Czech/md/cz-mo-secondary/3471698-b50s.md

50. ročník matematické olympiády

Úlohy školní - klauzurní části I. kola kategorie B

1. Najděte všechna trojmístná čísla $n$, jejichž druhá mocnina končí stejným trojčíslím jako druhá mocnina čísla $3 n-2$.
2. Je dán tětivový čtyřúhelník $A B C D$. Označme $E$ průsečík přímek $B C$ a $A D$. Leží-li průsečík úhlopříček $A C$ a $B D$ na ose úhlu $A E B$, je trojúhelník $A B E$ rovnoramenný. Dokažte.
3. Určete mnohočleny $P$ a $Q$ takové, že pro všechna reálná čísla $x$ platí

$$Q\left(x^2\right)=(x+1{)}^4-x(P(x){)}^{2}Q\backslash left(x^\{2\}\backslash right)=(x+1)^\{4\}-x(P(x))^\{2\}$$

Školní - klauzurní část I. kola kategorie B se koná

v úterý 23. ledna 2001

tak, aby začala dopoledne a aby soutěžící měli na řešení úloh 4 hodiny čistého času. Za každou úlohu může soutěžící získat 6 bodů, úspěšným řešitelem je ten žák, který získá 10 bodů nebo více. Tyto údaje se žákưm sdělí před zahájením soutěže.

1. Jestliže číslo $n$ vyhovuje podmínce úlohy, existuje přirozené číslo $k$ takové, že

$$(3n-2{)}^2-n^2=1000k\text{. }(3\; n-2)^\{2\}-n^\{2\}=1000\; k\; \backslash text\; \{.\; \}$$

Levou stranu uvedené rovnosti rozložíme na součin podle vzorce pro rozdíl čtverců a po snadné úpravě dostaneme

$$(2n-1)(n-1)=250k=2\cdot 5^3\cdot k\text{. }(2\; n-1)(n-1)=250\; k=2\; \backslash cdot\; 5^\{3\}\; \backslash cdot\; k\; \backslash text\; \{.\; \}$$

Č́́sla $2 n-1$ a $n-1$ jsou nesoudělná (je $2 n-1=2(n-1)+1$ ), přitom první z nich je liché, takže druhé musí být sudé. Hledáme tedy lichá trojmístná čísla $n$ taková, že bud' $n-1$ je násobkem 250, nebo $2 n-1$ je lichým násobkem čísla 125 . V prvním případě dostaneme $n \in{251,501,751}$ a ve druhém vidíme, že musí být $2 n-1 \in$ $\in{375,625,875,1125,1375,1625,1875}$, tedy (protože $n$ je liché) $n \in{313,563,813}$. Celkem má úloha uvedených šest řešení.

2. Označme $F$ průsečík úhlopřŕček $A C$ a $B D$ (obr.1). Jestliže je přímka $E F$ osou úhlu $A E B$, jsou úhly $A E F$ a $B E F$ shodné. Navíc jsou shodné i úhly $E A F$ a $E B F$, nebot' jsou to obvodové úhly příslušné téže tětivě $C D$. Trojúhelníky $A F E$ a $B F E$ se shodují ve společné straně $E F$, jsou tedy shodné podle věty usu, $|A E|=|B E|$ a trojúhelník $A B E$ je tudíž rovnoramenný.
3. Předpokládejme, že $P$ je mnohočlen stupně $n$. Členy polynomu $Q\left(x^{2}\right)$ obsahují jen sudé mocniny $x$ a polynom $x \cdot P^{2}(x)$ je lichého stupně $2 n+1$. Protože má platit $Q\left(x^{2}\right)=(x+1)^{4}-x \cdot P^{2}(x)$, vidíme, že nemůže být $2 n+1>4$. Je tedy $n \leqq 1 \mathrm{a}$

$$P(x)=ax+b,Q\left(x^2\right)=(x+1{)}^4-x(ax+b{)}^2\mathrm{.}P(x)=a\; x+b,\; \backslash quad\; Q\backslash left(x^\{2\}\backslash right)=(x+1)^\{4\}-x(a\; x+b)^\{2\}\; .$$

Obr. 1

Po úpravě dostaneme $Q\left(x^{2}\right)=x^{4}+\left(4-a^{2}\right) x^{3}+(6-2 a b) x^{2}+\left(4-b^{2}\right) x+1$. Koeficienty při lichých mocninách $x$ jsou rovny nule, proto $a, b \in{-2,2}$ a $Q\left(x^{2}\right)=x^{4}+(6-2 a b) x^{2}+1$. Dosazením každé ze čtyř možných dvojic čísel $a, b$ do (1) nalezneme všechna čtyři řešení úlohy: