Czech/md/cz-mo-secondary/3471695-b50i.md

Úlohy domácího kola kategorie B

1. Řešte v oboru kladných čısel soustavu rovnic

$v$ níž $x_{10}$ a $y_{10}$ označují po řadě čísla $x$ a y zaokrouhlená na desítky.

ŘEŠENÍ. Necht́

$$\begin{array}{c}{\displaystyle x=x_{10}+m,y=y_{10}+n,-5\leqq m,n\leqq 5,}\\ {\displaystyle a=3x_{10}+y_{10},b=x_{10}+2y_{10}\mathrm{.}}\end{array}\backslash begin\{gathered\}\; x=x\_\{10\}+m,\; \backslash quad\; y=y\_\{10\}+n,\; \backslash quad-5\; \backslash leqq\; m,\; n\; \backslash leqq\; 5,\; \backslash \backslash \; a=3\; x\_\{10\}+y\_\{10\},\; \backslash quad\; b=x\_\{10\}+2\; y\_\{10\}\; .\; \backslash end\{gathered\}$$

Čísla $a, b$ jsou násobky deseti a původní soustavu rovnic můžeme přepsat ve tvaru

$$a=598,6-3m,b=723,4-2n\text{. }a=598,6-3\; m,\; \backslash quad\; b=723,4-2\; n\; \backslash text\; \{.\; \}$$

Č́sla $m, n$ jsou z intervalu $\langle-5,5)$, proto $a \in{590,600,610}$ a $b \in{720,730}$. Dále ze (2) dostáváme

$$x_{10}=\frac{1}{5}(2a-b),y_{10}=\frac{1}{5}(3b-a)\mathrm{.}x\_\{10\}=\backslash frac\{1\}\{5\}(2\; a-b),\; \backslash quad\; y\_\{10\}=\backslash frac\{1\}\{5\}(3\; b-a)\; .$$

Vidíme, že čísla $2 a-b$ a $3 b-a$ musejí být dělitelná padesáti, a proto přicházejí v úvahu jen dvojice $[a, b]=[590,730],[a, b]=[610,720]$. Nalezené hodnoty čísel $a, b$ postupně dosadíme do (4) a (3). Pomocí (1) určíme $x$ a $y$ :

V prvním případě je $x_{10}=90, y_{10}=320, m=\frac{43}{15}, n=-3,3, x=\frac{1393}{15}=92,8 \overline{6}$ a $y=316,7$, ve druhém $x_{10}=100, y_{10}=310, m=-3,8, n=1,7, x=96,2$ a $y=311,7$.

POMOCNÉ ÚLOHY:

1. V oboru reálných čísel řešte rovnici $3 x^{3}-[x]=3$. $[40-\mathrm{B}-\mathrm{I}-1]$
2. Dokažte, že funkce $f(x)=k x-[x]$ definovaná na množině $\mathbb{R}$ není pro $k>\frac{1}{2}$ prostá. $[40-\mathrm{B}-\mathrm{II}-1]$
3. Na povrchu krychle $A B C D E F G H$ je sestrojena lomená čára složená ze čtyř shodných úseček ve stěnách $A B F E, B C G F, C D H G$ a $G H E F$, která vychází z vrcholu $A$ a konči ve vrcholu $E$. Určete, v jakém poměru dělí tato lomená čára hranu $C G$.

ŘEŠEní. Označme $K, L, M$ body dané lomené čáry, jež po řadě leží na úsečkách $B F, C G, G H$. Délku hrany krychle položme rovnu jedné a patu kolmice z bodu $K$ na hranu $C G$ označme $P$ (obr. 1). Pravoúhlé trojúhelníky $A K B, K L P$ a $E M H$ se shodují v přeponách $A K, K L$ a $E M$ a v jednotkových odvěsnách $A B, K P$ a $E H$. Jsou tedy podle věty $S$ su shodné a platí $|B K|=|L P|=|M H|=u$. Z pravoúhlých trojúhelníků

Obr. 1

Obr. 2

$L M G$ a $A B K(|G L|=1-2 u,|G M|=1-u)$ vyjádříme pomocí Pythagorovy věty druhé mocniny délek jejich přepon a porovnáme je: $1+u^{2}=(1-u)^{2}+(1-2 u)^{2}$.

Rovnice má jediný kořen menší než $1: u=\frac{1}{4}(3-\sqrt{5})$. Poměr $|C L|:|L G|=2 u$ : $:(1-2 u)=\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)$ je roven poměru zlatého řezu.

Pro polohu bodu $L$ na hraně $C G$ je ještě jedna možnost, znázorněná na stejné části sítě krychle na obr. 2. Zřejmě jsou pak body $C$ a $L$ totožné a $u=|B K|=|G M|=$ $=|M H|=\frac{1}{2}$, přičemž poměr $|C L|:|L G|$ vyjde nulový.

DOPLŇUJÍCÍ ÚLOHY:

1. Je dána krychle $A B C D E F G H, U$ je střed její horní stěny $E F G H, V$ je střed její přední stěny $A B F E$. Sestrojte na povrchu krychle lomenou čáru $V X Y U$ složenou ze tří shodných úseček a procházející přes stěnu $B C G F$.
2. Je dán pravidelný čtyřstěn $A B C D, P$ je těžiště trojúhelníku $A B C, Q$ střed úsečky omezené vrcholem $D$ a tě̌̌ištěm trojúhelníku $A B D$. Určete délku nejkratší lomené čáry spojující po povrchu čtyřstěnu body $P$ a $Q$, jestliže tato čára prochází a) přes stěny $A B C, A B D, \mathrm{~b}$ ) přes stěny $A B C, B C D, A B D, \mathrm{c})$ pres stěny $A B C, B C D, A C D$, $A B D$. [Obě úlohy viz Hradecký, Koman, Vyšín: Několik úloh z geometrie jednoduchých těles, ŠMM 1, MF, Praha 1963, 1977.]
3. Do každého pole čtvercové tabulky $n \times n$ vepišeme jedno $z$ čísel $1,2, \ldots, n$ tak, aby $v$ každém řádku i v každém sloupci byla bud’ všechna čisla stejná, nebo všechna rĩzná. Příkladem pro $n=5$ je následující tabulka

5	4	1	2	3
3	3	3	3	3
4	1	2	5	3
1	2	5	4	3
2	5	4	1	3

Označme $S$ součet všech čísel tabulky. Kolik rưzných hodnot $S$ pro dané n existuje?

ŘEŠENí. Podle způsobu obsazení řádků rozdělíme všechny zkoumané tabulky do tří skupin:

(a) V žádném řádku tabulky není $n$ stejných čísel. Sčítáním čísel po řádcích v této situaci zjistíme, že

$$S=n(1+2+\dots +n)=\frac{1}{2}{n}^2(n+1)\mathrm{.}S=n(1+2+\backslash ldots+n)=\backslash frac\{1\}\{2\}\; n^\{2\}(n+1)\; .$$

(b) V právě jednom řádku tabulky je $n$ stejných čísel $a$. V každém z ostatních řádků jsou čísla $1,2, \ldots, n$, takže $S=n a+(n-1)(1+2+\ldots+n)$ a po úpravě

$$S=na+\frac{1}{2}n(n^2-1),a\in \{1,2,\dots ,n\}S=n\; a+\backslash frac\{1\}\{2\}\; n\backslash left(n^\{2\}-1\backslash right),\; \backslash quad\; a\; \backslash in\backslash \{1,2,\; \backslash ldots,\; n\backslash \}$$

(c) V některém řádku tabulky je $n$ stejných čísel $b$ a $\mathrm{v}$ jiném $n$ stejných čísel $c$. Pokud je $b=c$, vyskytuje se číslo $c$ v každém sloupci aspoň dvakrát, a tedy právě $n$-krát. V tom případě platí

$$S=n^{2}c,c\in \{1,2,\dots ,n\}\mathrm{.}S=n^\{2\}\; c,\; \backslash quad\; c\; \backslash in\backslash \{1,2,\; \backslash ldots,\; n\backslash \}\; .$$

Pokud jsou $b, c$ různá čísla, jsou i v každém sloupci tabulky dvě různá čísla, a tedy jsou v něm všechna čísla navzájem různá. Sčítáním po sloupcích zjistíme, že součet $S$ má hodnotu (5).

Dosazením daného $n$ a postupně všech možných hodnot čísel $a, c$ do vztahů (5), (6) a (7) dostaneme celkem $2 n+1$ součtů, z toho $n$ součtů typu (6) je navzájem různých a $n$ součtů typu (7) je navzájem různých. Musíme tedy ještě vyšetřit, zda není možná pro nějaké hodnoty čísel $a, c$ rovnost součtů (5) a (6), nebo (5) a (7), nebo (6) a (7).

$\mathrm{V}$ prvém případě z rovnice $\frac{1}{2} n^{2}(n+1)=n a+\frac{1}{2} n\left(n^{2}-1\right)$ zjistíme, že rovnost nastane pro $a=\frac{1}{2}(n+1)$, to znamená, jen když $n$ je liché.

Ve druhém případě dojdeme analogicky $\mathrm{k}$ závěru, že (5) a (7) se rovnají opět jen pro $n$ liché a $c=\frac{1}{2}(n+1)$.

Ve třetím případě upravíme rovnici $n a+\frac{1}{2} n\left(n^{2}-1\right)=n^{2} c$ na tvar $2 a-1=n(2 c-n)$, z něhož plyne, že pokud taková dvě č́sla $a, c \in{1,2, \ldots, n}$ existují, je čislo $n$ nutně liché a číslo $2 a-1$ je jeho násobkem. Je však $2 a-1 \leqq 2 n-1$, proto může být jedině $2 a-1=n$ a $2 c-n=1$. Odtud $a=\frac{1}{2}(n+1)=c$.

Shrnutím všech tří situací můžeme konstatovat, že pro $n$ sudé je všech $2 n+1$ součtů $S$ rưzných, kdežto pro $n$ liché se mezi těmito součty vyskytují právě tři stejné.

Odpověd': Součet $S$ všech čísel tabulky nabývá bud' $2 n+1$ hodnot (když $n$ je sudé), nebo $2 n-1$ hodnot (když $n$ je liché).

PomocnÁ ÚLOHA:

Dokažte, že pro součet $S_{n}$ prvních $n$ přirozených čísel platí:

$$S_n=1+2+\dots +n=\frac{1}{2}n(n+1)\mathrm{.}S\_\{n\}=1+2+\backslash ldots+n=\backslash frac\{1\}\{2\}\; n(n+1)\; .$$

4. Necht’ k je kružnice opsaná trojúhelniku $A B C, D$ je priơsečík těžnice na stranu $A B$ s kružnicí $k$. Tečny ke kružnici $k$ v bodech $A, B, C, D$ vytvářeji čtyřúhelník $P Q R S$. Zjistěte, pro které trojúhelniky $A B C$ je čtyřúhelnik $P Q R S$ tětivový.

ŘEŠENí. Neché $O$ je střed kružnice opsané trojúhelníku $A B C$. Při označení podle obrázku 3 jsou úhly $P A O$ a $P D O$ pravé a velikost středového úhlu $A O D$ je dvojnásobkem velikosti př́slušného obvodového úhlu $A C D$. Ve čtyřúhelníku $A P D O$ je tedy $|\Varangle A P D|=180^{\circ}-2|\Varangle A C D|$. Analogicky $|\Varangle B R C|=180^{\circ}-2|\Varangle B A C|$. Čtyř́uhelník $P Q R S$ je tětivový, právě když $|\Varangle S P Q|+|\Varangle S R Q|=180^{\circ}, \mathrm{tj} .180^{\circ}-2|\Varangle A C D|+180^{\circ}-$ $-2|\Varangle B A C|=180^{\circ}$. Odtud vychází pro to, aby čtyřúhelník $P Q R S$ byl tětivový, nutná a postačující podmínka $|\Varangle A C D|+|\Varangle B A C|=90^{\circ}$. Při označení podle obr. 3 to znamená $|\Varangle A C E|+|\Varangle E A C|=90^{\circ}$, tj. tě̌̌nice $C D$ je kolmá na $A B$, jak je vidět z trojúhelníku $A C E$. Je tedy $|A C|=|B C|$, protože trojúhelníky $A E C$ a $B E C$ jsou shodné podle věty sus.

Obr. 3

Závěr: Čtyřúhelník $P Q R S$ je tětivový jen tehdy, je-li trojúhelník $A B C$ rovnoramenný se základnou $A B$.

Pomocné ÚLOHY:

1. Dokažte, že v trojúhelníku $A B C$ je těžnice $A S$ kolmá na stranu $B C$, právě když platí $|A B|=|A C|$. [Je-li $A S$ kolmá na $B C$, jsou trojúhelníky $A B S$ a $A C S$ shodné podle věty sus, a proto $|A B|=|A C|$. Platí-li naopak $|A B|=|A C|$, jsou trojúhelníky $A B S$ a $A C S$ shodné podle věty sss. Pak ale $|\Varangle A S B|=|\Varangle A S C|$ a $|\Varangle A S B|+|\Varangle A S C|=180^{\circ}$. Tedy $|\Varangle A S B|=|\Varangle A S C|=90^{\circ}$.]
2. Dokažte, že obrazy ortocentra trojúhelníku v osových souměrnostech podle jeho stran leží na kružnici tomuto trojúhelníku opsané. [Necht $P$ a $Q$ jsou po řadě paty výšek z vrcholů $A$ a $B$ v ostroúhlém trojúhelníku $A B C$, jehož ortocentrum je $V$. Ta tětiva kružnice opsané, která leží na stejné přímce jako úsečka $A V$, necht je $A D$. S využitím vlastností obvodových úhlů a podobnosti pravoúhlých trojúhelníků $A C P$ a $B C Q$ dostáváme: $|\Varangle V B P|=|\Varangle Q B C|=|\Varangle P A C|=|D A C|=|\Varangle D B C|=|\Varangle D B P|$. Trojúhelníky $V B P$ a $D B P$ se tedy shodují ve vnitřních úhlech při vrcholu $B$, v pravých úhlech při vrcholu $P$ a ve společné odvěsně $B P$. Jsou tedy shodné a bod $D$ je obrazem ortocentra $V$ v souměrnosti podle přímky $B C$.

V případě, kdy je například úhel $B A C$ tupý, se postupuje podobně. Je však zapotřebí si uvědomit, že bod $D$ může ležet uvnitř poloroviny $A C B$, nebo uvnitř poloroviny opačné, nebo mohou být body $A, D$ totožné. Pro pravoúhlý trojúhelník $A B C$ je důkaz zřejmý.]

3. Úhlopříčky daného tětivového čtyřúhelníku $A B C D$ jsou navzájem kolmé a protínají se v bodě $E$. Označme $M$ průsečík kolmice z bodu $E$ na stranu $A B$ s protilehlou stranou $C D$. Určete poměr obsahů trojúhelníků $C M E$ a $M D E$. [44-B-II-4]
4. Určete všechny polynomy $P(x)$, které pro každé reálné čislo $x$ splňují rovnost

$$P(2x)=8P(x)+(x-2{)}^2\mathrm{.}P(2\; x)=8\; P(x)+(x-2)^\{2\}\; .$$

ŘEŠENí. Stupeň polynomu $P$ je aspoň dva. Necht nejprve $P(x)=a x^{2}+b x+c$. Dosazením tohoto vyjádření do vztahu v zadání dostáváme

$$4a{x}^2+2bx+c=(8a+1)x^2+(8b-4)x+8c+4.4\; a\; x^\{2\}+2\; b\; x+c=(8\; a+1)\; x^\{2\}+(8\; b-4)\; x+8\; c+4\; .$$

Porovnáním koeficientů u stejných mocnin $x$ na levé a pravé straně dostaneme $4 a=$ $=8 a+1,2 b=8 b-4$ a $c=8 c+4$. Odtud $a=-\frac{1}{4}, b=\frac{2}{3}, c=-\frac{4}{7}$.

Je-li dále stupeň $n$ polynomu $P$ větší než dva, zjistíme analogicky, že jeho člen $a_{n} x^{n}$ s nejvyšší mocninou $x$ splňuje vztah $2^{n} a_{n}=8 a_{n}$, tedy $n=3$, přičemž $a_{n} \neq 0$ je libovolné. Koeficienty mnohočlenu $P$ u mocnin $x^{2}, x^{1}$ a $x^{0}$ vyjdou stejně jako v předchozí situaci.

Celkový závěr: $P(x)=a x^{3}-\frac{1}{4} x^{2}+\frac{2}{3} x-\frac{4}{7}$, kde $a$ je libovolné reálné číslo.

POMOCNÉ ÚLOHY:

1. Metodou neurčitých koeficientů rozložte polynom $x^{4}+1$ na součin dvou kvadratických trojčlenů.
2. Metodou neurčitých koeficientů upravte výraz $\frac{4}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ na tvar $a+b \sqrt{2}+c \sqrt{3}+$ $+d \sqrt{6}$, kde $a, b, c, d$ jsou racionální čísla. [Obě úlohy viz M. Hejný: Teória vyučovania matematiky, SPN, Bratislava, 1990, str. 150.]
3. Sestrojte trojúhelník $A B C$ s obsahem $18 \mathrm{~cm}^{2}$ a následující vlastností: obvod každého pravoúhelníku $K L M N$, jehož vrcholy $K$, L leži na úsečce $B C$ a body $M, N$ po řadě na úsečkách $A C, A B$, je roven třem pětinám obvodu trojúhelníku $A B C$.

ŘEŠENÍ. Uvažujme dva pravoúhelníky $K L M N, K_{1} L_{1} M_{1} N_{1}$ vepsané do trojúhelníku $A B C$ uvedeným způsobem. Necht $|K L|<$ $<\left|K_{1} L_{1}\right|$. Označme $Z$ průsečík rovnoběžky s $A C$ vedené bodem $N$ s úsečkou $N_{1} M_{1}, Q$ patu výšky z vrcholu $A$ na stranu $B C$ a $X, Y$ průsečíky hranice pravoúhelníku $K L M N$ s úsečkou $N_{1} M_{1}$ (obr.4). Obvody obou pravoúhelníků jsou si rovny, právě když $\left|N_{1} X\right|+\left|Y M_{1}\right|=|N X|$. To je ekvivalentní s podmínkou $|N X|=\left|N_{1} Z\right|$, nebot' $|X Z|=\left|Y M_{1}\right|$. Trojúhelníky $B C A, N_{1} Z N$ i $N M A$ si jsou podobné, proto $a=v_{a}$. A protože $S=a \cdot \frac{1}{2} v_{a}=18 \mathrm{cm}^{2}$, plyne odtud rovnost $a=v_{a}=6 \mathrm{cm}$.

Obvod pravoúhelníku $K L M N$ je $2|N M|+$ $+2|K N|=2|A R|+2|R Q|=2 v_{a}=2 a=12 \mathrm{cm}$. Obvod $2 s$ trojúhelníku $A B C$ je proto $\frac{5}{3} \cdot 12 \mathrm{cm}=$ $=20 \mathrm{cm}$. Odtud $b+c=2 s-a=14 \mathrm{cm}$.

Obr. 4

Máme tedy sestrojit trojúhelník $A B C$, je-li dáno $a, v_{a}, b+c$.

Uvedeme několik postupů řešení.

1. možnost: Snadno vypočteme $s=10(\mathrm{~cm}), s-a=4, s-b=10-b, s-$ $-c=b-4$. Po dosazení do Heronova vzorce pro obsah trojúhelníku $A B C$ dostaneme $\sqrt{40 \cdot(10-b) \cdot(b-4)}=18$, což vede po úpravě na kvadratickou rovnici $10 b^{2}-140 b+$ $+481=0$. Vyřešením obdržíme

$$b=7+\frac{3}{\sqrt{10}},c=7-\frac{3}{\sqrt{10}},\text{ nebo }b=7-\frac{3}{\sqrt{10}},c=7+\frac{3}{\sqrt{10}}\mathrm{.}b=7+\backslash frac\{3\}\{\backslash sqrt\{10\}\},\; \backslash quad\; c=7-\backslash frac\{3\}\{\backslash sqrt\{10\}\},\; \backslash quad\; \backslash text\; \{\; nebo\; \}\; \backslash quad\; b=7-\backslash frac\{3\}\{\backslash sqrt\{10\}\},\; \backslash quad\; c=7+\backslash frac\{3\}\{\backslash sqrt\{10\}\}\; .$$

Obě řešení vyhovují a snadno je ze známých délek stran sestrojíme. Délku $d=3 / \sqrt{10}$ nalezneme eukleidovsky jako čtvrtou geometrickou úměrnou tak, že vztah přepíšeme na tvar $d: 1=3: \sqrt{10}$. Nejdřív ovšem sestrojíme $\sqrt{10}$ např. pomocí Eukleidovy věty o výšce.

2. možnost: Necht̉ $k(O, r)$ je kružnice vepsaná trojúhelníku $A B C$ a $T$ její bod dotyku se stranou $A C$ (obr.5). Pravoúhlý trojúhelník $A O T$ můžeme sestrojit, nebot známe délky jeho odvěsen $|A T|=x=s-a=4 \mathrm{cm},|T O|=r=S / s=1,8 \mathrm{cm}$, dále kružnici $k(O, r)$ a nad přeponou $A O$ ještě jeden pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou $A E$ délky $v_{a}-r=4,2 \mathrm{~cm}$. (Tento trojúhelník zřejmě existuje - výpočtem délky přepony trojúhelníku $A O T$ pomocí Pythagorovy věty lze ověrit, že $|A O|>v_{a}-r$.) Úsečku $A E$ doplníme podle obrázku na úsečku $A Q$ délky $v_{a}$. Kolmice na $A Q$ v bodě $Q$ je přímka $t$. Její průsečíky s tečnami z bodu $A$ ke kružnici $k$ jsou hledané vrcholy $B, C$. Úloha má dvě řešení. Vzhledem k jednoznačně sestrojenému trojúhelníku $A O T$ nalezneme sice konstrukcí pomocí Thaletovy věty dva trojúhelníky $A O E$ a $A O E_{1}$, každý z výsledných trojúhelníků $A B_{k} C_{k}(k=1,2,3,4)$ se však v souhlasně označených prvcích shoduje $\mathrm{s}$ některým $\mathrm{z}$ překrývajících se trojúhelníků $A B_{1} C_{1}, A B_{2} C_{2}$ na obr. 5 .

Obr. 5

Obr. 6

3. možnost: Úsečka $C U$ na obr. 6 má délku $b+c$. Trojúhelník $U B A$ je tedy rovnoramenný se základnou $U B$, a proto $|\Varangle B U C|=\frac{1}{2} \alpha$. Tento úhel umíme sestrojit podle předchozího postupu, nebot je to úhel $O A T$ na obr. 5. Sestrojíme tedy nejprve trojúhelník $C U B$, ve kterém známe $|B C|,|C U|$ a $|\Varangle C U B|$. Bod $A$ je pak průsečík úsečky $C U$ s osou strany $B U$. Konstrukce vede opět na dvě rešení.

PomOCNÁ ÚLOHA:

V trojúhelníku $A B C$ známe výšku $v$ z vrcholu $A$ a délku strany $B C$. Určete obvod obdélníku $K L M N$, leží-li jeho strana $K L$ na úsečce $B C$, vrcholy $M, N$ na stranách $A C, A B$ a platí

$$\mathrm{\mid }KL\mathrm{\mid }:\mathrm{\mid }LM\mathrm{\mid }=3:2.|K\; L|:|L\; M|=3:\; 2\; .$$

$[10 a v /(2 a+3 v) \cdot]$