Czech/md/cz-mo-secondary/3471683-a49i.md

Úlohy domácího kola kategorie A

1. Necht’ $P(x), Q(x)$ jsou kvadratické trojčleny takové, že tři z kořenů rovnice $P(Q(x))=0$ jsou čísla $-22,7,13$. Určete čtvrtý kořen této rovnice.

ŘEŠENí. Vzhledem k tomu, že rovnice $P(Q(x))=0$ má reálný kořen, má kvadratická rovnice $P(x)=0$ dva reálné kořeny $r_{1}, r_{2}$ (nevylučujeme, že $\left.r_{1}=r_{2}\right)$. Mnohočlen $P(Q(x))$ lze proto zapsat ve tvaru

$$P(Q(x))=a(Q(x)-r_1)(Q(x)-r_2),P(Q(x))=a\backslash left(Q(x)-r\_\{1\}\backslash right)\backslash left(Q(x)-r\_\{2\}\backslash right),$$

kde $a$ je reálné číslo $a \neq 0$. Rovnice $P(Q(x))=0$ má podle zadání čtyři reálné kořeny, proto každá z kvadratických rovnic $Q(x)-r_{1}=0, Q(x)-r_{2}=$ $=0$ musí mít dva reálné kořeny. Z Viètových vzorců plyne, že součet kořenů v obou kvadratických rovnicích je týž, nebot obě rovnice mají stejný koeficient u lineárního členu. Přitom tři ze čtyř reálných kořenů obou kvadratických rovnic $Q(x)-r_{1}=0, Q(x)-r_{2}=0$ jsou dle zadání čísla $-22,7,13$, čtvrtý kořen označme $q$. Dále mohou nastat tři možnosti:

(i) Jedna z kvadratických rovnic má kořeny $-22,7$, druhá má kořeny 13 a $q$. Pak platí $-22+7=13+q$, tedy $q=-28$.

(ii) Jedna z kvadratických rovnic má kořeny $-22,13$, druhá má kořeny 7 a $q$. Pak platí $-22+13=7+q$, tedy $q=-16$.

(iii) Jedna z kvadratických rovnic má kořeny 13,7 , druhá má kořeny -22 a $q$.

Potom však platí $13+7=-22+q$, tedy $q=42$.

Je zřejmé, že v každém z případů (i), (ii), (iii) existují příslušné kvadratické trojčleny $P(x)$ a $Q(x)$. Má-li mít jedna z kvadratických rovnic $Q(x)-r_{1}=0$, $Q(x)-r_{2}=0$ kořeny $-22,7$ a druhá $13,-28$, položíme $Q(x)=x^{2}+15 x$, $r_{1}=(-22) \cdot 7=-154, r_{2}=13 \cdot(-28)=-364, P(x)=(x+154)(x+364)=$ $=x^{2}+518 x+56056$. Obdobně lze postupovat ve zbývajících případech.

Čtvrtým kořenem rovnice $P(Q(x))=0$ může být kterékoliv z čísel -28 , $-16,42$.

JINÉ ŘEŠENÍ. Úvahy o koeficientu u lineárního členu s využitím Viètových vztahů lze nahradit následující úvahou o grafech kvadratických funkcí.

Protože grafy kvadratických funkcí $f_{1}: y=Q(x)-r_{1}$ a $f_{2}: y=Q(x)-$ - $r_{2}$ mají tutéž osu souměrnosti a přitom existují čtyři reálné kořeny rovnice $P(Q(x))=0$, jsou tyto kořeny na ose $x$ po dvou středově souměrné podle průsečíku os souměrnosti grafů obou funkcí $f_{1}$ a $f_{2}$ s osou $x$. Vzhledem k poloze daných tří kořenů na ose $x$ lze dále uvažovat tři možnosti stejně jako v předcházejícím řešení. Např.

(i) Střed souměrnosti je $-7,5=\frac{-22+7}{2}$, čtvrtý kořen leží na ose $x$ a je symetrický s obrazem čísla 13 dle středu souměrnosti v bodě $-7,5$. Čtvrtým hledaným kořenem je tudíž číslo -28 .

Podobně lze postupovat ve zbylých dvou případech a dospějeme tak ke stejnému výsledku.

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Odvod'te vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické (kubické) rovnice.
2. Zjistěte, pro která reálná čísla $p$ má rovnice

$$x^3+p{x}^2+2px=3p+1x^\{3\}+p\; x^\{2\}+2\; p\; x=3\; p+1$$

tři různé reálné kořeny $x_{1}, x_{2}$ a $x_{3}$ takové, že $x_{1} x_{2}=x_{3}^{2}$. [45. MO, B-I-1]

3. Dokažte, že rovnice $x^{3}-1996 x^{2}+r x-1995=0$ má pro každý reálný koeficient $r$ nejvýše jeden celočíselný kořen. [45. MO, B-II-3]
4. Najděte všechny dvojice mnohočlenů

$$f(x)=x^2+ax+b,g(x)=x^2+cx+df(x)=x^\{2\}+a\; x+b,\; \backslash quad\; g(x)=x^\{2\}+c\; x+d$$

které splňují tyto podmínky

1. Každý z mnohočlenů $f, g$ má dva různé reálné kořeny.
2. Je-li $s$ libovolný kořen $f$, je i $g(s)$ kořen $f$.
3. Je-li $s$ libovolný kořen $g$, je i $f(s)$ kořen $g$. [46. MO, A-I-2]

5. Najděte všechna reálná čísla $p$, pro něž jsou všechny kořeny $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ rovnice

$$x^3-12x^2+px-64=0x^\{3\}-12\; x^\{2\}+p\; x-64=0$$

reálné a nezáporné. [35. MO, A-S-2]

2. Necht̉ K, L, $M$ jsou po řadě vnitřní body stran $B C, C A, A B$ daného trojúhelniku $A B C$ takové, že kružnice vepsané dvojicím trojúhelniku $A B K$ a CAK, BCL a $A B L, C A M$ a BCM maji vnějši dotyk. Pak platí

$$\mathrm{\mid }BK\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }CL\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }AM\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }CK\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }AL\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }BM\mathrm{\mid }\mathrm{.}|B\; K|\; \backslash cdot|C\; L|\; \backslash cdot|A\; M|=|C\; K|\; \backslash cdot|A\; L|\; \backslash cdot|B\; M|\; .$$

Dokažte.

Poznámka. $Z$ uvedené rovnosti plyne na základě Cèvovy věty, že přímky $A K, B L, C M$ procházeji týmž bodem.

ŘEŠENí. Uvnitř strany $B C$ trojúhelníku $A B C$ uvažujme bod $K$ takový, že kružnice vepsané trojúhelníkům $B K A$ a $C K A$ mají vnější dotyk v bodě $D$. Necht̉ dále (při obvyklém označení délek stran trojúhelníku $A B C$ ) platí označení podle obrázku 1 , tj.

$$\mid A{D}_b\mid =\mid A{D}_c\mid =x,\mid B{D}_c\mid =y,\mid C{D}_b\mid =z,\mathrm{\mid }BK\mathrm{\mid }=y+u,\mathrm{\mid }CK\mathrm{\mid }=z+u\mathrm{.}\backslash left|A\; D\_\{b\}\backslash right|=\backslash left|A\; D\_\{c\}\backslash right|=x,\backslash left|B\; D\_\{c\}\backslash right|=y,\backslash left|C\; D\_\{b\}\backslash right|=z,|B\; K|=y+u,|C\; K|=z+u\; .$$

Obr. 1

Z předešlého obrázku snadno vidíme, že platí následující soustava rovnic

Jednoduchou úpravou odtud dostáváme $2 y+2 u=a-b+c$ (analogicky vyjádříme $2 z+2 u$ ), a tudíž platí

kde $2 s=a+b+c$. To značí (viz první návodná úloha), že bod $K$ je bodem dotyku kružnice vepsané trojúhelníku $A B C$ se stranou $B C$. Pro body $L$ a $M$ platí využitím analogického postupu následující vztahy:

$$\mathrm{\mid }CL\mathrm{\mid }=s-c,\mathrm{\mid }AL\mathrm{\mid }=s-a,\mathrm{\mid }AM\mathrm{\mid }=s-a,\mathrm{\mid }BM\mathrm{\mid }=s-b\mathrm{.}|C\; L|=s-c,\; \backslash quad|A\; L|=s-a,\; \backslash quad|A\; M|=s-a,\; \backslash quad|B\; M|=s-b\; .$$

$\mathrm{Z}$ předešlých rovností již bezprostředně plyne

$$\mathrm{\mid }BK\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }CL\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }AM\mathrm{\mid }=(s-a)(s-b)(s-c)=\mathrm{\mid }CK\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }AL\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }BM\mathrm{\mid }\text{. }|B\; K|\; \backslash cdot|C\; L|\; \backslash cdot|A\; M|=(s-a)(s-b)(s-c)=|C\; K|\; \backslash cdot|A\; L|\; \backslash cdot|B\; M|\; \backslash text\; \{.\; \}$$

Tím je důkaz ukončen.

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Pomocí délek stran $a, b, c$ daného trojúhelníku $A B C$ vyjádřete

a) vzdálenosti vrcholů a bodů dotyku kružnice tomuto trojúhelníku vepsané, které leží na přilehlých stranách;

b) vzdálenosti vrcholů a bodů dotyku kružnic vně připsaných přilehlým stranám (které leží na těchto stranách);

c) vzdálenosti středů jeho stran a bodů dotyku kružnice danému trojúhelníku vepsané (vně připsané), které leží na jednotlivých stranách daného trojúhelníku.

2. Seznamte žáky s následující variantou Cèvovy věty: Necht $K, L, M$ jsou po řadě vnitřní body stran $B C, C A, A B$ daného trojúhelníku $A B C$. Usečky $A K, B L, C M$ se protínají v jednom bodě uvnitř trojúhelníku $A B C$, právě když platí

$$\frac{\mathrm{\mid }AM\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }MB\mathrm{\mid }}\cdot \frac{\mathrm{\mid }BK\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }KC\mathrm{\mid }}\cdot \frac{\mathrm{\mid }CL\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }LA\mathrm{\mid }}=1\backslash frac\{|A\; M|\}\{|M\; B|\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{|B\; K|\}\{|K\; C|\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{|C\; L|\}\{|L\; A|\}=1$$

Větu dokažte, například podle [Švrček J., Vanžura J.: Geometrie trojúhelníka, SNTL Praha (1988)].

Poznámka. Úsečky $A K, B L, C M$ vyhovující podmínkám úlohy se tedy protínají podle Cèvovy věty v jediném bodě $G$, zvaném Gergonnuv bod daného trojúhelníku $A B C$.

3. V oboru kladných čisel řešte soustavu

kde $a, b, c$ jsou daná kladná čissla.

ŘEŠENí. Z textu úlohy plyne, že neznámé $x, y, z$ jsou kladná čísla, lze proto danou soustavu upravit do následujícího tvaru

Sečteme-li po dvojicích jednotlivé rovnice předešlé soustavy, dostaneme tak soustavu

Dále po snadné úpravě

Odečtením první a třetí, resp. druhé a třetí rovnice poslední soustavy dále získáme

Obě strany první rovnice předešlé soustavy násobíme číslem $a$, obě strany druhé rovnice pak násobíme číslem $-b$. Sečteme-li obě takto upravené rovnice, obdržíme

$$a(b+c-a)\sqrt{y}=b(c+a-b)\sqrt{x},a(b+c-a)\; \backslash sqrt\{y\}=b(c+a-b)\; \backslash sqrt\{x\},$$

obdobným způsobem dostaneme rovněž

$$a(b+c-a)\sqrt{z}=c(a+b-c)\sqrt{x}\mathrm{.}a(b+c-a)\; \backslash sqrt\{z\}=c(a+b-c)\; \backslash sqrt\{x\}\; .$$

Jestliže pro kladná čísla $a, b, c$ platí vztah $b+c-a=0$, pak z predešlých dvou rovnic plyne, že také $a+b-c=0, c+a-b=0$. Potom však $a=b=c=0$, což není možné. Je tudíž $b+c-a \neq 0$. Z poslední dvojice rovnic vyjádříme $\sqrt{y}$ a $\sqrt{z}$ pomocí $\sqrt{x}$ následujícím způsobem:

Odtud snadno vidíme, že výrazy $b+c-a, c+a-b, a+b-c$ jsou současně všechny kladné nebo všechny záporné. Po dosazení $\sqrt{y}$ a $\sqrt{z}$ do původní soustavy rovnic získáme (po úpravách) řešení $(x, y, z)$, kde

Vzhledem $\mathrm{k}$ tomu, že jsme $\mathrm{k}$ řešení soustavy rovnic dospěli výhradně ekvivalentními úpravami, není třeba zkoušku provádět.

Soustava má přitom výše uvedené řešení v oboru kladných čísel, právě když současně platí následující podmínky $b+c-a>0, c+a-b>0, a+b-c>0$, tj. právě když kladná čísla $a, b, c$ jsou délkami stran trojúhelníku.

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Řešte soustavu

$$[x=16,y=1\text{ nebo }x=4,y=9][x=16,\; y=1\; \backslash text\; \{\; nebo\; \}\; x=4,\; y=9]$$

2. Rešte soustavu

$\left[x=\frac{1}{3}, y=\frac{1}{2}, z=\frac{1}{2}\right.$ nebo $\left.x=-\frac{1}{3}, y=-\frac{1}{2}, z=-\frac{1}{2}\right]$

3. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic

s parametrem $p$. Proved'te diskusi vzhledem k parametru $p$. [41. MO, A-II-1]

4. V rovině je dáno 1999 shodných trojúhelnikui o obsahu 1, které jsou obrazy téhož trojúhelniku v rüzných posunutích. Je-li pri̊nikem všech daných trojúhelníki množina $\mathrm{M}$, která obsahuje těžiště každého z nich, je obsah množiny M alespoň $\frac{1}{9}$. Dokažte.

ŘEŠEní. Necht $A_{s} B_{s} C_{s}$, kde $s \in{1,2, \ldots, 1999}$, jsou trojúhelníky vyhovující podmínkám úlohy a $X Y Z$ necht značí polorovinu s hraniční přímkou $X Y$ a vnitřním bodem $Z$. Každý z daných trojúhelníků $A_{s} B_{s} C_{s}$ je průnikem vždy tří polorovin $A_{s} B_{s} C_{s}, B_{s} C_{s} A_{s}$ a $C_{s} A_{s} B_{s}$, proto je (neprázdná) množina M průnikem 3 $1999=5997$ takových polorovin. Vzhledem k tomu, že poloroviny $A_{s} B_{s} C_{s}$, kde $s \in{1,2, \ldots, 1999}$, se navzájem liší jen posunutím, je jejich průnikem polorovina $A_{i} B_{i} C_{i}$, kde $i$ je pevný index z množiny ${1,2, \ldots, 1999}$. Podobně průnikem všech polorovin $B_{s} C_{s} A_{s}$ je určitá polorovina $B_{j} C_{j} A_{j}$ a průnikem všech polorovin $C_{s} A_{s} B_{s}$ je určitá polorovina $C_{k} A_{k} B_{k}$, kde $j, k \in{1,2, \ldots, 1999}$.

Množina $\mathrm{M}$ je proto průnikem tří výše zmíněných polorovin $A_{i} B_{i} C_{i}$, $B_{j} C_{j} A_{j}$ a $C_{k} A_{k} B_{k}$, M je tedy trojúhelník $A B C$, kde $A$ je průsečík přímek $A_{i} B_{i}$ a $C_{k} A_{k}, B$ je průsečík přímek $A_{i} B_{i}$ a $B_{j} C_{j}$ a konečně $C$ je průsečík přímek $B_{j} C_{j}$ a $C_{k} A_{k}$. Tento trojúhelník je podobný všem trojúhelníkům $A_{s} B_{s} C_{s}$, přičemž pro poměr podobnosti $\lambda$ platí $0<\lambda \leqq 1$. (Případ $A=B=C$ lze dle textu úlohy vyloučit.)

Vzhledem $\mathrm{k}$ tomu, že obsah trojúhelníku $A B C$ je $\lambda^{2}$, stačí dokázat, že $\lambda \geqq \frac{1}{3}$. Označme $v$ výšku z vrcholu $C_{i}$ na stranu $A_{i} B_{i}$ v trojúhelníku $A_{i} B_{i} C_{i}$. Protože přímka $A_{i} B_{i}$ je totožná $\mathrm{s}$ přímkou $A B$, je vzdálenost těžiště $T_{i}$ trojúhelníku $A_{i} B_{i} C_{i}$ od přímky $A B$ rovna $\frac{1}{3} v$. Podle zadání obsahuje množina $\mathrm{M}$ těžiště všech trojúhelníků $A_{s} B_{s} C_{s}$, musí tudíž obsahovat těžiště $T_{i}$ trojúhelníku $A_{i} B_{i} C_{i}$.

Vzdálenost vrcholu $C$ trojúhelníku $A B C$ od jeho strany $A B$ je tedy alespoň $\frac{1}{3} v$. Porovnáním velikostí výšek z vrcholů $C_{i}$ a $C$ v podobných trojúhelnících $A_{i} B_{i} C_{i}$ a $A B C$ dostáváme již přímo žádanou nerovnost $\lambda \geqq \frac{1}{3}, \mathrm{tj} . \lambda^{2} \geqq \frac{1}{9}$, což jsme chtěli dokázat.

DOPLŇUJÍCÍ ÚLOHY:

1. V rovině je dáno 1999 shodných obdélníků o obsahu 1, které jsou obrazy téhož obdélníku v různých posunutích. Je-li průnikem všech daných obdélníků množina $\mathrm{M}$, která obsahuje průsečík úhlopříček každého z nich, je obsah množiny $M$ alespoň $\frac{1}{4}$. Dokažte.
2. Je dána úsečka $A B$. Množina bodů $\mathrm{M}$ je definována takto:

a) M obsahuje body $A, B$.

b) Obsahuje-li $\mathrm{M}$ body $X$ a $Y$, obsahuje i bod $Z$ úsečky $X Y$, pro který platí $|Y Z|=3|X Z|$.

3. Dokažte, že každá úsečka, která je částí úsečky $A B$, obsahuje alespoň jeden bod množiny M. [17. MO, A-I-1]
4. Je dána funkce $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ taková, že $f(n)=1$, je-li $n$ liché, a $f(n)=k$ pro každé sudé číslo $n=2^{k} l$, kde $k$ je přirozené č́slo a l čislo liché. Určete největši přirozené čisslo $n$, pro něě platí

$$f(1)+f(2)+\dots +f(n)\leqq 123456.f(1)+f(2)+\backslash ldots+f(n)\; \backslash leqq\; 123456\; .$$

ŘEŠENí. Označme

$$S(n)=f(1)+f(2)+\dots +f(n)S(n)=f(1)+f(2)+\backslash ldots+f(n)$$

Ze zadání plyne $S(1)=1$. Protože $f(n) \geqq 1$ pro všechna přirozená čísla $n$, je $S: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ rostoucí funkce. Je-li $n$ přirozené číslo tvaru $n=2^{k}$, kde $k$ je přirozené, určíme součet $S(n)$ následujícím způsobem: Počet lichých čísel, která nejsou větší než $n$, je $2^{k-1}$. Každé liché číslo se na součtu $S(n)$ podílí hodnotou 1. Počet sudých čísel, která nejsou větší než $n$, je rovněž $2^{k-1}$, přitom každé sudé č́slo se na součtu $S(n)$ podílí hodnotou minimálně 1 . Je-li navíc toto číslo dělitelné čtyřmi, podílí se na součtu další 1. Je-li dále číslo dělitelné osmi, podílí se další 1 , atd. (Hodnotu $S(n)$ tak tvoříme načítáním hodnot 1 „po vrstvách“). Celkem je tedy

Necht̉ $p$ je přirozené číslo, které lze zapsat ve tvaru $p=2^{m} s$, kde $m$ je celé nezáporné číslo a $s$ liché přirozené číslo. Necht $k$ je přirozené číslo takové, že $p<2^{k}$ (tedy $m<k$ ), a necht̉ $l$ je liché přirozené číslo. Pak

$$f(2^{k}l+p)=f(2^{k}l+2^{m}s)=f\left(2^m(2^{k-m}l+s)\right)\mathrm{.}f\backslash left(2^\{k\}\; l+p\backslash right)=f\backslash left(2^\{k\}\; l+2^\{m\}\; s\backslash right)=f\backslash left(2^\{m\}\backslash left(2^\{k-m\}\; l+s\backslash right)\backslash right)\; .$$

Č́́slo $2^{k-m} l+s$ je liché, proto $f\left(2^{m}\left(2^{k-m} l+s\right)\right)=f\left(2^{m} s\right)=f(p)$. Celkem tedy dostáváme $f\left(2^{k} l+p\right)=f(p)$.

Jsou-li $k, m$ nezáporná celá čísla, $k>m$, a $l$ liché číslo, platí podle předcházejícího odstavce

A odtud již matematickou indukcí lehce dokážeme, že jsou-li $k_{1}>k_{2}>\ldots>k_{i}$ nezáporná celá čísla, pak platí

$$S(2^{k_1}+2^{k_2}+\dots +2^{k_i})=S\left(2^{k_1}\right)+S\left(2^{k_2}\right)+\dots +S\left(2^{k_i}\right)S\backslash left(2^\{k\_\{1\}\}+2^\{k\_\{2\}\}+\backslash ldots+2^\{k\_\{i\}\}\backslash right)=S\backslash left(2^\{k\_\{1\}\}\backslash right)+S\backslash left(2^\{k\_\{2\}\}\backslash right)+\backslash ldots+S\backslash left(2^\{k\_\{i\}\}\backslash right)$$

Největší nezáporné celé číslo $k_{1}$ takové, že $3 \cdot 2^{k_{1}-1}-1=S\left(2^{k_{1}}\right) \leqq 123456$, je $k_{1}=16$. Přitom $S\left(2^{16}\right)=98303$.

Největší nezáporné celé číslo $k_{2}$ takové, že $3 \cdot 2^{k_{2}-1}-1=S\left(2^{k_{2}}\right) \leqq 123456-$ $-98303=25153$, je $k_{2}=14$. Přitom $S\left(2^{14}\right)=24575$.

Největší nezáporné celé číslo $k_{3}$ takové, že $3 \cdot 2^{k_{3}-1}-1=S\left(2^{k_{3}}\right) \leqq 25153-$ $-24575=578$, je $k_{3}=8$. Přitom $S\left(2^{8}\right)=383$.

Největší nezáporné celé číslo $k_{4}$ takové, že $3 \cdot 2^{k_{4}-1}-1=S\left(2^{k_{4}}\right) \leqq 578-$ $-383=195$, je $k_{4}=7$. Přitom $S\left(2^{7}\right)=191$.

Největší nezáporné celé číslo $k_{5}$ takové, že $3 \cdot 2^{k_{5}-1}-1=S\left(2^{k_{5}}\right) \leqq 195-$ $-191=4$, je $k_{5}=1$. Přitom $S\left(2^{1}\right)=2$.

Největší nezáporné celé číslo $k_{6}$ takové, že $S\left(2^{k_{6}}\right) \leqq 4-2=2$, je $k_{6}=0$. Přitom $S\left(2^{0}\right)=1$.

Tedy

Přitom $S(82308)=S(82307)+f(82308)=123455+2=123457>123456$.

Největší přirozené číslo $n$, pro něž platí $S(n) \leqq 123456$, je $n=82307$.

JINÉ ŘEŠENí. Na základě úvahy o načítání hodnot „po vrstvách“ jako v předešlém řešení zjistíme, že

$$S(n)=n+\lfloor \frac{n}{4}\rfloor +\lfloor \frac{n}{8}\rfloor +\lfloor \frac{n}{16}\rfloor +\dots S(n)=n+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{n\}\{4\}\backslash right\backslash rfloor+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{n\}\{8\}\backslash right\backslash rfloor+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{n\}\{16\}\backslash right\backslash rfloor+\backslash ldots$$

Přitom $\lfloor r\rfloor$ znamená celou část reálného čísla $r$, což je největší celé číslo, které není větší než $r$.

Protože pro každé reálné číslo $r$ platí $\lfloor r\rfloor \leqq r$, platí též

$$S(n)\leqq n+\frac{n}{4}+\frac{n}{8}+\dots =\frac{n}{2}+\frac{n}{2}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots )=\frac{n}{2}+n=\frac{3n}{2}\mathrm{.}S(n)\; \backslash leqq\; n+\backslash frac\{n\}\{4\}+\backslash frac\{n\}\{8\}+\backslash ldots=\backslash frac\{n\}\{2\}+\backslash frac\{n\}\{2\}\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{4\}+\backslash ldots\backslash right)=\backslash frac\{n\}\{2\}+n=\backslash frac\{3\; n\}\{2\}\; .$$

Největší přirozené číslo $n$, pro něž platí, že $\frac{3 n}{2} \leqq 123456$, je $n=82304$. Přitom

Dále

Největší přirozené číslo $n$, pro něž $S(n) \leqq 123456$, je tedy $n=82307$.

DOPLŇUJÍCí ÚLOHY:

1. Necht’ $m$ je přirozené číslo, $p$ prvočíslo. Označme

tzv. dvojný faktoriál. Určete nejvyšší mocninu prvočísla $p$, která ještě dělí číslo $m$ !! [34. MO, A-I-2]

2. Je dána funkce $f$ spojitá na intervalu $\langle 0,1\rangle$ a s hodnotami $f(0)=f(1)=1$, jež pro každá dvě čísla $x \leqq y$ z intervalu $\langle 0,1\rangle$ splňuje rovnici

$$f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{2}{3}f(x)+\frac{1}{3}f(y)f\backslash left(\backslash frac\{x+y\}\{2\}\backslash right)=\backslash frac\{2\}\{3\}\; f(x)+\backslash frac\{1\}\{3\}\; f(y)$$

Určete $f\left(\frac{1}{7}\right) .[40 . \mathrm{MO}, \mathrm{A}-\mathrm{I}-6]$

6. Je dán čtyřboký jehlan $A B C D V$ s podstavou $A B C D$. Jeho hrany $A B$, $C D$ jsou rovnoběžné a roviny $A B V$ a $C D V$ vzájemně kolmé. Označme $P$ patu výšky $z$ vrcholu $V$ na stranu $A B$ v trojúhelníku $A B V$ a $Q$ patu výšky $z$ vrcholu $V$ na stranu $C D$ v trojúhelníku $C D V$. Dokažte nerovnost

$$\mathrm{\mid }AV{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }BV{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }CV{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }DV{\mathrm{\mid }}^2\geqq \mathrm{\mid }PQ{\mathrm{\mid }}^2+2(S_{ABV}+S_{CDV}+S_{PQV})|A\; V|^\{2\}+|B\; V|^\{2\}+|C\; V|^\{2\}+|D\; V|^\{2\}\; \backslash geqq|P\; Q|^\{2\}+2\backslash left(S\_\{A\; B\; V\}+S\_\{C\; D\; V\}+S\_\{P\; Q\; V\}\backslash right)$$

$k d e S_{X Y Z}$ značí obsah trojúhelníku $X Y Z$. Zjistěte rovněž, kdy platí rovnost.

ŘEŠENí. Přímka $A B$ je průsečnicí roviny $A B V$ s rovinou podstavy $A B C D$ čtyřbokého jehlanu $A B C D V$, podobně přímka $C D$ je průsečnicí roviny $C D V$ $\mathrm{s}$ rovinou podstavy $A B C D$ uvažovaného jehlanu. Vzhledem $\mathrm{k}$ tomu, že obě průsečnice jsou dle zadání rovnoběžné, je rovněž průsečnice $s$ rovin $A B V$ a $C D V$ $\mathrm{s}$ nimi rovnoběžná (obr. 2). Rovina kolmá k přímce $s$, procházející vrcholem $V$ daného jehlanu, protíná přímky $A B, C D$ po řadě v bodech $P, Q$, které jsou patami výšek z vrcholu $V$ po řadě na strany $A B, C D$ v trojúhelnících $A B V$, $C D V$. Roviny $A B V$ a $C D V$ jsou podle zadání vzájemně kolmé, trojúhelník $P Q V$ má proto pravý úhel u vrcholu $V$. Pata $M$ výšky z vrcholu $V$ na přeponu $P Q$ je přitom totožná s patou tělesové výšky z vrcholu $V$ jehlanu $A B C D V$. Pro polohu bodů $P$ a $Q$ na přímce $A B$, resp. $C D$, je treba dále rozlišit tři případy: (i) Oba body $P$ a $Q$ leží na odpovídajících hranách $A B, C D$.

(ii) Jeden z bodů $P, Q$ leží na odpovídající hraně, druhý na prodloužení odpovídající hrany.

(iii) Žádný z bodů $P, Q$ neleží na odpovídající hraně.

Obr. 2

Dokážeme dále nerovnost z textu úlohy pro případ (i). Zaved’me označení ve shodě s obrázkem $2, \mathrm{tj}$.

$$\mathrm{\mid }AP\mathrm{\mid }=x,\mathrm{\mid }BP\mathrm{\mid }=y,\mathrm{\mid }CQ\mathrm{\mid }=z,\mathrm{\mid }DQ\mathrm{\mid }=u,\mathrm{\mid }VP\mathrm{\mid }=p,\mathrm{\mid }VQ\mathrm{\mid }=q\text{. }|A\; P|=x,|B\; P|=y,|C\; Q|=z,|D\; Q|=u,|V\; P|=p,|V\; Q|=q\; \backslash text\; \{.\; \}$$

Využitím Pythagorovy věty v pravoúhlých trojúhelnících $A P V, B P V, C Q V$, $D Q V$ a $P Q V$ dostáváme postupně vztahy:

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{\mid }AV{\mathrm{\mid }}^2=x^2+p^2,\mathrm{\mid }BV{\mathrm{\mid }}^2=y^2+p^2,\mathrm{\mid }CV{\mathrm{\mid }}^2=z^2+q^2,}\\ {\displaystyle \mathrm{\mid }DV{\mathrm{\mid }}^2=u^2+q^2,\mathrm{\mid }PQ{\mathrm{\mid }}^2=p^2+q^2\mathrm{.}}\end{array}\backslash begin\{gathered\}\; |A\; V|^\{2\}=x^\{2\}+p^\{2\},\; \backslash quad|B\; V|^\{2\}=y^\{2\}+p^\{2\},\; \backslash quad|C\; V|^\{2\}=z^\{2\}+q^\{2\},\; \backslash \backslash \; |D\; V|^\{2\}=u^\{2\}+q^\{2\},\; \backslash quad|P\; Q|^\{2\}=p^\{2\}+q^\{2\}\; .\; \backslash end\{gathered\}$$

Pro obsahy trojúhelníků $A B V, C D V$ a $P Q V$ platí vzorce

$$2S_{ABV}=(x+y)p,2S_{CDV}=(z+u)q,2S_{PQV}=pq2\; S\_\{A\; B\; V\}=(x+y)\; p,\; \backslash quad\; 2\; S\_\{C\; D\; V\}=(z+u)\; q,\; \backslash quad\; 2\; S\_\{P\; Q\; V\}=p\; q$$

Dosadíme-li nyní za $|A V|^{2},|B V|^{2},|C V|^{2},|D V|^{2},|P Q|^{2}$ a $2 S_{A B V}, 2 S_{C D V}$, $2 S_{P Q V}$ do nerovnosti v textu úlohy, dostáváme po snadné úpravě

$$x^2+y^2+z^2+u^2+p^2+q^2\geqq xp+yp+zq+uq+pq\mathrm{.}x^\{2\}+y^\{2\}+z^\{2\}+u^\{2\}+p^\{2\}+q^\{2\}\; \backslash geqq\; x\; p+y\; p+z\; q+u\; q+p\; q\; .$$

Nyní dokážeme, že předešlá nerovnost platí pro libovolná nezáporná reálná čísla $x, y, z, u$ a libovolná kladná čísla $p, q$. Vynásobením rozdílu levé a pravé strany této nerovnosti číslem 4 dostáváme po úpravě

Vzhledem $\mathrm{k}$ tomu, že všechny provedené úpravy byly ekvivalentní, platí též nerovnost uvedená v textu úlohy, což jsme měli dokázat.

Podobně lze postupovat i v případech (ii) a (iii). Odlišné je zde pouze vyjádření hodnot $2 S_{A B V}$ a $2 S_{C D V}$.

Rovnost může nastat pouze $\mathrm{v}$ případě (i), ve zbylých dvou případech je vyloučena. V případě (i) přitom rovnost nastává, právě když platí

$$2x=2y=2z=2u=p=q,2\; x=2\; y=2\; z=2\; u=p=q,$$

tj. právě když podstavou daného čtyřbokého jehlanu $A B C D V$ je obdélník $A B C D$, pata $M$ výšky $V M$ uvažovaného jehlanu je průsečíkem úhlopřiček $A C$ a $B D$ v obdélníku $A B C D$ a současně platí

$$\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }:\mathrm{\mid }BC\mathrm{\mid }:\mathrm{\mid }VM\mathrm{\mid }=4:2\sqrt{2}:\sqrt{2}\mathrm{.}|A\; B|:|B\; C|:|V\; M|=4:\; 2\; \backslash sqrt\{2\}:\; \backslash sqrt\{2\}\; .$$

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla $x, y$ platí nerovnost

$$5x^2+y^2+1\geqq 2x(2+y)\mathrm{.}5\; x^\{2\}+y^\{2\}+1\; \backslash geqq\; 2\; x(2+y)\; .$$

Zjistěte, kdy nastává rovnost. [Rovnost nastává, právě když $x=y=\frac{1}{2}$ ]

2. Označme $a, b, c, d, e, f$ velikosti hran čtyřstěnu a $S$ jeho povrch. Dokažte nerovnost

$$S\leqq \frac{\sqrt{3}}{6}(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2)S\; \backslash leqq\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{6\}\backslash left(a^\{2\}+b^\{2\}+c^\{2\}+d^\{2\}+e^\{2\}+f^\{2\}\backslash right)$$

[41. MO, A-III-2]

3. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla $a, b, c, d$, e platí nerovnost

$$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geqq (a+b+c+d)e\mathrm{.}a^\{2\}+b^\{2\}+c^\{2\}+d^\{2\}+e^\{2\}\; \backslash geqq(a+b+c+d)\; e\; .$$

Zjistěte, kdy nastává rovnost. [Rovnost nastává, právě když $2 a=2 b=2 c=$ $=2 d=e$.]

4. Dokažte, že pro libovolná kladná čísla $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ platí nerovnost

$${(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)}^2\geqq 4(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_4+x_4{x}_5+x_5{x}_1)\mathrm{.}\backslash left(x\_\{1\}+x\_\{2\}+x\_\{3\}+x\_\{4\}+x\_\{5\}\backslash right)^\{2\}\; \backslash geqq\; 4\backslash left(x\_\{1\}\; x\_\{2\}+x\_\{2\}\; x\_\{3\}+x\_\{3\}\; x\_\{4\}+x\_\{4\}\; x\_\{5\}+x\_\{5\}\; x\_\{1\}\backslash right)\; .$$