text { Área }(\triangle A B D)=\text { Área }(\triangle B C D) \text { e Área }(\triangle A B C)=\text { Área }(\triangle A C D) \text {. }
+$$
+
+Mas,
+
+$$
+\begin{aligned}
+\text { Área }(\triangle A B D) & =X+W \\
+\text { Área }(\triangle B C D) & =Y+Z \\
+\text { Área }(\triangle A B C) & =Z+W \\
+\text { Área }(\triangle C D A) & =X+Y
+\end{aligned}
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-30.jpg?height=512&width=593&top_left_y=286&top_left_x=1010)
+
+Assim,
+
+$$
+Z-X=\text { Área }(\triangle A B C)-\text { Área }(\triangle A B D)=\text { Área }(\triangle C D A)-\text { Área }(\triangle B C D)=X-Z
+$$
+
+e portanto, $Z=X$. Consequentemente, também temos $Y=W$.
+
+Como as áreas opostas são iguais, resulta da semelhança de triângulos que:
+
+$$
+A E \times E D=B E \times E C \text { e } A E \times E B=C E \times E D
+$$
+
+Dividindo esta duas equações obtemos:
+
+$$
+\frac{E D}{E B}=\frac{E B}{E D} \quad \Rightarrow \quad E D=E B
+$$
+
+Analogamente podemos mostrar que $E A=E C$. Logo, as diagonais se cortam no ponto médio, e consequentemente o quadrilátero é um paralelogramo donde, o perímetro é igual a $2 \times 10+2 \times 15=50 \mathrm{~cm}$.
+
+## Lista 8
+
+1. Número curioso - Seja $a b$ um tal número. Por hipótese $a b=10 a+b$ é divisível por $a+b$. Logo, a diferença $(10 a+b)-(a+b)=9 a$, também é divisível por $a+b$. Além disso, sabemos que $10 a+b$ é divisível por $a+b$ se, e somente se, $(10 a+b)-(a+b)=9 a$ é divisível por $a+b$ (prove isso).
+
+Antes de prosseguirmos na solução, note que como $a b$ é um número de dois algarismos então $a \neq 0$. Agora, basta atribuir valores para $a$ e calcular os valores de $b$ para os quais $a+b$ divide $9 a$. O resultado é mostrado na tabela a seguir.
+
+| $a$ | $9 a$ | $b$ |
+| :---: | :---: | :---: |
+| 1 | 9 | $0,2,8$ |
+| 2 | 18 | $0,1,4,7$ |
+| 3 | 27 | 0,6 |
+| 4 | 36 | $0,2,5,8$ |
+| 5 | 45 | 0,4 |
+| 6 | 54 | 0,3 |
+| 7 | 63 | 0,2 |
+| 8 | 72 | $0,1,4$ |
+| 9 | 81 | 0 |
+
+Logo os números que satisfazem a propriedade são:
+
+$10,12,18,20,21,24,27,30,36,40,42,45,48,50,54,60,63,70,72,80,81,84,90$
+
+ou seja, existem 23 números nas condições exigidas.
+
+## 2. Número premiado -
+
+(a) O maior número premiado tem de começar com 98. Assim o número procurado é da forma: $98 a b c d$. Por hipótese temos: $9+8+a=b+c+d$. Para que $a$ seja máximo precisamos que $b+c+d$ seja máximo, e isto acontece quando $b=7, c=6$ e $d=5$. Neste caso, $a=1$ e consequentemente, o maior número premiado é 981765 .
+
+Vamos agora determinar o menor número premiado. Tentemos um número da forma $10 a b c d$. Agora, não é difícil verificar que 108234 é o menor número premiado.
+
+(b) Se o número $A B C D E F$ é premiado, então o número $D E F A B C$ também é premiado. A soma desses números é:
+
+$$
+\begin{aligned}
+A B C D E F+D E F A B C & =(1000 A B C+D E F)+(1000 D E F+A B C) \\
+& =1001(A B C+D E F)=13 \times 11 \times 7 \times(A B C+D E F)
+\end{aligned}
+$$
+
+Somando todos os números premiados com 6 algarismos diferentes aos pares, resulta que cada par é divisível por 13. Logo, a soma de todos eles é divisível por 13.
+
+Nota: De fato também é divisível por 11 e 7 .
+
+3. Altura versus lado - Sejam $h_{a}$ e $h_{c}$ as alturas relativas aos lados $B C=a$ e $A B=c$, respectivamente. Por hipótese temos que $h_{a} \geq a$ e $h_{c} \geq c$. Como $h_{a}$ e $h_{c}$ são os comprimentos das alturas, então $h_{a} \leq c$ e $h_{c} \leq a$.
+
+Um dos lados considerados é maior ou igual ao outro: digamos $a \geq c$. Das desigualdades acima temos:
+
+$$
+h_{a} \geq a \geq c \geq h_{a} \quad \Rightarrow \quad a=c=h_{a}
+$$
+
+Daí, segue que $A B$ é perpendicular a $B C$. Logo, o triângulo é retângulo isósceles e portanto, os ângulos medem $45^{\circ}, 45^{\circ}$ e $90^{\circ}$.
+
+4. Frações egípcias - A equação é equivalente a $2 a b=7(a+b)$. Como 2 e 7 são números primos entre si, segue que $a b$ é múltiplo de 7 e que $a+b$ é múltiplo de 2 . Mas, para $a b$ ser múltiplo de 7 , a única possibilidade é $a$ ser múltiplo de 7 ou $b$ ser múltiplo de 7 . Suponhamos primeiramente que $a$ é múltiplo positivo de 7 , ou seja, $a=7 k$ para algum inteiro positivo $k$. Daí obtemos:
+
+$$
+2 a b=7(a+b) \Rightarrow 2 k b=7 k+b \Rightarrow(2 k-1) b=7 k
+$$
+
+Esta última equação implica que $b$ ou $2 k-1$ são mútiplos de 7 . Se $b$ é múltiplo de 7 , $b=7 m$, e assim
+
+$$
+\frac{2}{7}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \Rightarrow \frac{2}{7}=\frac{1}{7 k}+\frac{1}{7 m} \Rightarrow \frac{1}{k}+\frac{1}{m}=2
+$$
+
+Mas, $\frac{1}{k} \leq 1$ e $\frac{1}{m} \leq 1$. Assim $\frac{1}{k}+\frac{1}{m} \leq 2$. Portanto, a equação $\frac{1}{k}+\frac{1}{m}=2$ possui única solução inteira positiva, a saber, $k=1=m$. Entretanto, esta solução não nos interessa, pois neste caso $a=b$.
+
+Passemos então ao caso em que $2 k-1$ é múltiplo de 7 .
+
+Uma possibilidade para $2 k-1$ ser múltiplo de 7 ocorre quando $k=4$. Neste caso, temos que
+
+$$
+\begin{gathered}
+k=4 \Rightarrow a=7 k=28 \\
+(2 k-1) b=7 k \Rightarrow 7 b=28 \Rightarrow b=4
+\end{gathered}
+$$
+
+Obtemos então
+
+$$
+\frac{2}{7}=\frac{1}{28}+\frac{1}{4}
+$$
+
+5. Tabuleiro de xadrez - Um tabuleiro de xadrez é um quadrado reticulado de 64 quadradinhos, sendo 32 claros e 32 escuros, posicionados alternadamente. Cada quadradinho recebe o nome de casa. As peças são denominadas: rei, dama, torre, bispo, cavalo e peão. São 16 peças claras e 16 escuras, sendo 2 peças de cada categoria.
+
+Inicialmente, é possível colocar um bispo em $8 \times 8=64$ casas. Suponhamos que o bispo está numa casa branca, então na fila e na coluna onde ele está temos 8 casas pretas. Assim, o segundo bispo pode ser colocado em qualquer uma das $32-8=24$ casas pretas restantes. Concluímos então que se um dos bispos ocupa uma das 32 casas brancas então o outro terá 24 casas pretas para se localizar. Portanto, o número de configurações distintas que podem ser obtidas é:
+
+Nota: Aqui estamos entendendo que alternando a posição desses dois bispos não mudamos a configuração no tabuleiro de xadrez. Mais precisamente, os bispos têm a mesma cor, isto é, pertencem a um mesmo competidor. $32 \times 24$.
+
+## Lista 9
+
+1. Quem é menor? - Observemos que:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 33^{12}>32^{12}=\left(2^{5}\right)^{12}=2^{60} \\
+& 63^{10}<64^{10}=\left(2^{6}\right)^{10}=2^{60} \\
+& 127^{8}<128^{8}=\left(2^{7}\right)^{8}=2^{56}
+\end{aligned}
+$$
+
+Logo, o maior dos números é $33^{12}$.
+
+Por outro lado, $\frac{127}{63}=2+\frac{1}{63}<2,1$. Logo:
+
+$$
+\left(\frac{127}{63}\right)^{2}<2,1^{2}<7 \text { e }\left(\frac{127}{63}\right)^{4}<49<63 \Rightarrow 127^{4}<63^{5} \Rightarrow 127^{8}<63^{10}
+$$
+
+Logo, o menor dos três números dados é $127^{8}$.
+
+2. Brincando com números - Como queremos encontrar o maior número possível, menor do que 900, iniciaremos com o algarismo 8 na casa da centena. Observemos que $\circ$ número 800 satisfaz a propriedade. Logo, o número procurado é maior que ou igual a 800 .
+
+Devemos então encontrar $a$ e $b$ tais que $8+a+b$ divida $8 a b=800+10 a+b$. Lembramos que $8+a+b$ divide $8 a b=800+10 a+b$ se, e somente se, $8+a+b$ divide $800+10 a+b-(8+a+b)=792+9 a$. Agora, atribuindo valores para $a$ na ordem decrescente obtemos:
+
+- $a=9 \Rightarrow 792+9 \times 9=873=9 \times 97$ e este número não possui nenhum divisor entre $17(b=0)$ e $26(b=9)$.
+- $a=8 \Rightarrow 792+9 \times 8=864=2^{5} \times 3^{3}$. O maior divisor deste número entre $16 \mathrm{e}$ 25 é 24 , isto é, $b=8$. Logo, o número procurado é 888 .
+
+3. Cortando papéis - Se na primeira rodada André pega $n_{1}$ pedaços de papel para cortar cada um deles em sete pedaços, ao final desta rodada ele ficará com $7-n_{1}$ pedaços sem cortar mais $7 n_{1}$ pedaços cortados, totalizando $\left(7-n_{1}\right)+7 n_{1}=7+6 n_{1}$ pedaços de papel. Analogamente, se na segunda rodada André pega $n_{2}$ pedaços de papel para cortar, ao final desta rodada ele ficará com $7+6 n_{1}-n_{2}$ pedaços que não foram cortados nesta rodada, mais $7 n_{2}$ pedaços de papel provenientes dos cortes que ele fez nesta rodada. Assim, ao final da segunda rodada André ficará com
+
+$$
+\left(7+6 n_{1}-n_{2}\right)+7 n_{2}=7+6\left(n_{1}+n_{2}\right)
+$$
+
+Continuando deste modo, conclui-se que ao final de $k$ rodadas André fica com $7+6\left(n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k}\right)$ pedaços de papel. Para ele ficar então com 2009 pedaços de papel ao final de alguma rodada, deve-se ter
+
+$$
+7+6\left(n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k}\right)=2009
+$$
+
+ou equivalentemente
+
+$$
+6\left(n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k}\right)=2002
+$$
+
+Uma vez que 2002 não é mútiplo de 6, esta equação não admite solução e, portanto, André nunca poderá ficar com 2009 pedaços ao final de alguma rodada do jogo.
+
+4. Um trapézio especial - Suponhamos que $A E$ seja maior do que $B C$, e seja $A^{\prime}$ um ponto sobre $A E$ tal que $A^{\prime} E=B C$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-35.jpg?height=216&width=542&top_left_y=388&top_left_x=1190)
+
+Como $A^{\prime} E$ e $B C$ são paralelos temos que $A^{\prime} B C E$ é um paralelogramo, em particular $B A^{\prime}=C E$. Mas, $A A^{\prime}+A B>B A^{\prime}$ pela desigualdade triangular. Assim:
+
+$A B+A E+B E=A B+A A^{\prime}+A^{\prime} E+B E>B A^{\prime}+A^{\prime} E+B E=B C+C E+E B$.
+
+Portanto, o perímetro do triângulo $\triangle A B E$ é maior que o perímetro do triângulo $\triangle B C E$. Desta forma, $A E$ não pode ser maior que $B C$.
+
+Por um processo similar podemos também concluir que $B C$ não pode ser maior que $A E$ e portanto $B C=A E$.
+
+Analogamente, temos que $E D=B C$. Consequentemente,
+
+$$
+B C=\frac{1}{2}(A E+E D)=15 \mathrm{~cm}
+$$
+
+5. Uma estrela -
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-35.jpg?height=374&width=485&top_left_y=1274&top_left_x=335)
+
+No triângulo $B H E$ temos:
+
+$$
+20^{\circ}+130^{\circ}+B \widehat{E} H=180^{\circ} \Rightarrow B \widehat{E} H=30^{\circ}
+$$
+
+Note que $J \widehat{E} I=B \widehat{E} H=30^{\circ}$.
+
+## Lista 10
+
+1. Número palindrome - Um número palindrome de 4 algarismos é da forma: $a b b a$, onde $a$ é um algarismo entre 1 e 9 e $b$ é um algarismo entre 0 e 9 . Como o número é divisível por 9 , então a soma de seus algarismos: $2 a+2 b=2(a+b)$ é divisível por 9 , ou seja $a+b$ é divisível por 9 . Se $a+b=9$, temos as 9 soluções:
+
+$a=1$ e $b=8 \quad ; \quad a=2$ e $b=7 \quad ; \quad a=3$ e $b=6 \quad ; \quad a=4$ e $b=5$
+
+$a=5$ e $b=4 \quad ; \quad a=6$ e $b=3 \quad ; \quad a=7$ e $b=2 \quad ; \quad a=8$ e $b=1$
+
+$a=9$ e $b=0$.
+
+Se $a+b=18$ então a única solução é: $a=b=9$.
+
+Logo, o número de palindromes de 4 algarismos divisíveis por 9 é 10 , são eles: 1881 , $2772,3663,4554,8118,7227,6336,5445,9009$ e 9999.
+
+2. Multiplicação com letras - Se o produto de $b$ por $c$ termina em 1 , então $b \times c$ pode ser 21 ou 81 segue que $b \times c=3 \times 7$ ou $9 \times 9$. A única possibilidade de escrever o produto de dois números distintos menores que 10 é $21=3 \times 7$. Assim temos dois possíveis casos:
+
+1o caso: $b=3$ e $c=7$ :
+
+$$
+\begin{array}{r}
+a 33 \\
+\times \quad 7 \\
+\hline 3731
+\end{array}
+$$
+
+Neste caso $\frac{3731}{7}=533$ e, consequentemente, $a=5$.
+
+2o caso: $b=7$ e $c=3$ :
+
+Nesta caso $\frac{7371}{3}=2457$. Logo, este caso não ocorre.
+
+## 3. Números sortudos -
+
+(a) A sequência de oito números consecutivos de 52 a 59 tem exatamente, dois números sortudos: 52 e 59 . Outro exemplo é qualquer sequência de 8 números que contenha 59 e 61 , por exemplo: $55,56,57,58,59,60,61,62$.
+
+(b) Dois exemplos: $994, \ldots, 1005$ e $7994, \ldots, 8005$. Existem mais exemplos, encontre alguns.
+
+(c) Chamemos de década qualquer sequência de 10 números consecutivos cujo primeiro termo é múltiplo de 10 :
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 \\
+& 140,141,142,143,144,145,146,147,148,149
+\end{aligned}
+$$
+
+Note que qualquer sequência de 7 números consecutivos numa década contém pelo menos um número sortudo porque a soma de seus algarismos é uma sequência de 7 números consecutivos, um dos quais tem de ser divisível por 7 . Finalmente, qualquer sequência de 13 números consecutivos contém pelo menos 7 números
+consecutivos de uma década, que sempre contém um número sortudo. Examine alguns exemplos para melhor entender essa justificativa.
+
+4. Uma sequência especial - Vamos inicialmente escrever alguns termos:
+
+$$
+1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2, \ldots
+$$
+
+O 7 e e 80 termos são, respectivamente iguais ao 10 e 2 . Isso significa que a sequência se repete de 6 em 6 termos. A soma dos 6 primeiros termos é $1+3+2-1-3-2=0$, e portanto, a soma dos 96 primeiros termos também é 0 . Logo, a soma dos 100 primeiros termos dessa sequência é igual a soma dos 4 últimos termos, ou seja, $1+3+2-1=5$.
+
+5. Triângulos e ângulos... - No triângulo menor, os ângulos medem $70^{\circ}, 180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}$ enquanto que o terceiro medirá
+
+$$
+180^{\circ}-\left(50^{\circ}+70^{\circ}\right)=60^{\circ}
+$$
+
+Assim,
+
+$$
+\alpha=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}
+$$
+
+Agora, no triângulo maior temos:
+
+$45^{\circ}+\beta+50^{\circ}=180^{\circ} \Rightarrow \beta=180^{\circ}-95^{\circ}=85^{\circ}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-37.jpg?height=504&width=569&top_left_y=794&top_left_x=1163)
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2009_N3.md

@@ -0,0 +1,1476 @@
+# Nível 3 
+
+## Lista 1
+
+1. Brincando com a calculadora - Digite numa calculadora um número qualquer de 3 algarismos. Em seguida, digite o mesmo número, obtendo assim um número de 6 algarismos da forma $a b c a b c$. Divida esse número por 7 , divida o resultado por $11 \mathrm{e}$, finalmente, divida o número obtido por 13. O que aconteceu? Por que você obteve este resultado?
+2. No galinheiro - Um galinheiro com área igual a $240 \mathrm{~m}^{2}$ deve abrigar galinhas e pintinhos, sendo desejável que haja um espaço livre de $4 \mathrm{~m}^{2}$ para cada galinha e $2 \mathrm{~m}^{2}$ para cada pintinho. Além disso, cada pintinho come $40 \mathrm{~g}$ de ração por dia e cada galinha come $160 \mathrm{~g}$ por dia, sendo permitido um gasto diário máximo de $8 \mathrm{~kg}$ de ração.
+
+(a) Represente algebricamente as condições do problema.
+
+(b) Represente graficamente as condições acima no plano cartesiano $x O y$.
+
+(c) Esse galinheiro comporta 20 galinhas e 80 pintinhos? E 30 galinhas e 100 pintinhos?
+
+(d) Qual o número máximo de galinhas que podem ser colocadas no galinheiro, respeitando os espaços desejáveis e o gasto máximo de ração? E de pintinhos?
+
+3. Um número perfeito - Um número natural $n$ é dito perfeito se a soma de todos os seus divisores próprios, isto é, diferentes de $n$, é igual a $n$. Por exemplo, 6 e 28 são perfeitos, pois: $6=1+2+3$ e $28=1+2+4+7+14$. Sabendo que $2^{31}-1$ é um número primo, mostre que $2^{30}\left(2^{31}-1\right)$ é um número perfeito.
+4. Quinze minutos a mais - Dois carros partem ao mesmo tempo de uma cidade A em direção a uma cidade B. Um deles viaja com velocidade constante de $60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ e o outro com velocidade constante de $70 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Se o carro mais rápido faz esta viagem em 15 minutos a menos que o outro carro, qual a distância entre as duas cidades?
+5. Outros caminhos - Partindo de sua casa para chegar na escola, Júlia deve caminhar 8 quarteirões para a direita e 5 quarteirões para cima, como indicado na figura abaixo.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-01.jpg?height=361&width=528&top_left_y=1863&top_left_x=728)
+
+Ela sabe que existem muitas maneiras diferentes de fazer o percurso casa-escola, sempre seguindo o caminho mais curto. Como ela é uma menina muito curiosa, ela gostaria de sempre fazer caminhos diferentes.
+
+Quantos desses caminhos existem da casa de Júlia até a escola?
+
+## Lista 2
+
+1. Escrevendo em um tabuleiro - Um tabuleiro quadrado de 3 linhas por 3 colunas contém nove casas. De quantos modos diferentes podemos escrever as três letras A, B e $\mathbf{C}$ em três casas diferentes, de modo que em cada linha esteja escrita exatamente uma letra?
+2. Fração e porcentagem - Se na fração $\frac{x}{y}$ diminuirmos o numerador de $40 \%$ e o denominador $y$ de $60 \%$, então a fração $\frac{x}{y}$ :
+(A) diminui $20 \%$
+(B) aumenta $20 \%$
+(C) diminui $50 \%$
+(D) aumenta $50 \%$
+3. Triângulos sobrepostos - Dois triângulos retângulos congruentes possuem catetos de medidas $4 \mathrm{~cm}$ e $7 \mathrm{~cm}$. Na figura abaixo, à esquerda, os triângulos foram desenhados de modo a coincidirem os catetos de $7 \mathrm{~cm}$. Assim, $A B=7 \mathrm{~cm}$ e $A D=B C=4 \mathrm{~cm}$. Já na figura à direita, eles foram desenhados de modo a coincidirem as hipotenusas donde, $A D=B C=4 \mathrm{~cm}$ e $A C=B D=7 \mathrm{~cm}$.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-02.jpg?height=248&width=1076&top_left_y=1156&top_left_x=492)
+
+Calcule as áreas sombreadas nas duas figuras.
+
+4. Dois motoristas - Dois motoristas viajam da cidade A até a cidade B e, imediatamente, regressam à cidade $A$. O primeiro motorista viaja com velocidade constante de $80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, tanto na ida quanto na volta. O segundo motorista viaja até a cidade $B$ com velocidade constante de $90 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ e retorna com velocidade constante de $70 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Qual desses motoristas gasta menos tempo no percurso de ida e volta?
+5. Soma e inverte - Podemos formar sequências a partir de um número inicial, usando duas operações " $+1=$ somar 1 " e " $-i=$ menos o inverso". Por exemplo, iniciando com o número 3, podemos formar várias sequências, veja uma delas:
+
+$$
+3 \xrightarrow{+1} 4 \xrightarrow{+1} 5 \xrightarrow{-i}-\frac{1}{5} \xrightarrow{+1} \frac{4}{5} \xrightarrow{-i}-\frac{5}{4} \xrightarrow{+1}-\frac{1}{4} \xrightarrow{+1} \frac{3}{4} \xrightarrow{-i}-\frac{4}{3} .
+$$
+
+Iniciando com 0 , com qual sequência obteremos novamente o 0 , usando apenas as duas operações " +1 " e " $-i$ "?
+
+## Lista 3
+
+1. Carro flex - Um carro é denominado flex se ele pode ser abastecido com gasolina ou com álcool. Considere que os preços do álcool e da gasolina sejam, respectivamente, $\mathrm{R} \$ 1,59$ e $\mathrm{R} \$ 2,49$ por litro.
+
+(a) Suponha que um carro flex rode $12,3 \mathrm{~km}$ por litro de gasolina, que indicamos $12,3 \mathrm{~km} / \mathrm{l}$. Qual deve ser a relação $\mathrm{km} / \mathrm{I}$ desse carro, para o álcool, para que a utilização do álcool seja financeiramente mais vantajosa que a de gasolina?
+
+(b) Se o desempenho de um carro flex é de $x \mathrm{~km} / \mathrm{I}$ com gasolina e de $\left(\frac{x}{2}+1\right) \mathrm{km} / \mathrm{I}$ com álcool, escreva a expressão da função $g(x)$ que fornece o custo desse carro rodar $100 \mathrm{~km}$ utilizando gasolina e a expressão da função $a(x)$ que fornece o custo desse carro rodar $100 \mathrm{~km}$ utilizando álcool.
+
+(c) Para que o custo seja o mesmo, tanto com álcool como com gasolina, qual deve ser a relação $\mathrm{km} / \mathrm{I}$ para a gasolina e para o álcool?
+
+(d) Em que condição o uso do álcool é mais vantajoso, financeiramente, que o da gasolina? Dê um exemplo numérico que satisfaça a condição.
+
+2. Contando triângulos - Na figura a seguir estão marcados 11 pontos sobre dois segmentos. Quantos triângulos podem ser formados com estes 11 pontos?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-03.jpg?height=339&width=639&top_left_y=1332&top_left_x=667)
+
+3. Quadrado perfeito - Existe um número de 8 algarismos da forma
+
+$$
+9999 * * * *
+$$
+
+que é um quadrado perfeito?
+
+4. Diferença quase nula - Qual o menor número inteiro positivo $n$ tal que
+
+$$
+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}<0,01 ?
+$$
+
+5. Conjunto de Cantor - Desenhe um segmento de reta de comprimento 1, e denote-o por $C_{1}$. Remova o terço central (sem remover os extremos). Denote por $C_{2}$ o que sobrou. Agora, remova o terço central (sem os extremos) de cada segmento de reta de $C_{2}$. Denote por $C_{3}$ o que sobrou. Podemos continuar esse processo, em cada estágio removendo o terço central de cada segmento em $C_{n}$ para formar $C_{n+1}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-04.jpg?height=193&width=721&top_left_y=294&top_left_x=672)
+
+(a) Desenhe $C_{1}, C_{2}$ e $C_{3}$, indicando os números nos extremos dos segmentos.
+
+(b) Quais dos seguintes pontos pertencem ao conjunto de Cantor? $\frac{1}{3}, \frac{4}{9}, \frac{3}{81}, \frac{4}{81}$.
+
+(c) Quais são os comprimentos de $C_{3}, C_{4}$ e $C_{5}$ ? Você pode achar uma expressão para o comprimento de $C_{n}$ ?
+
+## Lista 4
+
+1. Enchendo uma piscina - Uma piscina vazia foi abastecida de água por duas torneiras $A$ e $B$, ambas com vazão constante. Durante 4 horas, as duas torneiras ficaram abertas e encheram $50 \%$ da piscina. Em seguida, a torneira B foi fechada e durante 2 horas a torneira A encheu $15 \%$ do volume da piscina. Após este período a torneira A foi fechada e a torneira $\mathrm{B}$ aberta. Durante quanto tempo esta torneira teve de ficar aberta para que ela sozinha terminasse de encher a piscina?
+2. Probabilidade de ser um número par - Uma urna tem 9 bolas, numeradas com os números de 1 a 9 . José e Maria retiram simultaneamente uma bola da urna. Com as bolas retiradas eles formam um número de 2 algarismos, sendo que o número que está escrito na bola de José é o algarismo das dezenas e o número que está escrito na bola de Maria é o algarismo das unidades. Qual a probabilidade deste número ser par?
+3. Múltiplo de $\mathbf{7}$ - Mostre que se o produto $N=(n+6 m)(2 n+5 m)(3 n+4 m)$ é múltiplo de 7 , com $m$ e $n$ números naturais, então $N$ é múltiplo de $7^{3}=343$.
+4. Os ângulos $15^{\circ}$ e $75^{\circ}$ - Na figura, $A B C D$ é um quadrado de lado $1 \mathrm{~cm}$ e $\triangle B C E$ é um triângulo equilátero. O ponto $M$ é o ponto médio do segmento $C E, D N$ é perpendicular a $B M$ e $B M$ é perpendicular a $C E$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-05.jpg?height=387&width=656&top_left_y=1254&top_left_x=363)
+
+(a) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo $\triangle D B N$.
+
+(b) Use o item (a) para calcular o cosseno, o seno e a tangente dos ângulos de $15^{\circ}$ e $75^{\circ}$.
+
+5. Circunfências tangentes - Na figura, estão desenhadas duas circunferências concêntricas de raios $r$ e $R$, com $r<R$, e 12 circunferências, de raio $x$, compreendidas entre essas duas. Além disso, as 14 circunferências são disjuntas ou tangentes.
+
+(a) Mostre que $x=\frac{R-r}{2}$.
+
+(b) Mostre que $\frac{R}{r}=\frac{4+\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4-\sqrt{6}+\sqrt{2}}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-05.jpg?height=377&width=377&top_left_y=1687&top_left_x=1340)
+
+## Lista 5
+
+1. Mudando a base - Um triângulo isósceles tem base medindo $10 \mathrm{~cm}$ e dois lados iguais a $13 \mathrm{~cm}$. É possível mudar a base do triângulo e obter outro triângulo isósceles com mesma área?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-06.jpg?height=244&width=242&top_left_y=366&top_left_x=1424)
+
+10
+
+2. Clube de Matemática - Eu faço parte de um clube de matemática onde tenho o mesmo número de colegas homens do que colegas mulheres. Quando um garoto falta, os três quartos da equipe são de meninas. Eu sou homem ou mulher? Quantas mulheres e quantos homens tem o clube?
+3. Uma calculadora diferente - Davi tem uma calculadora muito original; ela efetua apenas duas operações: a adição usual $(+)$ e uma outra operação, denotada por $*$, que satisfaz:
+
+(i) $a * a=a$
+
+(ii) $a * 0=2 a$
+
+(iii) $(a * b)+(c * d)=(a * c)+(b * d)$
+
+Quais são os resultados das operações $(2+3) *(0+3)$ e $1024 * 48$ ?
+
+4. Retângulo $\mathbf{m} \times \mathbf{n}-O$ retângulo quadriculado na figura é feito de 31 segmentos de $0,5 \mathrm{~cm}$ e compreende 12 quadrados. Rosa desenhou numa folha retangular de $21 \mathrm{~cm}$ por $29,7 \mathrm{~cm}$, quadriculada com quadrados de lado $0,5 \mathrm{~cm}$, um grande retângulo quadriculado feito com 1997 segmentos. Quantos quadrados tem esse retângulo?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-06.jpg?height=228&width=301&top_left_y=1339&top_left_x=1432)
+
+5. Cercando o Globo Terrestre - O raio do Globo Terrestre é aproximadamente $6670 \mathrm{~km}$. Suponhamos que um fio esteja ajustado exatamente sobre o Equador, que é um círculo de raio aproximadamente igual a $6670 \mathrm{~km}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-06.jpg?height=236&width=228&top_left_y=1633&top_left_x=1466)
+
+Em seguida, suponhamos que o comprimento do fio seja aumentado em $1 \mathrm{~m}$, de modo que o fio e o Equador fiquem como círculos concêntricos ao redor da Terra. Um homem em pé, uma formiga ou um elefante são capazes de passar por baixo desse fio?
+
+## Lista 6
+
+1. Comprimento de uma corda - Em uma circunferência de raio $10 \mathrm{~cm}$, o segmento $A B$ é um diâmetro e o segmento $A C$ é uma corda de $12 \mathrm{~cm}$. Determine a distância entre os pontos $B$ e $C$.
+2. Dois irmãos - A diferença de idade entre dois irmãos é de 3 anos. Um ano atrás, a idade de seu pai era o dôbro da soma das idades dos irmãos e, dentro de 20 anos, a idade do pai será a soma das idades desses dois filhos. Qual a idade de cada um?
+3. Canelonis de ricota - Todo domingo, Pedro prepara canelonis para o almoço. Primeiro ele corta retângulos de massa de $16 \mathrm{~cm}$ por $12 \mathrm{~cm}$ e depois cola os dois lados mais longos, superpondo uma faixa de $2 \mathrm{~cm}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-07.jpg?height=300&width=505&top_left_y=739&top_left_x=1184)
+
+Dessa forma ele obtém cilindros que ele recheia com ricota, ele já sabe que sempre gasta $500 \mathrm{~g}$ de ricota. Num belo domingo, com o mesmo número de retângulos de massa de $16 \mathrm{~cm}$ por $12 \mathrm{~cm}$, ele decide produzir os cilindros colando os lados menores, sempre superpondo uma faixa de $2 \mathrm{~cm}$. Nessa situação, ele vai gastar mais ou menos ricota que antes? Quanto?
+
+4. Cálculo de segmentos - As medidas do retângulo $A B C D$ são $1200 \mathrm{~m}$ por $150 \mathrm{~m}$. Além disso, $P$ está no prolongamento do lado $B C$ e dista $350 \mathrm{~m}$ de $C$. Determine $A P, P Q, P D, C Q$ e $D P$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-07.jpg?height=404&width=504&top_left_y=1321&top_left_x=1171)
+
+5. Prá chegar junto! - Ana e Luíza treinam todos os dias para a Grande Corrida que vai acontecer no final do ano na escola, cada uma delas sempre com a mesma velocidade. O treino começa num ponto $A$ e termina no ponto $B$, distantes $3000 \mathrm{~m}$. Elas partem no mesmo instante, mas quando Luíza termina a corrida, ainda faltam $120 \mathrm{~m}$ para Ana chegar ao ponto $B$. Ontem Luíza deu uma chance para Ana: "Partimos ao mesmo tempo, mas eu parto alguns metros antes do ponto $A$ para chegarmos juntas." Quantos metros antes do ponto A Luíza deve partir?
+
+## Lista 7
+
+1. Um professor enfurecido - Para castigar os alunos de sua turma por indisciplina, o professor Zerus decidiu descontar da nota mensal de cada aluno uma percentagem igual à nota da prova, isto é: quem tirou 60, terá um desconto de $60 \%$ na nota, quem tirou 20 , um desconto de $20 \%$ da nota, e assim por diante. A nota mensal máxima é 100 .
+
+(a) Quem vai ficar com a maior nota?
+
+(b) E a menor?
+
+(c) Alunos que tiraram boas notas reclamaram que vão ficar com a mesma nota dos que tiraram más notas. Eles estão certos?
+
+2. O percurso de um atleta - Um atleta resolveu fazer uma corrida de $15 \mathrm{~km}$. Começou correndo $5 \mathrm{~km}$ na direção Sul, depois virou para direção Leste, correndo mais $5 \mathrm{~km}$ e, novamente, virou para a direção Norte, correndo os $5 \mathrm{~km}$ restantes. Após esse percurso, constatou, para seu espanto, que estava no ponto de onde havia partido.
+
+Descubra dois possíveis pontos sobre o Globo Terrestre de onde esse atleta possa ter iniciado sua corrida.
+
+3. Áreas iguais - Na figura ao lado, o triângulo $\triangle A B C$ é retângulo e os semicírculos desenhados têm diâmetros $A B, B C$ e $A C$.
+
+Mostre que a área sombreada é igual à área do triângulo $\triangle A B C$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-08.jpg?height=301&width=388&top_left_y=1167&top_left_x=1302)
+
+4. Função definida por área - A função $f$ está definida para cada $y, 0 \leq y<2$, de modo que $f(y)=$ área do quadrilátero sombreado, como indicado na figura abaixo.
+
+(a) Escreva as equações das retas $r$ e $s$.
+
+(b) Determine $f(0)$.
+
+(c) Escreva a expressão de $f(y), 0 \leq y<2$.
+
+(d) Esboce o gráfico de $f(y)$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-08.jpg?height=447&width=499&top_left_y=1625&top_left_x=1171)
+
+5. PA e PG - Determine 4 números distintos $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ e $a_{4}$ que sejam termos consecutivos de uma progressão aritmética e que os números $a_{1}, a_{3}$ e $a_{4}$ formem uma progressão geométrica.
+
+## Lista 8
+
+1. Plano cartesiano - No plano cartesiano, chama-se ponto inteiro a um ponto de coordenadas inteiras. Se $n$ é inteiro positivo, seja $f(n)$ o número de pontos inteiros que estão sobre o segmento que liga a origem ao ponto inteiro $(n, n+3)$, sem contar os extremos. Mostre que:
+
+$$
+f(n)=\left\{\begin{array}{lll}
+2 & \text { se } & n \text { é múltiplo de } 3 \\
+0 & \text { se } & n \text { não é múltiplo de } 3 .
+\end{array}\right.
+$$
+
+2. Trabalhando com quadrilátero - No quadrilátero $A B C D$, tem-se: $A B=5, B C=17, C D=5, D A=9$, e a medida do segmento $D B$ é um inteiro. Determine $D B$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-09.jpg?height=176&width=344&top_left_y=752&top_left_x=1357)
+
+3. O triângulo de Reuleaux - O triângulo de Reuleaux é um disco formado a partir de um triângulo equilátero, agregando arcos de circunferência com centros nos vértices do triângulo e raios iguais ao lado do triângulo.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-09.jpg?height=233&width=242&top_left_y=973&top_left_x=1470)
+
+Qual é a área de um triângulo de Reuleaux, se o triângulo equilátero tem lado de medida $1 \mathrm{~cm}$ ?
+
+4. Interseção entre circunferências - Com centros nos vértices do triângulo equilátero $\triangle A B C$ de lado $a$, foram desenhadas três circunferências de raio $r$.
+
+Se $r<a$ e $2 r>a$, estas três circunferências são duas a duas concorrentes nos pontos $X, Y$ e $Z$, exteriores ao triângulo $\triangle A B C$. Mostre que $\triangle X Y Z$ é um triângulo equilátero e calcule o comprimento do seu lado em termos de $a$ e $r$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-09.jpg?height=441&width=467&top_left_y=1319&top_left_x=1268)
+
+5. Valor máximo - Para qual número natural $k$ a expressão $\frac{k^{2}}{1,001^{k}}$ atinge seu maior valor?
+
+## Lista 9
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+1. Moedas falsas - Aladim tem 10 sacos de moedas, onde cada saco tem somente moedas verdadeiras ou moedas falsas. Cada moeda verdadeira pesa $10 \mathrm{~g}$ e cada moeda falsa pesa $9 \mathrm{~g}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-10.jpg?height=274&width=274&top_left_y=378&top_left_x=1381)
+
+(a) Suponhamos que em cada saco existam exatamente 10 moedas e somente um dos sacos é de moedas falsas. Utilizando uma balança e efetuando apenas uma pesagem, como Aladim deve proceder para descobrir qual é o saco das moedas falsas?
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+(b) Suponhamos que os sacos estejam cheios de moedas e que Aladim não saiba quantos destes sacos são de moedas falsas. Como pode ele identificar os sacos que têm moedas falsas com apenas uma pesagem?
+
+2. Menor inteiro - Sejam $p$ e $q$ inteiros positivos tais que $\frac{5}{8}<\frac{p}{q}<\frac{7}{8}$. Qual é o menor valor de $p$ para que $p+q=2005$ ?
+3. Mais áreas... - Um triângulo tem vértice $A=(3,0), B=(0,3)$ e $C$, onde $C$ está sobre a reta $x+y=7$. Qual é a área do triângulo?
+4. Circunferências tangentes - Três circunferências de raios $1 \mathrm{~cm}, 2 \mathrm{~cm}$ e $3 \mathrm{~cm}$ são duas a duas tangentes exteriormente, como na figura ao lado.
+
+Determine o raio da circunferência tangente exteriormente às três circunferências.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-10.jpg?height=420&width=415&top_left_y=1302&top_left_x=1321)
+
+5. Soma finita - Cada um dos números $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2004}$ pode ser igual a $\sqrt{2}-1$ ou a $\sqrt{2}+1$. Quantos valores inteiros distintos a soma
+
+$$
+\sum_{k=1}^{2004} x_{2 k-1} x_{2 k}=x_{1} x_{2}+x_{3} x_{4}+x_{5} x_{6}+\cdots+x_{2003} x_{2004}
+$$
+
+pode assumir?
+
+## Lista 10
+
+1. Múltiplos - Seja $a$ um número inteiro positivo tal que $a$ é múltiplo de $5, a+1$ é múltiplo de $7, a+2$ é múltiplo de 9 e $a+3$ é múltiplo de 11 . Determine o menor valor que $a$ pode assumir.
+2. Equação de duas variáveis - Determine todos os pares de inteiros $(x, y)$ tais que $9 x y-x^{2}-8 y^{2}=2005$.
+3. Trapézio retângulo - Seja $A B C D$ um trapézio retângulo de bases $A B$ e $C D$, com ângulos retos em $A$ e $D$. Dado que a diagonal menor $B D$ é perpendicular ao lado $B C$, determine o menor valor possível para a razão $\frac{C D}{A D}$.
+4. Jogos de futebol - Os doze alunos de uma turma de olimpíada saíam para jogar futebol todos os dias após a aula de matemática, formando dois times de 6 jogadores cada e jogando entre si. A cada dia eles formavam dois times diferentes dos times formados em dias anteriores. Ao final do ano, eles verificaram que cada 5 alunos haviam jogado juntos num mesmo time exatamente uma vez. Quantos times diferentes foram formados ao longo do ano?
+5. A soma dos algarismos de um número - Denotemos por $s(n)$ a soma dos algarismos do número $n$. Por exemplo $s(2345)=2+3+4+5=14$. Observemos que:
+
+$40-s(40)=36=9 \times 4 ; 500-s(500)=495=9 \times 55 ; 2345-s(2345)=2331=9 \times 259$.
+
+(a) O que podemos afirmar sobre o número $n-s(n)$ ?
+
+(b) Usando o item anterior calcule $s\left(s\left(s\left(2^{2009}\right)\right)\right.$ ).
+
+SugESTÃO: Mostre que o número procurado é menor do que 9.
+
+## Soluções do Nível 3
+
+## Lista 1
+
+1. Brincando com a calculadora - $\mathrm{O}$ resultado é o mesmo número inicial de 3 algarismos $a b c$. De fato, se $a b c$ é um número de 3 algarismos então o número $a b c a b c$ de 6 algarismos é da forma:
+
+$$
+a b c a b c=1000 a b c+a b c=1001 a b c
+$$
+
+Como $1001=7 \times 11 \times 13$, dividindo $a b c a b c$, sucessivamente, por 7 , 11 e por 13 , obtemos:
+
+$$
+\frac{a b c a b c}{7 \times 11 \times 13}=\frac{1001 a b c}{7 \times 11 \times 13}=a b c
+$$
+
+2. No galinheiro - Sejam $x$ e $y$, respectivamente, o número de galinhas e pintinhos no galinheiro.
+
+(a) Temos $4 x+2 y=240$, ou seja, $2 x+y=120$.
+
+Como, $8 \mathrm{~kg}=8000 \mathrm{~g}$ temos: $160 x+40 y \leq 8000$. Assim, $4 x+y \leq 200$. Em resumo, o número $x$ de galinhas e $y$ de pintinhos satisfazem:
+
+$$
+(*)\left\{\begin{array}{l}
+2 x+y=120 \\
+4 x+y \leq 200
+\end{array}\right.
+$$
+
+(b) A reta $2 x+y=120$ corta o eixo $O x$ em $x=60$ e o eixo $O y$ em $y=120$.
+
+A reta $4 x+y=200$ corta o eixo $O x$ em $x=50$ e o eixo $O y$ em $y=200$. Os gráficos dessas retas estão abaixo, onde a desigualdade $4 x+y \leq 200$ é representada pela região sombreada.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-12.jpg?height=502&width=1352&top_left_y=1641&top_left_x=343)
+
+Observe que a condição $(*)$ é representada na figura pelo segmento que liga os pontos $P$ e $(0,120)$. As coordenadas do ponto $P$ são a solução do sistema:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& \qquad\left\{\begin{array}{l}
+2 x+y=120 \\
+4 x+y=200
+\end{array}\right. \\
+& \text { ou seja, } x=40 \text { e } y=40, \text { e } \\
+& P=(40,40)
+\end{aligned}
+$$
+
+(c) Temos que $2 \times 20+80=120$ e $4 \times 20+80 \leq 200$. Logo, $x=20$ e $y=80$ satisfazem a condição $\left({ }^{*}\right)$ e, por isso, a resposta é sim.
+
+Agora $2 \times 30+100 \neq 120$, logo, $x=30$ e $y=100$ não satisfazem a condição (*) e, por isso, a resposta é não.
+
+(d) O número máximo de galinhas é 40 , e nesse caso teremos também 40 pintinhos. $\mathrm{O}$ número máximo de pintinhos é 120 , e nesse caso teremos 0 galinhas.
+
+3. Um número perfeito - Se $2^{31}-1$ é um número primo, seu único divisor próprio é o número 1. Então os divisores próprios de $2^{30}\left(2^{31}-1\right)$ são:
+
+$$
+1,2,2^{2}, 2^{3}, \ldots, 2^{29}, 2^{30},\left(2^{31}-1\right), 2\left(2^{31}-1\right), 2^{2}\left(2^{31}-1\right), \ldots, 2^{29}\left(2^{31}-1\right)
+$$
+
+A soma $S$ desses divisores é:
+
+$$
+S=\left[1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{29}+2^{30}\right]+\left(2^{31}-1\right)\left[1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{29}\right]
+$$
+
+Em cada um dos dois colchetes aparece a soma $S_{n}$ de uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 1 e razão 2 .
+
+O primeiro colchete, $S_{31}$, contém 31 termos e o segundo, $S_{30}$, contém 30 termos. Usando a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, temos:
+
+$$
+S_{31}=\frac{2^{31}-1}{2-1}=2^{31}-1 \quad \text { e } \quad S_{30}=\frac{2^{30}-1}{2-1}=2^{30}-1
+$$
+
+Então a soma dos divisores próprios de $2^{30}\left(2^{31}-1\right)$ é :
+
+$$
+S=\left(2^{31}-1\right)+\left(2^{31}-1\right)\left[2^{30}-1\right]=\left(2^{31}-1\right)\left(1+2^{30}-1\right)=2^{30}\left(2^{31}-1\right)
+$$
+
+Logo, essa soma é igual a $2^{30}\left(2^{31}-1\right)$, como queríamos provar.
+
+## 4. Quinze minutos a mais -
+
+Solução 1: Sabemos que espaço $=$ velocidade $\times$ tempo. Denotemos por $t \circ$ tempo gasto pelo carro menos rápido (aquele que faz a viagem com velocidade de $60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ). Logo, o tempo gasto pelo outro carro foi $t-15$. Como ambos percorrem a mesma distância, convertendo horas em minutos, segue que:
+
+$$
+\frac{60}{60} \times t=\frac{70}{60} \times(t-15) \Rightarrow t=105 \min =1 \frac{3}{4} \mathrm{~h}
+$$
+
+Logo, a distância entre as duas cidades é:
+
+$$
+60 \times 1 \frac{3}{4}=60 \times \frac{7}{4}=105 \mathrm{~km}
+$$
+
+Solução 2: Vamos representar por $d$ a distância entre as cidades $\mathrm{A}$ e B, e por $T$ o tempo gasto, em horas, pelo carro mais veloz. Como o outro carro gasta 15 minutos a mais para fazer o mesmo percurso, temos que o tempo gasto por ele é igual a $T+0,25$ horas, pois $15 \mathrm{~min}=0,25 \mathrm{~h}$.
+
+Como a velocidade é a razão da distância percorrida pelo tempo gasto, concluímos que $70=\frac{d}{T}$ e $60=\frac{d}{T+0,25}$. Daí segue que $d=70 T=60(T+0,25)$, ou seja, $T=1,5 \mathrm{~h}$. Logo, $d=70 \times 1,5=105 \mathrm{~km}$.
+
+5. Outros caminhos - Qualquer que seja a maneira que Júlia caminhe da sua casa até a escola, ela deve percorrer 8 quarteirões para a direita e 5 quarteirões para cima. Um caminho ligando a sua casa até a escola é então uma sequência de "travessias de
+quarteirões", sendo 8 no sentido horizontal (para a direita) e 5 no sentido vertical (para cima). Assim, para definir um caminho ela precisa apenas decidir em que ordem fará essas travessias.
+
+Desse modo, imaginemos 8 cartelas impressas com a letra D e 5 cartelas impressas com a letra C. Uma permutação qualquer destas cartelas pode ser interpretada como um caminho a ser percorrido por Júlia. Por exemplo, a sequência de cartelas DDCDCCDDDDCDC define o seguinte caminho:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-14.jpg?height=466&width=721&top_left_y=683&top_left_x=672)
+
+Para determinar o número de maneiras que se pode ordenar essas cartelas, devemos contar de quantas maneiras diferentes se pode colocar 5 cartelas impressas com a letra C em uma fila com 13 lugares vagos e os demais 8 lugares na fila ocupados com as cartelas impressas com a letra D.
+
+Inicialmente, devemos escolher um dos 13 lugares vagos para colocar uma letra C. Colocada esta letra, sobram 12 lugares vagos para a segunda letra C. Colocada esta letra, sobram 11 lugares vagos para a terceira letra, 10 lugares para a quarta letra e, finalmente, 9 lugares para a quinta letra C. Agora, uma vez colocadas as cinco letras C, qualquer permutação dessas letras entre si não altera a distribuição das letras na fila. Como a quantidade de permutações de cinco objetos é $5!=120$, pelo princípio multiplicativo temos que o número de maneiras de ordenar as 13 cartelas é
+
+$$
+\frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{120}=1287
+$$
+
+## Lista 2
+
+1. Escrevendo em um tabuleiro - Começando com a letra A, ela pode ser escrita em qualquer uma das 9 casas do tabuleiro. Uma vez escrita a letra $\mathbf{A}$, sobram 6 casas onde a letra B pode ser escrita. Uma vez escritas as letras $\mathbf{A}$ e B no tabuleiro, sobram 3 casas para a letra $\mathbf{C}$ ser escrita.
+
+Assim, pelo princípio multiplicativo, existem $9 \times 6 \times 3=162$ maneiras diferentes das letras $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ e $\mathbf{C}$ serem escritas no tabuleiro.
+
+| A | C | B |
+| :--- | :--- | :--- |
+| C | B | A |
+| B | A | C |
+
+2. Fração e porcentagem - A opção correta é (D).
+
+Se um número $x$ é diminuído de $40 \%$, ele passa a valer $60 \%$ de $x$, ou seja: $0,6 x$. Do mesmo modo, quando um número $y$ é diminuído de $60 \%$, ele passa a valer $0,4 y$. Portanto, a fração $\frac{x}{y}$ passa a ter o valor $\frac{0,6 x}{0,4 y}=\frac{6}{4} \frac{x}{y}=1,5 \frac{x}{y}$. Isto significa que a fração $\frac{x}{y}$ aumentou $50 \%$ do seu valor.
+
+3. Triângulos sobrepostos - Os pontos $A, B, C$ e $D$ formam o retângulo $A B C D$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-15.jpg?height=282&width=504&top_left_y=1277&top_left_x=781)
+
+Como as diagonais de um retângulo o dividem em quatro triângulos de mesma área, a área sombreada é igual a três quartos da área do retângulo $A B C D$. Portanto, a área sombreada é igual a $\frac{3}{4}(7 \times 4)=21 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+Vejamos agora o caso da outra figura. Sejam $E$ o ponto de interseção dos segmentos $A C$ e $B D, x=D E=C E$ e $y=A E=B E$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-15.jpg?height=265&width=510&top_left_y=1911&top_left_x=775)
+
+A área sombreada é a soma das áreas dos triângulos $A D E$ e $A B C$, ou seja:
+
+$$
+\frac{4 \times x}{2}+\frac{4 \times 7}{2}=2 x+14
+$$
+
+Logo, basta calcularmos $x$. Temos que $x+y=7$ e, pelo Teorema de Pitágoras aplicado
+ao triângulo $A E D, y^{2}=x^{2}+4^{2}$. Substituindo $y=7-x$ nessa última equação obtemos:
+
+$$
+(7-x)^{2}=x^{2}+16 \Rightarrow 49-14 x+x^{2}=x^{2}+16 \Rightarrow x=\frac{49-16}{14}=\frac{33}{14}
+$$
+
+Finalmente, a área sombreada é:
+
+$$
+2 \times \frac{33}{14}+14=\frac{33}{7}+14=4 \frac{5}{7}+14=18 \frac{5}{7} .
+$$
+
+4. Dois motoristas - Seja $d$ a distância entre as cidades $\mathrm{A}$ e B, e lembre que tempo $=$ distância $/$ velocidade.
+
+- O primeiro motorista viaja a distância de $2 d$ com velocidade constante igual a $80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Logo, o tempo total gasto por ele é:
+
+$$
+t=\frac{2 d}{80}=\frac{d}{40}
+$$
+
+- O segundo motorista percorre a distância $d$, na ida, com velocidade igual a $90 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ e, na volta, a mesma distância com velocidade de $70 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Logo o tempo gasto na ida e volta é:
+
+$$
+t^{\prime}=\frac{d}{70}+\frac{d}{90}=\frac{16 d}{630}=\frac{8 d}{315}
+$$
+
+Como
+
+$$
+\frac{d}{40}=\frac{8 d}{320}<\frac{8 d}{315}
+$$
+
+conclui-se que o motorista que viaja com velocidade constante de $80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ é o que gasta menos tempo no percurso de ida e volta.
+
+5. Soma e inverte - Para obter 0 , a sequência tem de terminar como:
+
+$$
+-2 \xrightarrow{+1}-1 \xrightarrow{+1} 0
+$$
+
+Uma sequência pedida é a seguinte:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 0 \xrightarrow{+1} 1 \xrightarrow{+1} 2 \xrightarrow{+1} 3 \xrightarrow{-i}-\frac{1}{3} \xrightarrow{+1} \frac{2}{3} \xrightarrow{+1} \frac{5}{3} \xrightarrow{+1} \frac{8}{3} \xrightarrow{-i}-\frac{3}{8} \xrightarrow{+1} \frac{5}{8} \xrightarrow{+1} \frac{13}{8} \xrightarrow{+1} \frac{21}{8} \\
+& \xrightarrow{-i}-\frac{8}{21} \xrightarrow{+1} \frac{13}{21} \xrightarrow{-i}-\frac{21}{13} \xrightarrow{+1}-\frac{8}{13} \xrightarrow{+1} \frac{5}{13} \xrightarrow{-i}-\frac{13}{5} \xrightarrow{+1}-\frac{8}{5} \xrightarrow{+1}-\frac{3}{5} \xrightarrow{+1} \frac{2}{5} \\
+& \xrightarrow{-i}-\frac{5}{2} \xrightarrow{+1}-\frac{3}{2} \xrightarrow{+1}-\frac{1}{2} \xrightarrow{+1} \frac{1}{2} \xrightarrow{-i}-2 \xrightarrow{+1}-1 \xrightarrow{+1} 0 .
+\end{aligned}
+$$
+
+Temos outra solução bem mais rápida e simples:
+
+$$
+0 \xrightarrow{+1} 1 \xrightarrow{-i}-1 \xrightarrow{+1} 0 .
+$$
+
+## Lista 3
+
+## 1. Carro flex -
+
+(a) Com gasolina o carro faz $\frac{12,3}{2,49}=4,94 \mathrm{~km}$ por $\mathrm{R} \$ 1,00$. Para que o álcool seja mais vantajoso precisamos que o carro rode, com álcool, mais que $4,94 \mathrm{~km}$ com $\mathrm{R} \$ 1,00$. Logo, se o desempenho com álcool é $y \mathrm{~km} / \mathrm{I}$, precisamos que $\frac{y}{1,59}>4,94$, o que implica $y>7,85$. Ou seja, o desempenho com álcool deve ser maior que $7,85 \mathrm{~km} / \mathrm{I}$.
+
+(b) Observe que $g(x)=2,49 \frac{100}{x}=\frac{249}{x}$ e $a(x)=1,59 \frac{100}{\frac{x}{2}+1}=\frac{318}{x+2}$.
+
+(c) Precisamos ter $a(x)=g(x)$, ou seja, $\frac{249}{x}=\frac{318}{x+2}$, o que leva a $x=7,22 \mathrm{~km} / \mathrm{l}$, que deve ser o desempenho com gasolina. Com álcool, o carro deve fazer
+
+$$
+\frac{7,22}{2}+1=3,61 \mathrm{~km} / \mathrm{l}
+$$
+
+(d) Supondo que o desempenho do carro seja $x \mathrm{~km} / \mathrm{I}$ com gasolina e $y \mathrm{~km} / \mathrm{I}$ com álcool e pensando em um percurso de $L \mathrm{~km}$, devemos ter o custo com gasolina maior que o custo com álcool:
+
+$$
+2,49 \frac{L}{x}>1,59 \frac{L}{y} \Rightarrow 2,49 y>1,59 x \Rightarrow y>0,64 x
+$$
+
+pois $x$ e $y$ são valores positivos.
+
+Um exemplo é um carro que faz $10 \mathrm{~km} / \mathrm{I}$ com gasolina, teria que fazer mais que $6,4 \mathrm{~km} / \mathrm{I}$ com álcool para que o uso do álcool seja mais vantajoso.
+
+Observação. Os valores determinados na solução foram aproximados na segunda casa decimal.
+
+2. Contando triângulos - Sejam $A, B, \ldots, K$ os 11 pontos nomeados como na seguinte figura:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-17.jpg?height=309&width=509&top_left_y=1819&top_left_x=732)
+
+Dividiremos a contagem em três casos:
+
+(i) Um vértice é $A$. Neste caso, um vértice do triângulo deve estar no conjunto $\{H, I, J, K\}$ e o outro vértice no conjunto $\{B, C, D, E, F, G\}$. Como existem 4 escolhas para um vértice e 6 escolhas para o outro vértice, a quantidade de triângulos com um vértice no ponto $A$ é: $6 \times 4=24$.
+(ii) Dois vértices em $\{B, C, D, E, F, G\}$. O outro vértice está no conjunto $\{H, I, J, K\}$, pois já contamos os triângulos com vértice em $A$. Devemos escolher dois entre os 6 pontos $\{B, C, D, E, F, G\}$. Assim, temos a quantidade de escolhas:
+
+$$
+C_{6}^{2}=\frac{6!}{4!2!}=\frac{6 \times 5}{2}=15
+$$
+
+O outro vértice do triângulo é qualquer um dos 4 pontos $\{H, I, J, K\}$. Daí a quantidade de triângulos é $4 \times 15=60$.
+
+(iii) Dois vértices em $\{H, I, J, K\}$. O outro vértice está no conjunto $\{B, C, D, E, F, G\}$. O número de maneira de escolher 2 entre os 4 pontos $\{H, I, J, K\}$ é
+
+$$
+C_{4}^{2}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 \times 3}{2}=6
+$$
+
+Como o outro vértice pode ser escolhido de 6 maneira diferentes, temos que a quantidade de triâgulos é $6 \times 6=36$.
+
+Logo, a quantidade de triângulos cujos vértices são tomados dentre os 11 pontos da figura é $24+60+36=120$.
+
+3. Quadrado perfeito - Seja $x$ um número de oito algarismos da forma
+
+$$
+x=9999 * * * *
+$$
+
+Como o menor desses números é 99990000 e o maior é 99999 999, temos que:
+
+$$
+99990000 \leq x \leq 99999999
+$$
+
+Observemos que $10^{8}=100000000=99999999+1$. Então $99990000 \leq x<10^{8}$. Como $10^{8}=\left(10^{4}\right)^{2}=10000^{2}$, temos que $99990000 \leq x<10000^{2}$. Agora, o maior quadrado perfeito menor que $10000^{2}$ é igual a
+
+$9999^{2}=(10000-1)^{2}=10000^{2}-20000+1=100000000-20000+1=99980001$.
+
+Como $99980001<99990000$ concluímos que $9999^{2}<x<10000^{2}$. Isto mostra que $x$ está compreendido entre dois quadrados perfeitos consecutivos. Portanto, $x$ não pode ser um quadrado perfeito.
+
+4. Diferença quase nula - $\mathrm{A}$ inequação $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}<0,01$ é equivalente a $\sqrt{n}<0,01+\sqrt{n-1}$. Como os dois lados desta inequação são números positivos, podemos elevar esses dois membros ao quadrado para obter a inequação equivalente:
+
+$$
+(\sqrt{n})^{2}<(0,01+\sqrt{n-1})^{2} \Leftrightarrow n<0,01^{2}+0,02 \sqrt{n-1}+n-1
+$$
+
+Daí obtemos
+
+$$
+\sqrt{n-1}>\frac{1-0,01^{2}}{0,02}=\frac{1-\frac{1}{100^{2}}}{\frac{2}{100}}=\frac{100^{2}-1}{200}
+$$
+
+Elevando novamente ao quadrado os dois lados (não negativos) desta inequação, obtemos:
+
+$$
+n-1>\frac{\left(100^{2}-1\right)^{2}}{200^{2}}=\frac{100^{4}-2 \times 100^{2}+1}{4 \times 100^{2}}=\frac{100^{2}}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4 \times 100^{2}}
+$$
+
+ou seja,
+
+$n-1>2500-\frac{1}{2}+\frac{1}{40000} \Leftrightarrow n>2500-\frac{1}{2}+\frac{1}{40000}+1 \Leftrightarrow n>2500+\frac{1}{2}+\frac{1}{40000}$.
+
+Uma vez que $\frac{1}{2}+\frac{1}{40000}<1$, temos que o menor número inteiro maior que $2500+\frac{1}{2}+\frac{1}{40000}$ é 2501 .
+
+Daí concluímos que o menor número inteiro positivo que satisfaz a desigualdade dada é o número 2501 .
+
+## 5. Conjunto de Cantor -
+
+(a) De acordo com a definição do Conjunto de Cantor temos os seguintes desenhos:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-19.jpg?height=225&width=721&top_left_y=1161&top_left_x=672)
+
+(b) $1 / 3$ é um extremo de $C_{2}$, logo pertence ao conjunto de Cantor.
+
+$3 / 81=1 / 27$ e $1 / 27$ é um extremo de $C_{4}$, logo $3 / 81$ pertence ao conjunto de Cantor.
+
+$4 / 9$ está entre $1 / 3$ e $2 / 3$, logo está no terço central de $C_{1}$ e é removido de $C_{2}$, logo $4 / 9$ não pertence ao conjunto de Cantor.
+
+$4 / 81$ está entre $1 / 27$ e $2 / 27$, e portanto está no terço central de $C_{3}$ e é removido de $C_{4}$. Assim, $4 / 81$ não pertence ao conjunto de Cantor.
+
+(c) Vamos tentar achar um padrão para os comprimentos dos segmentos. Por exemplo, $C_{1}$ tem comprimento 1 e $C_{2}$ tem comprimento $2 / 3$. Será que isso já fornece um padrão, ou seja o numerador é obtido multiplicando por 2 e o denominador por 3 , ou seja por $2 / 3$ ?
+
+Agora $C_{3}$ tem comprimento $4 / 9, C_{4}$ comprimento $8 / 27$ e $C_{5}$ comprimento $16 / 81$. Logo, o comprimento de $C_{n}$ é $\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$
+
+Note que os comprimentos de $C_{1}, C_{2}, C_{3}, \ldots, C_{n}, \ldots$, formam uma progressão geométrica de razão $q=2 / 3$ e primeiro termo $a_{1}=1$.
+
+$$
+1, \frac{2}{3},\left(\frac{2}{3}\right)^{2},\left(\frac{2}{3}\right)^{3},\left(\frac{2}{3}\right)^{4}, \ldots,\left(\frac{2}{3}\right)^{n}, \ldots
+$$
+
+## Lista 4
+
+1. Enchendo uma piscina - Como as torneiras A e B despejam água na piscina com vazão constante, o volume de água despejado na piscina por cada torneira é proporcional ao tempo em que ela fica aberta. Assim, se durante 2 horas a torneira A enche $15 \%$ do volume da piscina, então em 4 horas ela encherá $30 \%$ do volume da piscina.
+
+Mas, quando as torneiras $\mathrm{A}$ e $\mathrm{B}$ ficam simultaneamente abertas durante 4 horas, elas conseguem encher $50 \%$ do volume da piscina. Daí temos que a torneira B enche $50 \%-30 \%=20 \%$ do volume da piscina em 4 horas.
+
+Para saber quanto tempo a torneira B deve ficar aberta para encher os $35 \%$ restantes do volume da piscina, basta utilizar a proporção:
+
+$$
+\begin{array}{ccc}
+\text { horas } & \rightarrow & \text { percentual } \\
+4 & \rightarrow & 20 \% \\
+x & \rightarrow & 35 \%
+\end{array}
+$$
+
+Logo, a torneira B gastará $x=\frac{35 \times 4}{20}=7$ horas para encher os $35 \%$ restantes.
+
+2. Probabilidade de ser um número par - Sejam $a$ e $b$ os números escritos nas bolas retiradas por José e Maria, respectivamente. Existem então 9 possibilidades para $a$ e 8 possibilidades para $b$. Deste modo, existem $9 \times 8=72$ possibilidades para o número $a b$.
+
+Por outro lado, para contar quantos destes números são pares, precisamos analisar separadamente dois casos:
+
+- os números $a$ e $b$ são pares;
+- o número $a$ é ímpar e o número $b$ é par.
+
+No primeiro caso, em que $a$ e $b$ são pares, existem 4 possibilidades para $a$ e 3 possibilidades para $b$. Deste modo, existem $4 \times 3=12$ possibilidades.
+
+No segundo caso, em que $a$ é ímpar e $b$ é par, existem 5 possibilidades para $a$ e 4 possibilidades para $b$. Assim, existem $5 \times 4=20$ possibilidades.
+
+Portanto, a probabilidade do número $a b$ ser par é $\frac{12+20}{72}=\frac{32}{72}=\frac{4}{9}$.
+
+3. Múltiplo de 7 - Inicialmente, observemos que:
+
+$$
+\begin{aligned}
+N & =(n+6 m)(2 n+5 m)(3 n+4 m) \\
+& =(n+7 m-m)(2 n+7 m-2 m)(3 n+7 m-3 m) \\
+& =(n-m+7 m)[2(n-m)+7 m][3(n-m)+7 m] \\
+& =(k+7 m)(2 k+7 m)(3 k+7 m)
+\end{aligned}
+$$
+
+onde $k=n-m$.
+
+Afirmamos que se $N$ é múltiplo de 7 , então $k$ é múltiplo de 7 . De fato, como 7 é primo e divide $N$, então um dos fatores $k+7 m, 2 k+7 m$ ou $3 k+7 m$ é múltiplo de 7 . Temos:
+(i) Se $k+7 m$ é múltiplo de 7 , então $\frac{k+7 m}{7}=\frac{k}{7}+m$ é inteiro, logo $k$ é múltiplo de 7 . Segue que $2 k$ e $3 k$ também são múltiplos de 7 e portanto os três fatores $k+7 m, 2 k+7 m$ e $3 k+7 m$ são múltiplos de 7 . Concluímos que $N$ é múltiplo de $7^{3}$.
+
+(ii) Se $2 k+7 m$ é múltiplo de 7 , então $\frac{2 k+7 m}{7}=\frac{2 k}{7}+m$ é inteiro, logo $2 k$ é múltiplo de 7 . Como 2 e 7 são primos entre si, segue que $k$ é múltiplo de 7 , o que leva ao caso anterior.
+
+(iii) Se $3 k+7 m$ é múltiplo de 7 , analogamente concluímos que $k$ é múltiplo de 7 .
+
+4. Os ângulos $15^{\circ}$ e $\mathbf{7 5 ^ { \circ }}$ - Uma vez que $D B$ é diagonal do quadrado de lado $1 \mathrm{~cm}$, pelo Teorema de Pitágoras, temos que $D B^{2}=1^{1}+1^{2}$ implica $D B=\sqrt{2}$.
+
+Recordemos que:
+
+$$
+\begin{array}{ll}
+\cos 60^{\circ}=\operatorname{sen} 30^{\circ}=\frac{1}{2} ; & \operatorname{sen} 60^{\circ}=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
+\tan 60^{\circ}=\frac{\operatorname{sen} 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}}=\sqrt{3} ; & \tan 30^{\circ}=\frac{\operatorname{sen} 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{3}
+\end{array}
+$$
+
+(a) O triângulo $B C E$ é equilátero, logo seus ângulos internos valem $60^{\circ}$. A partir dessa informação obtemos os ângulos assinalados na figura.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-21.jpg?height=507&width=848&top_left_y=1389&top_left_x=606)
+
+No $\triangle C D F$ temos: $\operatorname{sen} 60^{\circ}=\frac{C D}{D F}=\frac{1}{D F}$. Como sen $60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, temos:
+
+$$
+\frac{1}{D F}=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow D F=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}
+$$
+
+Ainda no $\triangle C D F$ temos: $\cos 60^{\circ}=\frac{C F}{D F}=\frac{C F}{2 \sqrt{3} / 3}$. Como $\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$, temos:
+
+$$
+\frac{1}{2}=\frac{C F}{2 \sqrt{3} / 3} \Rightarrow C F=\frac{\sqrt{3}}{3}
+$$
+
+Segue que $B F=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Temos agora:
+
+- $\operatorname{sen} 30^{\circ}=\frac{F N}{B F} \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{F N}{1-\sqrt{3} / 3} \Rightarrow F N=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$
+- $\cos 30^{\circ}=\frac{B N}{B F} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{B N}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} \Rightarrow B N=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
+
+Assim, calculamos os três lados do triângulo $\triangle D B N$ :
+
+- $D B=\sqrt{2}$;
+- $D N=D F+F N=\frac{2 \sqrt{3}}{3}+\frac{3-\sqrt{3}}{6}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$;
+- $B N=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
+
+(b) No $\triangle D B N$ temos: $D \widehat{B} N=45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}$, donde concluímos que $B \widehat{D} N=15^{\circ}$. Assim temos:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-22.jpg?height=488&width=355&top_left_y=1412&top_left_x=359)
+
+$$
+\begin{aligned}
+& \cos 75^{\circ}=\frac{B N}{D B}=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
+& \cos 15^{\circ}=\frac{D N}{D B}=\frac{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
+\end{aligned}
+$$
+
+Comosen $15^{\circ}=\cos 75^{\circ}$ e $\cos 15^{\circ}=\operatorname{sen} 75^{\circ}$, o exercício está completo.
+
+## 5. Circunfências tangentes -
+
+(a) Na figura estão desenhadas as duas circunferências concêntricas, de raios $r$ e $R$, e uma circunferência de raio $x$ simultaneamente tangente a essas duas. Logo, temos:
+
+$r+2 x=R$ donde, $x=\frac{R-r}{2}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-22.jpg?height=355&width=374&top_left_y=2094&top_left_x=1342)
+(b) Na figura ao lado temos 2 circunferências tangentes de raio $x$, e também tangentes às 2 circunferências concêntricas de raio $r$ e $R$. Os pontos $A, B$ e $C$ são os centros destas circunferências.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-23.jpg?height=372&width=377&top_left_y=291&top_left_x=1340)
+
+Para traçar 12 circunferências de raio $x$ na região entre as 2 circunferências concêntricas, deve-se ter $A \widehat{C} B=\frac{360^{\circ}}{12}=30^{\circ}$.
+
+Se $T$ é o ponto de tangência das circunferências de raio $x, T$ é ponto médio do segmento $A B$ e $A \widehat{C} T=15^{\circ}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-23.jpg?height=228&width=441&top_left_y=862&top_left_x=1254)
+
+Nesse triângulo retângulo temos $\operatorname{sen} 15^{\circ}=\frac{A T}{A C}=\frac{x}{r+x}$. Mas $x=\frac{R-r}{2}$ e, do problema anterior, sen $15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. Daí concluímos que
+
+$$
+\frac{R-r}{R+r}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} .
+$$
+
+Dividindo por $r$ o numerador e o denominador do membro esquerdo dessa igualdade encontramos
+
+$$
+\frac{\frac{R}{r}-1}{\frac{R}{r}+1}=\frac{q-1}{q+1}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}, \text { onde } q=\frac{R}{r}
+$$
+
+Segue que
+
+$$
+q=\frac{R}{r}=\frac{4+\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4-\sqrt{6}+\sqrt{2}}
+$$
+
+## Lista 5
+
+1. Mudando a base - Em um triângulo isósceles, a altura relativa à base coincide com a mediana. Traçando esta altura, obtemos dois triângulos retângulos com catetos medindo $h$ e 5 , e hipotenusa 13. Pelo Teorema de Pitágoras temos:
+
+$$
+h^{2}+5^{2}=13^{2} \Rightarrow h^{2}=13^{2}-5^{2}=144 \Rightarrow h=\sqrt{144}=12
+$$
+
+Logo a área do triângulo é $A=\frac{b \times h}{2}=\frac{10 \times 12}{2}=60 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+Vamos agora "colar" os 2 triângulos retângulos ao longo do lado medindo 5 , obtendo um triângulo isósceles com base $12+12=24 \mathrm{~m}$, os lados com $13 \mathrm{~cm}$ e a altura relativa a base igual a $5 \mathrm{~cm}$. Logo, este novo triângulo isósceles tem também área igual a $\frac{24 \times 5}{2}=60 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-24.jpg?height=464&width=200&top_left_y=722&top_left_x=1518)
+
+2. Clube de Matemática - Sejam $H$ e $M$ os números de homens e mulheres, respectivamente, no clube. Temos duas possibilidades: Se eu sou menino, temos $M=H-1$. Quando falta um menino, o número total de pessoas no clube é
+
+$$
+M+H-1=H-1+H-1=2 H-2
+$$
+
+Logo:
+
+$$
+M=\frac{3}{4}(2 H-2) \Rightarrow H-1=\frac{3}{4}(2 H-2) \Rightarrow H=1
+$$
+
+Logo, $M=1-1=0$, o que não é possível. Logo eu sou uma menina, então $M=H+1$ e temos
+
+$$
+H+1=\frac{3}{4}(2 H+1-1) \Rightarrow H=2 \text { e } M=3
+$$
+
+3. Uma calculadora diferente - Para calcular $(2 * 3)+(0 * 3)$ utilizamos as propriedades (i), (ii) e (iii). Então
+
+$$
+\begin{aligned}
+& (2 * 3)+(0 * 3) \quad \stackrel{(\mathrm{iii})}{=} \quad(2 * 0)+(3 * 3) \\
+& \text { (i) (ii) } 2 \times 2+3=7 \text {. }
+\end{aligned}
+$$
+
+Para calcular $1024 * 48$, observe que $1024=976+48$. Temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+1024 * 48 & =(976+48) *(0+48) \\
+& =(976 * 0)+(48 * 48) \\
+& =976 \times 2+48 \\
+& =1952+48=2000
+\end{aligned}
+$$
+
+4. Retângulo $\mathbf{m} \times \mathbf{n}-$ Sejam $m$ e $n$ respectivamente, o número de segmentos de $0,5 \mathrm{~cm}$ sobre dois lados consecutivos do retângulo. Sabemos que o número total de segmentos de $0,5 \mathrm{~cm}$ na divisão do retângulo em $m \times n$ quadrados de lado $0,5 \mathrm{~cm}$ é: $m(n+1)+n(m+1)$ (prove isso). Assim,
+
+$$
+m(n+1)+n(m+1)=1997 \Rightarrow n=\frac{1997-m}{2 m+1}
+$$
+
+Além disso, um dos lados considerados é menor ou igual ao outro, digamos: $m \leq n$. Nesse caso podemos concluir que $m \leq 31$, pois
+
+$$
+n \geq m \Rightarrow n(m+1)+m(n+1) \geq 2 m(m+1)
+$$
+
+Logo $1997 \geq 2 m(m+1)$ e como $1998>1997$ segue que
+
+$$
+1998>2 m(m+1) \Rightarrow 999>m(m+1)
+$$
+
+Daí concluímos que $m<32$.
+
+Por outro lado temos que
+
+$$
+n=\frac{1997-m}{2 m+1} \Rightarrow 2 n=\frac{3994-2 m}{2 m+1}=\frac{3995-(2 m+1)}{2 m+1} \Rightarrow 2 n=\frac{3995}{2 m+1}-1
+$$
+
+Assim, a questão se resume agora em pesquisar os divisores de $3995=5 \times 17 \times 47$. Os únicos valores de $m$ que atendem a condição $1 \leq m \leq 31$ são $m=2, m=8$ e $m=23$, que correspondem, respectivamente, aos divisores 5,17 e 47 . Para esses valores de $m$ temos $n=399, n=117$ e $n=42$ respectivamente. Os outros divisores darão configurações equivalentes (trocando $m$ por $n$ ).
+
+Portanto, Rosa pode ter construído 3 configurações diferentes com os 1997 segmentos. A primeira com $2 \times 399$ quadrados, a segunda com $8 \times 117$ quadrados e a terceira com $23 \times 42$ quadrados.
+
+5. Cercando o Globo Terrestre - Como o raio da Terra é muito grande, e foi dado apenas um acréscimo de $1 \mathrm{~m}$ no comprimento do fio, parece que a folga entre o fio e o Equador é muito pequena. Mais ainda, se trocarmos o Globo Terrestre por Júpiter ou por uma bolinha de gude e realizarmos esta mesma experiência, parece que a altura da folga entre o fio aumentado e o equador da esfera também muda, sendo que quanto maior a esfera considerada, menor é a folga entre o fio e o equador da esfera.
+
+Vejamos que esta ideia intuitiva é falsa e que a altura da folga, entre o fio e o Equador, é de aproximadamente $16 \mathrm{~cm}$, independentemente do raio da esfera em que a experiência é realizada.
+
+Consideremos um círculo de raio $R$. Seu comprimento é igual a $2 \pi R$. Vamos considerar também um círculo de mesmo centro, mas que tenha comprimento igual a $2 \pi R+1$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-25.jpg?height=329&width=331&top_left_y=2153&top_left_x=1407)
+
+Este círculo tem raio igual a $R+h$, sendo $h$ a altura da folga entre os dois círculos. Como um círculo de raio $R+h$ tem comprimento $2 \pi(R+h)$ obtemos a igualdade $2 \pi(R+h)=2 \pi R+1$. Simplificando esta expressão obtemos $h=\frac{1}{2 \pi} \approx \frac{1}{6.28} \approx 0,16$. Portanto, para qualquer valor de $R$, a altura da folga é de aproximadamente $16 \mathrm{~cm}$.
+
+Assim, somente a formiga é capaz de passar por debaixo do fio.
+
+## Lista 6
+
+1. Comprimento de uma corda - Sendo $A B$ um diâmetro, o triângulo $\triangle A B C$ está inscrito numa semicircunferência. Isto implica que este triângulo é retângulo no vértice $C$. Pelo Teorema de Pitágoras,
+
+$$
+B C^{2}=A B^{2}-A C^{2}
+$$
+
+ou seja,
+
+$$
+B C^{2}=20^{2}-12^{2}=256=16^{2}
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-27.jpg?height=352&width=415&top_left_y=526&top_left_x=1321)
+
+Assim, obtemos que $B C=16$.
+
+2. Dois irmãos - Sejam $x, y$ as idades atuais dos dois irmãos, $\mathrm{e} z$ a idade do pai. Temos:
+
+$$
+\left\{\begin{array} { l } 
+{ x - y = 3 } \\
+{ z - 1 = 2 [ ( x - 1 ) + ( y - 1 ) ] } \\
+{ z + 2 0 = ( x + 2 0 ) + ( y + 2 0 ) }
+\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{rl}
+x-y & =3 \\
+z-1 & =2 x+2 y-4 \\
+z+20 & =x+y+40
+\end{array}\right.\right.
+$$
+
+Uma maneira simples de obter $z$ é multiplicar a 3 a equação por 2 e do resultado subtrair a 2 a : $2 z+40-(z-1)=80-(-4)$, o que implica $z=43$.
+
+Vamos calcular agora a idade dos filhos usando as duas primeiras equações:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-27.jpg?height=140&width=731&top_left_y=1513&top_left_x=659)
+
+Obtemos $2 x=26$, donde $x=13$ e $y=10$.
+
+3. Canelonis de ricota - Colando os retângulos de massa ao longo do maior lado, Pedro obtém um cilindro de base circular com $10 \mathrm{~cm}$ de comprimento e $16 \mathrm{~cm}$ de altura. $\mathrm{O}$ volume então que ele recheia com ricota é o volume desse cilindro:
+
+$$
+V=\text { área da base } \times \text { altura }
+$$
+
+A área da base é dada por $\pi \times r^{2}$, onde $r$ é o raio da base. Vamos então calcular o raio sabendo que o comprimento da base é $10 \mathrm{~cm}$; temos:
+
+$$
+2 \pi r=10 \Rightarrow r=\frac{5}{\pi}
+$$
+
+Logo, o volume de ricota para cada caneloni é
+
+$$
+V=\pi \times \frac{5^{2}}{\pi^{2}} \times 16=\frac{16 \times 25}{\pi}=\frac{400}{\pi} \mathrm{cm}^{3}
+$$
+
+Agora, colando os retângulos de massa ao longo do menor lado, Pedro obtém um cilindro de base circular com $14 \mathrm{~cm}$ de comprimento e $12 \mathrm{~cm}$ de altura. O raio da base é $r^{\prime}=\frac{14}{2 \pi}=\frac{7}{\pi}$, logo o volume de ricota para cada caneloni será:
+
+$$
+V^{\prime}=\pi \times \frac{7^{2}}{\pi^{2}} \times 12=\frac{588}{\pi} \mathrm{cm}^{3}
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-28.jpg?height=333&width=545&top_left_y=278&top_left_x=1186)
+
+Finalmente, para calcular o novo gasto com ricota, usamos a seguinte Regra de Três direta:
+
+$$
+\begin{array}{ccc}
+\text { Volume }\left(\mathrm{cm}^{3}\right) & & \text { Ricota }(\mathrm{g}) \\
+\frac{400}{\pi} & \longrightarrow & 500 \\
+\frac{588}{\pi} & \longrightarrow & x
+\end{array}
+$$
+
+Segue que
+
+$$
+x=\frac{500 \times 588}{400}=735 \mathrm{~g} .
+$$
+
+4. Cálculo de segmentos - $\mathrm{O}$ triângulo $\triangle A B P$ é retângulo com catetos $A B=1200$ e $B P=150+350=500$. Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
+
+$$
+A P^{2}=1200^{2}+500^{2}=(144+25) \times 10^{4}=169 \times 10^{4}=\left(13 \times 10^{2}\right)^{2}
+$$
+
+Logo, $A P=13 \times 10^{2}=1300 \mathrm{~m}$.
+
+Analogamente, considerando o triângulo retângulo $\triangle P C D$, temos:
+
+$$
+D P^{2}=350^{2}+1200^{2}=\left(7^{2}+12^{2} \times 2^{2}\right)\left(5^{2} \times 10^{2}\right)=25^{2} \times 50^{2} \Longrightarrow D P=1250 \mathrm{~m}
+$$
+
+Os triângulos $\triangle P C Q$ e $\triangle P B A$ são retângulos com um ângulo em comum, logo são semelhantes; segue que:
+
+$$
+\frac{P Q}{P A}=\frac{P C}{P B}=\frac{C Q}{A B}
+$$
+
+Substituindo os valores conhecidos temos:
+
+$$
+\frac{P Q}{1300}=\frac{350}{500}=\frac{C Q}{1200}
+$$
+
+Logo,
+
+$$
+P Q=\frac{350 \times 1300}{500}=910 \mathrm{~m}
+$$
+
+e
+
+$$
+C Q=\frac{350 \times 1200}{500}=840 \mathrm{~m}
+$$
+
+5. Prá chegar junto! - Sabemos que espaço $=$ velocidade $\times$ tempo.
+
+Sejam $v$ e $v^{\prime}$ as velocidades de Ana e de Luíza, respectivamente, e $t$ o tempo que Luíza gasta para percorrer os $3000 \mathrm{~m}$. Logo, nesse mesmo tempo $t$, Ana percorre
+$3000-120=2880 \mathrm{~m}$. Temos:
+
+$$
+3000=v \times t
+$$
+
+$$
+3000-120=v^{\prime} t \Rightarrow t=\frac{3000}{v}=\frac{2880}{v^{\prime}}
+$$
+
+Portanto, $\frac{v^{\prime}}{v}=\frac{24}{25}$.
+
+Se denotarmos por $x$ a distância que Luíza percorrerá a mais temos:
+
+$$
+3000+x=v \times t
+$$
+
+e
+
+$$
+3000=v^{\prime} \times t \Rightarrow \frac{3000+x}{v}=\frac{3000}{v^{\prime}} \Rightarrow \frac{3000}{3000+x}=\frac{v^{\prime}}{v}
+$$
+
+Segue que
+
+$$
+\frac{3000}{3000+x}=\frac{v^{\prime}}{v}=\frac{24}{25} \Rightarrow x=125
+$$
+
+Logo, a resposta é $125 \mathrm{~m}$.
+
+## Lista 7
+
+1. Um professor enfurecido - Quem teve $x$ como nota mensal vai ter um desconto de $x \%$ sobre essa nota, ou seja vai perder
+
+$$
+x \% \text { de } x=\frac{x}{100} \times x=\frac{x^{2}}{100}
+$$
+
+Logo, depois do castigo, a nota fica sendo $x-\frac{x^{2}}{100}$, onde $x$ era a nota inicial.
+
+Consideremos a função "nota depois do castigo" dada por $f(x)=x-\frac{x^{2}}{100}$. Como as notas máximas e mínimas são 0 e 100, vamos considerar essa função no domínio $[0,100]$, ou seja, para $0 \leq x \leq 100$. O gráfico de $f$ é uma parábola com concavidade para baixo, e seu valor máximo ocorre no vértice: $x=-\frac{b}{2 a}=\frac{-\frac{1}{\frac{-2}{100}}}{}=50$. Sendo assim, a maior nota depois do castigo é para os alunos que antes do castigo tiraram 50. Essa nota é
+
+$$
+f(50)=50-\frac{50^{2}}{100}=25
+$$
+
+O valor mínimo dessa função é 0 ocorre em $x=0$ e $x=100$. Logo a menor nota ocorre para os alunos que tiraram 0 ou 100(!!!!!) antes do castigo. De fato, $f(0)=f(100)=0$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-30.jpg?height=380&width=807&top_left_y=1390&top_left_x=583)
+
+## 2. O percurso de um atleta -
+
+O Polo Norte da Terra é o ponto mais fácil de ser identificado como solução: Saindo o atleta do Polo Norte, correndo $5 \mathrm{~km}$ para o sul, depois $5 \mathrm{~km}$ para o leste e finalmente $5 \mathrm{~km}$ para o norte, ele volta novamente para o Polo Norte.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-30.jpg?height=325&width=279&top_left_y=1954&top_left_x=1422)
+
+Vamos determinar um outro ponto sobre a Terra que satisfaz as hipóteses do problema. Consideremos um paralelo (linha paralela ao Equador) de comprimento $5 \mathrm{~km}$. Existem dois deles: um próximo ao Polo Norte e outro próximo ao Polo Sul. Vamos denotar
+por $C_{1}$ o que está mais próximo do Polo Sul. Denotemos por $C_{2}$ o paralelo que está $5 \mathrm{~km}$ de distância de $C_{1}$, medida ao longo de um meridiano. Afirmamos que qualquer ponto $A$ sobre o paralelo $C_{2}$ satisfaz as hipóteses do problema. De fato, saindo de $A$ e caminhando $5 \mathrm{~km}$ para o sul, chega-se a um ponto $B$ do paralelo $C_{1}$. Como $C_{1}$ tem comprimento $5 \mathrm{~km}$, saindo de $B$ e caminhando $5 \mathrm{~km}$ para leste retorna-se novamente para $B$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-31.jpg?height=366&width=686&top_left_y=630&top_left_x=362)
+
+Finalmente, saindo de $B$ e caminhando $5 \mathrm{~km}$ para o norte, retorna-se novamente para o ponto de partida $A$.
+
+3. Áreas iguais - Sejam $T$ a área do triângulo $\triangle A B C, a$ e $c$ as áreas sombreadas na figura dada e $b$ e $d$ as áreas compreendidas entre os catetos do triângulo e o semicírculo de diâmetro $A B$.
+
+A área $a+b$ é a área do semicírculo de diâmetro $A B$ :
+
+$$
+a+b=\frac{1}{2} \pi\left(\frac{A B}{2}\right)^{2}=\frac{\pi A B^{2}}{8}
+$$
+
+A área $c+d$ é a área do semicírculo de diâmetro $B C$ :
+
+$$
+c+d=\frac{1}{2} \pi\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}=\frac{\pi B C^{2}}{8}
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-31.jpg?height=490&width=566&top_left_y=1327&top_left_x=1148)
+
+$\mathrm{A}$ área $b+d+T$ é a área do semicírculo de diâmetro $A C$ :
+
+$$
+b+d+T=\frac{1}{2} \pi\left(\frac{A C}{2}\right)^{2}=\frac{\pi A C^{2}}{8}
+$$
+
+Portanto,
+
+$$
+(a+b)+(c+d)=\frac{\pi A B^{2}}{8}+\frac{\pi B C^{2}}{8}
+$$
+
+Como $b+d=\frac{\pi A C^{2}}{8}-T$ temos
+
+$$
+(a+c)+\left(\frac{\pi A C^{2}}{8}-T\right)=\frac{\pi A B^{2}}{8}+\frac{\pi B C^{2}}{8}
+$$
+
+ou equivalentemente,
+
+$$
+(a+c)+\frac{\pi}{8} A C^{2}=\frac{\pi}{8}\left(A B^{2}+B C^{2}\right)+T
+$$
+
+Uma vez que $A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}$, pelo Teorema de Pitágoras, podemos simplificar a igualdade acima e obter $a+c=T$. Esta igualdade implica que a soma das áreas sombreadas é igual a área do triângulo retângulo $\triangle A B C$.
+
+## 4. Função definida por área -
+
+(a) A reta $r$ passa pelo ponto $(0,2)$, logo tem equação $y=m x+2$. Como ela passa pelo ponto $(-2,0)$, verifica-se que $0=-2 m+2$, que implica $m=1$. Assim, $r$ tem equação $y=x+2$.
+
+A reta $s$ passa pelo ponto $(0,6)$ logo, $y=m x+6$ e como passa também pelo ponto $(3,0)$, verifica-se que $0=3 m+6$, que implica $m=-2$. Logo, $s$ tem equação $y=-2 x+6$.
+
+(b) $f(0)$ é a área do triângulo $\triangle A B C$ mais a área do trapézio $B O C D$, sendo $A$ o ponto de encontro de $r$ e $s$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-32.jpg?height=618&width=613&top_left_y=1187&top_left_x=672)
+
+Para determinar $A$ fazemos: $x+2=-2 x+6$ de onde $x=4 / 3$. Substituindo esse valor na equação de $r$ ou $s$ obtemos $y=10 / 3$. Logo, $A=(4 / 3,10 / 3)$. A altura do triângulo $\triangle A B C$, em relação à base $B C$, é $h=10 / 3-2=4 / 3$. O ponto $C$ pertence à reta $s \mathrm{e}$ tem $y=2$, logo tem-se $2=-2 x+6$ ou seja $x=2$. Então $C=(2,2)$. Logo, a área do triângulo $\triangle A B C$ é igual a $2 \times \frac{4}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{4}{3}$ e a área do trapézio $B O C D$ é $2 \times \frac{3+2}{2}=5$. Logo,
+
+$$
+f(0)=5+\frac{4}{3}=\frac{19}{3}
+$$
+
+(c) $f(y)$ é igual a $f(0)$ menos a área do trapézio de altura $y$ e bases 3 e $x$, sendo $x$ a abscissa do ponto da reta $s$ que tem ordenada $y$, logo
+
+$$
+x=\frac{6-y}{2} \text {. }
+$$
+
+Daí temos
+
+$$
+f(y)=\frac{19}{3}-\frac{3+\frac{6-y}{2}}{2} y=\frac{19}{3}-\frac{12 y-y^{2}}{4}=\frac{y^{2}}{4}-3 y+\frac{19}{3}
+$$
+
+(d)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-33.jpg?height=345&width=399&top_left_y=508&top_left_x=389)
+
+O gráfico de $f(y)=\frac{y^{2}}{4}-3 y+\frac{19}{3}$ é uma parábola côncava para cima. As coordenadas do vértice $V$ são: $x=\frac{3}{\frac{2}{4}}=6 \mathrm{e}$ $y=f(6)=\frac{6^{2}}{4}-3.6+\frac{19}{3}=-9+\frac{19}{3}=-\frac{8}{3}$. Logo $V=\left(6,-\frac{8}{3}\right)$.
+
+Como $f(2)=\frac{4}{3}$ o gráfico de $f$, com $0 \leq y \leq 2$ é a parte em linha grossa.
+
+5. PA e PG - Os 4 termos de uma progressão aritmética de razão $r$ podem ser escritos como:
+
+$$
+x-2 r, x-r, x, x+r
+$$
+
+Logo, os 3 termos da progressão geométrica de razão $q$ serão
+
+$$
+x-2 r, x, x+r
+$$
+
+onde
+
+$$
+x=(x-2 r) q \text { e } x+r=x q
+$$
+
+Daí segue que:
+
+$$
+x=x q-2 r q \Rightarrow x=x+r-2 r q \Rightarrow q=\frac{1}{2}
+$$
+
+Obtemos que $x+r=\frac{x}{2} \Rightarrow r=-\frac{x}{2}$. Logo a progressão aritmética é da forma:
+
+$$
+2 x, \frac{3 x}{2}, x, \frac{x}{2} \text {. }
+$$
+
+Escolhendo um valor para $x$, por exemplo $x=1$, obtemos 4 números formando uma progressão aritmética $2,3 / 2,1,1 / 2$ de razão $-1 / 2$ tais que $2,1,1 / 2$ formam uma progressão geométrica de razão $1 / 2$. Note que esse problema tem uma solução para cada escolha de $x$, portanto tem um infinidade de soluções.
+
+## Lista 8
+
+1. Plano cartesiano - Comecemos examinando alguns casos.
+
+- $f(1)$ é o número de pontos inteiros sobre o segmento que liga $(0,0)$ ao ponto $(1,4)$. Logo, $f(1)=0$.
+- $f(2)$ é o número de pontos inteiros sobre o segmento que liga $(0,0)$ ao ponto $(2,3)$. Logo, $f(2)=0$.
+- $f(3)$ é o número de pontos inteiros sobre o segmento que liga $(0,0)$ ao ponto $(3,6)$. Como nesse segmento estão 2 pontos inteiros $(1,2)$ e $(2,4)$, segue que $f(3)=2$.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-34.jpg?height=440&width=1398&top_left_y=834&top_left_x=334)
+
+Vejamos, agora o caso geral. Note que se um ponto inteiro $(x, y)$ está sobre o segmento que une $(0,0)$ a $(n, n+3)$, sem ser um dos extremos, então $0<x<n$ e $0<y<n+3$. Vamos precisar do seguinte resultado:
+
+Lema: Se $n$ não é múltiplo de 3 , então $n$ e $n+3$ são primos entre si.
+
+Demonstração: Suponhamos que o mdc entre $n$ e $n+3$ seja $d>1$. Então $d$ divide $n$ e $n+3$, portanto $d$ divide $(n+3)-n=3$. Logo, como $d>1$, teremos $d=3$, o que não é possível porque partimos da hipótese que 3 não divide $n$.
+
+- Se 3 não divide $n$ então $f(n)=0$.
+
+Isso equivale a dizer que não há pontos inteiros sobre o segmento que une $(0,0)$ a $(n, n+3)$, excluídos os extremos.
+
+De fato, suponhamos que esse segmento contenha um ponto inteiro $(x, y)$, então
+
+$$
+\frac{x}{y}=\frac{n}{n+3}
+$$
+
+Pelo lema, a fração $\frac{n}{n+3}$ está na forma irredutível, logo, $x$ seria múltiplo de $n$, o que não pode acontecer porque $x<n$.
+
+- Se 3 divide $n$ então $f(n)=2$.
+
+Se $n=3 k$, com $k$ inteiro, devemos achar o número de pontos inteiros no segmento que une $(0,0)$ ao ponto $(3 k, 3 k+3)$. Seja $(x, y)$ um desses pontos, então
+
+$$
+\frac{x}{y}=\frac{3 k}{3 k+3}=\frac{k}{k+1}
+$$
+
+Sendo a última fração irredutível, deduzimos que $x$ é múltiplo de $k$, e como $0<x<3 k$, segue que $x=k$ ou $x=2 k$. Os pontos inteiros são $(k, k+1)$ e $(2 k, 2 k+2)$. Assim, temos $f(n)=2$.
+
+2. Trabalhando com quadrilátero - Lembre que, num triângulo, qualquer lado é maior que a diferença e menor que a soma dos outros dois. Do triângulo $A D B$ temos $A D-A B<B D<A D+A B$, e do triângulo $C B D$ segue que $B C-C D<B D<B C+C D$. Sustituindo os valores
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-35.jpg?height=215&width=419&top_left_y=470&top_left_x=1314)
+conhecidos obtemos:
+
+$$
+9-5<B D<5+9 \text { e } 17-5<B D<17+5
+$$
+
+ou seja,
+
+$$
+4<B D<14 \text { e } 12<B D<22
+$$
+
+Das duas desigualdades concluímos que:
+
+$$
+12<B D<14
+$$
+
+Como $B D$ é inteiro, só podemos ter $B D=13$.
+
+3. O triângulo de Reuleaux - $O$ triângulo de Reuleaux é formado por 4 regiões: um triângulo equilátero e três calotas. Cada calota é um sexto de um círculo de raio 1 do qual foi retirado um triângulo equilátero de lado 1.
+
+Pelo Teorema de Pitágoras, a altura do triângulo equilátero é:
+
+$$
+h=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}
+$$
+
+logo a área do triângulo vale:
+
+$$
+\frac{1 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} \mathrm{~cm}^{2}
+$$
+
+A área de um setor circular é um sexto da área do círculo, ou seja, igual a $\frac{\pi}{6}$. Logo, a área da calota é a diferença:
+
+$$
+\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}
+$$
+
+Portanto, a área do triângulo de Reuleaux é
+
+$$
+3\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\pi}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}^{2}
+$$
+
+4. Interseção entre circunferências - Seja $G$ o baricentro (encontro das medianas) do triângulo $A B C$. Como a figura é invariante por rotações de $60^{\circ}$ ao redor do ponto $G$, temos que o triângulo $\triangle X Y Z$ é equilátero, e que $G$ também é o seu baricentro.
+
+Vamos calcular o comprimento $L$ do seu lado.
+
+Seja $C M$ a altura do triângulo $\triangle A B C$ em relação à base $A B$. Uma vez que a altura de um triângulo equilátero de lado $a$ tem medida $\frac{a \sqrt{3}}{2}$, e que o baricentro divide a altura em dois segmentos, um com o dobro do comprimento do outro, temos que:
+
+$$
+C M=\frac{a \sqrt{3}}{2}, \quad G M=\frac{1}{3} C M=\frac{a \sqrt{3}}{6} \quad \text { e } \quad C G=\frac{2}{3} C M=\frac{a \sqrt{3}}{3}
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-36.jpg?height=499&width=944&top_left_y=691&top_left_x=512)
+
+Como $A Z=B Z=r$ vemos que o ponto $Z$ está na reta mediatriz do segmento $A B$. Entretanto, esta mediatriz é a reta suporte da altura $C M$ do triângulo $A B C$. Isto implica que os pontos $C, G, M$ e $Z$ estão alinhados, e que o triângulo $\triangle M Z B$ é retângulo.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-36.jpg?height=469&width=455&top_left_y=1354&top_left_x=759)
+
+Pelo Teorema de Pitágoras, obtemos:
+
+$$
+M Z=\sqrt{Z B^{2}-M B^{2}}=\sqrt{r^{2}-\frac{a^{2}}{4}}
+$$
+
+$$
+G Z=G M+M Z=\frac{a \sqrt{3}}{6}+\sqrt{r^{2}-\frac{a^{2}}{4}}
+$$
+
+Agora vamos considerar a altura $N Z$ do triângulo $X Y Z$ em relação à sua base $X Y$. Como esta altura tem comprimento $\frac{L \sqrt{3}}{2}$, e como $G Z=\frac{2}{3} N Z=\frac{L \sqrt{3}}{3}$, concluímos que
+
+$$
+G Z=\frac{L \sqrt{3}}{3}=\frac{a \sqrt{3}}{6}+\sqrt{r^{2}-\frac{a^{2}}{4}}
+$$
+
+Esta última igualdade implica que
+
+$$
+L=\frac{a}{2}+\sqrt{3} \sqrt{r^{2}-\frac{a^{2}}{4}}
+$$
+
+5. Valor máximo - Estamos procurando o valor de $k$ para o qual é máximo o termo da sequência:
+
+$$
+\frac{1^{2}}{1,001}, \frac{2^{2}}{1,001^{2}}, \frac{3^{2}}{1,001^{3}}, \ldots, \frac{k^{2}}{1,001^{k}}, \ldots
+$$
+
+Considere as seguintes inequações equivalentes:
+
+$$
+\frac{(k+1)^{2}}{1,001^{k+1}}<\frac{k^{2}}{1,001^{k}} \Leftrightarrow \frac{(k+1)^{2}}{1,001^{k+1}}-\frac{1,001 k^{2}}{1,001^{k+1}}<0
+$$
+
+A segunda inequação tem denominadores iguais e positivos, logo ela é equivalente a
+
+$$
+(k+1)^{2}-1,001 k^{2}<0 \Leftrightarrow k(k-2000)>1000 \Leftrightarrow k>2000
+$$
+
+Assim, a sequência decresce estritamente para $k \geq 2001$ e cresce estritamente para $k \leq 2000$. Logo, o maior termo da sequência corresponde a $k=2001$.
+
+## Lista 9
+
+## 1. Moedas falsas -
+
+(a) Aladim deve retirar de cada saco um número diferente de moedas, do seguinte modo: retira uma moeda do primeiro saco, duas do segundo, três do terceiro, e assim sucessivamente, até o último saco de onde retira as dez moedas.
+
+Ao todo foram retiradas $1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55$ moedas que são colocadas na balança.
+
+Se todas essas moedas fossem verdadeiras, pesariam $55 \times 10=550 \mathrm{~g}$. Mas, como algumas são falsas, o peso será menor. Se faltar um grama é porque há somente uma moeda falsa e, portanto, o primeiro saco é o procurado. Se faltarem dois gramas, significa que as duas moedas falsa são do segundo saco, e assim sucessivamente.
+
+(b) Vejamos que uma tentativa de solução como a anterior não permite a identificação dos sacos com moedas falsas. Suponhamos que Aladim retirou uma moeda do primeiro saco, duas moedas do segundo, e assim sucessivamente, até o último saco, de onde ele retirou dez moedas. Se existissem dois ou mais sacos com moedas falsas, esse procedimento de pesar estas 55 moedas pode ser inconclusivo. Por exemplo, suponhamos que na pesagem das 55 moedas faltassem $7 \mathrm{~g}$, ou seja, foram pesadas 7 moedas falsas. Neste caso poderiam existir moedas falsas nos sacos 1 e 6 ; moedas falsas nos sacos 2 e 5; moedas falsas nos sacos 1,2 e 4 etc. Ou seja, procedendo dessa maneira não é possível identificar quais sacos são de moedas falsas.
+
+Para resolver esse problema, ele pode proceder do seguinte modo: retira 1 moeda do primeiro saco, 2 moedas do segundo saco, 4 moedas do terceiro saco, 8 moedas do quarto saco, 16 moedas do quinto saco etc. Sempre dobrando o número de moedas retiradas do saco anterior. Ao todo são retiradas
+
+$$
+1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=1023 \text { moedas, }
+$$
+
+que pesariam juntas $10230 \mathrm{~g}$, se todas as moedas fossem verdadeiras. A diferença entre o peso real obtido na pesagem dessas moedas e o peso ideal (10230 gramas) indica a quantidade de moedas falsas pesadas e em quais os sacos elas estão. Vejamos isso através de um exemplo: imaginemos que na pesagem foram obtidos $10125 \mathrm{~g}$, ou seja, faltaram $10230-10125=105 \mathrm{~g}$, que corresponde ao número de moedas falsas. Retirando sucessivamente os números correspondentes às moedas retiradas de cada saco, começando sempre do maior número temos: $105-64=41 ; 41-32=9 ; 9-8=1$, ou seja, $105=1+8+32+64$. Desse resultado Aladim pode concluir que foram retiradas $1,8,32$ e 64 moedas falsas do 1 우, 4 , 6 으 e 70 saco.
+
+Vamos agora justificar, de um modo mais formal, o raciocínio desenvolvido no exemplo numérico.
+
+Seja $p$ o peso obtido com a pesagem das 1023 moedas. A diferença 10230 - pé o número de moedas falsas retiradas dos sacos.
+
+Efetuando divisões sucessivas por 2 pode-se provar que qualquer número inteiro positivo se escreve, de maneira única, como uma soma de potências de 2 . Isso implica que
+
+$$
+10230-p=1 \cdot a_{0}+2 \cdot a_{1}+2^{2} \cdot a_{2}+2^{3} \cdot a_{3}+2^{4} \cdot a_{4}+\cdots+2^{9} \cdot a_{9}
+$$
+
+em que cada um dos números $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{9}$ é zero ou um.
+
+De cada saco foram retiradas quantidades de moedas que são potências de 2 e cada saco ou contém moedas falsas ou contém moedas verdadeiras, isto é, em um saco não existem os dois tipos de moedas. Daí temos que se algum desses números, digamos $a_{j}$ é 1 , então do saco $j+1$ foram retiradas $2^{j}$ moedas falsas. Por outro lado, se o número $a_{j}$ é 0 , então do saco $j+1$ foram retiradas $2^{j}$ moedas verdadeiras.
+
+2. Menor inteiro - Como $q=2005-p$, temos
+
+$$
+\frac{5}{8}<\frac{p}{2005-p}<\frac{7}{8}
+$$
+
+do qual segue que
+
+$$
+5(2005-p)<8 p \quad \text { e } 8 p<7(2005-p)
+$$
+
+Logo,
+
+$$
+\frac{5 \times 2005}{13}<p<\frac{7 \times 2005}{15} \Rightarrow 771,15<p<935,66
+$$
+
+Logo 772 é o menor valor de $p$ que satisfaz as condições do problema.
+
+3. Mais áreas... - Observe que a altura $h$, relativa ao lado $A B$, de todos os triângulos $A B C$ que têm o vértice $C$ sobre a reta $x+y=7$, é a mesma, pois esta última reta é paralela à reta que passa por $A$ e por $B$. Logo, esses triângulos têm todos a mesma área, a saber:
+
+$$
+\frac{A B \times h}{2}
+$$
+
+Precisamos, então determinar $A B$ e $h$. Como $A B$ é a hipotenusa de um triângulo retângulo que tem os dois catetos iguais a $7-4=3$, segue do Teorema de Pitágoras que:
+
+$$
+A B=\sqrt{3^{3}+3^{2}}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}
+$$
+
+Falta calcular $h$, que é a distância entre as retas paralelas. A reta $x+y=7$ é determinada pelos pontos $C=(7,0)$ e $D=(0,7)$. A reta $x=y$ é perpendicular às retas paralelas acima e forma um ângulo de $45^{\circ}$ com o eixo $O Y$. Seja $M$ o pé da perpendicular à reta $x+y=7$ traçada a partir de $B$. Portanto, o triângulo $B M C$ é retângulo isósceles com catetos iguais a $h$ e hipotenusa $7-3=4 \mathrm{~cm}$.
+
+Do Teorema de Pitágoras segue que:
+
+$$
+4^{2}=h^{2}+h^{2} \Rightarrow h=2 \sqrt{2}
+$$
+
+Finalmente, a área procurada é:
+
+$$
+\frac{3 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{2}}{2}=6
+$$
+
+4. Circunferências tangentes - Ligando os centros das três circunferências obtemos o triângulo $\triangle A B C$ de lados $A B=3 \mathrm{~cm}, A C=4 \mathrm{~cm}$ e $B C=5 \mathrm{~cm}$. Como $3^{2}+4^{2}=5^{2}$, esse triângulo é retângulo, com hipotenusa $B C$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-40.jpg?height=426&width=469&top_left_y=676&top_left_x=749)
+
+Construa o retângulo $A B D C$, fazendo uma cópia $\triangle B C D$, congruente ao triângulo $\triangle A B C$ e com lado comum $B C$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-40.jpg?height=418&width=466&top_left_y=1268&top_left_x=754)
+
+Uma vez que $D C=A B=3$ e que a circunferência de centro $C$ também tem raio $3 \mathrm{~cm}$, vemos que o ponto $D$ está sobre essa circunferência.
+
+Ligando o ponto $D$ a cada um dos vértices do triângulo $\triangle A B C$ e prolongando esses segmentos até interceptarem as circunferências, obtemos os pontos $P_{1}, P_{2}$ e $P_{3}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-40.jpg?height=456&width=501&top_left_y=1973&top_left_x=736)
+
+Temos que:
+
+- $D P_{2}=D B+B P_{2}=C A+B P_{2}=4+2=6$.
+- $D P_{1}=D A+A P_{1}=5+1=6$.
+- $D P_{3}=D C+C P_{3}=3+3=6$.
+
+Deste modo $D P_{1}=D P_{2}=D P_{3}=6$. Assim se considerarmos a circunferência de centro $D$ e raio $6 \mathrm{~cm}$ vemos que esta circunferência passa por $P_{1}, P_{2}$ e $P_{3}$. Além disso, como os pontos $\left\{D, A, P_{1}\right\}$, $\left\{D, B, P_{2}\right\}$ e $\left\{D, C, P_{3}\right\}$ estão alinhados, segue que a circunferência de centro $D$ e raio $6 \mathrm{~cm}$ é tangente às três circunferências dadas de centros $A, B$ e $C$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-41.jpg?height=499&width=499&top_left_y=821&top_left_x=737)
+
+5. Soma finita - Temos que os possíveis produtos $x_{2 k-1} x_{2 k}$ onde $k \in\{1,2, \ldots, 2004\}$ são $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)=3-2 \sqrt{2},(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)=3+2 \sqrt{2}$ e $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1$.
+
+Suponha que $a$ produtos são iguais a $3-2 \sqrt{2}$, $b$ produtos são iguais a $3+2 \sqrt{2}$ e $1002-a-b$ produtos são iguais a 1 .
+
+A soma é igual a
+
+$$
+a(3-2 \sqrt{2})+b(3+2 \sqrt{2})+1002-a-b=1002+2 a+2 b+2(b-a) \sqrt{2}
+$$
+
+Assim, para que a soma seja inteira, devemos ter $a=b$. Logo a soma é igual a $1002+4 a$. Como $a$ varia de 0 a 501 (pois $a+b$ não pode ser maior que 1002), a soma pode assumir 502 valores inteiros distintos.
+
+## Lista 10
+
+1. Múltiplos - As condições do problema equivalem a dizer que:
+
+$$
+2 a-5=2(a+1)-7=2(a+2)-9=2(a+3)-11
+$$
+
+é múltiplo de 5, 7, 9 e 11, donde é múltiplo de $5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11=3465$. Assim, o menor valor de $a$ é tal que $2 a-5=3465$, ou seja, $a=1735$.
+
+2. Equação de duas variáveis - Temos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+9 x y-x^{2}-8 y^{2}=2005 & \Leftrightarrow x y-x^{2}+8 x y-8 y^{2}=2005 \\
+& \Leftrightarrow x(y-x)+8 y(x-y)=2005 \\
+& \Leftrightarrow(x-y)(8 y-x)=2005(*)
+\end{aligned}
+$$
+
+Observemos que a fatoração em primos de 2005 é $5 \cdot 401$.
+
+Além disso, a soma dos fatores $x-y$ e $8 y-x$ é $7 y$, que é múltiplo de 7 . Devemos então escrever 2005 como produto de dois fatores, cuja soma é um múltiplo de 7. Para isso, os fatores devem ser $\pm 5$ e $\pm 401$. A soma dos fatores é $\pm 406$.
+
+Assim, por $(*)$ temos:
+
+$$
+\left\{\begin{array} { l l l } 
+{ x - y = 5 } & { \text { e } 8 y - x = 4 0 1 } \\
+{ x - y = 4 0 1 } & { \text { e } 8 y - x = 5 } \\
+{ } & { \text { ou } } \\
+{ x - y = - 5 } & { \text { e } 8 y - x = - 4 0 1 } \\
+{ } & { \text { ou } } & { \text { ou } y = 5 8 } \\
+{ x - y = - 4 0 1 } & { \text { e } 8 y - x = - 5 }
+\end{array} \quad \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}
+x=63 & \text { e } y=58 \\
+x=459 & \text { ou } \\
+x=-63 & \text { e } y=-58 \\
+x=-459 & \text { e } y=-58
+\end{array}\right.\right.
+$$
+
+As soluções são, portanto $(63,58),(459,58),(-63,-58)$ e $(-459,-58)$.
+
+## 3. Trapézio retângulo -
+
+Seja $A \widehat{B} D=B \widehat{D} C=\alpha$. Então temos que $D C=\frac{B D}{\cos \alpha}$ e $A D=B D \operatorname{sen} \alpha$, donde
+
+$\frac{D C}{A D}=\frac{\frac{B D}{\cos \alpha}}{B D \operatorname{sen} \alpha}=\frac{1}{\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha}=\frac{2}{\operatorname{sen} 2 \alpha} \geq 2$.
+
+A igualdade ocorre quando $\operatorname{sen} 2 \alpha=1$, ou seja, quando $\alpha=45^{\circ}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-42.jpg?height=326&width=576&top_left_y=1935&top_left_x=1143)
+
+4. Jogos de futebol - Para cada grupo de 5 alunos, existe um único time formado que os contém. Logo, contamos $C_{12}^{5}=\frac{12.11 .10 .9 .8}{5!}=792$ times para cada 5 alunos escolhidos. Por outro lado, em cada time de 6 jogadores, temos $C_{6}^{5}=6$ modos de escolhermos cinco jogadores, ou seja, existem 6 grupos de 5 jogadores que eram mesmo time na nossa primeira contagem. Logo, o total de times formados é igual a $\frac{792}{6}=132$.
+
+## 5. A soma dos algarismos de um número -
+
+(a) Observe esses dois exemplos:
+
+$$
+\underbrace{2000}_{2 \cdot 103}-\underbrace{s(2000)}_{2}=1998, \underbrace{60000}_{6 \cdot 104}-\underbrace{s(60000)}_{6}=59994
+$$
+
+A partir deles é fácil entender que se $a$ é um algarismos entre 1 e 9 , então $s\left(a \cdot 10^{k}\right)=a$.
+
+Daí temos:
+
+$$
+a \cdot 10^{k}-s\left(a \cdot 10^{k}\right)=a \cdot 10^{k}-a=a\left(10^{k}-1\right)=a \times \underbrace{9 \cdots 9}_{k \text { noves }}=a \times 9 \times \underbrace{1 \cdots 1}_{k \text { uns }}
+$$
+
+Como todo número pode ser decomposto em unidades, dezenas, centenas etc, isto é, todo número pode ser escrito na forma:
+
+$$
+n=a_{0}+a_{1} \cdot 10+a_{2} \cdot 10^{2}+\cdots+a_{k} \cdot 10^{k}
+$$
+
+temos que
+
+$$
+n-s(n)=a_{1} \times 9+a_{2} \times 99+\cdots a_{k} \times \underbrace{9 \cdots 9}_{k \text { noves }}
+$$
+
+Logo, a diferença $n-s(n)$ é sempre divisível por 9 .
+
+(b) Seguindo o mesmo raciocínio temos que: $s(n)-s(s(n))$ e $s(s(n))-s(s(s(n)))$ são divisíveis por 9 , logo $n-s\left(s\left(s(n)\right.\right.$ é divisível por 9 . Em particular $2^{2009}-s\left(s\left(s\left(2^{2009}\right)\right)\right)$ é divisível por 9 , ou equivalentemente, $2^{2009}$ e $s\left(s\left(s\left(2^{2009}\right)\right)\right)$ deixam o mesmo resto quando são divididos por 9 .
+
+Como $2^{6}-1=63$ é divisível por 9 então, $\left(2^{6}\right)^{334}-1=2^{2004}-1$ é divisível por $9 \mathrm{e}$, portanto, $2^{2009}-2^{5}$ é divisível por 9 . Como $2^{5}=32$ deixa resto 5 quando dividido por 9 , temos que $2^{2009}$ deixa resto 5 quando dividido por 9 .
+
+Por outro lado
+
+$$
+2^{2009}<\left(2^{9}\right)^{224}<\left(10^{3}\right)^{224}=10^{672}
+$$
+
+Assim, $2^{2009}$ tem menos que 672 algarismos e, portanto,
+
+$$
+\begin{aligned}
+s\left(2^{2009}\right) & <9 \times 672=6048 \\
+s\left(s\left(2^{2009}\right)\right) & \leq 5+9+9+9=32 \\
+s\left(s\left(s\left(2^{2009}\right)\right)\right) & \leq 2+9=13
+\end{aligned}
+$$
+
+Como o único número menor ou igual a 13 que deixa resto 5 quando dividido por 9 é o 5 temos que $s\left(s\left(s\left(2^{2009}\right)\right)\right)=5$.
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2009_desafios.md

@@ -0,0 +1,204 @@
+# Desafios 
+
+1. Data fatídica - Em 1950 um "profeta" anunciou que o fim do mundo ocorreria em 11.08.1999 (11 de agosto de 1999). Como nada aconteceu nesse dia, ele refez seus cálculos e fez a seguinte previsão: "O fim do mundo ocorrerá na próxima data que se escreve com 8 algarismos diferentes." Você pode descobrir essa data?
+2. Todos com o 2 - Qual operação devemos fazer com todos os 5 números
+
+$$
+418,244,816,426,24
+$$
+
+para obter 5 números que tenham todos o algarismo 2 ?
+
+(a) dividir 2;
+
+(b) somar 4 ;
+
+(c) dividir por 6;
+
+(d) subtrair 5;
+
+(e) multiplicar por 3 .
+
+3. Tortas da vovó - Sofia foi levar uns docinhos para sua avó; são 7 docinhos de amora, 6 de côco e 3 de chocolate. Durante o caminho, a gulosa Sofia come 2 docinhos. Qual das situações abaixo é possível?
+
+(A) Vovó não recebeu docinhos de chocolate.
+
+(B) Vovó recebeu menos docinhos de côco do que de chocolate.
+
+(C) Vovó recebeu o mesmo número de docinhos de cada uma das 3 variedades.
+
+(D) Existem 2 variedades de docinhos das quais vovó recebeu o mesmo número.
+
+(E) O número de docinhos de amora que vovó recebeu é maior que o dos outros 2 somados.
+
+4. Família Sétimo - O Sr. e Sra. Sétimo têm 7 filhos, todos nascidos em 1o de abril, na verdade em seis 10 de abril consecutivos. Este ano, para seus aniversários, a Sra. Sétimo fez um bolo com velinhas para cada um - o número de velas igual ao número de anos de cada um. João Sétimo, o filho que mais gosta de Matemática, reparou que nesse ano o número total de velinhas é o dobro do que havia 2 anos atrás e que há 2 bolos a mais. Quantas velinhas serão acesas esse ano?
+5. O Salta-Ficha - Temos 10 fichas numeradas colocadas em linha reta como na figura.
+
+$$
+\text { (1) (2)(3) (4) (6) (7) (9) (10) }
+$$
+
+Queremos arrumá-las em 5 pilhas com 2 fichas cada uma. A regra para isso é que só podemos movimentar uma ficha fazendo-a saltar sobre uma ou mais fichas, ou sobre uma pilha. Veja um exemplo de 3 movimentos:
+
+- a ficha 5 pode saltar sobre as fichas 6 e 7 e formar uma pilha com a 8 .
+- a ficha 7 pode saltar sobre a ficha 8 e formar uma pilha com a 9 .
+- a ficha 6 pode saltar sobre as fichas 5,4 e 3 formar uma pilha com a 2 .
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_57c941f175baaa08a723g-2.jpg?height=176&width=1414&top_left_y=882&top_left_x=323)
+
+Como formar 5 pilhas de 2 fichas com apenas 5 movimentos?
+
+6. O menor - Qual é o menor: $5^{2002}$ ou $3^{2002}+4^{2002}$ ?
+7. O maior resultado - Qual o maior resultado que podemos encontrar quando dividimos um número de 2 algarismos pela soma de seus algarismos?
+8. Dois mil - O peso de um número é a soma de seus algarismos. Qual é o menor número que pesa 2000 ?
+9. No cabeleireiro - Três clientes estão no cabeleireiro pagando cada um a sua conta no caixa.
+
+- o primeiro cliente paga o mesmo montante que há no caixa e retirar 10 reais de troco;
+- o segundo cliente efetua a mesma operação que o primeiro;
+- o terceiro cliente efetua a mesma operação que os dois primeiros.
+
+Encontre o montante que estava inicialmente no caixa, sabendo que ao fim das 3 operações o caixa ficou zerado.
+
+10. O macaco e a raposa - $O$ macaco diz para a raposa:
+
+- Você vê as 3 pessoas que estão correndo lá longe? Eu sei que o produto de suas idades é 2450 ; e que a soma das idades é o dôbro da sua idade. Você pode me dizer suas idades?
+- Não, responde a raposa.
+- Ese eu te disser que o mais jovem dos três é o único louro, você pode agora descobrir as idades?
+
+E a raposa dá as idades das 3 pessoas.
+
+Porque a raposa não pode responder inicialmente? E porque pode responder depois?
+
+11. Nova sequência - Encontre a lei que forma a sequência e dê seus próximos 2 termos:
+
+$425,470,535,594,716,802, \ldots$
+
+12. Retângulo quase quadrado - Um terreno retangular é quase quadrado: sua largura e seu comprimento são números inteiros de metros que diferem exatamente de 1 metro. A área do terreno, em metros quadrados, é um número de 4 algarismos, sendo o das unidades de milhar e o das centenas iguais, e o mesmo ocorre com o das dezenas e das unidades. Quais são as possíveis dimensões do terreno?
+13. Aonde está o erro? - Seja $x$ solução de $x^{2}+x+1=0$. Então $x \neq 0$ e por isso podemos dividir ambos os membros da equação por $x$, obtendo $x+1+\frac{1}{x}=0$. Da equação temos que $x+1=-x^{2}$, logo $-x^{2}+\frac{1}{x}=0$, isto é: $x^{2}=1 / x$ ou ainda $x^{3}=1$ e $x=1$. Substituindo $x=1$ na equação $x^{2}+x+1=0$ encontramos $3=0$ !!!! Aonde erramos?
+
+## Soluções dos Desafios
+
+1. Data fatídica - Resposta: 17.06 .2345
+2. Todos com o 2 - Resposta: multiplicar por 3.
+3. Tortas da vovó - Vamos examinar cada uma das situações propostas. Lembre que no final vovó recebeu $7+6+3-2=14$ docinhos.
+
+(A) Impossível porque ela recebeu no mínimo $3-2=1$ docinho de chocolate.
+
+(B) Impossível porque ela recebeu no mínimo $6-2=4$ docinhos de côco.
+
+(C) Impossível porque $7-2=5>3$.
+
+(D) Possível porque Sofia pode ter comido 1 docinho de amora e 1 de chocolate, restando para vovó: 6 de amora, 6 de côco e 2 de chocolate.
+
+(E) Impossível porque 7 não é maior do que $6+2-3$.
+
+Logo, a única situação possível é (D).
+
+4. Família Sétimo - Os nascimentos ocorreram em seis 1 ㅇ de abril, logo existem irmãos gêmeos. Como nesse ano temos 2 bolos a mais que há 2 anos atrás, então há 2 anos atrás o mais jovem ainda não tinha nascido, o penúltimo filho tinha acabado de nascer, e os gêmeos já tinham nascido. Atualmente o mais jovem tem 1 ano e os gêmeos têm $x$ anos com $x \geq 3$. Temos:
+
+$$
+\underbrace{1+2+3+4+5+6+x}_{\text {número de velas nesse ano }}=2 \times \underbrace{(1+2+3+4+x-2)}_{\text {número de velas } 2 \text { anos atrás }} \Rightarrow x=5
+$$
+
+Logo serão acesas $1+2+3+4+2 \times 5+6=26$ velinhas.
+
+## 5. O Salta-Ficha -
+
+(a) ficha 7 salta sobre as fichas 8 e 9 formando uma pilha com a ficha 10;
+
+(b) ficha 4 salta sobre as fichas 5 e 6 formando uma pilha com a ficha 8;
+
+(c) ficha 6 salta sobre as fichas 3 e 5 formando uma pilha com a ficha 2;
+
+(d) ficha 5 salta sobre a pilha $(4,8)$ formando uma pilha com a ficha 9 ;
+
+(e) ficha 1 salta sobre a pilha $(6,2)$ formando uma pilha com a ficha 3.
+
+Veja o resultado:
+
+(6) (1) (4) (5) (7)
+
+(2) (3) 8 (9) (10)
+
+6. O menor - Como $5^{2}=3^{2}+4^{2}$, temos $5^{2002}=\left(3^{2}+4^{2}\right)^{1001}$. Sabemos que para $a>0$ e $b>0$,
+
+$$
+(a+b)^{1001}>a^{1001}+b^{1001}
+$$
+
+Logo, $5^{2002}>3^{2002}+4^{2002}$.
+
+7. O maior resultado - Estamos procurando o maior valor de $\frac{10 a+b}{a+b}$, onde $a$ e $b$ representam algarismos, pelo menos um diferente de 0 . Temos
+
+$$
+\frac{10 a+b}{a+b}=\frac{10 a+10 b-9 b}{a+b}=\frac{10 a+10 b}{a+b}-\frac{9 b}{a+b}=10-\frac{9 b}{a+b} \leq 10
+$$
+
+Logo, se conseguirmos encontrar $a$ e $b$ tais que $\frac{10 a+b}{a+b}=10$, teremos o maior resultado. Note que isso ocorre quando $b=0$, ou seja:
+
+$$
+\frac{10}{1}=\frac{20}{2}=\frac{30}{3}=\frac{40}{4}=\frac{50}{5}=\frac{60}{6}=\frac{70}{7}=\frac{80}{8}=\frac{90}{9}=10 .
+$$
+
+Logo, a resposta é 10 .
+
+8. Dois mil - Observe que os números 189, 8307 e 99 têm todos peso 18 , e que 99 é o menor número que pesa 18. Note que: para aumentar o peso de um número e minimizar o número é preciso que o número seja composto do maior número possível de algarismos 9 . Por outro lado, podemos dizer que o 0 está eliminado dos algarismos a ser considerados porque ele aumenta o número sem aumentar o peso.
+
+Temos que $2000=9 \times 222+2$. Logo, o número procurado tem então 222 algarismos 9 , e um algarismo 2 ou dois algarismos 1 . Eliminamos o caso dos números com dois algarismos 1 porque eles têm 224 algarismos, e logo são maiores do que os números que possuem o algarismo 2 e têm 223 algarismos. Finalmente, o número procurado tem 222 algarismos 9 e um 2. Logo esse número é $299 \ldots 999$, com 222 algarismos 9 .
+
+9. No cabeleireiro - Seja $x$ o montante inicial no caixa. Esse montante mais o que os 3 clientes pagaram nos dará o caixa zerado.
+
+- O 1o cliente paga $x-10$. Depois do primeiro cliente, há $x+x-10=2 x-10$ reais no caixa.
+- O 2 o cliente paga $(2 x-10)-10=2 x-20$. Depois do 20 cliente, há $(2 x-10)+(2 x-20)=4 x-30$ no caixa.
+- O 3 o cliente paga $(4 x-30)-10=4 x-40$. Depois do 30 cliente, há $(4 x-30)+(4 x-40)=8 x-70$ no caixa, que sabemos ser igual a 0 .
+
+Logo, $8 x=70$ e obtemos $x=8,75$ reais.
+
+10. O macaco e a raposa - 2450 é o produto dos números primos $1,2,5,5,7,7$. As 3 idades correspondem a uma combinação particular desses números ou de seus produtos.
+
+A raposa não pode descobrir as idades no início porque pelo menos duas dessas combinações têm por soma o dobro de sua idade. De todas as combinações possíveis, somente $\{5,1049\}$ e $\{7,7,50\}$ têm a mesma soma 64 .
+
+Primeira conclusão: a raposa tem 32 anos.
+
+Depois da nova dica do macaco, a raposa descobriu as idades porque pode eliminar uma combinação: aquela que contém dois números iguais, uma vez que um deles é o mais jovem de todos.
+
+Segunda conclusão: as pessoas têm 5, 10 e 49 anos.
+
+11. Nova sequência - Cada termo é a soma do termo precedente com os quadrados de cada um de seus algarismos:
+
+$$
+470=425+4^{2}+2^{2}+5^{2}, 535=470+4^{2}+7^{2}+0^{2}, \ldots
+$$
+
+Assim, os próximos termos são: 870 e 983 .
+
+12. Retângulo quase quadrado - A área é um número da forma $a a b b$, onde $a$ e $b$ representam algarismos; agora lembre que
+
+$$
+a a b b=1100 a+11 b=11(100 a+b)
+$$
+
+Seja $x$ a largura do terreno, logo
+
+$$
+x(x+1)=11(100 a+b) \quad(\mathrm{I})
+$$
+
+e deduzimos que $x$ ou $x+1$ é um múltiplo de 11. Procurar múltiplos de 11 que satisfaçam a condição (I) é bastante trabalhoso, por isso, para simplificar, vamos estabelecer quais os valores que $x$ pode ter. Vamos procurar os valores mínimo e máximo para $x$ :
+
+- Mínimo: a menor área possível é $1111, \operatorname{logo} x(x+1)=1111 \Rightarrow x>32$ (II).
+- Máximo: a maior área possível é 9999 , logo $x(x+1)=9999 \Rightarrow x<100$ (III).
+
+Agora procuramos $x$ e $x+1$ satisfazendo (I), (II) e (III).
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 33 \times 34=1122 ; 43 \times 44=1892 ; 44 \times 45=1980 ; 54 \times 55=2970 ; 55 \times 56=2970 \\
+& 65 \times 66=4290 ; 66 \times 67=4422 ; 76 \times 77=5852 ; 77 \times 78=6006 \\
+& 87 \times 88=7656 ; 88 \times 89=7832 ; 99 \times 100=9900
+\end{aligned}
+$$
+
+Encontramos 3 possibilidades para $x: 33,66$ e 99 .
+
+13. Aonde está o erro? - Esse deixamos para os alunos!

Brazilian_MO/md/pt-bq2010_desafios.md

@@ -0,0 +1,501 @@
+# Desafios 
+
+1. Cadeia do menor número (N2/N3) - Partindo do número 265863 e utilizando uma única vez cada uma das operações,,$+- \times \mathrm{e} \div$ e também uma única vez os números 51, 221, 6817, 13 259, podemos obter vários números. Por exemplo, 54911, como segue.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-01.jpg?height=106&width=1057&top_left_y=661&top_left_x=585)
+
+Encontre a cadeia que permite obter o menor número inteiro positivo.
+
+2. Qual é a metade? (N2/N3) - Considere a figura ao lado, em que $\mathrm{AB}=\mathrm{AE}=\mathrm{ED}=\mathrm{CD}=\mathrm{CA}$ e o arco $\mathrm{CB}$ é um arco de círculo centrado no ponto E. Você sabe repartir essa figura em duas partes idênticas, que possam ser superpostas?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-01.jpg?height=240&width=323&top_left_y=891&top_left_x=1546)
+
+3. Cada um em seu estado (N1/N2/N3) - Amélia, Bruno, Constância e Denise são quatro amigos que se encontram sentados numa mesa quadrada, cada um ocupando um lado da mesa. Um dos quatro mora no Amazonas, outro em São Paulo, outro no Ceará e o quarto na Bahia. Sabendo que valem as condições a seguir, quem mora na Bahia?
+
+- À direita de Amélia está quem mora no Amazonas.
+- Em frente à Constância está a pessoa que mora em São Paulo.
+- Bruno e Denise estão um ao lado do outro.
+- Uma mulher está à esquerda da pessoa que mora no Ceará.
+
+4. Divisão (N1/N2) - Numa divisão, aumentando o dividendo de 1989 e o divisor de 13 , o quociente e o resto não se alteram. Qual é o quociente?
+5. Extraterrestre (N1/N2) - No planeta Staurus, os anos têm 228 dias, divididos em 12 meses de 19 dias. Cada semana tem 8 dias: Zerum, Uni, Duodi, Trio, Quati, Quio, Seise e Sadi. Sybock nasceu num duodi, que foi o primeiro dia do quarto mês. Que dia da semana ele festejará seu primeiro aniversário?
+6. Que família! (N1/N2) - Numa família, cada menino tem o mesmo número de irmãos que de irmãs, e cada menina tem o dobro de irmãos que de irmãs. Qual é a composição dessa família?
+7. Siga a pista (N1) - Na pista de corrida dada, os sete pontos de referência são marcados a cada $50 \mathrm{~m}$. Os atletas devem fazer $2 \mathrm{~km}$ no sentido indicado pela flecha, partindo do ponto P. Marque o ponto C de chegada.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-01.jpg?height=208&width=371&top_left_y=2443&top_left_x=1502)
+
+8. Cara ou Coroa (N2) - Jerônimo joga no tabuleiro dado com uma peça e um dado da maneira descrita a seguir.
+
+Colocando a peça na casa $\mathrm{P}$ (de partida), ele lança uma moeda. Se der cara, avança duas casas e se der coroa recua uma casa. Jerônimo lançou a moeda 20 vezes e conseguiu chegar na casa C (de chegada). Quantas vezes a moeda deu cara?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-02.jpg?height=332&width=600&top_left_y=385&top_left_x=1179)
+
+9. Contas do papagaio (N1) - Rosa tem um papagaio que faz contas de um modo estranho. Cada vez que Rosa diz dois números ele faz a mesma conta. Por exemplo:
+
+- se Rosa diz "4 e 2" o papagaio responde " 12 ";
+- se Rosa diz "5 e 3" o papagaio responde " 12 ";
+- se Rosa diz "3 e 5" o papagaio responde " 14 ";
+- se Rosa diz "9 e 7" o papagaio responde " 24 ";
+- se Rosa diz "0 e 0" o papagaio responde " 1 ".
+
+Se Rosa diz "1 e 8" o que responde o papagaio?
+
+10. As férias de Tomás (N1/N2) - Durante as férias de Tomás, houve 11 dias chuvosos. Durante esses 11 dias, se chovia pela manhã havia sol sem chuva à tarde, e se chovia à tarde, havia sol sem chuva pela manhã. No total, Tomás teve 9 manhãs e 12 tardes sem chuva. Quantos dias duraram as férias de Tomás?
+11. Maratona de Matemática (N3) - Numa maratona de Matemática, o número de questões é muito grande. $\mathrm{O}$ valor de cada questão é igual à sua posição na prova: um ponto para a questão 1 , dois pontos para a questão 2 , três pontos para a questão 3, quatro pontos para a questão 4, e assim por diante. Joana totalizou 1991 pontos na prova, errando apenas uma questão e acertando todas as outras. Qual questão ela errou? Quantas questões tinha a prova?
+12. Frações ignoradas (N1) - Escolhi quatro frações dentre $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \frac{1}{10}$ e $\frac{1}{12}$, cuja soma é 1. Quais foram as frações que eu não escolhi?
+13. Caminho de maior total (N2) - As regras do jogo são as seguintes.
+
+(a) Partindo da casa com o número 3 destacado, deve-se chegar à casa TOTAL deslocando-se somente por linhas ou colunas e calculando-se os pontos.
+
+(b) Quando nos deslocamos por uma linha, só podemos adicionar, por exemplo passando da 3 para a -6 ao lado, obtemos $3+(-6)=-3$ pontos.
+
+(c) Quando nos deslocamos por uma coluna, só podemos subtrair, por exemplo passando da 3 para a 5 abaixo, obtemos $3-5=-2$ pontos.
+
+(d) Só é permitido passar uma vez por cada casa.
+
+Qual é o caminho que dá o maior total?
+
+| $\mathbf{3}$ | -6 | 9 | -9 |
+| :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 5 | 7 | 2 | -1 |
+| -8 | -3 | -5 | 4 |
+| -4 | 1 | 6 | 8 |
+| 0 | -2 | -7 | TOTAL |
+
+14. Produtos em linha (N1/N2/N3) - Em cada uma das oito casas brancas do quadro dado, escrevemos um algarismo dentre os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 de modo que os produtos efetuados em linha reta, seguindo as flechas, forneçam os valores indicados dentro dos casas em cinza. Em qual casa se encontra o número 2?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-03.jpg?height=483&width=879&top_left_y=838&top_left_x=654)
+
+15. Código Postal (N2/N3) - Para fazer a separação em regiões da correspondência que deve ser entregue, um serviço postal indica sobre os envelopes um código postal com uma série de cinco blocos de pontos e bastões, que podem ser lidos por um leitor ótico. Os algarismos são codificados como segue.
+
+| $0 \bullet \\| I I I$ | 5 ค |
+| :---: | :---: |
+| 1 $\cdot$॰\|l| | $6\|\\| 0\|$ |
+| $2 \cdot\\|\bullet\\|$ | $7\\|\bullet \bullet\\|$ |
+| 3 $\cdot$\\|l|॰ | $8 \mathrm{ll} \% \mathrm{Ol}$ |
+| 4 \|.o.|I | $9 \\|\|\| \bullet \circ \mid$ |
+
+A leitura se faz da direita para a esquerda. Por exemplo: o código postal 91720 se escreve como ..IIII.III.IIII..II.I.IIIIII..I, ou seja,
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-03.jpg?height=114&width=622&top_left_y=2213&top_left_x=797)
+
+Note que a codificação de 94 , que é $\underbrace{}_{4}$, tem um eixo vertical de simetria. Encontre os códigos entre 47000 e 47999 que apresentam um eixo vertical de simetria.
+
+16. Anéis olimpicos (N1/N2/N3) - Os números de 1 a 9 foram colocados dentro de cinco anéis olímpicos, de tal modo que dentro de cada anel a soma é 11.
+
+Disponha os nove números de outra maneira, para que a soma dentro de cada anel seja sempre a mesma e a maior possível.
+
+17. Partidas de Denise (N2/N3) - Denise e Antônio jogam uma série de oito jogos, em que o vencedor da primeira partida ganha um ponto, o da segunda dois pontos, o da terceira quatro pontos, o da quarta oito pontos, e assim por diante, multiplicando por dois o número de pontos de uma partida para a outra. No final, Denise ganhou 31 pontos a mais que Antônio e não houve empate em nenhuma das partidas. Quais partidas Denise ganhou?
+18. Sete quadrados (N1/N2) - Você sabe repartir um quadrado em sete quadrados menores?
+19. Ilha misteriosa (N1/N2/N3) - Numa misteriosa ilha havia 13 camaleões cinza, 15 camaleões marrons e 17 camaleões vermelhos. Quando dois camaleões de cores diferentes se encontram, os dois tomam a terceira cor. Por exemplo, se um cinza se encontra com um vermelho, então os dois ficam marrons. Por causa de uma tempestade, ocorreram dois encontros cinza-vermelho, três encontros marrom-vermelho e um encontro cinza-vermelho. Quantos camaleões de cada cor ficaram na ilha?
+20. Universo hostil (N3) - Num deserto há cobras, ratos e escorpiões. Cada manhã, cada cobra mata um rato. Cada meio-dia, cada escorpião mata uma cobra. Cada noite, cada rato mata um escorpião. Ao final de uma semana, à noite, só restava um rato. Quantos ratos havia na manhã do início da semana?
+21. O jogo das fichas - Para iniciar um jogo com seus amigos, Manoel coloca oito fichas em cada uma das nove casas do tabuleiro mostrado na figura. Para ganhar o jogo, ele precisa mover as fichas pelo tabuleiro de tal modo que, ao final, todas as fichas estejam colocadas e tenha sido alcançada uma outra configuração de fichas na qual, em cada linha, cada coluna e cada diagonal, reste o mesmo número de fichas (mas não a inicial, com oito fichas em cada casa). Na primeira jogada, ele coloca mais três fichas na casa 3 e tira todas da casa 2, ficando com 5 na mão, para prosseguir. Quantas fichas ele
+deve colocar em cada uma das outras sete casas para ganhar o jogo, mantendo as fichas das casa 2 e 3 inalteradas depois dessa primeira jogada?
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-05.jpg?height=374&width=978&top_left_y=453&top_left_x=594)
+22. Um sistema - Nas igualdades $A B+B C=C D$ e $A B-B C=B A$, cada letra representa um algarismo. Quanto vale $A+B+C+D$ ?
+23. Constelações floridas - Rosa, Margarida e Dália são três constelações em forma de buquês de flores. Sabemos que:
+
+(a) o número de estrelas de Dália, que é a menor das três constelações, é o produto de dois quadrados;
+
+(b) o número de estrelas de Rosa também é um produto de dois quadrados;
+
+(c) Dália e Rosa, juntas, têm o mesmo número de estrelas de Margarida;
+
+(d) Margarida tem 28561 estrelas.
+
+Quantas estrelas possuem, cada uma, Dália e Rosa?
+
+24. Dois meses iguais - A seguir mostramos o calendário de abril de 2005.
+
+| $\mathrm{D}$ | $\mathrm{S}$ | $\mathrm{T}$ | $\mathrm{Q}$ | $\mathrm{Q}$ | $\mathrm{S}$ | $\mathrm{S}$ |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+|  |  |  |  |  | 1 | 2 |
+| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
+| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
+| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
+| 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
+
+Qual é o primeiro mês depois desse, de 2005 ou de 2006, que teve uma página igual?
+
+25. A faixa e o quadrado - Uma faixa retangular de cartolina mede 5 por $1 \mathrm{~cm}$. Corte a faixa com quatro cortes retilíneos de modo a poder montar um quadrado com as peças obtidas, mas sem superposição das peças.
+26. Um número e seu sêxtuplo - Um número de três algarismos e seu sêxtuplo são formados pelos mesmos algarismos. A soma dos algarismos desse número é 17 e a de seu sêxtuplo é 21. Qual é esse número? Existe mais do que um número com essas propriedades?
+27. Oito dentro de um retângulo - Coloque os números de 1 a 8 dentro dos círculos do retângulo dado, de tal modo que a diferença entre dois números ligados por um segmento seja sempre maior do que 1.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-06.jpg?height=174&width=303&top_left_y=284&top_left_x=1525)
+
+28. Uma estratégia com um número muito grande - Carlos escreveu consecutivamente todos os números de 1 a 60 , ou seja,
+
+$$
+1234567891011121314 \cdots 57585960
+$$
+
+Depois ele riscou 100 algarismos de tal modo que o número formado com os algarismos que não foram riscados fôsse o maior possível, sem mudar a ordem inicial em que os algarismos foram escritos. Qual é esse número?
+
+29. Um número surpreendente - Um certo número surpreendente é divisível por 9, tem nove algarismos diferentes, nenhum dos quais é igual a 0 e é tal que:
+
+(a) o número formado pelos 2 primeiros algarismos é divisível por 2;
+
+(b) o número formado pelos 3 primeiros algarismos é divisível por 3;
+
+(c) o número formado pelos 4 primeiros algarismos é divisível por 4;
+
+(d) o número formado pelos 5 primeiros algarismos é divisível por 5;
+
+(e) o número formado pelos 6 primeiros algarismos é divisível por 6;
+
+(f) o número formado pelos 7 primeiros algarismos é divisível por 7;
+
+(g) o número formado pelos 8 primeiros algarismos é divisível por 8 .
+
+Qual é esse número?
+
+30. Qual é o erro? - Uma das afirmações dadas é falsa:
+
+(a) André é mais velho do que Bruno;
+
+(b) Cláudia é mais nova do que Bruno;
+
+(c) A soma das idades de Bruno e Cláudia é o dobro da idade de André;
+
+(d) Claúdia é mais velha do que André.
+
+Quem é o mais velho? E o mais novo?
+
+31. Soma - Neste exercício, as letras representam algarismos. Determine cada uma das parcelas da soma dada.
+
+$$
+\begin{array}{r}
+a b c d e f \\
+a b c d e f \\
++\quad g h i j \\
+\hline d e f h j f
+\end{array}
+$$
+
+32. Bolinhas - Rogério colocou seis bolinhas sobre a mesa, de modo a formar dois quadrados, como na figura. Ele percebe que tem mais uma bolinha. Complete a figura formada pelas bolinhas com essa bolinha a mais, de tal modo que forme três quadrados.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-06.jpg?height=148&width=277&top_left_y=2479&top_left_x=1529)
+
+33. Um número que não é divisivel por 5 - Determine quais números naturais $n$ entre 2001 e 2007 tornam o número $1^{n}+2^{n}+3^{n}+4^{n}$ não divisível por 5 .
+34. Quatro frações e um inteiro - Quantos números naturais $a, b, c$ e $d$, todos distintos, existem tais que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ seja um inteiro?
+35. O Rei Arthur e o Dragão das Três Cabeças e Três Caudas - O Rei Arthur teve que lutar com o Dragão das Três Cabeças e Três Caudas. Sua tarefa foi facilitada quando conseguiu arranjar uma espada mágica que podia, a cada golpe, fazer uma e somente uma das seguintes coisas:
+
+(a) cortar uma cabeça;
+
+(b) cortar duas cabeças;
+
+(c) cortar uma cauda;
+
+(d) cortar duas caudas.
+
+Além disso, a Fada Morgana lhe revelou o segredo do dragão:
+
+(a) se uma cabeça é cortada, cresce uma nova;
+
+(b) se duas cabeças são cortadas, nada mais acontece;
+
+(c) no lugar de uma cauda cortada nascem duas caudas novas;
+
+(d) se duas caudas são cortadas, cresce uma nova cabeça;
+
+(e) o dragão morre se perder as três cabeças e as três caudas.
+
+Para matar o dragão, de quantos golpes o Rei Artur vai precisar, no mínimo?
+
+36. O passeio do cavalo - Num tabuleiro de $5 \times 5$ casas, um cavaleiro do jogo de xadrez está na casa marcada com $A$. Depois ele segue movendo, marcando as casas por onde passa, como na figura.
+
+$$
+A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow H
+$$
+
+| $A$ |  |  |  | $G$ |
+| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
+|  |  | $H$ |  |  |
+|  | $B$ |  | $F$ |  |
+|  |  | $D$ |  |  |
+| $C$ |  |  |  | $E$ |
+
+Partindo da casa $H$, o cavaleiro se move pelo tabuleiro até ter passado por todas as 25 casas. Descreva o trajeto que ele fez.
+
+37. As faces do cubo - Oito dados são agrupados formando um cubo. Quantas faces dos dados permanecem visíveis?
+38. Data fatídica - Em 1950, um "profeta" anunciou que o fim do mundo ocorreria em 11 de agosto de 1999, que denotamos por 11081999. Como nada aconteceu nesse dia, ele refez seus cálculos e fez a seguinte previsão: "O fim do mundo ocorrerá na próxima data que se escrever com oito algarismos diferentes." Você consegue descobrir essa data?
+39. Todos com o $\mathbf{2}$ - Qual é operação que devemos fazer com todos os cinco números $418,244,816,426$ e 24 para obter cinco números que tenham todos o algarismo 2 ?
+
+(a) Dividir por 2 .
+
+(b) Somar 4.
+
+(c) Dividir por 6 .
+
+(d) Subtrair 5.
+
+(e) Multiplicar por 3.
+
+40. Tortas da vovó - Sofia foi levar uns docinhos para sua avó: foram sete docinhos de amora, seis de côco e três de chocolate. Durante o caminho, a gulosa Sofia comeu dois docinhos. Qual das situações abaixo é possível?
+
+(a) Sua avó não recebeu docinhos de chocolate.
+
+(b) Sua avó recebeu menos docinhos de côco do que de chocolate.
+
+(c) Sua avó recebeu o mesmo número de docinhos de cada uma das três variedades.
+
+(d) Existem duas variedades de docinhos das quais sua vovó recebeu o mesmo número.
+
+(e) O número de docinhos de amora que sua vovó recebeu é maior que o das outras duas variedades somadas.
+
+41. Familia Sétimo - O Sr. e Sra. Sétimo têm sete filhos, todos nascidos em 1ํo de abril; na verdade, em seis 1o de abril consecutivos. Neste ano, para seus aniversários, a Sra. Sétimo fez um bolo com velinhas para cada um de seus filhos, sendo o número de velas em cada bolo igual ao número de anos do aniversariante. João Sétimo, o filho que mais gosta de Matemática, reparou que, nesse ano, o número total de velinhas é o dobro do que havia dois anos atrás e que há dois bolos a mais. Quantas velinhas serão acesas desta vez?
+42. O salta-ficha - Temos dez fichas numeradas colocadas em linha reta, como na figura dada.
+
+## (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
+
+Queremos arrumá-las em cinco pilhas, com duas fichas em cada pilha. A regra para isso é que só podemos movimentar uma ficha fazendo-a saltar sobre uma ou mais fichas, ou sobre uma única pilha já formada. Um exemplo de três movimentos é o seguinte.
+
+- A ficha 7 pode saltar sobre a ficha 8 e formar uma pilha com a 9 ;
+- a ficha 5 pode saltar sobre as fichas 6 e 7 e formar uma pilha com a 8 e
+- a ficha 6 pode saltar sobre as fichas 5,4 e 3 formar uma pilha com a 2 .
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-09.jpg?height=177&width=1553&top_left_y=280&top_left_x=340)
+
+Como formar cinco pilhas de duas fichas com apenas cinco movimentos?
+
+43. O menor - Qual é o menor número, $5^{2002}$ ou $3^{2002}+4^{2002}$ ?
+44. O maior resultado - Qual é o maior resultado que podemos encontrar quando dividimos um número de dois algarismos pela soma de seus algarismos?
+45. Dois mil - Digamos que o peso de um número seja a soma de seus algarismos. Qual é o menor número que pesa 2000 ?
+46. No cabeleireiro - Três clientes estão no cabeleireiro, pagando cada um a sua conta no caixa.
+
+- O primeiro cliente paga uma quantia igual ao montante que há no caixa e recebe 10 reais de troco.
+- O segundo cliente efetua a mesma operação que o primeiro.
+- O terceiro cliente efetua a mesma operação que o primeiro.
+
+Encontre o montante que estava inicialmente no caixa, sabendo que, ao fim das três operações, o caixa ficou zerado.
+
+47. O macaco e a raposa - O macaco diz para a raposa: "Você vê as três pessoas que estão correndo lá longe? Eu sei que o produto de suas idades é 2450 e que a soma de suas idades é o dobro da sua idade. Você pode me dizer suas idades? Não, responde a raposa. E se eu te disser que o mais jovem dos três é o único louro, você pode agora descobrir as idades? Então a raposa dá as idades das três pessoas.
+
+Porque a raposa não pode responder inicialmente? E porque pode responder depois?
+
+48. Nova sequência - Encontre a lei que forma a sequência 425, 470, 535, 594, 716, $802, \ldots$ e dê seus próximos dois termos.
+49. Retângulo quase quadrado - Um certo terreno retangular é quase quadrado, pois sua largura e seu comprimento medem números inteiros que diferem exatamente por uma unidade de medida. A área desse terreno, em unidades quadradas, é um número de quatro algarismos, sendo iguais o das unidades de milhar e o das centenas, bem como o das dezenas e o das unidades. Quais são as possíveis dimensões desse terreno?
+50. Onde está o erro? - Seja $x$ solução de $x^{2}+x+1=0$. Então $x \neq 0 \mathrm{e}$, por isso, podemos dividir ambos os membros da equação por $x$, obtendo $x+1+1 / x=0$. Da equação original temos que $x+1=-x^{2}$, portanto, $-x^{2}+1 / x=0$, isto é, $x^{2}=1 / x$ ou, ainda, $x^{3}=1$, de modo que $x=1$. No entanto, substituindo $x=1$ na equação $x^{2}+x+1=0$ original, encontramos $3=0$, o que não está exatamente correto. Onde erramos?
+
+## Soluções dos Desafios
+
+1. Cadeia do menor número $(\mathrm{N} 2 / \mathrm{N} 3)-265863 \overbrace{\longrightarrow}^{+6817} 39 \overbrace{\longrightarrow}^{+221} 260 \overbrace{}^{\times 51} 13260 \overbrace{}^{-13259} 1$.
+2. Qual é a metade? (N2/N3)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-10.jpg?height=322&width=437&top_left_y=610&top_left_x=935)
+
+3. Cada um em seu estado (N1/N2/N3) - Bruno ou Amélia (o desafio tem duas soluções).
+4. Divisão (N1/N2) - Resposta: 153.
+5. Extra-terrestre (N1/N2) - Seise.
+6. Que família! (N1/N2) - 3 meninas e 4 meninos.
+7. Siga a pista (N1)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-10.jpg?height=277&width=456&top_left_y=1523&top_left_x=937)
+
+8. Cara ou Coroa (N2) - Resposta: 12.
+9. Contas do papagaio (N1) - Resposta: 19.
+10. As férias de Tomás (N1/N2) - Resposta: 16 dias.
+11. Maratona de Matemática (N3) - Resposta: 25 e 63, respectivamente.
+12. Frações ignoradas (N1)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-10.jpg?height=314&width=326&top_left_y=2350&top_left_x=999)
+
+13. Caminho de maior total (N2) - ???
+14. Produtos em linha (N1/N2/N3) - casa B.
+15. Código Postal (N2/N3) - Resposta: 47679 e 47779.
+16. Anéis olimpicos (N1/N2/N3)
+17. Partidas de Denise (N2/N3) - A primeira, a segunda, a terceira, a quarta e a oitava.
+18. Sete quadrados (N1/N2)
+
+|  |  |  |
+| :--- | :--- | :--- |
+|  |  |  |
+|  |  |  |
+
+19. Ilha misteriosa (N1/N2/N3) - 16 cinzas, 18 marrons e 11 vermelhos.
+20. Universo hostil (N3) - Resposta: 1873.
+21. O jogo das fichas
+
+| 1 | 2 | 3 |
+| :---: | :---: | :---: |
+| 13 | 0 | 11 |
+| 4 |  | 6 |
+| 6 | 8 | 10 |
+| ${ }^{7} 5$ | 816 <br> 16 | 3 |
+
+22. Um sistema - Resposta: 23.
+23. Constelações floridas - Pelo menos duas soluções:
+
+$$
+D=25 \times 169=4225 ; \quad R=144 \times 169=24336
+$$
+
+e
+
+$$
+D=49 \times 289=14161 ; \quad R=100 \times 144=14400
+$$
+
+24. Dois meses iguais - Setembro de 2006.
+25. A faixa e o quadrado
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-12.jpg?height=145&width=608&top_left_y=487&top_left_x=815)
+
+26. Um número e seu sêxtuplo - Resposta: 746 é a única solução.
+27. Oito dentro de um retângulo - Pelo menos duas soluções:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-12.jpg?height=277&width=485&top_left_y=929&top_left_x=520)
+
+e
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-12.jpg?height=274&width=479&top_left_y=931&top_left_x=1211)
+
+28. Uma estratégia com um número muito grande - Resposta: 99999585960.
+29. Um número surpreendente - Resposta: 381654729.
+30. Qual é o erro? - Cláudia e Bruno.
+31. Soma - Três soluções:
+
+| 231468 |
+| ---: |
+| 231468 |
+| $+\quad 5972$ |
+| 468908 |$\quad$| 264538 |
+| ---: |
+| 264538 |
+| $\quad 9102$ |
+
+32. Bolinhas
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-12.jpg?height=237&width=237&top_left_y=2080&top_left_x=995)
+
+33. Um número que não é divisivel por 5 - Resposta: 2004.
+34. Quatro frações e um inteiro - Resposta: 1.
+35. O Rei Arthur e o Dragão das Três Cabeças e Três Caudas - Resposta: 5.
+36. O passeio do cavalo
+
+| $A$ | $X$ | $M$ | $R$ | $G$ |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| $N$ | $S$ | $H$ | $Y$ | $L$ |
+| $I$ | $B$ | $W$ | $F$ | $Q$ |
+| $T$ | $O$ | $D$ | $K$ | $V$ |
+| $C$ | $J$ | $U$ | $P$ | $E$ |
+
+37. As faces do cubo - Resposta: 24 .
+38. Data fatídica - Resposta: 17.06 .2345
+39. Todos com o 2 - A opção correta é (e).
+40. Tortas da vovó - A opção correta é (d).
+
+Vamos examinar cada uma das situações propostas. Lembre que, no final, vovó recebeu $7+6+3-2=14$ docinhos.
+
+(a) Impossível, porque ela recebeu, no mínimo, $3-2=1$ docinho de chocolate.
+
+(b) Impossível, porque ela recebeu, no mínimo, $6-2=4$ docinhos de côco.
+
+(c) Impossível, porque $7-2=5>3$.
+
+(d) Possível, porque Sofia pode ter comido um docinho de amora e um de chocolate, restando 6 de amora, 6 de côco e 2 de chocolate para a vovó.
+
+(e) Impossível, porque 7 não é maior do que $6+3-2=7$.
+
+41. Família Sétimo - Os nascimentos ocorreram em seis dias 1ํo de abril, logo existem irmãos gêmeos. Como nesse ano temos dois bolos a mais do que há dois anos, então há dois anos o mais jovem ainda não tinha nascido, o penúltimo filho tinha acabado de nascer e os gêmeos já tinham nascido. Atualmente, o mais jovem tem um ano e os gêmeos têm $x$ anos, com $x \geq 3$. Como
+
+$$
+\underbrace{1+2+3+4+5+6+x}_{\text {número de velas nesse ano }}=2 \times \underbrace{(1+2+3+4+x-2)}_{\text {número de velas } 2 \text { anos atrás }}
+$$
+
+temos $x=5$. Logo, serão acesas $1+2+3+4+2 \times 5+6=26$ velinhas.
+
+## 42. O salta-ficha
+
+(a) A ficha 7 salta sobre as fichas 8 e 9 formando uma pilha com a ficha 10;
+
+(b) a ficha 4 salta sobre as fichas 5 e 6 formando uma pilha com a ficha 8 ;
+
+(c) a ficha 6 salta sobre as fichas 3 e 5 formando uma pilha com a ficha 2 ;
+
+(d) a ficha 5 salta sobre a pilha $(4,8)$ formando uma pilha com a ficha 9 e
+
+(e) a ficha 1 salta sobre a pilha $(6,2)$ formando uma pilha com a ficha 3.
+
+O resultado segue.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-14.jpg?height=125&width=305&top_left_y=260&top_left_x=961)
+
+43. O menor - Como $5^{2}=3^{2}+4^{2}$, temos $5^{2002}=\left(3^{2}+4^{2}\right)^{1001}$. Sabemos que, para $a>0$ e $b>0$,
+
+$$
+(a+b)^{1001}>a^{1001}+b^{1001}
+$$
+
+Assim, $5^{2002}>3^{2002}+4^{2002}$.
+
+44. O maior resultado - Estamos procurando o maior valor de $(10 a+b) /(a+b)$, onde $a$ e $b$ representam algarismos, sendo pelo menos um deles diferente de 0 . Temos
+
+$$
+\frac{10 a+b}{a+b}=\frac{10 a+10 b-9 b}{a+b}=\frac{10 a+10 b}{a+b}-\frac{9 b}{a+b}=10-\frac{9 b}{a+b} \leq 10
+$$
+
+Logo, se conseguirmos encontrar $a$ e $b$ tais que $(10 a+b) /(a+b)=10$, teremos o maior resultado. Note que isso ocorre quando $b=0$, ou seja,
+
+$$
+\frac{10}{1}=\frac{20}{2}=\frac{30}{3}=\frac{40}{4}=\frac{50}{5}=\frac{60}{6}=\frac{70}{7}=\frac{80}{8}=\frac{90}{9}=10
+$$
+
+Assim, a resposta é 10.
+
+45. Dois mil - Observe que os números 189, 8307 e 99 têm todos peso 18 e que 99 é o menor número que pesa 18. Para aumentar o peso de um número e minimizar o número é preciso que o número tenha o maior número possível de algarismos 9. Por outro lado, podemos dizer que o 0 está eliminado dos algarismos a ser considerados, porque ele aumenta o número sem aumentar seu peso.
+
+Temos que $2000=9 \times 222+2$. Logo, o número procurado deve ter 222 algarismos 9 e um algarismo 2, ou dois algarismos 1 . Eliminamos o caso dos números com dois algarismos 1 porque eles têm 224 algarismos, sendo, portanto, maiores do que os números que possuem o algarismo 2 e têm 223 algarismos. Assim, o número procurado tem um 2 seguido de 222 algarismos 9: o número é 299 . . 999.
+
+46. No cabeleireiro - Seja $x$ o montante inicial no caixa. Esse montante mais o que os três clientes pagaram nos dará o caixa zerado.
+
+- O primeiro cliente paga $x-10$ e, depois dele, há $x+x-10=2 x-10$ reais no caixa.
+- O segundo cliente paga $(2 x-10)-10=2 x-20$ e, depois dele, há $(2 x-10)+(2 x-20)=4 x-30$ no caixa.
+- O terceiro cliente paga $(4 x-30)-10=4 x-40$ e depois dele há $(4 x-30)+(4 x-40)=8 x-70$ no caixa.
+
+Como o caixa está zerado depois do terceiro cliente, $8 x-70=0$, ou seja,
+
+$$
+x=70 / 8=8,75 \text { reais. }
+$$
+
+47. O macaco e a raposa - 2450 é o produto dos números primos $1,2,5,5,7$ e 7 . As três idades correspondem a uma combinação particular desses números ou de seus produtos. A raposa não pode descobrir as idades no início porque pelo menos duas dessas combinações têm por soma o dobro de sua idade. De todas as combinações possíveis, somente $5+10+49$ e $7+7+50$ têm a mesma soma 64 .
+
+1- conclusão: a raposa tem 32 anos.
+
+Depois da nova dica do macaco, a raposa descobriu as idades porque pode eliminar uma combinação, a que contém dois números iguais, uma vez que um deles é o mais jovem de todos.
+
+$2^{\mathbf{a}}$ conclusão: as pessoas têm 5,10 e 49 anos.
+
+48. Nova sequência - Cada termo da sequência é a soma do termo precedente com os quadrados de cada um de seus algarismos. De fato,
+
+$$
+470=425+4^{2}+2^{2}+5^{2}, 535=470+4^{2}+7^{2}+0^{2}, \ldots
+$$
+
+Assim, depois de 802, os próximos termos serão 870 e 983.
+
+49. Retângulo quase quadrado - A área é um número da forma $a a b b$, onde $a$ e $b$ representam algarismos, portanto
+
+$$
+a a b b=1100 a+11 b=11(100 a+b)
+$$
+
+Seja $x$ a largura do terreno. Então $x(x+1)=11(100 a+b)$ e deduzimos que $x$ ou $x+1$ é um múltiplo de 11. Procurar múltiplos de 11 que satisfaçam a condição obtida é bastante trabalhoso, por isso, para simplificar, vamos estabelecer quais os valores que $x$ pode ter, procurando seus valores mínimo e máximo.
+
+- Mínimo: a menor área possível é 1111, logo $x(x+1)=1111$ e $x>32$.
+- Máximo: a maior área possível é $9999, \log x(x+1)=9999$ e $x<100$.
+
+Agora testamos todos $x$ entre 32 e 100 tais que $x$ ou $x+1$ seja múltiplo de 11 e que $x(x+1)$ seja do tipo $a a b b$. Temos apenas doze opções, como segue.
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 33 \times 34=1122,43 \times 44=1892,44 \times 45=1980,54 \times 55=2970 \\
+& 55 \times 56=2970,65 \times 66=4290,66 \times 67=4422,76 \times 77=5852 \\
+& 77 \times 78=6006,87 \times 88=7656,88 \times 89=7832,99 \times 100=9900
+\end{aligned}
+$$
+
+Encontramos três possibilidades para as dimensões do terreno, a saber, $33 \times 34,66 \times 67$ ou $99 \times 100$ metros.
+
+50. Onde está o erro? - Esse deixamos para os alunos!

Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N1_aritmetica.md

@@ -0,0 +1,212 @@
+# 15. Aritmética 
+
+| Nível 1 | Soluções |
+| :--- | :--- |
+
+## 1 | Múltiplo de 9 com Algarismos Pares
+
+Encontre o menor múltiplo de 9 que não possui algarismos ímpares.
+
+Solução: Como o número é divisível por 9, a soma dos algarismos é divisível por 9 .
+
+Por outro lado, como todos os algarismos são pares, a soma dos algarismos também é par. Assim, a soma dos algarismos é no mínimo 18. O menor múltiplo de 9 com a soma dos algarismos igual a 18 é 99 , mas seus algarismos são ímpares. Isto implica que o número deve ter três ou mais algarismos.
+
+Se queremos o menor número com 3 algarismos, o primeiro algarismo deve ser no mínimo 2. Neste caso, a soma dos outros dois algarismos é igual a 16 e como são pares, a única possibilidade é 288.
+
+Portanto, $288=9 \times 32$ é o menor múltiplo de 9 com todos os algarismos pares.
+
+## 2 | Guardando Cubos
+
+Uma caixa possui o formato de um bloco retangular de dimensões $102 \mathrm{~cm}, 255 \mathrm{~cm}$ e $170 \mathrm{~cm}$. Queremos guardar nessa caixa a menor quantidade possível de pequenos cubos de aresta inteira, de forma a ocupar toda a caixa.
+
+Sugestão: Note que a medida da aresta do cubo deve ser um divisor de cada uma das três medidas das dimensões da caixa.
+
+(a) Qual a medida da aresta de cada bloco?
+
+(b) Quantos blocos serão necessários?
+
+## Solução:
+
+(a) Como a quantidade de blocos é a menor possível, a aresta do mesmo deve ser a maior possível. A medida da aresta deve ser um divisor de 102, 255 e 170. Como queremos a maior aresta possível, a medida dela deve ser igual ao $\operatorname{mdc}(102,255,170)=17$. Logo, a aresta do cubo mede $17 \mathrm{~cm}$.
+
+(b) O número de blocos é
+
+$$
+\frac{102 \cdot 255 \cdot 170}{17 \cdot 17 \cdot 17}=6 \cdot 15 \cdot 10=900
+$$
+
+Sugestão: Determine o valor mínimo para a soma dos algarismos do número.
+
+Fatos que Ajudam: A soma dos algarismos de um múltiplo de 9 é divisível por 9 .
+
+Sugestão: Determine os possíveis valores para o produto e suas fatorações.
+
+Fatos que Ajudam: 101 é primo.
+Sugestão: Mostre inicialmente que ele não pode ter comprado mais de 127 artigos.
+
+## 3 | Calculadora Quebrada
+
+Tio Mané tem uma calculadora quebrada que não tem a tecla 0 e no visor nunca aparece 0 depois de alguma operação. Assim, por exemplo, se ele multiplica $3 \times 67$, obtém como resposta 21 , ao invés de 201.
+
+Tio Mané multiplicou dois números de dois algarismos em sua calculadora e obteve no visor o número 11. Quais são os possíveis números que ele multiplicou?
+
+Solução: Como a calculadora não possui a tecla $O$, o produto de dois números de dois algarismos nesta calculadora é maior ou igual a $11 \times 11=121$ e menor que $100 \times 100=10000$, as possíveis respostas para o produto são: 1001, 1010 e 1100. Para cada um dos casos temos:
+
+- $1001=11 \times 91=13 \times 77$, duas possíveis soluções;
+- $1010=101 \times 10$ e como 101 é primo, não temos solução neste caso;
+- $1100=11 \times 2^{2} \times 5^{2}=25 \times 44$ é a única solução já que nenhum dos dois fatores pode ser divisível simultaneamente por 2 e 5 .
+
+Portanto, os possíveis produtos efetuados por Tio Mané são $11 \times 91$ ou $13 \times 77$ ou $25 \times 44$.
+
+## 4 | Loja em Quixajuba
+
+Uma loja em Quixajuba só vende artigos com preços de R $\$ 0,99$, R\$ 1,99, R\$ 2,99, e assim sucessivamente. Tio Mané realizou uma compra no valor total de R $\$ 125,74$. Quantos artigos ele pode ter comprado?
+
+Solução: Inicialmente observe que $\frac{125,74}{0,99}<128$, portanto Tio Mané comprou no máximo 127 artigos. Como a compra efetuada custa 26 centavos abaixo de um valor inteiro, ele comprou ou 26 artigos, ou 126 artigos, ou 226 artigos, etc. Porém, como só adquiriu no máximo 127 artigos, então ele pode ter comprado 26 ou 126, que são quantidades possíveis de se comprar. Veja os exemplos:
+
+- 26 artigos: 25 artigos de R\$ 0,99 e um no valor de R\$100,99.
+- 126 artigos: 125 artigos de R\$0,99 e um no valor de R\$1,99.
+
+
+## 5 | Números Sortudos
+
+Dizemos que um número natural é sortudo se todos os seus dígitos são iguais a 7. Por exemplo, 7 e 7777 são sortudos, mas 767 não é. João escreveu num papel os vinte primeiros números sortudos começando pelo 7, e depois somou-os. Qual o resto da divisão dessa soma por 1000 ?
+
+Solução: Observemos que se um número sortudo tem mais de 3 algarismos, o resto da divisão por 1000 é 777.
+
+Assim, o resto que estamos procurando é o mesmo resto da divisão de
+
+$$
+7+77+\underbrace{777+777+\cdots+777}_{18 \text { vezes }}
+$$
+
+por 1000. Mas este número é
+
+$$
+84+18 \times 777=84+13986=14070
+$$
+
+Assim, o resto é 70.
+
+## 6 | Somando Idades
+
+Cada pessoa de um grupo de dez pessoas calcula a soma das idades das outras nove integrantes do grupo. As dez somas obtidas foram $82,83,84,85,87,89,90,90,91$ е 92 .
+
+Determine a idade da pessoa mais jovem.
+
+Solução: Observe que a idade de cada pessoa aparece como parcela em 9 dos 10 números. Assim, se somarmos os 10 números obteremos nove vezes a soma de todas as idades. Portanto, a soma das idades das dez pessoas é
+
+$$
+\frac{82+83+84+85+87+89+90+90+91+92}{9}=\frac{873}{9}=97
+$$
+
+A pessoa mais jovem obteve a maior soma, que corresponde à soma das idades dos nove mais velhos, portanto sua idade é $97-92=5$ anos.
+
+## 7 | Menor Soma Positiva
+
+O produto de 50 números inteiros consecutivos é zero e a soma desses números é positiva. Qual o menor valor que pode assumir essa soma?
+
+Solução: Como o produto é igual a zero, um dos números tem de ser zero. Assim, para minimizar a soma devemos ter a maior quantidade de números negativos mas de forma que a soma ainda seja positiva.
+
+Assim, a quantidade de números negativos deve ser menor que a quantidade de números positivos. Logo, entre os 49 números não nulos 24 são negativos e 25 são positivos. Portanto, a soma mínima é
+
+$$
+\begin{gathered}
+-24+(-23)+(-22)+\cdots+(-1)+0+1+\cdots+25= \\
+25+(-24+24)+(-23+23)+\cdots+(-1+1)+0=25
+\end{gathered}
+$$
+
+Sugestão: Observe que a partir do número 777 , todos os números deixam o mesmo resto na divisão por 1000 .
+Sugestão: Observe a quantidade de vezes que a idade de uma pessoa foi considerada nas dez somas.
+Sugestão: Se o produto dos números é igual a zero, então um dos números deve ser igual a zero.
+
+Sugestão: Observe o que ocorre com a soma dos algarismos do número quando se faz a operação descrita no problema.
+
+Fatos que Ajudam: A média aritmética de dois números $a$ e $b$ é dada por
+
+$$
+\frac{a+b}{2}
+$$
+
+(1) $2(3) 4 \quad 5 \quad 6 \quad 7 \quad 8 \quad 9$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-4.jpg?height=68&width=440&top_left_y=1194&top_left_x=151)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-4.jpg?height=71&width=440&top_left_y=1261&top_left_x=151)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-4.jpg?height=60&width=451&top_left_y=1329&top_left_x=140)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-4.jpg?height=62&width=451&top_left_y=1391&top_left_x=140)
+
+(6) 2203401689
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-4.jpg?height=74&width=449&top_left_y=1511&top_left_x=148)
+
+$\begin{array}{lllllllll}8 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\end{array}$
+
+Sugestão: Analise os restos dos números da sequência quando são divididos por 3.
+
+Fatos que Ajudam: Um número e a soma de seus algarismos deixam o mesmo resto quando divididos por 3.
+
+## 8 | Média dos Algarismos
+
+Paulinho escreveu um número no quadro e depois inventou a seguinte brincadeira: escolhe dois algarismos do número que sejam ambos pares ou ambos ímpares e troca cada um deles pela sua média aritmética. Ele repete este processo quantas vezes quiser, desde que o número disponha de dois algarismos com a mesma paridade. Por exemplo, ele escreveu o número 1368 e obteve a sequência na qual foram destacados os algarismos que serão trocados no passo seguinte.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-4.jpg?height=137&width=986&top_left_y=691&top_left_x=729)
+
+(a) Com esta brincadeira, é possível obter o número 434434 a partir do número 324561 ?
+
+(b) Paulinho escreveu o número 123456789 no quadro. Mostrar que com este processo, selecionando os números adequadamente, ele pode obter um número maior que 800000000 .
+
+## Solução:
+
+(a) Observemos que com este processo a soma dos algarismos do número não muda. Como a soma dos algarismos de 324561 é 21 e a soma dos algarismos de 434434 é 22, segue que é impossível obter 434434 a partir de 324561.
+
+(b) Apresentamos uma sequência de passos que gera, a partir do número 123456789, um número maior que 800000000 .
+
+## 9 | Sequência Numérica I
+
+Todo termo de uma sequência, a partir do segundo, é igual à soma do anterior com a soma de seus algarismos. Os primeiros elementos da sequência são
+
+$$
+1,2,4,8,16,23,28,38,49, \ldots
+$$
+
+É possível que 793210041 pertença a essa sequência?
+
+Solução: Sabemos que um número e a soma de seus algarismos deixam o mesmo resto quando divididos por 3 . Em cada caso, se o número deixa resto 1 na divisão por 3 , então o número mais a soma de seus algarismos deixa resto 2 na divisão por 3 , e se o número deixa resto dois, então a soma dele com a soma de seus algarismos deixa resto 1 porque $2+2=4$ deixa resto 1 .
+
+Calculando os restos da sequência quando dividimos por 3 , obtemos uma nova sequência
+
+$$
+1,2,1,2,1, \ldots
+$$
+
+isto é, uma sequência periódica onde aparecem unicamente os restos 1 e 2. Como o número 793210041 é divisível por 3, então ele não pertence à sequência.
+
+## 10 | Estrelas em Geometrix
+
+Estrelix, um habitante de Geometrix, decidiu colocar os inteiros positivos seguindo a disposição indicada na figura.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-5.jpg?height=300&width=651&top_left_y=455&top_left_x=471)
+
+Figura 10.1
+
+Em quais estrelas aparece o número 2011? Posicione todos os números que aparecem nas referidas estrelas.
+
+Solução: Consideremos que cada estrela tem em sua composição 11 números e outros dois números, que serão contados na estrela seguinte, conforme a figura 10.2. Dividindo 2011 por 11, obtemos quociente 182 e resto 9. Assim, o número 2011 é o nono número da $183^{\mathrm{a}}$ estrela, que está representada na figura 10.3.
+Sugestão: Separe as estrelas deixando os números compartilhadas sempre na estrela à direita.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-5.jpg?height=288&width=486&top_left_y=1078&top_left_x=1433)
+
+números com-
+
+partilhados
+
+Figura 10.2
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-5.jpg?height=396&width=443&top_left_y=1561&top_left_x=1452)
+
+Figura 10.3
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N1_desafios.md

@@ -0,0 +1,210 @@
+# 18. Desafios 
+
+Nível 1 Soluções
+
+## 31 | Vizinhos e Distantes
+
+É possível escrever os números naturais de 1 a 100 sobre uma reta de modo que a diferença entre quaisquer dois números vizinhos seja maior ou igual a 50 ?
+
+Solução: Observe que o único vizinho possível para o 50 é o número 100 e o único vizinho possível para o número 51 é o número 1. Portanto, 50 e 51 devem aparecer nas extremidades da configuração. Começando por 51, obtemos a configuração.
+
+$$
+51 \rightarrow 1 \rightarrow 52 \rightarrow 2 \rightarrow 53 \rightarrow \cdots \rightarrow 100 \rightarrow 50
+$$
+
+É possível demonstrar que esta configuração e a que contém os números na ordem inversa, são as únicas possíveis.
+
+De fato, os únicos possíveis vizinhos de 52 são o 1 e o 2, logo os vizinhos de 1 são 51 e 52 . Como 1 não é vizinho de 53, então os únicos possíveis vizinhos de 53 são 2 e 3.
+
+Do mesmo modo descobrimos que os únicos vizinhos possíveis de 54 são o 3 e o 4 (pois o 2 e o 1 já têm vizinhos) e continuando esse processo mostramos que esta é a única sequência possível.
+
+Observe que a configuração é formada intercalando os números dos conjuntos $\{51,52, \ldots, 100\}$ e $\{1,2, \ldots 50\}$.
+
+## 32 | Truque com Cartas
+
+Um mágico com os olhos vendados dá 29 cartas numeradas de 1 a 29 para uma mulher da plateia. Ela esconde duas cartas no bolso e devolve as restantes para a assistente do mágico.
+
+A assistente escolhe duas cartas dentre as 27 e um homem da plateia lê, na ordem que quiser, o número destas cartas para o mágico. Após isto, o mágico adivinha o número das cartas que foram escondidas pela mulher.
+
+Como o mágico e sua assistente podem combinar uma estratégia para realizarem esse truque?
+
+Solução: Existem várias estratégias possíveis. Vamos apresentar
+
+Sugestão: Analise os possíveis vizinhos do número 50 e do número 51 .
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-1.jpg?height=912&width=508&top_left_y=1378&top_left_x=1430)
+
+Figura 32.1 uma.
+
+Separemos em dois casos:
+
+- Primeiro Caso: A mulher escolheu duas cartas não consecutivas (estamos supondo que 29 e 1 são consecutivos). Nesse caso, a assistente escolhe as duas cartas posteriores às escolhidas pela mulher.
+
+Sugestão: O número máximo de pontos no campeonato é três vezes a quantidade de jogos. A cada empate, este número diminui em uma unidade.
+
+- Segundo Caso: A mulher escolheu duas cartas consecutivas. Nesse caso, a assistente escolhe as duas cartas posteriores à maior carta. No caso em que a mulher escolhe as cartas 29 e 1, a assistente pega as cartas 2 e 3.
+
+Para realizar o truque, o mágico precisa somente dizer as duas cartas anteriores em qualquer dos casos.
+
+## 33 | Campeonato de Quixajuba
+
+A tabela mostra a classificação final do campeonato de futebol de Quixajuba. Neste campeonato cada time jogou com cada um dos outros quatro vezes. Cada time ganha 3 pontos por vitória, 1 por empate e não ganha pontos em caso de derrota.
+
+| Equipe | Pontos |
+| :---: | :---: |
+| Bissetriz | 22 |
+| Primo | 19 |
+| Potência | 14 |
+| MDC | 12 |
+
+(a) Quantas partidas foram disputadas no campeonato?
+
+(b) Quantas partidas terminaram empatadas?
+
+## Solução:
+
+(a) Existem 6 possíveis confrontos entre os quatro times (Bissetriz $\times$ Primo), (Bissetriz $\times$ Potência), (Bissetriz $\times$ MDC), (Primo $\times$ Potência), (Primo $\times$ MDC) e (Potência $\times$ MDC). Cada um destes confrontos aconteceu 4 vezes e logo o número de partidas é igual a $4 \times 6=24$.
+
+(b) O número máximo de pontos do campeonato é igual a 3 vezes o número de jogos, isto é, $3 \times 24=72$. Cada vez que acontece um empate este número diminui uma unidade. Como o número total de pontos ao final do campeonato foi $22+19+14+12=67$, o número de partidas que terminaram empatadas é $72-67=5$.
+
+## 34 | Tabuleiro 6 x 6
+
+Você dispõe de doze peças em formato de L, como a mostrada na figura 34.1. Cada figura é formada por três quadrados de lado 1. Mostre como cobrir um quadrado $6 \times 6$ com essas peças, de modo que nenhum retângulo $2 \times 3$ seja formado por exatamente duas de tais peças.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-2.jpg?height=146&width=140&top_left_y=2234&top_left_x=1141)
+
+Solução: A figura 34.2 exibe uma possível divisão.
+
+## 35 | Somando Algarismos
+
+Quantos números naturais de três algarismos são tais que a soma destes é igual a 24 ?
+
+Solução: Se todos os algarismos forem menores que 8 , a soma será menor que $3 \times 8=24$.
+
+Se um deles for igual a 8 , a soma dos outros dois será 16 e temos as possibilidades: $16=8+8=7+9$. Obtemos então sete soluções 888 , $789,798,879,897,978$ e 987.
+
+Se um dos algarismos for igual a 9, a soma dos outros dois será 15 e temos as possibilidades: $15=7+8=6+9$. A primeira igualdade leva a soluções já encontradas. A outra resulta nos números 699, 969 e 996.
+
+Existem então dez naturais com a propriedade desejada: 888, 789, $798,879,897,978,987,699,969$ е 996.
+
+## 36 | Contando Quadrados
+
+Doze pontos são marcados sobre uma grade de pontos, como mostrado na figura 36.1.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-3.jpg?height=224&width=235&top_left_y=1239&top_left_x=748)
+
+Figura 36.1
+
+Quantos quadrados podem ser formados ligando quatro desses pontos?
+
+Solução: No total existem 11 quadrados, como indicado abaixo.
+
+- 5 quadrados pequenos, como na figura 36.2.
+- 4 quadrados maiores, como na figura 36.3.
+- E 2 quadrados maiores ainda, mostrados na figura 36.4.
+Sugestão: Observe que todos os algarismos não podem ser menores que 8 .
+
+Sugestão: Verifique que existem quadrados inclinados, de dois tamanhos diferentes.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-3.jpg?height=220&width=214&top_left_y=1529&top_left_x=1566)
+
+Figura 36.2
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-3.jpg?height=223&width=218&top_left_y=1833&top_left_x=1567)
+
+Figura 36.3
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-3.jpg?height=214&width=211&top_left_y=2143&top_left_x=1568)
+
+Figura 36.4
+
+## 37 | A Moeda Falsa
+
+Temos 25 moedas aparentemente iguais, mas sabemos que exatamente uma delas é falsa e tem o peso diferente do peso das outras. Não sabemos qual é a moeda falsa. Todas as outras 24 moedas possuem o mesmo peso.
+
+Queremos determinar, utilizando uma balança de pratos, se a moeda falsa é mais leve ou mais pesada que as outras.
+
+Como podemos alcançar este objetivo realizando duas pesagens em uma balança de pratos?
+
+- Não queremos encontrar a moeda falsa. Queremos saber se ela é mais leve ou mais pesada que as outras.
+- Nesse tipo de balança podemos comparar os pesos colocados nos dois pratos, ou seja, a balança pode equilibrar ou pender para o lado mais pesado.
+
+Solução: Separe uma das moedas e coloque as outras 24 na balança, com 12 em cada prato. Temos duas possibilidades:
+
+(1) A balança equilibra. Neste caso, concluímos que a moeda falsa é a que não está na balança e todas as que estão na balança são verdadeiras. Basta realizar uma nova pesagem com a moeda falsa e uma outra moeda qualquer.
+
+(2) A balança não equilibra. Pegamos as 12 moedas do prato mais leve e colocamos novamente na balança com 6 moedas em cada prato. Temos novamente dois casos.
+
+(a) Se a balança equilibrar, então todas as 12 moedas são verdadeiras e podemos concluir que a moeda falsa era uma das outras 12 do grupo mais pesado. Portanto, neste caso, a moeda falsa é mais pesada.
+
+(b) Se a balança não equilibrar, a moeda falsa é uma destas 12 moedas e como este grupo é mais leve que o outro, concluímos que a moeda falsa é mais leve.
+
+Sugestão: Cada peça do dominó sempre cobre uma casa preta e uma casa branca.
+
+## 38 | O Tabuleiro Mutilado
+
+A figura abaixo mostra um tabuleiro $8 \times 8$ no qual duas casas foram retiradas (a do canto inferior direito e a do canto superior esquerdo). É possível cobrir este tabuleiro com 31 dominós $2 \times 1$ ? Cada dominó pode ser colocado na horizontal ou na vertical cobrindo exatamente duas casas.
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-4.jpg?height=552&width=414&top_left_y=2076&top_left_x=998)
+
+Figura 38.1
+
+Solução: Cada vez que colocamos uma peça de dominó no tabuleiro, cobrimos uma casa branca e uma casa preta. Deste modo, o número de casas pretas cobertas é igual ao número de casas brancas cobertas.
+
+Como nosso tabuleiro tem 30 casas pretas e 32 casas brancas, não é possível colocarmos 31 dominós.
+
+## 39 | Dividindo um Retângulo
+
+(a) É possível dividir um retângulo $39 \times 55$ em retângulos $5 \times 11$ ?
+
+(b) É possível dividir um retângulo $55 \times 27$ em retângulos $5 \times 11$ ?
+
+## Solução:
+
+(a) Suponha que seja possível fazer tal divisão. O lado de medida 39 será então escrito como soma de múltiplos de 5 e 11. É claro que serão utilizadas no máximo 3 parcelas 11. Vamos analisar as possibilidades:
+
+(1) Não é possível usar somente múltiplos de 5 porque 39 não é divisível por 5.
+
+(2) Não é possível usar um 11 porque 39 - 11 = 28 não é divisível por 5.
+
+(3) Não é possível usar duas parcelas 11 porque $39-2 \times 11=17$ não é divisível por 5 .
+
+(4) Não é possível usar três parcelas 11 porque $39-3 \times 11=6$ não é divisível por 5 .
+
+Logo, não é possível dividir um retângulo 39 × 55 em retângulos $5 \times 11$.
+
+(b) Já no caso do retângulo $55 \times 27$ podemos escrever
+
+$$
+27=5+11+11
+$$
+
+Como o lado de medida 55 pode ser coberto tanto por 5 lados de medida 11 quanto por 11 lados de medida 5, basta repetir a posição dos retângulos usados na cobertura do lado de medida 27 até completar o retângulo, conforme a figura 39.1
+Sugestão: Analise a possibilidade de se obter 39 e 27 como soma de várias parcelas 5 e 11 .
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-5.jpg?height=286&width=488&top_left_y=1559&top_left_x=1435)
+
+Figura 39.1
+
+Sugestão: Comece preenchendo o tabuleiro pelas casas vizinhas a um canto.
+
+## 40 | Números no Tabuleiro $4 \times 4$
+
+Guilherme escreveu 0 ou 1 em cada casa de um tabuleiro $4 \times 4$. Ele colocou os números de modo que a soma dos números das casas vizinhas de cada casa do tabuleiro fosse igual a 1.
+
+Por exemplo, na figura 40.1, considerando a casa marcada com $\bullet$, a soma dos números das casas sombreadas é igual a 1 .
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-6.jpg?height=331&width=297&top_left_y=571&top_left_x=1051)
+
+Determine a soma de todos os 16 números do tabuleiro.
+
+Solução: Cada casa só pode ter um vizinho com um número 1 e os outros vizinhos devem ser zeros, já que a soma dos vizinhos é 1 .
+
+Começando do canto superior esquerdo, podemos supor sem perda de generalidade que preenchemos o tabuleiro como na figura 40.2.
+
+Nos passos seguintes, as casas preenchidas são as vizinhas da casa marcada.
+
+Em cada passo, os números preenchidos são únicos para respeitar as condições do problema.
+
+A soma dos números nas casas preenchidas é 3. Fazendo uma análise semelhante, começando no canto inferior esquerdo ou no canto superior direito, concluímos que a soma dos números das outras casas também é igual a 3.
+
+Portanto, a soma dos números colocados no tabuleiro é sempre igual a 6.
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N1_diversos.md

@@ -0,0 +1,230 @@
+# 17. Diversos 
+
+Nível 1 Soluções
+
+## 21 | Colorindo Mapas
+
+No mapa da figura 21.1 a curva XY é uma das fronteiras. Países como I e II têm fronteira comum. O ponto $Y$ não é considerado fronteira, ou seja, países como I e V não têm fronteira comum. Você deve colorir o mapa fazendo países de fronteira comum terem cores diferentes.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-1.jpg?height=234&width=311&top_left_y=1071&top_left_x=701)
+
+Figura 21.1
+
+(a) Qual é o número mínimo de cores para colorir o mapa? Mostre como colori-lo.
+
+(b) Desenhe outro mapa de 6 países, que precise de pelo menos 4 cores para ser pintado. Mostre como colori-lo com cores A, B, C e D.
+
+## Solução:
+
+(a) No mínimo são necessárias duas cores, como mostrado na figura 21.2.
+
+(b) As figuras 21.3 e 21.4 exibem dois mapas com seis países que precisam de no mínimo quatro cores para serem pintados.
+
+## 22 | De Coco da Selva a Quixajuba
+
+As cidades de Coco da Selva e Quixajuba estão ligadas por uma linha de ônibus. De Coco da Selva saem ônibus para Quixajuba de hora em hora e o primeiro parte à meia-noite em ponto. De Quixajuba saem ônibus para Coco da Selva de hora em hora e o primeiro parte à meianoite e meia em ponto. A viagem de ônibus é feita em exatamente 5 horas.
+
+Se um ônibus sai de Coco da Selva ao meio-dia, quantos ônibus vindo de Quixajuba ele encontra durante o percurso?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-1.jpg?height=226&width=317&top_left_y=1643&top_left_x=1506)
+
+Figura 21.2
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-1.jpg?height=249&width=305&top_left_y=1943&top_left_x=1521)
+
+Figura 21.3
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-1.jpg?height=220&width=214&top_left_y=2260&top_left_x=1566)
+
+Figura 21.4
+
+Solução: Observemos que o ônibus que parte de Coco da Selva para Quixajuba encontra os ônibus que, no momento de sua saída, estão
+
+Sugestão: Divida as moedas em três grupos de 16 moedas. no caminho de Quixajuba para Coco da Selva e mais os ônibus que partem nas cinco horas seguintes.
+
+Os ônibus que estão na estrada são aqueles que partiram até 5 horas antes desse ônibus, enquanto os ônibus que ainda vão partir têm de fazê-lo até 5 horas depois. Assim o ônibus se encontrará com todos aqueles que partiram de Quixajuba entre $7 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$ e $16 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$, que são 10.
+
+## 23 | O Baralho de João
+
+João possui um baralho com 52 cartas numeradas de 1 até 52 . Um conjunto de três cartas é chamado sortudo se a soma dos algarismos em cada carta é a mesma. Qual é o número mínimo de cartas que João tem de pegar do baralho, sem olhar, de tal forma que entre as cartas que ele pegou necessariamente existam três cartas que formam um conjunto de cartas sortudo?
+
+Solução: Primeiro observemos que a soma dos algarismos das cartas é no máximo $4+9=13$ o que somente acontece com a carta 49. Já para as somas que estão entre 1 e 12, há pelo menos duas cartas que satisfaçam cada soma, assim pegando a carta 49 mais duas cartas para cada soma entre 1 e 12 , isto é, $2 \times 12+1=25$ cartas, ainda não temos três cartas que formam um conjunto sortudo.
+
+Agora, se pegamos 26 cartas, no mínimo 25 têm soma de seus algarismos entre 1 e 12. Logo, pelo menos, 3 cartas têm a mesma soma dos algarismos.
+
+## 24 | Moedas e Pesagens
+
+Ana possui 48 moedas aparentemente iguais. Porém, exatamente uma das moedas é falsa e tem peso diferente do peso das outras. Ela possui uma balança eletrônica que mede o peso total de qualquer quantidade de moedas. Mostre como ela pode determinar a moeda falsa realizando sete pesagens.
+
+Solução: Dividimos as 48 moedas em três grupos de 16 moedas e realizamos três pesagens. A moeda falsa estará no grupo de peso diferente.
+
+Além disso, já é possível determinar o peso da moeda falsa e das moedas boas.
+
+Pegamos o grupo de 16 moedas que contém a moeda falsa e dividimos em dois grupos de 8. Escolhemos um grupo e o pesamos. Como sabemos qual é o peso que devemos obter se a moeda é falsa ou boa, podemos determinar se a moeda está nesse grupo ou no grupo que não foi pesado.
+
+Pegamos novamente o grupo que contém a moeda falsa, dividimos em dois grupos com a mesma quantidade de moedas e pesamos um dos grupos. Realizando mais quatro vezes este processo, até pesar uma única moeda, podemos determinar a moeda falsa.
+
+Deste modo, precisamos de três pesagens iniciais e mais quatro pesagens dividindo os grupos pela metade. Ao todo, precisamos de sete pesagens.
+
+## 25 | Distribuindo Maçãs
+
+Noventa e nove maçãs são distribuídas entre alguns garotos de tal forma que todos recebem quantidades diferentes de maçãs.
+
+(a) Qual o número máximo de garotos que pode haver nesse grupo?
+
+(b) Havendo dez garotos, qual o número máximo de maçãs que recebe o garoto que ganhou menos maçãs?
+
+## Solução:
+
+(a) Para maximizar o número de garotos temos de minimizar o número de maçãs que cada um pode receber. Neste caso, os primeiros números naturais $1,2,3,4, \ldots$, correspondem às quantidades de maçãs que cada garoto deverá receber, exceto o último garoto. Como
+
+$$
+1+2+3+\cdots+12+13=91
+$$
+
+e
+
+$$
+1+2+3+\cdots+13+14=105
+$$
+
+o número máximo de garotos é 13 .
+
+(b) Observemos que
+
+$$
+1+2+\cdots+10=55
+$$
+
+é o número mínimo de maçãs que recebem os dez garotos. Para cada maçã que damos ao garoto com menor número de maçãs, temos de dar uma maçã a cada um dos outros para que todos fiquem com quantidades distintas de maçãs.
+
+Como $99-55=44$ podemos dar 4 maçãs a mais para todos os garotos. Portanto, o garoto com menos maçãs pode receber no máximo 5 maçãs (Observe que $5+6+\cdots+14=95$ e $6+7+\cdots+15=$ 105).
+
+## 26 | Maria e seus Convidados
+
+Maria convidou nove garotos e oito garotas para sua festa de aniversário. Ela preparou camisetas com os números de 1 a 18, ficou com a de número 1 e distribuiu as demais para seus convidados. Durante uma dança, ela observou que a soma dos números de cada casal era um quadrado perfeito. Quais pares estavam dançando?
+
+Solução: Observe inicialmente que a maior soma possível para um casal é $18+17=35<6^{2}$, donde obtemos os pares $\{18,7\},\{17,8\}$ e $\{16,9\}$. Consideremos agora dois casos:
+
+- O par do 15 é o 10.
+
+Segue que o par do 6 é o 3 e não há escolha para o par do 1.
+
+- O par do 15 é o 1.
+
+Segue que o par do 10 é o 6 , o par do 2 é o 14 , o par do 3 é o 13 , o par do 12 é o 4 e o par do 5 é o 11. Portanto, existe somente uma solução:
+
+$$
+\{1,15\},\{2,14\},\{3,13\},\{4,12\},\{5,11\},\{6,10\},\{7,18\},\{8,17\},\{9,16\}
+$$
+
+Sugestão: Para maximizar o número de garotos temos de minimizar o número de maçãs que cada um recebe.
+Sugestão: Determine inicialmente o maior quadrado perfeito que é a soma de dois números dentre os citados.
+
+Sugestão: Comece comparando os cartões de $A$ e de $B$.
+
+## 27 | Cartões de Apostas
+
+Três apostadores A, B e C preenchem individualmente um cartão de apostas, dos possíveis resultados de cinco jogos de futebol ( $C=$ vitória do time da casa, $\mathrm{E}=$ empate, $\mathrm{V}=$ vitória do visitante). Os cartões preenchidos foram:
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-4.jpg?height=310&width=988&top_left_y=530&top_left_x=707)
+
+Finalizadas as partidas, observou-se que $A$ obteve três acertos, $B$ obteve três acertos e C obteve dois acertos. Construa um cartão com cinco acertos.
+
+Solução: A e B obtiveram juntos 6 acertos, mas só há 5 jogos, logo
+
+|  | $C$ | $E$ | $V$ |
+| :---: | :---: | :---: | :---: |
+| 1 | $\times$ |  |  |
+| 2 | $\times$ |  |  |
+| 3 | $\times$ |  |  |
+| 4 |  | $\times$ |  |
+| 5 | $\times$ |  |  |
+
+houve pelo menos um jogo em que ambos acertaram. Comparando seus cartões, apenas no jogo 4 houve respostas iguais. Logo, esse jogo está certo e dos outros quatro jogos, A acertou 2 e B acertou outros 2 .
+
+Comparando o cartão do B com o cartão do C, em todos os jogos suas respostas foram diferentes, então os 2 acertos de $C$ também são acertos de $A$. Mas os cartões de A e $C$ unicamente coincidem nos jogos 1 e 2, que devem ser os resultados corretos dos jogos. Portanto os jogos 3 e 5 foram acertados por B, obtendo a tabela ao lado.
+
+## 28 | Números de 1 a 16
+
+Sugestão: Encontre todos os possíveis vizinhos do número 16 . (a) Mostre que os números de 1 a 16 podem ser escritos numa reta, de tal modo que a soma de quaisquer dois números vizinhos seja um quadrado perfeito.
+
+(b) Mostre que os números de 1 a 16 não podem ser escritos ao redor de uma circunferência, de tal modo que a soma de quaisquer dois números vizinhos seja um quadrado perfeito.
+
+Solução: A observação-chave que ajuda a resolver (a) e resolve (b) é procurar os possíveis vizinhos para o número 16.
+
+Um vizinho de 16 é um número que somado a 16 resulte em um quadrado perfeito. Um candidato é o número 9 , pois $16+9=5^{2}$.
+
+Não existem outros, pois o próximo quadrado perfeito após o 25 é o 36 e a maior soma que podemos obter dentre dois números de 1 a 16 é $15+16=31$.
+
+(a) Como o 16 só tem um vizinho possível, ele deve ficar numa extremidade. Começando com o 16 obtemos a solução abaixo.
+
+$16-9-7-2-14-11-5-4-12-13-3-6-10-15-1-8$
+
+(b) Para que fosse possível colocar todos os números de 1 a 16 ao redor de uma circunferência, todo número deveria ter dois vizinhos. Mas o único vizinho possível para o 16 é 9, impossibilitando a construção circular.
+
+## 29 | Calculando Somas
+
+Considere um tabuleiro com 11 linhas e 11 colunas.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-5.jpg?height=349&width=349&top_left_y=408&top_left_x=682)
+
+Figura 29.1
+
+(a) Quantas casas formam este tabuleiro?
+
+(b) A diagonal cujas casas estão sombreadas separa o tabuleiro em duas regiões: uma acima e outra abaixo. Quantas casas formam cada região? É possível calcular esse número sem contar casa por casa?
+
+(c) Com a ajuda do tabuleiro, é possível calcular a soma $1+2+\cdots+10$. Explique como.
+
+(d) Com a ajuda de outro tabuleiro, com o raciocínio semelhante ao do item anterior, é possível calcular a soma $1+2+\cdots+100$. Qual deve ser a quantidade de linhas e colunas do tabuleiro? Qual o valor da soma?
+
+## Solução:
+
+(a) Como há 11 casas em cada linha do tabuleiro e este possui 11 linhas, o total de casas é $11 \times 11=121$.
+
+(b) Como há uma casa da diagonal em cada linha do tabuleiro e este possui 11 linhas, o total de casas da diagonal é 11. Por outro lado, a diagonal é um eixo de simetria, separando duas regiões iguais. Existem $11 \times 11$ casas no tabuleiro e destas 11 estão na diagonal. O número de casas que formam cada região é então $(11 \times 11-11) / 2=55$.
+
+(c) Vamos contar o número de casas em cada peça por linha (veja a figura 29.2). A primeira linha contém 1 casa, a segunda 2, a terceira 3 e assim por diante, até a última linha, que contém 10 casas. Portanto, a soma $1+2+\cdots+10$ é o total de casas de cada peça, as quais contêm 55 casas:
+
+$$
+1+2+\cdots+10=\frac{11 \times 11-11}{2}=55
+$$
+
+Sugestão: Observe que as duas regiões formadas são iguais. No item (c), conte as casas de cada peça por linha.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-5.jpg?height=363&width=331&top_left_y=1977&top_left_x=1502)
+
+(d) Vamos considerar um tabuleiro com 101 linhas e 101 colunas e considerar a diagonal que o separa em duas regiões iguais. A diagonal contém 101 casas e cada região contém $(101 \times 101-$ 101) $/ 2=5050$ casas. Por outro lado, contando o número de casas por linha, obtemos $1+2+\cdots+100$. Portanto,
+
+$$
+1+2+\cdots+100=5050
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-6.jpg?height=343&width=388&top_left_y=314&top_left_x=206)
+
+Figura 29.3
+
+## Problema Relacionado
+
+Considere o tabuleiro com 10 linhas e 10 colunas, da figura 29.3. Ele está dividido em dez peças no formato $\square$ coloridas alternadamente de branco e cinza. A primeira peça é formada somente por uma casa.
+
+(a) Quantas casas formam a sétima peça? E a décima peça?
+
+(b) É possível calcular a soma $1+3+\cdots+19$ com a ajuda deste tabuleiro. Como?
+
+(c) Com um raciocínio semelhante a este e com o auxílio de outro tabuleiro é possível calcular a soma $1+3+5+\cdots+99$. Quantas linhas e colunas deve ter o tabuleiro? Qual o valor da soma?
+
+## 30 | Herança para Cinco Filhos
+
+Divida a figura 30.1 em cinco partes do mesmo formato e com áreas iguais de tal modo que cada parte contenha exatamente um quadrado cinza.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-6.jpg?height=309&width=368&top_left_y=925&top_left_x=1021)
+
+Figura 30.1
+
+Solução: A figura 30.2 mostra a solução do problema.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-6.jpg?height=320&width=391&top_left_y=1465&top_left_x=1004)
+
+Figura 30.2
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N1_geometria.md

@@ -0,0 +1,296 @@
+# 16. Geometria 
+
+Nível 1 Soluções
+
+## 11 | Bandeira do Tio Mané
+
+O Tio Mané é torcedor doente do Coco da Selva Futebol Clube e resolveu fazer uma bandeira para apoiar seu time no jogo contra o Desportivo Quixajuba. Para isso, comprou um tecido branco retangular com $100 \mathrm{~cm}$ de largura e $60 \mathrm{~cm}$ de altura. Dividiu dois de seus lados em 5 partes iguais e os outros dois em 3 partes iguais, marcou o centro do retângulo e pintou o tecido da forma indicada na figura 11.1 .
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-1.jpg?height=348&width=511&top_left_y=1168&top_left_x=607)
+
+Qual é a área do tecido que Tio Mané pintou?
+
+Solução: As diagonais da Bandeira dividem-na em 4 triângulos de área $60 \times 100 / 4=1500 \mathrm{~cm}^{2}$ cada um.
+
+Estas diagonais dividem a Bandeira em dois tipos de triângulo, como mostrados nas figuras 11.3 e 11.4 .
+
+O triângulo do tipo 11.3 está dividido em 5 triângulos de mesma área porque possuem mesma base e altura. Assim, a área pintada no triângulo da figura 11.3 é $(1500 / 5) \times 3=900 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+O triângulo da figura 11.4 está dividido em 3 triângulos de igual área. Logo, a área pintada nesse triângulo é $(1500 / 3) \times 2=1000 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+Deste modo, a área total pintada da bandeira é
+
+$$
+2 \times(900+1000)=3800 \mathrm{~cm}^{2}
+$$
+
+Sugestão: Trace as diagonais do retângulo e calcule a área das quatro partes determinadas.
+
+Fatos que Ajudam: Triângulos com a mesma base e a mesma altura têm áreas iguais.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-1.jpg?height=314&width=513&top_left_y=1679&top_left_x=1411)
+
+Figura 11.2
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-1.jpg?height=184&width=507&top_left_y=2021&top_left_x=1417)
+
+Figura 11.3
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-1.jpg?height=278&width=329&top_left_y=2214&top_left_x=1506)
+
+Figura 11.4
+
+Sugestão: Determine a medida do lado do quadrado.
+
+## 12 | Abelha na Flor
+
+As flores de Geometrix têm formatos muito interessantes. Algumas delas possuem a forma mostrada na figura 12.1, na qual há seis quadrados e doze triângulos equiláteros.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-2.jpg?height=446&width=534&top_left_y=485&top_left_x=932)
+
+Figura 12.1
+
+Uma abelha pousou no ponto destacado e andou sobre a borda da flor no sentido horário até voltar ao ponto inicial. Sabendo que a região cinza tem $24 \mathrm{~cm}^{2}$ de área, qual é a distância percorrida pela abelha?
+
+Solução: A área destacada corresponde à soma das áreas de seis quadrados. Portanto, cada quadrado possui $4 \mathrm{~cm}^{2}$ de área e lado $2 \mathrm{~cm}$.
+
+Os lados dos quadrados e dos triângulos equiláteros são todos iguais. Uma volta completa da abelha em torno da flor corresponde a 24 vezes o lado do quadrado, ou seja, $48 \mathrm{~cm}$.
+
+## 13 | Ângulo da Asa Delta
+
+Na figura 13.1, temos dois triângulos, $A B C$ e $A D C$ tais que $A B=A D$ e $C B=C D=C A$. Sabendo que $C \hat{B A}=25^{\circ}$, determine a medida do ângulo BCीD.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-2.jpg?height=300&width=226&top_left_y=1740&top_left_x=1098)
+
+Figura 13.1
+
+Solução: Observe que os triângulos $A B C$ e $A D C$ são iguais e isósceles, pois os três lados de cada triângulo possuem as mesmas medidas. Por outro lado,
+
+$$
+\hat{C} \hat{B} A=B \hat{A} C=C \hat{A} D=A \hat{D} C=25^{\circ}
+$$
+
+Daí,
+
+$$
+\mathrm{BC} \mathrm{A}=\mathrm{D} \hat{C} A=180^{\circ}-25^{\circ}-25^{\circ}=130^{\circ}
+$$
+
+Finalmente
+
+$$
+\mathrm{B} \hat{C} \mathrm{D}=360^{\circ}-130^{\circ}-130^{\circ}=100^{\circ} \text {. }
+$$
+
+## 14 | Azulejos de Pedro
+
+Pedro é um pedreiro. Ele tem um grande número de azulejos de três tipos, como mostrado abaixo:
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-3.jpg?height=166&width=462&top_left_y=452&top_left_x=630)
+
+Figura 14.1
+
+O menor lado de cada azulejo mede $10 \mathrm{~cm}$. Ele quer ladrilhar completamente uma bancada de uma cozinha sem cortar qualquer azulejo.
+
+(a) Mostre como ele poderá alcançar seu objetivo se a bancada for um retângulo $60 \mathrm{~cm} \times 50 \mathrm{~cm}$.
+
+(b) Mostre como ele poderá alcançar seu objetivo se a bancada for um quadrado $60 \mathrm{~cm} \times 60 \mathrm{~cm}$.
+
+## Solução:
+
+(a) A solução é exibida na figura 14.2.
+
+(b) A solução é exibida na figura 14.3.
+
+## 15 | Retângulo 9 x 4
+
+(a) Divida um retângulo $9 \times 4$ em três peças e remonte-as de modo a formar um quadrado $6 \times 6$.
+
+(b) Divida um retângulo $9 \times 4$ em duas peças e remonte-as de modo a formar um quadrado $6 \times 6$.
+
+## Solução:
+
+(a) Dividimos o retângulo $9 \times 4$ em dois retângulos $2 \times 3$ e um retângulo $4 \times 6$ como mostra a figura 15.1 e os reagrupamos como ilustra a figura 15.2, formando um quadrado $6 \times 6$. Veja as figuras 15.1 a 15.3 .
+
+(b) Dividimos o retângulo em duas figuras iguais e em forma de L e as reagrupamos, como ilustram as figuras 15.3 e 15.4.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-3.jpg?height=166&width=277&top_left_y=2190&top_left_x=547)
+
+Figura 15.3
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-3.jpg?height=191&width=231&top_left_y=2166&top_left_x=981)
+
+Figura 15.4
+
+Comentário: A solução de (b) leva a infinitas soluções para (a). Para tal, basta dividir uma das duas peças de (b) em duas quaisquer, obtendo três peças.
+
+Sugestão: Perceba que deve haver uma peça em $\mathbf{L}$ cobrindo cada canto da bancada. Além disso, calcule quantas peças de cada tipo são necessárias para cobrir a área de cada bancada.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-3.jpg?height=280&width=325&top_left_y=797&top_left_x=1505)
+
+Figura 14.2
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-3.jpg?height=314&width=323&top_left_y=1205&top_left_x=1506)
+
+Figura 14.3
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-3.jpg?height=452&width=330&top_left_y=1775&top_left_x=1502)
+
+Figura 15.2
+
+Sugestão: Trace um segmento de reta ligando os pontos médios relatados no problema.
+
+Fatos que Ajudam: Traçando uma diagonal de um retângulo, este fica dividido em dois triângulos de mesma área.
+Sugestão: Determine a que fração da área do tangram corresponde cada uma das peças.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-4.jpg?height=297&width=289&top_left_y=1745&top_left_x=244)
+
+Figura 17.3
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-4.jpg?height=308&width=508&top_left_y=2122&top_left_x=137)
+
+Figura 17.4
+
+## 16 | Plantando Jasmins
+
+O jardineiro Jacinto decidiu ajardinar um canteiro retangular com $10 \mathrm{~m}^{2}$ de área. Dividiu o canteiro traçando uma diagonal e unindo cada um dos pontos médios dos lados maiores com um vértice do lado oposto, como indicado na figura.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-4.jpg?height=257&width=326&top_left_y=528&top_left_x=1042)
+
+Figura 16.1
+
+Solução: Sejam ABCD o canteiro e $X$ e $Y$ os pontos médios de $A B$ e $C D$, respectivamente, como na figura 16.2. O ponto de interseção da reta $X Y$ e da diagonal $A C$ determina o centro $O$ do retângulo.
+
+Como a figura é simétrica em relação ao centro $O$, em particular temos que os triângulos XZO e YWO são iguais.
+
+Concluímos que a área do quadrilátero $X Z W B$ é igual à área do triângulo XYB que corresponde a $1 / 4$ da área do retângulo $A B C D$, isto é, $2,5 \mathrm{~m}^{2}$.
+
+## 17 | Tangram
+
+A figura 17.2 é um retângulo cuja área sombreada foi feita utilizando peças de um tangram que formam um quadrado de $10 \mathrm{~cm}^{2}$ de área, mostrado na figura 17.1.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-4.jpg?height=255&width=254&top_left_y=1620&top_left_x=798)
+
+Figura 17.1
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-4.jpg?height=257&width=436&top_left_y=1619&top_left_x=1164)
+
+Figura 17.2
+
+Qual é a área do retângulo?
+
+## Solução:
+
+No tangram temos: dois triângulos maiores de área $1 / 4$ do quadrado, isto é, $10 / 4 \mathrm{~cm}^{2}$; um triângulo, um quadrado e um paralelogramo de área $1 / 8$ do quadrado, isto é, $10 / 8 \mathrm{~cm}^{2}$ e dois triângulos de área $1 / 16$ do quadrado, isto é, $10 / 16 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+Na decomposição mostrada na figura 17.4, o retângulo formado possui, além das peças do tangram, quatro quadrados de área $10 / 8 \mathrm{~cm}^{2}$ e seis triângulos de área 10/16 cm², numa área total de
+
+$$
+4 \times \frac{10}{8}+6 \times \frac{10}{16}=\frac{35}{4} \mathrm{~cm}^{2}
+$$
+
+Finalmente, a área do retângulo é
+
+$$
+10+\frac{35}{4}=\frac{75}{4}=18,75 \mathrm{~cm}^{2}
+$$
+
+## 18 | Triângulo Isósceles I
+
+Seja $A B C$ um triângulo com $B \hat{A C}=30^{\circ}$ e $A \hat{B C}=50^{\circ}$. A reta $\ell$ corta os lados $A B, B C$ e o prolongamento de $A C$ em $D, E$ e $F$, respectivamente.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-5.jpg?height=368&width=508&top_left_y=501&top_left_x=608)
+
+Figura 18.1
+
+Se o triângulo BDE é isósceles, quais são as três possíveis medidas para o ângulo CF̂E?
+
+Solução: Sabemos que BCA $=180^{\circ}-50^{\circ}-30^{\circ}=100^{\circ}$ e ECF $=80^{\circ}$. Assim, basta calcular a medida do ângulo CÊF para depois calcular a medida do ângulo CF̂E. Temos três possíveis casos, dependendo quais dos três lados do triângulo BDE são iguais:
+
+(a) $\mathrm{Se} \mathrm{BD}=\mathrm{BE}$, temos que
+
+$$
+\mathrm{BDE}=\mathrm{BE} \mathrm{D}=\frac{180^{\circ}-50^{\circ}}{2}=65^{\circ}
+$$
+
+$$
+\mathrm{CF} \mathrm{F}=180^{\circ}-80^{\circ}-65^{\circ}=35^{\circ}
+$$
+
+(b) $\mathrm{Se} \mathrm{BD}=\mathrm{DE}$, temos que
+
+$$
+\hat{B E} \mathrm{D}=\mathrm{D} \hat{\mathrm{B} E}=50^{\circ}
+$$
+
+e
+
+$$
+\mathrm{CF} E=180^{\circ}-80^{\circ}-50^{\circ}=50^{\circ}
+$$
+
+(c) $\mathrm{Se} \mathrm{DE}=\mathrm{BE}$, temos que
+
+$$
+\begin{gathered}
+\mathrm{B} \hat{D E}=\mathrm{D} \hat{B E}=50^{\circ} \\
+\mathrm{BE} D=180^{\circ}-50^{\circ}-50^{\circ}=80^{\circ}
+\end{gathered}
+$$
+
+e
+
+$$
+\mathrm{C} \hat{F} E=180^{\circ}-80^{\circ}-80^{\circ}=20^{\circ}
+$$
+
+Sugestão: Divida o retângulo maior em quadrados.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-6.jpg?height=219&width=340&top_left_y=650&top_left_x=230)
+
+Figura 19.2
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-6.jpg?height=228&width=346&top_left_y=937&top_left_x=221)
+
+Figura 19.3
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-6.jpg?height=226&width=331&top_left_y=1235&top_left_x=226)
+
+Figura 19.4
+
+## 19 | Formando um Retângulo
+
+A partir de seis retângulos iguais e cinco quadrados iguais é formado um retângulo de perímetro 324 cm, como mostrado na figura 19.1
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-6.jpg?height=277&width=391&top_left_y=455&top_left_x=1004)
+
+Determine a área do retângulo construído.
+
+Solução: Do retângulo cinza destacado na figura 19.2, concluímos que um dos lados do retângulo mede 4 vezes o lado do quadrado.
+
+Assim, o outro lado do retângulo mede 3 vezes o lado do quadrado (veja a figura 19.3). Segue que podemos dividir o retângulo em quadrados, como indicado na figura 19.4.
+
+Desta forma, temos que o retângulo fica dividido em $11 \times 7=77$ quadrados. O perímetro deste retângulo é $11+11+7+7=36$ vezes o lado do quadrado. Portanto o lado do quadrado é $324 / 36=9 \mathrm{~cm}$ e a área do retângulo é $11 \times 7 \times 9^{2}=6237 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+## 20 | Construindo uma Pipa
+
+Para construir a pipa de papel representada na figura, Eduardo começou por pintar um retângulo ABCD numa folha de papel. Em seguida, prolongou cada um dos lados do retângulo triplicando o seu comprimento e obteve o quadrilátero $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-7.jpg?height=452&width=782&top_left_y=542&top_left_x=474)
+
+Figura 20.1
+
+Sabendo que a área do retângulo $A B C D$ é $200 \mathrm{~cm}^{2}$, qual é a área da pipa construída por Eduardo?
+
+Solução: Observe que os triângulos $A A^{\prime} D^{\prime}$ e $C C^{\prime} B^{\prime}$ são iguais. De igual forma os triângulos $B B^{\prime} A^{\prime}$ e $D D^{\prime} C^{\prime}$ são iguais.
+
+Assim, se $X$ e $Y$ são pontos tais que $A^{\prime} B B^{\prime} X$ e $A^{\prime} A D^{\prime} Y$ são retângulos (figura 20.2), a área da pipa é igual à soma das áreas destes retângulos mais a área do retângulo $A B C D$ e cada um destes retângulos pode ser dividido em $3 \times 2=6$ retângulos iguais a $A B C D$.
+
+Concluímos que a pipa tem área $(6+6+1) \times 200=2600 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+Sugestão: Mostre que a área de cada um dos quatro triângulos é igual ao triplo da área do retângulo ABCD.
+
+Fatos que Ajudam: Construindo uma diagonal de um retângulo, este fica dividido em dois triângulos de mesma área.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-7.jpg?height=454&width=346&top_left_y=1007&top_left_x=1506)
+
+Figura 20.2
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N2_aritmetica_e_algebra.md

@@ -0,0 +1,345 @@
+# 19. Aritmética e Álgebra 
+
+| Nível 2 | Soluções |
+| :--- | :--- |
+
+## 41 | Múltiplo de 36
+
+Determine o maior múltiplo de 36 que possui todos os algarismos pares e diferentes.
+
+Solução: Para um número ser divisível por $36=4 \times 9$, deve ser divisível por 4 e por 9. Assim, a soma dos algarismos do número $n$ procurado deve ser divisível por 9.
+
+Por outro lado, como todos os algarismos são pares, a soma dos algarismos também é par. Assim, a soma dos algarismos é no mínimo 18. Como $0+2+4+6+8=20$, o número $n$ deve ser formado pelos algarismos $0,4,6$ e 8 .
+
+O maior número que podemos formar com esses algarismos, sem repetir, é 8640, o qual também é divisível por 4, assegurando que este é o número procurado.
+
+## 42 | Quem é maior?
+
+Sejam
+
+$$
+R=3 \times 9+4 \times 10+5 \times 11+\cdots+2003 \times 2009
+$$
+
+$$
+S=1 \times 11+2 \times 12+3 \times 13+\cdots+2001 \times 2011
+$$
+
+(a) Qual é o maior número: $\mathrm{R}$ ou $S$ ?
+
+(b) Calcule a diferença entre o maior e o menor.
+
+## Solução:
+
+(a) Cada parcela de $S$ é da forma $n \times(n+10)=n^{2}+10 n$ e cada parcela de $R$ é da forma $(n+2) \times(n+8)=n^{2}+10 n+16$ com $\mathrm{n}=\{1,2, \ldots, 2001\} \mathrm{em}$ ambos os casos. Assim, para todo n, cada parcela de $R$ é maior que a correspondente em $S$, o que torna $\mathrm{R}>\mathrm{S}$.
+
+(b) A diferença entre as parcelas correspondentes é igual a
+
+$$
+\left(n^{2}+10 n+16\right)-\left(n^{2}+10 n\right)=16
+$$
+
+Como existem 2001 parcelas, a diferença entre R e S é igual a $16 \times 2001=32016$.
+Fatos que Ajudam: A soma dos algarismos de um múltiplo de 9 é divisível por 9.
+Sugestão: Observe que cada parcela de $S$ é da forma
+
+$$
+n \times(n+10)
+$$
+
+e cada parcela de R é da forma
+
+$$
+(n+2) \times(n+8)
+$$
+
+## Fatos que Ajudam:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& (a+b) \times(c+d)= \\
+& a c+a d+b c+b d
+\end{aligned}
+$$
+
+Sugestão: No item (b), analise os números que possuem a soma dos algarismos maior ou igual a 17.
+Sugestão: Para quatro números consecutivos use a notação $x, x+1$, $x+2, x+3$
+
+Fatos que Ajudam: (a) O único número primo par é 2. (b) O único número primo múltiplo de 3 é 3.
+
+## 43 | Resto da Divisão
+
+Um número $n$ de dois algarismos é dividido pela soma de seus algarismos, obtendo resto $\mathrm{r}$.
+
+(a) Encontre um número $n$ tal que $\mathrm{r}=0$.
+
+(b) Mostre que r não pode ser maior que 15.
+
+(c) Mostre que para qualquer $r$ menor ou igual a 12, existe um $n$ que deixa resto $r$ ao dividi-lo pela soma de seus algarismos.
+
+## Solução:
+
+(a) Existem vários exemplos onde o resto da divisão é 0 , sendo o menor deles $n=12$.
+
+(b) Denotemos por $\mathrm{S}$ a soma dos algarismos de $\mathrm{n}$.
+
+Observemos que $S \leqslant 18$ e a igualdade somente acontece se $n=$ 99, mas neste caso o resto da divisão é 9 .
+
+Se $S=17$, temos dois possíveis valores de $n=89$ e 98 , que quando divididos por 17 deixam respectivamente restos 4 e 13 .
+
+Nos números restantes, a soma dos algarismos é menor ou igual a 16. Assim, o resto deve ser menor ou igual a 15.
+
+O resto é igual a 15 se $n=79$. Verifique!
+
+(c) Para terminar, basta mostrar um exemplo para cada resto entre 1 e 12. Se consideramos os números $19,28,37, \ldots, 91$, em todos a soma de seus algarismos é 10 e os restos da divisão por 10 são respectivamente $9,8, \ldots, 1$. Para os restos 10,11 e 12 , basta considerar os números 65,76 e 87.
+
+## 44 | Soma de Consecutivos
+
+(a) A soma de quatro inteiros positivos consecutivos pode ser um número primo? Justifique sua resposta.
+
+(b) A soma de três inteiros positivos consecutivos pode ser um número primo? Justifique sua resposta.
+
+## Solução:
+
+(a) Seja x o menor dos números. Então, a soma em questão é
+
+$$
+x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4 x+6=2(x+3)
+$$
+
+Este número é par maior que 2, portanto não pode ser um número primo.
+
+(b) Seja y o menor dos números. Então, a soma em questão é
+
+$$
+y+(y+1)+(y+2)=3 y+3=3(y+1)
+$$
+
+Este número é múltiplo de 3 e maior que 3, logo não pode ser um número primo.
+
+## 45 | Quadrado Perfeito
+
+Observe que
+
+$$
+\begin{gathered}
+1^{2}+2^{2}+(1 \times 2)^{2}=3^{2} \\
+2^{2}+3^{2}+(2 \times 3)^{2}=7^{2} \\
+3^{2}+4^{2}+(3 \times 4)^{2}=13^{2}
+\end{gathered}
+$$
+
+Prove que se a e b são inteiros consecutivos então o número
+
+$$
+a^{2}+b^{2}+(a b)^{2}
+$$
+
+é um quadrado perfeito.
+
+Solução: Suponha, sem perda de generalidade, que $b>a$, isto é, $b-a=1$. Então
+
+$$
+\begin{gathered}
+(b-a)^{2}=1^{2} \\
+b^{2}-2 a b+a^{2}=1 \\
+a^{2}+b^{2}=2 a b+1
+\end{gathered}
+$$
+
+Somando $(a b)^{2}$ em cada lado da igualdade, temos
+
+$a^{2}+b^{2}+(a b)^{2}=(2 a b+1)+(a b)^{2}=(a b)^{2}+2(a b) \cdot 1+1^{2}=(a b+1)^{2}$.
+
+Sugestão: Mostre que a expressão considerada é igual a
+
+$$
+(a b+1)^{2}
+$$
+
+Fatos que Ajudam:
+
+$$
+(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}
+$$
+
+## Problema Relacionado
+
+Observe que
+
+$$
+\begin{aligned}
+& 1 \times 2 \times 3 \times 4+1=5^{2} \\
+& 2 \times 3 \times 4 \times 5+1=11^{2} \\
+& 3 \times 4 \times 5 \times 6+1=19^{2}
+\end{aligned}
+$$
+
+Prove que o produto de quatro inteiros positivos consecutivos, aumentado em uma unidade, é um quadrado perfeito.
+
+Sugestão: Elimine as milhares de frações, fazendo
+
+$$
+A=\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\ddots+\frac{1}{1991}}}} .
+$$
+
+Solução: Façamos
+
+$$
+A=\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\ddots+\frac{1}{1991}}}}
+$$
+
+Assim, a soma em questão será
+
+$$
+\frac{1}{2+A}+\frac{1}{1+\frac{1}{1+A}}=\frac{1}{2+A}+\frac{1+A}{2+A}=\frac{2+A}{2+A}=1
+$$
+
+Sugestão: Tente fatorar os números dados:
+
+(a) Escrevendo o número dado como uma diferença de dois quadrados.
+
+(b) Escrevendo o número dado como uma soma de dois cubos.
+
+Fatos que Ajudam: Utilize as identidades:
+
+(a) $m^{2}-n^{2}=(m-n)(m+n)$
+
+(b) $m^{3}+n^{3}=(m+n)\left(m^{2}-m n+\right.$ $n^{2}$ )
+
+## 47 | Primos Não!
+
+(a) Prove que o número 3999991 não é primo.
+
+(b) Prove que o número 1000343 não é primo.
+
+## Solução:
+
+(a) Observe que
+
+$$
+\begin{aligned}
+3999991 & =4000000-9 \\
+& =4 \cdot 10^{6}-3^{2} \\
+& =\left(2 \cdot 10^{3}\right)^{2}-3^{2} \\
+& =\left(2 \cdot 10^{3}-3\right)\left(2 \cdot 10^{3}+3\right)=1997 \cdot 2003
+\end{aligned}
+$$
+
+e portanto não é um número primo.
+
+(b) Observe que
+
+$$
+\begin{aligned}
+1000343 & =10^{6}+7^{3} \\
+& =\left(10^{2}\right)^{3}+7^{3}= \\
+& =\left(10^{2}+7\right)\left(\left(10^{2}\right)^{2}-10^{2} \cdot 7+7^{2}\right) \\
+& =107 \cdot 9349
+\end{aligned}
+$$
+
+portanto não é primo.
+
+## 48 | Trilegais
+
+Sugestão: Estude a quantidade de números pares e ímpares em um dos subconjuntos com três elementos.
+
+Fatos que Ajudam: A soma de dois números pares ou ímpares resulta num número par. A soma de um número par com um número ímpar resulta num número ímpar.
+Um conjunto de números é chamado trilegal se pode ser dividido em subconjuntos com três elementos de tal modo que um dos elementos seja a soma dos outros dois. Por exemplo, o conjunto $\{1,2,3, \ldots, 11,12\}$ é trilegal pois pode ser dividido em $\{1,5,6\}$, $\{2,9,11\},\{3,7,10\}$ e $\{4,8,12\}$.
+
+(a) Mostre que $\{1,2, \ldots, 14,15\}$ é trilegal.
+
+(b) Mostre que $\{1,2, \ldots, 2010\}$ não é trilegal.
+
+## Solução:
+
+(a) Para a primeira parte basta encontrar uma distribuição em subconjuntos com três elementos, por exemplo
+
+$$
+\{1,6,7\},\{2,12,14\},\{3,8,11\},\{4,9,13\},\{5,10,15\}
+$$
+
+(b) Observemos que se um conjunto de três elementos cumpre a condição de ser trilegal, então ele tem de ser da forma
+
+$$
+\text { \{par, par, par }\}
+$$
+
+ou
+
+$$
+\text { \{ímpar, ímpar, par\}. }
+$$
+
+Suponhamos que podemos dividir o conjunto em subconjuntos trilegais que tem $A$ conjuntos do primeiro tipo e B conjuntos de segundo tipo. Como a quantidade de números ímpares menores que 2010 é 1005, devemos ter $2 B=1005$, o que é contraditório.
+
+## 49 | Diferença de Quadrados
+
+(a) De quantas formas é possível escrever o número 105 como diferença de dois quadrados perfeitos?
+
+(b) Mostre que não é possível escrever o número 106 como diferença de dois quadrados perfeitos.
+
+## Solução:
+
+(a) Sejam $x$ e $y$ dois inteiros positivos tais que a diferença entre seus quadrados é igual a 105, ou seja, $x^{2}-y^{2}=105$. Fatorando, obtemos $(x-y)(x+y)=105$ e, portanto, $x+y$ e $x-y$ devem ser divisores de 105, com $x+y>x-y$. Observe que $1 \cdot 105=3 \cdot 35=5 \cdot 21=7 \cdot 15$ são todas as maneiras de escrever o número 105 como produto de dois inteiros positivos. Assim, teremos quatro casos:
+
+$$
+\begin{aligned}
+& \left\{\begin{array}{l}
+x+y=105 \\
+x-y=1
+\end{array} \Longleftrightarrow x=53 \text { e } y=52 .\right. \\
+& \left\{\begin{array}{l}
+x+y=35 \\
+x-y=3
+\end{array} \Longleftrightarrow x=19 \text { e } y=16\right. \\
+& \left\{\begin{array}{l}
+x+y=21 \\
+x-y=5
+\end{array} \Longleftrightarrow x=13 \text { e } y=8\right.
+\end{aligned}
+$$
+
+Portanto, é possível escrever 105 como diferença de dois quadrados de quatro formas, a saber: $53^{2}-52^{2}, 19^{2}-16^{2}, 13^{2}-8^{2}$ e $11^{2}-4^{2}$.
+
+(b) Observe que quaisquer que sejam os inteiros $x$ e $y$, os números $x+y$ e $x-y$ são ambos pares ou ambos ímpares, pois a soma dos dois números é igual a $2 x$, que é par, logo não podemos ter um par e o outro ímpar.
+
+Deste modo concluímos que o produto $(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}$ é múltiplo de 4 (caso $x+y$ e $x-y$ sejam pares) ou um número ímpar (caso $x+y$ e $x-y$ sejam ímpares).
+
+Como 106 é par mas não é divisível por 4, não pode ser escrito como diferença de dois quadrados.
+
+Fatos que Ajudam: A diferença entre os quadrados de dois números é igual ao produto da soma destes números pela diferença dos mesmos números. Algebricamente:
+
+$$
+m^{2}-n^{2}=(m+n)(m-n)
+$$
+
+Sugestão: Verifique que a sequência que fica no quadro depois de todo o processo é periódica.
+
+Fatos que Ajudam: Um número e a soma de seus algarismos deixam o mesmo resto quando são divididos por 9.
+
+## 50 | Outra de Joãozinho
+
+Joãozinho escreveu os números de 1 até 100000 no quadro, depois foi trocando cada número pela soma de seus algarismos e repetiu este processo até obter uma lista de 100000 números de um algarismo. Por exemplo, começando pelo número 7234 obtemos $7+2+3+4=16 \mathrm{e}$ $1+6=7$.
+
+(a) Que número ficou no lugar do número 98765?
+
+(b) Quantas vezes aparece o número 8 na lista final?
+
+(c) Qual é o número que mais vezes se repete?
+
+## Solução:
+
+(a) $98765 \longrightarrow 9+8+7+6+5=35 \longrightarrow 3+5=8$.
+
+(b) Observemos que um número e a soma de seus algarismos deixam o mesmo resto quando divididos por 9. Assim, depois de terminar todo o processo vamos obter uma lista da forma
+
+$$
+1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4, \ldots, 8,9,1
+$$
+
+Assim até 99999, cada um dos algarismos aparece 11111 vezes, em particular o 8 aparece 11111 vezes.
+
+(c) Do item anterior fica claro que o número que mais se repete é o 1 , pois aparece 11112 vezes na lista.
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N2_combinatoria.md

@@ -0,0 +1,199 @@
+# 21. Combinatória 
+
+Nível 2 Soluções
+
+## 61 | Colorações do Cubo
+
+De quantas formas é possível colorir as 6 faces de um cubo de preto ou branco? Duas colorações são iguais se é possível obter uma a partir da outra por uma rotação.
+
+Solução: Observemos que basta contar quantas colorações existem que têm exatamente 0, 1, 2 e 3 faces pretas, porque os outros casos são simétricos. Com uma ou nenhuma face preta existe uma única coloração para cada caso. Quando temos duas faces pretas temos duas possíveis colorações que são: quando estas faces são opostas e quando elas não são. Por último, com três faces pretas também temos dois casos: quando duas dessas faces pretas são opostas e quando não existem faces opostas de cor preta. Assim, no total temos $1+1+2+2+2+1+1=10$ possíveis colorações.
+
+## Problema Relacionado
+
+De quantas formas é possível colorir as 12 arestas de um cubo de branco ou de preto? Duas colorações são iguais quando é possível obter uma a partir da outra por uma rotação.
+
+## 62 | Comparando Sequências
+
+Um professor e seus 30 alunos escreveram, cada um, os números de 1 a 30 em uma ordem qualquer. A seguir, o professor comparou as sequências. Um aluno ganha um ponto cada vez que um número aparece na mesma posição na sua sequência e na do professor. Ao final, observou-se que todos os alunos obtiveram quantidades diferentes de pontos. Mostre que a sequência de um aluno coincidiu com a sequência do professor.
+
+Solução: O número de acertos é um número entre 0 e 30 inclusive. Mas, observe que 29 não pode ser obtido porque se 29 números estão em posição certa, só há uma maneira de colocar o $30^{\circ}$ número, que é em posição certa também.
+
+Como há 30 alunos e 30 possíveis resultados, $\{0,1, \ldots, 28,30\}$, então um aluno escreveu exatamente a sequência do professor.
+
+Sugestão: Selecione uma pessoa que não acertou todos os pontos e determine o número máximo de pontos que ela pode ter acertado.
+
+Sugestão: Para o item (a), conte $o$ número de cordas que saem de um determinado ponto.
+
+## 63 | Segmentos e Triângulos
+
+Dez pontos são marcados ao redor de uma circunferência, como ilustra a figura.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_0308bd91a070e7a80796g-2.jpg?height=297&width=280&top_left_y=454&top_left_x=1068)
+
+(a) Quantas cordas podem ser formadas ligando dois quaisquer destes pontos? (Uma corda é um segmento de reta ligando dois pontos sobre uma circunferência.)
+
+(b) Quantos triângulos podem ser formados ligando três quaisquer destes pontos?
+
+## Solução:
+
+(a) De cada ponto saem 9 cordas e temos 10 pontos. Mas cada corda é contada duas vezes (uma corda $A B$ é contada por sair de $A$ e por sair de B), assim temos $9 \times 10 / 2=45$ cordas.
+
+(b) Cada corda é lado de 8 triângulos (basta escolher um ponto que não seja extremidade da corda escolhida) mas cada triângulo é contado três vezes (uma vez para cada corda). Como temos 45 cordas, então temos $8 \times 45 / 3=120$ triângulos.
+
+## Contando Subconjuntos
+
+Vamos resolver um problema mais geral em que temos $n$ pontos distribuídos na circunferência. Como cada corda está determinada por dois pontos, então precisamos contar de quantas formas podemos escolher 2 pontos entre os $n$.
+
+O primeiro ponto pode ser escolhido de $n$ formas, já o segundo pode ser escolhido de $n-1$ formas, pois ele deve ser distinto do primeiro selecionado. Assim temos $n(n-1)$ escolhas de pares ordenados, mas a ordem em que foram selecionados não importa, porque eles geram o mesmo subconjunto e assim o mesmo segmento. Portanto, o número de subconjuntos de dois pontos ou equivalentemente o número de segmentos é $n(n-1) / 2$.
+
+Seguindo este raciocínio, encontrar todos os triângulos equivale a encontrar todos os subconjuntos de três pontos dentre os $n$ pontos. Assim, a escolha ordenada de três pontos pode ser realizada de $n(n-1)(n-2)$ maneiras, mas como a ordem não importa, então o subconjunto com três elementos $\{a, b, c\}$, está sendo contado seis vezes: $a b c, a c b, b a c, b c a, c a b, c b a$. Deste modo, o número de subconjuntos com três pontos, ou equivalentemente, o número de triângulos com vértices nos $n$ pontos é $n(n-1)(n-2) / 6$.
+
+No caso geral, se queremos saber quantos polígonos convexos com $k$ vértices existem (ou equivalentemente, quantos subconjuntos de $k$ pontos temos entre os $n$ pontos), a resposta é dada por $\binom{n}{k}$ (lê-se " $n$ escolhe k"), que é calculado como
+
+$$
+\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2) \ldots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot k}
+$$
+
+## 64 | Esqueleto do Cubo
+
+O esqueleto de um cubo $6 \times 6 \times 6$, formado por cubinhos $1 \times 1 \times 1$ é mostrado na figura.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_0308bd91a070e7a80796g-3.jpg?height=500&width=437&top_left_y=387&top_left_x=638)
+
+Figura 64.1
+
+(a) Quantos cubinhos formam este esqueleto?
+
+(b) É dado um cubo $7 \times 7 \times 7$ formado por cubinhos $1 \times 1 \times 1$. Quantos cubinhos devemos retirar para obter um esqueleto do cubo $7 \times$ $7 \times 7$.
+
+## Solução:
+
+(a) O esqueleto do cubo é formado por uma camada superior e uma inferior com 20 cubinhos cada e quatro colunas com 4 cubinhos cada.
+
+Assim, o total de cubinhos é
+
+$$
+2 \times 20+4 \times 4=56
+$$
+
+(b) Do cubo $7 \times 7 \times 7$ foi retirado um cubo central $5 \times 5 \times 5$ e em cada uma das faces foram retirados $5 \times 5$ cubinhos.
+
+Portanto, o total de cubinhos retirados foi
+
+$$
+5 \times 5 \times 5+6 \times(5 \times 5)=125+150=275
+$$
+
+## 65 | Placas das Bicicletas
+
+Cada uma das placas das bicicletas de Quixajuba contém três letras. A primeira letra é escolhida dentre os elementos do conjunto $\mathcal{A}=\{\mathrm{G}, \mathrm{H}, \mathrm{L}, \mathrm{P}, \mathrm{R}\}$, a segunda letra é escolhida dentre os elementos do conjunto $\mathcal{B}=\{\mathrm{M}, \mathrm{I}, \mathrm{O}\}$ e a terceira letra é escolhida dentre os elementos do conjunto $\mathcal{C}=\{\mathrm{D}, \mathrm{U}, \mathrm{N}, \mathrm{T}\}$.
+
+Devido ao aumento no número de bicicletas da cidade, teve-se que expandir a quantidade de possibilidades de placas. Ficou determinado acrescentar duas novas letras a apenas um dos conjuntos ou uma letra nova a dois dos conjuntos.
+
+Qual o maior número de novas placas que podem ser feitos, quando se acrescentam as duas novas letras?
+
+Solução: Inicialmente, é possível fazer o emplacamento de $5 \times 3 \times 4=$ 60 bicicletas. Vamos analisar as duas situações possíveis:
+
+- Aumentamos duas letras num dos conjuntos. Com isso, podemos ter
+Sugestão: Calcule o número inicial de placas que podem ser feitas com os elementos dos conjuntos $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ e $\mathcal{C}$ e depois refaça o cálculo analisando as diversas possibilidades de aumentar em 1 ou 2 os elementos dos conjuntos.
+
+| $\mathcal{A} \times \mathcal{B} \times \mathcal{C}$ | Número de Placas |
+| :---: | :---: |
+| $7 \times 3 \times 4$ | 84 |
+| $5 \times 5 \times 4$ | 100 |
+| $5 \times 3 \times 6$ | 90 |
+
+Assim, com a modificação mostrada, o número de novas placas é no máximo $100-60=40$.
+
+- Aumentar uma letra em dois dos conjuntos. Com isso, podemos ter
+
+| $\mathcal{A} \times \mathcal{B} \times \mathcal{C}$ | Número de Placas |
+| :---: | :---: |
+| $6 \times 4 \times 4$ | 96 |
+| $6 \times 3 \times 5$ | 90 |
+| $5 \times 4 \times 5$ | 100 |
+
+Neste caso, o número de placas novas também é no máximo 40.
+
+Sugestão: No item (b), considere os jogadores que são eliminados ao invés dos que passam para as próximas rodadas.
+
+## 66 | Torneio de Tênis
+
+Num torneio de tênis cada jogador passa para a rodada seguinte somente em caso de vitória. Se não for possível que sempre passe para a rodada seguinte um número par de jogadores, a organização do torneio decide quais rodadas determinados jogadores devem jogar. Por exemplo, um cabeça de chave pode, a critério dos organizadores, entrar na segunda rodada, ou passar da primeira para a terceira, de modo que o total de jogadores que participem de cada rodada seja par.
+
+(a) Considere um torneio de tênis com 64 jogadores. Quantas partidas são disputadas?
+
+(b) E em um torneio com 2011 jogadores?
+
+## Solução:
+
+(a) Na primeira rodada são realizadas 32 partidas, das quais 32 jogadores passam para a fase seguinte. Depois são realizadas 16 partidas, classificando 16 para a rodada seguinte e assim por diante. Assim, o número de partidas do torneio é
+
+$$
+32+16+8+4+2+1=63
+$$
+
+(b) Como em cada partida um jogador é eliminado, então o número de partidas é igual ao número de jogadores eliminados, isto é, $2011-1=2010$.
+
+## Problema Relacionado
+
+Um torneio de futebol com 57 times será disputado com as seguintes regras:
+
+(a) Nenhum jogo pode terminar empatado.
+
+(b) O time que perder duas partidas será eliminado.
+
+(c) O torneio termina quando sobrar apenas um time, que será o campeão.
+
+Se o time campeão perder uma vez, quantas partidas serão disputadas no torneio?
+
+## 67 | Pesando Pedras
+
+Possuímos 32 pedras, todas com pesos diferentes. Descreva um processo para mostrar que podemos encontrar as duas pedras mais pesadas com 35 pesagens em uma balança de pratos.
+
+Solução: Dividimos as pedras em 16 pares, pesamos cada par e pegamos as 16 mais pesadas. Repetimos o processo com as 16 pedras obtendo 8 pedras com oito pesagens a mais, 4 pedras com quatro pesagens, 2 pedras com 2 pesagens e a pedra mais pesada com a última pesagem.
+
+Até este momento foram usadas $16+8+4+2+1=31$ pesagens para encontrar a pedra mais pesada.
+
+A segunda pedra mais pesada deve ser uma das pedras que foi comparada com a pedra mais pesada, que foram 5 pedras no total. É claro que para descobrir a segunda pedra mais pesada devem ser registradas as comparações das pesagens anteriores para saber quais pedras foram comparadas com a pedra mais pesada.
+
+Para determinar a pedra mais pesada entre estas cinco pedras, precisamos de 4 pesagens porque cada vez que fazemos uma pesagem eliminamos a pedra mais leve. Portanto, precisamos de 35 pesagens para determinar as 2 pedras mais pesadas.
+
+Temos 68 moedas com pesos diferentes. Fazendo 100 pesagens, encontre a moeda mais pesada e a mais leve.
+
+## 68 | Produto 2000
+
+Quantos números naturais de cinco algarismos têm o produto de seus algarismos igual a 2000?
+
+Solução: Inicialmente, observe que $2000=2^{4} \times 5^{3}$. Como os algarismos do número são menores que 10 , cada fator 5 deve ser um algarismo desse número. Além disso, o produto dos outros algarismos deve ser $2^{4}=16$. Assim, temos dois casos:
+
+- Os algarismos que faltam são 2 e 8. Nesse caso, existem cinco possibilidades para posicionarmos o 2 , quatro possibilidades para posicionarmos o 8 e uma única possibilidade para posicionarmos cada 5 que resta. Portanto, podemos formar $5 \times 4=20$ números.
+- Os algarismos que faltam são 4 e 4. Nesse caso, podemos escolher dois lugares para os algarismos 4 de $\binom{5}{2}=10$ modos (veja Contando Subconjuntos na página 118) e uma maneira de posicionarmos cada 5 que resta. Portanto, podemos formar 10 números.
+Sugestão: Divida as pedras em pares e realize as pesagens, eliminando as pedras mais leves. Perceba que a segunda pedra mais pesada somente pode ser eliminada pela pedra mais pesada.
+
+Logo, podem ser formados $20+10=30$ números.
+
+Sugestão: (a) Divida em dois casos de acordo com a cor da casa central. (b) Determine o número de tabuleiros $3 \times 3$ que podem ser colocados no tabuleiro $123 \times 123$.
+
+## 69 | Tabuleiro $123 \times 123$
+
+Num tabuleiro $123 \times 123$, cada casa é pintada de roxo ou azul de acordo com as seguintes condições:
+
+- Cada casa pintada de roxo que não está na borda do tabuleiro tem exatamente 5 casas azuis dentre suas 8 vizinhas.
+- Cada casa pintada de azul que não está na borda do tabuleiro tem exatamente 4 casas roxas dentre suas 8 vizinhas.
+
+Nota: Duas casas são vizinhas se possuem um lado ou um vértice em comum.
+
+(a) Considere um tabuleiro $3 \times 3$ dentro do tabuleiro $123 \times 123$. Quantas casas de cada cor pode haver neste tabuleiro $3 \times 3$ ?
+
+(b) Calcule o número de casas pintadas de roxo no tabuleiro $123 \times 123$.
+
+## Solução:
+
+(a) Observando um tabuleiro $3 \times 3$, podemos claramente ver que seu centro não está na borda do tabuleiro. A casa do centro pode:
+
+- Estar pintada de roxo. Nesse caso, temos dentre suas 8 vizinhas, 5 azuis e 3 roxas. No total, há 4 casas roxas e 5 casas azuis nesse tabuleiro.
+- Estar pintada de azul. Nesse caso, temos dentre suas 8 vizinhas, 4 azuis e 4 roxas. No total, há 4 casas roxas e 5 casas azuis nesse tabuleiro.
+
+(b) Como em qualquer tabuleiro $3 \times 3$ dentro do tabuleiro $123 \times 123$ o número de casas azuis é 5 e o número de casas roxas é 4 , podemos dividir o tabuleiro $123 \times 123$ em tabuleiros menores $3 \times 3$ conforme a figura 69.1. Deste modo, o tabuleiro é dividido em $\left(\frac{123}{3}\right)^{2}=$ $41^{2}=1681$ tabuleiros $3 \times 3$. Como cada tabuleiro $3 \times 3$ tem 4 casas roxas, então há no total $1681 \times 4=6724$ casas roxas.
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N2_desafios.md

@@ -0,0 +1,168 @@
+# 23. Desafios 
+
+Nível 2 Soluções
+
+## 75 | Ora Bolas!
+
+Cinco bolas iguais estão se movendo na mesma direção ao longo de uma reta fixa, mantendo uma certa distância de uma para outra. Na mesma direção, mas no sentido oposto, outras cinco bolas se movem de encontro às primeiras. As velocidades de todas as bolas são iguais. Quando duas bolas colidem, voltam na mesma velocidade de antes, ao longo da mesma direção. Quantas colisões entre bolas vão ocorrer?
+
+## Solução:
+
+## 0000000000
+
+Uma solução clara para o problema seria fazer todo o percurso das bolas, mas adotaremos outra estratégia.
+
+Imagine que quando há a colisão de duas bolas, ao invés de gerar a volta das mesmas, uma bola se transforma na outra, como se não houvesse a colisão. Chamaríamos a esse processo de transmutação.
+
+É claro que cada colisão do problema inicial corresponde a uma transmutação na nossa interpretação.
+
+Mas o número de transmutações é bem mais fácil de calcular, porque as bolas não mudam de direção. As cinco bolas à esquerda encontrarão as cinco bolas à direita e o número procurado será então $5 \times 5=25$.
+
+## 76 | Distância entre os Vilarejos
+
+A estrada que liga dois vilarejos em uma montanha é formada somente por trechos de subida ou descida. Um ônibus sempre viaja a $15 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ em trechos de subida e a $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \mathrm{em}$ trechos de descida. Encontre a distância entre os vilarejos se o ônibus leva exatamente 4 horas para fazer a viagem completa de ida e volta.
+
+Solução: Observe que os trechos de subida no percurso de ida são exatamente os trechos de descida para a volta e vice-versa. Assim, em uma viagem de ida e volta a distância percorrida nas subidas é igual a distância percorrida nas descidas.
+
+Chamemos de $\mathrm{d}$ a distância entre os dois vilarejos. Como a distância total percorrida foi igual a $2 d$, então o tempo gasto subindo foi $d / 15$
+
+Sugestão: Mostre que a situação do item (a) é possível e a do item (b) não.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9f6ce5ffa52bbf7500dfg-2.jpg?height=514&width=442&top_left_y=868&top_left_x=173)
+
+Sugestão: Perceba que para chegarem em até 2 h $40 \mathrm{~min}$, cada um deve fazer pelo menos metade do percurso de bicicleta. horas e o tempo gasto descendo foi $\mathrm{d} / 30$ horas. Como o tempo total foi 4 horas, temos
+
+$$
+\frac{d}{15}+\frac{d}{30}=4
+$$
+
+Resolvendo a equação, encontramos $d=40$, ou seja, a distância entre os vilarejos é igual a $40 \mathrm{~km}$.
+
+## 77 | Amigos que você pode Contar!
+
+Considere um grupo de 15 pessoas. É possível que cada uma delas conheça exatamente:
+
+(a) 4 pessoas do grupo?
+
+(b) 3 pessoas do grupo?
+
+(Admita que se $A$ conhece B então B conhece $A$.)
+
+## Solução:
+
+(a) É possível. Representamos as 15 pessoas por pontos, conforme o diagrama ao lado. Um arco entre dois pontos significa que as duas pessoas representadas se conhecem. Como cada ponto está ligado a dois pontos à esquerda e a dois pontos à direita, saem quatro arcos de cada ponto, o que significa que é possível que cada pessoa conheça exatamente 4 pessoas do grupo.
+
+(b) Não é possível! Vamos representar as pessoas por pontos. Ligamos dois pontos se as pessoas representadas se conhecem. Quantos arcos vamos precisar traçar para representar todas as amizades? Cada ponto é extremidade de 3 arcos, resultando num total de $15 \times 3=45$ arcos que saem de todos os pontos. Porém, nesta contagem, cada arco foi contado duas vezes, nas duas extremidades. Portanto, o número de segmentos deve ser 45/2, o que é um absurdo, pois este número não é inteiro.
+
+## 78 | Três Amigos e uma Bicicleta
+
+A distância entre Coco da Selva e Quixajuba é $24 \mathrm{~km}$. Dois amigos precisam ir de Quixajuba a Coco da Selva e um terceiro amigo precisa ir de Coco da Selva a Quixajuba. Eles possuem uma bicicleta que inicialmente está em Quixajuba. Cada um deles pode ir caminhando a velocidade de $6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ou de bicicleta a velocidade de $18 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Além disso, podem deixar a bicicleta em qualquer ponto do trajeto.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9f6ce5ffa52bbf7500dfg-2.jpg?height=177&width=1012&top_left_y=2210&top_left_x=702)
+
+Mostre como eles podem proceder para chegarem a seus destinos em no máximo $2 \mathrm{~h} 40 \mathrm{~min}$.
+
+Solução: Chamaremos de A e B os amigos que estão em Quixajuba e C o que está em Coco da Selva. Nossos personagens podem seguir a seguinte estratégia:
+
+- Na primeira hora, A vai de bicicleta enquanto B e C irão caminhando. Depois dessa hora, $\mathrm{A}$ e $\mathrm{C}$ se encontram no quilômetro 18 (medido desde Quixajuba) e B está no quilômetro 6.
+- A continua caminhando e chegará a seu destino depois de uma hora. Enquanto isso, C continua de bicicleta e B fica parado esperando C chegar. Como a distância entre C e B é de $12 \mathrm{~km}$, isso acontecerá depois de 12/18 =2/3 h, isto é, 40 minutos.
+- Nesse ponto, C passa a bicicleta para B e cada um continua seu trajeto chegando a seus destinos em uma hora.
+
+Assim o tempo total empregado por $\mathrm{B}$ e $\mathrm{C}$ foi de $2 \mathrm{~h} 40 \mathrm{~min}$, enquanto A gastou $2 \mathrm{~h}$.
+
+## 79 | Contando Polígonos
+
+Em uma circunferência foram marcados 15 pontos brancos e 1 ponto preto. Consideremos todos os possíveis polígonos (convexos) com seus vértices nestes pontos.
+
+Vamos separá-los em dois tipos:
+
+- Tipo 1: os que possuem somente vértices brancos.
+- Tipo 2: os que possuem o ponto preto como um dos vértices.
+
+Existem mais polígonos do tipo 1 ou do tipo 2? Quantos existem a mais?
+
+## Solução:
+
+Observe que para cada polígono do tipo 1 podemos construir um polígono do tipo 2 adicionando o ponto preto.
+
+Por outro lado, se temos um polígono do tipo 2 e retirarmos o ponto preto, a única forma de não gerar um polígono é se sobrarem exatamente dois pontos brancos.
+
+Portanto, existem mais polígonos do tipo 2 do que do tipo 1.
+
+Para calcular a diferença, basta contar o número de pares de pontos brancos. Para isso, observe que cada ponto branco pode formar um par com cada um dos outros 14 pontos brancos. Assim, como existem 15 pontos brancos, teremos $15 \times 14$ pares ordenados. Segue que temos $15 \times 14 / 2=105$ pares de pontos.
+
+Observação: É possível determinar as quantidades de polígonos do tipo 1 e do tipo 2. Veja a caixa Contando Subconjuntos, na página 118.
+Sugestão: Construa um polígono do tipo 2 a partir de um polígono do tipo 1 .
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9f6ce5ffa52bbf7500dfg-3.jpg?height=842&width=330&top_left_y=1124&top_left_x=1502)
+
+## Sugestão:
+
+(a) Suponha
+
+$$
+a \leqslant b \leqslant c \leqslant d \leqslant e
+$$
+
+O que podemos dizer sobre $a+$ $b$ ? E sobre $d+e$ ? E sobre $a+c$ ?
+
+(b) Carlos não conseguirá alcançar seu objetivo porque existem dois conjuntos formados por quatro números que geram os números $10,20,22,24,26$ e 36 .
+
+## 80 | Desafiando os Amigos!
+
+(a) Adriano escolheu secretamente cinco números a, b, c, d e e e informou a Bruna os dez números $24,28,30,30,32,34,36,36$, 40 e 42 obtidos pelo cálculo de todas as somas de dois números dentre os cinco escolhidos.
+
+O objetivo de Bruna é descobrir a, b, c, d, e. Bruna pode alcançar seu objetivo?
+
+(b) Adriano escolheu secretamente quatro números $\mathrm{m}, \mathrm{n}, \mathrm{p}$ e q e informou a Carlos os seis números 10, 20, 22, 24, 26 e 36 obtidos pelo cálculo de todas as somas de dois números dentre os quatro escolhidos.
+
+O objetivo de Carlos é descobrir m, n, p e q. Ele pode alcançar seu objetivo?
+
+## Solução:
+
+(a) Suponha que $\mathrm{a} \leqslant \mathrm{b} \leqslant \mathrm{c} \leqslant \mathrm{d} \leqslant e$. Logo a menor soma é $\mathrm{a}+\mathrm{b}$ e $\mathrm{a}$ maior soma é $d+e$. A segunda menor é $a+c$ e a segunda maior é c $+e$. Assim, temos o sistema
+
+$$
+\left\{\begin{array}{l}
+a+b=24 \\
+a+c=28 \\
+c+e=40 \\
+d+e=42
+\end{array}\right.
+$$
+
+Por outro lado, cada número é utilizado em quatro somas e então
+
+$$
+\begin{gathered}
+a+b+c+d+e= \\
+\frac{24+28+30+30+32+34+36+36+40+42}{4}=83
+\end{gathered}
+$$
+
+Assim,
+
+$c=(a+b+c+d+e)-(a+b)-(d+e)=83-24-42=17$.
+
+Logo,
+
+$$
+\begin{aligned}
+& \mathrm{a}=28-\mathrm{c}=11 \\
+& \mathrm{~b}=24-\mathrm{a}=13 \\
+& \mathrm{e}=40-\mathrm{c}=23 \\
+& \mathrm{~d}=42-e=19
+\end{aligned}
+$$
+
+(b) Observe que os números 3, 7, 17 e 19 geram as somas 10, 20, 22, 24, 26 e 36 e o mesmo acontece com os números 4, 6, 16 e 20. Carlos não alcançará seu objetivo!
+
+## Problema Relacionado
+
+Uma lista de seis inteiros positivos $p, q, r, s, t, u$ satisfaz $p<q<r<s<t<u$. Existem exatamente 15 pares de números que podem ser formados escolhendo dois números diferentes desta lista. As somas destes 15 pares de números são:
+
+$$
+25,30,38,41,49,52,54,63,68,76,79,90,95,103,117
+$$
+
+Determine o valor da soma $\mathrm{r}+\mathrm{s}$.
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N2_diversos.md

@@ -0,0 +1,255 @@
+# 22. Diversos 
+
+## 70 | Números no W
+
+Em cada uma das casas do $W$ da figura, escrevemos um número inteiro de 1 a 9 de modo que a soma dos três números de cada uma das quatro linhas seja a mesma.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-1.jpg?height=223&width=508&top_left_y=1005&top_left_x=608)
+
+Figura 70.2
+
+Já estão escritos o 6 e o 9. Como devem ser posicionados os outros números?
+
+Solução: Seja $S$ a soma dos três números de cada linha e seja $x 0$ número mostrado na figura 70.3. Como o 9 , o 6 e $x$ estão em duas linhas, a soma de todas as somas das linhas é
+
+$$
+(1+2+\cdots+9)+(9+6+x)=45+(15+x)=60+x
+$$
+
+que também é igual a 4S. Assim,
+
+$$
+4 S=60+x \Longleftrightarrow S=15+\frac{x}{4}
+$$
+
+Como a soma $S$ é um número inteiro, $x$ deve ser divisível por 4 e como $x$ é um algarismo, temos que $x=4$ ou $x=8$, os quais correspondem a valores de $S$ iguais a 16 ou 17 , respectivamente.
+
+Se $x=4$, o número que falta na linha que contém o 6 deve ser
+
+$$
+16-6-4=6
+$$
+
+o que não é possível, pois não podemos repetir números.
+
+Logo, a única possibilidade é $x=8$ e a soma dos elementos de cada linha é 17. Agora, basta combinar os demais números nas linhas e obter a distribuição mostrada na figura 70.4 .
+
+Sugestão: Determine os possíveis valores que podem ser colocados na casa vazia comum às duas linhas.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-1.jpg?height=260&width=469&top_left_y=1041&top_left_x=1436)
+
+Fatos que Ajudam: A soma dos 9 primeiros números inteiros positivos é
+
+$$
+1+2+\cdots+9=45
+$$
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-1.jpg?height=191&width=437&top_left_y=1658&top_left_x=1455)
+
+Figura 70.3
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-1.jpg?height=185&width=434&top_left_y=2089&top_left_x=1459)
+
+Figura 70.4
+
+Sugestão: Somar $i-1$ à primeira rodada equivale a somar 1 à rodada anterior.
+
+## 71 | Montando Tabelas
+
+Montar a tabela de um torneio em que todas as $n$ equipes se enfrentam ao longo de $n-1$ rodadas (como, por exemplo, em cada turno do Brasileirão) é um problema matemático bastante elaborado e que possui vários métodos de solução. Nesta questão, vamos conhecer uma dessas abordagens.
+
+Vamos considerar um torneio com 6 equipes. Associaremos os números 1, 2, 3, 4, 5 e $\infty$ (infinito) a cada uma das equipes. A primeira rodada do torneio é $1 \times \infty, 2 \times 5,3 \times 4$. Para montarmos a rodada $i$ somamos $i-1$ a cada número envolvido nas partidas da rodada inicial, considerando que
+
+- quando a soma ultrapassa 5, subtraímos 5 do resultado;
+- $\infty$ adicionado a qualquer inteiro positivo é $\infty$. Por exemplo, a segunda rodada será:
+
+$$
+\begin{gathered}
+(1+1) \times(\infty+1), \text { isto é, } 2 \times \infty \\
+(2+1) \times(5+1) \text {, isto é, } 3 \times 1 \\
+(3+1) \times(4+1) \text {, isto é, } 4 \times 5
+\end{gathered}
+$$
+
+(a) Determine as 3 rodadas restantes do torneio, seguindo o método descrito acima.
+
+(b) A partir do procedimento mostrado, exiba as 7 rodadas de um torneio com 8 equipes.
+
+## Solução:
+
+(a)
+
+$$
+\begin{gathered}
+\left(\begin{array}{c}
+1 \times \infty \\
+2 \times 5 \\
+3 \times 4
+\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
+2 \times \infty \\
+3 \times 1 \\
+4 \times 5
+\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
+3 \times \infty \\
+4 \times 2 \\
+5 \times 1
+\end{array}\right) \rightarrow \\
+\left(\begin{array}{c}
+4 \times \infty \\
+5 \times 3 \\
+1 \times 2
+\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
+5 \times \infty \\
+1 \times 4 \\
+2 \times 3
+\end{array}\right)
+\end{gathered}
+$$
+
+(b)
+
+$$
+\begin{gathered}
+\left(\begin{array}{c}
+1 \times \infty \\
+2 \times 7 \\
+3 \times 6 \\
+4 \times 5
+\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
+2 \times \infty \\
+3 \times 1 \\
+4 \times 7 \\
+5 \times 6
+\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
+3 \times \infty \\
+4 \times 2 \\
+5 \times 1 \\
+6 \times 7
+\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
+4 \times \infty \\
+5 \times 3 \\
+6 \times 2 \\
+7 \times 1
+\end{array}\right) \rightarrow \\
+\left(\begin{array}{c}
+5 \times \infty \\
+6 \times 4 \\
+7 \times 3 \\
+1 \times 2
+\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
+6 \times \infty \\
+7 \times 5 \\
+1 \times 4 \\
+2 \times 3
+\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
+7 \times \infty \\
+1 \times 6 \\
+2 \times 5 \\
+3 \times 4
+\end{array}\right)
+\end{gathered}
+$$
+
+## 72 | Numerando os Vértices
+
+Distribuímos nos vértices de um bloco retangular oito números dentre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 de tal forma que a soma dos números de uma face qualquer seja igual a 18 .
+
+(a) Quais os números descartados na distribuição?
+
+(b) Exiba uma possível distribuição.
+
+## Solução:
+
+(a) Como o bloco possui seis faces, a soma dos números em todas as faces é $18 \times 6=108$, mas o número atribuído a cada vértice é contado três vezes nesta soma. Portanto, a soma dos números distribuídos é 108/3 = 36. Como a soma de todos os números de 1 a 10 é igual a 55, a soma dos dois números descartados é 19 . Concluímos que os números descartados são 9 e 10.
+
+(b) Uma possível distribuição é exibida na figura 72.1.
+
+## 73 | Corrida de São Paulo a Fortaleza
+
+Numa corrida de São Paulo a Fortaleza participam quatro carros $A$, $B, C, D$ que largaram na seguinte ordem: primeiro $A$, segundo $B$, terceiro C e por último D. Durante a corrida, A e B trocaram de posição (ultrapassaram um ao outro) 9 vezes e B e C trocaram de posição 8 vezes.
+
+Para saber em que ordem chegaram à Fortaleza, só é permitido fazer perguntas do tipo:
+
+"Quantas vezes trocaram de posição os carros X e Y?"
+
+Antes de fazer uma pergunta se conhece a resposta da pergunta anterior. Formule três perguntas que permitam determinar a ordem em que os quatro terminaram a corrida.
+
+Solução: Inicialmente, observe que se dois carros trocaram de posição um número par de vezes, eles terminaram na mesma ordem em que começaram e se trocaram de posição um número ímpar de vezes, eles terminaram na ordem inversa. Isto nos leva a concluir que B terminou a corrida na frente de $A$ e de $C$.
+
+Fazemos a primeira pergunta sobre os carros A e C. De acordo com a resposta saberemos quem terminou na frente.
+
+Suponhamos que A chegou na frente de C (o outro caso é análogo). Falta determinar a posição de $\mathrm{D}$, para a qual há quatro possibilidades (à frente de B, entre B e $A$, entre $A$ e $C$ e atrás de $\mathrm{C}$ ). Fazemos a segunda pergunta para $A$ e $D$ e dependendo de $D$ chegar na frente ou atrás de $A$, perguntamos para $B$ e $D$ ou $C$ e $D$, respectivamente. Com a última resposta descobriremos entre quais carros $\mathrm{D}$ chegou, determinando a ordem de chegada.
+Sugestão: Calcule as somas dos números de todas as faces do paralelepípedo e observe quantas vezes cada vértice está sendo contado nessa soma.
+
+Fatos que Ajudam:
+
+$1+2+\cdots+10=55$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-3.jpg?height=243&width=331&top_left_y=855&top_left_x=1505)
+
+Figura 72.1
+
+Sugestão: Observe que se dois carros trocam de posição duas vezes, a ordem entre eles continua a mesma.
+
+## 74 | Casas Pretas e Brancas
+
+Considere um tabuleiro $6 \times 6$ com suas casas coloridas de branco ou preto. Duas casas são chamadas vizinhas se possuem um lado comum. A coloração do tabuleiro vai mudando a cada segundo, respeitando a seguinte condição: se num determinado segundo pelo menos duas casas vizinhas de uma determinada casa estão coloridas de preto, então no próximo segundo esta última casa será colorida de preto.
+
+(a) A figura abaixo mostra uma possível coloração inicial. Como ficará o tabuleiro após 12 segundos? E após 13 segundos?
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=317&width=320&top_left_y=732&top_left_x=1071)
+
+(b) Exiba uma coloração inicial com 6 casas pretas de modo que, em algum momento, todas as casas fiquem pretas.
+
+Solução: (a) Seguem as colorações do tabuleiro a cada segundo. Observe que a partir de 12 segundos todos os tabuleiros são iguais.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=189&width=166&top_left_y=1356&top_left_x=682)
+
+0
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=160&width=160&top_left_y=1576&top_left_x=682)
+
+5
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=154&width=157&top_left_y=1782&top_left_x=687)
+
+10
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=378&width=166&top_left_y=1368&top_left_x=905)
+
+6
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=378&width=162&top_left_y=1366&top_left_x=1118)
+
+7
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=157&width=163&top_left_y=1783&top_left_x=1118)
+
+11
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=374&width=160&top_left_y=1364&top_left_x=1345)
+
+8
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=177&width=163&top_left_y=1368&top_left_x=1569)
+
+4
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=372&width=174&top_left_y=1572&top_left_x=1558)
+
+12
+
+(b) Colorimos inicialmente as casas de uma das diagonais. Após 5 segundos, todas as casas estarão pretas.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=169&width=165&top_left_y=2143&top_left_x=680)
+
+0
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=192&width=160&top_left_y=2354&top_left_x=682)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=166&width=163&top_left_y=2144&top_left_x=1118)
+
+1
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=194&width=169&top_left_y=2353&top_left_x=1115)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=180&width=165&top_left_y=2143&top_left_x=1568)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=192&width=163&top_left_y=2354&top_left_x=1552)
+

Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N2_geometria.md

@@ -0,0 +1,312 @@
+# 20. Geometria 
+
+| Nível 2 | Soluções |
+| :--- | :--- |
+
+## 51 | Colar de Ouro
+
+Arqueólogos encontraram um colar de ouro feito de placas no formato de pentágonos regulares. Cada uma destas placas está conectada a outras duas placas, como ilustra a figura.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-1.jpg?height=332&width=600&top_left_y=1002&top_left_x=565)
+
+Figura 51.1
+
+Quantas placas formam o colar?
+
+Solução: O ângulo interno de um pentágono regular mede $108^{\circ}$. Assim, o ângulo interno do polígono determinado pelo colar mede $360^{\circ}-108^{\circ}-108^{\circ}=144^{\circ}$. Devemos então encontrar $n$ tal que
+
+$$
+\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}=144^{\circ}
+$$
+
+Resolvendo esta equação, obtemos $n=10$. Portanto, dez placas formam o colar.
+
+## 52 | AP x BN
+
+$A B C D$ é um retângulo, $A D=5$ e $C D=3$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-1.jpg?height=297&width=408&top_left_y=2079&top_left_x=664)
+
+Figura 52.1
+Solução: Vamos calcular a área do triângulo APB de dois modos diferentes.
+Sugestão: Calcule o ângulo interno do polígono determinado pelo colar.
+
+Fatos que Ajudam: A medida do ângulo interno de um polígono regular de $n$ lados é dada pela fórmula $\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-1.jpg?height=288&width=446&top_left_y=1301&top_left_x=1453)
+
+Sugestão: Calcule a área do triângulo APB de dois modos distintos.
+
+Fatos que Ajudam: A área de um triângulo é igual a metade do produto da medida da base pela medida da altura relativa à essa base.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-2.jpg?height=300&width=425&top_left_y=250&top_left_x=176)
+
+Figura 52.2
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-2.jpg?height=297&width=400&top_left_y=725&top_left_x=200)
+
+Figura 52.3
+Sugestão: Trace a diagonal AC.
+
+Fatos que Ajudam: Triângulos com mesma base e mesma altura possuem áreas iguais.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-2.jpg?height=322&width=417&top_left_y=1598&top_left_x=183)
+
+Figura 53.2
+Seja $Q$ o pé da altura relativa ao lado $A B$ no triângulo $A P B$. Então a área do triângulo APB é igual a
+
+$$
+\frac{\text { base } \times \text { altura }}{2}=\frac{\mathrm{AB} \times \mathrm{PQ}}{2}=\frac{\mathrm{AB} \times \mathrm{AD}}{2}=\frac{3 \times 5}{2}=\frac{15}{2}
+$$
+
+Porém, podemos calcular a área do triângulo APB escolhendo por base o lado AP e, neste caso, BN é a altura. Assim,
+
+$$
+\frac{\mathrm{AP} \times \mathrm{BN}}{2}=\frac{15}{2}
+$$
+
+donde $A P \times B N=15$.
+
+Segunda Solução: Os ângulos BÂN e APAD possuem a mesma medida, porque ambos são o complemento do ângulo DÂP. Então os triângulos ANB e PDA são semelhantes, pois possuem dois pares de ângulos de mesma medida. Portanto,
+
+$$
+\frac{B A}{A P}=\frac{B N}{A D}
+$$
+
+e segue que $A P \times B N=B A \times A D=15$.
+
+## 53 | Dois Quadrados
+
+Na figura, $A B C D$ e CEFG são quadrados e o lado do quadrado CEFG mede $12 \mathrm{~cm}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-2.jpg?height=389&width=443&top_left_y=1416&top_left_x=978)
+
+Quais são os possíveis valores da área do triângulo AEG?
+
+Solução: Traçamos a diagonal $A C$ do quadrado $A B C D$. Como as retas AC e GE formam ângulo de $45^{\circ}$ em relação à reta BE, concluímos que AC e GE são paralelas.
+
+Seja $X$ um ponto arbitrário sobre $A C$. Os triângulos AGE e XGE possuem a mesma área, pois ambos têm a mesma base GE e a mesma altura que corresponde à distância entre as retas paralelas AC e GE. Tomando $X=C$, concluímos que a área do triângulo $A G E$ é igual à área de CGE, isto é, $12 \times 12 / 2=72 \mathrm{~cm}^{2}$.
+
+## 54 | O Tesouro do Pirata
+
+Um pirata resolveu enterrar um tesouro em uma ilha. Para tal, ele caminhou da árvore $A$ para a rocha $R_{1}$, e depois a mesma distância e na mesma direção até o ponto $X$. Ele fez o mesmo em relação a entrada da caverna $C$ e em relação à rocha $R_{2}$, alcançando os pontos $Y$ e Z, respectivamente. Ele enterrou o tesouro em $T$, ponto médio de AZ.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-3.jpg?height=394&width=440&top_left_y=614&top_left_x=637)
+
+Figura 54.1
+
+Ao voltar à ilha para desenterrar o tesouro, o pirata encontrou as rochas e a caverna, mas não encontrou a árvore. Como o pirata pode descobrir o tesouro?
+
+Solução: A chave para o pirata encontrar o tesouro está no seguinte fato geométrico:
+
+Afirmação: Em todo quadrilátero, os pontos médios dos lados são vértices de um paralelogramo.
+
+Isto significa que a posição $T$ do tesouro independe da posição da árvore. No quadrilátero $A X Y Z, R_{1}, C, R_{2}$ e $T$ são os pontos médios dos lados. Portanto, $\mathrm{R}_{1} \mathrm{CR}_{2} \mathrm{~T}$ é um paralelogramo.
+
+O pirata pode começar de um ponto qualquer e repetir os procedimentos, ou pode determinar $T$ traçando uma reta paralela a $R_{1} C$ por $R_{2}$ e uma paralela a $C R_{2}$ por $R_{1}$. O ponto de interseção das paralelas é o ponto $T$, localização do tesouro.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-3.jpg?height=412&width=458&top_left_y=1270&top_left_x=1438)
+
+Figura 54.2
+
+Demonstração da Afirmação: Seja $A B C D$ um quadrilátero convexo e $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ e $\mathrm{Q}$ os pontos médios dos lados $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CD}$ e DA, respectivamente. Vamos provar que MNPQ é um paralelogramo.
+
+Considerando o triângulo $A B C$, o segmento $M N$ é a base média relativa ao lado AC, sendo paralelo ao mesmo e medindo a metade de $A C$.
+
+Analogamente, olhando para o triângulo $C D A$, o segmento $P Q$ é a base média relativa ao lado $A C$, e portanto é paralelo a $A C$ e mede a metade de AC.
+
+Sugestão: Mostre que a posição T do tesouro não depende do ponto inicial A.
+
+Fatos que Ajudam: Em todo quadrilátero, os pontos médios dos lados são vértices de um paralelogramo.
+
+Segue que os segmentos $M N$ e PQ são iguais e paralelos, mostrando que o quadrilátero MNPQ é um paralelogramo.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-3.jpg?height=408&width=440&top_left_y=1806&top_left_x=1456)
+
+Figura 54.3
+
+Sugestão: Mostre que CAF e BAE são triângulos isósceles.
+
+Fatos que Ajudam: A bissetriz de um ângulo o divide em dois ângulos de mesma medida.
+
+## 55 | Bissetrizes
+
+Seja $A B C$ um triângulo com $A B=13, B C=15$ e $A C=9$. Seja $r$ a reta paralela a $B C$ traçada por $A$. A bissetriz do ângulo $A \widehat{B C}$ corta a reta $r$ em $E$ e a bissetriz do ângulo $A \widehat{C} B$ corta $r$ em $F$. Calcular a medida do segmento EF.
+
+## Solução:
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-4.jpg?height=394&width=762&top_left_y=725&top_left_x=750)
+
+Como a reta EF é paralela ao lado $\mathrm{BC}$, os ângulos alternos internos gerados pela transversal CF são iguais, isto é, FĈB $=C \hat{F} A$. Por outro lado, como CF é bissetriz, temos FCEB $=F \hat{C A}$ e assim, $F \hat{C A}=C \hat{F} A$, donde o triângulo CAF é isósceles de base CF. Portanto, $A F=A C=$ 9.
+
+Analogamente, concluímos que o triângulo $B A E$ é isósceles de base $B E$ e $A E=A B=13$. Assim, $E F=E A+A F=22$.
+
+## 56 | Ângulos e Ângulos!
+
+Sugestão: Mostre que o triângulo BEC é isósceles.
+
+Fatos que Ajudam: A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a $180^{\circ}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-4.jpg?height=454&width=402&top_left_y=1903&top_left_x=193)
+
+No interior de um triângulo $A B C$, toma-se um ponto $E$ tal que $A E=$ $B E$ e $A B=E C$. Se $A \hat{B E}=\alpha=E \hat{C A}, E \hat{A} C=2 \alpha$ e $E \hat{B C}=5 \alpha$, determine $\alpha$.
+
+## Solução:
+
+Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$ obtemos
+
+$$
+\left\{\begin{array}{l}
+A \hat{E} B=180^{\circ}-(\alpha+\alpha)=180^{\circ}-2 \alpha \\
+A \hat{E} C=180^{\circ}-(\alpha+2 \alpha)=180^{\circ}-3 \alpha
+\end{array}\right.
+$$
+
+Assim, temos que
+
+$$
+\begin{aligned}
+\mathrm{C} \hat{\mathrm{E}} \mathrm{B} & =360^{\circ}-(\mathrm{A} \hat{\mathrm{E}} \mathrm{C}+\mathrm{A} \hat{\mathrm{E}} \mathrm{B})= \\
+& =360^{\circ}-\left(180^{\circ}-3 \alpha+180^{\circ}-2 \alpha\right)=5 \alpha
+\end{aligned}
+$$
+
+Como o ângulo $E \hat{B C}$ também mede $5 \alpha$, segue que o triângulo $B E C$ é isósceles. Assim, $A B=C E=B C$, isto é, o triângulo $A B C$ também é isósceles.
+
+Logo, $\mathrm{BC} A=B \hat{A} C=3 \alpha$ e $B \hat{C} A+C \hat{A} B+A \hat{B C}=180^{\circ}$, isto é, $3 \alpha+$ $3 \alpha+6 \alpha=180^{\circ}$, o que resulta em $\alpha=15^{\circ}$.
+
+## 57 | Quadrado, Pentágono e Icoságono
+
+A figura mostra parte de um polígono regular de 20 lados (icoságono) $A B C D E F$..., um quadrado BCYZ e um pentágono regular DEVWX.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-5.jpg?height=411&width=648&top_left_y=457&top_left_x=538)
+
+Figura 57.1
+
+(a) Determine a medida do ângulo YD̂C.
+
+(b) Mostre que o vértice $X$ está sobre a reta DY.
+
+## Solução:
+
+(a) O ângulo interno do icoságono regular mede $\frac{180^{\circ} \times 18}{20}=162^{\circ}$. Segue que YCिD $=162^{\circ}-90^{\circ}=72^{\circ}$. Como $Y C=C D$, o triângulo YCD é isósceles de base YD. Assim, ŶिC $=$ DŶC $=$ $\frac{180^{\circ}-72^{\circ}}{2}=54^{\circ}$.
+
+(b) Cada ângulo interno de um pentágono regular mede $\frac{180^{\circ} \times 3}{5}=$ $108^{\circ}$. Assim, $\mathrm{CDX}=162^{\circ}-108^{\circ}=54^{\circ}$. Como as retas XD e YD formam o mesmo ângulo com a reta $C D$, segue que os pontos $X$, $\mathrm{Y}$ e $\mathrm{D}$ pertencem a uma mesma reta.
+
+(c) Este problema não tem item (c), mas poderíamos ter perguntado: Qual a única letra do alfabeto que ainda poderíamos usar nesta figura?
+
+## Resposta:
+
+¿Sелат sęue]
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-5.jpg?height=45&width=991&top_left_y=1945&top_left_x=390)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-5.jpg?height=46&width=991&top_left_y=1987&top_left_x=390)
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-5.jpg?height=42&width=991&top_left_y=2035&top_left_x=390)
+
+Sugestão: Para o item (b), determine a medida do ângulo CDOX.
+
+Fatos que Ajudam: A medida do ângulo interno de um polígono regular de $n$ lados é dada pela fórmula $\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-5.jpg?height=311&width=491&top_left_y=1192&top_left_x=1431)
+
+Figura 57.2
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-5.jpg?height=334&width=491&top_left_y=1643&top_left_x=1431)
+
+Figura 57.3
+
+## Problema Relacionado
+
+Construímos dois triângulos equiláteros: $\mathrm{ABE}$ interno e BFC externo ao quadrado $A B C D$. Prove que os pontos D, E e F se localizam na mesma reta.
+
+Sugestão: No item (b), prolongue os lados $A B$ e ED, determinando o ponto de interseção X.
+
+Fatos que Ajudam: A soma das medidas dos ângulos de um polígono de $n$ lados é dada pela fórmula $180^{\circ}(n-2)$. A medida do ângulo interno de um polígono regular de $n$ lados é dada pela fórmula $\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}$.
+
+## 58 | Eneágono Regular
+
+A figura ilustra um polígono regular de 9 lados. A medida do lado do polígono é a, a medida da menor diagonal é b e a medida da maior diagonal é d.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-6.jpg?height=400&width=388&top_left_y=497&top_left_x=1005)
+
+Figura 58.1
+
+(a) Determine a medida do ângulo BÂE.
+
+(b) Mostre que $d=a+b$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-6.jpg?height=409&width=511&top_left_y=1149&top_left_x=133)
+
+Figura 58.2
+
+## Solução:
+
+(a) A medida do ângulo interno do eneágono regular (9 lados) é igual a $180^{\circ} \times 7 / 9=140^{\circ}$.
+
+Considere agora o pentágono $A B C D E$, como indicado na figura. A soma de seus ângulos internos é $180^{\circ}(5-2)=540^{\circ}$. Sabemos que $A \hat{B C}=\hat{B C D}=\hat{C D E}=140^{\circ}$ e pela simetria da figura sabemos que $E \hat{A} B=A \hat{E} D=\alpha$. Portanto,
+
+$$
+2 \alpha+3 \times 140^{\circ}=540^{\circ}
+$$
+
+donde $\alpha=60^{\circ}$.
+
+(b) Seja $X$ o ponto de interseção das retas $A B$ e DE. Como XÂE = $X \hat{E} A=60^{\circ}$, o triângulo $A X E$ é equilátero. O triângulo $B X D$ também é equilátero, pois a reta $A E$ é paralela à reta $B D$.
+
+Assim, temos $A X=A E$ e $B X=B D$. Como $A X=A B+B X$, temos $A E=A B+B D$, ou seja, $d=a+b$.
+
+## 59 | Hexágono Equiangular
+
+Todos os ângulos de um hexágono $A B C D E F$ são iguais. Mostre que $\mathrm{AB}-\mathrm{DE}=\mathrm{EF}-\mathrm{BC}=\mathrm{CD}-\mathrm{FA}$.
+
+## Solução:
+
+Prolonguemos os segmentos AF, BC e DE determinando os pontos de intersecção X, Y, Z, como mostrado na figura.
+
+Como a soma dos ângulos internos de um hexágono convexo é $180^{\circ} \times$ $(6-2)=720^{\circ}$, cada ângulo interno deste hexágono mede $720^{\circ} / 6=$ $120^{\circ}$. Assim, $X \hat{A} B=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$ e do mesmo modo $X \hat{B A}=60^{\circ}$. Segue que o ângulo $A \hat{X} B$ mede $60^{\circ}$ e de igual forma os ângulos em $Y$ e Z medem $60^{\circ}$.
+
+Portanto, os triângulos XAB, YCD, ZFE e XYZ são equiláteros. Em particular, $X Y=X Z$. Mas
+
+$$
+\begin{aligned}
+& X Y=X B+B C+C Y=A B+B C+C D \\
+& X Z=X A+A F+F Z=A B+A F+E F
+\end{aligned}
+$$
+
+Igualando obtemos $B C+C D=A F+E F$, donde obtemos $E F-B C=$ $C D-F A$. Pelo mesmo processo, de $X Y=Y Z$, obtemos $A B-D E=$ $\mathrm{EF}-\mathrm{BC}$.
+
+## 60 | Pentágono Equilátero
+
+Mostre que é possível construir um pentágono com todos os lados de mesma medida e cujos ângulos internos meçam $60^{\circ}, 80^{\circ}, 100^{\circ}, 140^{\circ}$ e $160^{\circ}$, em alguma ordem.
+
+## Solução:
+
+Suponhamos que já construímos o pentágono $A B C D E$ e que o ângulo em $A$ mede $60^{\circ}$. Traçando a reta $B E$, concluímos que o triângulo $A B E$ é equilátero, pois $A B=A E$ e $E \hat{A} B=60^{\circ}$. Logo, $B E=A B$ e, portanto, $B C D E$ tem todos os seus lados com a mesma medida, isto é, BCDE é um losango.
+
+Em particular, os ângulos opostos do losango são iguais. Isto implica que, no pentágono, o ângulo em B é igual ao ângulo em $D$ mais $60^{\circ} \mathrm{e}$ o ângulo em $\mathrm{E}$ é igual ao ângulo em $\mathrm{C}$ mais $60^{\circ}$.
+
+Como $160^{\circ}=100^{\circ}+80^{\circ}$ e $140^{\circ}=80^{\circ}+60^{\circ}$, concluímos que os ângulos em C e D devem assumir os valores $80^{\circ}$ e $100^{\circ}$, não necessariamente nessa ordem, enquanto $B$ e $E$ assumem os respectivos valores de $\mathrm{D}$ e $\mathrm{C}$, adicionados de $60^{\circ}$.
+
+Portanto, para construir tal pentágono basta construir um triângulo equilátero $A B E$ e um losango $B C D E$ com ângulos de medidas $100^{\circ} \mathrm{e}$ $80^{\circ}$.
+Sugestão: Prolongue os lados do hexágono.
+
+Fatos que Ajudam: A soma dos ângulos internos de um polígono com $n$ lados é igual a $180^{\circ}(n-2)$.
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-7.jpg?height=437&width=440&top_left_y=587&top_left_x=1436)
+
+Figura 59.1
+Sugestão: Suponha que o pentágono já foi construído; comece investigando pelo ângulo cuja medida é $60^{\circ}$.
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+Fatos que Ajudam: Se um quadrilátero possui os quatro lados de mesma medida, então ele é um losango. Em um losango, os ângulos opostos possuem a mesma medida.
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+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-7.jpg?height=314&width=394&top_left_y=1828&top_left_x=1479)
+
+Figura 60.1
+
+![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-7.jpg?height=368&width=468&top_left_y=2192&top_left_x=1431)
+
+Figura 60.2
+